MATEMATICA E GIOCO

dispensa a cura di Ennio Peres

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PREMESSA

L’accostamento tra Matematica e gioco potrebbe apparire irrispettoso, per il timore reverenziale

che, comunemente, si prova nei confronti di questa materia e, al tempo stesso, per il generale

atteggiamento di discredito che circonda le attività ludiche...

In realtà, il gioco può offrire diversi validi stimoli per favorire un più dolce approccio alla

conoscenza della Matematica, essendo sorprendentemente numerosi gli aspetti ricreativi connaturati

a questa materia, considerata ingiustamente, dall’opinione più diffusa, arida e difficile.

Come ha affermato lo scrittore tedesco Thomas Mann, infatti: «La Matematica è un gioco

nell’aria... o addirittura fuori dell’aria, in regioni senza polvere, comunque».

Nel 1671, il filosofo e matematico tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz dichiarava: «Non è cosa

degna di uomini eccellenti perdere ore come schiavi per fare calcoli che potrebbero essere

tranquillamente affidati a qualcun altro, se venissero usate delle macchine».

Ora che il sogno di Leibniz si è avverato, un quesito che molta gente si pone è il seguente: «È poi

tanto importante possedere una mentalità matematica in un’era come questa, dominata sempre più

dalla presenza dei computer ai quali si può tranquillamente affidare ogni problema di calcolo?».

Si può osservare, intanto, che una domanda del genere tradisce l’atavica confusione tra Matematica

e calcolo matematico. Si può essere dei buoni matematici, senza possedere una particolare

dimestichezza con l’esecuzione dei calcoli, e viceversa, si può essere degli eccezionali calcolatori

umani, conoscendo solo pochi concetti di Matematica. I calcoli, infatti, costituiscono solo la parte

terminale della risoluzione di un problema: è essenziale che siano corretti perché il risultato cercato

sia attendibile, ma non richiedono grandi competenze teoriche.

La questione principale, però, è un’altra. Ora che lo studio della Matematica può essere sollevato

dal millenario fardello di estenuanti calcoli manuali, non è opportuno approfittarne, per favorire un

apprendimento più proficuo di questa fondamentale materia, per non rischiare di creare una

generazione di analfabeti di ritorno?

In generale, la Matematica può essere considerata un’immensa raccolta di teorie e di procedure che

consentono di ottenere un determinato risultato, senza dover contare fisicamente tutti gli elementi

coinvolti nel problema analizzato (che potrebbero essere anche, potenzialmente, infiniti...).

La sua caratteristica peculiare è l’assoluta attendibilità dei concetti su cui si basa. Una tale basilare

proprietà è garantita dal sistematico ricorso alla prassi della dimostrazione, che consente di

confermare la veridicità di una determinata ipotesi, mediante lo svolgimento di un rigoroso

ragionamento logico.

Di conseguenza, mentre le filosofie, le confessioni religiose, le lingue e le tradizioni popolari sono

innumerevoli, e sono indotte dal contesto storico e geografico nel quale nascono e si sviluppano, la

Matematica è la stessa in ogni parte della Terra. Non è azzardato supporre che, se esistessero altre

forme di vita intelligente in altre zone dell’Universo, le loro teorie matematiche sarebbero analoghe

alle nostre.

Per tale motivo, la Matematica è alla base non solo di qualsiasi altra disciplina scientifica, ma anche

di ogni forma d’arte armoniosa, come: Architettura, Pittura, Scultura, Musica, Poesia, e così via.

Ma lo studio della Matematica è raccomandabile non solo perché è utile, ma anche e soprattutto

perché abitua alla chiarezza di esposizione, alla precisione del linguaggio e alla coerenza logica.

Attitudini del genere sono utili a diverse categorie di professionisti (giuristi, letterati, medici,

sociologi, e così via), oltre a quella dei matematici.

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CHE COS'È IL GIOCO

Nel linguaggio corrente, al vocabolo gioco vengono normalmente attribuiti vari significati, alcuni

dei quali piuttosto diversi tra loro. Nell'accezione di «piacevole occupazione umana», una

definizione piuttosto significativa è la seguente.

Gioco: Qualsiasi attività liberamente scelta a cui si dedichino, singolarmente o in gruppo, bambini

e adulti senza altri fini immediati che la ricreazione e lo svago, sviluppando ed esercitando nello

stesso tempo capacità fisiche, manuali e intellettive.

Questa definizione mette in risalto le valenze positive del gioco, sottolineando come anche

un’occupazione piacevole di questo genere (e non solo una seria applicazione di studio o di lavoro)

consenta di rafforzare e di affinare le potenzialità del corpo e della mente.

Inoltre, sottolinea le due condizioni basilari che permettono di distinguere il gioco da altre attività

umane:

– la libera scelta (possiamo stabilire autonomamente quando iniziare e quando interrompere un

gioco);

– la finalità di puro divertimento (ci mettiamo a giocare con l’obiettivo principale di trascorrere un

po’ di tempo in modo piacevole).

A tale riguardo, dobbiamo considerare che un’attività di gioco non è individuata dal tipo di azioni

che compiamo, ma dalle condizioni sotto le quali le svolgiamo.

Ad esempio, se ci costringessero a correre, avanti e indietro, per più di un’ora, all’interno di uno

spazio limitato, giudicheremmo crudele e massacrante una simile imposizione.

Tante persone di varia età, in tutto il mondo (compresi noi...), però, si divertono molto a svolgere un

esercizio del genere, quando decidono di disputare una… partita a pallone.

Oggettivamente, è più divertente «giocare», piuttosto che «studiare» o «lavorare», perché è

un’attività che viene svolta con piacere e senza costrizioni. Ma anche lo studio e il lavoro possono

apparirci meno impegnativi, se riusciamo ad affrontarli come un gioco. In fondo, la differenza tra

queste occupazioni, dipende solo dallo spirito con cui le viviamo.

Ad esempio, una particolare sequenza di calcoli possiamo eseguirla:

– per studio, se stiamo effettuando un compito in classe;

– per lavoro, se stiamo compilando una fattura aziendale;

– per gioco, se stiamo cercando di risolvere un enigma matematico.

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DOMANDE, QUIZ ED ENIGMI

Prima di proseguire, è bene precisare che, nel linguaggio comune, esiste una diffusa tendenza a

confondere i significati dei termini quiz ed enigma.

A livello formale, questi due tipi di giochi richiedono entrambi di trovare una risposta corretta a una

determinata domanda. Le loro rispettive impostazioni, però, presentano delle differenze sostanziali,

che è opportuno non sottovalutare.

In assoluto, dovrebbe essere definito enigma, sia in ambito linguistico, che logico–matematico, un

problema ludico contenente nel proprio enunciato (in forma abilmente dissimulata) tutte le

indicazioni necessarie per poter essere risolto.

Ad esempio, una domanda come: «Quanti fagioli ci sono in questo barattolo?» non può essere

considerata un enigma. Nella sua formulazione, infatti, non è contenuto alcun elemento che

consenta di giungere logicamente, e in maniera univoca, alla soluzione esatta. In casi del genere,

l’unica strada da percorrere è quella di tirare a indovinare, sperando nella fortuna.

Raffaella Carrà e i suoi famigerati fagioli

Neppure una domanda del tipo: «Come si chiamava la madre di Giuseppe Garibaldi può essere

ritenuto un enigma. È vero che, in tale situazione, non si è obbligati a rispondere a caso, ma si può

tentare di rievocare una nozione scolastica. Però, una proposizione del genere, come la precedente,

non contiene alcun elemento che consenta di ricavare la soluzione, in maniera razionale.

Giuseppe Garibaldi e sua madre

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In definitiva, l’attività richiesta per rispondere a un quiz stimola solo la memoria, mentre la

soluzione di un vero enigma riesce a sollecitare diverse altre funzioni cerebrali.

È vero che la memoria è l’attitudine più importante della nostra mente (senza di essa, saremmo

costretti ad acquisire ogni volta, da capo, anche le nozioni più elementari); però, non è l’unica...

Un buon esempio di enigma matematico può essere il seguente.

Questa figura è composta da un rettangolo (diviso in quattro rettangolini), inscritto in un cerchio.

Sapendo quanto misura il raggio del cerchio, siete in grado di calcolare la lunghezza del segmento

AB, qui tracciato?

Soluzione

A prima vista, la risoluzione di questo problema non sembrerebbe possibile, perché l'unica

indicazione fornita appare insufficiente allo scopo. Osserviamo, però, che il segmento AB

rappresenta una diagonale del rettangolino in alto a destra. Se tracciamo l'altra diagonale, risulta

evidente che questa coincide con il raggio del cerchio.

Siccome le diagonali di un rettangolo sono uguali, la lunghezza del segmento AB è uguale a quella

del raggio del cerchio.

Ah, dimenticavo... La madre di Giuseppe Garibaldi si chiamava: Rosa Raimondi.

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COME RAGIONIAMO

Una dote fondamentale della nostra mente è, indubbiamente, la capacità di svolgere un

ragionamento logico, ovvero di elaborare una successione di pensieri, stabilendo rapporti e legami

tra vari concetti, nell’intento di arrivare a delle conclusioni. Questa facoltà risulta di fondamentale

importanza, ogni volta che ci troviamo a dover capire qualcosa, in qualsiasi tipo di contesto

(personale, sociale, lavorativo, relazionale, ludico, artistico, culturale, ecc.).

È interessante sapere, che nonostante i livelli di complessità e di profondità a cui può arrivare il

pensiero umano, gli elementi basilari di un ragionamento logico sono solo tre; ovvero:

premessa (una determinata situazione iniziale);

regola (una particolare legge, presa in considerazione);

esito (il risultato a cui si arriva, applicando la legge in questione alla situazione iniziale).

Per analizzare in maniera più concreta questi tipi di logica, poniamo le seguenti attribuzioni, a titolo

di esempio:

premessa: una mela si è staccata dall’albero;

regola: una mela che si stacca da un albero cade verticalmente ai piedi di quell’albero;

esito: una mela si trova ai piedi dell’albero.

Secondo le attuali teorie psicologiche, esistono tre diversi tipi di modi di ragionare; ognuno di

questi scaturisce quando si conoscono due elementi di base di un ragionamento logico e si desidera

di ottenere il terzo.

In particolare, il ragionamento viene detto:

– deduttivo, quando si conoscono la premessa e la regola e si intende ricavare l’esito;

premessa

regola

esito

– induttivo, quando si conoscono la premessa e l’esito e si intende risalire alla regola;

premessa

esito

regola

– abduttivo, quando si conoscono la regola e l’esito e si intende ricostruire la premessa.

regola

esito

premessa

Logica deduttiva

Il ragionamento deduttivo (o deduzione) è il più antico tipo di logica, scoperto e analizzato

dall’uomo. L’introduzione di tale concetto si deve al filosofo greco Aristotele, il quale lo

identificava sostanzialmente con il sillogismo, ovvero con un tipo di ragionamento formale tramite

il quale, date due proposizioni, ne segue necessariamente una terza.

Si può affermare, quindi, che il procedimento di deduzione consente di derivare il particolare

dall’universale.

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In base alle attribuzioni precedenti, eseguiamo un ragionamento deduttivo, nel caso in cui– sapendo

che:

una mela si è staccata dall’albero (premessa);

una mela che si stacca da un albero cade verticalmente ai piedi di quell’albero (regola);

– deduciamo che:

una mela si trova ai piedi dell’albero (esito).

Questo tipo di logica è tipico di chi (come l’ingegnere o il ragioniere) partendo da un insieme di dati

assegnati, vuole sapere quali risultati si ottengono, applicando delle leggi conosciute. La risposta

che, in questo modo, si ottiene è sempre esatta (se tutte le operazioni previste sono state svolte

correttamente...).

In generale, però, il ragionamento deduttivo può essere applicato in maniera rigorosa solo in

ambienti astratti, retti da sistemi di regole formali. Nel mondo reale, è difficile effettuare delle

deduzioni totalmente sicure, perché le situazioni concrete coincidono raramente con i modelli ideali.

Logica induttiva

Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, con il ragionamento deduttivo si applicano delle

regole note a determinate situazioni iniziali. Il ragionamento induttivo, invece, non applica delle

regole, ma cerca di scoprirle. Si può affermare, quindi, che il procedimento di induzione consente di

derivare leggi generali da casi particolari.

In relazione allo stesso sistema di attribuzioni utilizzato nell’esempio precedente, eseguiamo un

ragionamento induttivo (o induzione), nel caso in cui

– sapendo che:

una mela si è staccata dall’albero (premessa);

una mela si trova ai piedi dell’albero (esito);

– ipotizziamo che:

una mela che si stacca da un albero cade verticalmente ai piedi di quell’albero (regola).

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Questo genere di logica è tipico di chi (come lo scienziato) vuole risalire a una legge naturale,

osservando quale risultato è stato ottenuto, a partire da una determinata situazione iniziale.

In particolare, osservando come le mele mature cadono dagli alberi, si può arguire che non è

consigliabile sostare sotto i meli, nel periodo di maturazione dei loro frutti.

Partendo dalla stessa osservazione, ma ricorrendo alla logica induttiva, lo scienziato inglese, Isaac

Newton riuscì, a elaborare la teoria della gravitazione universale...

È importante sottolineare che l’esito di una deduzione è sempre scontato, in quanto deriva

semplicemente dall’esplicitazione di ciò che era già implicito nell’impostazione iniziale.

Il risultato a cui porta il ragionamento induttivo, invece, non può essere considerato valido in

assoluto. Per avallare un’ipotesi ricavata mediante questo tipo di logica, è indispensabile verificarla

più volte, sottoponendola a riscontri di tipo deduttivo.

Logica abduttiva

Il concetto di abduzione è stato introdotto per la prima volta da Aristotele, ma è stato rivalutato solo

verso la fine dell’Ottocento, dal filosofo statunitense Charles Sanders Peirce. Per più di due

millenni, questo tipo di logica non è stato oggetto di studi specifici, essendo stato considerato

erroneamente un caso particolare dell’induzione.

In relazione allo stesso sistema di attribuzioni dei due esempi precedenti, eseguiamo un

ragionamento abduttivo (o abduzione), nel caso in cui

– sapendo che:

una mela che si stacca da un albero cade verticalmente ai piedi di quell’albero (regola);

una mela si trova ai piedi dell’albero (esito);

– presupponiamo che:

una mela si è staccata dall’albero (premessa).

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Nelle applicazioni pratiche, l’abduzione può essere interpretata come una sorta di indagine, tesa a

risalire alle cause che hanno generato un particolare effetto. Per questo motivo, è la forma di logica

tipica, sia del medico che cerca di individuare una malattia, analizzando i sintomi che questa ha

generato, sia dell’investigatore che cerca di ricavare elementi utili a scoprire il responsabile di un

delitto, analizzando le tracce che questo ha lasciato.

