MAT146 - Cálculo I - Limites - DMA - Departamento de ... 140/2017-I/slides/02 limites - MAT 140... · Introdu˘c~aoDe ni˘c~ao de LimiteOpera˘c~oes com LimitesLimites LateraisLimites

Introducao Definicao de Limite Operacoes com Limites Limites Laterais Limites Infinitos Operacoes com Limites Infinitos Limites no Infinito

MAT146 - Calculo I - Limites

Alexandre Miranda AlvesAnderson Tiago da Silva

Edson Jose Teixeira

MAT146 - Calculo I - Limites UFV


Limites

Considere a funcao f : R \ {−1} → R dada por

f (x) =x

x + 1

Apliquemos f a pontos proximos de −1.

x f (x) x f (x)

−3 1, 5 0 0−2 2 −0, 5 −1−1, 5 3 −0, 8 −4−1, 1 11 −0, 9 −9−1, 01 101 −0, 99 −99−1, 001 1001 −0, 999 −999

......

......



Sabemos que nao existe f (−1). Na verdade, o numero −1 nem faz partedo domınio de f . Mas o que acontece quando a variavel x se aproxima de−1?Observe o grafico da funcao

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5x

−3

−2

−1

1

2

3

4

5y

0

Figura : Grafico da Funcao f (x) =x

x + 1



Seja I um intervalo aberto em R, a ∈ I e f uma funcao real definida emtodo ponto de I , exceto possivelmente em a (note que o domınio de fneste caso e I ou I \{a}). Dizemos que o limite de f (x) quando a variavelx tende a a sera o numero L se a seguinte condicao for verdadeira:

Condicao: (ε, δ)Dado ε > 0 qualquer, existe um δ > 0, tal que se 0 < |x − a| < δentao |f (x)− L| < ε.

Aqui, as letras gregas ε e δ representam respectivamente as distanciasentre f (x) e L e entre x e a.



x

y

L

L− ε

L + ε

aa− δ a + δ



O seguinte resultado e fundamental para a teoria de limites. Ele estabeleceque uma funcao nao pode tender a dois limites diferentes ao mesmo tempo.

Teorema (Unicidade do Limite)Seja I um intervalo aberto em R, a ∈ I e f uma funcao real definida emI ou em I \ {a}. Se

limx→a

f (x) = L1 e limx→a

f (x) = L2

entao L1 = L2.



Aplicar diretamente a definicao de limite, para obter informacoes sobre ocomportamento de uma funcao, na vizinhanca de algum ponto a, pode seruma tarefa ardua e ate impraticavel.. Vamos ver agora alguns resultadosoperacionais que facilitarao muito o calculo de limites.

Teorema

(a) limx→a

c = c , onde c e uma constante;

(b) limx→a

x = a;

(c) limx→a

kx = ka, onde k e uma constante;

(d) Se limx→a

f (x) = L e limx→a

g(x) = M, entao

limx→a

[f (x)± g(x)] = L±M;



ExemploSeja f (x) = 2x + 3 e a = 5. Pelo Teorema acima, temos

limx→5

f (x) = limx→5

(2x + 3)

= limx→5

2x + limx→5

3

= 2.5 + 3 = 13.



TeoremaSuponha que lim

x→af (x) = L e que lim

x→ag(x) = M. Entao

(a) limx→a

[f (x).g(x)] = L.M;

(b) limx→a

[f (x)]n = Ln, onde n e um numero inteiro positivo;

(c) limx→a

f (x)g(x) = L

M , se M 6= 0;

(d) limx→a

n√

f (x) = n√

L, onde L ≥ 0, caso n seja um numero inteiro

positivo par, ou L e um numero qualquer caso n seja um numerointeiro positivo ımpar.



ExemploCalcule o seguinte limite

limx→−2

(5x + 17)3

Solucao: Pelo Teorema acima,

limx→−2

(5x + 17)3 = [ limx→−2

(5x + 17)]3

= [5(−2) + 17]3 = 73

= 343.



ExemploSeja f uma funcao dada por

f (x) =

x2 − 1

x − 1, se x 6= 1

1, se x = 1

Encontre o limx→1

f (x).



−3 −2 −1 1 2 3

x

−1

1

2

3

4

y

0

f



ExemploCalcular os limites

(a) limx→3

x − 3√

x −√

3

(b) limx→−2

x2 + 5x + 6

2x2 − 8



Quando calculamos o limite de uma funcao em um ponto a, estamosavaliando os valores que esta funcao assume quando a variavel se aproximade a. Como estamos trabalhando com funcoes definidas em subconjuntosde R, a variavel pode se aproximar do ponto a somente pela direita, ouapenas pela esquerda ou ambos os lados.







