MARIAN PAVELESCU PENTRU LICEE TEHNICE I COLI PROFESIONALE S.L. CLIMATE 2004 ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorCuprins2 CUPRINS I.NOIUNI INTRODUCTIVE ..................................................................................... 5 II.DEFINIREA SOLICITRILOR ................................................................................ 6 II. 1.Fore .......................................................................................................................................... 6 II. 2.Corpuri ...................................................................................................................................... 7 II. 2. 1.Clasificarea corpurilor ....................................................................................................... 8 II. 2. 2.Materialele corpurilor ....................................................................................................... 8 II. 3.Solicitri .................................................................................................................................... 9 III.LEGEA LUI HOOKE .............................................................................................. 12 III. 1.Mrimi utilizate ................................................................................................................... 12 III. 2.Generaliti .......................................................................................................................... 12 IV.REZISTENE ADMISIBILE I COEFICIENI DE SIGURAN ..................... 17 IV. 1.Mrimi utilizate ................................................................................................................... 17 IV. 2.Generaliti .......................................................................................................................... 17 Tabelul nr.1 ................................................................................................................................. 20 V.NTINDEREA .......................................................................................................... 21 V. 1.Mrimi utilizate ....................................................................................................................... 21 V. 2.Generaliti .............................................................................................................................. 21 V. 3.Diagrama forelor normale ...................................................................................................... 22 V. 4.Calculul la ntindere ................................................................................................................ 23 V. 5.Mersul calculelor..................................................................................................................... 24 V. 5. 1.Condiia de rezisten ...................................................................................................... 24 Dimensionarea ................................................................................................................................ 24 Verificarea ....................................................................................................................................... 24 Determinarea forei capabile ........................................................................................................... 24 V. 5. 2.Condiia de rigiditate ....................................................................................................... 24 Dimensionarea ................................................................................................................................ 24 Verificarea ....................................................................................................................................... 25 Determinarea forei capabile ........................................................................................................... 25 V. 6.Sinteza solicitrii ..................................................................................................................... 25 V. 7.Aplicaii ................................................................................................................................... 26 VI.COMPRESIUNEA ................................................................................................... 30 VI. 1.Mrimi utilizate ................................................................................................................... 30 VI. 2.Generaliti .......................................................................................................................... 30 VI. 3.Diagrama forelor normale .................................................................................................. 31 VI. 4.Calculul la compresiune ...................................................................................................... 32 VI. 5.Mersul calculelor................................................................................................................. 32 VI. 5. 1.Condiia de rezisten .................................................................................................. 32 Dimensionarea ................................................................................................................................ 32 Verificarea ....................................................................................................................................... 32 Determinarea forei capabile ........................................................................................................... 33 VI. 5. 2.Condiia de rigiditate ................................................................................................... 33 Dimensionarea ................................................................................................................................ 33 ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorCuprins3 Verificarea ....................................................................................................................................... 33 Determinarea forei capabile ........................................................................................................... 34 VI. 6.Sinteza solicitrii ................................................................................................................. 34 VI. 7.Aplicaii ............................................................................................................................... 34 VII. FORFECAREA ........................................................................................................ 38 VII. 1.Mrimi utilizate ................................................................................................................... 38 VII. 2.Generaliti .......................................................................................................................... 38 VII. 3.Calculul la forfecare ............................................................................................................ 39 VII. 4.Mersul calculelor................................................................................................................. 40 VII. 4. 1.Condiia de rezisten .................................................................................................. 40 Dimensionarea ................................................................................................................................ 40 Verificarea ....................................................................................................................................... 40 Determinarea forei capabile ........................................................................................................... 40 VII. 4. 2.Condiia de rigiditate ................................................................................................... 41 Dimensionarea ................................................................................................................................ 41 Verificarea ....................................................................................................................................... 41 Determinarea forei capabile ........................................................................................................... 41 VII. 5.Sinteza solicitrii ................................................................................................................. 42 VII. 6.Aplicaii ............................................................................................................................... 42 VIII.MOMENTE DE INERIE, MODULE DE REZISTEN ............................. 45 VIII. 1.Mrimi utilizate ................................................................................................................... 45 VIII. 2.Generaliti .......................................................................................................................... 45 VIII. 3.Momente statice .................................................................................................................. 46 VIII. 3. 1.Aplicaii ....................................................................................................................... 46 VIII. 4.Momente de inerie ............................................................................................................. 47 VIII. 4. 1.Momente de inerie axiale ........................................................................................... 47 VIII. 4. 2.Momente de inerie centrifuge .................................................................................... 48 VIII. 4. 3.Momente de inerie polare .......................................................................................... 48 VIII. 4. 4.Variaia momentelor de inerie axiale n raport cu dou axe paralele ........................ 48 VIII. 5.Raze de inerie ..................................................................................................................... 49 VIII. 6.Module de rezisten ........................................................................................................... 49 VIII. 7.Momente de inerie i module de rezisten pentru unele suprafee geometrice simple ..... 50 Tabelul nr.2 ................................................................................................................................. 50 Tabelul nr.3 ................................................................................................................................. 