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Marco Aurelio Alzate MonroyMarco Aurelio Alzate Monroy
Grupo de Investigación enDSP de la Universidad Distrital
Grupo de Investigación enDSP de la Universidad Distrital
Capítulo de Procesamiento de Señalesde la Rama Estudiantil IEEE de la Universidad Distrital
Capítulo de Procesamiento de Señalesde la Rama Estudiantil IEEE de la Universidad Distrital
Grupo de Investigación en Telecomunicacionesde la Universidad Distrital
Grupo de Investigación en Telecomunicacionesde la Universidad Distrital
Maestría en Ciencias de la Información y las ComunicacionesUniversidad Distrital
Maestría en Ciencias de la Información y las ComunicacionesUniversidad Distrital
1. Modelos de Tráfico1. Modelos de Tráfico2. Fractales2. Fractales3. Tráfico Autosemejante en Redes de Comunicaciones3. Tráfico Autosemejante en Redes de Comunicaciones4. Caos en la dinámica de TCP/IP4. Caos en la dinámica de TCP/IP5. Complejidad en Redes5. Complejidad en Redes
8. Análisis Wavelet8. Análisis Wavelet 9. Transformada Wavelet de Procesos Autosemejantes9. Transformada Wavelet de Procesos Autosemejantes10. Detección y Estimación: El Diagrama LogEscala10. Detección y Estimación: El Diagrama LogEscala11. Síntesis Wavelet de Procesos Autosemejantes11. Síntesis Wavelet de Procesos Autosemejantes12. Conclusiones12. Conclusiones
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Plan
6. Enrutamiento de Tráfico Fractal mediante Paquetes-Hormiga6. Enrutamiento de Tráfico Fractal mediante Paquetes-Hormiga7. Predecibilidad del Tráfico Fractal7. Predecibilidad del Tráfico Fractal
1. Modelos de Tráfico (10)1. Modelos de Tráfico (10)2. Fractales (9)2. Fractales (9)3. Tráfico Autosemejante en Redes de Comunicaciones (17)3. Tráfico Autosemejante en Redes de Comunicaciones (17)4. Caos en la dinámica TCP/IP (17)4. Caos en la dinámica TCP/IP (17)5. Complejidad en Redes (15)5. Complejidad en Redes (15)
Grupo de Investigación enDSP de la Universidad Distrital
Grupo de Investigación enDSP de la Universidad Distrital
Capítulo de Procesamiento de Señalesde la Rama Estudiantil IEEE de la Universidad Distrital
Capítulo de Procesamiento de Señalesde la Rama Estudiantil IEEE de la Universidad Distrital
Grupo de Investigación en Telecomunicacionesde la Universidad Distrital
Grupo de Investigación en Telecomunicacionesde la Universidad Distrital
Maestría en Ciencias de la Información y las ComunicacionesUniversidad Distrital
Maestría en Ciencias de la Información y las ComunicacionesUniversidad Distrital
Los objetivos de la ingeniería deredes eran simples:
Voz: Maximice la eficiencia parauna tasa de bloqueo dada
Datos: Maximice la eficiencia paraun retardo promedio dado
Pero ahora….
Diferentes Calidades de Servicio:
ATM: CBR, rt-VBR, nrt-VBR, UBR, ABRIP: Carga Controlada, Calidad garantizada, Servicios diferenciados
Diferentes parámetros de Calidad:Retardo de tansferencia, variación en el retardo, tasa de pérdidas, tasa de errores…
Estrategia: CONTROL DE TRAFICOEstrategia: CONTROL DE TRAFICO
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 1. Modelos de Tráfico (1/10)
1001011
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 1. Modelos de Tráfico (2/10)
Recursos deComunicación,
Información y CómputoDemanda
Es necesario cuantificar la demanda para poder dimensionar los recursos:
- Secuencia de instantes de llegada, {Tn, nZ}
- Número de llegadas hasta el instante t, {N(t), t R}- Secuencia de tiempo entre llegadas, {An, n Z}
n
kkn
nnn
n
AT
TTA
tTntN
1
1
] | max[)(
} + Carga impuesta porcada llegada, {Ln, nZ}
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 1. Modelos de Tráfico (3/10)
Un Modelo de Tráfico:
Discretizamos el tiempo en intervalos de longitudt
Dado i( ) 1 floor rnd 6( )( ) Lanzamos un dado en el instante it
N 300 i 0 N 1 Número de dados lanzados, índice de tiempo
xi
1 Dado i( ) 6if
0 otherwise
Generamos un paquete si sacamos seis
xi
i0 50 100 150 200 250 300
0
1
En 1920’s, Erlang usó exitosamente este modelo, haciendo t0 y ajustando el númerode caras en cada dado para mantener una tasa fija de “paquetes” por segundo:
PROCESO DE POISSON :
nknn
kk
mn
ppnNP
ppmAP
)1(][
)1(][PROCESO DE BERNOULLI : {
tn
tn
en
tntNP
etAP
!
)(])([
1][{Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 1. Modelos de Tráfico (4/10)
1. Procesos de Renovación: {An} es una secuencia de variables aleatorias independientese idénticamente distribuidas.Ejemplos: Procesos Determinísticos, de Poisson y de Bernoulli
2. Procesos Markovianamente Modulados: Procesos de renovación en los que la tasa dellegadas depende del estado de una cadena de Markov.Ejemplos: MMPP, MMDP
0
p 01
p 10
1 p 11
p00
0 11/ 1/
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Presencia de tráfico de Tx de ArchivosInstantes de Llegada de Tramas
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 1. Modelos de Tráfico (5/10)
n
p
kknkn NaN
1
3. Modelos de flujo continuo: Las unidades individuales son infinitesimales y se modela latasa de flujo como una función aleatoria del tiempo.Ejemplo: Procesos de Difusión
0 20 40 60 80 1000
10
Número de celdas por segundo en función del tiempo
4. Modelos Autoregresivos: El número de llegadas en el siguiente intervalo de tiempo sepodría predecir del número de llegadas en los anteriores pintervalos, con un residuo de predicción iid.
5. Etc.LA AUTOCORRELACIÓN DECAE MUY RAPIDAMENTE (EXPONENCIALMENTE):
(k) = A exp(-|k|)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 1. Modelos de Tráfico (6/10)
0 500 1000 1500 2000 2500 30000
2000
4000
6000Número de llegadas en períodos de 10 s
700 750 800 850 900 950 10000
500
1000Número de llegadas en períodos de 1 s
800 805 810 815 820 825 8300
50
100
150Número de llegadas en períodos de 100 ms
816 816.5 817 817.5 818 818.5 8190
10
20Número de llegadas en períodos de 10 ms
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
5
10
15Número de llegadas en períodos de 10 ms
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
10
20
30
Número de llegadas en períodos de 50 ms
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
50
100
Número de llegadas en períodos de 250 ms
0 50 100 150 200 2500
200
400
Número de llegadas en períodos de 1.25 s
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 1. Modelos de Tráfico (7/10)
- M. Arlitt and C.Williamson “Internet Web Servers: Workload Characterization” IEEE/ACMTransactions on Networking, Vol.5 No. 5, 1997. pp. 631-645
- J. Beran, R. Sherman, M.S.Taqqu and W.Willinger “Long-range Dependence on VariableBit Rate Video Traffic” IEEE Transactions on Communications, Vol. 43, 1995. pp. 1566-1579
- M.Crovella and A.Betsavros “Self-similarity in WWW Traffic: Evidence and Possible Causes”Proceedings of the 1996 ACM Sigmetrics, May 1996
- A.Feldman, A.Gilbert, P.Huang and W.Willinger “Dynamics of IP traffic” Proceedings ofthe 1999 ACM Sigcom, 1999. pp. 301-313
- W.Leland, M.Taqqu, W.Willinger and D.Wilson, "On the Self-similar Nature of EthernetTraffic” Proceedings of the ACM SIGCOMM'93 (extended version in IEEE/ACM Transactions on Networking, February 1994)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 1. Modelos de Tráfico (8/10)
0 500 1000 1500 2000 2500 30000
1
2
3
4
5
x 106 Queue length (in bytes) under the Ethernet traffic
Num
ber
of b
ytes
in q
ueue
Time in seconds
0 500 1000 1500 2000 2500 30000
5000
10000
15000
Queue length (in bytes) under the Poisson traffic
Num
ber
of b
ytes
in q
ueue
Time in seconds
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 1. Modelos de Tráfico (9/10)
Necesitamos un nuevo modelo de tráfico capaz de• Capturar el hecho de que la
variabilidad en la demanda no cambia con la escala
• Predecir el desempeño de las actuales redes de comunicaciones
Necesitamos un nuevo modelo de tráfico capaz de• Capturar el hecho de que la
variabilidad en la demanda no cambia con la escala
• Predecir el desempeño de las actuales redes de comunicaciones
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 1. Modelos de Tráfico (10/10)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 2. Fractales (1/9)
r=1/2, N=2, D=1 r=1/3, N=3, D=1
r=1/2, N=4, D=2 r=1/3, N=9, D=2
r=1/2, N=8, D=3 r=1/3, N=27, D=3
La forma exacta de estos objetos es“invariante a la escala” o Autosemejante N = r -D D = log(N) / log(1/r)N = r -D D = log(N) / log(1/r)
N = 4,r = 1/3,D = log(4)/log(3) = 1.26
N = 8,r = 1/4,D = log(8)/log(4) = 1.5
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 2. Fractales (2/9)
FRACTional dimensionAL : FRACTALFRACTional dimensionAL : FRACTAL
N = 3,r = 1/2,D = log(3)/log(2) = 1.58
La dinámica de la naturaleza parece obedecer ciertas leyes sencillas: • Ecuación Logística (MAP): xn+1 = Axn(1-xn)• Segunda Ley de Newton (ODE): md2x/dt2 = F(x,dx/dt,t)• Ecuación de Onda (PDE): 2x/t2 = c22x/r2
• etc.
