Martina Duk Broj nula - mathos.unios.hrmdjumic/uploads/diplomski/DUK04.pdf · Sveuˇciliˇste J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Martina Duk Broj nula Diplomski rad

Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Martina Duk

Broj nulaDiplomski rad

Osijek, 2012.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Martina Duk

Broj nulaDiplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Tomislav Marosevic

Komentor: dr. sc. Mirela Jukic Bokun

Osijek, 2012.

Sadrzaj

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 Nula 51. Sto je nula? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Etimologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Povijest nule 71. Rani pocetci (Mezopotamija) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. Grcka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. Indija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124. Amerika (Maye) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145. Arapski i islamski svijet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186. Europa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Nula u matematici 211. Neodredeni oblici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.1 L’Hopitalovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2 Neodredeni oblik00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3 Neodredeni oblik 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4 Transformacija neodredenih oblika . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2. Dijeljenje nulom (nedefinirani oblik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313. Neki matematicki pojmovi vezani za nulu . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Nula u nastavi matematike osnovne skole 331. Ocekivana postignuca vezana za broj nula . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.1 Prvi obrazovni ciklus (I. - IV. razred) . . . . . . . . . . . . . . . 331.2 Drugi obrazovni ciklus (V. - VI. razred) . . . . . . . . . . . . . . 351.3 Treci obrazovni ciklus (VII. - VIII. razred) . . . . . . . . . . . . 37

5 Zanimljivosti o nuli 391. Igra i zanimljiv dokaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392. Moc nule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403. Sveprisutnost nule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Literatura 45

3

Uvod

Zivot bez nule za danasnje covjecanstvo nije moguc. No, to nije uvijek bilo tako. Nekocsu je se ljudi bojali, a danas je slobodno koriste u gotovo svim znanstvenim podrucjimapa i u svakodnevnom zivotu. Ali prava vrijednost nule lezi u njenoj upotrebi u matem-atici - kraljici znanosti. Razvoj nule kroz vrijeme bio je zagonetan, mistican i pomaloneobican, no uvijek je tekao paralelno s razvojem matematike. Nula je sveprisutna,bilo kao broj ili pak kao znamenka. Ova su nam dva pojma potrebna da bismo moglilakse pratiti i razumjeti povijesni razvoj nule. Stoga cemo u prvom poglavlju datiobjasnjenje tih pojmova kao i etimologiju rijeci nula.

Nula ima dugu i zanimljivu proslost. U drugom poglavlju dajemo pregled razvojanule kroz povijest. Pratit cemo kako se nula razvijala i koje je sve simbole i imenapoprimila tijekom razvoja pod utjecajem raznih naroda i kultura. Prva upotreba znakanule datira iz razdoblja izmedu 6. i 3. st. pr. Kr. Bio je to dupli klin koji su Sumeranipisali na glinene plocice, a oznacavao je prazno mjesto u nizu. U davnim su se vre-menima koristili razni brojevni sustavi koji su se razvili u danasnje sofisticirane sustavekoji nulu koriste kao jednu od znamenaka. Vremenom je ideja o broju postajala sveapstraktnija, a time i sve izglednija upotreba nule kao broja. Problem oko nule i nega-tivnih brojeva, obzirom na njihovu interakciju u aritmetici, pokusali su rijesiti indijskimatematicari Brahmagupta, Mahavira i Bhaskara. Doprinos Maya u povijesti nule je,zbog njihove izoliranosti od drugih naroda i kultura, neprocjenjiv. U Europu je nuladosla tek u srednjem vijeku preko trgovaca od kojih je najveci doprinos dao Fibonacci.No, Fibonacci je nulu koristio samo kao simbol. Doktor iz Lyona Nicolas Chuquet1484. prilikom rjesavanja jednadzbe koristi broj nula. Nula i danas stvara poteskoce uraznim podrucjima pa razvoj ovog neobicnog broja zasigurno nije dosao kraju.

Nula se javlja u mnogim granama matematike, a algebra, logika sudova, teorijaskupova i aritmetika samo su neke od njih. Prilikom racunanja limesa mogu se po-javiti neodredeni oblici, pa u trecem poglavlju posebno opisujemo neodredene oblike00 i 00, ali i transformaciju neodredenih oblika

00,

∞∞, 0 · ∞, ∞ −∞, 00, 1∞, ∞0,

u neodredene oblike00 i

∞∞. Dijeljenje s nulom je oduvijek bila posebno zanimljiva

tema, a dajemo i pregled nekih matematickih pojmova vezanih za nulu.U nastavi matematike gradivo se nadovezuje jedno na drugo, zbog toga je posebno

vazno tocno iznositi cinjenice i gradivo kvalitetno obraditi radi daljnjeg cjelozivotnogobrazovanja. U cetvrtom poglavlju stoga dajemo pregled ocekivanih postignuca vezanihza broj nula u prva tri obrazovna ciklusa odredena Nacionalnim okvirnim kurikulu-mom za predskolski odgoj i obrazovanje te opce obavezno i srednjoskolsko obrazovanje.Poglavlje obiluje konkretnim primjerima primjerenima za ucenike odredenih uzrasta,odnosno navedenih obrazovnih ciklusa.

U petom smo poglavlju naveli neke zanimljivosti vezane za nulu. Nula se zaistamoze naci u svemu sto nas okruzuje, te je tako mnogima inspiracija pa cak i opsesija.Tako se nula koristi za razlicite trikove kojima se sluze ”vidovnjaci”, a postoje i razneuzrecice na hrvatskom i drugim jezicima vezane za nulu. Primjena je mnogo, sto za-pravo opisuje velicinu ovog broja. Kaplan u [7] zakljucuje: ”Gledamo li nulu, vidimonista; ali pogledamo li kroz nju, vidjet cemo svijet”.

Poglavlje 1

Nula

Nikada nula nije imala vece znacenje, nego sto ima danas. Zivot bez nule za danasnjecovjecanstvo nije moguc. Na pocetku razmatranja nule vazno je uociti razliku izmedubroja i njegova zapisa.

1. Sto je nula?

Nula ima dvojako znacenje.

Nula je broj. Broj oznacuje mjeru, kolicinu necega. Nula je cijeli broj koji prethodibroju 1. Nula je takoder i paran broj, jer je djeljiv s 2. Nije ni pozitivan ni negativanbroj. Nula je broj kojim se skup prirodnih brojeva N prosiruje na skup prirodnih bro-jeva N0.

Nula je znamenka u pozicijskom brojevnom sustavu. Svaki brojevni sustav se sas-toji od skupa simbola (znakova) - znamenaka, te pravila njihova pisanja. Dijele se napozicijske i nepozicijske. U pozicijskom brojevnom sustavu vrijednost znamenke ovisio njezinu polozaju u broju, dok kod nepozicijskog to nije slucaj. Najcesce koristenipozicijski sustav je dekadski. U tom zapisu, primjerice kod broja 3204, nula se koristida pozicije znamenki 3 i 2 budu tocne, tj. znamenka 4 je jedinica, 0 desetica, 2 stotica,te 3 tisucica. Jasno je da 324 ima potpuno drugacije znacenje. Znamenka nula nijeuvijek potrebna, kao primjerice u slucaju zapisa broja 03.

2. Etimologija

Korijen rijeci ”nula” dolazi od arapskog s.afira ( ”bilo je prazno”), s. ifr ( ”nula”, ”nista”)sto je prijevod od indijskog (sanskritskog1) sunya (”praznina”, ”prazan”). Razlicitenazivi za krug iz srednjeg vijeka (kao rotula i circulus), te za prazninu (nulla, nihil)takoder su imale svoj utjecaj.

Talijanski matematicar Fibonacci, koji je u knjizi ”Liber Abaci” pisao o arapskimbrojkama, koristi zephyrum. Zephyrum u Italiji u pocetku postaje zefiro, zefro te kas-nije zevero. Kada je stiglo u Veneciju, preobrazilo se u zero koji je nasao utjecaj u

1Sanskrit je jezik najstarije indijske knjizevnosti.

5

6 POGLAVLJE 1. NULA

francuskom i engleskom jeziku.No, od sifr dolazi i francuska rijec chiffre kao i njemacka Ziffer (”broj”). U

njemackom kao i u hrvatskom jeziku korijen rijeci ”nula” dolazi od latinskog nullafigura. (Slika 1.1 ).

Slika 1.1 Stablo rijeci nula

Poglavlje 2

Povijest nule

1. Rani pocetci (Mezopotamija)

Povijest nule je pocela prije otprilike 5000 godina kod Sumerana, naroda koji se nas-tanio u Mezopotamiji, podrucju koje danas dijelom pripada Iraku. Jedna od njihovihglinenih plocica sadrzava sljedeci razgovor izmedu oca i sina. ”Gdje si bio?” - ”Nigdje.”-”Zasto onda kasnis?” Sumerani su za brojanje upotrebljavali jedinice i desetice, ali isezdesetice. To su bili rani pocetci uporabe seksagezimalnog sustava koji je vjero-jatno nastao pod utjecajem drugih kultura. Pisali su klinastim pismom po nepecenimglinenim plocicama (vidi Sliku 2.1 ).

Slika 2.1

Siljasta trska, kojom se prvobitno pisalo, kasnije je zamijenjena iglom s tri spicakojom su se pisali znakovi u obliku klina i kuta.

7

8 POGLAVLJE 2. POVIJEST NULE

Iako je padom grada-drzave Ur oko 2004. god. pr. Kr. naznacen kraj sumerskecivilizacije te je njihova kultura zamijenjena amoricanskom1, ostao je njihov utjecaj pasu znakovi za brojeve bili sljedeceg oblika:

Veci su brojevi bili oblika:

Zatim se poceo primjenjivati seksagezimalni sustav koristeci znak za 60 koji se takoderoznacavao s klinom kao i broj 1, ali malo vecim. Tako su se brojevi pisali od manjegprema vecem s desna na lijevo. Danas Nijemci, zahvaljujuci njima, brojeve citaju sdesna na lijevo. Stoga je vrijedilo:

1Amoricanska je dinastija osnovana u gradu Isin, nesto sjevernije od Ura, cime je naznacen pocetakstarobabilonskog razdoblja.

