Marimi de Natura Electrocinetica

7/25/2019 Marimi de Natura Electrocinetica

http://slidepdf.com/reader/full/marimi-de-natura-electrocinetica 1/13

Partea I. M !rimile "i legile electromagnetismului 37

3. M!RIMI DE NATUR ! ELECTROCINETIC!

3.". Intensitatea curentului electric i

Într-un punct P , unde avem câmp magnetic de induc!iemagnetic" B #i nu avem câmp electric, introducem un corp metalicfiliform, rectiliniu, din care un mic segment ∆l este legat de restulfirului prin dou" fine resoarte metalice, astfel încât s" fie permis" mi#carea micului segment #i s" poat" fi m"surate for !ele ce seexercit" asupra lui (Fig. 3.$). Se constat" c", uneori, asupra micului

segment se exercit" o for !" ∆F, care nu este de natur " electric", pentru c" nu avem câmp electric. For !a nu are nici natura celei de la par.2.$, deoarece micul segment nu se mi#c". For !a poate s" apar " chiar dac" micul segment nu are sarcin" electric". Spunem c" miculsegment are proprietatea de a fi parcurs de curent electric. F"cândmai multe m"sur "tori, se constat" c" este valabil" rela!ia:

BlF ×∆=∆ i (3.$)

unde i este o constant" ce nu depinde de induc!ia magnetic" B #icaracterizeaz" proprietatea micului segment de a fi parcurs de

curent electric. Se nume#teintensitatea curentului electric#i este o m"rime primitiv" definit" prin procedura dem"surare dat" de rela!ia (3.$).

Orientarea lui ∆l define#tesensul lui i prin miculsegment. Unitatea de m"sur " pentru i este Amper-ul (A).

Observa # ie. De multe ori, când nu exist" riscul unor confuzii,spunem pe scurt “curent electric” sau chiar “curent”, în loc deintensitatea curentului electric.

∆F

B

∆l

detaliu [n Fig.3.2

Fig. 3.1. Intensitatea curentuluielectric.




P

∆S n i

Fig. 3.2. Mi]carea purt torilor de sarcin .

3.2. Densitatea de volum a curentului electric J

Dac" “punem sub lup"” un detaliu din micul segment de la paragraful anterior, observ"m c" apari!ia curentului electric esteînso!it" de deplasarea unor purt"tori de sarcin" electric" (Fig.3.2).F"când analogia cu debitul masic al unui fluid printr-o conduct", putem spune c", în cazul curentului electric, avem un debit de purt"tori de sarcin" electric" printr-o suprafa!" transversal" aconductorului. În cazul fluidelor, putem asocia debitul la orice

suprafa!" orientat". În baza analogiei mai sus men!ionate, extindem#i no!iunea de curent electric la o suprafa!" orientat" (debitul purt"torilor de sarcin" prin acea suprafa!"). Fie ni∆ intensitatea

curentului electric asociat" unei mici suprafe!e plane ∆S , deorientare n, cu centrul în punctul P . Fie:

A

ilim J n

n∆

∆=

→∆ 0 (3.2)

unde ∆ A este aria micii suprafe!e ∆S care se “strânge” în jurul punctului P , p"strând orientarea n. Fie

maxn J valoarea maxim" a

lui n J , ob!inut" pentru orientarea maxn . Numim densitate de voluma curentului electric în punctul P , m"rimea vectorial":

maxmaxnJ n J = (3.3)




Densitatea de volum a curentului electric este analoag" cu τv, undev este viteza fluidului, iar τ este densitatea de mas". Pentru o

direc!ie arbitrar " n, avem:

nJ ⋅=n J (3.4)

Pentru o suprafa!" orientat" arbitrar " S , avem (Fig. 3.3):

∆=

k nS k

ii (3.5)

Conform rela!iei (3.2), pe fiecare mic" suprafa!" k S ∆ , avem:

k k k k nn S S J ik k

∆⋅=∆=∆ nJ

#i rela!ia (3.5) devine:

∆⋅=

k k k k S S i nJ (3.6)

Când divizarea suprafe!ei S în mici suprafe!e k S ∆ este arbitrar de

fin", rela!ia (3.6) devine, la limit":

k J k n

k S ∆ k P

S i

S

Fig. 3.3. Curentul electric S i printr-o suprafa\` S.




