Upload
bojan-suknovic
View
19
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
nnj
Citation preview
Unitarni prostor
Vektorski prostor u kojima je definisan skalarni proizvod naziva se unitarni prostor.Def.Vektorski prostor V nad poljem K realnih ili kompleksnih brojeva je unitarni prostor.Ako je svakom uredjenom paru vektora x,y iz V pridruzen skalar <x,y>€K tako da za svako x,y,z€V i α€K vazi:<x+y,z>=<x,z>+<y,z>,<αx,y>=α<x,y>,<x,y>=<y,x>,<x,x>>=0,<x,x>=0 x=0. Ovako def. f-ja naziva se skalarni proizvod vektora x i y.Def.Norma(duzina,intezitet) vektora x iz unitarnog prostora V u oznaci ||x||(norma) je negativan broj ||x||=
√¿ x , y>¿¿.Za normu vazi sledeca nejednakost Kosi-Svarc-Bunjakovski:Teor.1:Zaproizvoljne vektore x,y iz unitarnog prostora V vazi nejednakost |<x,y>|≤||x||*||y|| sa jednakoscu ako i samo ako su x,y linearno zavisni.Teor.2:Za proizvoljne vektore x,y u prostoru V vazi ||x+y||≤||x||+||y|| sa jednakoscu ako i sam ako je y=0ili x=αy(α≥0).Norma vektora ima sledece osobine:Teor.3:Za proizvoljne vektore x,y iz unitarnog prostora V i proizvoljan skalar α€K vazi: ||x||≥0,||x||=0 x=0,|α|*||x||,||x+y||≤||x||+||y||.Def.Vektorski prostor V takav da je pridruzen ||x|| za koji vaze osobine 1i2 naziva se normirani vektorski prostor.F-ja ||x|| naziva se norma prostora.Def.Za dva vektora x i y iz unitarnog prostora V kazemo da su ortogonalni ako je <x,y>=0.Skup vektora x1,...xn je ortogonalan,ako je
<xi,yi>=0 (i≠j).Ako je ||xi||=1,i=1,...n onda
kazemo da je skup vektora x1..xm
ortonomiran.Za dva vektora kazemo da su kolinearni (paralelni) ako su linearno zavisni.Def.Neka su V i V' dva vektorska prostora nad istim poljem K kazemo da je vek.prostor V izomorfan sa vek.prostorom
V' ako postoje bijekcija f:V→V' ako vazi(
∀ x , y∈V ¿ f(x+y)=f(x)+f(y) i ¿K) f(αx)=αf(x).
Monotoni nizovi
Def.Za niz (xn) kazemo da je monotono rastuci ako za skoro svako n€N vaze redom
sledece nejednakosti xn+1>xn(xn+1<x
n,x≥xn ,xn+1≤).Za niz koji ima jednu od
ovih osobina kazemo da je monoton niz.Pod supremumom niza podrazumjevamo supremum skupa njegovih elemenata tj. sup xn=sup{xn|n€N} inf xn=inf{xn|n€N}Teor.1 Svali monoton niz ima konacnu ili beskonacnu gr. Vrij.Ako je niz xn monotono neopadajuci tada je lim xn=sup xn a ako je monotono nerastuci inda je lim xn=infxn.Monotono ograniceni niz je konvergentan tj.Ima konacno gr.vrijednosti.
Broj e
Broj e, osnova tzv. Priorodnih algoritama, je jedan od 4 najvaznija realna broja u
matematici pored brojeva 0,1 i π .Broj e se
definise pomocu gran.vrijednosti.e=lim(1+1/n)n .Ova gr.vrijed. postoje jer je niz xn(1+1/n)n monotono rastuci i ogranicen.Bernulijeva nejednakost:
(1+x)n≥1+n*x,x>-1,n€N.Teor.2:Svaka
familija umetnutih intervala ima jednu i samo jednu tacku.Def.Neka je xn dati niz i neka je n1,n2,....nk monotono rastuci niz prirodnih br.Tada kazemo da je (xn)podniz niza xn.Teor.3:Niz xn ima gran.vr. a€Rkonj. Ako i samo ako svaki njegov podniz ima gr.vrij. a.Za monotone nizove dovoljno je da znamo gr.vrij. samo jednog podniza sto vazi sledece tvrdjenje:Teor.4.:Ako je niz (xn) monoton i ako jedan njegov podniz ima gr.vrij.a€Rkonj. tada lim xn=a.Teor.5.:Svaki ogranicen niz ima konvergentan podniz.
