Matemáticas 2 - edebe.catedebe.cat/educacion/documentos/9967-0-529-104164_MAT_CAS_2ES_UD04.pdf · ESO BLOQUE I: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA edebé. 86 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA4 Unidad 4

Matemáticas 2ESO

BLOQUE I: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA edebé

86

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

4

Unidad 4

CONTENIDOS1. Ecuaciones de primer grado

con dos incógnitas

2. Sistemas de ecuaciones 2.1. Resolución gráfica

2.2. Métodos algebraicos

2.3. Tipos de sistemas

2.4. Representación gráfica de sistemas de ecuaciones con ordenador

3. Aplicación a la resolución de problemas

Competencia matemática

• Utilizar ecuaciones y sistemas de ecuaciones para resolver situaciones de la vida cotidiana.

Tratamiento de la información y competencia digital

• Emplear recursos digitales para la resolución gráfica de sistemas de ecuaciones.

Competencia para aprender a aprender

• Aplicar los conocimientos adquiridos en contex-tos nuevos para incrementar la propia autono-mía.

COMPETENCIAS BÁSICAS

Ecuaciones con dos incógnitas.Sistemas

104164_MAT_CAS_2ES_UD04_86_107.indd 86 13/02/12 17:22

87Ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas

PREPARACIÓN DE LA UNIDAD• El sistema de coordenadas cartesianas está formado por

dos rectas perpendiculares graduadas, denominadas ejes de coordenadas.

• El eje horizontal se llama eje de abscisas y se representa por X.

• El eje vertical se denomina eje de ordenadas y se repre-senta por Y.

• Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro regiones denominadas cuadrantes.

• El punto en que se cortan ambos ejes es el origen de coor-denadas, que se representa por O.

• En el sistema de coordenadas cartesianas, a cada punto del plano le corresponde un par de números, denominados coordenadas, y viceversa.

Las entradas de un parque de atracciones cuestan 25 ∑ para los adultos y 9 ∑ para los niños cuya estatura no supera los 120 cm. El aforo del parque en un día determinado ha sido de 2700 per-sonas y la recaudación de 53100 ∑.

— Traduce al lenguaje algebraico: a) El aforo del parque. b) La recaudación.— ¿Es posible expresar algebraicamente la recaudación con una

sola incógnita?

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1. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

En la unidad anterior hemos estudiado las ecuaciones de primer grado con una incógnita. En esta, vamos a ampliar el estudio de las ecuaciones: trataremos las de primer grado con dos incógnitas.

Observa cómo procedemos para traducir la siguiente frase al lenguaje algebraico:

El triple de un número más otro número es igual a 5.

En la ecuación obtenida, 3x + y = 5, aparecen dos incógnitas (x e y) con exponente 1. Es una ecuación de primer grado con dos incógnitas.

Veamos si la ecuación anterior, 3x + y = 5, se cumple al dar diferentes valores a x e y.

Observamos que la igualdad solo se verifica para algunos pares de valores de x e y.

Una solución de la ecuación es cada par de valores numéricos de las incógnitas que hacen cierta la igualdad.

Así, el par de valores x = −1, y = 8 es una solución de la ecuación anterior.

RECUERDAUna ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.

Según los valores de las incógnitas, la igualdad puede cumplirse o puede no cumplirse.

88

1. Redacta un enunciado que pueda expresarse algebraicamente mediante una ecuación de primer grado con dos incógnitas.

— Escribe la ecuación que corresponde al enunciado.

Unidad 4

ACTI

VID

AD

ES

Escogemos las letras con las que repre-sentaremos las incógnitas.

x para el primer número

y para el segundo número

Traducimos al lenguaje algebraico la pri-mera parte del enunciado.

El triple del primer número:

3x

Traducimos al lenguaje algebraico la se-gunda parte del enunciado.

El segundo número:

y

Escribimos la ecuación correspondiente al enunciado completo.

3x + y = 5

x yPrimer miembro

(3x)Segundo miembro

(y)¿Se cumple la igualdad?

−1 8 −3 8 Sí

2 4 6 4 No

Una ecuación es de primer grado con dos incógnitas si, una vez efectuadas las operaciones y reducidos sus términos semejantes, aparecen dos incóg-nitas cuyo máximo exponente es 1.

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ResoluciónPara hallar soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas procederemos del siguiente modo:

Observamos que los pares de valores x = −2, y = 11; x = −1, y = 8; x = 0, y = 5; x = 1, y = 2; x = 2, y = −1 son soluciones de la ecuación.

Representación gráfica de las solucionesLas soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas pueden repre-sentarse gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas. Para ello, asig-namos a cada par de valores x e y que sean solución de la ecuación el punto del plano que tiene estos valores por coordenadas: (x, y).

Si pudiéramos obtener todas las soluciones de la ecuación 3 x + y = 5 y las re-presentáramos gráficamente, obtendríamos la recta de la figura de la derecha.

2. Traduce al lenguaje algebraico el siguiente enunciado:

«La suma del doble de un número más otro número es igual a 4.»

— Haz una tabla con cinco soluciones de la ecuación ob-tenida. A continuación, represéntalas.

3. Representa gráficamente las soluciones de estas ecuaciones:

a) 2 y = 3 x + 4 b) 2(x + 1) = y + 3

4. Halla las soluciones de la ecuación 3 x − 2 (y − 3) = 5 para estos valores:

y y y= − = =112

2; ;

5. En la siguiente gráfica hemos representado las solucio-nes de la ecuación 3 y = 2 x + 5.

–1–1–2–3–4–5–6–7–8

12345

–2–3–4

1 2 3 4 5 6 7 80

Y

X

Señala tres puntos de la recta y comprueba que sus coor-denadas corresponden a soluciones de la ecuación.


ACTIVIDA

DES

–1–2–3–4–5–6–7–8

1234567891011

–2–3–4–5–6

1 2 3 4 5 6 7 80

Y

X–1

La representación gráfica de las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una recta.

PROCEDIMIENTO EJEMPLO

Despejamos una de las incógnitas, por ejemplo la y.