1.. RANI POCETCI (MEZOPOTAMIJA) 9

Logicno je slijedilo:

Primjecujemo da je vrlo vazno bilo prilikom zapisivanja paziti na velicinu klina. No,kako je to predstavljalo problem prilikom zapisivanja zbog velike kolicine podataka ilizurbe prilikom pisanja, uceni muskarci Mezopotamije uveli su pozicijski seksagezimalnisustav. Ideja je bila ta da je mjesto na kojem je zapisan klin predstavljalo vrijednost,bez obzira na velicinu klina. Razvili su ga matematicari i astronomi Babilona. Nakontoga se prilikom zapisivanja moralo paziti na grupiranje klinova i kutova kao i na praznamjesta izmedu pojedinih brojeva.Kao sto danas za broj 345 vrijedi (3 · 102) + (4 · 10) + (4 · 1), tada je vrijedilo:

Babilonci su zbrajanje i prenosenje kod zbrajanja izvodili na sljedeci nacin:

6 desetica daju jednu sezdeseticu, tako da sa prijasnjom sezdeseticom imamo dvijesezdesetice.

Bez obzira na briljantnost pozicioniranja Babilonci su i dalje imali problem kako raz-likovati 180 i 3 Kako su mogli znati stoji li taj ”3” na poziciji jediniceili sezdesetice? ”Kako bi svecenici u hramu E-Macha trebali znati koliko je ovacazrtvovano bozici Ninmah, dvije ili 120?” [7, str. 21]


Netko je u razdoblju izmedu 6. i 3. st. pr. Kr. u zapisu brojeva upotrijebio znak zanulu (vidi sliku 2.2 ).

Slika 2.2

Taj se znak prije upotrebljavao kao znak za razdvajanje kojim se oznacavala razlikaizmedu rijeci i njihovih definicija ili u dvojezicnim tekstovima prijelaz s jednog jezikana drugi, te za razdvajanje nizova, tako da je pri tome imao znacenje ”nista na ovommjestu u nizu.” Stoga je vrijedilo:

Nulu su pisali na razlicite nacine:

Iako su se Babilonci priblizavali nuli, ove su se oznake za nulu upotrebljavale samou sredini broja, nikad na kraju. Njeno se znacenje i forma morala jos razraditi. Nijepoznato tko je prvi poceo upotrebljavati znak za nulu pa Kaplan navodi: ”Tko god bio,koji je u Babilonu prozracnom nista dao mjesto i ime, nije ostavio osobni trag. Mozdaje dupli klin ipak bio dobar razlog da se taj netko upise u povijest” [7, str. 23].

2. Grcka

U vrijeme kada je nula kao prazno mjesto dosla u uporabu u babilonskoj matematici(6. i 3. st. pr. Kr.) i stari su Grci poceli matematici davati svoj doprinos, ali nisupreuzeli pozicijski sustav. Naime, iako nije logicno sto grcki briljantni matematicarinisu preuzeli i uocili vaznost pozicijskog sustava, vjeruje se da je razlog taj sto suse grcka matematicka postignuca temeljila na geometriji. Stoga nisu imali potrebuzapisivati brojke, jer su ih upotrebljavali samo u smislu duljina linija.

2.. GRCKA 11

Brojevi koje je trebalo zapisivati radi evidencije koristili su samo trgovci. Zapisivalisu se pomocu simbola, odnosno za zapis su se koristila slova grcke abecede. U pocetkusu se za zapis upotrebljavala 24 slova grcke abecede, pri cemu su H, ∆ i Π predstavljaliprva slova naziva za brojeve: Heka (100), Deka (10) i Penta (5). Kasnije je abecedaprosirena s tri nova slova, za jedinice (1 - 9), za desetice (10 - 90) i za stotice (100 -900). Simbol za 10 bio je Jota (ι), deseti broj u prosirenoj abecedi, simbol za 11 je bioια . Kapa (κ), jedanaesto slovo te abecede stajalo je za broj 20.

Slika 2.3 Prvobitna abeceda (24 slova)

Slika 2.4 Prosirena abeceda (crta iznad oznacavala je razliku izmedu rijeci i broja)

Ipak, bez obzira na to sto Grci nisu koristili pozicijski sustav, ne znaci da nisu imalisimbol za nulu. Upravo su Grci bili ti koji su otkrili kljucnu ulogu nule kod racunanja.331. god. pr. Kr. su zajedno sa zlatom i zenama iz ostatka babilonskog carstva sasobom donijeli i nulu. U njihovim papirusima o astronomiji iz 3. st. pr. Kr. moze se naci”O”, sto je ocito grckim astronomima sluzilo kao simbol za nulu. No, o tome postojivise teorija. Povjesnicarima najdraza je ona da je ”O” poteklo od grckog Omikron,prvog slova od ouden (”nista”, kao Odisejevo ime Ouτ ιζ ”Nitko”) ili jednostavno odouk (”ne”). Kao sto je vec navedeno, puno simbola za brojeve bila su upravo prvaslova naziva za broj. Stoga je Otto Neugebeuer, koji je proucavao grcke tekstove oastronomiji, pobio tu teoriju, jer je Omikron vec oznacavao numericku vrijednost 70[7, str. 28].Ptolomej2 , u svom djelu Almagest(”Velika rasprava”) napisanom 150. god. po. Kr.,koristi ”O” u sredini, na kraju pa cak i na pocetku prikaza stupnjeva, minuta i sekundakoje je racunao prema babilonskom seksagezimalnom sustavu. Tako je o µα ιη stajaloza 0◦ 41’ 18”. Na zalost, samo nekoliko astronoma koristilo je ovu notaciju.

2Claudius Ptolemaeus (oko 83. - oko 161. god. po. Kr), starogrcki matematicar, zemljopisac, as-tronom i astrolog


3. Indija

U Indiji je roden numericki sustav, koji je nastao pod utjecajem prethodnih sustava,te se razvio u vrlo sofisticirani koji se koristi danas. Povjesnicari matematike imajupodijeljena misljenja o tome jesu li Indijci nulu otkrili sami ili je ona u Indiju dosla izGrcke [2].

Oko 500. god. po. Kr. Aryabhata3 je osmislio metodu prikazivanja brojeva (velikihbrojeva) pri cemu nije koristio nulu, ali je zanimljivo da je Aryabhata za oznacavanjemjesta (pozicije) koristio rijec kha koja dolazi od glagola ”kopati” i zbog toga nosiznacenje ”rupa”, nesto sto bi trebalo popuniti. Taj ”kha” ce kasnije biti jedna od na-jupotrebljavanijih indijskih rijeci za nulu. 50 godina poslije, Varahamihira4 takoder nijeimao simbol za nulu, no upotrebljavao je razlicite nazive za prazno mjesto: Aryabhatov”kha”, rijeci ambara (”nebo”) i akasa (”atmosfera”), te rijec sunya (”praznina”) koja jeubrzo postala najraspostranjeniji naziv za nulu. Napisao je knjigu Pancha-Siddhntikakojom u indijsku matematiku ukorjenjuje uporabu sanskritskog pozicijskog sustava ukojem je nula oznacavala prazno mjesto. Ni 100 godina nakon toga Brahmagupta5 ,najzesci Aryabhatov kriticar, ali i njegov najveci poklonik, nije imao simbol za nulu.Prazno je mjesto nazivao kha te povremeno akasa i sunya.

Prvi datirani zapis o indijskom koristenju nule je iz 876 god. po. Kr. Naime,stanovnici grada Gwalior, koji se smjestio 400 km juzno od grada Delhi, htjeli suondasnjem hramu boga Visnu pokloniti vrt iz kojeg bi se svaki dan moglo rezati cvijecedostatno za 50 cvjetnih vijenaca. O tome je ostao zapis na kamenoj ploci. Na ploci senalazi datum samvat6 993 (876 god. po. Kr.) i mjera vrta 187 x 270 hasta7 . Bio je toprvi zapis nule koji je nedvojbeno najblizi danasnjem zapisu.Broj 270 je na ploci bio zapisan kao , , a 50 kao .

Slika 2.5 Numericki sustav roden u Indiji

Hindu brojevi

Zapadno arapski brojevi

Europski brojevi (1442)

3Aryabhata Stariji (476. - 550. god. po. Kr.), indijski matematicar i astronom4Varahamihira (505. - 587. god. po. Kr.), indijski astronom, matematicar i astrolog5Brahmagupta (598. - 670. god. po. Kr.), indijski matematicar6Samvat je naziv za godinu kod hinduista.7Hasta je tradicionalna indijska jedinica duljine, mjereno od lakta do vrha srednjeg prsta, oko 45

centimetara.

3.. INDIJA 13

Zbog sve apstraktnije ideje o broju izglednija je postala i upotreba negativnih bro-jeva i nule. Problem oko nule i negativnih brojeva, obzirom na njihovu interakciju u ar-itmetici, pokusali su rijesiti indijski matematicari Brahmagupta, Mahavira i Bhaskara.Oko 650. god. po. Kr. Brahmagupta je pokusao dati pravila za aritmetiku koja ukljucujunulu i negativne brojeve. Dosao je do cinjenice da je svaki broj oduzet od samog sebejednak nuli te na temelju toga dao sljedeca pravila za zbrajanje koja ukljucuju nulu:

”Zbroj nule i negativnog broja je negativan broj; zbroj pozitivnog broja i nule je poziti-van; zbroj dvaju nula je jednak nuli.”

Pravilo za oduzimanje:

”Negativan broj oduzet od nule postaje pozitivan; pozitivan broj oduzet od nule postajenegativan; ako od negativnog broja oduzmemo nulu, dobijemo negativan broj, ako odpozitivnog broja oduzmemo nulu, dobijemo pozitivan broj; ako od nule oduzmemo nulu,dobijemo nulu.”

Brahmagupta ima pravilo i za mnozenje, kaze da svaki broj pomnozen s nulom dajenulu. Ali je oprezan kod pravila za dijeljenje:

”Pozitivan ili negativan broj dijeljen nulom daje razlomak s nulom u nazivniku8 . Nulapodijeljena negativnim ili pozitivnim brojem je ili nula ili se prikazuje kao razlomak snulom kao brojnikom i konacnom velicinom kao nazivnikom. Nula podijeljena nulomje nula. ”

U pravu je kada kaze da je0a = 0, kada je a pozitivan ili negativan broj, ali za

00 = 0

je definitivno u krivu. Mahavira9 koji je zivio tocno u razdoblju izmedu Brahmaguptei Bhaskara, 830. godine napisao je knjigu Ganita Sara Samgraha koja se temeljila naBrahmaguptinom remek djelu napisanom 200 godina prije. Iznosi tezu:

”Broj pomnozen s nulom daje nulu i taj broj ostaje nepromijenjen, ako se od njegaoduzme nula.”