L’adbuzione è la forma di logica che ci capita di utilizzare più spesso nella vita di tutti i giorni,

spesso inconsapevolmente, ma è anche soggetta a rischio di errore. La conclusione a cui porta,

come nel caso dell’induzione, non mai è valida in assoluto, ma solo in termini di probabilità; di

conseguenza, è opportuno che venga sempre confermata per via empirica, eventualmente prendendo

in considerazione altre potenziali regole.

Nel caso specifico, una mela che si trova ai piedi di un albero, potrebbe non essere caduta da

quell’albero, ma essere stata portata lì da qualcuno.

Secondo Charles Sanders Peirce, l’abduzione, è la sola forma di ragionamento in grado di

accrescere il nostro sapere. In effetti, tra i tre tipi di logica, è l’unico che consente di ricostruire una

determinata premessa (le altre due, invece, la considerano già nota).

Questo tipo di attività mentale è essenziale per riuscire a conoscere il mondo che ci circonda.

Se, per assurdo, ci limitassimo a utilizzare solo una logica deduttiva, non avremmo modo di riuscire

nello stesso intento. La deduzione, infatti, è in grado di dimostrare la verità di un’affermazione, ma

non produce nuova reale conoscenza. Ogni verità dimostrata in maniera deduttiva, infatti, era già

implicita nella situazione iniziale. Tramite l’abduzione, invece, abbiamo la possibilità di ricavare

nuove verità (o presunte tali) da una serie di verità (o presunte tali), già note.

Riusciamo a svolgere con profitto un ragionamento abduttivo, solo se non esistono altre premesse

che spiegano altrettanto bene i fatti osservati e se quella da noi scelta riceve tali e tante conferme, da

poter essere considerata valida, con una probabilità vicina a una ragionevole certezza.

È opportuno, quindi, non radicarsi mai nelle proprie opinioni in maniera preconcetta, ma avere

sempre una mentalità aperta ad altre possibili spiegazioni.

Quante volte ci capita di esprimere un giudizio drastico sul carattere di una persona, partendo

dall’osservazione di alcuni suoi atteggiamenti esteriori? E quante volte siamo convinti di aver

individuato la causa di un determinato evento, attribuendo particolari significati ad alcuni piccoli

indizi? Sono potenzialmente tante le opportunità interessanti che rischiamo di perdere nella vita

quotidiana, per dare corpo a supposizioni infondate e mai verificate…

Nota – Per loro natura, i tradizionali esercizi matematici richiedono essenzialmente una logica

deduttiva. Alcuni ragionamenti di tipo induttivo o abduttivo, però, possono tornare utili per trovare

soluzioni più rapide e originali.

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ENIGMI LOGICI

Vengono chiamati, comunemente, logici quegli enigmi la cui risoluzione richiede l’impostazione di

un ragionamento coerente, ma non necessita di conoscenze matematiche approfondite.

Paradossalmente, gli enigmi logici risultano, spesso, più difficili di quelli matematici, perché

devono essere risolti in maniera autonoma, senza poter ricorrere all’applicazione di metodi

sistematici, come l’impostazione di equazioni o l’applicazione di teoremi.

Teoricamente, se si prende in considerazione il tipo di ragionamento che la loro risoluzione richiede

in maniera prevalente, gli enigmi logici possono essere classificati in: deduttivi, induttivi e abduttivi.

Solitamente, però, una tale suddivisione non viene adottata; perché considerata superflua.

È anche vero, comunque, che non sempre è facile individuare con certezza, il tipo di logica richiesta

dalla risoluzione di questo genere di enigmi. In particolare, data la natura estremamente schematica

dei loro enunciati, a volte può capitare di scambiare i ruoli di un esito e di una premessa e, di

conseguenza, di confondere un ragionamento deduttivo con uno abduttivo (o viceversa).

Enigmi deduttivi

Gli enigmi basati essenzialmente su ragionamenti di tipo deduttivo, vengono tradizionalmente

confezionati, intrecciando alcune relazioni lineari, in modo da inibire una loro interpretazione

immediata (altrimenti sarebbero troppo banali...).

A volte, basta sovrapporre anche solo un paio di situazioni per confondere il solutore, come nel

seguente esempio.

Mentre sta indicando il ritratto di un uomo, il signor Rossi dichiara: «Io sono figlio unico, ma il

padre di quest’uomo è figlio di mio padre». Chi è la persona raffigurata nel ritratto?

Soluzione

La risoluzione di questo enigma richiede solo l’applicazione di due ragionamenti deduttivi piuttosto

elementari; è difficile, però, riuscire a elaborarli correttamente, senza perdere l’orientamento...

In particolare, i semplici passi logici da eseguire sono i seguenti:

– siccome il signor Rossi è figlio unico, l’affermazione: «è figlio di mio padre» equivale a: «sono

io»; la sua dichiarazione, quindi, va interpretata come: «il padre di quest’uomo sono io»;

– se il signor Rossi afferma: «il padre di quest’uomo sono io», l’uomo raffigurato nel ritratto è suo

figlio.

Per risolvere questo tipo di enigmi, è necessario riuscire a dipanare l'inviluppo di relazioni fornite

dall’enunciato. Il modo più funzionale di procedere consiste nel cercare di dedurre, innanzi tutto, le

informazioni certe che possono ricavarsi direttamente dal testo del problema e, poi, verificare se,

alla luce di queste, è possibile desumerne delle altre.

Alla luce di tali considerazioni, provate a cimentarvi con i seguenti enigmi deduttivi.

1. Le età di Irene, Luigi, Maria e Nicola sono: 20, 21, 22 e 23 anni (ma non in questo ordine). Luigi

è più giovane di Maria ed è più grande di Nicola. Irene ha un anno più di Nicola. Quanti anni ha

ognuno di loro?

Soluzione

Nicola è il più giovane dei quattro, perché ha meno anni di Irene e di Luigi, che ne ha meno di

Maria. Siccome Irene ha un anno più di lui, la situazione da individuare è: Nicola 20 anni, Irene 21

anni, Luigi 22 anni, Maria 23 anni.

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2. In un sacchetto ci sono solo sei foglietti numerati in progressione, dall’1 al 6. Renata, Susanna e

Tamara ne estraggono due ciascuno. Sommando i valori dei propri due foglietti, Renata ottiene:

10, Susanna: 7 e Tamara: 4. Quale coppia di numeri ha estratto ciascuna di loro?

Soluzione

Tamara può aver totalizzato 4, solo sommando: 1 e 3. Quindi, Susanna deve aver totalizzato 7,

sommando: 2 e 5. Di conseguenza, Renata deve aver totalizzato 10, sommando: 4 e 6.

3. Tre esploratori vengono catturati da una tribù di selvaggi, che hanno l’hobby degli enigmi. Il

capo tribù decide di graziarli solo se si dimostrano sufficientemente intelligenti. Gli mostra tre

berretti rossi e due bianchi; poi, sulla testa di ciascuno di loro, ne pone uno scelto a caso.

Successivamente, dispone i tre esploratori a triangolo, uno di fronte all’altro. In questo modo, in

pratica, ognuno di loro è in grado di vedere i berretti che si trovano in testa agli altri due, ma non

il proprio. A quel punto, il capo tribù comincia a chiedere, a turno, a ogni esploratore di dichiarare

il colore del proprio berretto. Se neanche uno di loro sarà in grado di fornire la risposta giusta,

verranno tutti giustiziati.

Il primo esploratore risponde: «Non lo so». Anche il secondo risponde: «Non lo so». Il terzo,

invece, esclama: «Io lo so!». Di che colore è il suo berretto?

Soluzione

Siccome il primo esploratore non è stato in grado di individuare il colore del proprio berretto, vuol

dire che, in testa agli altri due, non ne ha visti due bianchi, (altrimenti avrebbe facilmente dedotto

che il proprio era rosso).

Siccome neppure il secondo esploratore è stato in grado di individuare il colore del proprio berretto,

vuol dire che, in testa al terzo esploratore, non ne ha visto uno bianco; altrimenti, avrebbe

facilmente dedotto che il proprio era rosso (sapendo che i loro due berretti non potevano essere

entrambi bianchi).

Di conseguenza, il terzo esploratore ha dedotto che, non essendo bianco, il proprio berretto era

necessariamente rosso (indipendentemente dal colore di quelli degli altri due).

Enigmi induttivi

Gli enigmi basati essenzialmente su ragionamenti di tipo induttivo richiedono, in genere, di

individuare una legge, rispettata da tutti gli elementi di un determinato insieme. Data la natura del

ragionamento induttivo, però, questa categoria di quesiti non ammette sempre un’unica soluzione

plausibile. Consideriamo, ad esempio, il seguente enigma.

Adesso cercate di fingervi geniali, determinando la lettera con cui deve proseguire logicamente la

seguente successione:

A – C – D – F – G ...

Si può giungere a una prima soluzione accettabile, osservando che le lettere esposte possono

ricavarsi dalla normale sequenza dell’alfabeto italiano, partendo dalla «A» e avanzando,

alternativamente, una volta di due posizioni, e una volta di una. Sulla base di questa regola, la

successione dovrebbe proseguire con la lettera «I» (due posizioni dopo la «G»).

Un’altra soluzione, però, più originale della precedente, si può ricavare notando che le stesse lettere

coincidono con le iniziali delle prime cinque parole dell’enunciato del problema: A(desso)

C(ercate) D(i) F(ingervi) G(eniali)... In base a quest’altra impostazione, la successione dovrebbe

proseguire con la lettera «D», iniziale della parola successiva: D(eterminando).

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Per questi motivi, quando si affrontano degli enigmi di logica induttiva, bisogna cercare di

individuare una soluzione che appaia più convincente di altre potenzialmente ottenibili.

Alla luce di tali considerazioni, provate a cimentarvi con i seguenti enigmi induttivi.

1. Con quale lettera deve proseguire logicamente, la seguente successione?

P – S – T – Q – Q – S ...

Soluzione

La successione è costituita dalle lettere iniziali dei primi aggettivi ordinali:

(P)rimo – (S)econdo – (T)erzo – (Q)uarto – (Q)uinto – (S)esto.

Quindi, deve proseguire con la lettera: S (iniziale di: «Settimo»).

2. Quale particolare caratteristica accomuna le seguenti parole?

accento – caseina – cassette – giunonica – novella – proventi – tremendo

Soluzione

Ogni parola della lista contiene il nome di un numero:

accento (cento) – caseina (sei) – casette (sette) – giunonica (uno) – novella (nove) – proventi (venti)

– tremendo (tre)

3. Quale particolare caratteristica accomuna le seguenti locuzioni?

bomber napoletano – filosofi ateniesi – mano slogata – pasta tenera – primo scaffale – scarpa

rigida – tiro mancino

Soluzione

Al centro di ogni locuzione è contenuto il nome di una capitale europea:

bomber napoletano (Berna); filosofi ateniesi (Sofia); mano slogata (Oslo) pasta tenera (Atene);

primo scaffale (Mosca); scarpa rigida (Parigi); tiro mancino (Roma).

Enigmi abduttivi

Gli enigmi di logica abduttiva richiedono, in genere, di ricostruire una particolare situazione

iniziale, del tutto plausibile, ma non dichiarata esplicitamente nell’enunciato.

Data la natura del ragionamento logico richiesto, è molto probabile che un enigma abduttivo

ammetta più di una soluzione accettabile. Nel processo di soluzione di questo genere di giochi,

quindi, è importante leggere con attenzione le parole dell’enunciato, in modo da poter scartare

eventuali interpretazioni alternative, non corrette.

A titolo di esempio, analizziamo il seguente enigma.

Mentre sta viaggiando in auto, su una strada di montagna, il signor Guido Lauto fora una gomma.

Si accinge prontamente a sostituire la relativa ruota, ma i quattro bulloni, che ha svitato, rotolano

giù per una scarpata. Nonostante ciò, riesce a riprendere velocemente il viaggio, con la propria

auto. Come ha fatto?

Una soluzione banale che può venire subito in mente è che il signor Lauto... si sia messo a fare

l’autostop. Però, il testo dell'enunciato specifica che: «[…] riesce a riprendere velocemente il

viaggio, con la propria auto».

Quindi, dobbiamo spremere un po' di più le nostre meningi… Solo in questo modo, possiamo

arrivare a ipotizzare che il signor Lauto ha tolto un bullone da ognuna delle altre tre ruote e bloccato

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quella da cambiare, con i tre così ricavati. Con tale pratico espediente, è riuscito a fissare ognuna

della quattro ruote, abbastanza stabilmente, con tre bulloni.

Alla luce di tali considerazioni, provate a cimentarvi con i seguenti enigmi abduttivi.

1. Un gelataio ambulante vende solo due tipi di coni gelati: uno più piccolo da 1 euro e uno più

grande da 1,50 euro; il signor Gustavo Locono si avvicina al suo carretto e gli consegna 2 euro,

senza aggiungere altro e senza indicare alcun tipo di cono. Il gelataio, però, pur non avendolo mai

visto prima , capisce che il signor Locono desidera il cono da 1,50 euro. Come ha fatto?

Soluzione

Gustavo Locono non ha dato al gelataio una moneta da 2 euro (come si potrebbe pensare...), ma due

monete da 1 euro ciascuna; è evidente che, se avesse voluto il gelato più piccolo, gli avrebbe dato

una sola moneta da 1 euro (e non due).

2. Il signor Giusto Conti entra in un supermercato con 50 euro esatti e acquista una quantità di

merce per un ammontare di 50 euro esatti. Quando si reca alla cassa, però, i soldi che ha a

disposizione non gli bastano per pagare tutto. Tenendo conto che, in quel supermercato, le buste di

plastica per contenere la spesa le forniscono gratis, come si può spiegare una simile situazione?

Soluzione

In quel supermercato, per prendere un carrello si deve inserire una moneta in un’apposita feritoia,

posta nel carrello stesso (la moneta viene poi recuperata, rimettendo il carrello a posto). A quanto

pare, Giusto Conti ha preso un carrello e, di conseguenza, arrivato alla cassa, non può disporre

dell’intera somma iniziale, dato che non può ancora togliere la moneta dal carrello…

3. Mentre sta giocando a calcio con alcuni amici, Pierino sferra una violenta pedata al pallone,

spedendolo all'interno di un giardino privato. Per somma disdetta, il pallone atterra a un paio di

metri da un palo, al quale è legato, tramite una corda lunga più di tre metri, un cane grosso e

minaccioso. Senza pensarci due volte, Pierino scavalca la recinzione del giardino e riesce a

recuperare il pallone, evitando di farsi mordere.

In che modo ha potuto portare a termine una simile temeraria impresa?

Soluzione

Pierino si è messo a correre intorno al palo, tenendosi sempre a debita distanza dal cane. Questo,

cercando di inseguirlo, ha fatto arrotolare la corda intorno al palo. Quando il raggio di azione del

cane si è ridotto a sufficienza, Pierino ha potuto recuperare tranquillamente il pallone e scappare

via.

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DIDATTICA GIOCOSA

L’insigne matematico e pedagogista, Lucio Lombardo Radice, era un convinto assertore della

valenza del gioco come strumento di motivazione allo studio della Matematica.

