~

Indice

Prólogo ..' , '," ~ .11

Notación. . , , . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! . . . . .'. . . . '.' . ... . . 13

Instruc~iones para el alumno. . . . . . . . . . . . . . ! , . . .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

UNIDADV. PosteriordesarrollQdelos númerosreales ,... .17Introducción' , .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Objetivos generales. . . : . . . .'. ... . . . '.' . . . . . . . . . .' . . . . . . '. . . . . . . . . . . ! . . . . . . . . . 20

Diagranla tenlático estructural. . . . . . . . ; . . . . . . . .' . . . . . .. . .''. . . . . . . . . . ... . . . . . '.21

Glosario. . . . , . . . , . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . ; . . . . ~ . . . . ~. . . . ; . . . . . . . . . . . . 22

Módúfo 1 '. . . .'. . . , . , .. . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . '. . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . ...'. . 25

Objetiv~~ especificos . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . .. . '.' . . . . . . . . . '.. . . . . . . . . 25

Esq,uenla resumen. . . . . . . . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . . '.' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2~1.1 Postulados de orden' : , 26 '

Reactivos de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . ',' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Módulo 2 . .!, . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . '.' . . . . . . . . ., . . ' : . . . . . . . . . . ! . . 31

Objetivos especificos, . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . , . . . . . . ; . . . ... . . '. . . . . 31

Esquerita resumen ',' ,: , , ".,.. .\,"312,1 OrdenamÍ!;:mtode los enteros, . . " . . . . . . . : . . . . . . . . . '. . . . . .', . , . , . . , . 32

2,2 Núnleros'racionales. Densidad. . . , . . . . ¡ . . . . . . . . . . ',' . . . . . ',' . ': . . . 33Reactivos de autoevaluación ... , . . . . . .' , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . ... : . . . , 35

Módulo 3 . . . . . . . . . . . . . : . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . '.' . . . . . . . . . 37

Objetivos especificos .-. . . . . . . . . . '.' '.' . . , . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . ... . ..' 37

Esquema resumel1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . ~\ . .'. : . . . . . . . . . . . . 37

3.1 Representación geométrica de los números reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Valpr absolut<? . . . . . , , . : . . . . . . . . . . . . , . . . . . '. . . ',' . . . .'. . . . . . . . .. . .40Reactivos de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . '. . . . . .'. . . . . . . . , , . . . . . ..42

Módulo 4 . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . , . . . . , . . . . , . . . . , . , , , .45

Objetivos especificos . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . , . . . . :. . . . ...'. ~. . . .:. 45Esquema resunlen . . . . . . . . . . , , . . . . . . , ". . . . . . , , . . . , . , . . . . . . . . . . , . , , 4S

. 4.1 Gráfica de un conj,unto numérico : . . . ',' . . . . . . . . . , . . . . ... . . . . . . .46Reactivos de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . , : . . . . , . . . . . . . . . . . .47

Paneles de verificación. . . . . . '.' . . . , . . . . . . . , . . . . . . . . . , , . . , . . -. . . . . . . , . . . '.' ,49

UNIDADVI. Exponentesy radic~les , . . , :. . . . . . . . . . . .61Introducción. . . . . . . . . , . . , , , . . . , l. . . . . , . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . , . . . . . . . 63

Objetivosgenerales, ,...,.! , . . . . ". . . . . . ',' . . . . . . . . . . . :.".'. . , . . . . . 64Diagrama.temático estructural" ; ' ~....................,.65Glo!lario . . , . . , . . . ',' , . . , . . . : . . , , .'. , . . , . . . . } , . . : , . . . . . . ! ' . . . . . . . .~'. , , . . . .66

Módulo S ,.,' ,., ,', , . , . , . . , , . . , . . .. .. . .. . , , . . ., :.,.. .......;. ..67.

Objetivos especificos . . . . . , . . . . . . ... . . . . , . ; . '.' . , . .'. . . . . . . . ... '. . . . . . . . ~7

;'

Esquem~resumen. .'... . .' ...675.1 Exponentes enteros y exponente' cero. Leyes de los exponentes. .' . . . . . .68

Reactivos de autoevaluación . . . . . . . . . . .. . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ',' 72. Módulo 6 . . . . '. . . . . .'. . . . . . . . . . . .'. . . , . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . " . . . . . . . . . . 73

Objetivos especificos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . '... . . . . . . . . . . . . . . 73

Esquema resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1 Radicales: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Reactivos de ~utoevaluación . . . . . , . . : . . . . . . . .. ,. . , . . . . . . , . . . . . . . . , . . 78

Módulo7 J .. . ...... .... .. ...., ... . .... ..79Objetivos especificos . " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Esquema resumen. . . . . , . '. ~. . . . . , . . . . . . . . . . , . . . . , . . . . , , . 797.1 Isomor-fismode dos ~onjuntos. Exponentes racionales. . . . . . . . . . . . . . 80Reactivosde autoevaluacion . .. ..... ... . ,.... .86

, '

Módulo'8 . . . . . . . . . . . . . . . . .:. . . . . . . . . .'. . . .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

Objetivos espe~íficos ¡ . . . . . . . . .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 89

