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MATEMÁTICAS 2º ESO APUNTES Laura Vallés Rubio
TERCER TRIMESTRE
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
1
TEMA 12
SEMEJANZA. TEOREMA DE TALES
OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN COMPETENCIAS BÁSICAS
1. Comprender y aplicar el teorema de Tales.
1.1. Utilizar el teorema de Tales para determinar medidas.
Lingüística
Matemática
Interacción con el
mundo físico
Social y ciudadana
Cultural y artística
Tratamiento de la
información y
competencia
digital
Aprender a aprender
1.2. Aplicar el teorema de Tales para dividir un segmento en partes iguales.
1.3. Aplicar el teorema de Tales para dividir un segmento en partes proporcionales.
2. Identificar figuras semejantes.
2.1. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos.
2.2. Identificar polígonos semejantes.
3. Comprender el concepto de razón de semejanza.
3.1. Calcular la razón de semejanza entre dos figuras.
3.2. Relacionar las áreas y volúmenes de figuras semejantes del plano y el espacio.
4. Resolver problemas métricos a través de la interpretación de planos, mapas, etc.
4.1. Utilizar la escala y la semejanza para interpretar planos y mapas.
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
2
INDICE
1 SEGMENTOS SEMEJANTES
1.1 CUARTA Y MEDIA PROPORCIONAL
2 TEOREMA DE TALES
3 TRIÁNGULOS SEMEJANTES
3.1 CRITERIOS PARA DETERMINAR LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
3
1. SEGMENTOS SEMEJANTES
Los segmentos se determinan por su longitud. Supongamos que tenemos dos
segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ de 3 cm y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ de 4 cm. Se llama proporcionalidad de los segmentos al
cociente de sus longitudes. Es decir, comparamos uno con el otro: 3
4
AB
CD , y decimos
que tres veces el segmento 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ es igual que cuatro veces el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
Supongamos que tenemos otros segmentos 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ de 9 cm y 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ de 12 cm la proporción
entre ellos sería 9 3
12 4
EF
GH . Por tanto, estos nuevos segmentos están en la misma
proporción que los anteriores y se dice:
Los segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ son semejantes a los segmentos 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ y 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ .
Lo escribimos así: AB EF
CD GH
Ejemplo:
Calcula la razón entre el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 12 cm y el segmento 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 25 cm.
12
25
AB
CD
1.1 CUARTA Y MEDIA PROPORCIONAL
Dados tres segmentos de longitudes a, b y c se denomina cuarta proporcional de a, b y
c a un segmento de longitud x, tal que se cumpla a c
b x .
Dados dos segmentos de longitudes a y b se denomina media proporcional a un
segmento de longitud x, tal que se verifique a x
x b
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
4
Ejemplo:
Dados los segmentos de 5cm, 4cm y 10 cm, calcula la cuarta proporcional.
5 10 4·10 408
4 5 5x cm
x
Dados los segmentos de 10cm y 6cm, calcula la media proporcional.
2 21010 · 6 60 60 7,75
6
xx x x cm
x
2. TEOREMA DE TALES
El teorema de Tales nos dice:
Si varias rectas paralelas cortan a dos r y s, los
segmentos que determinan en ellas son
proporcionales, esto quiere decir que:
' ' ' ' ' '
AB BC AC
A B B C A C
Ejemplo:
Calcula la longitud el segmento B’C’ del dibujo.
Según el Teorema de Tales ' ' ' ' ' '
AB BC AC
A B B C A C , por lo
tanto: 3
48
6 24
3x cm
x
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
5
3. TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Observa los triángulos ABC y A’B’C’, y fíjate en las relaciones que guardan sus ángulos y
sus lados.
Decimos que los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.
Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales.
Los ángulos que son iguales se llaman homólogos
3.1 CRITERIOS PARA DETERMINAR LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Hemos visto que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados
son proporcionales.
Pero no es necesario comparar los tres lados y los tres ángulos de dos triángulos para
determinar si son semejantes.
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
6
Hay varios criterios se semejanza de triángulos:
Dos triángulos que tengan dos ángulos iguales son semejantes.
Dos triángulos que tengan sus tres lados proporcionales son semejantes.
Dos triángulos que tengan un ángulo igual y los lados que lo forman
proporcionales son semejantes.
Estos criterios se demuestran comprobando que los triángulos pueden situarse en
posición Tales.
DOS TRIÁNGULOS QUE TENGAN DOS ÁNGULOS IGUALES, SON SEMEJANTES.
Vamos a comprobarlo con un ejemplo que harás en casa y comprobaremos en clase:
Construye un triángulo con un lado que mida 6 cm y con los ángulos contiguos a este de 35o y 70o.
Construye otro triángulo con un lado que mida 4 cm y con sus ángulos contiguos iguales a los anteriores.
Recorta los dos triángulos y comprueba que pueden situarse en posición Tales.
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
7
DOS TRIÁNGULOS QUE TENGAN SUS TRES LADOS PROPORCIONALES SON SEMEJANTES.
Comprobamos…
Construye un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 8 cm y 10 cm.
Construye otro triángulo de lados proporcionales a los anteriores; por ejemplo, 3 cm, 4 cm y 5 cm.
Recorta los dos triángulos y comprueba que pueden situarse en posición Tales.
