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MANUAL DE FILTRACIN&

SEPARACIN

Fernando Concha Arcil, Ph.D.

CENTRO DE TECNOLOGA MINERAL, CETTEM

TECNOLOGA PRODUCTIVA RED CETTEC, FUNDACIN CHILE.UNIVERSIDAD DE CONCEPCIN

WWW.MetalurgiaUCN.TK

NDICE

PARTE I. FUNDAMENTOS

1. INTRODUCCIN 11.1 Marco conceptual de los sistemas de separacin slido-lquido. 11.2 Operaciones de separacin slido-lquido en minera. 31.3 Mecanismo de la separacin slido-lquido. 41.4 Seleccin de tcnicas de separacin slido-lquido. 61.5 Equipos utilizados en la separacin slido-lquido. 71.6 Referencias. 8

2. TEORA DE MEZCLAS 92.1 Cinemtica. 92.2 Cuerpo, configuracin y tipos de mezclas 9.2.3 Deformacin y movimiento 11 Balance de masa 13. Balance de masa en

una discontinuidad 16. Ecuacin de difusin convectiva 16. Ecuacin de continuidad y condicin de salto para mezclas incompresibles 17.

2.4 Dinmica. 18Balance de momentum lineal 18. Balance de momentum angular 20. Proceso dinmico 21.

2.5 Referencias. 22

3. SISTEMAS PARTICULADOS 243.1 Proceso dinmico en un sistema particulado. 24

Componente fluido 26. Presin de poros 26. Componente slido 27. Esfuerzo efectivo del slido 28. Presin total 29.

3.2 Fuerza de interaccin en el equilibrio. 303.3 Discontinuidades. 313.4 Proceso dinmico. 313.5 Referencias. 32

4. SEDIMENTACIN DE SISTEMAS PARTICULADOS 334.1 Sedimentacin discreta. 33

Fuerza hidrodinmica sobre una esfera en flujo de Stokes 34. Balance macroscpico sobre una esfera en flujo de Stokes 34. Fuerza hidrodinmica sobre una esfera en flujo de Euler 37. Fuerza hidrodinmica sobre una esfera en flujo de Prandtl 39. Coeficiente de arrastre para esferas con 0 Re 150.000 42. Velocidad de sedimentacin de una esfera 45. Sedimentacin de una suspensin de

ii Manual de Filtracin & Separacin

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esferas 52. Sedimentacin de partculas isomtricas 57. Sedimentacin de una suspensin de partculas arbitrarias 64.

4.2 Referencias. 70

5. TEORA DE SEDIMENTACIN DE KYNCH 735.1 Conceptos de una suspensin ideal y de un espesador ideal. 735.2 Proceso de Kynch para la sedimentacin batch. 76

Solucin por la teora de caractersticas 79. Modos de sedimentacin 82.

5.3 Proceso de Kynch para la sedimentacin continua. 86Espesador ideal continuo: modelacin de la alimentacin y descarga 88. Proceso de sedimentacin continua de Kynch 90. Solucin por el mtodo de caractersticas 91. Modos de sedimentacin continua 92.

5.4 Estado estacionario y capacidad de un espesador ideal. 1005.5 Referencias. 102

6. FLUJO EN LECHO POROSO 1036.1 Proceso dinmico en un lecho poroso rgido. 103

Balances locales 104. Ecuacin constitutiva de la fuerza resistiva 104. Ley de Darcy 104. Ley de Forcheimer 104.

6.2 Parmetros geomtricos de un lecho poroso rgido. 105Ecuaciones de Forcheimer y de Darcy 109. Ecuaciones de Forcheimer y Darcy en trminos de la altura piezomtrica 110.

6.3 Modelo capilar de un lecho poroso rgido. 1106.4 Proceso dinmico en un lecho poroso rgido. 1136.5 Flujo bifsico en un lecho poroso rgido. 114

Ecuaciones constitutivas de las presiones 116. Ecuaciones constitutivas de las fuerzas resistivas 118. Precolacin en medios porosos 119. Flujo a presin en medio poroso no-saturado 119. Saturacin residual y saturacin efectiva 122.

6.6 Referencias. 127

7. CONSOLIDACIN 1287.1 Proceso dinmico de consolidacin. 1287.2 Teora de Terzaghi para pequeas deformaciones. 1297.3 Ecuacin constitutiva de la fuerza hidrodinmica 130. Ecuacin

constitutiva del esfuerzo efectivo del slido 131. Proceso dinmico en trminos de la porosidad 132. Proceso dinmico en trminos de la presin de poros en exceso 132. Solucin del problema de valor inicial y de contorno 133.

7.4 Referencias. 135

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iii

8. ESPESAMIENTO 1368.1 Introduccin. 136

Desde la Edad de la Piedra al siglo IXX 136. La invencin del espesador Dorr y el diseo de espesadores, 1900 a 1940, 138. El descubrimiento de las variables de operacin de un espesador continuo, 1940-1950, 140. La era de Kynch, 1950-1970, 141. Teora fenomenolgica, 1970-1980, 142. Teora matemtica, 1980-2000, 143.

8.2 Equipos. 144Espesador convencional, Espesador de alta capacidad y Espesador de alta densidad 148.

8.3 Teora de espesamiento. 151Proceso dinmico de sedimentacin 152. Ecuaciones constitutivas 153. Ecuacin de espesamiento 153. Espesamiento batch 155. Simulacin y comparacin con datos de la literatura 158. Espesamiento continuo 161.

8.4 Parmetros de espesamiento. 167Parmetros de sedimentacin 167. Medicin de parmetros de consolidacin 169.

8.5 Capacidad y diseo de espesadores. 171Mtodos de diseo basados en balances macroscpicos 171: a) Mtodo de Mishler 171, b) Mtodo de Coe y Clevenger 173. Mtodos de diseo basados en el proceso de sedimentacin de Kynch 177, a) Mtodos de diseo basados en el proceso batch de Kynch 178: Mtodo de Talmage y Fitch 181, Mtodo de Oltman 183; b) Mtodos de diseo basados en el proceso de Kynch continuo 184: Mtodo de Yoshioka y Hasset 184, Mtodo de Wilhelm y Nadie 186. Mtodos de diseo basados en el modelo fenomenolgico 189.

8.6 Estrategias de la operacin. 195Estado estacionario 195. Concentracin de la descarga: efecto del flujo de alimentacin y de la altura del sedimento 196. Dilucin de la alimentacin 199. Inventario de material en el espesador 203. Capacidad mxima 205.Estados estacionarios posibles 206. Efecto del floculante sobre la capacidad de un espesador 209.

8.7 Investigacin, desarrollo y transferencia tecnolgica. 210Efecto de los floculantes en espesamiento 211. Reologa de sedimentos y descarga de un espesador 212. Efecto de surfactantes y floculantes hidrfobos en la filtracin. Flujo en lecho poroso compresible 213. Modelacin de la alimentacin 213. Espesadores de alta capacidad y alta densidad 214. Optimizacin de los ciclos de filtracin 215. Optimizacin de espesadores 215. recuperacin de agua en sistemas de separacin slido-lquido 215. Dinmica y control de procesos 216.

iv Manual de Filtracin & Separacin

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9. FILTRACIN 2229.1 Definicin, equipos y operacin. 222

Filtracin con formacin de queque 222. Filtracin sin formacin de queque 222. Filtracin profunda 223. Variables de operacin 224.

9.2 Equipos para la filtracin. 226Filtros a vaco 226: Filtro de tambor 227, Filtro de discos 227, Filtro de bandeja 229, Filtro de banda horizontal 230. Equipos de filtracin a presin 230. Filtro prensa de placas verticales 231. Filtro prensa de discos 240. Filtro de vela 241. Filtros hiperbricos 242.

9.3 Medios filtrantes. 243Telas 243.

9.4 Teora de filtracin. 247Formacin de queque 248: a) Filtracin a presin constante 250, b) Filtracin a volumen constante 257. Secado o soplado del queque.

9.5 Parmetros de filtracin. 262Medicin de los parmetros de filtracin 263: a) Porosidad del queque 264; b) permeabilidad del queque y resistencia especfica del medio filtrante 267; Permeabilidad relativa 277.

9.6 Filtros continuos a vaco. 286Modelo de un filtro rotatorio 287: a) Formacin del queque 288; b) Cambios de condiciones de operacin 290; c) Deshumedecimiento del queque 291.

9.7 Referencia. 299

10. FLOCULACIN 30110.1 Introduccin. 301

Coagulacin 302. Floculacin 305.10.2 Floculantes polimricos. 307

Propiedades 307. Preparacin 309.10.3 Cintica de la Floculacin. 31010.4 Hidrodinmica de la floculacin. 312

Floculacin en una caera 312. Floculacin en un feedwell 312.10.5 Referencias. 314

PARTE II. APLICACIONES

11. AGREGACIN DE PARTCULAS EN PROCESAMIENTO DE MINERALES 31511.1 Introduccin. 31611.2 Agregacin en Procesamiento de Minerales. 317

Floculacin 317. Floculantes polimricos en circuitos de flotacin 321.Aglomeracin por aceite 326.

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11.3 Discusin. 32811.4 Referencias. 329

12. TCNICAS DE FLOCULACIN Y METODOLOGAS PARA LA OPTIMIZACIN DE ESPESADORES 33212.1 Introduccin. 33312.2 Caracterizacin de la floculacin. 33412.3 Caracterizacin de suspensiones floculadas. 336

Medicin de la velocidad de sedimentacin de flculos 338.12.4 Rol de la hidrodinmica en la floculacin 339.12.5 Entendiendo el comportamiento de espesadores. 34212.6 Diseo y operacin de rastras. 34512.7 Conclusiones. 34612.8 Agradecimientos. 34612.9 Referencias. 347

13. POLMEROS HIDRFOBOS DEL TIPO LTEX PARA LA SEPARACIN SLIDO-LQUIDO DE CONCENTRADOS DE FLOTACIN 34813.1 Introduccin. 34913.2 Resultados experimentales. 350

Efecto de floculantes y aglomerantes hidrfobos sobre la flotacin de molibdenita 350. Efecto de aglomerantes hidrfobos sobre la floculacin de calcopirita y pirita 353. Efecto del ltex UBC-1 sobre la filtracin de otros materiales hidrfobos 353.

13.3 Conclusiones. 35413.4 Referencias. 354

14. CFD COMO HERRAMIENTA PARA EL DISEO DEESPESADORES 35614.1 Introduccin. 35714.2 Modelacin matemtica. 35714.3 Simulacin de la alimentacin a un espesador. 358

Dilucin de la alimentacin 358. Alimentacin mediante tobera 361. Alimentacin en feedwell 365.

