Matematicka analiza 1

Predgovor

Matematicka analiza obuhvaca podrucja diferencijalnog i integralnog racuna, anjeni temeljni pojmovi su limes, derivacija, integral i beskonacni red. Zasni-vanje diferencijalnog i integralnog racuna u 17. st. jedan je od najznacajnijihdogadaja u povijesti matematike. Temelje matematicke analize postavili su dvo-jica istaknutih znanstvenika: Gottfried W. Leibniz, koji je postavio i rijesio pro-blem tangente, tj. problem odredivanja brzine rasta zadane funkcije u bilo kojojtocki njenoga grafa, i Isaac Newton, koji je postavio i rijesio problem brzine,tj. problem odredivanja trenutacne brzine tijela koje se krece po pravcu, s poz-natim polozajem u ovisnosti o vremenu. Ova dva spomenuta pristupa su nas-tala prakticki istodobno, te su pokrenula lavinu istrazivanja s mnogobrojnimprimjenama, osobito u tehnickim znanostima, koja traju i do danasnjeg vre-mena. Moderna matematicka analiza zapocinje radovima K. Weierstrassa (1815.- 1897.), koji uvodi rigorozne definicije za pojmove limesa i neprekinutosti funk-cije koristenjem tzv. ε−δ tehnike, prethodno uvedene od strane A. Cauchyja. Tedefinicije i tehnike dokaza su temelji diferencijalnog i integralnog rauna, a ostalesu u upotrebi do danas te su sastavni dio ovog kolegija. Danas postoje mnogerazlicite grane matematicke analize kao sto su realna analiza, funkcionalna ana-liza, kompleksna analiza, diferencijalne jednadzbe, Fourierova analiza i numerickaanaliza. Neke od njih c ete cesto susretati u raznim podrucjima kao to su dife-rencijalne jednadzbe u fizici, kompleksna analiza u elektrotehnici ili Fourierovaanaliza u obradi signala.

Ova je knjiga rezultat dugogodisnje sustavne brige Zavoda za primijenjenumatematiku i FER-a u cjelini za svoje studente, pocevsi jo od davne 1919. go-dine, kada je Zavod utemeljen na tadasnjem novoosnovanom Tehnickom fakul-tetu Sveucilista u Zagrebu. Program i nastavni materijal Matematicke analize 1u novom FER3 programu se uvelike zasniva na idejama i promjenama u nacinupoucavanja koji se vec nekoliko godina primjenjuje na matematickim kolegijimau sklopu FER2 programa. Zelja autora ove skripte je da se studentima pomogneu razumijevanju najvaznijih koncepata matematicke analize kako bi ih s lakocomprimjenjivali u inzenjerskoj struci.

1

2

Zahvale. Posebno zelimo zahvaliti svim autorima sveucilisnog udzbenika Ma-tematika 1, A. Aglic Aljinovic i ostali, na cijim je temeljima nastala ova skripta.U pripremi pojedinih dijelova, posebno poglavlja Uvod u kombinatoriku, svojimkorisnim sugestijama pomogli su: prof.dr.sc. Ljubo Marangunic, prof.dr.sc. Ma-rio Osvin Pavcevic, doc.dr.sc. Domagoj Kovacevic i doc.dr.sc. Anamari Nakic.Takoder zahvaljujemo svim nastavnicima koji su izvodili nastavu iz kolegija Ma-tematika 1 zadnjih nekoliko godina na njihovom doprinosu. Fotografije sa Dugogotoka i iz Botanikog vrta u Zagrebu koristene su ljubaznim dopustenjem NikolePiasevolija.

AutoriSveuciliste u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i racunarstva

Zavod za primijenjenu matematikulistopad 2018.

3

Uputa za studenteCitanje skripte iz visokoskolske matematike se razlikuje od citanja novina

ili knjige iz povijesti. Prilikom citanja matematickog teksta cete morati savla-dati matematicki jezik te koristiti aktivno proucavanje teksta kako biste boljerazumjeli procitano. Naravno da ce to nekada iziskivati vise pokusaja citanjaistog odlomka. U procesu ucenja preporucamo da koristite aktivno citanje kojeukljucuje oznacavanje bitnih tvrdnji, voenje biljezaka, raspisivanje tvrdnji i pri-mjera te koristenje alata vizualizacije kao sto su skice, dijagrami, grafovi, tablicei konceptualne mape. Tek nakon sto procitate i potpuno razumijete gradivo nekelekcije, krecete s ozbiljnijim vjezbanjem zadataka. U nekim poglavljima ce jed-nostavniji zadaci za vjezbu biti ukljuceni u sam tekst kako bi vas potakli naaktivno ukljucivanje u proces citanja. Na kraju svakog poglavlja imate dodatnezadatke za vjezbu zajedno sa pripadnim rjesenjima. Takoder, pripremili smo ikviz pitalice i pitanja za ponavljanje gradiva koji sluze da provjerite koliko stedobro razumjeli i naucili gradivo iz procitanog poglavlja. Poglavlja su obogacenapovijesnim crticama i dodatcima koji su namijenjeni onima koji zele znati vise.Na kraju zelimo naglasiti da sama skripta ne moze nadomjestiti predavanja nakojima se osnovne ideje detaljno objasnjavaju i razjasnjavaju te osim aktivnogucenja na licu mjesta imate mogucnost i ukljucivanja u diskusiju postavljanjempitanja.