Esquemaresumen. . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . ; , , . , . : . . . . . . . . ., . . 89

8.1 Leyes' de 'los radicales. Simplificación, de t:adicales. Multiplicación y di-visión. ,..., "., '. , :. . . . . . . .. . . . . 9O

,8.2 Suma y resta de los r,adicales . . . . ; . . ~ . . .. . . ',' . . . . , . . . . . . . . . . . . . . 94 '

Reactivos de auto'evaluación . '. . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . ~ . . . ~. . . : . . . . . . . , 9S

Paneles de' verificación. . . . '. . ". .;. . . . . '. . . . . . . . . . . . . . .,. . . . . . . . . . . . . . . ... . .. .. 99,

UNIDAD VII. Aplicaciones'. . . . . . . . . . . . . . .' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r . . . 107Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '. 109

Objetivos generales, . . . . . . . . . . . . . . . . . '. . , . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 109

Diagrama temático estructural. . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . , . . . . . 'nI

Glqsario . . . . . . . . . . . . . . , . . . : . . . . . . . , . . . . . . . . ~ . . . . . , ; . . . . '. . . . . .. . . . : . . . . 112

Módulo 9. . . . ¡ . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . ' . . . .'. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 113

Objetivos especificos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . . . . . . . . 113

Esquema resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9.1 Planteo de problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :. . . ; . . 114

ReactivQs de autoeval t,lación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ':' . . . . . . . . . . . . '. . . . . 118

Módulo 10 . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . .' . . . . . . . . . . . . . . ',' . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Obje tivos .específicos. . . , . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , . . . . . , . 121

Esquemaresumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . , , , , . . , , . . . , . . . ',' . , .12110.1 Soluci6n de ecuaciones ' , 122Reactivos de autoevaluación ',~.. . . . ':. . . . '" . . . . . . . . . .. .'"125

Módulo 11 . . . . . . . . " , . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . 127

Obje~ivos especificos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . :. .'. . . . . . . ',' 127

Esquema resul!1en .: . . . . . . . . '. . . . . . . . . ~ . . . . . . . . : . . . . . ... . . . . . . . . . . 127

11.1 Solución de desigualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 128

11.2 Ecuaciones fraécio~arias . . . . . .. . . . . . . . . . .'.. . .. . . .. . . . . . . . .'. . . 129

'Reactivos de autoevaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Módulo 12 . . '. . . . . . . . . . . . . . . . ',' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~'. 133 '

Objetivos especificas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '.' . . . . . . . . .'133Esquema resumen. . . . . . . . . .., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '. . . . . '. . . . . . . . . 133

12.1 Problemas de planteo; . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 /""Reactivos de autoevaluaci6n . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138/

Panelesde verificaci6n \. . . . . . . . . . . . ~ , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .~ ~.,;;14~UNIDAD VIII. Funciones, relaciones y gráficas. . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . .j . . . . . . . . . . . 159

. Introducción ' , : .'.. .~~.. ~,~ .161

Objetivos generales. . . " . . . . . . ¡ . . . . . . . . '.. . . . . . . . . :. ; . . . . . . . . . I . . . . . . . . . . 162

. Diagrama temático estrUctural. ... . . . ~ . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . '.' . . . . .. . . . .'. . 163

Glosario... . '. .' . . . . . '.' . . . . . . .. . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . '.' . . . , . . . , . . . . . . . . . 164

Módulo 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . .'. . ',' . . . . . .165Objetivos especificos . . .. . . I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,. . . . . . . . . . . . . 165

Esquema resu~en ' ~. . . . .'.. . . . . . . . . . . ~'.' . ;-. . . I . . . ¡ . . .,.. . . 165

13.1 Funciones. Notación. I . . . .' . . . . . . . . . . '.; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,...1~13.2 Relaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . .. . . . . . . . 174. .

Reactivos de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . .,. . . . . . . . . .... . . . . . . . . . 175

M6dulo 14 . . . . . .'. ... . . . . . '. . . . . " . . . . ~ . . :. . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Objetivos especificos . . . . . . I . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . . . . . . I . . . ... . . . .. . . 1'77Esquema resumen. . . . . . . . . .. . . , .. . . . . . . . . . . ; . . . . . I . ¡ . . . . . . . . . . . . . 177

14.1 Sistemas de coordenadas en dos dimensiones. . . . , . . . . . . . . .., . . . . . 178

Reactivos de autoevat'uaci6n . . . . . . .. . . . . . . . . . .'. . . . ',' . . .,' . . . . . . . . . 181

, M6dulo 15 . . . . . . . . , . . . . , ,'. . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . '.' . . . 182

O b jeti vos especificos '. . . , . . . . . . . . . . . . A . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . ; Us2

EsquerI}a.resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

15.1 P.ráficadefuncionesyreJaciones .183Reactivos de au~oevahiaclón. . . . . . . . . . . . . . . . '. . . . . . , . . . .. . . . . . , . . . . . . 187

Mód ulo 16 . . . . . . . . . . . '. . . '. . . . . . . . .'. . ... . . . . . . . . . . . . 1,.. . . . . . . . . : . . . . . . . . 189Objetivos especifico$ . . . . , . . . . . .'. . . . . . . . '. , . . . . , . . , . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Esquema resumen' . . . . . . . . . . . . . , . '.' . . . . . . . . . . . . . . \. . . . . . . . . ... . 189.