In un suo libro di giochi creativi, dal titolo Il giocattolo più grande (ovvero: il cervello), inserì un

appassionato Elogio del gioco, nel quale, tra l’altro, chiedeva: «Domanda (molto seria, vi prego di

credere, cari colleghi insegnanti): ma perché per controllare quello che i vostri allievi hanno

imparato, non fate in classe una palestra di giochi intelligenti, invece di interrogare?».

Egli riteneva che la didattica della Matematica debba porsi l’obiettivo primario di insegnare a saper

costruire dei modelli astratti della realtà e non di esercitare un’abilità di calcolo fine a sé stessa.

Molto spesso, la difficoltà di un problema, infatti, non risiede nella complessità delle operazioni da

eseguire, ma nella fase di impostazione del ragionamento risolutivo.

Sulla stessa linea, già circa 2400 anni fa Platone (La Repubblica, VII, 536 e 537) sosteneva:

«Nessuna disciplina imposta a forza può rimanere durevole nell’anima [...]. Quindi [...] non educare

i fanciulli nelle varie discipline ricorrendo alla forza, ma per gioco, affinché tu possa anche meglio

osservare quale sia la naturale disposizione di ciascuno».

Una convinzione analoga era nutrita anche da Leonardo Fibonacci, il più importante matematico

europeo del Medioevo. Nel proprio Liber Abaci (1200 circa), un ampio trattato di matematica

commerciale, inserì un intero capitolo dedicato a problemi di carattere ricreativo, denominato

scherzosamente Questioni erranti (cioè, vagabonde, senza concrete applicazioni immediate).

Fibonacci giustificò la propria scelta con il bisogno che ha lo spirito umano di staccarsi ogni tanto

dai problemi legati alla vita quotidiana, mantenendo però il piacere di tenere allenata la mente,

continuando a esercitare la creatività.

Questa sana abitudine di inserire nei testi scolastici, oltre agli abituali esercizi, anche dei giochi

matematici, venne conservata per secoli. Poi, chissà per quali oscuri motivi, lentamente tramontò,

nonostante le accorate raccomandazioni di autorevoli matematici e pedagogisti.

In tempi più recenti, il grande esperto di Matematica ricreativa, lo statunitense Martin Gardner, ha

dichiarato: «Mi è sempre sembrato che il modo migliore per rendere interessante la Matematica agli

studenti e ai profani sia quello di accostarvisi con uno spirito giocoso.

Sta di fatto che il miglior modo di tener sveglio uno studente è presentargli giochi matematici

interessanti, enigmi, trucchi, battute, paradossi… o una qualsiasi delle centinaia di cose che molti

insegnanti tendono a evitare perché paiono loro frivole [...] Nessuno dice che un insegnante non

debba fare altro che divertire i propri studenti. Deve esserci un interscambio tra serietà e

divertimento: quest’ultimo tiene desto l’interesse, mentre la serietà giustifica il divertimento».

15

MATEMATICA RICREATIVA

Con il termine Matematica ricreativa, si denomina quel vasto insieme di questioni logico–

matematiche, che vengono affrontate per puro piacere personale e non per la necessità di

approfondire degli argomenti scolastici o di risolvere dei casi concreti.

Il materiale riguardante questa materia assume diverse forme propositive, come: enigmi dilettevoli,

puzzle topologici, rompicapi logici, paradossi probabilistici, giochi di strategia, costruzioni

geometriche, illusioni ottiche, giochi di magia, e così via.

Inoltre, coinvolge molte branche matematiche, come: Aritmetica, Algebra, Analisi, Geometria,

Logica, Topologia, Calcolo combinatorio, Calcolo delle probabilità, Ricerca operativa, e così via.

La sua pratica, quindi, consente di acquisire e affinare la capacità di affrontare problemi di varia

natura e di impianto non consueto, in maniera piacevole e coinvolgente.

La Matematica ricreativa ha origini antichissime e la sua storia è estremamente ricca di esempi

significativi. Al riguardo, il più antico documento di cui abbiamo conoscenza, è il Papiro di Rhind

(1650 a.C.), attualmente conservato al British Museum. Consiste in un rotolo, alto 33 centimetri e

lungo 3 metri, scritto in egizio ieratico, contenente diverse tabelle di frazioni e 84 problemi

matematici di varia natura (aritmetici, algebrici e geometrici), con le relative soluzioni dettagliate.

Prende il nome dall'antiquario scozzese Henry Rhind, che lo acquistò nel 1858 a Luxor in Egitto.

Nel presente contesto, saranno esaminati essenzialmente i giochi di magia matematica e gli enigmi

dilettevoli.

Questi ultimi, in particolare, verranno ripartiti nelle seguenti due principali categorie.

Enigmi sequenziali Problemi bizzarri che si risolvono in maniera relativamente semplice, effettuando una determinata

sequenza di operazioni aritmetiche o impostando delle opportune equazioni algebriche.

Enigmi laterali Problemi singolari che possono essere risolti correttamente, procedendo in maniera non

convenzionale.

Questa seconda categoria, a sua volta, verrà suddivisa nelle due seguenti sottocategorie.

Enigmi ingannevoli Questioni matematiche potenzialmente risolubili in maniera semplice, ma il cui enunciato può

indurre il solutore, o a fornire una risposta errata, o a pensare che non esiste.

Enigmi creativi Questioni matematiche, più o meno complesse, che per poter essere risolte richiedono qualche

guizzo d’ingegno.

La terminologia adottata per effettuare la suddivisione proposta, riprende quella coniata dallo

psicologo maltese Edward de Bono, per enunciare le proprie teorie sulla creatività.

In particolare, egli definisce pensiero laterale quella particolare modalità di risoluzione dei

problemi logici che si basa sull'osservazione della questione da analizzare, da diverse possibili

angolazioni, in contrapposizione a una procedura impostata, invece, su una successione di passi

prestabiliti, già collaudata (definita pensiero sequenziale). A suo avviso, il pensiero laterale è: «il

modo più creativo per servirsi della mente».

16

ENIGMI SEQUENZIALI

Le sette case (Problema n. 79 del Papiro di Rhind, 1650 a.C.)

In una proprietà ci sono 7 case.

In ogni casa ci sono 7 gatti.

Ogni gatto acchiappa 7 topi.

Ogni topo mangia 7 spighe.

Ogni spiga dà 7 heqat (*) di grano.

Quante cose ci sono in tutto in questa storia?

(*) heqat: misura di capacità egizia, pari a circa 4,785 litri.

Soluzione

Se si esclude dal conteggio delle cose la proprietà citata all’inizio, si ha:

case: 7

gatti: 77 = 72 = 49

topi: 777 = 73 = 343

spighe: 7777 = 74 = 2.401

heqat: 77777 = 75 = 16.807

totale: 7+49+343+2401+16.807 = 19.607

In pratica, per risolvere il problema, bisogna effettuare la somma degli elementi di una progressione

geometrica di ragione 7. Al giorno d’oggi, un calcolo del genere può essere svolto agevolmente

ricorrendo a una calcolatrice, ma richiedeva un notevole impegno al tempo degli Egizi.

Nel corso dei secoli, sono state elaborate diverse versioni di questo problema, alcune anche

ingannevoli, come la seguente.

Mentre andavo a Camogli,

Incontrai un uomo con sette mogli.

Ogni moglie aveva sette sacchi,

Ogni sacco aveva sette gatti,

Ogni gatto aveva sette mici;

Mici, gatti, sacchi e mogli,

In quanti andavano a Camogli?

Soluzione In questo caso, la risposta (beffarda) è: una sola persona.

Infatti, solo il narratore andava a Camogli; tutti gli altri, andavano nella direzione opposta...

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Scacchi e chicchi (Leggenda persiana, circa 500)

Il saggio Sussa ibn Dahir al–Hindi (detto Sissa), inventore del gioco degli scacchi, venne invitato

dal proprio re, Shiram, a esprimere qualsiasi desiderio, come ricompensa per la sua geniale

invenzione.

Egli, però, chiese semplicemente di depositare un chicco di grano sulla prima casella della

scacchiera, due chicchi sulla seconda, quattro sulla terza e così via, raddoppiando ogni volta la

quantità precedente, fino ad arrivare alla sessantaquattresima casella.

Il re si meravigliò molto, per l’entità modesta di quella richiesta. Ma aveva ragione?

Soluzione

In realtà, la proposta di Sissa era tutt’altro che modesta. La quantità N di chicchi di grano da lui

richiesta, infatti, è uguale alla somma delle prime sessantaquattro potenze di 2, da 20 a 2

63, ovvero:

N = 20+2

1+2

2+...+2

62+2

63 = 1+2+4+ ...+4.611.686.018.427.387.904+9.223.372.036.854.775.808

Svolgendo i calcoli con molta pazienza (o ricorrendo all’uso di una buona calcolatrice elettronica),

ci si può rendere conto che numero risultante vale circa 18,5 miliardi di miliardi (per la precisione:

18.446.744.073.709.551.615).

Con una tale quantità di grano a disposizione, si potrebbe ricoprire tutta l’intera superficie terrestre

(compresi mari, oceani, deserti e ghiacciai), collocando circa 3 chicchi e mezzo, ogni cm2.

Un computer molto veloce, in grado di smistare un miliardo di chicchi al secondo, impiegherebbe

più di 593 anni per riuscire a contarli tutti...

18

Strappi astronomici (Anonimo, 1989)

Immaginate di avere un grande foglio di carta sottilissimo, dello spessore di appena 0,01 mm.

Supponete di strapparlo 50 volte di seguito, sovrapponendo ogni volta i foglietti ottenuti.

Al termine, quanto sarebbe alta, secondo voi, la pila dei foglietti sovrapposti, così ottenuta?

Più o meno di 50 metri?

Soluzione

La quantità dei foglietti raddoppia, ogni volta che sovrapponete quelli risultanti dall’esecuzione di

uno strappo.

Di conseguenza, il loro numero diventa:

– dopo il 1° strappo: 2

– dopo il 2° strappo: 22 = 22 = 4

– dopo il 3° strappo: 222 = 23 = 8

– dopo il 4° strappo: 2222 = 24 = 16

……………………………………

– dopo il 50° strappo: 222… 2 = 250

= 1.125.899.906.842.624

|_________|

50 volte

L’altezza della pila di foglietti, quindi, arriverebbe a misurare:

1.125.899.906.842.6240,01 mm = 11.258.999.068.426,24 mm = circa 11.258.999 km.

Una lunghezza del genere corrisponderebbe a più di trenta volte la distanza media tra la Terra e la

Luna (stimata in 348.403 km).

I

19

Il Genio della serratura (Anonimo, 1992)

Aladino deve entrare in un castello, il cui portone è chiuso. Per riuscire ad aprirlo, deve comporre

un particolare numero di tre cifre, girando opportunamente tre ruote dentate. Potrebbe procedere

per tentativi, ma se dovesse commettere anche un solo errore, gli si rovescerebbe addosso un

pentolone d'olio bollente. Mentre, ormai, si sta rassegnando a rinunciare, accorre in suo aiuto il

Genio della lampada, che gli dice: «Puoi individuare facilmente il numero segreto, sapendo che: se

gli sottrai 1 e quello che viene lo moltiplichi per 2 e quello che viene lo dividi per 3 e a quello che

viene aggiungi 4 e da quello che viene sottrai 5 e quello che viene lo moltiplichi per 6 e quello che

viene lo dividi per 7 e a quello che viene aggiungi 8, ottieni come valore finale: 74».

«Grazie – sospirò Aladino – adesso sono proprio a posto!».

Soluzione Oggettivamente, le istruzioni fornite dal Genio della lampada, sono alquanto contorte.

Però, per ricavare il numero segreto, basta ripercorrere a ritroso la sequenza di operazioni indicate,

svolgendole all’inverso.

In pratica, bisogna procedere nel seguente modo.

… a quello che viene aggiungi 8, ottieni come valore finale: 74 74–8 = 66

… quello che viene lo dividi per 7 667 = 462

… quello che viene lo moltiplichi per 6 462:6 = 77

… da quello che viene sottrai 5 77+5 = 82

… a quello che viene aggiungi 4 82–4 = 78

… quello che viene lo dividi per 3 783 = 234

… quello che viene lo moltiplichi per 2 234:2 = 117

… a questo numero sottrai 1 117+1 = 118

In definitiva il numero che Aladino deve impostare, per accedere al castello, è: 118 (un numero che

si adatta bene a una situazione d'emergenza…).

20

NOTAZIONE ALGEBRICA

I giochi precedenti sono stati risolti, effettuando solo delle operazioni aritmetiche. La maggior parte

dei problemi matematici (non solo quelli di tipo sequenziale), però, può essere affrontata

rigorosamente, solo ricorrendo al calcolo algebrico. Bisogna riconoscere che, a causa della propria

forma volutamente compatta, la notazione richiesta da questo insieme di tecniche non aiuta a

mettere a fuoco facilmente ciò che dovrebbe effettivamente rappresentare. Però, la compattezza e la

sinteticità dei simboli costituiscono una conquista basilare del progresso scientifico, perché

riducono all’essenziale il linguaggio matematico, rendendolo universale.

A tale riguardo, è interessante notare che, ad esempio, nel 1556 il matematico Niccolò Tartaglia

(1500 – 1557), per rappresentare una semplice notazione di questo tipo:

X+X3 = 36

scriveva: «Trouame uno numero che azontoli la sua radice cuba uenghi ste, cioè 36» (Trovami un

numero che si aggiunga al suo cubo facendo venire questo, cioè 36).

Formulazioni, così discorsive, possono apparire a un profano molto più comprensibili di quelle

simboliche; però, risultano estremamente scomode per lo svolgimento dei calcoli e sono,

comunque, eccessivamente ingombranti. Per questo motivo, nel corso del tempo, sono state

abbandonate.

Ma gli strumenti algebrici sono importanti soprattutto perché, come accennato prima, consentono di

risolvere in maniera rapida e accurata una vastissima quantità di problemi che sarebbe più

complicato affrontare con altri metodi. E, in assoluto, si prestano a essere manipolati in maniera

molto più semplice, di quanto comunemente si crede.

A titolo di esempio, prendiamo in considerazione un classico enigma matematico, a molti noto.

Un mattone pesa 1 kg più mezzo mattone. Quanto pesa il mattone?

Soluzione

Istintivamente, si tende a pensare che il mattone in questione, prima pesava 1 kg e poi è stato

appesantito del 50%; quindi, la risposta più spontanea che, in genere, viene fornita è: 1,5 kg.

Accettando questo risultato, però, mezzo mattone verrebbe a pesare 0,75 kg e, di conseguenza, il

peso dell’intero mattone sarebbe uguale a: 1 kg+0,75 kg = 1,75 kg (e non più a 1,5 kg…).

Proviamo a risolvere il problema in maniera pratica, immaginando di disporre di una bilancia a due

piatti.Poniamo un mattone, sul piatto di sinistra, e un peso da un kg più mezzo mattone, su quello di

destra.