DOS TRIÁNGULOS QUE TENGAN UN ÁNGULO IGUAL Y LOS LADOS QUE LO FORMAN
PROPORCIONALES SON SEMEJANTES.
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
8
Construye un triángulo con lados de 5 cm y 6 cm, y que formen un ángulo de 60o.
Construye otro triángulo con los lados proporcionales a los anteriores, por ejemplo 10 cm y 12 cm, y que formen el mismo ángulo.
Recorta los dos triángulos y comprueba que pueden situarse en posición Tales.
Estos criterios se simplifican considerablemente para triángulos isósceles y rectángulos.
Mira esta tabla y compruébalo.
Polígonos semejantes
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
9
Para poder construir un polígono semejante a otro dado, conociendo la razón de
semejanza, se puede utilizar el teorema de Tales aplicando la división de segmentos en
partes iguales.
Por ejemplo:
Vamos a construir un polígono semejante al ABCDE con razón de
semejanza 2
3, para ello seguiremos los siguientes pasos.
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
10
TEMA 12
SEMEJANZA. TEOREMA DE
TALES
1. Calcula la razón de estos segmentos.
a)
b)
c)
d)
2. Si la razón , calcula:
a) siendo b) siendo
3. Si la razón calcula:
a) siendo b) siendo
4. Calcula la longitud que debe tener el cuarto segmento proporcional a los segmentos
AB, CD, y EF.
a)
b)
cmAB 6 cmCD 8
cmAB 64 mCD 1
dmAB 15 mCD 9
mAB 20 mCD 4
4
1
CD
AB
cmCD 76 ,CD cmAB 3
;6,1CD
AB
cmCD 9 ,CD cmAB 6,13
cmAB 3 cmCD 6 cmEF 9
mAB 2 cmCD 7 mEF 9
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
11
c)
d)
5. La razón de dos segmentos es 4 y la diferencia de su longitudes es 7 cm. Calcula la
longitud de cada segmento.
6. Halla las longitudes desconocidas.
dmAB 3 dmCD 5 dmEF 21
cmAB 10 cmCD 15 cmEF 25
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
12
7. En la siguiente figura, la razón y .
8. Divide el segmento siendo = 10 cm, en
a) 4 partes iguales. B) en 6 partes iguales.
9. Divide gráficamente un segmento en partes proporcionales a tres
segmentos de medida:
a) 3 cm, 5 cm y 6 cm c) 3 cm, 4 cm y 5 cm
b) 2cm, 4 cm y 6 cm d) 2cm, 6 cm y 9 cm
10. Divide un segmento de 4 cm en tres partes de forma que la primera sea doble de la
segunda, y esta, doble de la tercera.
11. Calcula la longitud de los lados desconocidos en los siguientes pares de triángulos
semejantes.
0,8. ','
OBCalculaOA AB
OB
AB AB
18AB cm
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
13
12. Dos triángulos, ABC y A’B’C’, son semejantes. Los lados de ABC son:
Calcula los lados de A’B’C’ y la razón de semejanza, si
13. La razón de semejanza de dos triángulos, ABC y A’B’C’, es . Calcula los lados
desconocidos de los dos triángulos sabiendo que:
a) y
b) y
c) y
4AB cm 5BC cm 6CA cm
' ' 7,2A B cm
1
4r
5 ,AB cm 8BC cm 10CA cm
' ' 20 ,A B cm ' ' 24B C cm ' ' 26C A cm
4 ,AB cm 5BC cm ' ' 16C A cm
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
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14. Determina si estos pares de triángulos son semejantes y explica que criterio aplicas
en cada caso.
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
15
15. Un árbol mide 5 metros de altura y, a una determinada hora del día proyecta una
sombra de 6 m.¿Qué altura tendrá un edificio si a la misma hora proyecta una
sombra de 10 metros.
16. La sombra que proyecta un padre que mide 1,8 m de altura, a las 3 de la tarde, es
de 2,1 m. ¿Qué altura tendrá su hijo si la sombra que proyecta es de 1,5 m?
17. Alba está a dos metros de un precipicio y ve alineado a un pueblo por el borde del
precipicio. ¿A qué distancia está el pueblo del precipicio?
18. Un edificio de cinco plantas de igual altura proyecta, en cierto instante, una sombra
de 22 metros. Calcula la altura de cada planta si se sabe que en ese mismo momento
un árbol de tres metros de altura proyecta una sombra de 4,5 metros.
19. Ana está situada a 5 m de la orilla de un río y ve reflejada una montaña en el agua.
Si Ana mide 1,70 m y el río está a 3 km de la montaña, ¿qué altura tiene la montaña?
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
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TEMA 13
GEOMETRÍA PLANA. TEOREMA DE
PITÁGORAS
OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN COMPETENCIAS BÁSICAS
1. Identificar las figuras planas
que se presentan en la
realidad analizando sus
características.
1.1. Reconocer, dibujar y describir
las figuras planas en
ejercicios y en su entorno
inmediato distinguiendo sus
elementos característicos.
1.2. Clasificar polígonos.
1.4. Identificar ejes de simetría en
figuras planas.
Lingüística
Matemática
Interacción con el mundo físico
Cultural y artística
Tratamiento de la información y competencia digital
Autonomía e iniciativa personal
2. Reconocer el triángulo como
el polígono más sencillo a
partir del cual se pueden
obtener relaciones
geométricas en las demás
figuras planas.