To su potvrdili Brahmagupta prije, te Bhaskara poslije njega. Njegov pokusaj ispravkapravila za dijeljenje s nulom navelo ga je da i sam da krivu tezu:

”Broj ostaje nepromijenjen, ako ga se podijeli s nulom.”

Bhaskara10 je 500 godina poslije Brahmagupte preformulirao njegova pravila:

”Kod zbrajanja i oduzimanja s nulom, velicina, pozitivna ili negativna, ostaje nepromi-jenjena. Ali oduzeta od nule se promijeni.”

Napisao je to kad je imao 36 godina. U tim je godinama napisao i knjigu naziva Lilavati

8Nazivnik naziva khacheda od rijeci za nulu, ”kha”9Mahavira (oko 800. - oko 870. god. po. Kr.), indijski matematicar

10Bhaskara II ili Bhaskaracharya (1114. - 1185. god. po. Kr.), indijski matematicar i astronom


(”Prelijepa djevojka”), mozda zato sto je sadrzavala puno prelijepih problema kao stoje ovaj:

”Prelijepa i ljupka djevojko, cije su oci kao u laneta! Ako ste uceni mnozenju, recitemi, sto je 135 puta 12?”

U pocetku se slozio s Brahmaguptom:

”Velicina podijeljena s nulom postaje razlomak ciji je nazivnik nula.”

No kasnije je dosao do zakljucka:

”Ova knjiga je oznaka za beskonacnu velicinu. U velicini, koja je nastala iz velicine kojaima nulu kao djelitelja, nema promjene, iako joj se mnoge mogu dodati ili oduzeti; kaosto se beskrajan i nepromjenljiv Bog ne mijenja kada se svjetovi stvaraju i unistavaju,iako time mnogobrojna bica nastaju i nestaju.”

Ova vazna teza, koja opisuje pojama0, privukla je mnogo paznje. U 16. stoljecu

znacenje Bhaskarovih rijeci pokusavalo se prikazati suncanim satom. Sjena kazaljke(Gnomon) bila bi kod izlaska i zalaska sunca beskonacno dugacka. To bi vrijedilo neo-visno o velicini podloge kao i o velicini kazaljke. Bhaskara je utvrdio i da je 02 = 0 i√

0 = 0.

4. Amerika (Maye)

U povijesti matematike vazno je istaknuti neprocjenjivu ulogu civilizacije Maya.Maye su jedan od najciviliziranijih indijanskih naroda domorodacke Amerike. Njihovaje kultura na otoku Yucatan, u razdoblju oko 300 god. pr. Kr. do 900 god. po. Kr., cv-jetala. Zbog njihove izoliranosti nije bila pod utjecajem drugih naroda i kultura i stogaje njihov doprinos u povijesti nule neprocjenjiv. Koristili su jedinstveni matematickisustav brojeva u kojem su jedinice oznacavali tockama, a crte su se koristile za petjedinica (vidi Sliku 2.6 ).

Slika 2.6

4.. AMERIKA (MAYE) 15

Brojeve su zapisivali vodoravno i okomito. Pozicijska vrijednost broja, koja je bilaslicna dekadskoj, raste od nizeg prema visem (vidi Sliku 2.7 ).

Slika 2.7

Pomocu ovih sustava bili su u mogucnosti izvoditi racunske operacije zbrajanja ioduzimanja, a za racunanje na ravnoj povrsini koristili su zrnca kakaa. Neka modernaistrazivanja su dokazala da su se ovakvim brojevnim zapisom mogle izvoditi racunskeoperacije mnozenja i dijeljenja. Poznavali su i koristili nulu.

Jedan od mnogih simbola koje su Maye koristile za nulu, bio je tetovirani muskaracs ogrlicom oko vrata i unatrag zabacenom glavom. Naime, Maye nazivaju i cuvarimavremena, jer su racunali vrijeme i imali velik broj kalendara. Njihov datum pocetkasvijeta, po nasem kalendaru, bio bi 13. kolovoza 3114. god. pr. Kr. To je bio njihovdan nula u skladu s kojim su zapisivali datume vaznih dogadaja.

Slika 2.7 Dan nula

Datume su zapisivali glifovima11 , ali i brojevima, tako da je svaki glif morao bitizabiljezen i brojcano. Maye su bili veliki astronomi koji su promatrali nebo golim okomi biljezili kretanje zvijezda i planeta. Zahvaljujuci tome i racunanju uspjeli su napravitiniz kalendara.

Kalendar , poznat kao Duga recenica, sastojao se od neprekidnog brojanja danaod pocetka sadasnjeg doba, 13. kolovoza 3114. pr. Kr. Po njemu, vrijeme se dijelilo nagodine od 18 mjeseci (uinal) od kojih je svaki imao 20 dana (kin). To je rezultiralogodinom (tun) od 360 dana (18 · 20 = 360). To su grupirali u dvadesetoljeca (katun)tako da je jedan katun imao 20 · 360 = 7200 dana. Da bi pokazali da je od pocetka

11Glifovi su razliciti, u kamen urezani, znakovi.


vremena proteklo 1 101 611 dana, na jedan su spomenik napisali: 7 bakun 13 katun 0tun 0 uinal 11 kin (70 · 400 + 13 · 20 = 3060 godina, (od toga svaka ima 360 dana)= 1 101 600 dana, plus 11 dana, dobijemo 1 101 611).

Slika 2.9 Detalj sa La Mojarra Stele 1 koji pokazuje tri kolone glifova. Lijeva kolonaprikazuje mayanske brojeve 8, 5, 16, 7 i 9 koji odgovaraju datumu 12. srpnja 156.

god.po.Kr. po kalendaru Duga recenica.

Glifovi za nulu, koji su ocito predstavljali oznake za prazno mjesto, ponekad su bililica, ponekad figure, povremeno pola cvijeta ili kucica od puza, a ponekad i nesto zasto danas nemamo ime (vidi Sliku 2.10 ).

Slika 2.10

Prema solarnom kalendaru jednoj godini (haab), koja se takoder sastojala od 18mjeseci od kojih je svaki imao 20 dana, dodavali su jos pet dana izvan (na kraju)kalendara tako da je za samo za cetvrtinu dana bila kraca od solarne godine. Tijekomtih ”vankalendarskih dana”, koje su nazivali Uayeb, Maye, kako muskarci tako i zene,su pazili da ne zaspu, ne svadaju se ili pak ne spotaknu u hodu. Vjerovali su da ceono sto ucine tada raditi uvijek, pa su se drzali kuce i pazili da ne obave kakav tezakposao ili ucine sto neugodno. Nula je kod haaba imala neobicno znacenje. Naime, prvidan svakog mjeseca nije se oznacavao brojem 1, nego 0, a drugi 1 i tako dalje, sve do

4.. AMERIKA (MAYE) 17

20. dana: 19. To se odnosilo i na onih dodanih 5 dana na kraju godine (kalendara).Upravo je nulti dan u haab kalendaru bio taj za kojeg je bog prethodnog mjeseca (prim-jerice Zip12) odbacio teret vremena, a bog suvremenosti (Zotz) preuzeo njegovo mjestoi prihvatio odbaceni teret. Nula je bog koji je to sve nadgledao. No Maye su se bojaleda bi vrijeme moglo stati, pa su nakon svake 52 godine (haab) bogovima prinosili krv,djevice, te iz zrtava izrezana srca. Smatrali su da ti prinosi bogovima daju snagu zapreuzimanje tereta mjeseca kojeg su odbacivali na dan nula.

Treci kalendar, Obredni ili Tzolkin13 , bio im je jako vazan. Sastoji se od dvarazdoblja: jedno od trinaest dana, a drugo od dvadeset. Ukupno je ”sveta godina”(tzolkin) imala 260 dana. Svakom je danu prethodio jedan broj od 1 do 13. Obziromna to, broj i dan se nisu mogli poklopiti sve dok nije zavrsila godina od 260 dana.

Kako su Maye stovale i devet bogova podzemlja kojima je upravljao bog smrti, nijecudno sto su imali i cetvrti kalendar. Ovaj kalendar se sastojao od jednog razdoblja ukojem je bilo devet glifova, a svaki je glif predstavljao jednog vladara noci. Bog smrtibio je Nula. Upravo je njegov dan bio dan kojeg su se Maye najvise bojale, dan kadavrijeme staje. Pa su uz ranije spomenute prinose trazili i druge nacine da izbjegnu tukatastrofu.Sudionici jednog od takvih rituala bila su dva igraca, jedan je bio prerusen u jednogod njihovih junaka, a drugi u boga Nula. ”Loptu” je predstavljao neki vazan talac,primjerice neki pobijedeni kralj koji je vec godinama drzan u zatocenistvu. Vazno jeda je igrac prerusen u junaka bio taj koji je izigrao boga Nula i izasao kao pobjednik.Kod drugih igara ove vrste gubitnik bi bio zrtvovan. Ovi su rituali Mayama davalinadu.

Mjesecev kalendar, peti, sastojao se od mjeseci koji su imali 29 i 30 dana.Sesti kalendar imao je 584 dana, koliko je trajao ciklus premjestanja Venere s jedne

na drugu stranu Sunca.Iz svega navedenog je ocito da su Maye dane smatrale zivim bicima, odnosno bo-

govima. Tako je svaki dio vremena - dan, mjesec, godina - bio odredeni predmet kojegsu nosili bozanski glasnici koje su predstavljali brojevi. Na hijeroglifima su glasnicibili prikazani sa svojim teretom kojeg drze remenom ovjesenim oko cela i tako moguprevaliti dugi put, a da se ne umore. Na hijeroglifima su i bogovi noci koji vladajukad se dan ugasi. Ugasila se i njihova nada kada im je propala civilizacija dolaskomkonkvistadora14. Bog Nula je na kraju ipak pobijedio.

12Mjeseci kod Maya su: Pop, Uo, Zip, Zotz, Tzec, Xul, Yaxkin, Mol, Chen, Yax, Zac, Ceh, Mac,Kankin, Moan, Pax, Kayab, Cumbu i Uayeb.

13Tzolkin znaci ”raspodjela dana”14Spanjolski vojnici, istrazivaci i pustolovi koji su u sluzbi svoje vlade, vrseci strahovita nasilja nad

domorocima , osvojili za Spanjolsku u 16. stoljecu golema podrucja u Srednjoj i Juznoj Americi.