Nizovi u metrickim prostorima
Def.Neka je x neprazan skup i funk. D: x+x
→R tako da za svako x,y,z€x vazi: d(x,y)≥0 i d(x,y)=0 <>x=y,,d(x,y)=d(y,x)-simetricnost,,d(x,y)=d(x,z)+d(z,y)-nejednakost trougla.Kada kazemo da je d rastojanje ili metrika na skupu x a uredjenji par (x,d) nazivamo metricki prostor.Uskupovima R,R2 I R3 je rastojenje izmedju dvije tacke duzina duzi ili kraj spoja
tj d(x,y)=|x-y| d((x1,y1)(x2,y2))=√ (x1-x2)2+
(y1-y2)2.Navedene metrike se nazivaju euklidskim metrika i one su uobicajne.Nejednakost trougla slijedi nejed.Minkovskog.Takodje se u Rn moze
uvesti metrika i pomocu d(a,b)=∑i−1
n
¿a
i-bi|p)1/p,p>=1. Skup A u metrickom prostoru je ogranicen ako postoji neka kugla K tako da AcK.Za skup AcX kazemo da je otvoren skup ako zajedno sa svakom svojom tackom sadrzi i neku njenu okolinu.Skup A je zatvoren ako je njegov komplement x\A otvoren skup.Za niz koji konvergira ka nekoj tacki x kazemo da je konvergentan.Ako ne postoji a€x limxn=a onda je (xn) divergentan skup.Def.Za niz (αn) u metr. Prostor(x,d) kazemo da je Kosijev niz ako vazi(Ve>0) (En0€N) (Vm,n>=n0) d(xm,xn)<e.U skupu R je svako Kosijev niz konvergentan to ne mora da vrijedi u proizvoljnom metrickom prostoru.
Ravan i prava u En
Def: Neka su r0 i n (n0) dati vektori iz Rn. Skup vetora r takvih da je <r-r0,n>=0, tj (r-r0)*n=0 naziva se (n-1)-dimenziona ravan (hiperravan). Iz ove definicije slijedi da vektor r0 pripada ravni (1) I da je vektor r0 ortogonalan na vektor n, pa ova ravan predstavlja ravan kroz zadatu tacku sa zadatim normalnim vektorom r0 *n=c. Jednacina (1) postaje r*n=c. Ovo je drugi oblik jednacine ravni. Stavljajuci r=(x1,…,xn), n=(p1,…,pn), dobijamo opsti skalarni oblik jednacine ravni: p1x1+…+pnxn=c. Specijalno za n=3 u trodimenzionom prostoru opsti oblik jednacine ravni ce biti: Ax+By+Cz+D=0. Def: Neka su r0 i a (a0) dati vektori iz Rn. Skup vektora n takvih da je r-r0=t (tR) naziva se prava. Iz ove definicije slijedi da je vektor r-r0 kolinearan sa vektorom a I da vektor r0 pripada pravoj (2), pa se (2) naziva prava kroz tacku r0 paralelena datom vektoru a. Ako je r=(x1,…,xn), r0=(x01,…,x0n), a=(a1,…,an) skalarni oblik jednacine (2) glasi: (3)
X 1−X 01a1
= X 2−X 02a2
=…= Xn−X0nan
=t
– kanonski. Ako za vektor a uzmemo a=r1-r0, r1 – dati vektor, iz (2) i (3) dobijamo da je (4) r-r0=t(r-r0) (tr).