In base a quanto affermato dal testo dell’indovinello, il peso che grava su un piatto coincide con

quello che grava sull’altro piatto; quindi, questi si trovano in equilibrio.

21

Per visualizzare meglio la situazione, dividiamo in due parti il mattone che si trova sul piatto di

destra. Dato che due mezzi mattoni pesano come un mattone intero, i due piatti continueranno a

trovarsi in equilibrio.

Per avere un’indicazione di peso più precisa, togliamo mezzo mattone da ciascuno dei due piatti.

Avendo rimosso la stessa quantità di peso da entrambi i piatti, questi continueranno a trovarsi in

equilibrio.

In questo modo, la bilancia indica chiaramente che mezzo mattone pesa un kg.

Di conseguenza, sfruttando tale equivalenza, possiamo aggiungere mezzo mattone sul piatto di

sinistra e un peso da 1 kg su quello di destra. Il risultato ottenuto è il seguente.

La situazione è equivalente alla seguente, ricompattando il mattone.

A questo punto, abbiamo trovato la risposta al problema, in quanto la bilancia indica, in maniera

inequivocabile, che il mattone pesa 2 kg.

La sequenza di ragionamenti che abbiamo svolto dovrebbe essere risultata chiara anche a chi non

possiede conoscenze di calcolo algebrico. Eppure, anche se in forma velata , non abbiamo fatto altro

che risolvere una equazione algebrica...

Questo dimostra che l’ostacolo principale alla comprensione della Matematica non è costituito tanto

dai ragionamenti richiesti, quanto dal linguaggio che bisogna conoscere per poterli affrontare.

22

Vediamo, quindi, di introdurre due concetti basilari del linguaggio algebrico: le incognite e la

relazione di uguaglianza.

Se, nella fase di risoluzione di un problema, non si conosce il valore di una certa quantità da

prendere in considerazione, si possono impostare, comunque, delle relazioni matematiche,

indicando la quantità sconosciuta con un nome fittizio (in genere con una lettera dell’alfabeto,

maiuscola o minuscola). L’entità così rappresentata viene chiamata incognita e, nell’espressione di

cui fa parte, può essere coinvolta in tutte le operazioni la cui esecuzione non richiede la conoscenza

del suo valore. È un po’ come avviene in un brano letterario, dove è possibile narrare tutte le

vicende riguardanti un determinato personaggio, anche se questo non viene indicato con il proprio

nome, ma con il termine generico di una persona.

Una relazione di uguaglianza, in Matematica, si presenta sempre sotto una forma del seguente

questo tipo:

A = B

Questa particolare notazione indica, convenzionalmente, che il valore numerico di A (primo

membro) è uguale a quello di B (secondo membro). In pratica, rappresenta la schematizzazione di

una bilancia a due piatti che contiene su quello di destra una quantità di peso (A) uguale a quella

(B) che si trova nel piatto di sinistra.

Tale semplice associazione può aiutare a comprendere la logica su cui si basano le regole dei

cosiddetti passaggi algebrici. Queste, infatti, derivano tutte dal presupposto che, se si esegue la

stessa operazione su entrambi i membri di un’uguaglianza, i due nuovi membri risulteranno ancora

uguali tra loro. Analogamente, se si esegue lo stesso intervento su entrambi i piatti di una bilancia

posti in equilibrio, questi resteranno in equilibrio.

Equazioni algebriche

Se una relazione di uguaglianza contiene una o più incognite, viene chiamata più propriamente

equazione. Nel caso in cui nessuna delle incognite compare sotto forma di potenza, l’equazione

viene detta di primo grado.

In riferimento all’esempio precedente, dato che l’incognita del problema è costituita dal peso in kg

del mattone, indicando questo valore con la lettera X, possiamo impostare la seguente equazione di

primo grado, partendo dall’enunciato del problema:

X = 1+X/2

A questo punto, è utile considerare che, come è possibile aggiungere o togliere da entrambi i piatti

di una bilancia una stessa quantità di peso, mantenendo i piatti in equilibrio, è altrettanto possibile

compiere una stessa operazione aritmetica su entrambi i membri di una relazione di uguaglianza,

senza alterarne la validità.

Vediamo come si può risolvere l’equazione del nostro esempio, ricorrendo solo a questo semplice

concetto (alla base di tutte le regole del calcolo algebrico).

Partendo da:

X = 1+X/2

23

se sottraiamo X/2 da entrambi i membri (così come avevamo tolto mezzo mattone da entrambi i

piatti della bilancia), otteniamo:

X–X/2 = 1+X/2–X/2

ovvero:

X–X/2 = 1

da cui:

X/2 = 1

moltiplicando entrambi i membri per 2 (così come avevamo raddoppiato i pesi su ciascuno dei due

piatti della bilancia, aggiungendo mezzo mattone su quello di sinistra e 1 kg su quello di destra),

ricaviamo:

2X/2 = 2

ovvero:

X = 2

Anche in questo caso, quindi, risulta che il peso del mattone è: 2 kg.

Sistemi di equazioni

Se in un’equazione sono presenti due (o più) incognite, non è possibile ricavare il loro valore in

maniera determinata. Infatti, isolando una di tali incognite, si otterrà inevitabilmente un’espressione

contenente le altre (delle quali non si conosce ancora il valore).

Se, però, un problema consente di impostare tante equazioni, quante sono le incognite, è possibile

ricondurre la sua risoluzione a quella di un’equazione a una sola incognita, operando delle

opportune sostituzioni.

Esaminiamo, a titolo di esempio, quest'altro intrigante enigma matematico.

Una bottiglia e un tappo costano 1,10 euro; la bottiglia costa 1 euro più del tappo. Quanto costa la

bottiglia e quanto il tappo?

Soluzione

Istintivamente, si tende a ripartire il costo totale della bottiglia con il tappo, separando

semplicemente il valore dei centesimi da quello delle unità; per cui, la risposta più spontanea che, in

genere, viene fornita è: «0,10 euro il tappo e 1 euro la bottiglia». In un simile caso, però, la bottiglia

verrebbe a costare solo 0,90 euro più del tappo (e non 1 euro). I conti, quindi, non tornerebbero.

Proviamo a risolvere questo problema in maniera analoga a quella precedente. Supponiamo di

avere, questa volta, due immaginarie bilance (una rossa e una azzurra) in grado di misurare, non i

pesi, ma i costi degli oggetti posti sui loro piatti. Interpretando la prima parte del testo del problema

(bottiglia e tappo costano 1,10 euro), poniamo la bottiglia e il tappo sul piatto di sinistra della

bilancia rossa, mentre su quello di destra poniamo una moneta da 1 euro e una da 0,10 euro.

24

Analogamente, interpretando la seconda parte del testo del problema (la bottiglia costa 1 euro più

del tappo), poniamo la bottiglia sul piatto di sinistra della bilancia azzurra, mentre su quello di

destra poniamo una moneta da 1 euro e il tappo.

Prendendo in considerazione questa seconda equivalenza, possiamo mettere un tappo e una moneta

da 1 euro al posto della bottiglia che si trova nel piatto di sinistra della bilancia rossa.

A questo punto, per riuscire ad avere un’indicazione di costo più precisa, togliamo una moneta da 1

euro da entrambi i piati della bilancia.

Per svolgere le operazioni in maniera più comodo, sostituiamo la moneta da 0,10 euro con due da

0,05 euro.

Dato che in ogni piatto compare una quantità doppia, possiamo prendere in considerazione anche

solo le loro metà , togliendo un tappo da una parte e una moneta da 0,05 euro dall’altra.

La relazione risultante è la seguente.

In questo modo, la bilancia indica chiaramente il tappo costa 0,05 euro.

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Ottenuta tale preziosa informazione, possiamo mettere una moneta da 0,05 euro, al posto del tappo,

nel piatto di destra della bilancia a azzurra e ricaviamo, così, anche il prezzo della bottiglia.

In definitiva, la bottiglia costa 1,05 euro, mentre il tappo 0,05 euro.

In effetti, sottraendo il costo del tappo da quello della bottiglia, si ottiene:

(1,05–0,05) euro = 1 euro.

Questa sequenza di ragionamenti svolti dovrebbe essere risultata chiara anche a chi non possiede

conoscenze di calcolo algebrico. Eppure, anche se in forma velata, non abbiamo fatto altro che

risolvere un sistema di due equazioni ...

In assoluto, per risolvere un problema con più dati da ricavare, la tecnica da adottare è analoga a

quella illustrata qui di seguito, relativa allo svolgimento algebrico del problema appena analizzato.

Se indichiamo con X il costo in euro della bottiglia e con Y quello del tappo, possiamo impostare il

seguente sistema composto da due equazioni:

X+Y = 1,10

X= 1+Y

Sostituendo il valore della X esplicitato in questa seconda equazione, al posto della X che appare

nella prima equazione (così come abbiamo sostituito nel piatto di sinistra della bilancia rossa il

contenuto del piatto destro della bilancia azzurra), otteniamo:

1+Y+Y = 1,10.

Sottraendo 1 da entrambi i membri (così come abbiamo tolto 1 euro da entrambi i piatti della

bilancia rossa), ricaviamo:

Y+Y = 0,10; ovvero: 2Y = 0,10

Dividendo per 2 entrambi i membri (così come abbiamo tolto un tappo da un piatto e una moneta da

0,05 euro dall’altro, nella bilancia rossa), otteniamo:

Y = 0,05

Sostituendo il valore così trovato al posto della Y nella seconda equazione (così come, abbiamo

messo una moneta da 0,05 euro al posto del tappo, nella bilancia azzurra), ricaviamo:

X = 1+0,05; ovvero: X = 1,05

In definitiva, anche in questo caso, risulta che la bottiglia costa 1,05 euro, mentre il tappo 0,05 euro.

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ENIGMI INGANNEVOLI

La duplicazione del quadrato (Platone, V secolo a.C.)

Dato il seguente quadrato, bisogna riuscire a costruirne un altro di area doppia.

Soluzione L’idea che sorge spontanea consiste nel raddoppiare il lato del quadrato di partenza.

In questo modo, però, si genera un'area, non doppia, ma addirittura quadrupla.

Quindi, bisogna trovare un’altra strada da percorrere…

A tale scopo, è opportuno considerare che, essendo: 41/2 = 2, è possibile costruire il quadrato di

area doppia, congiungendo quattro figure geometriche di area uguale alla metà di quella del

quadrato di partenza.

Quindi, si può pensare di tagliare il quadrato assegnato in due parti, lungo la diagonale.

L’area di ciascuno dei due triangoli ottenuti è evidentemente uguale alla metà di quella del

quadrato. Di conseguenza, accostando opportunamente quattro triangoli di questa forma, è possibile

costruire il quadrato di area doppia.

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La lumachina (Manoscritto di Bakhshali, forse 700)

Una lumachina intende arrivare in cima a un muro alto 7 metri.

Durante il giorno sale di 4 metri, ma nel corso della notte scivola indietro di 3 metri.

Dopo quanti giorni, dall’inizio della scalata, riuscirà a raggiungere la sommità del muro?

Soluzione

In pratica, la lumachina sale di 1 metro ogni 24 ore; quindi, si è istintivamente portati a pensare che

le siano necessari 7 giorni per attivare in cima al muro (alto 7 metri). In realtà, se così fosse, all’alba

del quinto giorno, partendo da 4 metri di altezza, non avrebbe la possibilità di salire per altri 4

metri, in quanto il tratto di muro rimasto, ne misurerebbe solo 3...

Molto più semplicemente, la lumachina riuscirà ad arrivare in cima al muro al termine del quarto

giorno, salendo di 4 metri dopo essere partita da un’altezza di 3 metri (a quel punto, trovandosi sulla

sommità del muro, non dovrebbe più scivolare indietro, di notte...).

La corda intorno al mondo (William Whiston, 1702)

Si immagini di far passare intorno alla Terra una corda che abbia la stessa lunghezza

dell’equatore (circa 40.000 km) e che, quindi, aderisca perfettamente al suolo in ogni punto. Si

supponga, ora, di allungare di un metro questa corda e di sollevarla uniformemente, in modo che

ogni suo punto abbia la stessa distanza dall’equatore.

Quanto misurerà questa distanza?

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Soluzione

Intuitivamente si è portati a pensare che la distanza in questione debba essere uguale a qualche

frazione di millimetro. In realtà, svolgendo rigorosamente i calcoli, si scopre che, paradossalmente,

il suo valore, è uguale a circa 16 centimetri...

Se si indica con C la circonferenza della Terra, all’equatore, il valore del relativo raggio R è dato

dalla formula: R = C/2π. Nel caso in esame, se si indica con R’ il raggio in metri relativo alla

circonferenza della corda allungata, si ha: R’= (C+1)/2π.

Siccome la distanza D cercata è uguale alla differenza dei questi due raggi, si può porre:

D = R’–R = (C+1)/2π–C/2π = C/2π+1/2π–C/2π = 1/2π.

Considerando che π ≈ 3,14, allora si ha: (1/2π) m ≈ (1/6,28) m ≈ 0,16 m ≈ 16 cm.

È interessante notare che il risultato finale non dipende dai valori delle due circonferenze prese in

considerazione, ma solo dalla differenza dei relativi raggi. Di conseguenza, è possibile verificare la

validità della precedente dimostrazione, in maniera pratica, tracciando delle circonferenze di

dimensioni più accessibili di quella dell'equatore terrestre...

Al limite, si può pensare di annullare il cerchio interno e, di prenderne in considerazione solo uno,

di circonferenza uguale a 1 m.

In questo caso, a conferma di quanto esposto in precedenza, la misura del raggio di questa

circonferenza sarebbe uguale a:

R = (1/2π) m ≈ (1/6,28) m ≈ 0,16 m ≈ 16 cm

Gatti e topi (Italo Ghersi, 1913)

Un gatto e mezzo mangiano un topo e mezzo, in un minuto e mezzo. Quanti gatti occorrono per mangiare 60

topi in 30 minuti?

Soluzione

L’enunciato del problema indurrebbe a pensare che, il tempo occorrente per mangiare i topi,

dipende dalla quantità di gatti.

In realtà, il tempo impiegato da un gatto per mangiare un topo non è influenzato dall’eventuale

presenza di altri gatti.

Di conseguenza, se 1,5 gatti mangiano 1,5 topi in 1,5 minuti, vuol dire che, nello stesso intervallo di

tempo, una generica quantità X di gatti mangia un’uguale quantità X di topi.

In particolare, un solo gatto mangia un solo topo in 1,5 minuti.

Quindi, in 30 minuti, un solo gatto mangia: 30/1,5 topi = 20 topi. Per mangiarne 60 (il triplo) nello

stesso tempo, occorrono 3 gatti.

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Il dollaro scomparso (Eugene P. Northrop, 1944)

Tre amici si recano al ristorante. Quando hanno terminato di mangiare, il cameriere presenta loro

un conto di 30 dollari; ovvero: 10 dollari a testa.

