Rezistenta Materialelor Solicitari Variabile

7.SOLICITĂRI VARIABILE

Părţile componente ale maşinilor, vehiculelor şi structurilor sunt solicitate în timpul exploatării lor de sarcini exterioare care produc tensiuni. Dacă tensiunile sunt prea mari se poate produce deformarea excesivă sau chiar fisurarea piesei şi, în final, ruperea acesteia. O importantă îndatorire a inginerului este de a preveni un astfel de eveniment nedorit, deci de a asigura integritatea structurală a piesei sau a structurii ce o proiectează.

Pentru asigurarea integrităţii structurale, un prim şi elementar deziderat este ca tensiunea maximă să fie mai mică decât rezistenţa la rupere a materialului din care este confecţionată piesa. Din păcate, o astfel de analiză este insuficientă datorită unor cauze complexe ce pot fi sintetizate astfel :

tensiunea acţionează, de cele mai multe ori, pe mai mult de o direcţie, deci starea de tensiune este biaxială sau triaxială;

în realitate pot exista defecte sau fisuri care trebuie neapărat considerate;

tensiunea poate acţiona pe perioade lungi de timp;

tensiunea poate fi aplicată şi îndepărtată în mod repetat sau direcţia pe care acţionează aceasta este inversată în mod repetat.

Rupere se poate produce dacă încărcarea nu se modifică în timp sau se schimbă foarte puţin, o astfel de încărcare numindu-se statică. Dacă în timpul ruperii nu se produce deformarea plastică, ruperea se numeşte fragilă. Ruperea ductilă este însoţită de deformaţii plastice mari şi, uneori, implică un proces lent de forfecare.

Ruperea se poate produce şi datorită acţiunii repetate a încărcării, numită şi încărcare ciclică. Procesul de iniţiere şi propagare a uneia sau a mai multor fisuri ce duce la producerea ruperii se numeşte oboseală. Creşterea fisurii poate duce la ruperea fragilă sau ductilă dacă lungimea fisurii este suficient de mare. Analiza propagării fisurii prin oboseală permite stabilirea unor intervale de control şi eliminarea fisurilor periculoase din piesele sau structurile ce sunt studiate.

ELEMENTE DE REZISTENŢA MATERIALELOR

Oboseala a fost abordată ca o problemă inginerească în urma ruperii osiilor de locomotivă, începând din 1850. Inginerul german Wöhler a efectuat primele studii sistematice arătând că ruperea prin oboseală se produce la o valoare a tensiunii inferioară rezistenţei la rupere statică dacă încărcarea ciclică se produce de un număr suficient de mare de ori. Ruperea nu are loc oricât de mare ar fi numărul de cicluri dacă tensiunea maximă are o valoare inferioară unei valori limită, numită limita de oboseală.

De atunci s-au făcut progrese importante şi, o dată cu dezvoltarea ştiinţei şi tehnologiei au fost formulate puncte de vedere diferite în studiul oboselii. La ora actuală sunt utilizate trei metode de analiză:

1. Cea mai folosită este metoda lui Wöhler care se bazează pe stabilirea tensiunii nominale maxime la care piesa rezistă în urma solicitării ciclice, tensiune ce este corectată prin relaţii semiempirice pentru a ţine cont de eventualii concentratori de tensiune;

2. O altă metodă se bazează pe studiul deformaţiei specifice ce se produce prin posibila curgere localizată în zona concentratorilor de tensiune prin aplicarea unei încărcări ciclice;

3. O a treia metodă de analiză utilizează conceptele mecanicii ruperii şi studiază propagarea fisurii prin oboseală.

7.1 Cicluri de solicitări variabile

În unele aplicaţii practice şi cele mai multe încercări standardizate la oboseală, solicitarea are o variaţie periodică şi ciclică între o valoare maximă şi una minimă a tensiunii, valori ce nu se modifică în timp şi sunt notate σmax şi σmin . O astfel de încărcare, numită de amplitudine constantă este ilustrată în figura 7.1.