Por ejemplo, el sistema dinámicoxn+1 = xn
2 - 1, donde xi , tiende a para todo valor inicial x0 que no esté contenido en el siguiente conjunto de Julia, el cual tiene dimensión fractal ~1.24
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 2. Fractales (3/9)
c=0 c=0.15 c=0.25 c=0.26 c=0.3 c=0.5 c=1
c=-0.5 c=-0.75 c=-1 c=0.5i c=-0.125+0.65i c=-1.25 c=-1.4012
xn+1 = xn2 + cxn+1 = xn2 + c
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 2. Fractales (4/9)
Todos los parámetros c para los cuales el correspondiente conjunto de Julia es conectado
Todos los parámetros c para los cuales el correspondiente conjunto de Julia es conectado
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 2. Fractales (5/9)
Puntos x que no escapan a infinito bajo la iteración
x=x+x2
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 2. Fractales (6/9)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 2. Fractales (7/9)
function Helecho(N)% Este programa dibuja el helecho de Barnsley mediante% la transformación T(x,y) = (a*x+b*y+e, c*x+d*y+f).% N es el número de iteraciones
% Marco A. Alzate, Universidad Distrital, 2002
X=zeros(N,2); % Secuencia de puntosX(1,:)=[0.5,0.5]; % Punto inicial
for k=1:N-1 % Para cada iteración r=rand; % Selecciona aleatoriamente el paso if r<.01 % T1(x,y) con probabilidad 0.01 X(k+1,:)=T(X(k,:),0,0,0,.16,0,0); elseif r<.86 % T2(x,y) con probabilidad 0.85 X(k+1,:)=T(X(k,:),.85,.04,-.04,.85,0,1.6); elseif r<.93 % T3(x,y) con probabilidad 0.07 X(k+1,:)=T(X(k,:),.2,-.26,.23,.22,0,1.6); else % T4(x,y) con probabilidad 0.07 X(k+1,:)=T(X(k,:),-.15,.28,.26,.24,0,.44); endendplot(X(:,1),X(:,2),'.')
function U=T(X,a,b,c,d,e,f)U(1)=a*X(1)+b*X(2)+e;U(2)=c*X(1)+d*X(2)+f;
Iterated Function SystemsIterated Function Systems
f
e
y
x
dc
ba
y
x
n
n
n
n
1
1
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 2. Fractales (8/9)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 2. Fractales (9/9)
1. Series de tiempo geofísicas: Variaciones de temperatura, caída de lluvias, flujos oceánicos, niveles de inundación en ríos, frecuencia de rotación de la tierra, manchas solares…
2. Series de tiempo en economía: Variaciones en el promedio industrial Dow Jones, ...
3. Series de tiempo fisiológicas: Variaciones en el pulso, EEG bajo estímulos placenteros, tasa de adquisición de insulina en pacientes diabéticos,…
4. Series de tiempo biológicas: Variaciones voltaícas en los nervios, transferencia de energía en canales sinápticos,…
5. Fluctuaciones electromagnéticas: ruido galáctico, intensidad de fuentes de luz, flujo magnético en superconductores,…
6. Ruido en dispositivos electrónicos: transistores BJT y FET, tubos al vacío, diodos Zener, túnel y Schottky, …
7. Variaciones de frecuencia en relojes atómicos, osciladores de cuarzo, resonadores superconductores, …
8. Fenómenos inducidos por el hombre: Tráfico en redes, variaciones de amplitud y frecuencia en música moderna y tradicional, …
9. Patrones de error en canales de comunicaciones
10. Generación de estímulos fisiológicamente placenteros como música o brisa, etc.
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 2. Fractales (9/9)
The unifying concept underlying fractals, chaos and power laws is selfsimilarity. Self-similarity, or invariance against changes in scale or size, is an attribute of many laws of nature and innumerable phenomena in the world around us. Self-similarity is, in fact, one of the decisive symmetries that shapes our universe and our efforts to comprehend it.
Manfred Schroeder, 1991
Otro objeto fractal: El Conjunto de Cantor
Otro modelo de tráfico: El “Tráfico de Cantor”
(Número de llegadas en el intervalo [t,t+))Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (1/17)
Proceso de incrementos, {X(t)} Proceso acumulativo, {Y(t)}
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (2/17)
Autosimilitud Estocástica: Alguna característica estadística del proceso es invariantea la escala Distintas definiciones.
- Si TODAS las estadísticas son invariantes a la escala,
{Y(t)} es autosemejante con parámetro H, H-ss, si
A nosotros nos interesan tres definiciones:
)()( atYatY Hd
(La distribución de probabilidad es invariante a la escala!)
- Si las estadísticas de segundo orden se comportan como si Y(t) fuera H-ss
{X(t)} es estrictamente autosemejante de segundo orden, con parámetro H, si la función de autocorrelación obedece a
HHH kkkk 2222
)1(2)1(2
)(
- Al menos asintóticamente
{X(t)} es asintóticamente autosemejante de segundo orden, con parámetroH, si la autocorrelación <m> del proceso agregadosatisface
im
imt
m tXm
iX)1(1
)(1
)(
HHHm
m
kkkk 2222
)1(2)1(2
)(lim
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (3/17)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (4/17)
122
12 ,0N tttYtY 122
12 ,0N tttYtY
)()( 21
atYatYd
)()( 21
atYatYd
El proceso acumulativo es autosemejante con parámetro H=1/2
),0()1()()( 2NtYtYtX ),0()1()()( 2NtYtYtX
Pero el proceso de incrementos es simplemente ruido blanco gausiano:
Ruido Blanco Gaussiano
Movimiento BrownianoN 1024 n 0 N 1
x rnorm N 0 1( )
y0
x0
yn
if n 0 y0
yn 1
xn
Suponiendo Y(0)=0,
Para sintetizar movimiento browniano, basta con integrar ruido blanco gaussiano:
121 H 121 H
X(t) = Y(t) - Y(t-1) : Ruido Gaussiano FraccionalX(t) = Y(t) - Y(t-1) : Ruido Gaussiano Fraccional
ttHHtttt HHHHH
X 12 2112
2222222
HtttYtY
2
122
12 ,0N HtttYtY
2
122
12 ,0N
)()( atYatY Hd
)()( atYatY Hd
El proceso acumulativo es autosemejante con parámetro HSuponiendo Y(0)=0,
22221
22221
222
)()()()()()(
)()()()()()(
)()()(2)()()(
sYtYEsYEtYEsYtYE
sYtYsYtYsYtY
sYsYtYtYsYtY
HHHY ststst
2222
2
, HHHY ststst
2222
2
,
)1()1()()1()1()()()()()( tsYsYEtsYsYEtsYsYEtsYsYEtsxsxE
HHHHHH
HHHHHH
ttssttss
ttssttss222222
222222
2)1()1()1()()1(
)1()1()(2
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (5/17)
N 1024 n 0 N 1 Número de muestras
wn rnorm N 0 1( ) Ruido blanco
mxLln N( )
ln 2( )L 1 mxL Niveles
h 0 2 Hh
0.55 0.1 h Parámetros H
Arreglo de desviacionesestándar para cada nively cada parámetro H
0 h 1
L h 2L H
h
1 22 H
h1
Puntomedio X i0 i2 L h( ) i1 0.5 i0 i2( )
Xi1
0.5 Xi0
Xi2
L h wn
i1 1
X Puntomedio X i0 i1 L 1 h( )
X Puntomedio X i1 i2 L 1 h( )
L mxLif
X
Cálculo recursivomediante eldesplazamientodel punto medio
fbm0 h 0 fbm
N h wnN 1
fbm h Puntomedio fbm h 0 N 1 h Construcción Recursiva
Movimiento Browniano FraccionalH=0.95
H=0.75
H=0.55
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (6/17)
r H k( ) H 2 H 1( ) k2 H 2 k 1 99
r 0.5 k( )
r 0.8 k( )
r 0.9 k( )
r 1 k( )
k1 10 100
0
0.5
1
H=0.5H=0.8H=0.9H=1
¿Porqué 1/2 < H < 1?
Con H=1/2, la autocorrelación es cero (ruido blanco)
Con H=1, la autocorrelación es idénticamente 1 (Al observar una muestra se pierde toda la aleatoriedad)
Con H>1, {X(t)} ya no es estacionario
Con H<1/2, la autocorrelación de X suma cero
Con 1/2<H<1, el procesomuestra Dependencia deRango Largo.
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (7/17)
{X(t)} tiene dependencia de rango largo si su autocorrelación r(k)=(k)/2, se comportaasintóticamente como r(k) = c k- cuando k, con 0 < < 1 y c>0, de manera que r(k)no es sumable, esto es,
k
kr )(
Si {X(t)} es LRD, su densidad espectral de potencia diverge alrededor del origen,indicando mayores contribuciones de los componentes de baja frecuencia:
{X(t)} es un ruido 1/f si su densidad espectral de potenciasatisface la siguiente propiedad, donde c>0 y 0<<1:
k
jkkr )exp()(2
1)(
||)( c
{X(t)} es asintóticamente autosemejante de segundo orden con 1/2 < H < 1
{X(t)} es dependiente de largo rango con 0 < = 2-2H < 1
{X(t)} es ruido 1/f con 0 < = 1- = 2H-1 < 1
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (8/17)
v
.
