Instituto Educativo Superior Tecnolgico Privado CENFOMIN El primer Instituto minero del Per

MATEMATICA IIALUMNO (A): CONTENIDO1. Limite

1.1 Concepto1.2 Propiedades de los Lmites1.3 Simplificaciones y Mtodos para resolver ejercicios con Lmites Finitos

1.4 Problemas de Aplicacin de Limites Finitos1.5 Limites Infinitos1.6 Problemas de Aplicacin de Limites Infinitos2. La Derivada

2.1 Introduccin2.2 Definicin de derivada2.3 Mtodos de derivacin2.4 Ejercicios resueltos2.5 Problemas de aplicacin de la Derivada 3. La Integral

3.1 Introduccin3.2 Tipos3.3 Integral definida de una funcin3.4 Integrales inmediatas3.5 Mtodos de integracin1. LIMITE1.1 Concepto de LmiteDe ordinario hablamos del precio lmite, de la velocidad lmite, del lmite de nuestra propia resistencia, los lmites de la tecnologa moderna o de todo tiene un lmite. Todas esas frases sugieren que el lmite es una especie de cota que a veces puede no ser alcanzable y otras no slo es alcanzable sino superable. A travs del lmite se pueden visualizar los cambios en el rendimiento por pequeos nmeros de unidades, podemos obtener acerca de la tasa de cambio instantnea, se convierte en el puente matemtico de las tasas de cambio promedio a las tasas instantneas.

Se ha utilizado la notacin f(c) para indicar el valor de una funcin f(x) en x=c. Si se tiene que analizar un valor al que se aproxime f(x) conforme x se aproxime a c se usa la idea de lmite.

x = -2 no est en el dominio de f(x), es decir f (-2) no existe, si tomamos valores prximos a -2, tenemos:

Suponga que f(x) es una funcin definida en un intervalo abierto que contiene a c excepto quizs a c, entonces:

Se lee el lmite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L. El limite L existe si podemos hacer que valores de f(x) estn tan cerca de L como lo deseemos, eligiendo valores de x suficientemente cercanos a c. Si los valores de f(x) no se aproximan a solo valor finito L cuando x tiende a c decimos que no existe el lmite.

Ejemplo: Sea la funcin Hallar:

X1.81.91.991.9992.0012.012.12.2

y3.94933.97483.99753.99974.00024.00254.02484.0493

Por lo tanto

1.2 Propiedades de los Lmites:

1.3 Simplificaciones y Mtodos para resolver ejercicios con Lmites Finitos

Ejercicios:

Ejercicios:

Ejercicios:

Ejercicios:

Ejercicios:

Ejercicios:

Ejercicios:

Ejercicios: Ejercicios:

Utilice las propiedades de lmite y mtodos algebraicos para encontrar los lmites existentes.

1.4 Problemas de Aplicacin de Limites FinitosProblema 1:

Como resultado de los avances tecnolgicos en la minera del oro en la que cada vez se produce oro de ms alta pureza; sube el precio de este metal. Si suponemos que dentro de x meses, el precio a nivel mundial ser:

Dlaresa. Encuentre

b. Cul es el significado de cada expresin?

c. Compare los resultados e interprtelos

Problema 2:

Durante los primeros cuatro meses del ao 2012; las ventas mensuales S de oro (en miles de dlares) de una Empresa Minera dependen de la ley de cabeza x del mineral de la siguiente manera:

a. Encuentre

b. Cul es el significado de cada expresin?

c. Compare los resultados e interprtelos

1.5 Limites InfinitosAl evaluar la funcin f(x) = 1 / x, para valores de x muy grandes, f(x) nunca se vuelve negativo, aunque ningn valor de x hace que 1 / x sea igual a cero, es fcil ver que 1 / x se aproxima a cero a medida que x se hace ms grande, lo anterior se denota Propiedades: Si c es cualquier constante entonces Ejercicios:

1.7 Problemas de Aplicacin de Limites InfinitosProblema 1:

Suponga que el nmero promedio de minutos M que requiere un operador de perforadora nuevo est dado por

, donde t es el nmero de das en el trabajo.

a. Encuentre b. Cul es el significado de la expresin?

c. Interprete el resultado.

