Matemática - Financeira-APOIO

7/27/2019 Matemtica - Financeira-APOIO

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Washington Franco MathiasJos Maria Gomes

MatemticaFinanceira

Com + de 600 exercciosresolvidos e propostos

Material de Apoio (Portal Atlas)

5a Edio

SO PAULO

EDITORA ATLAS S.A. 2008


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2 Matemtica Financeira Mathias e Gomes

Capitalizao contnua

Admitamos uma importncia de $ 1.000,00, que pode ser aplicada por 1 ano

taxa de 12% a.a. nas seguintes hipteses de capitalizao: anual

semestral

trimestral

mensal

diria

Vejamos o montante que resulta em cada uma das hipteses de capitalizao:

Capitalizao Montante ($)

Anual 1.120,00

Semestral 1.123,60

Trimestral 1.125,51

Mensal 1.126,83

Diria 1.127,47

Constatamos que o valor do montante aumenta medida que aumentamos o n-mero de capitalizaes de uma dada taxa nominal. primeira vista parece, inclusive,que o valor do montante cresce indefinidamente, medida que as capitalizaes vosendo feitas com maior freqncia. Vejamos ento o que ocorre quando admitimosuma capitalizao horria:

Ch

= 1.000

+

24 3650,12

124 365

Ch 1.000 (1 + 0,000013699)8760

Ch 1.127,49

Este resultado nos permite inferir que o valor do montante no cresce indefini-damente com a freqncia de capitalizao, tendendo para um limite. E, de fato, seadmitirmos uma capitalizao infinitamente grande, ou seja, que a capitalizao sejafeita em intervalos de tempo infinitesimais, teremos o montante como sendo:

C $ 1.127,50


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Material de Apoio (Portal Atlas) 3

Clculo do montante em capitalizao contnua

Seja: Cnk

= C0

+ 1

kni

k

Cnk

= C0

Fazendo-se:

k =k

i

temos: Cnk

= C01

1k ni

k

+

'

'

Cnk

= C0

+

11

nik

k

'

'

Se: k k '

Ento: Cn

=

= +

'

0' '

1lim( ) lim 1

'

nik

nkk k

C Ck

Cn

= C01

lim 1

nik

k k

+

'

' '

Demonstra-se em clculo que:

1lim 1

k

k k

+

'

'= e

Onde e um nmero irracional que serve de base para os logaritmos naturais ouneperianos (e = 2,718281828459...)

Portanto, tem-se: Cn= C0e

ni

A taxa i chamada taxa instantnea e a notao comumente adotada a letragrega (delta). Escrevemos ento.)

Cn

= C0 en

+

11

k

i

k nii


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O conceito de capitalizao contnua perde muito do seu significado nas aplica-es prticas, e por isto raramente usado. Porm, existem ocasies em que se admiteque os fluxos monetrios no so devidos ou recebidos em dado instante, mas quese encontram distribudos no tempo. ocaso, por exemplo, da gerao de lucro naoperao de uma empresa, que ocorre ao longo do ano e que pode ser associado aum fluxo uniforme. O mesmo se d com o desgaste dos equipamentos (depreciao)e, como as entradas de caixa so constitudas de lucros gerados mais depreciao, po-demos dizer que este um fluxo que pode ser considerado uniformemente distribudono tempo.

Neste caso, e no tratamento matemtico de certos modelos decisrios, o conceitode capitalizao contnua muito til.

Exemplo: Calcular o montante que resulta quando $ 1.000,00 so aplicados taxa de juros de 12% a.a. por um prazo de 4 anos e com capitalizaocontnua. Comparar o resultado obtido com o resultante da aplicaonas mesmas condies em juros compostos.

Resoluo: Capitalizao contnua

Cn= C0 e

n

onde: C0= 1.000,00

n = 4 anos = 12% a.a.

Ento: Cn

= 1.000,00 e4 x 0,12

Cn

= 1.000,00 e 0,48

In (Cn) = In (1.000,00) + 0,48

In (Cn) = 6,907755 + 0,48

In (Cn

) = 7,387755

Cn $ 1.616,07

Nota: comum indicarem-se os logaritmos na base e por In e os logaritmos na base10 por log.

