Matemáticas Elementales 2010 Rev2014_b(Nuevo Logo)

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLA

FACULTAD DE CIENCIAS FISICO{MATEMATICAS

MATEMATICAS ELEMENTALES

PUEBLA, PUE., OTO~NO DE 2010 rev. 6 agosto 2014

A esade quien olvide sus generalespero recuerdo sus particulares

\Matematicas Elementales"

La escritura de un libro es siempre loable. Los libros atesoran el conoci-miento humano y han sido y son la fuente mas importante del aprendizaje.Contar con un buen libro a nuestro alcance es una carta de triunfo. Los nue-vos y ultimos descubrimientos de la humanidad se van recogiendo en nuevoslibros. Otros, tan importantes como los anteriores, van dedicados a las basesy cimientos de alguna Ciencia. Este es el caso de este libro dedicado a lasMatematicas Elementales. Ninguna construccion puede ser solida sin unosbuenos cimientos, por eso aquellos libros dedicados a establecer esas basesson de gran importancia. En estos libros, es tan importante el contenido,como la forma pedagogica y didactica de su presentacion. En muchos libros,sobre todo de caracter enciclopedico, se sigue el metodo estrictamente deduc-tivo, segun el cual se avanza en lnea recta de lo abstracto a lo concreto. Estemetodo debe ser el mas economico, pero no es el optimo para la capacitacionde los estudiantes. En este libro se tiene muy en cuenta la presentacion pe-dagogica y se introducen los conceptos a partir de problemas concretos parallegar a los mas generales posibles, de acuerdo al nivel en que se trabaja.Un buen ejemplo es la presentacion del importante y fundamental conceptode funcion. Por medio de ejemplos concretos, hitoricos y bien seleccionadoses que introducen este concepto a los alumnos, conduciendolos a la deni-cion como una cierta correspondencia, la cual surge de manera natural de losejemplos y llegando nalmente a la caracterizacion por medio de su graca.Esta ultima es ya una denicion matematicamente precisa. Consideramos aeste libro como una muy buena gua para el profesor, en el desarrollo de susclases y tambien para el propio estudiante en su estudio individual. Debe-mos destacar cuanto trabajo y esfuerzo requiere un trabajo de este tipo y siademas se realiza sin descuidar las demas actividades docentes, el esfuerzonecesario es mucho mayor y los profesores que lo han llevado a feliz terminoson acreedores de una felicitacion y un reconocimiento.

Dr. Jose Luis Fernandez Mu~niz.

PROLEGOMENO

El verano de 1991 vio nacer un libro escrito por un grupo de profesores dela Facultad de Ciencias Fsico{Matematicas |\La Comision{ y que llevael mismo nombre que la materia para la que serva de texto: \MatematicasBasicas". En vista de la \renovacion" de los planes de estudio realizadas en laB.U.A.P. desde 1992, fue necesaria la adaptacion de dicha obra, introduciendoalgunos temas, reduciendo otros y transformando otros mas, hasta dar a luza un un hijo bastardo del \Matematicas Basicas" en la misma facultad, perocuatro veranos despues que su padre, y con una nalidad analoga: servir detexto para el curso que le da nombre: \Matematicas Elementales".

Los parteros |\Una subcomision" de la \La Comision{ esperan confervor que, en este nene, los genes heredados y las mutaciones operadas, seanlas adecuadas ya que, de resultar contrahecho, tendra que ser abandonadoen \la Pe~na"de los espartanos y los unicos responsables de ello |\Unasubcomision{ seran merecedores de una \actuacion" en el circo romano.

ATENTAMENTE

\Una subcomision"

J. Juan Angoa AmadorAgustn Contreras CarretoManuel Ibarra ContrerasRaul Linares Gracia

Armando Martnez Garca

iii

Indice general

1. Logica 11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Proposiciones logicas y conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Tablas de verdad y equivalencias . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Cuanticadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6. Metodos de Demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.1. Demostraciones directas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.2. Demostraciones indirectas. . . . . . . . . . . . . . . . . 351.6.3. Ejemplos y contraejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.7. Apendice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.8. Apendice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2. Conjuntos 492.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2. Conjunto Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3. Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.4. Igualdad de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.5. Construccion de nuevos conjuntos a partir de otros . . . . . . 64

3. Numeros reales 753.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2. Consecuencias de los Axiomas de Campo . . . . . . . . . . . . 783.3. Consecuencias de los Axiomas de Orden . . . . . . . . . . . . 913.4. El Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.5. Los numeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.6. Numeros Enteros, Racionales e Irracionales . . . . . . . . . . . 1383.7. Representacion a-naria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

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INDICE GENERAL INDICE GENERAL

3.8. Apendice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

4. Funciones 1934.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1934.2. Formas de denir una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014.3. Igualdad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2124.4. Graca de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2144.5. Composicion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2254.6. Funcion inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2284.7. Funciones suprayectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2334.8. Funcion biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2384.9. Funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394.10. Algebra de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2434.11. Algunas funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

vi

Captulo 1

LOGICA

x1

1.1. Introduccion

En el lenguaje cotidiano las expresiones adolecen de poder tener distintossignicados, cosa que hace interesante a la literatura, pero en matematicasno podemos darnos ese lujo: no es posible que cada quien le de un signicadodistinto a expresiones como \si x es mayor que 3, entonces x es mayor que2".

Con la intencion de, en la medida de lo posible, darle exactitud al dis-curso, el estudio de los procesos logicos cobra interes. Tambien es necesariodistinguir entre argumentos correctos, Recordar que en matematicas as comoen la ciencia, la actividad demostrativa juega un papel importante.

En este curso no pretendemos estudiar a fondo la logica formal, sinorearmar algunas actividades centrales como: analizar la estructura logicadel discurso matematico, as como decidir si los pasos que se siguen en unademostracion son validos o no.

1

Proposiciones logicas y conectivos Logica

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1.2. Proposiciones logicas y conectivos

Para nuestros propositos una frase que tenga la propiedad de ser falsa overdadera y solo una de estas posibilidades se llamaraProposicion Logica.

Si una proposicion es verdadera diremos que su valor de verdad es V , ysi es falsa diremos que su valor de verdad es F .

La frase

Logica Proposiciones logicas y conectivos

Notemos que tienen una forma comun:

(. . . . . . ) y (. . . . . . ),

donde los parentesis (. . . . . . ) representan proposiciones logicas. Las proposi-ciones logicas a), b) y c) escritas en esta forma quedan:

a) 3 es numero entero y 2 es numero entero.

b) Mexico es pas centroamericano y Guatemala es pas centroamericano.

c) 3 + 1 = 4 y 2 + 2 = 4

Esto nos lleva a la denicion:

Denicion 1.2.1 Si una proposicion logica se puede llevar a la forma:

(Proposicion) y (proposicion),

a tal proposicion se le llama conjuncion.

En seguida enunciaremos formas clasicas de proposiciones logicas que nospermitan una clasicacion inicial de estas.

Denicion 1.2.2 Cuando una proposicion se puede llevar a la forma:

(proposicion) o (proposicion),

a dicha proposicion se le llamara disyuncion.

Denicion 1.2.3 si una proposicion logica se puede escribir en la forma:

Si (proposicion) entonces (proposicion),

a tal proposicion se le llamara implicacion o condicional.

Denicion 1.2.4 Llamaremos negacion a la proposicion que tenga la for-ma:

Es falso que (proposicion).

3

Proposiciones logicas y conectivos Logica

Ejemplos:

1. Si esta lloviendo me mojare. (condicional)

2. Juan es electronico y Pedro tambien. (conjuncion)

3. El da de ma~nana sera lluvioso o caluroso. (disyuncion)

4. 3 o 2 son mayores que 1. (disyuncion)

5. No es posible que exista transporte barato y comodo. (negacion)

6. Solo estudiando aprobare el curso. (implicacion)

En las proposiciones del tipo disyuncion, conjuncion e implicacion, par-ticipan dos proposiciones. En las disyunciones y conjunciones es indistintodonde se coloquen tales proposiciones; sin embargo, en la implicacion no. As:

\si llueve me mojo"

cambia radicalmente si se transforma en

\si me mojo entonces llueve".

Para distinguir el diferente papel que juegan las dos proposiciones queforman la implicacion, tenemos:

Denicion 1.2.5 En una impicacion llamaremos antecedente a la pro-posicion colocada entre \si" y \entonces" y llamaremos consecuente a laproposicion colocada despues de \entonces".

Veamos las proposiciones:

1. Es condicion suciente para que Avelino vuele, ser poeta.

2. Jaime podra adelgazar si deja de comer.

1 y 2 son condicionales ya que se pueden escribir de la forma:

1. Si Avelino es poeta, Avelino vuela.

4

Logica Tablas de verdad y equivalencias

2. Si Jaime deja de comer entonces Jaime podra adelgazar.

Ya escritas as uno podra distinguir claramente el antecedente y el con-secuente.

Finalmente, a las siguientes partculas: y, o, si . . . entonces . . . , es falsoque, se les agrupa con el nombre de conectivos logicos. Tambien a partir deahora, escribiremos simplemente proposicion en vez de proposicion logica.

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1.3. Tablas de verdad y equivalencias

Planteamos las siguientes preguntas:>Es posible que una conjuncion sea verdadera si alguna de las proposi-

ciones que la forman es falsa?>Bajo que condiciones de las proposiciones inmersas en una conjuncion,

esta podra ser falsa?

Para dar luz acerca de estas preguntas, va la:

Denicion 1.3.1 Una conjuncion es verdadera cuando y solo cuando las dosproposiciones que la forman son verdaderas.

Analogas preguntas podran plantearse respecto de las disyuncion y de lanegacion. Para esto:

Denicion 1.3.2 Una disyuncion es verdadera cuando y solo cuando algunade las proposiciones que la forman es verdadera.

Denicion 1.3.3 Una negacion es verdadera si y solo si la proposicion ne-gada es falsa.

Ahora bien, >pasa con la implicacion?Veamos las siguientes proposiciones:

\si dos es par, entonces 3 + 2 es impar ".

5

Tablas de verdad y equivalencias Logica

\siempre que dos es par, 3 + 2 es impar ".\No ocurre que dos sea par y 3 + 2 no sea impar ".

Intuitivamente podemos aceptar que las tres proposiciones dicen lo mis-mo, es decir, estamos aceptando que:

\Una implicacion es la negacion de una conjuncion".

As que una implicacion es verdadera si la conjuncion es falsa; pero la talconjuncion esta constituda por el antecedente y la negacion del consecuentede la implicacion; as que la conjuncion sera falsa si el antecedente es falso oel consecuente es verdadero. Resumiendo:

Denicion 1.3.4 Una implicacion es verdadera en cualquiera de los doscasos siguientes:

a) El consecuente es verdadero.

b) El antecedente es falso.

Observando estas condiciones, vemos que la unica posibilidad que no seincluye es cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Unamanera de recordar esta conclusion es usando la siguiente armacion:

\Nunca una verdad implica una falsedad".

En lo que sigue adoptaremos formas simbolicas para las proposiciones.As las letras p, q, r, s, t, : : : , simbolizaran proposiciones, y nuestros tiposde proposiciones se simbolizaran:

1) p ^ q conjuncion de las proposiciones p y q.2) p _ q disyuncion de la proposiciones p y q.3) :q negacion de la proposicion q.4) p) q implicacion con antecedente p y consecuente q.

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Ahora, si tenemos una proposicion en forma simbolica, trataremos desacar informacion acerca del comportamiento de su valor de verdad; paraesto, listaremos todas las combinaciones posibles en que aparezcan los valoresde verdad de las proposiciones que forman tal proposicion. Por ejemplo:

:(:p ^ q)

tiene 4 posibles combinaciones, a saber:

1) p verdadera y q verdadera.

2) p falsa y q verdadera.

3) p verdadera y q falsa.

4) p falsa y q falsa.