14.4 Simulacin de la inyeccin de floculantes. 367Inyeccin en tobera de dilucin 368. Inyeccin en feedwell 369.

14.5 Simulacin de las rastras. 37114.6 Conclusiones. 37314.7 Referencias. 373

15. CONCEPTOS MODERNOS DE FILTROS ROTATORIOS 37515.1 Filtro de disco de alto rendimiento Boozer. 376

Caractersticas notables del Boozer 377. Datos tcnicos 377. Descripcin y funcionamiento de los componentes importantes:

vi Manual de Filtracin & Separacin

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Discos y segmentos 377; Caeras de coleccin de filtrado 378; Tambor central 379. Batea del filtro 380; Cabeza de control 380.

15.2 Operacin del filtro de discos Boozer. 381Formacin del queque 381; Deshumedecimiento del queque 382; Descarga del queque 382.

16. LAVADO CON FILTRO DE BANDA HORIZONTAL 38316.1 Descripcin del equipo y sus aplicaciones. 38316.2 Estudio de casos. 38516.3 Aplicaciones de lavado del queque para remover impurezas. 386

Mantos de Oro: La Coipa 386. Compaa Minera Escondida: Coloso387. SQM Salar: cido Brico 388. Compaa Minera Meridian: El Pen 388.

16.4 Aplicaciones de lavado de queque para recuperar soluciones. 390Mantos de Oro: La Coipa 390; Compaa Minera Escondida: Coloso 390; Compaa Minera Meridian: El Pen 390.

16.5 Conclusiones. 390

17. SISTEMAS DE FILTRACIN PARA LA DEPOSITACIN DERELAVES 39217.1 Introduccin. 392

Consideraciones en la construccin de un depsito de relave 392. Comparacin de costos 393.

17.2 Determinacin del sistema de depositacin seca. 394Compactacin de los relaves 394. Recuperacin de agua 395. Precolacin 395.

17.3 Tipo de equipos. 396Filtro prensa de doble banda 396. Filtro prensa convencional 397. Filtro de discos 397. Filtro de bandas 398. Espesador de alta densidad 398.

17.4 Instalaciones existentes. 399Mantos Blancos 400. El Indio 401. La Coipa, Can Can y El Pen 401. ZCCM y Gecamines 403.

18. FILTRACIN HI-BAR CON VAPOR APRESIN 40718.1 Fundamentos de la filtracin con vapor a presin. 408

Filtracin convencional con vapor 408. proceso moderno de filtracin con vapor a presin Hi-Bar 408.

18.2 Tecnologa de filtracin Hi-Bar. 410Concepto de la filtracin Hi Bar con vapor a presin en la planta 411.

18.3 Beneficios de la filtracin Hi Bar con vapor a presin. 41218.4 Ensayos en el laboratorio y planta piloto. 414

Equipos de ensayo de laboratorio 414. Planta piloto Hi Bar 414.

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18.5 Aplicaciones de la filtracin Hi Bar con vapor a presin. 415Desaguado de concentrados en la flotacin de carbn 415. Desaguado de concentrados de minerales de hierro 416. Lavado y secado de un producto de precipitacin qumica 416.Lavado y secado de yeso en una planta trmica 417.

18.6 Economa de la filtracin Hi Bar con vapor a presin. 41818.7 Conclusin. 41818.8 Referencias. 419

19. APNDICES19.1 Apndice 1 Conversin de medidas de concentracin. 42019.2 Apndice 2 Unidades de medida y Dimensiones. 422

PARTE III. PROVEEDORES

BOKELA

CENTRO DE TRANSFERENCIA DE TECNOLOGA MINERAL(CETTEM)

CIBA ESPECIALIDADES QUMICAS CONOSUR SA.

DELKOR

DORR OLIVER

LANZCO

LAROX CHILE LTDA.

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PREFACIO

Este libro pretende llenar un vaco existente en la bibliografa de los procesos extractivos de la industria minera. Temas como la conminucin y la flotacin han recibido gran cobertura, en tanto que los procesos de separacin slido-lquido, tales como el espesamiento y la filtracin, han pasado prcticamente inadvertidos.

Pareciera ser que la importancia econmica de la reduccin de tamao, obviamente la etapa ms costosa en el procesamiento de un mineral, y la importancia estratgica de la flotacin como proceso de concentracin, han relegado la ltima etapa del beneficio de un mineral, como es la separacin slido-lquido, a un sitial de menor relevancia. Es verdad que, cuando el tratamiento de un mineral se desarrolla normalmente, los ingenieros de proceso tienden a considerar al espesamiento y la filtracin como etapas auxiliares y no fundamentales en la planta. Sin embargo, la situacin cambia cuando surgen problemas en la sedimentacin o filtracin de concentrados o relaves, originados la mayor parte de las veces en un cambio en la composicin de la mena tratada, y no es posible recuperar toda el agua necesaria en la planta o no se logra las humedades especificadas del producto. En ese momento la separacin slido-lquido cobra una importancia fundamental.

Emergencias como la sealada encuentran al ingeniero dbilmente preparado para enfrentarlas. Puede que se pregunten por qu en la Universidad se dio tan poca importancia a estas etapas del procesamiento de un mineral; por qu no se les ense estas tcnicas en forma ms comprehensiva. La verdad es que este descuido acadmico tiene races ms profundas. La negligencia en esta rea tecnolgica de la enseanza relacionada al campo minero es generalizada e internacional y proviene de la poca intensidad y nivel con que se ensea la mecnica y la mecnica de fluidos en las carreras de ingeniera de minas y metalurgia. Esto ha trado como consecuencia que la separacin slido-lquido raramente haya sido campo de investigacin en estas disciplinas y que, por lo tanto, los acadmicos de estas unidades no puedan traspasar a sus alumnos estos conocimientos desde experiencias propias.

La Universidad de Concepcin ha dado un paso fundamental para cambiar esta situacin. Por ya ms de 25 aos, acadmicos y alumnos de esta Casa de Estudio, dirigidos por el autor de este libro, han realizado investigacin relevante en el campo de la separacin slido-lquido aplicado a la minera. Es as como a travs de memorias de ttulo, tesis de postgrado, investigaciones locales e investigaciones cooperativas con acadmicos de universidades de otros pases, se ha desarrollado una teora fenomenolgica de la sedimentacin que ha permitido poner al campo del

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espesamiento industrial en un marco cientfico y tecnolgico adecuado. Marco fundamental si es que se desea ensear esta disciplina a estudiantes o ingenieros de proceso. Tan exitosa ha sido esta labor, que la Sociedad de Ingenieros de Minas de los Estados Unidos de Norteamrica SME decidi otorgar el premio Antoine Gaudin-1998al autor del presente libro. Por otra parte, en los ltimos cuatro aos se ha dedicado enormes esfuerzos al estudio y experimentacin del campo de la filtracin con el objetivo de formular una teora unificada que englobe los diferentes procesos involucrados en la separacin slido-lquido. Creemos que se ha logrado.

En este libro, o Manual como lo ha llamado el autor, an cuando difiere fundamentalmente de los manuales existentes en el campo de la filtracin, se pretende traspasar el conocimiento acerca del campo de la sedimentacin, el espesamiento y la filtracin, logrado durante todos estos aos por el Grupo de Sistemas Particulados de la Universidad de Concepcin. Gran parte del material presentado: teora, formulacin de modelos y resultados, son originales. En el libro se enfatiza los fundamentos tericos y las aplicaciones por sobre el conocimiento enciclopdico de equipos y materiales. En forma consciente se ha mantenido un alto nivel cientfico, an cuando ello no es estrictamente necesario para comprender los procesos y sus aplicaciones. Estimamos que este enfoque satisfar las expectativas de los diversos grupos que pudieran tener inters en el libro: estudiantes de ingeniera, estudiantes de postgrado en ingeniera, ingenieros de procesos de la industria minera, ingenieros consultores y proveedores de equipos y materiales para la industria minera. Para aquellos interesados en la teora, se utiliza un riguroso enfoque fenomenolgico basado en la teora de mezclas de la mecnica del medio continuo, y, para aquellos interesados en las aplicaciones, se incluye problemas resueltos en la mayora de los captulos que ilustran el uso de la teora en el diseo, la operacin y la optimizacin de los procesos involucrados. Aquellos acadmicos interesados en la matemtica detrs del fenmeno, pueden satisfacer su inquietud en el reciente libro Sedimentation and Thickening: Phenomenological Foundation and Mathematical Theory, de los autores, M.C. Bustos, F. Concha, R. Brger y E. Tory, publicado en 1999 por Kluwer Academic Publishers, de Dodrecht, Holanda.

El Manual est dividido en tres partes. La primera, que incluye toda la teora y aquellas aplicaciones necesarias para entenderla y aplicarla, ha sido escrita enteramente por el autor. La segunda parte est formada por una serie de trabajos, solicitados a diversos especialistas de renombre, que ejemplifican las aplicaciones industriales. Finalmente la tercera parte entrega informacin sobre diversas empresas ligadas a la separacin slido-lquido en la minera chilena.

En el captulo 1 se entrega el marco conceptual bajo el cual se estudiar los procesos de separacin slido-lquido. Se menciona las diversas operaciones involucradas en estos procesos y los mecanismos en que se basan. Se discute brevemente la seleccin de tcnicas de separacin y los equipos utilizados.

El captulo 2 da una rigurosa, aunque limitada, presentacin de la Teora de Mezclas. Estimamos que, como los fundamentos de este libro pueden encontrarse en la mecnica de los sistemas particulados, no hay necesidad de desarrollar la termodinmica de las mezclas. El captulo da la estructura mecnica y matemtica

x Manual de Filtracin & Separacin

necesaria para entender los fundamentos y modelar los procesos de sedimentacin y filtracin. Una introduccin discute las condiciones que debe cumplir un sistema multifsico para ser considerado como continuo. Luego se plantea los conceptos de componente, mezcla y configuracin y se presenta las ideas de masa, deformacin, movimiento, cantidad de movimiento y fuerzas para cada uno de los componentes de la mezcla. Las medidas de deformacin, movimiento y velocidad de deformacin llevan a balances macroscpicos y locales de masa y cantidad de movimiento y a las condiciones de salto. Finalmente, se define un proceso dinmico y la necesidad de formular ecuaciones constitutivas para definirlo completamente.

En el captulo 3 se aplican los principios de la Teora de Mezcla a sistemas particulados constituidos por suspensiones de slido finamente dividido en un lquido. Se comienza definiendo un proceso dinmico para el sistema particulado y las ecuaciones que ste debe cumplir. Se define la presin de poros, el esfuerzo efectivo del slido, la concentracin crtica y la fuerza de interaccin slido-fluido y se completa la teora estableciendo ecuaciones constitutivas generales para el componente fluido y para el componente slido.

La sedimentacin de sistemas particulados se trata como un proceso discreto en el captulo 4. Se comienza estableciendo las ecuaciones que describen cuantitativamente la velocidad de sedimentacin de una esfera de cualquier tamao y naturaleza, para continuar con las suspensiones de esferas y terminar con suspensiones de partculas de forma arbitraria.

El captulo 5 describe la sedimentacin de sistemas particulados como un medio continuo. Se establece los conceptos de una suspensin ideal y de un espesador ideal. La aplicacin de la Teora de Mezclas a suspensiones ideales da como resultado el proceso de Kynch para la sedimentacin batch y continua. Se presenta la solucin por la teora de caractersticas y se define el concepto de Modos de Sedimentacin. Finalmente se establece la ecuacin que describe la capacidad de un espesador ideal.