51 IX.NCOVOIEREA ....................................................................................................... 52 IX. 1.Mrimi utilizate ................................................................................................................... 52 IX. 2.Generaliti .......................................................................................................................... 53 IX. 3.Reazeme .............................................................................................................................. 56 IX. 4.Reaciuni ............................................................................................................................. 57 IX. 4. 1.Legea echilibrului forelor .......................................................................................... 58 IX. 4. 2.Legea echilibrului momentelor ................................................................................... 58 IX. 4. 3.Aplicaie ...................................................................................................................... 59 IX. 5.Diagrama forelor tietoare ................................................................................................. 60 IX. 5. 1.Reguli de trasare.......................................................................................................... 61 IX. 5. 2.Aplicaie ...................................................................................................................... 61 IX. 6.Diagrama momentelor ncovoietoare .................................................................................. 61 IX. 6. 1.Reguli de trasare.......................................................................................................... 62 IX. 6. 2.Aplicaie ...................................................................................................................... 62 IX. 7.Calculul la ncovoiere ......................................................................................................... 63 IX. 8.Mersul calculelor................................................................................................................. 63 IX. 8. 1.Condiia de rezisten .................................................................................................. 63 Dimensionarea ................................................................................................................................ 63 ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorCuprins4 Verificarea ....................................................................................................................................... 64 Determinarea momentului capabil .................................................................................................. 65 IX. 9.Sinteza solicitrii ................................................................................................................. 65 IX. 10.Aplicaii ............................................................................................................................... 65 X.RSUCIREA ............................................................................................................ 71 X. 1.Mrimi utilizate ....................................................................................................................... 71 X. 2.Generaliti .............................................................................................................................. 71 X. 3.Calculul la rsucire.................................................................................................................. 74 X. 4.Mersul calculelor..................................................................................................................... 75 X. 4. 1.Condiia de rezisten ...................................................................................................... 75 Dimensionarea ................................................................................................................................ 75 Verificarea ....................................................................................................................................... 75 Determinarea momentului de rsucire capabil ................................................................................ 76 X. 4. 2.Condiia de rigiditate ....................................................................................................... 76 Dimensionarea ................................................................................................................................ 76 X. 5.Calculul la rsucire al arborilor ............................................................................................... 76 X. 5. 1.Diagrama momentelor de rsucire .................................................................................. 76 X. 5. 2.Aplicaie .......................................................................................................................... 77 X. 6.Sinteza solicitrii ..................................................................................................................... 78 X. 7.Particularizare calculul arcurilor elicoidale cilindrice ......................................................... 78 X. 7. 1.Aplicaii ........................................................................................................................... 79 XI.FLAMBAJUL ........................................................................................................... 82 XI. 1.Mrimi utilizate ................................................................................................................... 82 XI. 2.Generaliti .......................................................................................................................... 82 XI. 3.Flambajul barelor drepte, comprimate axial ....................................................................... 83 XI. 4.Mersul calculelor................................................................................................................. 85 Dimensionarea ................................................................................................................................ 85 Verificarea ....................................................................................................................................... 87 XI. 5.Aplicaii ............................................................................................................................... 88 XII. NCERCRILE MECANICE ALE MATERIALELOR ......................................... 91 XIII.BIBLIOGRAFIE................................................................................................ 93 ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorNoiuni introductive5 I.NOIUNI INTRODUCTIVE Asuprapieselormainiloracioneazdiversefore,careproducsolicitri.Cunoaterea solicitrilornepermitecalcululorganelordemainiastfelcaelesrezistenfuncionare,oanumit perioaddetimp.CuacestdomeniuseocupRezistenamaterialelor,oparteamecaniciiaplicate, care evalueaz eforturile i deformaiile pe care le suport o structur sub aciunea forelor.Disciplinele mecanicii aplicate: -Mecanica teoretic -Teoria elasticitii i plasticitii -Teoria stabilitii elastice -Teoria vibraiilor mecanice -ncercrile mecanice ale materialelor Problemele realizrii unui obiect cu o anumit destinaie sunt contemporane cu umanitatea.Condiiile ca forma i dimensiunile date unui material s asigure utilizarea sa optim, cu cele mai reduse consumuri, sunt condiii economice care stau la baza oricrui proiect tehnic. Dinacestpunctdevedere,rezistenamaterialeloresteodisciplinpractic,pentrucare progresul informaional este vital. OBSERVAII Din cele prezentate mai sus, manualul se ocup numai de cunoaterea solicitrilor statice simple ale barelor drepte, ceea ce reprezint forma iniial de abordare. Aceast introducere n rezistena materialelor este suficient ca informare elementar, ca baz pentru un studiu ulterior aprofundat care s duc la utilizarea disciplinei ca tiin aplicativ. Fig. 1. Racheta solicitare complex ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorDefinirea solicitrilor6 II.DEFINIREA SOLICITRILOR II. 1.Fore For aciune care schimb starea de micare a unui corp. Cuvinte cheiePentru Internet fore exterioareexternal forces fore interioareinternal forces reaciunireactions eforturistresses deformaiistrains Orice pies n funciuneeste supus aciunii unorfore. Acestea se clasific dup mai multe criterii: -dup poziia fa de pies: exterioare ode suprafa ode volum interioare -dup modul de aplicare asupra piesei: statice dinamice Fig. 2. Schema forelor Forexterioardesuprafaforacareseaplicpeanumiteporiunidinsuprafaa exterioar a piesei. Fordelegtur(reaciune)foracarereprezintlegtura(reazemul)pieseicuuncorp ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorDefinirea solicitrilor7 nvecinat. Distribuia forelor pe suprafa poate fi: -concentrat -distribuit: uniform neuniform Forexterioardevolumreprezintforadistribuitnntreagamasamaterialului (greutatea, ineria, forele electromagnetice). For interioar arat legtura care exist ntre particulele din interiorul unui corp. Efort rezultanta forelor interioare ca urmare a solicitrilor exterioare Fig. 3. Rezultatul forelor exterioare For static fora aplicat lent, progresiv, pn la o valoare care rmne constant n timp. For dinamic fora aplicat cu variaii de vitez. Variaia poate fi: brusc oc periodic oscilaie continu ntre dou valori Sarcin mrimea care produce o stare de solicitare mecanic (tensiuni i deformaii) ntrun corp. Poate fi for, moment, cmp etc. Solicitare aciunea sarcinilor asupra unui corp OBSERVAIE n continuare, vom opera cu cele mai simple fore exterioare: de suprafa, statice, concentrate. II. 2.Corpuri Corp poriune de materie cu mas diferit de zero. Cuvinte cheiePentru Internet corpmaterial barbar ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorDefinirea solicitrilor8 Rezistenamaterialelorstudiazefectulsarcinilorasupraunorcorpurireale,carepotavea formecomplicate.Pentrusimplificareformelesuntschematizate,cucondiiacarezultatelesfie apropiate de realitate (experimente). II. 2. 1.Clasificarea corpurilor -bare au o dimensiune mare fa de celelalte dou (corpuri cu fibr medie). Dup form exist bare drepte i bare curbe-plci au dou dimensiuni mari fa de a treia. Dup form exist plci plane i plci curbe -corpuri masive au cele trei dimensiuni de mrimi apropiate Fig. 4. Tipuri de corpuri II. 2. 