MASTER RAD - Prirodno matematicki fakultet · Freneove formule,krivina i torzija 9 2. POVRŠI 24 2.1. Regularne i ... Diferencijalna geometrija se razvila mnogo kasnije nakon što

UNIVERZITET U NIŠU

PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU

Oblici površi MASTER RAD

Mentor: Student:

Dr. Ljubica Velimirović, red. prof. Julijana Dončev

U Nišu , 2013. godine

Master rad 2013 god.

Julijana Dončev

Sadržaj

UVOD 1

1. KRIVE 2

1.1. Regularne i parametrizovane krive 2 1.2. Vektor brzine 4 1.3. Duzina luka 5 1.4. Krivina 7 1.5. Freneove formule,krivina i torzija 9

2. POVRŠI 24

2.1. Regularne i parametrizovane povrsi 24 2.2. Tangentna ravan 30 2.3. Funkcije na povrsima 31 2.4. Vektorska polja 32 2.5. Normalna vektorska polja 33 2.6. Diferenciranje na povrsima 34

3. LOKALNA GEOMATRIJA POVRŠI 38 3.1. Operator oblika 38 3.2. Krivina 41 3.3. Dužina i površina 45 3.4. Krive na površima 46 3.5. Lokalne jednačine za geodezijske linije 51 3.6. Interpretacija gausove krivine 53 3.7. Rotacione površi 55 3.8. Gausova teorema 58

4. ENERGIJA POVRŠI 62 4.1. Vilmorova energija 62

5. PRIMERI POVRŠI 66

ZAKLJUČAK 70

LITERATURA 71

BIOGRAFIJA 72


1 Julijana Dončev

UVOD

Geometrija (grčki: geo = zemlja, metrija = merenje) је grana matematike koja se bavi proučavanjem osobina i međusobnih osobina oblika objekta. Prvobitno je bila nauka o merenju zemlje (kako možes kupiti ili prodati zemljište ako ga ne možeš izmeriti), Grci su pretvorili ovu ‘primenjenu nauku’ u ‘čistu matematiku’ proučavajući geometrijske objekte na abstraktnom nivou (Euklidovi ‘Elementi’ su najpoznatiji primer prvog udžbenika iz ove oblasti, koji se koristio u učionicama sve do prošlog veka).

Diferencijalna geometrija se razvila mnogo kasnije nakon što se razvila viša matematika u

ranom 18-om veku: tada je bilo moguće proučavati komplikovanije geometrijske objekte, kao što su na primer proizvoljno zakrivljene ‘krive’ i ‘površi’ u prostoru.

O ‘krivoj’ se može misliti kao o obliku koji bi poprimila savijena žica u prostoru (ili na ravni) podjednako, možemo o njoj misliti kao o tragu koji ostavlja čestica koja se kreće u prostoru (Jednostavan primer je prava linija ili kružnica u prostoru (ili na ravni). O ‘površi’ se može misliti kao o sapunici ili mehuru sapuna ili površini tela na Zemlji. Jednostavan primer je ravan ili sfera u prostoru.

Predmet izučavanja ovog rada su upravo krive i površi. Cilj nam je da saznamo nešto više o

obliku površi. U prvoj glavi izučavamo oblik krive. Pored definicije regularne i parametrizovane krive I

osnovnih pojmova vezanih za krivu (vektor brzine i dužina luka krive) uvodimo pojmove krivina i

torzija krive. Navodimo Freneove formule za krivu u i . Izučavamo lokalnu formu krive, čemu

krivina i torzija služe i na kraju dajemo objašnjenje kako one određuju oblik krive.

Druga glava namenjena je proučavanju površi - definiciji regularne i parametrizovane površi

kao i osnovnih pojmova vezanih za površ (tangentna ravan, funkcije na površima, orjentacija površi,

vektorsko polje, diferenciranje na površi).

Treća glava posvećena je obliku površi, glavnom zadatku ovog rada. Započinjemo je

proučavanjem operatora oblika, a zatim nastavljamo sa jednim od najvažnijih pojmova diferencijalne

geometrije - krivinom. Izučavamo Gausovu, normalnu, geodezijsku i srednju krivinu površi i

dokazujemo veoma važan rezultat Gausa – Teoremu Egregium.

Još jedan način da se okarakteriše oblik površi je da se površ uporedi sa sferom.To je ono sto

čini Vilmorova energija o kojoj govorimo u četvrtoj glavi.

U petoj glavi navedeni su neki primeri površi.


2 Julijana Dončev

GLAVA 1 KRIVE

U ovoj glavi navešćemo neke osnovne pojmove u vezi sa krivama i razmotriti oblik krive, a u

vezi sa tim krivinu i torziju krive i objasniti kako one utiču na oblik krive.

Najpre ćemo navesti definicije regularne i parametrizovane krive, objasnićemo osnovne

pojmove vezane za krivu kao što su vektor brzine i dužina luka krive. Nadalje ćemo izložiti definicije

krivine i torzije, formule koje za njih važe kada je kriva parametrizovana lukom i kada kriva nije

parametrizovana lukom. Izučićemo i lokalnu formu krive. Glavni zadatak ovog dela biće da objasnimo

čemu krivina i torzija služe i kako to utiču na oblik krive. U ovoj glavi koristili smo ( [1] , [5], [7]).

1. 1 REGULARNE I PARAMETRIZOVANE KRIVE

Dobar način razmišljanja o krivoj je kao o objektu koji opisuje kretanje čestice u ravni: u vremenu , čestica je u tački u ravni čije su koordinate . Mi polazimo od samog početka da ono za šta smo zainteresovani nije jednostavno samo putanja čestice, već kako putanja vodi. Sada dolazi tačna definicija.

Definicija 1.1.1 : Parametrizovana kriva u ravni je diferencijabilna funkcija , gde zadovoljava (verovatno i\ili mogu biti ).

Kada kažemo da je diferenicijabilno mislimo da i i imaju

izvode bilo kog reda (tako da možemo reci da su diferencijabilne). Standardna notacija

(obeležavanje) takvih objekata je gde je otvoreni interval izmedju i . Napomenimo da je važno praviti razliku između krive (oznaka koja je vezana za bilo koje vreme tačku na putanji) i slike funkcije (putanje). Kasnije ćemo to nazivati putanjom krive .

Krive u prostoru su prirodna generalizacija kriva u ravni, naime:

Definicija 1.1.2 : Parametrizovana kriva u prostoru je diferencijabilna funkcija

. Ona ima formu , .

Dakle u opštem slučaju imamo :

Definicija 1.1.3 : Parametrizovana kriva je diferencijabilna funkcija

Parametrizovana kriva zove se regularnom ukoliko važi da nikada nije

Definicija 1.1.4 : Regularna kriva je podskup od tako da za svako postoji jedan

otvoreni skup sa i postoji glatka, jedan- jedan i na mapa čiji

izvod nikada nije .


3 Julijana Dončev

Hajde da ponovimo definiciju regularne krive. To je podskup prostora, sto je intuitivno i način

na koji mislimo o krivama. Ostatak definicije, znači da, na lokalnom nivou (tj. u svakoj tački krive),

kriva je parametrizovana kriva kao što je i definisano ranije.

Primer 1.1.1 :

Parametrizovana kriva (ne regularna pogledati

Regularna kriva:

Napominjemo da regularna kriva ne može imati samopresecanje: ukoliko ima, kriva bi bila u

obliku slova i ne bi bila jedan na jedan i na glatka mapa na nekom intervalu na . Parametrizovane

krive mogu imati samopresecanja.

Primer 1.1.2 :

Regularne parametrizovane krive sa samopresecanjem:

Razlika između parametrizovane i regularne krive nije baš značajna, s obzirom da svaka regularna kriva može biti viđena kao parametrizovana kriva, tako da ćemo našu studiju bazirati na parametrizovanim krivama.

Skup slika , gde je , naziva se tragom krive

Napomenućemo da ukoliko imamo parametrizovanu krivu i preoblikujemo je funkcijom

od do , dobijamo drugu parametrizovanu krivu sa istim tragom kao i originalnu.

Tada će biti nazvana reparametrizacija od . Npr. data nam je kriva

mi je možemo preoblikovati funkcijom kako bismo dobili parametrizovanu krivu

Trag obe krive je isti ‚helikoid‘.

U našoj studiji ‚oblika‘ krive, volimo da razmišljamo o krivama sa istim tragom kao o jednakim.

Ukoliko je slika mapa ista, zašto bismo i razmišljali o njima kao o drugačijim. Otuda su osobine koje

ćemo proučavati nezavisne od reparametrizacije.

Definicija 1.1.5 : Neka je parametrizovana kriva i neka je

diferencijabilna bijektivna funkcija čiji izvod nikad nije . Parametrizovana kriva

definisana sa zove se reparametrizacija krive


4 Julijana Dončev

1.2 VEKTOR BRZINE

Data nam je parmetrizovana kriva , njen izvod , ce biti vektor

u koji nam daje brzinu od i . O možemo misliti kao o vektoru koji je učvršćen u tački

Tangenta krive u tacki je linija

Dok reparametrizacija krive ostavlja trag invarijantne krive, kako utice na brzinu? S obzirom da

je brzina derivativna, mi moramo da uzmemo izvod od i primenimo pravilo:

Dakle vektor brzine ce biti multipliciran sa . Drugim rečima, ako putujemo duž ,

gde parametar uzimamo kao vreme, mi ćemo preći istu putanju kao da putujemo duž , ali

ćemo biti na različitim mestima u različitim trenutcima, a naša brzina će verovatno biti različita u

svakoj tački krive. Napominjem da smo koristili različite parametre za i izvedene iz

kako bismo naglasili činjenicu da je naš vremenski okvir drugačiji u svakom slučaju.

Imajmo na umu da razlog zašto smo definisali ‘regularne’ parametrizovane krive je taj sto

želimo da znamo koji je pravac tangente na krivoj. Ako je 0 u nekom trenutku onda ne postoji način

da se uopšte definise tangenta. Osim toga izbegava šiljke (vrhove) i uglove:

Slika 1.2.1

(U šiljcima ili uglovima ne postoji dobro definisana tangenta, pa s toga izvod ne postoji ili je 0 u toj

tački)

U studiji o krivama mi želimo, da ova svojstva budu nezavisna od reparametrizacije. Uzmimo

onda krivu koju možemo da koristimo uz određenu parametrizaciju kako bismo definisali broj koji je

opisuje. Možemo razmišljati o tome na sledeći način: ako želimo da uporedimo koliko su zakrivljene


5 Julijana Dončev

dve krive na putu , možemo samo da se izmerimo centrifugalnu silu dok se krećemo duž krive.

Međutim, ako bismo svakoj krivoj odredili različitu brzinu naša merenja ne bi bila uporediva, tako da

ne bismo bili u stanju da bilo šta zaključimo. Dakle, ako želimo da uporedimo koliko su zakrivljene

krive na putu morali bismo da ih uzmemo sve sa istom brzinom.

Kada proučavamo krive u želimo da parametrišemo krive, tako da brzina vektora ima

konstantnu dužinu u svakoj tački, a da bi olakšali biramo da ova dužina bude 1. Ali da li je to uvek

moguće? Uskoro ćemo videti da jeste, ali prvo nam je potrebna definicija.

