MATEMÁTICA

TEORÍA DE CONJUNTOS

CURSO : MATEMATICA

DOCENTE : ESPECIALIDAD : Ing. Ambiental

TURNO : Tarde

ALUMNO :

I Ciclo -2012

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EJERCICIOS DE TEORÍA DE CONJUNTOS:

1.- Si A = {3 IxI -1/5 ∈ Z+ /16 ≤ x² ≤ 144}; B ={X∈ Z+ /X >4 X=6}

CALCULAR: n [(A-B) x A ]

CON A CON B

16 ≤ x² ≤ 144 B = {5, 6,}4 ≤ x ≤ 124 ≤ IxI ≤ 12 Entonces: n [(A-B) x A]12 ≤ 3IxI ≤ 3611 ≤ 3IxI-1 ≤ 35 n [(3, 4,7) X (3, 4, 5, 6,7)]11 ≤ 3IxI-1 ≤ 35 5 5 5 Por propiedad2.2 ≤ 3IxI-1 ≤ 7 5 n [AxB]= n(A). n (B)

n [(A-B) x A]= n (A-B). n (B)ENTONCES: n [(A-B) x A]= n (A-B). n (B) A = {3, 4, 5, 6,7} n [(A-B) x A]= 3x5=15 ←Rspta

3.- Para los conjuntos A, B, C, D Y E SE Cumple:

C, D Y E ⊂c

(A¿

B)

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C¿

D= φ

n(A¿

B) = 72

n(E¿

(C¿

D))=6

n(C-E)= 9=n(D-E)+ 2

n(B) = 109 – n(A)

n[ A∩B )−n (C∪D∪E )]

=10

Halle n[E−(C∪A )]

= 15 ←

Rspta

4.- Sean A, B, C conjuntos contenidos en: U tales que:

P(B)⊂P( A ) n( A∩C )<10

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B⊂Cc n(BxC )=75

n( A )=10

CALCULE n[ A−(B∪C )]

si el menos posible

Solución:

n(BxC )=n (B ).n(C )=75

3 x 25

5 x15←

Rspta

5.- Dados los conjuntos:

A={X / √X∈Ζ∧X<100 }

B={X+12

∈Z /−9≤X≤11 }

Calcule n[( AxB )Δ (BxA ) ]

A = {0, 1, 4, 9, 25, 36,49, 64}

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

n (AxB) =63- 3= 60

n (BxA )=63−3=60120

↵

Rspta

Se resta el 3 porque se repite (0,0); (1,1); y (4,4)

6.- Dados los Conjuntos A, B, C contenidos en U tales que:

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n( A∪B∪C )=93

n( A−(B∪C )=18 n(C )=46

n( A∪B)−C )=7

n( A )=n(B )=41

n((B∩C )−A )=7

Calcule n [(A

C

∪BC

∪CC)C ]

Solución:

41+27-X+7+ 23 =93

X=5

n [(AC

∪BC

∪CC)C ]

= X= 5 ←

Rspta

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7.- Dados los Conjuntos:

A={2nn∈Z

+

∧n≤20 }

Y

B={2mm

∈Z+

∧4<m< 16 }

¿Cuántos elementos tiene el conjunto (AxB) ¿

(B x A)?

A = {2, 4, 6, 8,……………, 40}

n(A)=20

B = {2, 4, 6 ,8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40}

(AxB) ¿

(B x A)= 6 ←

Rspta

8.- En la maternidad se observo que de las 47 personas presentes: 29 eran hombres de los cuales 19 no eran mayores de edad. Si 11 personas nacieron hoy y las mujeres mayores de edad son tantas como las menores de edad, de estas las q no nacieron hoy representan el 20% del número de hombres mayores de edad. ¿Cuántos hombres menores de edad no nacieron hoy?