2.Materialele corpurilor Pentrustabilirearelaiilordecalculrezistenamaterialelorfaceipotezeasuprastructurii materialelor i a comportrii lor sub sarcini. Ipotez presupunere rezultat din observaie, care este confirmat prin experiment sau verificat prin deducie. Ipotezeleasupramaterialelorcucareopermconstituiesimplificrialefenomenelorreale, acceptabile pentru scopul rezistenei materialelor Ipoteza mediului continuu consider materialele ca un mediu continuu, omogen, ce ocup ntregul spaiu reprezentat de volumul lor. (In realitate materialele sunt amorfe sau cristaline iar teoriile forelor interatomice nc nu au explicat efectele sarcinilor exterioare.) Ipoteza izotropiei consider c materialele au aceeai comportare, indiferent de direcia pe care acioneaz forele exterioare. (Anizotropmaterialcarenusecomportlafelcnddireciaforelorseschimb(ex. lemnul).) Ipoteza elasticitii prefecte consider materialele perfect elastice, pn laanumite valori ale sarcinilor; cnd sarcinile dispar, corpul i reia forma i dimensiunile iniiale. IpotezarelaieiliniarentreeforturiideformaiiConsiderc,nregimelastic, ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorDefinirea solicitrilor9 creterea deformaiei este direct proporional cu creterea efortului (legea lui Hooke). O consecin n aceast ipotez este c se poate aplica principiul suprapunerii efectelor. IpotezaluiBernoulliconsidercoseciuneplan,normalpeaxabareinaintede deformare,rmneplaninormalidupdeformare.Ipotezaseverificexperimentalpeconturul barelor; se admite ca valabil i n interior. Ipotezadeformaiilormiciconsiderdeformaiileelasticealecorpurilorcafiindmiciin raport cu dimensiunile lor. (Aceastipotezreprezintiocondiieimpuslafuncionareamajoritiiorganelorde maini.) II. 3.Solicitri Solicitare aciunea sarcinilor asupra unui corp. Cuvinte cheiePentru Internet solicitarestrength eforturi normale, for normalnormal force for tietoareshear force moment de ncovoierebending moment moment de torsiunetwisting moment Foreleinterioarenearatlegturilecareexistntreparticuleledininteriorulunuicorp. Aceste fore se pot pune n eviden prin metoda seciunilor. Fig. 5. Corp n echilibru Considermuncorppecareacioneazmaimultefore,datoritcroracorpulstn echilibru. Dac secionm corpul cu un plan, perpendicular pe axa sa, nici una din pri nu mai este n echilibru. Pentru a echilibra partea din stnga, de exemplu, trebuie s introducem n planul seciunii un sistemdeforeicupluri(momente)caressuplineascforelenlturate.Acetinlocuitorise numesc fore interioare (sau eforturi, cum le vom numi n continuare). ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorDefinirea solicitrilor10 n cazul general, eforturile au direcii oarecare n spaiu, astfel c le vom descompune dup un sistem de axe ortogonale. Fig. 6. Descompunerea forelor i momentelor Fora R se descompune n: Fora n lungul axei X, notat Tx (transversal, n planul seciunii plane) Fora n lungul axei Y, notat Ty (transversal, n planul seciunii plane) Fora n lungul axei Z, notat N (normal pe planul seciunii plane) Momentul M se descompune n: Momentul n jurul axei X, notat Mx Momentul n jurul axei Y, notat My Momentul n jurul axei Z, notat Mz OBSERVAII Pentru ca un corp s fie n echilibru se cer ndeplinite urmtoarele condiii: 1.Suma tuturor forelor s fie egal cu 02.Suma tuturor momentelor s fie egal cu 0Pentru un element n plan ecuaiile de echilibru devin: 1.Suma tuturor forelor n lungul axei X s fie 0 2.Suma tuturor forelor n lungul axei Y s fie 03.Suma tuturor momentelor n jurul axei Z s fie 0 Deosebim dou feluri de eforturi: -de translaie la care seciunile transversale rmn paralele i dup solicitare -de rotaie la care seciunile transversale devin rotite unele fa de altele dup solicitare n felul acesta putem sistematiza eforturile. Componentele eforturilor care tind s dea o translaie seciunilor le numim fore: -fora axial (normal) N produce solicitarea de ntindere (ori compresiune) -fore tietoare Tx, Ty F 0 =M 0 =XF 0 =YF 0 =ZM 0 =________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorDefinirea solicitrilor11 produc solicitarea de forfecare sau tiere Componentele eforturilor care tind s dea o rotaie seciunilor le numim momente (cupluri): -momentul de ncovoiere Mx tinde s dea o rotaie n jurul unei axe coninute n planul seciunii produce solicitarea de ncovoiere -momente de rsucire (torsiune) My, Mz tind s dea o rotaie n jurul unei axe perpendiculare pe planul seciunii produc solicitarea de rsucire (torsiune) Fig. 7. Eforturile de translaie (date de fore) Fig. 8. Eforturile de rotaie (date de momente) ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorLegea lui Hooke12 III.LEGEA LUI HOOKE III. 1. Mrimi utilizate SimbolulDenumirea Unitatea de msur llungimea iniialmm Sseciuneamm2 lalungireamm Nfora normalN alungirea specific efortul unitar Emodulul de elasticitate longitudinal III. 2. Generaliti Considerm o bar dreapt, cu lungimea l i seciunea S, fixat la un capt. Dac la captul cellalt acioneaz fora normal N (n lungul axei barei), bara se va alungi cu segmentul l pe care l numim alungire. Fig. 9. Bar solicitat la ntindere Materialele folosite n practic sunt de o mare diversitate, aadar se vor alungi n mod diferit, n funcie de rezistena lor la solicitri. ? Cum putem stabili un criteriu de comparare ntre bare din diverse materiale? ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorLegea lui Hooke13 Aceast problem a fost rezolvat experimental de Robert Hooke, cel ce a stabilit mrimile caracteristice i legea care le asociaz. Experiena I Considermdoubaredrepte,de aceeaiseciuneSdardelungimidiferite(l1, respectiv l2). Fiecare bar este acionat de aceeai for normal N datorit creia au aceeai alungire l. Pentru a le putea compara utilizm un raport adimensional, numit alungire specific []. Pentru bara nr. 1Pentru bara nr. 2 Baranr.1esterealizatdintrunmaterialmairezistentfiindcarealungireaspecificmai mic. OBSERVAIEAlungirea specific reprezint alungirea unitii de lungime. Experiena II Considermdoubaredrepte,deaceeailungimeldar deseciunidiferite(S1respectivS2).Fiecarebaresteacionat de aceeai for normal N datorit creia ele au aceeai alungire l. Ca i n cazul precedent, vom ncerca o comparaie: ? Care dintre cele dou bare are materialul mai rezistent? 11llcA=22llcA=1 2c < cN l1 l N l2 l SS Fig. 10. Experiena I 12 ? Care dintre cele dou bare are materialul mai rezistent? Robert Hooke (1635-1703) Fig. 11. Experiena II 12 l S1 S2 NN l ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorLegea lui Hooke14 Pentru a le putea compara utilizm un raport, numit efort unitar [ ]. Pentru bara nr. 1Pentru bara nr. 2 Bara nr. 1 este realizat dintrun material mai rezistent fiindc are eforul unitar mai mare. OBSERVAIEEfortul unitar reprezint efortul pe unitatea de suprafa. Putemcomparabaredreptedeaceeaiseciuneprinalungireaspecificibaredeaceeai lungime prin efortul unitar . Pentru a compara bare indiferent de dimensiuni, de fapt pentru a compara materiale, trebuie s gsim o legtur ntre i . OBSERVAII -Lungimeainiialiseciunea(ladeformaiimici)suntmrimi constante. -UneiforenormaleanumiteNicorespundeoanumitalungire l.Altfelexprimat,unuianumitefortunitaricorespundeo anumit alungire specific . Perechile de valori pot fi reprezentate grafic, ntrun sistem de axe. Fig. 12. Curba caracteristic a materialului Diagramacarerezultprinncrcareatreptatabarei(pnlarupere)senumetecurba caracteristic a materialului. 11SNo =22SNo =1 2o > o________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorLegea lui Hooke15 Ea este compus din mai multe zone: -OE este zona de deformare elastic E punctul n care se termin elasticitatea n aceast zon bara descrcat revine la lungimea iniial (funcionare n domeniul elastic) -EC este zona de curgere C punctul pn la care alungirea crete sub sarcin constant (c) -CM este zona de ntrire M punctul la care corespunde efortul unitar maxim (rezistena la rupere) r -MR este zona de gtuire i rupere R punctul la care bara se rupe; el d alungirea specific la rupere r n intervalul ER bara descrcat are lungime mai mare dect lungimea iniial (funcionare n domeniul plastic) OBSERVAII Curba caracteristic este specific fiecrui material; ea poate avea forme diverse. Putem clasifica materialele n funcie de comportare astfel: odup comportarea sub sarcini: materiale elastice materiale plastice materiale elastoplastice (parial elastice, parial plastice) odup mrimea deformaiilor: materiale tenace au deformaii plastice mari nainte de a se rupe materiale fragile (casante) au deformaii mici nainte de a se rupe Dincurbacaracteristicaunuimaterialneintereseazzonadedeformareelastic,ncare dorim s funcioneze construciile tehnice. Aceasta este o dreapt, pentru care putem scrie ecuaia: Constanta se noteaz cu E i se numete modul de elasticitate longitudinal. Se msoar, ca i efortul unitar, n [ ]. Curba fiind caracteristicfiecrui material, rezult c i modulul de elasticitate longitudinal este caracteristic fiecrui material. OBSERVAII Curba caracteristic i legea lui Hooke au fost deduse printrun experiment de ntindere. Se pot obine alte curbe i alte module de elasticitate prin ncercri de compresiune, torsiune etc. cons tant =coEoc = E o = c sau Legea lui Hooke 2Nmm________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorLegea lui Hooke16 Unele materiale nu respect legea lui Hooke (nu au poriunea rectilinie 0E). n urma ncercrilor se obin caracteristicile mecanice ale materialelor. Efortul unitar reprezint efortul pe unitatea de suprafa. ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorRezistene admisibile i coeficieni de siguran17 IV.REZISTENE ADMISIBILE I COEFICIENI DE SIGURAN IV. 1. Mrimi utilizate SimbolulDenumirea Unitatea de msur a alungirea specific admisibil e alungirea specific elastic c alungirea specific de curgere g alungirea specific de gtuire r alungirea specific de rupere a efortul unitar admisibil (rezistena admisibil) e efortul unitar elastic c efortul unitar la curgere r efortul unitar la rupere Cc coeficientul de siguran fa de limita de curgere Cr coeficientul de siguran fa de rezistena la rupere IV. 2. Generaliti Considermcurbacaracteristiclantinderepentruunmaterialmetalicuzualoelcarbon pentru construcii cu punctele cunoscute. Ne intereseaz domeniul elastic, n care dorim s funcioneze construciile tehnice. Presupunem o pies executat din oel carbon pentru construcii i ne ntrebm dac materialul poate fi solicitat pn la valoarea e sau trebuie s ne limitm exploatarea la o valoare mai mic.Rspunsul poate fi dat numai cunoscnd condiiile concrete de funcionare; este ns evident c nu vom depi limita de elasticitate. ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorRezistene admisibile i coeficieni de siguran18 Fig. 13. Zona util a curbei caracteristice n practic se dau valori convenionale maxim admisibile, mai mici dect limita de elasticitate. Aceste valori se numesc rezistene admisibile (a) i sunt reprezentate pe curba lui Hooke prin punctul admisibil A [a, a]. Aadar, putem solicita un material numai pn la punctul admisibil. Seobinuietesseutilizezecoeficienicareraporteazrezistenaadmisibillaaltevaloride pe curba caracteristic. Eisenumesccoeficienidesiguraniaratdecteoriestemaimicrezistenaadmisibil fa de valoarea de referin. Observaii Pentru proiectare trebuie s cunoatem: -Fie coeficientul de siguran i valoarea de referin (c sau r) -Fie rezistena admisibil n calculele de rezistena materialelor putem urma dou metode: arraccCCoo=oo= pentru materiale tenace pentru materiale fragile ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorRezistene admisibile i coeficieni de siguran19 -Metoda rezistenei admisibile (metoda clasic) -Metoda coeficientului de siguran Alegereacoeficientuluidesigurannecesitcunoatereavaloriidereferin (c sau r). Coeficientul de siguran este cu att mai mare cu ct: -datele despre material sunt mai puine -piesa este mai important Tabelul nr.1 Materialul Constante de elasticitate Caracteristici mecanice Rezistena la: longitudinal transversal Rezistena la rupere Limita de curgere ntindereCompresiuneForfecarencovoiereRsucire EGrcat acaf aiar N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 Oeluri carbon OL37205.00081.000370450210240120140120140951101351607585 OL42205.00081.0004205002302601301501301501051201501708090 OL50205.00081.00050062027029015018015018012014017020590105 OL70205.00081.000min. 700340360210250210250165200240285125150 Fonte Fc 20120.00045.00023060801502007095 Fc 30120.00045.00033090110225275105130 Fgn 455120.00045.000450320150200375500195260 Aliaje neferoase Bz 12 T115.00042.0002004065406540652545 AmT 6795.00036.0001804065406040602542 ATCCu 868.00026.0001207020302030152520301520 ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorntinderea21 V.NTINDEREA V. 1.Mrimi utilizate SimbolulDenumirea Unitatea de msur l lungimea iniialmm l alungirea mm la alungirea admisibilmm lef alungirea efectivmm S seciuneamm2 Sef seciunea efectivmm2 Snec seciunea necesarmm2 N fora normal N Ncap fora normal capabilN alungirea specific efortul unitar at efortul unitar admisibil la traciune (rezistena admisibil) ef efortul unitar efectiv E modulul de elasticitate longitudinal ES rigiditateaN V. 2.Generaliti O bar dreapt este solicitat la ntindere cnd la capetele ei sunt aplicate, n lungul axei, dou fore egale de sens contrar ndreptate spre exterior. OBSERVAIE Pentru simplificare am reprezentat alungirea numai la un capt al barei. ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorntinderea22 ExistoasemnareasolicitriilantinderecuexperimentuldelacapitolulLegealui Hooke? Observaie Esteacelaiexperiment:nloculcaptuluifixamreprezentatoreaciune, egal i de sens contrar cu aciunea. PrinurmaresuntvalabilemrimileprincareamexprimatlegealuiHooke (domeniul elastic). ConformipotezeiluiBernoulli,dacseciunilermnplane,alungirilelsuntconstantepe suprafaa seciunii; n consecin i alungirile specifice sunt constante pe toat seciunea. Aplicnd legea lui Hooke, , rezult c i efortul unitar este constant pe seciune. n concluzie: efortul unitar este constant pe seciunea unei bare omogene. V. 3.Diagrama forelor normale Dac asupra unei bare drepte acioneaz mai multe fore de ntindere, este necesar construcia unei diagrame a forelor normale, care s arate n ce seciuni aceste fore sunt mai periculoase. Reguli de trasare 1.Diagrama se traseaz la o scar a forelor, reprezentate perpendicular pe axa barei. 2.Construcia ncepe de la un capt al liniei de referin, considernd pozitive forele ntlnite, dac tind s lungeasc bara. 3.ntro seciune oarecare, fora axial este dat de suma forelor situate de o parte a seciunii (sau suma forelor de cealalt parte a seciunii, cu semn schimbat). l S l N SNll= oA= cE =coE c = o________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorntinderea23 V. 4.Calculul la ntindere Legea lui Hooke este o relaie ntre trei mrimi, oricare dintre ele putnd fi necunoscut. Pentru rezolvare, dou mrimi trebuie s fie cunoscute. Apar astfel trei variante de calcul: -Dimensionarea, n care necunoscut este seciunea barei -Verificarea, n care necunoscut este efortul unitar al seciunilor unei bare date -Determinareaforeicapabile,ncarenecunoscutesteforanormalpecareo poate suporta o bar dat Observaii Aceastvariantdecalculsebazeazpecondiiaderezisten,adicpe cunoaterea rezistenei admisibile. Dac scriem legea lui Hooke cu toate mrimile obinem: Putemefectuavariantedecalculimpunndocondiie de rigiditateabarei (limitnd alungirea l sau alungirea specific ). nrezistenamaterialelorseutilizeaznunelecazuriprodusulES,numit rigiditate. El Sl N=A ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorntinderea24 V. 5.Mersul calculelor V. 5. 1.Condiia de rezisten Dimensionarea 1.Se d fora N 2.Sealegeunmaterialpentrucaresedetermin,dintabeluldematerialesaupebaza coeficientului de siguran, rezistena admisibil at 3.Se calculeaz seciunea necesar, care reprezint valoarea minim posibil pentru bar: 4.Valoarea obinut se convertete la seciunea unui profil standardizat, rotunjit prin mrire. Verificarea 1.Se dau: fora N seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2.Se determin, din tabelul de materiale, rezistena admisibil at 3.Se calculeaz efortul unitar efectiv din bar: 4.Se compar cele dou eforturi unitare Dac: ef at bara verific ef> at bara nu verific Determinarea forei capabile 1.Se dau: seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2.Sedetermin,dintabeluldematerialesaupebazacoeficientuluidesiguran,rezistena admisibil at 3.Se calculeaz fora capabil a barei, care reprezint valoarea maxim posibil pentru bar: V. 5. 2.Condiia de rigiditate Considermcseimpuneovaloareadmisibilpentrualungirela,careaparentoate cazurile. Dimensionarea 1.Se dau: fora N lungimea barei l 2.Se alege un material pentru care se determin, din tabelul de materiale, modulul de elasticitate longitudinal E atnecNSo>efefSN= oat ef capS N o s________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorntinderea25 atnecNSo>efefSN= oat ef capS N o sanecl El NSA >E Sl Nlefef= All E SNa efcapA sEl Sl N=A E =co3.Se calculeaz seciunea necesar, care reprezint valoarea minim posibil pentru bar: 4.Valoarea obinut se convertete la seciunea unui profil standardizat, rotunjit prin mrire. Verificarea 1.Se dau: fora N lungimea barei l seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2.Se determin, din tabelul de materiale, modulul de elasticitate longitudinal E 3.Se calculeaz alungirea efectiv a barei: 4.Dac: lef la bara verific lef > la bara nu verific Determinarea forei capabile 1.Se dau: lungimea barei l seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2.Se determin, din tabelul de materiale, modulul de elasticitate longitudinal E 3.Se calculeaz fora capabil a barei, care reprezint valoarea maxim posibil pentru bar: V. 6.Sinteza solicitrii Legea lui Hooke (domeniul elastic) Felul calcululuiCondiia de rezistenCondiia de rigiditate Dimensionarea Verificarea Determinarea forei capabile anecl El NSA >E Sl Nlefef= All E SNa efcapA s________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorntinderea26 nec necnecl Sl 12mm>>V. 7.Aplicaii I. S se dimensioneze la ntindere o bar solicitat de fora normal N = 20.000 N Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1.Se d fora N = 20.000 N 2.Din Tabelul nr.1 alegem un oel carbon OL 37, pentru care apreciem at = 120 3.Se calculeaz seciunea necesar, care reprezint valoarea minim posibil pentru bar: Snec > 166,67 mm2 4.Stabilim ca seciunea barei s fie rotund i calculm diametrul necesar: Semifabricatuldinoelstandardizatcelmaiapropiatdevaloareacalculat(dintabelelede standarde) este oelul rotund 15. II. SsedimensionezelantindereobardinoelOL50,deseciuneptrat,solicitatde fora normal N = 12.000 N, cunoscnduse coeficientul de siguran C = 6 Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1.Se d fora N = 12.000 N 2.Pentru OL 50, valoarea minim a rezistenei la rupere este r = 500

(Tabelul nr.1), de unde rezult rezistena admisibil: 3.Se calculeaz seciunea necesar, care reprezint valoarea minim posibil pentru bar: Snec > 144 mm2 4.Calculm latura ptratului necesar: 120000 . 20Snec >necnecnec4Sdd 14, 56mm>t>nec12.000S83, 3>ratat 2C500 N83, 36 mmoo=o= =________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorntinderea27 III. S se verifice o bar din oel lat laminat la cald 80x16 STAS 39577/OL 37 STAS 50068 solicitat de fora normal de ntindere N = 120.000 N Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1.Cunoatem fora normal i materialul barei dar trebuie s calculm seciunea efectiv: Sef = 8016 = 1.280 mm2 2.Din Tabelul nr.1 apreciem, pentru OL 37 at = 1203.Calculm efortul unitar efectiv n bar: 4.Comparm cele dou eforturi unitare: 93,7 < 120 Bara verific. IV. S se determine fora normal capabil a unei evi din OL 50, avnd diametrul exterior D = 40 mm i grosimea peretelui g = 3 mm. Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1.Cunoatem materialul barei dar trebuie s calculm seciunea efectiv: 2.Din Tabelul nr.1 apreciem, pentru OL 50 at = 150 3.Calculm fora normal capabil: V. S se dimensioneze la ntindere o bar din aluminiu turnat cu lungimea l = 0,8 m, astfel nct la solicitarea cu o for normalN = 60.000 N s nu depeasc alungirea la = 1,5 mm. Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rigiditate. 1.Se dau: fora N = 60.000 N lungimea barei l = 800 mm 2.Materialulfiinddat,extragemdintabeluldematerialevaloareamodululuideelasticitate longitudinal E = 68.000 2efefmmN7 , 93280 . 1000 . 120= o= o( )2 22ef40 32S 452, 39 mm4t = =capcapN 452, 39150N 87.890Ns s________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorntinderea28 3.Calculm seciunea necesar: 4.Stabilim ca seciunea barei s fie rotund i calculm diametrul necesar: Semifabricatuldinoelstandardizatcelmaiapropiatdevaloareacalculat(dintabelelede standarde) este aluminiul rotund 25. VI.Obar40dinOL70culungimeal=300mmestesolicitatlantinderedefora normalN = 50.000 N. S se verifice dac nu depete alungirea admisibil la = 0,2 mm. Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rigiditate. 1.Cunoatem fora normal, lungimea i materialul dar trebuie s calculm seciunea efectiv: Sef= 402 = 1.600 mm2 2.DinTabelulnr.1scoatem,pentruOL70,valoareamodululuideelasticitatelongitudinalE = 205.000 3.Calculm alungirea efectiv a barei: 4.Comparm cele dou alungiri: 0,04 < 0,2 Bara verific. VII. S se determine fora normal la ntindere de care este capabil o bar 80 din bronz Bz12T lung de 1,3 m, astfel ca s nu depeasc alungirea de 0,4 mm. Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rigiditate. 1.Cunoatem lungimea i materialul barei dar trebuie s calculm seciunea efectiv: 2.DinTabelulnr.1scoatem,pentruBz12T,valoareamodululuideelasticitatelongitudinal E = 115.000 2necnecmm 58 , 470 S5 , 1 000 . 