1 10 1000.01
0.1
1
SRDLRD
Funciones de Autocorrelación
Diferencia de tiempo
Aut
ocor
rela
ción
Dependencia de Rango Largo
N 80 n 0 N 1 k 0 N 1
W k rnorm N 0 1( ) dft W( )
Vn k n 10( ) k 10( ) 1
n 1( )2 k 1( )2
0 V( ) v idft 0( )
Ruido 1/f
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (9/17)
function H=Varianza Tiempo(NP,N)% function H=VarianzaTiempo( NP,Nm)% Este fun ciOn calcula el di agrama varianza-tie mpo de los tiempos entre llegadas% de los p rimeros NP paquete s de los datos de B ellcore usando Nm niveles de agregaci On.% Retorna el estimado de H, calculado mediante regresiOn de mInim os cuadrados%% Marco A. Alzate, Universid ad Distrital, 2002
load Bc_pa ug0 % Los dato s originales traen el tiempo de llega dax=Bc_paug0 (2:NP+1,1)-Bc_paug 0(1:NP,1); % Calcula los tiempos entre llegadasv(1)=var(x ); % Varianza de la secuencia t otalfor m=2:N % NUmero d e niveles de agreg aciOn Ns=floo r(NP/m); % NUmero d e muestras en esta escala de agregaci On y=zeros (Ns,1); % SeNal ag regada for i=1:Ns % Calcula las sumas acumulad as y(i) =sum(x(1+m*(i-1):m *i))/m; end v(m)=va r(y); % y calcul a la varianza a es te nivel de agragac iOnendp=polyfit( log(1:N),log(v),1) ; % RegresiO n de mInimos cuadr adosplot(log(1 :N),log(v), 'r-' ,[0 log(N) ],[p(2) p(2)+log(N )*p(1)], 'b-' ) % Grafica los resultadosH=p(1)/2 + 1; % Estimaci on de H
0 1 2 3 4 5 6 7-15
-14.5
-14
-13.5
-13
-12.5
-12
-11.5
-11
-10.5Diagrama Varianza-Tiempo
Log(m)
Log(
Var[x
<m> ])
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (10/17)
im
imt
m tXm
iX)1(1
)(1
)(
][][ )1(2 XVarmXVar Hm
mH
XVarXVar m
log)1(2
loglog
Una variable aleatoria Z tiene una distribución de cola pesada sicuando x, donde 0 < < 2.
cxxZPr
Var[Z] = Variabilidad extrema
La autosimilitud del tráfico en redes se puede explicar a partir de las distribucionesde colas pesadas en variables relacionadas como longitud de archivos, tiempos depermanencia de las conexiones, etc.
Ejemplo: Distribución de Pareto xbxZ /1Pr
0 2 4 6 8 100
0.5
1
ExponencialPareto
Funciones de distribución
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (11/17)
S3(t)
X3(t)
X2(t)
X1(t)N fuentes on/off independientes, Xi(t)Períodos on iid (tren de paquetes)Períodos off iid
N
iiN tXtS
1
)()( Tráfico agregado
at
NN dSatY0
)()( ProcesoAcumulativo
Si los períodos de actividad y/o de inactividad tienen una distribución de cola pesada,
YN(at) se comporta como un movimiento browniano fraccional para N y a grandes
)(][][
][)( tBaNcNat
EE
EatY H
H
offon
ond
N
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (12/17)
El fbm es uno de los más usados modelos de tráfico. Pero hay más... El fbm es uno de los más usados modelos de tráfico. Pero hay más...
Modelo MA(q) (Moving Average):
)()()()1()1()( tptxpatxatx Modelo AR(p) (AutoRegressive):
)()()1()1()()( qtqbtbttx Modelo ARMA(p,q):
)()()1()1()()()()1()1()( qtqbtbtptxpatxatx
+ (n) x(n)+++
z -1z -1z -1z -1z -1
z -1 z -1 z -1 z -1 z -1
a1a2ap-1ap
bq-1 bqb2b1
Modelo ARIMA(p,d,q) (AR Integrated MA):
ARMA(p,q) con X(z) = (1 - z -1) d Y(z) d=1 x(t) = y(t) - y(t-1) y(t) = ix(i)
d=2 x(t) = y(t) - 2y(t-1)+y(t-2) y(t) = id(i)x(i)
Modelo FARIMA(p,d,q) (Fractional ARIMA):
ARIMA(p,d,q) con d(-0.5, 0.5)
t
i
dnnciitctY 1)( donde ,)()()(
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (13/17)
11
22
33
44
LlagadasPoisson conintensidad
Infinitos servidores en los que la distribución de los tiempos de servicio tienecola pesada con parámetro
N(t) = Número de servidores ocupados en el instante t
N(t) es un proceso M/G/
• Es una generalización del multiplexaje de procesos on/off• Si 1 < < 2, N(t) es asintóticamente autosemejante con H = (3 - )/2
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (14/17)
La transformada wavelet es ideal para detección, estimación y síntesis de fenómenos de escala:Los coeficientes wavelets son i.i.d. y la energía a cada escala conserva la autosemejanza.
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (15/17)
Uj,k
Uj+1,2k Uj+1,2k+1
Uj+2,4k Uj+2,4k+1 Uj+2,4k+2 Uj+2,4k+3
Wj,k
Wj+1,2k Wj+1,2k+1
Wj+2,4k Wj+2,4k+1 Wj+2,4k+2 Wj+2,4k+3
0(t) : Función de escala de Haar
Fila Fila jj: Aproximación a la escala : Aproximación a la escala jj Fila Fila jj: Detalle a la escala : Detalle a la escala jj+1+1
1,0(t) = 2 0(2t-0)
(t) : Función wavelet de Haar
1,1(t) = 2 0(2t-1)
1,0(t) = 2 0(2t-0)
1,1(t) = 2 0(2t-1)
j,k(t) = 2j/20(2jt-k)j,k(t) = 2j/20(2jt-k) j,k(t) = 2j/20(2jt-k)j,k(t) = 2j/20(2jt-k)
0
12
0,,0,0 )()(
j kkjkj
j
tWUtx 1 , ,,,, kjkjkjkj AUAW
kj
kj
kj
kj
W
U
U
U
,
,2/1
12,1
2.1
11
112
CascadaMultiplicativa
CascadaMultiplicativa
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.5
1
• El tráfico Ethernet parece tener muchas propiedades determinísticas• Caos es un fenómeno mediante el cual algunos sistemas dinámicos no lineales exhiben un comportamiento complejo que, aunque determinístico, aparenta ser aleatorio.• Las trayectorias de sistemas caóticos suelen ser de naturaleza fractal y pueden usarse como generadores de estructuras fractales.• Sería interesante poder capturar la complejidad del tráfico actual mediante sistemas de bajo orden que requieran sólo unos pocos parámetros.
1 ),(
0 ),(
2
11
nn
nnn xdxf
dxxfx
donde f1(·) y/o f2(·) son “sensibles a las condicionesiniciales”, esto es,
)(0
)(0
)( oxnnn exfxf xn
xn+1
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (16/17)
- Detección, estimación y síntesis de autosemejanzaInferencia estadísticaWavelets y multifractalidad
- Modelamiento de tráfico basado en medicionesAplicación de las técnicas anteriores alestudio del inmenso volumen de medidasde tráfico de altísima calidad y diversidad
- Modelamiento físicoRelación entre los mecanismos de generacióny procesamiento de tráfico y sus característicasde autosemejanza
- Análisis de colas con entrada autosemejanteCotas superiores e inferiores de las medidas dedesempeño y comparación con modelos SRD
- Control de tráfico y asignación de recursosAncho de banda efectivo, control de congestión amúltiples escalas, predicibilidad de la duraciónde las conexiones.
Teoría de Control en Redes de Comunicaciones: Caos y ComplejidadTeoría de Control en Redes de Comunicaciones: Caos y Complejidad
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (17/17)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 4. Caos en TCP/IP (1/17)
• Abstracción:– Confiable– Ordenado– Punto-a-punto– Flujo de Bytes
• El protocolo se implementa exclusivamente entre extremos– Supone que la entrega se hace fuera de secuencia y sin
confiabilidad
RTT
data0
ack0
data1
data2ack0
data1ack2
data1ack2
data3
Tout
Tx Rx
Mecanismo de Confiabilidad
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 4. Caos en TCP/IP (2/17)
Enviados pero noreconocidos
No enviados
Ventana
Números desecuencia
Siguiente por enviar
Transmisor:Transmisor:
Receptor:Receptor:
Reconocidos, peroaún no entregados
al usuario
Aún noreconocidos
Buffer de recepción
Gap
Números desecuencia
Ventana
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 4. Caos en TCP/IP (3/17)
10 Mbps
100 Mbps
1.5 Mbps
Si ambas fuentes transmiten sus ventanas completas, puede ocurrir un colapso
Carga
Caudal
Carga
Retardo
Los transmisores deben ajustar su tasa de datos de acuerdocon la cantidad de congestión detectada
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 4. Caos en TCP/IP (4/17)
• Diferentes mecanismos interrelacionados:– Inicio lento (Slow start)
– Evitación de la congestión (Congestion avoidance)
– Retransmisión rápida (Fast retransmit)
– Recuperación rápida (Fast recovery)
– Estimación correcta del temporizador de retransmisión
cwnd: Ventana de congestión que indica cuántos bytes puede absorver la red
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 4. Caos en TCP/IP (5/17)
cwnd=1
cwnd=2
cwnd=4
cwnd=8
Tx Rx
cwnd=1
cwnd=2
cwnd=3
cwnd=4
Tx Rx
cwnd
tiempo
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 4. Caos en TCP/IP (6/17)
Utilizan reconocimientos duplicados para:
• Retransmitir menos segmentos (fast retransmit)• Incrementar cwnd más agresivamente (fast recovery)
cwnd
tiempo
TCP Tahoe (1988) : SS, CA, FrtTCP Reno (1990) : SS, CA, Frt, FrcTCP Vegas (1994) : Considera RTT otra medida de congestiónTCP Sack (1996) : El Rx envía una lista de los segmentos perdidosTCP New Reno (1999), TCP D-SACK (2000), TCP LTE (2001), ...