Capitalizao em juros compostos:

Cn

= C0(1 + i)n

onde: C0= 1.000,00n = 4 anos

i = 12% a.a.


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Nestas condies:

C4 = 1.000,00 (1,12)4

C4

$ 1.573,52

Como se esperava o montante obtido quando se fez capitalizao contnua(1.616,07) maior que o obtido atravs de juros compostos (1.573,52).Este fatotorna conveniente a determinao de uma taxa de juros efetiva que permita fazer-sea equivalncia entre a capitalizao contnua e a composta.

Obs.: Um outro modo de visualizar-se o processo de capitalizao contnua o racio-cnio feito atravs de juros simples.

Seja: J = Cin

Em um perodo muito pequeno (n), podemos escrever que o juro (J), que tam-bm um valor pequeno, dado por:

J = Cin

Por exemplo, aplicando-se $ 1.000,00 taxa de juros simples de 10% a.a., por 1dia, teremos:

J = 1.000 0,10 1

365= $ 0,27

Sabemos que o montante, em juros simples, dado por:

N = C(1 + in)

N = C+ Cin

Nestas condies, um acrscimo pequeno no montante (N) pode ser expresso doseguinte modo:

N = Cin

Fazendo-se com que o acrscimo seja cada vez menor, at tomar-se infinitesimal-mente pequeno o perodo de capitalizao (dn), teremos tambm acrscimos infinite-simais ao montante (dN), j que ambos so proporcionais:

dN = Cidn

Como o diferencial do montante um acrscimo infinitesimal ao capital, podemosfazer:

dC= Cidn

dC

C= idn

d(InC) = idn


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Para obter o valor do montante temos de integrar esta expresso. Ou seja, temosde calcular a soma de seus infinitos termos e, nestas condies, estaremos fazendouma capitalizao contnua. A integrao deve ser feita entre o principal (C0) e o mon-tante (Cn) para o primeiro membro e entre a data de aplicao (zero) e de recebimen-to (n) para o segundo membro:

=

0

'

0( )

C n n

Cd lnC idn

In (Cn) In (C0) = in

In 0

'nCC

= in

=

' inn

o

C

eC

Cn

= C0ein

Taxa efetiva em capitalizao contnua

J foi visto que:

if

+ 1 = 1k

i

k

+

onde i a taxa de juros nominal e if a taxa efetiva.

Temos: if+ 1 =

Fazendo:k

i= k

temos: if+ 1 =

11

k i

k

+

'

'

No limite, fazendo-se k , colocamos if= , que a taxa dejuros instantnea:

'

11 lim 1

ik

k k

+ = + =

'

'ei

Portanto:

= ei 1

+

11

k

i

ki

i


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Podemos escrever tambm:

+ 1 = ei

In ( + 1) = Inei

i= In ( + 1)

Deste modo, pode-se calcular a taxa efetiva () que resulta quando se capitalizauma taxa nominal(i)de modo contnuo e vice-versa.

Exemplo: Dada a taxa de juros nominal de 12% a.a., determinar a taxa efetivainstantnea.

Resoluo: = ei 1

= e0,12 1

1,1275 1

0,1275 ou 12,75% a.a.

Obs.: Existe tambm um outro problema: dada a taxa efetiva (i), poderemos quererdeterminar a taxa instantnea () que lhe seja equivalente.

Sendo: if+ 1 = 1

ki

k

+

1 + ( )= + 1/1 kfi

ik

i

k= (1 + i

f)1/k 1

i= k [(1 + if)1/k 1]

1/[(1 ) 1]

1

k

fi

i

k

+ =

Portanto:

+

= = +

1/(1 ) 1lim (1 )

1

k

fk

iIn i

k

Logo:

= In (1 + if)


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Exemplo: Sendo dada a taxa de juros efetiva de 12% a.a., determinar a taxa ins-tantnea que lhe equivalente.

Resoluo: = In (1 + if)

= In (1 + 0,12) 0,1133 11,33% a.a.

O nmero e

O nmero e, sendo irracional (como o nmero ), s pode ser expresso precisa-mente como o limite de uma srie infinita e convergente ou como o limite de umafrao contnua.