Los sistemas particulados consolidados son tratados en el captulo 6. Se comienza estableciendo el proceso dinmico para un lecho poroso rgido. Se analiza las ecuaciones de Darcy y Forcheimer como ecuaciones constitutivas para la fuerza de interaccin slido-lquido en el escurrimiento de un fluido por el medio poroso. Se discute el concepto de permeabilidad y su modelo geomtrico. A continuacin se discute el flujo bifsico en un medio poroso rgido y se introduce los conceptos de capilaridad, saturacin y permeabilidades relativas.

Como opuesto al captulo anterior, en el captulo 7 se analiza los sistemas particulados compresibles. Se introduce la teora de Terzaghi para pequeas deformaciones y se establece las ecuaciones constitutivas para la fuerza hidrodinmica y el esfuerzo efectivo del slido. El proceso dinmico obtenido se resuelve en trminos de la presin de poros en exceso como funcin de la porosidad.

En el captulo 8 se analiza con profundidad el proceso dinmico de espesamiento. En una extensa introduccin se presenta la historia de la sedimentacin desde la Edad de la Piedra hasta hoy, enfatizando las personas e instituciones que han sido sus protagonistas. A continuacin, se muestra los equipos utilizados

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industrialmente para el espesamiento. Le sigue un riguroso anlisis de la teora de espesamiento, desarrollando las ecuaciones que describen el proceso, tanto para el caso batch como para el continuo. La siguiente seccin estudia en detalle los parmetros que aparecen en las ecuaciones de espesamiento y su determinacin experimental. El captulo contina con una descripcin cuantitativa de los mtodos de diseo de espesadores dentro del marco de la teora de espesamiento. Las diversas estrategias de operacin se analizan a continuacin y se muestra el efecto de las diversas variables en el comportamiento de un espesador industrial. Finalmente, se describe los temas de investigacin relevante en el presente.

La filtracin es el tema del captulo 9. Luego de una breve descripcin de los diversos tipos de equipos industriales y de las telas filtrantes, se presenta la teora de filtracin. Se describe las diversas etapas de un proceso de filtracin, analizando detalladamente cada una de ellas. Se estudia, a continuacin, los parmetros de filtracin y su determinacin experimental. Finalmente se analiza, por separado, la modelacin y simulacin de filtros rotatorios a vaco y filtros a presin.

Terminando la primera parte de este Manual, se presenta la floculacin en el captulo 10. En secciones sucesivas se introduce los conceptos de coagulacin y floculacin, se presenta los reactivos floculantes, se estudia la cintica e hidrodinmica de la floculacin y sus aplicaciones en la operacin de espesadores.

La parte II del Manual contiene 8 trabajos por diversos especialistas que pretende mostrar algunas aplicaciones del espesamiento y la filtracin en la industria minera. El primer trabajo lo presenta el profesor Janusz Laskowski, de la Universidad de British Columbia en Canad en el captulo 11 Agregacin de Partculas en Procesamiento de Minerales, en el que describe los mecanismos de agregacin mediante floculantes polimricos, ltex hidrfobos y aceites emulsificados.

El captulo 12 muestra un trabajo de los investigadores de CSIRO en Australia: J. Farrow, P Fawell, R. Johnston, Nguyen, M. Rudman, K. Simic, J. Swift y A. Parker, Tcnicas de Floculacin y metodologas para la Optimizacin de Espesadores. El trabajo muestra una serie de herramientas y tcnicas desarrolladas para abordar los fenmenos de floculacin en espesadores. Se presenta, tambin, el uso de CFD para predecir el comportamiento de espesadores bajo diferentes condiciones de operacin.

El captulo 13, escrito por el profesor S. Castro, trata el tema de los Polmeros Hidrfobos del tipo Ltex para la separacin slido-lquido de concentrados de flotacin. Mediante resultados experimentales en el laboratorio se muestra el efecto de floculantes y aglomerantes hidrfobos sobre la flotacin de molibdenita, floculacin de calcopirita y pirita y sobre la filtracin de otros materiales hidrfobos.

R. Kck y F. Concha demuestran en el captulo 14 CFD como Herramienta para el Diseo de Espesadores, como utilizar CFD para optimizar la adicin de floculantes en tuberas, toberas de inyeccin y feedwell. Adems, se muestra como utilizar esta herramienta en el diseo de rastras.

xii Manual de Filtracin & Separacin

La empresa alemana Bokela presenta en el captulo 15 Conceptos Modernos de Filtros Rotatorios, un filtro de discos de nueva tecnologa, denominado Boozer, que presenta grandes ventajas con respecto a los filtros de vaco rotatorios convencionales.

En el captulo 16 Lavado con Filtro de Banda Horizontal, la empresa Delkor muestra las aplicaciones de estos filtros en el lavado de queques de filtracin. Se describe equipos y se muestra aplicaciones en diversas empresas mineras chilenas.

En un segundo artculo, Delkor escribe en el captulo 17 Sistemas de Filtracin para la Depositacin de Relaves. Se plantea las consideraciones que se debe tener para la construccin de un depsito de relaves. Se compara costos de diversas alternativas y se muestra los equipos que se utiliza. Finalmente se muestra ejemplos en la industria minera chilena.

Como ltimo artculo invitado, Bokela presenta la Filtracin Hi-Bar con vapor a presin en el captulo 18. Se expone los fundamentos de la filtracin con vapor y las ventajas de la tecnologa hiperbrica con vapor. Se muestra resultados en el laboratorio y planta piloto y aplicaciones industriales para concentrados de carbn, minerales de hierro, productos de la precipitacin qumica y lavado y secado de yeso en una planta trmica.

En la Parte III de este Manual se presenta los perfiles de las siguientes empresas en forma alfabtica: Bokela; Centro de Tecnologa Mineral; Ciba Especialidades Qumicas Conosur, Delkor, Lanzco y Larox Chile.

Como ya se dijo en un comienzo, la mayora del material contenido en este Manual es original y fue desarrollado por el Grupo de Sistemas Particulados de la Universidad de Concepcin en colaboracin con investigadores del Departamento de Ingeniera Matemtica de la Universidad de Concepcin y el Instituto de Matemtica Aplicada de la Universidad de Stuttgart en Alemania. Agradecemos sinceramente a todos aquellos que colaboraron en el desarrollo de la teora y sus aplicaciones, sin el trabajo esforzado de los cuales no habra material que presentar.

Especialmente importante fue la participacin de los siguientes alumnos, la mayora de los cuales son hoy destacados profesionales: E. Almendra, A. Barrientos, O. Bascur, A. R. Becker, A. Christiansen, H. Droguett, P. Garrido, M. Kunik, F. Melo, A. Quiero, A. Rojas, V. Soto y R. Valenzuela. La participacin de los matemticos fue fundamental para avanzar en la solucin de los modelos. Se debe mencionar la colaboracin de Mara Cristina Bustos de la Universidad de Concepcin, Wolfgang Wendland y Raimund Brger de la Universidad de Stuttgart en Alemania, Kenneth Karlsen de la Universidad de Bergen en Noruega y Elmer Tory de la Universidad de Mount Allison en Canad. A todos ellos nuestros agradecimientos.

El EditorCentro de Imagen Corporativa

Fundacin ChileConcepcin, Febrero de 2001.

1CAPTULO 1

INTRODUCCIN

MARCO CONCEPTUAL PARA LOS SISTEMAS DE SEPARACIN SLIDO-LQUIDO

La separacin slido-lquido por mtodos mecnicos forma parte de una gran rea de tcnicas de separacin de fases slidas, lquidas y gaseosas. Este tipo de separacin aparece en un extenso nmero de procesos industriales en los diversos campos de la economa. A ella pertenece la eliminacin de agua desde suspensiones en la industria, la recuperacin de agua en procesos de la minera, la purificacin de aguas domiciliarias, la eliminacin de polvo, la desgasificacin de lquidos y la eliminacin de espumas, entre muchos otros procesos. Es, entonces, pertinente poner los procesos de separacin slido-lquido dentro del contexto de las operaciones de separacin de fases

Las tablas N1 y 2 muestran procesos de separacin de materiales slido, lquido y gaseoso en fase dispersa y continua. Las letras cursivas en negrita corresponden a la separacin slido-lquido que se analizar en este Manual.

En los procesos de separacin slido-lquido que nos interesan, el componente lquido siempre se encuentra en fase continua mientras que el componente slido puede estar en forma dispersa o continua. En una suspensin que se alimenta a un espesador, el slido esta en forma dispersa en la etapa de sedimentacin, pero se considera como fase continua en la etapa de consolidacin. En el caso de filtracin el slido se encuentra disperso en la alimentacin al filtro, pero en fase continua una vez que se form el queque.

Dentro del contexto de la separacin slido-lquido, denominaremos Sistema Particulado toda mezcla de materiales en que el slido est formado de partculas, estn stas en estado disperso o continuo. Cuando las partculas forman una fase discreta, lo llamamos suspensin o dispersin y cuando estn en forma continua, lo denominamos medio poroso. Asociado a sistemas dispersos estudiaremos la sedimentacin y asociado a medios porosos, la filtracin.

En realidad, la clasificacin de mezclas de materiales continuos o dispersos no tiene mayor importancia en la cuantificacin de la sedimentacin o filtracin ya que, como veremos ms adelante en este Manual, toda mezcla de slidos y fluidos puede ser considerada una mezcla de materiales continuos si la mezcla se produce a escala

2 Manual de Filtracin & Separacin

Tabla N1 Mezcla de fases continuas y dispersas y mtodos de separacin

Fase continua

Fase dispersa Slido Lquido Gas

Slido Sedimentacin

Clarificacin

Filtracin

Centrifugacin

Clasificacin

Molienda

Flotacin

Sedimentacin

Eliminacin de polvo

Filtracin

Molienda

Clasificacin

Lquido Cromatografa Sedimentacin

Centrifugacin

Sedimentacin

Gas Degasificacin Flotacin

Degasificacin

Cromatografa de gases

Tabla N2 Mezcla de dos fases continuas y su separacin

Fase continua

Fase continua

Slido Lquido Gas

Slido Consolidacin

Expresin

Humectacin de queques de filtracin

Degasificacin de queques de filtracin

Lquido Consolidacin

Expresin

Humectacin de queques de filtracin

Gas Degasificacin de queques de filtracin

Captulo 1. Desarrollo Histrico 3

microscpica, o si el volumen de trabajo es mucho mayor que el volumen en que se realiza la mezcla. Como ejemplo consideremos una mezcla de relaves de cobre en un espesador. Las partculas de relaves suelen tener tamaos menores a 10-4 m mientras que el espesador que los contiene posee alturas del orden de 1m y dimetros del orden de 10 a 102 m. En estos casos podemos suponer que la mezcla se compone de dos fases continuas, una slida y una lquida. La fase slida conserva las principales propiedades de las partculas slidas, como su densidad, velocidad de sedimentacin y compresibilidad, pero pierde el concepto de tamao de partcula.