⋅=

S S dS i nJ (3.7)

Observa # ie. Definirea densit"!ii de volum a curentului electric

sufer " de lips" de rigurozitate. Intr-adev"r, dac" !inem cont demodul în care a fost definit curentul electric, m"surarea for !eiasociate unei suprafe!e ∆S nu are sens. Extinderea m"rimiiintensitatea curentului electric la suprafa!a ∆S se face doar intuitiv, pe baza analogiei cu debitul unui fluid, iar aceast" analogie presupune existen!a unui “supermicroscop”, cu ajutorul c"ruia sevede deplasarea unor sarcini electrice. De fapt, se face apel lamodelul microscopic al curentului electric, în afara unei teorii

macroscopice. În plus, rela!ia (3.4) este admis" tot în baza analogieicu debitul unui fluid. De fapt, aceast" rela!ie ne permite s" spunemca densitatea de volum a curentului electric este vector. Valoareamaxim" din rela!ia (3.3) nu define#te neap"rat un vector decât dac" (3.4) este valabil". Definirea riguroas" a densit"!ii de volum acurentului electric #i a curentului electric se poate face prin rela!iadat" de legea circuitului electric, dar, din p"cate, aceast" variant" arlipsi no!iunea de curent electric de sensul ei fizic.

3.3. Legea circuitului magnetic

În urma experimentelor, se constat" urm"toarea proprietate:Tensiunea magnetic! pe o curb! Γ este egal ! cu intensitatea

curentului electric pe orice suprafa #! Γ S cu bordura Γ adunat ! cu

viteza de cre "tere a fluxului electric pe suprafa # a Γ S , sensul pozitiv

prin Γ S fiind dat de regula burghiului fa #! de sensul de parcurgere

al curbei Γ (Fig. 3.4):

Γ Γ Ψ+=Γ S S mdt

d iu (3.8)

TermenulΓ

Ψ= S H dt

d i se

nume#te curent electrichertzian. Utilizând rela!iile de

n

dS

Γ S

Γ

Fig. 3.4. Pentru legea circuituluimagnetic.



Partea I. M !rimile "i legile electromagnetismului 4$

definire a tensiunii magnetice (2.$0), a intensit"!ii curentuluielectric (3.7) #i a fluxului electric ($.23), rela!ia (3.8) se mai scrie:

Γ Γ Γ

⋅+⋅=⋅

S S

dS t d

d dS d nDnJlH (3.8’)

Consecin#e: i) Forma local ! a legii circuitului magnetic

pentru medii imobile. Dac" mediile sunt imobile, atunci suportulintegralei de suprafa!" din rela!ia (3.8’) este constant în timp #iderivata în raport cu timpul intr " sub semnul de integrare:

Γ Γ Γ

⋅∂

∂+⋅=⋅

S S

dS t

dS d nD

nJlH (3.9)

Aplicând formula lui Stokes în membrul stâng al rela!iei (3.9),rezult":

Γ Γ Γ

⋅∂

∂

+⋅=⋅S S S

dS t dS d rot n

D

nJlH (3.$0)

Deoarece suportul de integrare este arbitrar, rezult" c" integranziisunt egali:

t rot

∂

∂+=

DJH (3.$$)

Rela!ia (3.$$) este forma local" a legii circuitului magnetic,cunoscut" #i sub numele prima lege a lui Maxwell sau formulageneralizat" a lui Ampère.

ii) Forma local ! a legii circuitului magnetic pentru medii în

mi "care. Dac" mediul este în mi#care, atunci suportul integralei desuprafa!" din rela!ia (3.8’) este variabil în timp #i derivata în raportcu timpul intr " sub semnul de integrare sub forma derivatei

substan!iale de flux (Anexa A):




Γ Γ Γ

⋅+⋅=⋅

S

f

S

dS t d

d dS d n

DnJlH (3.$2)

unde (v. Anexa A):

)( vDDvDD

×++∂

∂= rot div

t dt

d f (3.$3)