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 4. Caos en TCP/IP (7/17)
Drop-Tail : Descarte al final de la colaDrop-Tail : Descarte al final de la colaFácil de implementar por el proveedorFácil de entender por el cliente
Como sólo descarta paquetes cuando ya no hay recursos disponibles, no puede absorber ráfagas adicionales Como las fuentes no reconocen la congestión hasta que los recursos están completamente agotados, la congestión dura largos períodos de tiempo Como todas las conexiones TCP reducen la tasa de transmisión simultáneamente, se produce sincronización global (oscilaciones drásticas en el tráfico)Como TCP tarda más en recuperarse de múltiples pérdidas que de una sola pérdida, el caudal total se reduce significativamente
123
2
3
4
5
6
7
4
3
7
7
7
7
7
7
6
6
6
6
6
5
5
5
5
4
4 1
1
1
2
2
2
3
2
2
3
3
3
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3
4
4
4
5
5
57
3457
3457
4570
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9
9
9
9
9
9
9
9
9 8
8
8
8
8
8
8
8
1
1
1
1
1
1
12
2
2
2
3
El nodo debe responder proactivamente a la congestión de acuerdo con la longitud promedio de sus colas
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 4. Caos en TCP/IP (8/17)
RED : Detección Temprana AleatoriaRED : Detección Temprana Aleatoria
minthmaxth
maxthminth
p
1
00
Ocupaciónde la cola
Probabilidadde descarte Identifica las primeras etapas de la
congestión, descartando paquetes más agresivamente a medida que la congestión aumentaEvita la sincronización globalPermite mantener una longitud de cola establePermite un descarte justo
Difícil de configurarUna configuración inadecuada puede ser peor que tail drop
TCPTCP Red(A)QM
Red(A)QM
Retardo (ECN)Retardo (ECN)
Tasa de Datosde la AplicaciónTasa de Datosde la Aplicación
Tasa dela FuenteTasa dela Fuente
Medidas deCongestiónMedidas deCongestión
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 4. Caos en TCP/IP (9/17)
• Reduzca la ventana cuando se perciba congestión
• En otro caso, incremente la ventana
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 4. Caos en TCP/IP (10/17)
10 Mbps, 2ms
10 Mbps, 3ms1.5 Mbps, 20ms
10 Mbps, 4ms
10 Mbps, 5ms
RED
cwnd1
cwnd2
MaxQ=25
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
5
10
15
20
25cwnd vs tiempo
Tiempo en s
cwnd
en
segm
ento
s
cwnd1
cwnd2
0 5 10 15 20 250
5
10
15
20
25trayectoria de las ventanas
cwnd1
cwnd
2
set ns [new Simulator]set node_(s1) [$ns node]...set node_(s4) [$ns node]$ns duplex-link $node_(s1) $node_(r1) 10Mb 2ms DropTail...$ns duplex-link $node_(s4) $node_(r2) 10Mb 5ms DropTailset redq [[$ns link $node_(r1) $node_(r2)] queue]$redq set setbit_ trueset tcp1 [$ns create-connection TCP/Reno $node_(s1) TCPSink $node_(s3) 0]set tcp2 [$ns create-connection TCP/Reno $node_(s2) TCPSink $node_(s3) 1]set ftp1 [$tcp1 attach-app FTP] set ftp2 [$tcp2 attach-app FTP]set f1 [open cwnd1.tr w]$tcp1 trace cwnd_$tcp1 attach $f1set f2 [open cwnd2.tr w]$tcp2 trace cwnd_$tcp2 attach $f2$ns at 0.0 "$ftp1 start"$ns at 0.0 "$ftp2 start"$ns at 20.0 "finish"proc finish {} { global ns f1 f2 $ns flush-trace close $f1 close $f2 exit 0}$ns run
tttt
ttttdt
d
),(),()(
)0( ,),(),()( 0
uxgy
xxuxfx
ftft
u(t) x(t) x(t)y(t)
x0
.
gt
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 4. Caos en TCP/IP (11/17)
)()()(
)0( ),()()( 0
ttt
tttdt
d
DuCxy
xxBuAxx
Eigenvalores reales positivos
Eigenvalores reales negativos
Eigenvalores puramente imaginarios
Eigenvalores complejos con parte real positiva
Eigenvalores complejos con parte real negativa
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 4. Caos en TCP/IP (12/17)
))(sin()()(2
2
tzrtutzdt
dh
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 4. Caos en TCP/IP (13/17)
- Más de un punto de equilibrio
- Ciclos límite (variaciones periódicas en las variables de estado)
- Bifurcaciones
- Sincronización
- Sensibilidad a condiciones iniciales
- etc.
- Más de un punto de equilibrio
- Ciclos límite (variaciones periódicas en las variables de estado)
- Bifurcaciones
- Sincronización
- Sensibilidad a condiciones iniciales
- etc.
xn+1 = xn (1 - xn) : Si 4 y x0 [0, 1], entonces la trayectoria se mantiene en el intervalo [0, 1].
Con <1, la trayectoria tiende a cero
0 0.5 10
0.15
0.3
Con 1 3, la trayectoria tiende a 1-1/
0 0.5 10
0.5
1
0 0.5 10
0.5
1
Con 3 < 1+6, la trayectoria tiendea un ciclo de período 2
0 0.5 10
0.5
1
0 0.5 10
0.5
1
Con 3.449 < < 3.544, la trayectoriatiende a un ciclo de período 4
Con 3.544 < < 3.564, la trayectoriatiende a un ciclo de período 8
Bifurcación por duplicación del período
3 13.449 23.544 43.564 83.568 163.569 32…3.570
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 4. Caos en TCP/IP (14/17)
Con 3.57 < < 3.829, la trayectoria es muy complicada. Puede ser aperiódica, pero también hay trayectorias periódicas con todos los períodos 2n.
En =3.829 aparece porprimera vez una órbita deperíodo 3 que se bifurca a 6,12, 24,… De 3.829 a 4.0aparecen órbitas periódicas detodos los posibles períodos yórbitas aperiódicas: Caos!
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 4. Caos en TCP/IP (15/17)
TCPTCPREDRED
Retardo = RTTRetardo = RTT
FuenteFuenterk pk
pk-1
qk , qk
TCP:TCP:1
k
kp
K
RTT
Mr RED:RED:
0,,0 BR
M
CRTT
M
nrq k
k
kkk wqqwq 1)1(
Bq
qpq
q
p
kth
thkththth
thk
thk
k
max1
maxminminmax
min
min00
max
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 4. Caos en TCP/IP (16/17)
M: Tamaño del paqueteRTT: Round Trip Timepk : Probabilidad de pérdidaB: Tamaño del buffern : Número de flujos TCPR0 : Mínimo RTT (propagación y transmisión)C : Capacidad de los enlaces
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 4. Caos en TCP/IP (17/17)
Duplicación de período
Colisión de borde
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (1/16)
INTERNET:Subredes,
Nodos y Enlaces
Internet es una mezcla heterogénea de enlaces,nodos y fuentes de tráfico:
Un Concepto Popular: Muchos elementos interactuando con muchas reglas de interacción de difícil formulación. En realidad la complejidad se da cuando un sistema (tal vez sencillo) presenta un comportamiento impredecible
El problema de tres cuerpos:
Tierra( ) Jupiter ( ) Sol ( )
Complejidad Sustantivo femenino. Calidad de ComplejoComplejo Adjetivo (latín complexus, que abarca la totalidad). Se dice de lo que se compone de elementos diversos, con lo quese dificulta su comprensión
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (5/16)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (2/16)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (3/16)
La complejidad de la red es completamentetransparente para los usuarios:
hola!
Excepto en presencia de errores!
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (4/16)
El planeta tierra está desarrollando un sistema nervioso electrónico: Una red con nodos y enlaces.
-computadores-enrutadores-satélites
-líneas telefónicas-cables de televisión-ondas electromagnéticas
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (5/16)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)
Sociedad
Nodos: individuos
Enlaces: Relaciones sociales
(familia/trabajo/amistad/etc.)