Se calculează următoarele mărimi :

• amplitudinea tensiunii ( ) ;2minmax σσσ −=a

• variaţia tensiunii ;2minmax aσσσσ =−=∆

• tensiunea medie ( ) ;2minmax σσσ +=m

• coeficientul de asimetrie, calculat ca raportul dintre valorile algebrice ale tensiunilor minime şi a celei maxime

;maxmin σσ=R

107

7. SOLICITĂRI VARIABILE

• caracteristica ciclului, calculată ca raportul dintre valorile absolute ale amplitudinii şi tensiunii medii .maA σσ=

Fig. 7.1

Mărimile σa şi ∆σ sunt totdeauna pozitive deoarece σmax > σmin , dar σmax , σmin şi σm pot fi pozitive sau negative, tensiunea pozitivă fiind cea de întindere. Câteva relaţii suplimentare pot fi stabilite cu ajutorul mărimilor calculate anterior:

( ) ( ) .11;

11;21;1 maxmax R

RAAARRR m +

−=+−=+=−=∆ σσσσ

Dacă tensiunea medie este zero (fig. 7.1, a) definirea unui ciclu se poate face cunoscând amplitudinea tensiunii σa sau valoarea maximă a tensiunii σmax

(acestea fiind numeric egale). Dacă tensiunea medie este diferită de zero, două mărimi independente sunt necesare pentru a defini încărcarea : σa şi σm ; σmax şi R ; σmax şi σmin ; σa şi A .

Câteva cazuri particulare de solicitare ciclică sunt prezentate în fig. 7.2:

a) ciclu alternant simetric ; b) ciclu pulsant ; c) ciclu oscilant.

Precizăm că tensiunea nominală (medie), notată cu σ, este variabila care stă la baza studiului oboselii prin analiza tensiunilor şi este calculată în ipoteza existenţei unei secţiuni constante. Prezenţa unui concentrator produce o creştere importantă a tensiunii şi se obţin posibile deformaţii elasto-plastice locale. Tensiunea nominală nu poate fi utilizată pentru a modela corect răspunsul materialului în zona concentratorului.

108


Fig. 7.2

7.2 Rezistenţa la oboseală. Curba lui Wöhler

Dacă o epruvetă sau o piesă este solicitată ciclic cu amplitudine suficient de mare se va iniţia şi extinde o fisură sau un defect producându-se, în final, ruperea prin oboseală după un număr de cicluri, numit durabilitate. Dacă încercarea se efectuează la un nivel mai mare al solicitării numărul de cicluri până la rupere va fi mai mic.

Cercetările sistematice sunt realizate la solicitări ciclice de amplitudine constantă, de regulă alternant simetrică. Se stabileşte astfel perechea de valori, valoarea amplitudinii ciclului - numărul de cicluri (durabilitatea) N la care epruveta (piesa) s-a rupt şi punctul corespunzător se reprezintă într-un sistem de coordonate σa - N .

În urma efectuării mai multor încercări, la diferite nivele de solicitare se obţine curba de durabilitate sau curba Wöhler, numită şi diagrama σ - N. Numărul de cicluri la rupere se modifică rapid cu valoarea amplitudinii ciclului şi variază cu câteva ordine de mărime preferându-se reprezentarea durabilităţii la scară logaritmică (fig. 7.3).

Fig. 7.3

109


În mod uzual, tensiunile sunt reprezentate la scară naturală, dar se utilizează şi scara logaritmică.

Pentru unele materiale, oţeluri carbon şi oţeluri aliate, există o valoare a amplitudinii tensiunii la care, în condiţii normale, nu se produce ruperea prin oboseală. Curba σ - N (fig. 7.4, a) tinde asimptotic către un palier orizontal, numit limita de oboseală care, uzual pentru oţeluri, corespunde unei durabilităţi N > 106

cicluri. Curba de durabilitate poate fi trasată şi pentru cicluri nesimetrice, în curba de durabilitate fiind reprezentată tensiunea σmax.