2.1. Identificar y construir
triángulos iguales, usando los
criterios de igualdad de
forma adecuada.
3. Distinguir las rectas y puntos
notables de un triángulo, y
usar sus propiedades para
resolver problemas
geométricos.
3.1. Trazar y obtener las rectas y
los puntos notables de un
triángulo cualquiera y
utilizarlos para resolver
problemas geométricos
sencillos.
4. Emplear el teorema de
Pitágoras y las fórmulas
adecuadas para obtener
distancias, perímetros o
áreas de figuras planas.
4.1 Calcular de la forma más
sencilla y rápida el perímetro
de las figuras planas.
4.2. Estimar y calcular medidas
indirectas utilizando el
teorema de Pitágoras.
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
17
4.3. Reconocer triángulos
rectángulos utilizando el
teorema de Pitágoras.
4.4 Utilizar las fórmulas y
procedimientos adecuados
para el cálculo directo del
área de las figuras planas
más elementales.
4.5 Reconocer, dibujar y describir
las figuras planas como
resultado de la composición
de otras más sencillas.
5. Resolver problemas
geométricos relacionados
con la vida cotidiana en los
que intervengan longitudes,
perímetros y áreas,
utilizando los
procedimientos y estrategias
adecuados.
5.1. Aplicar las fórmulas del
cálculo de distancias,
perímetros y áreas de figuras
planas elementales para
resolver problemas
relacionados con el entorno.
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
18
INDICE
1 TEOREMA DE PITÁGORAS
2 APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
3 PERÍMETROS Y ÁREA DE POLÍGONOS
4 LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA
5 ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
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1. TEOREMA DE PITÁGORAS.
Un triángulo
rectángulo tiene un
ángulo recto 90 .
Los lados que forman
el ángulo recto se
denominan catetos, b
y c, y el lado mayor se
llama hipotenusa, a.
Teorema de Pitágoras.
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos.
2 2 2a b c
APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
En cualquier triángulo, siendo “a” el lado mayor:
Si 2 2 2a b c El triángulo es rectángulo.
Si 2 2 2a b c El triángulo es acutángulo.
Si 2 2 2a b c El triángulo obtusángulo.
Cálculo de la diagonal de un rectángulo
Por ser rectángulo, dos lodos
contiguos y la diagonal
forman un triángulo
rectángulo. Por tanto:
2 2 230 60 67,1d cm
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
20
Altura de un triángulo isósceles
Por ser un triángulo isósceles, la
altura sobre el lado desigual lo
divide en dos triángulos
rectángulos iguales. Por tanto
2 2 25 4 3h cm
Lado desconocido en un trapecio rectángulo
El lado desconocido es la
hipotenusa de un triángulo
de catetos 15 y 15 cm . Por
tanto:
2 2 215 15 21,2x cm
Lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia
Se forma un triángulo rectángulo de hipotenusa el
radio de la circunferencia y de catetos la mitad del lado
del cuadrado, x. Por tanto:
2 2 22 25 2 25 50 7,1
2 2 4
x x xx x cm
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
21
Calcular la apotema de un polígono regular
Se forma un triángulo rectángulo de
hipotenusa el radio 8 y los catetos la
apotema y la mitad del lado 4. Por tanto:
2 2 2 2 2 28 4 8 4 48a a a
2. PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS
Nombre Dibujo Perímetro Área
Triángulo
P = Suma de los lados
P = b + c + d
p = semiperímero
Cuadrado
P = 4 · a A = a2
Rectángulo
P = 2(b + a) A = b · a
Rombo
P = 4 · a
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
22
Romboide
P = 2(b + c) A = b · a
Trapecio
P = B + c + b + d
Trapezoide
P = a + b + c + d A = Suma de las áreas de los dos triángulos
Polígono
regular
3. LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA
Al dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro se obtiene siempre
el mismo número decimal. Este número se designa por la letra griega y sus
cifras decimales son ilimitadas. Su valor es = 3,141592….
La longitud de una circunferencia de radio r es: 2L r
Longitud de un arco:
En una circunferencia de radio r , la
longitud de un arco de n grados es
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3º TRIMESTRE
23
4. ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES
Área del círculo
Un círculo podría ser un polígono
regular de muchos lados, en el que el
perímetro sería la longitud de la
circunferencia, y su apotema el radio.
2A r
Área del sector circular
Un sector circular es la parte del círculo
comprendida entre dos radios y el arco
que definen. Por tanto:
2
360
r nA
Área de la corono circular
Una corona circular es la parte
comprendida entre dos circunferencias
con el mismo centro. Su área se obtiene
restando el área del círculo menor al
mayor. 2 2 2 2A R r R r
5. ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS
Como sabemos, la suma de los ángulos de un triángulo es 180 . Un cuadrilátero
puede descomponerse en dos triángulos. La suma de sus ángulos es 180 . 2 =
360® De forma similar un pentágono se descompone en tres triángulos. La suma
de sus ángulos será 180 .3 = 540 y así con todos los polígonos.
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
24
Si el polígono es regular…..
Figura Lados Suma de los
ángulos interiores Forma Cada ángulo
Triángulo 3 180°
60°
Quadrilátero 4 360°
90°
Pentágono 5 540°
108°
Hexágono 6 720°
120°
... ... .. ... ...
