El aprendizaje de las matemáticaselementales como procesocondicionado por la cultura

Carlos Vasco

En «El aprendizaje de las matemáticas elementales comoproceso condicionado por la cultura», Carlos Vasco examina el«mito» de que las matemáticas son un «lenguaje universal dela ciencia» y, por tanto, una materia supracultural. En susanálisis de casos de niños colombianos, llega a la conclusiónde que las matemáticas pueden depender tanto de la culturacomo el aprendizaje de la literatura o la historia. SegúnVasco, la mayoría de los enseñantes cree que los niños nosaben nada de matemáticas cuando entran en la escuela; portanto, la enseñanza de la «matemática moderna» sólo puedellegar a un pequeño porcentaje de los niños. Vasco aduce quesólo los estudiantes que pueden construir sus propios «sistemasconceptuales a pesar de sus maestros» y desentrañar por sucuenta la maraña de sistemas simbólicos serán inmunes a la«fobia a las matemáticas».

INTRODUCCION

Norma X vive en un barrio pobre quese encuentra en las empinadas colinas aleste de Bogotá, Colombia. Cuando laconocí hace seis años, tenía siete años deedad y asistía a una clase de primer cur-so de una escuela local. Solía ayudar asu madre a vender bocadillos y refres-cos los domingos en un parque cercano.Podía vender una &cena de botellas derefresco a nueve pesos la botella y de-volver el cambio de un billete de 200 pe-sos con rapidez y exactitud. Pero sus-pendió la aritmética de primer curso.

Luis Eduardo Y abandonó el cuartocurso en 1975. Unos arios más tarde qui-

so obtener el título de graduado escolarpasando un examen del Estado que seconvoca dos veces al año para los aspi-rantes a matricularse en segunda ense-ñanza. No se atrevió a presentarse por-que pensaba que no sabía nada de frac-ciones. Pero yo sabía que era un mecá-nico muy capaz y que era muy expertocon tuercas y tornillos, llaves y calibra-dores. Su mente despierta podía «ver»instantáneamente que una llave de 3/8de pulgada no podía apretar una tuercade media pulgada y ni siquiera un tor-nillo de 1 cm según las medidas euro-peas. A mí me hizo falta lápiz y papelpara comprobar que tenía razón. Cuan-do se dio cuenta de que sabía mucho de

Comunicación, Lenguaje y Educación, 1990, 6, 5-25

6fracciones, pasó sin problemas el exa-men del Estado y con muy buenas cali-ficaciones. Ahora acaba de finalizar lasegunda enseñanza y desea ser enseñan-te (de matemáticas, claro).

Se cree que la matemática es, de todaslas materias académicas, la más indepen-diente de la cultura. En la enseñanza dela mayoría de los países iberoamerica-nos se emplean textos de «MatemáticaModerna» impresos en los Estados Uni-dos o en Bélgica que se traducen al por-tugués y al castellano con unas mínimasvariaciones en los problemas de enun-ciado verbal. Al mirar hacia atrás vere-mos que, antes, las cosas no eran distin-tas: los textos escolares que se solíanemplear en Colombia se copiaban unosa otros en una cadena cuyos orígenes seremontaban a la aritmética española olatina del Renacimiento. El mito de lasmatemáticas como lenguaje universal delas ciencias y la imagen superficial de laverdad matemática como algo invaria-blemente estruturado a priori en la ra-zón humana, reforzaban el estereotipode las matemáticas como materia supra-cultural.

La distinción entre las cifras romanasy las árabes indicó una medida de de-pendencia cultural. Pero se pensó quesus causas fueron las primeras etapas dedesarrollo de pueblos primitivos, acci-dentes históricos y el desarrollo tardíode la escritura. Era algo arcaico, situadoen un nivel superficial de simbolismo ycompletamente inmaterial desde el pun-to de vista de la matemática contempo-ránea.

Sin embargo, la palabra «arcaico» tie-ne connotaciones más profundas que lamera obsolescencia. Apunta hacia losorígenes, las fuentes, los principios y losfundamentos. ¿Deberíamos adentramosmás en las raíces de las matemáticas?

La Arqueología del conocimiento deMichel de Foucault me enseñó a descu-brir estratos ocultos mediante un análi-sis detallado del discurso. Los verdade-ros estudios arqueológicos de Jean Pia-get sobre el desarrollo lento y tortuosode los conceptos matemáticos en los ni-ños, me enseñó a escucharlos con mu-cha atención y a interpretar sus erroresaparentes como síntomas de un tipo dis-tinto de estructura lógica. El psicólogoruso Lev. A. Vygotsky me enseñó ex-plícitamente por dónde empezar a inves-tigar:

Que el aprendizaje de los niños empie-za mucho antes de que asistan a la escue-

la es el punto de partida de esta discusión.Todo aprendizaje que emprende un niñoen la escuela tiene siempre una historiaanterior. Por ejemplo, los niños empie-zan a estudiar aritmética en la escuela,pero mucho antes ya han tenido algunaexperiencia con las cantidades, es decir,han tenido que tratar con operaciones dedivisión, adición, sustracción y determi-nación de tamaños. En consecuencia, losniños tienen su propia aritmética prees-colar, cosa que sólo los psicólogos mio-pes pueden ignorar '.

El objetivo de este artículo es deter-minar de la manera más precisa posiblela dependencia cultural del proceso deaprendizaje de las matemáticas. ¿Quéhay de esencialmente correcto en la pre-tendida universalidad de las matemáti-cas? ¿Dónde cabe situar los aspectosculturalmente específicos de las mate-máticas, tanto en el plano teórico comoen el empírico? ¿Cómo se deben em-plear para desarrollar un currículo paralas matemáticas elementales que estéculturalmente adaptado? Estas son laspreguntas que guían la investigación.

EL MARCO CULTURAL

En Colombia, los programas de pri-mera y segunda enseñanza los estableceel Ministerio de Educación siguiendo uncriterio centralista y son obligatoriospara todos los centros escolares, sean és-tos públicos, privados, urbanos o rura-les. Las esporádicas reformas realizadasal currículo han consistido en algunasadiciones, eliminaciones y recombina-ciones de los contenidos de los progra-mas. En 1975, un Gobierno liberal re-cientemente elegido inició una reformaescolar exhaustiva denominada «MejoraCualitativa de la Enseñanza». Se hizo unproyecto de un ambicioso currículo ex-perimental para los tres primeros cursosque se sometió a prueba en una muestrade escuelás repartidas por todo el país.En 1978, la Universidad Nacional deColombia me desginó Asesor del Minis-terio de Educación para la reestructura-ción de las metemáticas escolares. Des-de el primer proyecto se han realizadomuchas evaluaciones y nuevas redaccio-nes de los programas experimentales, yse ha enviado un nuevo conjunto deprogramas para los cinco cursos de laenseñanza elemental a enseñantes y auniversidades para que procedan a suevaluación.

7Cerca de la mitad de las escuelas pú-

blicas se encuentran en zonas rurales ya las escuelas públicas urbanas sólo asis-ten estudiantes de clase media-baja ybaja. La variedad cultural que se da en-tre las distintas régiones del país, entrelos distritos urbanos y rurales y entre lasclases pobres y las clases medias no pue-de abarcarse adecuadamente con un pro-grama prescrito desde supuestos centra-listas, pero la diferenciación (o inclusoel «seguimiento») curricular no es facti-ble políticamente. Se ha adoptado unapolítica más, flexible consistente enadaptar los programas a las condicioneslocales y estimular la redacción local delas Unidades Integradas de Aprendiza-je; creo que esto es básicamente acerta-do, pero hace que la evaluación de laspruebas experimentales sea difícil de ob-tener y aún más difícil de interpretar.

Como era de esperar, los experimen-tos con los nuevos programas han ori-ginado más preguntas que respuestas. Laresistencia de los maestros al cambioestá muy generalizada, y los Sindicatosde Enseñantes ponen obstáculos a las re-formas como una estrategia para incre-mentar sus poderes en la mesa de nego-ciaciones. Los grupos de extrema dere-cha encuentran que los cambios son«peligrosos» (inspirados por el comu-nismo internacional) y los grupos de ex-trema izquierda los tildan de «inútiles»o «dictados por el imperialismo yan-qui».'La investigación local en la educa-ción es mínima y la investigación reali-zada en otros países suele ser contradic-toria o fácilmente descalificada. Se pue-den encontrar resultados contradicto-rios en la mayoría de las cuestiones re-lativas a la enseñanza de las matemáti-cas 2.

La feroz guerra entre la «MatemáticaModerna» y el «Retorno a lo fundamen-tal» simplifica en exceso estos temas. Lasdiscusiones son ardorosas y emociona-les y los datos esgrimidos por cada ban-do se vuelven a interpretar con toda fa-cilidad por el otro. Pero en las evalua-ciones, en las rencillas políticas, en lasinvestigaciones, y en la polémica entrela «Matemática Moderna» y el «Retor-no a lo fundamental» hay una manifies-ta ausencia del motivo principal de esteartículo: ¿Qué conflictos se plantean en-tre la matemática universal clásica y lossistemas matemáticos concretos que seencuentran en las culturas locales?¿Cómo detectar, refinar y utilizar estossistemas transmitidos culturalmente

para una reforma curricular? ¿Qué ex-periencia con estos sistemas matemáti-cos concretos poseen ya los niños antesde entrar en la escuela o fuera de ella?

No sólo los psicólogos miopes, sinotambién casi todo el mundo, suelen darpor sentado de una manera rutinaria quelos niños no saben nada de las matemá-ticas reales cuando entran en la escuela,a excepción, quizá, de contar hasta unnúmero determinado. ¿Qué hay de ver-dad en esta suposición?

E incluso los psicólogos perspicaces,y prácticamente todo el mundo, piensanque las matemáticas escolares son untema universal cuya dependencia cultu-ral se limita al lenguaje informal, lossímbolos matemáticos y los ejemplostriviales y problemas de enunciado ver-bal que se emplean en las clases y en loslibros de texto. ¿Estriba en esto la im-portancia de la dependencia cultural?

UN INSTRUMENTO PARA LAINVESTIGACION CULTURALEN MATEMATICAS

Es bien sabido que incluso las cultu-ras no alfabetizadas suelen poseer siste-mas de comercio complejos, cálculos as-tronómicos y de calendario, intricadossistemas de unión con estructuras mate-máticas refinadas, etc. Pero ya no es tansabido que los niños pueden manejarsistemas matemáticos —o, al menos,protomatemáticos— complejos congran soltura mucho antes de llegar a laescuela o sin haber asistido nunca a ella.

Muchos resultados dispersos pero co-herentes sugerían el desarrollo de uninstrumento teórico para abordar los da-tos empíricos, para establecer el campocon una perspectiva más amplia, paraofrecer un marco de referencia a poste-riores investigaciones, para elaborar unlenguaje disciplinado y, sobre todo, parapermitir al ojo de la mente una visiónmás clara de las lagunas o agujeros. Enmi opinión, uno de los principales usosde la teoría es la posibilidad de hacer es-tas lagunas o agujeros más visibles. Pordefinición, los agujeros son no-entida-des y, en consecuencia, no se puedenpercibir directamente. El hecho de quealguien los perciba indica la existencia deuna teoría subyacente, aunque sólo seala anticipación de un campo de visiónuniforme. Si existe una teoría y se pue-den ver sus bordes, se pueden definir la-gunas. Si no hay teoría, no hay lagunas.