16.1 Cartas de flujo, ' , .'. l.. , ... .190Reactivos de autoeval uact6n .. " : . . . . ',' . . .. . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . : . . . 194

Paneles de verificacl6n . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

-'

Instrucciones para .el alumno

, '

El presente texto ha si40 estructurado tomando en cuenta los diferentes aspectos quecaracterizal1 a los alumnos que estudian en la modalidad de enseflanza abierta.

, El libro est~ dividido en cuatro unidades, que corresponden a cuatro .grandes temas de laMatemática; están marcadas con números romanos. A su vez. las unidades se dividen en

mÚdulos. El total de módulos de las cuatro unidades. es decir. dellibr<? completo. suma 16. Ladivisión en tl1ódulos tiene por objeto repartir la carga de estudio. calculando que cada módulo

pucda ser estud'iado. aproximadamente. en una semana. Además. esta ,divisi~n le permite austcd. alumno. darse cuenta del avance que ha logrado en el estudio de la materia. . .

I Al principiodel libro se encontrará una Notación que son las explicacionesrelacionadascon la simbología empleada.

l. En cada unidad encontrará:

Introducción. Que es una visión general y anticipada de lo que se tratará en esaun idad.

Objetivos generales. Son las metas que d~berá alcanzar usted cuando termine deestudiar la unidad. Sj analiza esos objetivos con detenimientó verá que están' formulados'de manera amplia y general. de tal forma que usted mismo pueda hacer una apreciaciónpersonal para comprobar si. efectivamente. aprendió los tem'as presentados.

Diagrama temático estructural. Es una presentaci6n esquemática del contenido totalde la un'idad. 'Su funci6n es básicamente de enlace. o sea. cómo se relacionan los difer'entesteli1as tratados en cada uno de los módulos que componen la unidad.

Glosario. Le indica. el significado de los términos técnicos empleados en el desa-1'1'0110de la unidad.

Bibliografía. Al final de cada unidad encontrará los libros recomendados para'ampliar o profundizar el tema de la unidad.

11,1 n ...,¡,daIIIÚdtilo CnCl)nlrará Ipssiguie.ntcs clementos:

Objetivos específicos. Son el desglose de los objetivos generales de la unidad. Res-

ponden a la pregunta ¿qué debp ser capaz de hacer cuando termine de estudiar este módulo?

EStlUt'ma resumcn. Prescnta el contcnido de cadO! módulo en forma sinÓpticéL

A. Ira\1€'s-d~1 desanollo del tema usted encontrará las siguientes 'caracterís1kH~:

Idcus ~uía. Ubkttda~ cn Ins m{tI'gcnc~ d.c la~ h(,jas. Son pcqu'eñísimos resúmenes que

lil'nL'III.'pll1plillalidad I'acilitarlc la situaciÓn de un l'Onccpto. la fijación OPuna información o laI't'édi}l,a~:ió'f(k ~In \'l'pa~n mll~' rá pidiJ. .

La ligura ,~ Se encuentra localizada en los márgenes de ¡las hojas.Signitica "toma tu lápiz" e indica alguna actividad que usted debe realizar como práctica en,us ejercicios de aprendizaje.

13

Réactivos de autoevaluación. Al final de cada módulo se dan una serie de preguntasde autocomprobación. para que pueda veriticar por usted mismo en qué grado ha logrado)os objetivos (propuestos al principio del módulo). Las respuestas' correctas las encontraráal final de cada unidad, en los Paneles de verificación.

¡ .

14

Notaci6n

Un fa~tor importante para la comprensión de cualq~ier texto de. mat~mática es la correctainterpretación de los símbolos, pues en textos de autores diferentes es posible que a un ,mismosín,1bolose l~ den significados distintos; por tal razón se ofrece una lista d~ los símbolos

Iempl~adosen estecurso y su interpretación. Ellos son presentados' en el orden de apariciónen el libro.

SIGNIFICADO

, Es un elementode. . .No es un elemento de. . .

Conjunto'Es igual aTal queSímbolo de la operación suma

C:ardinalidad del conjunto AY'así sucesivamente

Conjunto universalConjut:1tovacío'Conjunto de Íos números natural~sSímbolo de la operación multiplicaciónNo es igual aSubconjunto de,. . .No es subconjunto de . . .Subconjunto propio'deEs mayor queEs menor queEs menor 0ligual queEs may()r o igual queUnióncon .

Int.ersección con

Complemento de

No es subconjunto propio deSímbolo de implicacIónSímbolo de la operación diferencia o restaNo es mayor que.No es n1enor que .Símbolo para expresar la operación división: (también se usa.

elsímbolo- comoen ~)

Ib ~

15

SIMBOLO

E9t{ }-I.+n(o), , ,

JJ.

cf>

N

( el >.--

<<:>lJn

e

-:1>

<t

<=>

~4:REOD'1t

V%

16

Doble implicaci6n o equivalenciaNo, es falso queTri.ángulo.AnguloConjunto de los números realesConjunto de los números enterosConjunto de los racionalesConjunto de los inacionales3.14159...