Cualquier polígono
n (n-2) × 180°
(n-2) × 180° / n
Cada ángulo interior de un polígono regular mide 180 2n
n
Cada ángulo central de un polígono regular es el formado por dos radios consecutivos.
La amplitud de un ángulo central de un
polígono regular de n lados es:
360
n
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
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TEMA 13
GEOMETRÍA PLANA.TEOREMA
DE PITÁGORAS
1. En los siguientes casos se da la medida de los catetos de un triángulo rectángulo.
Calcula el valor de la hipotenusa.
a) b = 12 cm c= 35 cm
b) b = 112 cm c = 15 cm
c) c = 28 cm b = 45 cm
2. Calcula la diagonal de un rectángulo de 16 m de longitud y 12 m de ancho.
3. Indica si los triángulos con estas medidas son rectángulos, acutángulos u
obtusángulos.
a) 10 cm, 11 cm y 20 cm b) 4 cm, 5 cm y 6 cm c) 48 cm, 55 cm y 73 cm
4. Clasifica los siguientes triángulos.
a) a = 11 b = 60 c = 61 b) a = 8 b = 4 c = 8 c) a = 15 b = 18 c = 8
5. Carla quiere hacer una estructura con listones de aluminio. Comienza construyendo
un rectángulo que debe ser rectángulo con listones de longitudes 1,05, 0,88 y 1,37
metros. ¿Podrá hacerlo?
6. Halla cuánto mide el lado de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 18 cm,
respectivamente.
7. Calcula el lado de un cuadrado si su diagonal mide 18 cm.
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
26
8. Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 7 cm.
9. Halla la apotema.
10. Determina la altura de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 8 cm y su
base 6 cm,
11. Halla la medida del lado de un triángulo equilátero cuya altura mide 12 cm.
12. Calcula el lado de un hexágono regular de apotema 10 cm.
13. Calcula el perímetro de un trapecio isósceles de bases 8 y 14 cm y de altura 4 cm.
14. Halla el perímetro y el área del cuadrado circunscrito en una circunferencia de radio
5 cm.
15. Halla el perímetro y el área de un rombo cuyas diagonales miden 15 y 8 cm,
respectivamente.
16. Calcula la altura de un triángulo isósceles cuyo perímetro mide 36 metros, y su base,
10.
17. Un rectángulo tiene de perímetro 240 metros y su altura es de 20 metros. Calcula la
medida de su diagonal.
18. Determina la longitud x de estos triángulos.
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
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19. Calcula el perímetro de las siguientes figuras.
20. Halla la distancia del punto P al punto A, para que se verifique que
CP DP
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
28
FIJATE EN EL EJEMPLO
¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA DE UN TRIÁNGULO CUALQUIERA CONOCIENDO SUS LADOS?
21. Calcula la altura de un triángulo con lados.
a) , y
b) , y
c) , y
22. Un cubo tiene de arista 5 cm. Calcula la longitud de la diagonal de la cara y de la
diagonal del cubo.
4AB cm 7BC cm 9CA cm
6AB cm 10BC cm 14CA cm
5AB cm 11BC cm 15CA cm
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3º TRIMESTRE
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23. Un ortoedro tiene aristas de 5 cm, 7 cm y 9 cm. Halla la longitud de las diagonales
de las caras y de la diagonal del ortoedro.
24. Un cubo tiene una diagonal de cara de 4 cm. Determina la longitud de la arista y de
la diagonal del cubo.
25. Halla la longitud de una circunferencia de:
a) Radio de 2,5 cm. b) Diámetro de 15 cm.
26. ¿Qué longitud de arco tiene un ángulo de 50 ͦen una circunferencia de 7,8 cm de
radio?
27. Determina el área de un círculo de radio 25 cm.
28. Halla el área de un círculo de diámetro 12 cm.
29. Obtén el área de una corona circular comprendida entre dos circunferencias de radio
100 mm y 7 cm.
30. Se ha dividido una tarta de 14 cm de radio en 4 partes iguales. Calcula el área de
cada parte.
31. Calcula la suma de los ángulos interiores de un triángulo equilátero, un cuadrado y
un pentágono regular.
32. Halla, en un eneágono regular: la suma de sus ángulos interiores, un ángulo interior
y la medida del ángulo central.
33. Calcula el valor del ángulo central y del ángulo interior de un dodecágono regular.
34. Halla el ángulo inscrito en una circunferencia que abarca un ángulo de:
a) 50 ͦ b) 140 ͦ
35. Calcula el ángulo interior de una circunferencia que abarca dos arcos de:
a) 90 ͦ y 30 ͦ b) 50 ͦy 74 ͦ
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
30
36. Calcula la longitud del arco marcado en azul.
1. Halla el diámetro de una circunferencia sabiendo que la longitud de un arco de 50 ͦ
es 5,23 cm.
2. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia cuya longitud de un arco de 110 ͦ es 57,57
cm?
