REGLAS BSICAS DE INTEGRACIN

1. = +

2. =+1

+1+

3. 1

= || +

4. = +

5.

2+2=

1

(

) +

6.

22=

1

2ln|

+

| +

7. =

+

8.

22=

1

2 |

+| +

SEGUNDAS FORMULAS BSICA DE INTEGRACIN

1.

22= (

) +

2.

2+2= | + 2 + 2| +

3.

22= | + 2 2| +

4. 2 2 =

22 2 +

2

2 (

) +

5. 2 2 =

22 2

2

2| + 2 2| +

6. 2 + 2 =

22 + 2 +

2

2| + 2 + 2| +

7.

22=

1

(

||

) + ; > 0

NOTA: Las integrales de este tipo se calculan

completando cuadrados.

TERCERAS FORMULAS BSICAS DE INTEGRACIN

1. = +

2. = +

3. = ln|| +

4. = ln|| +

5. = ln| + | +

6. = ln| | +

7. sec2 = +

8. csc2 = +

9. . = +

10. . = +

11. =()

+

12. = cos()

+

NOTA: Se resuelven normal y al final recin se aplica la frmula

CUARTAS FRMULAS BSICAS DE INTEGRACIN

1. senh(u)du = () +

2. cosh(u)du = () +

3. tgh(u)du = |cosh(u)| +

4. ctgh(u)du = |senh(u)| + C

5. 2(u)du = () + C

6. cosech2(u)du = () +

7. sech(u)tghudu = () +

8. cosech(u)ctgh(u)du = +

9. cosh() =()

+ ;

10. () =cosh()

+ ;

11. =

+

12. = +

RECORDAR:

() =

() = +

() =

+

IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS FUNDAMENTALES cosh2(x) senh2(x) = 1

1 2() = 2()

ctgh2 1 = 2()

2() =cosh(2)1

2

2() =cosh(2)+1

2

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS HIPERBLICAS 1. = () = cosh() .

2. = cosh() = ().

3. = () = 2().

4. = coth() = csc2 () .

5. = sech() = sec() . ().

6. = csch() = csch() . ().

INM

EDIA

TAS

NO

INM

EDIA

TAS

RECPROCRAS 1. (). csch() = 1 2. cosh() . sech() = 1 3. (). () = 1

INTEGRACIN POR SUSTITUCIN O CAMBIO DE VARIABLE

: 2

1+23

+ = =

=

=

2

1+23 =

(31

2)2

33 .

32

2=

3

2623+1

4. 2

=3

8(7 24 + ) =

3

8

8

8

3

4.5

5+

3

8.2

2+ (debemos a la variable x)

=3

64(1 + 2)

8

3 3

20(1 + 2)

5

3 +3

16(1 +

2)2

3 +

INTEGRACIN DE FUNCIONES QUE CONTINENE UN TRINOMIO CUADRADO

1.

2++

2.

2++

3. (+)

2++

4. (+)

2++

NOTA: RECORDAR LA COMPLETACIN DE CUADRADOS EN UN TRINOMIO ECUACIONES DIFERENCIALES BSICAS

= ()()

() = () + ()

Ejemplo: Encontrar la solucin general de la ecuacin diferencial

= 42 2 + 6

= (42 + 2 + 6)

= ( + + )

= 4.3

3+ 2.

2

2+ 6 +

=4

33 + 2 + 6 +

ECUACIN DIFERENCIAL Generalmente al resolver una ecuacin diferencial viene con una condicin inicial de la forma: (0) =0 con esta condicin conociendo la solucin general de la ecuacin (2) se obtiene la solucin particular de la ecuacin (1) por lo tanto la combinacin.

= (), () = (3)

SOLUCIN PARTICULAR De una ecuacin diferencial con una condicin inicial es llamado un Problema con condicin inicial. Tambin se le llama solucin particular de la ecuacin diferencial. OBSERVACIN:

Si tenemos:

=

()

() entonces se debe hacer

() = ()

Se logra que las variables estn separadas por lo que se dice que estas ecuaciones son Ecuaciones diferenciales Separables y la solucin se obtiene por integracin directa

h(y)dy =() +

NOTA: No se usa los valores absolutos, usemos ()

MTODO DE INTEGRACIN POR PARTES

= .

(Se escoge a conveniencia quien es u y quien es dv)

Tiene que ser en lo posible una integral inmediata Por defecto, lnx es una derivada

= =

I Debe ser menos complejo que I

ECUACIN GENERAL

MTODO DE INTEGRACIN POR CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIN

1. SUSTITUCIONES TRIGONOMTRICAS

Nota: u = f(x) En este tipo de integrales aparece mucho:

=.