En cada uno de estos casos, cada combinacion determina un valor deverdad para :(:p ^ q) (


p :p p _ :pV F V

F V V

es decir, p_:p, sea como sea p, siempre es verdadera; su verdad no dependede quien sea p, sino de la forma que tiene la proposicion.

Una tecnica con la que podremos saber cuando una proposicion esverdadera por su forma, sea:

\Escribamos la proposicion en la forma simbolica; construyamos su tablade verdad y si siempre es verdadera, entonces tal proposicion es verdaderapor su forma".

Denicion 1.3.5 Las proposiciones logicas que son verdaderas por su formason llamadas Tautologas.

Es importante tener en mente las principales formas simbolicas que danlugar a tautologas. algunas de estas se podran hallar en los ejercicios oexplcitamente en los siguientes temas.

Observemos las siguientes parejas de proposiciones:

1) Ni Pedro ni Juan son matematicos.

2) Es falso que Pedro o Juan sean matematicos.

Notamos que dicen lo mismo; sin embargo quisieramos tener un metodo,mas seguro que la intuicion, para asegurarnos que dos proposiciones dicen lomismo. Para esto notemos que si dos proposiciones tinen igual contenido, nopuede suceder que una de ellas sea falsa y la otra verdadera, asi que debencumplir que ambas son verdaderas o ambas son falsas. Para continuar conesto analicemos la siguiente forma:

(p) q) ^ (q ) p)El estudiante comprobara sin lugar a dudas que esta proposicion es falsa si

p y q no coinciden en sus valores de verdad. Con esto justicamos la siguiente:

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Denicion 1.3.6 Dos proposiciones p y q son equivalentes (tienen el mis-mo contenido) si

(p) q) ^ (q ) p)es tautologa.

Simbolizaremos que p y q son equivalentes escribiendo: p q

Nota 1 (p) q) ^ (q ) p) se simboliza como:

(p, q)

y se lee: \p si y solo si q"

A este tipo de proposiciones se les llama bicondicionales.

Nota 2 2 = 1, \Salinas fue un presidente muy honrado".es una bicondicional verdadera, evidentemente, aunque no es tauto-loga. >Por que?

Nota 3 La proposicion:

\Si don Prospero Torres es due~no de una parcela, entonces voto por eltricolor".

es de la forma p) q, donde p: "Don Prospero Torres es due~no de unaparcela" y q: \Don Prospero Torres voto por el tricolor" y es equivalentea su contrarecproca, es decir:

\Si Don Prospero Torres no vota por el tricolor entonces nosera due~no de una parcela"

o bien:

\Es necesario que Don Prospero Torres vote por el tricolor para quesea due~no de una parcela"

En general, una proposicion escrita en la forma p) q se puede leer:

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\Es necesario q para p" o \q es condicion necesaria para p".

Por otro lado, hemos sabido que Don Prospero Torres sigue gritando:\Yo soy campesino y no tengo tierra" (ver \Matematicas Basicas" UAP1991 La Comision), y eso que ha votado por el tricolor, es decir qes condicion necesaria pero no suciente para que ocurra p.

La frase \q es suciente para p" es lo mismo que \si q entonces p", osea

q ) p:

As que, en general en una condicional q ) p se dice que el antecedentees la condicion suciente y el consecuente la condicion necesaria, y unabicondicional, q , p, suele leerse \p es condicion necesaria y sucientepara q" o \q es condicion necesaria y suciente para p" (al n y al caboson equivalentes p ) q y q ) p.

Ejercicios 1.

1. >Cuales de las siguientes armaciones son proposiciones logicas? Expli-que su respuesta:

a) Come o fuma?

c) 3 es mayor que 4.

d) Todos los triangulos son equilateros.

2. Clasique las siguientes proposiciones de acuerdo a nuestras denicio-nes. En las negaciones, aclare cuales son las proposiciones negadas.

a) El carro de Pedro es tan bueno como el de Juan.

b) No es posible que exista Transporte barato y comodo.

c) Aunque 3 no es par, s es primo.

d) Si los precios aumentan, los salarios aumentan.

e) Es falso que la natalidad disminuya en los pases pobres.

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f ) Es falso tanto que Mexico es una potencia como que es un paspobre.

g) Solo si David trabaja podra dejar el vicio.

h) Alguno de los dos casos sucede: si 3 es par entonces 3+2 es imparo si 3 es par entonces 3 + 2 es par.

i) es falso que todo triangulo es equilatero y es escaleno, pero esverdad que algunos triangulos son equilateros y otros no.

j ) Solo cuando estemos organizados sera posible cambiar el Estado.

3. En las siguientes condicionales diga cual es el antecedente y cual elconsecuente.

a) Queda claro que siempre que Pedro ha resuelto los problemas, Luisse los ha copiado.

b) Si fuera 3 no primo, tendra otros divisores distintos de 1 y 3.

c) Resulta que si usas automovil, inmediatamente tienes problemascardacos.

d) Al menos cada vez que tu maestro me ha explicado el tema defunciones, a m no me ha quedado claro.

>No se ha cansado todava? Aupe su existencia con estos otros.

Ejercicios 2.

1. Denote con s la proposicion \yo estudio", y con p la proposicion \yopasare el curso". Exprese simbolicamente las siguientes proposiciones:

a) No estudio.

b) Si estudio pasare el curso.

c) Pasare el curso solamente si estudio.

d) Parare el curso si estudio.

e) Estudio o no pasare el curso.

f ) Si estudio no pasare el curso.

g) Ni estudio ni pasare el curso.

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h) Pasare el curso si y solamente si estudio.

2. Suponga que l es la proposicion \la logica es facil" y que m es laproposicion \las matematicas son faciles". Exprese con palabras lassiguientes proposiciones:

a) l ^m b) :l c) :m ^ :lc) l) m d) l, m e) :l) :m

3. Calcule el valor de verdad de las siguientes proposiciones, suponga quep es verdadera y q es falsa.a) p ^ q b) p ^ :q c) :(p _ q)d) p _ (:p ^ q) e) q ) p f) :q ) (p _ q)g) :(q ) (p _ q)) h) :(p, q) i) p) (:p ^ q)

4. Calcule el valor de verdad de las siguientes proposiciones, usando losconocimientos matematicos que hasta la fecha posea.

a) 3 es mayor que 2 o 3 es igual a 2.

b) Si 2 fuera mayor que 4 entonces 3 sera mayor que 4.

c) Si 2 fuera mayor que 4 entonces 3 sera igual a 2.

d) Ni 3 ni 7 son pares.

e) Si 3 fuera par, 3 + 2 tambien lo sera.

f ) 4 u 8 son pares.

g) Es falso que: 8 y 2 son impares.

h) 3 no es par o 7 es par.

5. >Cuales de las siguientes formas dan lugar a tautologas:a) (p ^ q)) p b) (p _ q)) q c) (p ^ :p)) r d) p) :pe) [(p ^ (q ) q)) ^ (q ) r)]) r f) (p ^ :p) (r ^ :r)g) [(p) q) ^ (:p) q)]) q h) [(p _ q) ^ ((p) r) ^ (q ) r))]) ri) (p) q), [(p ^ :q)) (r ^ :r)]

6. >Cuales de los siguientes pares de proposiciones son equivalentes?:

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Logica Cuanticadores

a) Ni 3 ni 7 son pares.Es falso que: 3 o 7 son pares.

b) 3 es par pero 7 es impar.Es falso que: 3 par implica que 7 es par.

c) Si 3 es par entonces 5 es par.Si 5 es impar entonces 3 es impar.

d) Solo si lavas los platos vas al cine.Si lavas los platos vas al cine.

7. Demuestre que las siguientes formas dan lugar a tautologas:

a) (p) q), [(p ^ :q)) (r ^ :r)]b) (:q ) :p), (p) q)c) :(p _ q)) (:p ^ :q)d) :(p ^ q)) (:p _ :q)e) :(:p), pf ) p _ q , q _ pg) [p _ (q _ r)], [(p _ q) _ r]h) p ^ q , q ^ pi) [p ^ (q ^ r)], [(p ^ q) ^ r]j ) [p ^ (q _ r)], [(p ^ q) _ (p ^ r)]k) [p _ (q ^ r)], [(p _ q) ^ (p _ r)]l) :(p) q), p ^ :q

x4

1.4. Cuanticadores

Analicemos las siguientes proposiciones:

1) Todos los automoviles son enfriados por agua.

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Cuanticadores Logica

2) Hay mujeres solteras.

3) Algun estudiante de la BUAP es millonario.

Estas proposiciones tienen en comun que son armaciones acerca de unconglomerado o conjunto de objetos. As, la primera es una armacion sobreel conjunto de automoviles, la segunda sobre el conjunto de las mujeres,etc. . .

Ahora toca discutir algun metodo para calcular el valor de verdad deeste tipo de proposiciones. as pues, para el primer ejemplo, concluir que eraverdadera tal proposicion, sera solo cuando hubieramos investigado todos ycada uno de los automoviles y ademas supieramos que todos y cada uno deellos son efectivamente enfriados por agua. Sabemos que existe un automovilde conocida marca que no es enfriado por agua; entonces podemos concluirque no es enfriado por agua; entonces podemos concluir que la proposicion1) es falsa. Sin embargo, para la segunda proposicion, para ser verdaderase necesitara solo que, para algun elemento del conjunto, la armacion seaverdadera, y


Las proposiciones del tipo:

8x 2 U : p(x)son verdaderas si la frase p(x) se convierte en una proposicion verdaderacada vez que x sea reemplazada por cualquier elemento de U y falsa en casocontrario.

Ahora, si 9 denota las frases: \hay", \algunos", \algun", \existe" o cual-quiera otra del mismo jaez, U denota el conjunto de estudiantes de laB.U.A.P. y q(x) la frase abierta: \x es millonario", la tercera proposicionde los ejemplos quedara simbolizada:

9 x 2 U : q(x)


3) Dos numeros primos diferentes son coprimos. Este ejemplo motiva la pre-sentacion de las proposiciones abiertas en mas de una variable. Observe-mos las siguientes proposiciones abiertas:

p y q son coprimos.

x es mayor que y.

Si x+ y = x+ z, entonces y = z.

Aqu las variables pueden tomar valores en diferentes conjuntos univer-sales o en el mismo, pero eso se entiende del contexto en que se de laproposicion en particular.

As, si Z es el conjunto de los enteros, nuestra proposicion escrita en formaesquematica quedara como sigue:

8 p 2 Z : 8 q 2 Z : p 6= q ) p y q son coprimos

4) Si m y n son numeros enteros pares cualesquiera, entonces m+n tambienes un entero par.

Si Z denota al conjunto de los numeros enteros, esta proposicion se puedeescribir as:

8m 2 Z : 8n 2 Z : si m y n son pares ) m+ n es un entero par.Tambien se puede escribir as

8m 2 P : 8n 2 P : m+ n 2 P;

Si P representa al conjunto de los enteros pares.Algunos autores, en vez de usar dos cuanticadores universales hubieranpreferido escribir la proposicion as:

8m; n 2 Z : si m y n son pares ) m+ n es un entero par

o de este modo

8m;n 2 P : m+ n 2 P

5) Dado cualquier numero real, siempre existe un numero entero mayor queel .

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Si R representa al conjunto de numeros reales y Z al de los enteros, po-demos escribir esta proposicion del modo siguiente:

8 x 2 R : 9n 2 Z : n es mayor que x:

6) Todo numero natural es mayor que cero.

Esta proposicion se puede escribir en forma simbolica de dos modos dife-rentes, segun sea el conjunto universal seleccionado:

8 x 2 R : x 2 N) x > 0O bien

8x 2 N : x > 0Donde N es el conjunto de los numeros naturales y el smbolo \>" signica\mayor que".

Como se vio, para negar una proposicion, es suciente anteponer la frase:\es falso que". Lo mismo es valido para el tipo de proposiciones que estamosestudiando. As por ejemplo:

Todo numero natural es mayor que cero.