Limita de oboseală se notează σR iar pentru ciclul alternent simetric, cu coeficientul de asimetrie R = -1, limita de oboseală este σ-1. Pentru epruvete fără concentratori şi cu suprafaţa finisată limita de oboseală astfel determinată devine o proprietate de material.

Pentru materiale la care curba de durabilitate nu prezintă un palier orizontal (fig. 7.4, b) cum sunt aliajele de aluminiu sau cupru, se determină rezistenţa la durabilitate limitată, notată σN, ce corespunde unei durabilităţi definite arbitrar, la un număr de 107 sau 108 cicluri.

Fig. 7.4

Termenul rezistenţă la oboseală este utilizat pentru a arăta valoarea amplitudinii tensiunii (pentru ciclul alternant simetric) din curba σ - N ce corespunde unei durabilităţi de N cicluri, de exemplu 105 cicluri.

Oboseala la durabilităţi mari implică o durabilitate de 106 până la 107

cicluri sau chiar mai mare. Nivelul tensiunilor este relativ scăzut iar efectele curgerii sunt neglijabile, deformaţiile fiind preponderent elastice, astfel că analiza tensiunilor în studiul oboselii constituie o soluţie acceptabilă.

Oboseala la durabilităţi mici corespunde unei durabilităţi de 102 până la 103 cicluri sau chiar mai mici. Efectele curgerii sunt considerabile şi este necesar să se considere deformaţiile plastice. Aceasta se face prin modificarea analizei tensiunilor sau, mai curând, prin analiza deformaţiilor specifice în studiul oboselii.

110


Oboseala la durabilităţi medii este uzual considerată între 104 - 105

cicluri, dar poate fi sub 103 cicluri pentru metale de rezistenţă mare şi mai mare de 106 cicluri pentru metale de rezistenţă foarte scăzută.

7.3 Factori care influenţează rezistenţa la oboseală

7.3.1 Influenţa concentrării tensiunilor

Discontinuităţile geometrice ale secţiunii transversale determinate de găuri, crestături, modificarea dimensiunilor secţiunii, sunt inevitabile în proiectare. Din păcate, ele produc o concentrare nedorită a tensiunilor care va avea ca efect scurtarea duratei de viaţă, respectiv coborârea curbei σ - N, cu atât mai mult cu cât concentrarea tensiunilor este mai puternică.

Coeficientul teoretic de concentrare a tensiunilor este definit prin relaţia

ntK

σσ max= , (7.1)

în care σn este valoarea tensiunii nominale calculată pentru secţiunea netă fără concentrator, iar σmax este valoarea tensiunii locale maxime din zona concentratorului. Pentru o scriere simplificată a relaţiei (7.1) se foloseşte notaţia σmax = σ şi σn = S , deci

.S

K tσ=

Teoretic, concentratorul ar trebui să reducă valoarea amplitudinii tensiunii din curba σ - N de Kt ori pentru orice număr de cicluri până la rupere. În realitate, datele experimentale arată că prezenţa concentratorului are un efect mai mic. Factorul de reducere la un număr mare, limitat, de cicluri ( N = 106 până la 107 sau mai mare) este numit coeficient efectiv de concentrare la oboseală

,a

af S

K σ= (7.2)

definit formal numai pentru cicluri alternant simetrice de amplitudine σa în secţiunea cu concentrator şi Sa în secţiunea fără concentrator.

Din figura 7.5 rezultă că valoarea Kf < Kt pentru piesa cu dimensiunile precizate şi încărcată la încovoiere rotativă. La scăderea valorii razei ρ diferenţa dintre Kf şi Kt creşte.

111


Fig. 7.5

Valorile coeficientului efectiv de concentrare a tensiunilor pentru piese solicitate la încovoiere σK sau răsucie Kτ pentru câteva tipuri de concentratori mai des întâlniţi în practică sunt date în fig.7.6 -7.10.