68800 000 . 60S>>necnecnec4Sdd 14, 56mm>t>mm 04 , 0 l000 . 205 600 . 1300 000 . 50lefef= A= A2ef80S4t=2efS 5.026,55 mm =________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorntinderea29 3.Calculm fora normal capabil: capcap5.026, 55115.0000, 4N1.200N 192.680N ss________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorCompresiunea30 VI.COMPRESIUNEA VI. 1. Mrimi utilizate SimbolulDenumirea Unitatea de msur l lungimea iniialmm l scurtareamm la scurtarea admisibilmm lef scurtarea efectivmm S seciuneamm2 Sef seciunea efectivmm2 Snec seciunea necesarmm2 N fora normal N Ncap fora normal capabilN scurtarea specific efortul unitar ac efortul unitar admisibil la compresiune (rezistena admisibil) ef efortul unitar efectiv E modulul de elasticitate longitudinal ES rigiditateaN VI. 2. Generaliti Obardreaptestesolicitatlacompresiunecndlacapeteleeisuntaplicate,nlungulaxei, dou fore egale de sens contrar ndreptate spre interior. ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorCompresiunea31 Observaie Solicitarealacompresiuneestecaracterizat,caisolicitarealantindere,de fore axiale (normale). Ambele solicitri pot fi caracterizate prin aceeai definiie: O bar dreapt este solicitat la ntindere sau compresiune cnd asupra ei sunt aplicate, n lungul axei, fore normale. Caataresuntvalabilegeneralitiledelantindere,cuprecderelegealui Hooke (domeniul elastic). VI. 3. Diagrama forelor normale Dacasuprauneibaredrepteacioneazmaimulteforedecompresiune,estenecesar construciauneidiagrameaforelornormale,caresaratenceseciuniacesteforesuntmai periculoase. Reguli de trasare Sunt aceleai ca i pentru solicitarea de ntindere, cu precizarea c forele care tind s scurteze bara se consider negative. l S l N SNll= oA= cE =co________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorCompresiunea32 Observaie n cazul general de solicitare a barelor cu fore axiale avem i fore de ntindere i fore de compresiune. Diagramaforelornormalesetraseaznconformitatecuaceleaireguli enunate la capitolul ntinderea. VI. 4. Calculul la compresiune Sunt valabile variantele de calcul de la ntindere: -Dimensionarea, n care necunoscut este seciunea barei -Verificarea, n care necunoscut este efortul unitar al seciunilor unei bare date -Determinareaforeicapabile,ncarenecunoscutesteforanormalpecareo poate suporta o bar dat VI. 5. Mersul calculelor VI. 5. 1. Condiia de rezisten Dimensionarea 1. Se d fora N 2.Se alege un material pentru care se determin, din tabelul de materiale, rezistena admisibil ac 3.Se calculeaz seciunea necesar, care reprezint valoarea minim posibil pentru bar: 4.Valoarea obinut se convertete la seciunea unui profil standardizat, rotunjit prin mrire. Verificarea 1. Se dau: fora N acnecNSo>________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorCompresiunea33 ac ef capS N o s seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2.Se determin, din tabelul de materiale, rezistena admisibil ac 3.Se calculeaz efortul unitar efectiv din bar: 4.Se compar cele dou eforturi unitare Dac: ef ac bara verific ef> ac bara nu verific Determinarea forei capabile 1. Se dau: seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2.Se determin, din tabelul de materiale, rezistena admisibil ac 3.Se calculeaz fora capabil a barei, care reprezint valoarea maxim posibil pentru bar: VI. 5. 2. Condiia de rigiditate Considermcseimpuneovaloareadmisibilpentruscurtarela,careaparentoate cazurile. Dimensionarea 1. Se dau: fora N lungimea barei l 2.Sealegeunmaterialpentrucaresedetermin,dintabeluldemateriale,modululde elasticitate longitudinal E 3.Se calculeaz seciunea necesar, care reprezint valoarea minim posibil pentru bar: 4.Valoarea obinut se convertete la seciunea unui profil standardizat, rotunjit prin mrire. Verificarea 1. Se dau: fora N lungimea barei l seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2.Se determin, din tabelul de materiale, modulul de elasticitate longitudinal E 3.Se calculeaz scurtarea efectiv a barei: anecl El NSA >efefSN= oE Sl Nlefef= A________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorCompresiunea34 ll E SNa efcapA sacnecNSo>efefSN= oac ef capS N o sanecl El NSA >E Sl Nlefef= All E SNa efcapA sEl Sl N=A E =co4.Dac: lef la bara verific lef> labara nu verific Determinarea forei capabile 1. Se dau: lungimea barei l seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2.Se determin, din tabelul de materiale, modulul de elasticitate longitudinal E 3.Se calculeaz fora capabil a barei, care reprezint valoarea maxim posibil pentru bar: VI. 6. Sinteza solicitrii Legea lui Hooke (domeniul elastic) Felul calcululuiCondiia de rezistenCondiia de rigiditate Dimensionarea Verificarea Determinarea forei capabile VI. 7. AplicaiiI. S se dimensioneze la compresiune o bar solicitat ca n figura alturat de forele: Rezolvare: Problemasebazeazpecondiiaderezisten.Deoareceavemmaimultefore,vomtrasa diagrama forelor normale pentru a vedea ce fore acioneaz n diferitele seciuni ale barei. ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorCompresiunea35 PeporiuneaABacioneazdforade compresiunede50.000NiarpeporiuneaBCforade compresiune de 30.000 N. Estemaieconomicsdimensionmbarantrepte seciuneaS1pentruporiuneaABiseciuneaS2pentru poriunea BC. 1. DinTabelulnr.1alegemofontcenuieFc20,pentru care apreciem ac = 160 2. Se calculeaz seciunile necesare, carereprezint valori minime posibile pentru bar: 3.Stabilim ca seciunile barei s fie rotunde i calculm diametrele necesare: Rotunjim la valorile standardizate cele mai apropiate i obinem valorile finale: d1 = 20 mm d2 = 16 mm II.SseverificedacoeavdinOl42,avnddiametrulexteriorD=30mmigrosimea peretelui g = 4 mm poate suporta fora de compresiune de 20.000 N Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1.Cunoatem fora normal i materialul barei dar trebuie s calculm seciunea efectiv: 2.Din Tabelul nr.1 alegem un oel carbon OL 37, pentru care apreciem ac = 140 3.Calculm efortul unitar efectiv n bar: 4.Comparm cele dou eforturi unitare: 192,3 > 140 Bara nu verific. 2nec 1 nec 1mm 5 , 312 S160000 . 50S > >mm 45 , 15 d5 , 187 4dmm 94 , 19 d5 , 312 4dnec 2 nec 2nec 1 nec 1> t>> t>2nec 2 nec 2mm 5 , 187 S160000 . 30S > >( )2 22ef30 22S 104mm4t = =2ef ef20.000192, 3mm104o= o=________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorCompresiunea36 capcapN 304120N 36.480 Ns sIII.SsedetermineforanormalcapabilauneieviptratedinOL37,avndlatura exterioar l = 40 mm i grosimea peretelui g = 2 mm. Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1.Cunoatem materialul barei dar trebuie s calculm seciunea efectiv: Sef = 402 362 = 304 mm2 2.Din Tabelul nr.1 alegem un oel carbon OL 37, pentru care apreciem ac = 120 3.Calculm fora normal de compresiune capabil: IV. Se d bara de oel din figur cu datele alturate: Se cere: a. S se verifice bara tiind c at = ac = 100 b. S se calculeze deformaia total a barei Rezolvare: Deoareceavemmaimultefore normalevomtrasadiagramaforelor normalepentruavedeacesolicitriavem n diferitele seciuni ale barei. a. Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1. Calculm seciunile efective: 22ef 222ef 1mm 1 , 314420Smm 8 , 706430S= t== t=________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorCompresiunea37 2. Efortul unitar admisibil este a = 100(acelai pentru ntindere i compresiune) 3. Calculm eforturile unitare efective n seciunile mai periculoase: Pe intervalul 1 2: Pe intervalul 3 4: 4.Comparnd eforturile unitare efective cu efortul unitar admisibil se constat: 42,4 < 100 63,6 < 100 Bara verific. b.Problemasebazeazpecondiiaderigiditate.Pentruacalculadeformaiatotalabarei trebuie s nsumm deformaiile pe intervale: OBSERVAIEAlungirile sunt pozitive, scurtrile sunt negative. 2ef 342ef 12mmN6 , 631 , 314000 . 20mmN4 , 428 , 706000 . 30= = o= = o2 2 1 110.000100 20.000200 20.000400 30.000100l - -ES ES ES ES A = + 10.000 100 - 400 800 - 300l -205.000 314,1 706, 8l -0, 083 mm| |A = |\ .A =________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorForfecarea38 Nu am reprezentat lungimea barei, nefiind necesar. Nu am reprezentat deformaia barei. VII.FORFECAREA VII. 1.Mrimi utilizate SimbolulDenumirea Unitatea de msur t distana dintre forele tietoaremm S lunecareamm Sa lunecarea admisibilmm Sseciuneamm2 Sef seciunea efectivmm2 Snec seciunea necesarmm2 lunecarea specificradiani fora tietoareN efortul unitar transversal af efortul unitar admisibil la forfecare (rezistena admisibil) ef efortul unitar transversal efectiv G modulul de elasticitate transversal ef efortul unitar efectiv E modulul de elasticitate longitudinal ES rigiditateaN VII. 2.Generaliti Obardreaptestesolicitatlaforfecarecndpeeasuntaplicate,nplantransversal,dou fore egale, paralele i de sens contrar, la foarte mic distan una de cealalt. Experiment ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorForfecarea39 Observaie Solicitareadeforfecareseproducelapiesedeseciunemic,circularsau inelar, la care putem aprecia c nu apar dect eforturi transversale, constante pe toat seciunea. Pentru a scrie legea lui Hooke vom stabili efortul unitar i deformaia specific; aceste mrimi nu mai pot fi cele de la ntindere compresiune. Casilustrmlegturadintreefortideformaiereprezentmlascarmritozonsupus solicitrii de forfecare. Cailantindere,efortulunitartransversalestedatde raportul ntre for (tietoare) i seciune. DeformaiaestedatdemrimeaSlunecarea unei seciuni fa de cealalt seciune. Raportuladimensionalcarepermitecompararea deformaiilorestedatdeunghiul,numitlunecare specific. n triunghiul dreptunghic format prin deformare avem: Pentruunghiurimici(ipotezadeformaiilormici)tangentelesuntaproximativegalecu unghiurile exprimate n radiani: Putem folosi schema de la ntindere compresiune: G modulul de elasticitate transversal [ ] VII. 3.Calculul la forfecare Sunt valabile variantele de calcul de la ntindere: -Dimensionarea, n care necunoscut este seciunea barei -Verificarea, n care necunoscut este efortul unitar al seciunilor unei bare date -Determinareaforeicapabile,ncarenecunoscutesteforanormalpecareo ST= tt S S T STtS= A= G =ttStgA= | |tSrad tgA= ~ ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorForfecarea40 poate suporta o bar dat cu variantele de calcul: -Condiia de rezisten -Condiia de rigiditate Observaie La calculul de forfecare apare frecvent problema depirii rezistenei la rupere, pentru prelucrarea pieselor prin tanare sau debitare. n aceste cazuri se caut fora tietoare capabil pentru aceste operaii. VII. 4.Mersul calculelor VII. 4. 