lon TUDOR

algeItilgG0mGtliG

clasa a Ul-a

[anGa a ll-a

Edilia a V-a,adlugiti gi revizuitl

marG 2000 - initiere

Cuprins

ALGEBRACapitolul IV. RAPoARTE gI PRoPoRTII

Leclia l. Rapoarte '.'...........5Leclra2.Proporfii.Proprietateafirndamentaldapropo4iilor ..........'.9

Lecfia 3. Aflarea unui terrnen necunoscut dintr-o propo4ie................................' 13

Lec\ia 4. Proporfii derivate cu aceiaqi termeni. Proporfii derivatecu alli termeni ..........'..............16

Lectia 5. $ir de rapoarte egale......... ...... 19

Lectia 6. Procente....... ...........................23

Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare .........26

Leclia7. Mdrimi direct proporlionale............ .-.--.......28

Leclia 8. Merimi invers propo4iona1e............ ............31

Leclia9.Regula de tei simpll --.-.....-'...34

Leclia 10. Elemente de organizarc a datelor ..-...-.'.....37

Lec{ia 11. Probabilitili. .-.-.......-.............42

Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare .........45

Apticdm ce am invdlat ......47

Capitolul V. NuurRE iNTREGI

Leclia 12. Multimea numerelor intregi. Opusul unui num6r intreg......................50Lecfia 13. Reprezentarea numerelor intregi pe axa numerelor..'..........................53Lec\ia 14. Compararea gi ordonarea numerelor intregi.

Valoarea absoluti a unui numdr intreg........... .'............' 55

Sd ne veriJicdm cunoStinlele: teste de evaluare .........59

Leclia I 5. Adunarea numerelor intregi. Proprietifile adundrii ... .......................... 60

Leclia 16. Scidereanumerelorintregi... ..'.'.'...........'..63

Leclia 17 . inmulfirea numerelor intregi. Proprietdlile inmullirii ......... .. '........... '.. 65

LecJia 18. imp[4irea numerelor intregi .............-.-.....67

Leclia 19. Puterea cu exponent natwal aunui numdr intreg ..............'.................69

LeSia21. Reguli de calcul cu puteri....... ..........-........72

Leclia2l. Ordinea efectuirii operaliilor qi folosireaparantezelor cu mrmere intregi.........' .-.....74

Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare .........77

Aplicdm ce am tnvdlat ..'.'.78

Capitolul VL Ecuenl $I INECUATII tN Z

Lec\ia22. Ecualii in2.............. ............' 80

Lec\ia23.Inecua{ii in2.............. ..........83

Lec1ia24. Probleme care se rezolvdcu ajutorul ecua{iilor sau inecuaflilor.........85Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare ........' 88

Aplicdm ce am invdtrat ......89

GEOMETRIECapitolul IV. PBnpBuorcurARrrATE

Leclia 1. Drepte perpendiculare. Distanla de la un punct la o dreapti.Oblice ...............91

Leclia2. Congruenla triunghiurilor dreptunghice ......94Leclia 3. Bisectoarea unui unghi. Concuren{a bisectoarelor

unghiurilor unui triunghi........ ....................97Lectia 4. Mediatoarea unui segment. Concurenfa mediatoarelor

laturilor unui triunghi ............99Lectia 5. Simetria fati de o dreapti...... .................... 102Sd ne verificdm cunoqtinlele: teste de evaluare ....... 104Aplicdrn ce am invd7at................... ...... 106

Capitolul V. Paner.BusuLectia 6. Unghiuri formate de doud drepte cu o secanti...... ......... 108LeclraT. Drepte paralele ..................... I 11

Leclia 8. Unghiuri formate de doul drepte paralele cu o secanti....................... I l5SdneverificdmcunoStinlele: testedeevaluare ....... 118Aplicdm ce am tnvdyat................... ......120

Capitolul VI. PnornmrAlr ALE rRnJNGr{ruRrLoRLectia 9. Suma misurilor unghiurilor unui triunghi ......................122Leclia 10. Unghiul exterior al unui triunghi........ .....125Lec\ia 11. ine$mea in triunghi. Concurenla indltimilor unui triunghi .............. 128Leclia 12. Aria triunghiului.............. ........................ 131Lectia 13. Mediana in triunghi. Concurenta medianelor unui triunghi .............. 134Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare ....... 136Leclia 14. Proprietifile hiunghiului isoscel.......... ......................... 138Lectia 15. Proprietdtile triunghiului echilateral.... ......................... 143Lecfia 16. ProprietSlile triunghiului dreptunghic .....147Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de eyaluare ....... 151Aplicdm ce aminvdtra1................... ......153