I tre protestano, giudicando la somma troppo alta, ma alla fine accettano di pagare. Il cameriere

riferisce la protesta al padrone del ristorante e questo, per quieto vivere, gli consegna 5 dollari, da

rendere ai tre clienti. Ma il cameriere (mariolo...) si mette in tasca 2 dollari e restituisce solo 3

dollari. In pratica, i tre amici finiscono per pagare 27 dollari; ovvero: 9 dollari a testa.

Aggiungendo i 2 dollari trafugati dal cameriere, la spesa totale ammonta a 29 dollari.

Che fine ha fatto l’altro dollaro?

Soluzione

Se si accetta acriticamente l’impostazione del calcolo finale fornita dall’enunciato, questo problema

(un piccolo capolavoro, nel suo genere) sembra proprio inestricabile.

In realtà, i 2 dollari trafugati dal cameriere mariolo sono già compresi nei 27 spesi dai tre amici e

non devono essere ulteriormente conteggiati.

Per far tornare i conti, bisogna semplicemente sommare ai 27 dollari spesi (25 per il pranzo e 2 per

il cameriere) i 3 riavuti indietro (27+3 = 30).

La ninfea invasiva (Anonimo, 1978)

Uno scienziato pone una ninfea geneticamente modificata al centro di un piccolo lago rotondo e

osserva che la pianta raddoppia le proprie dimensioni ogni 24 ore. Al termine di 10 giorni esatti, la

ninfea arriva a ricoprire l’intera superficie del lago.

Quanti giorni ha impiegato, per arrivare a occuparne solo la metà?

Soluzione

Verrebbe spontaneo rispondere che, per occupare la metà del laghetto, la pianta di ninfea ha

impiegato 5 giorni. In realtà, considerando che ogni giorno la superficie da lei occupata raddoppia,

se al 10° giorno la ninfea ha invaso l’intero laghetto, vuol dire che il giorno precedente (il 9°) ne

ricopriva la metà (dato che ogni giorno raddoppia la propria superficie..).

Quindi, per occupare la metà del laghetto, ha impiegato: 9 giorni.

30

Il tarlo bibliofilo

Nello scaffale di una libreria è stata riposta un’opera in tre volumi. Ognuno di questi è composto

da 200 pagine (contando anche le copertine). Un giorno, un tarlo scava un cunicolo che va dalla

prima pagina del primo volume all’ultima pagina del terzo volume.

Quante pagine ha perforato in tutto?

Soluzione

Istintivamente, si tende a pensare che il tarlo abbia forato tutte le pagine dei tre volumi; per cui, la

risposta più spontanea che, in genere, viene fornita è: 600 pagine.

Bisogna considerare, però, che i volumi di una stessa opera vengono solitamente collocati in ordine

progressivo di numerazione, da sinistra verso destra.

Inoltre, quando si ripone un libro in uno scaffale, la sua prima pagina viene a trovarsi a destra di

tutte le altre (come evidenziato dalla seguente figura).

Vol.

1

Vol.

2

Vol.

3

prima pagina ultima pagina del Vol.1 del Vol. 3

Siccome il testo del problema non segnala anomale disposizioni dei tre volumi, il tarlo ha perforato:

la prima pagina del primo, tutte le 200 pagine del secondo e l’ultima pagina del terzo; quindi, in

tutto: (1+200+1) pagine = 202 pagine.

La media ambìta

Per recarsi al lavoro, il signor Guido Lauto percorre in macchina un tragitto di 20 km, ad una

media di 60 km/h. Una mattina, per via del traffico, è costretto a percorrere i primi 10 km del suo

abituale itinerario ad una media di 30 km/h.

A quale velocità dovrebbe andare, in teoria, Guido nei rimanenti 10 km, per mantenere alla fine la

solita media di 60 km/h?

Soluzione

Istintivamente, si tende a risolvere il problema pensando semplicemente che la velocità media

desiderata da Guido (60 km/h) possa essere posta uguale alla media aritmetica tra quella a cui ha

viaggiato (30 km/h) e quella che vorrebbe raggiungere (il valore da trovare).

Per questo motivo, la risposta più spontanea che, in genere, viene fornita è: 90 km/h, essendo:

(90+30)/2 = 60.

In questo modo, però, ci si concentra solo sul valore della velocità, perdendo di vista la ricaduta che

questo ha sul tempo e sullo spazio.

31

Infatti, bisogna, considerare che, viaggiando a 60 km/h, Guido riesce a compiere il proprio tragitto

di 20 km in 20’ esatti.

0 km 10 km 20 km

Spazio percorso in 20’, viaggiando a 60 km/h

procedendo a 30 km/h, invece, ha percorso in 20’ solo i primi 10 km.

0 km 10 km 20 km

Spazio percorso in 20’ viaggiando a 30 km/h

Di conseguenza, per mantenere la solita media (ovvero, per riuscire a compiere sempre un tragitto

di 20 km in 20’), Guido dovrebbe percorrere i rimanenti 10 km in un tempo nullo; cioè, dovrebbe

viaggiare a velocità infinita…

In definitiva, questo problema non ammette una soluzione reale.

Un pasticcio in pentola (Anonimo, 2014)

Il direttore di una fabbrica di articoli per cucina chiede a un suo giovane apprendista di realizzare

una pentola a forma tubolare, di altezza 5 cm, con il raggio di base di 10 cm.

Il ragazzo, però, si confonde e ne confeziona una di altezza 10 cm, con il raggio di base di 5 cm.

Quando il direttore si accorge del pasticcio che ha combinato, lo rimprovera aspramente. Lui,

però, cerca di minimizzare l'accaduto, affermando: «Tutto sommato, queste due pentole possono

contenere la stessa quantità di acqua. Infatti, la loro sezione verticale è la stessa, dato che:

5 cm 10 cm = 50 cm2, ma anche: 10 cm 5 cm = 50 cm

2».

È corretto il suo ragionamento?

Soluzione

Le argomentazioni dell'apprendista sembrerebbero ineccepibili. In realtà, la quantità di acqua che

può contenere la pentola da 10 cm d'altezza è, inaspettatamente, solo la metà di quella che può

contenere la pentola da 5 cm d'altezza.

Infatti, sapendo che il volume di un cilindro è uguale all'area di base per l'altezza, possiamo

calcolare:

– nel primo caso: 2π52 cm

2 10 cm = 50 π cm

2 10 π cm = 500 π cm

3;

– nel secondo caso: 2π102 cm 5 cm = 200π cm

2 5 cm = 1000 π cm

3.

32

ENIGMI CREATIVI

La cisterna (Chiu Chang Suan Shu,150 a.C)

Per riempire una cisterna ci sono tre rubinetti. Il primo impiega 10 ore per riempirla, il secondo

impiega 20 ore e il terzo 60 ore.

Se si aprono tutti e tre i rubinetti, quanto tempo ci metterà la cisterna a riempirsi?

Soluzione

A prima vista, la risoluzione di questo problema appare alquanto intricata. Per ricavarla nel modo

più lineare, conviene osservare l’azione dei tre diversi rubinetti, in uno stesso intervallo di tempo

(ad esempio: un’ora).

Dai dati forniti, possiamo dedurre quanto segue:

– il primo rubinetto, siccome impiega 10 ore a riempire tutta la cisterna, in una sola ora riempie

1/10 di cisterna;

– il primo rubinetto, siccome impiega 20 ore a riempire tutta la cisterna, in una sola ora riempie

1/20 di cisterna;

– il primo rubinetto, siccome impiega 60 ore a riempire tutta la cisterna, in una sola ora riempie

1/60 di cisterna.

Per cui, in un’ora, i tre rubinetti insieme riempiono:

1/10+1/20+1/60 = 10/60 = 1/6 di cisterna.

In definitiva, la cisterna verrà riempita in: 6 ore.

Acqua e vino (Lewis Carroll, 1885)

Si supponga di avere due bottiglie, una contenente un litro di acqua e l’altra contenente un litro di

vino. Si immagini ora di prelevare un centimetro cubo di acqua, di travasarlo nel vino e, dopo aver

mescolato completamente i due liquidi, di ripassare nell’acqua un centimetro cubo della miscela

così ottenuta. Al termine di tale procedura, quindi, le due bottiglie tornano a contenere un litro di

liquido, ciascuna.

A questo punto, la quantità di acqua presente nella bottiglia di vino è maggiore, minore o uguale

della quantità di vino presente nella bottiglia di acqua?

Soluzione

Se si pensa di affrontare la soluzione di questo problema, cercando di interpretare matematicamente

gli effetti di ogni operazione di travaso, si rischia di impelagarsi in una successione di calcoli,

complessa e insidiosa.

Si può ricavare la risposta corretta, molto più rapidamente, considerando che le due bottiglie, alla

fine, tornano a contenere un litro di liquido ciascuna.

33

Di conseguenza, la quantità di liquido originario che manca in ognuna di esse, deve

necessariamente essere stata rimpiazzata con un’uguale quantità dell’altro tipo di liquido.

In definitiva, al termine, si deve riscontrare: tanta acqua nel vino, quanto vino c’è nell’acqua.

Per comprendere meglio questa soluzione, possiamo ipotizzare di avere due recipienti, uno

contenente 45 palline bianche e l’altro contenente 45 palline nere.

Spostiamo 5 palline bianche dal primo al secondo recipiente.

Mescoliamo il contenuto del secondo recipiente.

34

Riportiamo 5 palline, dal secondo al primo recipiente.

Come si vede, il numero delle palline nere presenti nel primo recipiente (4…) è uguale a quello

delle palline bianche presenti nel secondo recipiente (e viceversa)

Infatti, in pratica, da ciascuno dei due recipienti, si è spostata una quantità di palline che è andata a

prendere il posto di un’uguale quantità di palline, spostatasi dall’altro recipiente.

L'età di De Morgan (Augustus De Morgan, 1852)

A chi gli chiedeva l’età, il grande matematico del XIX secolo, Augustus De Morgan, rispondeva:

«Avevo X anni nell’anno X2».

In quale anno nacque De Morgan?

Soluzione

Sembrerebbe non esserci dati sufficienti per risolvere il problema.

In realtà, considerando che l’unico quadrato compreso tra 1801 e 1900 è: 1849 = 4343, l’anno

cercato è uguale a: 1849–43 = 1806.

Il volo della mosca (Charles–Ange Laisant, 1906)

Due treni, che si trovano sullo stesso binario, si mettono contemporaneamente in moto, dirigendosi

uno contro l’altro, il primo alla velocità di 40 km/h, il secondo alla velocità di 60 km/h. Nello stesso

istante una mosca che si era adagiata sulla locomotiva del primo treno, si mette a volare in

direzione dell’altro treno ad una velocità di 80 km/h. Appena arriva a toccarlo, inverte

istantaneamente il proprio senso di marcia e torna verso il treno di partenza. Toccato anche questo

treno, inverte di nuovo il senso di marcia e continua a procedere così, avanti e indietro, da un treno

all’altro finché questi non si scontrano.

Sapendo che, alla partenza, la distanza tra i due treni era di 100 km, quanto spazio avrà percorso

in tutto la mosca, dall’inizio del volo al momento della collisione?

35

Soluzione

Non è assolutamente consigliabile tentare di risolvere il problema seguendo nei dettagli l’azione

descritta. La soluzione può essere trovata in maniera molto più semplice, concentrandosi solo sulla

situazione finale e considerando, in particolare, che lo scontro tra i due treni avverrà esattamente

un’ora dopo la loro partenza. Trascorsa un’ora, infatti un treno avrà percorso 40 km e l’altro 60 km,

annullando così la distanza di 100 km (40+60 = 100) che li divideva all’inizio.

Quindi, dato che la mosca ha viaggiato alla velocità di 80 km/h, in un’ora avrà percorso: 80 km.

La colletta (Anonimo, 1992)

Nel corso di un comizio, al quale stanno assistendo 500 persone, viene lanciata una sottoscrizione

volontaria. Una certa quantità di persone versa 10 euro a testa; una metà delle restanti versa 20

euro a testa, mentre tutti le altre non versano nulla. Quale somma, in tutto, viene raccolta?

Soluzione

Il problema potrebbe sembrare insolubile, per insufficienza di dati.

In realtà, basta considerare che, se la metà di una certa quantità di persone non versa nulla e l’altra

metà versa 20 euro a testa, è come se, in media, ognuna di queste persone versasse 10 euro. In

definitiva, dato che questa è proprio la cifra versata da tutti gli altri, l’incasso totale ammonta a:

50010 euro = 5.000 euro.

Il cubo di cubetti

Un falegname incolla 216 cubetti uguali, in modo da formare un unico cubo più grande (composto

da 6 cubetti per lato).

Poi, vernicia tutta la superficie esterna del cubo grande.

Al termine, quanti cubetti presenteranno almeno una faccetta verniciata?

Soluzione

I cubetti che presentano più di una faccetta verniciata (due o tre) appartengono a più di una faccia

del cubo grande. Quindi, un inventario diretto dei cubetti verniciati dovrebbe essere condotto con

cautela, per evitare di contare più di una volta uno stesso cubetto.

Si può, però, risolvere più facilmente il problema, considerando che i cubetti componenti il cubo

interno (di lato 4) non sono stati verniciati...

Siccome questi sono in tutto: 444 = 64, i restanti (ovvero quelli verniciati) sono:

216–64 = 152

36

Il triangolo rosso

Dato il seguente insieme di figure, come si può determinare l’area del triangolo equilatero grande,

conoscendo solo l’area di quello piccolo, posto al suo interno?

Soluzione

Apparentemente, non sono stati forniti dati sufficienti per inquadrare il problema; quindi, la sua

soluzione appare praticamente impossibile. Il problema, però, può essere risolto molto

semplicemente, se si ha l’intuizione di ruotare il triangolo rosso, come qui indicato.

In questo modo, risulta evidente che ognuno dei tre piccoli triangoli verdi, che si sono venuti a

creare, è uguale a quello rosso. Quindi, l’area dell’intero triangolo equilatero è uguale a: quattro

volte quella del triangolo rosso...

La cornice

Un falegname ha realizzato una cornice quadrata in legno, accostando (come indicato nella

seguente figura), quattro listelli rettangolari identici, ognuno con il perimetro di 50 cm. Quanto

misura l'area del quadrato ABCD?

Soluzione

Come si può notare, ciascun lato del quadrato ABCD è formato dall'unione del lato lungo e di

quello corto di uno dei quattro rettangoli.

Pertanto, la lunghezza di tale lato è uguale al semiperimetro di un rettangolo, ovvero a: 50/2 cm =

25 cm. Di conseguenza, l'area del quadrato ABCD è uguale a: 25x25 cm2 = 625 cm

2.

37

IL LAGO DA BRODO

Supponete che la seguente sagoma azzurra sia la riproduzione di un laghetto, in scala su una cartina, e che il

lato del quadrato, nel quale è inserita, rappresenti una lunghezza di 1 km.

|–––––––––1 km–––––––|

Come è possibile calcolare la area irregolare del laghetto, con buona approssimazione, avendo a disposizione

solo un pacchetto di pastina da brodo, a chicchi molto piccoli?