Dac" !inem cont de forma local" a legii fluxului electric ($.25),avem:

)( vDvDD×++

∂

∂= rot t dt

d v

f ρ (3.$4)

La fel ca la punctul precedent, aplic"m formula lui Stokes înmembrul stâng al rela!iei (3.$2) #i ob!inem:

dt

d rot

f DJH += (3.$5)

sau:

JH =rot + )( vDvD

×++∂

∂rot

t v ρ (3.$5’)

În rela!ia (3.$5’), avem:• J, densitatea de volum a curentului de conduc!ie;

•

t d

∂

∂=

DJ , densitatea de volum a curentului de deplasare;

• vc ρ vJ = , densitatea de volum a curentului de convec!ie;

• )( vDJ ×= rot R , densitatea de volum a curentului Roentgenteoretic.

Integralele de suprafa!" ale densit"!ilor de curent de mai susdefinesc curen!ii de conduc!ie, de deplasare, de convec!ie #i,respectiv, Roentgen teoretic.

Observa # ie. Ultimul termen din rela!ia (3.$5’) nu este verificat

experimental. Este verificat doar curentul Roentgen experimental,în care intr " polariza!ia electric" P, în loc de induc!ia electric":




)(' vPJ ×= rot R

Din fericire, contribu!ia acestui termen în membrul drept al rela!iei(3.$5’) este important" doar în cazul mediilor puternic polarizateelectric #i care se deplaseaz" cu viteze mari.

iii) Teorema lui Ampère. Dac" în rela!iile (3.8) #i (3.8’)

neglij"m curentul hertzianΓ

Ψ= S H dt

d i , rezult":

Γ =Γ S m iu (3.$6)

sau:

Γ Γ

⋅=⋅

S

dS d nJlH (3.$6’)

Aplicând rela!ia lui Stokes în membrul stâng, rezult" #i forma local" a teoremei lui Ampère:

JH =rot (3.$7)

iv) Teorema conserv!rii sarcinii electrice. Intensitatea

curentului electric printr-o suprafa #! închis! este egal ! cu viteza de

sc!dere a sarcinii electrice din interiorul suprafe # ei.

Demonstra # ie. Fie o suprafa!" S cu bordura Γ arbitrar de mic", tinzând c"treun punct (Fig.3.5). Atunci, suprafa!a S tinde c"tre o suprafa!" închis" Σ. Membrul

stâng al rela!iei (3.8’) tinde c"tre 0 #irela!ia (3.8’) devine:

ΣΣ

⋅+⋅= dS t d

d dS nDnJ0

Dac" !inem cont de legea fluxului electric (par.$.9, rela!ia ($.24)) #idac" not"m

ΣΣ ⋅= dS i nJ , rezult":

S→Σ

( ΣΩ )

Γ

Fig. 3.5. Teorema conserv riisarcinii electrice.




ΣΣ −= qdt

d i (3.$8)

Dac" sarcina electric" este distribuit" în volum cu densitateade volum v ρ , atunci mai putem scrie:

ΣΩΣ

−=⋅ dvt d

d dS v ρ nJ (3.$8’)

Forma local ! a teoremei conserv!rii sarcinii electrice pentru

medii imobile. În cazul mediilor imobile, derivata din membruldrept al rela!iei (3.$8’) intr " sub semnul de integrare sub formaderivatei par !iale #i, dac" aplic"m formula lui Gauss în membrulstâng, avem:

ΣΣ ΩΩ

∂

∂−= dv

t dvdiv v ρ

J

Suportul de integrare fiind arbitrar, rezult":

t div v

∂

∂−= ρ

J (3.$9)

Forma local ! a teoremei conserv!rii sarcinii electrice pentru

medii în mi "care. Dac" mediile sunt în mi#care, atunci, suportul deintegrare ΣΩ fiind variabil în timp, derivata în raport cu timpul

intr " sub semnul de integrare sub forma derivatei substan!iale devolum (Anexa A):

ΣΣ ΩΩ

−= dvt d

d dvdiv vv ρ J

#i rezult":

dt

d div vv ρ

−=J =

+

∂

∂− )( v

v divt

ρ ρ

v (3.20)