Sintbolo de la operaci6n raiz cuadradaTanto por ciento

UNIDAD'VPOSTERIOR DESARROLLO.

. .

DE LOS- NUMEROS REALES.

../

Introducci6n

Al llegar al.nivel de Preparatoria ya hemos aceptado y utilizado el orden entre los númerosenteros y aun entre los racionales, generalmente de una manera ip.tuitiva, ahora

fundamentamos ~quellos conocimientos y los extend~mos a los númer~s reales aplicando l?a;alograr este aprendizaje las técnicas de la Unidad 111,es decir, ]a justificación de cada paso acada cambio en una expresión algebraica.

'Ahora, empezaremos a 'manipular expresiones algebraicas en que intervienen lasdesigúaldades, ya que hasta aqu1 sólo hemos resuelto las llamadas ecu~lones. Estableceremosla correspondencia entre los números reales y los puntos que forman .una linea recta, para así.introd-ucirnos a los sistemas coordenados en los cuales se graflcan los conjuntos numérf~os.técnica esta'importantisima dada la aplicación y divulgación tan extendida de las gráficas en elmundo moderno, como "lenguaje," visual.

19....

,Objeti.Yos generales

Al terminar de estudiar esta u~idad. el alum.no:1. Aplicará los postulados de orden entre los números reales ~n la resoluci6n de

. desigualdades.2. Utilizará los teorem~s básicos sobre desigualdades en la si~plificaci6n de expresiones

numéricas.3. Calculará valores absolutos de diferentes distancias.

4. Graficará conjuntos nu'méricos. utilizando como instrumento la recta numérica.

20

Reglasde inferencia

Númeroracional

Correspondenciabiuuívoca

Disyunci6n

/

. Dlagram'a tem'ático es~ructural

Definici6n de números

positivos y negativos

Postuladosde orden ~,.

Teoremas 5-1 a 5-6

Ordenamiento de los

enteros y racionales

Sistema coordenadolineal

Valor absoluto

Distancia éntre,dos puntos'

Intervalos

Inducción'matemática

, Densidad

Media, aritmética

Gráfica 'deintervalos

21

Glosario.

Campo. Todo sistema matemático cuyos elementos cumplan con los seis postulados de campoacuerdo para dos operaciones~ '

Campo ordenado. Es todo campo cuyos elementos pueden ordenarse y compararse dea ese'orden. ,

Postulados de orden. Son las propiedades que posee un determinado conjunto para ordenar ycomparar sus elementos.

Propiedad de trlcotoDÚa. Si x, y E R entonces s6lQ una' de las proposiciones siguienteses verdadera:

x> y' 6 x<y 6 x=y

Postulado transltlvo. Si un nú~ero real es mayor que un segundo, número, y eOstemayor ,queun tercero, entonces el primer número es mayor que el tercero.

, ' x, y, Z E R,' x > y y> z . x > ,. I

Inecuaclón. Son proposiciones abiertas en que intervienen los signos de las desigualdades, >,<;:;1:.. " , '

Postulado aditivo. Si un número real es máyor que otro, la desigualdad no St)altera al sumarun mismonúmeroreal enambQsladosde ia desigualdad. "

Si x, y, z E R, y x > Y. x + z > y + zPostulado 'multlpllcatlvo. Si un número,real es,mayor que otro, la desigualdad no se altera ~l

multiplicar por un mismo número real positivo en ambos lados de la desigualdad.Si x, y, z E R, Y z > O Y x > O

Si x > y . xz > yz

Número racional. 'Es el elemento numér\co que se puede representar PQr 'el coCiente de' dosenteros y cuyo denominador es diferente ,de cero. '

, a '

, D ={x I x = b" a, b E E, b 1= O}., D E RDensidad. Es la propiedad de los números raciónales en cuanto al orden, y dice que entre dos

números ,racionales siempre'hay otro número racional.Inducción matemática. ,Proceso por el cual después de aceptar un caso particular por

inducci6n se generaliza a cualquier caso "n'; para demostrar deductlvamente que si secumple para "n" se cumplirá para "n+1", concluyendo ,que se cumple siempr~~

Orientación gráfica. Sentido de referencia p~ra la localización del orden de los números sobreuna rect~. ' ,

, Sistemacoordenadolineal., Es la correspondenciabiunivocaentre los puntos de una recta ylos elementos de R.

Valor absoluto. Es el número de unidades que separan dos puntos sin importar 'el signo dereferencia en un sistema coo'rdenado lineal. ' ,

Distancia entre dos puntos. .Esel ~úmero de unidadés que se encuentran entre dos puntos.

22

Recta numérica. Es la recta con cuyos puntos se asocia el conjunto de números reales,"también se llama sistema c.L.

Gráfica de un número. Es el punto de una rel'ta numérica con la 'que se asocia el número.

Coordenada. Esel,valornuméricoéonel que se asociaa un p~nto de la rectanumérica. ..