Para ello, transponemos el primer término.

y = 5 − 3x

Asignamos valores cualesquiera a la otra incógnita, x, para calcular, a continuación, los correspondientes a la y.

De este modo, podemos construir una tabla de soluciones.

x y x= −

− − ⋅ − =

− − ⋅ − =

− ⋅ =

−

5 3

2 5 3 2 11

1 5 3 1 8

0 5 3 0 5

1 5

( )

( )

33 1 2

2 5 3 2 1

⋅ =

− ⋅ = −

FÍJATEPara cada valor arbitrario de x pode-mos obtener un valor de y.

Como x puede tomar cualquier valor, una ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.

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2. Sistemas de ecuacionesPuede darse el caso de que dos ecuaciones deban cumplirse al mismo tiempo. Lee el siguiente enunciado:

La suma de dos números es igual a 5. Además, al restar 4 al doble del primer núme-ro, obtenemos el segundo.

Nos hacen falta dos ecuaciones para traducirlo al lenguaje algebraico.

Estas dos ecuaciones que deben cumplirse a la vez constituyen un sistema de ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones se escribe agrupando las ecuaciones que lo forman con una llave.

x y

x y

+ =

− =

5

2 4

Acabamos de ver que una ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones, pero debemos determinar cuántos valores de las incógnitas verifican simultáneamente las ecuaciones.

Cada par de valores x e y que verifica simultáneamente todas las ecuaciones de un sistema es una solución del sistema.

Del mismo modo que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mis-mas soluciones, dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Así, los sistemas de ecuaciones:

2 6

3 3 18

5 2 24

11 5 54

x y

x y

x y

x y

− =

+ =

+ =

+ =

son equivalentes puesto que tienen las mismas soluciones.

90

6. Expresa el siguiente enunciado mediante un sistema de ecuaciones: «La edad de un hijo es cuatro veces menor que la de su padre y hace seis años era siete veces menor».

7. Comprueba si el par de valores (−7, −5) es una solución del siguiente sistema de ecuaciones.

3 4 7

7 8 105

x y

x y

− =

+ = −

Unidad 4

ACTI

VID

AD

ES

La suma de dos números es igual a 5.

El doble del primero me-nos 4 es igual al segundo.

x y

x y

+ =

− =

5

2 4

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben veri-ficarse simultáneamente.

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2.1. Resolución gráficaResolver un sistema de ecuaciones consiste en hallar los valores de las incógni-tas que verifiquen a la vez todas las ecuaciones.

La resolución gráfica de un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas consiste en representar las rectas correspondientes a las soluciones de cada una de las ecuaciones del sistema. Los puntos comunes a ambas rectas nos proporcionarán las soluciones del sistema.

Sepamos ahora cómo resolver gráficamente el sistema planteado en la página anterior.

8. Representa gráficamente las soluciones de las ecuaciones de los siguientes sistemas:

a b) )2 3 1

2 11

2 3 11

2

x y

x y

x y

x y

− =

+ =

+ =

− = 22

— Escribe la solución de cada sistema y compruébalas.

9. Resuelve gráficamente estos sistemas:

a b) )2 0

3 7

3 2 18

2 6 1

x y

x y

x y

x y

− =

+ =

+ =

− − = − 22

— Comprueba las soluciones.

— ¿Se trata de dos sistemas equivalentes?

91

Si accedes a la página http://youtu.be/fJ__PcO46Uw, podrás visualizar un ví-deo en el que se resuelve gráficamente un sistema de ecuaciones.

@

Ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas

ACTIVIDA

DES

Halla gráficamente la solución del siguiente sistema:

x y

x y

+ =

− =

5

2 4

— En primer lugar, despejamos y en la primera ecuación. En la segunda ecuación no es necesario hacerlo.

y x

y x

= −

= −

5

2 4

— Construimos una tabla de soluciones de cada ecuación asignando valores arbitrarios a x y calculando los co-rrespondientes a la y.

xPrimera ecuación

y = 5 − xx

Segunda ecuación y = 2 x − 4

−3 5 − (−3) = 8 −2 2 · (−2) − 4 = −8

−1 5 − (−1) = 6 0 2 · 0 − 4 = −4

1 5 − 1 = 4 1 2 · 1 − 4 = −2

3 5 − 3 = 2 4 2 · 4 − 4 = 4

— Representamos gráficamente las soluciones de cada una de las ecuaciones en un sistema de coordenadas cartesianas.

–1–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10

12345678

–2–3–4–5–6–7–8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

Y

X

— Las dos rectas se cortan en el punto (3, 2), por lo que x = 3, y = 2 es la solución del sistema.

— Comprobamos el resultado obtenido. Para ello, susti-tuimos los valores hallados en las dos ecuaciones y verificamos que se cumplen.

Primera ecuación Segunda ecuación

x + y = 5 2 x − 4 = y

3 + 2 = 5 2 · 3 − 4 = 2

5 = 5 2 = 2

EJEM

PLO

1

x

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2.2. Métodos algebraicosLa resolución gráfica de sistemas puede ser imprecisa en caso de que las solu-ciones no sean números enteros.

Así, para resolver sistemas, se utilizan habitualmente los denominados métodos algebraicos: método de sustitución, método de igualación y método de reducción.

Método de sustituciónPara resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución, en primer lugar despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación.

Veamos el proceso de resolución de un sistema por este método.

92

10. Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución:

a b) )5 8 13

2 3 4

5 3

2 0

x y

x y

x y

x y

− = −− = −

− = −− + =

11. Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución y por el método gráfico. Comprueba que obtienes la misma solución.

2 3 7

2 2

y x

y x

− =− =

Unidad 4

ACTI

VID

AD

ES

PROCEDIMIENTO Ejemplo :3 2 11

2 5 11

x y

x y

− = −

− = −

Despejamos x en la primera ecuación.x

y= − +11 23

Sustituimos la x de la segunda ecuación por la expresión obtenida. 2

11 23

5 11⋅ − +

− = −yy

Resolvemos la ecuación resultante, que es una ecuación de primer grado con una incógnita.