Su negacion

Es falso que: Todo numero natural es mayor que cero

Sin embargo es util tener formas equivalentes de estas proposiciones. Recor-demos que siempre que

8x 2 U : p(x)es verdadera, signicara que p(a) es verdadera para cada elemento a de U ,es decir, :p(a) es falsa para todo elemento a de U , o sea que es falsa laproposicion:

9 x 2 U : :p(x)Ahora, si 8x 2 U : p(x) es falsa, tenemos que para algun a en U , p(a) es

falsa, es decir, para este a, :p(a) es verdadera, as que la proposicion9 x 2 U : :p(x)

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es verdadera.Ejempliquemos lo anterior. Sea

U = f11; 12; 13; 14g

y consideremos la proposicion

8 x 2 U : x es divisible por 2

Hagamos una lista de los valores de verdad de la frase abierta para cada unode los elementos de U .

11 es divisible por 2 | F12 es divisible por 2 | V13 es divisible por 2 | F14 es divisible por 2 | V

Vemos que la proposicion es falsa, as que de antemano sabremos que laproposcion

9 x 2 U : :(x es divisible por 2)es verdadera.

Podemos entonces concluir en general que:

:(8 x 2 U : p(x)) es equivalente a 9 x 2 U : :p(x)Ahora, si 9 x 2 U : :p(x) es falsa, signica que p(a) es falsa para cualquier

a en U , de aqu que :p(a) es verdadera para cualquier a en U . Por lo tanto:

8 x 2 U : :p(x)

es verdadera.Si sabemos que 9 x 2 U : :p(x) es verdadera, esto signica que para

algun a en U , p(a) es verdadera, as que :p(a) es falsa para este mismo a enU , y podemos concluir que

8 x 2 U : :p(x)

es falsa.

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Entonces podemos asentar que:

:(9 x 2 U : :p(x)) es equivalente a 8 x 2 U : :p(x):

Ejemplos: En los siguientes ejemplos comentaremos algunos tipos de pro-posiciones en las que el cuanticador no esta explcito.

1. Ningun numero al cuadrado es negativo

Esta proposicion se puede escribir de la siguiente forma:

\No existe numero que, elevado al cuadrado sea negativo".

O tambien:

\Todo numero cumple que, elevado al cuadrado, no es negativo".

De forma esquematica podemos decir que si una proposicion tiene laforma:

\Ningun x 2 U cumple p(x)"esta, en realidad, es la proposicion universal

\8 x 2 U : :p(x)".

As, nuestro ejemplo se escribe en forma esquematica como:

8 x 2 R : :(x2 < 0);donde R es el conjunto de los numeros reales y \


3. Un numero par es divisible por 2.

Aqu no esta explcito el cuanticador, pero si escribimos la proposicionen la forma siguiente:

\Para todo numero se cumple que si el es par, entonces es divisible por2"

nos queda claro que una forma esquematica de escribirla sera

8n 2 Z : n par ) n es divisible por 2

4. Una funcion derivable es continua.

La proposicion la podemos escribir de la siguiente forma:

8 f 2 D : f es continua

donde D es el conjunto de las funciones que son derivables, pero si Fes el conjunto de funciones, entonces la proposicion puede escribirsecomo:

8 f 2 F : f derivable ) f es continua

5. Es falso que: para todo numero exista un entero mayor que el.

Aprovechemos lo que comentamos en el ejemplo 5, pagina 16 para es-cribir la proposicion de la forma:

:(8x 2 R : 9n 2 Z : n > x)

es decir,

9x 2 R : :(9n 2 Z : n > x)

simplicando mas:

9x 2 R : 8n 2 Z : :(n > x)

Ahora veamos otros ejemplos de negaciones:

20


6. \Es falso que exista algun funcionario que no es corrupto"es equivalente a\Todos los funcionarios son corruptos".

Invitamos al estudiante a hacer todos los calculos con estas dos proposi-ciones: Pasarlas a sus formas simbolicas, calcular sus valores de verdady convencerse de la equivalencia.

7. :(8n 2 P : 8m 2 P : n+m 2 P) es equivalente a:

9n 2 P : :(8m 2 P : n+m 2 P)que a su vez es equivalente a:

9n 2 P : 9m 2 P : n+m =2 P

Convenzase el lector de estas equivalencias, por favor.

8.:(8x 2 R : 9n 2 Z : n es mayor que x)

es equivalente a:

9x 2 R : :(9n 2 Z : n es mayor que x)

que a su vez es equivalente a :

9x 2 R : 8n 2 Z : :(n es mayor que x)>Verdad?

Ejercicios 3.

1. Determine cuales de las siguientes proposiciones son del tipo

8x 2 U : p(x) o 9x 2 U : p(x);

precisando el conjunto universal y la proposicion abierta p(x), yexpreselas simbolicamente.

a) Cualquier da es bueno para estudiar.

b) Cada comerciante pretende sacar ganancia de la crisis.

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c) Cualquier hombre, si trabaja, se agota.

d) Todo triangulo que tiene sus tres lados iguales es equilatero.

e) Algun triangulo puede ser equilatero y no tener los 3 lados iguales.

f ) Cada par de rectas, sin son paralelas, no se intersectan.

g) Pueden haber dos rectas no paralelas que se corten en mas de unpunto.

h) Ningun hombre vive mas de 150 a~nos.

i) Algunos numeros naturales son positivos.

j ) Hay un punto en el plano tal que cualquier recta pasa por el.

k) Para cualquier numero positivo, hay un natural que es mayor queel.

l) Todos los numeros reales cumplen que su cuadrado es positivo.

m) Nunca sucede que el cuadrado de un entero sea 1=3.

2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) Todo estudiante de esta facultad nacio en Puebla.

b) Cada vez que sumamos dos numeros impares se obtiene un numeroimpar.

c) Todo entero es par y primo.

d) Si un numero es par entonces es igual a 1.

e) Si un numero es par, al sumarle uno \se vuelve" impar.

f ) Si U = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10g; 8 x 2 U : x es imparg) Si U es como en (f), 8x 2 U : x es mayor que 0 pero menor que

11.

h) si U es como en (g), 9x 2 U : x es mayor que 11.i) si U es como en (h), 9x 2 U : x multiplo de 2.

3. >Cuales de los siguientes pares de proposiciones son equivalentes?

a) Todas las personas oyen consejo, o no llegan a viejos.Cada persona que oye consejo llega a viejo.

22

Logica Razonamiento

b) 8 x 2 Z : x2 6= 1 ) x2 + 1 6= 2:(9x 2 Z : x2 = 1 ) x2 + 1 = 2)

c) 9 x 2 Z : x2 = 1 ^ x2 + 1 6= 2:(8x 2 Z : x2 = 1 ) x2 + 1 = 2)

d) 8 x 2 Z : x2 = 1 ^ x2 6= 08 x 2 Z : es falso que: x2 = 1 ) x2 = 0

Nota: Recuerde que Z es el conjunto de los numeros enteros, osea:

Z = f: : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; : : :g

4. Diga si en las siguientes parejas de proposiciones, son una la negacionde la otra.

a) Todas las funciones contnuas son integrales.Todas las funciones contnuas no son integrales.

b) Hay algun numero primo que no es par.Hay algun numero primo que es par.

c) Todos los seres vivos estan en peligro de morir.Algun ser vivo no tiene el peligro de morir.

d) Para cada numero positivo, hay un numero natural mayor que el.Hay un numero positivo, tal que todo numero natural es menor oigual que el.

x5

1.5. Razonamiento

En el lenguaje que cotidianamente empleamos, suele usarse la palabraRazonamiento para indicar una actividad o proceso del pensamiento en elque se exponen razones sobre las que se basa la veracidad o falsedad de unaproposicion.

23

Razonamiento Logica

En un razonamiento, la conlusion es la proposicion sobre la que se armasu veracidad o falsedad, basandose en las otras proposiciones del razonamien-to que son las premisas. Por ejemplo:

Todos los animales son mortalesTodos los hombres son animales

Premisas

Por lo tanto: Todos los hombres son mortales g conclusionComo hemos dicho, en un razonamiento se pretende que de las premisas

se pueda concluir con seguridad algo. en este sentido puede hablarse de ra-zonamientos mal hechos, si de las premisas no se puede seguir la conclusion.Antes de proseguir, notemos que un razonamiento adopta la forma de unaimplicacion, as que:

Denicion 1.5.1 Un razonamiento es una implicacion en donde el ante-cedente es una conjuncion de un numero nito de proposiciones, llamadaspremisas del razonamiento; el consecuente es llamado la conclusiondel razonamiento. Logicamente un razonamiento es una implicacion de laforma:

(P1 ^ P2 ^ : : : ^ Pn)| {z }Premisas

) r|{z}Conclusion

que suele tambien escribirse del modo siguiente:

P1P2...Pn

r

Ejemplos:

1) Si Jaime deja de comer pan, adelgazara.Jaime no ha adelgazado

Jaime no ha dejado de comer pan.

2) Alonso hablo mal de Reagan.Reagan es anticomunista

Alonso es comunista.

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Logica Razonamiento

3) Toda Aguila vuela.Guillermo no es aguila.

Guillermo no vuela.

4) Corro o como.Si corro me canso.Si como me canso.

Me canso.

Observemos los razonamientos 2) y 3). En 2), las premisas pueden serverdaderas y sin embargo la cunclusion es falsa. En este caso, la veracidadde las premisas no asegura la veracidad de la conclusion.

En 3), las premisas y la conclusion pueden ser verdaderas y sin embargo,la forma de razonamiento no es \correcta", ya que podemos establecerun razonamiento de igual forma que puede tener premisas verdaderas yconclusion falsa, por ejemplo:

5) Todos los perros son mamferosPedro no es perro.

Pedro no es mamfero.

3) y 5) tienen la forma

6) 8x 2 U : p(x)a no es elemento de U .

:p(a)En 5) tenemos premisas verdaderas y conclusion falsa; ademas podemosasegurar que todos los razonamientos escritos en la forma 6) son incorrec-tos (que no es lo mismo que falsos).

Ahora observemos 1) y 4). 1) acepta la siguiente forma simbolica:

25

Razonamiento Logica

7) p ) q p: Jaime dejo de comer.:q q: Jaime ha adelgazado.:p

No importan como sean p y q, si las premisas son verdaderas, la conclu-sion es verdadera. No puede suceder que las premisas sean verdaderas yla conclusion falsa >por que?. En todo razonamiento de la forma 7), siaseguramos la veracidad de las premisas, aseguramos la veracidad de laconclusion. Podemos decir que todo razonamiento de esta forma es \co-rrecto".

4) acepta la siguiente forma simbolica:

8) p _ q p: Yo corro.p ) r p: Yo como.p ) r p: Yo me canso.r

Analogo al caso anterior vericamos que no importa como sean p, q y r,si las premisas son verdaderas, la conclusion es verdadera.

Analicemos con mas cuidado este ejemplo: Aceptemos que p _ q; p ) ry q ) r son verdaderas; puede suceder que p sea verdadera y q falsa. Comop ) r es verdadera y p verdadera, aseguramos que r es verdadera. Si q esverdadera y p falsa, el razonamiento es el mismo, y es facil convencerse deque r es verdadera cuando p y q son verdaderas. Notar que el caso en que p yq son falsas, no sucede. As que 8) es otra forma \correcta" de razonamiento.Despues de esta presentacion tenemos la siguiente:

Denicion 1.5.2 Sean P1; P2; ; Pn las premisas de un razonamiento y psu conclusion. El razonamiento es correcto o valido si

(P1 ^ P2 ^ P3 ^ : : : ^ Pn)) p

es tautologa.