1.3 DUŽINA LUKA

Uzmimo na primer da proučavamo geometriju, krenimo sa merenjem dužina krive. Intuitivno,

znamo kako da merimo duzine segmenata (i imamo definiciju za ovo : duzina segmenta od do

je . Kako da ovo upotrebimo na krivoj?

Prva ideja bi bila da krivu približimo kratkim segmentima i potom merimo dužinu svakog

segmenta, a potom saberemo:

Slika 1.3.1

Intuitivno je jasno da, ako smo uzeli kraće segmente dobićemo bolju aproksimaciju za ono što

nazivamo ‘dužinom krive’. Ako uzmemo kao granicu da dužina segmenata ide do 0 (tako da ‘sabiramo

dužine beskonačno mnogo malih segmenata’) dobijamo integral. Tako dolazimo do sledece

definicije.

Definicija 1.3.1 : Dužina luka parametrizovane krive između tačke i

definisana je kao:

Ovo je tačka u kojoj postaje jasnije zašto je ime ovog dela drugačije: potrebni su nam izvodi u

cilju merenja dužine. Zapravo dužina nediferencijabilne krive (tj. pod pretpostavkom da je

neprekidna) se može definisati kao granica koja je objašnjena pre definicije, pod uslovom da ta


6 Julijana Dončev

granica postoji. U ovom slučaju kriva se zove ‘otklonjiva’. Postoje, međutim, trajne krive za koje ovo

ograničenje ne postoji ili je jednako beskonačnosti.

Takodje mozemo dokazati da parametrizovana regularna kriva može biti reparametrizovana

tako da njen vektor brzine ima vrednost .

Lema 1.3.1 : Svaka kriva može biti reparametralizovana tako da njen vektor

brzine ima vrednost . Ova reparametrizacija se zove parametizacija dužinom luka.

Dokaz : Neka je i uzmimo u obzir sledecu funkciju

S obzirom da je glatka (npr. može biti diferencijabilna onoliko puta koliko zelimo) je

takođe glatka. S obzirom da nikada nije , je takođe glatka. Sada, integral glatke funkcije je

takodje glatka, tako da je glatka.

Izvod je kod osnovne teoreme računanja. Ovo je zapravo ključna

osobina i zbog toga je vrednost irelevantna za dokaz. U stvari, svaka funkcija koja

zadovoljava će moci da se upotrebi. Pošto je kriva regularna, nikada nije

, i uvek je rastuća ili opadajuća funkcija, što implicira da je jedan-na-jedan i zato ima inverznu

diferencijabilnu.

Pretpostavimo da je inverzna za (izostavljamo beleženje zbog olaksice:

označava i varijablu i funkciju) Neka je . Tada, s obzirom da je

,diferenciranjem obe strane po s i koristeci pravilo niza,dobijamo da je i s toga,

što ivek ima smisla s obzirom da nikada nije .

Sada racunamo :

Jasno je da desna strana izraza ima vrednost . Znaci =1 za svako .

Primer 1.3.1 : Pronađimo parametizaciju uz pomoć dužine luka krive

(spirala).

Sledi,


7 Julijana Dončev

[Primetite da smo upisali jedan neprimeren integral kako bismo definisali . Kao što smo ranije

napomenuli potrebno nam je da ne proizilazi iz . Npr, takodje smo mogli odabrati

gde je neka konstanta]. Inverzna za je pa je

reparametrizacija duzinom luka ,

Parametrizacija dužinom luka nije jedinstvena kako smo videli iznad. Ali zavisi od ‚porekla

vremena‘ i ‚smera vremena‘, i sledi:

Lemma 1.3.2 : Ako su i dve reparametrizacije dužinom luka iste parametrizovane krive

, onda je i ili , gde je slovo konstanta. U prvom slučaju

kazemo da dve parametrizacije imaju istu orijentaciju a u drugom da imaju suprotnu orijentaciju

(kriva je postavljena u suprotnom smeru).

Dokaz: s obzirom da su i reparametrizacije , je takodje reparametrizacija , stoji

da je za istu bijektivnu glatku funkciju . Uzevši izvode obe strane i koristeći pravilo

niza, dobijamo

i uzimajuci norme pronalazimo da je

Otud je za sva , sto implicira da je za neke konstante , i zbog

toga ili za sve vrednosti , što implicira za neke

konstante , i iz toga sledi . Primećujemo da su ovo jedini slucajevi: gde ne

moze biti za neke vrednosti i za druge s obzirom da je to trajna funkcija.

1.4 KRIVINA (ZAKRIVLJENOST)

Naš sledeći zadatak je pronaći matematički odgovor na pitanje ‚koliko je zakrivljena kriva‘?

Kao što smo i ranije diskutovali, ukoliko vozimo automobil rekli bismo da, usled iste brzine, sto je veća

zakrivljenost, više osećamo centrifugalnu silu. Centrifugalna (od centra) sila je reakcija centripetalne

sile, koja pretstavlja vrednost promene pravca vektora brzine, sto je brza promena, centrifugalna sila

će biti veća.


8 Julijana Dončev

Vektor brzine se menja polako Vektor brzine se menja naglo

slaba centrifugalna sila Slika 1.4.1 jaka centrifugalna sila

Definicija 1.4.1 : Neka je parametrizovana kriva, parametrizovana dužinom

luka(pr. za svako . Krivina krive u tački predstavljena je funkcijom

i tradicionalno je obeležena grčkim slovom (kappa).

Zakrivljenost parametrizovane krive je generalno definisana kao zakrivljenost bilo koje

reparametrizacije dužinom luka te krive.

Naravno, ova definicija ima smisla jedino ako je broj nezavistan od dužine luka

parametrizacije . Lako je videti da je to slučaj: ako su i reparametrizacije dužinom luka iste

krive, tada je po Lemmi 1.3.2, , pa i

. Iz toga sledi i će biti jednako u svakoj tački krive nezavisno da li je

definisano koristeći ili .

Primer 1.4.1 : Izračunati zakrivljenost krive na primeru 1.3.1.

Parametrizacija dužinom luka krive je . Iz toga proizilazi

Primer 1.4.2 : Izračunati zakrivljenost regularne krive u koja leži na krugu poluprecnika

sa centrom u tacki .

Neka je kriva i pretpostavimo da je parametrizovana dužinom luka. S obzirom da leži na

krugu poluprečnika sa centrom u tacki , imamo

Pišemo poslednju jednačinu kao i uzimamo izvod obe strane.

Dobijamo:


9 Julijana Dončev

Tako da su i ortogonalni.

pa

U drugu ruku je parametrizovana duzinom luka pa

Diferencirajuci poslednju jednačinu dobijamo :

i zato mora takodje biti ortogonalno sa . S obzirom da smo u , dva vektora

ortogonalna datom moraju biti paralelna, tako da i moraju biti paralele. Iz toga

proističe

S obzirom da je , konačno dobijamo

1.5. FRENEOVE FORMULE, KRIVINA I TORZIJA

Ako se vozimo na toboganu sve snage koje osećamo su preuzete sa stanovišta našeg

referentnog sistema, koji se vozi sa nama na toboganu. Tako da ima smisla opisati relevantne osećaje

kod skretanja sa referentnim sistemom koji se kreće sa krivom.

Neka je parametrizovana kriva. Definisemo kao jedinicni vektor tangente krive koji

pokazuje pravac kretanja . Iz ovoga proističe, ako je parametrizovana dužinom luka,

Iako je funkcija parametra , mi normalno mislimo o tome kao o funkciji tacke krive.

U stvari,umesto oznake koristimo oznaku .

Kada nije parmetrizovana dužinom luka, definisemo

Sada primetite sledece: ako je parametrizovana dužinom luka, tada

Uzimajući izvode sa obe strane dobijamo


10 Julijana Dončev

To implicira da je ili ortogonalno .

Da bismo definisali referencu okvira kretanja potrebna su nam tri vektora. Vec imamo .

Dobar izbor za drugi vektor bio bi jedinični vektor u pravcu . Medjutim, to je izvodljivo ako je

. Stoga ćemo našu studiju ograničiti na krivama kako bismo zadovoljili ovaj uslov.

Definicija 1.5.1 : Parametizovana regularna kriva , parametrizovana duzinom

luka, zove se biregularna ako za svako

Paramertrizovana regularna kriva ne parametrizovana dužinom luka, zove se

biregularna ako ima reparametrizaciju dužinom luka koji je biregularan (i stoga sve njene

reparametrizacije dužinom luka takođe ce biti biregularne - videti napomenu pre primera 1. 4.1).

Lemma 1.5.1 : Kriva je biregularna ako i samo ako su I linearno

nezavisne za sva .

Dokaz: Neka je reparametrizacija dužinom luka . Tada je

I

Ako je biregularna onda I , tako da i moraju

biti linearno nezavisne. Ali gledajući izraz dat iznad, implicira se da I takođe

moraju biti linearno nezavisne. U suprotnom mora biti deljiva sa , pa time obe

I bi bile deljive sa , opovrgavajući njihovu linearnu nezvisnost.

Suprotno od toga, ako su I linearno nezavisne, tada ne može biti , jer

je to linearna kombinacija od I sa koeficijentom koji ne moze biti , (s obzirom da

nikada nije ).

Za datu parametrizovanu biregularnu krivu, parametrizovanu dužinom luka definišemo

jedinični vector normale:

Primecujemo da ima dužinu I ortogonalno je sa . Takodje, definicijom , i , mi

dolazimo do formule:

Do ovog trenutka sve ovo sto smo uradili vezano je za krive u , bez specifikovanja vrednosti

n. Od sada moraćemo da napravimo razliku. Prvo, u ovoj studiji proučavaćemo samo krive u i

. Iste ideje međutim funkcionišu za svaku vrednost .


11 Julijana Dončev

KRIVE U

Definisali smo ortogonalne vektore I koji se kreću sa krivom. Zato smo već imali

referentni okvir za , za svaku vrednost parametra , . Već znamo da je

. Koji je izvod iz ?

S obzirom da ima vrednost , koristeći isti proračun koji smo koristili za dobijamo da

mora biti ortogonalno , i stoga mora biti deljivo sa . Sada ćemo upotrebiti sledeći trik koji je

vazan za mnoge proračune vezane za krive:

S obzirom da je , imamo

I stoga

Ovo nam daje Frenet-Seretove formule za krive u :

Ukoliko vektore i smatramo vektorima kolone u , onda ove jednačine mogu biti

zapisane u osnovnoj formi kao:

Dolazimo do zaključka da kompletno karakterise oblik biregularnih kriva u . Drugim

rečima, ako nam je poznato , onda možemo opisati krivu u potpunosti (mada ne bismo znali gde je

locirana u ravni).

Teorema 1.5.1 (Jedinstvenost) : Neka su r i regularne ravanske krive u definisane na

nekom intervalu .Pretpostavimo da r i imaju jednaku krivinu u svakoj tački.Tada,očuvavajući

orjentaciju,postoji kretanje u koje r prevodi u .

KRIVE U

Referentni format u prostoru sadrzi tri vektora. Data biregularna parametrizovana kriva sa

određenim ortogonalnim jediničnim vektorima I . Odgovarajuci izbor trećeg vektora, takvog da

je jedinični i ortogonalan sa i je:

Gde je vektorski proizvod u .


12 Julijana Dončev

Vektor je jedinični vektor binormale.