Genoma
Nodos: Genes
Enlaces: Interacciones químicas
entre ellos
World Wide Web
Nodos: Páginas WWW
Enlaces: Enlaces URL
El color de cada nodo representa el efecto fenotípico al retirar la correspondiente proteína (rojo: letal, verde: no letal, amarillo: desconocido). Hawoong Jeong, Universidad de Notre Dame.
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)
Algunos ISP backbones se han coloreado por separado. K. C. Claffy , proyecto Caida.
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)
El mismo mapa, coloreado según el grado de cada ISPFractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)
Bradley Huffaker, Proyecto Caida.
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)
The architecture of The architecture of complexitycomplexity
Albert László BarabásiAlbert László Barabási(Univ. of Notre Dame)(Univ. of Notre Dame)
www.nd.edu/~networks
From the diameter of the From the diameter of the www to the www to the structure of the cellstructure of the cell
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)
A Few Good Man
Robert Wagner
Austin Powers: The spy who shagged me
Wild Things
Let’s make it legal
Barry Norton
What Price Glory
Monsieur Verdoux
Kevin BaconCharles Chaplin
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)
Marilyn MonroeMike Myers
Tom Cruise
- Democráticas
- Aleatorias
Conectar cada par de nodos con probabilidad p
p=1/6 N=10 k ~ 1.5
Distribución de Poisson
P(k) = Probabilidad de que un nodocualquiera tenga k enlaces
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)
Clustering: Es muy probable que mis amigos se conozcan entre ellos
C =# de enlaces entre mis n vecinos
n(n-1)/2
Las redes reales están agrupadas (C(p) es grande),
pero tienen una ruta característica (L(p)) pequeña.
Red C Caleatoria L N
WWW 0.1078 0.00023 3.1 153127
Internet 0.18-0.3 0.001 3.7-3.763015-6209
Actores 0.79 0.00027 3.65 225226
Coautores 0.43 0.00018 5.9 52909
Metabólicas 0.32 0.026 2.9 282
Alimentación 0.22 0.06 2.43 134
C. elegance 0.28 0.05 2.65 282
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)
(Watts and Strogatz, Nature 393, 440 (1998))
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)
ROBOT: Sigue todos los URLs que encuentra en un documento Web y los sigue recursivamente.
800 millones de documentos
(S. Lawrence, 1999)
Lo que se esperaba:
NWWW ~ 109
P(k=500) ~ 10-99
Lo que se encontró:
P(k=500) ~ 10-6
Seleccionar N nodos con la misma Pin(k) y Pout(k)
< l > = 0.35 + 2.06 log(N)
< l
>
l15=2 [125]
l17=4 [1346 7]
… < l > = ??
1
2
3
4
5
6
7
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)
Distribución Poisson
Red Exponencial
Distribución con Ley de Potencia
Red Libre de EscalaFractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)
(Faloutsos, Faloutsos and Faloutsos, 1999)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)
N = 212,250 actores
P(k) ~k-
=2.3
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)
N = 1,736 artículos de Física
P(k) ~k-
=3
Estructura Interna de la Mayoría de Redes Reales
(1) El número de nodos no es fijoLas redes se expanden continuamente añadiendo nuevos nodos
Ejemplos: Adición de nuevos documentos en la Web
Publicación de nuevos artículos científicos
Producción de nuevas películas
(2) Las conexiones no son uniformesLos nuevos nodos prefieren conectarse con nodos que ya tengan un gran número de enlaces
Ejemplos: CNN, Yahoo!, Google, NY Times
Los artículos más citados son los más consultados
Todos quieren actuar con Tom Cruise
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)
WWW(in)
Internet ActoresCitación
deartículos
Sociossexuales
RedCelular
LlamadasTelefónicas
lingüística
= 2.1 = 2. 5 = 2.3 = 3 = 3.5 = 2.1 = 2.1 = 2.8
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)
Densidad de Enrutadores IP
Densidad Poblacional
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (7/16)
Sistemas Complejos:Constituidos por muchos elementos no idénticos,
conectados mediantedistintas interacciones
Colaboración Científica WWW
Internet CélulasCitación de artículos
Cadenas alimenticias
Relaciones Sexuales Teoría deSistemas
Complejos
• Complejidad Computacional. P-NP, Kolmogorov,...
• Teoría de la información Codificación de Fuente y de Canal,...
• Teoría de Control Realimentación, Optimización, Teoría de juegos,...
• Sistemas Dinámicos Bifurcacióm Caos,...
• Física Estadística Transiciones de Fase, Fenómenos Críticos,...
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (8/16)
N
Frecuencia deapagones en losque el número declientes afectadosexcede N
104
105
106
10710
0
101
102
103
US Power outages1984-1997
1x1
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (9/16)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 20
1
2
3
4
5
6
Tamaño de los eventos, log10(S)
Incendios Forestales (1000 km2)
Archivos WWW (Mbytes)
Frecuencia deeventos detamañomayor que S
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (10/16)
-1/2
-1
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (11/16)
Los árboles se ubican aleatoriamente en un área NxNLos árboles se ubican aleatoriamente en un área NxN
Una chispa cae en un sitio vacío y no tiene ningún efecto
Una chispa cae en un “cluster” y quema todo el cluster
Y = Densidad promedio después de una chispa
Y = Densidad promedio después de una chispa
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Y
(densidad antes de la chispa)
“Punto crítico”
N=100
Sin chispas
Con chispas
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (12/16)
Cuando N tiende a infinito, el punto crítico corresponde con la aparición del primer cluster de tamaño infinito. En ese punto, los clusters tienen una apriencia fractal y la distribución del tamaño de los incendios sigue una ley de potencia.
Cuando N tiende a infinito, el punto crítico corresponde con la aparición del primer cluster de tamaño infinito. En ese punto, los clusters tienen una apriencia fractal y la distribución del tamaño de los incendios sigue una ley de potencia.
Y
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (13/16)
Fuegos sinmayoresconsecuencias
Fuegos sinmayoresconsecuencias Todo se quemaTodo se quema
Máximo YMáximo Y
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (14/16)
Comportamiento emergente: Creación de un patrón inesperado debido a las interacciones delos componentes de un sistema.
Auto-Organización: Surgimiento de un orden dentro de un sistema sin la intervenciónde un control central.
Criticalidad Auto-Organizada: Transición repentina de fase en un sistema auto-organizado.
Borde del Caos: Estado de un sistema en el que una variación mínima lo puedeconducir al caos o al orden.
Complejidad en la Mecánica EstadísticaComplejidad en la Mecánica Estadística
Ley de Potencia: Variación hiperbólica de la cola de la distribución de los eventosen un sistema dinámico
Complejidad en los Sistemas Biológicos y de IngenieríaComplejidad en los Sistemas Biológicos y de Ingeniería
Tolerancia Altamente Organizada: Mecanismo de obtención de fenómenos emergentesmediante diseño deliberado o mediante evolución, caracterizadopor la obtención de estados de alto desempeño en medio de unambiente incierto.
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (15/16)
Mediante diseño, se puede incrementar Y por encima del punto críticoMediante diseño, se puede incrementar Y por encima del punto crítico
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
aleatorio
“optimizado”
SOC/EOC
HOT
- Alta densidad de salida- Alta robustez
- Leyes de potencia en todaslas densidades
- Baja densidad de salida- Mediana robustez
- Leyes de potencia sólo enel estado crítico
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (16/16)
Los sistemas complejos en biología y en tecnología se caracterizan por estados de alto desempeño (mediante diseño o evolución), los cuales son tolerantes a la incertidumbre en el ambiente y en los componentes.
Estos procesos de diseño o evolución conducen a estructuras jerárquicas basadas en modularidad y especialización, las cuales “esconden” una enorme complejidad.
6. Enrutamiento de Tráfico Fractal mediante Paquetes-Hormiga (7)6. Enrutamiento de Tráfico Fractal mediante Paquetes-Hormiga (7)7. Predecibilidad del Tráfico Fractal (8)7. Predecibilidad del Tráfico Fractal (8)
Grupo de Investigación enDSP de la Universidad Distrital
Grupo de Investigación enDSP de la Universidad Distrital
Capítulo de Procesamiento de Señalesde la Rama Estudiantil IEEE de la Universidad Distrital
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Grupo de Investigación en Telecomunicacionesde la Universidad Distrital
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Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 6. Enrutamiento por hormigas (1/7)
Vida Artificialó
Modelos Basados en Agentes
Vida Artificialó
Modelos Basados en Agentes
- Redes Neuronales- Computación evolutiva- Inteligencia de enjambre- Algoritmos genéticos- Optimización por hormigas- etc.
- Redes Neuronales- Computación evolutiva- Inteligencia de enjambre- Algoritmos genéticos- Optimización por hormigas- etc.
{Principales características de un agente:Principales características de un agente:
Autonomía: Sensa el ambiente y toma decisiones correspondientemente
Abaptabilidad: Cambia su comportamiento de aucerdo con la historia reciente y con cambios en el ambiente.
Autonomía: Sensa el ambiente y toma decisiones correspondientemente
Abaptabilidad: Cambia su comportamiento de aucerdo con la historia reciente y con cambios en el ambiente.
• Algoritmos de Hormigas– Inspirados en la observación de hormigas reales
• Ant Colony Optimization (ACO)– Inspirado en el comportamiento de la colonia durante la
búsqueda de alimento:
– Colonia de individuos que cooperan– Rastros de Feromona para comunicación por “estigmergia”– Búsqueda de las rutas más cortas– Decisiones aleatorias usando información local
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 6. Enrutamiento por hormigas (2/7)
• Sistema colectivo capaz de realizar tareas complejas en ambientes inciertos, sin control externo ni coordinación central, El desempeño colectivo no podría ser alcanzado por un individuo actuando independientemente. (Comportamiento emergente y autoorganizado)
• Modelo natural particularmente adecuado para resolver problemas distribuidos.