3. Halla el área de un círculo delimitado por una circunferencia de 321,5 cm.
4. Calcula el área de los círculos con estas longitudes de arco.
5. Halla el área de estos sectores circulares.
6. Determina el área de los sectores coloreados.
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
31
7. Halla el área de una corona circular limitada por dos circunferencias concéntricas de
radios:
a) R = 10 cm y r = 6 cm c) R = 3r y r = 2,4 cm
b) R = 12,5 cm y r = 5 cm d) R + r = 31 m y R – r = 5 m
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
32
TEMA 14
ESTADÍSTICA
OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN COMPETENCIAS BÁSICAS
1. Comprender el
significado del
lenguaje estadístico.
1.1. Clasificar los tipos de
caracteres y las variables
estadísticas para una
determinada población.
Lingüística Matemática Interacción con el
mundo físico Social y ciudadana Cultural y artística Tratamiento de la
información y competencia digital
Aprender a aprender Autonomía e iniciativa
personal
2. Identificar en una
población los
caracteres y variables
estadísticas objeto de
estudio.
2.1. Elaborar tablas de
frecuencias absolutas,
relativas y acumuladas de
una distribución
estadística, interpretando
los resultados obtenidos.
3. Obtener las
frecuencias absolutas,
relativas y acumuladas
de los valores de una
distribución
estadística.
3.1. Representar mediante
gráficos (diagramas de
barras, lineales o de
sectores; histogramas,
etc.) los datos
correspondientes a una
distribución estadística
sencilla.
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
33
4. Aprender a tratar la
información
estadística y a
representar conjuntos
de datos mediante
tablas y gráficas.
4.1. Interpretar gráficas
estadísticas relacionadas
con el entorno cotidiano,
analizando críticamente su
contenido.
5. Conocer el significado
de los parámetros de
centralización y de
dispersión, y
comprender su
utilidad.
5.1. Determinar la media, la
mediana y la moda para un
conjunto de datos
agrupados y no agrupados.
5.2. Calcular e interpretar los
parámetros de dispersión
para un conjunto de datos
agrupados y no agrupados.
6. Calcular los
parámetros de
centralización (media,
mediana y moda) de
una distribución
estadística y valorar su
eficacia para describir
la distribución en
función del contexto y
de la naturaleza de los
datos.
6.1. Utilizar el coeficiente de
variación en la
comparación de
distribuciones.
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
34
6.2. Resolver problemas de la
vida cotidiana que
impliquen caracterizar la
tendencia central y la
dispersión de un conjunto
de datos.
3. Calcular los
parámetros de
dispersión (rango,
desviación respecto a
la media, varianza y
desviación típica) de
una distribución
estadística y
relacionarlos con los
parámetros de
centralización de una
manera elemental.
3.1. Utilizar la calculadora
para simplificar los
cálculos de los parámetros
estadísticos.
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
35
INDICE
1 POBLACIÓN Y MUESTRA ESTADÍSTICA
2 CARACTERÍSTICAS Y VARIABLES ESTADÍSTICAS
3 FRECUENCIAS RELATIVAS, ABSOLUTAS Y ACUMULADAS
3.1 TABLA DE FRECUENCIAS
4 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
4.1 BARRAS E HISTOGRAMAS
4.2 SECTORES Y LINEALES
5 MEDIA ARITMÉTICA Y MODA
6 MEDIANA
7 VARIANZA Y DESVICIÓN TÍPICA
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
36
1. POBLACIÓN Y MUESTRA ESTADÍSTICA
Se llama estadística al conjunto de procedimientos destinados a recopilar, procesar y
analizar la información que se obtiene con una muestra para inferir las características o
parámetros de una población o de un problema determinado.
2. CARACTERÍSTICAS Y VARIABLES ESTADÍSTICOS
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37
3. FRECUENCIAS RELATIVAS, ABSOLUTAS Y ACUMULADAS
Frecuencia absoluta: el número de veces que aparece un valor, se representa con fi
donde el subíndice representa cada uno de los valores.
La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, representado por
N
Equivalente
Frecuencia relativa: el resultado de dividir la frecuencia absoluta de un determinado
valor entre el número total de datos, se representa por ni.
3.1 TABLA DE FRECUENCIAS
La suma de la frecuencias
relativas es igual a 1
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3º TRIMESTRE
38
4. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
4.1 BARRAS E HISTOGRAMAS
El diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos
cuantitativos de tipo discreto.
Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los
valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o
acumuladas.
Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.
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3º TRIMESTRE
39
Los histogramas se utilizan para representar datos cuantitativos agrupados en clases.
Las clases se suelen tomar de la misma amplitud. ¿Cómo se construye?
PASO 1: En el eje de abscisas se representan los extremos de las clases.
PASO 2: Se construyen rectángulos cuya base sea la amplitud del intervalo y la altura la
frecuencia absoluta.
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40
4.2 SECTORES Y LINEALES
Un diagrama de sectores es un gráfico que consiste en un círculo dividido en sectores
de amplitud proporcional a la frecuencia de cada valor. Se utiliza con datos cualitativos
y cuantitativos.
Un compañero de Marta decidió preguntar a sus compañeros por su deporte favorito y
obtuvo los datos, que aparecen en la tabla siguiente:
Observa: la suma de todas las amplitudes es 360º, la amplitud total del círculo.
Para calcular la graduación de los sectores podemos usar tres procedimientos:
Grados del sector = frecuencia relativa · 360º
Usando la proporción con las frecuencias absolutas:
O bien usando la proporción con porcentajes:
El gráfico lineal (gráfico de líneas o diagrama lineal) se compone de una serie de datos
representados por puntos, unidos por segmentos lineales. Mediante este gráfico se
puede comprobar rápidamente el cambio de tendencia de los datos.
