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POTENCIAÇÃO
Conceito: Potência é um produto de fatores iguais.
Seja a um número real e n um número natural, logo
Obs: a = base e n = expoente
Da definição decorre que:
a) c)
b)
Exemplos:
a)
b)
c)
d)
e)
Base Negativa : Expoente par = resultado positivo
Expoente ímpar = resultado negativo
Exercícios:
Calcular
a)(-3)3
b)(-2)1
c)34
d)17
e)
f)
g)
h)(-4)2
2
Propriedades:
1)
2)
3)
4)
5)
Potência de expoente negativo
Exercícios Extras:
1-Calcule o valor das potências:
a)35=
b)04=
c)-33=
d)
e)
f)(-3)4=
g)26=
h)
i)
j)
k)
3
l)
m)
n)
2-Reduza a uma única potência usando as propriedades:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Respostas exercícios extras:
1-a)243
b)0
c)- 27
d)
e)
f)81
g)64
4
h)
i) j) k) l) m)4 n)
Exercício 2:
a)x4.y2
b)x9.y12
c)x26.y12
d)x15.y9
e)x15.y12
f)22
g)3
h)44
i)54
j)3-2
k)517
RADICIAÇÃO
Define-se como raiz enésima de um número a expressão , onde dizemos
que n é o índice da raiz e a o radicando. Só existirá o valor numérico da raiz quando
satisfizer a relação :
I - Propriedades dos Radicais
1)
2)
5
II - Operações com Radicais
1) Adição e Subtração Algébrica de Radicais : serão efetuadas as operações
quando os radicais forem iguais, devendo ser somados ou subtraídos somente
os fatores externos aos radicais.
Obs.: Não se define as operações de soma e subtração de radicais de índices
diferentes, ficando apenas indicada a sua soma. Ex.:
2) Multiplicação e Divisão de Radicais :
6
1. Calcule:
a)
b)
c)
d)
Respostas:
1)a)
b)
c)
d)105 – 30
Exercícios Extras: Radiciação:
1-Simplifique os radicais abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
2)Simplificar as expressões:
a)
b)
7
3)Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Respostas:
Exercício 1
a)4
b)24
c)
d)
e)12
f)18
g)9
h)14
i)5
j)
k)
l)
m)
Exercício 2: a) b)
Exercício 3:a)33
b)
c)
d)
e)
8
f)
PRODUTOS NOTÁVEIS
a) Quadrado da Soma de Dois Termos:
( a + b )2 = ( a + b ).( a + b )
= a2 + a . b + b . a + b2
= a2 + a . b + a . b + b2
= a2 + 2 . a . b + b2
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
b) Quadrado da Diferença de Dois Termos:
( a - b )2 = ( a - b ).( a - b )
= a2 - a . b - b . a + b2
= a2 - a . b - a . b + b2
= a2 - 2 . a . b + b2
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
“O quadrado da soma de dois termos é
igual ao quadrado do primeiro termo, mais
duas vezes o produto do primeiro pelo
segundo, mais o quadrado do segundo
termo.”
“O quadrado da diferença de dois termos
é igual ao quadrado do primeiro termo,
menos duas vezes o produto do primeiro
pelo segundo, mais o quadrado do
segundo termo.”
9
c) Produto da Soma pela Diferença :
( a + b ) . ( a - b ) = a2 - a . b + a . b - b2
= a2 - b2
( a + b ) . ( a - b ) = a2 - b2
Exercícios Extras: Produtos Notáveis
1)(x+5)2
2)(7+y)2
3)(2x+4)2
4)(3y+1)2
5)(2x+3xy)2
6)(x2+y2)2
7)(2x3+5)2
8)(am3+n)2
9)(x + ½)2
10)(2x + y/2)2
11)(x/3 + y)2
12)(x2 + 2y/3)2
13)(x/y + 2y)2
14)(ab + 3/b)2
15)(x – 3)2
16)(y – 4)2
17)(2y – 3x)2
18)(3b – a)2
19)(1 – x2)2
“O produto da soma pela diferença de
dois termos é igual ao quadrado do
primeiro termo menos o quadrado do
segundo termo.”
10
20)(x3 – y2)2
21)(5x2 – 3y)2
22)(3x2 – 2y3)2
23)
24)
25)
26)
27)(m + 4)(m – 4)
28)(a – 2b)(a + 2b)
29)(ab2 + c2)(ab2 – c2)
30)(2x3 –1)(2x3 + 1)
31)
32)
33)
34)
Respostas:
1)x2 + 10x + 25
2)49 + 14y + y2
3)4x2 + 16x + 16
4)9y2 + 6y + 1
5)4x2 + 12x2y + 9x2y2
6)x4 + 2x2y2 + y4
11
7)4x6 + 20x3 + 25
8)a2m6 + 2am3n + n2
9)x2 + x + ¼
10)4x2 + 2xy + y2/4
11)x2/9 + 2/3 xy + y2
12)x4 + 4/3 x2y +4/9 y2
13)x2/y2 + 4x + 4y2
14)a2b2 + 6ª + 9/b2
15)x2 – 6x + 9
16)y2 – 8y + 16
17)4y2 – 12xy + 9x2
18)9b2 – 6ab + a2
19)1 – 2x2 + x4
20)x6 – 2x3y2 + y4
21)25x4 – 30x2y + 9y2
22)9x4 – 12x2y3 + 4y6
23)4x2y2 – xy + 1/16
24)
25)
26)
27)m2 – 16
28)a2 – 4b2
29)a2b4 – c4
30)4x6 – 1
31)x2 – ¼
32)y2 – 1/16
33)m2 – 1/9 n2
34)4/25 x2 – 9/4 y2
parei
FATORAÇÃO
12
Fatorar um número significa decompor esse número em um produto
de números primos ( números que possuem apenas dois divisores distintos: o
próprio número e o número um).
Exemplos:
a) Fatorar o número 160: b) Fatorar o número 140:
160 2 140 2
80 2 70 2
40 2 35 5
20 2 7 7
10 2 1 140 = 22 . 5 . 7
5 5
1 160 = 25 . 5
I - Fator Comum em Evidência
Esse caso é aplicado a expressões algébricas que possuem um
fator comum a todos os seus termos. Observe a igualdade:
5a + 5b = 5.a + 5.b = 5. ( a + b )
Assim, dizemos que fatoramos a expressão 5a + 5b, pondo o fator
comum 5 em evidência.
Vamos procurar um fator comum para a parte numérica e outro
para a parte literal nas seguintes expressões algébricas:
a) 8x + 4xy
- parte numérica: 8 = 2.2.2 = 23
4 = 2.2 = 22
portanto, o fator comum da parte numérica é 2.2 = 22 = 4
- parte literal: devemos considerar as “letras” que aparecem em comum em todos os
termos, com o menor expoente: neste caso, x
Assim, o fator comum da expressão é 4x. Divide-se cada termo da
expressão dada pelo fator comum, obtendo:
8x + 4xy = 4x.( 2 + y )
13
b) 2x + 4y - 6z
- parte numérica: 2 = 21
4 = 22
6 = 2.3
Portanto, o fator comum da parte numérica é 2.
- parte literal: não tem fator comum.
Logo, a forma fatorada da expressão é 2.(x + 2y - 3z).
c) 7a3b2 - 5a2b4 + 3a3b5
- parte numérica: como são todos números primos, não há fator comum na parte
numérica.
