MANUAL DE CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

INDICE 1.- INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD2 .- CONCEPTOS ESTADÍSTICOS FUNDAMENTALES

Población estadística La Distribución de Frecuencias

3.- METRICA EN EL ESPACIO ESTADISTICO

Medidas de tendencia central Medidas de Dispersión Media y Varianza de una Muestra Muestreo Aleatorio

4.- FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

Generalidades La Distribución Normal La Distribución Normal Standard La Distribución T de Student Distribución de Promedios Muestrales Distribución binomial Distribución de Poisson

5.- TEST DE HIPÓTESIS

Herramientas para contrastar hipótesis Región crítica. Tipos de errores . Contraste de medias. Contraste de diferencia de medias Comprobación de la normalidad de una muestra.

6 .- CONTROL DE PROCESO

Control de proceso Control Estadístico de Proceso (C.E.P.) Gráficos C.E.P. Generalidades Variables y atributos Eficacia estadística de los gráficos de control Subgrupos racionales Ventajas de los gráficos de control

7.- GRAFICOS DE CONTROL POR VARIABLES

Introducción.

Gráficos de control ( , R) Gráfico basado en estudio inicial Gráficos basados en valores standar Gráficos de control para valores individuales Gráficos de control de media móvil (desgaste de herramientas) Recogida de datos e interpretación Establecimiento de límites del Proceso

Líneas generales para el diseño del grafico ( , R)

Interpretación de los gráficos ( , R)

Eficacia de los gráficos ( , R)

Gráficos de control ( , S) Gráficos de control de sumas acumuladas (CUSUM)

Otros gráficos de control Gráfico de control de media móvil Gráficos de Control Multidimensional

8.- CAPACIDAD DEL PROCESO

Introducción

Análisis de la capacidad del proceso Análisis de la capacidad del proceso usando histogramas Análisis de la capacidad del proceso usando gráficos de control

9.- GRAFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS

Introducción

Gráfico “p” para porcentajes defectuosos Operativa del gráfico de control “p” Diseño del gráfico “p” Gráfico np para unidades defectuosas Gráficos “C” para tamaño de muestra constante Análisis de defectos Gráfico “U”

10.- LINEAS GENERALES PARA IMPLANTAR GRAFICOS DE CONTROL

CAPÍULO 1.- INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

Cada vez que realizamos un cálculo matemático para resolver un problema físico ,estamos aplicando un modelo matemático a un fenómeno de la realidad.

Este fenómeno puede ser, por ejemplo, la caída de un objeto desde cierta altura, y en este caso utilizamos un modelo que es la Ley de Gravedad.

¿Qué es un modelo?. Al enfrentar un problema de física, química, ingeniería, etc., estamos analizando e investigando una parte o aspecto de la realidad material que nos rodea. Para resolver el problema, necesitamos modelar esa realidad, es decir, construir una representación en la mente de cómo ocurren los hechos, junto con ecuaciones matemáticas que permitan calcular los efectos de los mismos.

En ningún caso se debe confundir modelo con realidad. Un modelo es sólo una representación de la realidad, utilizado para estudiar y analizar dicha realidad.

Hay modelos matemáticos que nos permiten obtener un resultado numérico preciso, por ejemplo, que la velocidad de un automóvil es de 175,5 Km/Hora. O que la corriente eléctrica que circula por un cable es de 5,7 Amperios. Este tipo de modelos matemáticos se denominan Determinísticos.

Existen también fenómenos que necesitan otro tipo de modelos matemáticos, denominados no determinísticos, probabilísticos o estocásticos.

Por ejemplo, supongamos que se ha previsto la realización de unas pruebas balísticas para las que se necesita saber la cantidad de lluvia que va a caer en un próximo periodo de tiempo, antes de decidir la forma de llevar a cabo los ensayos. El Técnico responsable podrá informarse en el servicio meteorológico en relación con la presión barométrica, la temperatura, velocidad del viento y otros datos meteorológicos, sin embargo, no hay una ecuación que con todos esos datos le permita calcular de forma precisa los milímetros de lluvia que van a caer durante el periodo de tiempo que le interesa.

De la misma forma, ningún operador puede calcular cuanto va a subir la Bolsa, ni siquiera si va a subir o bajar, aún cuando tenga a su alcance todas las variables económicas disponibles.

Este tipo de fenómenos no admiten un modelo determinístico, sino un modelo probabilístico, que como resultado nos dice la probabilidad de que llueva una cierta cantidad, o la probabilidad de que la Bolsa suba un cierto porcentaje. El resultado no es un valor determinado, sino la probabilidad de un valor.

Veamos algunos ejemplos de fenómenos para los cuales es apropiado utilizar un modelo probabilístico:

Experimento 1:Se lanza un dado y se anota el número que aparece en la cara superior.

Experimento 2:Se arroja una moneda cuatro veces y se anota la sucesión de caras y cruces obtenidas.

Experimento 3: Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en 24 horas.

En todos estos casos, el resultado del experimento no se puede predecir con absoluta certeza. Hay varios resultados posibles cada vez que se realiza la experiencia.

Para cada experimento del tipo que estamos considerando, se define el Espacio Muestral como el conjunto de todos los resultados posibles que pueden producirse al realizar el experimento.

Los espacios muestrales respectivos son :S1 = {1,2,3,4,5,6}

S2 = {cccc, xccc, cxcc, ccxc, cccx, xxcc, xcxc, xccx, cxcx, ccxx, xxxc, xxcx, cxxx, xcxx, xxxx}

S3 = {1,2,3,…, N} ; N máximo de artículos producidos en 24 horas.

Un Suceso, respecto a un espacio muestral S asociado con determinado experimento, es un subconjunto de resultados del espacio muestral. El conjunto vacío, el formado por un solo elemento y el formado por todos los elementos del espacio muestral son también sucesos.

Vemos entonces que, dado un experimento aleatorio cualquiera, hay un espacio muestral asociado cuyos elementos son todos los resultados que se pueden obtener de la experiencia. Un subgrupo o subconjunto de resultados es un suceso. Ahora, ¿cómo podemos saber si la posibilidad de que ocurra un suceso es grande o pequeña? Por ejemplo, si arrojamos un dado, ¿cómo podemos calcular la probabilidad de que salga un 2 ?. Para esto necesitamos un número asociado con cada suceso, al cual se lo denomina probabilidad del suceso. Entonces, la probabilidad P de un suceso es un número entre 0 y 1, que nos dice en que medida es posible que ocurra el suceso. Si la probabilidad es 1 significa que el suceso ocurrirá con toda certeza. Si la probabilidad es 0,5 significa que un suceso puede ocurrir o puede no ocurrir con la misma probabilidad. Probabilidad 0 quiere decir que el suceso es imposible que ocurra. ¿Cómo podemos calcular la Probabilidad de un suceso?

La respuesta a esta pregunta no siempre es sencilla y depende del experimento y de su espacio muestral asociado. Hay casos simples en los que el cálculo es relativamente sencillo. En primer término, supondremos que se trata de un experimento cuyo espacio muestral es finito y tiene un número pequeño de resultados posibles.

En segundo término, supondremos que todos los resultados que integran el espacio muestral (sucesos elementales) tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Con estas dos hipótesis, la fórmula para calcular la probabilidad es muy sencilla. Supongamos que se trata de un experimento cualquiera cuyo espacio muestral S tiene N elementos (N resultados posibles). Deseamos calcular la probabilidad de un suceso H (Un subconjunto H del espacio muestral S) que tiene m elementos. De acuerdo a lo dicho previamente, el número N tiene que ser pequeño y la probabilidad de cada suceso elemental tiene que ser la misma.

Entonces la probabilidad P de que ocurra el suceso H es: P = m/N

Veamos algunos ejemplos.

Supongamos que se arroja un dado sobre una mesa y apostamos a que salga un número igual o menor que 4. Sabemos que son igualmente posibles los números: {1, 2, 3, 4, 5 y 6} (Espacio muestral con 6 elementos).

Pero los números favorables a nuestra apuesta son: {1, 2, 3 y 4} (Suceso con 4 elementos). Entonces, la probabilidad de que ganemos es P = 4/6 = 0,666…

Es decir que tenemos a nuestro favor una probabilidad de 0,666.. (o sea aproximadamente del 67 %).

Si apostamos a un sólo número (sacar un As), la probabilidad de ganar sería P = 1/6 = 0,1666…

Repitiendo, la probabilidad es un número entre 0 y 1, que nos dice en que medida es posible que ocurra un suceso.

CAPITULO 2.- CONCEPTOS ESTADÍSTICOS FUNDAMENTALES

Población estadística.