Soluzione

Fate cadere delicatamente una manciata di pastina sopra il quadrato che racchiude la sagoma azzurra,

cercando di distribuire i chicchi in maniera abbastanza uniforme, aiutandovi con una mano.

|–––––––––1 km–––––––|

Contate il numero di chicchi che si trovano all’interno di tutto il quadrato.

Contate il numero di chicchi che si trovano solo sulla sagoma azzurra.

Dividete questo secondo numero per il precedente e moltiplicate il valore ottenuto per l'area rappresentata dal

quadrato (nel nostro caso, 1 km2).

Il valore risultante può essere considerato una buona approssimazione di quello dell'area del laghetto.

Infatti, in assoluto, tanto più è estesa una determinata area, quanto maggiore è la quantità di chicchi che vi

possono cadere; e viceversa. Questi due valori, quindi, sono in relazione tra loro. Per tale motivo, se

dividiamo il numero di chicchi caduti sulla sagoma azzurra per quello dei chicchi caduti sull'intero quadrato,

otteniamo un valore uguale circa alla porzione di area del quadrato, corrispondente a quella della sagoma

azzurra.

Nel caso in esame, possiamo contare (con un po' di pazienza…): 390 chicchi caduti sull'intero quadrato e 229

soltanto sulla sagoma azzurra.

Dividendo questi due valori, otteniamo: 229/390 ≈ 0,5872.

Siccome alla superficie quadrata è stata attribuita un'area di 1 km2, possiamo affermare che quella del

laghetto è uguale a circa: 0,58721 km2 = 0,5872 km

2.

Nota – Questo metodo può apparire alquanto bizzarro; la logica su cui si basa, però, viene utilizzata

abitualmente in Informatica, per determinare le dimensioni di figure irregolari.

38

Caino e Abele (Anonimo, 1973)

I due fratelli pastori, Caino e Abele, si recano al mercato per vendere delle pecore.

Al termine della giornata, per una bizzarra coincidenza, il numero di pecore vendute risulta

esattamente uguale al prezzo in euro stabilito per ciascuna pecora.

Al momento di spartirsi i proventi, non sapendo fare le divisioni, i due decidono di prelevare a

turno, dall’insieme dei soldi incassati, una banconota da 10 euro a testa, iniziando da Caino.

Al termine di questa serie di operazioni, a Caino tocca l’ultima banconota da 10 euro, mentre

Abele deve contentarsi dell’importo rimanente (inferiore a 10 euro).

«Non è giusto, però; in questo modo, tu guadagni più di me! – protesta Abele – È vero che sei il

mio fratello maggiore, ma le pecore appartenevano a tutti e due…».

«Uffa… non sei mai contento! – bofonchia Caino – vorrà dire che, per pareggiare i conti, ti darò

questo mio coltellino nuovo».

Così detto, Caino consegna ad Abele il proprio coltellino e i due fratelli, tornano a casa soddisfatti.

Quanti euro vale il coltellino?

Soluzione Oggettivamente, sembra che non siano stati forniti dati sufficienti, per risolvere il problema.

Ma, tentando di abbozzare un procedimento risolutivo, si può notare che il numero di euro incassati

dalla vendita delle pecore deve essere un quadrato perfetto.

Infatti, ponendo:

N = numero di pecore = prezzo di una pecora,

la quantità totale di euro incassata è uguale a:

NN = N2.

Inoltre, siccome la spartizione delle banconote da 10 euro è iniziata e finita da Caino, se ne deduce

che il valore di N2 deve essere composto da una quantità dispari di decine.

Fino a questo punto, la situazione sembra ancora alquanto nebulosa.

L’unica strada che appare percorribile è quella di mettersi ad analizzare tutti i quadrati perfetti

composti da un numero dispari di decine... Ma chissà quanti sono!

39

Per cominciare a imbarcarci in tale impresa, possiamo porre:

N = 10X+Y (con Y < 10)

Da qui, elevando al quadrato, otteniamo:

N2 = (10X+Y)

2 = 100X

2 +20XY+Y

2 = 10(10X

2+2XY)+Y

2

Questa ultima notazione mette in evidenza che la quantità di decine di N2 è data da: 10X

2+2XY, più

le decine di Y2.

Siccome 10X2+2XY è sicuramente pari, se ne deduce che:

indipendentemente dal valore di X, il numero di decine di N2 è dispari solo se è dispari anche il

numero di decine di Y2.

Tenendo presente che Y è minore di 10, possiamo analizzare agevolmente tutti i potenziali valori

del suo quadrato. Non senza un certo stupore, possiamo notare che, solo quando la cifra delle unità

di uno di questi quadrati è uguale a 6 (ovvero, solo nei casi: 16 e 36):

02 = 0 1

2 = 1 2

2 = 4 3

2 = 9 4

2 = 16 5

2 = 25 6

2 = 36 7

2 = 49 8

2 = 64 9

2 = 81

Quindi, indipendentemente dall’entità dell’incasso totale, possiamo porre:

N2 = 10D+6 (con D dispari).

Ciò significa che, al termine della spartizione, Abele ha ricevuto 6 euro di spiccioli, e che, di

conseguenza, Caino ha ricevuto 4 euro più di lui.

Per cui, ponendo: C = incasso di Caino e: A = incasso di Abele, abbiamo:

C = A+4.

In definitiva, per poter pareggiare i conti, il coltellino deve avere un valore V tale che:

C–V = A+V;

ovvero (ponendo C = A+4):

A+4–V = A+V,

da cui si ricava facilmente:

V = 2

Morale della favola, il coltellino di Caino vale: 2 euro.

40

MAGIA MATEMATICA

Questa sezione contiene alcuni esempi di giochi di Magia matematica, che costituiscono il ramo più

stimolante e coinvolgente della Matematica ricreativa, risultando molto funzionali anche a livello

didattico.

In particolare, è consigliabile eseguirne qualcuno in classe, senza spiegare il relativo trucco, ma

invitando gli alunni a scoprirlo. L’innata tendenza umana a svelare l’arcano, dovrebbe spingerli ad

applicarsi con impegno in tale ricerca, collegando i concetti astratti con l’esperienza pratica.

Infatti, devono necessariamente interpretare in chiave matematica ogni singolo passo dell’esibizione

alla quale ha assistito.

In linea di massima, ogni semplice regola matematica può prestarsi all’ideazione di un trucco di

questo tipo, purché si riesca a celarla in maniera adeguata. Di conseguenza, questi giochi possono

fornire uno strumento di motivazione allo studio molto più coinvolgente di quell’intricato

guazzabuglio di esercizi puramente astratti, che tradizionalmente deprime e scoraggia la

maggioranza degli studenti di ogni ordine e grado.

La Magia matematica viene anche denominata Matemagica (fusione dell’espressione Matematica

magica ); questo termine, coniato nel 1933 dal mago statunitense Royal V. Healt, è stato ripreso nel

1956 da Martin Gardner nel suo libro: I misteri della magia matematica (Sansoni Editore, 1985).

L’origine di questi giochi, però, è molto più antica e coincide praticamente con l’ideazione dei

primi concetti di algebra lineare.

In Europa, alcuni primi esempi compaiono nel Liber abaci di Leonardo Fibonacci. Una loro

trattazione più estesa e sistematica si trova nel De viribus quantitatis di Luca Pacioli (redatto tra il

1496 e il 1508), la prima grande raccolta di giochi matematici e problemi dilettevoli, di cui si abbia

notizia.

Di questo prezioso volume, ritrovato solo nell’Ottocento, esiste un’unica copia, conservata nella

Biblioteca Universitaria di Bologna. La sua prima traduzione (in inglese) è stata pubblicata nel

2007, circa cinque secoli dopo la sua stesura.

Il manoscritto originale può essere consultato integralmente, collegandosi al sito: www.uriland.it,

curato da Dario Uri, uno dei più grandi esperti di giochi matematici, a livello mondiale.

41

IPNOSI ARITMETICA

Modalità di esecuzione

1. Fotocopiate la seguente immagine e, senza farvi vedere dal pubblico, inseritela in una busta.

2. Fornite ai vostri spettatori le seguenti istruzioni (riportate in corsivo), specificando che ognuno di

loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri.

a) Pensate a un numero intero compreso tra 2 e 10.

b) Moltiplicate questo numero per 9.

c) Sommate le due cifre del risultato ottenuto.

d) Sottraete 5 dal valore risultante.

e) Individuate la lettera che nell’alfabeto occupa la posizione corrispondente al valore risultante.

3. Per maggiore chiarezza, esplicitate i seguenti abbinamenti:

1A; 2B; 3C; 4D; 5E; 6F; 7G; 8H; 9I).

4. Affermate che voi avete ottenuto come risultato: 6 e che, quindi, dovete prendere in

considerazione sarebbe la lettera: F.

f) Pensate al nome italiano di una nazione europea che inizi con tale lettera.

5. Fate notare che, nel vostro caso, ci sarebbero le seguenti tre opzioni:

F FÆRØER, FINLANDIA, FRANCIA

e dichiarate di scegliere: FRANCIA

g) Osservate la terza lettera della parola scelta e pensate al nome di un colore che inizi con tale

lettera.

6. Fate notare che, nel vostro caso, essendo: FRANCIAA, si sarebbero le seguenti quattro

opzioni: AANTRACITE, ARANCIO, AVANA, AZZURRO

e dichiarate di scegliere: AZZURRO

h) Osservate la terza lettera di questa nuova parola e pensate al nome di un mammifero africano

che inizi con tale lettera.

7. Fate notare che, nel vostro caso, essendo: AZZURROZ, ci sarebbero le seguenti tre opzioni:

ZZEBRA, ZEBÙ, ZORILLA

e dichiarate di scegliere: ZEBRA.

8. Aggiungete, poi: «Voi, invece, avete scelto tutti… »; così dicendo, estraete dalla busta

l'immagine che ritrae il rinoceronte nero in Danimarca e mostratela al pubblico.

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Spiegazione del trucco

In base al noto criterio di divisibilità per 9, sommando le cifre di un multiplo di 9 e ripetendo

eventualmente questa operazione sulle cifre risultanti, si ottiene 9 (o un altro multiplo di nove,di

valore più basso del precedente).

Per questo motivo, sommando le cifre del risultato della moltiplicazione tra 9 e un numero intero

compreso tra 2 e 10, si ottiene, in ogni caso: 9.

Sottraendo 5 da 9, si ottiene: 4.

La lettera che nell’alfabeto occupa la 4a posizione è la D.

L'unico nome italiano di una nazione europea che inizia con la D è la DANIMARCA.

La terza lettera di DANIMARCA è la N e il primo colore, il cui nome inizia con tale lettera, a cui

si pensa spontaneamente è: NERO.

La terza lettera di NERO è la R e il primo mammifero africano, il cui nome inizia con tale lettera,

a cui si pensa spontaneamente è: RINOCERONTE…

Approfondimento

Il criterio di divisibilità per 9, che in genere si impara acriticamente, può essere dimostrato piuttosto

semplicemente.

Innanzi tutto, bisogna tener presente che la moltiplicazione è un’addizione ripetuta e che, quindi,

ogni multiplo di 9 si ottiene addizionando un 9 al multiplo precedente.

N9 = 9+9+9+…+9

|___________|

N volte

In secondo luogo, bisogna considerare che, siccome: 9 = 10–1, aggiungere 9 a un determinato

numero equivale ad incrementare di 1 il valore delle sue decine e a decrementare di 1 quello delle

sue unità, mantenendo immutata, quindi, la somma di questi due valori (dato che: +1–1 = 0).

Si può visualizzare più chiaramente questo concetto, ricorrendo al codice analogico.

Tracciamo due griglie, associando quella di sinistra alle decine e quella di destra alle unità.

All'inizio, inseriamo 9 pallini nella griglia delle unità. La situazione di partenza (0 decine e 9 unità),

quindi, rappresenta il numero 9 (ovvero, il multiplo: 91).

Sommiamo 9 al numero precedente, inserendo un pallino nella griglia delle decine e togliendone

uno da quella delle unità (ovvero eseguendo: 9+10–1).

43

La quantità globale di pallini presente delle due griglie è rimasta uguale a 9; mentre la nuova

situazione (1 decina e 8 unità), rappresenta il numero 18 (ovvero, il multiplo: 92).

Sommiamo 9 al numero precedente, inserendo un pallino nella griglia delle decine e togliendone

uno da quella delle unità (ovvero eseguendo: 18+10–1).

La quantità globale di pallini presente delle due griglie è rimasta uguale a 9; mentre la nuova

situazione (2 decine e 7 unità), rappresenta il numero 27 (ovvero, il multiplo: 93).

Sommiamo 9 al numero precedente, inserendo un pallino nella griglia delle decine e togliendone

uno da quella delle unità (ovvero eseguendo: 27+10–1).

La quantità globale di pallini presente delle due griglie è rimasta uguale a 9; mentre la nuova

situazione (3 decine e 6 unità), rappresenta il numero 36 (ovvero, il multiplo: 94).

Nota – Ovviamente, questo particolare procedimento è valido finché non si esaurisce la quantità di

unità (9 decine+0 unità 90). A quel punto, per aggiungere 9 dobbiamo inserire altrettanti pallini

nella griglia delle unità, avendone 18 in tutto (che è, comunque, un multiplo di 9; in quanto: 1+8 =

9).

La stessa situazione si ripresenterà tutte le volte in cui la quantità di unità sarà nuovamente uguale a

zero (180, 270, 360, e così via…). Il procedimento, però, potrà riprendere sempre con la stessa

logica, riuscendo a mantenere immutata ogni nuova quantità di pallini (uguale, comunque, a un

multiplo di 9).

Tabellina digitale

Sullo stesso principio, si basa un’altra sorprendente curiosità, che può essere così illustrata.

Aprite le mani di fronte a voi e assegnate mentalmente alle dita i valori da 1 a 10.

Immaginate, ora, di non ricordare più la «tabellina del 9» (ovvero, l’insieme dei risultati delle

moltiplicazioni di 9 per i numeri compresi tra l a 10).

Per ricavare uno qualsiasi di questi valori non dovete far altro che piegare il dito corrispondente al

numero (compreso tra 1 e 10): il risultato sarà miracolosamente scritto sulle vostre mani!...

44

Infatti, la quantità di dita che si verranno a trovare a sinistra del dito piegato, rappresenteranno le

decine del risultato desiderato e quelle a destra le rispettive unità.

Ad esempio, se volete moltiplicare il 9 per 4, dovete piegare il 4° dito.

\

A sinistra del dito piegato ci sono 3 dita, mentre a destra ce ne sono 6; quindi: 3 decine e 6 unità

(ovvero: 36). In definitiva: 94 = 36.

Se, invece, volete calcolare 98, con lo stesso procedimento, dovete piegare l’8° dito.

Adesso, a sinistra del dito piegato ci sono 7 dita, mentre a destra ce ne sono 2; quindi: 7 decine e 2

unità (ovvero: 72). In definitiva: 98 = 72.