Intervalo. Es la -Wáticade un conjunto numérico expresado en valor absóluto'y -menor que osu cÓnjunciÓ'nequivalente. .

Intervalo-abierto. Es cuand'b en la gráfica no se incluyen los valores extremos. [a,b ]Intervalo cerrado. Es aquel en el que en la gráfica se jncluyen los valores extremos.'

,.

23

M6dulo 1

OBJETIVOS ESPECI~ICOS

Al terminar de estudiar este módulo, el alumnQ:

, l. Definirá con sus palabras nú~ero positivo y número negativo.

2. Explicará porqué el conjunto de los nÚtperos reales forma un campo ordenado;3. Mencionará cuáles son los postulados de orden.4: e oncluirá el valor de verdad de proposiciones dadas utilizartdo las definiciones de "mayor

que" y "~enor que". '.

S. Aplicará los postulados de orden (tricotomia, transitivo, aditivo, multiplicativo), en l~ justifi-cación,de implicaciones y.en la demostración de teoremas.

6. Demostrará algunos teorema~ de orden aplicando los postulados correspondientes.7.Mencionarácuálessonlasinecuacione!i., .

R.Resolverá d:e$.igualdactesjustifican~o cada uno de los pasos.

ESQUEMA RESUMEN

Tricotomía

POSTULADOS DE, ORDENPostulado transitivQ

Postulado aditivo

Postulado multiplicativo

Algunos teoremasimportantes

a > b<==:::>-a< -ba > b <===:>a-b €,P(definición de "maypr que")a < b<==7>b-~ €:.p(definición de "menor que")

DESIGUALDADESE -

INECUACIONES'

Teoremasbásicos

{

. \

Si a > b Y e < O => ae < beSi a > b Ye > d .=> a + e >. b + d

.a,b, .e,d > O,a > b y.e > d ~ ae> bd

25

Elconjunto delos n6merosreales esun _campo

Campo'ordenado es...

1.1 Postulados.de ordenExisten proposiciones er! las que comparamos valores, medidas,

etcétera; decimos por ejemplo: Juan es mayor que Pedro, una hectárea esmayor que media hectárea, un octavo es menor' que ciento treintamilésim~; ¿cómo podemos estar convencidos del valor de verdad dedichas proposiciones? los postulados de c~mpo, las propiedades ,de laigualdad y la equivalencia nos sirven para justificar que existe diferen-

.cia pero no nos permiten o justifican el sentido d.e esta diferencia.

Los elementos que manejamos son n6meros reales y hemos demos-trado que forman 10 que l1a~amos un caínpo, necesitamos ahora de-mostrar que se pueden ordenar y comparar de acuerdo con ese orden,para demo~trar en los casos de desigualdad cuál eS mayor o cuál esmenor, es decir, que el conjunto d'e los números reales' forma un ~poordenado.

Definición:.

Campo ordenado es todo conjunto cuyos elementos cumplen con los se~spostulados de campQ para dos, operaciones y además guardan un ordenal compararse entre ellos.

¿Cómo se orde- Considerandoque vamosa acomodar')o~números uno después denan los n6meros otro. empezaremospor acom\>dary definir a tres conjun,tosdisj,untosreale6...1 cuyauni6n formaeí conjuntoR..

1. Sea P. el conjunto de números positivos.

2. {x I - x E P}. El conjunto de números negativos que definimosusando ~l conjunto P, como aquel10s números cuyo inverSo espositivo. Siendo Xnegativo -x es positivo.

3. {O} Este conjunt.o complementa la uni6n de los dos anteriores y. tiene un solo elemento. por el teorer:na 3-11. sabemos qu~ el eer~ es.un núm'ero cuyo inverso es él mismo.

lV e~ orden El orden.de los tres conjuntos definid()s lo establecemos usando,lasse .establece...? siguientes .'

Definiciones:e26

x É R Y x >. o ~ x E Px E R Y x < O ~ -x E P

De acuer40 con las definiciones cualquier número positivo e~ may~rque O y cualquier número negativo es menor que 9. Usando la regla deinferencia de la cadena (Unidad II, Módulo 8), deducimos que cualquier

númerbpositivoesmayorque cualquiernú~ero negativo. .

Postulados de orden

Postulado5-1.Trlcotomí~. Si x, y E R entonc~s s610un,a de las ¿Qué postuladosproposicionessiguienteses verdadera. x > y o x < y o x =y nos ordenan los

númer.osreales...1Postulado S..2.Transltlvo. Si un número real es mayor que un segundo

número, y éste mayor que un tercer ~úmero, entonces el primer nú-mero es mayor que el tercero.

x, y, z E R, x > y y y > z =>x > z

Postulado 5..3.Aditivo.

x, y, z E R, x > y =>x + z > y '+ z

Postulado5..4.MuItlpllcatlvo.

x, y, z E R, z > O Y x > Y ~ xz > yz

A diferencia del postulado multiplicativo para la igualdad, éste tieneuna condici6n más, el factor (z) debe ser positivo o mayor que O. Ahora

. estableceremo-s y demostraremos algUnosteoremas que nos serán de gran.utilidad, tanto para ordenar los elementos de R como para resolverproposiciones abiertas en las que intet:Vienen' desigualdades. Lasdemostraciones siguen la técnica de dos columnas, pero en las justifica-ciones. s610 escribiremos las que correspondan a este libro, pues sesupone que usted recordará las que corresporidan a la teoría de campo ys610se recomienda que esté seguro de recordarlas; con esto se pretende'recortar dichas demostraciones para hacerlas más interesantes; recuerde..que siempre que no se mencione otra cosa el conjunto de reem-plazamiento esR.

