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Martes 21 de febrero de 2012Decima clase de 1:30 horas.Van 13:30 horas
Advanced Quantum TheoryPaul RomanAddison-Wesley, 1965ISBN 0201064952
Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908
I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
1. A cada estado de un sistema
físico le corresponde una función
de onda , .
La función de onda es un vector
en un espacio de Hilbert.
x t
2
3. (La hipótesis de Born) El cuadrado
de la función de onda,
, , ,
es la densidad de probabilidad del
sistema.
x t x t x t
Un espacio de Hilbert es un espacio
euclidiano completo.
1. Es un espacio vectorial
2. Tiene un producto escalar
3. Es completo
4. Es separable
En un espacio de Hilbert separable
siempre se puede encontrar una base
ortonormal infinita numerable
; 1, 2,3, .i i
22
*
, : ,
con el producto escalar
,
es un espacio de Hilbert
b
a
b
a
a b f a b R C f x dx
f g f x g x dx
L a
*
*
1
Un conjunto de funciones
; 1, 2,3,
es ortonormal y completo, si
,
y
' '
i
b
k l k l kl
a
k kk
i
x x dx
x x x x
2
1
*
Si , , entonces
donde
,
k kk
b
k k k
a
f a b
f
f x f x dx
L a
*
1
, k kk
f g
2
1 1
Si , , , entonces
y k k k kk k
f g a b
f x x g x x
L a
2 2
22
dV x x E x
m dx
0
0 0
x
V x x a
a x
22
22
0 0 0
d xE x
m dx
x x a
Las condiciones iniciales son:
0 0
0 0
y
2 sin
0 =0 y =0
ikx ikx ikx ikx
x x
x
x A B B A
x Ae Ae A e e A
a
i kx
2
22
0 ikx ikxd xk x x Ae Be
dt
0
2 sin 0
Ojo, esto implica que,
donde
Las condiciones iniciales son: 0 =0 y =0
1, 2,3,...
x a
x a iA ka
ka n
x x a
n
2
22
0 2 sind x
k x x iA kxdt
2 22
2¡¡¡¡¡¡¡
2 y 1, 2,3,...
así qu
1, 2,3,... !!!!!!!!
e
2nE
mEk ka
m
n
n na
n
2
22
0d x
k xdt
2 22
2 1, 2,3,...
2nE n nma
0x x a
2 2
1 22E
ma
2 2
2 242
Ema
2 2
2 29
2E
ma
2 2
0 0
0
4 sin 4 sin
4 1 4cos sin 2 1
2 2 2
1
2
a n
n
n aAA x dx AA d
a n
AA a AA a nAA a
n n
A ia
2
22
0 2 sind x n
k x x iA xdt a
La condición de normalización: 1x x dx
22
2
La solución normalizada de la ecuación de Schrodinger
0
con condiciones a la frontera 0 0
es
2sin
donde 1, 2,3,...
d xk x
dt
a
nx x
a a
n
*
2sin donde 1,2,3,...
Un conjunto de funciones ; 1, 2,3, es
ortonormal si ,
i
b
k l k l kl
a
nx x n
a a
i
x x dx
0
2sin sin
a
kk
k kx x dx
a a a
*
1
2sin donde 1,2,3,...
Un conjunto de funciones ; 1, 2,3,
es completo si ' '
i
k kk
nx x n
a a
i
x x x x
1
2sin sin '
k
k kx x x x
a a a
In [21]:= Removen, x, xp, , a;In [22]:= n_, x_ : Sin n x
a
In [23]:= a 1;
In [24]:= Sumn, x n, xp, n, 1, O ut[24]=
0
In [25]:= Sumn, x n, x, n, 1, Sum::div : Sum does not converge.
O ut[25]= n1
Sinn x2
2exp[ ( / 2) ]x x a
0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0
0 .8 0
0 .8 5
0 .9 0
0 .9 5
1 .0 0
2 *
1
Si , , entonces donde ,b
k k k k kk a
f a b f f x f x dx
L a
2
1(2 )
4
2, sin exp
0 si es par
1 1Erf Erf
2 2 2 2 2
.
n i
b
k k
k
a
n
k
nx x a dx
a a
i in
n
nie
2exp[ ( / 2) ]x x a
2 *
1
Si , , entonces donde ,b
k k k k kk a
f a b f f x f x dx
L a
1(2 )
4 1 1Erf Erf
2
0 si es par
2 2 2
.