Observa # ii: a) Tot la rela!ia (3.20) se poate ajunge #i aplicândoperatorul div în membrul stâng al rela!iei (3.$5’). Deoarecediv(rot( ))=0, rezult":

Jdiv=0 + )( vdivt

div ρ vD+

∂

∂

%inând cont de forma local" a legii fluxului electric (par.$.9, rela!ia($.25)), avem:

t div

t t div v

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂ ρ D

D

#i rezult" rela!ia (3.20). b) De#i legea circitului magnetic nu este întotdeauna verificat"

experimental, teorema conserv"rii sarcinii electrice, care estededus" din aceast" lege, este totu#i verificat" experimental. Seobserv" c" “abaterea” de la experiment, din rela!ia (3.$5’), este dat" de diferen!a dintre densit"!ile curen!ilor Roentgen experimental #iteoretic:

' RJ - RJ = )( vP×rot - )( vD×rot = )(0 vE×rot ε

Prin aplicarea operatorului div rela!iei(3.$5’), aceast" m"rime dispare.

c) În foarte multe lucr "ri, teoremaconserv"rii sarcinii electrice este denumit" lege. Un motiv este faptul c" afirma!iaf "cut" de aceast" teorem" este u#or deadmis, f "r " demonstra!ie, dac" facem uz deanalogia dintre debitul unui fluid #icurentul electric, ca debit de purt"tori desarcin". “Legea” conserv"rii sarcinii

electrice este analoag" cu cea a conserv"rii masei. Curentul electric

i

i

Fig. 3.6. Conductoare filiform rectiliniu ]i unghiular, parcurse de curent.

i i i

i⇔

Fig.3.7. Formarea unui conductor filiform de forma unghiului te]it prinsuprapunerea unui conductor filiform ]i a dou conductoare unghiulare.




prin suprafa!a închis" Σ apare când purt"torii de sarcin" electric" traverseaz" aceast" suprafa!", p"r "sind domeniul ΣV (sau purt"toriide sarcin" electric" negativ" intr " în domeniul ΣV ). Atunci, sarcina

electric" din domeniul ΣV scade. Prin compara!ie, afirma!ia dincadrul legii circuituluimagnetic este mult maicomplicat" #i mult maigreu de admis direct, f "r " demonstra!ie. De fapt,formularea legiicircuitului magnetic a

rezultat din teorema luiAmpère, din “legea”conserv"rii sarciniielectrice #i din legeafluxului electric. Intr-adev"r, teorema luiAmpère poate fi relativu#or de intuit, cel pu!in în

aer, stabilind câmpulmagnetic produs de un fir

rectiliniu infinit lung (v. Partea a IV-a, Cap.4, par.4.2) #i de unconductor filiform în form" de unghi (Fig. 3.6), apoi, prinsuperpozi!ie, câmpul magnetic produs de un conductor de formaunghiului te#it (Fig.3.7) #i, în final, câmpul magnetic produs de ospir " filiform" de form" oarecare (Fig.3.8). Aplicarea teoremei luiAmpère pentru conductoare închise se face f "r " probleme (Fig.3.9).

Dac" îns" la capetele conductoarelor se poate aduna sarcin" electric" (v.condensatorul, la Partea a II-a, Cap.2),atunci, la aplicarea teoremei lui Ampère,apare o contradic!ie. Când suprafa!a Γ S de bordur " Γ taie conductorul, teorema esteverificat", tensiunea magnetic" pe curba Γ fiind egal" cu curentul pe suprafa!a Γ S . Dar

dac" suprafa!a 'Γ S cu aceea#i bordur " Γ trece prin mediul izolant de

i

i

i i Γ

i i

Fig.3.8. Formarea unui conductor filiform oarecareΓ din conductoare de forma unghiului te]it.