Hasta ahora hemos visto el caso de fenómenos o experimentos cuyo espacio muestral asociado tiene un número pequeño de elementos. Ello nos ha servido para introducir la noción de probabilidad, Pero en muchos casos es necesario trabajar con experiencias o procesos que generan un número muy grande de datos o resultados numéricos, es decir, espacios muestrales con un número infinito o muy grande de elementos.Cuando tenemos un conjunto muy grande de datos numéricos para analizar decimos que tenemos un Universo o Población de observaciones.

Cada dato numérico es un elemento de la población o universo. Una Muestra es un subconjunto pequeño de observaciones extraídas de un universo o población.

La Estadística trabaja con poblaciones de datos y con muestras extraídas de las mismas. Los conceptos de población y muestra a veces resultan ambiguos en su aplicación práctica.

Por ejemplo, supongamos que en una ciudad de 5000 habitantes se realiza un censo médico en el cual se mide el peso, la altura y se relevan otros datos de

todos los habitantes de la ciudad.

Alguien podría referirse al universo o población censada teniendo in mente el conjunto de los habitantes de la ciudad. Pero cuando hablamos en términos

estadísticos, nos referimos a poblaciones o universos de datos.

Por ejemplo, el conjunto de todas las mediciones de altura (De los habitantes de la ciudad) es un conjunto de datos y por lo tanto constituye un universo o población de datos desde el punto de vista estadístico. Otro universo o población de datos

son los pesos medidos (De los habitantes de la ciudad). Pero la población de habitantes, es decir, las personas que habitan la ciudad no son la población a la

que nos estamos refiriendo desde el punto de vista estadístico.

Supongamos que en una empresa se fabrica un lote de 10 toneladas de un producto químico, y un técnico debe controlar la calidad del mismo.

El técnico toma una pequeña porción, por ejemplo, 100 gramos y dirá que tomó una muestra del producto para analizar en el laboratorio. Hasta el momento, la muestra no fue analizada y por lo tanto no tenemos ningún dato numérico.

Cuando el laboratorio efectúa algún ensayo en la muestra y obtiene un resultado numérico, dicho dato podría ser analizado desde el punto de vista estadístico.

Vamos a suponer hipotéticamente que el técnico continúa sacando otras muestras del producto, hasta agotar el lote y cada una es ensayada en el laboratorio, que nos da los resultados.

Como teníamos 10 toneladas de producto y las muestras son aproximadamente de 100 gramos, el técnico seguramente extraerá alrededor de 100000 muestras y

el laboratorio nos entregará alrededor de 100000 resultados. Este conjunto de datos numéricos es nuestro universo o población de datos.

Si tomamos al azar 10 de esos resultados, podemos decir que tenemos una muestra de 10 elementos de ese universo o población. No debemos confundir esta

muestra (Desde el punto de vista estadístico) con la muestra de material que extrajo el técnico para ser analizada en el laboratorio.

Ahora bien, nuestro universo o población de datos a veces no existe en la realidad, sino que es un concepto o abstracción que utilizamos para referirnos al

universo o población que hipotéticamente podría existir.

Veamos el ejemplo anterior. Supongamos que el técnico toma solamente 5 muestras y las envía para analizar al laboratorio. El laboratorio nos enviará sólo 5 resultados, y nosotros diremos que tenemos una muestra de datos extraída del

universo o población de datos total. Y estamos pensando en el universo o población que tendríamos si se hubieran extraído y analizado las 100000 muestras

de material.

Muchas veces resulta difícil imaginarse cual es el universo del cual extrajimos los datos. Supongamos que tenemos una máquina que produce piezas de plástico en

serie y un técnico toma 5 piezas sucesivas y les mide la altura con un calibre. Tenemos, entonces, 5 resultados, es decir una muestra de 5 elementos. ¿Cuál es

el universo al cual pertenece esa muestra de datos?.

Debemos imaginar lo siguiente: Si la máquina continuara trabajando en las mismas condiciones (Es decir, a la misma velocidad, con las mismas materias

primas, a la misma temperatura, manejada por el mismo operario, etc.) ...y a cada pieza que produce se le mide la altura tendríamos un conjunto muy grande de

resultados numéricos. Ese conjunto muy grande de resultados numéricos que no existe, pero que podría obtenerse en esas condiciones es el universo o población

del cual extrajimos la muestra de 5 observaciones.

Veamos otro ejemplo. Supongamos que el sindicato de la industria textil desea saber cual es el sueldo medio de un operario en esa industria. Entonces, encarga una encuesta a una empresa especializada, que entrevista a 20 operarios de la industria textil y averigua sus salarios.

Estos datos son una muestra de 20 observaciones del universo o población formado por los salarios de todos los operarios de la industria textil del país.

Aunque el encuestador no disponga de esos datos, sabemos que existen miles de operarios que ganan un salario determinado y por lo tanto podemos hablar de un

universo o población cuyos elementos son los salarios de los operarios de la industria textil en el país. Además, esa población de datos es seguramente

diferente de la población de salarios de los operarios de la industria textil inglesa o brasileña (Usando una misma moneda de referencia).

¿Qué representa una Población de datos? El análisis estadístico de una población o universo de datos tiene como objetivo final descubrir las características y

propiedades de aquello que generó los datos. Por ejemplo, se tiene una población de escolares (Población física, población humana) y se les mide la altura. El conjunto de datos de altura constituye una población o universo estadístico.

El análisis de estos datos de altura (Universo estadístico) sirve para caracterizar y estudiar a la población de estudiantes (Que no es una Población estadística).

Supongamos que un instituto dedicado a estudios económicos ha realizado una encuesta de ingresos en el país. El universo de datos generados por la encuesta sirve a los fines de caracterizar a la población física, a la población real del país, desde un punto de vista económico.

Un ingeniero controla un proceso industrial, que genera a diario muchos lotes de

un producto (Población de lotes). Para cada lote se mide una característica de calidad, obteniéndose una gran cantidad de resultados numéricos (Población de datos).

El ingeniero realiza esta tarea porque a través de los datos numéricos obtenidos se puede evaluar el comportamiento del proceso, que es lo que realmente le interesa.

Es importante destacar que detrás de un universo o población de datos se encuentra una población física subyacente, formada por elementos de la realidad que nos rodea, de la cual, a través de algún tipo de medición, se obtuvieron los datos numéricos. Es esa población física subyacente (Elementos de la realidad, seres humanos, lotes de material, etc.) la que deseamos estudiar y caracterizar por medio del análisis estadístico de los datos obtenidos.

La población estadística está representando, entonces, una población física o natural formada por elementos de la realidad, con respecto a una característica o propiedad de esa población física.

Es muy importante, al utilizar métodos estadísticos, no confundir la población física, formada por elementos de la realidad que estamos estudiando, con la población o universo de datos generados a partir de la primera. De aquí en adelante, cuando utilicemos los términos población o universo sin otro adjetivo nos estaremos refiriendo a población o universo de datos numéricos (También llamados observaciones, mediciones o valores).

CAPÍTULO 3.- METRICA EN EL ESPACIO ESTADISTICO

Medidas de tendencia central

Una característica importante de cualquier población es su posición, es decir, donde está situada con respecto al eje de abscisas (Eje horizontal). En nuestro caso, es importante saber si los datos se agrupan alrededor de 60 Kg. o de 90 Kg. o alrededor de 12 Kg. Una manera de obtener un dato numérico que nos dé idea de la posición de nuestra población es calcular el Promedio o Media de todas las observaciones:

Este importante parámetro nos permite efectuar comparaciones entre distintas poblaciones. Por ejemplo, si tuviéramos una población formada por mediciones del peso de mujeres de 30 años, otra de peso de varones de 40 años y una tercera de peso de niños de 8 años, es indudable que los promedios van a ser diferentes. El promedio, entonces, nos está diciendo que las tres poblaciones son diferentes y también en que medida difieren.

Ahora, si tuviéramos una población de varones con peso promedio 70 Kg. y otra población de varones con el mismo promedio, ¿se puede afirmar que ambas poblaciones son equivalentes? Para responder esta pregunta necesitamos tener medidas de la dispersión de la población de datos.

Medidas de Dispersión

La otra característica muy importante de una población es el grado de dispersión de las observaciones. No es lo mismo si en nuestra población encontramos que todos los valores están entre 75 y 90 Kg. que si están entre 60 y 105 Kg., aunque el promedio sea el mismo. Es necesario agregar alguna idea de la dispersión de los valores.

Una manera es a través del Rango de las observaciones, es decir, el valor Máximo y el valor Mínimo de los datos de la población. Entonces, una descripción mas realista acerca de los seres humanos sería decir que pesan en promedio 70 Kg. y que el rango es de 40 a 120 Kg. (Estos valores son supuestos).