2
n i n
k
k
in inie
n
0.859798 0. 0.
0.236368 0. 0.
0.140804 0. 0.
0.100374 0. 0.
0.078005 0. 0.
0.0637959 0. 0.
1(2 )
4 1 1Erf Erf
2
0 si es par
2 2 2
.
2
n i n
k
k
in inie
n
1.21594Sin[ ] 0.334275Sin[3 ] 0.199127Sin[5 ]
0.141951Sin[7 ] 0.110316Sin[9 ] 0.090221Sin[11 ]
0.0763227Sin[13 ] 0.0661364Sin[15 ]
0.0583499Sin[17 ] 0.0522041232830922Sin[19 ]
x x x
x x x
x x
x x
0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0
0 .7 0
0 .7 5
0 .8 0
0 .8 5
0 .9 0
0 .9 5
1 .0 0
2 2
2
1
2V x m x
dV xF x m x
dx
2 exp2n n
m mx A H x x
2 22 2
2
Ecuación de Schrodinger estacionaria
para el oscilador armónico:
1
2 2
dm x E
m dx
2exp2n n
m mx AH x x
2
2
Condición de normalización: 1
exp 1
exp 1
n n
n n
n n
x x dx
m m mAA H x H x x dx
AA H y H y y dym
http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials
2exp !2nn nH y H y y dy n
2
2
1 exp 1
exp !2
n n n n
nn n
x x dx AA H y H y y dym
H y H y y dy n
1/4
!2 1
1
2 !
n
n
AA nm
mA
n
2 22 2
2
1/4 2
1
2 2
1exp
22 !
10,1,2,...
2
n nn
n
dm x E
m dx
m m m xx H x
n
E n n
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc7.html#c1
1/4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
Las funciones de onda son ortonormales.
1) Ya demostramos que son normales
1/4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
1/ 2 2
1/ 22
Las funciones de onda son ortonormales.
2) 0 si
1 1exp
2 ! 2 !
1 1exp
2 ! 2 !
i j
i j
i ji j
i ji j
x x dx i j
x x dx
m m m m xH x H x dx
i j
mH y H y y dy
mi j
http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials
2exp 0m nH y H y y dy
1/4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
Las funciones de onda son ortonormales.
1) Ya demostramos que son normales
2) 0 si i jx x dx i j
*
*
1
Un conjunto de funciones
; 1, 2,3,
es ortonormal y completo, si
,
y
' '
i
b
k l k l kl
a
k kk
i
x x dx
x x x x
http://functions.wolfram.com/
1/ 4 2
*
1
1exp donde 1,2,3,...
22 !
Un conjunto de funciones ; 1,2,3, es completo si
' '
n nn
i
k kk
m m m xx H x n
n
i
x x x x
1/ 4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
2
Las funciones de onda constituyen
un conjunto ortonormal completo del
espacio de Hilbert del problema,
que es RL
*
*
La condición de completez se escribe
; ; ' '
La condición de ortonormalidad se escribe
; , ; ; '; '
k x k x dk x x
k k k x k x dx k k
Si el rango sobre el cual el espacio está definido es
infinito el espacio de Hilbert no es
separable; es decir, no existe una base infinita numerable.
x
*
Sea una función del espacio.
Entonces
;
donde
; , ;
f
f k k dk
k k f k x f x dx
*,f g k k dk
*
*
; ; ; , ;
; ; ; , ;
f k k dk k k f k x f x dx
g k k dk k k g k x g x dx
2*,f f k k dk k dk
* *
1
En ocasiones la base no es ni contable
ni enteramente contínua, es mixta.
La condición de completez se escribe
' ; ; ' '
El número de estados discretos puede ser finito
ó infin
m
s ss a
x x k x k x dk x x
m
ito.
Todos los elementos discretos son
ortogonales a todos los elementos
del continuo ; , y
, ; ; , '; '
s
s r sr
k
k k k k
* *
1
' ; ; ' 'm
s ss a
x x k x k x dk x x
El valor de la función en el punto ,
ó sea , puede ser considerado la
componente de con respecto a una
base particular, que se llama base de
coordenadas.
f x
f x
f
' ' 'f x f x x x dx
El valor de la función en el punto , ó sea ,
puede ser considerado la componente de con respecto
a una base particular, que se llama base de coordenadas.
f x f x
f
' ' 'f x f x x x dx
El valor de la función en el punto , ó sea ,
puede ser considerado la componente de con respecto
a una base particular, que se llama base de coordenadas.
f x f x
f
Los elementos de la base son '; 'x x x x
*
'; , '';
'; '';
' '' ' ''
x x
x x x x dx
x x x x dx x x
' ' ' ; '; 'f x f x x x dx x x x x
A todas las cantidades físicas
observables les corresponde un
operador lineal hermitiano.