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41
El diagrama lineal se suele utilizar con variables cualitativas, para ver su
comportamiento en el transcurso del tiempo. Por ejemplo, en las series temporales
mensuales, anuales, trimestrales, etc.
5. MEDIA ARITMÉTICA Y MODA
La media x (también llamada promedio o media aritmética) de un conjunto de datos
(X1,X2,…,XN) es una medida de posición central. La definimos como el valor característico
de la serie de datos resultado de la suma de todas las observaciones dividido por el
número total de datos.
EJEMPLO
Tenemos las edades de los once jugadores de un equipo de fútbol y queremos calcular
su media.
Para ello, sumamos todas las edades y las dividimos por el número total de elementos,
o sea once jugadores.
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42
La moda (Mo(X)) es el valor más repetido del conjunto de datos, es decir, el valor cuya
frecuencia relativa es mayor. En un conjunto puede haber más de una moda.
EJEMPLO
Tenemos una muestra de las once edades de los jugadores de un equipo de fútbol.
Hacemos recuento del elemento que más se repite en el conjunto.
La edad que más se repite es 26, por lo que la moda del conjunto es 26.
6. MEDIANA
La mediana (Me(X)) es el elemento de un conjunto de datos ordenados (X1,X2,…,XN) que
deja a izquierda y derecha la mitad de valores.
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43
Si el conjunto de datos no está ordenado, la mediana es el valor del conjunto tal que el
50% de los elementos son menores o iguales y el otro 50% mayores o iguales.
CÁLCULO DE LA MEDIANA
Sea (X1,X2,…,XN) un conjunto de datos ordenado. El cálculo de la mediana depende de si
el número de elementos N es par o impar.
Si N es impar, la mediana es el valor que está al medio, es decir:
Si N es par, la mediana es la media de los dos valores del centro, N/2 y N/2+1:
EJEMPLO
Suponemos que tenemos una muestra con las edades de los once jugadores de un
equipo de fútbol.
Para calcular la mediana necesitaríamos ordenar los elementos de menor a mayor y ver
cuál es el elemento que deja a izquierda y derecha el mismo número de elementos.
Como el número de elementos del conjunto es impar, la mediana es el sujeto número
6, que se encuentra en el medio del conjunto. Por lo tanto Mediana(X)=26.
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7. VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA
La varianza (S2) mide la dispersión de los datos de una muestra (X1,X2,…,XN) respecto a
la media (x), calculando la media de los cuadrados de las distancias de todos los datos.
Al elevar las diferencias al cuadrado se garantiza que las diferencias absolutas respecto
a la media no se anulan entre si. Además, resaltan los valores alejados.
Siempre se cumple que la varianza es mayor o igual que cero (S2 ≥ 0). La varianza es
cero cuando todos los datos son el mismo (ejemplo: {1,1,1,1,1}).
Si en vez de tratarse de una muestra, la varianza se refiere a la población, el
denominador será N.
EJEMPLO
Un médico de un instituto quiere realizar un estudio para ver si los alumnos de un centro
tienen sobrepeso. Le interesaría calcular la varianza para ver como difieren los pesos
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45
respecto a la media. Para ello, se selecciona una muestra de doce alumnos de 14 o 15
años.
Se calcula la media de los pesos de los alumnos, y se obtiene que x = 53,5kg.
Una vez se sabe la media, se halla la diferencia de cada elemento respecto a esta, para
calcular la dispersión de los datos.
Una vez se ha calculado el cuadrado de la diferencia de cada elemento con la media, ya
se puede determinar la varianza (S2):
El valor alto de la varianza confirma una de sus características: que es sensible a los
valores que se separan bastante de la media.
A continuación se puede observar un gráfico de las diferencias del peso de cada alumno
respecto a la media:
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La desviación típica es la medida de dispersión (S) asociada a la media. Mide el promedio
de las desviaciones de los datos de una muestra (X1,X2,…,XN) de la media (x) en las
mismas unidades de los datos. Dicho de otra forma, es un indicador de cómo tienden a
estar agrupados los datos respecto a la media.
El cuadrado de la desviación típica es la varianza.
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47
Cuando se trata de la desviación típica de una población, el denominador es N. Si se
trata de una muestra, serà N-1.
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48
TEMA 14
ESTADÍSTICA
1. El número de hermanos de los alumnos de una clase es el siguiente: 0 1 0 0 3 2 1 4 0 0 1 1 2 0 1
1 2 0 1 1 2 1 3 0 0 2 1 2 3 5
a) Efectúa el recuento.
b) Elabora una tabla de frecuencias en las que se incluyan: frecuencia
absoluta, absoluta acumulada, relativa y relativa acumulada.
c) Dibuja un diagrama de barras con frecuencias absolutas acumuladas y
un polígono de frecuencias absolutas.
d) ¿Qué porcentaje de alumnos son hijos únicos?
e) ¿Cuántos alumnos tienen más de un hermano?
2. El número de goles metidos por partido por un cierto equipo es el siguiente: 0 1 0 2 3 2 1 3 0 0 1 0 3 0 1
1 0 0 1 1 2 1 2 0 1 2 1 5 3 5
a) Elabora una tabla con las cuatro frecuencias y el porcentaje.
b) Calcula la moda, la media de goles por partido.
c) ¿Qué porcentaje de partidos han metido al menos un gol?
d) ¿Cuántos partidos han jugado?
e) Haz una representación gráfica.