(5)
X−X 01X 11−X 01
=…= Xn−X 0nX 1n−X0n
Vektor r1 ce takodje pripadati pravoj (2), pa je sa (5) data jednacina prave kroz 2 tacke. Def: Skup vektora r odredjen sa (4),
odnosno (5) pri cemu je 0≤ t ≤1
naziva se duz cije su krajnje tacke r0 i r1. Def:
Skup KcR n je konveksan ako za bilo
koja 2 vektora r0,r1K i 0≤ t ≤1 vazi
r1=r0+t(r1-r0)K.
Realni nizovi
Vidjeli smo da je skup R realnih brojeva potpuno uredjeno polje u kome vazi aksioma neprekidnosti. Skup R prosirujemo
sa dva simbola +∞ i−∞ za koje vazi
(Vx R )−∞<x<+∞ i
R (konj )=R∪ {−∞,+∞ } nazivamo prosirenim skupom realnih brojeva. U R vaze sledeca pravila:
∞+∞=∞ ,−∞−∞=−∞
a ± ∞=± ∞ (a∈R ) ,∞∗∞=∞ ,−∞∗(−∞ )=∞ ,−∞∗∞=∞. Def: Kazemo da je aR donja granica
skupa S ako za svako xS vazi x≥ a . Za
skup koji ima konacnu donju granicu kazemo da je ogranicen odozdo. Analogno je bR gornja granica skopa S ako je
x≤ b za svako xS. Za skup koji ima konacnu gornju granicu kazemo da je ogranicen odozgo. Ogranicen skup je skup koji ima konacnu I donju I gornju granicu. Ekvivalentno ovome skup S je ogranicen ako
postoji pozitivan broj M takav da je |x|≤M
za svako XS. Def: Svako preslikavanje skupa prirodnih brojeva N u skup nazivamo realnim nizom. Broj koji se ovim preslikavanjem dodjeljuje prirodnom broju n oznacava se sa Xn,an i zove se n-ti clan niza. Takodje, Xn nazivamo I opstim clanom niza. Za niz ciji su clanovi x1,x2,…,xn koriste se oznake: (Xn), (Xn)nN, {Xn}. Na slican nacin se mogu definisati I nizovi konacnih brojeva, nizovi funkcija I u opstem slucaju nizovi elemenata proizvoljnog skupa. Def: Kazemo
da je realan broj a granicna vrijednost ili
limes niza X I pisemo da je
limn → ∞
Xn=a ili Xn → a ako
(Vx>0 ) (∃n0N ) (Vn ≥ n0 ) ( Xn−a )<ε
. limn → ∞
¿>limXn. Ako je
limXn=a kazemo da niz Xn
konvergira ka a ili da tezi ka a , kada
n → ∞. T1: 1 ° Niz ne moze imati
vise od jedne granicne vrijednosti, 2 °
Svaki konvergentan niz je ogranicen T2:
1 ° Ako je Xn=CR okda je
limXn=c , 2 ° Neka je
limXn=x , limYn= y , ( x , y R ) i neka su a,b,cR proizvoljni tada je
lim (aXn+bYn )=ax+by ,limXnYn=xy ,lim Xn
Yn=X
Y, ( y0 ) .
Def: Kazemo da niz (Xn) ima granicnu
vrijednost +∞ I pisemo
limXn=+∞ ako
(VM>0 ) (∃n0N ) (Vn ≥ n0 ) Xn>M. U tom slucaju kazemo da niz divergira ka beskonacnosti. T4(Stolcova Teorema): Neka su ispunjeni uslovi:
1 °limYn=+∞ ,2° niz(
Yn) je monotono rastuci,
Y (n+1)>Yn za skoro svako n
3 °postoji (konacna ili beskonacna) granicna vrijednost
lim X n+1−Xn
Y n+1−Y n
, tada postoji i
lim XnYn
=lim Xn+1−Xn
Y n+1−Y n
.