O leitor poder obter o valor de ie com a preciso desejada atravs da srie seguinte:

= + + + + + +1 1 1 1 1

1 . . .1! 2! 3! 4! 5!

e

Exemplo: e = 1 +11!

= 2

e = 1 + + =1 1

2,51! 2!

e = 1 + + + 1 1 1

2,671! 2! 3!

e = 1 + + + + 1 1 1 1

2,70831! 2! 3! 4!

E procedendo deste modo, poder-se- obter o valor de e com a aproximao de-sejada.

1.2 Inflaes elevadas e hiperinflao

Quanto mais elevada a taxa de inflao, maior a necessidade de indicadoresque permitam fazer a correo da perda do valor da moeda.

As foras econmicas que causam inflaes elevadas num pas (da ordem de 20%a 30% ao ano) tendem a ser instveis. Como resultado, podemos ter uma taxa de in-flao em elevao constante ou, ento, uma taxa oscilante. Neste ltimo caso, a taxade inflao pode ser de 30% a.a., num dado ano e passar para 100% no ano seguinte,para cair a 50% no terceiro ano.

Nestas condies, impossvel fazer previses, o que torna necessrio usar o jul-gamento ou apelar para indicadores fsicos, como a quantidade de insumos requeridapara a produo de um dado bem, por exemplo.


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A Amrica Latina tem-se caracterizado por uma cultura inflacionria, onde asinflaes elevadas tm sido mais a norma do que a exceo. Como pode ser vistono Quadro 1.

Quadro 1 Inflao na Amrica Latina.

Pas Perodo Taxa anual equivalente

Argentina 1947-19601960-1974

27% a.a.27% a.a.

Brasil 1947-19601960-1974

16% a.a.36% a.a.

Chile 1947-1960

1960-1971

31% a.a.

25% a.a.Uruguai 1949-1960

1960-197011% a.a.49% a.a.

Fonte: Jones (1982).

Quando a taxa de inflao passa a crescer de modo explosivo, diz-se que existeuma hiperinflao. Nestas condies, os preos passam a crescer por um fator de 10,de 100 ou mais em um nico ano.

Diz-se que um pas est em hiperinflao quando a taxa de inflao ultrapassaa marca dos 50% num ms e fica acima deste percentual por vrios meses seguidos.Esta, pelo menos, tm sido a experincia histrica recente.

O Quadro 2 contm algumas das hiperinflaes conhecidas.

Quadro 2 Incidncia da hiperinflao.

Pas Perodo (19XX) Taxa mdia mensalNmero de meses

de hiperinflaoustria out./21 a ago./22 47,1% 11

Alemanha ago./22 a nov./23 322% 16

China (Xangai) ago./48 a abr./49 400%

China (Chunking) ago./48 a abr./49 298%

Grcia nov./43 a nov./44 365% 13

Hungria mar./23 a fev./24 46% 10

Hungria ago./45 a jul./46 19.800% 12

Polnia jan./23 a jan./24 81,4% 11Rssia dez./21 a jan./24 57% 26

Fonte: Jones (1982) e Cagan (1973).


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Na hiperinflao, o valor da moeda cai rapidamente porque a populao perde aconfiana na mesma. Isto pode ocorrer, por exemplo, se o governo gasta mais do quearrecada e passa a emitir moeda para financiar o seu dficit oramentrio. Pode sertambm que o governo esteja se financiando com ttulos, porm estes ttulos perderama credibilidade e a populao s aceita ficar com os ttulos por um prazo muito curto.

O importante, qualquer que seja a causa, que uma situao de hiperinflao pro-voca uma fuga para ativos reais, como ouro, dlar e bens (terrenos, automveis etc.).

Correo monetria

Histrico

A correo monetria, ou indexao, foi introduzida no Brasil pela equipe econ-mica do governo que se iniciou em 1964. A idia era corrigir ou minorar as distoresque a inflao provocava na economia e, com isto, garantir a colocao de ttulos dadvida pblica. A Introduo da correo monetria foi, ento, um instrumento auxiliarna estratgia gradualista de combate inflao. Porque, segundo se dizia, uma polti-ca ortodoxa de combate inflao (tratamento de choque) seria poltica invivel paraa nossa economia na poca.