− + − = −

⋅ − + −

= ⋅ −

−

22 43

5 11

322 4

35 3 11

22

yy

yy ( )

++ − = −

− = − +

− = −

=

4 15 33

4 15 33 22

11 11

1

y y

y y

y

y

Sustituimos el valor de y hallado en la expresión donde aparece despejada x. x

y= − + = − + ⋅ =

= − + = − = −

11 23

11 2 13

11 23

93

3

Escribimos la solución del sistema. x = −3, y = 1

104164_MAT_CAS_2ES_UD04_86_107.indd 92 13/02/12 17:22

Método de igualaciónEste método consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas.

Observa el procedimiento que seguimos para resolver un sistema por el méto-do de igualación.

12. Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación:

a b) )y x

y x

y x

y

− =

+ =

− =3

2 3 16

2 3 6

++ =

x 8

13. Resuelve este sistema gráficamente y por el método de igualación. Comprueba que obtienes el mismo resultado.

2 3 1

2 11

x y

x y

− =

+ =

14. Resuelve este sistema por los métodos de igualación y de sustitución:

2 2 8

3 2 11

x y

x y

+ =

+ =


ACTIVIDA

DES


2 5 11

x y

x y

− = −

− = −

Despejamos x en las dos ecuaciones.3 2 11

11 23

2 5 1111 5

2

x y xy

x y xy

− = − ⇒ = − +

− = − ⇒ = − +

Igualamos las expresiones obtenidas. − + = − +11 23

11 52

y y

Resolvemos la ecuación resultante, que es una ecuación de primer grado con una incógnita.

611 2

36

11 52

2 11 2 3 1

⋅ − +

= ⋅ − +

⋅ − + = ⋅ −

y y

y( ) ( 11 5

22 4 33 15

4 15 33 22

11 11

1

+

− + = − +

− = − +

− = −

=

y

y y

y y

y

y

)

Sustituimos el valor de y hallado en cual-quiera de las dos expresiones en que aparece despejada x.

xy= − + = − + ⋅ =

= − + = − = −

11 23

11 2 13

11 23

93

3


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Método de reducciónPara resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción, multiplica-remos cada ecuación por el número adecuado y así, al sumar las dos ecuaciones resultantes, obtendremos una ecuación con una sola incógnita.

Fíjate en el proceso de resolución de un sistema por el método de reducción.

94

Si accedes a la página http://www.va denumeros.es/tercero/sistemasde ecuaciones.htm, encontrarás ejemplos de aplicación de los distintos métodos algebraicos de resolución de ecuacio-nes, así como una aplicación para com-probar las soluciones de un sistema.

@

15. Resuelve estos sistemas por el método de reducción:

a b) )x y

x y

x y+ =

+ =

− =4

2 4 10

4 2

2 5 7x y− =

16. Resuelve el siguiente sistema gráficamente y por el método de reducción. Comprueba que obtienes el mismo resultado.

2 2 6

3 4 12

x y

x y

+ =

+ =

Unidad 4

ACTI

VID

AD

ES


2 5 11

x y

x y

− = −

− = −

Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por −3. De este modo, los coeficientes de la x en las dos ecuaciones serán números opues-tos.

3 2 11 6 4 22

2 5 11 6

2

3

x y x y

x y

− = − → − = −

− = − → −

⋅

⋅ −( ) xx y+ =15 33

Sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones y despejamos la y.

6 4 22

6 15 33

11 11 1

x y

x y

y y

− = −

− + =

= ⇒ =

Para hallar el valor de x podemos sustituir en cualquiera de las ecuaciones iniciales el valor de y hallado y, a continuación, despejar x.

También podemos hallar el valor de x utilizando de nuevo el mismo método para eliminar las y. Para ello, multiplica-mos la primera ecuación por 5 y la segun-da por −2.

3 2 11 15 10 55

2 5 11

5

2

x y x y

x y

− = − → − = −

− = − −

·

·( )→→ − + =4 10 22x y

Sumamos, miembro a miembro, las dos ecuaciones y despejamos la x.

15 10 55

4 10 22

11 33 3

x y

x y

x x

− = −

− + =

= − ⇒ = −


104164_MAT_CAS_2ES_UD04_86_107.indd 94 13/02/12 17:22

17. Resuelve los siguientes sistemas por los tres métodos descritos. ¿Cuál de ellos resulta más apropiado en cada caso?

a b) )x y

x y

x y+ =

− = −

+ = −

−

4 7

3

14

2 7

3312

14x y+ = −


ACTIVIDA

DES

Resuelve el siguiente sistema por el método de iguala-ción:

— En primer lugar, despejamos x en las dos ecua-ciones.

— Igualamos las expresiones obtenidas.

— Resolvemos la ecuación resultante, de primer grado con una incógnita.

— Sustituimos el valor de y en una de las expresio-nes en que aparece despejada la x.

— La solución del sistema es:

— Comprobamos el resultado sustituyendo los va-lores obtenidos en una de las ecuaciones.

EJEM

PLO

2

x y

y x

− + =− − =

2 3 0

4 2

x y

xy

= −

= − −2 3

2

4

4 2 3 2

8 12 2

8 2 12

9 1010

9

⋅ − = − −

− = − −

+ = − +

= → =

( )y y

y y

y y

y y

x = ⋅ − = − = −210

93

20

9

27

9

7

9

− − =

− − ⋅ −

= =

y x4 2

10

94

7

9

18

92

x y= − =7

9

10

9,

2 32

4y

y− = − −

Resuelve el siguiente sistema por el método de reduc-ción:

— En primer lugar, multiplicamos la segunda ecua-ción por −3.

2x − y = 1 → −6x + 3y = −3

Así, hemos obtenido un sistema en el que los coeficientes de la y en las dos ecuaciones son números opuestos.

— Sumamos, miembro a miembro, las dos ecua-ciones.

— Sustituimos el valor de x en una de las ecuaciones iniciales y despejamos la y.

2 · 1 − y = 1 y = 2 · 1 − 1 = 1

— La solución del sistema es:

x = 1, y = 1

— Comprobamos el resultado sustituyendo los va-lores obtenidos en una de las ecuaciones.