- parte literal: fatorando os termos, teremos:
a3b2 = a . a . a . b . b
a2b4 = a . a . b . b . b . b
a3b5 = a . a . a . b . b . b . b . b
Portanto, podemos perceber que o fator comum entre os três
termos é a2 b2. Assim, temos:
7a3b2 - 5a2b4 + 3a3b5 = a2b2.( 7a - 5b2 +3ab3 )
Exercícios:
1. Fatore as expressões abaixo:
a) a3 - a2x = a2.( a - x )
b) 25x4 + 35x3 - 15 x6
c)
d) 5x3 + 25x5y2
e) 64a7 - 64a4 + 16a
f) 7x3y4 - 6x4y3 + 3x2y3
Respostas:
b) 5 x3 (5 x+7 -3 x3 )
c)1/3 (a + 1/3 b)
d)5x3(1 + 5x2y2)
e)16 a (4a 6 – 4a 3 + 1)
f)x2y3(7xy – 6x2 + 3)
14
II - Trinômio Quadrado Perfeito
Um trinômio é chamado de trinômio quadrado perfeito quando dois
de seus termos possuem raiz quadrada exata e o outro termo é igual ao duplo
produto dessas raízes quadradas. Por exemplo, o trinômio x2 + 2xy +y2 é um trinômio
quadrado perfeito, pois dois dos seus termos ( x2 e y2 ) possuem raiz quadrada exata
( x e y ) e o terceiro termo é igual ao duplo produto das raízes quadradas dos outros
dois ( 2xy ).
Um trinômio quadrado perfeito pode ser decomposto no quadrado
da soma ou da diferença das raízes quadradas dos termos que possuem raiz
quadrada exata, ou seja:
x2 + 2xy + y2 = ( x + y )2
x2 - 2xy + y2 = ( x - y )2
Dizemos que :
• (a + b)2 é a forma fatorada de a2 + 2ab + b2
• (a - b)2 é a forma fatorada de a2 - 2ab + b2
Exemplos: Vamos fatorar as seguintes expressões:
a) 4x2 + 12x + 9
, onde 2.( 2x ).( 3 ) = 12x
Logo: 4x2 + 12x + 9 = ( 2x + 3 )2 .
b) x2 - 6xy + 9y2
, onde 2.( x ).( 3y ) = 6xy
Logo: x2 - 6xy + 9y2 = ( x - 3y )2
15
Obs.:
1. O sinal entre os termos da forma fatorada da expressão é fornecido pelo
termo relativo ao duplo produto entre as raízes.
2. O trinômio quadrado perfeito, uma vez fatorado, se transforma no quadrado
de uma soma ou de uma diferença, dependendo do sinal do termo que
representa o duplo produto.
Exercícios:
1. Fatore as expressões abaixo, utilizando o trinômio do quadrado perfeito:
a) 9x2 + 30xy + 25y2
b) 4x2 + 4x + 1
c) 16 - 8x + x2
d) x2 - xy + y2
e) m8 - m4 +
f) a6 + a3b4c2 + b8c4
Respostas:
a)(3x + 5y)2
b)(2x + 1)2
c)(4 – x)2
d)(1/2 x – y)2
e)(1/3 m4 – 3/2)2
f)(1/4 a3 + ½ b4c2) 2
III - Diferença de Dois Quadrados
Em produtos notáveis, vimos que: ( a + b ).( a - b ) = a2 - b2. Logo,
podemos escrever que ( a + b ).( a - b ) é a forma fatorada de a2 - b2.
Do mesmo modo, podemos fazer:
16
a) a2 - 1 = (a)2 - (1)2 = ( a + 1 ).( a - 1 )
b) 9x2 - 25 = (3x)2 - (5)2 = ( 3x + 5 ).( 3x - 5 )
c) 4x2 - y2 = (2x)2 - (y)2 = ( 2x + y ).( 2x - y )
d) - a4 = - (a2)2 = ( + a2 ). ( - a2 )
Exercícios:
1. Fatore os seguintes binômios:
a) x2 - y2
b) x2 -
c) 25a2 - 1
d)
e) 36a2b2 - 16
f) 9a4 - 25c2
g) a6 – 49
Respostas:
a)(x + y)(x – y)
b)(x + ¼)(x – ¼)
c)(5a + 1)(5a – 1)
d)(a/2 + 3)(a/2 – 3)
e)(6ab + 4)(6ab – 4)
f)(3a2 + 5c)(3a2 - 5c)
g)(a3 – 7)(a3 + 7)
Exercícios Extras(fatoração)
1º exercício:Fatore as expressões abaixo:
1)6a3 - 12a2 + 18a=
2)15x2 - 20x3 - 30x4=
3)5a3 - 12a4 + 20a5=
4)3x2y - 9xy2=
5)64a7 - 64a4 + 16ab=
17
6)7/3 a2 - 4/3 a3 + 5/3 a4=
7)100 - x2=
8)16a2 - 9b2
9)y2 - 36/25
10)1 - a2x2
11)x2y2 - 4z2
12)h2 - 81p2
13)a2b2c2 - 49
14)121a2 - 100
15)m2n2 - ¼ p2
16)y2 - 14y + 49
17)25p2 + 30px + 9x2
18)m2 - 4m +4
19)a6 + 22a3 + 121
20)9a4 + 24a2b2 + 16b4
21)81x4y2 - 54x3y3 + 9x2y4
22)4/9 x2 - 2/3 xy + ¼ y2
23)a2x2 + abxy + ¼ b2y2
24)4/9 x4y2 - 2ax2y + 9/4 a2
25)1/4 x2 - 3xy + 9y2
2º exercício:Simplifique as expressões abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas:
1º exercício
18
1)6a (a2 - 2a + 3)
2)5x2 (3 - 4x - 6x2)
3)a3 (5 - 12a + 20a2)
4)3xy (x - 3y)
5)16a (4a6 - 4a3 + 1b)
6)1/3 a2 (7 - 4a + 5a2)
7)(10 +x)(10 - x)
8)(4a + 3b)(4a - 3b)
9)(y + 6/5)(y - 6/5)
10)(1 + ax)(1 - ax)
11)(xy + 2z)(xy - 2z)
12)(h + 9p)(h - 9p)
13)(abc +7)(abc - 7)
14)(11a + 10)(11a - 10)
15)(mn + ½ p)(mn - ½ p)
16)(y - 7)2
17)(5p + 3x)2
18)(m - 2)2
19)(a3 + 11)2
20)(3a2 + 4b2)2
21)(9x2y - 3xy2)2
22)(2/3 x - ½ y)2
23)(ax + ½ by)2
24)(2/3 x2y + 3/2 a)2
25)(1/2 x - 3y)2
2º exercício:
a)(x + 3)
b)x3 + 3y
c)x2 - 1
d)
e)
19
FUNÇÃO
Chamamos de função constante a qualquer função de IR em IR definida por
f(x) = c, onde c é um número real.
O gráfico de uma função constante f(x) = c, é uma reta paralela ao eixo
x passando pelo ponto ( 0, c ) :
FUNÇÃO IDENTIDADE
Chamamos de função identidade à função de IR em IR definida por f(x)
= x.
x y
-2 -2
-1 -1
20
f :IR IR definida por f(x)=c, cR
0 0
1 1
2 2
FUNÇÃO DO 1º GRAU
Chamamos de função do 1º grau ou afim a qualquer função IR em IR
definida por f(x) = ax +b, onde a e b são números reais e a é não nulo.
Definição: f : IR IR definida por f(x) = ax + b, a IR * e b IR
OBS:
a-) O gráfico da função do 1º grau é uma reta.
b-) O conjunto imagem da função do 1º grau é IR
c-) A função do 1º grau com b= 0 , ou seja, f(x)= ax é chamada linear.
EXEMPLO: Construa o gráfico e dê o conjunto imagem das seguintes
funções de IR em IR :
i)
21
f: IR IR definida por f(x) =x
Im = IR
ii)
Observe que a função f(x) = 5x, é uma função linear, e é uma
reta que passa pela origem ( 0, 0 ), pois para x = o temos y = 0, para
construirmos o gráfico basta obter apenas mais um ponto.
RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Dada a função do 1º grau y = ax +b, chama-se raiz ou zero da função,
o valor de x para o qual ax + b = 0 , ou seja, o valor de x que anula a função. Então,
para determinarmos a raiz ou o zero da função, fazemos y = 0 e resolvemos a
equação.
EXEMPLO : Determine a raiz das seguintes equações :
i-) ii-)
22
Im = IR
Observe que em y = 3x – 6 , y = 0 e x = 2 , calculado
anteriormente, o ponto ( 2, 0 ) é a intersecção da reta com
o eixo x.
EXERCÍCIOS
1) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma
parte fixa, no valor de R$ 300,00, e uma parte variável, que corresponde a uma
comissão de 8 % do total de vendas que ele fez durante o mês.
a) Expressar a função que representa seu salário mensal.
b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$
10.000,00 em produtos.
2) Uma empresa tem um custo fixo de fabricação de R$1.000,00 por mês. Seu
custo variável é de R$5,00 (quanto custa produzir cada unidade).
a) Qual a função que representa e função custo desta empresa.
b) Qual o custo da empresas para uma produção de 500 unidades.
3) Construir o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = 3x + 4
23
b) f(x) = 1/3 x + 6
c) f(x) = - 4x + 8
d) y = 6 – 3x
e) y = 2/3 + 4x
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Chamamos de função quadrática, qualquer função de IR em IR
definida por f(x) = ax2 + bx + c, onde a IR* , b IR e c IR.
EXEMPLOS : a-) f(x) = 5x2 + 3x – 2 a = 5 b = 3 c = -2
b-) f(x) = x2 + 2x – 3 a = 1 b = 2 c = -3
c-) f(x) = -x2 + 4x a = -1 b = 4 c = 0
d-) f(x) = x2 – 5 a = 1 b = 0 c = -5
Observe que o coeficiente de a, nunca será zero, pois se isto ocorrer
não teremos mais uma função do 2º grau, e sim uma função do 1º grau.
GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
O gráfico da função quadrática é uma parábola.
EXEMPLOS :
i-) Esboce o gráfico da função f(x) = x2 + 2x – 3
24
ii-) Esboce o gráfico da função f(x) = -x2 + 4x – 3 .
CONCAVIDADE DA PARÁBOLA
a > 0 concavidade da parábola voltada para cima
a < 0 concavidade da parábola voltada para baixo
RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
25
Raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os
valores de x para os quais a função se anula (y = 0)
Determinamos as raízes da função quadrática resolvendo a equação:
ax2 + bx + c = 0
o que pode ser feito aplicando a fórmula resolutiva:
onde:
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS RAÍZES
Se a função tem dois zeros reais desiguais ( x’ e x” ).
Se a função tem um zero real duplo ( x’= x” ).
Se a função não tem zero real.
26
VÉRTICE DA PARÁBOLA
O que é vértice de uma parábola?
- É o ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo.
Veja os exemplos abaixo:
27
As coordenadas do vértice são adquiridas através das fórmulas:
e
EXERCÍCIOS
1) Dada a função f(x) = x2 – 2x –3 , determine:
28
i. As raízes da função
ii. Vértice da parábola
iii. O gráfico da função
2)Faça o mesmo com as funções abaixo:
a)y = x2 – 3x – 4
b)y = -x2 + 6x – 8
c)y = x2 – 4x + 10
d)y = x2 – 2x + 2
e)y = -x2 + 4x
f)y = x2 – 4
g)y= x2 – 12x + 36
h)y= 2x2 – 4x + 3
E X E R C I C I O S E X T R A S
1) Determine as raízes e calcule as coordenadas do vértice das parábolas
que representam as seguintes funções:
a) f(x) = x2 – 6x + 5 b) f(x) = -x2 + 2x -2
2) Escreva se a função admite máximo ou mínimo e determine esse máximo ou esse
mínimo:
a) f(x) = 5x2 – 3x – 2 b) f(x) = -x2 + 2x –2
1) Determine o conjunto imagem das seguintes funções:
a) f(x) = 2x2 – 3x – 2 b) f(x) = -x2 + 5x + 6
2) Dada a função f(x) = x2 – 2x – 3, determine:
29
a) as raízes da função;
b) vértice da parábola;
c) identifique se a função assume ponto de máximo ou mínimo;
d) o conjunto imagem da função;
e) o gráfico da função para x = -3; -2; -1; 0; 1; 2 e 3.
5) A representação cartesiana da função f(x) = ax2 + bx + c é a parábola
abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:
(A) a<0, <0 e c>0 (B) a>0, >0 e c<0 (C) a>0, >0 e
c>0 (D) a<0, >0 e c<0
(E) a<0, >0 e c>0
6) O valor mínimo do polinômio f(x) =x2 + bx + c, cujo gráfico é mostrado na figura, é:
(A) –1 (B) –2 (C) -9/4 (D) -9/2 (E)-3/2
7) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito
pela equação y =-40x2 + 200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo
projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o
tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente,
a:
(A)6,25 m, 5s (B) 250 m, 0 s (C) 250 m, 5s (D) 250
m, 200 s (E) 10.000 m , 5s
30
8) O vértice da parábola que corresponde à função y=(x-2)2 + 2 é:
(A)(-2, -2) (B)(-2, 0) (C) (-2, 2) ( D) (2, -2) (E)
(2, 2)
APLICAÇÕES ECONÔMICAS DAS FUNÇÕES DO 1º e 2º GRAU
Se pensarmos nos conjuntos A e B e aplicarmos a teoria das funções,
podemos relacionar as variáveis x e y como:
a) Custo de produção de um dado produto e a matéria-prima utilizada;
b) Quantidade do produto vendido e o preço de venda desse produto;
c) Custo total de produção e a quantidade produzida.
OFERTA
A
B
Indústria
Comércio
Prest. De serviços
Mercado
Diversões
DEMANDA
O administrador deverá ter como objetivo estabelecer as funções econômicas
e procurar maximizar lucros e minimizar custos.
31
“LEI” DA DEMANDA OU DA PROCURA
A quantidade de um produto demandado depende de várias variáveis, dentre
elas, podemos citar: renda do consumidor, preço unitário do produto, gosto do
consumidor, etc.
A lei da procura determina em quanto menor o preço de um determinado
produto, mais será a quantidade demandada por unidade de tempo, ou seja,
mantidas constantes as demais condições.
Configuremos os conjuntos A e B e chamaremos o conjunto A de p( preço) e o
conjunto B de qd( quantidade de demanda).
Na teoria das funções podemos associar (qd) com a variável y e (p), com a
variável x, ou seja:
qd = ap + b (linear afim) ou qd = ap2 + bp + c (quadrática)
Verificamos que, normalmente o gráfico de qd em função de p é uma reta
decrescente, pois as duas grandezas são inversamente proporcionais, ou seja,
quanto maior for o preço, menor será a quantidade de demanda, e vice-versa.
qd
p
INTERCEPTOS
Os pontos da forma (x, 0) e (0, y) são chamados de interceptos da função.
Os pontos de forma(p, 0), são os interceptos de p, pois se um valor qd é zero, a reta
intercepta(corta) o eixo de p (eixo das abscissas, por analogia) e quando temos o
ponto (0, qd) a reta intercepta o eixo de qd ( eixo das ordenadas).