Seja f uma funcao real cujo domınio contem o intervalo (a, c). O limitede f (x) quando x tende a a pela direita e L se,

para todo ε > 0, existir um δ > 0 tal que se 0 < x − a < δ entao|f (x)− L| < ε.

Escrevemos neste casolim

x→a+f (x) = L.

Analogamente, se o domınio de f contem o intervalo (b, a), definimos olimite lateral a esquerda de f (x), quando x tende a a pela esquerda, comosendo o numero L se,

para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que se 0 < a − x < δ entao|f (x)− L| < ε.

Escrevemos neste casolim

x→a−f (x) = L.



ExemploSe f (x) =

√x − 1, da definicao acima segue que

limx→1+

f (x) = limx→1+

√x − 1 =

√1− 1 = 0.

Note que nao faz sentido tentar calcular limx→1−

√x − 1, pois quando x

tende a 1 pela esquerda temos que x − 1 < 0, e a raiz quadrada nao estadefinida para numeros negativos.

Note que o intervalo (b, 1) nao pertence ao domınio de f seja qual for ovalor de b.



TeoremaO lim

x→af (x) existe e sera igual a L se, e somente se, existem os limites

laterais limx→a+

f (x) e limx→a−

f (x) e alem disso,

limx→a+

f (x) = limx→a−

f (x) = L.

ObservacaoAs operacoes com limites permanecem validas para limites laterais,observando-se as restricoes devidas.



ExemploA funcao sinal e definida sobre o conjunto dos numeros reais da seguinteforma

sgn(x) =

1, se x > 00, se x = 0−1, se x < 0

.

Faca um esboco do grafico desta funcao e calcule, caso existam, oslimites lim

x→0−sgn(x) e lim

x→0+sgn(x).

Solucao: Note que

limx→0−

sgn(x) = limx→0−

(−1) = −1

limx→0+

sgn(x) = limx→0−

(1) = 1.



Observe que existem os limites laterais, porem sao diferentes. Neste caso,nao existe lim

x→0sgn(x). Segue abaixo o esboco do grafico.

−3 −2 −1 1 2 3

x

1

y

0

−1

Figura : Grafico da funcao sgn



ExemploConsidere a seguinte funcao

f (x) =

3x − 2, se x > 2

0, se x = 2

x2−4x−2 , se x < 2

.

Faca um esboco do grafico desta funcao e calcule, caso existam, oslimites lim

x→2−f (x) e lim

x→2+f (x).



Solucao: Note que

limx→2+

f (x) = limx→2+

(3x − 2) = 2.

Por outro lado,

limx→2−

f (x) = limx→2−

x2 − 4

x − 2= lim

x→2−

(x − 2)(x + 2)

x − 2= lim

x→2−(x + 2) = 4.

Neste caso, como os limites laterais existem e sao iguais, temos que

limx→2

f (x) = 4.



−1 1 2 3 4 5

x

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10y

0



Considere a funcao

f (x) =1

x2

Observe que x = 0 nao pertence ao domınio desta funcao. Qual e ocomportamento de f quando x se aproxima de zero?



Abaixo sao mostrados alguns valores de f para varios pontos do seudomınio.

x1

x2

1 10.5 40.2 250.1 100

0.01 100000.001 1000000−1 1−0.5 4−0.1 100−0.01 10000−0.001 1000000



−2 −1 1 2

x

−20

20

40

60

80

y

0

Figura : Grafico da funcao f . Observe que f (x) assume valores cada vezmaiores quando x se aproxima de 0.



Seja I um intervalo em R contendo um ponto a e f uma funcao real,definida em todo ponto de I , exceto possivelmente em a. Quando x tendea a, dizemos que f (x) cresce indefinidamente se, para qualquer numeroN > 0 dado, existir um δ > 0 tal que

se 0 < |x − a| < δ entao f (x) > N

neste caso escrevemos que

limx→a

f (x) = +∞.



ObservacaoA definicao acima nao diz que existe o limite de f quando x tende a a,diz somente que f (x) cresce indefinidamente. Na verdade tal limite naoexiste.

Nas condicoes acima, quando x tende a a, dizemos que f (x) decresceindefinidamente se, para qualquer numero N < 0 dado, existir um δ > 0tal que

se 0 < |x − a| < δ entao f (x) < N

neste caso escrevemos que

limx→a

f (x) = −∞



Definicoes analogas sao feitas para os limites laterais.