A las proposiciones abiertas en que intervienen' desigualdadéstambién se les llama Inecuaclones.

Teorema 5- t . a > b <=>-a < -b

Demostración:a > b ~ -a < -b, a> b

(-a) + (-b) E Ra + [.(-a) + (-b)] > b + [(-a) + (-b)]

Teoremas paraproposiciones

abiertas...

DadoCerraduraPostu-lado 5-3.

-a < ~b => a > b-a < -ba+b.ER

-a + (a + b) < - b + (a + b)

o :+-(.-b) > (-'a) + O-a < -b

O+b<a+Oa>b

J;jemplo: Si 100 > 10 entonces - 100 < - "10

..

27

Demostración:

a>b=>a-bEPa > b Dado'

a + (-b~ > b + (-b) Postulado5-3a-b>Oa~bEP

¿Cómd defini-mos mayor qué?

¿Para definir, ,menor que....

Teoremasbásicos sobre

desigua~dades

Teorema5.2. a > b si y sólo si a - b, es positivoA ~ste teorema también se le llama de la definición de Q1ayor

quea>b~a-bEl?

a-bEP=>a>ba-b EPa-b>b

Definicióndeelemento 'de P

. DadoDefinición de núme-

to positivo(a - b) + b > ,O + b Postulado 5-3

a>b

Teorema 5.3. a < b si y s610si boaes positivo.A este teorema se le conoce como la' defiQici6n de menor

que. Compl,etala de~ostraci6n que es .semejante'a la del teorema 5.2.a < b<::=>b - a E:P

Demostración:

a<b===::>b-a E:P b-aE:P~a<ba < .b Dado ' b - 'a eP Dado, ,

a + (-a) . < b + (~(l).. '. b - a > O....' ,. l.. ........................Teorema 5.4 a > ~'y e < O, ===> ac < be

, Este teorema nos indica qLJea difere~cia del postulado 5.4multipHca.tivo; si el factor que se agrega es negativo, el sentido (le la

desigualdad se invierte. La'demostraci6n está escrit~ en el problema 6 delos Reactivos de autoevaluaci6n correspondientes ~.estem6dulo para qnelajustifiqueel alu~no. I

.Teorema 5.5 a > b Y e > d, ===::>a + c:.>b + d '

Dos desigualdades del mismo sentído p'ueden sumarse miembro a,'miembro y resulta una desigualdad con el mismo sentido. Lademostra~i6n es muy semejante a la del teorema anterior y se proponecomo el problema 7 de los reactivós.,

Teoreliu~5.6 a, b, e, d > O, a > b Y e > d =>ac > bd

Aplicaciónd~' \ Si.todos los números en do~ desigualdadesdel mismo sentidó sonteo~emas 'sobre positivos se pu~den multiplicar miembro a miembro,y resulta otradesigualdades desigualdadconel mismosentido.

Ejemplos: Teore~a 5.4á) 15 > 9 Y -2 < O

15 (--2) < 9 (-2)-30 < -18

28

b) -2 > '--:-5-120( - 2) (-1) < (- S') (- 1)2 <.5

TeoremaS.S a) 4 > ,3 Y 8 > 7. 4 + 8'> 3 + 7

12 > 10

b) 7 < 11 Y 10,< 157 + 10 <' 11 + 15

17 < 26

TeoremaS.6 a) 6 > 4. Y 3 > 26 3>4;.2

18 > 8

b) 3 < 5 Y 7 < 9.3 . 7 < 5 ' 9

21 < 45

Con.1a idea de tener presente la d~ferencia entre el inverso de unnúmerQ dado y su reciproco, se incluye la siguiente actividad complementaria.

10Escriha el inverso aditivo de los siguientes nÚmeros:a)-3 . b)_A c)a+b d).L e)-l

b .¡i-b 4 7"20 Escriba el I'ecíproco' (inv~rso multiplicativo) de cada número de losincisos anteriores,

'En caso de'duda consulte la Unidad 111.

REACTIVOS DE AUTOEV ALUACION

1. Demuestre que el producto de dos. números reales ambos positivos o.ambos negativos, siempre es positivo.Demuestre que si a E R, a =pO =>a2 >. OUtilice' la definición de menorque, para deducir una conclusión de cadauna de las proposiciones siguientes. La conclusión debe deducirse de la: .