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 6. Enrutamiento por hormigas (3/7)
Estigmergia: Comunicación indirecta y asíncrona. entre agentes (realimentación
positiva) .
Evaporación: La ruta creada se puede “olvidar” si. no se refuerza constantemente
(realimentación negativa) .
Aleatoriedad: Las hormigas pueden escoger otro. . camino aleatoriamente para no estancarse
. en soluciones no óptimas
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 6. Enrutamiento por hormigas (4/7)
0
1
2
3
4
5
6E0: 4p/ms
E1: 6p/ms
E2: 3p/ms
E3: 6p/ms
E4: 5p/ms
E5: 2p/ms
E6: 6p/ms
E7: 6p/ms
E8: 6p/ms
E9: 4p/ms
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 6. Enrutamiento por hormigas (5/7)
}{
,,
,,,, kj
nki
jiji nn
nnt
nntnntP
k
disponemos de una red {N,E}, donde N es un conjunto de nodos y E es un conjunto de enlaces entre algunos deellos, y queremos encontrar la mejor ruta desde un nodo fuente fN hasta un nodo destino dN.
Si el tiempo que tomó el paquete-hormiga en llegar de f a d en la ruta Ruta es TR, la cantidad de feromonas que lahormiga deposita en cada enlace de Ruta será Dmin/TR, donde el factor Dmin es un parámetro igual al mínimotiempo de transmisión entre todos los enlaces.
Procedimiento Hormiga
i=1
Rutai=f
Mientras Rutaid
A=Posibles_Saltos(Rutai)
P=Probabilidades_de_Transición(A)
i=i+1
Rutai=Siguiente_Nodo(P)
Fin
Deposite_Feromonas(Ruta)
Fin
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 6. Enrutamiento por hormigas (6/7)
0 5 10 15 20 25 301
2
3
4
5
6
7
8
9
10Caudal en la red de prueba
Demanda (p/ms)
Cau
dal (
p/m
s)
Optimo Hormigas Dos RutasUna Ruta
Demanda (p/ms)
Cau
dal (
p/m
s)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 6. Enrutamiento por hormigas (7/7)
0 500 1000 1500 2000 2500 30000
2000
4000
6000Número de llegadas en períodos de 10 s
700 750 800 850 900 950 10000
500
1000Número de llegadas en períodos de 1 s
800 805 810 815 820 825 8300
50
100
150Número de llegadas en períodos de 100 ms
816 816.5 817 817.5 818 818.5 8190
10
20Número de llegadas en períodos de 10 ms
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
5
10
15Número de llegadas en períodos de 10 ms
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
10
20
30
Número de llegadas en períodos de 50 ms
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
50
100
Número de llegadas en períodos de 250 ms
0 50 100 150 200 2500
200
400
Número de llegadas en períodos de 1.25 s
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 7. Predecibilidad del Tráfico (1/10)
¿Cuántos bytes llegarán en los próximos T segundos, X0, dado el número de bytesque han llegado en los anteriores períodos de T segundos, X-1, X-2, X-3, … ?
¿Cuántos bytes llegarán en los próximos T segundos, X0, dado el número de bytesque han llegado en los anteriores períodos de T segundos, X-1, X-2, X-3, … ?
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 7. Predecibilidad del Tráfico (2/10)
Principio de Ortogonalidad: Si X0 es el número de bytes que llegarán en los próximos T segundos y hemos de escoger el mejor predictor de X0 entre los elementos de un espacio vectorial lineal de posibles predictores, S, obtendremos el Mínimo Error Cuadrado Medio (MMSE) si proyectamos X0 perpendicularmente sobre dicho espacio, de manera que el error resulte ortogonal a cualquier vector del espacio de predictores.
Proyección de A sobre B = Producto Interno E[AB] Y será un predictor óptimo de X0 si
E[(X0 - Y) Z] = 0 Z S
Espacio S de posibles estimadores
error
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 7. Predecibilidad del Tráfico (3/10)
Predecir el número de bytes que llegarán en los próximos T segundos, X0, basados en la medida obtenida de los últimos T segundos, X-1
S = {g(X-1), g:RR}
Y=h(X-1) E[X0|X-1] S
Z=u(X-1) S
E[(X0 - Y)Z] = E[X0Z] - E[YZ]= E[X0 u(X-1)] - E[ E[X0|X-1] u(X-1)]= E[X0 u(X-1)] - E[ E[X0 u(X-1) | X-1] ] = E[X0 u(X-1)] - E[X0 u(X-1)] = 0
El estimador óptimo de X0 dado X-1 es
donde pi,j es la probabilidad condicional de que lleguen j bytes en los próximos T segundos dado que llegaron i bytes en los anteriores T segundos
0,10
jjipjiXXEY
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 7. Predecibilidad del Tráfico (4/10)
)[ )[ )[ )[ )[ )[ )[ )[Intervalo 1 Int.2 Int.3 Int.4 Int.5 Int.6 Int.7 Intervalo 8
Xmin Xmin+2x Xmin+4x Xmin+6x Xmin+8x=Xmax
Xmin+x Xmin+3x Xmin+5x Xmin+7x 0
# de bytes que lleganen un período de T s
pi,j = Prob[X-n Intervalo j | X-n-1 Intervalo i] (independiente de n)
nin
ninjn
ji IX
IXIXp
1
1
, 1
,1
Dada una secuencia de medidas consecutivas { …, X-2, X-1}, pij se puede estimar así:
L
jjipjxY
1,)( donde x(l) E[X | X Il] es el centroide del intervalo l.
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 7. Predecibilidad del Tráfico (4/10)
Tráfico Poisson Tráfico Fractal
8
1,2,
8
1
log donde ,j
jijiii
ii PPEEpE
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 7. Predecibilidad del Tráfico (5/10)
¿Porqué no Y=E[X0 | X-1, X-2, … X-p+1, X-p]? Porque es imposible estimar las probabilidades condicionales de orden superior
Reducir nuestro espacio de estimadores de S = {g(X-1, X-2, … X-p+1, X-p), g:RpR} a S = { a1X-1+a2X-2+ … +ap-1X-p+1+apX-p, aiR, i=1,2,…,p}
El mejor estimador Y= aTX satisface el principio de ortogonalidad:
E[(X0 - aTX)bTX] = 0 b Rp
Expandiendo y teniendo en cuenta que (aTX)(bTX)=bTXXTa,
bTE[X0X] - bTE[XXT]a = 0 b Rp
lo cual no puede ser una identidad para cualquier b a menos que
E[X0X] = E[XXT]a
Sistemas no-lineales Caos Fractales
8. Análisis Wavelet (16)8. Análisis Wavelet (16) 9. Transformada Wavelet de Procesos Autosemejantes (4)9. Transformada Wavelet de Procesos Autosemejantes (4)10. Detección y Estimación: El Diagrama LogEscala (7)10. Detección y Estimación: El Diagrama LogEscala (7)11. Síntesis Wavelet de Procesos Autosemejantes (7)11. Síntesis Wavelet de Procesos Autosemejantes (7)12. Conclusiones (2)12. Conclusiones (2)
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Capítulo de Procesamiento de Señalesde la Rama Estudiantil IEEE de la Universidad Distrital
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Grupo de Investigación en Telecomunicacionesde la Universidad Distrital
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Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Análisis Wavelet (1/16)
dtftjtxfX )2exp()()(
- La señal se debe conocer desde - hasta - No se pueden localizar los componentes frecuenciales en el tiempo
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-1
-0.5
0
0.5
1
Tiempo en ms
Am
plitu
d en
Vol
tios
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000
10
20
30
40
50
60
70
80
Frecuencia en Hz
Am
plitu
d en
Vol
tios
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Análisis Wavelet (2/16)
dtftjtgtxfX ST )2exp()()(),( *
g(t) es una ‘ventana’ que selecciona un segmento alrededor de
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Análisis Wavelet (3/16)
dtftjtgtxfX ST )2exp()()(),( *
Para un fijo: )]()([, 0*
0 tgtxfX STf
t0 1 2 3
g(t-0) g(t-1) g(t-2) g(t-3)
Para una f0 fija:
x(t)
exp(-j2f0t)
g(t) XST(f0,t)
t
f
f0
f1
f2
G(f-f0)
G(f-f1)
G(f-f2)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Análisis Wavelet (4/16)
t
f
Transformada de Fourieren Tiempo Corto
f
tDivisión Ideal
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Análisis Wavelet (5/16)
RtRaxtaT taX ,,,, ,
Los filtros de análisis deben ser de Q constante, su respuesta al impulso debe seruna “ondita”
aaa
1)(
dtxtaT aX )()(),( *
La CWT consiste en el conjunto de coeficientes
que compara la señal a analizar x(t) con el conjunto de funciones deanálisis
RtRaa
tu
auta ,,
1)( 0,
construidas mediante desplazamiento y escalización de la funciónde referencia 0(u) o “wavelet madre”
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Análisis Wavelet (6/16)
|TX(a,t)|2
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Análisis Wavelet (7/16)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Análisis Wavelet (8/16)
- La CWT contiene toda la información sobre {x(t),t R}, pero es redundante- La teoría matemática del Análisis Multiresolución (MRA) demuestra que es posible hacer un muestreo crítico del plano tiempo-escala para escoger entre {TX(a,t), aR+, tR}, un subconjunto discreto de coeficientes que retenga la información total contenida en {x(t), tR}- Dicho muestreo crítico define la Transformada Wavelet Discreta, DWT.