Quando x tende a esquerda de a, dizemos que f (x) cresce indefinidamentese, para qualquer numero N > 0 dado, existir um δ > 0 tal quese 0 < a− x < δ entao f (x) > N e neste caso escrevemos

limx→a−

f (x) = +∞

Quando x tende a direita de a, dizemos que f (x) cresce indefinidamentese, para qualquer numero N > 0 dado, existir um δ > 0 tal quese 0 < x − a < δ entao f (x) > N e neste caso escrevemos

limx→a+

f (x) = +∞



Quando x tende a esquerda de a, dizemos que f (x) decresceindefinidamente se, para qualquer numero N < 0 dado, existir um δ > 0tal que se 0 < a− x < δ entao f (x) < N e neste caso escrevemos

limx→a−

f (x) = −∞

Quando x tende a direita de a, dizemos que f (x) decresce indefinidamentese, para qualquer numero N < 0 dado, existir um δ > 0 tal quese 0 < x − a < δ entao f (x) < N e neste caso escrevemos

limx→a+

f (x) = −∞



TeoremaSe r for um inteiro positivo qualquer, entao

(i) limx→0+

1

x r= +∞

(ii) limx→0−

1

x r=

{−∞, se r for ımpar+∞, se r for par



Exemplo

Seja f (x) =x + 1

x3. Observe abaixo o grafico de f .

−1 1x

−80

−60

−40

−20

20

40

60

80y

0

Figura : Grafico da funcao f .MAT146 - Calculo I - Limites UFV


Note quelim

x→0+f (x) = +∞

De fato, temos

limx→0+

f (x) = limx→0+

x + 1

x3

= limx→0+

(1

x2+

1

x3

)= ∞+∞ =∞.

Como veremos no proximo teorema, temos

limx→0−

f (x) = −∞.



TeoremaSeja a ∈ R e suponha que lim

x→af (x) = 0 e lim

x→ag(x) = c, onde c 6= 0.

Entao

(i) Se c > 0 e existe δ > 0 tal que f (x) > 0 quandox ∈ (a− δ, a + δ) \ {a}, entao

limx→a

g(x)

f (x)= +∞.

(ii) Se c > 0 e existe δ > 0 tal que f (x) < 0 quandox ∈ (a− δ, a + δ) \ {a}, entao

limx→a

g(x)

f (x)= −∞.



(iii) Se c < 0 e existe δ > 0 tal que f (x) > 0 quandox ∈ (a− δ, a + δ) \ {a}, entao

limx→a

g(x)

f (x)= −∞.

(iv) Se c < 0 e existe δ > 0 tal que f (x) < 0 quandox ∈ (a− δ, a + δ) \ {a}, entao

limx→a

g(x)

f (x)= +∞.

ObservacaoO mesmo resultado vale para limites laterais infinitos.



Exemplo

Calcule limx→3+

√x2 − 9

2x − 6.

Note que

√x2 − 9

2x − 6=

√(x + 3)(x − 3)

2√

(x − 3)2

=

√(x + 3)(x − 3)

2√

(x − 3)(x − 3)

=

√(x + 3)

2√

(x − 3)

Note que a terceira igualdade e valida pois x > 3.



Agora

limx→3+

√x2 − 9

2x − 6= lim

x→3+

√(x + 3)

2√

(x − 3)

Como limx→3+

2√

(x − 3) = 0 e 2√

(x − 3) > 0, temos

limx→3+

√x2 − 9

2x − 6=∞.



Abaixo mostramos o grafico da funcao f .

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5x

−1

1

2

3

4

y

0

Figura : Grafico da funcao f



Teorema

(i) Se limx→a

f (x) = +∞ e limx→a

g(x) = c, onde c ∈ R, entao

limx→a

[f (x) + g(x)] = +∞.

(ii) Se limx→a

f (x) = −∞ e limx→a

g(x) = c, onde c ∈ R, entao

limx→a

[f (x) + g(x)] = −∞.

(iii) Se limx→a


g(x) = c, onde c > 0, entao

limx→a

[f (x).g(x)] = +∞.



(iv) Se limx→a


g(x) = c , onde c < 0, entao

limx→a

[f (x).g(x)] = −∞.

(v) Se limx→a


g(x) = c , onde c > 0, entao

limx→a

[f (x).g(x)] = −∞.

(vi) Se limx→a


g(x) = c , onde c < 0, entao

limx→a

[f (x).g(x)] = +∞.

ObservacaoO mesmo resultado vale para limites laterais infinitos.



ExemploCalcule

limx→2

x

(x − 2)2.

Note quex

(x − 2)2= x .

1

(x − 2)2,

onde

limx→2

x = 2 e limx→2

1

x2 − 2= +∞.

Assim,

limx→2

x

(x − 2)2= +∞.



Abaixo mostramos o grafico da funcao f .

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7x

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10y

0

Figura : Grafico da funcao f .



Em muitas situacoes, precisamos analisar o comportamneto de uma funcao,quando a variavel assume valores cada vez maiores (positivos ou negativos),ou seja quando x →∞ ou quando x → −∞.