(Y+2)+ (Y+2)=18 X+Y=11

Y= 7 X= 4

X+P+10= 29

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Nacieron hoy

Menores de edad

Mayores de edad

total

HOMBRES

X p 10 29

MUJERES Y 2 (Y+2) 18

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P=15 ←

Rspta

10.- De 32 personas que practican básquet o vóley, se sabe que el número de mujeres que practican solo básquet es menor en 8 que las personas que practican ambos deportes y es la cuarta parte de los hombres que practican solo básquet son tantos como los que practican solo vóley. Calcule la máxima cantidad de personas que practican solo básquet.

Solución:

(a+b)-8= Z= x/4

(a+b)-8=Z

a+b=Z+8

Máxima cantidad de personas que practican solo básquet:

4Z+Z=5Z=5(2) = 10 ←

Rspta

4Z + a + 4Z + Z + b+ y= 32

9Z + (a+ b) + y=32 Z= 2max

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9Z+ Z+ 8 +Y= 32 Y= 4

10Z + Y= 24

10(2) +4=24

24= 24

11.- Se tienen 3 conjuntos tales que:

A=

{a2

+b2

−5 ;−4a ,8}

B=

{b−2c−3;a2

+4 }

C= {a+b+c / A=B }

Además:{a ,b ,c }⊂Ζ

Calcule: “C”, si A y B son unitarios.

Solución:

Con “A”

-4a = 8

a= -2

a2

+b2

−5=8

(−2)2

+b2

−5=8

b2

−1=8

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b=−+ 3

Con “B”

b−2c−3=a

2

+4

b−2c−3=(−2)2

+4

b−2c−3=8

Con (+ 3)

3-2c -3= 8

-2c=8

C= -4

Con (- 3)

-3-2c -3= 8

-2c=14

C= -7

Calcular “C”

C= {a+b+c / A=B }

a+b+c= (-2) + (3)-4

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a+b+c= -3

a+b+c= -2-3-7

a+b+c= -12

C= {−3 ,−12 }

←Rspta

12.- Dados los siguientes conjuntos:

A={x /x∈Ζ }

B= {x / x=2n+1 ;n∈Ζ }

C={x / x=2n;n∈Ζ }

Determine:

( A∩B )∪( A∩C )

Solución:

( A∩B )=B (B∩C )=A

←Rspta

( A∩C )=C

14.- ¿Cuál de las alternativas representa la región sombreada?

(C∩Ac

∩Bc)∪ (A∩B )

C∩( AΔB )c

[(C∩Ac∩Bc)∪A ]∩[(C∩Ac∩Bc)∪B ]

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C∩( AΔB )c

←Rspta

15.- Según el conjunto:

A={a , {b .c } , d }

Cuantas afirmaciones son incorrectas

I.{b , c }⊂A

II.

{b .c }∈

III.

{ {b ,c } }⊂ A

IV.C∈ A

V.{c }⊂A

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VI.{c }∈ A

Rspta:

I. (F)II. (V)

III. (V)IV. (F)V. (F)

VI. (F)

16.- De un grupo de 100 personas de la tercera edad se tiene la siguiente información.

30 jugaron futbol alguna vez

20 nunca jugaron tenis

5 personas nunca jugaron futbol ni tenis

15 personas jugaron futbol y tenis

¿De las personas que jugaron futbol, cuantos jugaron tenis alguna vez?

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15←

Rspta

17.- Sean los conjuntos:

A={3n5

/n∈Z+

∧n≤20}

B={3n5

/∈Z /n∈Z+

∧n≤20}C={3n

5/∈Z

+

/1≤n≤20}Calcule n(A)+ n (B) + n(C)

A= {4/5, 7/5, 10/5, 13/5, 16/5, 19/5, 22/5, 25/5, 28/5, 31/5, 34/5, 37/5, 40/5, 43/5, 46/5, 49/5, 52/5, 55/5, 58/5, 61/5}

B= {2, 5, 8, 11}

C= {2, 5, 8,11}

n(A)+ n (B) + n(C)=20+4+4= 28 ←Rspta

18.- 120 alumnos rindieron una prueba que contiene los cursos A, B, C con el siguiente resultado:

Se anulo 10 pruebas y el resto aprobó por lo menos 1 curso. Los que aprobaron A desaprobaron B o C. Hay 20 alumnos que aprobaron B y C.