1. Condiia de rezisten Dimensionarea 1. Se d fora T 2.Se alege un material pentru care se determin, din tabelul de materiale, rezistena admisibil af 3.Se calculeaz seciunea necesar, care reprezint valoarea minim posibil pentru bar: 4.Valoarea obinut se convertete la seciunea unui profil standardizat, rotunjit prin mrire. Verificarea 1. Se dau: fora T seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2.Se determin, din tabelul de materiale, rezistena admisibil af 3.Se calculeaz efortul unitar efectiv din bar: 4.Se compar cele dou eforturi unitare Dac: ef af bara verific ef > af bara nu verific Determinarea forei capabile 1. Se dau: seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2.Se determin, din tabelul de materiale, rezistena admisibil af 3.Se calculeaz fora capabil a barei, care reprezint valoarea maxim posibil pentru bar: afnecTSt>efefST= taf ef capS T t s________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorForfecarea41 VII. 4. 2. Condiia de rigiditate ConsidermcseimpuneovaloareadmisibilpentrulunecareSa,careaparentoate cazurile. Dimensionarea 1. Se dau: fora T distana dintre fore t 2.Sealegeunmaterialpentrucaresedetermin,dintabeluldemateriale,modululde elasticitate transversal G 3.Se calculeaz seciunea necesar, care reprezint valoarea minim posibil pentru bar: 4.Valoarea obinut se convertete la seciunea unui profil standardizat, rotunjit prin mrire. Verificarea 1. Se dau: fora T distana dintre fore t seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2.Se determin, din tabelul de materiale, modulul de elasticitate transversal G 3.Se calculeaz scurtarea efectiv a barei: 4.Dac: Sef Sa bara verific Sef> Sabara nu verific Determinarea forei capabile 1. Se dau: distana dintre fore t seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2.Se determin, din tabelul de materiale, modulul de elasticitate transversal G 3.Se calculeaz fora capabil a barei, care reprezint valoarea maxim posibil pentru bar: anecS Gt TSA >G St TSefef= AtS G SNa efcapA s________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorForfecarea42 afnecTSt>afefefSTt s = taf ef capS T t sanecS Gt TSA >aefefSG St TS A s= AtS G STa efcapA sGS St T=A G =tVII. 5.Sinteza solicitrii Legea lui Hooke (domeniul elastic) Felul calcululuiCondiia de rezistenCondiia de rigiditate Dimensionarea Verificarea Determinarea forei capabile VII. 6.AplicaiiI. S se dimensioneze niturile mbinrii din figur cunoscnduse c fora = 20.000 N Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1. Fora tietoare este T = 20.000 N 2.Alegem pentru nituri, din Tabelul nr. 1 oelul carbon OL 37, pentru care apreciem rezistena af = 100 3.Calculm seciunea necesar: Deoarece avem patru nituri, calculm seciunea necesar unui nit: 4.Calculm diametrul necesar unui nit: 2necnecmm 200 S100000 . 20S>>nec.nit450d>t2nit . necmm 504200S = >nec.nitd 7,98 mm >________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorForfecarea43 Rotunjim valoarea obinut la dimensiunea standardizat cea mai apropiat: dnit = 8 mm II. S se verifice mbinarea sudat din figur, avnd datele alturate: = 30.000 N ls = 60 mm a = 3,5 mm s = 5 mm afs = 80 Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1.Calculmseciuneaefectivasudurii;lasuduriledecoleaseaflnplanulceconine nlimea a: Sef = 2 (3,560) = 420 mm2 2.Calculm efortul unitar transversal efectiv n sudur: 3.Comparm cele dou eforturi unitare: 71,4 < 80 Bara verific. III.Ssedetermineforatietoarecapabilpentruasamblareacutiftdinfigur,avnd datele alturate: d = 10 mm g = 10 mm materialul tiftului OL 70 2efefmmN4 , 71420000 . 30= t= t________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorForfecarea44 capcapT 157, 8180T 28.270Ns s22efmm 08 , 1574102 S = t=Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1.Calculm seciunea efectiv n care are loc solicitarea: Din Tabelul nr.1 apreciem pentru OL 70 afs = 1802.Calculm fora tietoare capabil: ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorMomente de inerie45 VIII. MOMENTE DE INERIE, MODULE DE REZISTEN VIII. 1.Mrimi utilizate SimbolulDenumirea Unitatea de msur iy raza de inerie fa de axa ymm iz raza de inerie fa de axa zmm ldistana dintre dou axe paralelemm r distana de la centrul de coordonate (polul) O la centrul elementului de suprafa S mm rmax distana de la centrul de coordonate (polul) O la centrul elementului de suprafa cel mai deprtat (fibra extrem) mm yg distana de la centrul de greutate G la axa ymm ymax distana de la marginea seciunii la axa ymm zg distana de la centrul de greutate G la axa zmm zmax distana de la marginea seciunii la axa zmm S suprafaa plan (seciunea)mm2 Selement de suprafamm2 Sy momentul static fa de axa ymm3 Sz momentul static fa de axa zmm3 Wp modulul de rezisten polarmm3 Wy modulul de rezisten axial fa de axa ymm3 Wz modulul de rezisten axial fa de axa zmm3 Ip modulul de inerie polarmm4 Iy modulul de inerie axial fa de axa ymm4 Iz modulul de inerie axial fa de axa zmm4 Iyz modulul de inerie axial fa de axele y i zmm4 VIII. 2.Generaliti ntindereacompresiuneaiforfecareasuntsolicitrilacareeforturiletindsdeatranslaii seciunilor.Solicitriledencovoiereirsucire,careurmeaz,suntprodusedeeforturicaretinds dea rotaii seciunilor. nsituaiacndoseciunearetendinaderotaieintervincaracteristicigeometricespecifice, care trebuie studiate n prealabil; ele vor apare n cursul definirii solicitrilor de ncovoiere i rsucire dar le vom folosi i n alte situaii (flambajul). ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorMomente de inerie46 y t b SS z =AVIII. 3.Momente statice ConsidermosuprafaplanSmpritnelementemicidesuprafa(S),avnd coordonatele cunoscute. Considerm cunoscute i coordonatele centrului de greutate G al suprafeei. Prindefiniie,momentulstaticalelementuluide suprafa S n raport cu axa z este produsul yS. Momentulstaticaluneisuprafeenraportcuoax esteegalcuprodusuldintreariasuprafeeiidistanadela centrul de greutate al acesteia la axa respectiv. Observaii Dac axa trece prin centrul de greutate al suprafeei momentul static este nul. Dacsuprafaaplanesteofigurcompus,easedescompunenfiguri geometrice simple. Momentul static total este suma momentelor statice pariale. VIII. 3. 1.Aplicaii Momentul static al unui dreptunghi Considerm dreptunghiul bxh Pentru fia S: Pentru dreptunghi: Valorile pariale se pot pune ntro diagram care d variaia momentului static. z GSy GSS y S y SS z S z S= A= = A= EE2b hS2h bS2y2z==________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorMomente de inerie47 Momentul static al unei figuri compuse VIII. 4.Momente de inerie Momentele de inerie pot fi: -axiale (fa de o ax) -centrifuge (fa de dou axe) -polare (fa de un punct) VIII. 4. 1.Momente de inerie axiale Prin definiie momentul de inerie axial al elementului de suprafa S fa de axa z este produsul y2S. Momentuldeinerieaxialaluneisuprafeeestedat desumaproduselory2Spentruntreagasuprafa, raportat la axa respectiv (z). Observaie Momenteledeinerieaxialesuntntotdeaunapozitive.Dacsistemuldeaxe yOztreceprincentruldegreutatealsuprafeei,momenteledeineriecalculaten raport cu aceste axe se numesc momente de inerie principale (centrale). ( )3 2 1 y3 3 2 2 1 1 zS S S z Sy S y S y S S+ + = + + =A =A =S2yS2zS z IS y I________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorMomente de inerie48 A =S2pS r IVIII. 4. 2.Momente de inerie centrifuge Prindefiniie,momentuldeineriecentrifugalelementuluidesuprafaSdinfigura precedent, fa de axele y i z, este dat de produsul yzS. Momentul de inerie centrifug al suprafeei S fa de axele y i z este dat de suma produselor yzS ale suprafeei. VIII. 4. 3.Momente de inerie polare Ne referim la figura precedent i considerm drept pol punctul de intersecie al celor dou axe. Prindefiniie,momentuldeineriepolaralelementuluidesuprafaSestedatdeprodusul r2S. Momentul de inerie polar al suprafeei S fa de polul O este dat de suma produselor r2S ale suprafeei. Observaii Momentul de inerie polar este ntotdeauna pozitiv. Momentul de inerie polar este egal cu suma momentelor de inerie axiale fa de dou axe perpendiculare ce trec prin pol. VIII. 4. 4.Variaia momentelor de inerie axiale n raport cu dou axe paralele Considermsuprafaadinfiguridou axe paralele z i z1. Putem scrie momentele de inerie axiale fa de cele dou axe: Avem: y1 = y + l Putem scrie: Observaie Momentele de inerie pot fi pozitive, negative sau nule. A =SyzS z y IA =A =S21 zS2zS y IS y I1( ) A + A + A =A + =S S S2 2zS2zS l S l y 2 S y IS l y I11________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorMomente de inerie49 maxpprIW = Dac axa z trece prin centrul de greutate al suprafeei, cota yG = 0 Observaie Cel mai mic moment de inerie axial al unei suprafee se obine fa de o ax ce trece prin centrul de greutate al suprafeei. VIII. 5.Raze de inerie Raza de inerie este o caracteristic geometric a suprafeei. Se determin cu relaiile: Raza de inerieestedistanafictivlacaresegsetesuprafaa,astfelcaprodusuldintre ptratul razei de inerie i suprafa s fie egal cu momentul de inerie. VIII. 6.Module de rezisten Modulul de rezisten al unei suprafee n raport cu o ax este raportul dintre momentul de inerie i distana de la marginea seciunii la ax. Modulele de rezisten axiale au relaiile: n mod asemntor putem scrie o relaie pentru modulul de rezisten polar: S l S l 2 I I2z z z1 + + =ecuaia lui Steiner S l I I2z z1 + = Steiner === = SIiSIyiI i SI i Szzyz2zy2ymaxyymaxzzzIWyIW==________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorMomente de inerie50 12h bI3Z=12b hI3Y=2bzmax =2hymax =12aI I4Y Z= =2ay zmax max= =6aW W3Y Z= =64dI I4Y Z t= =2dy zmax max= =6dW W3Y Z t= =( )D 32d DW W4 4Y Z t= =2Dy zmax max= =( )64d DI I4 4Y Z t= =VIII. 7.Momente de inerie i module de rezisten pentru unele suprafee geometrice simple Tabelul nr.2 FIGURA GEOMETRIC Momentul de inerie fa de Distana de la marginea seciunii la Modulul de rezisten fa de Axa zAxa yAxa zAxa yAxa zAxa y 0123456 z y h b z y a 6h bW2Z=6b hW2Y=z y d D z y d ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorMomente de inerie51 Observaie Pentru solicitrile de ncovoiere i rsucire se confecioneaz semifabricate ale crorseciuniaucelemaimarimomentedeinerieimodulederezistenlacele mai mici consumuri de material. PentruncovoiereavemprofileleIiU,lacaresedauntabelespecifice valorile momentelor de inerie i modulelor de rezisten. Tabelul nr.3 Mrimile statice fa de axa zy Simbol hbdSGIzWzizIyWyiy mmmmmmmm2kg/mcm4cm3cmcm4cm3cm I 880423,97585,9577,819,53,206,293,000,91 I 10 100504,51.0608,3217134,24,0112,24,881,07 I 12120585,11.42011,232854,74,8121,57,411,23 I 14140665,71.83014,457381,95,6136,210,711,40 I 16160746,32.28017,99351176,4054,714,81,55 I 18180826,92.79021,91.4501617,2081,319,81,71 I 20200907,53.35026,32.1402148,0011726,01,87 I 22220988,13.96031,13.0602788,8016233,12,02 I 242401068,74.61036,24.2503549,5922141,72,20 I 262601139,45.34041,95.74044210,428851,02,32 I 2828011910,16.11048,07.59054211,136461,22,45 I 3030012510,86.91054,29.80065311,945172,22,56 z b y d h h nlimea b limea d grosimea inimii S aria seciunii G masa teoretic ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea52 IX.NCOVOIEREA IX. 1. Mrimi utilizate SimbolulDenumirea Unitatea de msur a distana de la fora N la reazemul Amm b distana de la fora N la reazemul Bmm d distana de la punctul P la direcia foreimm llungimea bareimm l alungirea mm rg raza de giraie (raza de curbare a axei barei)mm ydistana de la axa barei la o fibr oarecaremm ymax distana de la axa barei la fibra cea mai deprtatmm unghiul la centru ntre dou seciuni apropiate ale barei ncovoiate grad Sef seciunea efectivmm2 Snec seciunea necesarmm2 Wz modulul de rezisten axial al seciunii mm3 Wz.efmodulul de rezisten axial efectivmm3 Wz.nec modulul de rezisten axial necesarmm3 Iz momentul de inerie al seciuniimm4 Izfmomentul de inerie al seciunii fibrei fa de axa neutrmm4 FforaN N fora normal (axial)N T fora tietoare (transversal)N RA