MooSLBoBTEzEpENTRUSEMESTRULALII-LEA................ ............... 155

TrsrBoBevALuAREFrNALA........ .......... 157

INorcaln $r RAspuNsuRr ......................... 161

ALGEBRACapitolul IV

RepoeRTE gI PRoPoRTrr

E competenle specifice

O ldentificarea.rapoartelor, propo(iilor gi a mirimilor direct sau invers proporlionale

in enunturi diverse

O Reprezentarea unor date sub formi de tabele sau de diagrame statistice in vederea

inregistrdrii, prelucririi gi prezentirii acestora

O Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor in care intervin rapoarte,

propo(ii gi mirimi direct sau invers propo(ionale

O Caracterizarea gi descrierea mirimilor care apar in rezolvarea unor probleme prin

regula de trei simpliO Analizarea unor situatii practice cu ajutorul rapoartelor, procentelor sau proporliilor

O Rezolvarea cu ajutorul rapoartelor gi proporliilor a unor situatii'problemi gi

interpretarea rezultatelor

tr Lecfia 1. Rapoarte

Itr ce febuie sE gtim

Defini{ie: Raportut numerelor ra{ionale pozitive a gi b este cdtul a : b, ?

notat 4. Numerele a gi b se numesc termenii raportului. Ib-o

Exemplu:RaportulnumerelorSgi5 este |. g5\)

lo.

trDefinigie: Valoarea raportului I este cdtul imp64irii a: b. E,bE

o

5

Rapoarte utilizate in practiciRaport procentual

Un raport de forma -!-, notat polo, So rrufii€gte raport procentual (p%

se citeqte ,p la sttil').

Exemplu: n%: #.Scara unei hirfiScara unei hddi, notati cu,S, este raportul dintre distanta dintre doue puncte

de pe hartd qi distanfa dintre cele doui puncte pe teren.Exemplu: Fie I qi.B dou[ localitfii situate la distanta de l0 km. Dac6 pe

hart[ distanta AB este de 1 cm, detemrina{i scara h6rgii.

- l cm 0,01m 1o :

to t, = looio,n = loooooo'

Concentrafia unei solufiiconcentrafia unei solu(ii, notat[ cu c, este raportul dintre masa substan{ei

care se dizolvd gi masa solutiei.Exemplu:lnn-un vas se afl[ o solu{ie de sare in api. Dac[ masa soffiei este

de 300 g,iar cea a sdrii este de 60 g, aflafi concentra(ia solufiei.

c: 6og - 2 :2oh.300 g 100

Titlul unui aliajTitlul unui aliaj, notat cu 7, este raportul dintre masa metalului prefios gi

y masa aliajului.

S Exemplu: Un aliaj de argint gi aluminiu con(ine 16 g argint qi 184 go aluminiu. Aflafi titlul aliajului.E,

! 7= --)69--= 169 = 8 =golo.\) 16 9+184 g 200 g 100

lci.9

E @| gtim sd r6spundem?

€ Propozi{ia,,catul neefectuat a doui numere rafionale pozitive se numegte€ raportul numerelor respective." este ...........

@l sE rezolvdm ?mpreund

l. Determina[i raportul numerelor:a)24 si42;

tt$ a.

Solutie: u\1=-;'427

2. Calcula{i valorile urmitoarelor rapoarte:

sotutie: O1:6:5:t,2; o) ; 5 :6:0,8(3).

3. Aflati raportul volumelor a doul cuburi cu muchiile de 6 cm, respectiv 9 cm.

sotu,ie: 4: i=(;l = (ffi1 = (;l = [s)' :(i)' =*

@! 56 exersdm singuri

f incercuili litera corespunzltoare singurului rispuns corect. Raportul

numerelor ra{ionale pozitive.r gi y se scrie:

n. L;x

2* Determina[i raportul urmitoarelor numere:

b) 4si9;e) 15 qi 10;

h) 2,4 9i 1,(3);

3* Determina{i raportul lungimilor segmentelor lABl Si ICD) dacd

a) AB:45 cm gi CD:60 cm;b) AB:48 cm SiCD:72cm;c) AB=l20mSiCD:210m;d) AB: 140 m $i CD: 180 m.