Primeiramente foram criadas as Obrigaes Reajustveis do Tesouro Nacional(ORTN), que desempenharam um papel importante no financiamento no inflacionriodo dficit federal, pois foi restabelecida a confiana nos ttulos da dvida pblica. De-pois, foram estabelecidas normas para a correo monetria dos dbitos fiscais, do ati-vo imobilizado, das depreciaes, do capital de giro, dos ttulos da dvida pblica etc.

Foi criado o Banco Nacional da Habitao (BNH, j extinto) para operar financia-mentos habitacionais com fundos do FGTS (Fundo de Garantia do Tempo de Servio).O BNH tambm comeou a operar emprstimos com correo monetria, o que con-tribuiu para generalizar a idia de indexao da economia.

No incio, os coeficientes de correo eram estabelecidos pelo Conselho Nacional

de Economia, que depois foi extinto. A partir de 1967 os coeficientes passaram a serfixados pelo Ministrio do Planejamento, tambm depois extinto.

Ao longo do tempo, todo o processo de correo acabou, de certo modo, vincu-lado aos ndices de variao das ORTN. A variao das ORTN passou a desempenhar omesmo papel que j desempenhava o ndice 2 (o IGP-DI: ndice geral de preos dis-ponibilidade interna) como medida de inflao. O prprio valor da Unidade Padro deCapital (UPC), do BNH, ficou definido como o valor da ORTN do ms inicial de cadatrimestre civil.

A UPC passou a ser a unidade-padro para os clculos de financiamentos e amor-tizaes do Sistema Financeiro Habitacional (SFH), ou seja, do sistema ligado ao BNH.Por outro lado, a ORTN passou a ser a unidade-padro para os financiamentos feitospara o setor industrial pelo Banco Nacional de Desenvolvimento Econmico (o BNDE


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que, depois passaria a ser BNDES, com o S significando Social) e pelos demaisbancos repassadores.

A partir de agosto de 1968 foi introduzida a taxa flexvel de cmbio, tambm

conhecida como processo de minidesvalorizao cambial. Com isto, a taxa cambial,que mede a relao entre o cruzeiro e as outras moedas, passou a variar em intervaloscurtos e no regulares de tempo. Nestas condies, as mudanas nos valores da taxade cmbio passaram a compensar, aproximadamente, as diferenas entre as inflaesinterna e externa. Uma medida da inflao externa dada pela inflao americana.Uma medida melhor da inflao externa pode ser obtida considerando-se uma mdiaponderada das inflaes dos principais pases com os quais o Brasil mantm comrcio:Estados Unidos, Comunidade Econmica Europia e Japo.

Assim, a indexao acabou difundindo-se por toda economia brasileira, o que

introduziu mais um complicador em nosso j complexo quadro de regulamentao.

Indexao e decises econmicas

Em 1985, algumas correntes de economistas teorizaram que a inflao brasileiraera inercial, ou seja, perpetuada pelos prprios mecanismos de indexao difundi-dos na economia nos ltimos 20 anos.

Estas idias obtiveram uma aceitao imediata entre os polticos e a elite, por-que prometiam um ajuste indolor. Foi um grande experimento econmico, que seconsubstanciou nos chamados planos de ajuste heterodoxos ou, mais popularmente,congelamentos.

No perodo de 1985/1990 tivemos seis Ministros da Fazenda, dez Presidentes doBanco Central cinco planos de ajustes, com resultados duvidosos, porque a inflaovoltou a subir depois de cada plano (v. Grfico 1).

Tivemos tambm, no perodo, quatro unidades Monetrias diferentes. Em cadaplano foram introduzidas regras novas de indexao, como as tablitas, regulamen-taes sobre as regras de correo dos contratos, mudanas nos critrios para clculo

dos ndices etc. A ORTN foi substituda pela OTN (Obrigao do Tesouro Nacional) que,por sua vez, foi substituda pelo BTN (Bnus do Tesouro Nacional).