La estructura microscpica (o de nivel de partcula) es importante al momento de cuantificar los efectos superficiales entre las fases. Se sabe, por ejemplo, que poros muy pequeos entre partculas originan fuerzas capilares cuando existen presentes las tres fases, slida, lquida y gaseosa.

OPERACIONES DE SEPARACIN SLIDO-LQUIDO EN MINERA

La separacin de mezclas de slido-lquido requiere, generalmente, una secuencia de operaciones como las indicadas en la figura 1.1.

Pretratamiento Concentracin Separacin Postratamiento

Fig. 1.1 Secuencia de operaciones de separacin slido-lquido.

Cada una de estas etapas puede ser realizada de diversas maneras. El esquema que sigue muestra algunas formas de llevarlas a cabo:

FloculacionQuimico

Coagulacion

I. Pretratamiento Crecimiento de cristales

Fisico Congelacion

Adicion de ayuda de filtrante

EspesamientoII. Concentracion

Clarificacion

III. Separacion Sol

Tamizajeido-liquido

Filtracion

SecadoIV. Postratamiento

Almacenamiento

Fig. 1.2 Esquema de los procesos de separacin slido-lquido


Mantener un proceso de separacin slido-lquido eficiente requiere considerar el conjunto de estas operaciones. La economa de la separacin slido-lquido en una secuencia de etapas con diferentes procesos, como se indica en la figura 1.1, depende, adems de los aspectos individuales de cada etapa, en encontrar los puntos ptimos de transicin entre una etapa y la otra.

MECANISMOS DE LA SEPARACIN SLIDO-LIQUIDO

La separacin de slido y lquidos de una mezcla se puede realizar mediante mtodos puramente mecnicos y trmicos. La figura 1.3 muestra estos mtodos y las operaciones o procesos a los que da origen.

Las operaciones trmicas de secado y vaporizacin pueden separar totalmente la mezcla de slidos y lquidos, cosa que no logra ninguna de las operaciones mecnicas. Sin embargo, las operaciones trmicas raramente se utilizan por s solas en empresas mineras debido a su alto consumo de energa. Cuando se las utiliza, ellas van precedidas de las operaciones mecnicas mencionadas y las complementan para disminuir la humedad residual de la fase slida. Donde s se utiliza el secado y la vaporizacin es en el laboratorio para la determinacin de la concentracin de una suspensin o la humedad de un queque de filtracin.

SEPARACIN SLIDO-LQUIDO

OPERACIONES TRMICAS

SECADO

VAPORIZACIN

OPERACIONES MECNICAS

TAMIZAJE

SEDIMENTACIN

FILTRACIN

Fig. 1.3 Mecanismos de Separacin slido-lquido

Las operaciones mecnicas de separacin slido-lquido se basan en tres mecanismos, la sedimentacin, la consolidacin y el flujo en medios porosos.

Se denomina sedimentacin al proceso de asentamiento de un material slido o lquido desde un fluido, generalmente agua o aire, desde un estado de suspensin. El proceso se observa en la naturaleza en los procesos geolgicos de formacin de los depsitos de rocas y minerales y, mucho ms visiblemente, en la sedimentacin de gotas de agua o hielo, denominada lluvia o granizo respectivamente, o en la deposicin de polvo. La figura 1.2 muestra en forma esquemtica la sedimentacin de esferas


slidas en un lquido. La eficiencia de la separacin depende principalmente de la magnitud del campo de fuerza de cuerpo aplicada, gravitacional o centrfuga, de la diferencia de densidades entre las partculas slida y lquida, del tamao de las partculas y de la viscosidad del lquido. La cantidad de lquido de una suspensin que es capaz de separar la sedimentacin es toda aquella que no llena los poros del sedimento formado. La figura 1.4 muestra un esquema de partculas en sedimentacin gravitatoria. Las formas de aplicar fuerzas de cuerpo, o fuerzas externas, a una suspensin se muestran en la figura 1.5.

Fig.1.4 Sedimentacin de esferas en un lquido

SEDIMENTACIN

GRAVITACIONAL

CENTRFUGA

ESPESADOR

CLARIFICADOR

CENTRFUGA

HIDROCICLN

Fig. 1.5 Fuerzas que originan la sedimentacin y los equipos asociados.

Cuando el agua retenida en el sedimento es ms que la deseada, se debe recurrir a la filtracin. Se denomina filtracin al proceso de formar un queque soportado por un medio filtrante, eliminando lquido denominado filtrado. Cuando todo el lquido de la suspensin ha pasado por el queque y los poros de ste estn llenos de lquido, esto es, el queque est saturado, la formacin de queque ha terminado. Para eliminar ms lquido, se sopla aire a travs del queque, l que desplaza al lquido disminuyendo su humedad. La fuerza impulsora de la filtracin es un gradiente de presin. Este gradiente puede ser la presin hidrosttica del lquido a filtrar o un gradiente de presin exterior impuesto por una bomba. Las variables ms importantes en la filtracin son la porosidad y la permeabilidad del queque, esto es la facilidad con que escurre el agua a travs de l. La filtracin puede ser ayudada o dificultada por la sedimentacin. En


general la suspensin a filtrar se impulsa hacia un recipiente y se hace pasar a travs de un medio poroso denominado medio filtrante. Si el filtro es horizontal, la sedimentacin de las partculas ayudaran a la filtracin, en cambio si el filtro es vertical, las partculas sedimentarn en la direccin perpendicular a la direccin de la filtracin. Las figuras 1.6a y 1.6b muestran estos dos casos.

lquidoslido

lquido

slido

Fig. 1.6a Sedimentacin y Filtracin en la misma direccin

Fig.1.6b Sedimentacin y Filtracin en direcciones perpendiculares.

1.4 SELECCIN DE TCNICAS DE SEPARACIN SLIDO-LQUIDO

La mayora de las suspensiones concentradas que resultan de la operacin de una planta de Procesamiento de Minerales, son materiales con comportamiento no-newtoniano, en muchas ocasiones de tipo visco-plsticos, que se caracterizan por tener memoria. Esto significa, que el comportamiento de una misma suspensin en la misma operacin puede ser diferente si la pulpa ha sido sometida previamente a un pre-tratamiento o a una operacin o proceso previo. En este sentido, por ejemplo, el espesamiento de una pulpa tiene gran influencia en la posterior filtracin. De aqu la recomendacin de optimizar los procesos de separacin slido-lquido en conjunto, en vez de tratarlos por separado o, en considerar algunos e ignorar otros.

Por otra parte, una misma tarea de separacin slido-lquido puede ser realizada con secuencias de diferentes combinaciones de equipos, por lo que cualquier estudio debe considerar estas operaciones en conjunto.

Operar un sistema de separacin slido-lquido requiere conocer los parmetros ms importantes en su comportamiento. Para ello es necesario determinar estos parmetros en el laboratorio y formular ecuaciones constitutivas del material. Al realizar estas pruebas, es necesario tener en cuenta las propiedades de memoria que tienen las pulpas. Las suspensiones sufren lo que se denomina envejecimiento, por lo


que es conveniente realizar los ensayos experimentales directamente en las plantas y, si se efectan en equipos continuos, evitar la recirculacin del material.

1.5 EQUIPOS UTILIZADOS EN LA SEPARACIN SLIDO-LQUIDO

Las figuras 1.7 y 1.8 muestran los nombres de los principales equipos utilizados para la separacin slido-lquido en la industria minera, tanto en sedimentacin como en filtracin.

SEDIMENTACIN

Espesador

Clarificador

Hidrocicln

Centrfuga

Fig. 1.7 Equipos que utilizan la sedimentacin como mecanismo

FILTRACIN

Gravitacional

Vaco

Presin

Presin y vaco

Filtro de arena

Filtro de tambor

Filtro de discos

Filtro de bandas

Filtro de bandeja

Filtro prensa vertical

Filtro prensa horizontal

Filtro de vela

Filtro hiperbrico

Fig. 1.8 Equipos utilizados en la separacin slido-lquido en minera


1.6 REFERENCIAS

Concha F., Marco conceptual de los Sistemas de Filtracin, I Coloquio Nacional de Avances en los Sistemas de Filtrado de Minerales, Santiago 1995.

Filters and Filtration Handbook, 4th Ed., Elsevier Science, Customer Support Dept., P.O.Box 291, 1000AE, Amsterdam, The Netherlands.

Stahl, W., Bott, R. and Anlauf, H., Position of thickening and filtration in the general scheme of solid liquid separation processes and selection criteria for suitable separation methods, Seminario Internacional: Tcnicas Modernas de Separacin Slido-Fluido en la Industria Minera, Universidad de Concepcin, 1991.

Wakeman, R.J. and Tarleton, E.S., Filtration Equipment Selection, Modelling and Process Simulation, Elsevier Science Inc., 665 Av. Of the Americas, New York, NY 10010, USA.

9CAPTULO 2

TEORA DE MEZCLAS

Para el estudio de flujo en medios porosos rgidos y deformables y para el estudio de sedimentacin o transporte de suspensiones es conveniente considerar un cuerpo como compuesto por diversos materiales. Para ello la herramienta ms poderosa es la denominada Teora de Mezclas. No existe una nica Teora de Mezclas, sino que varias de ellas, y aqu seguiremos el desarrollo iniciado por Truesdell (1965, 1960, 1984).

La Teora de Mezcla postula que cada punto del espacio puede ser ocupado simultneamente por un nmero finito de diferentes partculas, una por cada componente de la mezcla. Es as como la mezcla puede ser representada por la superposicin de n medios continuos, cada uno de los cuales sigue su propio movimiento con las restricciones impuestas por la interaccin entre componentes. Esto significa que cada componente debe seguir las leyes de conservacin de la masa ymomentum modificados para incorporar trminos que representen el intercambio de propiedades entre componentes. Los efectos micro estructurales deben ser incorporados a travs de ecuaciones adicionales denominadas ecuaciones constitutivas.

Para obtener un tratamiento racional se requiere que las propiedades de las mezclas resulten como consecuencia de las propiedades de los componentes y que las mezclas sigan las mismas leyes que son aplicables a los materiales simples.

Tratamientos semejantes o alternativos pueden ser encontrados en muchos artculos, destacndose las revisiones de Bowen 1976, Atkin and Crain 1976 y Bedford y Drumheller 1983.

2.1 CINEMTICA

2.1.1. Cuerpo, configuracin y tipos de mezcla

Denominaremos mezcla a un cuerpo B constituido por n componentes B B con n , , ,...,1 2 . Los elementos de B se denominan partculas y se denotan por p . Cada cuerpo B ocupa una cierta regin del espacio euclidiano tridimensional E, denominada configuracin del cuerpo. Los elementos de las


configuraciones son puntos del espacio euclidiano cuya posicin est dada por el vector posicin r.