Los únicos valores que puede
tomar una cantidad física son
los valores propios del operador
correspondiente.
A todas las cantidades físicas observables les corresponde un operador
lineal hermitiano. Los únicos valores que puede tomar una cantidad
física son los valores propios del operador correspondiente.
i) El operador debe ser lineal
ii) El operador debe ser hermitiano
iii) El operador debe ser acotado
iv) El operador debe tener un conjunto
completo de estados propios.
Sea un operador.
Sean y vectores de un espacio euclidiano.
Sean y escalares (complejos).
El operador es lineal si
a b
a b a b
†
†
Sea un operador lineal.
Sean y vectores de un espacio euclidiano.
Se define el operador adjunto o conjugado
hermitiano como
, ,
a b
a b a b
†
Sea un operador lineal.
Si
el operador es autoadjunto
o hermitiano.
†Sea un operador lineal. Si
el operador es autoadjunto o hermitiano.
Sean y vectores de un espacio euclidiano.
El operador es autoadjunto o hermitiano si
, ,
a b
a b a b
Sea un operador lineal.
El operador es acotado si existe un
real positivo tal que
para todos los vectores 0 del
dominio de .
C
a C a
a
†
†
Sea un operador. Sean y vectores de un espacio euclidiano.
Se define el operador adjunto o conjugado hermitiano como
, ,
a b
a b a b
††
†
i)
ii) Si es acotado,
también es acotado.
Los
operadores lineales hermitianos
acotados tienen
un conjunto completo
de estados propios.
Una variable dinámica (observable)
debe tener asociado un operador de
este tipo.
Los operadores lineales hermitianos
acotados tienen un conjunto completo
de estados propios.
Los operadores lineales hermitianos acotados
tienen un conjunto completo de estados propios.
Una variable dinámica (observable) debe tener
asociado un operador de este tipo.
El inverso no es cierto.
Es decir, hay muchos (la gran mayoría)
operadores lineales hermitianos acotados
que no corresponden a ninguna variable
dinámica (observable)
Los operadores lineales hermitianos acotados
tienen un conjunto completo de estados propios.
Una variable dinámica (observable) debe tener
asociado un operador de este tipo.
Esta asociación implica que una cantidad
física no puede tomar valores arbitrarios.
Sólo un "espectro" de valores que pueden
ocurrir.
Este postulado expresa matemáticamente
la existencia de "niveles cuánticos".
¿Cómo encontramos el operador
que corresponde a una cierta
variable dinámica (observable)?
Cualquier cantidad fisica clásica puede
considerarse como construida por pares
de variables canónicas conjugadas.
El operador mecánico cuántico
correspondiente se obtiene remplazando
las variables canónicas clásicas por sus
correspondientes operadores mecánico
cuánticos.
Cuando para describir un sistema se
necesiten variables que no tengan
contrapartida clásica, como el espín
o el espín isobárico, se deben utilizar
métodos ad hoc o utilizar propiedades
de simetría y reglas de conservación para
encontrar el operador correspondiente.
Se debe tener mucho cuidado
que el operador resultante sea
hermitiano.
† † †
†
¿Qué le asociamos a ?
ˆ ˆEl operador no es hermitiano
,
pero
1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2
pq
pq
pq q p qp pq
pq qp qp pq pq qp
Se debe tener mucho cuidado de que el
operador resultante sea hermitiano.
Cualquier cantidad fisica clásica puede
considerarse como construida por pares
de variables canónicas conjugadas.
El operador mecánico cuántico
correspondiente se obtiene remplazando
las variables canónicas clásicas por sus
correspondientes operadores mecánico
cuánticos.
Consideraremos la dinámica de una partícula
puntual sujeta a la influencia de fuerzas externas.
Supondremos que:
i) El movimiento no es relativista.
ii) La fuerza es irrotacional 0 ,
por tanto es deriv
F
able de un potencial F V
La fricción, que no es irrotacional, no existe
en los fenómenos microscópicos.