EXEMPLOS
32
1) Determine os interceptos, dada à função demanda:
a) qd = -p + 1
Resolução:
p=0 qd = 0 qd
q = ? p=?
qd = - p + 1 qd = - p + 1
qd = 0 + 1 0 = -p + 1 1
qd = 1 -1 = -p . (-1)
(p, qd) (p, qd)
(0, 1) (1, 0)
Se p = 0, temos que qd = 1
Se qd = o, temos que p =1
p
Interceptos: A = { 0, 1} 0 1
B = {1, 0}
2) A quantidade de demanda de televisores da marca KW-20” é dada pela “lei”
qd = 100 - 20p, onde qd representa a quantidade de demanda e o p o preço em
reais. Represente graficamente a função qd em função do preço p.
Resolução:
Encontrando os interceptos:
Se p = 0 qd = 100 – 20 . 0 qd = 100
Se qd = 0 0 = 100 – 20p
-100 = -20p . (-1)
100 = 20p
p = 100 p = 5
20
Interceptos:
p = 0 qd = 100
qd = 0 p = 5
33
qd
100
p 0 5
Obs.:
1) A função demanda( procura) qd é decrescente, isto é, aumentando o preço a
demanda diminui.
2) O preço é positivo (p 0) e a quantidade também é positiva (qd 0), pois não
há sentido em algum deles ser negativo.
3) Se p é R$ 5,00 (valor máximo) a procura é nula.
3) Quando o preço de venda de um videocassete de marca KW é de R$ 120,00,
nenhum vídeo é vendido, porém quando o preço é “liberado” gratuitamente, 100
vídeos são vendidos. Sabendo-se que a representação é uma reta, determinar:
a) A função demanda.
b) Esboçar o gráfico.
c) Dar a demanda se o preço for R$ 60,00.
d) Qual o preço de vídeo se a demanda é de 75 unidades.
Resolução: (a)
vamos resolver por sistema de duas equações:
Se p = 0 qd = 100
Se qd = 0 p = 120
A função demanda é qd = ap + b
I 100 = a . 0 + b
Substituindo
II 0 = a . 120 + b multiplica-se a 2a por ( -1), temos:
100 = a . 0 + b
(+)
0 = a . 120 - b
100 = -120 a
34
a = - 100 a = -5
120 6
Se a = -5 100 = a . 0 + b
6 100 = -5 . 0 + b
6
b = 100
Então: qd = -5 p+ 100 função demanda
6
(b)Gráfico
Interceptos: A( 0, 100)
B( 120, 0)
(c) Se p = 60, então :
qd = -5 p+ 100 pela “ lei”
6
qd = -5 . 60 + 100
6
qd = -5 . 60 + 100
6
qd = -5 (10) + 100
qd = -50 + 100
35
qd 100
p 0 120
qd = 50 50 vídeos serão vendidos se o preço for R$ 60,00
(d) Se qd = 75, então:
qd = -5 p+ 100 pela “ lei”
6
75 = -5 p + 100
6
75 - 100 = -5 p
6
-25 = -5 p . (-1)
6
25 = 5 p
6
25 . 6 = 5p 150 = 5p p = 150/5 p = 30,00 se foram vendidos 75
vídeos, o preço foi R$ 30,00
4) Se uma concessionária compra sempre 10 carros para qualquer preço do
mercado, esboçar o gráfico.
Resolução:
A demanda será sempre constante, ou seja, para qualquer preço p 0, sempre q =
10. neste caso temos uma função constante.
qd
10
36
0 p
5) A quantidade demandada de bolas de futebol da marca Penalty é dada pela lei qd
= 1600 – p2:
a) Esboçar o gráfico;
b) Qual a demanda se o preço for R$ 30,00 a unidade.
Resolução:
(a) A função de demanda é uma equação do 20 grau (quadrática), portanto devemos
encontrar as raízes da equação. Através dos interceptos podemos calcular como:
Se p = 0 Se qd = 0
qd = 1600 – p 0 = 1600 – p2 (equação incompleta)
qd = 1600 – 0 p2 = 1600 a > 0
qd = 1600 p =
p = 40
Interceptos: qd
A (0, 1600)
B (40, 0) 1600
C (-40, 0)
37
- 40 0 40 p
(b) Se p = 30, então:
qd = 1600 – p2
qd = 1600 – (30)2
qd = 1600 – 900
qd = 700 serão vendidas 700 bolas, se o preço unitário for de R$ 30,00.
Exercícios
1. Num estacionamento para automóveis, o preço por dia de permanência é
R$ 20,00. A esse preço estacionam 50 automóveis por dia. Se o preço
cobrado for R$ 15,00, estacionarão 75 automóveis. Admitindo linear a curva de
demanda, obtenha sua equação e esboce o gráfico.
2. Em um supermercado, a quantidade de demanda de CD’s de Chitãozinho e
Xororó é dada pela lei qd=225 – p2, para o preço de R$ 10,00 a unidade, qual
a quantidade de demanda?
3. Uma empresa vende 200 unidades de um produto por mês. Se o preço
unitário é de R$ 5,00. A empresa acredita que, reduzindo o preço em 20%, o
número de unidades vendidas será 50% maior.
a) Obter a equação de demanda admitindo-se ser uma equação de 10 grau;
b) Esboce o gráfico através dos interceptos.
“LEI” DA OFERTA
Analogamente à “lei” da demanda, a quantidade de ofertada pelo “produtor”
depende de vários fatores, como: o preço da matéria-prima, o preço do bem,
tecnologia, etc.
38
A “lei” da oferta determina que quanto maior o preço de um determinado
produto, maior será a quantidade maior será a quantidade procurada por
unidade de tempo, ou seja, mantidas constantes as demais condições.
Configuremos os conjuntos A e B e chamemos o conjunto A de p(preço) e o
conjunto B de qo( quantidade ofertada).
Na teoria das funções podemos associar (qo) com a variável y e (p), com a
variável x, ou seja:
qo = ap + b (linear afim) ou qo = ap2 + bp + c (quadrática)
No gráfico verificamos que qo em função de p é uma reta crescente,( ao
contrário da quantidade de demanda), pois as grandezas são diretamente
proporcionais, ou seja, quanto maior for o preço(p), maior será a quantidade
ofertada(qo) e vice-versa.
qo
P
EXEMPLOS
1) Quando o preço unitário de um produto é R$10,00, 5000 unidades de um
produto são colocados no mercado por mês; se o preço for R$12,00, 5500
unidades estarão disponíveis. Admitindo que a função ofertada seja do 10 grau
e linear afim, obtenha suas equações e esboce o gráfico.
Resolução:
Se é uma função do 10 grau, linear afim, teremos:
f(x) = ax + b (função linear afim)
qo = ap + b (função quantidade oferta)
39
Pelo problema temos:
Se p = 10 qo = 5000u (I)
Se p = 12 qo = 5500u (II)
Devemos montar o sistema de equações lineares, para encontrar os termos a e b.
I 5000 = 10a + b multiplicando a 1a equação por (-1),
temos,:
II 5500 = 12a + b
-5000 = -10a - b
(+)
5500 = 12a + b
5000 = 2a
a = 500 a = 250
2
Substituindo em I ou II, temos:
5000 = 10 . 250 + b
5000 = 2500 + b
5000 – 2500 = b
b = 2500
Portanto a equação da “lei”da oferta será:
qo = 250p+ 2500
Interceptos:
Se p = 0 qo = 2500
Se qo = 0 p = - 10
A(0, 2500)
40
qo 2500
-10 0 p
B(-10, 0)
2) A função dada por qo = -5 + 1/2p, com 10 < p < 20, onde p é o preço por
unidade e qo é a correspondente oferta de mercado. Construa o gráfico.
Resolução:
p = 0 qo = -5
p = 10 qo = 0
p = 20 qo = 5
Exercícios – “lei” da oferta
1. Seja a oferta de mercado de um produto dada por: qo = p2 – 11p + 28, com p <
60 (reais).
a) A partir de que preço haverá oferta?
b) Qual o valor da oferta para p = R$ 50,00?