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3. En una encuesta sobre vivienda se pregunta, entre otras cosas, cuántas personas
viven en la casa, obteniéndose las siguientes respuestas:
4 4 8 1 3 2 1 3 4 2 2 7 0 3 8 0 1 5 6 4
3 3 4 5 6 8 6 2 5 3 3 5 4 6 2 0 4 3 6 1
a) Elabora una tabla en la que se recojan las cuatro frecuencias.
b) ¿Cuántas viviendas fueron objeto de estudio? ¿En cuántas de ellas no
vive nadie?
c) ¿Qué porcentaje de viviendas está ocupado por más de cinco
personas?
d) Dibuja un diagrama de barras con frecuencias absolutas acumuladas y
un polígono de frecuencias absolutas.
4. En un estudio estadístico sobre el número de horas que duran 12 pilas de una
determinada marca se obtuvieron los siguientes datos:
10, 12, 12, 11, 12, 10, 13, 11, 13, 11, 13, 9
a) Agrupar los datos en una tabla de frecuencias y porcentajes.
b) Representar los datos en un diagrama de barras y en un diagrama de
sectores.
5. Se ha lanzado un dado 20 veces y se han obtenido los siguientes resultados:
3, 4, 5, 2, 1, 4, 6, 1, 3, 2,
5, 5, 3, 2, 4, 4, 1, 2, 5, 6
a) Construir la tabla de frecuencias.
b) Representar los datos con un diagrama de barras y un diagrama de
sectores.
c) ¿Cuál ha sido la puntuación media obtenida?
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50
6. Estos son los datos sobre ocupación de la población por sectores económicos:
a) ¿Cuántos trabajadores hay en total?
b) Calcula la frecuencia relativa en porcentaje de cada sector económico
c) Representa estos datos en un diagrama de barras
7. La siguiente tabla refleja las calificaciones de 30 alumnos en un examen de
Matemáticas:
nota 2 4 5 6 7 8 9 10
Nº alumnos 2 5 8 7 2 3 2 1
a. ¿Cuántos alumnos aprobaron? ¿Cuántos alumnos sacaron como máximo
un 7? ¿Cuántos sacaron como mínimo un 6?
b. Calcular la nota media, la moda y la mediana
8. Las calificaciones obtenidas por los 32 alumnos de una clase de 3º de ESO en una
prueba de Matemáticas vienen dadas por la siguiente tabla:
Nota 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Alumnos 1 2 4 5 4 6 5 4 1
a) Elabora la tabla de frecuencias completa.
b) ¿Qué porcentaje de alumnos aprueba la materia?
c) ¿Qué porcentaje obtiene más de 8 puntos?
d) Dibuja un diagrama de barras de frecuencias relativas.
e) Dibuja un polígono de frecuencias acumuladas.
Agricultura 1.870.000
Industria 2.587.000
Construcción 789.000
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3º TRIMESTRE
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9. En la siguiente tabla se recoge el número de veces que un grupo de usuarios de
un ambulatorio han tenido que acudir a su médico en el último año.
a) ¿Cuántas personas han ido el médico 7
veces en el último año?¿Cuántas han ido 4 veces?
b) ¿Qué porcentaje de personas ha ido al
médico más de 6 veces?
c) Calcular la moda y el número medio de
visitas al médico en el ambulatorio.
d) Dibujar un diagrama de barras.
10. Las temperaturas recogidas en un determinada ciudad durante el mes de Enero
se muestran en la siguiente tabla:
a. ¿Cuántos días hizo por encima de 21ºC? ¿Cuántos por debajo de
23ºC? ¿Cuántos días hizo la temperatura máxima?
b. Calcula la media, la moda y la mediana.
Nº de
visitas al
médico
Nº de
personas
1 10
3 25
5 43
7 31
10 12
12 4
Temperatura en ºC 19 20 21 22 23 24
Número de días 7 9 6 4 3 2
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3º TRIMESTRE
52
11. Se realizó una encuesta a un grupo de personas para comprobar si habían visto
la película que obtuvo más premios Goya ese año. Los resultados se reflejan en
la gráfica:
a) ¿Cuántas personas contestaron a la encuesta?
b) Elabora la tabla de frecuencias correspondiente.
12. A partir de la siguiente gráfica estadística de gustos deportivos:
a) Calcular la tabla de frecuencias.
b) ¿A qué porcentaje de las personas no le gusta el ciclismo?
125
175
0
50
100
150
200
SI NO
OPINIÓN
Nº
de r
esp
uesta
s
0
1
2
3
4
5
6
atletismo ciclismo baloncesto natación
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3º TRIMESTRE
53
13. La siguiente gráfica recoge la cantidad de parejas de zapatos de mujer vendidas
en una tienda a lo largo del día:
a) ¿Cuántas parejas de zapatos del número 37 se han vendido?
b) Pasa los datos a una tabla de frecuencias absolutas.
c) ¿Cómo se llama la gráfica que nos han dado?
d) ¿Qué porcentaje de zapatos vendidos eran números del 39 o 40?
e) Dibuja un polígono de frecuencias absolutas acumuladas.