5. Arapski i islamski svijet

Nula je iz Indije prenesena arapskim i islamskim matematicarima 773. god. po. Kr. tezajedno s Hindu brojevima donesena u Bagdad. U pocetku se brojevi nisu koristili zaracunanje, nego samo za biljezenje nekih rezultata. To se promijenilo oko 825. god.po. Kr. kada je al-Khwarizmi15 u svom djelu ”Racunanje metodom upotpunjavanja iuravnotezenja” izlozio prakticna pravila aritmetickog racunanja koristeci se postupcimakoji su kasnije nazvani algebrom16. U djelu ”Racunanje s indijskim brojevima” opisaoje indijski pozicijski sustav koji se temeljio na znamenkama 1,2,3,4,5,6,7,8,9 i 0. Djeloje prevedeno na latinski i prihvaceno na Zapadu, a potom i u cijelome svijetu.

Slika 2.11 Al-Khwarizmi

Ibn Ezra17 je u 12 st. po. Kr. djelovao u islamskom dijelu Spanjolske. Njegovo djelo”Knjiga o brojevima” opisuje decimalni sustav brojeva u kojem se vrijednosti zname-naka odreduju gledajuci s lijeva na desno. U tom djelu upotrebljava nulu koju zovegalgal sto znaci kotac ili krug.

Islamski matematicar al - Samawal18 je napisao:

”Ako oduzmemo pozitivan broj od nule, ostaje nam taj isti negativan broj... ako oduzmemonegativan broj od nule, ostaje nam taj isti pozitivan broj” [2]

15Al-Khwarizmi (oko 780. - oko 840), islamski matematicar16Algebra dolazi od arapskog naziva al-Khwarizmine knjige: ”Hisab al-’Jabr w-al-Myqabalah”17Abraham ben Meir ibn Ezra (1092 - 1167)18Al - Samawal (oko 1130 - oko 1180)

6.. EUROPA 19

6. Europa

Temelj europskom nacinu zapisivanja brojeva bio je indijski nacin zapisivanja koji nijedosao izravno iz Indije, nego je put nasao preko arapskog naroda.

Alexander de Villa Dei napisao je 1240. godine pjesmu o arapskim brojevima, ajedan od njegovih stihova glasi:

”Prvo znaci jedan, drugo doista dva, trece znaci tri i tako nastavis dalje, sve dok nedostignes do zadnjeg, koje se naziva nula.”

John Scrobosco, zagovornik arapske matematike i astronomije, je 1250. godine napisaodjelo Algorismus vulgaris.

Kako su njihova djela bila dosta teska za proucavanje, a sadrzaj pomalo neshvatljiv,Fibonacci je bio taj koji je u Europu donio ideju o novom brojevnom sustavu. Fibonaccije roden u Italiji, a obrazovao se u Sjevernoj Africi (vidi Sliku 2.12 ).

Slika 2.12

Krajem 12. stoljeca cesto je kao trgovac putovao u Egipat, Siriju, Grcku, Siciliju, gdjeje puno toga vidio, proucavao i vjerojatno donio sa sobom. 1202. godine objavio jeknjigu zbunjujuceg naslova ”Knjiga o Abakusu”19 (Liber Abaci), u kojoj se uopce nijeradilo o abakusu20 , nego o arapskim brojevima i najboljem racunskom sustavu s kojimse upoznao.Nije poput Ville Deia i Johana Scroboscoa taj novi sustav samo opisao, nego se njimekao matematicar pokusao igrati. Umjesto 1,2,3,... htio je probati neki drugi slijed paje poceo sa 1, 1, 2, 3 te nastavio s 5, 8, 13, 21, 34, 55. Svaki je izraz bio jednak sumiprethodna dva.Ovaj se Fibonaccijev niz moze naci u prirodi koja nas okruzuje, u gvonozcu (Nutilus),sjemenu suncokreta, laticama tratincice itd. (Vidi Sliku 2.13 )

19Leonardo od Pise, Leonardo Bonacci, Fibonacci (Filius Bonacci - sin iz porodice Bonacci) (oko1180 - oko 1241), talijanski matematicar

20Abakus - nacin izvodenja osnovnih matematickih operacija uz pomoc male mehanicke sprave .Nastao je u drevnoj Kini i tokom stoljeca je poprimao mnoge oblike.


Slika 2.13

Europljani su medutim u pocetku bili skepticni i sporo su prihvacali nove ideje. Vaznoza napomenuti je da Fibonacci govori samo o devet indijskih brojeva, a nulu koristisamo kao znak. Ocito da Fibonacci nije prihvatio ideje Indijskih matematicara Brah-magupte, Mahavira i Baskara, te arapskih i islamskih matematicara kao sto je al-Khwarizmi.

1484. godine, doktor iz Lyona Nicolas Chuquet21, trazio je rjesenje jednadzbe3x2 + 12 = 12x. Kao rezultat je dobio x = 2±

√4− 4 i primijetio da, kako je

4 - 4 = 0 te 2 rezultat zbroja i razlike od√

0 i 2, dobijemo broj koji smo i trazili. Kakoje njegovo djelo Le Triparty en la science des nombres objavljeno tek nakon njegovesmrti, Europa je na nulu dugo cekala. Nakon godina otpora i neprihvacanja, tek se oko1600. godine napokon pocela primjenjivati.

21Nicolas Chuquet (oko 1455 - oko 1488)

Poglavlje 3

Nula u matematici

Nula se javlja u mnogim granama matematike [3, str. 9. - 38.].Navedimo neke primjere.

• U algebri se s 0 oznacava neutralni element za zbrajanje u promatranoj alge-barskoj strukturi. Primjerice, kazemo da je (G,+) komutativna (Abelova) grupaukoliko su ispunjena svojstva: asocijativnost, neutralni element, inverzni elementi komutativnost.

• U logici sudova1 cesto se laznim izjavama pridruzuje vrijednost 0.

• U teoriji skupova 0 je kardinalan broj praznog skupa2.

• U aritmetici aksiomatizacija skupa prirodnih brojeva se u Peanovoj3 originalnojformulaciji odnosila na skup N0 te glasi ovako:

1. 0 je broj. (0 ∈ N)

2. Sljedbenik bilo kojeg broja je broj. (s : N → N)

3. 0 nije sljedbenik niti jednog broja. (0 6= s(x),∀x ∈ N)

4. Ako brojevi imaju jednake sljedbenike, tada su oni jednaki.(s(x) = s(y) → x = y)

5. Aksiom indukcije: ako skup brojeva A sadrzi 0 i sljedbenike svakog broja izskupa A, tada je svaki broj sadrzan u A.

Naime, izrazi ”0”, ”broj” i ”sljedbenik” nisu za aksiomatizaciju bili posebno definirani,pa ih se tumaci na razlicite nacine. Neki matematicari smatraju da se izraz ”0” odnosina objekt koji zadovoljava Peanove aksiome, dok je za neke predstavlja upravo sambroj nula. Izraz ”broj” tumaci se kao nenegativan broj, ali i kao prirodan broj. Podsljedbenikom nekog prirodnog broja n, koji ce se moze oznaciti sa n′, misli se naprirodni broj koji je neposredni sljedbenik od n u prirodnom poretku, a interpretira sefunkcijom sljedbenika s : N → N4.

1Logika sudova je jedna od najjednostavnijih formalnih teorija. Osim sto se ispituje istinitostizjava, proucavaju se i logicka zakljucivanja, te se odreduje koja su korektna, a koja nisu.

2Prazan skup (∅) je skup u kojem se ne nalazi niti jedan element, tj. sadrzi nula elemenata.3Giuseppe Peano (1858 - 1932), talijanski matematicar4Funkcija s : N → N svakom prirodnom broju n pridruzuje njegovog neposrednog sljedbenika s(n).

21

22 POGLAVLJE 3. NULA U MATEMATICI

1. Neodredeni oblici

Broj nula je povezan s infinitezimalnim (”beskonacno malim”) velicinama te s velicinombeskonacno (∞).

Neodredeni oblici su algebarski izrazi koji se vezuju uz kontekst granicne vrijednosti,

tj. limesa. Razlikujemo sedam neodredenih oblika:00,

∞∞, 0 · ∞, ∞ −∞, 00, 1∞,

∞0. Neodredeni oblici00,

∞∞ se rjesavaju pomocu L’Hopitalovog5 pravila, dok se ostali

pomocu odredenih transformacija svode na jedan od ova dva oblika.

1.1 L’Hopitalovo pravilo

Ovo je pravilo od velikog znacenja za racunanje slozenih limesa, odnosno opcenito za

izracunavanje neodredenih oblika:00,

∞∞, 0 · ∞, ∞−∞, 00, 1∞, ∞0.

Teorem 1. Neka su f i g bilo koje dvije funkcije takve da jelimx→a f(x) = limx→a g(x) = 0. Ako su ispunjene sljedece pretpostavke:

(i) postoji realan broj δ > 0 takav da su funkcije f i g derivabilne u svakoj tockiintervala 〈a− δ, a + δ〉, osim mozda u tocki a,

(ii) g’(x) 6= 0 za svaki x ∈ 〈a− δ, a + δ〉\{a}

(iii) postoji L = limx→a

f ′(x)g′(x)

onda je

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x). (3.1)

Dokaz. Bez smanjenja opcenitosti pretpostavimo da su funkcije f i g neprekidne utocki a (a je konacan), tj. da je f(a) = limx→a f(x) = 0 i g(a) = limx→a g(x) = 0. Usuprotnom prosirujemo funkcije f i g po neprekidnosti u tocki a, odnosno zamijenimof(a) s limx→a f(x) = 0 i g(a) s limx→a g(x) = 0. Neka je ε > 0 bilo koji realan broj.

Prema (iii) je limx→a

f ′(x)g′(x) = L pa postoji δε > 0, δε < δ takav da je

(x 6= a; x ∈ 〈a− δε, a + δε〉) ⇒(∣∣∣∣f ′(x)

g′(x)− L

∣∣∣∣ < ε

). (3.2)

5Guillaume Fransois Antoine Marquis de L’Hopital (1661-1704) francuski matematicar.L’Hopitalovo bi se pravilo zapravo trebalo zvati Bernoullijevo pravilo. Otkrivena su pisma kojapokazuju da je Johann Bernoulli L’Hopitalu 1694. godine, uz dozvolu za objavljivanje, za mjesecnunovcanu naknadu, ustupio ove i neke druge matematicke rezultate.