.Proposicióndada sin tomar en cuenta el valor de verdad.a) 6< 9 c) -2 - (-4)EP e} -3 - (-1) EPb) -5 < -1 d) 5 - 8 E P f) 14 - 7 E PAplique en el problema anterior, la definición de mayor que. IQviertalas desigualdades de los incisos a) y b). '

Justifique cada una de las siguientes implicaciones considerándola verda-~ .dera, cQmplétela cuando no tenga conclusión escrita. .

a) -a < O ~ a E P g) 3 <' 10 y 10 < 50 => 3 < 50b) 3EP=>3>0 h) 5>xyx>0=>5x>x2c) a =p.b Y a:< b => i) a es positivo y b + 2 es positiyo,d) 3';;:. 1 =>3 - 1 E P entonces a(b + 2) es positivo.

2.3.

4.

5.

.29

e) 5 < 3 Y 5 "4=3 ~

f) x no es mayor ,que O y xno es menor que O ~ ~.

Justifique los pasos dados en la c\emostración del Teor~ma 5-4.a > b y 1:'< O ~ ac'< bc1. á > b2. e < O ~ - e :> O3. a(-e) > b(-e)4. -ae > -be5. áe < beDemuestre el Teore.ma 5-5.Demuestre .el Teorema 5-6.

Resuelva las siguientes desigualdades justificando sólo 108 pasos en queaplique postulados o teoremas de este capítulo.

I 2x + 1 ,> 3Solución': . 2x + 1 > 3

(2x + 1) + (-1) > 3 + (-.1)2x > 2

(f) 2x >- (f) 2x > 1

. {x E R Ix> 1}

2x - f >. 3x + ¡~:':.2 < 1-3

6.

7.8.

9

10

11.

12. .

13.

- 4x < 3x + 7

::. > -5x + !2 3

14. Complete la solución'2x - ~ > - 3 .

2x > _.2x > -

->..:- > ~

. {x E R Ix> 2}

15. Resuelva:4 - 3x > 4

30

n. 'x < y y y < z + 3 ., x < z + 3

Postulado S.3 aditivo

Postulado 5-4 multiplicativo

Postulado 5-3

Postulado 5-4

.-

M6dulo 2

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Al terminar de estudiar este m6dulo, el alumno:

1. Demostrará el ordenamiento de los enteros por medio del postJ.llado aditivo.2. Explicará'cuálessonlosnúmerosracionales \

3. Dará un ejemplo de densidad.4. Ordenará números reales de menor a mayor y de mayor a menor.S. Demostrará la densidad de los números racionales.

6. Calculará promedios de dos.números dados.7. DemQstrará el teorema sobre fracciones iguales a cero.8. Demostraráelteoremaw, x, y, Z E R y, z > O

x ,w> -<===:;> x Z' > W y

Zy

ESQUEMA RESUMEN

ORDENAMIENTO DE LOS ENTEROS - Iriducci,6nmatemática

".

{Características

NU'MEROS RACIONALES - Campo orden~do

Densidad

TEOREMA SOBRE UNA FRACCION IGUA.L A CERO

Si x, y f:..E; y =1=O

31

¿Cómoordenamoslos enteros?

Razonamientomatemático

32

2.1 Or.denami'entode los enteros

TeoremaS-7. 1 > ODemo$tración:

l>OóJ<OóI 1.* O

1 < '0

1 = O TricotomíaPostulado de ide.ltidad inciso c)..

Hipótesis. Si llegamos a un absur-do o contradicción. nuestra hipó-tesis será falsa y la disyunción nosseñalará la verdad. Método in-directo.

Defmición de .número negativo.Postulado 5-4.

Contradicción entre la hipótesis,yla' conclusión por lo que la hipó--tesis es falsa.

1 < O =>-1 > O=>(-1) (,...1) > O (-1)=>1>0

1 <t O, 1 * 0=>1 > O

Corolario: Como 1 E.N Y 1 E P entonces si,x E N ~ 'x E P

Si a. 1 > O le aplicamos el postUlado' 5-3 aditivo sumándole launidad a cada lado tendremos: 1 'T 1 > O + 1 y por sustitución2 > 1, aplicai1do el mismo postulado a este resultado y así<,ul.'l'sivamentea lo que resulte. tendremos un orden establecidó para lo~

delllentos de Njllst~ticado por el postulado t~ansitivo: .

O < f < 2 < 3 < 4 < 5 < ...\.

Si después de comprobar unos cuantos casos aceptamos queN e P, es 'decir. que todos los números naturales son mayores

que O y que por tanto sus inver~os serán los números enterosnegativos o menores que O.

4 < -3 < -2 < -1 < O

¿Qué tipo,de razonamiento estamos empleando? debemos recordarq,ue con este tipo de razonamiento las conclusiones no son necesaria- ,mente válidas pues es un razonamiento inductivo, por lo que despuésde demostrar que se cumplen 'en' un caso particular. para un númeron E.E. hábrá qué demostrar deductivamente que se cumplen para elsiguiente número n + 1, para entonces sí aceptar como conclusión quese cumplirán para todos los elementos de E.

A este procedimiento se le llama inducción matemática o tambiéncriterio de la inducción y su aplicación requiere mucha más experiencia

de parte del estudiante que la que hasta aqui haya obtenido. Por 10pronto aceptaremos que N C P.