Ejemplos:

1. Si un razonamiento es de la forma

26

Logica Razonamiento

P1 : 8 x 2 U : (p(x)) q(x))P2 : 8 x 2 U : (q(x)) r(x))p : 8x 2 U : (p(x)) r(x))

El razonamiento es valido, ya que si P1 y P2 son verdaderas y p falsa,tendramos a 2 U tal que p(a)) r(a) es falsa, o sea p(a) verdadero yr(a) falso; pero q(a) ) r(a) debe ser verdadera y como r(a) es falsa,esto solo puede ser si q(a) es falsa, pero como p(a)) q(a) es verdadera,p(a) resulta falsa, que no es lo que tenamos antes, as que resultaimposible que las premisas sean verdaderas y la conclusion falsa.

2. El razonamiento:

P1 : Todos los tiburones son cuadrupedos.P2 : Todos los cuadrupedos tienen alas.

p : Todos los tiburones tienen alas.

El razonamiento es correcto aunque las premisas y la conclusion seanfalsas. Es un razonamiento de la forma del ejemplo anterior. Para com-probarlo bastara tomar a:

U = conjunto de animales.

p(x) : x es tiburon.q(x) : x es cuadrupedo.r(x) : x tiene alas.

En general, si tenemos una forma de razonamiento correcto, por ejemplo:

p _ qp) rq ) rr

Podemos colocar cuanticadores universales de la siguiente manera:

P1 : 8x 2 U : (p(x) _ q(x))P2 : 8x 2 U : (p(x)) r(x))P3 : 8x 2 U : (q(x)) r(x))p : 8 x 2 U : r(x)

27

Razonamiento Logica

Y obtener otra forma de razonamiento correcto. El argumento que justi-ca la validez de esta forma de razonamiento es analogo al caso anteriormentecomentado. Veamos: si p es falsa y P1, P2 y P3 verdaderas, entonces existea 2 U , tal que r(a) es falso, y como p(a)) r(a) es verdadera, podemos con-cluir que p(a) es falsa; de manera analoga , como q(a)) r(a) es verdadera,entonces tambien q(a) es falsa, es decir, (p(a)_ q(a)) es falsa, contradiciendoel hecho de que P1 es verdadera.

En este tipo de proceso, observemos que el cuanticador en cada unade las premisas y conclusion es el cuanticador universal; analogamente, elconjunto universo, en premisas y conclusion es el mismo, y las proposicionesabiertas que aparecen en las premisas y conclusion estan relacionadas en talforma que constituyen un razonamiento correcto.

Logica Razonamiento

razonamiento valido. Por eso a las formas de los razonamientos validos, sue-len llamarseles reglas de inferencia.

Ejercicios 4.

1. Dadas la siguientes premisas, trate de obtener conclusiones correctas:

a) Si compro un coche nuevo, tendre que hacer pagos.Compre un coche nuevo.

b) Ningun cuadrupedo sabe volar.Los gatos son cuadrupedos.

c) Si salgo de mi casa ire al cine.No fu al cine

d) Si Horacio come a deshoras, engordara.Horacio no ha engordado.

e) Si no fumo no tendre cancer.Si no tengo cancer, soy feliz.Soy infeliz.

2. Probar que las siguientes formas de razonamiento son reglas de infe-rencia:

(a) p) q (b) p _ q (c) p) qq ) r :p p) :qp) r q :p

(d) p (e) 8x 2 [ : p(x) (f) pp) p1 a 2 [ p) qp1 ) p2 p(a) p) q _ rp2

(g) p) r (h) p _ q (i) rq ) r p) r p ^ :p

29

Razonamiento Logica

p _ q ) r q ) r sr

(j) r (k) p ^ :q (l) rs p ^ :q ) r r ) p ^ q

p _ :p r ) (s ^ :s) r ) pp) q

(m) :p) r (n) 9x 2 U : p(x)r ) s ^ :s 9x 2 U : q(x)

p 9 x 2 U : p(x) _ q(x)(0) 8x 2 U : :p(x)) r(x) (p) 8x 2 U : p(x)

8x 2 U : r(x)) s(x) ^ :s(x) 8x 2 U : q(x)8x 2 U : p(x) 8x 2 U : p(x) _ q(x)

(l2) 8x 2 U : :p(x)) r(x) (m2) 8 x 2 U : p(x)8x 2 U : r(x)) s(x) ^ :s(x) 8x 2 U : q(x)9x 2 U : p(x) 9x 2 U : p(x) _ q(x)

3. Averigue si son reglas de inferencia las siguientes formas:

(a) p) q (b) (p) q) ^ (q ) p)q ) r pp) r p _ q

(c) p) q (d) p) q (e) p) q:p) :r :r ) :q :p) :qr ) p :r ) :p p ^ :r

s

(f) 9 x 2 U : p(x) (g) 8x 2 U : p(x)) q(x)9x 2 U : p(x) p(a)9x 2 U : p(x) ^ q(x) q(a)

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Logica Metodos de Demostracion

(0) 9x 2 U : :p(x)) r(x) (p) 9x 2 U : p(x)8x 2 U : r(x)) s(x) ^ :s(x) 9x 2 V : q(x)9x 2 V : p(x) 9x 2 U : p(x) _ q(x)

x6

1.6. Metodos de Demostracion

Historicamente el hombre ha tenido la necesidad de comprobar que ciertasarmaciones son verdaderas o falsas:

>Es la Tierra el centro del Universo?>Esta toda la materia formada por partculas elementales?>Comen los leones carne de venado?>La suma de los angulos de todo triangulo es igual a 180o?>Si x 2 R, entonces x2 0?>Es Jose Perez hijo de Juan Perez?

Para responder a estas interrogantes, el hombre tuvo primero que conocerel valor de verdad de otras proposiciones para, a partir de ellas, \deducir"el valor de verdad de las proposiciones originalmente planteadas. De estamanera, para concluir que \la suma de los angulos internos de cualquiertriangulo es igual a 180o" es una proposicion verdadera en la GeometraEuclideana, hubo necesidad de aceptar y conocer como verdadera que \dosrectas paralelas que son cortadas por una transversal, forman angulos alternosinternos iguales". A su vez, para aceptar la veracidad de esta proposicion,fue necesario aceptar como verdadera \por un punto P fuera de la recta l,pasa una y solo una recta paralela a l".

En este proceso de probar la veracidad de una proposicion a partir de otrascuya veracidad era conocida, el hombre descubrio que haba un momento enque no era posible comprobar la veracidad de cierto tipo de proposicionesy por esta razon algunas de ellas las acepto como verdaderas. A este tipode proposiciones se les denomina axiomas, mientras que a las proposiconesverdaderas que son deducidas a partir de proposiciones cuya veracidad esconocida o aceptada, se les denomina Teoremas.

Uno de los objetivos de este texto es iniciar al lector en la lectura y

31

Metodos de Demostracion Logica

escritura de matematicas. Esto requiere no solo del vocabulario sino tambiende sintaxis, es decir, se necesita comprender y aprender a ligar proposicionesque lleve a formar ese ente matematico conocido como demostracion.

Una demostracion de la veracidad de una proposicion p es un razona-miento valido donde las premisas del razonamiento pueden ser

(1) deniciones, o(2) axiomas, o(3) proposiciones cuya veracidad ya se ha establecido, o(4) proposiciones que se puedan implicar de (1), (2) o (3);

La conclusion del razonamiento sera la proposicion p.


aceptadas.

1.6.1. Demostraciones directas.

Tenemos el siguiente problema: Dada una proposicion t; queremosdemostrar que es verdadera.Una demostracion directa de la proposicion tconsistira en construir un razonamiento valido donde t sea la conclu-sion y todas sus premisas verdaderas, y as podremos concluir quet sera verdadera.

Ejemplos:

1. Demostremos la proposicion

t : Si n es un entero par entonces n2 es un entero par.

Sea U el conjunto de todos los enteros. Si p(x) es la proposicion abierta:\si x es un entero par x2 es entero par", queda:

t : 8x 2 U : p(x)Para demostrar que es verdadera, hay que demostrar, que para n0 2U; p(n0) es una proposicion verdadera. Si n0 2 U; p es: \n0 es un enteropar" y q es \n20 es un entero par", se puede construir el siguiente razo-namiento, donde las premisas se sabe de antemano que son verdaderas:

p) p1 : Si n0 es un entero par, entonces n0 = 2m para algun entero m.p1 ) p2 : Sin0 = 2mpara algun enterom entoncesn20 = (2m)2 para el enterom.p2 ) p3 : Si n20 = (2m)2 para m entero, entonces n20 = (2m) y 2m2 es entero.p3 ) q : Si n20 = 2(2m2)y2m2 es entero n20 es un entero par.p) q : Si n0 es un entero par, entonces n20 es un entero par.

donde:

p1 : n0 = 2m para algun entero m.p2 : n

20 = (2m)

2 para algun entero m.p3 : n

20 = 2(2m

2) y 2m2 es entero.

Este razonamiento es de la forma:

[(p) p1) ^ (p1 ) p2) ^ (p2 ) p3) ^ (p3 ) q)]) (p) q)

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Esto justica que p) q es verdadera y por tanto t es verdadera.

Nota: Tanto las proposiciones que hemos aceptado en el ejemplo comoverdaderas, as como las que usaremos en los ejemplos siguientes, sedemostraran o se aclarara si son axiomas en el captulo de numerosreales.

2. Demostraremos ahora la proposicion:

t : 1 > 0

para hacerlo directamente construmos el siguiente razonamiento vali-do:

p : 1 6= 0 ^ 12 = 1 ^ [8x 2 R; x2 0]p) p1 : 1 6= 0 ^ 12 = 1 ^ [8x 2 R; x2 0]) 1 6= 0 ^ 12 = 1 ^ 12 0p1 ) p2 : 1 6= 0 ^ 12 = 1 ^ 12 0) 1 6= 0 ^ 1 0p2 ) t : 1 6= 0 ^ 1 0) 1 > 0

t : 1 > 0

donde p1 es: 1 6= 0 ^ 12 = 1 ^ 12 0, y p2 es: 1 6= 0 ^ 1 0.

Este razonamiento es valido y como las premisas son verdaderas, po-demos concluir que t es verdadera.

Es conveniente advertir que en la literatura matematica suelen estarescritas las demostraciones de manera mas concisa, sin explicar el o losrazonamientos usados. Por ejemplo, el ejemplo 1 podra estar escritoas:

n0 es un entero par ) n0 = 2m para algun entero m ) n20 = (2m)2para el entero m) n20 = 2(2m2) y 2m2 es entero ) n20 es entero par.

Con la practica el alumno podra reconocer los razonamientos invo-lucrados en las demostraciones, as como proponer los razonamientosadecuados para la feliz realizacion de su demostracion.

3. Demostremos:

34


t : 8x 2 R : x > 0) x+ 1 > 0:

Para esto probaremos que para cada x0 2 R; x0 > 0 ) x0 + 1 > 0 esverdadera.

El siguiente razonamiento es valido

p : x0 > 0p) p1 : x0 > 0) x0 + 1 > 1 ^ 1 > 0p1 ) q : x0 + 1 > 1 ^ 1 > 0) x0 + 1 > 0

q : xo + 1 > 0

Observese que la premisa p puede no ser verdadera, pero si se supo-ne que es verdadera, como las restantes premisas, son verdaderas y elrazonamiento es valido, q resultara verdadera. Si p es falsa, con es-te razonamiento no aseguramos que q sea verdadera pero p ) q esverdadera.

En general, para demostrar que una proposicion del tipo p ) q esverdadera, bastara construir un razonamiento del tipo

pp) p1p1 ) p2

...pn ) q

q

donde todas las premisas, excepto quiza p, son verdaderas.

1.6.2. Demostraciones indirectas.

Si se logra demostrar que una proposicion equivalente a t esverdadera, se demuestra indirectamente que t es verdadera.

35


Por ejemplo, puede demostrarse indirectamente que una proposicion dela forma p) q, demostrando su contrarrecproca :q ) :p. Este metodo sellama metodo de demostracion por contraposicion.