4

Sadrzaj

1. Skupovi, matematika logika i realni brojevi

1.1 Uvod

1.2 Skupovi i operacije sa skupovima

1.3 Uvod u matematiku logiku i pravila zakljuivanja

1.4 Prirodni brojevi. Matematika indukcija

1.5 Cijeli brojevi

1.6 Racionalni brojevi

1.7 Realni brojevi

1.8 Zadatci za vjezbu

1.9 Povijesne crtice

2. Kompleksni brojevi

2.1 Operacije s kompleksnim brojevima

2.2 Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

2.3 Eksponencijalni ili Eulerov zapis kompleksnog broja

2.4 Korjenovanje kompleksnih brojeva

2.5 Zadatci za vjezbu

2.6 Povijesne crtice o kompleksnim brojevima

3. Funkcije i relacije

3.1 Funkcije

3.2 Ekvipotentni skupovi i kardinalni brojevi

3.3 Relacije

3.4 Zadatci za vjezbu

4. Uvod u kombinatoriku

4.1 Produktno pravilo

4.2 Varijacije i kombinacije bez ponavljanja

4.3 Varijacije i kombinacije s ponavljanjem

4.4 Formula ukljucivanja i iskljucivanja

4.5 Rijeseni zadatci iz kombinatorike iz cijelog gradiva

4.6 Ponavljanje i zadatci iz kombinatorike za samostalan rad

4.7 Rjesenja zadataka

4.8 Crtice iz povijesti kombinatorike

5

5. Elementarne funkcije

5.1 Osnovna svojstva realnih funkcija realne varijable

5.2 Polinomi, racionalne i iracionalne funckije

5.3 Eksponencijalna i logaritamska funkcija

5.4 Trigonometrijske i ciklometrijske (arkus) funkcije

5.5 Hiperbolicke i area funkcije

5.6 Rijeseni primjeri

5.7 Zadatci za vjezbu

6. Nizovi

6.1 Pojam niza

6.2 Gomiliste niza

6.3 Konvergencija niza realnih brojeva

6.4 Pravila za racunanje limesa

6.5 Nizovi s beskonacnim limesima

6.6 Monotoni nizovi

6.7 Neki vazni nizovi i njihovi limesi

6.8 Pitanja za ponavljanje gradiva

7. Limes funkcije. Neprekidne funkcije

7.1 Limes funkcije

7.2 Neprekinute funkcije i limesi

7.3 Limesi i asimptote

7.4 Racunanje limesa

7.5 Pitanja za ponavljanje gradiva

7.6 Zadatci za vjezbu

8. Derivacija funkcije

8.1 Motivacija pojma derivacije

8.2 Derivacija funkcije

8.3 Diferencijabilnost funkcije

8.4 Osnovna pravila deriviranja

8.5 Derivacija slozene i inverzne funkcije

6

8.6 Derivacije elementarnih funkcija

8.7 Matematicko modeliranje pomocu derivacije

8.8 Tangenta i normala na graf funkcije

8.9 Pitanja za ponavljanje gradiva

8.10 Zadaci za vjezbu

9. Diferencijalni racun

9.1 Derivacija implicitno i parametarski zadanih funkcija

9.2 Osnovni teoremi diferencijalnog racuna

9.3 Taylorovi polinomi. Taylorova formula

9.4 Racunanje limesa neodredenih oblika pomocu l’Hospitalovog pravila

9.5 Ponavljanje

9.6 Zadaci za vjezbu

9.7 Dodatak: tezi zadaci za promisljanje

9.8 Rjesenja za vjezbe i zadatke

10. Primjena diferencijalnog racuna

10.1 Monotonost

10.2 Lokalni ekstremi

10.3 Globalni ekstremi funkcije

10.4 Primjena ekstrema

10.5 Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije funkcije

10.6 Asimptote - ponavljanje

10.7 Crtanje kvalitativnog grafa funkcije

10.8 Zadaci

10.9 Rjesenja za vjezbe i zadatke

11. Integralni racun

11.1 Primitivna funkcija

11.2 Odredeni integral

11.3 Osnovni teorem diferencijalnog i integralnog racuna

11.4 Neodredeni integral

11.5 Pitanja za ponavljanje

11.6 Zadaci za vjezbu

7

11.7 Rjesenja

12. Metode integriranja

12.1 Metoda supstitucije

12.2 Parcijalna integracija

12.3 Integrali racionalnih funkcija

12.4 Integrali trigonometrijskih funkcija

12.5 Integrali iracionalnih funkcija

12.6 Pitanja za ponavljanje

12.7 Zadaci za vjezbu

12.8 Rjesenja

13. Nepravi integrali

13.1 Uvod i motivacija

13.2 Nepravi integrali u beskonacnosti

13.3 Nepravi integrali neomedenih funkcija

13.4 Pitanja za ponavljanje

13.5 Zadaci za vjezbu

13.6 Rjesenja

14. Primjena integralnog racuna

14.1 Izracunavanje povrsine ravninskog lika

14.2 Izracunavanje volumena (obujma) tijela

14.3 Izracunavanje duljine luka ravninske krivulje

14.4 Izraunavanje oplosja rotacijske plohe

14.5 Primjene u fizici

14.6 Rjesavanje diferencijalnih jednadzbi metodom separacije varijable

14.7 Pitanja za ponavljanje gradiva