2.2 Números racionales. Densidad

En la Unidad III del texto anterior hemosdefinido al conjunto de .

números enteros y una razon para ampliar este conjunto fue que ningún

. entero multiplicado por 8 da 4, podemos observar que eso significa.que los elementos de E no tienen ~n inverso para la multiplicación oreciproco en el mismo conjunto, por lo cual E no es un eoqJunto cerradopara la multiplicación. de modo que atinq.ue E es'un conjunto ordenado,no es un campo ya que sus elementos no cumplen con los postulados de

cerradura ~inversos. Un conjunto mucho más "rico" que E, cuy~. elenlentossí cumplen con.los p~stuladosde campo, es el conjunto D de

los números racionales.

Definición:

Número racional es el que se puede representardos 'enteros, denominador 4iferente de O. ,

. .

p ={x Ix = .¡" a, b E E, b :#= O},

por et cociente de

DCR

Los númerosracionales sr

forman un.campo

Este conjunto es, entonces; un campo y el teorema. . . . . . . . . : . . . .

3-20(1- =~~ ad =bc) ju~to con los dos siguientes nos permitirá orde- '

nar sus elementos,con lo cualD formará un campoordenado.

T~rema 5-8. x,.v E E, Y *' O ~ =. O ~ x = O Una fracciQn esEl

. .d

)'d ' ' b ' . igual a cero si...

enuncia o para este teore_ma po fla eSCfl Irse, como sigue: . .

"Una fracciÚn es' Igual a cero. si y sólo si s~ numerador es cero"Este tC\H'CJ1H\adquiere gran importa!1cia en la solución de

ecuaciones con fracciones, y puede l:1acerseextensivo ~.Iosnúmeros realessi considct:amos x, y E R.Demostración: =-=O~y.O=xy .

~ O ='x

Definición de la di-

visión (observe quees doble implica-ción.=- = O.~

y x=O

El teorema siguiente condiciona que los denominadores ~e lasfracciones sean. números positivos. Podria condicionarse que ambos

. denominadores fueran negativos con el mismo'resultado, pero de ningúnmodo pueden tener signos diferentes.

Teorema 5-9w, x, y, z ER;. y, z > O;=- > w ~ xz > wyy z.

~

Los númerosracionalesforman un

campoordenado

~

21 17a) 4' "3

4b) -3'

4-3

Densidad

-34

77"""5

-4--3

Una fracción es mayor que otra si y sólo si, el producto en cruz denumerado~es y denominadores da una desigualdad en el mismo sentido.

Las fracciones mencionadas pueden, interpretarse como námerosracionales. . .

Eaemplos: Establecer sentido de de$igualdad entre:21 . 3 . 63, - 17 . 4 = 68

63 < 6821' 17-<-4 3

4 7 -7--,--=-3 5 5

(-4 )5

7---5

= -20, (~7)3= -21-20 > -21-.4 -7->-3 S.4 - 7-->---3 S

Estos teoremas. 3-20, S-8.y 5-9,-justifican que podemos rcferirnos alconjunto D como un campo brdenado, además entre los elementos de

este conj.unto existe _una propiedad muy importante a la 9ue llamamosdensidad. . .Definición:

, -'Eatredosnúmerosracionalesslempréhay otronúmeroracional.

El número conocido como promedio c;le dosaritmética es una prueba de la propiedad densidad.

[Mediaaritmética: a, b E::.D~ a ~ b C D' .

o como media

I

\

Ejemplos:a) Entre S y 6 la media aritmética es s + 6

211

=211

b) Entre Sy111amedia ari~méticaes. .S + 22 == 21/42

y se puede continuar indefinidamente loc~lizando un número entre S y la. media aritmética que resulte.

El problema 3 de los siguientes Reactivos de. autoevaluaciónpresenta simbólicamente esta propiedad a la que haremos referencia enel tema "Gráfica de un conjunto numéricQ" .

REACTIVOS DE AUTOEVALUACioN

L Ordene el siguienteconjunto de números de menor a mayor «){5.2, ~ 2.8, - 1:, - f, - t, .¡, 7.6}

Ordene el siguienteconjunto de números de mayor a menor (»{.t, O, ril, 1, .12, .123, .012, .123S}

Si a > b, dem~estreque a > a ;.b > 'b. Esta notación represent~ la con-

junción a > a ; b Y a ; b > b, que demuestra. la propiedad de los'

números racionales llamada densidad. a ; b se llama la media arltmé-

2.

3.

4.tlca de a y b.

Demuestre que: t < :¡< 1

5. Encuentre la media aritméticaentre:a) 2 y 7b) -3 Y 5c) -3.6 Y 2.5

d) - .! y .!2 4

e) i y 3

6. Demuestre el Teorema 5-9. w, x, y, z E R, y, z > O'

~ > w * xz > wyy % .

Llene el espacio entre .los números con el símbolo Que haga verdadera

la proposición, escogiendo entre <, =,' ~ .a) .:::2- O e) .=!.-5 3

f) !7

g) ...!!--12

h) .::.!.-5 '

i) -3.002

7.

o.!5

~3

-s----7,

- 3~020

35

b) 1.301 1.300J

) -7 9C -. 42

d) -'.! .13 4