1.. NEODREDENI OBLICI 23

Pokazimo da za svaki x ∈ 〈a− δε, a〉 postoji tocka c ∈ 〈x, a〉 takva da je:

f(x)

g(x)=

f(x)− f(a)

g(x)− g(a)=

f ′(c)

g′(c)(3.3)

Neka je x ∈ 〈a − δε, a〉. Funkcije f i g su neprekidne na segmentu [x, a] i derivabilnena intervalu 〈x, a〉 pa prema Cauchyjevom teoremu srednje vrijednosti postoji tockac ∈ 〈x, a〉 takva da vrijedi (3.3). Analogono se razmatra slucaj x ∈ 〈a, a + δε〉. Buducida je c ∈ 〈a− δε, a + δε〉 iz (3.1) i (3.2) dobivamo:

(x 6= a; x ∈ 〈a− δε, a + δε) ⇒(∣∣∣∣f(x)

g(x)− L

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣f ′(c)g′(c)− L

∣∣∣∣ < ε

).

Stoga je, limx→a

f(x)g(x)= L.

�

Slika 3.1 Guillaume Fransois Antoine Marquis de L’Hopital

L’ Hopitalovo pravilo ima vise oblika, ovisno o tome jesu li a i L konacni ilibeskonacni, konvergiraju li funkcije f i g u nula ili u beskonacno te radi li se o jednos-tranim limesima ili ne.

Da bi formula (3.1) vrijedila za limes kada x → +∞ (odnosno kada x → −∞)potrebno je pretpostavke (i) i (ii) zamijeniti s pretpostavkama:

(i’) postoji realan broj M > 0 (odnosno m < 0) takav da su funkcije f i g derivabilnena intervalu 〈M, +∞〉 (odnosno 〈−∞, m〉)

(ii’) g′(x) 6= 0 za svaki x > M (odnosno x < m).


1.2 Neodredeni oblik 00

Kada se x priblizava nuli, razlomcixx3 ,

xx i

x2

x teze redom prema ∞, 1, 0. Medutim,

u svakom od ovih slucajeva, limes, kako brojnika tako i nazivnika jednaka je 0 i kao

rezultat svakog dobijemo00. Prema tome je

00 neodredeni oblik.

Primjer 1.1. Razmotrimo neke primjere neodredenog oblika00 u formi limesa:

a) limx→0xx = limx→0 1 = 1 (vidi Sliku 3.2).

Slika 3.2

b) limx→0x2

x = limx→0 x = 0 (vidi Sliku 3.3).

Slika 3.3


c) limx→0sin x

x = 1 (vidi Sliku 3.4).

Slika 3.4

Dokaz za c)

1) Koristimo usporednu ocjenu velicine, tzv. ”sendvic teorem”

Teorem 2. Neka su f ,g,h: D→R realne funkcije realne varijable, a ∈ D’ tockagomilanja i neka postoji ε - okolina 〈a− ε, a + ε〉 broja a takva da je:

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) (∀x ∈ a− ε, a + ε \ {a}). (3.4)

Ako je limx→a f(x) = limx→a h(x) = L, onda postoji limx→a g(x) i pri tome jelimx→a g(x) = L.

�

Neka je x blizu nule. Iz (Slike 3.5 ) zakljucujemo da za 0 < x <π2 vrijedi

tg x > x > sin x, pa dijeleci nejednakost sa sin x > 0 dobivamo:

1

cos x>

x

sin x> 1.

Slicno, za -π2 < x < 0 vrijedi tg x < x < sin x pa dijeleci nejednakost sa

sin x < 0 dobivamo:1

cos x>

x

sin x> 1.

Dakle, za svaki x 6= 0 iz intervala 〈−π2 ,

π2〉 vrijedi reciprocna nejednakost:

cos x <sin x

x< 1.

Kako je limx→0 1 = 1 i limx→0 cos x = 1 jednakost limx→0sin x

x = 1 vrijedi poTeoremu 2.


Slika 3.5

2) Pomocu L’Hopitalovog pravila

limx→0

sin x

x=

(0

0

)L′H= lim

x→0

cos x

1= 1.

Dakle, izravnim uvrstavanjem nule umjesto x dobivamo neodredeni oblik00. No,

u mnogim slucajevima, kao sto su i ovi, algebarskim eliminacijama, L’Hopitalovimpravilom ili nekim drugim metodama mozemo transformirati izraze i odrediti limes.


1.3 Neodredeni oblik 00

Promotrimo graf funkcije x → xx kada x zdesna tezi u 0. (Vidi Sliku 3.6.)

Slika 3.6.

Vidimo da je limx→0+ = 1. Dakle, limes od x0, kada x ide u 0 zdesna je jednak 1,tj. limx→0+ x0 = 1. No limes od 0x, kada x zdesna tezi prema nuli je jednaka 0, tj.limx→0+ 0x = 0. Oblik 00 je prema tome neodreden.

Opcenito, ako su f i g realne funkcije koje teze prema nuli kada x tezi nekom realnombroju ili ±∞, te je pri tome f(x) > 0, funkcija f(x)g(x) ne mora teziti prema 1. Njenagranicna vrijednost ovisi o funkcijama f i g. Stoga je primjerice,

limx→0+

xx = 1, limx→0+

(e−1

x2 )x = 0, limx→0+

(e−1

x2 )−x = +∞.

Vidimo da za funkciju oblika f(x)g(x) granicna vrijednost ostaje neodredena [6].Takoder, ako promotrimo limes funkcije dviju varijabli z = xy u tocki (0,0) iz Teoremao uzastopnim limesima (vidi [6]) zakljucujemo da limes ne postoji (vidi Sliku 3.7 ) jerje limx→0 limy→0 xy = 1, a limy→0 limx→0 xy = 0.

Slika 3.7 Funkcija dvije varijable z = |x|y


Napomena 1. Cesto se 00 shvaca kao 1 radi pojednostavljenja nekih formula ili da seizbjegnu posebni slucajevi u dokazu teorema.

• Pravilo deriviranja potencije (xn)′ = nxn−1 ne bi bilo tocno za n = 1 kada jex = 0, da se ne uzima da je 00 = 1.

• U teoriji skupova je 00 broj funkcija6 iz praznog skupa u prazan skup7 , a takvaje samo jedna funkcija (prazna ili nularna funkcija8).

• Oznacimo li s a0 prazan produkt9, rezultat je 1 (po definiciji cak i kad je a = 0).

• Binomni teorem (vidi [4, str. 21]) kada je a = 1, b = x, tj.

(1 + x)n =∑n

k=0

(nk

)xk ne bi vrijedilo za x = 0, da se ne uzima da je 00 = 1.

6Kombinatorno, broj svih funkcija sa k-clanog skupa u n-clani skup je jednak nk.7Prazni skup je jedinstveni skup koji ne sadrzi nijedan element, tj. sadrzi nula elemenata. Oznaka:

∅ ili {}8Prazna ili nularna funkcija je funkcija cija je domena jednaka praznom skupu. Za svaki skup A,

postoji tocno jedna takva funkcija: fA: ∅ → A.9Prazan produkt je poseban slucaj produkta sa nula faktora.


1.4 Transformacija neodredenih oblika

Kao sto je vec ranije spomenuto, neodredeni oblici00,

∞∞, 0 · ∞, ∞−∞, 00, 1∞, ∞0

transformacijama se mogu svesti na neodredene oblike00 i

∞∞ te rijesiti primjenom

L’Hopitalovog pravila. Oblici 00, 1∞, ∞0 se rjesavaju tako da se prilikom transformacijezadana funkcija prvo logaritmira, a zatim rezultat zapise u obliku kvocijenta i onda

primijene L’Hopitalovo pravilo i formula limy→a(lny) = ln limy→a y . Takoder,00 se

transformacijom moze svesti na oblik∞∞ i obrnuto (vidi Tablicu 3.1 ) [8].

Tablica 3.1

Primjer 1.2. Razmotrimo sljedece primjere rjesavanja nekih neodredenih oblika:

a) limx→0

(1x -

1ex−1

)Ovdje se radi o neodredenom obliku ∞−∞ koji se prvo treba pretvoriti u neodredenioblik 0/0 i zatim primijeniti L’Hopitalovo pravilo. Vrijedi:

limx→0

(1

x− 1

ex − 1

)= (∞−∞) = lim

x→0

ex − 1− x

x(ex − 1)=

(0

0

)L′H= lim

x→0

ex − 1

xex + ex − 1=

=

(0

0

)L′H= lim

y→0

ex

ex(x + 2)=

1

2


b) limx→∞

(1 +

1x

)x

Ovdje se radi o neodredenom obliku 1∞. Mozemo iskoristiti Tablicu 3.1., alipogledajmo kako ovaj limes odredujemo koristeci svojstva logaritamske funkcije iL’Hospitalovo pravilo. Dakle, funkciju prvo treba logaritmirati. Vrijedi:

limx→∞

ln

((1 +

1

x

)x)= lim

x→∞xln

(1 +

1

x

)= (∞ · 0) = lim

x→∞

ln

(1 + 1

x

)1x

=

(0

0

)L′H=

L′H= lim

x→∞

(1

1+ 1x

)(− 1

x2

)− 1

x2

= limx→∞

1

1 + 1x

= 1.

Kako je:limx→a

(lnu) = ln limx→a

u10

vrijedi:

limx→∞

ln

((1 +

1

x

)x)= ln

(lim

x→∞

(1 +

1

x

)x).

Imamo:

ln

(lim

x→∞

(1 +

1

x

)x)= 1,

odakle se antilogaritmiranjem dobiva:

limx→∞

(1 +

1

x

)x

= e.

10Neka su funkcije f : D −→ R i g : K −→ R, f(D) ⊆ K bilo koje dvije funkcije i a ∈ D′. Akopostoji L = limx→a f(x) i ako je g neprekidna u tocki L, onda je limx→a g(f(x)) = g(limx→a f(x)), tjlimes i neprekidna funkcija ”komutiraju”.