Jedinični vektori u svakoj tački krive odredjuju pokretni triedar krive . On je

pozitivno orjentisan npr. na isti način kao i standardni koordinatni vektori u .

Izračunajmo izvod od . Ova kalkulacija je dobar primer kako računati izvod vektorskih polja

preko krive. Prvo, izrazimo preko vektora :

Kao i ranije s obzirom da je , diferenciranjem obe strane primecujemo da je

.

Drugim recima, , pa diferenciranjem obe strane dobijamo

S obzirom da je ortogonalno sa i s toga . Tako dobijamo da se sadrži u ,

pa zapisujemo

Gde je . Ne postoji pravi razlog zbog korišćenja minusa, uobicajeno je tako.

Funkcija zove se torzija.

Već znamo i . Hajde da pronađemo koristeći istu strategiju kao ranije. Pisemo:

Kao i pre , s obzirom da ima vrednost . Kako bismo pronašli radimo

sledeće:

Tako dobijamo

Radeći isto sa umesto , otkrivamo

C

B

T

N


13 Julijana Dončev

Tako dobijamo

Možemo sumirati rezultate ovako:

Teorema 1.5.2 (Frenet-Serretove formule) : Neka je biregularna kriva u ,

parametrizovana dužinom luka. Neka je , I .

Tada dobijamo:

Ako vektore smatramo vektorima kolona u , onda ove jednačine mogu biti napisane u

osnovnoj formi kao

Primedba 1.5.1 : Frenet-serretove formule krive u ravni su specijalan slučaj onih u prostoru

kao sto sledi.

Data kriva u ravni može biti ugrađena u kao -ravan kako bismo dobili krivu u

prostoru. Vektori i će ležati u ravni. S obzirom da je ortogonalno sa i , mora takođe

biti ortogonalno i prema -ravni. S obzirom da je takođe unitarno, mora biti ili ili

. Ali onda dobijamo

sto implicira da je torzija, , tako da Frenet-Serretove formule postaju :

što nam govori potpuno isto o i o kao i Frenet-Serretove formule u .

To znači da se sve osobine krivih u mogu izvesti kao poseban slučaj krivih u .

Primer 1.5.1 : Odrediti Frenet-Serretove formule, zakrivljenost i torziju za krivu

(helix). Prvo ćemo je parametrizovati dužinom luka

Ovde imamo , ili ekvivalentno (primećujemo da izbegavam obeležavanje

ovde. Koristimo i i kao funkcije i kao promenljive). Otud je kriva :


14 Julijana Dončev

reparametrizacija duzine luka . Imamo :

Dobijamo sledecu krivu , gde su vektori vidljivi u različitim tačkama.

Slika 1.5.1


15 Julijana Dončev

FORMULE ZA KRIVE KOJE NISU PARAMETRIZOVANE DUŽINOM LUKA

Da bismo pronašli krivine i torzije u poslednjem primeru prvo smo morali da reparametrišemo

krivu dužinom luka. To je dosadno i ponekad veoma teško, jer moramo da je integrišemo. Sledeće su

opšte formule koje važe za bilo koju parametrizaciju krive.

Teorema 1.5.3 : Neka je biregularna parametrizovana kriva. Neka je

(brzina ). Tada

gde su svi izvodi uzeti sa parametra .

Dokaz : Neka je reparametrizacija dužinom luka od tako da , gde je

funkcija dužine luka . Imamo . Pažljivo tražimo izvod koristeći pravilo

niza i pojednostavljujemo

Teorema 1.5.4 : Neka je biregularna parametrizovana kriva. Tada

Dokaz : Prva jednačina proizilazi iz Teoreme 1.5.3. iz te teoreme mi takođe dobijamo:

S obzirom da je i mi dobijamo željeni izraz.

s obzirom da je definicija


16 Julijana Dončev

Za dobijanje , koristeći Teoremu 1.5.1 imamo

Postujući norme, dobijamo

Izraz za dolazi iz računanja i koristeći tvrdjenje 1.5.1:

iz cega dobijamo željeni izraz.

ČEMU SLUŽE KRIVINA I TORZIJA

Još uvek nismo opravdali naš interes krivine i torzije. Ispostavilo se da će nam ove dve funkcije

reći sve o obliku krive. Pre dokazivanja ove činjenice, mi ćemo dokazati nekoliko rezultata koji

razjašnjavaju ono što krivina i torzija znače geometrijski. Sledeći predlog je intuitivno jasan: s obzirom

da nam zakrivljenost ravni krive govori koliko je ona kriva, ako je zakrivljenost konstanta(stalna) uvek

ce biti ista, tako da će ležati u obimu.

Teorema 1.5.5 : Neka je biregularna parametrizovana kriva. Onda je

zakrivljenost krive konstanta ako i samo ako se slika krive nalazi u krugu radijusa .

Dokaz:

Već nam je poznat deo ‘ako’ iz Primera 1. 4.2

Za deo ‘samo ako’, pretpostavimo da kriva ima konstantnu krivine , i pretpostavimo da je

parametrizovana dužinom luka (znamo da nema gubitka opštosti u ovoj tvrdnji). Hajde da koristimo

neku geometrijski intuiciju prema onome što želimo da dokažemo. Ako je istina da se nalazi u kružnici

poluprečnika , to bi moglo biti moguće samo ako postoji tačka (centar ovog obima) tako da

- ovo je ono sto zelimo da dokazemo

Znači treba dokazati da je kriva

konstanta. Kako bismo to uradili uzećemo

izvode i koristiti Frenet-Serretove formule:


17 Julijana Dončev

Otud funkcija

mora biti konstanta koju cemo obeleziti slovom i dobijamo:

kao sto smo i želeli. Menjajući mesta i koristeći norme dobijamo:

Što dokazuje da kriva leži u obimu sa centrom i radijusom .

Takodje bi imalo smisla da krive sa zakrivljenosti leže u pravoj liniji (tj. leze u krugu sa

infinitnim radijusom tj. liniji). Ovo je takođe tačno za krive u prostoru čak i ako prethodna

pretpostavka nije (pogledati helix u primeru 1. 5.1)

Teorema 1.5.6 : Regularna kriva krivine 0 leži na liniji.

Dokaz : S obzirom da je krivina , imamo . Integrišući dva puta, dobijamo

za neku tačku i neki vektor .

Sledeći rezultati daju nam objašnjenje torzije.

Teorema 1.5.7 : Neka je biregularna kriva u prostoru. Tada je torzija krive jednaka 0

svuda, ako i samo ako leži u ravni.

Dokaz : Ako leži u fiksiranoj ravni, tada i moraju biti paralelne sa ovom ravni, tako da

mora biti ortogonalno ovoj fiksiranoj ravni, tako da ne menja pravac. S obzirom da u dodatku

ima konstantnu vrednost duzine jednaku , mora biti konstanta. Stoga

sto implicira

Suprotno tome, pretpostavimo da je . Tada poslednja jednačina implicira da mora

biti konstanta.

Hajde da koristimo neku geometrijski intuiciju ponovo da vidimo kako ćemo opisati da ‘leži u

ravni’ koristeći formule. Kriva leži u ravni koja prolazi kroz neke fiksne tačke (recimo ) i normalna je

na vektor (recimo ) ako i samo ako, za svako ,


18 Julijana Dončev

(to je ono sto zelimo da dokazemo).

Ovo je isto kao da kažemo da je funkcija konstanta. Primer za vektor u našem

slučaju će biti konstantni vektor . Hajde da izračunamo

Stoga je konstanta. Ako je sa nekom fiksnom vrednošću , u domenu ,

imamo

za sva i zato

što nam pokazuje da leži u ravni i prolazi kroz tako da je normalna u odnosu na

(konstantu) vektor .

Ovaj predlog daje geometrijsku interpretaciju torzije: to je mera koliko krivih neće biti u ravni.

Mi sada dajemo više fizičku interpretaciju. Pretpostavimo da se vozite na ringišpilu, tako da je vaša

glava uvek okrenuta u smeru od normalnog krive opisanog toboganom (to je najsigurniji izbor:

centrifugalna sila će nas gurati samo gore ili dole, ne sa strane, tako da je teže padati). Ako

protegnemo ruke onda ce jedna ruka ići gore, a druga će ići dole. Brzina kojom se one kreću je

torzija. A najveći prosvetiteljski pogled na krivine i torzije je sledeći.

LOKALNA FORMA KRIVE

Neka bude biregularna kriva parametrizovana dužinom luka. Uz pomoć Teoreme 1.5.3

možemo naći Tailorov razvoj krive do poređanih tačaka . Za lakše razumevanje

pretpostavimo da (inače reparametriše krivu). Pošto je parametrizovana dužinom luka,

, pa imamo

Stoga Taylorov razvoj krive od do je:


19 Julijana Dončev

Tako da je do tačke kriva približno jednaka krivoj

Figure ispod predstavljaju priblizni grafikon krive za neke vrednosti i .

Koristimo ose sa vektorima pravca sa centrom u . Projekcije na tri

koordinatne ravni su takođe prikazane.

U principu, ravan sastavljena od vektora se zove oskulatorna ravan (od latinski ‘osculo’,

što znači ‘poljubac’).. Ravan sastavljena od naziva se rektifikaciona ravan , a ravan sastavljana

od se zove normalna ravan. Primetimo sledeće:

Sto je veća , uža je ‘parabola’ u projekciji na oskulatornu ravan, i uža je kubna parabola u projekciji na rektifikacionu ravan.

Ako je pozitivna, projekcija na rektifikacionu i normalnu ravan je kao sto je navedeno dole na slici. Ako je negativna, projekcija na rektifikacionu ravan je obrnuto od onog sto je prikazano dole na slici, projekcija na normalnu ravan će biti ista sa obrnutim pravcima.

Imajmo na umu da ako je pozitivna onda kriva prolazi oskulatornom ravni u sa strane na kojoj ukazuje na suprotnu stranu, a ako je negativna onda je suprotno.

Sto je veća , strmija će biti projekcija dve grane na normalnu ravan.

Kriva Projekcija na oskulatornu ravan

( kvadratna parabola)


20 Julijana Dončev

Projekcija na rektifikacionu ravan Slika 1.5.2 Projekcija na normalnu ravan

(Kubna parabola) (semikubna parabola)

KRIVINA I TORZIJA ODREĐUJU OBLIK KRIVE

Prisetimo se da ono što mi razumemo po obliku su osobine jedne krive bez obzira na njen

položaj u prostoru. Drugim rečima, ako imamo dve krive i kada sklonimo jednu od njih krutim

pomeranjem, odnosno rotacijom i premeštanjem, dobijamo druge, mi kažemo da su one istog oblika.

U ovom odeljku ćemo videti da se dve biregularne krive sa istom zakrivljenošću i torzijom razlikuju

krutim pomeranjem.

Podsetimo se da je kruto pomeranje praćeno premeštanjem. Premeštanje je samo dodavanje

fiksnog vektora. Rotacija je linearna mapa čija matrica u standardnoj bazi zadovoljava

i

Teorema 1.5.8 : Data je glatka funkcija i , , postoji biregularna

parametrizovana kriva tako da je dužina luka i da su njena zakrivljenost i torzija

date sa .