2. Seja a oferta de mercado de uma utilidade dada por: qo = -20 + 2p, com p < 270
(reais).
a) A partir de que preço haverá oferta?
b) Qual o valor da oferta para p = R$ 270,00?
c) A que preço a oferta será de 180 unidades?
41
qo 5
0 10 20 p
-5 (oferta) 10 < p < 20, (qo > 0)
3. A empresa WP, analisou a venda do produto lanterna à pilha, e verificou-se
que ao se fazer investimentos em propaganda desse produto, suas vendas
seriam 20% maiores a cada aumento de R$ 2,00 no preço unitário da lanterna.
Quando o preço é de R$ 12,00 a empresa vende 500 unidades. Sabendo-se
que a representação é uma reta qual é a “lei” da oferta?
EQUILÍBRIO DE MERCADO
Ponto de equilíbrio de mercado é o ponto de intersecção do gráfico entre a qd
e a qo, ou seja é o ponto onde ocorre a igualdade entre qd e qo. Suas
coordenadas são preço de equilíbrio (pe) e a quantidade de equilíbrio (qe).
Podem ocorrer gráficos como:
1) q
qo
PE
qd
p
2) q qo
PE qe
qd
pe p
3) q
42
O gráfico tem PE(pe, qe), localizado no 1o quadrante. Isso quer dizer que podemos considerá-lo como ponto de equilíbrio significativo.
Neste gráfico temos um preço negativo, dizemos que é um PE não significativo.
qo
qd
pe
p
qe PE
Exemplos:
1)Num modelo linear de oferta e procura, as quantidades ofertadas e
demandadas obedecem respectivamente as funções lineares de preço abaixo:
qd = 24 – p
qo = -20 + 10p
Pede-se:
a) o preço e a quantidade de equilíbrio
b) esboçar o gráfico da situação
Resolução:
a)Se PE é a igualdade entre qo e qd, então:
PE qo = qd ou qd = qo, teremos o PE:
24 – p = 10p + p
24 + 20 = 10p + p
44 = 11p
44/11= p
p = 4
substituindo em qd ou qo, temos:
qd = 24 – p qo = -20 + 10(4)
qd = 24 – 4 qo = -20 + 40
qd = 20 qo = 20 Logo, pe = 4 e qe = 20
b)Gráfico p q
interceptos de qd p = 0 qd = 24 A(0, 24)
43
Neste gráfico temos uma quantidade negativa, dizemos que é um PE não significativo.
qd = 0 p = 24 B(24, 0)
interceptos de qo p = 0 qo = -20 C(0, -20)
qo = 0 p = 2 D(2, 0)
qo, qd
24 qo
20 PE(4, 20)
qd
2 4 24 p
-20
2) Dadas: qd = 16 – p2 e qo = -3,5 + 3,5p, determinar o preço de
equilíbrio e a quantidade de equilíbrio (qe).
Resolução:
pe qd = qo
16 – p2 = -3,5 + 3,5p
16 + 3,5 = p2 + 3,5p
19,5 = p2 + 3,5p
p2 + 3,5p –19,5 =0
= b2 – 4ac
= 3,52 – 4(1)(-19,5)
= 12,25 + 78
= 90,25
44
p = - b 2ap = - 3,5 90,25 2.1p = - 3,5 9,5 2p’ = -3,5 + 9,5 p’ = 6 = 3 2 2p” = -3,5 - 9,5 p’’ = -13 = -6,5 2 2
qe = ?
Substituindo em qd ou qo, temos:
qd = 16 – (3)2 qo = -3,5 + 3,5p
qd = 16 – 9 qo = -3,5 + 3,5(3)
qd = 7 qo = -3,5 + 10,5 qo = 7
Logo, pe = 3 e qe = 7
Exercícios – Equilíbrio de Mercado
1. Determinar o preço de equilíbrio em cada um dos seguintes casos:
a) qd = 20 - 5p e qo= 2p – 8
b) qd = 10 – 0,2p e qo = 1/2p - 11
2. Determinar o preço de equilíbrio, a quantidade de equilíbrio.
qd = 34 – 5p
qo = -8 + 2p
3. Em uma certa localidade, a função oferta anual de um produto agrícola é
0,01qo = p + 3, onde p é o preço por Kg e qo é expresso em toneladas:
a) que preço induz uma produção de 500 toneladas?
b) Se o preço por kg for R$ 3,00, qual a produção anual?
c) Qual o ponto de equilíbrio de mercado, se a função demanda anual for
0,01qd = -p + 10?
TÓPICO III – Expressões numéricas
As expressões numéricas são expressões matemáticas que envolvem números.
Devemos lembrar de que existe uma ordem para resolvermos qualquer expressão
numérica.
45
Resumidamente:
1) Parênteses
2) Colchetes
3) Chaves
4) Potência ou Radiciação
5) Multiplicação
6) Soma ou Subtração
Veja o exemplo abaixo:
[6 + (9 / 3) . (2 + 2 + 42) - 170 . (40 : 8 -3)] / 1 - 2
[6 + 3 . (4 + 16) - 1 . (5 -3)] / 1 - 2
[6 + 3 . (20) - 1 . 2] / 1 - 2
[6 + 60 - 2] / 1 - 2
64 / 1 - 2
64 - 2
62
TÓPICO IV – Expressões Algébricas
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São
também denominadas expressões literais.
Exemplos
A = 2a + 7b
B = (3c + 4) – 5
C = 23c + 4
46
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de
cada letra pode ser substituída por um valor numérico.
Prioridade das operações numa expressão algébrica
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
Potenciação ou
Radiciação
Multiplicação ou Divisão
Adição ou
Subtração
Observações:
Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a
operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
A multiplicação pode ser indicada por x ou por um ponto ( . ) ou às vezes sem sinal,
desde que fique clara a intenção da expressão.
Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores
negativos.
Exemplos:
Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim
P = 2(5) + 10
P = 10 + 10
P = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor
numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9,
teremos:
A = 2(9) + 10
47
A = 18 + 10
A = 28
Quando A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.
Seja X = 4A + 2 + B - 7 e tomemos A=5 e B=7. Desse modo:
X = 4.(5) + 2 + 7 – 7
X = 20 + 2 – 0
X = 22
Quando A=5 e B=7, o valor numérico de X = 4A + 2 + B - 7, é igual a 28.
Seja Y = 18 - C + 9 + D + 8C, onde C=-2 e D=1. Então :
Y = 18 -(-2) + 9 + 1 + 8(-2)
Y = 18 + 2 + 9 + 1 –16
Y = 30 –16
Y = 14
Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.
Operações Algébricas
Adição e Subtração
Podemos subtrair ou adicionar termos que sejam semelhantes.
Ex: 7xy – xy + 5xy. Os termos xy são semelhantes, portanto basta adicionar ou
subtrair a parte numérica e conservar a parte literal.
Solução: (7-1+5).xy = 11 xy.
OBS: Quando a expressão algébrica tiver sinais de associação e for precedido por
um sinal negativo, devemos trocar todos os sinais de dentro dos parênteses,
colchetes ou chaves.
Ex: a) 8x + ( -5x) = 8x – 5x = 3x
48
b) 7x – ( 4x – 5) = 7x – 4x + 5 = 3x + 5
Multiplicação de monômio por polinômios
Multiplicamos cada termo do polinômio pelo monômio.
Ex: 4a . (2 a – 3x ) Propriedade distributiva
Solução: 8 a2 – 12 ax
Multiplicação de polinômio por polinômio
Devemos multiplicar cada termo do polinômio por todos os termos do outro
polinômio e a seguir reduzimos a termos semelhantes através das operações de
adição e subtração.