8Todo el mundo está de acuerdo en quela enseñanza de las matemáticas escola-res está llena de lagunas. ¿Cómo clasifi-carlas y analizarlas? ¿Cómo descartar laspseudolagunas y detectar las nuevas?¿Cómo percibir los vacíos culturales yla vacuidad pseudo-matemática?

La abusiva moda de «el enfoque de lossistemas» durante los años sesenta, aho-ra forjada y cincelada por veinte años deduras críticas, aportaba las claves para lacomprensión de los sistemas matemáti-cos impartidos en la escuela y los queeran familiares para los niños en su casay en su vecindario. Hace falta una ver-sión refinada de una Teoría General deSistemas aplicable a la investigación dela enseñanza de las matemáticas. Debe-ría abarcar la totalidad de las matemáti-cas existentes sin ambigüedades pedan-tes; debería delimitar el campo y ayudara indicar las lagunas; de manera ideal,debería superar el enfoque centrado enla lógica de conjuntos propio de la Ma-temática Moderna y el enfoque basadoen las rutinas numéricas de los seguido-res del Retorno a lo fundamental. Perotambién debería satisfacer una exigenciaaparentemente contradictoria: a pesar dela pretendida generalidad y universali-dad, debería ayudar a detectar diferen-cias culturales muy sútiles en los sitemasprotomatemáticos y matemáticos que enrealidad usan los niños y los adultos noescolarizados.

A finales de los arios setenta intentédesarrollar una versión apropiada de laTeoría General de Sistemas en un mar-co más general 3 y refinarla con vistas ala investigación y el desarrollo curricu-lar en matemáticas 4 . Para los fines limi-tados de este artículo y por mor de unacuerdo mínimo en cuanto a la termino-logía, sigue a continuación una versiónabreviada de la misma.

LA DIVISION INTERNA DE LOSSISTEMAS MATEMATICOS

En el presente contexto, pensemos enlos sistemas como formados por com-ponentes, procedimientos y relaciones.De una manera más formal, podríamospensar en un sistema como en un tripleordenado (C, P, R) consistente en uncojunto de componentes, un conjuntode procedimientos y un conjunto de re-laciones.

Los componentes son discernibles,múltiples, pasivos en relación a los pro-

cedimientos y sometidos a las relacio-nes. \ Son cosas, objetos, elementos, pun-tos, individuos_ a reconocer y manipu-lar. O se ven, o se pasan por alto.

Los procedimientos son activos yapuntan a lo práctico; exigen tiempo,energía y destreza. Son acciones, trans-formaciones, procesos, operaciones, al-goritmos, rutinas, funciones.., a ejecu-tar. O se hacen, o se omiten.

Las relaciones son más sutiles y apun-tan a lo teórico; vinculan o separan lascosas entre sí. Son atracciones o repul-siones, similitudes o diferencias; relacio-nan, estructuran, organizan componen-tes. O se captan, o se pierden.

Es instructivo tratar de definir com-ponentes, procedimientos o relaciones.Todas las definiciones acaban siendo cir-culares. Se han dado algunos intentos dereducir procedimientos a relaciones yrelaciones a conjuntos de n-uplos orde-nados. Como reducciones útiles, puedenser prácticas para unos fines determina-dos; como definiciones, erran completa-mente el blanco. Puede considerarse quelos componentes son las piezas de cons-trucción de los sistemas. Puede conside-rarse que los procedimientos proporcio-nan la dinámica a los sistemas. Y puedeconsiderarse que las relaciones propor-cionan la estática —la estructura— a lossistemas.

Los sistemas tienen estructura, no alcontrario. Varios sistemas pueden tenerla misma estructura. Los mismos com-ponentes pueden organizarse en estruc-turas distintas. Se pueden detectar variasestructuras distintas en el mismo siste-ma; pero cuando se fija una estructuradefinida y se olvidan, rechazan o abs-traen las demás, se empieza a hablar deun sistema definido únicamente por laestructura en cuestión. Se habla de la es-tructura de agrupamiento ordenado delsistema de los enteros bajo la adicióncon el orden usual, y se abstrae de la es-tructura de anillo o de la estructura par-cialmente ordenada determinada por elorden multiplicador (divisor/múltiplo).Aquí, los enteros son los componentes,la adición es el procedimiento y el or-den aditivo usual es la relación. Pero sepuede tener un conjunto entero de pro-cedimientos como la adición, la sustrac-ción, la multiplicación, la división eucli-diana, entre otras; y un conjunto com-pleto de relaciones como estrictamentemenor que, menor o igual que, estricta-mente mayor que, mayor o igual 9u-e,divisor propio, divisor o igual, múltiplo

9propio, múltiplo o igual, antecedente,consecuente, opuesto (en cuanto a sig-no), entre otros. Todos los procedi-mientos mencionados son binarios en elsentido de que cada uno trata con doscomponentes a un tiempo para produ-cir otros; pero hay muchos procedi-mientos en los que sólo interviene uncomponente a la vez (unarios), o trescomponentes a la vez (ternarios) o ncomponentes a la vez (procedimientosn-arios). También todas las relacionesmencionadas son binarias en el sentidode que cada una de ellas vincula o nodos componentes a la vez; pero tambiénhay muchas relaciones que vinculan ono un único componente a la vez (pre-dicados unarios), o tres componentes ala vez (ternarios) o n componentes a lavez (relaciones n-arias).

Cada procedimiento define una rela-ción asociada natural que vincula loscomponentes empleados como argu-mentos y los obtenidos como resultado:la relación entre las materias primas y elproducto acabado. Estas relaciones quese obtiene de los procedimientos (peroque son distintas de ellos) junto con lasrelaciones dadas explícitamente, consti-tuyen la estructura del sistema. Las re-laciones estructuran, organizan, siste-matizan el sistema. Un sistema sin rela-ciones (y, en consecuencia, sin procedi-mientos) es un sistema «muerto»: care-ce de estructura. Por tanto, un conjuntode componentes es el cadáver de un sis-tema. Se pueden definir, o montar oconstruir muchas estructuras con el mis-mo conjunto de componentes, que sedenomina universo o conjunto subya-cente al sistema.

Las estructuras son abstractas en re-lación a los sistemas. En cierto sentido,las estructuras son lo que tienen en co-mún varios sistemas similares: puedentener la misma estructura en un sentidoque se precisa con facilidad. A su vez,los sistemas, por muy abstractos quepuedan parecer, son concretos con res-pecto a las estructuras. El grupo aditivode los enteros es un sistema concreto; laestructura del grupo abeliano es abstrac-ta: muchos otros sistemas concretos tie-ne la misma estructura del grupo abelia-no.

Esta manera directa de dividir los sis-temas en tres tipos de entidades muy di-ferentes fue de lo más fructífera en elanálisis conceptual de todos los sistemasmatemáticos encontrados en el currícu-lo escolar, desde preescolar hasta la uni-

versidad. Sin la clarificación conceptualaportada por esta división interna tripar-tita de los sistemas matemáticos, el aná-lisis cultural hubiera sido imposible 5.

LA DIVISION EXTERNA DE LOSSISTEMAS MATEMATICOS

Una vez analizados internamente encomponentes, procedimientos y relacio-nes, puede verse que todos los sistemasde la matemática escolar y todos los sis-temas que funcionan culturalmentecomo matemáticos o protomatemáticosfuera de la escuela existen a tres nivelesmuy distintos.

Nivel superficial: Sistemas simbólicos

Son los únicos que aparecen en los li-bros de texto. No es de extrañar: en loslibros de texto sólo se pueden imprimirsímbolos. Son los únicos que se enseñana los niños. No es de extrañar: los maes-tros sólo pueden emitir sonidos, dibujarsignos, formar gestos, y todo esto es, ex-clusivamente, transmisión de símbolos.

Los filósofos formalistas de la mate-mática piensan —o tratan de obligarse así mismos a pensar— que los sistemassimbólicos son la totalidad de la mate-mática. Por fortuna, no es así. Los sis-temas formales ni siquiera son la totali-dad de los sistemas simbólicos de la ma-temática: la mayoría de las matemáticasescritas y habladas consisten en sistemassimbólicos informales.

Los sistemas de numeración (a dife-rencia de los sistemas numéricos) sonbuenos ejemplos de sistemas simbólicos.Tomemos por ejemplo la numeraciónromana o nuestro propio sistema deci-mal arábigo-hindú.

Nivel básico: Sistemas conceptuales

Una vez asignados al formalismo y alconductismo sus nichos adecuados, lasfilosofías constructivistas de la matemá-tica y las escuelas cognitivas de la psico-logía pudieron volver a hablar de cons-truir, manipular y comprender sistemasconceptuales sin sentimientos de culpa.Los sistemas conceptuales son los que seadoptan en los buenos libros de texto,aun cuando sólo puedan hablar o escri-bir de ellos mediante sistemas simbóli-cos (ya hay libros de texto parlantes enel mercado). Los sistemas conceptualesson los que construyen los niños con

1 Olentitud —no siempre con dolor— des-de sus primeros meses de vida. Los sis-temas numéricos (a diferencia de los sis-temas de numeración) son buenos ejem-plos de sistemas conceptuales. Tome-mos por ejemplo los denominados nú-meros naturales o números cardinalescon sus procedimientos (operaciones) yrelaciones usuales. Evidentemente, losnúmeros «naturales» son tan «artificia-les», tan obras de arte, tan construidosy elaborados, tan hechos por el hombreo la mujer como cualquier otra cosa quese nos pueda ocurrir. Pero se constru-yen tan pronto que parecen naturales.También nos podemos dar cuenta deque el sistema conceptual de los núme-ros naturales con sus procedimientos yrelaciones es independiente del sistemade numeración que elijamos, sea habla-do en inglés, sea hablado en castellano,sea escrito en cifras romanas, sea escritoen cifras arábigo-hindús, sea codificadoen binario. Es esencial darse cuenta deque un único sistema conceptual en elnivel básico puede aparecer como unapluralidad de sistemas simbólicos en elnivel superficial.

Nivel arcaico: sistemas objeto

Hubo que cavar mucho para descu-brir los diferentes estratos que se hun-den en el subsuelo. Piaget, Vygotsky yBruner contribuyeron mucho a ello. Elanálisis del lenguaje y las «entrevistasclínicas» aún ayudaron más. Pero sepueden hacer muchos análisis y muchasentrevistas clínicas sin saber lo que sebusca. Las ideas clave proceden de un li-bro desconocido publicado en 1973 porel historiador y filósofo de la matemáti-ca de origen francés Pierre Raymond. Esdesconocido para los matemáticos y loseducadores porque nadie deduciría, apartir de su título (Le passage au maté-rialisrne) que tiene algo que ver con lamatemática; y es desconocido para losfilósofos materialistas porque cesan deleerlo en cuanto se dan cuenta de quetrata de la matemática. Resulta que a míme gusta la matemática, entre otras cien-cias, y también me gusta la filosofía ma-terialista, entre otras filosofías, y encon-tré el libro fascinante. Indica el caminopara una arqueología de las construccio-nes matemáticas. Muestra que los siste-mas conceptuales de reciente construc-ción en la matemática proceden de laabstracción de transformaciones activasen sistemas más profundos. A continua-

ción, estos se olvidan. Por tanto, los sis-temas arcaicos son pasivos en relación alsistema activo que actúa sobre ellos. Sonconcretos en relación al sistema concep-tual de reciente construcción, que esabstracto por definición: se abstrae, seextrae del sistema o sistemas concretosque le dan origen. Son naturales con res-pecto al sistema conceptual artificialconstruido con ingenio, que sustituye osupera a los sistemas arcaicos 6.