Otra forma indirecta de demostrar es la siguiente: dada una proposiciont, si demostramos que :t es falsa, indirectamente demostramos quet es verdadera.

Demostrar que :t es falsa se puede hacer de la siguiente forma: demos-tremos que una proposicion de la forma

:t) s

es verdadera y s se asegura que es falsa (por ejemplo si s es una contradiccion1), esto justicara que t es verdadera. Esta manera de demostrar se conocecomo reduccion al absurdo o por contradiccion".

Ejemplos:

1. Demostremos por contradiccion la proposicion

t : 1 > 0

Para ello demostremos una proposicion de la forma:

:(1 > 0)) s; donde s es falsa, es decir:

(1 < 0 o 1 = 0)) s; donde s es falsa.He aqu el razonamiento construdo en esta ocasion:

:t) p1 : 1 = 0 o 1 < 0) 1 < 0p1 ) p2 : 1 < 0) 1 < 0y0 < 1p2 ) p3 : 1 < 0 y 0 < 1) 1(1) < 0(1) y 0 < 1p3 ) s : 1(n < 0(1) y 0 < 1) 1 < 0 y 0 < 1:t) s : 1 = 0 o 1 < 0) 1 < 0 y 0 < 1

s es la proposicion 1 < 0 y 0 < 1 que es falsa.1Una contradiccion es una proposicion falsa por su forma logica.

36


2. Ahora demostraremos la proposicion

t : 8 a 2 R; a > 0) 1a> 0

Sea a 2 R. Demostremos por contradiccion que:

p : a > 0) 1a> 0

es verdadera. Para esto, demostremos que :p) s, donde s es falsa. Heaqu la prueba:

:p ) p1 : a > 0 ^ a1 0) a1a 0:ap1 ) p2 : a1a 0 a ) 1 0p2 ) s : 1 0 ) 1 0 ^ 1 > 0:p) s : a > 0 ^ a1 0) 1 0 ^ 1 > 0

Aqu s es la proposicion falsa: 1 0 ^ 1 > 0

3. Demostraremos la proposicion

t : 8n 2 Z : n2 es impar ) n es impar.

Sea n0 2 Z. Probemos por contraposicion que la implicacion:

n20 es impar ) n0 es impar

es verdadera.

Esta proposicion es de la forma r ) s, donde r es: \n20 es impar" y ses \n0 es impar". La contrarrecproca es:

n0 no es impar ) n20 no es impar

es decir:

n0 es par ) n20 es par

La demostracion de esta ultima proposicion se hizo ya. (ver ejemplo 1pagina 33).

37


4. Ahora demostraremos la proposicion

t : 8 a 2 R : a > 0) 1a> 0

de forma distinta a la realizada en el ejemplo 2.

Sean a 2 R. Demostraremos que a > 0 ) 1a> 0 es verdadera. La

contrarrecproca de esta proposicion es:

1

a 0) a 0

una demostracion de dicha contrarrecproca es:

a1 0 ) a1 < 0 y a2 0a1 < 0 y a2 0 ) a2a1 < a2 0

a2a1 a2 0 ) a 0a1 0 ) a 0

Puede demostrarse indirectamente que una proposicion de la forma(p_ q)) r es verdadera, demostrando que la conjuncion [(p) r) ^ (q ) r)]es verdadera ya que estas proposiciones son equivalentes. Por ejemplo, de-mostraremos que:

t : 8x 2 R : x > 0 _ x < 0 ) x2 > 0

Sea a 2 R. Probaremos que: a > 0 _ a < 0 ) a2 > 0 es verdadera.Demostraremos que

(a > 0) a2 > 0) ^ (a < 0) a2 > 0)es verdadera. Los siguientes razonamientos demuestran que (a > 0) a2 > 0)es verdadera y que (a < 0 ) a2 > 0) es verdadera y por tanto, que suconjuncion tambien es verdadera.

a < 0a > 0 a < 0) a > 0a > 0) a a > a 0 a > 0) (a)(a) > (a) 0

a a > a 0) a2 > 0 (a)(a) > (a) 0) a2 > 0a2 > 0 a2 > 0.

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1.6.3. Ejemplos y contraejemplos

A veces se requiere que una armacion del tipo

8 x 2 U : p(x)es falsa. Para hacerlo basta probar que su negacion,

9x 2 U : :p(x)es verdadera. En otras palabras, para comprobar la falsedad de una proposi-cion: 8 x 2 U : p(x), basta encontrar algun x0, elemento de U , para el cualp(x0) es falsa.

A este metodo se le denomina demostracion por contraejemplo.

Analogamente, si se requiere demostrar que una armacion del tipo

9 x 2 U : p(x)es verdadera, bastara encontrar un elemento de x0 de U tal que p(x0) esverdadera. Es decir, x0 es un ejemplo que demuestra la proposicion en cues-tion.


1. Demuestre directamente que:

a) 8 x 2 R: si x > 5 entonces x > 3.b) Si a y b son reales entonces a = 0 o b = 0 ) a b = 0. (Use que8 x 2 R; x 0 = 0.)

c) Si m y n son enteros impares, entonces m+ n es entero par.

d) Si m y n son enteros impares, entonces mn es entero impar.

2. Demuestre por contraposicion que:

a) a b 6= 0) a 6= 0 y b 6= 0, (a; b 2 R).b) x2 < 0) x =2 R.c) Si mn es par entonces m es par o n es par (m; n enteros).

3. Demuestre por contradiccion:

a) Si x es racional y y es irracional, entonces x + y es un numeroirracional.

b) Si x es racional y y es irracional, entonces x y es un numeroirracional.

(Para estos ejercicios use que la suma y resta de racionales esracional).

4. Demuestre por contraejemplo la falsedad de las siguientes proposicio-nes:

a) Para cualesquiera enteros a; b; c; d con b 6= 0 y d 6= 0,a

b+c

d=a+ c

b+ d:

b) Para cualesquiera a; b reales positivos,pa+ b =

pa+

pb.

c) Para cualquier a 2 R, pa2 = a.5. Demuestre las siguientes proposiciones:

a) (8x 2 R : x2 + 6 = 10) es falsa.b) (8x 2 f2; 2g; x2 + 6 = 10) es verdadera.

40


c) (9x 2 R : x2 + 6 = 0) es verdadera.d) (8x 2 R : x > 2) x2 + 6 = 0) es falsa.e) (8x 2 R : x2 < 0) x2 + 6 = 10) es verdadera.

41


42

Logica Apendice 1

1.7. Apendice 1

1. Consideremos el conectivo logico \o". Se puede interpretar la proposi-cion compuesta \p o q" de dos maneras:(a) \p o q o ambas".(b) \p o q, pero no ambas"La interpretacion (a) la estudiamos sucientemente en el texto. Es el\o" inclusivo que denotamos con _.La interpretacion de (b) es el \o" exclusivo denotado por _. Aparecemucho en la vida cotidiana, como en la siguiente frase:

\El sabado a las 6 de la tarde tengo dos opciones: o voy al partido defutbol, o voy a la esta"

Se entiende que no se pueden realizar las dos actividades.

La tabla de verdad del \o" exclusivo sera, por supuesto,

p q p _ qV V F

F V V

V F V

F F F

Una razon plausible para estudiar el \o" exclusivo es su uso en propo-siciones como el axioma de tricotoma (Denicion O1, del captulo 3,pagina 77), aunque en dicho axioma se componen 3 proposiciones y nosolamente 2.

Quiza tendramos que denir:

Denicion 1.7.1 Sea n 2 N. Si p1; p2; : : : ; pn son n proposiciones logi-cas,

p1 t p2 t : : : t pnes la proposicion que es verdadera si y solo si exactamente una de lasproposiciones p1; p2; : : : ; pn es verdadera.

43

Apendice 1 Logica

Tres ejercicios inmediatos seran:

a) Demuestre que p t q p_ qb) Pruebe que p t q t r 6= p_ (q_ r)c) Demuestre que p _ q (p_ q)_ (p ^ q)

Dadas las proposiciones p, q y r, demostrar que:

d) p_ (q _ r) (p_ q)_ re) p ^ (q _ r) (p ^ q)_ (p ^ r)f ) (q _ r) ^ p (q ^ p)_ (r ^ p)g) p_ (q ^ r) 6= (p_ q) ^ (p_ r)

2. Entre los razonamientos validos que podramos estudiar, esta el siguien-te:

P tQ tRp t q t rP ) pQ) qR) r(P ) p) ^ (Q) q) ^ (R) r)

Es un bonito ejemplo de un razonamiento en el que la demostracion desu validez por medio de tablas de verdad es poco menos que imposible(

Logica Apendice 1

I.5 \En todo triangulo isosceles, los angulos que se oponen a los ladosiguales son todos iguales"

Es decir, en todo triangulo 4ABC, a = b) \A = \B

A

B

C

a

b

c

I.6 \Si en un triangulo dos angulos son iguales, los lados que se oponena dichos angulos, son tambien iguales"

Es decir, en todo triangulo 4ABC, \A = \B ) a = bI.18 \ En todo triangulo, el lado mas grande se opone al angulo mas

grande"

As, en todo triangulo 4ABCa > b) \A > \B yb > a) \B > \A

I.19 \En todo triangulo, el angulo mas grande es subtendido por ellado mas grande"

Es decir, en todo triangulo 4ABC\A > \B ) a > b y\B > \A) b > a

Vamos a demostrar, como De Morgan, las proposiciones I.6 y I.19,suponiendo que I.5 e I.18 son verdaderas.

Sea4ABC un triangulo cualquiera con lados a, b y c opuestos, respecti-vamente, a los angulos interiores con vertices en A, B y C. Entonces, elsiguiente razonamiento es valido y sus premisas son verdaderas, as quela conclusion es verdadera.

45

Apendice 1 Logica

Tricotoma a = b t a > b t a < bTricotoma \A = \B t \A > \B t \A < \BI.5 a = b) \A < \BI.18 a > b) \A > \BI.18 a < b) \A < \BI.6 e I.19

(\A = \B ) a = b) ^ (\A > \B ) a > b) ^ (\A < \B ) a < b)

46

Logica Apendice 2

1.8. Apendice 2

No esta de mas que el lector tenga presente la siguiente lista de tautologaspues, si duda, le seran utiles en la construccion de demostraciones.

1. (p) q), (:q ) :p)2. (p, q), [(p) q) ^ (q ) p)]3. (p, q), [(p) q) ^ (:p) :q)]4. p _ :p5. [p ^ (p) q)]) q6. [:q ^ (p) q)]) :p7. [:p ^ (p _ q)]) q8. [p ^ q]) p9. [(p) q) ^ (q ) r)]) (p) r)10. [(p _ q)) r], [(p) r) ^ (q ) r)]11. [(p ^ q)) r], [p) (q ) r)]12. [(p) q) ^ (r ) s) ^ (p) r)]) (q _ s)13. [p) (q_ r)], [(p^:q)) r] y si t es una contradiccion, es decir, una

proposicion falsa por su forma, tambien son tautologas:

14. (p ^ :p), t15. (: ) t), p16. (p) q), [(p ^ :q)) t]

47

Apendice 2 Logica

48

Captulo 2

CONJUNTOS

x1

2.1. Introduccion

Comenzaremos a hablar de conjuntos, tratando de ponernos de acuerdoacerca de lo que vamos a entender por conjunto. Esto no es nada simple,ya que conjunto es un concepto bastante primitivo, analogo al concepto depunto o de la recta. De un punto se dice que es aquello que no tiene parteo dimension; de una recta se dice que es una longitud sin anchura que tienetodos sus puntos en la misma direccion; nalmente, de un conjunto sueledecirse que es una coleccion o reunion de objetos. Las \deniciones" de estostres conceptos hacen uso de otras palabras que tendamos que haber denidoantes: >que es una dimension?, >que es una longitud?, >que es una colec-cion?, >que es una reunion?. Las palabras coleccion y reunion no son masque sinonimos de la palabra conjunto. Al decir que conjunto no es mas queuna reunion de objetos, no estamos caracterizando los conjuntos sino solodando una idea: la idea de que un conjunto es algo que tiene objetos, algoque tiene elementos.