Cunoscând mărimile r,d

σρ(rezistenţa la rupere) şi

ρtsau

dD , se

determină din diagramă valorile 'K σ (în funcţie de dρ

şi rσ ) şi σm (în funcţie de

dD

sauρt

), apoi se calculează σK cu relaţia

( ).1Km1K ' −+= σσσ

În diagramele din fig. 7.6,a şi b sunt date curbele 'K σ , 'τK pentru trei

valori ale rezistenţei la rupere. Pentru un anumit raport Dρ

dat se trasează curba

'K σ în funcţie de rσ (fig.7.10), putându-se astfel stabili valoarea lui 'K σ , pentru

mărimile date Dρ

şi rσ .

112


Fig. 7.6, a Fig. 7.6, b

Coeficientul efectiv de concentrare a tensiunilor pentru arbori din oţel solicitaţi: a – la încovoiere, b – la răsucire

Fig. 7.7Fig. 7.8

Coeficientul efectiv de concentrare a tensiunilor pentru arbori cu canal de pană executat cu freză disc (curbele a şi a’) şi cu freză deget (curbele b şi b’) solicitate la încovoiere (a şi b) şi la răsucire (a’ şi b’)

Coeficientul efectiv de concentrare a tensiunilor pentru piese cu filet metric

113


Fig. 7.9

Fig. 7.10

Coeficientul efectiv de concentrare a tensiunilor pentru ajustaje presate (p < 30 MPa)

7.3.2 Influenţa dimensiunii piesei

Rezistenţa la oboseală a unei piese netede scade o dată cu creşterea diametrului acesteia. Dacă se cunoaşte limita de oboseală pentru ciclul alternant simetric a epruvetei tip se poate calcula limita de oboseală a unei piese cunoscând valoarea factorului dimensional, simbolizat prin litera ε .

.1,1 −− ⋅= σεσ P (7.3)

În relaţie s-a notat cu σ-1, P - limita de oboseală pentru ciclul alternant simetric a piesei. Factorul dimensional ε este subunitar. Efectul dimensional este diferit la piesele solicitate omogen (la întindere sau compresiune) şi cele solicitate neomogen (la încovoiere sau torsiune). El este cu atât mai puternic cu cât rezistenţa la rupere este mai mare şi efectul de concentrare este mai puternic. În diagrama din figura 7.11, valorile factorului dimensional la tensiuni normale εσ au fost determinate experimental pentru: a) oţel carbon fără concentratori de tensiune; b) oţel aliat fără concentratori sau oţel carbon cu concentratori moderaţi; c) oţel carbon cu concentratori moderaţi; d) oţel cu concentratori puternici.

Variaţia factorului dimensional pentru răsucire ετ este prezentată în figura 7.12.

Fig. 7.11 Fig. 7.12

114


7.3.3 Influenţa calităţii suprafeţei

Starea suprafeţei piesei influenţează rezistenţa la oboseală datorită rugozităţii suprafeţei, neregularităţile fiind concentratori de tensiune. Efectul gradului de prelucrare a suprafeţei asupra limitei de oboseală se exprimă prin coeficientul de calitate a suprafeţei, notat cu γ .

Limita de oboseală la ciclul alternant simetric, σ-1 se determină pentru epruveta standardizată cu suprafaţa lustruită. Coeficientul γ este definit prin relaţia

,1

,1

−

−=σ

σγ p (7.4)

în care σ--1, p este limita de oboseală a aceleiaşi epruvete, dar având un anumit grad

de prelucrare a suprafeţei.

În diagrama din figura 7.13 se dau valorile coeficientului de calitate a suprafeţei pentru piese din oţel solicitate la încovoiere: a) suprafaţă lustruită; b) suprafaţă şlefuită fin (1,5...2 µm); c) suprafaţă finisată (2,5 ... 6 µm); d) suprafaţă strunjită; e) suprafaţă degroşată; f) suprafaţă cu crustă de laminare. Pentru suprafaţa lustruită γ nu depinde de rezistenţa la rupere σr a materialului.