NIVEL ARCAICO: SISTEMASOBJETO

Pensemos en niños jugando con co-lecciones concretas de objetos cotidia-nos. Si pensamos en colecciones de di-bujos, juguetes, piezas de vajilla o, aúnmejor, en colecciones de piedras o dechapas, nos podemos imaginar a un niñode un barrio pobre de Colombia trasla-dando cosas de acá para allá, observan-do, sopesando, amontonando cosas, in-ventando sus propios juegos. Al princi-pio tiene algunos objetos con los que ju-gar, realiza con ellos algunas acciones ypercibe algunas similitudes y diferenciasentre ellos. Esto es, precisamente, unsistema con sus componentes, sus pro-cedimientos, sus relaciones. Mediante elagrupamiento de objetos con la mano,mediante la «Gestalten» visual-neural,mediante las propiedades comunes, me-diante comparaciones, su sistema origi-nal de piedras y chapas se convierte enel sistema objeto de un nuevo sistema decolecciones de estos objetos. Los nue-vos objetos son ahora colecciones, sub-colecciones de la original (que normal-mente no incluyen a la colección origi-nal completa ni a la colección vacía).Luego empieza a reunir y desunir colec-ciones a partir de otras colecciones;agrupa y separa; aparta las chapas de unamarca dada de refrescos del resto; colo-ca una pila o una hilera de chapas enci-ma o al lado de otra. Percibe algunas si-militudes y diferencias entre las colec-ciones. Esto es, precisamente, un nuevosistema: sus componentes son las sub-colecciones; sus procedimientos son lareunión y la complementación; sus re-laciones son la inclusión, la disyunción,no tener nada en común con, tener unnúmero mayor de objetos que, tener unnúmero menor de objetos que, tener elmismo número de objetos que...

'A medida que el niño juega con el sis-tema objeto original, empieza a cons-

1 1truir un sistema conceptual muy intere-sante, descrito en detalle por Piaget yclasificado por él como «Agrupamien-to»: casi un grupo, pero no del todo;casi un retículo, pero no del todo. Pue-de que a los matemáticos no les gusteeste mounstruo híbrido, pero basta parajugar con chapas con los preescolares delvecindario durante media hora para lle-gar al convencimiento de que el sistemaconceptual que están construyendo noes el álgebra booleana usual de conjun-tos con unión, intersección y comple-mentación, ni el retículo booleano deconjuntos con inclusión que los fanáti-cos de la Matemática Moderna creen queson. Pero tampoco es el sistema de losnúmeros naturales. Los fanáticos delRetorno a lo fundamental piensan queestán construyendo los dos. Mi hipóte-sis es que el fallo de la Matemática Mo-derna se debe a la falta de similitud en-tre el sistema conceptual de los enseñan-tes y el de los autores de los libros detexto (el álgebra booleana usual de con-juntos o su retículo equivalente) y el sis-tema conceptual de los niños: el sistemade juegos de colecciones que tiene, en-tre otras, una estructura de «agrupa-miento». Pero ahora, si nos hemos dadocuenta de las tres relaciones percibidaspor el niño en su juego de colecciones,parecen tener que ver algo más con elnúmero: menor que, mayor que, igual.Pero aún no. Mi hipótesis sobre el fra-caso del «Retorno a lo fundamental» esque trata de forzar a los niños a tragarselos números mediante rutinas simbóli-cas (las palabras uno, dos, tres..., tam-bién son simbólicas), antes de que aca-ben de disfrutar con los juegos de colec-ción, más adecuados culturalmente (parasu edad y su entorno).

Pronto se dan cuenta de que estas re-laciones que pueden expresar (en el ni-vel simbólico) como «menor que» «ma-yor que» «lo mismo que» dividen demanera natural las subcolecciones en lo-tes que tienen el mismo número de cha-pas. Esta relación de equivalencia seconstruye a partir de las otras dos rela-ciones de orden «menor que» y «mayorque» cuando falla el orden. La depen-dencia de muchas relaciones de equiva-lencia de las relaciones de orden no seencuentra en los libros de texto de ma-temáticas. Pero se detecta simplementecomo un fallo en el ordenamiento: pi-damos a un grupo de niños que se pon-gan en fila por orden de altura; si vemosque dos niños se empujan durante de-

masiado tiempo, es que tienen la mismaaltura.

Observemos que estas relaciones quehemos expresado en el nivel simbólicocomo «con menos elementos que» «conmás elementos que» y «con el mismonúmero de elementos que» no dependendel concepto de número. Al contrario:el concepto de número se construye apartir de estas tres relaciones, cuando eljuego de las subcolecciones se tomacomo sistema objeto de un nuevo siste-ma conceptual: los números naturales apartir de «uno» con «subir de uno enuno» como procedimiento natural y«ser el siguiente de» como relación na-tural. El procedimiento es unario, no bi-nario como la adición. Peano tenía másrazón de la que creía cuando formalizólos números naturales en su primera ver-sión a partir del uno y usando el conse-cuente como la única operación. A losniños les gusta su sistema.

Pero no les gusta el sistema de núme-ros naturales de los maestros y de los li-bros de texto con sus cuatro operacio-nes (ninguna de ellas es la que les gustaa ellos) y sus dos relaciones de ordenaditivo: menor o igual, mayor o igual.Los niños aceptan más bien las relacio-nes: estrictamente menor que, estricta-mente mayor que. Pero para los mate-máticos estas relaciones no son reflexi-vas y, de ahí que, por la definición de larelación de orden, no deberían denomi-narse «órdenes». Denominarlas «órde-nes estrictos» es una contradicción detérminos, a pesar de la amplitud de suuso. Al principio, los niños construyenun sistema numérico conceptual paracada tipo de juego de colección: doschapas, dos piedras, dos caramelos... Laexistencia real pero efímera de estos sis-temas numéricos concretos es amplia-mente testimoniada por la lingüística yla psicología cognitiva. Son etapas inter-medias en la construcción del sistema denúmeros naturales, abstractas en rela-ción a los juegos concretos de las sub-colecciones «menor», «mayor» o«igual», juegos que a su vez eran abs-tractos en relación a los juegos con cha-pas, piedras, dibujos o caramelos.

La aritmética «a la antigua» sigue ha-blando de «números concretos» comodos chapas y «números abstractos»como el dos. Vale la pena revivir estadistinción. Marca los sistemas protoma-temáticos culturalmente relevantes apartir de los cuales se construye el sis-tema matemático de los números natu-

12rales con sus operaciones y relaciones enel nivel conceptual. Es el que Norma Xsabía manejar.

En cuanto el sistema de números na-turales se construye como abstracto y elniño ha jugado con él durante años, con-tando hacia adelante y hacia atrás, sal-tándose dos o tres números a la vez, em-pieza a darse cuenta de que subir de dosen dos o bajar de dos en dos son proce-dimientos nuevos e interesantes en símismos. Ahora empieza a tratar el otro-ra abstracto sistema de números natura-les como sistema objeto; los procedi-mientos que actuaban en los númerosnaturales haciéndolos aumentar o dismi-nuir empiezan a tener una personalidadpropia. Empieza a construir los enteroscon signo. Luego ve que el procedimien-to natural entre dos enteros con signoes aplicarlos sucesivamente a un núme-ro natural. Los nuevos procedimientosy relaciones empiezan a construirse con-ceptualmente, y un nuevo sistema, abs-tracto en relación al sistema objeto delos números naturales, empieza a tomarforma. Lo que un matemático denomi-naría composición de dos operadores espara el niño la adición natural de ente-ros: si se aumenta en cuatro y luego sedisminuye en tres, es lo mismo que au-mentar en uno. ¿Se trata de adición o decomposición? Al niño no le podría im-portar menos: él puede aplicar el nuevoprocedimiento a los componentes nue-vamente formados de su sistema con-ceptual. Los enteros son naturales cuan-do los números naturales se vuelven tanfamiliares que parecen naturales. Peroen los libros de texto usuales, todo loque se encuentra acerca de esta cons-trucción culturalmente natural de losenteros con signo es un confuso y com-plejo juego de palabras con doble senti-do de que los enteros son clases de equi-valencia o pares ordenados de númerosnaturales. Sólo un trabajo arqueológicomuy preciso podría detectar que estasclases de equivalencia son precisamentelos cuerpos muertos (grafos) de los en-teros con signo vivos y activos comooperadores hacia arriba y hacia abajoque a los niños les encanta construir. Enrealidad, el operador activo + 2 aplica-do a los números naturales como siste-ma objeto tiene como grafo el conjuntode pares ordenados (0,2), (1,3), (2,4), ...,(n, n + 2), ... Pero usar esto como defi-nición para un niño que puede construirel operador activo por su cuenta es taninadecuado como definir una hora como

el conjunto de pares ordenados (media-noche, 1 de la madrugada), (I de la ma-drugada, dos de la madrugada), ..., (11de la mañana, mediodía), (mediodía, 1de la tarde), ..., (11 de la noche, media-noche). ¿Nos gustaría así? ¿Y quéocurre con la hora que hay entre la unay media y las dos y media? Cualquierchaval honrado nos diría que no le gus-ta definir los enteros como clases deequivalencia. Y tampoco los podemoslistar todos. Sin embargo, realmente po-demos construir el concepto en cuantopodemos contar los números naturaleshacia arriba y hacia abajo de uno en unoo a saltos. Y se trata de procedimientosdifíciles de dominar. Los fanáticos delRetorno a lo fundamental tienen razónen insistir a los fanáticos de la Matemá-tica Moderna que no deberían enseñarlos enteros como clases de equivalencia;pero se equivocan al tratar de forzar alos niños a dominar los enteros median-te rutinas simbólicas que serán olvida-das y confundidas justo después del exa-men final si no están articuladas con losprocedimientos de salto hacia arriba yhacia abajo.

Por cierto, la infinidad de númerosnaturales y de enteros positivos (comooperadores no son lo mismo que sus ob-jetos) es fácilmente comprensible por losniños pequeños como lo ilimitado (la in-finitud) en cuanto dominan el procedi-miento de aumentar. Permítaseme aca-bar esta sección con la siguiente historiaverídica.

En 1978, Santiago Z, en aquellostiempos un estudiante de segundo cur-so, empezó una competición conmigo:él decía un número grande y yo le debíacontestar con otro mayor, etc. Empezósin problemas: «¡Noventa!». Yo dije:«¡Ciento noventa!». «¡Doscientos!» dijoél. «¡Dos mil!» dije yo. «¡Noventa mil!»continuó él, a lo que yo respondí:«¡Cien mil!». Se exasperó y chilló: « un-finitos mil!». Perdí yo.