Podemos hablar por ejemplo del conjunto de los arboles de C.U., delconjunto de los coches estacionados en el patio de la escuela, del conjuntode las monta~nas de Puebla, del conjunto formado por los numeros 2, 4, 6,8 y 10; del conjunto de nuestros parientes, del conjunto de los libros de unabiblioteca, del conjunto de las bibliotecas de Puebla, del conjunto de rectas

49

Introduccion Conjuntos

en un plano que pasan por un punto dado, del conjunto de factores queinuyen en un problema, del conjunto de metodos que permiten resolver eseproblema.

En la mayora de estos conjuntos hay una relacion clara (denida explci-tamente) entre sus elementos, en el sentido de que existe una propiedadcomun que los dene. Por ejemplo, todos los elementos del conjunto de mon-ta~nas de Puebla, tienen esa propiedad comun, la de ser monta~nas de Puebla.

Cada vez que decimos \el conjunto de objetos con cierta propiedad", aparte de hacer mencion de alguna caracterstica particular de los elementosdel conjunto, parece que estamos hablando de un conjunto bien denido enel sentido de que se pueden conocer cuales son sus elementos y cuales no loson.

Si decimos \el conjunto de todos los borregos gordos", cabe preguntar>que tan gordo es gordo?. Si nos muestran algun borrego, >como podemossaber si es gordo o no?, >podemos considerar al conjunto de todos los borregosgordos como un conjunto bien denido?.

Otro ejemplo de un conjunto del que no podemos conocer sus elementoses el siguiente \El conjunto de los diez mejores musicos del mundo"; son losmejores >segun quien?. El problema que se presenta con este tipo de \conjun-tos" puede subsanarse faclmente si nos ponemos de acuerdo en los criteriosde calicacion de los objetos, por ejemplo, si nos ponemos de acuerdo en queun borrego gordo es aq'el que pesa mas de 100 kg. o en que un buen musico esel que ha vendido mas de dos millones de discos y que los diez mejores musi-cos son los diez primeros que lo logren, entonces se desvanece el problema enestos ejemplos particulares. Sin embargo, el determinar los elementos de unconjunto sabiendo que son los que satisfacen cierta propiedad, sigue siendocomplicado. Para ilustrar esta armacion, construiremos \un conjunto" enel que sera mas difcil ponerse de acuerdo en un criterio que permita denirbien el conjunto:

Se cuenta que en un lejano poblado de un antiguo emirato, haba unbarbero llamado As-Samet, \ducho en afeitar cabezas y barbas, maestro enescamondar pies y piernas, y en poner ventosas y sanguijuelas". Un da elEmir, dandose cuenta de la escacez de barberos del emirato, dio ordenes de

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Conjuntos Introduccion

que todos lo barberos del emirato solo afeitaran a aquellas personas que nopudieran hacerlo por s mismas (todas las personas del pueblo tienen que serafeitadas, ya sea por el barbero o por ellas mismas). Un cierto da el barberofue llamado a afeitar al Emir y le conto a este sus congojas.

| En mi pueblo soy el unico barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarmepor m mismo y por lo tanto no debera afeitarme el barbero de mipueblo pertenece al conjunto?, se puede dar una respuesta claray segura: s o no. Sin embargo, aunque parezca extra~no, resulta conveniente

51


hablar acerca de conjuntos sin elementos, de \conjuntos vacos". Por ejemplo,del \conjunto de los perros que hablan", del \conjunto de los dinosaurios vivosque existen en Africam", del \conjunto de las personas de mas de doscientosa~nos de edad", el \conjunto de los numeros menores que 6 y mayores que 7".

A pesar de no tener elementos, estos \conjuntos vacos" satisfacen lapropiedad mencionada arriba, porque dado cualquier objeto, a la pregunta>pertenece al conjunto? podemos responder diciendo no. Dichos \conjuntos"estan bien denidos en este sentido y de hecho son distintas descripciones deun mismo conjunto sin elementos el conjunto vaco (esto se entendera mejorcuando se precise el concepto de igualdad de conjuntos). Vamos a aceptar aeste \conjunto" como un conjunto y lo denotaremos por el smbolo ?, o conel smbolo fg.

Con este ejemplo observamos que el no poseer elementos no anula lacalidad de ser conjunto.

A los objetos (si los hay) que forman un conjunto, les llamaremoselementos de dicho conjunto. Ahora bien, si A es un conjunto, la propo-sicion \x es elemento de A" se denotara por x 2 A. La negacion de estaproposicion, es decir, la proposicion \x no es elemento de A" se denotara porx =2 A. (x 2 A suele leerse tambien \x pertenece a A").

Por ejemplo, si A es el conjunto de los primeros tres numeros naturalespares, entonces 2 2 A, 4 2 A, 6 2 A, 24 =2 A, 9 =2 A, son proposicionesverdaderas.

Note que \pertenencia" es una relacion que vincula cada elemento con unconjunto; no es una relacion entre elementos de un conjunto.

Podemos representar a un conjunto de dos maneras: diciendo explcita-mente cuales son sus elementos, o enunciando alguna propiedad que caracte-riza a esos elementos, es decir, alguna propiedad que cumplan los elementosdel conjunto, pero que solo ellos la cumplan. En el ejemplo de arriba se puededenir: los elementos de A son 2; 4; 6, o bien A es el conjunto cuyos elementosson los tres primeros numeros naturales pares.

Si B es el conjunto cuyos elementos son: Oaxaca, Tlaxcala, Morelos, Esta-

52


do de Mexico, Guerrero, Hidalgo y Veracruz, B se puede describir diciendo:B es el conjunto de todos aquellos estados que colindan con el Estado dePuebla.

Si enumeramos todos los elementos de un conjunto, decimos que lo hemosrepresentado por extension, mientras que si enunciamos una propiedaddenitoria de los elementos del conjunto, se dice que esta representado porcomprension. Convendremos en escribir entre llaves a los elementos de unconjunto cuando este representado por extension. As, nuestro conjunto Bqueda representado por extension de la siguiente manera:

B = fGuerrero, Morelos, Oaxaca, Tlaxcala, Edo. de Mexico, Hidalgo, VeracruzgLa representacion por extension es sumamente sencilla y no da lugar a

ambiguedades. Sin embargo, no todos los conjuntos se pueden representarenumerando sus elementos. Por ejemplo, si A es el conjunto de los numerosnaturales, lo mas cercano a una representacion de A por extension es:

A = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; : : :g;representacion que no es precisa, aunque en este caso da una idea de aque conjunto nos estamos reriendo. Mas patetico es el caso del conjuntode los numeros reales que, a parte de ser innito, no lo podemos escribir \or-denadamente". Para este tipo de conjuntos, se preere la representacion porcomprension, que ademas proporciona un criterio practico para determinar siun elemento arbitrario pertenece o no a un conjunto determinado: los objetosque poseen la propiedad y solo ellos, pertenecen al conjunto. A su vez, estonos obliga a precisar con toda claridad la propiedad denitoria, para evitarambiguedad e incertidumbre.

Si H es un conjunto, p una propiedad que dene a los elementos de H,suele escribirse:

H = fx j x tiene la propiedad pg;para indicar que \H es el conjunto de todos los objetos x tales que x tienela propiedad p" (la barra vertical j se lee: \tal que"). Hay que advertir que elsmbolo x que hemos adoptado para denotar los elementos de un conjunto,es enteramente arbitrario y que podemos emplear y, z, w, etc. Por ejemplo,Si A es el conjunto de los numeros naturales, se puede escribir

A = fy j y es un numero naturalg;

53


o si B = fa, e, i, o, ug, entonces B se puede escribir por comprension as:B = fw j w es una vocal del alfabeto espa~nolg:

Observemos que puede ocurrir que algun elemento de un conjunto tam-bien sea un conjunto. Por ejemplo, el conjunto

f1; f2; 3g; 4; f5; 6ggtiene 4 elementos, dos de los cuales son conjuntos: f2; 3g y f5; 6g.

Los siguientes ejemplos muestran al menos una de las caractersticas men-cionadas antes:

Ejemplos:

1. El conjunto de numeros naturales positivos que tienen la propiedad deque al elevarlos al cubo nos dan un numero menor que 100, tambien sepuede escribir como:

f1; 2; 3; 4; g.

2. Al conjunto

fn jn es un numero entero y n3 = ngtambien lo podemos escribir como f1; 0; 1g >o no?

3. >Se podran construir conjuntos A, B y C que tengan las propiedades:A 2 B, B 2 C y a =2 C ?Un analisis sencillo muestra que los conjuntos A = f1g, B = ff1g; 2gy C = f1; ff1g; 2g; 3g satisfacen las propiedades solicitadas.

Ejercicios 1.

1. Determinar cuales de los siguientes conjuntos estan representados porextension y cuales por comprension.

a) A es el conjunto de todos los habitantes de Puebla.

54


b) B = f10; x; 3xg.c) C es el conjunto de los numeros naturales.

d) D es el conjunto de todos los numeros naturales x tales que x > 5,x < 9 y x 6= 7.

e) E = fx j x 2 C; x es par, x > 5; y x < 9g.f ) F = f6; 8gg) G = fx j x es una recta del planogh) H es el conjunto de las bibliotecas de Puebla.

i) I es el conjunto de todos los libros de todas las bibliotecas dePuebla.

j ) J = ffx j x 2 Cg; fx j x 2 Egg.k) K = ffx j x 2 Eg; 6g.l) L = f0; f1; 2g; 3; 4g.

2. Siguiendo con la notacion del ejercicio 1, responda las siguientes pre-guntas.

a) Si x es un libro, >es cierto que x 2 H?b) >La biblioteca Nicolas Copernico es elemento de H?

c) >Es cierto que 2 2 J?d) >Es cierto que 6 2 K?e) >Es cierto que 2 2 C?

3. Representar por extension los conjuntos siguientes.

a) A = fx j x es natural y x2 < 20g.b) B = fx j x es natural x > 1; x 21 y x es imparg.c) C = fx j x es entero y x2 + 1 20g.d) D = fx j x es natural y x = 4 o bien x = 6g.e) E = fx j x es real y x2 = 1g.

55

Conjunto Universal Conjuntos

x22.2. Conjunto Universal

Cuando hablamos de una propiedad que caracteriza a los elementos deun conjunto dado, generalmente esta propiedad se reere a un conglomeradode objetos de cierto tipo. Por ejemplo, si p es la propiedad de ser vocal delabecedario, esta es una propiedad que se reere a las letras del alfabeto yno por ejemplo a seres humanos o a materiales para construccion de casaso a estrellas del rmamento. En la teora de Conjuntos que estamos desa-rrollando, trabajaremos a veces con varios conjuntos cuyos elementos sontodos del mismo tipo, es decir, pertenecen todos a un mismo conglomeradode cosas, al que podemos llamar conjunto universal. Por ejemplo, en elsiguiente captulo de este curso, trabajaremos con numeros reales, raciona-les, irracionales, enteros, naturales; pero todos estos son numeros reales. Elconjunto de los numeros reales juega el papel de conjunto universal, pues nose hara mencion de otro tipo de objetos.

En el analisis de una situacion particular, dicho conjunto universal U ,consta de todos los elementos a los que se pueda referir esa situacion. Es algoas como la fuente de todos los elementos que forman parte de los conjuntossobre los que vamos a trabajar en esa situacion particular; el conjunto endonde tendran sentido las propiedades que caracterizan a los elementos deesos conjuntos.