C Determina{i raportul lungimilor segmentelor l,ABl qi [CD] qtiind c5:

a) AB = 54 cm Si CD :3,6 dm;b) AB:2,4 damqi CD:90 m;

b) 2,5 gi 1,(6).

255b) 2': =+=Z'1,(6) 19 I93

5b);.'6

55 /3 3

21223

6a) -:' 5'

B.x:y; C.y:x; D. rv

a) 59i7;d) 8 qi 12;

g) 0,75 Sil,2;

c) 11 qi 6;f) 35 ei 56;i) 5,8(3) qi 7.

oI

H

oorao6rci.J

(,Eq,

o

=

c) AB: 1,08 hm gi CD:7 200 cm;d) AB:0,036Ian 9i CD:5 40 dm.

5* Calculali valorile urm[toarelor rapoarte:A

b) _;5

6* Afla1i valorile urmltoarelor rapoarte:

.9a) -:'2' ", 1, d)11

=5

43

t2

.34a) u;t' Yuloarearaportului

a) y: lo;

ul I' c) d)7

6'x

vb)

este egal6 cu 0,4. Determinati numlrul ra{ionalx dac6:

y:2,5; c) y: L,2; d) y: 3,(3).

8* Dace t : r,rir,determinati numdrul ra{ional pozitiv b in caztile:

a) a:0,8; b) c : 1,(3); c) a:0,(6); d\ a:3,2.9- O"t"t-ina1i raportul lungimilor laturilor a doui tiunghiuri echilaterale qtiindc[ raportul perimetrelor lor este egal cu:

.4 .8c)-: d)-.'9' s

16a) i; b) -'z 7'

10' Un dreptunghi are lungimea de 60 dm 9i aria de 27 rrt. Aflafi valoarearaportului dintre lilimea gi lungimea dreptunghiului.

11' Determinafi raportul dintre ('r;y) li lx; y] dacd:a) v: 12 giy: 181' b) x : 20 giy:24; c) x: 45 qiy: 60.

? tZ Raportul lungimilor laturilor a doud p6trate este egal *

1. Determinafi:

E a) raportul perimetrelor celor doui p[trate;E b) raportul ariilor celor doul pltrate.

tS-Pe o harti realizatdla scara 1 : 100 000, doul ora$e sunt reprezentate

9 pri" punctele E gi F.Dacd EF: 1,6 dm, afla1i distan{a, in km, dintre cele)E doud orage.

E ,0" intr-un vas se afld o solu{ie de sare in ap[ cu concentrafia de so/o. Dacd,

f masa solutiei este egalr cu 250 g, determina{i cantitatea de sare folositr.

€ to* un aliaj de aur gi cupru are titlul de 4%o. gtiind c[ s-au folosit 8 g deatr, determinafi masa cuprului din aliajul respectiv.

@@ Putem moi multl

16* Se consider[ numerele a:3n*2 + 3n*2 $i b: 2' + 2o*3, unde z e N.

Dacd 9 :6,75,determinafi numlru] natutaln.b

17* Se considerdnumerele a: I +2+3 +... +48 qi b:1 +2+3 +... + 63'

Determinali raportul numerelor naturale a Si b.

F Lecpia 2. ProporPii.U Proprietatea fundamentale a proporfiilor

E Ce trebuie sd stim

Defini(ie: Egalitatea a doud rapoarte se numeqte proporfie.

o ='., unde b + 0 qi d * 0, esteo proporlie.

bdFiind datn propodia + : +, numerele a, b, c qi d se numesc termenii pro-

bdporfiei. Termenii a Si d senumesc extremi, iar termenii b qi c se numesc mezi.

Proprietatea fundamentali a propor(iilorTeorema 1: intr-o proporfie, produsul extremilor este egal cu produsul

/\mezilor I I = 9 + a. d =b. c l.-------- [b d )

Teorema 2: Numerele ra[ionale pozitive a, b, c ai d, cu proprietatea(

-u=c.d =9=!\.a . b: c . d, stxtt termenii unei proporfii I a1 c b)

Itr gtim sE rdspundem?

Propozitia ,,Dacdintr-o propor{ie extremii sunt egali, atunci gi mezii sunt

egali." este ............

oIHoor,ls\):ci.9+oEq)

o

=