2,0 )(),()( entonces 0)( Si
a
dadutuaTCtxduu uaX
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Análisis Wavelet (9/16)
Un MRA es un conjunto de subespacios vectoriales anidados{Vj, jZ}, que satisface las siguientes propiedades:
00
00
0
1
2
para Riesz base una es ),(
que talescala) de(función )( 4.
2)( 3.
2.
)(en denso es },0{ 1.
VZkkt
Vt
VtxVtx
VV
RLVV
jj
jj
Zjj
Zjj
1. y 2. Los Vj son subespacios de aproximación sucesiva para las funciones de cuadrado integrable, L2(R).
3. y 4. Una base Riesz para Vj es el conjunto de funciones
Zkktt jjkj
),2(2)( 02/
,
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Análisis Wavelet (10/16)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Análisis Wavelet (11/16)
k
kjxVj tkjatxoyeccióntaproxj
)(),()(Pr)( ,Como Vj Vj-1, aproxj es más burda que aproxj-1, el MRA consiste en estudiarx(t) considerando aproximaciones cada vez más burdas. La información sobre x(t)que se pierde cuando se va de una aproximación a otra más burda es el detalle:
detallej(t) = aproxj-1(t) - aproxj(t)
Estos detalles se pueden obtener directamente mediante la proyección de x(t) sobre el conjunto de subespacios Wj = Vj-1-Vj (o “subespacios wavelet”),generados mediante la base Riesz
Zkktt jjkj
),2(2)( 02/
, generada mediante escalización y desplazamiento de la “wavelet madre” 0(t),que se obtiene a partir de 0(t).
kkjxWj tkjdtxoyeccióntalle
j)(),()(Pr)(det ,
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Análisis Wavelet (12/16)
x 0 t( )
x 1 t( )
x 2 t( )
t15 10 5 0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x 0 t( ) x 1 t( )
x 1 t( ) x 2 t( )
t15 10 5 0 5 10 15
0.1
0
0.1
aproxj(t)
detallej(t)
0(t)
1,0(t)
2,0(t)
-1 0 1 2 3 4
Wavelet de Haar
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Análisis Wavelet (13/16)
J
jjJ talletaproxtaproxtx
10 )(det)()()(
Teóricamente, j puede ir de - a +. Pero en la práctica nos limitamos aj{0,1,2,…,J}
J
j kkjX
kkJX tkjdtkJa
1,, )(,)(,
Dadas la función de escala 0 y la wavelet madre 0, la DWT de x(t) consiste enlos coeficientes ZkJjkjdZkkJatx XX ,,...,1),,(,),,()(obtenidos mediante el producto interno de x(t) con las funciones base j,k y j,k.
Los coeficientes DWT son muestras de los coeficientes CWT, tomadas en la rejilladiádica dX(j,k) = TX(2j,2jk)
Haar Wavelet: Haar Scaling Function:
0 t( ) t 0( ) t 1( ) j k t( ) 20.5 j 0 2j t k Haar scaling function
0 t( ) t 0( ) 2 t 0.5( ) t 1( ) j k t( ) 20.5 j 0 2j t k Haar wavelet function
Wj k
k 2 j
k 1( ) 2 j
xfbm ( ) j k ( ) d Wavelet coefficients
Uk
k
k 1xfbm ( ) 0 k ( ) d Scaling Coefficients
X t( )
k
Uk 0 k t( )
j k
Wj k j k t( )
Signal reconstruction
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.1
0.1
0.2
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Análisis Wavelet (14/16)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Análisis Wavelet (15/16)
g 2
h 2
g 2
h 2
g 2
h 2
g 2
h 2
ax(0,k)
ax(1,k)
ax(2,k)
ax(3,k)
ax(4,k)
dx(4,k)
dx(1,k)
dx(2,k)
dx(3,k)
g y h son filtros digitales obtenidosa partir de 0 y 0.
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Análisis Wavelet (16/16)
F1. Como las bases wavelet se forman a partir del cambio de escala de la wavelet madre, la familia de funciones de análisis es Invariante a la Escala.
F2. 0 tiene un número N1 de momentos desvanecientes
1,...,1,0 ,0)(0 Nkdttt k
3,0(t)
2,0(t)
1,0(t)
0(t)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 6. WT de Procesos Autosemejantes (1/4)
- La teoría Wavelet fue establecida originalmente para señales determinísticas de energía finita.
- Si 0 y 0 satisfacen ciertas condiciones muy generales relacionadas con la estructura de covarianza del proceso analizado, la DWT de un proceso estocástico de segundo orden es un campo estocástico de segundo orden.
- En particular, para nuestro caso, supondremos que las funciones de escala y las wavelets decaen por lo menos exponencialmente rápido en el dominio del tiempo de manera que las estadísticas de segundo orden de la transformada existan para los procesos H-ss, H-sssi y LRD que discutimos aquí.
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 6. WT de Procesos Autosemejantes (2/4)
Si X(t) es H-ss, los coeficientes dX(j,k) reproducen exactamente laautosimilitud:
)1,0(),...,1,0(),0,0(2)1,(),...,1,(),0,( )( 21
jXXX
Hjd
jXXX NdddNjdjdjd
(Este es un resultado (no trivial) de F1).
Para procesos de segundo orden, una consecuencia inmediata es
2)12(2 ),0(2),( kdEkjdE XHj
X
for i=0:1023 %1024 trazas muestrales y=cumsum(randn(1,256)); %BM : 0.5-sssi for j=0:4 %Coeficientes DWT para 5 [y,d]=dwt(y,'db2'); % escalas consecutivas D(i+1,j+1)=d(4); %Preserva el coeficiente 4 endendfor j=0:4 %Compara los histogramas [h,x]=histo(D(:,j+1),50);%para cada escala, debi- stairs(2^(-j)*x,h); %damente corregidosend
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 6. WT de Procesos Autosemejantes (3/4)
Si X(t) es H-sssi, los coeficientes {dX(j,k),kZ} para una escala fija j forman unproceso estacionario
(Este resultado (no trivial, pues X(t) es no-estacionario) surge de F2).
Dada la estructura de covarianza del proceso H-sssi, la correlación entre loscoeficientes wavelet es casi cero si N>H+1/2. Más aún, la velocidad con quedecae se puede controlar con N:
mkmkmldkjdE ljNHljXX 22,22),(),(
22
for k=0:199 % 200 trazas muestrales y=fbm(0.78,12); % FBM 0.78-sssi for i=1:4 % Coeficientes dwt a [y,d(i,:)]=dwt(y,'db2');% escalas 0,1,2 y 3 R(i,:)=R(i,:)+... % Promedia las respec- xcorr(d(0,:),d(i,:))/200; % tivas correlaciones endend
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 6. WT de Procesos Autosemejantes (4/4)
P1. {dX(j,k), kZ} es un proceso estacionario si N (-1)/2 cuya varianza reproduce el comportamiento de escala dentro de cierto rango de octavas j1 j j2
P2. {dX(j,k), kZ} no presenta dependencias estadísticas de largo rango si N /2. Entre mayor N, menor el rango de dependencia, tanto que la siguiente idealización es casi siempre válida:
caso otrocualquier en 0
y si ),(),(
2 mkljmldkjdE XX
j
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 7. Detección y Estimación (1/7)
El proceso original tiene dependencia de rango largo y no es estacionario Difíciltratamiento estadístico (lenta convergencia y, aún después de convergir, alta variabilidad).
Para cada escala j, el proceso dX(j,) tiene dependencia de rango corto (casi rango 0) y esestacionario, con media 0 Fácil tratamiento estadístico (rápida convergencia con bajavariabilidad).
Ejemplo:
jn
kX
jj kjd
n 1
2,
1
La v.a. j es un estimador no polarizado y asintóticamente eficiente capazde representar el comportamiento de segundo orden de X(t) a la escala j.
P2
La varianza del proceso original a cada escala j tiene una ley de potencia quedepende de j y, para esta ley, j es un excelente estimador: Basta con considerarla pendiente de la gráfica de log2(j) contra j.
P1
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 7. Detección y Estimación (2/7)
jn
kX
jj kjd
n 1
2,
1 Energía de la Señal a la Escala j
jvsy jj )log( Diagrama LogEscala
Como j = 2j0, yj = j + log(0) La presencia de alineación permite
detectar el comportamiento de escala
Entre las octavas 4 y 10 se observaAlineación con = 0.56 (H = 0.78)
El comportamiento de escala se puede identificar como LRD ya que 0 < < 1 y la alineación incluye las escalas mayores
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 7. Detección y Estimación (3/7)
Aquí se observa alineación en todo elrango de escalas, con = 2.57 (H=0.79),consistente con la autosimilitud del fbm0.8-sssi que se utilizó.
Aquí, a bajas escalas parece haber uncomportamiento de escala con =0.16(H=0.58), pero lo que importa es elcomportamiento asintótico en el que=0.025 (H=0.51): ruido blanco.