NIVEL BASICO: SISTEMASCONCEPTUALES

A estas alturas deberá quedar claroque el nivel básico se desplaza hacia arri-ba en cuanto se domina un sistema ypuede convertirse en el sistema objetode la siguiente construcción. Cabe reco-nocer a Piaget el mérito de darse cuentade que la nueva construcción es el resul-tado de una «abstracción reflexionante»

13de procedimientos, no de objetos ni derelaciones. Los procedimientos adquie-ren el status de objetos cuando se olvi-da el sistema arcaico. Esto ocurre conlos enteros con signo y con los núme-ros racionales, que surgen culturalmen-te como procedimientos en sistemas ob-jeto y que después se convierten en ob-jetos pasivos que se pueden representarcomo puntos en una línea estática. Losenseñantes y los autores de libros de tex-to piensan que estos son los enteros olas fracciones, y confunden los temas sinesperanza para los pequeños que tratande construir los procedimientos activosy dominarlos. El primer sistema concep-tual que era matemático con respecto alsistema objeto protomatemático de laschapas era el «agrupamiento» o subco-lecciones de chapas. A partir de muchosjuegos de colecciones de este tipo surgeun segundo sistema conceptual, el de losnúmeros naturales a partir del uno, quetiene, como procedimiento natural, pa-sar al número siguiente. A partir de estesistema conceptual inicial puede cons-truirse el sistema completo de los núme-ros naturales con muchas operaciones yrelaciones en el nivel conceptual. Lossistemas conceptuales originales de sub-colecciones se superan, se olvidan. Losprocedimientos de ir hacia arriba o ir ha-cia abajo a saltos dan pie a un nuevo sis-tema conceptual de enteros con signocon procedimientos y relaciones cultu-ralmente naturales. Una vez construidoeste sistema básico, se puede ampliar in-troduciendo nuevos procedimientos ypercibiendo nuevas relaciones. Enton-ces, este nuevo sistema conceptual tomavida propia y nadie se vuelve a dar cuen-ta de sus raíces arcaicas. Las «víctimas»de los procedimientos hacia arriba y ha-cia abajo, es decir, los sistemas objeto,están enterrados profundamente, y elsistema conceptual de los enteros consigno con sus operaciones y relacionesusuales está presto para convertirse en elsistema objeto de un nuevo sistema con-ceptual; las funciones con valores ente-ros de los enteros con signo tan queri-dos de los teóricos del número.

Para apartar la atención de los siste-mas simbólicos he tratado de evitar cual-quier símbolo matemático en el textoprecedente. Para recalcar el aspecto quetrato de destacar, debo decir que las pa-labras que he empleado para describirlos sistemas objeto y los sistemas con-ceptuales no son realmente los objetos,procedimientos o relaciones: se refieren

simplemente a ellos; pero con el empleodel lenguaje cotidiano pretendía trans-mitir el concepto de sistemas arcaicos ybásicos como algo diferente de los siste-mas simbólicos. Sintiéndolo mucho, nome es posible imprimir aquí un sistemaobjeto o un sistema conceptual; sólopuedo ofrecer algunas pistas sobre lamanera de construir un sistema concep-tual cuando se ha identificado un siste-ma objeto familiar. Quisiera ahorrar allector el trabajo de construcción (¿tele-patía directa, quizá?). Pero así, tambiénse podría perder toda la diversión.

NIVEL SUPERFICIAL: SISTEMASSIMBOLICOS

Ahora, cuando llegamos a los sistemassimbólicos, idear un sistema simbólicocuando se domina el sistema conceptuales un juego de niños. Tratemos de dise-ñar un sistema simbólico para el sistemamás primitivo de las chapas. O para elsistema de los juegos de colección. O unsistema para los números naturales, opara los enteros, o para los números ra-cionales que sea diferente de los siste-mas de numeración corrientes y molien-tes. Nuestro diseño podría no ser muybueno para ciertas cosas como sumar omultiplicar números grandes; pero po-dría ser muy bueno para otras. Una sim-ple cuenta de barras espaciadas con re-gularidad es muy adecuada para el siste-ma conceptual recientemente formadode los números naturales acabado de ex-traer de los sistemas objeto de los jue-gos de colecciones. No hace falta unsímbolo para la operación natural de«pasar al siguiente»: basta con escribiruna barra más a la derecha. Y si se vacon cuidado, las relaciones de orden secomprueban fácilmente comparandolongitudes:

111111111111 111 1

Si nos cansamos de contar las barrasuna por una, probemos el truco usual detachar los cincos con la barra de los cin-cos:Hilles un símbolo muy adecua-do para el número cinco.

Distintas culturas han desarrolladosistemas simbólicos diferentes para elmismo sistema conceptual de los núme-ros naturales. ¿Cómo sabemos que es elmismo? Naturalmente, la «identidad»del sistema conceptual sólo puede infe-

14rirse a partir de coincidencias, facilidadde traducción, éxito en las práticas co-merciales u otros síntomas observables.Es evidente que en el nivel básico se al-canza un elevado nivel de universalidad.¿Pero es sólo en el nivel simbólico don-de se sitúa la diversidad cultural? Mi res-puesta es un «¡NO!» categórico. La di-versidad cultural también se encuentraen el nivel arcaico de los sistemas obje-to, y esta localización es más importan-tes y mucho más profunda que la diver-sidad superficial de los sistemas simbóli-cos.

CONSECUENCIASPEDAGOGICAS

La primera idea general es que el en-señante, el diseñador de currículos y elinvestigador deberán tratar de empezardesde el fondo: explorando la diversidadde sistemas objeto culturalmente con-cretos que dan origen a un sistema con-ceptual.

En el presente marco teórico, no pue-den enseñarse realmente las matemáticasen el nivel conceptual. Se puede confor-mar el entorno adecuado y dar las pis-tas correctas para fomentar el juego sig-nificativo con los sistemas objeto cultu-ralmente familiares para ayudar a los ni-ños a construir el sistema conceptual;cuando ya lo han construido, se les de-berá estimular para que inventen suspropios sistemas simbólicos. Habrá unapluralidad de sistemas objeto que pue-dan dar lugar al mismo sistema concep-tual; la elección de aquellos con los quese estimulará a jugar a los niños para quelos dominen debe hacerse en función desu familiaridad y su utilidad cultural;pero si un niño, o mejor aún, un grupode niños, desarrolla su propio sistema,se le deberá estimular a que juegue conél y a que lo compare con los sistemasde más difusión cultural. Si comprendeel sistema conceptual, hará la traduccióncon toda facilidad; si no lo comprende,ni siquiera sabrá que es una traducción.

Una segunda idea general es la con-trapartida de la primera: afirma que em-pezar desde los sistemas simbólicos ha-cia abajo es contraproducente. El domi-nio mecánico de rutinas simbólicas blo-quea el proceso de construcción de con-ceptos. Los símbolos pueden y debenemplearse para contribuir a la construc-ción conceptual sobre la marcha, y pue-de aducirse que el concepto no se puede

desarrollar plenamente sin alguna formade simbolismo que lo acompañe. Perolas prioridades 'deberían estar claras.

Cuando los niños conocen algunossímbolos, pueden ir profundizando ha-cia los posibles conceptos subyacentes ylos sistemas objeto que les subyacen contoda seguridad. Si avanzan desde los sis-temas objeto hasta algunos conceptos, sepueden empezar a buscar símbolos. Sedeberían fomentar estas subidas y baja-das, pero destacando que la tendenciaprincipal debe ser ascendente a partir dedistintos sistemas objeto que posean lamisma estructura. Una vez se haya cons-truido parcialmente el sistema concep-tual y se le haya adjuntado un sistemasimbólico determinado, podemos pro-bar distintos sistemas simbólicos quetengan el mismo significado. Tratemosde inferir si el significado se encuentrarealmente ahí: bajemos hacia distintossistemas objeto para ver si los concep-tos se les pueden aplicar correctamente.Luego subamos por la escalera otra vez.

En el libro antes mencionado [Apar-tado V.III], Pierre Raymond muestracómo se repite, en toda la historia de lamatemática, esta simple pauta de usaruno o más sistemas objeto como mate-ria prima concreta para la construcciónde sistemas conceptuales abstractos. Mipropuesta es dejar que la «ontogénesis»o reconstrucción de estos sistemas porparte de los niños, siga al menos algunade las pautas de la «filogénesis» o cons-trucción de estos sistemas en la historiade la matemática.

Pero no estoy recalcando el tópicousual (y erróneo) de enseñar las mate-máticas únicamente a través de los de-nominados métodos concretos o mate-riales concretos. Raymond observaba larelatividad antes mencionada de la clasi-ficación de un sistema determinadocomo concreto o abstracto también enel nivel histórico. Piaget la observaba enel nivel genético. Pero la pauta es la mis-ma: en cuanto se desarrolla un buen sis-tema simbólico para el sistema activo yse alcanza un nivel suficiente de familia-ridad, un nuevo sistema activo utiliza elsistema anterior como sistema objeto yel nuevo sistema conceptual puede tenertanto éxito que ahora se convierte enconcreto y el primer sistema concretodesaparece en el trasfondo y se olvidacon rapidez.

Estoy abogando por una operación derescate para recuperar estos sistemasconcretos donde se encontrará que resi-

15de la dependencia cultural original. Pue-de que, a su vez, demuestren ser muy re-lativos, pero esto no importa. Cierta-mente, la palabra «concreto» es muy re-lativa.

Piaget ha criticado con agudeza laconfusión entre estas actividades en laescuela y los métodos verdaderamenteactivos. Cualquier percepción, cualquierpalabra significativa de un niño de tresaños ya es abstracta: vincula entre sí mu-chos objetos y olvida, o abstrae, muchasdiferencias que podrían ser importantes.Para esta construcción hace falta unagran actividad mental. Es esta actividaden los sistemas que son concretos encada momento lo que debe recalcarse.

Vygotsky observó también que losmétodos de enseñanza empleados conlos niños mentalmente atrasados, basa-dos en técnicas concretas de «mirar yhacer» habían acabado en una profundadesilusión:

Resulta que los sistemas de enseñanzabasados únicamente en lo concreto —lossistemas que eliminan de la enseñanzatodo lo asociado con el pensamiento abs-tracto— no sólo fracasan en ayudar a losniños atrasados a superar sus dificultadesinnatas sino que también las refuerzan alacostumbrar a los niños a un pensamien-to exclusivamente concreto. Ahora se veque lo concreto sólo es necesario e inevi-table como trampolín para el desarrollodel pensamiento abstracto, es decir, comoun medio y no como un fin en sí mismo 6.

Las ideas anteriores forzaron un re-planteamiento a fondo de todos los sis-temas impartidos en los niveles de pri-mera y segunda enseñanza, desde losnúmeros naturales con sus operacionesy relaciones usuales hasta las funcionesreales del cálculo elemental con sus ope-raciones y relaciones. Se encontraronmuchas sorpresas en todos los niveles,desde las colecciones más concretas deobjetos familiares que emplean los niñoscomo sistemas objeto para construir susnúmeros para contar, hasta el compor-tamiento extravagante de las funciones ylas derivadas.

Un informe completo de las investi-gaciones realizadas en todos estos siste-mas será el tema de un próximo libro.Muchos aspectos de esta investigaciónpodrían denominarse culturales, antro-pológicos, lingüísticos, psicológicos omatemáticos. Pero la pauta general se re-petía una y otra vez. Detalles aparente-mente triviales de lenguaje, problemasde aprendizaje, posibles errores, reac-

ciones negativas de los niños, conduje-ron al descubrimiento de los sistemasculturales relevantes, destacando el sis-tema conceptual y relacionando los dis-tintos sistemas simbólicos adjuntos a él.En los apartados siguientes se presentanalgunos ejemplos breves.