3x − 3y = 0 → 3 · 1 − 3 · 1 = 0

EJEM

PLO

33 3 0

6 3 3

3 33

31

x y

x y

x x

− =

− + = −

− = − → = −−

=

3 3 0

2 1

x y

x y

− =− =

3 3 0

6 3 3

x y

x y

− =

− + = −

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2.3. Tipos de sistemasYa hemos visto que las soluciones de un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas están determinadas por los puntos que tengan en común las rectas obtenidas al representar gráficamente las soluciones de cada ecuación.

Según las soluciones, los sistemas se clasifican en: compatibles determinados,

compatibles indeterminados e incompatibles.

Sistema compatible determinado

Observa la representación gráfica del siguiente sistema:

3 6

2 4

x y

x y

+ =− =

Las dos rectas son secantes: tienen un único punto en común.

Las dos rectas se cortan en el punto (2, 0): el sistema tiene una única solución, el par de valores formado por x = 2 e y = 0.

Sistema compatible indeterminadoFíjate ahora en la representación gráfica de este otro sistema:

2 3

2 3

x y

x y

− =− + = −

Las dos rectas son coincientes: tie-nen todos los puntos comunes. Todas las soluciones de una ecuación lo son también de la otra.

El sistema tiene infinitas soluciones.

96

Si accedes a la página http://recurso stic.educacion.es/descartes/web/ma teriales_didacticos/sistemas_ecua ciones_afm/unidad_didactica1.htm, encontrarás una aplicación para repre-sentar gráficamente y clasificar sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

@

Unidad 4

–1–1–2–3–4–5–6–7

1234567

–2–3–4–5–6–7

1 2 3 4 5 6 7 80

Y

X

–1–1–2–3–4–5–6–7

1234567

–2–3–4–5–6–7

1 2 3 4 5 6 7 80

Y

X

Un sistema compatible determinado es aquel que tiene una única solución y cuya representación gráfica corresponde a dos rectas secantes.

Un sistema compatible indeterminado es aquel que tiene infinitas so-luciones y cuya representación gráfica corresponde a dos rectas coinci-dentes.

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Sistema incompatible Finalmente, veamos la representación gráfica de este sistema:

y x

y x

− =− = −

5 2

2 10 6

Las dos rectas son paralelas: no tie-nen ningún punto en común.

El sistema no tiene solución.

18. Resuelve, por el método que prefieras, los sistemas de ecuaciones del apartado 2.3. Comprueba que la solución algebraica coincide con la solución gráfica.

19. Resuelve algebraicamente estos sistemas y clasifícalos en compatibles determinados, compatibles indeterminados o incom-patibles:

a b c) ) )2 2

3 8

2 3

3

2

3

x y

x y

x y

x y

x y− =

+ =

+ = −

− = −

+ =

xx y

x y

x y+ = −

+ =

+ = −

3 6

2 6

2 2

d)


ACTIVIDA

DES

–1–1–2–3–4–5–6–7

1234567

–2–3–4–5–6–7

1 2 3 4 5 6 7 80

Y

X

Resuelve y clasifica el siguiente sistema de ecuaciones. Comprueba que la solución algebraica y la gráfica coinciden.

— Resolvemos el sistema por el método de reducción: multiplicamos la segunda ecuación por 2 para obtener coefi-cientes opuestos de las y.

— Sustituimos el valor de x en una de las ecuaciones iniciales y despejamos la y.

3 − y = 3 → y = 3 − 3 = 0

La solución del sistema es x = 3, y = 0. El sistema tiene una única solución: se trata de un sistema compatible determinado. Su representación gráfica corres-ponde a dos rectas secantes que se cortan en el punto (3, 0).

EJEM

PLO

4

3 2 9

3

x y

x y

+ =− =

3 2 9

2 2 6

5 1515

53

x y

x y

x x

+ =− =

= → = =

Y

X12

3

45

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11�1 0�2�3�4

�1�2

�3

�4�5�6�7

Un sistema incompatible es aquel que no tiene solución y cuya represen-tación gráfica corresponde a dos rectas paralelas.

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2.4. Representación gráfica de sistemas de ecuaciones con ordenador

Podemos representar gráficamente sistemas de ecuaciones con el programa Geogebra. La representación nos permitirá clasificarlos según sus soluciones.

Veamos cómo representar este sistema:

2 6

2 10

x y

x y

− =+ =

— En la ventana inferior de entrada de expresiones algebraicas de Geogebra escribimos la primera ecuación del sistema, 2 x − y = 6. Al pulsar «Intro», obtenemos la recta correspondiente a la representación gráfica de sus solu-ciones.

— A continuación, introducimos en la ventana algebraica la segunda ecuación del sistema, 2 x + y = 10 y pulsamos «Intro» para obtener la recta que repre-senta las soluciones de dicha ecuación.

— Una vez representado el sistema de ecuaciones, podemos clasificarlo observando las posiciones relativas de las dos rectas obtenidas. En el ejemplo anterior, tenemos dos rec-tas secantes. Se trata, pues, de un sistema compatible determinado.

Siguiendo el procedimiento descrito anteriormente, representamos gráfi-camente este otro sistema:

2 5

2 4

x y

x y

+ =

+ =

A la izquierda podemos ver la representación gráfica de las dos ecuaciones del sistema. Puesto que las rectas obtenidas son paralelas, dicho sistema es incom-patible.

98

20. Utiliza un programa informático de representación gráfica para comprobar los resultados obtenidos en la actividad 19.

21. Resuelve, por el método que prefieras, los siguientes sistemas de ecuaciones y represéntalos gráficamente con un programa informático:

a b c) ) )3 3 6

3

3 6

2 3

2x y

x y

x y

x y

x+ =

+ =

+ =

+ =

+ 55 12

5 2 10

y

y x

=

+ =

— ¿Se puede inferir alguna relación entre la representación gráfica de un sistema de ecuaciones y sus soluciones?

Unidad 4

ACTI

VID

AD

ES

104164_MAT_CAS_2ES_UD04_86_107.indd 98 13/02/12 17:22

3. Aplicación a la resolución de problemas

En la unidad anterior hemos visto el procedimiento que debemos seguir para resolver problemas mediante una ecuación de primer grado con una incógnita.