2.. DIJELJENJE NULOM (NEDEFINIRANI OBLIK) 31

2. Dijeljenje nulom (nedefinirani oblik)

Formalno, dijeljenje nulom mozemo prikazati algebarskim izrazoma0, gdje je a brojnik

(djeljenik) razlicit od nule, a 0 je nazivnik (djelitelj). Dijeljenje nulom nema smislajer ne postoji broj koji pomnozen s nulom daje a, pa stoga kazemo da nije defini-

rano. Tako izraz10 za rezultat ne daje broj. No, taj se izraz ne smatra neodredenim,

nego nedefiniranim oblikom. Prikazemo li ga u obliku 1x, gdje je x mali (ali pozitivan)

broj, kao rezultat dobivamo jako veliku vrijednost. Kada je x negativan, za rezul-tat dobivamo odgovarajucu negativnu vrijednost. Stoga se javila potreba da se uvede

odgovarajuci simbol, jer iz navedenog slijedi da je

∣∣∣∣1x∣∣∣= ∞

(a0= ∞11

). Uvedemo li

prosirenje skupa R s ”beskonacnom velicinom” (∞), mozemo pisati limx→0+1x= +∞,

te limx→0−1x= −∞, gdje se jednostrani limesi s lijeva i desna gledaju u tom prosirenom

skupu R∪{+∞,−∞}. Kako su jednostrani limesi razliciti, granicna vrijednost ne pos-

toji u standardnom okviru realnih brojeva. Stoga je1x , za x = 0, nedefiniran oblik.

Zabluda koja se temelji na dijeljenju nulom

Promotrimo ”krivi dokaz” da je 1 = 0 ili opcenito, da je svaki realan broj jednak 0.

Neka je x = 0.

Izx(x− 1) = 0 /: x,

slijedix− 1 = 0,

tj. x = 1. No, onda iz pretpostavke slijedi da je 0 = 1.

Greska je ucinjena odmah u prvom koraku, prilikom dijeljenja x(x−1) = 0 s x. Naime,pretpostavili smo da je x = 0, a dijeljenje nulom nije definirano.

11Bhaskara spominje da se s nulom ne smije dijeliti u aritmetici, ali dopusta dijeljenje nulom ualgebri.


3. Neki matematicki pojmovi vezani za nulu

Eulerova formula (relacija) povezuje 5 vaznih matematickih konstanti: 0, 1, e, π i i teje mnogi smatraju jednom od najljepsih matematickih formula, a glasi:

eπi + 1 = 0.

Naime, Euler je u trigonometriju uveo suvremeno oznacavanje sinusa i kosinusa kaosin i cos, te je trigonometrijske funkcije prvi u povijesti razmatrao kao funkcije, a nekao geometrijske velicine. Otkrio je vezu izmedu eksponencijalne i trigonometrijskihfunkcija. Upravo je to Eulerova formula:

eθi = cos θ + i sin θ

pri cemu je sinus ispruzenog kuta jednak nuli, a kosinus jednak -1, za θ = 180◦ = π ,te formula nakon prebacivanja clanova na lijevu stranu poprima gornji oblik eπi + 1 = 0.

Maclaurinov red funkcije f je Taylorov red funkcije f oko tocke 0, uz potrebne teorijeskepretpostavke (vidi [4, str. 205]). Maclaurinov red za funkciju jedne varijable je oblika:

f(x) = f(0) +∞∑

n=1

f (n)(0)

n!xn.

Singularna matrica je neregularna kvadratna matrica, a njezina je determinanta jed-naka nuli. Singularna matrica nema inverznu matricu. Inverz matrice A odredujemoformulom:

A−1 =1

det AAadj

gdje je Aadj adjungirana matrica, odnosno transponirana matrica algebarskih komple-menata matrice. Dijeljenje sa nulom nije definirano pa prema tome inverzna matricasingularne matrice ne postoji.

Poglavlje 4

Nula u nastavi matematike osnovneskole

1. Ocekivana postignuca vezana za broj nula u prva

tri obrazovnim ciklusima

U skladu s cjelokupnim ocekivanim postignucima matematickog podrucja koje bi ucenicitrebali ostvariti u pojedinim ciklusima, a propisana su Nacionalnim okvirnim kurikulu-mom za predskolski odgoj i obrazovanje te opce obavezno i srednjoskolsko obrazovanje(vidi [5]), u ovom dijelu rada objasnit ce se problematicni dijelovi ocekivanih postignucavezanih za broj nula, u svakom od tri ciklusa opceg obaveznog (osnovnoskolskog) obra-zovanja. (Vidi Sliku 4.1.)

Slika 4.1 Odgojno-obrazovni ciklusi za osnovnu skolu

1.1 Prvi obrazovni ciklus (I. - IV. razred)

Zbrajanje, oduzimanje i mnozenje s nulom ucenicima lako mozemo objasniti kroz nekekonkretne primjere. Takoder, lako se objasni da oduzimanje, npr. 0 - 1, nije mogucena skupu prirodnih brojeva. To mozemo objasniti cinjenicom da kod prirodnih brojevaod bilo kojeg manjeg broja ne mozemo oduzeti veci.

33

34 POGLAVLJE 4. NULA U NASTAVI MATEMATIKE OSNOVNE SKOLE

Kod dijeljenja, ucenicima prvo treba objasniti razliku izmedu ”dijeljenja nule” i ”di-jeljenja nulom”. Dijeljenje nule najbolje je objasniti slikovito: ”Ako nemas niti jednujabuku (nula jabuka) i onda to nista podijelis na 2 dijela, sto dobijes? Nista!” Dakle,0 : 2 = 0. Odnosno, konkretno 0 : 2 = 0 jer je 0 · 2 = 0.

Veci je problem kako objasniti dijeljenje nulom, kako ucenicima tako i uciteljima.Zato je nuzna dobra edukacija studenata uciteljskih studija jer djeca temelje za daljnjecjelozivotno ucenje stjecu upravo u prvom obrazovnom ciklusu. Naime, dijeljenje nu-lom nije definirano, pa se stoga nulom ne moze dijeliti. Ranije u radu, objasnjeno jezasto je to tako, ali potrebno je objasnjenje koje bi bilo pogodno za ucenike prvogobrazovnog ciklusa. Ukoliko ucenici postave pitanje zasto se s nulom ne moze dijeliti,ili zasto broj podijeljen s nulom ne daje rezultat nula, pokusamo im prvo objasnitislikovitim primjerom. Primjerice, skup od 8 ruza mozemo dijeliti na 4 buketa; tada ceu svakom buketu biti po 2 ruze. Ako skup od 8 ruza dijelimo na 2 buketa, u svakombuketu ce biti 4 ruze. Smanjivanjem broja buketa primjecujemo da se broj ruza u po-jedinom buketu povecava pa cemo na kraju moci napraviti jedan buket u kojem ce biti8 ruza. Pitamo ucenike je li moguce od 8 ruza napraviti 0 buketa? To, naravno, nijemoguce. Ili primjerice, je li moguce sendvic podijeliti na 0 dijelova? Nije moguce, jerje sendvic vec u jednom komadu. Tada predlozimo da za konkretan primjer primjeneobrnutu operaciju od dijeljenja. Odnosno, ako misle da je 2 : 0 = 0, tada bi, premapripadnom mnozenju, trebalo vrijediti da je 0 · 0 = 2, sto nije tocno. Pitamo ih nadaljesto misle koji broj mozemo staviti kao rezultat? Postavimo to kao 2 : 0 = ?. Buducida za pripadno mnozenje ? · 0 = 2 ne mozemo naci broj koji bi zamijenio upitnik,zakljucujemo da takav broj ne postoji.

Najbolji trenutak za uvodenje konkretnih primjera za dijeljenje nule i dijeljenjenulom je nakon obrade operacija mnozenja i dijeljenja, odnosno objasnjenja njihovepovezanosti. Za ucenike je to vazna informacija, pa bi ju trebalo potkrijepiti njimabliskim, slikovitim primjerima. Trebamo izraditi plakat i ostaviti ga da stoji dulje vri-jeme kako bi ucenici to sto bolje usvojili (vidi Sliku 4.2 ).

Slika 4.2

Takoder, bilo bi pogodno s ucenicima obraditi pjesmicu ”Nula1”, te i za nju pronacimjesto na panou.

1Pjesma ”Nula” je izasla u Misu, broj 5. Tekst i crtezi: Dubravka Glasnovic, Samobor.

1.. OCEKIVANA POSTIGNUCA VEZANA ZA BROJ NULA 35

Moguce je da ucenici postave pitanje je li 0 : 0 = 0, jer mogu zakljuciti da je0 · 0 = 0?! Objasnjenje mozemo dati kroz nekoliko primjera. Naime, kada bi ta tvrdnjabila tocna, vrijedilo bi da je 0 : 0 = 2, jer je 2 · 0 = 0, takoder bi vrijedilo da je0 : 0 = 213 jer je 213 · 0 = 0. Opcenito se to moze zapisati kao 0 : 0 = ? i objasnitida se za upitnik moze staviti bilo koji broj jer ce uvijek vrijediti 0 · ? = 0. Za razlikuod primjera 2 : 0 = ?, gdje za upitnik ne moze naci odgovarajuci broj koji bi zamijenioupitnik, u ovom slucaju na mjesto upitnika moze se staviti bilo koji broj. Za ovajproblem kazemo da je neodreden. Znatizeljnim ucenicima objasnjavamo da dijeljenjenule nulom, kao i dijeljenje nulom ostalih brojeva, treba izbjegavati. Napominjemo imda je dijeljenje 0 : 0 neodredeno, a dijeljenje 2 : 0 nemoguce.

1.2 Drugi obrazovni ciklus (V. - VI. razred)

Kada se djecu upozna s negativnim brojevima (termometar) lako se objasnjava oduz-imanja veceg od manjeg prirodnog broja, kao i oduzimanje prirodnih brojeva od nule.

Problem dijeljenja nulom ucenicima ovog uzrasta mozemo objasniti pomocu pojmabeskonacnosti, jer su se zasigurno s tim vec susreli u svakodnevnom zivotu. No ipak binajbolje bilo pojam uvesti nakon sto ih se upozna s cinjenicom da prirodnih brojevaima beskonacno mnogo i da se pravac sastoji od beskonacno mnogo tocaka. Vezu di-jeljenja nulom i beskonacnosti mozemo objasniti sljedecim primjerom:

Primjer 1.1. Promotrimo:

10 : 10 = 1,10 : 5 = 2,10 : 2 = 5,10 : 1 = 10,10 : 0.5 = 20,10 : 0.1 = 100,10 : 0.01 = 1000,10 : 0.001 = 10 000,10 : 0.0001 = 100 000,10 : 0.00001 = 1 000 000

Objasnjavamo da se niz moze nastaviti s djeliteljima jos manjim od posljednjeg. Ucenicice vjerojatno i sami primijetiti da ce kolicnik biti veci, sto je djelitelj manji. Navodimoih na zakljucak, da sto je djelitelj blizi nuli, kolicnik ce biti blizi ”beskonacnosti” i tovrijedi za svaki broj.