Ex: (2x+3).(4x-5) Propriedade distributiva
Solução: 8x2 – 10x + 12x – 15 (Reduzindo a termos semelhantes)
8x2 + 2x – 15
Modo Prático
Solução: 2x + 3
4x - 5
8x2 + 12x
- 10x -15
8x2 + 2x -15
Divisão de monômio por polinômio
Dividimos cada termo do polinômio pelo monômio.
Ex: (15x3 – 4x2) : (- 5x)
49
Solução =
Divisão de polinômio por polinômio
Para efetuarmos esta divisão devemos seguir alguns passos.
Ex: (2x2 – 5x – 12): (x – 4)
1º Passo: Observar se as potências de x estão em ordem decrescente;
2º Passo: Colocar a chave de divisão;
3º Passo: Dividir o primeiro termo do dividendo (2x2) pelo primeiro termo do divisor
(x) e obtenha o primeiro termo do quociente
2x2 – 5x –12 x – 4 .
2x
4º Passo: Multiplicar o primeiro termo do quociente (2x) pelos termos do divisor,
colocando os produtos com sinais trocados embaixo dos termos semelhantes do
dividendo.
5º Passo: Reduza a termos semelhantes ( Adição ou Subtração)
2x2 - 5x -12 x – 4 .
-2x 2 + 8x 2x
+ 3x – 12
6º Passo: Repete-se as passagens anteriores até que o dividendo termine.
2x2 - 5x -12 x – 4 .
-2x 2 + 8x 2x +3
50
+ 3x -12
- 3x +12
0
Resposta: 2x+3
Exercícios
1) Calcule o V.N. das expressões algébricas:
a) (x + 1). (x + 2). (x + 3), para x = - 4 Resp: -6
b) , para a = 3 e b = 4 Resp: 5
c) + , para x = 4
Resp: 8
d) 3x + x , para x = 2 Resp: 81
e) , para x = 1 e y = 3 Resp: - 8
f) x = , calcule x, para a=3,b=- 7 e c=2 Resp: 2
2) Efetue:
a) (2x2-9x+2) + (3x2+7x-1) Resp: 5x2-2x+1
b) (x2-5x+3) + (-4x2-2x) Resp: -3x2-7x+3
c) (4x-y-1) – (9x+y+3) Resp: -5x-2y-4
d) (6x2-6x+9) – (3x2+8x-2) Resp: 3x2-
14x+11
51
e) (x2+2xy+y2) – ( y2+x2+2xy) Resp: 0
3) Calcule os produtos:
a) a2.(m+a3) Resp: a2m+a5
b) 2x.(x-2x+5) Resp: -2x2+10x
c) (3x2-4x-3).(x+1) Resp: 3x3-x2-7x-3
d) (x2+x+1).(x-3) Resp: x3.2x2-2x-3
e) (2x+5).(2x-5) Resp: 4x2-25
4) Efetue as divisões:
a) (x3+2x2+x ) : (x) Resp: x2+2x+1
b) (3x4-6x3+10x2): (-2x2) Resp:
c) (x2+5x+6) : (x+2) Resp: x+3
d) (2x2+6x+4) : (x+1) Resp: 2x+4
e) (x3-27) : (x-3) Resp: x2+3x+9
f) (x2-9) : (x-3) Resp: x+3
NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
52
Seja a função f(x) = 2x +1, vamos dar valores para x que se aproximem de 1,
pela sua direita ( Valores maiores que 1 ) e pela sua esquerda ( Valores menores
que 1 ), e calcular y.
À medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende a 1
( x 1 ), y tende a 3 ( y 3 ), então temos a notação ...
x y = 2x + 1
1,5 4
1,3 3,6
1,1 3,2
1,05 3,1
1,02 3,04
1,01 3,02
x y = 2x + 1
0,5 2
0,7 2,4
0,9 2,8
0,95 2,9
0,98 2,96
0,99 2,98
53
y= 2x + 1
0
3
1
x
y
lim ( 2x + 1 ) = 3 x 3
Genericamente temos ...
lim f(x) = b
x a
… mesmo que em alguns casos para x = a resulte y
b.
Vejamos agora :
1 )
; x 1, como x² + x – 2 = ( x – 1 ).( x + 2 ) ; x 1
f(x) =
2, se x = 1 2 se x = 1
► Podemos notar que para x 1, f(x) 3, embora para x = 1, f(x) = 2 3 . Ocorre
porém que procuramos o comportamento da função no primeiro caso ( x 1 ), logo
temos
lim f(x) = 3.
x 1
g (x)
Comprovando . . . lim f(x) = lim ( x -1 ).( x + 2 ) = lim ( x + 2 ) =
1 + 2 = 3
x 1 x 1 x – 1 x 1
Se g : R R e g(x) = x + 2 , lim g(x) = lim ( x + 2 ) = 1 + 2 = 3 , embora
x 1 x 1
54
x
y
3
1
2
0
f(x)
g(x) f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.
2 ) lim x² - 4 = lim ( x + 2 ).( x – 2 ) = lim ( x + 2 ) = 2 + 2 = 4
x 2 x – 2 x 2 ( x – 2 ) x 2
► Nota-se a impossibilidade de calcularmos para x = 2 ( Indeterminação ).
Trocamos então por x + 2 , possibilitando assim o cálculo quando quando x =
2.
3 ) lim x² - 4x + 3 = lim ( x – 3 )( x – 1 ) = lim x –1 = 3 – 1 = 2 = 1
x 3 x² - 9 x 3 ( x + 3 )( x – 3 ) x 3 x + 3 3 + 3 6 3
55
PROPRIEDADES DOS LIMITES
Limite da Soma ou Limite da Diferença
O limite da soma ou da diferença de duas funções é igual à soma ou a diferença
dessas funções, isto é:
lim [ f(x) g(x) ] = lim f(x) lim g(x) = a b
x a x a x a
Exemplos :
a) lim ( x + 4x² ) = lim x + lim 4x² = 2 + 4.2² = 2 + 4.4 = 2 + 16 = 18
x 2 x 2 x 2
b) lim ( 4x² - x ) = lim 4x2 - lim x = 4.2² - 2 = 4.4 - 2= 16 - 2 = 14
x 2 x 2 x 2
Limite do Produto
O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções,
isto é:
lim [ f(x) . g(x) ] = lim f(x) . lim g(x) = a . b
x a x a x a
Exemplo :
56
n
3
a) lim 4x2 = lim 4 . lim x2 = 4 . 32 = 4 . (3.3) = 4 . 9 = 36
x 3 x 3 x 3
Limite do Quociente
O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções
( exceto quando o limite do divisor for igual a zero), isto é:
Exemplo :
lim ( x + 3 )
a) lim ( x + 3 ) = x 2 = 2 + 3 = 5
x 2 ( x + 4 ) lim ( x + 4 ) 2 + 4 6
x 2
Limite de uma potência
O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima do
limite dessa função, isto é:
lim f(x)n = lim f(x) , n N* = an se a > 0
x a
Exemplo :
a) lim ( x² - 2 )3 = lim ( x² - 2 ) = ( 2² - 2 )3 = ( 4 – 2 )3 = 23 = 8
57
x 2 x 2
Limite de uma raiz
O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa
função., isto é:
( Se f(x) 0, n é ímpar )
Exemplo :
EXERCÍCIOS :
1) Calcular
a ) Resposta:10
b ) = Resposta:10
c ) = Resposta: - 5
d ) Resposta: 2
58
e ) lim 3x - 9 = Resposta: 3
x 5 x - 3
f ) lim x 2 – 7x = Resposta: 0
x 7 x + 2
g ) lim 2x² - 3x + 1 = Resposta: 0
x 1 3x² + 2x - 1
h) lim x 5 - 4 = Resposta: 9
x - 2 x - 2
i) lim 2x – 5 = Resposta:2
x 6
j lim x² + 3 = Resposta:2
x √3 x2
l) lim x² + 3 Resposta: 13
x 7 4
m) lim x² + 4x - 2 = Resposta: 43
x 5
n) lim ( 5 + 3x )7 = Resposta: -1
x - 2
59
o) lim | ( x – 1 ) . ( x + 4 )| = Resposta: 4
x 0
p) lim = Resposta:
x 1
CÁLCULO DE LIMITES QUANDO O NUMERADOR E O DENOMINADOR
TENDEM A ZERO.