El procedimiento para resolver problemas mediante un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es muy parecido. Fíjate en el siguiente ejemplo:

22. Tres libros y dos rotuladores cuestan 25 ∑. Dos rotuladores y un libro cuestan 9 ∑. Calcula el precio de un libro y el de un rotulador.

23. Determina las medidas de los lados de un triángulo isósceles de 50 cm de perímetro sabiendo que el lado desigual mide 5 cm más que cada uno de los lados iguales.


ACTIVIDA

DES

Un número consta de dos cifras que suman 9. Dicho número supera en 9 unida-des al que resulta de invertir el orden de sus cifras. ¿De qué número se trata?

• Lectura atenta del enunciado. Lee de nuevo el problema y expresa el enunciado con tus palabras.

• Elección de las incógnitas. Representamos por x la primera cifra y por y la segunda.

• Planteamiento del sistema. Traducimos al lenguaje algebraico cada una de las condiciones.

— Las dos cifras suman 9.x + y = 9

— El número es igual al que resulta de invertir el orden de sus cifras más 9.

Como x es la cifra de las decenas e y la de las unidades, el nú-mero será 10 x + y.

Y el que resulta de invertir el orden de sus cifras será 10 y + x. Por lo tanto, la segunda condición se traduce en:

10 x + y = 10 y + x + 99 x − 9 y = 9

x − y = 1

— El enunciado del problema se traduce en el sistema:

x y

x y

+ =− =

9

1

• Resolución del sistema. Resolvemos el sistema por el método de re-ducción.

x y

x y

x x

x y y x

+ =− =

= → =+ = → = − = − =

9

1

2 10 5

9 9 9 5 4

• Respuesta. El número que nos piden es el 54.

• Comprobación. La suma de las dos cifras es 9 y se cumple 54 = 45 + 9.

EJEM

PLO

5

104164_MAT_CAS_2ES_UD04_86_107.indd 99 13/02/12 17:22

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

ESTRATEGIA: Elección correcta de la incógnitaCuando, en el planteamiento de un problema, tenemos más de una posibilidad para decidir cuál o cuáles serán sus incógnitas, la elección apropiada de estas puede simplificar en gran medida la resolución.

100

El triple de la edad actual de un niño más 6 años es igual a la mitad de la edad actual de su padre. Dentro de 4 años la edad del padre será el quíntuplo de la edad del niño. ¿Qué edad tendrán ambos dentro de 6 años?

Comprensión del enunciado— Lee de nuevo el enunciado.

— Anota qué es lo que buscas y los datos de que dispones.

Planificación de la resoluciónPara calcular las dos edades, debemos plantear un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

— Si elegimos como incógnitas las edades dentro de 6 años, ob-tenemos el siguiente sistema.

x = edad del niño dentro de 6 años

y = edad del padre dentro de 6 años

3 6 66

2

5 2 2

⋅ − + = −

⋅ − = −

( )

( )

xy

x y

— Y, si escogemos como incógnitas las edades actuales, obtenemos este otro sistema de ecuaciones.

x = edad actual del niño

y = edad actual del padre

3 62

5 4 4

xy

x y

+ =

⋅ + = +

( )

— Es evidente que la resolución del segundo sistema resultará más sencilla que la del primero.

Ejecución del plan de resolución— Resolvemos el segundo sistema de ecuaciones por el método

de reducción.

6 12

5 16

6 12

5 16

6 1

x y

x y

x y

x y

x y

+ =

+ =

− = −

− = −

− + = 22

5 16

4

x y

x

− = −

− = −

x = 4 y = 5 x + 16 = 5 · 4 + 16 = 36

Actualmente, el niño tiene 4 años y dentro de 6 años ten- drá 4 + 6 = 10 años.

Actualmente, el padre tiene 36 años y dentro de 6 años tendrá 36 + 6 = 42 años.

Revisión del resultado y proceso seguidoPara comprobar que la solución obtenida es correcta, sustituiremos los valores hallados de las incógnitas en cada una de las ecuaciones del sistema inicial y verificaremos que se cumplen.

3 62

5 4 4

3 4 6362

5 4 4 36 4

xy

x y

+ =

⋅ + = +

⋅ + =

⋅ + = +

( ) ( )

Unidad 4

104164_MAT_CAS_2ES_UD04_86_107.indd 100 13/02/12 17:22

101

24. Aplica la estrategia descrita para resolver el siguiente problema:

La edad de un hijo es cuatro veces menor que la de su padre y hace 6 años era siete veces menor. ¿Qué edad tendrán ambos dentro de 3 años?

SÍNTESIS

1 Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una ecuación en la que aparecen dos incógnitas con exponente 1.

Una solución de la ecuación es cada par de valores numéricos de las incógnitas que hacen cierta la igual-dad.

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones y la representación gráfica de sus soluciones es una recta.

2 Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuacio-nes que deben verificarse simultáneamente.

Cada par de valores x e y que verifica simultáneamente todas las ecuaciones de un sistema es una solución del sistema.

3 Según el número de soluciones, los sistemas se clasifican en:

• Sistema compatible determinado. Tiene una única solución.

• Sistema compatible indeterminado. Tiene infinitas soluciones.

• Sistema incompatible. No tiene solución.

4 La resolución algebraica de un sistema de dos ecua-ciones de primer grado con dos incógnitas se basa en obtener una ecuación de primer grado con una incóg-nita a partir del sistema de ecuaciones. Se utilizan tres métodos:

• Método de sustitución.

• Método de igualación.

• Método de reducción.


ACTIVIDA

DES

Resolución gráfica

Resolución algebraica

• Compatible determinado • Compatible indeterminado• Incompatible

• Sustitución• Igualación• Reducción

se clasifican en

obtenemos las soluciones mediante

por los métodos de

si deben verificarse simultáneamente

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

SISTEMAS DE ECUACIONES

1

2

3

4

104164_MAT_CAS_2ES_UD04_86_107.indd 101 13/02/12 17:22

102

AC

TIV

IDA

DES

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

25. Expresa mediante una ecuación de primer grado con dos incógnitas cada una de las siguientes frases:

a) Hemos comprado una libreta y un bolígrafo, y hemos pa-gado 8 ∑.

b) Al comprar 6 botellas de agua y 5 panecillos nos han cobrado 7 ∑.

c) El perímetro de un rectángulo es 60 cm.

d) La edad de un padre es superior en 27 años a la de su hijo.