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 7. Detección y Estimación (4/7)
Detección : Presencia de alineación (intervalos de confianza!) Evitar (1) la no detección por variaciones bruscas ni (2) la falsa inclusión the escalas a la izquierda donde el ojo sugiere que la tendencia lineal continúa (pruebas de ajuste chi-cuadrado)
Estimación : Regresión lineal en el rango de escalas de alineación Identificación: ¿LRD o H-ss? Interpretación del valor estimado (0,1), [j1,] LRD > 1 H-ss Usar toda la información adicional posible
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 7. Detección y Estimación (5/7)
Suponiendo que el intervalo [j1, j2] ya ha sido correctamente identificado:
Estimar = Determinar la pendiente del diagrama log escala enla región de alineación
1. Regresión lineal (MSE)
Estimador no polarizado de , pero ineficiente porqueE[log(X)]log(E[X]) yj j + b
2. Regresión lineal ponderadaCalcular la regresión basados en yj = log(j)-g(j), donde
2/log)2/( )2ln(
)2/(')( 2 j
j
j nn
njg
MVUE (estimador no polarizado de mínima varianza)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 7. Detección y Estimación (6/7)
•Estimador computacionalmente óptimo, O(n) –adecuado para estimación en tiempo real-
•No es sensitivo a fenómenos que aparentan ser de escala como tendencias superimpuestas (N momentos desvanecientes eliminan tendencias polinomiales de grado N-1)
•Capaz de medir formas estacionarias y no estacionarias de fenómenos de escala (fenómenos multifractales)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 7. Detección y Estimación (7/7)
)()()( tTtXtY Completamente descritopor un modelo de escala(LRD, H-ss, o fractal)
Tendenciadeterminística
0)(0 dtt Ortogonal a valores promediodistintos de cero, T(t)=a
0)(0 dttt Ortogonal a funciones linealesT(t) = at + b
0)(02 dttt Ortogonal a funciones cuadráticas
T(t) = at2 + bt + c
Con N momentos desvanecientes se garantizala eliminación de tendencias polinómicas de
orden hasta N-1.
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 8. Síntesis (1/7)
- Cholesky, Durbin-LevinsonGeneran fbm exacto, pero exageradamente costosos en lo computacional
- Síntesis espectral, superposición de procesos on/off, desplazamiento del punto medio, ...Ligeramente más eficientes, pero sólo aproximados.
S3(t)X3(t)X2(t)X1(t)
at
NN dSatY0
)()( v
.
N 80 n 0 N 1 k 0 N 1
W k rnorm N 0 1( ) dft W( )
Vn k n 10( ) k 10( ) 1
n 1( )2 k 1( )2
0 V( ) v idft 0( )
N 1024 n 0 N 1 Número de muestras
wn rnorm N 0 1( ) Ruido blanco
mxL ln N( )ln 2( )
L 1 mxL Niveles
h 0 2 Hh 0.55 0.1 h Parámetros HArreglo de desviacionesestándar para cada nively cada parámetro H
0 h 1 L h 2L Hh
1 22 Hh 1
Puntomedio X i0 i2 L h( ) i1 0.5 i0 i2( )Xi1 0.5 Xi0 Xi2
L h wni1 1
X Puntomedio X i0 i1 L 1 h( )X Puntomedio X i1 i2 L 1 h( )
L mxLif
X
Cálculo recursivomediante eldesplazamientodel punto medio
fbm0 h 0 fbmN h wnN 1 fbm h Puntomedio fbm h 0 N 1 h Construcción Recursiva
Movimiento Browniano FraccionalH=0.95
H=0.75
H=0.55
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 8. Síntesis (2/7)
Aproximado, pero reproduce la autosimilitud, la estacionariedad delos incrementos y la distribución gaussiana de una manera MUYeficiente.
g2
h2
g2
h2
g2
h2
g2
h2
ax(0,k)
ax(1,k)
ax(2,k)
ax(3,k)
ax(4,k)
dx(4,k)
dx(1,k)
dx(2,k)
dx(3,k)
dX(j,k) son vectores aleatorios independientes con componentes iid ~ N(0,022j(2H+1))
Los filtros g y h se obtienen de una función de escala 0 y una wavelet madre 0
adecuadamente seleccionadas.
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 8. Síntesis (3/7)
2,
)(),()(
a
ddataTtB aXH
j Zk
kjX tkjd )(),( ,
J
j kkjX
kkJX tkjdtkJa
1,, )(),()(),(
Si las bases wavelets son ortonormales (los coeficientes son muestras de BH(t))Si la transformada de Fourier de 0 tiende rápidamente a 0 cuando f tiende a 0 (para contrarrestar la divergencia de la densidad espectral de los incrementos de BH(t))Si 0 tiene suficientes momentos desvanecientes (para evitar incluir correlaciones entre los coeficientes wavelet) Los coeficientes {aX(0,k), kZ} son muestras de un fbm
function y=waveletfbm(L,H)
% Genera 2^L muestras de H-fbm mediante la dwt
y=0; % Máx. aproximación
for j=0:L-1 % Escalas
s=2^(-j*(H+0.5)); % Varianza a esta escala
d=s*randn(size(y)); % Coeficientes wavelet
y=idwt(y,d,'db4'); % Un nivel de detalle más
end
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 8. Síntesis (4/7)
Los coeficientes wavelet a la escala jse escojen como ruido blanco Gaussiano con
varianza 2j(2H+1) de manera que la transformada inversacorresponda a un fbm con parámetro H:
Cascada Aditiva
Los coeficientes wavelet a la escala jse escojen como ruido blanco Gaussiano con
varianza 2j(2H+1) de manera que la transformada inversacorresponda a un fbm con parámetro H:
Cascada Aditiva
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 8. Síntesis (5/7)
Función de escala de Haar:
Wavelet de Haar:
La wavelet de Haar a la escala J no es más que unacombinación lineal de las funciones de escala a laescala J+1 CASCADA MULTIPLICATIVA
La wavelet de Haar a la escala J no es más que unacombinación lineal de las funciones de escala a laescala J+1 CASCADA MULTIPLICATIVA
Uj,k
Uj+1,2k Uj+1,2k+1
Uj+2,4k Uj+2,4k+1 Uj+2,4k+2 Uj+2,4k+3
Wj,k
Wj+1,2k Wj+1,2k+1
Wj+2,4k Wj+2,4k+1 Wj+2,4k+2 Wj+2,4k+3
Fila Fila jj: Aproximación a la escala : Aproximación a la escala jj
Fila Fila jj: Detalle a la escala : Detalle a la escala jj+1+1
Uj k 2 0.5 U
j 1 2 k Uj 1 2 k 1
Wj k 2 0.5 U
j 1 2 k Uj 1 2 k 1
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 8. Síntesis (6/7)
Con la wavelet de Haar, X(t) es positiva si y sólo si |Wj,k| Uj,kCon la wavelet de Haar, X(t) es positiva si y sólo si |Wj,k| Uj,k
Entonces, dada la aproximación de X(t) a la resolución 2-j (Uj,k), encuentre
kjkjkj UAW ,,, Obtenga Uj+1,k a partir de Uj,k y Wj,k e itere hasta tener la resolución deseada(o la longitud deseada de la señal)
data N( ) U0 0 "Sample from pdf U"
Aj k "Sample from pdf A(j)"
Wj k A
j k Uj k
Uj 1 2 k 2 0.5 U
j k Wj k
Uj 1 2 k 1 2 0.5 U
j k Wj k
k 0 2j 1for
j 0 N 1for
UT N
Al igual que FGN, consigue un perfecto ajuste del espectro depotencia (LRD) pero, a diferencia de FGN, también se ajustaa estadísticas de orden superior y, sobre todo, a la positividadde las muestras.
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 8. Síntesis (7/7)
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 12. Conclusiones (1/2)
1. Las wavelets ofrecen muchas ventajas al tratar los fenómenos de escala2. Ofrecen un método unificado para todos los fenómenos de escala
(LRD, Autosimilitud exacta o asintótica, etc.)3. Transforma un proceso LRD en una serie de procesos iid, permitiendo el
diseño de estimadores sencillos y eficientes.4. Ofrecen la libertad de seleccionar el número de momentos desvanecientes5. Permiten una eficiente técnica de análisis y síntesis (banco de filtros)6. La propiedad matemática de la multiresolución se adecúa de manera
natural a la propiedad física de la escala7. Por estudiar, entre muchas otras áreas,
- ¿Cómo determinar automática y objetivamente el rango de escalas del fenómeno que se estudia?- ¿Cómo determinar si los exponentes de escala son constantes o no en el tiempo?- ¿Cómo generar otras clases más flexibles de procesos de escala?- ¿Cómo extender el análisis wavelet para resolver sistemas de colas con tráfico autosemejante? ... etc.
Como el fenómeno de la autosemejanza en el tráfico de redes estáimpactando cada vez más el desempeño de las mismas, seconvierte en un tema de estudio obligado para todos nosotros.
La autosemejanza es apenas uno de muchos fenómenos emergentesque se están evidenciando en redes de comunicaciones, lo quesugiere un cambio de paradigma en la administración de redes
Tratándose de un tema relativamente nuevo, podemos hacerimportantes aportes investigativos para conocer, interpretar ycontrolar estos fenómenos.
Como en cualquier actividad de investigación en ingeniería,necesitamos un sólido fundamento matemático para poderhacer aportes en esta área. Y ya no es simplemente la Teoría deColas, sino la matemática de toda una nueva ciencia.
Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 12. Conclusiones (2/2)