¿Cuántos aprobaron un solo curso?

Solución:

(p+q+r)+ x +20-x+10= 120

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(p+q+r)= 90 ←

Rspta

19.- En una ciudad al 45% de la población le gusta todo tipo de carne, al 50% le gusta el pescado; entonces cuantos comen solamente carne pero no pescado, si en esta ciudad viven 40000 personas y el 40% son exclusivamente vegetarianos.

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18,000-400X+400X+ 20,000-400X + 16,000= 40,000

54,000-400X=40,000

400X= 14,000

X= 35

Solamente carne= 18,000- 400(35)

Solamente carne

18,000 –

14,000

4,000 ←Rspta

20.- Considere dos conjuntos A y B, si AUB tiene 28 subconjuntos más que A∩B

que tiene 2 elementos. ¿Cuántos subconjuntos tiene AxB, si (B-A) tiene 3 subconjuntos propios?

n [P( A∪B )]=n [P( A∩B )]+28

2x+4

=22

+28

2x+4

=32

2x+4

=25

X+4=5

X=1

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n( AxB)= n(A). n(B) subconjuntos propios:

n( AxB)= 3(4)= 12 AXB= 212

←Rspta

21.- De 212 deportistas, 60 practican vóley y ciclismo, 70 practican ciclismo y tenis. Además 73 practican solo uno de estos deportes. Determine la suma del máximo y el mínimo valor que puede tomar el número de deportista que practican los tres deportes.

(a+ b+c) + 210-2x= 212

73+ 210-2x= 212

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X= 35,5

35, 36

71 ←Rspta

22.- Se tiene los conjuntos:

A={a ,b } yB={b−16 , a+9 }

Donde a∈ΖΛb∈Ζ

Dichos conjuntos tienen solo un elemento en común y la suma de los elementos de uno de ellos es 59. ¿Cuanto suman los elementos los AΔB?

a= b-16 b-16+a+9= 59

a= 41 -16 a+b=66

a= 25 b-a=9

2b=82

b=41

A = {26, 41} B = {25, 34} 41+34= 75

b= a+9 a+b=59

b-a=9 b-a=9

a=25 2b=68

b= 34

A = {25, 34} y B= {18, 34}

25+ 18= 43 ←Rspta

23.- Si A, B Y C son subconjuntos de U, tal que:

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n ( A )=10 n [C−( A∪B)]=6

n(A∩CC )=7 n ( A∩B∩C )=2

n (B )=12 n(AC

∩BC

CC)

n ( A∩B )=5 n ( ¿ )=26

Determine: n(CC)

Solución:

n(CC)= 12 ←Rspta

25.- Si para 2 conjuntos A y B se cumple que:

n ( A )+n (B )=16

n [( A∪B)]=4096

¿Cuántos subconjuntos propios tiene E?

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E=[( A∪B )C∪(A∪B )C ]C

Solución:

n ( A∪B )=X

n ( A∪B )=n( A )+n(B )−n( A∩B )

n ( A∪B )=16−X

216−X

=212

16-X=12

X=4

E=[( A∪B )C∪(A∪B )C ]C

E=[φ∪4 ]

E=[ 4 ]

Subconjuntos propios = 24

−1=16−1=15 ←Rspta

26.- Se tienen 3 conjuntos A, B y C cuyos cardinales son consecutivos, además se cumple que:

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n [P( A )]+n [P (B )]+n [P (C )]=56

Halle el máximo número de elementos que puede tener el conjunto potencia de (AUBUC).

Solución:

A B C

X-1 X X+ 1

2X−1

+2X

+2X+1

=56

2X

( 12+1+2)=56

2X

=16

2X

=24

X=4

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n(AUBUC)= 3X-2

n(AUBUC)= 3(4)-2

n(AUBUC)= 10

n [P( A∪B∪C ]=210

=1024 ←Rspta

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