La posicin de la partcula p B en el espacio se puede escribir en la forma:r ( ) , , , ,...,p con n1 2 3 (2.1)

Para conocer las propiedades matemticas de ver Bowen (1976). La configuracin de la mezcla, esto es, la regin del espacio ocupada por la mezcla en el tiempo t, es la unin de las configuraciones de los componentes:

B Btn

tb g b g

1

(2.2)

La configuracin ( )Bt tiene un volumen V tm ( ) denominado volumen material del cuerpo B en el tiempo t.

A cada cuerpo B , y a cada una de sus configuraciones, se le asigna una

propiedad continua y aditiva m 0 , denominada masa del componente , que cumple la relacin:

m B m Bt

n

( )

b g1

(2.3)

donde m Bb g es la masa de la mezcla. El concepto continuo de la masa permite definir la densidad de masa mediante el proceso de lmite:

r, lim( )

( ), , , , ...,t

m P

V Pcon n

k

k

m k

b g

1 2 3 (2.4)

donde P Pk k 1 son partes de la mezcla que tienen la posicin r en comn. Esta densidad de masa recibe el nombre de densidad aparente. La densidad de masa permite escribir la masa del componente en la forma:

m B ttV tm

( ) ( , )dV( )

z r (2.5)Si designamos por la densidad que tendra el componente si ste fuese el nico componente de la configuracin ( )Bt , podemos definir la funcin r, tb g en la forma:

, t

, t , con 1,2,3,...,n, t

rr

r(2.6)

Captulo 2 - Teora de Mezclas 11

Reemplazado esta expresin en la ecuacin (2.5) se obtiene:

m m

tV (t) V (t)

m B dV dV (2.7)Definamos el elemento de volumen material dV en la forma:

dV dV (2.8)tal que se cumpla:

m B dV dVtV t V tm

b g z z( ) ( ) (2.9)Al volumen V lo denominaremos volumen parcial del componente y la funcin , t r recibe el nombre de fraccin volumtrica del componente.

Segn la expresin (2.2) el volumen de la mezcla es la suma de los volmenes parciales de los componentes, por lo que:

n

1

, t 1

r (2.10)Se puede distinguir dos tipos de mezclas, homogneas y heterogneas. Mezclas homogneas cumplen estrictamente la condicin de continuidad del material, porque la mezcla de los componentes ocurre a escala microscpica. Estas mezclas reciben el nombre de soluciones. Para mezclas homogneas es la concentracin del componente B . En una mezcla heterognea, la mezcla de los componentes ocurre a escala macroscpica y, para que ellas puedan ser consideradas continuas, el tamao del volumen de integracin de las ecuaciones anteriores debe ser mucho mayor que el nivel de la mezcla. Estas mezclas se conocen con el nombre de multifsicas porque cada componente puede ser identificado como una fase distinta. En este tipo de mezclas r, tb g es una medida de la estructura local del material y recibe el nombre de densidad aparente o densidad a granel.

2.1.2 Deformacin y movimiento

Para cada cuerpo B podemos elegir una configuracin de referencia tal que en esa configuracin B sea el nico componente de la mezcla (estado puro). La

posicin de la partcula p en estas configuraciones se denotar por R :

R ( )p (2.11)Supondremos que la expresin (2.3) tiene inversa tal que:

p 1 ( )R (2.12)


Movimiento de la partcula p B es la secuencia de configuraciones en el tiempo y queda representada por la expresin:

r ( , ) , , , ,...,p t con n1 2 3Reemplazando (2.12) se obtiene:

r f R , tb g (2.13)donde la funcin f recibe el nombre de funcin deformacin del componente y queda expresada por:

f 1 (2.14)La funcin deformacin tiene una inversa tal que:

R f r 1 , tb g (2.15)Las componentes cartesianas xi de r y Xi

de R reciben el nombre de coordenadas

espaciales y coordenadas materiales de la partcula p B :

r e R e x y Xi i i i (2.16)La deformacin de cada componente se cuantifica a travs del tensor gradiente de la deformacin F definido por:

Ff

Rr F

R con, det 0

(2.17)

Asociados al tensor gradiente de la deformacin podemos definir todas las otras medidas de deformacin que hemos estudiado para materiales de un slo componente: Q U V C B G , , , , y .

La dilatacin de un cuerpo multicomponente, desde su configuracin de referencia a la configuracin presente, se puede expresar a travs del det F :

JdV

dV

det F (2.18)

donde dV y dV son elementos de volumen material en la configuracin actual y en la configuracin de referencia respectivamente.

La velocidad de deformacin se cuantifica a travs de la velocidad v y la

aceleracin a , definidos como la primera y segunda derivada material del movimiento:


v f Rr

t tD

Dtn, , , , ,...,b g 1 2 3 (2.19)

a f Rr

2

2

2

2 1 2 3tt

D

Dtn, , , , ,...,b g (2.20)

donde la derivada material D Dt / se calcula siguiendo el movimiento del

componente . Los tensores asociados a las medidas de velocidad de deformacin L D W , y se definen en la forma habitual:

L D I D D I W FHG

IKJ

FHG

IKJ

1

3

1

3tr trb g b g b g (2.21)

velocidad de velocidad de velocidad de

expansin cizalle rotacin

donde:

L v (2.22)

D v v 1

2( )Tc h (2.23)

W v v 1

2( )Tc h (2.24)

La velocidad de dilatacin queda expresada por:

detJ F vb g (2.25)

2.1.3 Balance de masa

Admitamos que los componentes de B intercambian masa entre s y designemos por g t r,b g la velocidad de transferencia de masa, por unidad de volumen, al componente por todos los otros componentes. Otro nombre para g t r,b g es velocidad de crecimiento de la masa del componente . Entonces, se debe cumplir el siguiente balance:

m m

Velocidad de variacin de la masa Velocidad neta de generacin de

del componente en V (t) del componente en V (t)

m mV (t ) V (t)

ddV g dV

dt (2.26)

Llevemos ambas integrales a la configuracin de referencia para obtener:


d

dtJ dV g J dV

V V

z zIntroduzcamos la derivada dentro de la primera integral y juntemos los trminos dentro de una sola integral:

D

DtJ g J dV

V

b g FHGIKJ z 0 (2.27)

J J g J dVV

z d ie j 0

z vd ie jg J dVV 0

( )

z vd ie jg dVVm t 0 (2.28)Cuando todos los campos dentro de la integral son continuos podemos hacer uso

del teorema de localizacin (Gurtin 1981) para obtener:

v g (2.29)Desarrollando la derivada material y combinando el trmino convectivo con el segundo trmino de (2.29) obtenemos:

t

g v (2.30)

Las expresiones (2.29) y (2.30) corresponden al balance local de masa y se las conoce como ecuaciones de continuidad del componente .

El balance de masa de la mezcla se obtiene sumando las ecuaciones de continuidad de todos los componentes:

t

gn n n

1 1 1

v

tg

n n n

FHG

IKJ

1 1 1

v (2.31)

Segn los postulados iniciales, la mezcla debe seguir las leyes de los materiales puros, por lo que la expresin (2.31) debe ser equivalente a:


t v 0

de donde se deduce:

1

n

(2.32)

v vb g

1

n

(2.33)

01

g

n

(2.34)

Las propiedades as definidas tienen el nombre de densidad de la mezcla y velocidad msica de la mezcla v. La ecuacin (2.34) muestra que no hay produccin neta de masa en el cuerpo B

Otra forma interesante del balance de masa se obtiene utilizando el teorema de localizacin en la ecuacin (2.27):

D

DtJ g J b g 0

Dividiendo ambos trminos por J y designando la velocidad de crecimiento de la masa del componente por unidad de masa de ese mismo componente por g g , podemos escribir:

1

D

DtJ gb g (2.35)

Integrando en el tiempo se obtiene:

det exp ( )dF FHG

IKJz gt0 (2.36)

donde es la densidad del componente en la configuracin de referencia. Como hemos supuesto que all el componente est puro, denominaremos a esta densidad la densidad material del componente.

En aquellos casos particulares en que no hay intercambio de masa entre componentes, la ecuacin (2.36) se reduce a:

det F (2.37)


7.1.4 Balance de masa en una discontinuidad

Para cuerpos que presentan discontinuidades, las ecuaciones (2.29) y (2.37) no son vlidas. En estos casos es necesario utilizar la versin especial del Teorema de Transporte para cuerpos con discontinuidad:

d

dtdV

tdV dS dS

V t V t S t S tm m m I

( ) ( ) ( ) ( )z z z z b g v n (2.38)donde es una propiedad extensiva cualquiera, [.] indica el salto de una propiedad en la interface, v eI I es la velocidad de desplazamiento de la discontinuidad y eI es el vector unitario en la direccin del movimiento de la superficie singular. Reemplazando la expresin (2.38) en el balance macroscpico de masa (2.26) se obtiene:

t

dV dS dS g dVV t S t S t V tm m I m( ) ( ) ( ) ( )z z z z v n

Tomando el lmite de esta expresin cuando los volmenes en torno a la discontinuidad tienden a cero resulta:

v e Ib g (2.39)Esta ecuacin recibe el nombre de condicin de salto para la masas del componente o ecuacin de Rankin-Hugoniot (Bustos et al 1999).

Las condiciones de salto de la mezcla se obtienen sumando la expresin (2.39)para todos los componentes:

v e LNMM

OQPP

LNMM

OQPPI

n n

b g1 1

y usando los resultados de (2.32) y (2.33) se tiene:

v e I

2.1.5 Ecuacin de difusin convectiva

En ocasiones es conveniente escribir las ecuaciones de continuidad de cada uno de los componentes en trminos del flujo convectivo de masa. Este es el flujo asociado al movimiento de la mezcla. Como este movimiento queda descrito por la velocidad promedio v, el flujo convectivo de masa del componente , en la posicin r y el tiempo t, se define por:

j v c (2.40)Si se suma y resta el flujo convectivo a la ecuacin (2.30) resulta:


t

g v v v( ) (2.41)

El primer trmino del miembro derecho representa la diferencia entre la densidad de flujo real del componente y la densidad de flujo convectivo. Esta diferencia recibe el nombre de flujo difusivo de masa jD y la diferencia de velocidades se denomina velocidad de difusin:

j D u (2.42)u v v (2.43)

En trminos de los flujos convectivo jc y difusivo jD , la ecuacin (2.41) puede ser escrita en la forma:

t

gc D j j (2.44)

Esta expresin recibe el nombre de ecuacin de difusin convectiva. Sumando (2.41)para todos los valores de resulta:

t

gn n n n

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

1 1 1 1

v u

Usando resultados previos podemos concluir que:

j u 0

Dn n

1 1

(2.45)

2.1.6 Ecuacin de continuidad y condicin de salto de masa para mezclas de componentes incompresibles

Algunas mezclas tienen componentes cuyas densidades materiales son constantes, como por ejemplo una suspensin de partculas slidas en un lquido. En estos casos hablamos de mezclas con componentes incompresibles. Debemos estar conscientes que la mezcla misma puede ser compresible. Usando la definicin de fraccin volumtrica, segn la ecuacin (2.6), la ecuacin de continuidad de cada componente y la condicin de salto podemos escribirla en la forma:

gt

v (2.46)

I v e (2.47)


Como es constante, podemos dividir estas dos expresiones por su valor y obtener la ecuacin de continuidad y condicin de salto para mezclas con componentes incompresibles:

gt

v (2.48)

I v e (2.49)Sumando para todos los componentes obtenemos:

n n n

1 1 1

gt

v

n n

I1 1

v e

Definiendo la velocidad promedio volumtrica q en el forma:

n

1

q v (2.50)

y usando resultados anteriores podemos concluir que:

n

1

g

q (2.51)

q 0 (2.52)

2.2 DINMICA

2.2.1 Balance de momentum lineal

Cuando se analizan las fuerzas que actan en cuerpos multicomponentes debemos agregar a las fuerzas de cuerpo y fuerzas de contacto, presentes en cuerpos de un solo componente, las fuerzas de interaccin entre componentes y las fuerzas que surgen por el efecto del intercambio de masa entre componentes. Un ejemplo puede clarificar el sentido de este ltimo tipo de fuerza. Supongamos un cuerpo multicomponente en movimiento. Si un componente entrega masa a otro componente lo har como un flujo asociado a la velocidad de transferencia de masa y a la velocidad que lleva el componente que entrega la masa.