No se discute la representatividad nila generalización de estos ejemplos. Se-ría difícil separar lo que es específico deun niño determinado, de una subcultu-ra determinada o de un país determina-do, de lo que es general o universal, odestacar lo que se debe a factores cultu-rales, o a factores genéticos o a una in-teracción de los dos. Es evidente, porejemplo, que los objetos peculiares o losjuguetes locales con los que juegan losniños no son los mismos en culturas dis-tintas; ni siquiera son los mismos en dis-tintos estratos de la población de la mis-ma ciudad de Bortá. Pero, ¿por qué losjuegos de los niños han resultado sermás universales de lo imaginado? ¿Porqué los psicólogos del desarrollo deter-minan pautas sorprendentes similares enel crecimiento de los niños de Ginebra,de París, de Nueva York o de Yakarta?La hipótesis que subyace a la presenta-ción de ejemplos procedentes de mi ex-periencia limitada es que se encontraráque los esquemas de acción de los niñosson muy similares en culturas distintas,independientemente de lo diferentes quepuedan ser los objetos de estas accioneso las etiquetas lingüísticas que se lesasigne.

Si la matemática surge de la articula-ción de estos esquemas de acción, comoafirma Piaget, y no de las reacciones delos objetos ni de la repetición de símbo-los escritos o hablados, la pauta para unapedagogía correcta de las matemáticasque sigue a continuación puede transfe-rirse a culturas y entornos completa-mente distintos: explorar en primer lu-gar las actividades matemáticas y proto-matemáticas de la cultura local; recogerel lenguaje que empleen los niños y losadultos para representar los objetos, losprocedimientos y las relaciones corres-pondientes; partir de los sistemas obje-to concretos encontrados en esa culturay emplear el lenguaje local para provo-car estos esquemas de acción o pautas deactividad en los sistemas objeto. Obser-var los síntomas de la construcción realde sistemas conceptuales y dejar que va-rios sistemas simbólicos fluyan o se ad-junten a estos sistemas conceptuales. Esmi opinión que esta pauta de actividad

16educativa se puede generalizar a la ense-ñanza y el aprendizaje de las matemáti-cas en otras culturas.

TEORIA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos, tal como eratransmitida por los libros de texto de laMatemática Moderna, resultó ser muyajena a nuestro entorno cultural. Natu-ralmente, los enseñantes británicos yholandeses lo descubrieron muy prontodespués de la introducción de la Mate-mática Moderna en sus propios marcosculturales, y los enseñantes japoneses larechazaron al cabo de unos cuantos me-ses.

Sin embargo, al profundizar un pocose encontraron estratos más profundosque eran manejados alegremente y confacilidad por los niños colombianos.Muchas situaciones culturalmente fami-liares que daban pie a los números paracontar resultaron ser naturales e intere-santes para los niños. Las denomino«juegos de colecciones». Los niños iden-tifican, emplean, cuentan, etiquetan,reúnen y separan colecciones de objetoscotidianos dentro y fuera de la escuela,con toda facilidad: sus canicas, sus ju-guetes, sus utensilios escolares, muebles,cubiertos y vajilla, sellos de correos,cromos, etc.

La clave teórica era la distinción dePiaget entre colecciones (tanto figurati-vas como no figurativas) y clases opera-cionales. Las colecciones figurativasconcretas deben ser visibles como una«Gestalt» simultánea y deben tener unmínimo de dos elementos. Las coleccio-nes no figurativas concretas también de-ben contar, al menos, con dos elemen-tos, y todos los miembros de la colec-ción deben tener una propiedad comúny recibir la misma etiqueta. No hay co-lecciones vacías ni colecciones de unsólo elemento. Estas colecciones no sonconjuntos matemáticos: son sistemascon muchas relaciones internas y opera-ciones y procedimientos activos. Los ni-ños nunca perciben a los miembros desu familia y a sus compañeros de clasecomo conjuntos de elementos sueltos,desordenados, no estructurados. El con-junto con sus elementos muertos, susprocedimientos congelados y sus rela-ciones difuntas no es más que el cadá-ver del sistema. No es de extrañar quea los niños no les gusten los conjuntos;pero les encantan los sistemas. ¿En qué

lugar del mundo hay un niño que acep-te que el conjunto [a, b, c] es lo mismoque el conjunto [c, a, b]? Esta igualdadsólo es posible a un nivel elevado de abs-tracción, cuando se ha borrado cual-quier señal de estructura en los sistemasoriginales y se ha arrojado a las oscurasprofundidades de la categoría de losconjuntos.

No pretendo negar que puede ser in-teresante, y hasta necesario, estudiar ca-dáveres de sistemas más adelante. Enbiología también es necesario diseccio-nar ranas muertas y matar células contintes para verlas por el microspocio.Sólo digo que los niños prefieren real-mente las ranas vivas y las células que semueven. También prefieren los sistemasvivos, ligados y estructurados a los con-juntos muertos, sueltos y no estructura-dos. Si las palabras «conjunto» y «ele-mento» no se fuerzan al niño y nos abs-tenemos de los conjuntos vacíos y uni-tarios, el niño se siente con plena liber-tad en esta parte de la teoría de conjun-tos que refleja juegos concretos de co-lecciones. Cabe recordar que, para losgriegos, y hasta la aritmética del Rena-cimiento, el cero y el uno no eran nú-meros: los números empezaban con eldos. Todavía seguimos estando deacuerdo con nuestros antecesores en quela unidad no es ni prima ni compuesta;pero nos resistimos ante la afirmaciónperfectamente paralela de que la unidadno es par ni impar. Pero ellos aceptabanlas dos, simplemente porque la unidadno era un número.

Se encontró que los procedimientosculturalmente naturales con coleccioneseran la unión y la complementación. Losniños rechazaban emplear la conjunción«o» en la unión de colecciones, tal comoprescriben todos los libros de texto so-bre la teoría de conjuntos: prefieren laconjunción «y» que, según los libros detexto, debe emplearse para la intersec-ción de conjuntos. Pero los niños insis-ten en decir «Los bloques azules y losdiscos» para la unión, y no empleen nin-guna conjunción para la intersección:«Los discos azules». Los niños teníanrazón. Tanto peor para los libros de tex-to.

Estas sencillas exploraciones del mun-do cultural de los juegos de coleccionesde los niños, llevada a cabo con el esta-do de ánimo de un antropólogo culturalcon formación matemática, me permi-tieron reescribir gran parte del materialde la Matemática Moderna que los

17maestros solían repetir sin mucha com-prensión y los niños solían repetir sinninguna. Se recuperaron muchas de lasvirtudes de la versión adecuada de lateoría de conjuntos, y en sus raíces sedetectaron muchos errores bien conoci-dos.

LOGICA

Otra sorpresa fue el contraste entre la«Lógica de la Matemática Moderna» queahora se enseña en muchos centros deprimera enseñanza y los juegos de len-guaje lógico específicos de la cultura enque juegan los niños. Resultó que los ni-ños pequeños no comprenden la lógicade proposiciones ya que los libros detexto parten del supuesto de que los ni-ños suelen tener una idea pura de pre-mio-castigo respecto a decir la verdad.Pero una versión adecuada de la deno-minada lógica deóntica de algunos lógi-cos díscolos resultó ser perfectamentecomprendida por los niños pequeños deuna manera muy precisa: constantemen-te se les dan instrucciones, órdenes, pro-hibiciones, promesas de premios y cas-tigos condicionados. Pero en este mar-co culturalmente sintonizado, las tauto-logías usuales dejan de ser válidas. Laconjunción «y» no es conmutativa; tra-temos de conmutar: «Quítate los zapa-tos y sácate los calcetines». A causa dela dependencia temporal de las condicio-nes, la afirmación contrarrecíproca no esequivalente a la expresión original y «Sip, entonces q» es interpretada por los ni-ños como «O p o no q»; los libros detexto nos aseguran que esta transforma-ción es incorrecta y que la correcta es«O no p o q» que los niños se niegan aaceptar. En realidad, los niños siempreinterpretan «Si te portas bien podrás iral cine» como «O te portas bien, o nopodrás ir al cine» y nunca como «O note portas bien, o podrás ir al cine» quees ridícula. De nuevo los niños tienenrazón y los libros de texto, no. De nue-vo vuelvo a decir: tanto peor para los li-bros de texto 7.

NUMEROS NATURALES

Los números naturales se asocian asistemas concretos de juegos de colec-ciones con etiquetas numéricas adjunta-das como cuasi-adjetivos a nombres plu-rales, o con listas numéricas aprendidas

de memoria adjuntadas a objetos de unacolección concreta señalando con los de-dos. Los dados, las fichas de dominó olos juegos de cartas pueden ser muy co-nocidos por los niños pequeños quepueden determinar las pautas como«Gestalten» sin necesidad de contarpuntos o bastos. Las palabras que em-plean pueden colisionar con el sistemanumérico decimal; por ejemplo, «diez»es una palabra más corta que «nueve»pero «10» tiene más símbolos que «9».Los números 11 y 12, cuando se leen envoz alta, no tienen nada que ver con lossímbolos; en castellano, los números 11a 15 no se leen «diez y uno, diez y dos,... diez y cinco» como debería ser. Perono tenemos el problema que tienen losalemanes: 21 se lee al revés como «ei-nundzwanzig»; compáreselo con el «un-deviginti» latín, que equivale a nuestro19. Y no hablemos ya del problemafrancés con el «quatre-vingt-dix-neuf»...

Para mencionar sólo una operación,un estudio de la división guiado porunas pocas pistas dadas por la matemá-tica italiana Emma Castelnuovo, llevó ala detección de dos tipos distintos deprocesos de división culturalmente fa-miliares, ninguno de los cuales coincidíacon el impartido en la escuela:

I. Dar el mismo número de elementosde un lote dado de caramelos a cada unode los niños de un grupo dado. El resul-tado es un número de elementos.

II. Partir una cantidad dada de elemen-tos en lotes de un tamaño dado, dandocada lote a un niño. El resultado es un nú-mero de niños.

Los niños colombianos habla del pri-mer proceso como de «repartir carame-los entre niños». Para el segundo proce-so emplean la expresión «Repartir de a».Pero ambos procesos pueden realizarsesin emplear la multiplicación y, por tan-to, no coinciden con el proceso de divi-sión impartido en la escuela ni con laspalabras empleadas en los libros de tex-to: «Dividir por». La independencia delos procesos culturalmente familiarespara la división respecto a la multiplica-ción se observa fácilmente fuera de la es-cuela, a pesar de la identificación que ha-cen los libros de texto de la divisióncomo la operación inversa a la multipli-cación. Un matemático francés me dijoque hay grupos nativos que practican laadición, la sustracción y la división, perono saben multiplicar. Si esto se confir-ma, su existencia apoyaría en el ámbito

18filogenético la independencia ontogené-tica observada entre la división y la mul-tiplicación.