reaciunea n reazemul AN RB

reaciunea n reazemul BN M momentul ncovoietorNmm Mmax

momentul ncovoietor maximNmm Mf

momentul ncovoietor pe fibrNmm Msf momentul static al seciunii fibrei fa de axa neutrmm3 alungirea specific efortul unitar la ntindere ai efortul unitar admisibil la ncovoiere (rezistena admisibil) c efortul unitar la compresiune ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea53 d F M =Fd P ef efortul unitar efectiv max efortul unitar maxim t efortul unitar la traciune (ntindere) Emodulul de elasticitate longitudinal IX. 2. Generaliti O bar dreapt se consider solicitat la ncovoiere cnd eforturile ntro seciune oarecare tind s dea acesteia o rotaie, n jurul unei axe coninute n planul seciunii. Ilustrare Momentul ncovoietorcomponentaefortului,caretindesdeauneiseciuniorotaie n jurul unei axe coninute de planul seciunii. Momentuluneiforefadeunpunctestedatdeprodusuldintreforidistanaceamai scurt de la punct la direcia forei. Momentulesteomrimevectorialcaiforadarpentru cazurilenoastre,cuosingurdirecieaforelor,lvomnotan continuare fr semnul specific. Cailacelelaltesolicitri,sepoatepunenevideno legtur ntre efort i deformaie. Pentru ilustrare, reprezentm la scar mrit o bar solicitat la ncovoiere. Ilustrare ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea54 Observaii Considermbaraformatdinfibreparalelecuaxaidouplanetransversale, AA i BB, care limiteaz sectorul studiat. Subaciuneamomentuluincovoietorfibrelesuperioaresecomprimiarcele inferioare se lungesc. Fibramedie(axabarei)rmneneutrdeoarecetrecereadelantinderela compresiune se face prin punctul zero. Considerm c fibra neutr se curbeaz dup un arc de cerc, a crui raz este rg. ConformipotezeiluiBernoulli,celedouseciunimarcate(AAiBB)rmnplanein timpul ncovoierii.Lumunsegmentoarecaredefibrmn,pentrucarevomdeducelegealuiHooke,caila ntindere. ReprezentmplanulAII AII,paralelcuplanul AI AI,pentruailustraalungireafibreimn fa de poziia nesolicitat. Alungirea specific a fibrei este: Considerm ndeplinit condiia de elasticitate: Deoarece asupra fibrei lucreaz numai ncovoierea, nu avem fore axiale: gyE Ero = o =cIg gy yl nnl mn r r oAc = = = = o________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea55 Produsul reprezint momentul static al seciunii fibrei fa de axa neutr: Pentru bar vom scrie: adic momentul static al seciunii barei fa de axa neutr este nul, ceea ce confirm faptul c axa neutr trece prin centrul de greutate al seciunii. Determinm mrimea momentului ncovoietor pe fibr: Produsul y2Sfreprezint momentul de inerie al seciunii fibrei fa de axa neutr: Avem sistemul de ecuaii: din care rezult: Pentru bar vom scrie: din care rezult: FormulaNaviernedefortulunitarntrofibroarecare,nsefortulmaximseproducela extremiti fa de fibra neutr: Pentru c0rEg=0 S yf = rezult c sf fM S y = = A = A = 0 S y 0 S yrENgf2gfgforo f fS yrEy S Eryy S M = = o =zf f2I S y = o=co= =yrEIrEMgzfgfyIMzff o= ecuaia lui Navier o=co= = A = = yrEIrES yrEM Mgzg2gfyIMz o= yIMz = oecuaia lui Naviersau Notm raportul zmaxzWyI=i rezult: maxzmaxyIM = o = = o ==fgfgfS yrES EryS N0 N________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea56 Am obinut formula de baz pentru calculul la ncovoiere. Observaii Cailantinderecompresiune,efortulunitarestedatderaportuldintre solicitare i elementele seciunii. FormulaNavierseapliclabarealecrorseciuniauoaxdesimetrie,cu sarcini coninute n planul de simetrie. Axaneutrdelacaresemsoartreceprincentruldegreutatealseciuniii este perpendicular pe axa de simetrie a acesteia. IX. 3. Reazeme Barele solicitate la ncovoiere au legturi cu alte elemente, datorit crora au o anumit poziie. Reazem legtur care constrnge o pies s rmn n contact cu alt pies. Clasificareareazemelorsefacenfunciedenumrulconstrngerilorlacareestesupus micarea unei piese n legtur cu alt pies. Reazemulsimpluconstrngebarasrmnncontactcuunpunctpesuprafaaaltui element. Permite rotaia i translaia.Articulaiaconstrngebarasrmncuoaxncontactpermanentcualtax,fixn spaiu. Permite rotaia. ncastrarea constrnge bara s rmn cu o extremitate fixat n alt element. Nu permite nici o micare. Ilustrare reprezentare detaliat reprezentare convenional Reazemul simpluArticulaiancastrarea zmaxWM= o________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea57 Exemple de bare rezemate I bar cu reazem simplu la un capt i articulaie la cellalt II bar n consol, ncastrat la un capt III bar articulat la ambele capete n mod obinuit vom folosi prima bar ca model, fiind cea mai convenabil; reazemul simplu la un capt i articulaia la cellalt capt permit ncovoierea fr a mai introduce i alte solicitri. Pentru simplificare, o vom numi bara standard. Deoarece studiem numai bare drepte, cu fore perpendiculare pe ele (tietoare) ce acioneaz n centreledegreutatealeseciunilor,putemreprezentabarelesubformdeliniicontinuecare simbolizeaz axele barelor. IX. 4. Reaciuni Ca urmare a solicitrilor exterioare pe bare, n reazemele lor apar reaciuni (fore i momente), care depind de tipul reazemului (Vezi paragraful II. 3.): Reazem mobilReazem fixncastrare Fore tietoare Fore normale Fore tietoare Fore normale Fore tietoare Momente Considermobarstandard,pecare acioneaz fora T n punctul 1. Cunoatemmrimeaforei,deasemenea lungimile a i b. Ce mrime au reaciunile n reazemele A i B? ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea58 Reprezentm reaciunile RA i RB ca fiind de sens opus forei T. Avemdounecunoscute,decitrebuies stabilim dou ecuaii. Pentruadeterminamrimeareaciunilorvom utiliza o lege a fizicii, legea echilibrului. IX. 4. 1. Legea echilibrului forelor Suma tuturor forelor care acioneaz bara este zero. Pentru a scrie ecuaia trebuie precizat regula semnului: Se consider pozitiv fora ndreptat n sus. Scriem toate forele, de la stnga la dreapta i obinem ecuaia echilibrului forelor: + RA T + RB = 0sau RA + RB = T IX. 4. 2. Legea echilibrului momentelor Suma tuturor momentelor, fa de acelai punct, este zero. Pentru a scrie ecuaia trebuie precizat regula semnului: Se consider pozitiv momentul care tinde s roteasc n sens orar fa de punct. nprincipiu,putemalegeoricepunctpentruascrielegeaechilibruluimomentelor.Celemai convenabile sunt ns reazemele, pe care le considerm fixe. Fa de reazemul A: Fa de reazemul B: Observaii Amobinutvalorilecelordoureaciuniframaiutilizaecuaiaechilibrului forelor. npracticreaciunilesecalculeazcuecuaiileechilibruluimomentelorise face verificarea cu ecuaia echilibrului forelor. Am putut scrie ecuaiile echilibrului cunoscnd sensul reaciunilor (opuse sensului forei T). ( )( )lbT R0 b T l R0 MlaT R0 l R a T0 MABBBBA== +=== +=________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea59 Care este sensul reaciunilor cnd pe bar acioneaz mai multe fore tietoare? Se pot reprezenta sensurile reaciunilor RA i RB din figura alturat? Cndpebaracioneazmaimultefore,nucunoatemsensurilereaciuniloriprocedmn felul urmtor: 1.Se reprezint reaciunile la ntmplare (n sus sau n jos). 2.Se calculeaz reaciunile cu ecuaiile echilibrului momentelor, fa de reazeme. a.Dac,nurmacalculului,oreaciunerezultcusemnul+nseamncam reprezentato corect. b.Dac,nurmacalculului,oreaciunerezultcusemnulnseamncam reprezentato greit i inversm doar sensul ei pe desen (fr a reface calculele, deoarece valoarea este corect). 3.Se face verificarea cu ecuaia echilibrului forelor. IX. 4. 3. Aplicaie Ssedeterminereaciunilepentru bara din figura alturat. Caincelelaltecazuri,msurm T [N] i l [mm] 1. Se reprezint reaciunile la ntmplare Lum:RApozitiv RBnegativ ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea60 2.Se calculeaz reaciunile cu ecuaiile echilibrului momentelor: RA a rezultat pozitiv, nseamn c am reprezentato corect. RB a rezultat negativ, nseamn c am reprezentato invers; modificm sensul forei pe desen. 1.Se face verificarea cu ecuaia echilibrului forelor:+8.000 10.000 +20.000 30.000 +12.000 = 0 0 = 0 IX. 5. Diagrama forelor tietoare Dacasuprauneibaredrepteacioneazmaimulteforetietoare,estenecesarsconstruim diagrama forelor tietoare, care s ne arate valoarea forei tietoare n fiecare seciune. Pentrubaradinfigura alturat, ce valoare are foratietoaredin punctul R? ( )ABBBM 010.000100 20.000500 30.000700 R 1.000 0 :1.0001.000 10.000 21.000 R 0R 12.000N=+ + + =+ + + == ( )BAAAM 0R 1.000 10.000900 20.000500 30.000 300 0 :1.000R 9.000 10.000 9.000 0R 8.000N=+ + =+ + == +________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea61 IX. 5. 1. Reguli de trasare 1.Diagrama se traseaz la o scar a forelor. 2.Diagrama este format din linii orizontale, care fac un salt n dreptul forelor tietoare. 3.Deasupra liniei de referin diagrama se consider pozitiv. OBSERVAIEConstrucia diagramei ncepe din stnga, de pe linia de referin. IX. 5. 2. Aplicaie S se traseze diagrama forelor tietoare pentru bara reprezentat mai sus. 1.Vom reprezenta forele tietoare la scara 10.000 N = 1 cm. Rspuns: n punctul R avem fora TR = 2.000 N .Observaii Pornind de la construcia diagramei din stnga, de pe linia de referin (linia 0) trebuiesajungemlacaptuldindreaptatotpeliniadereferin,pentruarespecta legea echilibrului forelor. Cnd avem fore tietoare concentrate, diagrama forelor tietoare este format din valori constante pe intervale (linii orizontale). IX. 6. Diagrama momentelor ncovoietoare Ca urmare a forelor tietoare, n lungul barei avem diferite valori ale momentului ncovoietor. Estenecesarsconstruimdiagramamomentelorncovoietoare,caresnearatevaloarea momentului ncovoietor n fiecare punct al barei. ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea62 IX. 6. 1. Reguli de trasare 1.Diagrama se traseaz la o scar a momentelor. 2.Diagrama este format din linii drepte, care se frng n dreptul unei fore. 3.ntrun punct oarecare al barei, momentul ncovoietor este egal cu suma momentelor din stnga punctului sau cu suma momentelor din dreapta punctului cu semn schimbat. 