26. Representa en unos ejes de coordenadas las soluciones de la ecuación 3 x + y = 1.

27. Halla tres soluciones para la ecuación siguiente y comprué-balas.

3 x − 2 (y − 3) = 5

Sistemas de ecuaciones 28. Indica si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) x = 3, y = 2 es solución de la ecuación 2 x + y = 4.

b) x = 10, y = 2 es solución de la ecuación x + 3 y = 10.

c) x = 0, y = 3 no es solución del sistema x y

x y

+ =− =

3

2 5

d) x = 5, y = 1 es solución del sistema x y

x y

− =+ =

4

2 11

29. El sistema de ecuaciones a x y

x b y

+ =− =

4 14

5 9 tiene por

solución x = 3, y = 2.

Halla los valores de a y de b.

30. Representa gráficamente los siguientes sistemas de ecuacio-nes y clasifícalos en compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles.

a) c

b

x y

x y

x y

x y

x y

x

+ =− =

+ =+ =

+ =+

8

2

5

2 2 10

8

2

)

)

22 8

5

3 2 12y

x y

x y=

+ =+ =

d)

31. Completa el sistema

x y+ == }3

... ... ...

escogiendo entre una de estas ecuaciones:

2 x + 2 y = 6 x + y = 5 x − y = 1

de forma que el sistema formado sea:

a) compatible determinado

b) compatible indeterminado

c) incompatible

32. Resuelve gráficamente:

a) c)

b

x y

x y

x y

x y

x y

x

+ =− =

− =− =

− = −

0

2

2 5

2

2 8 2

2

)

++ =

+ =− =

y

x y

x y16

2 4

2 3 1

d)

33. Resuelve estos sistemas de ecuaciones, represéntalos gráfica-mente e indica cuáles de ellos son indeterminados y cuáles son incompatibles.

a) c)

b)

3 2 26

3 2 26

3 12

3 14

x y

x y

x y

x y

− =− = −

− =+ =

22 2 8

3 3 12

2 5

3 5 1

x y

x y

x y

x y

+ =+ =

+ =− =

d)

34. Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución:

a c)

b

)

)

3 2 5

2 3 15

7 8 23

5 3 1

x y

x y

x y

x y

− =− =

+ = −− =

xx y

x y

x y

x y

− =− =

− = −− + =

4 2

2 5 7

4 3 11

5

d)

35. Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación:

a c

b

) )

)

2 7 14

2 4

3 4 24

1

2

x y

x y

x y

x y

x

+ =− =

+ =− + = −

−− =− + = −

+ =− = −

3 1

5 2 19

4 5 24

2 2 6

y

x y

x y

x y

d)

R

R

4

Unidad 4

104164_MAT_CAS_2ES_UD04_86_107.indd 102 13/02/12 17:22

103

36. Resuelve estos sistemas de ecuaciones y represéntalos gráfi-camente:

ac

))

x y

x y

x y

y x

+ − =− + =

− = −

= −

1 0

2 4 2 0

4 2

32

6 1

− − + =+ =

− == −

b d) )x y

x y

x y

x y

3 5 0

2

5 2

8 6

37. Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:

a c) )3 2 12

2 1

2 4 2

2 8 22

x y

x y

x y

x y

+ =− =

− + =− = −

bb d) ) ( )2 10

2 3 6

3 5 11x y

x y

x y− =+ = −

⋅ − + = −3 2 26x y− = −

38. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y clasifícalos en compatibles determinados, compatibles indeterminados o incompatibles.

a c) )2 3 1 0

5152

3 0

3 5 3

185

1

x y

x y

x y

x

+ − =

= − + =

− =

− 885

6

4 16

212

2 8

5

=

− + =

=

− =

= −

y

y x

x

x y

x

b d) )

2212

⋅ −

y

39. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por los métodos de igualación, sustitución y reducción. ¿Qué método es el más adecuado para resolver este sistema?

4 3 5

12

3

x y

x y

− =

+ =

40. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución, sustituyendo primero la x y después la y. Jus-tifica en cada caso cuál de las dos incógnitas es mejor sustituir.

a b) )3

12

22

43

45

1

2

x x y

xy

x y= − +

− = −

− + = +

223

34

72

x y+ =

41. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación. ¿Cuál de las incógnitas resulta más fácil igualar en cada uno de estos dos casos?

a b) )12

45

14

12

13

0

2 53

x y

x y

x− =

− + − =

− = 33

13

14

7 0

y

x y− − =

42. Relaciona estas gráficas con sus correspondientes sistemas de ecuaciones:

Y4,5

4

3,5

2,5

1,5

0,5

1

2

3

0,5 1,5 2,5 3,5 4321 X0

Y

X0,4

0,8

1,2

1,6

0,4 0,8 1,2 1,6–0,4–0,8–1,2–1,6–0,4

–0,8

–1,2

–1,6

0

Y6,9

5,6

4,9

3,5

2,1

0,7

1,4

2,8

4,2

0,7 2,1 3,5 4,9 5,64,22,81,4X

0

Y

X0,4

0,8

1,2

1,6

0,4 0,8 1,2 1,6–0,4–0,8–1,2–1,6–0,4

–0,8

–1,2

–1,6

0

1

3 4

2

a c) )13

212

112

16

4

213

= −

− = −

+ =

= +

y x

x y

y x

y x

+ = − + −

= − +

− =b

d)

)13

223

2 2 2

2 1

3

y x y

y x

y x

y −− =

13

x

43. Dada la ecuación siguiente, plantea otras tres ecuaciones ta-les que la solución del sistema que forman con ella sea x = 1 e y = −1:

−2 x + 3y = −5

44. Halla las soluciones de los tres sistemas formados por la ecua-ción 2 x + y − 3 = 0 y las ecuaciones y − x = 0 , y − x = 1 y y − x = 2 . Representa gráficamente cada uno de los sistemas y describe las diferencias entre las rectas obtenidas.