ENTEROS

Se encontró que los niños rechazabaninstintivamente los enteros negativos.Este concepto se ha conocido durantesiglos pero no tuvo una acogida fácil enlas matemáticas. El maestro del álgebrarenacentista, Cardano, tildaba a las so-luciones negativas de las ecuaciones desegundo y tercer grado de «ficticias»,«inútiles» e incluso «falsas» 8 . Nuncaquedamos del todo convencidos quemenos por menos dé más; decidimosaprenderlo de memoria como una reglarutinaria, sin tratar de entenderla.

Pero los niños pueden construir losenteros positivos y negativos como ope-radores conceptuales activos que hacencambiar las cosas de un sitio a otro: losnúmeros naturales al contar, las calles alo largo de una avenida, los escalones deuna escalera y otras cosas más familia-res para ellos que las deudas o las tem-peraturas bajo cero. Los enteros sonoperadores activos que cambian las co-sas hacia arriba n pasos (+ n) o haciabajo n pasos (— n). El operador de iden-tidad no mueve las cosas nada (0). Peroel proceso natural entre dos de estosoperadores activos no es la adición: esla aplicación sucesiva (o composición)de los dos operadores: ya hemos desta-cado anteriormente que subir cuatro(+ 4) y luego bajar tres (— 3) es lo mis-mo que subir uno (+ 1), es decir: +4 ó-3 = +1, donde el círculo pequeño re-presenta la composición de operadores,que no es más que una manera estrafa-laria y culturalmente ajena de decir queaplicamos uno después del otro.

Desde este punto de vista puede ob-servarse que las deudas o las temperatu-ras bajo cero no son modelos correctosde los enteros negativos. Son más biendos sistemas objeto más para los opera-dores culturalmente familiares que ac-túan en los números naturales al contar,en los escalones de una escalera o en lascalles que hay a lo largo de una avenida.En realidad, caminar n manzanas al nor-te o al sur cambia la numeración de lascalles laterales que van en dirección es-te-oeste de una manera definida: cami-nar cuatro manzanas hacia el norte yluego tres hacia el sur es lo mismo quecaminar una manzana hacia el norte.

Pero no he dicho en qué calle nos en-contramos. El sistema objeto es una cosay el sistema conceptual activo es otra.

La dependencia cultural del sistemaobjeto quedó patente en un ensayo ex-perimental de este sistema en una escue-la de un barrio pobre de Bogotá. En estaciudad, el norte es un suburbio elegantemientras que los pobres viven en la zonasur. En este sistema, el sistema simbóli-co evidente para los enteros es 4N, 3S,1N, etc. Identificar 4 y 4N quitando la«N» y escribir 4S para el menos cuatroparecía un insulto a los niños del barriopobre: «¿Por qué se da por sentado que"4" significa "4 hacia el norte"?» «¿Porqué los números del norte se llaman po-sitivos?» «¿ Qué hay de negativo en vi-vir en la zona sur?» Los niños tenían ra-zón y tuvimos que cambiar el sistema deeste a oeste porque hay muy pocas ave-nidas más al este de la Primera Aveniday nadie se sentiría insultado.

Por último, para estos operadores hayun operador natural de cambio de orien-tación que se llama «menos» y se escri-bre « — ». Es evidente que si se cambiade orentación dos veces todo se quedacomo estaba. No hay una «regla de lossignos» rutinaria: sólo una comprensióndirecta de lo que ocurre si se cambia dosveces de orientación. Pero obsérvese queel operador «menos» es ahora un mons-truo activo que devora enteros. Las fun-ciones empiezan a aparecer como ope-radores activos que actúan sobre losahora familiares enteros, que a su vez sevan a fundir en un sistema objeto. El«menos» es un monstruo unario que secome enteros y los devuelve invertidos.Si nos muerde dos veces, acabamos ile-sos. Algunos niños del Estado de An-tioquía recordaban haber oído a susabuelos contar esta historia de brujas: sicortamos una bruja una vez con un cu-chillo, volverá a nosotros otra vez parahacerse otro corte y curar la primera he-rida con la segunda. ¿Pensamos que es-tos niños de Antioquía llegarán nunca aolvidar lo que ocurre si se aplica «me-nos» dos veces?

FRACCIONES

Este sistema es el dolor de cabeza detodos los enseñantes de matemáticas.Los estudiantes recién llegados a la fa-cultad parecen haberlo olvidado todorespecto a las fracciones como sabe biencualquier profesor que haya corregido

19pruebas de derivadas de potencias frac-cionales o de integración de funcionesracionales. El remedio propuesto por elmovimiento del Retorno a lo fundamen-tal es practicar mucho más las fraccio-nes. Se ha intentado, pero la cantidad deejercicios de repetición parece influirpoco o nada en las dificultades con lasfracciones que se presentarán en ariosposteriores; en lo que se sabe que influ-yen estos ejercicios es en la actitud ha-cia las matemáticas: hay más niños queodian las matemáticas y hay más adul-tos que temen las fracciones.

Empecé a pensar que las fraccioneseran demasiado difíciles para los estu-diantes de tercer curso. Mientras ponde-raba la decisión de pasarlas a quinto cur-so, vi a un grupo de niños de primer cur-so en una clase de gimnasia que seguíansin problemas una serie de instruccionessobre medias vueltas y cuartos de vuel-ta. ¿Habría un sistema objeto cultural-mente favorable para las fracciones?

Los niños muy pequeños saben mu-cho de galones, medios galones, cuartos,pintas y medias pintas siempre y cuan-'do se trate de leche. Luis Eduardo Y ysus colegas mecánicos sabían mucho so-bre fracciones de pulgada. Las niñas sa-ben mucho de longitudes fraccionales,siempre que se trate de hilos o cintas.En los países adheridos al sistema mé-trico decimal las longitudes fraccionalesaún son más fáciles de manejar: no haysaltos de doce a un pie, de tres a una yar-da o de Dios sabe cuántos a una vara ouna milla. Pero el mismo niño que sabecuánto es cuando vertemos medio galónde leche en un recipiente, y luego uncuarto de galón más, se quedará total-mente perplejo ante el jeroglífico«1/2 + 1/4». ¿Deberá sumar? ¿Multipli-car? ¿Multiplicar en cruz? ¿Hallar el mí-nimo común denominador? Debemoshaber saltado con demasiada rapidez alsistema simbólico sin una construcciónprevia del sistema conceptual pertinente.

«Fracción» es una palabra ambigua: serefiere a los números racionales y a lossímbolos fraccionales. ¿Es lo mismo 1/2que 2/4? ¡Es evidente que no! El primernumerador es impar; el segundo es par.Sin embargo, de alguna manera se supo-ne que son lo mismo. ¿Lo mismo quequé? Bien, si el niño no ha construidoel número racional conceptual correcto,la cuestión no puede resolverse en el ni-vel simbólico. Pero en el nivel concep-tual, los números racionales no tienennumeradores ni denominadores. Son

monstruos activos. Cuando se conoce almonstruo de las mitades, no importaque el maestro escriba 1/2, 2/4, 0,5 o in-cluso 50 'Yo. Todo es lo mismo. Peroahora ya sabemos en qué son lo mismo:no son más que graciosos disfraces parael mismo monstruo de las mitades.Para los niños de seis a doce años deedad (al menos) es muy importante sa-ber qué se supone que comen los mons-truos. Se comen turnos, se comen tro-zos de cuerda, se comen ciertos núme-ros naturales como decenas de docenas.Hasta se comen cantidades de leche oáreas de superficies de cemento. He es-tudiado todos estos sistemas objeto y esevidente que el más difícil es el de lasáreas. Pero es el más fácil de dibujar enla pizarra y en los libros de texto y es,con mucho, el más común; sin embar-go, al menos en Colombia, es un siste-ma objeto culturalmente equivocadodesde el que empezar.

También es evidente que las palabrasusuales para transformar fracciones, «re-ducir», «simplificar» y «aumentar» sonculturalmente confusas; se dice que sim-plificar una fracción es lo mismo que re-ducirla y que lo contrario es aumentar-la. Pero los niños asocian una reduccióncon una disminución de tamaño y unaumento con un crecimiento. Por tanto,propongo emplear «simplificar» y«complicar» que significan simplementehacer las cosas más sencillas o más com-plicadas en el nivel puramente simbóli-co. En el nivel conceptual, los mons-truos racionales realmente amplían y re-ducen lo que se comen (a excepción, na-turalmente, del monstruo domado queno causa daño a sus víctimas y que es el«Número Uno»). Es importante tenerpresente que estos monstruos no se co-men tartas ni hojas de papel, como mu-chos enseñantes parecen pensar. Se co-men la masa o volumen de la tarta o elárea de la hoja. Las «medias tartas» seidentifican fácilmente como un camelo:si me dejas comer mi media tarta, esco-geré la mitad superior porque toda lanata está ahí. O si me dejas elegir mi me-dia naranja, escojeré la mitad de dentroy te dejaré la piel. Si preguntamos a unniño qué tendremos si partimos unahoja de papel por la mitad no responde-rá: «Dos medias hojas» (a menos quesepa que ésta es la respuesta que desea-mos oír). Responderá: «Dos hojas pe-queñas de papel» y con toda la razón.El monstruo de las mitades no se comelos objetos mismos: sólo sus áreas, Ion-

20gitudes, masas, pesos o volúmenes.

De nuevo, el procedimiento natural aaplicar a dos monstruos en el nivel con-ceptual no es la adición: vuelve a ser lacomposición o, mejor aún, la aplicaciónde uno después del otro. Los niñosaprenden enseguida que la mitad de me-dio galón es un cuarto; que la mitad demedia pulgada es un cuarto de pulga-da, etc. Pero cuando ven algo como«(1/2) x (1/2)» no saben qué es. ¿Porqué el signo de multiplicar? ¿Por quédecir «por» o «veces» cuando basta conun simple «de»? Cuando los niños seaburren con los sistemas objeto porqueya han construido los monstruos racio-nales, dicen simplemente: «la mitad dela mitad es un cuarto». Si se les pregun-ta por los sistemas objeto, se encogen dehombros y dicen: «Es lo mismo». Cuan-do un niño dice «Es lo mismo» es queha construido un sistema conceptual: haaprendido matemáticas.

GEOMETRIA

Los sistemas geométricos también es-tán repletos de sorpresas. Debo empe-zar por confesar que la manera que tie-ne la Matemática Moderna de afirmarque los segmentos de línea son conjun-tos de puntos me solía dejar frío o, peoraún, helado. Hay demasiados conjuntosde puntos que no son líneas y el tonodogmático de infalibilidad asumido porel enseñante que repite la afirmación essimplemente exasperante. Cuando undía vi a un niño mirando un segmentode línea con una lupa para tratar de verlos puntos, ya tuve bastante geometríade la Matemática Moderna.

¿Por qué no limitarse a jugar con seg-mentos de línea como elementos primi-tivos en un sistema encantador en el quelos puntos sean algo desconocido? Alreplantear sistemas de segmentos, eraevidente que había muchas operacioneso procedimientos interesantes que reali-zar con ellos: deslizarlos, girarlos, ali-nearlos extremo con extremo, doblarlos,biseccionarlos y lo que sea. Tambiénpuede encontrarse una multitud de rela-ciones: paralelismo, incidencia, con-gruencia, perpendicularidad.