Una manera más precisa de dar idea de la dispersión de valores de una población es a través de la Varianza o su raíz cuadrada, que es la Desviación Standard.

Vamos a calcular la varianza y la desviación standard de un número pequeño de datos (Una muestra) para ilustrar el cálculo. Supongamos que se midió la altura de 10 personas adultas y de sexo femenino, y se obtuvieron los valores siguientes (en cm)

165 ; 163 ; 171 ; 156 ; 162 ; 159 ; 162 ; 168 : 159 ; 167

El promedio de estas observaciones es:

= 163, 2 cm

Si a cada una de las observaciones le restamos el promedio, obtenemos los Residuos:

Los residuos también nos dan una idea de la dispersión de las observaciones individuales alrededor del promedio. Si el valor absoluto (El valor numérico sin el signo) de los residuos es grande, es porque los valores están muy dispersos. Si el valor absoluto de los residuos es pequeño, significa que las observaciones individuales están muy cerca del promedio, y por lo tanto, hay poca dispersión.

Pero nosotros necesitamos un sólo número que nos provea información acerca de la dispersión de los valores. Si sumamos los residuos, como algunos son positivos y otros negativos, se cancelarían entre sí, con lo cual perdemos la información acerca de la dispersión. Entonces, los elevamos al cuadrado:

Si ahora sumamos los residuos elevados al cuadrado, tenemos un número donde se condensa toda la información de la dispersión de la población:

Este número, la suma de cuadrados, es dependiente del número de datos N, y por lo tanto no nos sirve para comparar poblaciones con distinto número de observaciones.

Pero si dividimos la suma de cuadrados por N, tenemos un número que es independiente del número de observaciones, que se denomina Varianza:

En nuestro caso:

Las fórmulas anteriores son las que se aplican al cálculo de la varianza y desviación standard de una población de datos. Mas adelante veremos que las fórmulas a aplicar en el caso de una muestra son ligeramente diferentes. La varianza es un número que nos permite comparar poblaciones. Cuando la dispersión de las observaciones es grande (Datos que se alejan mucho por encima y por debajo del promedio), el valor de los residuos (distancia entre cada dato y el promedio) será grande. Entonces aumenta la suma de cuadrados de los residuos y por lo tanto la varianza.

También se utiliza la raíz cuadrada de la varianza:

Por lo tanto:

La desviación standard o desviación típica tiene las mismas unidades que la variable con la que estamos trabajando, en nuestro caso el centímetro. Tanto la varianza como la desviación standard nos permiten comparar el grado de dispersión de distintas poblaciones.

CAPÍTULO 4.- FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

Hemos visto como se construye un gráfico de frecuencias con datos extraídos de una población. A medida que aumentamos la cantidad de observaciones que

tomamos de la población, podemos construir nuestro gráfico con un número mayor de intervalos, aunque de menor amplitud (El rango total cubierto por la población

es el mismo).

Si continuamos este proceso, con intervalos cada vez mas estrechos y numerosos, los altibajos en el gráfico de la distribución de frecuencias tienden a desaparecer.

En el límite, el ancho del intervalo tiende a cero y la población puede representarse por una distribución de probabilidad continua.

Cuando, para representar esta distribución de probabilidad continua se utiliza una función matemática, esta se denomina Función de Densidad de Probabilidad.

La forma de la curva en el gráfico de la función de distribución es característica de la población de observaciones asociada con la misma, y depende de variables internas del proceso que generó los datos de la población.Existen distintas funciones de distribución teóricas, cada una de las cuales está basada en un modelo de comportamiento del proceso que generó el universo de observaciones.

La aplicación de una de estas distribuciones teóricas a una población particular está justificada si las hipótesis (suposiciones) del modelo de comportamiento del proceso que generó la población se cumplen. Dicho de otro modo, si conocemos

el proceso, es decir, el conjunto de fenómenos que dieron lugar a nuestra población de mediciones u observaciones, y además estamos seguros de que el

mismo se ajusta a un modelo de comportamiento determinado, entonces podemos decir que la distribución de probabilidades de nuestra población es la que

corresponde al modelo.En la práctica, se sabe que ciertos procesos y fenómenos generan resultados

numéricos cuya distribución de probabilidades se puede ajustar a determinados modelos teóricos. Por ejemplo, el número de partículas alfa emitidas por un

material radiactivo sigue una distribución de Poisson.Existen muchas otras distribuciones teóricas, como la Binomial, la Exponencial, la de Weisbull, etc. Cada una de ellas tiene su propio campo de aplicación, que se sostiene en un determinado comportamiento de los fenómenos, y al aplicarla se

está haciendo en forma implícita la suposición de que se cumplen las suposiciones del modelo subyacente.

La Distribución Normal

Una distribución muy importante es la Distribución Normal o de Gauss.La ecuación matemática de la función de Gauss es la siguiente:

La distribución normal es una curva con forma de campana, con eje de simetría en el punto correspondiente al promedio del universo . La distancia entre el eje de

simetría de la campana y el punto de inflexión de la curva es igual a , la desviación standard de la población.

El área total debajo de la curva es igual a 1. El área debajo de la curva comprendida entre y es aproximadamente igual a 0,68 del área total;

entre y es aproximadamente igual a 0,95 del área total:Es importante ver que los únicos parámetros necesarios para dibujar el gráfico de

la distribución normal son y (Media y desviación standard de la población). Con estos dos parámetros sabemos donde situar la campana de Gauss (En el punto correspondiente a la media) y cual es su ancho (Determinado por la desviación

standard).Cuando nos encontramos con una población de observaciones, si podemos

afirmar que la distribución correspondiente es normal, sólo hace falta estimar la media y la desviación standard para tener toda la información necesaria acerca de

dicha población.

La Distribución Normal Standard

Podemos escribir la fórmula de la distribución normal de la siguiente manera:

con

Esta es la fórmula de la Distribución Normal Standard o Tipificada. Como podemos observar, en ella hay un sólo parámetro, Z, que incluye al promedio y la desviación

standard de la población. Esta función está tabulada.Al calcular Z, lo que estamos haciendo, en realidad, es un cambio de variable por

el cual movemos la campana de Gauss centrándola en el 0 del eje X, y modificamos el ancho para que la desviación standard sea 1.

De esta manera tenemos tabulada una función de Gauss que no depende de cual sea el promedio y la desviación standard de nuestra población real. El cambio de variable hace que se conserve la forma de la función y que sirva para cualquier población, siempre y cuando esa población tenga una distribución normal.

Cuando queremos calcular las probabilidades para una población real, calculamos Z y entramos en la tabla de la función normal estandard.

La Distribución T de Student

La Distribución binomial

Distribución de Poisson

CAPÍTULO 5.- TEST DE HIPÓTESIS

El contraste de hipótesis o test de hipótesis es una herramienta ampliamente utilizada para comparar mediciones y tomar decisiones basadas en una probabilidad.

Los pasos a seguir para aplicar esta metodología son:

Plantear unas hipótesis. Escoger un estadístico

concreto. Conocer la distribución del

estadístico.

Y, a partir de ahí, decidir si, con los datos que poseemos de la muestra, tenemos caracterizada a la población.

Herramientas para contrastar hipótesis

Los dos tipos de distribuciones más importantes, aunque no únicos, para el contraste de hipótesis, son las distribuciones Normal y T-Student, que hemos visto

en el capítulo anterior.

El contraste de hipótesis es un conjunto de reglas que nos permiten decidir cuál de entre dos hipótesis debe ser aceptada como cierta en base a los resultados

obtenidos en una observación muestral. Se conocen como hipótesis nula (Ho) e hipótesis alternativa (Ha).

La hipótesis nula puede mantenerse mientras los datos no indiquen su falsedad; la hipótesis nula nunca se puede afirmar , solo podremos aceptarla o rechazarla. Por

lo tanto trataremos de decidir si la información muestral que poseemos está en consonancia con Ho, o bien nos permite rechazar esa creencia con lo que

aceptaremos Ha.

Podemos distinguir entre dos tipos de hipótesis:

Paramétricas que se refieren a conjeturas sobre el parámetro de una distribución.

No paramétricas que responden a afirmaciones acerca de la naturaleza de la distribución.

Región crítica. Tipos de errores

En la práctica el Contraste de Hipótesis consiste en estudiar si un estadístico que es función de las observaciones de la muestra está dentro de una región llamada

de aceptación, o se encuentra en la región de rechazo o región crítica, de tal forma que si el estadístico se encuentra en la región de aceptación se aceptará la hipótesis nula y si cae en la región de rechazo se rechazará dicha hipótesis.