45. Determina los valores de a y b para que este sistema de ecua-ciones sea compatible determinado, compatible indetermi-nado e incompatible.

y ax

y x b

+ − =− + − =

1 0

2 0


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104

AC

TIV

IDA

DES

46. Relaciona cada una de estas gráficas de sistemas de ecuaciones con su correspondiente clasificación:

Y

X1

2

3

4

1 2 3 4–1–2–3–4–1

–2

–3

–4

0

Y

X1

2

3

4

1 2 3 4–1–2–3–4–1

–2

–3

–4

0

Y

X1

2

3

4

1 2 3 4�1�1–2–3–4–1

–2

–3

–4

0

Y

X1

2

3

4

1 2 3 4–1–2–3–4–1

–2

–3

–4

0

1

3

2

4

a) Un sistema incompatible y dos sistemas compatibles de-terminados.

b) Tres sistemas compatibles determinados.

c) Tres sistemas incompatibles.

d) Tres sistemas compatibles: uno indeterminado y dos deter-minados.

Problemas 47. El precio de las entradas de un circo es de 8 ∑ para los adultos

y 5 ∑ para los niños. Si en el circo hay 600 personas y han re-caudado 4 500 ∑, ¿cuántos adultos y cuántos niños hay?

48. En un albergue hay dos tipos de habitaciones: de 6 camas y de 8 camas. Si el número total de habitaciones del albergue es 12 y el de camas es 86, halla cuántas habitaciones de cada clase hay en el albergue.

49. En la preparación de un juego debemos colocar unas bolas dentro de unas cajas. Si colocamos 5 bolas en cada caja, nos sobran 2 bolas; pero si decidimos colocar 6 bolas en cada caja, observamos que nos falta 1 bola. ¿Cuántas bolas y cuántas cajas tenemos?

50. Halla un número de tres cifras que cumpla todas las condicio-nes siguientes:

— Está comprendido entre 300 y 350.

— La suma de la cifra de las unidades con la de las decenas es 8.

— La cifra de las unidades es el triple de la cifra de las decenas.

51. Al final de un juego, uno de los participantes ha obtenido el doble de puntos que el otro. Si el participante que ha obteni-do más puntos le diera 3 puntos al otro, los dos tendrían la misma cantidad de puntos. ¿Cuántos puntos ha obtenido cada uno de ellos?

52. En un concurso de televisión se reparte una cierta cantidad de dinero a partes iguales entre los finalistas. Si cada uno de ellos recibiera 250 ∑, sobrarían 50 ∑ y si cada uno recibiera 270 ∑, faltarían 10 ∑. ¿Cuál es la cantidad de dinero que se da y cuál es el número de finalistas?

53. Juan compra 35 camisas a 30 ∑ cada una y Óscar compra 40 camisas al mismo precio. Al venderlas, el precio de las ca-misas de Juan es superior en 5 ∑ al precio al que las vende Óscar. Halla el precio de venta establecido por cada uno de ellos si después de vender todas las camisas han obtenido el mismo beneficio.

54. Dada esta ecuación: 2 x + 3 y = 4.

Calcula los valores de y correspondientes a los siguientes va-lores de x: −4, −1, 2 y 5.

A continuación, entra en la página web: http://recurso stic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Re solucion_grafica_sistemas_ecuaciones/Resolu cion_gra fica_sistemas.htm, resuelve esta actividad gráficamente y comprueba que los resultados coinciden con los que has obtenido en la resolución algebraica.

55. Halla un par de números tales que la suma de la mitad del primero y un cuarto del segundo sea igual al segundo incre-mentado en una unidad, y que el segundo sea el primero incrementado en una unidad.

a) Plantéalo y resuélvelo como un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas.

b) Plantéalo y resuélvelo como un sistema de una ecuación y una incógnita.

56. Marta tiene 3 años más que su amigo Pedro. La suma de la edad de Marta y la de su padre es 61 años. Si dentro de 4 años Pedro tendrá la mitad de la edad del padre de Marta, ¿qué edades tienen Marta, su padre y Pedro?

4

Unidad 4

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105

Más a fondo A

57. Halla el valor de a en cada uno de estos sistemas de modo que sean compatibles indeterminados.

a c) )x y

x a y

x y

a x y

+ =

+ =

+ =

+

5

2 10

2 3 10

2 15 ==

+ =

+ =

50

3 6 12

2

b) x y

x y a

58. El valor de x de una de las soluciones del sistema

x y

x y

+ =+ =

9

2 2 18 es el doble del valor de y. ¿De qué solución se

trata?

59. Juan ha participado en tres pruebas de natación y sabemos que:

— En la tercera prueba ha conseguido 2 puntos más que en la primera.

— La media aritmética de las puntuaciones obtenidas en la primera y en la segunda prueba es de 50.

— La media aritmética de las puntuaciones obtenidas en las tres pruebas es 49.

Halla la puntuación que ha conseguido en cada una de las pruebas.

60. La suma de los radios de las circunferencias que limitan una corona circular es 15 cm. Halla sus longitudes si estas difieren en 10π cm.

61. Determina el valor de a en cada uno de los sistemas de ecua-ciones siguientes para que sean compatibles determinados.

a c) )2 10

3 5 03

1 0

4 3 3

y ax

y x

ay x

y x

= +− + + =

+ − =

− + − = 00

2 3

5 2 15

= −− =

b) y ax

x y

62. Determina los valores de a y b para que este sistema de ecua-ciones sea compatible indeterminado.

ay x x by

y ax bx

− + = + +− − + = − +

1 2 3 10

2 5 2

63. Determina el valor de a para que estos dos sistemas de ecua-ciones tengan la misma solución y halla el valor de esta:

6 3 6

2 3

1

2 3

x y

ax ay

x y

x y

− =+ =

+ = −− =

64. Dada la ecuación −a x + y = 2:

a) Para tres valores diferentes de a, representa gráficamente las rectas resultantes en una sola gráfica. Observa y describe cómo cambia la recta en función de los valores de a.

b) Halla los valores de a para que la recta se corte con la recta y = 10.

c) ¿Cuáles deben ser los valores de a para que se corte con la recta y = 10 en el punto x = 1, y = 10? Representa gráfica-mente las dos rectas y comprueba que se cortan en dicho punto.