Empecé a jugar a juegos de segmen-tos con los niños. Los niños de losbarrios pobres encontraban difícil la pa-labra «segmento»; decían «semento»que suena exactamente igual que «ce-mento». Por tanto, decidimos llamarlos

simplemente «rayitas». Los juegos derayitas eran sencillos pero activos; losniños estaban deseosos de colocar lospalos que representaban segmentos o ra-yitas por todas partes, girándolos,uniéndolos, deslizándolos. Las pregun-tas sobre las relaciones los paraba enseco. Casi se podían ver sus neuronasdisparando hipótesis; normalmente, nose emitían palabras; quizá un rápidodeslizamiento del palo de un pirulí, ouna comprobación de longitudes conpulgar e índice como calibrador. Se po-día ver el brillo de los ojos en el instan-te de una intuición. Y una sonrisa. Todami formación filosófica empezó a bor-botear en mi pensamiento: ¿Es ésta larelación, tanto tiempo ha perdida, entreteoría y práctica?

Ciertamente, los procedimientos y lasoperaciones reflejan la práctica; las rela-ciones reflejan la teoría. Los procedi-mientos son activos; tienen una priori-dad en la práctica (se ha de hacer algopara ejecutarlos) y también tienen unaprioridad en la teoría (se debe hacer algopara comprobar una relación).

La prioridad de la acción está bien do-cumentada por Piaget. Define las opera-ciones como acciones interiorizadas, re-versibles y coordinadas. Vygotsky hablade la «reconstrucción interna de unaoperación externa».

Por tanto, aprender es la realizaciónde acciones, operaciones, procedimien-tos y algoritmos (en el nivel simbólico,los procedimientos se llaman algorit-mos). Por tanto, enseñar es facilitar estarealización. Estas observaciones nosayudan a apreciar las funciones comotransformaciones activas, no como rela-ciones y, mucho menos, como conjun-tos de pares ordenados. Y nos ayudan aredescubrir la geometría activa.

Una vez dibujé un segmento de rectahacia abajo y luego la etiqueté de A a Bempezando por el punto más cercano ala tiza:

Dije: «Digamos que esta es la rayitaAB». Uno de los niños protestó: «¡Lahas dibujado hacia abajo! ¿No deberíaser la rayita BA?». Me pilló despreveni-do. Nos olvidamos de la acción, del mo-

21vimiento; los niños no. Para nosotros,un segmento es un segmento muerto,frío, congelado. Nos es igual que se lla-me AB o BA. Para los niños todavía estávivo, caliente, dirigido hacia abajo. Tra-té de imaginar cuántos enseñantes hanrespondido a la misma pregunta concara seria y tono dogmático: «Es lo mis-mo. Y punto.» ¿Lo mismo que qué?¿Para quién es lo mismo?

El mismo grupo de niños que en laclase de gimnasia seguía instruccionescomo «¡Media vuelta a la derecha!» yque me condujo al más primitivo siste-ma objeto para las fracciones, resolviótambién el problema de los ángulos. Ahíestaba, el otrora activo ángulo de giro,justo en primer curso. Como la geome-tría de los niños es dinámica, el concep-to correcto de ángulo no es el par de me-dias líneas (radios) unidas por un extre-mo. Es la amplitud de un giro, y desdeel mismo principio tiene una orientacióndefinida, un interior y un exterior. Peroel ángulo que se dibuja en la pizarra yaestá muerto. Ha perdido la orientación,el interior y el exterior.

En 1978 empezé a rediseñar los pro-gramas de geometría desde primer a no-veno curso reconstruyendo una seriecompleta de sistemas geométricos quedenominé «geometría activa». Empiezaactuando en el propio cuerpo del niñoy en sus juguetes como sistemas objeto.Sobre estos sistemas se construye un sis-tema conceptual de transformación. Ypueden surgir muchos sistemas simbóli-cos posibles a partir del sistema concep-tual.

Sólo un ejemplo: caminar a lo largode segmentos y girando con el propiocuerpo en los ángulos de las esquinas re-solvió el eterno problema de los estu-diantes acerca de los ángulos exterioresde los triángulos.

Pregunta: ¿Cuál es el ángulo exterior?

Si miramos la figura muerta, estamosperdidos. No es posible ninguna res-puesta definitiva. Pero si trazamos contiza un gran triángulo en el suelo y ca-minamos en torno a él, no hay duda so-bre el significado del ángulo exterior:hay que girar con el pie delantero para

alinearlo con el lado siguiente en cuantose sobrepasa el vértice. El hecho eviden-te de que cuando se anda alrededor deun triángulo se acaba mirando en la mis-ma dirección que al principio, da un sig-nificado dinámico, activo y vivo al he-cho de que la suma de los ángulos exte-riores de un triángulo es una vueltacompleta (3600).

Respuesta: ¡Basta con caminar alrededordel triángulo!

Pero entonces, ¿cuál es el significadode la afirmación de que la suma de losángulos interiores es dos rectos (es de-cir, 180° o media vuelta)? Basta con tra-tar de andar alrededor del triángulo si-guiendo los ángulos interiores con el piehacia atrás. Para sorpresa de muchos, seacaba mirando en dirección opuesta a lainicial. ¡Que nadie se pierda la diversiónde la geometría activa!

Seymour Papert también había descu-bierto este tipo de geometría dinámica.En su libro de 1980 Mindstorms, hablade cómo los niños imitan a la tortugadel LOGO con sus propios cuerpospara poder programar una trayectoriacircular. Denomina a esto «geometríacorporal» y «aprendizaje sintónico»:

El círculo de la tortuga es corporal-mente sintónico en el sentido de que elcírculo se relaciona firmemente con lasensación y el conocimiento que tienenlos niños de su propio cuerpo 1°.

Pero para hacer geometría activa nose requiere un ordenador sofisticado ouna versión bien desarrollada e interac-tiva de LOGO; parto del supuesto deque sólo hace falta un oído sensible paraescuchar a niños nada sofisticados ha-blar con su propio lenguaje poco de-sarrollado, y una vista sensible para des-cubrir el sistema objeto culturalmenterelevante. A partir de aquí se puede de-sarrollar una geometría activa, no sóloen el entorno de la Mathland del MIT,sino también en cada escuela primariadel país.

De nuevo, y en el lenguaje de Papert,abogo por una «sintonía cultural». Pa-

22pert ilustra este concepto relacionandoángulos y navegación por medio de latortuga del LOGO:

Una de las representaciones más difun-didas de la idea de ángulo en las vidas delos norteamericanos contemporáneosse da en la navegación. Muchos millonesde ellos navegan en barcos o aviones... Latortuga conecta la idea de ángulo con lanavegación, actividad que está firme y po-sitivamente enraizada en la cultura ex-traescolar de muchos niños. Y a medidaque los ordenadores continúen exten-diéndose por el mundo, la sintonía cultu-ral de la geometría de la tortuga se harámás y más poderosa ".

No puedo juzgar con qué firmeza ypositividad está enraizada la navegaciónen Norteamérica; en Colombia lo en-cuentro demasiado esotérico: ningunode los niños de las escuelas públicas deBogotá que conozco ha tenido esta ex-periencia. Quizá en la costa caribeña odel Pacífico de nuestro país pueda haberalgunos niños que naveguen, en embar-caciones; pero ninguno de ellos tendrála oportunidad de interactuar con lastortugas informáticas del entornoLOGO, al menos no antes del si-glo XXI. No creo que debamos esperartanto: abogo por la sintonía cultural, nosólo de la geometría, sino de todo siste-ma matemático; y no sólo en el entornoLOGO sino en cualquier escuela, pormuy apartada que esté de yates u orde-nadores. Empecemos a conectar cadaidea o sistema matemático con una acti-vidad firme y positivamente enraizadaen la cultura extraescolar.

CONCLUSIONES

Este viaje antropológico a las regionesinexploradas de las escuelas de primeraenseñanza de Colombia cambió mi ma-nera de pensar sobre el aprendizaje delas matemáticas: reveló que el aprendi-zaje de las matemáticas puede ser tan de-pendiente de la cultura como el apren-dizaje de la literatura o la historia, y nosólo en el nivel lingüístico o simbólico.La aparente no-historicidad y no-cultu-ralidad de las matemáticas es una fanta-sía de una mente adulta que ha alcanza-do la meseta del pensamiento formal yha reprimido el razonamiento condicio-nado por la historia y dependiente de lacultura de todos los niños y la mayoríade los adultos, al menos cuando estosadultos no tratan de «pensar matemáti-

camente»; es decir, prácticamente entodo momento.

El problema es que el enseñante dematemáticas es uno de los pocos adul-tos que trata de «pensar matemática-mente»; y el autor de libros de texto dematemáticas aún es peor. El principalobstáculo con que se ha enfrentado lareforma experimental colombiana no re-side, ciertamente, en el nivel de los ni-ños: a ellos les encanta. Reside en el ni-vel de los enseñantes, sobre todo en losencargados de la formación de los ense-ñantes y en los inspectores. Ellos sabentodas las respuestas. Ellos están segurosde que la matemática es el lenguaje uni-versal. Creen que pueden evaluar obje-tivamente lo que los niños saben de lasmatemáticas. Creo que sólo evalúan loque los niños recuerdan de estos siste-mas simbólicos desercarnados que lamayoría de los enseñantes piensa queson las matemáticas.

Un maestro venerado e investigadorde la matemática, Edward G. Begle,pensó hasta el último momento de suvida que los sistemas matemáticos eransistemas formales y simbólicos. Su estu-dio de la investigación de la enseñanzade las matemáticas atinó con la nociónde sistemas matemáticos, pero la filoso-fía formalista que predominaba en lamatemática le llevó a identificar errónea-mente los sistemas matemáticos en el ni-vel conceptual con los sistemas simbó-licos formales y, naturalmente, a olvidarpor completo los sistemas objeto 12 . Lamayor parte de la investigación sobre laenseñanza de las matemáticas parte de lamisma confusión e ignora por completolos sistemas objeto. Mi predicción esque esta investigación avanzará poco onada a partir de ahora.

Quizá los métodos alternativos de en-señanza puedan acelerar el aprendizajede los procedimientos simbólicos; peroel investigador no sabrá por qué. Losmétodos nuevos basados en los modelosde la Inteligencia Artificial pasarán a unprimer plano, pero hasta el momento lasmáquinas sólo pueden ejecutar algorit-mos simbólicos. La comprensión con-ceptual, la transferencia a nuevas situa-ciones y la producción de nuevos con-ceptos matemáticos a partir de sistemasobjeto seguirán en la sombra.

Mientras los sistemas objeto matemá-ticos y prematemáticos sean ignorados,los investigadores, los autores de librosde texto y los enseñantes seguiránaferrándose al erróneo presupuesto de

23que los niños no saben nada de mate-máticas cuando entran en la escuela.¿Qué enseñante de lenguaje partirá delsupuesto de que los niños de seis añosno saben nada de Inglés o de Castellanocuando entran en la escuela? Quizá losmaestros de institutos especiales de edu-cación para sordomudos. Mientras losenseñantes sigan pensando que los niñosson matemáticamente sordomudos, laenseñanza de las matemáticas, sean «bá-sicas» o «modernas», está condenada allegar únicamente al 10 por ciento queconsigue construir sus propios sistemasconceptuales a pesar de sus maestros,desenredando por su cuenta el laberintode sistemas simbólicos despojados detodo su contenido cultural e imaginati-vo. Cuando han construido sus sistemasconceptuales, pueden sintonizar fácil-mente sus receptores con la onda delmaestro, seguir aprendiendo matemáti-cas y empezar a dejar a sus compañerosmuy atrás. El enseñante sólo enseñará alos estudiantes privilegiados, creando enel resto de ellos la «fobia a las matemá-ticas» tan bien descrita por Papert ".