El estadístico muestral es un fenómeno aleatorio, por lo que pudiera pasar que aunque la Ho fuera cierta, el estadístico se encontrara en la región de rechazo, en esta situación estaríamos cometiendo un Error de Tipo I (). Otra posible situación sería encontrar el estadístico en la región de aceptación siendo la Ho falsa, con lo que cometeríamos un Error Tipo II (). La forma de minimizar este problema es empleando muestras de tamaño grande. Generalmente se procede fijando una

probabilidad de error . Al valor se le denomina nivel de significación y habitualmente es del 5%.

Aunque existen diversos tipos de contrastes de hipótesis, únicamente explicaremos y pondremos ejemplo de dos de ellos, que son el contraste de

medias y el contraste de diferencias de medias.

Contraste de medias

Con la notación que habitualmente se utiliza en el contraste de hipótesis tendremos que es la media de la población, la desviación típica de la población, s la desviación típica de la muestra, n es el tamaño de muestra, X la media de la

muestra, y Z o t es el estadístico.

Con relación al contraste de medias, suelen emplearse dos tipos de pruebas, los tests unilaterales o los tests bilaterales, que tienen, respectivamente, las

siguientes estructuras.

Ejemplo 1. Un laboratorio farmacéutico afirma que el antiinflamatorio fabricado por ellos elimina la inflamación en 14 minutos en los casos corrientes.

Con el objeto de comprobar estadísticamente esta afirmación, eligimos al azar 18 pacientes con inflamaciones varias y tomamos como variable de respuesta el

tiempo transcurrido entre la administración del antiinflamatorio y el momento en que desaparece la inflamación. Además, nos dicen que la variable tiempo

transcurrido entre la administración del antiinflamatorio y el momento en que desaparece la inflamación sigue una distribución normal de media 14 y desviación

7. El tiempo medio de respuesta de la muestra fue de 19 minutos.Se pide comprobar la afirmación del laboratorio a un nivel de significación de 0.05.

Solución.

Primero consideremos los datos que tenemos.

X = 19, = 14, = 7, n = 18 Planteemos ahora las hipótesis de este test. Queremos contrastar la hipótesis nula a partir de la afirmación de la empresa que dice que la inflamación desaparece en

14 minutos; así pues, tendremos:Hipótesis nula Ho : = 14

La hipótesis alternativa será el caso desfavorable, en esta ocasión para la empresa, y puede escribirse:

Hipótesis alternativa Ha : > 14

Procederemos aceptando de entrada la hipótesis nula (m = 14), calculando el estadístico y observando si se sitúa en la región crítica. Si así sucediera, rechazaríamos la creencia inicial de aceptación de la hipótesis nula.

Sustituyendo los parámetros de la población y de la muestra en el estadístico tenemos :

Con lo que podemos observar que el estadístico se sitúa en la región crítica y ,por lo tanto no sigue el criterio de aceptación de la hipótesis nula.

De ese modo, rechazaríamos la hipótesis Ho de que = 14 y concluimos que a un nivel 0.05 el tiempo medio de eliminar la inflamación por este antiinflamatorio es superior a 14 minutos.

Contraste de diferencia de medias

CAPÍTULO 6.- MANUAL DE CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

Introducción

Un sistema de control del proceso puede definirse como un sistema de realimentación de la información en el que hay 4 elementos fundamentales:

ProcesoPor proceso entendemos la combinación global de personas, equipo, materiales utilizados, métodos y medio ambiente, que

colaboran en la producción. El comportamiento real del proceso -la calidad de la producción y su eficacia productiva- dependen de la forma en que se diseñó y construyó, y de la

forma en que es administrado. El sistema de control del proceso sólo es útil si contribuye a mejorar dicho

comportamiento. Información Sobre el Comportamiento

El proceso de producción incluye no solo los productos producidos, sino también los “estados” intermedios que

definen el estado operativo del proceso tales como temperaturas, duración de los ciclos, etc. Si esta información se recopila e interpreta correctamente, podrá indicar si son

necesarias medidas para corregir el proceso o la producción que se acaba de obtener. No obstante, si no se toman las

medidas adecuadas y oportunas, todo el trabajo de recogida de información será un trabajo perdido.

Actuación Sobre el ProcesoLas actuaciones sobre el proceso están orientadas al futuro, ya que se toman en caso necesario para impedir que éste se deteriore. Estas medidas pueden consistir en la modificación de las operaciones (por ejemplo, instrucciones de operarios,

cambios en los materiales de entrada, etc) o en los elementos básicos del proceso mismo (por ejemplo, el equipo -que

puede necesitar mantenimiento, o el diseño del proceso en su conjunto- que puede ser sensible a los cambios de

temperatura o de humedad del taller). Debe llevarse un control sobre el efecto de estas medidas, realizándose ulteriores

análisis y tomando las medidas que se estimen necesarias. Actuación sobre la Producción

Las actuaciones sobre la producción están orientadas al pasado, porque la misma implica la detección de productos ya

producidos que no se ajustan a las especificaciones.

Si los productos fabricados no satisfacen las especificaciones, será necesario clasificarlos y retirar o reprocesar aquellos no

conformes con las especificaciones.

Este procedimiento deberá continuar hasta haberse tomado las medidas correctoras necesarias sobre el proceso y

haberse verificado las mismas, o hasta que se modifiquen las especificaciones del producto.

Es obvio que la inspección seguida por la actuación únicamente sobre la producción es un pobre sustituto de un

rendimiento eficaz del proceso desde el comienzo. El Control del Proceso centra la atención en la recogida y análisis de información sobre el proceso, a fin de que puedan tomarse

medidas para perfeccionar el mismo. Hay dos formas diferentes de diseño y análisis de sistemas de control que utilizan

herramientas estadísticas :

Control Estadístico de Proceso (CEP) del que trata este manual.

Control adaptativo, que utiliza lazos de retroalimentación para predecir futuros valores de las variables de proceso. Este control dice cuando hay que corregir para mantener a las

variables con oscilaciones mínimas alrededor de los valores objetivos y está basado en el Análisis de series Temporales

(Box-Jenkins).

Este tipo de control puede implementarse mediante sistemas de control automático digital (caso más habitual) o mediante gráficos de control.

En o sucesivo nos referiremos únicamente al Control Estadístico del Proceso.

Control Estadístico de Procesos

Proceso bajo control estadístico

Variables y atributos

CAPÍTULO 7.- GRAFICOS DE CONTROL POR VARIABLES

Introducción. Gráficos basado en un estudio inicial

Muchas características de calidad pueden expresarse en términos de medida numérica. Por ejemplo, el diámetro de una pieza puede medirse con un

micrómetro y expresarse en milímetros. Una característica cualitativa que sea medible tal como un volumen, un peso, o cualquier dimensión, en general, es una

variable.Cuando nos referimos a una variable, es una práctica normal el controlar tanto el

valor medio como la dispersión. El control del valor medio se realiza,

habitualmente, con el gráfico de control para medias, o gráfico . El control de la dispersión puede efectuarse bien con el gráfico de control de la desviación típica (gráfico S) o con el gráfico de control de rangos (gráfico R). El uso del gráfico R

está más extendido que el del gráfico S.Debemos señalar que es necesario mantener el control sobre ambos: Media y dispersión del proceso. La figura 2 representa la situación de un proceso. En a)

tanto la media como la desviación típica están bajo control a sus valores nominales ( o, o) y en consecuencia la mayor parte de la producción del proceso

cae dentro de los límites de especificación. En la figura b) la media se ha trasladado 1 > o dando como resultado una cierta fracción de la producción fuera

de especificación. En la figura c) la desviación típica ha cambiado 1 > o lo que origina también que un parte de la producción esté fuera de norma.

Los gráficos X-R se utilizan cuando la característica de calidad que se desea controlar es una variable continua.

A.- Gráfico de la media

Supongamos que una variable está normalmente distribuida con media y

desviación típica y que ambas son conocidas. Si X1, X2, ... son mediciones de una muestra de tamaño n, la media muestral, dada por :

está normalmente distribuida con media y desviación típica . Además, la probabilidad de que cualquier media muestral caiga en el intervalo

es 1 - , siendo el error tipo I o Nivel de significación (probabilidad de decir que el proceso se ha descorregido cuando en realidad el proceso sigue la distribución

N( , )),

Por consiguiente, si y son conocidos la expresión anterior puede utilizarse para determinar los límites de control de la media muestral. Habitualmente usaremos los límites 3 reemplazando Z/2 por 3. Si la media muestral cae fuera de estos límites, esto indicará que la media del proceso no permanece en .

Hemos supuesto que la distribución original era normal. Si no lo fuera, los anteriores resultados serían también aproximadamente válidos por aplicación del teorema central del límite.En la práctica no conocemos ni , por consiguiente, debemos estimarlas a partir de muestras previas obtenidas del proceso cuando se cree que éste está bajo control. Esta estimación debe basase como mínimo en 20 o 25 muestras.