+( + )

+

=+

=

A) Para el clculo de las integrales de la forma: , xdx

Se presentan dos casos: CASO 1: Cuando n es un nmero entero positivo par se usan las identidades siguientes:

2 = 12

2, 2 =

1+2

2

CASO 2: Cuando n es un nmero entero positivo impar a las integrales de esta forma las expresaremos de esta forma: = 1 = 1 Luego se usa la identidad trigonomtrica:

2 + 2 =1 NOTA: aparecen muchas veces las siguientes integrales inmediatas:

() = cos()

+

() = sen()

+

: En forma prctica se pueden integrar las siguientes funciones:

() () = +()

(+) +C

()() = +()

(+) +C

B) Para el clculo de las integrales de la forma:

,

Se presentan los siguientes casos: CASO 1: Si n es un nmero entero par positivo, a las integrales dadas se les reduce as:

=

= CASO 2: Si n es un nmero entero positivo impar, a las integrales dadas se expresan en la forma:

= = ()

=

= ()

Para ambos casos se usan las identidades trigonomtricas pitagricas: 1+ 2=2 ; 1+ 2=2

C) Para el clculo de las integrales de la forma:

.

CASO 1: m es impar y n es cualquier nmero entonces la integral la expresamos as:

. =. . .

Luego se usa la identidad: + = CASO 2: n es impar y m es cualquier numero entonces la integral la expresamos as:

. = . . .

Luego se usa la identidad: + = CASO 3: Si m y n son nmeros enteros positivos pares, se usan las identidades:

= +

; =

D) Para el clculo de integrales de la forma: . ; .

CASO 1: Cuando n es un nmero entero positivo impar y m es cualquier nmero entero, las integrales las escribimos as:

. = 1. . 1.

. = 1. . 1.

Usamos: 1+ = ; 1+ = CASO 2: Cuando m es un nmero positivo par y n es cualquier nmero, entonces las integrales se escriben as:

. = . 2. 2

. = . 2. 2

Usamos: 1+ = ; 1+ = OBSERVACIN:

a) Cuando n es un nmero entero positivo impar y m es un nmero entero positivo par, se puede aplicar cualquiera de los dos casos.

b) Si n es par y m es impar se aplica el CASO 1.

INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES

I) Clculo de integrales de la forma:

+

2++dx

Mtodo: i) se completa cuadrados en el denominador

2 + + = ( +

2)2 (

2)2 +

ii) Se hace: = +

2 =

Se debe de llegar a integrales de la forma:

2+2 =

1

arctg(

) + C

22 =

1

2 ln|

+| + C

II) Clculo de integrales de la forma:

+

2++dx

Mtodo: i) se completa cuadrados en el denominador (raz )

2 + + = ( +

2)2 (

2)2+

ii) Se hace: = +

2 =

Se debe de llegar a integrales de la forma:

2+2 = ln| + 2 + 2| + , 0

22= (

) +

SUMATORIAS

PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS 1. =1 = kn 2. = = (n-m+1)k 3. ()=1 = ()

=1

4. (()=1 ()) = ()=1 ()

=1

5. ()= = ( )+=+

6. ()= = ( + )=

7. [() ( 1)]=1 = f(n) f(0) Primera regla telescpica 8. [() ( 1)]= = f(n) f(k-1) Primera regla telescpica generalizada 9. [( + 1) ( 1)]=1 = f(n+1)+ f(n) f(1) f(0) Segunda regla telescpica 10. [( + 1) ( 1)]= = f(n+1)+ f(n) f(k) f(k-1) Segunda regla telescpica generalizada FRMULAS DE SUMATORIAS

1. =1 = (+1)

2

2. 2=1 = (+1)(2+1)

6

3. 3=1 = ((+1)

2)2

4. 4=1 = (+1)(63+92+1)

30

CLCULO DEL REA DE UNA REGION PLANA POR

SUMATORIAS A ( R ) =

()=

Donde: =

y = a + i

CAMBIO DE VARIABLE EN UNA INTEGRAL

DEFINIDA Teorema: Supongamos que se da la integral:

()

Donde la funcin f(x) es continua en el intervalo [a, b]. Introduzcamos una nueva variable t, mediante la frmula: x = () y () = a y ()= b, entonces se cumple que :

()

= (

(t))()

NOTA: Si hace se hace un cambio de variable en la integral definida se debe hacer los cambios de valores lmites para la nueva integral.