Osim toga bilo koja druga kriva zadovoljava iste uslove i razlikuje se od krutim

pomeranjem: postoji i ortonormirana mapa i vector i kruto pomeranje tako da

za svako .

Da bismo dokazali ovu teoremu trebaju nam neki važni rezultati. Pre svega nam treba sledeća

teorema da bismo to potvrdili bez dokaza.

Teorema 1.5.9 : Neka je glatka funkcija, gde je matrica sa

realnim koeficijentima. Neka je i .

Tada postoji jedinstvena funkcija tako da

Koristeci ovu teoremu tvrdimo i dokazujemo poboljšanu verziju prve polovine teoreme 1.5.2.


21 Julijana Dončev

Teorema 1.5.10 : Neka je I , glatka funkcija. Neka je

fiksiran broj i neka je tačka u i , sa pozitivno orijentisana

ortonormirana projekcija.

Onda postoji jedinstvena biregularna parametrizovana kriva tako da je

parametrizovana dužinom luka, tako da su zakrivljenost i torzija date sa , i tako da je

Dokaz:

Skup sistema diferencijalnih jednacina (u )

sa uslovima

(Ove jednačine su samo definicija i Frenet-Serretove formule.) Može biti napisana u formi

konkretizovane u hipotezi poslednje teoreme, pa to znači da postoji jedinstveno rešenje koje

zadovoljava dati uslov. Ostaje samo da se dokaže da su funkcije forme Frenet okvira krive

. Dokaz ove činjenice nije trivijalan.

Pretpostavimo da su , , i rešenja za sistem jednačina datih iznad. Tada

skalarni proizvodi vektora mora implicitno da zadovolji sledeće (Ovo je pitanje o primeni

pravila u izvodu skalarnog proizvoda i korišćenje tog izraza za , i iznad):

sa inicijalnim uslovima


22 Julijana Dončev

Primeticete da ovo nije sIstem vektora , veĆ svih njihovih udvojenih skalarnih

proizvoda. Prethodna teorema garantuje da sIstem ima jedinstveno rešenje. Ali primetićete da je

takođe resenje .Tako da ovo mora biti rešenje. Upravo zbog toga okvir koji prave vektori je

ortonormiran. Kao dodatak, s obzirom da ima vrednost I normalan je u odnosu na vektore

, mora biti jednak ili – . Ne može biti jedan od njih za neke vrednosti parametra a

drugi za druge vrednosti, jer to bi bilo suprotno kontinuitetu . S obzirom da za imamo

, možemo dokazati da je ova jednačina tačna za sve vrednosti parametra. Iz tog razloga

okvir formiran od mora biti Frenet okvir za s obzirom da zadovoljava

Sada smo spremni da dokazemo drugi deo teoreme 1.5.8

Dokaz: Pretpostavimo da i imaju isto zakrivljenje i istu torziju za svako .

Neka je tačka u dometu i i neka su i

Frenetovi okviri sa tackom , za i redom. Neka je ortogonalna matrica tipa determinante 1 koja zadovoljava

(Primetite da su oba Frenetova okvira su ortonormalna i pozitivno orijentisana tako da

ortogonalna mapa mora postojati). Hajde da izračunamo zakrivljenost i torziju krive

, gde je . Prvo imamo:

s obzirom da je izvod linearne funkcije sama funkcija i takodje

Hajde da upotrebimo formule iz odeljka 1.5.3.


23 Julijana Dončev

S obzirom da čuva normu i ima izvod jer je ortonormalna.

Kako bismo završili sa dokazivanjem, primetićemo da i imaju istu zakrivljenost i

torziju, i isti Frenet okvir u uobicajenoj tacki ( ). Tada, na osnovu jedinstvenosti

poslednjeg dela tvrdjenja, one moraju biti iste krive. Dakle pišući , dobijamo

tako da se i razlikuju za kruto kretanje , kao sto smo i tvrdili.


24 Julijana Dončev

GLAVA 2

POVRŠI

Pojam površi moze biti intuitivno shvaćen kao kup pun fantazije, koji je napravljen od nekoliko

komada gline, spljoštenih na sto, a zatim od svakog od njih proizvoljno napravljene činije čudnog

izgleda, prilepljene moguće ivice i uglovi poravljani.. Dobijeni objekat je, formalno gledano, podskup

trodimenzionalnog prostora .

U ovoj glavi daćemo preciznu definiciju površi i izložiti osnovne pojmove vezane za površ. U

delu 2.1 izložićemo definicije regularne i parametrizovane površi i posmatrati odnos medju njima.

Deo 2.2 posvećen je tangentnoj ravni, deo 2.3 funkcijama na površi, odnosno razmatranju kad je

funkcija diferencijabilna na površi. Kako nam je za dalja razmatranja potrebna defincija vektorskog

polja i neke osobine vektorskog polja, u delu 2.4 bavili smo se vektorskim poljima. U delu 2.5

izložićemo definiciju orjentisane površi, a deo 2.6 je veoma važan i u njemu smo predstavili definiciju

izvoda pravca na površima.U ovoj glavi koristili smo ([1], [2], [5])

2.1. REGULARNA I PARAMETRIZOVANA POVRŠ

Kao u slučaju kriva, imamo dve definicije koncepta površi. Jedna od njih (regularna površ)

naglašava činjenicu da su površi, kao što mislimo, skup tačaka. Druga (parametrizovana površ) ističe parametrizaciju površi. Iako su ova dva koncepta slična u slučaju krive (svaki regularna kriva može da bude pokrivena jednom parametrizacijom, pa to je regularna parametrizovana kriva), one su različite u slučaju površi: sfera, na primer, je regularna površ, ali neparametrizovana regularna površ.

Od sada pa na dalje, specijalizirani smo za slučaj površi u . Za definicije površi u , svako

zamenicemo sa . Definicija 2.1.1 : Parametrizovana površ je glatka mapa , gde je otvoren

u . Površ se zove regularna parametrizovana površ ako je mapa regularna.( Mapa je regularna ako vazi 0, za svako )

Uslov regularnosti je tu da garantuje da je slika od zaista ono što intuitivno shvatamo kao

površ (inače, uzimajući konstantu - ne regularnu - dobili bi da je tačka površ, što je nelogično). Definicija 2.1.2 : Regularna površ je podskup u tako da za svaku tačku

postoji otvoren skup , otvoren skup i mapa koja zadovoljava sledece uslove :

1) je glatka. To znači da za datu ,

funkcije imaju neprekidne parcijalne izvode bilo kog reda u ;


25 Julijana Dončev

2) je homeomorfizam. Kako je neprekidna po prethodnom uslovu,ovo znaci da ima inverz koji je neprekidan ;

3) (Uslov regularnosti) Za svako , diferencijal je jedan – jedan.

Uslov 3 može se izraziti na jedan od sledećih načina:

za svako ili

jedna od Jakobijan determinante

mora biti različita od nule u tački .

Svaka mapa ove vrste zove se parametrizacija ili sistem koordinata u tački ; je često grafikon.

Druga definicija verovatno izgleda komplikovano. Hajde da objasnimo njeno značenje i da

prvo uradimo to sa slikom :

Slika 2.1.1

Situacija opisana iznad je za svako u . Drugim rečima, površ je podskup koja može

biti prekrivena zavijucima. Svaki zavijutak površi izgleda kao (mada možda deformisano) delić .

PRIMER 2.1.1.

Pokažimo da je jedinična sfera:

regularna površ u .

Prvo ćemo pokazati da je mapa data sa


26 Julijana Dončev

gde je I parametizacija u .

Uočimo da je deo u iznad ravni.

Kako je funkcija ima neprekidne parcijalne izvode bilo kog

reda. Dakle je diferencijabilna pa je uslov 1 iz definicije 2.1.2 ispunjen.

Uslov 3 se lako proverava budući da je

Da bismo proverili uslov 2 uočimo da je jedan – jedan I da restrikcija projekcije

na skup Dakle je neprekidna u

Mi treba da prekrijemo celu sferu sličnom parametrizacijom kao do sada. Definišimo

sa

proveravamo da je parametrizacija I uočimo da prekrivaju minus ekvator

Sada posmatrajući ravni, definišemo parametrizacije

koje zajedno sa prikrivaju kompletno (slika 2.2).

Slika 2.1.2


27 Julijana Dončev

Dakle je regularna površ.

Neka je I data sa

Jasno, Dokazaćemo da je parametrizacija u

Jasno je da funkcije imaju neprekidne parcijalne izvode bilo kog

reda; Dakle, je diferencijabilna.Da bi Jakobijan determinante istovremeno bile nula

istovremeno bile nula, neophodno je da

Ovo se ne dešava u , tako da su uslovi 1 I 3 iz definicije 2.1.2 ispunjeni.

Nadalje uočimo da za dato , gdeje polukrug

je jedinstevno određeno sa gde je . Znajući možemo naći

iz I , I ovo određuje jednistveno

Odavde proizilazi da ima inverz . Da bismo kompletirali tvrđenje uslova 2 pokazaćemo da je

neprekidna. Kako važi tvrđenje: ‘neka je tačka regularog prostora I neka je

mapa sa tako da su zadovoljeni uslovi 1 I 3 definicije 2.1.2. Pretpostavimo

da je jedan – jedan. Tada je neprekidna’. I ovaj uslov je zadovoljen. Dakle je regularna

površ.

Bilo bi veoma dosadno kada bismo morali da proverimo sve osobine u definiciji 3.1.2 kako

bismo videli da je nešto površ. Srećom imamo neke jednostavnije kriterijume.


28 Julijana Dončev

Lema 2.1.1 : Ako je glatka funkcija na otvorenom skupu , onda je

graf funkcije regularna površ.

Dokaz:

Podsetimo se da je graf funkcije skup tačaka oblika . Neka je

definisano kao .Dovoljno je da pokažemo da je parametrizacija

grafa cija koordinatna okolina prekriva svaku tačku grafa.

Prvo, po definiciji grafa prekriva sve, tako da je na. Takođe je jedan-jedan, jer drugačije

će dati drugačije tako da je bijektivna.

je neprekidna i glatka zato što su takve i i . je samo projekcija

koja je takođe neprekidna.

Napokon,

koja ima rank , pa je zato regularna.

Jos jedan korisni kriterijum je:

Lema 2.1.2 : Neka je glatka funkcija. Pretpostavimo da je skup

. Ako je u svakoj tacki , tada je regularna površ.

Dokaz : Ovo je rezultat teoreme o implicitnim funkcijama , koja jasno kaze da da data

jednačina gde je regularna, se uvek može rešiti za jednu varijablu, makar lokalno.

Tako da bismo utvrdili ideju, pretpostavimo da je trebamo rešiti za , to mozemo zapisati

Tada ce biti lokalni graf funkcije .

Napomenucemo da ne mogu sva biti grafovi funkcije, kao sto pokazuje sledeći primer.

Primer 2.1.2

Uzevsi u obzir . Onda je koje ne iznosi nula

kada je (jer ako je tada ili nije ). Pa grupa tacaka gde

je je regularna površ-sfera - normalno obeležena kao

Hajde da umetnemo u zapis funkcije:


29 Julijana Dončev

prekriva vrh otvorene hemisfere.

prekriva dno otvorene hemisfere

prekriva desnu stranu otvorene hemisfere

prekriva levu stranu otvorene hemisfere

prekriva prednji deo ovorene hemisfere

prekriva zadnji deo otvorene hemisfere

Ovih šest zavijutaka prekrivaju celu . Imajmo na umu da nijedan od tih zavijutaka ne može

da se definiše kada je kvadratni koren onoga sto se nalazi unutar manji od , a ne može se proširiti.