65. Comprueba si la resolución del siguiente sistema de ecuacio-nes está bien desarrollada y, en caso contrario, localiza los errores y resuélvelo correctamente.

x yy

x

x yx

− + = − −

⋅ − = − +− +( )

⇒

⇒

2 11 3

2

12

3 13

2( )

xx y y x

x y x

x

− + = − −

− = − − +

⇒

⇒

2 112

32

12

32

112

32

++ − + + + =

+ − =

⇒

⇒

−

x y y

x x y

x

232

112

0

12

12

32

12

2112

32

0

32

12

0

212

32

y

x y

x y+ =

− + =

⇒

− + = 00

2 3 1 0

52

12

0 5

2

− + − =

⇒

⇒ − + = ⇒ =

−

x y

y y

x ++ ⋅ − = ⇒ =3 5 1 0 7x


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COMPETENCIAS BÁSICASA

CTI

VID

AD

ES

106

1. En un parque zoológico, el cuidador de dos crías de lince, Lina y Linbe, ha descubierto que los cachorros se han comido los 100 g de pienso que contenía una caja. Para determinar cuál de los dos cachorros ha comido más pienso los pesa: Lina pesa 4,8 kg y Linbe, 3,9 kg.

Precisamente los había pesado justo antes de que se comieran el pienso y recuerda que el peso de Lina era cuatro quintos del de Linbe.

a) Para unificar las unidades, expresa la masa del pienso en unidades del S.I.

b) Indica las incógnitas del problema y plantea el sistema de ecuaciones.

c) ¿Cuál de las dos crías ha comido más pienso?

d) ¿Cuánto pesaban Lina y Linbe antes de vaciar la caja?

2. La abuela de Paula va a comprar 5 tarrinas de helado y 10 briks de zumo, que le cuestan 27,50 €. La madre de Paula va a la misma tienda y compra 2 tarrinas de helado y 5 briks de zumo; paga con un billete de 20 € y le devuelven 7,50 €.

a) Plantea un sistema de ecuaciones y calcula cuánto cuestan una tarrina de helado y un brik de zumo.

b) Entra en la página http://www.quickmath.com/webMathematica3/quickmath/graphs/equations/advanced.jsp, efec-túa la representación gráfica de las ecuaciones y comprueba que la solución del sistema corresponde al punto de corte de las dos rectas representadas.

3. INVESTIGA

En el año 2010, la Conferencia Internacional de Supercomputación (ISC’10) celebró su vigesimoquinto aniversario y también el centenario del nacimiento de Konrad Zuse, creador de la primera computadora electrónica programable, la Z3. Dicha con-ferencia tuvo lugar en Hamburgo con una asistencia de más de 140 expositores y más de 45 países, y se presentaron las me-jores soluciones sobre computación de alto rendimiento, redes y almacenamiento, muchas de las cuales funcionan con GNU/Linux.

El proyecto TOP500 es un ranking de las 500 supercomputadoras más poderosas del mundo y cada año publica una nueva lista en la Conferencia Internacional de Supercomputación.

Con la ayuda de los siguientes enlaces, responde a las preguntas planteadas:

http://planetared.com/2010/06/cuales-son-los-ordenadores-mas-potentes-del-mundo/

http://es.wikipedia.org/wiki/Operaciones_de_punto_flotante_por_segundo

http://es.wikipedia.org/wiki/Supercomputadora

http://es.wikipedia.org/wiki/Konrad_Zuse

http://www.top500.org/lists/2010/06

a) ¿Qué es una supercomputadora o superordenador? ¿Cuándo aparecieron las primeras? ¿Qué compañía las diseñó?

b) ¿Qué características tenía la Z3?

c) ¿Qué son las operaciones de punto flotante por segundo, FLOPS? Escribe sus múltiplos.

d) Escribe cuáles son los cinco primeros equipos del ranking de supercomputación. Indica dónde se encuentran y qué empre-sas los fabrican.

e) ¿En qué puesto del ranking está situada España? ¿Cuál es el superordenador más potente de España? ¿Dónde está ubicado?

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Unidad 4

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Demuestra tu ingenio

El frasco de agua de colonia

En una botica hay cinco frascos herméticos de cristal. Se sabe que cada uno contiene un líquido distinto. Con la única infor-mación de los rótulos, ¿sabrías deducir qué frasco contiene el agua de colonia?

El rombo

En este rombo, los números de los círculos mayores corresponden a la suma numérica de los círcu-los menores adyacentes.

¿Qué valores pueden tomar x, y, z y t?

1 Halla tres soluciones de la ecuación siguiente y comprué-balas.

3 x − 2 (y − 3) = 5

2 Escribe tres ecuaciones que tengan como solución x = −2, y = 3. Efectúa la comprobación.

3 Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecua-ciones:

a) b)2 5

4 2 6

2

3 6

x y

x y

x y

x y

+ =− =

− =− = −

4 Resuelve algebraicamente estos sistemas de ecuaciones y represéntalos gráficamente:

a b) )2 5 20

10

1

1

x y

x y

x y

y x

+ =− =

+ =− = − 33

5 En un juego hay unas fichas rotuladas con letras de valor desconocido y otras rotuladas con números. Halla el valor de la ficha rotulada con la letra x y el de la ficha rotula-da con la letra y si se verifican las siguientes relaciones:

x x x y y+ + = +

y x 2– =

6 La diferencia entre las áreas de dos rectángulos de bases 5 m y 3 m es 24 m2 y la diferencia entre sus alturas es 4 m. Halla las alturas de dichos rectángulos.

7 La suma de dos números es 70. Si al mayor le restamos el doble del menor, obtenemos 10. Halla estos dos números.

EVALU

ACIÓ

N

6 2

5 1

z y

x

t

CONTIENE AGUA O

ALCOHOL

CONTIENE ALCOHOL O

AGUA

CONTIENE AGUA O

COLONIA

CONTIENE AMONICO O ACETONA

CONTIENE ACETONA O

COLONIA

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