Deberá realizarse con detalle un aná-lisis serio de todos los sistemas matemá-ticos encontrados en el currículo esco-lar antes de diseñar un nuevo programade investigación, un nuevo libro de tex-to e incluso una nueva lección o activi-dad escolar en matemáticas. He aquí al-gunas de las preguntas que se están in-vestigando en Colombia y que deberíaninvestigarse en otros lugares para hacerque esta meta utópica sea una realidad:

1. ¿Qué experiencia con sistemasconcretos, sean matemáticos o protoma-temáticos, poseen ya los niños en su cul-tura extraescolar?

2. ¿Cómo podemos delimitar estossistemas objeto culturalmente familiarespara establecer sus componentes, susprocedimientos, sus relaciones?

3. ¿Qué palabras, imágenes, símbo-los, señales, gestos, ..., emplean los ni-ños y los adultos para hablar de los com-ponentes, los procedimientos y las rela-ciones de estos sistemas objeto cpncre-tos?

4. Qué transformaciones, acciones,procedimientos u operadores que actúansobre estos sistemas objeto constituyenla materia prima para la construcción deun nuevo sistema conceptual?

5. ¿Qué significa componer, o aplicarsucesivamente, estos operadores a com-ponentes objeto? ¿Qué otras combina-ciones u operaciones conceptuales pue-den realizarse en los operadores queahora forman los componentes del nue-vo sistema conceptual?

6. ¿Qué relaciones existen entre estosoperadores?

7. ¿Qué sistemas simbólicos se handesarrollado en la cultura local, en lacultura de la clase media dominante o enla literatura matemática para representarestos operadores, los procedimientossobre ellos y sus relaciones en el nuevosistema conceptual?

8. ¿Qué procedimientos se empleanpara manipular y combinar estos símbo-los en los correspondientes sistemassimbólicos (algoritmos)?

9. ¿Qué relaciones existen entre lossímbolos de cada sistema simbólico yentre los símbolos de diferentes sistemassimbólicos desarrollados para el mismosistema conceptual?

10. ¿Colisionan las notaciones y losalgoritmos usuales en los libros de textocon el manejo concreto, conceptual osimbólico de los sistemas objeto, con-ceptuales o simbólicos culturalmente fa-miliares?

Por tanto, sólo se emplean dos herra-mientas conceptuales sencillas para ana-lizar las totalidades matemáticas. Po-dríamos pensar en ellas como dos pris-mas triangulares que descomponen laluz blanca de la totalidad matemáticaque se analiza; el primer prisma mues-tra tres niveles de sistemas: sistemas ob-jeto concretos, sistemas conceptuales ysistemas simbólicos; el segundo prismamuestra tres tipos diferentes de entida-des dentro de cada sistema: componen-tes, procedimientos y relaciones. Cuan-do la imagen global se extiende en deta-lle y se comprende en su complejidad,la investigación educativa y el diseño decurrículos en este aspecto determinadode las matemáticas tendrá un marco dereferencia definido en el que destacaránla dependencia cultural directa de lossistemas simbólicos, la dependencia cul-tural indirecta de los sistemas concep-tuales y, por encima de todo, la depen-dencia cultural determinante de los sis-temas objeto concretos.

24Notas

Citado con autorización. Vygotsky, L. S., Mind in Society. The Development of Higher PsychologicalProcesses. Harvard University Press, Cambridge, Londres, 1978, p. 84.

2 Véase, por ejemplo:Begle, E. G.: Critical Variables in Mathematics Education: Findings from a Survey of the Empirical Li-

terature. MAA-NCTM, Washington, DC, 1989.Fennema, E. (ed.), Mathematics Education Research: Implications for the '80s. NTCM-Reston, 1981.Suppes, P. (ed.), The Impact of Research on Education. NAE, Washington, DC, 1978.3 Un primer borrador de la versión más general fue publicado por el equivalente colombiano de la NSF,

«COLCIENCIAS» en su revista Ciencia, Tecnología y Desarrollo, Vol. 4, n.° 4 (octubre-diciembre 1980),pp. 463-82, bajo el título: «Teoría de Sistemas y Metodologías Científicas». Un informe más completo fuepublicado por la Sede Central de la OAS en Washington, DC y el Ministerio de Educación Colombiano:Ministerio de Educación Nacional, Oficina de Documentación, CAN, Bogotá, DE Colombia.

• La versión especial para el currículo de matemáticas ha sido publicada por el Ministerio de Educacióncomo un folleto para enseñantes de maestros en varias ediciones desde 1978. Fue presentado como ponen-cia en la V Conferencia Internacional sobre Enseñanza de las Matemáticas celebrado en Campinas, Brasil,en febrero de 1979. Esta ponencia fue publicada más tarde en la revista de enseñantes de matemáticas edi-tada por la Universidad Nacional de Colombia, Notas de Matemáticas, n.° 10 (1980), pp. 1-14. Su título es«El concepto de Sistema como Clave del Currículo de Matemáticas».

5 Como se ha afirmado antes, el poder de hacer que los agujeros sean visibles es el principal uso de lateoría. El simple instrumento teórico de dividir sistemas como se dice me permitió ver lo incompleto dela división usual tipo Bourbaki de las estructuras en tres «estructuras madre»: algebraica, ordinal y topo-lógica. En primer lugar, Bourbaki confunde sistemas y estructuras; en segundo lugar, las estructuras alge-braicas son aquellas en las que las únicas estructuras son las que se definen ímplicitamente por los proce-dimientos; pero las estructuras ordinales y topológicas son sólo dos ejemplos —y no son los únicos— deestructuras en las que no se dan procedimientos explícitos. Deberían denominarse estructuras (puramente)relacionales. Las estructuras ordinales sólo tienen relaciones de orden (binarias); las estructuras topológicassólo tienen relaciones de vecindad (puede pensarse en las cercanías como relaciones unarias: V(x) se cumplesi V es un vecino abierto de x; o como relaciones binarias: V(x,y) se cumple si V es un vecino abierto tantode x como de y). Pero hay muchas otras estructuras relacionales no clasificables como algebraicas, ordina-les o topológicas. Por ejemplo, un sistema de puntos con el intercalamiento y la colinealidad como rela-ciones (ternarias); o un sistema de rectas con el paralelismo y la perpendicularidad como relaciones (bina-rias). Son puramente relacionales, pero no son ni ordinales ni topológicas. Esta laguna en el sistema de Bour-baki era invisible sin la teoría.

6 Se trata de un caso típico del concepto dialectal de «Aufhebung»: superar, tanto en el sentido de ha-cer que algo sea obsoleto como de recuperar lo mejor, el fondo, la esencia de ello. Los buenos ejemplosde sistemas objeto son difíciles de determinar con precisión, porque se olvidan fácilmente cuando ya se haconstruido el sistema conceptual. Y se puede jurar que no había nada más profundo que los sistemas queahora parecen concretos, pasivos y naturales. Es esencial darse cuenta de que un sistema conceptual dadopuede aparecer como una construcción única por encima de una pluralidad de sistemas objeto en el nivelarcaico.

• Citado con autorización. Vygotsky, op. cit., p. 89.Recientemente, se ha publicado en castellano un estudio preliminar de las conjunciones dependientes

del tiempo y de su empleo en el habla ordinaria en: Vasco, Carlos E., «Conectivas Secuenciales y la For-malización del Lenguaje Ordinario». Matemática-Enseñanza Universitaria (Bogotá), n.° 27 (junio de 1983),pp. 12-23.

• Cardano, Girolamo: The Great Art or the Rules of Algebra. Traducido y editado por T. R. Witmer.The MIT Press, Cambridge, MA, 1968. Véanse las pp. 9, 11 y 29.

Vygotsky, op.cit., p. 56.II Citado con autorización. Papert, Seymour. Mindstorms. Computers and Powerful Ideas. Basic Books.

Inc. Nueva York, NY, 1980, pp. 58 y 63.12 lbíd., p. 63.13 Véase Begle, E. G.: Critica! Variables in Mathematics Education: Findings from a Survey of the Em-

pírica! Literature. Mathematical Association of America National Council of Teachers of Mathematics. Was-hington, DC, 1979. Begle murió en 1978 a la edad de 63 años. En la introducción a su libro (pp. 1-3) es-tudia la noción básica de sistema matemático. Pero reduce los sistemas matemáticos a nuestro nivel super-ficial: los sistemas simbólicos.

H Papert, op. cit., Capítulo II: «Mathophobia: The Fear of Learning» pp. 38-54.

25

El aprendizaje de las matemáticas elementalescomo proceso condicionado por la cultura.C. Vasco.CL&E, 1990, 6, pp. 5-25

Datos sobre el autor: Carlos Vasco es profesor de Matemáticas en la Universidad Na-cional de Colombia. Ha publicado numerosos trabajos sobre enseñanza de la lógica yde la ciencia y una serie ,rle libros sobre la aplicación de la teoría general de sistemasal cambio educativo.

Artículo original: «Mathematics as a culturally conditioned process». Este artículoforma parte de una compilación de trabajos realizada por M. I. White y S. Pollak so-bre los aspectos culturales que inciden en el proceso ole enseñanza-aprendizaje en elmarco del Proyecto Potencial Humano. Fue publicado en inglés por Routledge & Ke-gan Paul y su versión en castellano ha aparecido en Visor en 1990 bajo el título Latransición cultural. A ambos editores agradecemos su autorización para publicarlo enCL&E. Traducción de Genis Sánchez.

C) de todos los artículos. Deberá solicitarse por escrito autorización de CL&E y delos autores para el uso en forma de facsímil, fotocopia o cualquier otro medio de re-producción impresa. CL&E se reserva el derecho de interponer acciones legales nece-sarias en aquellos casos en que se contravenga la ley de derechos de autor.

SISTEMAS DE REPRESENTACION

GRADO CERO

SISTEMAS DEREPRESENTACIONANALOGICOS

RAZONAMIENTO ENPROFUNDIDAD

+COMPRENSION+SIGNIFICADO

SISTEMAS DEREPRESENTACIONPROPOSICIONAL

RAZONAMIENTOCON

REPRESENTACIONPARALELA

26

FE DE ERRORES

• En la ficha final (pág. 87) del artículo titulado «Sobre la didáctica deltexto expositivo» que apareció en el número 3-4 de CL&E, aparece un datoincorrecto: la dirección de la Consellería de Cultura es Avda. de Campanar32 y no 124.

• En el número 3-4 de CL &E aparece un artículo de Antonio Bautista«El uso de los medios desde los modelos del curriculum» (pág. 39) en el quese omitió involuntariamente un esquema al que se hace referencia en el texto(pag. 41). Este esquema era el siguiente:

• En el número 5 de CL &E aparece una reseña en la cual hay dos erro-res: el título que aparece del libro es el de la versión chilena. La versión queha aparecido en España (Madrid: Visor, 1990) lleva por título: La enseñanzade la escritura. Bases teóricas y prácticas (Manual).

Por otro lado, la reseña fue realizada por Helena Huerta, a quien pedi-mos disculpas por la omisión.