Primer 2.1.3

Rotacione površi: pretpostavimo da je površ dobijena rotiranjem krive

, i da leži u ravni negde oko -ose. Kako bismo garantovali regularnost , pretpostavljamo

da je kriva regularna i da je za svako

Parametrizacija za biće

prekriva osim dela koji odgovara originalnoj pravoj . Želeći da

prekrijemo i ovaj deo neka je

Tada i zajedno prekrivaju .

Primeticemo da je regularno (za je isti postupak)

i nikada nije jer i ili ne mogu biti (originalna kriva je regularna).

Naravno, mogli smo početi sa krivom u bilo kojoj ravni umesto u -ravni, to funkcioniše na

isti način. Takođe smo mogli rotirati krivu oko bilo koje od drugih osa, pod uslovom da je originalna

kriva izabrana u skladu sa tim.


30 Julijana Dončev

2.2. TANGENTNA RAVAN

Definicija 2.2.1 : Neka je regularna površ i . Tangentna ravan površi u tački

je

Drugim rečima je skup svih mogućih tangentnih vektora krive u tacki .

Lemma 2.2.1 : Neka je bude deo povrsi sa . Tada

Dokaz : Prvo ćemo pokazati da . Smatrajmo da je kriva

gde su i proizvoljni brojevi. Sada pa . Međutim, pravilo

niza nam daje

što dokazuje da

Sada dokazujemo da je Ako je kriva sa

tada za kod nekih subintervala kriva će lezati u , i dakle mi možemo

zapisati za neke krive . (Uzimamo za

cinjenicu da je glatka, ovo je posledica teoreme inverzne funkcije). Tada, koristeći pravilo niza,

Napomena 2.2.1

S obzirom da je raspon dva vektora, to mora biti vektorski podprostor u .

Strogo govoreći, treba da bude definisan kao prostor parova ,

gde je takva kriva da . Sabiranje i množenje vektora skalarima u

će onda biti definisano kao . Mi nećemo koristiti ovaj formalizam

kako bismo izbegli komplikacije sa obelezavanjem.

Međutim, uvek je zgodno misliti o kao vektorskom prostoru navedenom u definiciji , ali

‚usidren u tacki ‘. Geometrijski mogli bismo da razmišljamo o njemu kao o ravni koja je ‚tangenta ‘

površi , ali ova ravan neće proći, uopšte, kroz od , tako da ne bi bio vektorski

prostor. Tako mislimo o kao o vektorskom prostoru, opet, ‚usidrenom‘ u ili ako želimo,

oznakom koja ukazuje da je tangenta u tacki .

Primer 2.2.1 : Tangentni prostor površi parametrizovane sa u

tački je podprostor dat


31 Julijana Dončev

2.3. FUNKCIJE NA POVRŠIMA

Definicija 2.3.1 : Neka su regularne površi. Za funkciju se kaže da je

diferencijabilna ako je diferencijabilna za svaku parametrizaciju

površi

Funkcija je diferencijabilna (kao funkcija od do ) ako je

diferencijabilna kao funkcija od do .

Neka su date parametrizacije i Funkcija je diferencijabilna ako I

samo ako je

diferencijabilan. Znači da je diferencijabilna ako I samo ako je lokalni izraz na svakom delu

diferencijabilan.

Slika 2.3.1


32 Julijana Dončev

2.4. VEKTORSKA POLJA

Definicija 2.4.1 : Neka je regularna povrs. Vektorsko polje u je mapa

gde za vrednost u tacki mislimo kao o vektoru u učvršćenom u (sta god to značilo). Kako

bismo istakli ovu činjenicu normalno pisemo umesto za vrednost u (mada ćemo koristiti

obe oznake)

Vektorsko polje je tangentno ako i normalno ako .

Napomena 2.4.1 :

Neka je skup parova takvih da je sabiranje i mnozenje skalarima

definisano sa . Tada, strikno govoreći, vektorsko polje je je mapa

od do koja zadovoljava

Ovo viđenje vektorskog polja je svakako korektnije, ali za naše trenutne potrebe bi samo

komplikovalo stvari, tako da ćemo o vektorskim poljima misliti samo kao o mapama od do .

Primer 2.4.1 Primer vektorskog polja (Geometrijsko tumačenje):svakoj tacki p iz M

pridružujemo vektor X(p),razlicitim tackama odgovaraju različiti vektori.

Slika 2.4.1


33 Julijana Dončev

2.5. NORMALNA VEKTORSKA POLJA I ORIJENTACIJA

U ovom odeljku ćemo diskutovati u kom smislu i kada je moguće da se orijentiše površ.

Intuitivno, kako svaka tačka regularne površi ima tangentnu ravan , izbor orijentacije na

uzrokuje orijentaciju u blizini tačke , odnosno, pojam pozitivnog kretanja duž dovoljno male

zatvorene krive oko svake tačke u blizini. (slika 2.5.1)

Slika 2.5.1.

Ako je moguće napraviti ovaj izbor za svaku tačku , tako da se u preseku bilo koje dve

okoline tačke , usmerenja poklapaju, onda se za površ kaže da je orjentabilna. Ako ovo nije

moguće za kažemo da nije orijentabilna.

Sada ćemo ove ideje napraviti precizno fiksiranjem parametrizacije u okolini tačke

regularne površi , možemo odrediti orijentaciju tangentne ravni, naime orijentaciju baze .

Ako pripada koordinatnoj okolini druge parametrizacije , nova baza se izražava

preko prve sa

gde su izrazi promene koordinata. Baze određuju

dakle, istu orjentaciju ravni akko je Jakobijan

pozitivan.

Definicija 2.5.1 : Regularna površ je orijentabilna ako se moze prekriti familijom

koordinatnih okolina na takav način da, ako tačka pripada dvema okolinama ove familije, onda

promena koordinata ima pozitivan Jakobijan u tački . Izbor takve familije naziva se orijentacija


34 Julijana Dončev

površi , i se u tom slučaju naziva orijentabilna. Ako ovaj izbor nije moguć, površ se naziva

neorijentabilna.

Primer 2.5.1 : Površ čiji je grafik diferencijabilna funkcija je orijentabilna u suštini, sve površi

koje se mogu prekriti jednom koordinatnom okolinom su trivijalo orijentabilne.

Primer 2.5.2 : Sfera je orijentabilna površ. Ona može da se prekrije sa dve koordinatne okoline

(posmatrajmo stereografsku projekciju – Slika 2.5.2) sa parametrima

, tako da je presek ovih okolina povezan skup.

Slika 2.5.2.

Primer 2.5.3 : Postoje površi koje nisu orijentabilne – Mobius traka

Slika 2.5.3

Za datu paramatrizaciju u definišemo jedinični vektor normale tačke sa

Za drugu parametrizaciju tačke važi

Dakle, će sačuvati svoj znak ili ga promeniti u zavisnosti od toga da li je Jakobijan


35 Julijana Dončev

pozitivan ili negativan.

Pod diferencijabilnim poljem jediničnog vektora normale na otvoren skup ,

podrazumevamo diferencijabilnu mapu tako da za svako jedinični normalni

vektor na u .

Beleska: Sve površi koje ćemo proučavati u ovom odeljku su orijentacione.

Primer 2.5.4

Za parametrizovanu povrs

tako da i stoga

Napomena 2.5.3 :

Za ostatak naše studije mnoge stvari će zavisiti od izbora jedinicnog normalnog vektora. Oba

izbora za normalan su savršeno prihvatljiva i mnoge stvari koje ćemo definisati koristeći neće biti

invarijantne od promene orijentacije, tako da pre nego što je orijentacija izabrana postojaće stepen

dvosmislenosti u našim definicijama.

2.6. DIFERENCIRANJE NA POVRŠIMA

Da bismo mogli da proučavamo oblik površi moraćemo da razlikujemo funkcije i vektorska

polja koje su definisana samo na površi, a ne na otvorenom skupu . Stoga moramo da definišemo

izvod na površima.

Izvod meri brzinu promene neke količine kada je druga kolicina menja. Imajte na umu da kod

površina imamo mnogo pravaca u kojima možemo izmeriti te stope promena, tako da moramo da

definišemo izvode u odnosu na pravac (u stvari u odnosu na vektor). Oni se nazivaju izvodi pravca.

Definicija 2.6.1 : Neka je regularna površ, funkcija i

vektorsko polje.

Izvod pravca za ili u odnosu na je definisan kao

gde je kriva tako da i .


36 Julijana Dončev

(Napomenućemo da su definicije za i potpuno iste, razlika je napravljena samo zbog

(oznake vektorskog polja) , za se misli kao o ‚prikacenog‘ u .

Kako možemo izračunati ove objekte na najjednostavniji način?

Teorema 2.6.1 : Neka je funkcija i vektorsko polje u .

Ako je definisano ne samo u , već na otvorenom podskupu u , a sadrži , onda

gde je običniizvod funkcije u tacki .

Ako je onda

gde je tako da . Primenimo to u

Dokaz :

Neka je glatka kriva sa . Koristeći pravilo niza,

Uzevsi u obzir krivu Tada je I . Stoga koristeći pravilo niza,

Neke osobine izvoda pravca Teorema 2.6.2 : Izvod pravca zadovoljava

Za ,

Za vektorska polja,


37 Julijana Dončev

ovo takodje vazi ako zamenimo sa .

Ako je parametrizovana povrs oko tada

Dokaz:

Pisemo u bazi datoj , prikupljamo termine i upotrebljavamo poslednju tvrdnju prethodnog tvrdjenja.

Ako je tako da tada

Dokaz za je potpuno isti.

Koristimo poslednju tvrdnju u prethodnom tvrdjenju


38 Julijana Dončev

GLAVA 3

LOKALNA GEOMETRIJA POVRŠI

Sada imamo osnovne pojmove koji su nam potrebni da bismo počeli proučavanje oblika

površi. Za krive smo razgraničili tangentni vektor u cilju dobijanja krivinne. Mi možemo da uradimo

isto sa površima, osim što nemamo baš tangentni vektor ali tangentnu ravan. Sada, svaka tangentna

ravan je potpuno karakterisana jedinicnim vektorom normale, tako da će naša strategija biti da

primenimo normalno kako bismo dobili informacije o obliku površi.U ovoj glavi koristili smo [5].

3.1. OPERATOR OBLIKA

Definicija 3.1.1 Neka je regularna orijentisana površ sa jediničnom normalom .Operator

oblika je linearna transformacija

definisana kao

Napomena 3.1.1

Primeticete da je u stvari nesto poput ‚polja‘ linearnih transformacija: daje linearnu

mapu za svako .

Obratite pažnju da ne postoji nijedan predhodni razlog da zapravo leži u . Mi

ćemo to dokazati u narednom delu.