Quando o numerador e o denominador de uma função tender a zero, no cálculo de
limites, devemos solucionar o problema através da fatoração e simplificação da
função, pois ela não é definida para aquele valor de x.
EXEMPLOS: Calcular:
1) lim x 2 - 9 = 3 2 - 9 = 9 - 9 = 0
x 3 x - 3 3 - 3 9 - 9
Observe que f(x) = x 2 - 9 não é definida para x = 3, e o numerador e o
denominador
x - 3
da fração tendem a zero quando x se aproxima de 3. Portanto, temos que:
Fatorar e simplificar para obtermos o valor :
lim x 2 – 9 = lim ( x + 3 ) . ( x – 3 ) = lim ( x + 3 ) = 3 + 3 = 6
x 3 x - 3 x 3 x - 3 x 3
60
2) Calcular:
lim x 3 – 1 = 1 3 – 1 = 0 , ou seja f(x) = x 3 –1 não é definida para x =1, temos
que
x 1 x - 1 1 - 1 0 x - 1
dividir os polinômios para que obtenhamos o resultado.
1º Passo: colocar em ordem algébrica decrescente as potências;
2º Passo: Dividir, sucessivamente, trocando o sinal do resto até que termine o
divisor.
x3+0x2 +0x - 1 x - 1
-x +x 2 x2 + x + 1
x2 +0x
-x 2 + x
x - 1
-x + 1
0
Logo: lim x2 + x + 1 = 12 + 1+ 1 = 3
x 1
EXERCÍCIOS:
1) Ache o valor de:
a) lim x² - 1 = Resposta: 2
x 1 x – 1
b) lim x 2 – 25 = Resposta: -10
x -5 x + 5
c) lim x 2 + x = Resposta: 1/4
x 0 4x
d) lim x 2 + 5x = Resposta: -5
61
x -5 x + 5
e) lim x 2 - 81 = Resposta: -18
x 9 x + 9
f ) Resposta: 2
2) Calcule:
a) lim x 2 – 10x + 25 = Resposta: 0
x 5 x - 5
b) lim x – 2 = Resposta: 4
x 2 - 2
c) lim x 2 +5x - 14 = Resposta: 9
x 2 x - 2
d) lim x² - 7x + 10 = Resposta: -
x 2 x2 - 4
3) Calcule:
a) lim x 3 - 3x 2 + 3x -1 = Resposta: 0
x 1 x - 1
c) lim x 3 - 1 = Resposta: 3
x 1 x –1
62
d) Resposta: -3
e) Resposta: -
f) lim = Resposta: 7
x 4
g ) Resposta:10
h ) = Resposta:10
i) = Resposta: - 5
j ) Resposta: 2
k ) lim 3x - 9 = Resposta: 3
x 5 x - 3
l) lim x 2 – 7x = Resposta: 0
x 7 x + 2
m ) lim 2x² - 3x + 1 = Resposta: 0
x 1 3x² + 2x - 1
n) lim x 5 - 4 = Resposta: 9
x - 2 x - 2
p) lim 2x – 5 = Resposta:2
x 6
q) lim x² + 3 = Resposta:2
x x2
63
r) lim x² + 3 Resposta: 13
x 7 4
s) lim x² + 4x - 2 = Resposta: 43
x 5
t) lim ( 5 + 3x )7 = Resposta: -1
x - 2
u) lim | ( x – 1 ) . ( x + 4 )| = Resposta: 4
x 0
v) lim = Resposta:
x 1
2) Calcule os limites indicados, caso existam.
a) lim x² -1 = Resposta: 2
x 1 x - 1
b) lim x² - 4 = Resposta: - 4
x -2 x + 2
c) lim 2x² - 3x = Resposta: -3
x 0 x
d) lim 2z 2 - 8 = Resposta: 8
z 2 z - 2
64
EXERCÍCIOS EXTRAS: Utilizando a idéia intuitiva de limite, calcule:
a) Resp.=3
b) Resp.=1
c) = Resp.=1
d) (x2 + 1)= Resp.=5
e) = Resp.=6/5
Exercícios:
1-Calcule os seguintes limites, utilizando as propriedades:
a) Resp.=4
b) Resp.=4/7
c) Resp.=2
d) Resp.=2
e) Resp.=4
65
f) Resp. = -12
g) Resp. = 2
h) Resp. = 2
i) Resp. = 4
j) Resp.= 6
k) Resp.= 2/5
l) Resp.= -7/3
m) Resp. = 7/11
n) Resp. = 3/2
o) Resp.= 2
Exercícios Extras:
Calcule o limite das funções abaixo:
a)
b)
c)
d)
66
e)
f)
g)
h)
i)
j)
K)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
Respostas Exercícios Extras:
a)-8 b)2 c)1/6 d)-6 e)- 1/14 f)0 g)12 h)1/2 i)0 j)1/7 k)0
l)- 5/2 m)0 n)4/3 o)-5/2 p)2 q)-1 r)3
TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO
67
Consideremos uma função f(x) e sejam x0 e x1 dois pontos de seu domínio; sejam
f(x0) e f(x1) as correspondentes imagens.
Chamamos de taxa de variação de f, ao quociente:
e tal taxa mede o ritmo de variação de f(x) ou y em relação a x.
Usando o símbolo ∆ para indicar uma variação, podemos indicar a taxa de variação f
pela relação:
Exemplo: Seja a função f(x) = x2 ou y = x2. Calcular e interpretar o valor da taxa
média de variação no intervalo [1,3].
Isto significa que se x varia 2 unidades, a variação de y será 4 vezes.
68
Exemplo 2: Seja a função y = x2 -8x. Calcular e interpretar o valor da taxa média de
variação no intervalo [2,6].
No intervalo [2,6] a função tem crescimento médio nulo.
Exercícios:
Calcular e interpretar o valor da taxa média de variação das funções nos intervalos
dados:
a)y = 3x + 10 [2,5]
b)y = 10x – x2 [0,2]
c)y = x + 1 [5,8]
d)y = 3 – 2x [1,3]
e)y = 2x2 [3,5]
Consideremos novamente a função y = 3x + 10 e calculemos a taxa média de
variação a partir de um ponto genérico x0 = x e um acréscimo também genérico ∆x.
[x0,x1] = [x, x+∆x]
Exercícios: Fazer o exercício anterior, desconsiderando os intervalos dados.
Exercícios extras:
Calcule a fórmula da taxa média de variação nas funções abaixo:
a)y = 2x2 +3
b)y = 5x +4
c)y = -3x
d)y = x2 – 4
e)y = 2
69
f)y = 3x + 5
g)y = 5x + 8
h)y = -8x + 5
i)y = 2 – 4x
j)y = 3x2 + 1
Respostas:
a)4x + 2∆x
b)5
c)-3
d)2x +∆x
e)0
f)3
g)5
h)-8
i)- 4
j)6x + 3∆x
CONCEITO DE DERIVADA
Seja f(x) uma função e x um ponto de seu domínio. Chamamos de derivada de f no
ponto x o limite dado por
e indica-se por f’(x) ou y’.
Exemplo: Qual a derivada de f(x) = x2 no ponto x0=3?