El objetivo es describir el movimiento
de la partícula cuando se conocen:
i) su posición y velocidades iniciales.
ii) la fuerza neta en la particula , .F r t
Consideraremos la dinámica de una partícula
puntual sujeta a la influencia de fuerzas externas.
La solución está dada,
cuando se conoce la función
r t
Consideraremos la dinámica de una partícula
puntual sujeta a la influencia de fuerzas externas.
2
2
De aquí se calcula la velocidad
y la aceleración
dr tv t
dt
dv t d r ta t
dt dt
Consideraremos la dinámica de una partícula
puntual sujeta a la influencia de fuerzas externas.
La solución está dada, cuando se conoce la función r t
2
2
La fuerza neta y la aceleración
están relacionados por la
segunda ley de Newton
d r tm ma F V
dt
Consideraremos la dinámica de una partícula
puntual sujeta a la influencia de fuerzas externas.
Introduciendo la variable dinámica
cantidad de movimiento lineal o
momentum, como
la segunda ley de Newton se escribe
p mv
dpF
dt
2
2
Consideraremos la dinámica de una partícula
puntual sujeta a la influencia de fuerzas externas.
d r tm ma F V
dt
2
2
1Energía cinética:
2
Energía potencial:
1Energía total:
2
T mv
V
E T V mv V
El momento angular instantaneo de una
partícula, con respecto al origen , se
define como:
L
O
L r p
Una variable dinámica es una
constante de movimiento si no
cambia con el tiempo.
También se dice que es una
cantidad conservada.
Una variable dinámica es una constante de movimiento si no cambia
con el tiempo. También se dice que es una cantidad conservada.
Si una partícula está sujeta a una
fuerza conservativa (irrotacional
e independiente del tiempo) la
energía es una constante de
movimiento; es decir, en este caso la
energía es una cantidad conservada.
21
2
0
dE d dv drmv V mv V
dt dt dt dt
dvmv v V
dtv ma V
Una variable dinámica es una constante de movimiento si no cambia con el tiempo.
También se dice que es una cantidad conservada.
Si una partícula está sujeta a una fuerza conservativa (irrotacional e independiente
del tiempo) la energía es una constante de movimiento; es decir, en este caso la
energía es una cantidad conservada.
La mecánica newtoniana usa sistemas
de referencia con ejes cartesianos en
que la posición de una partícula puntual
en un instante dado viene dada por un
vector del espacio euclídeano.
2
2
d r tm V
dt
Las ecuaciones de movimiento son
ecuaciones diferenciales que relacionan
las derivadas de la posición con la
posición de las otras partículas.
2
2
d r tm V
dt
Sin embargo, matemáticamente podemos
usar un conjunto de coordenadas curvilíneas
cualesquiera tales que el vector posición
pueda ser expresado en términos de esas
coordenadas y viceversa.
2
2
Las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales que relacionan
las derivadas de la posición con la posición de las otras partículas.
d r tm V
dt
1 2
1
Esto implica que en un sistema de
partículas (y 2 grados de libertad)
existirán funciones invertibles de la
otra tales que:
,..., , 1,...,
,..., , 1,..., 2
i i N
j j P
P N
r r q q t i P
q q r r t j N
Es conveniente tener un formalismo equivalente a las leyes de Newton,
pero que sea independiente de cualquier sistema de coordenadas.
Es conveniente tener un formalismo
equivalente a las leyes de Newton,
pero que sea independiente de
cualquier sistema de coordenadas.
2
2
Las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales que relacionan
las derivadas de la posición con la posición de las otras partículas.
d r tm V
dt
Es conveniente tener un formalismo equivalente a las leyes de Newton,
pero que sea independiente de cualquier sistema de coordenadas.
Esta generalización, conocida como mecánica
lagrangiana, puede ser expresada en términos
de conjuntos de coordenadas generalizadas.
Estas nuevas coordenadas no tienen que tener
una relación geométrica simple con las
coordenadas cartesianas.
La única condición es que las coordenadas
sean independientes y que determinen de
manera única la posición de la partícula.
Se denominan informalmente coordenadas
generalizadas a un conjunto cualquiera de
parámetros numéricos que sirven para
determinar de manera unívoca la
configuración de un mecanismo o sistema
mecánico con un número finito de grados
de libertad.
Es conveniente tener un formalismo equivalente a las leyes de Newton,
pero que sea independiente de cualquier sistema de coordenadas.
1 2 1
Si la configuración de un sistema
está determinada por los valores de un
conjunto de variables independientes
,..., , entonces ,..., es un
conjunto de coordenadas generalizadas
del sistema .