La epruvetele prelucrate prin aşchiere se presupune că nu s-au produs modificări ale microstucturii stratului superficial şi că acesta este lipsit de tensiuni reziduale. Din punct de vedere al rezistenţei la oboseală este importantă asigurarea unei bune calităţi a stratului de la suprafaţa piesei, efecte favorabile fiind obţinute prin durificarea acestuia.

Fig. 7.13

115


7.4 Calculul coeficientului de siguranţă la durabilitate nelimitată

În calculul coeficientului de siguranţă pentru solicitări prin cicluri alternant simetrice este de dorit ca încercarea să fie făcută pe o piesă a cărei formă, dimensiuni, material, tehnologie de prelucrare să fie identice cu cea a piesei ce urmează să fie utilizată practic. Acest lucru este de cele mai multe ori imposibil, datorită costurilor ridicate şi faptului că limita de oboseală a metalului σ-1 este determinată pentru epruvete standardizate. Limita de oboseală a piesei la ciclul alternant simetric σ-1,P se calculează cu relaţia

,1,1 −− ⋅= σε γσf

P K (7.5)

în care ε este factorul dimensional, γ - coeficientul de calitate a suprafeţei, Kf

coeficientul efectiv de concentrare la oboseală. Pentru un ciclu alternant simetric tensiunea maximă este σa şi considerând pe σ-1, P drept stare limită, rezultă valoarea coeficientului de siguranţă la oboseală

.11

,1

afa

f

a

P

KK

cσ

ε γ

σσ

σε γ

σσ

⋅=

⋅== −

−− (7.6)

Se poate trasa diagrama ciclurilor limită, ce reprezintă locul geometric al punctelor pentru care tensiunea maximă este egală cu limita de oboseală pentru o anumită valoare a coeficientului de asimetrie R , deci coeficientul de siguranţă c = 1 (fig. 7.14). Între ciclurile limită şi ciclurile ce au acelaşi coeficient de siguranţa c = const. Se admite drept criteriu de similitudine între cicluri criteriul coeficientului de asimetrie, deci R = const.

Fig. 7.14

116


Calculul detaliat al coeficienţilor de siguranţă după diferite schematizări este prezentat în literatura de specialitate. În continuare se expun succint rezultatele obţinute după două metode:

Metoda Soderberg

r

mafKc

σσ

σσ

ε γ+⋅

=

− 1

1 sau

.1

1 c

mafKc

σσ

σσ

ε γ+⋅

=

−

(7.7)

Prima formulă este folosită pentru materiale fragile iar cea de-a doua pentru materiale ductile. În acest din urmă caz se calculează şi coeficientul de siguranţă în raport cu limita de curgere

ma

cccσσ

σσ

σ+

==′max

. (7.8)

şi se ia în considerare valoarea cea mai mică.

Metoda Serensen

,1

mafKc

ψ σσε γ

σ

+= −

(7.9)

în care

0

012σ

σσ −=Ψ −

este o constantă de material; σ0 - limita de oboseală pentru ciclul pulsant cu R = 0. Metoda este aplicabilă pentru -1 ≤ R ≤ 0 (cicluri asimetrice sau pulsante) şi se preferă utilizarea ei când se cunoaşte valoarea lui σ0.

Relaţii analoage se obţin pentru solicitări axiale înlocuind σ-1 cu σ-1,t

sau pentru torsiune înlocuind pe σ cu τ .

La solicitări compuse variabile de încovoiere şi torsiune simetrice, în fază, coeficientul de siguranţă global se calculează pe baza teoriei de rezistenţă propusă de Gough şi Pollard.

La materiale ductile

22τσ

τσ

cc

ccc

+= , (7.10)

117


unde σc şi τc sunt coeficienţii de siguranţă determinaţi separat pentru solicitările de încovoiere şi de răsucire.