No es difcil convencerse de que el conjunto universal no es unico; dependedel problema que se este considerando y puede cambiar segun la situacion deque se trate. Podemos elegirlo a nuestra conveniencia a relativa libertad. Porejemplo, si los conjuntos a considerar son: Los futbolistas, los beisbolistas,los tenistas, los esquiadores y los nadadores, el universo mas adecuado es elde los deportistas, aunque tambien servira el de los seres humanos y el delos animales (biologicamente hablando).

Debemos subrayar que esta libertad de eleccion es relativa: al analizaruna situacion determinada, una vez que se ha decidido cual es el conjun-to universal U , este conjunto permanece jo y todos los demas conjuntosmencionados en la misma situacion se forman con elementos de U .

Es comun usar diagramas para representar al conjunto universal U ya los conjuntos formados con elementos de U . Al conjunto universal se le

56

Conjuntos Subconjuntos

puede representar con un crculo grande o con un rectangulo o alguna otragura dentro de la cual se dibujen otras guras que representen a los demasconjuntos, como indicando con ello que todos los elementos de estos conjuntosestan en U

U

CBA

Figura 2.1: A, B y C son subconjuntos cuyos elementosestan en U

A un diagrama de este tipo se le llama comunmente diagrama de Venn

x32.3. Subconjuntos

Dentro de un conjunto universal U , pueden existir dos conjuntos A y Bcon la propiedad de que todo elemento de A es un elemento de B, es decir,con la propiedad de que

8x 2 U : a 2 A) x 2 B

es una proposicion verdadera.

Tal situacion la representaramos mediante un diagrama de Venn, porejemplo as:

A

BU

U

B

A

57

Subconjuntos Conjuntos

Ejemplos:

1. Sea U el conjunto de letras del alfabeto espa~nol y sean A =fa, e, i, o, ug y B el conjunto de letras de la palabra murcielago. Escritopor extension:

B = fm, u, r, c, i, e, l, a, g, og

Los elementos de A son tambien elementos de B.

2. Sea U el conjunto de los seres vivos y sean A el conjunto de las personasmayores de 18 a~nos y B el conjunto de los organismos pluricelulares.Cada elemento de A es elemento de B >o no?

Denicion 2.3.1 Supongamos que A y B son conjuntos cuyos elementosestan en un conjunto universal U . Diremos que el conjunto A es subconjuntodel conjunto B si todo elemento de A es tambien elemento de B, es decir, sila proposicion

8 x 2 U : x 2 A) x 2 Bes verdadera.

Denotaremos a la proposicion \A es subconjunto de B" como

A B:

Algunas consecuencias sencillas de esta denicion son las siguientes.

Sea U un conjunto universal cualquiera y A, B y C conjuntos cuyoselementos estan en U . Entonces son verdaderas:

a) A U , b) A A,c) Si A B y B C entonces A Cd) ? ADemostracion:

a) Por hipotesis, los elementos de A son elementos de U .

b) Es claro que la proposicion 8x 2 U : (x 2 A ) x 2 A) es verdadera yentonces A A es verdadera.

58

Conjuntos Subconjuntos

c) Supongamos que A B y B C son verdaderas. Esto signica que lasdos proposiciones siguientes son verdaderas

8 x 2 U : x 2 A) x 2 B y8 x 2 U : x 2 B ) x 2 C

De esto se concluye que la proposicion

8 x 2 U : x 2 A) x 2 Ces verdadera (Decir por que)

d) Si x 2 U , la proposicion x 2 ? es falsa y por lo tanto la implicacionx 2 ?) x 2 A es verdadera.Como esto es cierto para cualquier elemento x de U , la proposicion 8 x 2U : x 2 ?) x 2 A es verdadera.

La proposicion \A no es subconjunto de B", se acostumbra escribir as:

A * B:

A * B es la negacion de A B, es decir, es equivalente a la proposicion.9x 2 U : x 2 A y x 6= B:

Ejemplos:

1. Supongamos que A = f1; 2g y B = f1; 2; 5g. Como (2 2 A y 2 =2 B)es verdadera, A * B es verdadera.

2. Supongamos que A = f?g. Como (? 2 A y ? =2 ?) es verdadera,A * ? es verdadera.

3. Consideremos los conjuntos:

A = f2; 3; 4; 5g, B = fn jn es un numero natural parg y C =fx j x es un numero natural menor que 6g. entonces, las proposicionesf2; 3g A, A C, f10; 8; 6g B y C * A son verdaderas, mien-tras que C B, f3g 2 A, 5 2 B y C A son proposiciones falsas.Compruebe el lector estas armaciones.

59

Igualdad de conjuntos Conjuntos

x4

2.4. Igualdad de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, subconjuntos de U (

Conjuntos Igualdad de conjuntos

2. Sea U el conjunto de las letras del alfabeto espa~nol. Sean A el conjuntode las letras de la palabra \alumno" y B el conjunto de letras de lafrase \no mula". Entonces A = B es verdadera.

3. A = f4; 8; 23; 3g, B = f(2)2; 8; 3g. Entonces A = B es verdadera.>Por que?

4. Es verdadera: ? 6= f?g, pues ya habamos visto que f?g no es sub-conjunto de ?.

5. En el ultimo ejemplo de la seccion anterior son verdaderas las proposi-ciones A 6= B, B 6= C y A 6= C.

Ya hemos dicho que para que dos conjuntos A y B sean igualitos, senecesita que (A A ^ B A) sea verdadera. >Que pasara si solamentetuvieramos que A B es verdadera pero B A es falsa?. En este caso todoslos elementos de A son tambien elementos de B, pero no al reves, es decir,existe al menos un elemento de B que no es elemento de A. Entonces A y Bson distintos.

Denicion 2.4.2 Sean A y B subconjuntos de U . Cuando A B y A 6= Bson verdaderas, diremos que A es un subconjunto propio de B. Simboli-zaremos con

A ( B

a la proposicion \A es subconjunto propio de B".

Nota: No confundir A ( B con A * B.

Ejemplos:

1. Sea U el abecedario espa~nol. Sea B el conjunto de letras de la palabracaperucito y A = fa, e, i, o, ug. Entonces A ( B es verdadera.

2. Sea U el conjunto de todos los libros, sea B el conjunto de libros dela biblioteca \Niels Bohr" y sea C el conjunto de libros de Qumicade la misma biblioteca. Entonces C ( B es verdadera, porque el libro\Geometric Transformations" de I. N. Yaglom no es de qumica y sedice que esta en la biblioteca Niels Bohr.

61

Igualdad de conjuntos Conjuntos

3. En el Ejemplo 3 de la seccion anterior A ( C.

Ejercicios 2.

1. Consideremos los siguientes conjuntos

P = fr, s, t, u, v, wg; Q = fu, v, w, x, y, zg;

R = fs, u, y, zg; S = fu, vg; T = fs, ug;V = fsg; Z = ?:

Diga cual o cuales de estos conjuntos:

a) Son subconjuntos de P y de Q unicamente.

b) Son subconjuntos de R pero no de Q.

c) No son subconjuntos de R pero s de Q.

d) No son subconjuntos de P ni de R.

e) Son subconjuntos de todos.

2. Diga si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones y explqueseel por que.

a) ? ?, b) 5 = f5g, c) ? 2 ?, d) 3 2 f3; 5g,e) fa, b, cg = fc, b, d, e, ag, f) ? f1; 2; a, bg, g) 0 2 ?,h) 4 2 ff1; 4g; f2; 4gg, i) f3; 4g 2 ff1; 2g; f3; 4gg,j) f2; 4g = ff2g; f4gg, k) fpg = fp; ?g, l) f?; 0; 1g = f?; 1g;m) f?g, n) f2 2g = f0g, ~n) ? = f?g,o) fx j x 2 N^; x < 3g = f2; 1g, p) fx j x 2 N ^ 1 < x < 2g = f0g,q) fa, ig 2 fa, e, i, o, ug r) fe, ig fa, e, i, o, ug.

3. Determine el conjunto S formado por los subconjuntos de mas de doselementos del conjunto fa, b, c, d, eg. Responda lo siguiente: >El con-junto fa, b, cg es subconjunto de S?, >ffa, b, cgg S. Fundamente susrespuestas.

4. Colocar un signo = o 6= segun corresponda.a) fa+ b; (b a)(b+ a); a+ ag fb2 a2; 2a; a+ bg.

62

Conjuntos Igualdad de conjuntos

b) f5 + 1; 7; 34 + 16; 0g f5 5; 50; 6; 8 1g.c) f34; p1; 52; 25g f81; 12; 25g.d) f34; p1; 52; 25g f81; 12; 25g.e)

015; 4

4; 1 f0; 1g

5. Dado el conjunto K = f500; 17; 315g, determine los conjuntos L talesque la proposicion (f500g L y L K y L 6= K) es verdadera.

6. Sea U el conjunto de numeros naturales y sean A = fx 2 U j x 5gy B = fx 2 U j 1 4 3xg. Pruebe que A = B (Sugerencia:Demuestre que: 8 x 2 U : (x 5, 1 4 3x) es verdadera).

63

Construccion de nuevos conjuntos a partir de otros Conjuntos

x5

2.5. Construccion de nuevos conjuntos a

partir de otros

Sea U un conjunto universal y sea A = fx 2 U j p(x)g, donde p(x) esuna proposicion abierta en U . Es claro que A es subconjunto de U . Podemosformar un conjunto que conste de aquellos elementos de U que no satisfa-cen p(x), es decir, para los cuales :p(x) es verdadera. A este conjunto lellamaremos el complemento del conjunto A en U . Lo denotaremos por A{.As pues

A{ = fx 2 U j :p(x)g = fx 2 U j x =2 Ag:Es decir, A{ es el conjunto de los elementos de U que no pertenecen al

conjunto A.Empleando los llamados diagramas de Venn, vemos que si el universo U

esta representado por todos los puntos que estan dentro de un rectangulo (oalguna otra gura) y A esta representado por los puntos que estan dentrode un crculo (por ejemplo) que este dentro del rectangulo, entonces A{ es-tara representado por los puntos que estan dentro del rectangulo pero fueradel crculo.

cA

U

A

Ejemplos:

1. Si U = f1; 2; 3; 4g y A = f1; 3g, entonces A{ = f2; 4g2. Si U = f1; 2; 3; 4; 5; : : :g y A = fn j n es natural y x es parg, entonces

A{ = fn 2 U j n no es parg = fn 2 U j n es imparg

64

Conjuntos Construccion de nuevos conjuntos a partir de otros

3. Sea U el conjunto de alumnos de Calculo Diferencial que se imparte enla Facultad de Ciencias Fsico{Matematicas. Sea

A = fx 2 U j x aprobo el curso de Calculo Diferencialg. EntoncesA{ = fx 2 U j x saco menos de 6 en el curso de Calculo Diferencialg.

4. Observemos que el complemento de un conjunto A depende del con-junto universal donde se estan considerando los elementos de A; porejemplo, si A = f1; 2; 3; 4g y el universo es el conjunto de los numerosnaturales menores que 6 entonces, A{ = f5g; sin embargo, si consi-deramos ahora al conjunto de los numeros naturales menores que 10,tendramos que A{ = f5; 6; 7; 8; 9g.

Algunas propiedades:

Sea U un conjunto universal

a) Para todo conjunto A, subconjunto de U , (A{){ = A.

b) ?{ = U .

c) U { = ?.

d) A B ) B{ A{.

Demostracion:

a) Sea A = fx 2 U j p(x)g. A{ = fx 2 U j :p(x)g.

(A{){ = fx 2 U j :(:p(x))g

Como 8 x 2 U : :(:p(x)), p(x) es verdadera, entonces (A{){ = A.

b) Sea C(x) una proposicion abierta en U tal que para toda x 2 U , C(x) esfalsa. Entonces ? = fx 2 j C(x)g, y ?{ = fx 2 U j :C(x)g.Como :C(x) es verdadera para cada x 2 U , por lo tanto ?{ = U .

c) Ejercicio.