70
Isso significa que um pequeno acréscimo ∆x dado a x, a partir de x=3 , acarretará
um correspondente acréscimo ∆f que é aproximadamente 6 vezes maior que o
acréscimo ∆x ou seja ∆f = 6.∆x
2º exemplo:Qual a derivada de f(x) = x2 no ponto x= - 2?
f’(x)=lim∆x→0 2x + ∆x = 2(-2)= -4 logo ∆f = -4∆x (decréscimo 4 vezes maior)
Importante
f’(x) é aproximadamente igual a ∆f/∆x para ∆x pequeno.
Exercícios:
Calcule a derivada para as funções abaixo:
a)y = 2x + 3
b)y = -4x
c)y = x2 -4
d)y = x2 -3x
e)y = 5x
f)y = 6 + x
g)y = 2x2 + 2
Respostas: a)2 b)-4 c)2x d)2x-3 e)5 f)1 g)4x
Exercícios Extras:
Cacule a derivada para as funções abaixo:
a)y = 7x
b)y = -2x
c)y = 2x + 9
d)y = 5 – 3x
e)y = x – 3
f)y = 6x – 1
g)y = 4x2
h)y = 6x2
i)y = x2 + 5
71
j)y = x2 + 7
k)y = 8x2 + 3
l)y = 7x2 + 5
m)y = 2x2 + x
n)y= 3x2 – x
o)y = 5x2 + 2x
Respostas: a)7 b)-2 c)2 d)-3 e)1 f)6 g)8x h)12x i)2x j)2x k)16x
l)14x m)4x +1 n)6x -1 o)10x +2
DERIVADA DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES
1 – Derivada da função constante
Se f(x) = c (função constante), então f’(x) = 0 para todo x real.
Ex: f(x) = 2 então f’(x) = 0
2 – Derivada da função potência
Se f(x) = xn então f’(x) = n.xn-1
Ex: f(x) = x2 logo f’(x) = 2x
f(x) = x8 logo f’(x) = 8x7
f(x) = 3x2 logo f’(x) = 6x
f(x) = 4x3 logo f’(x) = 12x2
f(x) = 5x logo f’(x) = 5
72
Propriedades Operatórias:
Se f(x) = u(x) + v(x) então f’(x) = u’(x) + v’(x) (o mesmo para a subtração de
funções)
Exemplo: y = 4x2 + 8x então y’ = 8x + 8
y = 3x3 – 5x2 então y” = 9x2 – 10x
Exercícios calcular a derivada das funções abaixo:
1)y = 5 2)y = -8 3)y = x3
4)y = x5 5)y = x20 6)y = 6x
7)y= -6x3 8)y = 2x4 9)y = 1/3 x
10)y = ¾ x 11) y=3x2 12)y = 5x3
13)y = ¼ x2 14)x2 + 3x + 1 15)y = 3x2 + 4x – 10
16)y = x3 + 4x2 + 2x 17)y = x3 + 2x3 18)y = x7 + 2x4 + 3x5
19)y = 4 + 2x 20)y = 3 + 5x6 21)y = 4x – 5x6
22)y=2 – 6x 23)y = 4x2 – 2/3 24)y = 2/3 x + 1/3 x2
Respostas:
1) y’=0 2) y’=0 3) y’= 3x2 4) y’= 5x4 5) y’= 20x19 6) y’=6 7) y’= -18x2 8)
y’= 8x3
9) y’= 10) y’= 11) y’=6x 12) y’=15x2 13) y’= 14) y’= 2x+3 15) y’=6x+4
16) y’= 3x2 +8x + 2 17) y’=3x2 +6x2 logo 9x2 18) y’=7x6 +8x3 +15x4 19) y’=2
73
20)y’= 30x5 21) y’= 4-30x5 22) y’=-6 23) y’=8x 24)=y’=
DERIVADA DO PRODUTO E DO QUOCIENTE
Sejam u(x) e v(x) funções deriváveis. Então y = u(x) . v(x) logo y’ = u’.v + u.v’
(deriva,copia + copia, deriva)
Exemplo:
y = (2x).(x2) logo y’ =2.x2 + 2x(2x) = 2x2 + 4x2 = 6x2
Sejam u(x) e v(x) duas funções deriváveis.
Então
Exemplo:
Então
Exercícios:
Derivar as funções abaixo:
1)
2) 3) 4)
5) 6)y = x2.(3x2 – 7x + 2) 7)y = x3. (2x2 – 3x)
8)y= (x3 -7).(2x2 + 3) 9)y = 2x.(x3 -7) 10)y = x3.(x4 + 8x)
74
11)y=(2x3 – 5x – 1).(6x2 +1) 12)y=(x2 -1).(x2 +1) 13)y = (x-1).(2x – 3)
14) 15) 16)
17) 18) 19)y=(x3 +4).(x4 -1)
20)y = x.(x2) 21) 22)y=
Respostas:
1) y’= 2) y’= 3) 4) 5)
6) 7) y’=10x4 –12x3 8) y’=10x4 +9x2 –28x 9) y’=8x3 –14
10) y’= 7x6+ 32x3 11) y’= 60x4 –84x2 –12x –5 12) y’= 4x3 13) y’= 4x-5 14)
15) 16) 17) 18)
19) y’= 7x6+16x3-3x2 20) y’= 3x2 21) 22)
75
PESQUISA DE PONTOS DE MAXIMOS E MINIMOS
ATRAVES DO ESTUDO DO SINAL DA DERIVADA
1º Momento – Cálculo das coordenadas (abscissas e ordenadas) de pontos de
máximos e/ou mínimos absolutos.
2º Momento – Cálculo de áreas e volumes de algumas figuras planas.
Demonstrações
Consideremos y = f(x) uma função de variável real com as seguintes
condições:
- Definida – Existe o valor numérico para qualquer ponto de intervalo
considerado.[a,b] = , seja [a,b] – condição de ser
definida: .
- Derivável – Existe o limite da função para x tendendo a qualquer ponto do
intervalo considerado:
- Contínua – O valor numérico deverá ser igual ao limite de f(x)
Portanto, sendo a função dada definida, derivável e contínua podemos esboçar
graficamente:
76
Os pontos B, D e F são pontos de mínimo relativos.
O ponto F é chamado de mínimo absoluto.
Os pontos A,C e E são pontos de máximo relativos.
O ponto E é chamado de mínimo absoluto.
Nosso objetivo está focado em calcular os pontos de máximos e mínimos absolutos.
Descreveremos a seguir um roteiro, ou seja, uma seqüência de procedimentos para
chegarmos ao nosso objetivo:
Dada f(x),
I) Calcular a derivada de 1ª ordem da função dada. (f’(x));
II) Transformar a função derivada de 1ª ordem numa equação.(f’(x) = 0)
III) Achar as raízes da função obtida.
sendo e raízes da função
IV) Calcular derivada de 2ª ordem. (f’’(x));
V) Estudar o sinal de f’’(x) para as raízes obtidas.
Se:
, então abscissa de mínima.
, então nem máxima nem mínima.
, então abscissa de máxima.
77
a
A.
.
.
.
.
. b
x
B
C
D
E
F
Mesmo procedimento para ;
VI) Para calcular a ordenada basta achar o valor numérico da função para as
raízes obtidas, (substituir na função raiz).
Exemplo:
Dada a função , determine os pontos de máximos e mínimos
da função, se houver:
I)
II)
III)
; raízes = 4 e 1
IV)
V) para x = 4 ‘para x = 1
então, abscissa de mínima então, abscissa de máxima
VI) para x = 4 para x = 1
78
Solução: o par ordenado é um ponto de máximo e o par ordenado é
um ponto de mínimo.
Exercícios:
1. Determine os pontos de máximo e mínimo das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
e)
Ex:
A) tmv=3
B) tmv=8
C) tmv=1
D) tmv=-2
E) tmv=16
79
80