Aplicando la primera ley de Euler y el principio del esfuerzo de Cauchy a cada cuerpo B , se obtiene el balance macroscpico de momentum lineal (Concha y Barrientos 1993a):


d

dtdV dS g dV

V t S t V tm m m( ) ( ) ( )z z z v T n b m vb g (2.53)

donde T es el tenso esfuerzo en B y se le conoce como el esfuerzo parcial, b es

la fuerza de cuerpo sobre B , m es la fuerza de interaccin entre los componentes,

esto es, la fuerza que todos los otros componentes ejercen sobre B y g es la

velocidad de crecimiento de la masa del componente B por unidad de volumen. El primer trmino representa la velocidad de variacin del momentum lineal del cuerpo B , el segundo trmino es el flujo difusivo de momentum lineal debido a las fuerzas de contacto y el tercero es la velocidad de crecimiento de momentum lineal debido a las fuerzas de cuerpo, las fuerzas de interaccin y el crecimiento de la masa del componente B .

El uso de los teoremas de transporte de Reynolds, de GGO (Concha y Barrientos 1993b) y de localizacin permiten escribir la forma local del balance de momentum lineal en las siguientes dos formas equivalentes para regiones del espacio en que las variables son continuas:

t gv v v T b m vb g b g (2.54)

v T b m (2.55)La primera de estas ecuaciones recibe el nombre de forma de conservacin del balance de momentum lineal.

En discontinuidades, la aplicacin del teorema de transporte adecuado da como resultado la siguiente condicin de salto:

v v e v e T e I I Ib g b g b g (2.56)donde vI Ie es la velocidad de desplazamiento de la discontinuidad y eI es el vector unitario normal a la superficie singular apuntando hacia la direccin del movimiento.

Sumando la ecuacin (2.54) para todos los componentes obtenemos:

t

gn n n n

v v v T b m v

FHG

IKJ

FHG

IKJ

1 1 1 1

b g

Introduciendo resultados anteriores y comparando con la ecuacin de movimiento de un material de un solo componente:

t vv T b


se puede concluir que:

T T u u I

n

1

(2.57)

T TI

n

1

(2.58)

b b 1

n

(2.59)

0 m v

gn

b g1

(2.60)

El trmino TI recibe el nombre de parte interior del tensor esfuerzo de la mezcla. La restriccin representada por la ecuacin (2.60) indica que no se produce crecimiento neto de momentum lineal y que, por lo tanto, el aumento del momentum lineal de un componente se hace a expensas de la prdida de esta propiedad de otro u otros componentes.

2.2.2 Balance de momentum angular

La aplicacin del axioma de momentum angular, tambin conocido como segunda ecuacin de Euler (Concha y Barrientos 1993c) , y el principio del esfuerzo de Cauchy a cada uno de los componentes de un mezcla, da como resultado el balance macroscpico de momentum angular:

d

dtdV dS

g dV dV

qV t

qS t

qV t V t

x x

x

m m

m m

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

r r v r r T n

r r b m v p

z zz z

d i d i

b gd i(2.61)

El primer trmino es la velocidad de variacin de momentum angular del componente B ; el segundo trmino es el torques debido a las fuerzas de contacto; el tercer trmino corresponde al torque debido a las fuerzas de cuerpo, fuerzas de interaccin entre componentes y fuerzas asociadas al crecimiento de masa y el ltimo trmino representa el intercambio de momentum angular entre componentes. El trmino rq se

refiere a la posicin del punto Q con respecto al cual se calcula el torque de las fuerzas.

Cuando las variables son continuas, el balance macroscpico de momentum angular da origen a la forma local:


T T P T (2.62)donde el tensor antisimtrico P tiene como vector axial a p.

Sumando la expresin (2.62) para cada componente resulta:

T T P

T

Usando la ecuacin (2.58) podemos escribir:

T T PI IT (2.63)

La expresin (2.63) representa el balance de momentum angular local para la mezcla. De acuerdo a los postulados iniciales, para que esta relacin corresponda a la segunda ley de Cauchy se debe cumplir:

P 0 (2.64)Se puede concluir, entonces, que la parte interna del tensor esfuerzo parcial es simtrica:

T TI IT (2.65)

En aquellos casos en que no hay intercambio de momentum angular entre componentes, P 0 , y el esfuerzo parcial es simtrico.

T T T (2.66)El balance de momentum angular en una discontinuidad no da informacin adicional a la obtenida del balance de momentum lineal.

7.2.3 Proceso dinmico

Consideremos una mezcla B formada por componentes B B con ,2,3, ..., n 1 . Sobre B tenemos definidas las siguientes variables de campo:

r f R ( , )t (2.67) ( , )r t (2.68)T T r ( , )t (2.69)b b r ( , )t (2.70)g g t ( , )r (2.71)m m r ( , )t (2.72)


P P r ( , )t (2.73)Diremos que estas siete variables constituyen un proceso dinmico si, en las

regiones donde las variables son continuas, cumplen las dos ecuaciones de campo:

t

g v o t0

det exp g ( )d F (2.74)

v T b m con T T PI IT (2.75)y en las discontinuidades cumplen:

v e Ib g (2.76) v v e v e T e I I Ib g b g b g (2.77)

Se denomina proceso dinmico al conjunto de ecuaciones (2.67) a (2.77),que cuantifican un modelo fenomenolgico. Tenemos siete variables expresadas en funcin de la posicin r y el tiempo t, y solamente dos ecuaciones de campo. Esto significa que, para completar la descripcin del fenmeno necesitamos cinco ecuaciones constitutivas que relacionen las variables dinmicas (fuerzas) con las cinemticas (movimiento). Estas ecuaciones constitutivas relacionan las siguientes

variables T f ,b g , b f ,b g , g , fb g , m f ,b g y P f ,b g .

2.3 REFERENCIAS

Atkin, R.J. and Crain, R.E., Continuum theories of mixtures: Basic theory and historical development, Q. J. Appl. Math., 29, 209-244, 1976.

Bedford, A. and Drumheller, D.S., Theories of inmiscible and structured mixtures, Int. J. Eng. Sci. 21,(8), 863-960, 1983.

Bowen, R.M., Theory of Mixtures. In Continuum Physics, ed. A.C. Eringen, Vol III, Academic Press 1976.

Bustos, M.C. and Concha, F., On the construction of Global Weak Solutions in the Theory of Sedimentation, Mat. Meth. In Appl. Sci., 10, 1988, 248.

Bustos, M.C., Concha, F., Brger, R. and Tory, E.M., Sedimentation and Thickening, Phenomenological Foundation and Mathematical Theory, Kluwer Academic Publ., Dodrecht, The Netherland, 1999, p. 20.

Concha, F. y Barrientos, A., Mecnica Racional Moderna, Vol. 2, Termomecnica del Medio Continuo, Direccin de Docencia, Universidad de Concepcin, 1993a, 103-114.

Concha, F. y Barrientos, A., op cit., 1999b, 66-72.

Concha, F. y Barrientos, A., op cit., 1999c, 105.


Drew, D.A., Mathematical modeling of two-phase flow, Ann. Review of Fluid Mechanics 15, 261-91, 1983.

Truesdell, C., Sulle basi de la termomecanica, Rend. Acad. Lincei, 22, 33-88, 1957. Traduccin al ingls en: Rational Mechanics of Materials, Int. Sci. Rev. Ser. 292-305, Gordon & Breach, New York, 1965.

Truesdell, C. and Toupin, R.A., The classical field theories of mechanics. Handbook of Physics, Ed. Flgge, Vol III-1, Springer Verlag, New York, 1960.

Truesdell, C., Rational Thermodynamics, Springer Verlag, 2nd. Ed., New York, 1984.

24

CAPTULO 3

SISTEMAS PARTICULADOS

3.1 PROCESO DINMICO EN UN SISTEMA PARTICULADO

Consideremos un conjunto de partculas slidas ntimamente mezcladas con un fluido bajo las siguientes suposiciones:

(i) Las partculas slidas son todas pequeas, con respecto a la vasija que las contiene, y de la misma densidad, tamao y forma.

(ii) Las partculas individuales y el fluido son incompresibles.

(iii) No hay transferencia de masa entre el slido y el fluido.

(iv) La nica fuerza de cuerpo es la gravedad.

(v) Las partculas estn contenidas en una vasija impermeable y con paredes sin friccin ante lquidos y slidos

El movimiento de cada uno de los componentes de la mezcla puede ser descrito mediante los balances de masa y momentum lineal:

Balance de masa del componente: gt

v (3.1)

Balance de masa de la mezcla q g

1

2

(3.2)

Balance de momentum lineal: v T b m (3.3)

Restriccin: m v 0

gb g

1

2

(3.4)

En estas expresiones las variables de campo (r, t), v(r, t) y T(r, t) representan la fraccin volumtrica, la velocidad y los esfuerzos del componente , b(r, t) es la fuerza ejercida por el medio ambiente sobre el componente , m(r, t) es la fuerza de interaccin entre componentes y g t ( , )r mide la velocidad con que los

otros componentes entregan masa al componente por unidad de volumen. El operador ( ) representa la divergencia.

Captulo 3. Sistemas Particulados 25

El primer trmino de la ecuacin (3.1) la velocidad de variacin de la masa del componente , el segundo es el flujo de masa del componente y el tercero corresponde a la velocidad con que los otros componentes entregan masa al componente . En la ecuacin (3.2) el trmino de la izquierda representa la variacin espacial de la velocidad volumtrica de la mezcla y el trmino de la derecha, la velocidad neta de produccin de masa de mezcla por unidad de masa. El primer trmino de la ecuacin (3.2) es la aceleracin del componente , mientras que los trminos de la derecha representan la fuerza total ejercida sobre el componente (de contacto, exterior y de interaccin). La restriccin representada por (3.4) indica que el intercambio de masa y de fuerzas entre componentes no debe crear una fuerza neta en la mezcla y que el aumento de momentum de algn componente se compensa con la prdida de otros.