Analogamente a quanto esposto prima, questo metodo funziona perché (procedendo da sinistra

verso destra), ogni volta che si piega un nuovo dito, si elimina un’unità e si aggiunge una decina,

rispetto alla situazione precedente. La seguente tabella dovrebbe chiarire tale meccanismo.

45

I SETTE CARTONCINI MAGICI

Modalità di esecuzione

1. Fotocopiate le sette tabelline riprodotte qui sotto; incollatele su un cartoncino rigido e ritagliatele

lungo i bordi.

46

2. Disponete sul tavolo i sette cartoncini così ottenuti e invitati vostri spettatori a pensare un numero

compreso tra 1 e 99.

3. Chiedete a uno spettatore di indicarvi i cartoncini che contengono il suo numero.

4. Date una rapida occhiata a questi cartoncini e, senza alcuna esitazione, indovinate il numero a cui

ha pensato!

5. Potete replicare la stessa performance, con altri spettatori, una quantità di volte a vostro piacere...

Accorgimenti da seguire

Per individuare il numero scelto dallo spettatore, dovete semplicemente fare la somma dei valori

che compaiono al primo posto (in alto a sinistra) su ciascuno dei cartoncini indicati.

Se, ad esempio, il suo numero compare nei cartoncini:

– B (dove al primo posto c’è il 2)

– D (dove al primo posto c’è 1’8)

– G (dove al primo posto c’è il 64)

il numero da lui pensato è: 74, dato che: 2+8+64 = 74.

Spiegazione del trucco

Questo gioco si basa sul fatto che ogni numero intero può essere espresso come somma di un

insieme di potenze di 2.

Ciascuno dei sette cartoncini, quindi, è stato associato a una determinata potenza di 2, nel modo qui

di seguito esposto.

Cartoncino | Potenza .

A | 20 = 1

B | 21 = 2

C | 22 = 4

D | 23 = 8

E | 24 = 16

F | 25 = 32

G | 26 = 64

In ciascun cartoncino, sono stati inseriti tutti i numeri interi, compresi tra 1 e 99 che, nel proprio

sviluppo in potenze di 2, contengono proprio quella ad esso associata.

Ad esempio, alcuni numeri inseriti nel 4° cartoncino (associato alla potenza 23

= 8), sono:

9 = 20+ 2

3 = 1+8

44 = 22+2

3+2

5 = 4+8+32

75 = 20+ 2

1+ 2

2+ 2

3 + 2

6 = 1+2+4+8+64

In questo modo, sapendo in quali cartoncini compare un determinato numero, si vengono a

conoscere tutte le potenze di 2 che ne costituiscono il relativo sviluppo. Per tale motivo, sommando

tali potenze, si ottiene il valore del numero in questione.

L'individuazione dei valori da sommare è semplificata dal fatto che, in ciascun cartoncino, il

numero corrispondente alla potenza di 2 ad esso associata, compare sempre al primo posto in alto a

sinistra (in quanto, coincide sempre con il numero di valore più basso, in esso presente).

47

UN CALCOLO PEDESTRE

Modalità di esecuzione

1. Impartite ai vostri spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro

dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri):

a) scrivete il vostro numero di scarpe, senza prendere in considerazione eventuali mezze misure

(ad esempio: 37);

b) moltiplicate per 100 questo numero (37100 = 3700);

c) sottraete dal numero così ottenuto il vostro anno di nascita (ad esempio: 2001 e, quindi: 3700–

2001 = 1699);

2. A questo punto chiedete a uno spettatore di comunicarvi il risultato che ha ottenuto e, dopo pochi

secondi, siete in grado di indovinare il numero di scarpe che porta e l’età che ha compiuto (o che

compirà nell’anno in corso).

3. Potete replicare la stessa performance, con altri spettatori, una quantità di volte a vostro piacere...

Accorgimenti da seguire

Per riuscire in tale impresa, dovete effettuare (preferibilmente a mente...) la somma tra il valore

dell’anno in corso e il numero che vi viene, di volta in volta, comunicato. Se tutti i calcoli sono stati

eseguiti correttamente, ogni risultato sarà costituito da quattro cifre: le prime due indicheranno il

numero di scarpe, mentre le altre due indicheranno gli anni di età.

Nell’esempio precedente, supponendo che l’anno in corso sia il 2015, otterreste:

1699+2015 = 3714 37 |14 (scarpe = 37, età = 14 anni).

Spiegazione del trucco Se chiamiamo S il numero di scarpe dello spettatore, A il suo anno di nascita e N il risultato che ha

comunicato, la sequenza di istruzioni fornita genera la seguente relazione:

N = S100–A

Se, inoltre, chiamiamo C l’anno in corso e aggiungiamo questo valore a quello di N, otteniamo:

R = N+C = S100–A+C = S100+(C–A)

Considerando che l’età E di una persona è uguale alla differenza tra l’anno in corso e quello di

nascita, possiamo porre E = C–A ; quindi, l’equazione precedente diventa:

R = S100+(C–A) = S100+E

In definitiva:

– le prime due cifre del numero da voi calcolato corrispondono al valore di S (il numero di scarpe);

– le ultime due cifre dello stesso numero corrispondono al valore di E (l’età).

48

ACQUA E VINO (gioco ispirato all'omonimo enigma di Lewis Carroll)

Modalità di esecuzione

1. Prendete un mazzo di 40 carte e, dopo averlo mescolato e fatto mescolare più volte, prelevate le

prime 20 carte.

2. Girate a faccia in alto queste 20 carte e inseritele tra le altre 20.

3. Mescolate e fate mescolare più volte il mazzo così composto in modo che le carte scoperte si

distribuiscano casualmente tra le altre coperte.

4. Porgete il mazzo a uno spettatore e chiedetegli di prelevare nascostamente un insieme di 20 carte,

a sua scelta (lasciando ciascuna carta nel verso in cui si trova).

5. Fatevi consegnare il mazzetto di 20 carte così selezionato e sottolineate che voi non potete

assolutamente sapere quante carte scoperte contiene, né tanto meno potete sapere quante ne

contiene il mazzetto rimasto in mano allo spettatore.

6. Nascondete il vostro mazzetto (dietro la schiena o sotto il tavolo) e manipolatelo per alcuni

secondi.

7. Annunciate che, per effetto delle operazioni da voi compiute, nel vostro mazzetto ora ci sono

tante carte scoperte, quante ce ne sono in quello dello spettatore.

8. Chiedete allo spettatore di contare quante carte scoperte sono presenti nel suo mazzetto e

mostrate che il vostro mazzetto ne contiene una quantità identica (e il pubblico presente griderà al

miracolo...).

Che cosa dovete fare, per compiere un simile prodigio?

Accorgimenti da seguire

Per tramutare una quantità d’acqua in un’equivalente quantità di vino, sarebbe necessario un

miracolo di...vino. Per far sì nel vostro mazzetto tutte le carte scoperte diventino coperte (e

viceversa), dovete semplicemente ribaltarlo nascostamente…

Spiegazione del trucco

Siccome la quantità delle vostre carte coperte è uguale a quella delle carte scoperte dello spettatore,

effettuando questa mossa, avrete tante carte scoperte, quante ne ha lo spettatore. Infatti, se nel

mazzetto dello spettatore ci sono X carte scoperte, le rimanenti 20–X saranno coperte. Dato che ci

sono in totale 20 carte scoperte e 20 coperte, il vostro mazzetto deve contenere: 20–X carte scoperte

e: 20–(20–X) = X carte coperte.

La seguente tabellina dovrebbe chiarire il senso di quanto esposto.

prima del ribaltamento dopo il ribaltamento

coperte scoperte coperte scoperte

spettatore 20–X X 20–X X

voi X 20–X 20–X X

49

IL TRIANGOLO ASSURDO (di Paul Curry)

Modalità di esecuzione

1. Eseguite delle fotocopie delle quattro forme geometriche, riprodotte qui di seguito; incollatele su

un cartoncino rigido e ritagliatele lungo i bordi.

2. Disponetele le quattro forme sul tavolo, combinandole nel seguente modo.

3. Fate notare che la figura così composta corrisponde a un triangolo rettangolo, con un'altezza pari

a 5 segmenti unitari e una base uguale a 13 di questi segmenti.

4. Disfate il triangolo precedente e disponete le quattro forme in quest'altro modo.

5. Fate notare che la figura così composta corrisponde a un triangolo rettangolo, che ha la stessa

base e la stessa altezza di quello precedente, ma anche un vistoso buco al centro...

Spiegazione del trucco

I due triangoli rettangoli ritagliati all'inizio non sono simili, come potrebbe sembrare a prima vista.

Misurandoli con precisione, si può notare che, in quello più piccolo, l’angolo formato dall’ipotenusa

e dal cateto maggiore è leggermente più grande del corrispondente angolo dell’altro triangolo.

Di conseguenza, la prima figura composta non corrisponde a un vero triangolo rettangolo, ma a un

quadrilatero, i cui due lati apparentemente paralleli formano in realtà un’inavvertibile concavità

verso l’interno. Per gli stessi motivi, neanche la seconda figura composta corrisponde a un vero

triangolo rettangolo, ma a un quadrilatero, i cui due lati apparentemente paralleli formano in realtà

un’inavvertibile concavità verso l’esterno.

Si può verificare che l’area dell'impercettibile figura romboidale, compresa tra la concavità e la

convessità dei due quadrilateri così formati, è uguale a quella di un quadretto unitario e che, quindi,

compensa esattamente lo spazio vuoto che si è creato nel secondo di essi.

50

L'INCREDIBILE PREVISIONE

Modalità di esecuzione

1. Ponete sul tavolo un anello di carta, contenente una previsione numerica.

2. Chiedete ai vostri spettatori di pensare a un numero dispari, compreso tra 1 e 10 e di dirlo ad alta

voce, tutti insieme.

3. Aiutandovi eventualmente con una calcolatrice elettronica, determinate l’inverso del numero che

è stato scelto a maggioranza dal pubblico.

4. Comunicate ai vostri spettatori le prime sei cifre dello sviluppo decimale del numero così

ottenuto.

5. Porgete a uno spettatore un comune dado a sei facce e chiedetegli di lanciarlo.

4. Invitatelo a moltiplicare il valore del punto uscito, per il numero che avevate prima comunicato

5. Prendete l’anello di carta e strappatelo in un punto.

6. Mostrate al pubblico il numero che appare sulla striscia di carta risultante e fate notare che

coincide esattamente con il risultato della moltiplicazione appena eseguita.

Accorgimenti da seguire

Prima di dare inizio al gioco, dovete scrivere su una striscia di carta il numero 142857.

Piegate poi tale striscia, in modo che il numero scritto si trovi al suo interno e incollatene i margini

(badando che all’interno dell’anello così formato, ci sia sempre un'analoga spaziatura, tra ogni

coppia di cifre contigue). Infine, appiattite l’anello e ponetelo sul tavolo.

Successivamente, mentre lo spettatore sta eseguendo la moltiplicazione da voi indicata, dovete

osservare il valore della prima cifra ottenuta come risultato (quella delle unità). Se tutte le

operazioni sono state svolte correttamente, la cifra in questione si trova sicuramente all’interno del

vostro anello. Quindi, dovete avere l’accortezza di strapparlo nel punto che separa tale cifra da

quella posta alla sua sinistra.

Spiegazione del trucco Il numero dispari compreso tra 1 e 10, che viene scelto con maggiore probabilità, è 7.

Il valore formato dalle prime sei cifre della parte decimale di 1/7 = 0, 142847142857… è:

142857

Questo singolare numero possiede diverse proprietà magiche. In particolare, se viene moltiplicato

per un valore compreso tra 1 e 6, si ottiene come risultato un numero composto dalle stesse cifre,

disposte ciclicamente nel medesimo ordine.

1×142.857 = 142.857

2×142.857 = 285.714

3×142,857 = 428.571

4×142.857 = 571.428

5×142.857 = 714.285

6×142.857 = 857.142

Considerando che i punti di un dado normale sono compresi tra 1 e 6, il risultato della

moltiplicazione eseguita dallo spettatore sarà composto sicuramente dalle cifre 1, 4, 2, 8, 5, 7,

disposte in maniera ciclica (indipendentemente dal valore ottenuto, lanciando il dado).

51

L’INDOVINO VINCENTE

Modalità di esecuzione

1. Procuratevi un insieme di dieci carte da gioco, composto nove carte di valore dall’1 (asso) al 9 e

da da un Jolly (valore 0).

2. Porgete le dieci carte a uno spettatore e chiedigli di disporle sul tavolo, in fila orizzontale, nel

modo che ritiene più opportuno.

3. Comunicategli che, a turno, ognuno di voi due dovrà togliere una sola carta da una delle estremità

della fila; vincerà chi, alla fine, sarà riuscito a conseguire il totale più alto, sommando i valori delle

cinque carte prese (il pareggio non è possibile, perché la somma di tutti i valori in gioco, 45, è

dispari).

4. Fate presente allo spettatore che, per bilanciare il vantaggio concessogli nel lasciarlo libero di

scegliere la disposizione delle carte, l’effettuazione della prima mossa spetta a voi.

5. Prima di dare inizio al gioco, annunciate che vincerete sicuramente la sfida, pronosticando anche

il punteggio che riuscirete a conseguire.

Supponiamo, ad esempio, che lo spettatore abbia disposto le carte nel seguente modo.

2 6 4 3 8 1 0 5 9 7

Dopo aver dato una rapida occhiata alla situazione, annunciate che vincerete: 23 a 22.

Poi, date inizio al gioco, prendendo la prima carta a sinistra (il 2). Successivamente, le vostre mosse

si alterneranno in un modo analogo a quanto qui di seguito indicato (dove: A = voi; B = spettatore).

Mossa Carte sul tavolo Punti

A 2 6 4 3 8 1 0 5 9 7 2

B 6 4 3 8 1 0 5 9 7 7

A 6 4 3 8 1 0 5 9 9+2 = 11

B 6 4 3 8 1 0 5 6+7 = 13

A 4 3 8 1 0 5 4+11 = 15

B 3 8 1 0 5 5+13 = 18

A 3 8 1 0 0+15 = 15

B 3 8 1 3+18 = 21

A 8 1 8+15 = 23

B 1 1+21 = 22

6. A questo punto, fate notare che, non solo avete vinto, ma che avete anche centrato in pieno il

risultato pronosticato!

Accorgimenti da seguire

All’inizio, dopo che lo spettatore ha disposto le dieci carte, dovete calcolare mentalmente la somma

dei valori delle carte di posto pari e quella delle carte di posto dispari, valutando quale delle due è

più alta. Nell’esempio precedente, la somma più alta corrisponde ai valori delle carte di posto

dispari, come qui di seguito evidenziato.

52

Carte 2 6 4 3 8 1 10 5 9 7 Somma

Dispari 2 – 4 – 8 – 10 – 9 – 23

Pari – 6 – 3 – 1 – 5 – 7 22

Come valore di previsione, quindi, dovete annunciare proprio quello della somma così rilevata (nel

nostro caso: 23).