O custo social destes planos ainda no foi estimado.

Deve-se dizer que a correo monetria foi extinta em janeiro de 1989, para serreintroduzida logo em seguida com a retomada da inflao. Foi extinta novamenteem fevereiro de 1991 e, em seu lugar, foi colocada a TR (Taxa Referencial de Juros) e aTRD (Taxa Referencial de Juros Diria) como indicadores da taxa de juros semelhantes prime rate americana e LIBOR inglesa. Porm, quem abrisse o jornal em dezembro de1991 encontraria uma enorme variedade de indexadores como: o INPC do IBGE, o IGPe o IGP-M da FGV, o IPC da FIPE, o ICV do DIEESE, o ICVM da Ordem dos Economistas, aTR e a TRD, a cotao do dlar (no cmbio oficial, no turismo e no paralelo), a cotaodo ouro, a BTNF atualizada pela TRD etc.


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A complexidade decorrente desta multiplicidade de ndices faz com que seja reco-mendvel um exame cuidadoso de qualquer operao financeira sujeita a indexao.

Grfico 1 INFLAO / IGP E OS PLANOS NO BRASIL

Plano Cruzado

(%)100

80

60

40

20

0J M J S D M J S D M J S D M J S D M J S D M J S

86 87 88 89 90 91

Plano Bresser

Flexibilizao

Plano Vero

Plano Collor I

Liberao de preos

Plano Collor II

Funaro27/2/86

Bresser29/4/87

Mailson5/1/88

Zlia15/3/90

Marcilio10/5/91


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Tabelas Financeiras

As tabelas financeiras apresentadas a seguir se destinam complementao doaprendizado, ou seja, so auxiliares na resoluo dos problemas e exemplos pro-postos, sendo portanto muito simplificadas, quer quanto s taxas apresentadas, querquanto ao nmero de perodos considerados.

(1 + i)n= montante de 1, taxa ipelo prazo n

Clculo de montante e de valor atual

Este fator utilizado para clculo do montante de um capital aplicado taxa ipelo prazo n. Em termos genricos, pode-se dizer que este fator o elo entre o capitalaplicado e o montante.

1 Exemplo: O capital de $ 2.000,00 aplicado por 12 meses, taxa de 0,5% a.m.Qual o montante?

Resoluo: C0= 2.000

i = 0,5% a.m.

n = 12 meses

Cn

= ?

Cn = C0 (1 + i)n

Entrando na tabela para i= 0,5%, encontramos, para n = 12, o fator (1 + i)n=1,061 678.


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Ento:

Cn= 2.000 (1 + 0,005)12

Cn

= 2.000 (1, 061678)

Cn $ 2.123,36

2 Exemplo: Quanto deve ser aplicado taxa de 2% a.t. para que aps 36 trimestresse tenha o montante de $ 12.000,00?

Resoluo: Cn

= 12.000

i = 2% a.t.

n = 36 trimestres

C0 = ?C

n= C0 (1 + i)

n

C0 = (1 )n

n

C

i+

Para i= 2% e n = 36, temos: (1 + i)n = 2,039887

C0 =12.000

2,039887

C0 $ 5.882,68

Clculo de (1 + i)npara perodos no constantes na tabela

Considerando a propriedade de, na multiplicao de potncias de mesma base,somarem-se os expoentes, temos que:

am + j= am. aj

Deste modo pode-se calcular o fator para um dado n, tomando-se dois ou maisfatores cuja soma de perodos a que se referem seja igual a n.

Exemplo: Calcular (1 + 0,02)70

Resoluo: Na tabela de 2% temos o fator para n = 60 e para n = 72. O clculopara n = 70 pode ser feito de diversos modos:

a) 1,02)70 = (1,02)60 . (1,02)10, visto que 70 = 60 + 10

(1,02)

70

= (3,281031) (1,218994)

3,999557b) (1,02)70 = (1,02)35 . (1,02)35, visto que 70 = 35 + 35

(1,02)70 = (1,999890) (1,999890) 3,999560


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c) (1,02)70 = (1,02)72 . (1,02) 2, pois 70 = 72 2

(1,02)70 =4,1611401,040400

= 3,999558

Observao: A diferena entre os resultados se deve a aproximaes nos valores ta-belados.