Supongamos que disponemos de (m) muestras, cada una de ellas con (n) observaciones. Típicamente, n será pequeño 4 ó 5. En esa situación, el mejor

estimador de la media del proceso será

se utilizará como valor de la línea central del gráfico.

Para construir los límites de control, necesitamos un estimador de la desviación típica s. Podemos estimar s a partir de los rangos o de las desviaciones típicas de

las (m) muestras. De momento, haremos la estimación a partir de los rangos. Si X1, X2,..., Xn, son mediciones de una muestra de tamaño n, el rango de la muestra

es R =Xmax - Xmin.

La variable aleatoria W = R/s sigue una distribución conocida denominada distribución del rango relativo. Los parámetros de esta distribución son función del

tamaño de muestra (n). La media de W es (d2) y la desviación típica (d3). En consecuencia, un estimador de s es R/d2. Los valores de d2 están tabulados

(Tablas II y III). Si

la mejor estima de s será

Cuando el tamaño de la muestra es pequeño: n = 4 ó 5 el método de estimar a partir del rango da casi tan buen resultado como estimarla a partir de la varianza

muestral. Sin embargo, para valores de n, digamos no mayores de 10, pierde rápidamente eficiencia ya que ignora toda la información comprendida entre Xmax y

Xmin.

Si usamos como estimador de m y como estimador de s entonces los límites de control del gráfico de medias quedarían:

Za/2 lo obtendríamos de las tablas de Distribución Normal (Tabla I), una vez elegido a (error tipo I).

Normalmente Za/2 = 3 (a = 0,0027), en este caso la cantidad esta tabulada y el calculo de los límites de control da:

Gráficos basado en un estudio inicial. Gráfico del recorrido

Gráficos basados en valores standar

Gráficos de control para valores individuales

Líneas generales para el diseño del grafico ,R

Eficacia de los gráficos ,R

Gráficos de control de sumas acumuladas (CUSUM)

Otros gráficos de control.- Gráfico de control de media móvil

Tablas para la elaboración de gráficos de control

CAPÍTULO 8.- CAPACIDAD DEL PROCESO

Introducción

Un proceso de fabricación es un conjunto de equipos, materiales, personas y métodos de trabajo que genera un producto fabricado.

Para analizar el comportamiento del proceso, se toman muestras de producto fabricado y se realizan ensayos para determinar el valor de una característica de calidad seleccionada previamente. Desde el punto de vista del control estadístico, es conveniente incluir la etapa de muestreo y ensayo dentro del proceso mismo.

Conceptualmente debemos considerar que cualquier variación en las condiciones de un proceso (Modificación en el equipo, cambio de materias primas, etc.) da lugar a otro proceso, diferente del anterior.

El primer paso para aplicar una técnica estadística es definir la característica de calidad que se va a medir en el producto fabricado. Desde el punto de vista

estadístico, esta característica de calidad constituye una variable aleatoria, porque aún después de realizar una serie de mediciones, el valor que se obtendría en la

siguiente medición no puede predecirse por cálculo.

El conjunto de todos los resultados de mediciones que pueden obtenerse es nuestro universo o población. Cualquier subconjunto de mediciones extraído del

universo constituye una muestra. Con respecto al concepto de universo o población, cuando se aplica a resultados de mediciones en un proceso, es

necesario puntualizar lo siguiente: La población o universo de resultados es el conjunto de datos que se obtuvieron hasta ese momento mas aquellos que se

obtendrían si el proceso continuara funcionando siempre bajo las mismas condiciones. Esto se conoce como Universo Hipotético de mediciones de la

característica de calidad.

Antes de aplicar cualquier técnica estadística, es necesario establecer algunas hipótesis bajo las cuales se va a desarrollar el análisis. En primer lugar, vamos a

suponer que la característica de calidad (Variable aleatoria) es continua y de distribución normal. En segundo lugar, consideraremos que el proceso está bajo control estadístico, es decir que la variabilidad se debe solamente a un sistema

constante de causas aleatorias (No intervienen causas asignables).

Al realizar una sucesión de mediciones de la característica de calidad sobre

muestras del producto fabricado, encontramos que los valores fluctúan alrededor de un valor central. Esto es lo que llamamos la fluctuación natural y esperable del

proceso. Esta variación de la característica de calidad medida se debe a un conjunto muy grande de causas que afectan el proceso, cuyo efecto individual es

pequeño y que actúan en forma aleatoria (Sistema constante de causas aleatorias). La fluctuación natural del proceso es inherente al mismo y no puede eliminarse, sólo puede reducirse realizando modificaciones al proceso mismo, lo

cual significa, como ya hemos dicho, trabajar con otro proceso. La fluctuación natural de un proceso puede cuantificarse a través de la desviación standard del mismo, con la cual podemos calcular Límites de Tolerancia Natural del proceso.

Se debe insistir en que estos límites no pueden fijarse voluntariamente, dependen del proceso y de las variables no controlables del mismo. Generalmente se toma

un rango para la fluctuación natural de 6 sigmas.

Los Límites de Especificación de un producto son fijados voluntariamente por el cliente, por el fabricante o por alguna norma. Estos límites constituyen un requisito a cumplir por el producto y no deben confundirse en ningún caso con los Límites

de Control o con los Límites de Tolerancia Natural del proceso.

La Capacidad de un proceso es la aptitud para generar un producto que cumpla con determinadas especificaciones. En el mejor de los casos, es conveniente que los Límites de Tolerancia Natural del proceso se encuentren dentro de los Límites

de Especificación del producto. De esta manera nos aseguramos que toda la producción cumplirá con las especificaciones.

Para analizar la capacidad del proceso se puede utilizar un histograma de frecuencias. Si se dispusiera de todos los datos del universo para la característica de calidad medida y se hiciera un histograma este permitiría tener una idea exacta de la fluctuación natural del proceso. Como esto es imposible, es necesario tomar

un cierto número de mediciones (Mínimo 100-200) y efectuar con ellas un histograma de frecuencias.

Este es el histograma de una muestra y por lo tanto es sólo una estimación del verdadero histograma del universo. Si representamos en las abscisas los Límites

de Especificación del producto, podemos ver gráficamente si el proceso tiene aptitud (Capacidad) para fabricar dicho producto.

Análisis de la capacidad del proceso

CAPÍTULO 9.- GRAFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS

Introducción

Algunas características de calidad no pueden ser representadas convenientemente por medio de variables cuantitativas. En estos casos, las

unidades de producto se clasifican en “conformes” o en “no conformes” según la característica o características cualitativas sean o no conformes con las

especificaciones. Las características de calidad de este tipo se denominan atributos. Los datos de tipo atributo tienen solamente dos valores: Conforme / no conforme, pasa / no pasa, funciona / no funciona, presente / ausente. También se

consideran atributos aquellas características cuantitativas que se registran en términos de sino como por ejemplo, el diámetro de un eje cuya conformidad solo la medimos en términos de aceptable/no aceptable, las imperfecciones de pintura en

una puerta de un automóvil, las burbujas en la laca de un detonador, la presencia/ausencia de un percutor, etc.

Vamos a analizar cuatro tipos de gráficos de control por atributos: Gráfico “p” para porcentajes defectuosos

Gráfico “np” para el número de unidades defectuosas

Gráfico “c” para el número de defectos

Gráfico “u” para el número de defectos por unidad inspeccionada

Gráfico “p” para porcentajes defectuosos

La fracción no conforme de un colectivo se define como el cociente entre el número de unidades defectuosas y el número total de unidades en dicho colectivo. Cada unidad de producto puede ser examinada por el inspector respecto de una o

varias características cualitativas. Si la unidad inspeccionada no es conforme respecto a la especificación en una o más características, se clasifica como no conforme. Habitualmente, la fracción no conforme se expresa en forma decimal

aunque puede también indicarse en tanto por ciento.

La distribución binomial es la base estadística del gráfico de control por atributos. Supondremos que el proceso está operando de forma estable y que la posibilidad

de que una unidad de producto sea defectuosa es constante y de valor p. También, supondremos que las unidades producidas sucesivamente son

independientes. Entonces, si tomamos una muestra de n unidades, y llamamos x al número de unidades no conformes, la probabilidad de que x tome los valores 0,

1, 2.... n vendrá determinada por la distribución binomial con parámetros n, p:

El valor medio y la varianza de esta distribución son :

La fracción muestral no conforme se define como el cociente entre el número de unidades no conformes en la muestra x y el tamaño de la misma p = x/n.