Se la somma più alta è data dalle carte di posto dispari, dovete iniziare a giocare prendendo la carta

che si trova all’estremità sinistra (di posto dispari); altrimenti, dovete prendere quella che si trova

all’estremità destra (di posto pari).

Per questo motivo, nell’esempio precedente (dove la somma di valore più alto corrispondeva alle

posizioni dispari), avete dovuto prendere la carta che si trovava all’estremità sinistra.

Successivamente, dovete prelevare, ogni volta, la carta che si trova nella posizione attigua a quella

della carta che ha appena preso il vostro avversario.

Spiegazione del trucco

Dopo aver individuato in quale delle due posizioni (pari o dispari) si trovano le carte che

forniscono la somma più alta, il trucco consiste nel riuscire a prendere tutte le carte che si trovano

proprio in quella posizione, forzando l’avversario a prendere le altre.

Di conseguenza, se si toglie all’inizio la carta che si trova nella posizione prescelta (pari o

dispari), alla mossa successiva l’avversario può prendere solo una carta che si trova nell’altra

posizione (dispari o pari), indipendentemente dall’estremità che sceglie.

I due schemi seguenti (dove P = pari; D = dispari) dovrebbero chiarire tale concetto.

P D P D P D P D P

1° caso: tolta la carta di posto dispari, è possibile prendere

solo una carta di posto pari

D P D P D P D P D

2° caso: tolta la carta di posto pari, è possibile prendere

solo una carta di posto dispari

Per ripristinare una situazione analoga a questa, dopo che l’avversario ha tolto la propria carta (in

posizione obbligata), si deve prendere quella (l’unica) che si trova nell’insieme di somma maggiore,

individuato all’inizio.

Siccome, accanto a una posizione di un certo tipo (pari o dispari) ce n’è sempre ovviamente una

dell’altro tipo (dispari o pari), per compiere una simile mossa, in maniera automatica, basta

prendere ogni volta la carta che si trova nella posizione attigua a quella della carta che ha appena

preso l’avversario.

53

IL QUADRATO MAGICO

Modalità di esecuzione

1. Disegnate su una lavagna (o su un foglio grande), lo schema vuoto di una matrice quadrata, di

dimensioni 4x4, analogo al seguente.

2. Chiedete a uno spettatore di scegliere un numero intero, maggiore di 30, e di scriverlo su un

foglietto, senza farlo vedere agli altri.

3. Guardate il numero scritto dallo spettatore, ripiegate il foglietto e chiudetelo in una busta.

4. In ciascuna delle sedici caselle della matrice, scrivete un diverso numero intero, a vostro

completo arbitrio.

Supponiamo, ad esempio, che lo spettatore abbia scelto il numero 50 e che voi abbiate riempito la

matrice nel seguente modo:

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

5. Invitate gli altri spettatori a scegliere, di comune accordo, uno qualsiasi dei sedici numeri

contenuti nella matrice.

6. Evidenziate il numero che vi viene comunicato e cancellate tutti quelli che si trovano lungo la sua

stessa riga e la sua stessa colonna. Nel caso in esame, se viene scelto, ad esempio il numero 6,

dovete generare una configurazione analoga alla seguente:

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

7. Continuate, invitando il pubblico a scegliere uno dei numeri che non avete cancellato (nel caso in

esame: 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20).

54

8. Come prima, evidenziate il numero che vi viene comunicato e cancellate tutti quelli che si

trovano lungo la sua stessa riga e la sua stessa colonna. Nel caso in esame, se viene scelto, ad

esempio, il numero 15, dovete generare una configurazione analoga alla seguente:

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

9. Invitate di nuovo il pubblico a scegliere uno dei numeri che non avete ancora cancellato (nel caso

in esame: 9, 12, 17, 20).

10. Ancora una volta, evidenziate il numero che vi viene comunicato e cancellate tutti quelli che si

trovano lungo la sua stessa riga e la sua stessa colonna. Nel caso in esame, se viene scelto, ad

esempio, il numero 12, dovete generare una configurazione analoga alla seguente:

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

11. Essendo rimasto un numero solo (nel caso in esame: 17), evidenziatelo direttamente, in quanto

la scelta sarebbe obbligata:

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

12. Eseguite la somma dei quattro numeri scelti (nel caso in esame: 6+15+12+17 = 50), aprite la

busta e mostrate al pubblico che, prodigiosamente, il valore così ottenuto coincide con quello che

aveva scelto all’inizio lo spettatore (nel caso in esame: 50, appunto...).

55

Accorgimenti da seguire

Dopo aver conosciuto il valore N scelto dallo spettatore dovete eseguire le seguenti operazioni.

Calcolate (possibilmente a mente) il quoziente intero della divisione: (N–30)/4.

Ponete il valore ottenuto nella prima casella in alto a sinistra della matrice e riempite le altre

caselle, in base alle seguenti indicazioni.

– Se il resto della divisione che avete eseguito è uguale a 0, dovete scrivere i numeri nelle caselle,

procedendo da sinistra verso destra e dall’alto verso il basso, aumentando ogni volta di un’unità il

valore precedente (in maniera rigorosa, senza alcuna discontinuità).

Se, ad esempio, venisse scelto: N=34, il risultato della divisione sarebbe: (34–30)/4 = 1, con il resto

di 0; quindi, dovreste riempire la matrice nel seguente modo.

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

– Se il resto della divisione che avete eseguito è diverso da 0, dovete scrivere i numeri in maniera

analoga alla precedente, badando a saltare, però, un’unità all’inizio della riga il cui numero di

posizione, a contare dal basso, è uguale al resto ottenuto.

Ad esempio, se venisse scelto: N=35, il risultato della divisione sarebbe: (35–30)/4 = 1, con il resto

di 1; quindi, dovreste saltare un’unità all’inizio della 1a riga a contare dal basso, come indicato

nello schema seguente.

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

14 15 16 17

Se, invece, venisse scelto: N=36, il risultato della divisione sarebbe: (36–30)/4 = 1, con il resto di 2;

quindi, dovreste saltare un’unità all’inizio della 2a riga a contare dal basso, come indicato nello

schema seguente.

1 2 3 4

5 6 7 8

10 11 12 13

14 15 16 17

56

Se, infine, venisse scelto: N=37, il risultato della divisione sarebbe: (37–30)/4 = 1, con il resto di 3;

quindi, dovreste saltare un’unità all’inizio della 3a riga a contare dal basso, come indicato nello

schema seguente.

1 2 3 4

6 7 8 9

10 11 12 13

14 15 16 17

N.B.: Se qualche spettatore vi dovesse chiedere come mai avete saltato un’unità nel riempire la

matrice, potreste candidamente rispondere che vi siete distratti, ma che cercherete di far riuscire il

gioco ugualmente...

Spiegazione del trucco

È evidente che, perché il gioco riesca sempre, bisogna riuscire a riempire le caselle della matrice in

maniera tale che, ogni possibile insieme di quattro numeri, scelti in modo da averne uno solo in

ogni riga e in ogni colonna, generi sempre la stessa somma. Per ottenere un simile risultato, è

necessario inserire in ogni casella della matrice un valore uguale alla somma di due costanti, una

relativa alla sua riga e l’altra alla sua colonna, come qui di seguito indicato.

x y z w

a a+x a+y a+z a+w

b b+x b+y b+z b+w

c c+x c+y c+z c+w

d d+x d+y d+z d+w

Con tale impostazione, ogni possibile insieme di quattro numeri, scelti in modo da non averne più

di uno in ogni riga e in ogni colonna, genererà una somma uguale a quella di tutte le costanti

assegnate alle righe e alle colonne, come qui di seguito esplicitato:

x y z w x y z w

a a+x a+y a+z a+w a a+x a+y a+z a+w

b b+x b+y b+z b+w b b+x b+y b+z b+w

c c+x c+y c+z c+w c c+x c+y c+z c+w

d d+x d+y d+z d+w d d+x d+y d+z d+w

S1 = a+x+b+y+c+z+d+w = S2 = a+y+b+w+c+x+d+z =

= a+b+c+d+x+y+z+w = a+b+c+d+x+y+z+w

57

Il trucco, quindi, consiste nel riuscire a costruire una matrice del genere, facendo in modo che la

somma delle costanti assegnate alle righe e alle colonne sia uguale al numero N, scelto dallo

spettatore all’inizio.

In teoria, è possibile raggiungere un simile obiettivo, adottando vari sistemi. Il metodo più semplice

e veloce, però, consiste nel porre un valore nella casella in alto a sinistra e riempire poi le altre

caselle con valori incrementati di un’unità alla volta. In questo modo, si attribuiscono

automaticamente le costanti: 0, 1, 2, 3 alle colonne e le costanti: a, a+4, a+8, a+12 alle righe:

0 1 2 3

a a a+1 a+2 a+3

a+4 a+4 a+5 a+6 a+7

a+8 a+8 a+9 a+10 a+11

a+12 a+12 a+13 a+14 a+15

Sommando tutte le costanti di questa matrice, si ottiene:

S = 0+1+2+3+a+a+4+a+8+a+12 = 4a+30.

Quindi, una volta conosciuto il numero N scelto dallo spettatore, si può ricavare il valore da inserire

nella prima casella in alto a sinistra, ponendo: N =4a+30 e ricavando: a = (N–30)/4.

Questo ragionamento è valido, però, solo se la divisione effettuata dà come resto 0. In caso

contrario, bisogna modificare opportunamente i valori di alcune costanti, per compensare la

differenza mancante. Un modo piuttosto semplice per raggiungere uno scopo del genere può essere

quello qui di seguito indicato.

– Se il resto è uguale a 1 (ovvero, se N=4a+31), si incrementa di un’unità la costante relativa

all’ultima riga (in pratica, ciò si ottiene saltando un’unità all’inizio della 1a riga a contare dal

basso), portandola ad assumere il valore a+13.

0 1 2 3

a a a+1 a+2 a+3

a+4 a+4 a+5 a+6 a+7

a+8 a+8 a+9 a+10 a+11

a+13 a+13 a+14 a+15 a+16

In questo modo, la somma di tutte le costanti della matrice diventa:

S = 0+1+2+3+a+a+4+a+8+a+13 = 4a+31 = N

58

– Se il resto è uguale a 2 (ovvero, se N=4a+32), si incrementano di un’unità le costanti relative

all’ultima e alla penultima riga (in pratica, ciò si ottiene saltando un’unità all’inizio della 2a riga a

contare dal basso) portandole ad assumere rispettivamente i valori a+9 e a+13.

0 1 2 3

a a a+1 a+2 a+3

a+4 a+4 a+5 a+6 a+7

a+9 a+9 a+10 a+11 a+12

a+13 a+13 a+14 a+15 a+16

In questo modo, la somma di tutte le costanti della matrice diventa:

S= 0+1+2+3+a+a+4+a+9+a+13 = 4a+32 = N.

– Se il resto è uguale a 3 (ovvero, se N=4a+33), si incrementano di un’unità le costanti relative

all’ultima, alla penultima e alla terzultima riga (in pratica, ciò si ottiene saltando un’unità all’inizio

della 3a riga a contare dal basso), portandole ad assumere rispettivamente i valori a+5, a+9 e a+13.

0 1 2 3

a a a+1 a+2 a+3

a+5 a+5 a+6 a+7 a+8

a+9 a+9 a+10 a+11 a+12

a+13 a+13 a+14 a+15 a+16

In questo modo, la somma di tutte le costanti della matrice diventa:

0+1+2+3+a+a+5+a+9+a+13= 4a+33 = N.

N.B.: Se il numero N scelto dallo spettatore fosse minore di 30, il risultato della differenza: N–30

sarebbe negativo. Il gioco potrebbe essere eseguito ugualmente, ma sarebbe molto più scomodo da

gestire.

59

I QUATTRO ASSI

Modalità di esecuzione

1. Procuratevi un mazzo di carte. Mescolatelo più volte; poi, prelevate dalla cima sedici carte e

disponetele coperte sul tavolo, in modo da formare un quadrato 44.

2. Annunciate che girerete quattro delle carte poste sul tavolo e che queste saranno degli assi.

3. Ribaltate le quattro carte che si trovano nelle posizioni qui di seguito indicate e, mostrando un

vivo disappunto, riconoscete che neanche una di queste è un asso.

4. A vostra parziale giustificazione, affermate che gli assi sono delle carte molto riservate, che non

amano mostrarsi; voi però, conoscete un sistema per vincere la loro ritrosia e lo metterete in pratica.

5. Prendete tutte le carte che si trovano sulla quarta colonna e ribaltatele su quelle della terza.

6. Prendete tutte le carte che si trovano sulla prima colonna e ribaltatele su quelle della seconda.

7. Prendete tutte le carte che si trovano nella colonna di destra e ribaltatele su quelle della colonna

di sinistra.

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8. Prendete tutte le carte che si trovano nel mazzetto in cima alla colonna così formata e ribaltatele

su quelle del mazzetto sottostante.

9. Prendete tutte le carte che si trovano nel mazzetto in fondo alla colonna così formata e ribaltatele

su quelle del mazzetto soprastante.

9. Prendete tutte le carte che si trovano nel mazzetto superiore, tra i due rimasti, e ribaltatele su

quelle dell'altro mazzetto.

10. In questo modo, otterrete un solo mazzetto di sedici carte. Fate notare al pubblico che dodici di

queste sono scoperte, mentre solo quattro sono rimaste coperte. Isolate queste quattro carte, giratele

e mostrate che sono quattro assi!

Accorgimenti da seguire

Prima di iniziare, sistemate nascostamente i quattro assi sulla cima del mazzo completo, badando a

non coinvolgerli, nelle successive operazioni di mescolamento. Poi, quando calate le sedici carte

coperte sul tavolo, dovete disporre le prime quattro (gli assi) nelle posizioni qui evidenziate con

degli asterischi. Il resto funziona da solo. Ma perché?...

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Spiegazione del trucco

Per capire come funziona il gioco, immaginiamo di eseguirlo partendo dalle sedici carte coperte

(senza ribaltarne nessuna, all'inizio). Si può verificare che, per effetto delle mosse effettuate:

– otto carte vengono ribaltate un numero pari di volte (al termine, quindi, rimangono coperte);

– otto carte vengono ribaltate un numero dispari di volte (al termine, quindi, risultano scoperte).

Curiosamente, la disposizione finale delle sedici carte assume una configurazione a scacchiera,

come la seguente, dove si alternano le carte scoperte a quelle coperte.

Siccome, in realtà, all'inizio erano state ribaltate quattro carte, queste finiranno per risultare scoperte

(come qui di seguito indicato). Di conseguenza, rimarranno coperte solo le quattro carte

corrispondenti ai quattro assi (posti all'inizio, proprio in quelle posizioni).

Per capire concretamente come mai viene a formarsi la configurazione a scacchiera finale,

immaginiamo di effettuare la serie di ribaltamenti, partendo dalle sedici carte coperte e ricollocando

ogni volta nelle loro posizioni originarie, quelle ribaltate.

La seguente serie di schemini dovrebbe mettere in luce gli effetti delle varie mosse compiute.

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