Lemma 3.1.1 : Neka je orijentisana površ i . Tada imamo

je dobro definisana kao mapa u u smislu

je linearna

je simetrična, u smislu da

Dokaz :

S obzirom da je imamo . Iz tog razloga

je ortogonalna prema tako da leži u

Koristeci svojstva izvoda pravca imamo


39 Julijana Dončev

Neka je površinski deo prema . Tada mozemo zapisati . Tako da imamo (kada odbijemo

podskrip u zbog lakšeg citanja)

Slicno,

Poredeci ova dva izraza postaje nam jasno da je suvišno dokazivati da je

. Sada, primetite s obzirom da je , imamo

Slično

S obzirom da je dobijamo

Beleška:

Dat nam je deo povrsi , matricni zapis za sa bazom ce biti .

Definicija 3.1.2 Simetricna bilinearna funkcija

definisana sa

zove se druga fundamentalna forma.

Jasno da je simetrična u smislu da

Lemma 3.1.2 : Neka je parametrizacija u tački . Tada

Gde su


40 Julijana Dončev

Koeficijenti druge fundamentalne forme .

Dokaz:

Bilinearnošću dobijamo

i iz dokaza Lemme 3.1.1. znamo da

tako da jedina stvar koja jos treba da se proveri jeste

ali to je jasno.

Beleska: Za parametrizaciju koristićemo oznaku

(primetimo da koeficijenti sigurno zavise od izabrane parametrizacije površi).

Koja je veza između

i matrice

? Potrebno nam je da odredimo jos jednu važnu

definiciju koja će takođe biti veoma važna kada govorimo o dužini i oblasti površi.

Definicija 3.1.3 Simetrična bilinearna funkcija

definisana

je nazvana prva fundamentalna forma.

Lemma 3.1.3 : Neka je parametrizacija površi u tački . Tada

Gde su,


41 Julijana Dončev

Koeficijenti prve fundamentalne forme.

Dokaz : Bilinearnošću dobijamo

tako da slede rezultati.

Beleska : Za parametrizaciju koristićemo sledeće

(Koeficijenti sigurno zavise od izabrane parametrizacije površi)

Teorema 3.1.1 : Za parametrizaciju u tacki imamo

Dokaz: Neka je i . Tada po definiciji

Po osnovnim terminima ovo moze biti zapisano kao

S obzirom da je zadnja jednačina vazi za , rezultati slede.

Primedba 3.1.3

Ova prethodna primedba je veoma korisna za kalkulacije: Pronalazenje

i je

pitanje rutine, gde pronalazenjem

direktno može biti komplikovanije. Tako da često koristimo

formulu

3.2. KRIVINA

To je možda intuitivno jasno, da nam operater oblika daje mnogo informacija o obliku povrsi,

kao što se kaže kako se normalno krećemo dok idemo duž površine. Ali, je linearan operator, a mi

bismo želeli da imamo neke brojeve koji sumiraju informacije koje mogu dati. Svakako matrični I

izraz za u određenoj parametrizaciji ne funkcionise, jer ne zavisi od nje, ali funkcioniše,

kao što matrica linearne transformacije zavisi od izabrane baze. Međutim, niti determinanta ni trag

ne zavise od izabrane baze, a osim toga u potpunosti određuju . Svojstvene vrednosti i svojstveni

vektori su nezavisni od bilo koje izabrane osnove. To nam daje sledeće definicije.


42 Julijana Dončev

Definicija 3.2.1 : Neka je regularno orjentisana površ sa operaterom oblika .

Gausova krivina povrsi u tacki je definisana

Srednja krivina povrsi u je definisana

Glavne krivine u su sopstvene vrednosti operatora

Glavni pravci u su sopstveni vektori operatora

Asimptotski pravci su vektori tako da

Primedba 3.2.1

Linearna transformacija može biti dijagonizovana zato što je simetrična. Šta više

postoji uvek ortonormalna baza sopsvenih vektora. Ovo je standardni rezultat kod linearne algebre

Upravo zato imamo da, ako su glavne krivine drugačije, onda su glavni pravci uvek ortogonalni

Ako su glavne krivine u jednake, tada će svaki vektor u biti glavni pravac. Tako

da možemo izabrati dva ortogonalna pravca.

Pre nego sto krenemo u izračunavanje svih vrednosti na konkretnom primeru, hajde da

dođemo do nekih formula za upravo definisane objekte.

Sledeće je standardni rezultat kod linearne algebre.

Lemma 3.2.1 : Neka je tako da (ili - ista stvar). Neka i

predstavljaju glavne krivine u i pretpostavimo da je . Onda

Dokaz:

Neka je ortonormalna baza sopstvenih vektora tako da ima sopstvenu

vrednost i ima sopstvenu vrednost . Tada možemo zapisati za neke

koeficijente zadovoljavajuci (s obzirom da je ). Tada, uz bilinearnost i

korišćenjem činjenice da je i imamo


43 Julijana Dončev

Sada, s obzirom da je ,

kao što smo i zeleli.

Teorema 3.2.1 (Neke od formula)

Ako su i glavne krivine tada je i

Ako su i Gausova i srednja krivina, tada jsu glavne krivine date formulom

Ako je parametrizacija površi i

i

onda

Dokaz:

Ako je baza određena glavnim pravcima (sopstvenim vektorima ) osnova od ima formu

, tako da rezultat sledi.

Rešiti sistem jednacina dat i : pomnožiti sa kako bismo dobili

. Prema tome

pa popunjavajući kvadrat dobijamo i sledeći rezultat.

S obzirom da je

, imamo

Kako bismo pronasli formulu za , imamo

stoga


44 Julijana Dončev

Primer 3.2.1

Izračunati sve ove objekte za torus spoljasnjeg radijusa i unutrasnjeg radijusa , sa .

Podsetimo se da je parametrizacija torusa koja prekriva većinu

Imamo,

Stoga, izbor normalnog jediničnog vektora je

Obeležavajući sa osnovnu tacku , imamo

Dao je osnovni izraz u bazi .

Stoga imamo

S obzirom da je već dijagonalizovano, glavne krivine su

sa glavnim pravcem

i

sa glavnim pravcem

Računamo Imamo

Stoga,


45 Julijana Dončev

I sada pronadjimo .

Imamo I

Stoga

Primetićemo da je formula kompletno zadovoljena.

Konačno ćemo pronaći asimptotski pravac. Neka je . Tada

Stoga ćemo rešiti jednačinu . Ovo ima rešenje samo kada

, kada je što znači da . U ovom slučaju,

. Stoga asimptotski pravci su

Do sad smo uradili račun bez daljih interpretacija onoga sto smo dobili. To ćemo uraditi u

drugom kursu, ali prvo moramo da predstavimo jos neke koncepte.

3.3. DUŽINA I POVRŠINA

Zamislimo da ste dvodimenzionalno biće koje živi na dvodimenzionalnoj površi u . Pre

svega, ne postoji očigledan način da znate da živite u prostoru većem od dimenzije. Sva vaša studija

vašeg univerzuma će biti zasnovana na merenjima na površi gde živite. Koliko ćete biti u mogućnosti

da znate o vašem svetu?

Pošto smo mi (samo!) 3-dimenzionalna bića, nadamo se da možemo pomoći ovim ‘jadnim’

stvorenjima. Oni mogu sigurno meriti uglove i dužine na površi, tako da ne znaju za prvu osnovnu

formu na svakoj tački njihovog sveta. U stvari, upravo zato se i zove ‘Prvi osnovni oblik’ : to je

upravo ono što možete meriti ako ste živi u površini. Međutim, oni ne znaju da je ovaj osnovni

oblik zapravo dolazi iz proizvoda tačaka u prostoru od dimenzije.

Jasno je da ova dvodimenzionalna bića mogu meriti dužinu krive, ako je kriva u prostoru,

samo treba napraviti integral


46 Julijana Dončev

Sada, mogu li oni meriti povrsinu? Da: podelite površinu na male pravougaonike, izmerite

dužinu stranica svakog pravougaonika, pomnožite duzine i dodate na sve pravougaonike. Koja je

analitička formula za ovo? Pronadjimo je….

Definicija 3.3.1 Neka je površ i neka je deo površi. Tada

Napomena 3.3.1 : Ako je prekrivena jednom parametrizacijom osim za neke

podskupove povrsi (kao što su krive na površi) tada , tako da prethodna

definicija odgovara.

Interesantna činjenica je da je površina nezavisna od parametrizacije, i u stvari mi možemo

pronaći formulu u terminima prve osnovne forme samo:

Teorema 3.3.1 : Neka je parametrizacija površi. Onda

Stoga, koristci da bismo obeležili osnovu kao i obično,

Dokaz :

Prisetimo se formule i .

Imamo

3.4. KRIVE NA POVRŠIMA

Mi nastavljamo sa našom diskusijom dvodimenzionalnih bića u . Oni sigurno mogu da

izmere brzinu. Oni takođe mogu meriti ubrzanje, ali oni osećaju samo one komponente ubrzanja koje

leže u njihovom svetu. Drugim rečima, ne osećaju nikakve komponente ubrzanja koje su

normalne na površ, one ne postoje za njih. Mi znamo da postoje, ali hajde da vidimo šta će oni

izmeriti kao ubrzanje.

Definicija 3.4.1 Neka je regularna kriva u regularno orijentisanoj površi sa normalom

. Neka su i tangentni i normalni vektori i neka je krivina. Funkcija


47 Julijana Dončev

zove se normalna krivina krive povrsi i funkcija

zove se geodezijska krivina krive povrsi .

Teorema 3.4.1 :

Dokaz : Neka je i oznaka jednostavno itd... Primetićemo da vektori

i formiraju ortonormiranu bazu ( su ortogonalni jer i je ortogonalno ).

Primetićemo da je , s obzirom da je ortogonalno .

S obzirom da je , mi imamo

Zakljucak 3.4.1

Dokaz : Jasno je da formiraju ortonormiranu osnovu.

Napomena 3.4.1 :

Pretpostavimo da stanovnik vozi svoj motor konstantnom brzinom duž krive u .

Koliku ce centrifugalnu silu on osetiti?

Ovo kretanje mozemo parametrizovati krivom parametrizovanom dužinom. Tada imamo

Međutim, stanovnik od ne oseća normalni pravac, zato što on ne postoji u njegovoj

dimenziji. Zbog toga oni nikada ne mogu osetiti normalnu komponentu centrifugalnog ubrzanja ,

osetice samo tangentnu komponentu

Drugim rečima:

je normalna komponenta ubrzanja, koju oni koji zive u svetu ne osećaju

je tangentna komponenta ubrzanja koju oni koji zive u svetu osećaju.

U osnovi, kriva će biti ekvivalent ravnoj liniji ukoliko nema ubrzanja koje bismo izmerili sa

tacke gledista površine


48 Julijana Dončev

Teorema 3.4.2 : Neka je regularna kriva u orijentisanoj povrsi sa normalom . Tada,

normalna krivina krive povrsi je data sa

gde je tangentni vektor krive

Dokaz:

S obzirom da je . Promenom i primenom definicije

izvoda pravca za dobijamo

definicijom

Podsetimo sada imamo

S obzirom da je , imamo

i samim tim i je bilinearna,

Teorema 3.4.3 : Ako je regularna kriva u orijentisanoj površi I glavne krivine

povrsi tada na svakoj tački krive imamo

Dokaz : Proističe iz Lemme 3.2.1 i teoreme 3.4.2.