No sa zapisom 10 : 0 =∞ treba biti oprezan jer beskonacno nije broj u istom smislu kaoi ostali brojevi i to moze dovesti do raznih paradoksa. Ucenicima upravo to navodimokao razlog zasto se nulom ne dijeli. Ova se cinjenica nadovezuje i na razlomke, dakle unazivniku ne smije biti nula.

Kod rjesavanja jednadzbi ucenicima mozemo postaviti ”trik pitanje”, primjericesto je rjesenje jednadzbe 0 · x = 2. Ucenici bi, s obzirom na predznanje, trebali lakozakljuciti da ova jednadzba nema rjesenja. Ili pak zatraziti rjesenje jednadzbe0 · x = 0 (jednadzba ima beskonacno mnogo rjesenja).


Primjer 1.2. Ukoliko je s jedne strane jednakosti jedan od faktora razlicit od nule,drugi mora biti jednak nuli da bi za rezultat dobili nulu.

Jednakost 5 · x = 0 slikovito prikazimo perfektno izbalansiranom ljuljackom gdje je5 · x s jedne, a 0 s druge strane.

Kako bi ljuljacka ostala u ravnotezi, sve sto radimo na jednoj strani, moramo napravitii na drugoj. Zelimo dokazati da ce jednakost vrijediti za x = 0. Stoga obje stranepodijelimo s 5. Dobivamo:

Znamo da je55 = 1, pa na lijevoj strani ostaje 1 · x, odnosno x:

Kako od prije znamo da ako nulu dijelimo nekim brojem za rezultat dobijemo nulu,slijedi:

1.. OCEKIVANA POSTIGNUCA VEZANA ZA BROJ NULA 37

Primjer 1.3. Svaki broj pomnozen s nulom za rezultat daje nulu.

Uzmemo konkretan primjer:5 · 0 = 0.Kako razlika dvaju jednakih brojeva daje nulu, slijedi:5 · 0 = 5 · (2− 2) = 0.Sada iskoristimo svojstvo distributivnosti mnozenja prema oduzimanju, dobivamo:5 · 0 = 5 · (2− 2) = 5 · 2− 5 · 2 = 10− 10 = 0,

sto vrijedi za bilo koji broj a razlicit od nule i za bilo koji b, odnosno,a · 0 = a · (b− b) = a · b− a · b = 0, a 6= 0.

1.3 Treci obrazovni ciklus (VII. - VIII. razred)

Znatizeljni bi ucenici, ukoliko im sami ne objasnimo i ne napomenemo, mogli pitatikoliko iznosi 02 i

√0 , te zasto je a0 = 1.

02 = 0 mozemo objasnimo preko povrsine kvadrata s kojom su ucenici vec upoznatiod prvog obrazovnog ciklusa. Dakle, kako je povrsina kvadrata jednaka velicini njegoveunutrasnjosti, te ako su stranica kvadrata duljine a, tada je povrsina jednaka umnoskua · a, odnosno krace a2 (kvadrat broja a). Pretpostavimo sada da su stranice kvadrataduljine 0, povrsina je tada jednaka 02. Koliko je potrebno kvadrata sa stranicamaduljine 1 da prekrijemo kvadrat sa stranicama duljine 0? Odgovor bi bio nula. Dakle,02 = 0. Odnosno, kako je 02 = 0 · 0, a otprije znaju da je svaki broj pomnozen s nulomjednak nuli, stvar je ocita.

Sada lako objasnimo da je√

0 = 0 preko izracunavanja duljine stranice kvadratazadane povrsine. Oznacimo s a duljinu stranice kvadrata, njegova je povrsina tadajednaka P = a2. Ako zadana povrsina iznosi 02, dobivamo a2 = 02 , tj. a2 = 0. Brojkoji kvadriranjem daje nulu zovemo drugi korijen od nula, a taj broj je upravo samanula.

Veci je problem kako djeci ovog uzrasta objasniti da je a0 = 1. Naime, oni nisuupoznati s eksponencijalnom funkcijom, racionalnim eksponentima i limesima. Ipak,sljedeci se nacin za dokaz da je a0 = 1 cini prikladan:

55 = 1

51

51 = 1

51−1 = 1

50 = 1,

sto vrijedi za bilo koji a razlicit od nule, odnosno a0 = 1, a 6= 0.


Provjeru razumijevanja dijeljenja nulom mozemo raditi u svakom obrazovnom cik-lusu.

Primjer 1.4. Istina ili zabluda? Ukoliko mislis da nije tocno, pronadi gresku!

1. Neka su a i b razliciti od nule i vrijedi:

a = b

2. Obje strane jednakosti pomnozimo s a, dobivamo:

a2 = ab

3. Oduzmimo b2:

a2 − b2 = ab− b2

4. Faktoriziramo obje strane, dobivamo:

(a− b)(a + b) = b(a− b)

5. Dijelimo s (a− b), dobivamo:

a + b = b

6. Kako smo na pocetku pretpostavili da je a = b, vrijedi:

b + b = b

7. Kako je b + b = 2b, dobivamo:

2b = b

8. Podijelimo s b, koji je kako je receno na pocetku razlicit od nule, te dobivamo:

2 = 1.

Greska se nalazi u 5. koraku, jer je po pretpostavci a = b i tada je a− b = 0, a znamoda dijeljenje s nulom nije definirano.

Citirajmo na kraju [1, str.156]:

”U nastavi matematike uvijek je bilo iznimno vazno tocno iznosenje cinjenica. Gradivose nadovezuje jedno na drugo i losi temelji ruse cijelu konstrukciju.”.

Poglavlje 5

Zanimljivosti o nuli

1. Igra i zanimljiv dokaz

Dokazimo da je rezultat praznog produkta jednak jedan. John von Neumann 1 jednomje rekao da se neke stvari u matematici ne mogu potpuno razumjeti, na njih se jednos-tavno naviknemo.

Uzmimo nekoliko zetona na kojima se nalaze razliciti brojevi i stavimo u kutiju.Vadimo jedan po jedan i pri tome svaki broj sa zetona mnozimo s brojevima koji suna zetonima koje smo vec izvadili iz kutije. Na kraju, kada smo izvadili sve zetone,medusobno smo pomnozili i sve brojeve i dobili rezultat r.

Slika 5.1

Unutrasnjost kutije pregradom podijelimo na dva jednaka dijela. Zetone ubacimo ukutiju, pri cemu ce neki ce upasti u lijevi dio, nazovimo ga A, a drugi u desni (B).

Slika 5.2

1John von Neumann (1903 - 1957) madarsko-americki matematicar.

39

40 POGLAVLJE 5. ZANIMLJIVOSTI O NULI

Uzmimo sada zetone iz A dijela i medusobno pomnozimo brojeve na njima. Taj pro-dukt nazovimo p. Istu stvar napravimo sa zetonima iz B dijela, produkt nazovemo q.Ocigledno je da je p · q = r, jer smo mnozili kao i na pocetku, samo smo to mnozenjesada podijelili na dva dijela. Rezultat je isti, neovisno o tome koliko zetona padne ukoji dio kutije. Cak i ako se svi zetoni nalaze u B dijelu, rezultat ostaje p · q = r.Odnosno, ako su svi zetoni u B, vrijedi da je q = r. To znaci da je p = 1, sto potvrdujenasu pretpostavku da je rezultat praznog produkta jednak jedan. Prisjetimo se da jeza funkciju f(n) = n! po definiciji 0! = 1.

2. Moc nule

Kao sto je ranije u radu opisano, Maye su po kalendaru haab dane u mjesecu brojalipocevsi od dana nula. Upravo se taj nacin brojanja koristi u modernoj magiji zaizvodenje zanimljivih trikova.

Svatko iz publike na papiric napise kratku recenicu po zelji te papir zapecati istavi u sesir. Napisanu recenicu nikome ne govori. Vidovnjak povezanih ociju iz sesiraizvlaci jedan papiric, drzi ga u ruci i svojim vidovnjackim sposobnostima pokusavasaznati sadrzaj. Nakon par sekundi napora obznani publici sadrzaj papirica na stojedna osoba iz publike povice: ”Da! To je tocno ono sto sam ja napisala!” Vidovnjakskine povez s ociju, skine pecat te procita naglas sadrzaj papirica koji se poklapa sonom recenicom koju je izrekao par minuta ranije. Oci mu se ponovno povezu te sveto ponovi i s drugim papiricem. Publika ostaje zapanjena i pita se kako to radi. Imali mozda trece oko? Ali, nije moc treceg oka ta koja mu to omogucuje, nego mocnule. Naime, prvu pogodenu recenicu su ”vidovnjak” i njegov pomocnik, koji je sjediou publici, unaprijed dogovorili. To je nulta recenica. Kada je skinuo povez, mogaoje otkriti sadrzaj recenice koju je napisala jedna od osoba iz publike. Kada drugiput pomocu ”svojih moci” otkrije sadrzaj papirica, bit ce to zapravo recenica s prvogpapirica. Koristeci se tim trikom, publici redom otkriva sadrzaj preostalih papirica.

3. Sveprisutnost nule

Nula se moze naci u svemu sto nas okruzuje. Neki je se boje, dok je nekima inspiracijaili pak opsesija.

Rijeci s nula samoglasnika:

• Hrvatski jezik: trk, crn, crv, cvrst, grc, prst, tvrd, brk, mrk, grm, zvrk, krv,krs,grb,...

• Engleski jezik: hymn, gypsyfy, myth, rhythm, sylph, syzygy,...

Poznate uzrecice i sale:

• Hrvatski jezik: ”Nula bodova” - kada se ne ostvari nesto sto smo ocekivali.

• Engleski jezik: ”Love” je rijec za rezultat 0 (nula bodova) u tenisu.

3.. SVEPRISUTNOST NULE 41

• Njemacki jezik: ”...in Null Komma nichts” - mi kazemo ”za sekundu”.

• Talijanski jezik: ”... a chilometri zero” - bi znacilo da je ono o cemu se govorilokalno, primjerice ”un gelato a chilometri zero”, sladoled koji je lokalni proizvod.

• Chuck Norris moze dijeliti nulom.