Problema 2:

Suponga que la demanda de un tipo de compresoras de aire se define mediante Donde p es el precio y q es la cantidad solicitada

a. Encuentre b. Cul es el significado de la expresin?

c. Interprete el resultado. 2. LA DERIVADA2.1 IntroduccinFue Isaac Newton que estudiando las leyes del movimiento de los planetas que Kepler haba descubierto medio siglo antes, cuando lleg a la idea de incremento de una funcin como se nos ofrece en dos ejemplos; la velocidad y la aceleracin de los cuerpos en movimiento, conceptos bsicos de la Dinmica.La derivada expresa la variacin de las funciones entre dos puntos muy cercanos y se aplica a situaciones fsicas como el clculo de la velocidad de un mvil, conocida su ley de movimiento como tambin a la solucin de otros problemas ligados a economa, demografa, costos, ingeniera, etc.Cuando trabajamos en dos dimensiones (plano x-y) es muy comn encontrar que la derivada en un punto de cualquier grafica es la pendiente de la recta tangente que pasa por ese punto.

El proceso para encontrar la derivada de una funcin se conoce comnmente como diferenciacin y es en trminos prcticos el proceso inverso de la integracin de una funcin.

2.2 Definicin de derivada Analtica: Sea y=f(x) una funcin dada. La derivada de y con respecto a x, denotada por dx /dy , se define por Si la derivada de una funcin existe en un punto particular, significa que f es diferenciable en ese punto.

La derivada de y=f(x) con respecto a x tambin se denota por smbolos tales como Dy/dx representa un smbolo y no deber interpretarse como un cociente. Geomtrica: la derivada de una funcin representa la pendiente de la tangente a la curva y=f(x) en el punto cuya abscisa es x.

2.3 Mtodos de derivacinDadas las mltiples aplicaciones de la derivacin a diferentes disciplinas de la educacin superior, se hace necesario estudiar las formas en que se presenta esta operacin del clculo diferencial en ellas, y as sacarle el mximo provecho.

Existen dos mtodos de derivacin:

a) Derivacin por pasos

b) Derivacin por frmulas

Cada uno de estos mtodos se utilizan segn las condiciones del problema a resolver, como es el primer mtodo que se analizar ms adelante en el caso de la economa, como la tasa de cambio de una funcin, o variacin o incremento de la funcin produccin, etc.Tambin se asocia el concepto de derivada en fsica, aplicada a la velocidad de un cuerpo en movimiento, la velocidad media e instantnea, etc.

a) Derivacin por pasos

Procedimiento:

b) Derivacin por frmulas Propiedades sobre las funciones derivadas de funciones reales: 2.4 Ejercicios resueltos

EJERCICIOS

Determinar la primera derivada, usando las operaciones bsicas de derivacin.

2.5 Problemas de Aplicacin de la derivadaEjemplo 1:

La distancia de un volquete de 20 m3 medida desde su punto departida, cuando viaja a lo largo el lnea recta, est dada por la ecuacin a) Evaluar la distancia recorrida al cabo de 2 horas.

b) Evaluar la velocidad al cabo de 2 horas. Ejemplo 2:Un camin descarga arena formndose un montculo que tiene la forma de cono

recto circular. La altura h va variando mantenindose constantemente igual al radio r de la base. Cuando la altura es de 1m. El montculo est aumentando a razn de 25 cm / minuto. Con qu rapidez est cambiando en ese instante el volumen V de arena? Solucin:

Ejemplo 3:Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m3 de petrleo.

Calcula con qu rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50 m si el espesor disminuye a razn de 10 cm/hora en el instante en que R = 50 m

Solucin:

3. LA INTEGRAL

3.1 IntroduccinEn pocas palabras la Integral es la operacin inversa a la Derivada.Tiene muchas formas de trabajar y variadas aplicaciones.