65


d) Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera de U .

A B ) 8 x 2 U : (x 2 A) x 2 B)) 8 x 2 U : (:(x 2 B)) :(x 2 A))) 8 x 2 U : (x =2 B ) x =2 A)) 8 x 2 U : x 2 B{ ) x 2 A{) B{ A{:

Nota: De aqu en adelante omitiremos la frase \es verdadera", salvo cuandosea necesaria.

Denicion 2.5.1 Si A y B son subconjuntos de U , entonces

a) La Union de A y B es el subconjunto de U formado por aquellos elemen-tos que estan en A o bien estan B. Se denota por A [B, es decir

A [B = fx 2 U j x 2 A _ x 2 Bg

b) La Interseccion de A y B es el conjunto formado por los elementos deU que estan en A y estan en B. Se denota por A \B, es decir

A \B = fx 2 U j x 2 A ^ x 2 Bg

Si p(x) y q(x) son proposiciones abiertas en U tales que

A = fx 2 U j p(x)g y B = fx 2 U j q(x)gse tiene que

A [B = fx 2 U j p(x) _ q(x)gA \B = fx 2 U j p(x) ^ q(x)g

Ejemplos:

B

A

U

A

B

Figura 2.2: Ejemplos: 1.- En la gura izquierda A [ B eslo rayado. 2.- En la gura derecha, lo rayado esA \B.

66


3. Si A = f1; 3g y B = f1; 2g, entonces A [B = f1; 2; 3g y A \B = f1g.

4. Si A = fx j x es natural y parg y B = fx j x es natural e imparg, enton-ces A [B = fx j x es naturalg y A \B = ?.

Propiedades:

Para cualesquiera A, B y C subconjuntos de U , se tiene

a) A [B = B [ Ab) A \B = B \ Ac) (A [B) [ C = A [ (B [ C)d) (A \B) [ C = A \ (B [ C)e) A [ A{ = Uf) A \ A{ = ?g) A [? = Ah) A \ U = A

i) A [ U = Uj) A \? = ?k) A A [B y B A [Bl) A \B A y A \B B

m) A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C)n) A \ (B [ C) = (A \B) [ (A \ C)~n) (A [B){ = A{ \B{

o) (A \B){ = A{ [B{

A las propiedades ~n) y o) se les llama leyes de D'Morgan.

Demostracion: (de algunas propiedades)

j) A\? = fx 2 U j x 2 A ^ x 2 ?g = ? ya que para cualquier elementox 2 U , x 2 A ^ x 2 ? es falsa.

l) A \ B = fx 2 U j x 2 A ^ x 2 Bg. Pero para cada x 2 U , sonverdaderas

x 2 A ^ x 2 B ) x 2 A y x 2 A ^ x 2 B ) x 2 B;

y por lo tanto A \B A y A \B B.

67


m) Para cada x 2 U son verdaderas las bicondicionales siguientes

x 2 A [ (B \ C) , (x 2 A) _ x 2 (B \ C), (x 2 A) _ (x 2 B ^ x 2 C), (x 2 A _ x 2 B) ^ (x 2 A _ x 2 C), x 2 A [B ^ x 2 A [ C, x 2 (A [B) \ (A [ C):

) 8 x 2 U : x 2 A [ (B \ C), x 2 (A [B) \ (A [ C);o sea

A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C):

~n) A [B = fx 2 U jx 2 A _ x 2 BgPor eso (A [B){ = fx 2 U j :(x 2 A _ x 2 B)g. Pero

8x 2 U : (:(x 2 A _ x 2 B), x =2 A ^ x =2 B) :

Por lo tanto

(A [B){ = fx 2 U j x =2 A ^ x =2 Bg = A{ \B{:

Dados los conjuntos A y B, subconjuntos de U ,

A \B{ = fx 2 U j x 2 A y x =2 Bg;

es decir, A\B{ esta formado por los elementos de U que estan en A pero noestan en B. Es un \complemento relativo" y suele llamarse a este conjuntola diferencia de A y B y de denota por AB.

En el caso particular en que A = U , AB coincide con el complementode B.

Nota: AB es distinto de B A.

Ejemplos:

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1. Sean A = f1; 3; 5; 7; 9; 11; 13g y B = f1; 2; 3; 5; 8; 13; 21g sobre elconjunto universal

U = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21g;entonces:

AB = f7; 9; 11gB A = f2; 8; 21g,A \B = f1; 3; 5; 13g,A [B = ff1; 2; 3; 5; 7; 8; 9; 11; 13; 21g,U A = f2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21g = A{,(A \B) A = ?,(A [B) A = f2; 8; 21g y(AB) (B A) = f7; 9; 11g.

2. Del ejercicio anterior calcular U B.3. Sea N = f1; 2; 3; 4; 5; : : :g, entonces (Nf1g)f2g = Nf1; 2g, ya

queN f1g = fn 2 N jn 6= 1g y por ende

(N f1g) f2g = fn 2 N j n 6= 1 y n =2 f2gg= fn 2 N j n 6= 1 y n 6= 2g= fn 2 N j n =2 f1; 2gg = N f1; 2g:

4. AB es la region sombreada en la siguiente gura

U

B

A

69


Para que el educando se familiarice con la union, interseccion, complemen-to y diferencia de conjuntos, demostraremos algunos teoremas que involucranestos aspectos.

1. Sea U un conjunto universo; A y B subconjuntos de U .

a) Si A B entoncesi) A \B = A yii) A [B = B

Demostracion (de i):) Queremos probar que A\B = A, suponien-do que A B. Para ello hay que demostrar que A \ B A yA A \B. Ya demostramos que A \ B A (ver l) de la pagi-na 67), as que solo falta demostrar que A A \ B (suponiendoA B).Ahora bien, si x 2 A entonces x 2 B, pues A B. Por lo tantox 2 A y x 2 B, es decir, x 2 A \B. Hemos probado

8 x 2 U : x 2 A) x 2 A \By, por eso, A A \B.

(de ii):) Como B A [ B (ver k) de la pagina 67), solo restademostrar que A [B B, suponiendo A B.Si x 2 A [ B entonces x 2 A o x 2 B. Pero si x 2 A entoncesx 2 B. As que x 2 B. Por lo tanto:

8x 2 U : x 2 A [B ) x 2 B;o sea, A [B B y de aqu que A [B = B.

b) Si B A, entonces A (AB) = B.Demostracion:

A (AB) = A \ (A \B{){ = A \ (A{ [ (B{){)= A \ (A{ [B) = (A \ A{) [ (A \B)= ? [ (A \B) = A \B:

Como B A, por (a){i), A \B = B. Por lo tanto,B A) A (AB) = B:

70


c) (A \B{){ [ A = UDemostracion: Vamos a demostrar esta proposicion de dos mane-ras. La primera es

(A \B{){ [ A = (A{ [ (B{){) [ A = (A{ [B) [ A= A{ [ (B [ A) = A{ [ (A [B)= (A{ [ A) [B = U [B = U

La segunda manera es:

A\B{ A. Por lo tanto, A{ (A\B{){. Entonces U = A{[A (A \ B{){ [ A (ver ejercicio 7{h). Pero por a) de la pagina 58,(A \B{) [ A U . Por lo tanto

(A \B{){ [ A = U:

2. La proposicion \para cualesquiera A, B y C U , (A B) C =A (B C)" es falsa.

Demostracion: Contraejemplo:

U U

C C

B B

AA

71


Ejercicios 2.

0. Probar que si U es un conjunto universo, U { = ?.

1. Haga las demostraciones de las propiedades enunciadas en los incisosa), b), c), d), e), f), g), h), i), k), n) y p) de la pagina 67.

2. Si A, B, C son subconjuntos cualesquiera de un conjunto universo U ,probar que (AB)C = A (B [C). >A que es igual A (B C).

3. Dados el conjunto universal U = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g y los conjun-tos A = f1; 3; 5; 9g, B = f2; 3; 5; 8g, C = f1; 4; 8; 9g, determinea) (A{ [ C) (B C{).b) (A{ (B{ \ C)) (C{ \B).c) (A \B{){ [ (B{ C){d) ((AB) \ (A \B)) [ ((AB) \ (B A)).

4. Sea A un conjunto cualquiera en un conjunto universo U . Halle expre-siones diferentes para los conjuntos siguientes

a) A?,b) A A,c) A \ f?g,d) ? A,

e) f?g = ?,f ) f?; f?gg f?g,g) f?g \ f?g,h) ? \ f?g.

5. Proponer tres conjuntos H, J , K, que satisfagan las relaciones siguien-tes: H * K, J \K = ?, H \K 6= ?, H 6= J , K * H, J H (Paraauxiliarse puede usar diagramas de Veen).

6. Si A, B y C son subconjuntos de U , determine cual de las siguien-tes proposiciones es falsa. Para cada proposicion falsa, construya undiagrama de Venn que muestre que es falsa.

a) (A \B){ A{,b) A [B A \B,c) (A \B) [ A = A,

d) (A \B){ (A \B){,e) B A \B,f ) B [ (B \ A){ = U ,

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g) B{ (B \ A){, h) A \B A [B,(i) (AB) \ (A C) = A (B [ C),(j) A \B C{ ^ A [ C B ) A \ C = ?,(k) A (B [ C) ^ B (A [ C){ ) B = ?

7. Dados A, B y C subconjuntos cualesquiera de un conjunto universo U ,demuestre las siguientes propiedades:

a) Si A B entonces A [ (B A) = B.b) Si A \B = ? entonces A B{.c) Si A [B = U entonces A{ B.d) A (B \ C) = (AB) [ (A C).e) AB = B A si y solo si A = B.f ) (AB) \B = (B A) \ A.g) A{ B{ = B A.h) A B ) A [ C B [ C ^ A \ C B \ C.

8. Si A, B y C son subconjuntos de U , use las leyes de D'Morgan parasimplicar.

a)(A{ \B{) [ A{{.

b)A{ [ (B \ C){.

c)(A{ \B{) [ (B{ \ C{) [ (A{ \ C{){.

9. Descanse.


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Captulo 3

NUMEROS REALES

x1

3.1. Introduccion

Todo estudiante que llega a una escuela profesional ha tenido una relacionmnima con los numeros. Al menos sabe operar los numeros con las leyes dela aritmetica, conoce algunas propiedades de ellos y mnimamente aprendio ausarlos en problemas concretos.

Sin embargo, las posibilidades de estos numeros no han sido explotados entoda su amplitud, ya que ciertas propiedades esenciales no pueden ni siquieraenunciarse, con los conocimientos que se tienen en este momento.

Otro hecho que impide hacer un uso adecuado de los numeros es: no sabersus limitaciones. Es decir, que propiedades no se pueden cumplir, ya que sise cumplieran contradiran los \fundamentos de los numeros".

A este nivel tenemos planteado un problema: como distinguir una propie-dad esencial de otra que, aunque sea importante no es esencial.

Estas propiedades esenciales son los llamados axiomas. En lo que siguepostularemos cierto numero de propiedades y trataremos de ver, que todaslas demas son consecuencias de estas.

As pues, los axiomas de los numeros reales {as llamaremos a los numeros

75

Introduccion Numeros reales

que estudiaremos{, implicaran las propiedades que el alumno ha usado ymuchsimas otras mas.

Una aclaracion, no pretendemos que lo que el alumno ha aprendido seanegado, sino mas bien queremos que se situe en su real importancia.

Los Axiomas de los numeros Reales

En este captulo, presentamos a los numeros reales como un conjunto (alcual denotaremos como R) sujeto a dos operaciones (la suma y el producto),junto con una relacion de orden total (la de \ser menor que") tal que cumpleel axioma del supremo.

Distinguiremos tres grupos de axiomas para nuestro conjunto de numerosreales:

1.- Axiomas de Campo (referente a las operaciones de suma y producto).

2.- Axiomas de Orde

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