Se f (x) = x , entao claramente sabemos o comportamento de f (x), quandox assume valores muito grandes. Veja figura abaixo:



−4 −3 −2 −1 1 2 3 4x

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

y

0

Figura : Funcao Identidade



Em outros casos a situacao nao e tao simples. Considere a funcao realdefinida por

f (x) =3x2

x2 + 1.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

x

1

2

3

y

0

Figura : Grafico da funcao f



O que podemos dizer sobre o comportamento de f quando x → ∞ ouquando x → −∞?

Sera que f (x) cresce indefinidamente? Ou o comportamento de f seriaimprevisıvel?



Seja f uma funcao real definida no intervalo (a,∞), onde a pode ser umnumero real ou a = −∞. Dizemos que o limite de f (x) quando x cresceindefinidamente e L se, para todo ε > 0 existir um numero N > 0 tal que

se x > N entao |f (x)− L| < ε

neste caso escrevemoslim

x→∞f (x) = L

ObservacaoPode ser que L =∞ ou que L = −∞, ou seja, podemos ter

limx→∞

f (x) =∞ ou limx→∞

f (x) = −∞

Em ambos os casos nao existe o limite.



Analogamente, se f e uma funcao real definida no intervalo (−∞, a),onde a pode ser um numero real ou a =∞, dizemos que o limite de f (x)quando x decresce indefinidamente e L se, para todo ε > 0 existir umnumero N < 0 tal que

se x < N entao |f (x)− L| < ε

neste caso escrevemoslim

x→−∞f (x) = L

ObservacaoAnalogamente, pode ser que L =∞ ou que L = −∞, ou seja, podemoster

limx→∞

f (x) =∞ ou limx→∞

f (x) = −∞

Novamente, em ambos os casos nao existe o limite.



Voltamos a funcao f (x) =3x2

x2 + 1.

x 3 · x2

x2 + 1−1 1.5−2 2.4−3 2.7−5 2.8846153846−10 2.9702970297−100 2.99970003−1000 2.999997

x 3 · x2

x2 + 11 1.52 2.43 2.75 2.8846153846

10 2.9702970297100 2.99970003

1000 2.999997

Nas tabelas acima sao apresentados alguns valores de f . Parece que f (x)tende a 3 quando x tende a∞ e tambem quando x tende a −∞. Veremosadiante como comprovar tais suspeitas.



TeoremaSe r for um inteiro positivo qualquer, entao

(i) limx→∞

1

x r= 0.

(ii) limx→−∞

1

x r= 0.



Exemplo (Revisitado)Agora podemos voltar ao exemplo anterior e provar que

limx→∞

3x2

x2 + 1= 3.

Note que3x2

x2 + 1=

3

1 +1

x2

Temos

limx→∞

1

x2= 0.

Assim,

limx→∞

3x2

x2 + 1= lim

x→∞

3

1 +1

x2

=limx→∞ 3

limx→∞ 1 + limx→∞1

x2

=3

1 + 0= 3



ExemploCalcule o seguinte limite no infinito

limx→∞

x − 5

95x + 17

Note que

x − 5

95x + 17=

1− 5

x

95 +17

x

.



Logo,

limx→∞

x − 5

95x + 17= lim

x→∞

1− 5

x

95 +17

x

=lim lim

x→∞1− 5 lim

x→∞

1

x

limx→∞

95 + 17 limx→∞

1

x

=1− 5.0

95 + 17.0=

1

95.



ExemploCalcule o seguinte limite

limx→−∞

x + 2√x2 − 3

.

Observe que

x + 2√x2 − 3

=

x

(1 +

2

x

)√

x2

(1− 3

x2

) =

x

(1 +

2

x

)|x |√

1− 3

x2

Como x → −∞ podemos assumir que x < 0,



Assim

x + 2√x2 − 3

=

x

(1 +

2

x

)−x

√1− 3

x2

=1 +

2

x

−√

1− 3

x2

.

Portanto

limx→−∞

x + 2√x2 − 3

= limx→−∞

1 +2

x

−√

1− 3

x2

=1 + 0

−√

1− 0= −1.



ExemploCalcule o limite

limx→∞

2x3

x2 + 1.

Observe que2x3

x2 + 1=

21

x+

1

x3

.



Assim,

limx→∞

2x3

x2 + 1= lim

x→∞

21

x+

1

x3

Note que

limx→∞

(1

x

)+ lim

x→∞

(1

x3

)= 0 + 0 = 0.

Temos que o limite do numerador e 2 e e o limite do denominador tendea zero por valores positivos. Assim,

limx→∞

2x3

x2 + 1=∞.


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