(1 + i)1/k Taxas equivalentes

Para facilitar interpolaes exponenciais no clculo de perodos no inteiros, fo-ram tabeladas as taxas equivalentes mais usuais, sendo as taxas apresentadas em suaforma percentual.

Exemplo: Calcular o montante referente aplicao de $ 5.000,00 por 3 anos e 4meses, taxa de 20% a.a.

Resoluo: C0 = 5.000

i = 20% a.a.

n = 3 anos e 4 meses

Cn

= ?

Cn

= C0

(1 + i)n

Cn= 5.000 (1 + 0,20)3 (1+ i

q),

onde

iq

= taxa equivalente quadrimestral

Na tabela de 20%, tem-se:

(1,20)3 = 1,728000

iq= 6,265857% a.q.

Portanto, Cn

= 5.000(1,728)(1,06265857) = $ 9.181,37

an i

Valor presente taxa ide n anuidades unitrias, imediatas,postecipadas e peridicas

O fatorn i

a a soma de uma progresso geomtrica de n termos e razo (1 + i) 1,

sendo o 1

termo igual a (1 + i)1

e o ltimo (1 + i) n

. Portanto:

n ia = 1 (1 )

ni

i

+


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1 Exemplo: Calcular o valor presente (valor ou preo a vista) de 24 prestaes men-sais de $ 100,00, a taxa de 2,5% a.m.

Resoluo:

Temos que:

P = ?

0 1 2 3 22 23 24 Meses

100 100 100 100 100 100

R = 100i = 2,5% a.m.

n = 24 meses

P = ?

P = n i

R a

P = 24 2,5

100 a

Na tabela de 2,5%, encontramos:

24 2,5a = 17,884986

P = 100(17,884986)

P = $ 1.788,50

2 Exemplo: Calcular o preo a vista de um carro que vendido em 12 prestaestrimestrais de $ 5.000,00, considerando-se que a taxa contratada forade 8% a.t.?

Resoluo: R = 5.000i = 8% a.t.

n = 12 trimestres

P = ?

P = n i

R a

P = 12 8

5.000 a

P = 5.000(7,536078= $ 37.680,39

3 Exemplo: Uma geladeira vendida por $ 10.000,00 a vista ou em 12 prestaesmensais de $ 1.065,52 sem entrada. Qual a taxa de juros mensalcobrada?


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Resoluo: P = 10.000

R = 1.065.52

n = 12 meses

i = ?

P = n i

R a

10.000 = 12

1.065,62i

a

12 ia =

10.0009,385089

1.065,52=

Procurando-se nas tabelas, tem-se:

12 4a = 9,385074

Visto que 9,385074 9,385089, pode-se concluir que a taxa cobrada de 4% a.m.

Variaes do fatorn i

a

O valor den i

a depende da taxa considerada e/ou do valor de n. Os efeitos indivi-duais podem ser analisados do seguinte modo:

Variao na taxa de juros com n constante

Seja n = 12

Ento12 0

a= 12,000000

12 5a

= 8,863252

1210a = 6,813692

1250a = 1,984585

Vemos, por conseguinte, que mantendo-se n constante, o fatorn i

a decresce como aumento da taxa de juros. Graficamente vem:

an i

n

0 i


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Variao em n com a taxa de juros constante

Seja i= 10%

Ento: 6 10a = 4,355261

1210a

= 6,813692

24 10a

= 8,984744

4810a = 9,896926

Conclumos que, mantendo-se iconstante, o fatorn i

a cresce com o aumento de n.

an i

1/i

0 n

( ) 1n i

a Prestaes constantes, imediatas, postecipadas eperidicas para o valor atual igual a 1, considerando-se a taxa de

juros ie n prestaes

O fator 1( )n i

a nada mais do que o inverso den i

a ,ento:

= =

+1 1( )

1 (1 ) nn in i

ia

a i

Portanto, se temos o valor atual (preo a vista) e queremos encontrar o valor daprestao, considerando-se a taxa ie o nmero de prestaes n, basta multiplicar ovalor atual pelo fator 1( )

n ia

1 Exemplo: Qual a prestao mensal de um carro, cujo preo a vista de $ 50.000,00,se for contratada a taxa de 3,5% a.m. e o prazo for de 24 meses?