Napomena 3.4.2:

Poslednje tvrdjenje nam govori šta su glavne krivine: one su (normalno) krivine od najviše

zakrivljenih kriva u površini, sa pozitivnim ili negativnim predznakom u zavisnosti kako su zakrivljene

u odnosu na normalu:


49 Julijana Dončev

Slika 3.4.1

Definicija 3.4.2 : Neka je regularna orijentisana površ. Regularna kriva je:

Linija krivine ako je glavni pravac u svakoj tacki

Asimptotska linija ako za svako

Geodezijska linija ako je nula ili paralelna normalnom vektoru u

za svako

Napomena 3.4.3 :

Linije krivine su stoga one krive u kojoj se površ krivi najviše bilo na gore u odnosu

na normalu ili naniže u odnosu na normalu

Geodezijske linije su krive čije su tačke ubrzanja normalne u odnosu na površinu.

Sa tačke gledišta stanovnika povrsi ove krive nemaju ubrzanje uopšte. To

vidimo u sledećoj teoremi.


50 Julijana Dončev

Teorema 3.4.4 : Regularna kriva je geodezijska linija ako i samo ako ima konstantnu brzinu

i svoju geodezijsku krivinu

Dokaz : Ako je geodezijska, onda je paralelna . Zato je ona ortogonalna

i praktično je ortogonalna . Ovo pokazuje

Stoga je konstanta , tako da ima konstantnu brzinu, koju ćemo označiti

Ovo u osnovi pokazuje da . Stoga je paralelno i samim tim

i , i mi imamo

Sada da dokažemo suprotno. S obzirom da je , i

da je ortogonalno , moramo dobiti da je paralelno . U drugu ruku, ima konstantnu

brzinu , tako da . Sledi, s obzirom da je paralelno takodje

mora biti paralelno .

Sledeća slika nam pokazuje glavne pravce i linije krivine torusa.

Glavni pravci torusa Slika 3.4.2 Linije krivine torusa

Slika 3.4.3 na levoj strani prikazuje geodezijske linije kod torusa. Ona desno ima zaplet

geodezijske zajedno sa svojim normalnim ( je zapravo prikazan tako da ukazuje na spoljnu

površinu). Imajmo na umu da je uvek normalna na površ, kao što bi trebalo da bude.


51 Julijana Dončev

Geodezijske linije torusa Slika 3.4.3 geodezijske i normale - N krive

3.5. LOKALNE JEDNAČINE ZA GEODEZIJSKE LINIJE

Kako pronalazimo geodezijske linije kod površi?

Teorema 3.5.1 : Neka je regularno orijentisana površ sa normalom i neka je

parametrizacija površi. Tada je kriva geodezijka linija

ako i samo ako zadovoljava sistem diferencijalnih jednacina

–

gde su koeficijenti prve fundamentalne forme u delu

Dokaz : Kriva je geodezijska linija ako i samo ako je nula ili paralelna ,

ekvivalentno je geodetska ako i samo ako je nula ili ortogonalna koordinatnim vektorima

i npr. Ako i samo ako u tački za svako .

Sada,

i


52 Julijana Dončev

Koristeći relacije

Pronalazimo

–

i

Otud je geodezijska ako i samo ako i zadovoljavaju sledeći

sistem diferencijalnih jednačina drugog reda.

–

U osnovi, teško je rešti ove jednačine. Primetite da, da bi imali sistem od jednačine drugog

reda potrebno nam je inicijalnih uslova, normalno, vrednost krive u nekim tačkama i

brzina(frekvencija) u tim tačkama.

Činjenice o geodeziji : Navodimo neke važne i interesantne činjenice koje nećemo dokazivati.

Kroz dve date različite tačke na površ uvek postoji geodezijski prolazi kroz te

tačke.

Među svim Geodezijskim linijama kroz dve date tačke, postoji ona koji ima

najkraću dužinu. U stvari, najkraća geodezijska linija daje najkraći put da se iz

jedne tačke stigne do druge dok smo na površi. Drugim rečima, to je za

stanovnike površi ono sto je prava linija za nas.


53 Julijana Dončev

3.6. INTERPRETACIJA GAUSSIOVE KRIVINE

Ispostavlja se da je Gausova krivina glavni invariant površi, u smislu da dve površi sa istom

osnovnom formom imaju istu Gausovu krivinu (videćemo ovaj podatak kasnije). Ali nismo baš dali

geometrijsku interpretaciju krivine još uvek. Imajmo na umu da, operator oblika , drugi osnovni oblik,

glavne krivine i srednje krivine promene znak kada promenimo orijentaciju površi, Gausova krivina

ne, jer determinanta od matrice jednaka je determinanti matrice u minusu.

Definicija 3.6.1 : Neka je regularna površ. Tacka zove se

Elipticka ako je

Hiperbolicka ako je

Parabolicka ako je ali jedna od glavnih krivina u nije (ili

ekvivalentno nije 0)

Ravna ako su glavne krivine u jednake (ili ekvivalentno je )

Ombilička (sferna) ako su glavne krivine u jednake.

Cinjenice:

Iz našeg tumačenja glavnih pravaca kao pravaca u kojoj se površ najvise zakrivljuje i

glavne krivine kao značajnoj veličini ovog krivljenja, pozitivno ako krivuda ka normalnoj i negativno

ako je daleko od normalne krive, imamo sledeće činjenice. Naravno, sve izjave koje slede su lokalne,

odnosno u malom okruzenju od tačke koja je u pitanju.

Kod eliptične tačke sve krive na površi kroz tu tačku se krive u istom pravcu, bilo

normalno na površ ili daleko od nje.

Kod hiperboličke tačke sve krive na površini kroz tu tačku se krive normalno ka

površini , a druge od nje.

Kod paraboličke tačke, sve krive na površi se krive kroz tu tačku normalno ka ili

daleko od nje, osim one koja se ne krivi uopšte u odnosu na normalu na .

Kod planarne tačke krive na površi kroz tu tačku se ne krive uopšte u odnosu na

normalu na .

Kod ombiličke tačke sve krive na površi kroz tu tačku krive se isto u istom pravcu u

odnosu na normalu na

U slikama :

Eliptička Hiperbolička Parabolička Ravna Ombilička

Slika 3.6.1


54 Julijana Dončev

Sledeća teorema je slična nekim teoremama koje smo imali kod krivih.

Teorema 3.6.1 Neka je regularna površ . Ako su sve tačke površi ombiličke, tada je

sadržana u sferi ili ravni.

Dokaz :

Dokazaćemo samo da je teorema tačna ako je pokrivena jednim površinskim delom kako

bismo to dokazali u osnovi, potrebno nam je neko znanje o topologiji.

S obzirom da je umbilička, sopstvene vrednosti u svakoj tacki su jednake. Zato svaki

vektor u mora biti sopstveni vektor , pa i su sopstveni vektori sa sopstvenom vrednošću

. Stoga

Diferencirajuci prvu jednačinu u odnosu na i drugu u odnosu na , dobijamo

i

S obzirom da se drugi izvod menja, imamo

i s obzirom da su i linearno nezavisne, moramo imati

dokazujući da je konstanta.

Sada integrišemo jednačine

dobijajući


55 Julijana Dončev

za neki konstantni vektor .

Ako je onda je konstanta. Neka je tačka u , i uzimamo u obzir

funkciju

Tada, s obzirom da je konstanta, i , što

implicira da je konstanta. Pa, ako je moramo dobiti

što dokazuje činjenicu da slika leži u ravni kroz ortogonalno konstantnom

vektoru

Ako je , tada

i stoga

što nam pokazuje da slika leži u sferi sa centrom u i radijusom .

3.7. PRIMER: ROTACIONE POVRŠI

Rotaciona površ je površ koja sa dobija kada se kriva rotira oko jedne ose. Pretpostavimo da je

rotacija Z-ose i neka bude kriva , bez gubitka opštosti možemo

pretpostaviti da je kriva parametrizovana dužinom luka (pa ). Da bi površ bila

regularna moramo da pretpostavimo da je .

Parametrizovana površ je

prekriva celokupnu površinu osim krive, ali menjajući domen , celokupna površina biva

prekrivena. Tako da ćemo uraditi računanje koristeći .

Imamo

Stoga


56 Julijana Dončev

Imamo ovo ima vrednost pa

ćemo imati

I jedinicnu normalu. Osnovni izraz druge fundamentalne forme (prisetimo se da su koeficijenti

dati je

Jer

. Stoga

Znači, osnovni izraz operatera oblika u delu je

Odmah dobijamo da

Glavni pravci su i sa odgovarajućim glavnim pravcima krivine

i

Zato su paralela i meridijan linije krivine.

Gausova krivina je

.

To znači da znak zavisi samo od udubljenosti ili ispupčenja .

Sada ćemo pronaći geodezijsku. Imamo

Slika 3.7.1

Koristimo Teoremu 3.5.1, imamo da je geodezijska ako i samo ako

(da bismo pojednostavili obelezavanje pisaćemo i , nećemo pisati parametar ‘ ’

ali ne trebamo zaboraviti da su i funkcije , i da se sve crte i izvodi odnose na , subskript

se odnosi na izvode koji se odnose na )


57 Julijana Dončev

Prva jednačina može biti zapisana kao

i stoga

za neke konstante . Sada znamo da geodezijska ima konstantnu brzinu , pa

Stoga,

Sada zamenimo u prethodnoj jednačini kako bismo dobili

Ova jednačina moze biti integrisana kako bismo dobili i onda jednacina

moze biti integrisana kako bismo dobili .

Najinteresantnija tačka u ovoj diskusiji je sledeća. Jasno je iz parametrizacije da je

tangenta paralelna površii ( je paralelna ravni). Sada posmatrajmo

S obzirom da je gde je ugao između

i paralele, dobijamo . S obzirom da je konstanta, možemo prepisati ovo

kao (Clairautova relacija)

Drugim rečima, kosinus ugla koji čini geodezijska sa horizontalom je obrnuto proporcionalan

udaljenosti od ose rotacije.

Postoje i neke geodezijske linije koje je lako pronaći. Meridijani su geodezijski jer u

ovom slučaju imamo i , pa je sistem jednačina iznad u potpunosti zadovoljen.

Da li su paralele geodezijske? Ne u osnovi. Hajde da vidimo uslove koje bi

paralele trebale ispunjavati da bi bile geodezijske. Dodavajuci u jednačinu iznad

vidimo da je prva jednačina zadovoljena (i i su ) s obzirom da je i druga

jednačina postaje


58 Julijana Dončev

S obzirom da nikada nije , to implicira da je paralela geodezijska ako i samo

ako . Drugim rečima, jedine paralele rotacione površi koje su geodezijske su ‘pojasevi’ i

‘bokovi’.

Odmah ćemo proveriti da bilo koji meridijan parametrizovan konstantnom brzinom je takođe

geodezijski jer su jednačine u potpunosti zadovoljene (dodavajuci, npr. i . Prikazano

slikom

Slika 3.7.2

3.8. GAUSOVA TEOREMA EGREGIUM

U ovom odeljku ćemo pogledati neverovatnu Gausovu teoremu koja kaže da Gausova krivina

zavisi samo od prvog osnovnog oblika. Ovo je izuzetno: to znači da putem merenja samo na površi

trebamo biti u stanju da shvatimo koliko je zakrivljena površ. Drugim rečima, stanovnici površi su

u stanju da otkriju, na primer, da li stoje u eliptičkoj, paraboličkoj ili hiperboličkoj tački.