El valor medio y la varianza de p serán respectivamente :

como consecuencia de la relación p = x/n

Operativa del gráfico de control “p”

La base estadística para definir los límites de control es común con los restantes gráficos de Shewhart: Si W es un estadístico que describe una determinada

característica de calidad siendo w y w2 su media y su varianza, los límites de

control se definen como :

K es la distancia de los límites de control a la línea central expresada como un múltiplo de sw. Habitualmente escogeremos K = 3.

Supongamos que conocemos o se especifica la fracción p no conforme de un proceso de producción. Entonces los limites de control resultan:

La operativa consiste en tomar sucesivas muestras de n unidades, contar dentro

de cada muestra el número de unidades no conformes y calcular = D/n llevando

este valor al gráfico. En tanto permanezca dentro de los límites de control y la secuencia de puntos no señale ninguna pauta distinta a la que puede surgir por

mero azar, diremos que el proceso está bajo control al nivel p de fracción no conforme. Si por el contrario, observamos algún punto fuera de control o un patrón inusual diremos que la fracción defectuosa ha cambiado a un nivel diferente y que

el proceso está fuera de control.

Cuando se desconoce p, debe estimarse a partir de los datos. El procedimiento a seguir es seleccionar m muestras preliminares, cada una de tamaño n. Como

norma general, m estará comprendido entre 20 y 25. Si Di es el número de unidades defectuosas en la muestra i, calcularemos la fracción defectuosa en la

muestra como ; i = 1, 2... .n y la media de estas fracciones, , estimará la media p del proceso siendo los límites de control:

Frecuentemente se utiliza solo el límite superior.

Estos límites de control se consideran como limites de prueba y sirven para determinar si el proceso estaba bajo control cuando las m muestras iniciales

fueron seleccionadas. Si todos los puntos caen dentro de los límites de control y no se observa ninguna pauta anormal dictaminaremos que el proceso estaba bajo

control a la toma de las m muestras y los límites de prueba serán validos para controlar la producción actual y la futura.

Los límites de control para la producción actual deben basarse en datos obtenidos de una situación estable. Por ello, cuando alguno de los puntos iniciales está fuera

de control se hace necesario revisar los límites de control. Esto se realiza examinando cada punto fuera de control y buscando las causas asignables. Si se localiza la causa asignable se descarta el punto correspondiente y se vuelven a calcular los límites de control con los puntos restantes. Puede darse el caso que

alguno de estos restantes puntos se encuentre ahora fuera de control respecto de los nuevos límites ya que estos serán, normalmente, más estrechos que los

iniciales. Entonces, deben repetirse los pasos dados anteriormente hasta que todos los puntos se encuentren dentro de control con lo que ya podremos adoptar

los límites hasta entonces provisionales como límites definitivos.

Si el gráfico de control se basa en un valor estandar conocido (un objetivo) para la fracción no conforme p, entonces el cálculo de límites de prueba es,

generalmente, innecesario aunque deben tomarse ciertas precauciones en el sentido de comprobar si el proceso está bajo control a un valor de p diferente dei indicado en el objetivo. Por ejemplo, supongamos que la Dirección señala como valor objetivo p = 0,01 pero que el proceso se encuentra realmente bajo control a

p = 0,05.

Utilizando el gráfico correspondiente a p = 0,01 encontraremos muchos puntos fuera de control sin que aparezca causa asignable. No obstante, suele ser útil esta

opción para mejorar el nivel de calidad llevando el proceso al nivel adecuado, sobre todo en procesos donde la fracción no conforme puede ser controlada

mediante un proceso sencillo de ajuste.

Diseño del gráfico p

El gráfico p tiene tres parámetros a especificar: Tamaño y frecuencia del desmuestre y distancia entre límites de control.

Es frecuente calcular el gráfico de control a partir de la inspección realizada a lo largo de un periodo de tiempo determinado. Un día, un turno, etc. En este caso, la

frecuencia y el tamaño de la muestra están relacionados. Generalmente, se selecciona inicialmente la frecuencia del desmuestre apropiada para la producción

a inspeccionar y de ahí resulta el tamaño de la muestra,

Los subgrupos racionales pueden jugar también un papel importante en determinar la frecuencia del desmuestre. Por ejemplo, si hay tres turnos y

sospechamos que entre turnos puede variar el nivel de calidad utilizaremos cada turno como un subgrupo sin mezclarlos para obtener una fracción diaria no

conforme. Si p es pequeño n deberá ser suficientemente grande para encontrar, al menos una unidad defectuosa en la muestra.

Se ha sugerido que el tamaño de muestra debe ser lo bastante grande para tener una probabilidad de aprox. 50% de detectar un cambio de una determinada magnitud. Por ejemplo, supongamos que p = 0,01 y que queremos que la

probabilidad de detectar un cambio a p = 0,05 sea del 50%. Suponiendo que aproximamos la distribución binomial respecto de la normal, escogeremos de tal

forma que el límite de Control Superior coincide con la fracción no conforme en la situación de fuera de control. Si 6 es la magnitud del cambio del proceso, entonces

n debe satisfacer

En nuestro ejemplo, p = 0,01, = 0,05-0,01 = 0,04 y con K=3 n = 56

Los límites 3 son los que se usan con más frecuencia aunque pueden adaptarse otros más sensibles a costa de exponerse a situaciones más frecuentes de falsa

alarma.

A veces, suelen usarse limites más estrechos (por ejemplo 2) dentro de una situación de urgencia para mejorar la calidad de un proceso. Estos límites deben utilizarse con precaución porque las falsas alarmas destruyen la confianza de los

operadores en los gráficos de control.

Hay que tener en cuenta que los límites de control estudiados se basan en la distribución binomial que considera constante la proporción defectuosa “p’ y que

los valores sucesivos son independientes. En procesos en los que las unidades no conformes están agrupadas o en los que la probabilidad de producir una unidad

defectuosa depende de que la anterior unidad producida haya sido no defectuosa, no son aplicables este tipo de gráficos.

Deben examinarse con cuidado aquellos puntos situados por debajo del límite de control inferior. Estos puntos no suelen ser lo que aparentemente indican: Una

mejora en la calidad del proceso por disminución de a sino que suelen originarse por errores en la inspección o por causa de aparatos de medida mal calibrados.

También puede deberse a que los operadores hayan registrado datos ficticios para cubrir su responsabilidad.

Gráfico np para unidades defectuosas

10.- LINEAS GENERALES PARA IMPLANTAR GRAFICOS DE CONTROL

Ventajas de los gráficos de control

Existen importantes razones para implantar los gráficos de control. Destacamos las siguientes:

a) Los gráficos de control son una técnica de eficacia probada para mejorar la productividad. La adecuada implantación de un programa de C.E.P. reduce la

repetición de las operaciones no conformes y los rechazos por desechos que son

uno de los principales enemigos de la productividad. De esta reducción se deriva una disminución en los costes y un incremento de producción de producto correcto

b) Los gráficos de control son eficaces en la prevención de defectos. El objetivo básico del gráfico de control es detectar cualquier cambio en el proceso o en el

producto. Siempre es más barato hacer las cosas bien de entrada que escoger las unidades buenas dentro de un lote de malas y buenas. Si no se posee un control

eficaz, se estará pagando por fabricar producción no conforme.

c) Los gráficos de control previenen de ajustes innecesarios del proceso. El gráfico de control distingue entre el “ruido de fondo” y una variación anormal. Si el operador ajusta el proceso basándose en comprobaciones periódicas no

relacionadas con la implantación sistemática de los gráficos de control, a menudo reaccionará frente al ruido de fondo y realizará ajustes innecesarios.

d) El gráfico de control proporciona información sobre la capacidad del Proceso. El gráfico suministra información sobre los parámetros básicos del proceso y sobre

su estabilidad a lo largo del tiempo.

La tecnología moderna, utilizando ordenadores, hacen sencilla la implantación de los gráficos de control, en cualquier tipo de proceso.

Como resumen de lo visto en los capítulos anterores, vamos a tratar sobre los siguientes puntos :

A) Determinación de la característica a controlar y desde donde se va a controlar

B) Selección del gráfico adecuado A) Selección de la característica a controlar y donde controlarla

a) En el comienzo de la implantación se aplican los gráficos a aquellas características del proceso o del producto que se

consideran importantes. Los gráficos nos dirán si son realmente necesarias.

b) Eliminar gráficos que se encuentren innecesarios.

c) Disponer de una información actualizada sobre el número y tipos de gráficos de control existentes en el proceso. Cuando comienza la implantación, el número de gráficos suele crecer de forma continuada, después decrece. Cuando el proceso se estabiliza, el número de variables seguidas por gráficos, suele mantenerse constante aunque éstas no son necesariamente

las mismas.

d) Según se va sabiendo más sobre el proceso, el número de gráficos por atributos disminuye y el número de gráficos por

variables aumenta.

e) Al comienzo, suelen utilizarse bastantes gráficos por atributos para el producto final o intermedio. Después estos gráficos tienden a ser sustituidos por gráficos por variables

para características de las primeras fases del proceso.

f) Los gráficos de control son procedimientos a implantar en la línea tan cerca del puesto de trabajo como sea posible, así, la

información llegará con rapidez. Además, las personas responsables de producción tendrán la responsabilidad directa de recoger datos, realizar los gráficos e interpretar resultados.