N
S
q q q q
S
1 2 1
Si la configuración de un sistema está determinada
por los valores de un conjunto de variables
independientes ,..., , entonces ,..., es un
conjunto de coordenadas generalizadas del sistema .N
S
q q q q
S
Que las variables sean independientes
quiere decir que no existe ninguna
relación funcional que las conecte.
1
Que determinen la configuración del
sistema quiere decir que cuando se dan
los valores de las variables ,..., ,
la posición de todas las partículas del
sistema está determinada.
nq q
S
1 2 1
Si la configuración de un sistema está determinada
por los valores de un conjunto de variables
independientes ,..., , entonces ,..., es un
conjunto de coordenadas generalizadas del sistema .N
S
q q q q
S
1 2
1
Si la configuración de un sistema está determinada por los valores
de un conjunto de variables independientes ,..., , entonces
,..., es un conjunto de coordenadas generalizadas del sistema .N
S
q q
q q S
1
1
Los vectores de posición de las
partículas deben ser funciones conocidas
de las variables independientes
,...,
es decir,
,..., 1,...,
i
n
i i n
r
q q
r r q q i N
1 2
1
Si la configuración de un sistema está determinada por los valores
de un conjunto de variables independientes ,..., , entonces
,..., es un conjunto de coordenadas generalizadas del sistema .N
S
q q
q q S
En la práctica, resultan ser
desplazamientos o ángulos
que aparecen de manera
natural en el problema.
De todas las trayectorias posibles,
a lo largo de las cuales un sistema
dinámico puede moverse de un punto a otro,
en un intervalo de tiempo específico
(consistente con todas las constricciones),
la trayectoria efectivamente seguida
por el sistema es aquella que minimiza
la integral temporal de la diferencia entre
la energía cinética y la energía potencial.
Restringiendonos a un sistema de partículas
masivas puntuales, denotamos las coordenadas
generalizadas como ( 1, 2,3, , ).
Si , , es el lagrangiano del
sistema, se define la acción
, ,
i
i i
i i
q i N
L L q q t
W L q q t dt
2
1
t
t
1 2
El problema variacional
0
con respecto a las y con las condiciones de
frontera 0 para y da las ecuaciones de
movimiento, las ecuaciones de Euler-Lagrange
0
iq
i
i
i i
W
q
q t t
L d Lq dt q
2
1
, ,t
i i
t
W L q q t dt
2
1
, ,t
i i
t
W L q q t dt
Dado un sistema de partículas masivas puntuales,
denotamos las coordenadas generalizadas como
( 1,2,3, , ).
Si , , es el lagrangiano del sistema,
las ecuaciones de movimiento serán:
i
i i
i
q i N
L L q q t
L d Lq dt
0 ( 1, 2,3, , ).i
i Nq
2 21 1
2 2
, ,
0
L T U mx kx
L L d Lkx mx mx
x x dt x
mx kx
0, 1,2,3i i
L d Li
x dt x
l
2 2
cos sin
arctan
0 0 2
x r y r
yr x y
x
r
22
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
cos sin
sin cos
cos sin sin cos
cos 2 sin cos sin sin
2 sin cos cos
dx dx dr dx d r rdt dr dt d dtdy dy dydr d r rdt dr dt d dt
dydx r r r rdt dt
r rr r r
rr r
2
2 2 2
2 2 2
2
2
2 2
2 2
2 s2 sin cos
2
c in
cosin cos
os s
s
in
r
r
rr
r
r r
rr
r
2 2
cos sin
arctan
x r y r
yr x y
x
2 2
222 2 2 2
cos sin
arctan
x r y r
yr x y
x
dydxv r rdt dt
l
2 2
2
2
cos sin
arctan
cos sin
sin cos
cos sin cos sin cos sin
sin
x r y r
yr x y
x
dx dx dr dx d r rdt dr dt d dtdy dy dydr d r rdt dr dt d dt
d x d d dr d dr r r r r rdt dr dt d dtdt
2
2
2
2
sin cos 2sin cos
sin cos sin cos sin cos
cos cos sin 2cos sin
r r r r r
d y d d dr d dr r r r r rdt dr dt d dtdt
r r r r r
2 2
2 2
11 cos
2
sin , ,
sin 0
L ml mgl
L L d Lmgl ml ml
dtg
l
0, 1,2,3i i
L d Li
x dt x