14. En una encuesta a 35 personas se les preguntaba sobre sus preferencias a la hora
de leer novelas. Los resultados se recogieron en la siguiente gráfica:
a) Construye la tabla de frecuencias.
b) Dibuja sobre el gráfico un diagrama de barras.
0
5
10
15
20
25
30
35
36 37 38 39 40
Nº de zapato
Nº
de p
are
s v
en
did
os
Preferencias de tipos de novelas
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
aventuras amor misterio ciencia-
ficción
humor
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3º TRIMESTRE
54
c) ¿A qué porcentaje de las personas encuestadas les gustan las novelas de
amor? ¿Y las de ciencia-ficción?
d) ¿Cuál es la moda?
15. En el siguiente estudio se analizan los sueldos que ganan las mujeres en la
industria en diversos países del mundo, en porcentaje sobre lo que gana los
hombres:
a) Si una mujer en Suiza gana 1300 francos, ¿cuánto gana un hombre en el
mismo puesto y con la misma categoría profesional?
b) Un hombre, por término medio, gana en España un sueldo mensual de
1102 euros netos. ¿Cuánto ganaría si fuese mujer?
16. Las notas de inglés de una clase de 40 alumnos han sido las siguientes:
Calcula la nota media.
17. En una clase de un IES hemos medido la altura de los 25 alumnos. Sus medidas,
en cm, son:
43
5460
64 65 67 68 6873 74 77 79 79 84 89
Japón
Core
a d
el S
ur
Luxem
burg
o
Austr
alia
Esta
dos U
nid
os
España
Suiz
a
Rein
o U
nid
o
Ale
mania
Bélg
ica
Hola
nda
Fra
ncia
Gre
cia
Din
am
arc
a
Suecia
1 7 9 2 5 4 4 3 7 8
4 5 6 7 6 4 3 1 5 9
2 6 4 6 5 2 2 8 3 6
4 5 2 4 3 5 6 5 2 4
%
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3º TRIMESTRE
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Elabora una tabla que represente estos resultados con sus frecuencias absolutas,
relativas y porcentajes. Toma intervalos de amplitud 5 cm comenzando por 150.
18. En un examen de matemáticas los 30 alumnos de una clase han obtenido las
puntuaciones recogidas en la siguiente tabla:
Calificaciones Nº alumnos
[0,1) 2
[1,2) 2
[2,3) 3
[3,4) 6[4,5) 7
[5,6) 6
[6,7) 1
[7,8) 1
[8,9) 1
[9,10) 1
Halla la varianza y la desviación típica.
19. En una clase de 25 alumnos hemos preguntado la edad de cada uno, obteniendo
estos resultados:
14, 14, 15, 13, 15, 14, 14, 14, 14, 15, 13, 14, 15, 16, 14, 15, 13, 14, 15, 13, 14, 14,
14, 15, 14
Haz una tabla donde aparezcan las frecuencias absolutas acumuladas y las
frecuencias relativas acumuladas.
167 159 168 165 150 170 172 158 163 156
151 173 175 164 153 158 157 164 169 163
160 159 158 174 164
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3º TRIMESTRE
56
20. Halla el número medio de hijos por mujer en 1998 en España a partir de los datos
de las comunidades autónomas:
Andalucía 1,28
Aragón 1,05
Asturas (Principado de) 0,8
Baleares (Islas) 1,44
Canarias 1,24
Cantabria 0,94
Castilla y León 0,91
Castilla-La Mancha 1,24
Cataluña 1,21
Comunidad Valenciana 1,17
Extremadura 1,2
Galicia 0,9
Madrid (Comunidad de) 1,19
Murcia (Región de) 1,41
Navarra (C. Foral de) 1,7
País Vasco 0,97
Rioja (La) 1,12
Ceuta y Melilla 1,87
(Fuente: INE)
21. Calcula la media de viajeros en establecimientos hoteleros durante 1999.
Después calcula la desviación típica para ver si esa media es representativa de
todos los meses del año.
(Fuente: INE)
22. Haz un diagrama de sectores que represente la procedencia de los extranjeros
residentes en España, en diciembre de 1999, recogidos en la siguiente tabla:
Mes Viajeros
Enero 2.775.738
Febrero 3.205.892
Marzo 4.143.343
Abril 4.931.385
Mayo 5.724.555
Junio 5.834.331
Julio 6.415.298
Agosto 6.986.211
Septiembre 6.349.504
Octubre 5.447.890
Noviembre 3.570.715
Diciembre 3.204.082
MATEMÁTICAS 2º ESO
3º TRIMESTRE
57
(Fuente: INE)
23. Representa mediante un diagrama de barras las ciudades más pobladas (en
1995):
Ciudad Habitantes (en millones)
Tokio (Japón) 26,8
Sao Paulo (Brasil) 16,4
Nueva York (EE.UU.) 16,3
C. De México (México) 15,6
Bombay (India) 15,1
Shangai (China) 15,1
Los Ángeles (EE.UU.) 12,4
Pekín (China) 12,4
Calcuta (India) 11,7
Seúl (Corea del Sur) 11,6
(Fuente: Naciones Unidas)
Procedencia
Europa 353.556
América 166.709
Asia 66.340
África 213.012
Oceanía 1.013
Desconocida 699