Los operadores e ingenieros que trabajan en el proceso disponen del conocimiento del mismo necesario para corregir fallos y utilizar el gráfico como una herramienta para mejorar la calidad. Los ordenadores facilitan enormemente la rapidez de cálculos y presentación de gráficos por lo que no pueden

faltar en ningún procedimiento moderno de control estadístico del proceso.

B) Selección del gráfico adecuado

Gráficos , R (o , S); Solo para variables cuantitativas.

Los gráficos por variables se utilizan en los casos siguientes:

a) Comienza un nuevo proceso, o un nuevo producto va a fabricarse en un proceso existente.

b) El proceso tiene continuos problemas o es incapaz de cumplir las tolerancias especificadas.

c) La verificación de la calidad producida requiere ensayos destructivos o costosos procedimientos de ensayo.

d) Se desea reducir la inspección por desmuestre y otras verificaciones sobre el producto al mínimo

e) Se han utilizado, sin resultado, gráficos de control por atributos.

f) Procesos con especificaciones muy estrechas.

g) Situaciones en las que el operador debe decidir si ajusta o no el proceso.

h) Cuando ha de demostrarse ante el cliente de forma continuada, la estabilidad y la capacidad del proceso.

Gráficos CUSUM

Se puede utilizar en todos los casos señalados para el gráfico , R, pero donde realmente muestra más ventajas es:

a) Cuando los procesos vayan descorrigiéndose lentamente (por ejemplo procesos químicos)

b) Cuando sea necesario descubrir rápidamente pequeños desajustes.

c) Situaciones en las que es posible disponer un microordenador en la línea

Gráficos por atributos

Se recomienda utilizar los gráficos por atributos en los siguientes casos:

a) Los operadores controlan las causas asignables y es preciso reducir el porcentaje de fallos.

b) El proceso es una operación de montaje compleja y la calidad del producto se mide en términos de conforme/no

conforme.

c) Es necesario el control del proceso pero no pueden obtenerse datos cuantitativos.

d) Para facilitar a la dirección una visión con un resumen informativo sobre la eficacia del proceso.

Gráficos de control para valores individuales

Se puede usar conjuntamente con los gráficos de rango móvil en los siguientes casos:

a) Procesos en los que no puede obtenerse más que una medida por muestra o donde las medidas repetidas solo

difieren debido a errores analíticos. Esto suele suceder en los procesos químicos.

b) Procesos donde la tecnología existente cuantifica cada unidad producida. En estos casos, también pueden

considerarse los gráficos de media móvil.

c) Cuando la cadencia de aparición de nuevos datos es muy

lenta y sería impracticable esperar a reunir una muestra mayor porque esto supondría una reacción demasiado tardía

ante los problemas.

CAPÍTULO 9.- GRAFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS

Introducción

Algunas características de calidad no pueden ser representadas convenientemente por medio de variables cuantitativas. En estos casos, las

unidades de producto se clasifican en “conformes” o en “no conformes” según la característica o características cualitativas sean o no conformes con las

especificaciones. Las características de calidad de este tipo se denominan atributos. Los datos de tipo atributo tienen solamente dos valores: Conforme / no conforme, pasa / no pasa, funciona / no funciona, presente / ausente. También se

consideran atributos aquellas características cuantitativas que se registran en términos de sino como por ejemplo, el diámetro de un eje cuya conformidad solo la

medimos en términos de aceptable/no aceptable, las imperfecciones de pintura en una puerta de un automóvil, las burbujas en la laca de un detonador, la

presencia/ausencia de un percutor, etc.

Vamos a analizar cuatro tipos de gráficos de control por atributos: Gráfico “p” para porcentajes defectuosos

Gráfico “np” para el número de unidades defectuosas

Gráfico “c” para el número de defectos

Gráfico “u” para el número de defectos por unidad inspeccionada

Gráfico “p” para porcentajes defectuosos

La fracción no conforme de un colectivo se define como el cociente entre el número de unidades defectuosas y el número total de unidades en dicho colectivo. Cada unidad de producto puede ser examinada por el inspector respecto de una o

varias características cualitativas. Si la unidad inspeccionada no es conforme respecto a la especificación en una o más características, se clasifica como no conforme. Habitualmente, la fracción no conforme se expresa en forma decimal

aunque puede también indicarse en tanto por ciento.

La distribución binomial es la base estadística del gráfico de control por atributos. Supondremos que el proceso está operando de forma estable y que la posibilidad

de que una unidad de producto sea defectuosa es constante y de valor p. También, supondremos que las unidades producidas sucesivamente son

independientes. Entonces, si tomamos una muestra de n unidades, y llamamos x al número de unidades no conformes, la probabilidad de que x tome los valores 0,

1, 2.... n vendrá determinada por la distribución binomial con parámetros n, p:

El valor medio y la varianza de esta distribución son :

La fracción muestral no conforme se define como el cociente entre el número de unidades no conformes en la muestra x y el tamaño de la misma p = x/n.

El valor medio y la varianza de p serán respectivamente :

como consecuencia de la relación p = x/n

Operativa del gráfico de control “p”

La base estadística para definir los límites de control es común con los restantes gráficos de Shewhart: Si W es un estadístico que describe una determinada

característica de calidad siendo w y w2 su media y su varianza, los límites de

control se definen como :

K es la distancia de los límites de control a la línea central expresada como un múltiplo de sw. Habitualmente escogeremos K = 3.

Supongamos que conocemos o se especifica la fracción p no conforme de un proceso de producción. Entonces los limites de control resultan:

La operativa consiste en tomar sucesivas muestras de n unidades, contar dentro

de cada muestra el número de unidades no conformes y calcular = D/n llevando

este valor al gráfico. En tanto permanezca dentro de los límites de control y la secuencia de puntos no señale ninguna pauta distinta a la que puede surgir por

mero azar, diremos que el proceso está bajo control al nivel p de fracción no conforme. Si por el contrario, observamos algún punto fuera de control o un patrón inusual diremos que la fracción defectuosa ha cambiado a un nivel diferente y que

el proceso está fuera de control.

Cuando se desconoce p, debe estimarse a partir de los datos. El procedimiento a seguir es seleccionar m muestras preliminares, cada una de tamaño n. Como

norma general, m estará comprendido entre 20 y 25. Si Di es el número de unidades defectuosas en la muestra i, calcularemos la fracción defectuosa en la

muestra como ; i = 1, 2... .n y la media de estas fracciones, , estimará la media p del proceso siendo los límites de control:

Frecuentemente se utiliza solo el límite superior.

Estos límites de control se consideran como limites de prueba y sirven para determinar si el proceso estaba bajo control cuando las m muestras iniciales

fueron seleccionadas. Si todos los puntos caen dentro de los límites de control y no se observa ninguna pauta anormal dictaminaremos que el proceso estaba bajo

control a la toma de las m muestras y los límites de prueba serán validos para

controlar la producción actual y la futura.

Los límites de control para la producción actual deben basarse en datos obtenidos de una situación estable. Por ello, cuando alguno de los puntos iniciales está fuera

de control se hace necesario revisar los límites de control. Esto se realiza examinando cada punto fuera de control y buscando las causas asignables. Si se localiza la causa asignable se descarta el punto correspondiente y se vuelven a calcular los límites de control con los puntos restantes. Puede darse el caso que

alguno de estos restantes puntos se encuentre ahora fuera de control respecto de los nuevos límites ya que estos serán, normalmente, más estrechos que los

iniciales. Entonces, deben repetirse los pasos dados anteriormente hasta que todos los puntos se encuentren dentro de control con lo que ya podremos adoptar

los límites hasta entonces provisionales como límites definitivos.

Si el gráfico de control se basa en un valor estandar conocido (un objetivo) para la fracción no conforme p, entonces el cálculo de límites de prueba es,

generalmente, innecesario aunque deben tomarse ciertas precauciones en el sentido de comprobar si el proceso está bajo control a un valor de p diferente dei indicado en el objetivo. Por ejemplo, supongamos que la Dirección señala como valor objetivo p = 0,01 pero que el proceso se encuentra realmente bajo control a

p = 0,05.