3.2 Tipos:

Integral definida

Sirve para calcular el rea de debajo Sirve para encontrar condiciones de de una curva lineal en un intervalo frontera 3.3 Integral indefinida de una funcin

Se llama integral indefinida de una funcin f(x), al conjunto de todas las primitivas de la funcin f(x), y se simboliza

Esta expresin se lee integral de efe de equis diferencial de equis.

Por las propiedades de la funcin primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),

Donde C representa una constante llamada constante de integracin.

EJERCICIO: CLCULO DE PRIMITIVAS

Solucin: Puesto que una primitiva de cos x es sen x,

Solucin:

Por consiguiente,

Solucin:

3.4 Integrales inmediatasDe la derivacin de funciones elementales se deducen sus correspondientes integrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender estos resultados si se pretende ser gil en el clculo de otras integrales menos sencillas.

y viceversa . Integracin y derivacin son operaciones inversas.

3.5 Mtodos de integracin

A. Integracin por descomposicin

Este mtodo se basa en la aplicacin de dos propiedades elementales de las integrales: Primera propiedad de las integrales

La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.

Esto es,

Segunda propiedad de las integrales

La integral del producto de una constante por una funcin, es igual al producto de la constante por la integral de la funcin.

Es decir,

EJERCICIO: CLCULO DE INTEGRALES APLICANDO EL MTODO POR DESCOMPOSICIN

solucin:

B. Integracin por cambio de variable (o sustitucin)

Este mtodo consiste en transformar la integral dada en otra ms sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un mtodo preciso, es la prctica, en general, la que proporciona la eleccin del cambio de variable ms conveniente.

Supongamos que h(x) = F[u(x)] entonces h(x) = F[u(x)] . u(x) .

Si F(x) es una primitiva de f(x), entonces h(x) = f [u(x)] . u(x) .

Por tanto, = F[u(x)] + C . Mtodo: Siempre que una integral se pueda escribir de la forma , el cambio t = u(x) y dt = u(x)dx la transforma en . Este modo de proceder se llama mtodo de integracin por sustitucin o cambio de variable.

Observacin: El cambio puede hacerse tambin de la forma x = v (t) y dx = v(t) dt tomando las inversas.

Se comenzar por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.

Si en lugar de x se tuviese una funcin u(x), x u(x) u(x)m , la regla de la cadena

Por tanto,

Como se ve, se ha escrito u en lugar de u(x) por simplificar la notacin.

EJERCICIO: CLCULO DE INTEGRALES INMEDIATAS POR CAMBIO DE VARIABLE

Si en lugar de x se tuviese una funcin de x, u(x), la derivada de ln | u(x) |, por la regla de

EJERCICIO: CLCULO DE INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE

Solucin:

La derivada de ex es la propia funcin ex . Si en lugar de x se tuviese una funcin

u( x ), la derivada de eu( x ) por la regla de la cadena es eu( x ) u' ( x ).

Por consiguiente,

EJERCICIO: CLCULO DE INTEGRALES MEDIANTE CAMBIO DE VARIABLE

Haciendo un estudio anlogo a los anteriores, se deduce que

La derivada de - cos x es sen x. Por la regla de la cadena, la derivada de - cos u es

u' sen u. Anlogamente, la derivada de sen u es u' cos u.

As se tienen

EJERCICIO: CLCULO DE INTEGRALES

EJERCICIO: CLCULO DE INTEGRALES

BIBLIOGRAFIA

1. Louis Leithold. El Clculo con Geometra Analtica. Editorial Mexicana. Quinta Edicin

2. Manual de Calculo Diferencial e Integral -Barros Troncoso.3. Ludwing Salazar, Hugo Bahena, Francisco Vega: Clculo integral, Publicaciones Cultural, 2007.4. http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_04700.html5. http://matematica.wikia.com/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integral6. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesintegral/html/aplicaciones-integral.pdf-

EMBED Equation.3

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Integral Indefinida

Lic. Aracelli Pomape Grados Matematica II 28

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