En discontinuidades las expresiones (3.1) a (3.3) deben ser reemplazadas por las condiciones de salto:

v eI (3.5)

v v v e T e ( )I I (3.6)

en que v es I es la velocidad de desplazamiento de la discontinuidad.Denominemos 1 s al componente slido y 2 f al componente fluido.

Como, en virtud de las suposiciones (i) y (ii) la densidad de cada componente es constante, se puede dividir las tres ecuaciones por este trmino. Por otra parte, segn (iii) no hay intercambio de masa entre componentes y por (iv) la fuerza de cuerpo es la gravedad. Finalmente, segn (v) el movimiento es uni-dimensional. Entonces, las ecuaciones (3.1) a (3.3) se reducen a los balances de:

masa del componente slido sv 0t

(3.7)

masa de la mezcla: s f0 , con (1 ) q q v v (3.8)

momentum lineal del fluido: s s s sv T g m (3.9)

momentum lineal slido: f f f f(1 ) (1 ) v T g m (3.10)

donde r es el vector posicin, (r,t) es la fraccin volumtrica de slidos y vs(r,t), vf(r,t), Ts(r,t), Tf(r,t), m, y g son las velocidades, las fuerzas de contacto y de interaccin entre componentes y el vector constante gravitacional g.

En la mayora de los casos de inters prctico, no hay aceleracin en el flujo, o sta es muy pequea comparada con los otros trminos de las ecuaciones(3.9) y (3.10). Adems, la fuerza de interaccin entre componentes m se puede descomponer en una fuerza esttica, o de equilibrio, me y en una fuerza dinmica md , dependiente del movimiento. Con esta restriccin y definiciones, las ecuaciones (3.9) y (3.10) pueden ser escritas en la forma:


Balance de momentum lineal del slido: s s0 T g m (3.11)

Balance de momentum lineal del fluido: f f (1 ) 0 T g m (3.12)

3.1.1 Componente Fluido

Para todo tipo de fluido, los esfuerzos pueden ser separados en una parte de equilibrio y una parte dependiente del movimiento:

Ef f fp (1 ) T I T (3.13)

donde pf es la presin parcial, o simplemente la presin, del componente fluido y EfTes el esfuerzo viscoso del fluido. Reemplazando en la ecuacin (3.13) el balance de momentum lineal del fluido resulta:

Ef f f e dp 1 T g m m (3.14)En flujos en sistemas particulados hay dos variables relacionadas con friccin.

Una de ellas es el esfuerzo viscoso EfT que representa la friccin interna dentro del fluido y la otra la fuerza de interaccin m, que corresponde a la friccin entre el fluido y el slido. La experiencia demuestra (Marle, 1967; Whitaker, 1967, 1986) que la friccin fluido-fluido es mucho ms pequea que la friccin slido-fluido y, por lo tanto puede ser despreciada en la ecuacin (3.14) la que se reduce a:

f f e dp (1 ) g m m (3.15)Despreciar el trmino viscoso en la ecuacin constitutiva de los esfuerzos representados por la ecuacin (3.13) equivale a considerar el fluido como un fluido elstico.

3.1.2 Presin de Poros

La presin pf del fluido es una variables definida en superficies que abarca el componente fluido en su totalidad. Recordar que el componente slido y el fluido son medios continuos superpuestos. Por esta razn, la presin del fluido no es mensurable experimentalmente, ya que solamente parte de la superficie y volumen del lecho poroso est ocupada por cada componente. La variable experimental asociada al flujo en lecho poroso es la presin de poros.

En mecnica de fluidos se ha demostrado que, para una mezcla slido-fluido, la presin del fluido es continua en superficies permeables, esto es, en superficies que dejan pasar el fluido pero retienen el slido. Por esta razn la presin en los poros de un lecho poroso, que recibe el nombre de presin de poros "p", se puede medir mediante un manmetro. La figura 3.1 muestra la forma de medir la presin de poros:


fp z g h z

z

h

h-L

L-z h-z

k

L

Manmetro

q

q

Fig. 3.1 Medicin de la presin de poros.

Procesos que se desarrollan en sistemas particulados generalmente dependen de la presin en exceso sobre la presin hidrosttica, ya que a esta presin de equilibrio el proceso llega a su fin. Es por ello que se introduce el concepto de presin de poros en exceso (sobre la hidrosttica), o simplemente presin en exceso, "pe", definida por:

e f zp z p z g (L z) (3.16)

3.1.3 Componente Slido

En general, las propiedades del componente slido de un medio particulado dependen fuertemente de la concentracin de este componente. Es as como en sistemas diluidos las partculas tienen mayor libertad de movimiento, mientras que en medios concentrados, stas son obstaculizadas en su movimiento por la presencia de otras partculas. La variable caracterstica que separa estas dos formas de comportamiento es la concentracin crtica c, que se define como aquella concentracin en que las partculas entran en contacto directo unas con otras. A concentraciones menores de la crtica el medio se denomina suspensin y toda fuerza de contacto entre partculas se efecta por intermedio del fluido. A concentraciones mayores de la crtica el medio recibe el nombre de medio poroso, lecho poroso o sedimento y los esfuerzos en el slido puede ser transmitidos de partcula a partcula directamente. En estos casos se forma una especia de esqueleto que transmite el esfuerzo en el slido.

Tomando en consideracin estas caractersticas, supondremos que el esfuerzo en el slido es constante para concentraciones menores que la crtica y se comporta como un slido elstico e isotrpico para valores mayores. Por lo tanto, la componente del esfuerzo sT puede ser descrito en trminos de la presin del slido ps en la forma (Bustos et al 1999):


s sp T I con c

ss c

parap

p ( ) para

(3.17)

donde c se denomina concentracin crtica. As, el balance de momentum lineal del componente slido se transforma en:

s f e dp g m m (3.18)

3.1.4 Esfuerzo efectivo del slido

Al igual que en el caso del fluido, la presin en el componente slido no es una variable mensurable experimentalmente. Cuando una fuerza compresiva se aplica a un medio poroso a concentraciones mayores a la crtica, el esfuerzo total es soportado inmediatamente por el fluido que llena los intersticios entre las partculas aumentando la presin de los poros. El gradiente de presin establecido en el agua que llena los poros y el exterior del sedimento, esto es la presin de poros en exceso, inicia el flujo de agua desde el sedimento hacia fuera de l. Este flujo es acompaado por una disminucin de la presin de poros y un traspaso progresivo del esfuerzo al esqueleto slido. Esto, a su vez, produce una deformacin del medio poroso, la magnitud de la cual, depende de la relacin constitutiva entre esfuerzo y deformacin del material slido y cuya velocidad est gobernada por su permeabilidad.

Se denomina consolidacin del medio poroso al proceso transiente de traspaso del esfuerzo aplicado desde el agua que llena los poros lecho poroso al esqueleto slido produciendo su asentamiento. La figura mostrada a continuacin es un anlogo mecnico de la consolidacin.

La figura 3.1 muestra las diversas longitudes que asume un resorte sometido a determinadas cargas. En la figura inferior cada resorte es sumergido en agua contenida en un cilindro con un pistn, sin friccin, y una llave.

Figura 1: Inicialmente el sistema est en equilibrio, con la llave abierta y sin peso.

Figura 2: La llave se cierra y se coloca un peso de 20 kg. Como el agua es incompresible, la presin en el agua (presin de poros), soporta el peso total sin producir deformacin en el resorte (esqueleto slido).

Figura 3: La llave se abre y el agua sometida a presin sale como un chorro con una velocidad controlada por el exceso de presin entre el interior y el exterior (presin de poros en exceso a la hidrosttica) y por la friccin entre el agua y el tubo de salida.


Peso total

Presin poros

Presin slido

Figura 1 2 3 4 5 6 7

0 kg 0 kg 0 kg

5 kg 10 kg 15 kg 20 kg

20

20

0

0

0

0

20

20

0

20

15

5

20

10

10

20

5

15

20

0

20

Fig. 3.1 Representacin mecnica de la consolidacin.

Figura 4: A medida que el agua sale, el pistn baja en forma paulatina comprimiendo al resorte, el que comienza a asumir parte de la presin externa. Aqu asume 5 kg. y su largo es el correspondiente a la figura superior sometido a 5 kg. Entretanto el agua tiene una presin de 15 kg.

Figura 5: Sale ms agua, el pistn sigue bajando, el resorte asume 10 kg. y el agua 10 kg.

Figura 6: Sigue saliendo agua, el pistn baja, el resorte asume 15 kg. y el agua solamente 5 kg.

Figura 7: El agua deja de salir del pistn. ste ha llegado a la longitud correspondiente al peso de 20 kg., mientras que el agua no soporta ningn peso y tiene la presin esttica.

El proceso completo, esquematizado por las figuras 1 a 7, ha transferido los 20 kg. de carga del pistn desde el agua al resorte, esto es, desde la presin de poros al esfuerzo efectivo del slido.

3.1.5 Presin total

La presin total pt en un sistema particulado, al igual que en el esquema mecnico anterior, es la suma de la presin soportada por el fluido mas la presin soportada por el slido:

p p p pt f s e (3.19)


donde ps y pf son las presiones de los componentes slido y fluido de la mezcla, considerados como medios continuos superpuestos ocupando el mismo volumen, y p y e son la presin de poros y el esfuerzo efectivo del slido definidos, el primero, slo en el fluido contenido en los poros y el segundo slo en el esqueleto slido. La relacin entre las variables tericas y las experimentales se puede obtener al calcular la fuerza ejercida por el fluido en una superficie de rea S:

p dS pdS p dSf fSS sSf zz z b g (3.20)

donde Sf es el rea de una seccin del lecho poroso conteniendo solamente fluido, S es el rea total del lecho poroso que incluye el slido y el fluido y s es la porosidad superficial. Si se supone que la porosidad superficial s (fraccin de la superficie de la seccin del lecho poroso formada por fluido) es igual a la porosidad volumtrica (fraccin de volumen del lecho poroso formado por fluido) f 1 , la ecuacin (3.20) se puede escribir en la forma:

p dS pfS Sz z ( )dS1 (3.21)de donde resulta:

p pf ( )1 (3.22)y, usando la ecuacin (3.19) se obtiene:

p ps e (3.23)Substituyendo las presiones de slido y fluido por sus equivalentes experimentales

desde las ecuaciones (3.22) y (3.22), los balances locales de momentum lineal (3.18) y (3.15) se obtiene:

e f e dp g m m (3.24) f e d(1 )p (1 ) g m m (3.25)

3.2 FUERZA DE INTERACCIN EN EL EQUILIBRIO

Consideremos el balance de fuerzas del componente fluido (3.25) en el equilibrio. En este caso sabemos que la fuerza de interaccin dinmica d m 0 y que la presin de poros es la presin hidrosttica p z g L zf( ) ) b g , donde L es la altura de la columna de agua. Reemplazando en (3.25) resulta:

f f eequilibrio(1 ) p (1 ) g g m

e equilibriop m (3.26)