4.Deasupra liniei de referin diagrama se consider negativ. Observaii n calcule se respect regula semnului pentru momente, pe care am stabilito la legea echilibrului momentelor. Pe diagram momentul se va reprezenta ca un vector perpendicular pe linia de referin. IX. 6. 2. Aplicaie Considerm bara din aplicaia de la diagrama forelor tietoare. Practic,pentruatrasadiagramamomentelorncovoietoarecalculmmomentulncovoietorn fiecare punct n care acioneaz o for. MA = 0 M1 = +8.000100 = 800.000 M2 = +8.000500 10.000400 M2 = 0 M3 = (12.000300) M2 = +360.000 MB = 0 Ca i n celelalte cazuri, M [Nmm] Amreprezentatdiagramamomentelorncovoietoaresubdiagramaforelortietoare,alegnd ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea63 scara: 100.000 Nmm = 1 mm Observaie Sejustificacumdecevalorilepozitivesereprezintsubliniadereferin ele ilustreaz astfel i deformaia barei. IX. 7. Calculul la ncovoiere Formula de baz pentru calculul la ncovoiere este: Avem o relaie ntre trei mrimi, fiecare dintre ele putnd fi necunoscut. Ca i la celelalte solicitri, apar trei variante de calcul: -Dimensionarea, n care necunoscut este seciunea barei -Verificarea, n care necunoscut este efortul unitar al seciunilor unei bare date -Determinareamomentuluincovoietorcapabil,ncarenecunoscuteste momentul ncovoietor pe care l poate suporta o bar dat Observaie Aceastvariantdecalculsebazeazpecondiiaderezisten,adicpe cunoaterea rezistenei admisibile. Pentruobarsolicitatlancovoierepurdeformaiaarelocdupunarcde cerc de raz rg. Produsul EIz se numete rigiditate la ncovoiere. IX. 8. Mersul calculelor IX. 8. 1. Condiia de rezisten Dimensionarea 1. Se reprezint toate elementele barei. 2. Se reprezint reciunile la ntmplare. AB 1 2 3 ZmaxWM= org . constI EMr1z g==________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea64 3. Se calculeaz reaciunile cu ecuaiile echilibrului momentelor, fa de reazeme. (Dac din calcul o reaciune rezult cu semnul se inverseaz sensul ei pe desen) 4. Se face verificarea cu ecuaia echilibrului forelor. 5.Se traseaz diagrama forelor tietoare. 6.Se calculeaz momentul ncovoietor n fiecare punct n care acioneaz o for. 7.Se traseaz diagrama momentelor ncovoietoare. 8.Se scoate cel mai mare moment ncovoietor din diagram, indiferent de semn (Mmax). 9.Se aleg un material pentru care se determin, din tabelul de materiale (Tabelul nr.1), rezistena admisibil ai. 10. Se calculeaz modulul de rezisten axial necesar barei: 11. Se alege o form optim de seciune pentru care se cunoate formula modulului de rezisten axial (Tabelul nr.2). (Sau se alege un profil, din tabelul de profile standardizate Tabelul nr.3) 12. Se calculeaz dimensiunile seciunii alese, rotunjindule prin mrire. (Sausestabileteprofilulstandardizatcarearevaloareamodululuiderezistenaxial acoperitoare) Verificarea 1. Se reprezint toate elementele barei. 2. Se stabilete, din tabelul de materiale (Tabelul nr.1), rezistena admisibil ai. 3. Se reprezint reciunile la ntmplare. 4. Se calculeaz reaciunile cu ecuaiile echilibrului momentelor, fa de reazeme. (Dac din calcul o reaciune rezult cu semnul se inverseaz sensul ei pe desen) 5.Se face verificarea cu ecuaia echilibrului forelor. 6.Se traseaz diagrama forelor tietoare. 7.Se calculeaz momentul ncovoietor n fiecare punct n care acioneaz o for. 8.Se traseaz diagrama momentelor ncovoietoare. 9.Se scoate cel mai mare moment ncovoietor din diagram, indiferent de semn (Mmax). (Dacbaraaremaimultemrimideseciuni,potsexistemaimulteseciuni periculoase i facem verificarea pentru toate) 10.Sedeterminmodululderezistenaxialalseciuniincareacioneazmomentul ncovoietor maxim Wz. (Sau modulele de rezisten axiale ale seciunilor considerate periculoase) 11.Se calculeaz efortul unitar efectiv n seciune: aimaxZnecMWo=________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea65 Zef ai capW M o sZ gI EMr1=ZWM= onecaimaxZSMW o>aiZmaxefWMo s = oZef ai capW M o s100 20.00020.000 30.000 400200300 12.Se compar cele dou eforturi unitare: Dac: ef ai bara verific ef> ai bara nu verific Determinarea momentului capabil 1.Se reprezint toate elementele barei. 2.Se stabilete, din tabelul de materiale, rezistena admisibil ai. 3.Sedeterminmodululderezistenaxialalseciuniincaredorimsaflmmomentul ncovoietor WZef valoare efectiv. 4.Se calculeaz momentul ncovoietor capabil: IX. 9. Sinteza solicitrii Legea lui Hooke (domeniul elastic) Felul calcululuiCondiia de rezisten Dimensionarea Verificarea Determinarea momentului capabil IX. 10.AplicaiiI. S se dimensioneze la ncovoiere bara din figur: Ilustrare ZmaxefWM= o________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea66 Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1.Reprezentm toate elementele barei notm reazemele i punctele de aplicaie ale forelor. 2.Reprezentm reciunile la ntmplare RA pozitiv i RB negativ. Ilustrare 3.Calculm reaciunile cu ecuaiile echilibrului momentelor, fa de reazeme. Reaciunea RB a rezultat pozitiv, nseamn c este reprezentat corect n jos. ReaciuneaRAarezultatnegativ,nseamncamreprezentatogreitnsus;corectm desenul, reprezentnd pe RA n jos. Ilustrare ( )ABBBM 020.000 200 30.000600 20.000900 R 1.000 0 :1.0004.000 18.000 18.000 R 0R 4.000N= + + = + + == +( )BAABM 0R 1.000 20.000800 30.000400 20.000100 0 :1.000R 16.000 12.000 2.000 0R 6.000N=+ + + =+ + + == 100 AB 20.00020.000 1 30.000 2 3 400200300 RA RB 100 AB 20.00020.000 1 30.000 2 3 400200300 6.000 4.000 ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea67 4.Facem verificarea cu ecuaia echilibrului forelor: 6.000 +20.000 30.000 +20.000 4.000 = 0 +4.000 4.000 = 0 5.Trasm diagrama forelor tietoare: Stabilim scara forelor: 1.000 N = 1 mm 6.Se calculeaz momentul ncovoietor n fiecare punct n care acioneaz o for: MA = 0 M1 = 6.000200 = 1.200.000 Nmm M2 = 6.000600 +20.000400 = +4.400.000 Nmm M3 = 4.000100 = 400.000 Nmm MB = 0 7.Trasm diagrama momentelor ncovoietoare: Stabilim scara momentelor: 100.000 Nmm = 1 mm ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea68 8.Scoatemcelmaimaremomentncovoietordindiagramamomentelorncovoietoare,fra ine seama de semn: Mmax = 4.400.000 Nmm 9.Alegempentrubar,dinTabelulnr.1,oelulOL37,pentrucareapreciem:ai = 140 10. Calculm modulul de rezisten axial necesar barei: 11. Alegem pentru bar seciunea de form circular pentru care avem, din Tabelul nr.2, formula modulului de rezisten axial: 12. Din punctele 10 i 11 rezult: Rotunjim la valoarea standardizat cea mai apropiat: dnec = 70 mm II. S se verifice la ncovoiere profilul I 14/OL 37, solicitat ca n figur: Ilustrare Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1.Reprezentm toate elementele barei notm reazemele i punctele de aplicaie ale forelor. 2.Reprezentmambelereaciuninsus(pozitive)deoarecetoateforeledeaciunesunt negative. 3.Calculm reaciunile cu ecuaiile echilibrului momentelor, fa de reazeme. 3 3Znec Znec4.400.000W mm W 31.428mm140> >32dW3Z t=mm 4 , 68 d428 . 31 32d428 . 3132dnec3nec3>t>> t20.000 30.000 300200300 ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea69 4.Facem verificarea cu ecuaia echilibrului forelor: +26.250 20.000 30.000 +23.750 = 0 +50.000 50.000 = 0 5.Trasm diagrama forelor tietoare: Stabilim scara forelor: 1.000 N = 1 mm 6.Se calculeaz momentul ncovoietor n fiecare punct n care acioneaz o for: MA = 0 M1 = +26.250200M1 = +5.250.000 Nmm M2 = +23.750300 M2 = +7.120.000 Nmm MB = 0 7. Trasmdiagramamomentelor ncovoietoare: Stabilimscaramomentelor:50.000 ( )BAABM 0R 800 20.000600 30.000 300 0 :1008R 120.000 90.000 0R 26.250N=+ =+ == +( )ABBBM 020.000 200 30.000500 R 800 0 :10040.000 150.000 8R 0R 23.750N=+ + =+ + == +________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorncovoierea70 Nmm = 1 mm 8.Scoatemcelmaimaremomentncovoietordindiagramamomentelorncovoietoare,fra ine seama de semn: Mmax = 7.125.000 Nmm 9.Stabilim, din Tabelul nr.1, oelul OL 37, pentru care apreciem: ai = 140 10. Scoatem pentru profilul I 14, din tabelul nr. 3, modulul de rezisten axial: Wz = 81.000 mm3 11. Calculm efortul unitar efectiv n seciunea periculoas: 12. Comparm cele dou eforturi unitare: 87 < 140 Profilul I 14 verific. 2efmmN87900 . 81000 . 125 . 7= = o________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorRsucirea71 X.RSUCIREA X. 1.Mrimi utilizate SimbolulDenumirea Unitatea de msur d diametrul mm D diametrul exteriormm fsgeata arculuimm fs sgeata unei spire de arcmm l lungimea mm rrazamm Rraza maximmm unghi de deformare (de alunecare specific)radiani unghi de rotireradiani unghi de rotire specificradiani a unghi de rotire specific admisibilradiani Selement de suprafamm2 FforaN Mr momentul de rsucire (torsiune)N mmIpmomentul de inerie polarmm4 Wpmodulul de rezisten polarmm3 Wp.nec modulul de rezisten polar necesarmm3 efortul unitar transversal ef efortul unitar transversal efectiv ar efortul unitar transversal admisibil Gmodulul de elasticitate transversal Pputereakwnturaiarot/min z numrul de spire X. 2.Generaliti O bar dreapt se consider solicitat la rsucire cnd eforturile ntro seciune oarecare tind s dea acesteia o rotaie, fa de seciunile alturate, n jurul unei axe perpendiculare n planul seciunii. ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorRsucirea72 Ilustrare Moment de rsucire component a efortului, care tinde s dea unei seciuni o rotaie n jurul unei axe perpendiculare pe planul seciunii. Momentuldersucire,caimomentulncovoietor,este produsul dintre o for i o distan: Mr = Fl Observaie Solicitareadersuciresestudiazmaisimpluncazulseciunilorcircularesau inelare; aceste cazuri vor fi tratate n continuare. Ipoteze -Axa barei rmne dreapt. -Seciunile transversale se rotesc relativ una fa de cealalt. -Dacoextremitateabareiestefix,rotireaestecuattmaimarecuct seciunea este mai deprtat de captul fix. -Seciunile rmn plane i dup deformare (Bernoulli). -Nu apar eforturi unitare normale pe seciune. Ca i la celelalte solicitri, se poate pune n eviden o legtur ntre efort i deformaie. Considerm o bar dreapt, de seciune circular, solicitat la rsucire. ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelorRsucirea73 G =tGr=u t Ca urmare a aciunii momentului de rsucire Mr linia AB se rotete, devenind linia ABI. Se formeaz dou triunghiuri ABBI i OBBI. Pentruunghiurimici(ipotezadeformaiilormici)tangentelesuntaproximativegalecu unghiurile exprimate n radiani: Rezult relaia de deformare: La rsucirea barelor rotunde avem numai eforturi unitare tangeniale, care sunt proporionale cu alunecrile specifice, conform legii lui Hooke: Observaie Unghiul depinde de distana l; putem defini un unghi de rotire specific, ce caracterizeaz o anumit solicitare: m = m = = )`= m= tgABOBtg tg