Resoluo: P = 50.000

i = 3,5% a.m.

n = 24 meses

1

24 3,5( )a = 0,062273R = 1( )

n iP a

R = 50.000(0,062273) = $ 3.113,65


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2 Exemplo: Um financiamento de $ 100.000,00 concedido a uma firma, para serpago em 4 prestaes semestrais iguais, a taxa de 20% a.s. Qual ovalor das prestaes?

Resoluo: P = 100.000

i = 20% a.s.

n = 4 semestres

(

4 20a ) 1 = 0,386289

R = 1( )n i

P a

R = 100.000(0,386289)

R = $ 38.628,90

Variaes do fator ( ) 1n i

a

De modo anlogo ao apresentado no item anterior, pode-se analisar o efeito dataxa ou do nmero de perodos mantendo-se uma varivel constante e variando ape-nas a outra. Assim:


Seja n = 12

Ento: 112 0

( )a = 0,083333

1

12 5( )a = 0,112825

1

1210( )a = 0,146763

1

1250( )a = 0,503884

Portanto, mantendo-se n constante, o fator 1( )n i

a cresce com o aumento da taxade juros. Graficamente tem-se:

(an i

1/n

0 i

)1


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Variao em n a taxa de juros constante

Seja i= 10%

Ento:1

6 10( )a = 0,229607

1

1210( )a

= 0,146763

1

24 10( )a

= 0,111300

1

4810( )a

= 0,101041

Concluindo-se que, mantendo a taxa constante, o fator 1( )n i

a decresce com oaumento do nmero de perodos.

(an i

i

0 n

)

1

Nota: Constata-se que as concluses do item 4.1 so o inverso das conclusesdo item 3.1, o que lgico, visto que

1( )

n ia = 1

n ia

n is Montante taxa ide n prestaes unitrias, imediatas,postecipadas e peridicas

O fatorn i

s a soma de uma progresso geomtrica de n termos, sendo o 1 ter-mo igual a (1 + i)n 1, o ltimo igual a 1 e a razo igual a (1 + i). Portanto:

(1 ) 1n

n i

i

i

+ =s

1 Exemplo: Qual o montante de 60 depsitos mensais de $ 200,00, se o bancopagar 2% a.m. sobre o saldo credor?

Resoluo:

0 1 2 3

200

58 59

200 200 200 200 200

60 Meses

S = ?


22/23


R = 200

i = 2% a.m.

n = 60 meses

S = ?

60 2

s

= 114,051540

S = R n is

S = 200 (114,051540)

S = $ 22.810,31

2 Exemplo: Quanto deve ser depositado trimestralmente em uma instituio quepaga 8% a.t. sobre o saldo credor, para que, ao efetuar o 36 depsito,

o correntista possua $ 100.000,00?

Resoluo: S = 100.000

i = 8% a.t.

n = 36 trimestres

R = ?

36 8s

= 187,102148

S = Rn i

s

R =n i

S

s

R =100.000

187,102148R = $ 534,47

Variaes do fatorn i

s

O valor don i

s depende da taxa considerada e/ou do valor de n. Analisando osefeitos individuais, temos:


Seja n = 12

Ento:12 0

s

= 12,000000

12 5

s

= 15,917127

1210s

= 21,384284

1250s

= 257,492676


23/23


Conclui-se, portanto, que, mantendo o nmero de perodos constante, o fatorn i

s

aumenta com o acrscimo nas taxas de juros. Graficamente, teramos:

n

n is

0 i

Variao em n com a taxa de juros constante

Seja i= 10%

Ento: 6 10s = 7,715610

1210s

= 21,384284

2410s

= 88,497327

4810s

= 960,173337

Por conseguinte, mantendo-se a taxa de juros constante, o fator n is aumenta com

o aumento do nmero de perodos. No grfico visualizaramos:

n is

0 n

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Matemática - Financeira-APOIO