Podsetimo se da smo krive razlikovali kroz tangente kako bismo dobili informaciju o obliku

krive. Kod površi smo diferencirali normalne,. Razlog za to je da ne postoji samo jedan tangentni

vektor već čitava ravan.

Hajde da probamo da uradimo sličnu analizu. Uzmimo koordinatni deo u regularno

orijentisanoj površi . Tada formira osnovu u svakoj tački površi. Ovo je

kao kod Frenet okvira koji smo imali za površi, osim jedne vrlo važne činjenice da ovo nije

ortonormirana osnova.


59 Julijana Dončev

Hajde da razlikujemo ova tri vektora u pravcu i , kao što smo uradili u slučaju kriva za

Frenet okvir. Prvo, normalno je lako

gde su koeficijenti matricnog predstavljanja operatera oblika osnove

Ostali izvodi mogu biti zapisani kao

gde su

neki koeficijenti, nazvani Christoffelovi simboli. Ne

izračunavamo jer je jednako

.

Primetimo da je

u tradicionalnim oznakama. Slično tome

i . Tako da je naša kompletna grupa jednačina

Kako bismo pronašli Christoffelove simbole , pomnožićemo svaku jednačinu sa i i

dobijamo

Gde smo koristili relacije


60 Julijana Dončev

Bitno je da imamo šest jednacina za sest varijabli

. Zato Christoffelovi

simoli mogu se dobiti u službi koeficijenata prve osnovne forme. To znači da se zakrivljenost

može pronaći u terminima ovih simbola kao sto ćemo i videti sada.

Dalje komplikujemo stvari. S obzirom da množimo izvode, dobijamo relaciju sledeće vrste

i mnoge druge (iako ispada da preostale relacije ne daju više informacija). Ove jednacine mogu se

prepisati

Ako sada ubacimo to u originalne jednačine dobićemo mnogo relacija. Znači sve moguće

relacije sumirali smo u tri jednačine. Prva je Dausova jednacina. Subskripti i znače , kao i

obično izvod u odnosu na ili .

Ovo u osnovi implicira da možemo dobiti iz koeficijenta prve osnovne forme i bez daljih

informacija. Ovo je

Teorema 3.8.1 (Gausova teorema Egregium) : Gausova krivina površi zavisi samo od prve

osnovne forme. Zbog toga, ako promenimo površ čuvajući dužine i uglove na površi, krivina se ne

menja.

Druge dve relacije su Codazzi-Mainardi jednačine


61 Julijana Dončev

Prisetimo se da za krive imamo teoremu koja kaže da za datu funkciju i , postoji

jedinstvena kriva sa krivinom i torzijom do krutog pomeranja. Za površinu imamo ekvivalentnu

teoremu.

Teorema 3.8.2 (Bonnet) : Za date funkcije i definisane na otvorenom skupu u

sa koje zadovoljavaju Gausovu formulu i Codazzi-Mainardi

jednačine, postoji parametrizovana površ čiji su koeficijenti prve i druge osnovne forme

dati i , šta više, bilo koje druge dve površi sa ovim karakteristikama razlikuju se samo

striktnim pomeranjem.


62 Julijana Dončev

GLAVA 4

ENERGIJA POVRŠI

Villmorova energija, kao kvantitativna mera koliko data površ odstupa od okrugle sfere, je meta rasprave. Kako funkcija površi pokazuje koordinate, Villmorova energija nekih posebnih površi je vizuelno upoređena sa značenjem i Gausovom zakrivljenošću tih površi. Takođe, površi su obojene u funkciji srednje krivine, Gausove krivine i Villmorove energije. Na ovaj način, promena ovih veličina duž površi je grafički predstavljena.U ovoj glavi koristili smo [4].

4. 1. VILMOROVA ENERGIJA

U građevinarstvu, u slučaju krovnih konstrukcija, u biologiji, u slučaju ćelijskih membrana, postoje istovetne funkcije koje opisuju površine membrana omotača. Ove veličine su od posebnog značaja, jer one određuju oblik, elastičnost i druga svojstva tih površina. Ovde razmatramo Villmorovu energiju površi poredeći je sa srednjom i Gausovom krivinom. Naime, Villmorova energija je potpuno određena ovim dvema krivama.

Vilmorova energija, kao kvantitativna mera koliko data površ odstupa od okrugle sfere, naročito je važna u biologiji. Ona pokazuje poseban slučaj takozvane vezivno elastične energije, koja određuje ravnotežu u obliku membrane i opisuje simetričnu membranu, uzimajući kruto savijanje kao konstantu. Kako membrane trpe različite deformacije , veoma je važno videti kako se Vilmorova enegija menja pod beskonačno malim savijanjem membrane.

Vilmorova energija , kao funkcija površi koja pokazuje koordinate, je promenljiva od tačke do

tačke. ‘Mathematica’ kompjuterski program je koristan za grafičko prikazivanje te funkcije. Vizualizacija energije i krivine pomaže nam da vidimo kako se ove magnitude razlikuju duž površi. Takođe, uzimajući funkciju ‘Hue of Matematica’, bojimo površinu funkcijom srednje krivine, Gausovu krivinu i Vilmorovu energiju kako bismo direktno videli ove promene.

Definicija 4.1.1 Vilmorova energija u tački površi je data kao

gde i predstavljaju glavne krivine,

i , srednju krivinu i Gausovu krivinu.

Takođe možemo posmatrati Vilmorovu energiju na celokupnu površ

gde je element površi.

Villmorova energija površi obuhvata odstupanje od površi sfere. Potapanje površi koje minimiziraju ovu energiju su od velikog interesa u nekoliko oblasti. Naime, u teoriji površi, Villmorova energija površi je konformna invarijantna što je čini važnom u istraživanju konformne geometrije. U


63 Julijana Dončev

geometrijskom modeliranju, za kompaktne površi sa fiksnim granicama umanjivač ukupne krivine

što je standardno funkcionalno u različitom optimalnom površinskom modeliranju.

U fizičkom modeliranju, prikazuje specijalni oblik takozvane energije elastičnog savijanja.

gde predstavlja tenziju površi, predstavlja spontanu krivinu koja ima veoma veliku važnost kod tankih omotača, i su elastične konstante. Za energija smanjuje se usled Vilmorove energije.

Koristeći kompjuterski program ‘Mathematica’, prikazaćemo neke primere površi u i njihovu Vilmorovu energiju poredivši je sa srednjom krivinom i Gausovom krivinom. Predstavićemo ove krivine i energiju kao funkcije površinskih koordinatnih tačaka. ‘Mathematica’ je jednostavno i efektivno oruđe koje nam ne daje samo sliku već i set numeričkih podataka, tako da ovaj program koristimo i za jednostavno izračunavanje krivine i energije.

Primer 4.1.1 : Površ ima srednju krivinu, Gausovu krivinu i

Vilmorovu energiju datu sledećom formulom

Na slici 4.1.1 , imamo grafikon površi , na slici 4.1. grafikon njene srednje krivine, Gausovu krivinu i Vilmorovu energiju, na slici 4.1. površ obojena je funkcijom srednje krivine, Gausovom krivinom i Vilmorovom energijom.

Slika 4.1.1

Slika 4.1.2


64 Julijana Dončev

Slika 4.1.3

Primer 4.1.2 : Majmunsko sedlo je površ data parametarskom jednačinom

. Njena srednja krivina, Gausova krivina i Vilmorova energija su

Na slici 4.1.4 imamo grafikon majmunskog sedla, na slici 4.1. njenu srednju krivinu, Gausovu krivinu i Vilmorovu energiju,na slici 4.1.6 Majmunsko sedlo je obojeno za njegovu srednju krivinu, Gausovu krivinu i Vilmorovu energiju.

Slika 4.1.4

Slika 4.1.5


65 Julijana Dončev

Slika 4.1.6


66 Julijana Dončev

GLAVA 5

PRIMERI POVRŠI

U ovoj glavi navešćemo neke primere površi korišćenjem paketa ‘Mathematica’. Cilj nam je da ukazemo na razlicite oblike povrsi.

1) Površ Dini

2) Površ osmica

3) Hiperbolički paraboloid


67 Julijana Dončev

4) Majmunsko sedlo

5) Paraboloid

6) Morska školjka


68 Julijana Dončev

7) Whitney‘ kišobran

8) Površ ‚Kummer-a‘

9) Površ ‚Goursat


69 Julijana Dončev

10) ‚Klein‘ boca 1

11) ‚Klein‘ boca 2

12) ‚Steiner Roman‘ površ


70 Julijana Dončev

ZAKLJUČAK

Oblik je važna karakteristika objekta i može biti korisna u karakterizaciji objekata. U ovom radu proucili

smo oblik krivih i oblik površi.

Date su definicije regularne i parametrizvane krive i regularne i parametrizovane površi, proučenii

osnovni pojmovi vezani za krive i površi i dokazane neke značajnije teoreme. Posebna pažnja posvećena je

kivini i torziji krive kako bi okarakterisali oblik krive, ali i operatoru oblika i krivini površi za karakterizaciju

oblika površi. Navedeni su i neki primeri površi korišćenjem paketa ‘Mathematica’ .

Rad je završen pričom o Vilmorovj nergiji površi koja površ poredi sa sferom. Detaljnije se mogu

razraditi i drugi oblici energije.

U analizi oblika korisno je da se razgovara o varijaciji veličina koje karakterišu sam oblik. U ovom radu o

tome nije bilo reči. Više o tome možete naći u [6].


71 Julijana Dončev

LITERATURA

[1] Alfred Gray: Modern differential geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, CRC press Florida, 1998.

[2] Manfredo P. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, New Jersey, 1976.

[3] Svetislav Minčić, Ljubica Velimirović: Diferencijalna geometrija krivih i površi, PMF Niš, Niš, 2007.

[4] Ljubica Velimirović, Marija Ćirić: Visualisation of the Willmore energy of the Surfaces

[5] Luis Fernandez: Differential Geometry of Curves and Surfaces, University of Bath.

[6] Milica Cvetkovic: Curvature based functions varations

[7] Ljubica Velimirović, Predrag Stanimirović,Milan Zlatanović:Geometrija krivih i površi uz korišćenje paketa Mathematica, PMF Niš , Niš 2010.

[8] http://www.wikipedia.org


72 Julijana Dončev

BIOGRAFIJA

Julijana Dončev je rođena 31.07.1989 godine u Bosilegradu, Republika Srbija. Osnovnu školu

‘Vuk Karadžić’ završila je u Surdulici kao nosilac Vukove diplome. Gimnaziju ‘Svetozar Marković’

završila je u Surdulici kao nosilac Vukove diploma.

Prirodno – Matematički fakultet u Nišu, odsek za Matematiku I informatiku upisala je školske

2008/2009 godine na smeru matematika. Osnovne akademske studije završila je u septembru 2011

godine sa prsečnom ocenom 8,72. Iste godine upisuje diplomske akademske studije na smeru

matematika i završava ih u oktobru 2013 godine. Prosečna ocena na diplomskim akademsikm

studijama je 8,85.

Documents

MASTER RAD - Prirodno matematicki fakultet · Freneove formule,krivina i torzija 9 2. POVRŠI 24 2.1. Regularne i ... Diferencijalna geometrija se razvila mnogo kasnije nakon što