Suponiendo que la forma funcional de esta ecuacin es siempre vlida, podemos escribir:

e , t p m r (3.27)Reemplazando (3.27) en los balances de fuerza (3.25) y (3.24) se obtiene:

dfp 1

mg (3.28)

de 1

mg (3.29)

En trminos de la presin de poros en exceso pe, la expresin para el fluido se reduce a:

dep 1

m(3.30)

Combinando (3.29) y (3.30) podemos sustituir (3.29) por:

e ep g (3.31)

3.3 DISCONTINUIDADES

Es bien conocido el hecho que suspensiones desarrollan discontinuidades. Por esta razn debemos establecer las ecuaciones de salto que reemplazan a las ecuaciones de campo locales en estas discontinuidades.

v es I (3.32)

s s s I e f e I( ) ( p g(L z) ) v v v e e (3.33)

3.4 PROCESO DINMICO

Resumiendo los resultados anteriores, se puede decir que el flujo a travs de un sistema particulado puede ser representado por las siguientes variables de campo: la fraccin volumtrica de slidos (z,t), la velocidad del slido y del fluido vs(z,t) y vf(z,t), la presin de poros en exceso pe(z,t), el esfuerzo efectivo del slido e(z,t) y la fuerza dinmica de interaccin entre el slido y el fluido md(z,t). Se dice que estas 6 variables de campo constituyen un proceso dinmico si, en las regiones donde las variables son continuas, cumplen:

1) Las ecuaciones locales de campo:

s 0t

v (3.34)


s f0 , con (1 ) q q v v (3.35)

de 1

mg (3.36)

dep 1

m(3.37)

2) En las discontinuidades cumplen las condiciones de salto:

v es I (3.38)

s s s I e f e I( ) ( p g(L z) ) v v v e e (3.39)3) Se debe establecer ecuaciones constitutivas para e y md para describir el comportamiento del material y completar el conjunto de seis ecuaciones que describen cuantitativamente el fenmeno:

d d s( , , ,) m m v q (3.40)

e e s( , , , ) v q (3.41)

3.5 REFERENCIAS

Atkin, R.J. and Crain, R.E., Continuum theories of mixtures, Basic theory and historical development, Q. J. Appl. Math., 29, 209-244 (1976).

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Truesdell, C., Rational Themodynamics, Springer Verlag, 2nd. Ed., New York, 1984.

33

CAPTULO 4

SEDIMENTACIN DE SISTEMAS PARTICULADOS

Se denomina sedimentacin el asentamiento de una partcula, o una suspensin de partculas, en un fluido por efecto de una fuerza externa, que puede ser la gravedad, una fuerza centrfuga o cualquier otra fuerza de cuerpo. Por muchos aos ingenieros e investigadores del campo de la Tecnologa de Partculas han estado buscando una ecuacin simple que relacione la velocidad de sedimentacin de suspensiones de partculas en un fluido con su tamao, forma y concentracin. Un objetivo tan simple ha requerido un enorme esfuerzo y ha sido solucionado solamente en parte. Desde los trabajos de Newton (1687) y Stokes (1844) de flujo alrededor de una partcula y las investigaciones mas recientes de Lapple (1940), Heywood (1962), Brenner (1964), Batchelor (1967), Zenz (1966), Barnea y Mitzrahi (1973) y muchos otros, hasta los de Concha y colaboradores (1979-1986), han establecido una teora heurstica, esto es, basada en principios fundamentales de la mecnica, pero con un mayor o menor grado de intuicin y empirismo. Estos trabajos resuelven primero la sedimentacin de una partcula en un fluido y luego introducen correcciones debido a la interaccin entre partculas, mediante las cuales la sedimentacin de una suspensin se ve dramticamente disminuida. Este enfoque que usa principios de la mecnica de partculas ha recibido el nombre de enfoque discreto.

La sedimentacin discreta ha sido exitosa para establecer ecuaciones constitutivas en los procesos de sedimentacin, esto es, para establecer las propiedades de sedimentacin de un determinado material particulado en un determinado fluido. Sin embargo, para analizar un proceso de sedimentacin y obtener patrones de comportamiento que permita predecir capacidades de tratamiento y diseo de equipos, se ha recurrido a otro enfoque que utiliza la mecnica de medio continuo como base para analizar el movimiento de suspensiones. Este es el enfoque continuo. En este captulo presentaremos y analizaremos el enfoque discreto.

4.1 SEDIMENTACIN DISCRETA

La fsica del proceso de sedimentacin ms elemental, el asentamiento de una partcula slida en un fluido, se conoce desde hace bastante tiempo. La ecuacin de sedimentacin de una esfera fue propuesta por Stokes en 1851 y puede considerarse como el punto de partida de toda discusin de los procesos de sedimentacin. Stokes demostr que la velocidad terminal de una esfera en un fluido es directamente proporcional a la diferencia de densidades entre el slido y el fluido, al cuadrado del


radio de la esfera, a la fuerza de gravedad e inversamente proporcional a la viscosidad del fluido. Esta ecuacin se basa en un balance de fuerzas sobre la partcula. Sin embargo, la ecuacin obtenida es vlida solamente para movimientos muy lentos, ya que para aquellos ms rpidos es necesario desarrollar expresiones ms elaboradas. El problema radica en la fuerza hidrodinmica entre la partcula y el fluido.

Consideremos el flujo incompresible sobre una esfera slida. Las ecuaciones que describen este fenmeno son las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes (Concha y Barrientos 1993). Desgraciadamente esta ltima ecuacin es no-lineal e imposible de resolver analticamente en forma general. Por ello, se ha buscado mecanismos para resolverla en casos particulares.

Se ha demostrado que el nmero de Reynolds, fRe du , donde , d y u son la densidad, el dimetro y la velocidad de la partcula y es la viscosidad del fluido, expresin adimensional que representa la razn entre las fuerzas convectivas y difusivas en la ecuacin de Navier-Stokes, es un importante parmetro en la caracterizacin del flujo. Cuando el nmero de Reynolds es pequeo, (Re0), como por ejemplo Re

Captulo 4 Sedimentacin de Sistemas Particulados 35

gravedad, que atrae la esfera hacia abajo, (2) la fuerza de empuje del fluido, esto es, la fuerza ejercida por la presin en el fluido que rodea la partcula, que la impulsa hacia arriba y (3) la fuerza de resistencia del hilo que soporta la partcula. El balance de fuerzas da:

hilo gravedad empuje0 F F F (4.4)

hilo0 p p f p0 F V g V g (4.5)

hilo p f p pF V g V g (4.6)

Fgravedad

Fempuje

Fhilo

Fig. 4.1 Equilibrio sobre una esfera sumergida en un fluido.

Si en un instante se corta el hilo, se produce un desbalance de las fuerzas y, de acuerdo a la ley de Newton, la partcula debe acelerar. La aceleracin inicial se puede obtener del nuevo balance de fuerzas en la que ya no existe la resistencia del hilo. La figura 4.2a muestra este nuevo balance. Una vez que la partcula se pone en movimiento aparece una nueva fuerza, la fuerza de arrastre entre el slido y fluido que se opone al movimiento y que es proporcional a la velocidad relativa entre el slido y el fluido, y como este ltimo est inmvil, es la velocidad que adquiere la partcula.

Fg=-pVpg

Fe= fVpg

Fg=-pVpg

Fe= fVpg

u(t)

Fd=-6Ru

Fig. 4.2a Antes del movimiento. Fig. 4.2b Inicio de movimiento.


(t 0 p

t 0

p

ma ) V g

a( ) g

gravedad empuje arrastre

p p p

ma(t) F F F

V a(t) V g 6 Ru(t)

2p p

9a(t) g u(t)

2 R

(4.7)

Debido al aumento de la velocidad u con el tiempo, el segundo trmino de (4.7)crece mientras el primero permanece constante, llegando un momento en que el segundo trmino de (4.7) se hace igual al primero y, por lo tanto la aceleracin se anula. La velocidad a la cual se anula la aceleracin se denomina velocidad terminal uy es una caracterstica de la partcula y del fluido. Despejando u desde (4.7) y denominndola u resulta:

2 22 R g 1 d gu

9 18

(4.8)

Esta expresin se conoce como ecuacin de Stokes, es vlida parra pequeos nmeros de Reynolds y fue deducida por este investigador en 1851.

Ejemplo 1

Calcular la velocidad terminal de sedimentacin de una esfera de cuarzo de densidad 2.65 g/cm3 y 10m de dimetro en agua a 20 C.

La viscosidad del agua a 20C es de 0.01 g/cm-s, entonces, aplicando la ecuacin (4.8) resulta:

231 (2.65 1.00) (10 10000) 981u(10) 9.0 10 cm /s

18 0.01

Dinmica de la sedimentacin

La ecuacin (4.7) representa la dinmica de la sedimentacin gravitacional. Ordenemos y escribamos explcitamente:

2pp

1u(t) u(t) g 0

18 d

cuya solucin es:2

2p

1 d g 18u(t) 1 exp t

18 d

(4.9)

Captulo 4 Sedimentacin de Sistemas Particulados 37

El trmino entre parntesis dentro del exponencial se denomina nmero de Stokes y el trmino que multiplica el parntesis en trmino de la derecha es la velocidad de Stokes, como vimos en (4.8).

Ejemplo 2

Determinar cuanto tiempo necesita una partcula de 10, 50 y 100m para llegar a la velocidad terminal.

La figura siguiente muestra la evolucin de las velocidades de las esfera versus el tiempo al aplicar la ecuacin (4.9). La velocidad terminal para d=100, 50 y 10 m es de 0.624, 0.216 y 0.0345 cm/s y el tiempo para llegar a estos valores es de 0.0067, 0.017 y 0.0005 segundos, segn la ecuacin (4.8). Como esto tiempos son muy cortos, generalmente no se los toma en cuenta y se supone que una partcula llega a su velocidad terminal instantneamente.

0.01000

0.10000

1.00000

0.0001 0.001 0.01

Tiempo en segundos

Vel

ocid

ad e

n cm

/s

d=10 m

d=50 m

d=100 m

Velocidad de sedimentacin versus tiempo.

4.1.3 Fuerza hidrodinmica sobre una esfera en flujo de Euler

Cuando el nmero de Reynolds tiende a infinito (Re), las fuerzas viscosas desaparecen y la ecuacin de Navier-Stokes se transforma en la ecuacin de Euler de flujo invscido (Gurtin 1981). En este caso la componente tangencial de la velocidad sobre la superficie de la esfera es una funcin lineal de la velocidad relativa slido-fluido y la componente radial es nula:


3u ( ) sen u

2

y ru 0 (4.10)

pero la presin ya no es lineal y responde a la ecuacin de Bernouilli (Batchelor 1967):

2 2f fp( ) 1 2 u p 1 2 u =constante

22

fu1

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