La materiale fragile, coeficientul de siguranţă se obţine rezolvând ecuaţia

.1212

1

1

2

]

1

2

=

+

−

+

−

−

−

−

−

σσσ τσ

τσ

cc

cc

cc (7.11)

Calculul de rezistenţă la oboseală constă în verificarea coeficientului de siguranţă, care, pentru ca piesa să reziste, trebuie să fie egal sau mai mare decât coeficientul de siguranţă admisibil dat.

Aplicaţia 1

Să se verifice la oboseală arborele din figura 7.15,a confecţionat din oţel aliat cu ,mmN700 2

r / =σ / ,mmN420 2c =σ ,mmN360 2

1 /=σ −

,mmN600σ 20 / = având suprafaţa şlefuită fin, dacă este solicitat la încovoiere

periodic variabilă în limitele .kNm3,0M,kNm7,0Mminmax ii −== Se dă .5,1ca =

Rezolvare

( )( ) ./ 8,315,0

;/ 6,795,0

;/ 7,47

;/ 4,11140

107,032

2minmax

2minmax

2min

23

6

max

min

max

mmNmmN

mmNW

M

mmNW

M

m

y

i

y

i

=+=

=−=

−==

=⋅

⋅⋅==

σσσ

σσσ

σ

πσ

ν

118


Fig. 7.15

În fig. 7.15,b este reprodusă parţial diagrama din fig. 7.6,a, iar în

fig. 7.15,c este trasată diagrama 'K σ în funcţie de rσ pentru 075,0403

D==ρ

.

Pentru 2r mmN700σ / = rezultă 9,1K ' =σ , iar din fig.7.6,a, pentru 5,1

4060

dD ==

se obţine 87,0m =σ , încât

( ) 783,11Km1K ' =−+= σσσ

Din diagrama din fig. 7.11, corespunzător curbei pentru d = 40 mm, rezultă 65,0=ε , iar din diagrama din fig. 7.13 se obţine pe curba b, pentru

97,0,mmN700 2r =γ=σ / .

Utilizând relaţia de calcul a coeficientului de siguranţă la oboseală pentru materiale tenace, rezultă:

.55,18,312,06,79

97,065,0783,1

360;2,02

0

01 =⋅+⋅

⋅

==−

= − cσ

σσψ

Întrucât acc > piesa prezintă siguranţă în exploatare, adică rezistă la oboseală.

Aplicaţia 2

119


Un arbore cu secţiune inelară având D = 120 mm, d = 90 mm este solicitat la încovoiere şi răsucire în limitele ,kNm4M

maxi = ,kNm3Mmini −=

,kNm6,2Mmaxt = kNm8,1M

mint −= . Să se verifice la oboseală dacă

/ ;mmN240 21 =σ − ,mmN420 2

0 / =σ ,mmN140,22K 21 /=τ=

ε γ −

σ

,mmN200 20 /=τ 2c,8,1K

a ==

ε γ τ

.

Rezolvare

( )( )

;58,331,4143,018,302,2

240;143,0420

4202402

;/ 31,45,0

;/ 18,3090120

1201034165,0

2

244

6

minmax

minmax

=⋅+⋅

==−⋅=

=+

=

=−

⋅⋅+=−

=

σσ

ν

ψ

σ

πσ

c

mmNW

MM

mmNW

MM

y

iim

y

ii

( )( )

;/ 73,15,0

;/ 49,990120

120108,16,285,0

2

244

6

minmax

minmax

mmNW

MM

mmNW

MM

p

ttm

p

tt

=+

=

=−

⋅⋅+=−

=

τ

πτ ν

;88,773,14,049,98,1

140;4,0200

2001402 =⋅+⋅

==−⋅= ττ cψ

.26,388,758,3

88,758,322 acc >=

+

⋅=

120

Documents

Rezistenta Materialelor Solicitari Variabile