Telefoni:

Broj 0 na tipkovnici na vecini mobilnih ili fiksnih telefona uz sebe nema niti jedno slovo.Razlog tome je sto broj nula ima posebnu svrhu. Rezerviran je za poziv pomocnomtelefonskom operateru (sluzbeniku) bez kojeg u pocetku nije ni mogao biti uspostavljenpoziv. Dakle, kada bi birali telefonski broj nula, osobi koja se javi rekli bi broj kojizelimo da se nazove. Za razliku od danasnjeg modernog povezivanja, ovi su pozivibili povezani rucno. Ukoliko je poziv trebao biti uspostavljen za neku vecu udaljenosttrebalo je birati telefonski broj 00 te bi se ponovno dobio pomocni operater.emph(Slika 5.3).

Slika 5.3 Telefonski operateri iz 1952. godine

U Sjevernoj Americi takva usluga pomocnog operatera je jos uvijek u funkciji podistim telefonskim brojem, kao i usluga pomocnog operatera za uspostavu poziva navecu udaljenost (medunarodni pozivi).

U Hrvatskoj su za fiksnu telefoniju predbrojevi logickim slijedom odredeni premazupanijama: 01 - Grad Zagreb i Zagrebacka zupanija, 031 - Osjecko-baranjska zupanija.Mobilna telefonija: 091 - VIP net, 098 - T-MobileMedunarodni pozivni brojevi podijeljeni su na devet zona, oznacenih brojevima od 1do 9. Potencijalno postoji i zona 0, ali nije joj dodijeljena nijedna drzava. Primjerice,Zona 3 Europa: 00385 Hrvatska, 00387 Bosna i Hercegovina. Umjesto 00 cesto se piseznak +.


Hotel:

”Null Stern Hotel” ili hotel s ”Nula zvjezdica” nalazi se u malom svicarskom graduTufen, a nesto je izmedu hostela i muzeja. Hotel je prvobitno bio nuklearno sklonistekojeg su preuredili izumitelji brenda ”Null Stern - the only star is you”, Frank i PatrikRiklin i Daniel Charbonnier.

Slika 5.5 Ulaz u hotel

Na ulazu u hotel stoji znak na kojem pise: ”Nula je nova sedmica”.

Slika 5.6 Znak na ulazu u hotel

Sama struktura sklonista ostala je netaknuta jer je to za ovu trojicu umjetnika, kakosami kazu, umjetnicka instalacija prije nego hotel. Cilj im je bio stvoriti okruzenje kojebi potaklo ljude da razmisljaju o svojoj okolini.

3.. SVEPRISUTNOST NULE 43

Slika 5.7 Jedna od soba u hotelu

Religija:

Poniziti se, degradirati do nule, neki su svetci smatrali nuznim da bi se pribliziliBogu. Franjevac Antonio Margil de Jesus2 sam je sebe nazvao La Misma Nada, (”Nulasama po sebi”). Smatrao je da samo zrtva i poniznost mogu odrzati njegovu cvrstupovezanost s Bogom pa je tako postio svakog dana, osim nedjeljom. Spavao je samood 20 - 23 sata, zatim je citao svete tekstove te u ponoc sam sebe bicevao, a nakontoga satima molio. Bosonog, noseci sa sobom samo stap i ono sto mu je bilo potrebnoza sluzenje mise, osnovao je stotine misija u Sjevernoj i Srednjoj Americi. Zanimljivoje da su predci Indijanaca, koje je u svojim misijama pohodio, upravo nulu smatralibogom smrti.

Slika 5.8 Fra Antonio Margil de Jesus

2Antonio Margil de Jesus (1657 - 1726), spanjolski franjevac, misionar.


Druga podrucja:

• Lorenz Oken3 je upotpunio cijelu filozofiju, zoologiju, biologiju, psihologiju i ge-ologiju koristeci samo neka osnovna nacela i cisti razum. Neki od njegovih za-kljucaka vezanih za nulu su:

”Nula je prvi i vjecni cin koji se neograniceno postulira4. Zato je Bog jednaknuli, a nula beskonacnog intenziteta. Ali je covjek cjelokupna aritmetika, cijelamatematika! Stoga je zivot samo jedan matematicki problem.””Covjek je Bozje samopouzdanje.””Bog = + 0 −, covjek = +∞ 0 −∞ . . . ”

• Nula uzrokuje i mnogo poteskoca. Postavilo se kao zagonetno pitanje gdje jegranica izmedu dva tisucljeca (milenija). O tom su se pitanju sukobila mnogamisljenja, cemu smo nedavno i sami bili svjedoci. Naime, po nekima kao da jenovi milenij zapoceo na prijelazu iz 1999. godine u 2000. No radi se o prijelazu iz2000. godine u 2001., jer upravo je ovo problem nulte godine koju nasi preci nisuznali, smjeli ili zeljeli proglasiti. No, ovo nije bio jedini problem vezan za novotisucljece.”Milenijski bug”, ili ”milenijska bomba” koji se naziva i problem ”Y2K”5 odnosise na problem zapisa datuma u dd/mm/yy (ili mm/dd/yy) formatu jer se za iden-tifikaciju godine u zapisu koriste samo dvije znamenke. Iz tog razloga racunala,odnosno racunalni programi vecinom ”pamte” samo posljednje dvije znamenke ubrojci koja oznacuje godinu, pa racunalo nece godinu 2000. razlikovati od godine1900., godinu 2001. od 1901. itd. Zbog toga ce i racunalne aplikacije zasno-vane na tim datumima davati pogresne rezultate, a u ekstremnim slucajevimai zablokirati racunalo. Upravo je to bio razlog zasto je racunalo u londonskojtrgovini Marks & Spencer godine 1998. kad se radila inventura, 2002. godinu in-terpretiralo kao 1902., do koje je bio vijek trajanja nekih prehrambenih artikalate je naredilo unistavanje ”96 godina” stare hrane.

• Nula koja se nalazi na pocetku kontinuiranog vremena naziva se americka nula.O njoj cujemo od ljudi koji se svako jutro bude s istom misli: ”Danas je prvidan ostatka moga zivota.” ”Amerika je zemlja nule”, izjavio je filozof JosephNeedleman te objasnio: ” Poceti od nule, s nicim, to je Amerika.”

3Lorenz Oken (1779 - 1851), njemacki naturalist.4Postulat ili aksiom je temeljna istina koja se ne dokazuje i sluzi kao osnova za neke matematicke

teorije.5”Y2K” je kratica za ”2 kilo godinu”, odnosno 2000. godinu

Bibliografija

[1] Dubravka Glasnovic Gacin, Problem dijeljenja nulom, Mis 49, (2009).

[2] J. J. O’Connor, E. F. Robertson, A hystory of Zero,http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Zero.html, studeni 2011.

[3] Lionello Pogliani, Numbers Zero, One, Two, and Three in Science and Hu-manities, University of Kragujevac, Faculty of Science, Kragujevac, 2006.

[4] M. Crnjac, D. Jukic, R. Scitovski, Matematika, Biblioteka Ekonomskogfakulteta, Osijek 1994.

[5] Ministarstvo znanosti, obrazovanja i sporta NACIONALNI OKVIRNIKURIKULUM za predskolski odgoj i obrazovanje te opce obvezno i srednjoskolskoobrazovanje, Printer grupa, Zagreb, 2011.

[6] Petar Javor, Matematicka analiza 2, Element, Zagreb, 2000.

[7] Robert Kaplan, Die Geschichte der Null, Campus Verlag, Frankfurt/New York,2000.

[8] Wikipediahttp://en.wikipedia.org/wiki/Indeterminate form, studeni 2011

[9] Wikipediahttp://en.wikipedia.org/wiki/0 to the power of 0#Zero to the zero power,

studeni 2011

45

Sazetak

Nikada nula nije imala vece znacenje, nego sto ima danas. Ona cini polovinu svi-jeta racunala koji se sastoji od nula i jedinica. Rezultat je to primjene i usavrsavanjarazlicitih brojevnih sustava i matematickih primjena koje su ukljucivale rad s nulom.Kako bismo lakse pratili povijesni razvoj nule, vazno je razlikovati pojam nule kaoznamenke i nule kao broja. Stoga u prvom poglavlju dajemo objasnjenje navedenihpojmova kao i etimologiju imena nula.

Sama je povijest nule zanimljiva i neobicna pa u drugom poglavlju dajemo pregledrazvoja nule kroz povijest. Opisujemo kako su se nula i matematika paralelno razvijalepa smo u trecem poglavlju obradili neke pojmove i spomenuli odredene grane matem-atike u kojima se javlja nula.

Cetvrtim smo poglavljem objasnili vaznost tocnog iznosenja cinjenica vezanih zabroj nula zbog cjelozivotnog obrazovanja. U petom poglavlju vidimo kako se nulamoze naci u svemu sto nas okruzuje i tako postati inspiracija za mnoga zanimljivadjela, otkrica ili pak nacin zivota.

Summary

Zero has never had such an importance as it has nowadays. It does a half of thecompute world which consists of zeros and ones. It is a result of using and improvingdifferent number systems and mathematical appliances involving work with zero. Inorder to follow the historical development of zero more easily it is important to distin-guish the concept of zero as a digit and as a number. Therefore in the first chapter wegive an explanation of aforesaid concepts as well as etymology of the word zero.

The history of zero itself is very interesting and unusual. Considering that, inthe second chapter we give an overview of development of zero through history. Wehave seen that zero and mathematics have been developing in a parallel direction andbecause of that in the third chapter we have dealt with some concepts and we havementioned certain branches of mathematics where zero appears.

The fourth chapter explains the importance of precise establishing of the facts re-lating to the number zero because of whole life education. In the fifth chapter we cansee how zero can be found out in everything that surrounds us and in that way becomean inspiration for many other works, discoveries or simply the way of life.

Zivotopis

Rodena sam 19. veljace 1984. godine u Osijeku. Osnovnu skolu Mosa Pijadeu Antunovcu upisala sam 1990. godine, a 1991. godine upisala sam Osnovnu skoluMulenfeldschule u Sindorfu (Njemacka). 1992. godine pohadala sam Osnovnu skoluLjudevita Gaja u Osijeku, a od 1993. godine Osnovnu skolu Antunovac u Ivanovcu, tezatim u Antunovcu. 1999. godine upisala sam Ekonomsku i upravnu skolu u Osijeku.U srpnju 2004. godine upisujem preddiplomski studij matematike na Odjelu za matem-atiku, a sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike upisujem u rujnu 2008.godine.

Documents

Martina Duk Broj nula - mathos.unios.hrmdjumic/uploads/diplomski/DUK04.pdf · Sveuˇciliˇste J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Martina Duk Broj nula Diplomski rad