MTODOS NUMERICOS DE INTEGRACIN

1. REGLA DEL TRAPECIO

=

; = + , para i = 0, 1, ., n

=

[f() + () + () ++

2f()+ f()] 2. REGLA DE SIMPSON

=

= + , para i = 0, 1, ., n

=

[() + () + () +

+() + +() + + () ++() + ()] Propiedades de las integrales definidas

- Si a > b y ()

= ()

Teorema de valor medio

- ()

= (). ( )

El valor promedio

- V.P = () = ()

()

AREAS DE FIGURAS PLANAS

CASO 1

() = ()

, () = ()

CASO 2

() = (() ())

,()

()

OBSERVACIN

() = (() ())

,()

() OBSERVACIN

() = ()

,()

VOLUMENES

I. Mtodo del Disco Circular

Eje de revolucin es el eje X (Rota alrededor del eje X)

= (())

dx

Eje de revolucin es el Y (Rota alrededor del eje Y)

= (())

dy

II. Mtodo Del Anillo Circular (Dos Funciones)

= [(()) (())

]

OBSERVACIN: Las recta verticales x= a, x=b, gira

alrededor de la recta y = c, donde g(x) c, entonces

el volumen del solido de revolucin generado al

rotar la regin R alrededor de la recta y = c, es

expresado por la frmula:

= [(() ) (() )

]

NOTA: () () =

()

Observacin: Las recta verticales x= a, x=b, gira

alrededor de la recta y = c, donde g(x) c, entonces

el volumen del solido de revolucin generado al

rotar la regin R alrededor de la recta y = c, es

expresado por la frmula:

= [(() ) (() )

]

Nota: () () =

()

OBSERVACIN: 1 Si la regin R limitada por las

curvas x =f(y), x=g(y) manera que f(y) () y las

recta verticales y = c, y = d, gira alrededor del EJE Y

= [(()) (())

]

2 las recta verticales y = c, y = d, gira alrededor de la recta x = k, donde g(y) k, entonces el volumen del solido de revolucin generado al rotar la regin R alrededor de la recta x = k, es expresado por la frmula:

= [(() ) (() )]

NOTA: () () =

()

3 las recta verticales y = c, y = d, gira alrededor de la recta x = k, donde g(y) k, entonces el volumen del solido de revolucin generado al rotar la regin R alrededor de la recta x = k, es expresado por la frmula:

= [(() ) (() )]

LONGITUD DE ARCO

Teorema

= + (

)

OBSERVACIN

= + (

)

Si una curva est definida por curvas paramtricas

: { = () = ()

[, ]

= (

)

+ (

)

AREAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCIN - Alrededor del eje X, del arco de la curva y=f(x)

entre los puntos x=a y x=b

() = 2 1 + (

)2

OBSERVACIN: Si la curva se hace rotar alrededor de la recta y=c se obtiene una superficie de revolucin cuya rea es dada por la frmula:

() = 2 | |1 + (

)2

- Alrededor del eje Y, del arco de la curva x=f(y)

entre los puntos c=a e y=d

() = 2 1 + (

)2

OBSERVACIN: Si la curva se hace rotar alrededor de la recta x=k se obtiene una superficie de revolucin cuya rea es dada por la frmula:

() = 2 | |1 + (

)2

AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIN CUANDO LA CURVA ES DADA EN FORMA PARAMTRICA Teorema: Sea una curva dada por las ecuaciones paramtricas

Tal que:

,

son continuas en

ENTONCES: - Alrededor del eje X

() = 2 ()(

)2

+ (

)2

- Alrededor del eje Y

() = 2 ()(

)2

+ (

)2

= () = ()

DERIVADAS

1. () = 0 ; =

2. (()) = 1

3. () = 1 ; =

4. [(). ()] = [()]() + ()[(()]

5. [] = ()

6. [()

()] =

[()][()]

[()]2

7. [(())] = [(())](())

8. () =1

.

9. (ln ) = (ln ). () = ()1.1

10. () = .

11. = (); =(())

2()

12. = ln|()| ; =[()]

()

13. = [()]; = [()]1. ()

14. () =

15. (cosx) =

16. () = sec2

17. () = csc2

18. (sec ) = .

19. () = .

RAZONES TRIGONOMTRICAS 1. 2 + cos2 = 1 2. 1 + 2 = sec2 3. 1 + 2 = csc2

4. =

=

5. 2 =12

2

6. cos2 =1+2

2

7. . = 1 8. . = 1 9. . = 1

10. 2 = 2. 11. 2 = cos2 2 12. 2 = 2 cos2 1 13. 2 = 1 22

14. 2 =2

12

15. cos( ) = 16. ( ) =

17.

= 18. + = (. )

19. = (

)