Fig. 3.9. Pentru teoremalui Am ère.




n” i Γ S

n q

D

Γ 'Γ S

n’

Fig. 3.10. Justificareacurentului de deplasare.

la cap"tul conductorului (Fig.3.$0), unde se poate aduna sarcin"

electric", atunci, curentul pe suprafa!a 'Γ S este nul #i rezult" c"

tensiunea magnetic" pe curba Γ nu este bine definit" (absurd:

Γ

⋅=Γ

lH d um ). Dac" admitem valabilitatea “legii” conserv"rii

sarcinii electrice, atunci:

dt

dqi = (3.2$)

Într-adev"r, fie suprafa!a "Γ S care ocup" în spa!iu aceea#i pozi!ie ca

#i Γ S , dar este orientat" invers. Rela!ia (3.2$) rezult" din aplicarea“legii” conserv"rii sarcinii electrice pe suprafa!a închis"

Σ= "Γ S ∪ '

Γ S . Totodat", din legea fluxuluielectric rezult":

⋅=⋅=

Σ 'S

dS dS q nDnD

#i din (3.2$) rezult":

''

S H S

idS dt

d i =⋅= nD (3.22)

unde'S H i este curentul hertzian de pe suprafa!a S ’. Rela!ia (3.22)

sugereaz" ca în teorema lui Ampère s" înlocuim curentul deconduc!ie i cu suma dintre acest curent #i curentul hertzian peaceea#i suprafa!" de bordur " Γ :

T iii += (3.23)

astfel încât, dac" suprafa!a de bordur " Γ trece prin conductor ( Γ S ),se ob!ine curentul de conduc!ie, dar, dac" suprafa!a cu aceea#i

bordur " trece prin mediul izolant de la cap"tul conductorului, undese poate aduna sarcin" electric" ( 'Γ S ), atunci, în membrul drept,




ob!inem curentul hertzian, egal cu curentul i #i contradic!iasemnalat" în teorema lui Ampère dispare. Modificarea (3.23) adus" teoremei lui Ampère reprezint", de fapt, legea circuitului magnetic.

3.4. Legea leg$turii dintre densitatea de volum a

curentului electric J %i intensitatea câmpului electric E(Legea conduc#iei)

Pentru majoritatea mediilor, se poate defini o leg"tur " între J #i E. În func!ie de aceast" leg"tur ", avem:

a)

medii liniare

J=σ E (3.24)sau

E= ρ J (3.24’)

unde σ se nume#te conductivitate, iar ρ se nume#te rezistivitate.Dac" ρ =0, spunem c" mediul este perfect conductor, iar dac" σ =0

spunem c" mediul este perfect izolant. În general 0≥σ .b) medii liniare cu câmp electric imprimat

)( iEEJ +=σ (3.25)

unde iE se nume#te intensitatea câmpului electric imprimat #ireprezint" cauze neelectrice, care pot conduce la apari!ia curentului

electric (pentru E=0, putem avea iEJ σ =

). Aceste cauze pot fi denatur " mecanic" (de exemplu, corpuri accelerate), de natur " chimic" (de exemplu, diferen!e de mobilit"!i pentru ioni saucontacte între metale diferite), termic" (de exemplu, diferen!" detemperatur ", între cele dou" puncte de sudur ", ale unor fire metalicecu compozi!ii diferite) etc.

c) medii neliniare

J= f (E)




3.5. Legea transform$rii energiei din forma

electromagnetic$ în alte forme, prin conduc#ie

În urma experimentelor, se constat" urm"toarea proprietate: Densitatea de volum a puterii care se transform! din forma

electromagnetic! în alte forme, prin conduc # ie, este

JE ⋅= (3.26)

Dac" mediul este liniar (2.24), atunci

022≥== J E p ρ σ (3.27)

#i, ca în cazul mediilor liniare, energia electromagnetic" setransform" ireversibil în c"ldur " (efectul Joule). Dac" mediul esteliniar, cu câmp electric imprimat (2.25), atunci

i E p EE ⋅+= σ σ 2 (3.28)

Primul termen din membrul drept al rela!iei (3.28) este pozitiv #ireprezint" puterea electromagnetic" care se transform" ireversibil înc"ldur ", în timp ce al doilea termen poate fi negativ sau pozitiv, elreprezintând partea de putere electromagnetic" care se poatetransforma reversibil în alte forme de putere.

Documents

Marimi de Natura Electrocinetica