Utilizando el gráfico correspondiente a p = 0,01 encontraremos muchos puntos fuera de control sin que aparezca causa asignable. No obstante, suele ser útil esta

opción para mejorar el nivel de calidad llevando el proceso al nivel adecuado, sobre todo en procesos donde la fracción no conforme puede ser controlada

mediante un proceso sencillo de ajuste.

Diseño del gráfico p

El gráfico p tiene tres parámetros a especificar: Tamaño y frecuencia del desmuestre y distancia entre límites de control.

Es frecuente calcular el gráfico de control a partir de la inspección realizada a lo largo de un periodo de tiempo determinado. Un día, un turno, etc. En este caso, la

frecuencia y el tamaño de la muestra están relacionados. Generalmente, se selecciona inicialmente la frecuencia del desmuestre apropiada para la producción

a inspeccionar y de ahí resulta el tamaño de la muestra,

Los subgrupos racionales pueden jugar también un papel importante en determinar la frecuencia del desmuestre. Por ejemplo, si hay tres turnos y

sospechamos que entre turnos puede variar el nivel de calidad utilizaremos cada turno como un subgrupo sin mezclarlos para obtener una fracción diaria no

conforme. Si p es pequeño n deberá ser suficientemente grande para encontrar, al menos una unidad defectuosa en la muestra.

Se ha sugerido que el tamaño de muestra debe ser lo bastante grande para tener

una probabilidad de aprox. 50% de detectar un cambio de una determinada magnitud. Por ejemplo, supongamos que p = 0,01 y que queremos que la

probabilidad de detectar un cambio a p = 0,05 sea del 50%. Suponiendo que aproximamos la distribución binomial respecto de la normal, escogeremos de tal

forma que el límite de Control Superior coincide con la fracción no conforme en la situación de fuera de control. Si 6 es la magnitud del cambio del proceso, entonces

n debe satisfacer

En nuestro ejemplo, p = 0,01, = 0,05-0,01 = 0,04 y con K=3 n = 56

Los límites 3 son los que se usan con más frecuencia aunque pueden adaptarse otros más sensibles a costa de exponerse a situaciones más frecuentes de falsa

alarma.

A veces, suelen usarse limites más estrechos (por ejemplo 2) dentro de una situación de urgencia para mejorar la calidad de un proceso. Estos límites deben utilizarse con precaución porque las falsas alarmas destruyen la confianza de los

operadores en los gráficos de control.

Hay que tener en cuenta que los límites de control estudiados se basan en la distribución binomial que considera constante la proporción defectuosa “p’ y que

los valores sucesivos son independientes. En procesos en los que las unidades no conformes están agrupadas o en los que la probabilidad de producir una unidad

defectuosa depende de que la anterior unidad producida haya sido no defectuosa, no son aplicables este tipo de gráficos.

Deben examinarse con cuidado aquellos puntos situados por debajo del límite de control inferior. Estos puntos no suelen ser lo que aparentemente indican: Una

mejora en la calidad del proceso por disminución de a sino que suelen originarse por errores en la inspección o por causa de aparatos de medida mal calibrados.

También puede deberse a que los operadores hayan registrado datos ficticios para cubrir su responsabilidad.

10.- LINEAS GENERALES PARA IMPLANTAR GRAFICOS DE CONTROL

Ventajas de los gráficos de control

Existen importantes razones para implantar los gráficos de control. Destacamos las siguientes:

a) Los gráficos de control son una técnica de eficacia probada para mejorar la productividad. La adecuada implantación de un programa de C.E.P. reduce la

repetición de las operaciones no conformes y los rechazos por desechos que son uno de los principales enemigos de la productividad. De esta reducción se deriva

una disminución en los costes y un incremento de producción de producto correcto

b) Los gráficos de control son eficaces en la prevención de defectos. El objetivo básico del gráfico de control es detectar cualquier cambio en el proceso o en el

producto. Siempre es más barato hacer las cosas bien de entrada que escoger las unidades buenas dentro de un lote de malas y buenas. Si no se posee un control

eficaz, se estará pagando por fabricar producción no conforme.

c) Los gráficos de control previenen de ajustes innecesarios del proceso. El gráfico de control distingue entre el “ruido de fondo” y una variación anormal. Si el operador ajusta el proceso basándose en comprobaciones periódicas no

relacionadas con la implantación sistemática de los gráficos de control, a menudo reaccionará frente al ruido de fondo y realizará ajustes innecesarios.

d) El gráfico de control proporciona información sobre la capacidad del Proceso. El gráfico suministra información sobre los parámetros básicos del proceso y sobre

su estabilidad a lo largo del tiempo.

La tecnología moderna, utilizando ordenadores, hacen sencilla la implantación de los gráficos de control, en cualquier tipo de proceso.

Como resumen de lo visto en los capítulos anterores, vamos a tratar sobre los siguientes puntos :

A) Determinación de la característica a controlar y desde donde se va a controlar

B) Selección del gráfico adecuado A) Selección de la característica a controlar y donde controlarla

a) En el comienzo de la implantación se aplican los gráficos a aquellas características del proceso o del producto que se

consideran importantes. Los gráficos nos dirán si son realmente necesarias.

b) Eliminar gráficos que se encuentren innecesarios.

c) Disponer de una información actualizada sobre el número y tipos de gráficos de control existentes en el proceso. Cuando comienza la implantación, el número de gráficos suele crecer de forma continuada, después decrece. Cuando el proceso se estabiliza, el número de variables seguidas por gráficos, suele mantenerse constante aunque éstas no son necesariamente

las mismas.

d) Según se va sabiendo más sobre el proceso, el número de gráficos por atributos disminuye y el número de gráficos por

variables aumenta.

e) Al comienzo, suelen utilizarse bastantes gráficos por atributos para el producto final o intermedio. Después estos gráficos tienden a ser sustituidos por gráficos por variables

para características de las primeras fases del proceso.

f) Los gráficos de control son procedimientos a implantar en la

línea tan cerca del puesto de trabajo como sea posible, así, la información llegará con rapidez. Además, las personas

responsables de producción tendrán la responsabilidad directa de recoger datos, realizar los gráficos e interpretar resultados.

Los operadores e ingenieros que trabajan en el proceso disponen del conocimiento del mismo necesario para corregir fallos y utilizar el gráfico como una herramienta para mejorar la calidad. Los ordenadores facilitan enormemente la rapidez de cálculos y presentación de gráficos por lo que no pueden

faltar en ningún procedimiento moderno de control estadístico del proceso.

B) Selección del gráfico adecuado

Gráficos , R (o , S); Solo para variables cuantitativas.

Los gráficos por variables se utilizan en los casos siguientes:

a) Comienza un nuevo proceso, o un nuevo producto va a fabricarse en un proceso existente.

b) El proceso tiene continuos problemas o es incapaz de cumplir las tolerancias especificadas.

c) La verificación de la calidad producida requiere ensayos destructivos o costosos procedimientos de ensayo.

d) Se desea reducir la inspección por desmuestre y otras verificaciones sobre el producto al mínimo

e) Se han utilizado, sin resultado, gráficos de control por atributos.

f) Procesos con especificaciones muy estrechas.

g) Situaciones en las que el operador debe decidir si ajusta o no el proceso.

h) Cuando ha de demostrarse ante el cliente de forma continuada, la estabilidad y la capacidad del proceso.

Gráficos CUSUM

Se puede utilizar en todos los casos señalados para el gráfico , R, pero donde realmente muestra más ventajas es:

a) Cuando los procesos vayan descorrigiéndose lentamente (por ejemplo procesos químicos)

b) Cuando sea necesario descubrir rápidamente pequeños desajustes.

c) Situaciones en las que es posible disponer un microordenador en la línea

Gráficos por atributos

Se recomienda utilizar los gráficos por atributos en los siguientes casos:

a) Los operadores controlan las causas asignables y es preciso reducir el porcentaje de fallos.

b) El proceso es una operación de montaje compleja y la calidad del producto se mide en términos de conforme/no

conforme.

c) Es necesario el control del proceso pero no pueden obtenerse datos cuantitativos.

d) Para facilitar a la dirección una visión con un resumen informativo sobre la eficacia del proceso.

Gráficos de control para valores individuales

Se puede usar conjuntamente con los gráficos de rango móvil en los siguientes casos:

a) Procesos en los que no puede obtenerse más que una medida por muestra o donde las medidas repetidas solo

difieren debido a errores analíticos. Esto suele suceder en los procesos químicos.

b) Procesos donde la tecnología existente cuantifica cada unidad producida. En estos casos, también pueden

considerarse los gráficos de media móvil.

c) Cuando la cadencia de aparición de nuevos datos es muy lenta y sería impracticable esperar a reunir una muestra

mayor porque esto supondría una reacción demasiado tardía ante los problemas.