BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Dalam kehidupan ini,
pendidikan peran pendidikan sangatlah penting dan tidak mungkin
kita pungkiri kehadirannya. Pendidikan itu sendiri hendaknya mampu
membentuk cara berfikir dan berperilaku anak yang positif. Tatanan
berfikir yang ingin dibentuk adalah kemampuan berfikir logis,
kritis dan sistematis. Sehingga dari kemampuan berpikir ini akan
mengarahkan setiap orang khususnya siswa berprilaku positif,
terarah dan efektif. Matematika sebagai salah satu ilmu pengetahuan
merupakan salah satu sarana untuk meningkatkan kemampuan berfikir
setiap orang. Oleh karena itu, kesadaran untuk mampu mengetahui dan
memahami matematika bagi siswa sangat diharapkan sudah tumbuh sejak
usia dini. Membentuk pemahaman yang utuh pada anak dalam pelajaran
matematika diperlukan kecintaan terlebih dahulu terhadap
matematika, sehingga seorang pendidik hendaknya mampu menciptakan
Fun Learning di dalam kelas. Fun learning pada matematika dapat
tercipta apabila seorang guru mampu mengajarkan konsep matematika
menggunakan metode dan teknik-teknik yang bervariatif sehingga
tidak monoton dan membosankan bagi anak didik. Salah satu materi
yang menjadi dasar matematika sekolah adalah bilangan. Pemahaman
yang baik tentang konsep bilangan akan sangat membantu dalam
memahami konsep-konsep yang lain, seperti pada materi Kelipatan
Persekutuan Terkecil (KPK) yang merupakan materi yang diajarkan
dari tingkat SD sampai SMP dan banyak digunakan untuk memahami
konsep matematika SMA.
1
B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah di atas,
rumusan masalah pada makalah ini adalah : 1. Apa definisi Kelipatan
Persekutuan Terkecil (KPK) ? 2. Bagaimana metode untuk menentukan
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)? C. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan penulisan makalah ini
adalah : 1. Untuk mengetahui definisi dari Kelipatan Persekutuan
Terkecil (KPK). 2. Untuk mengetahui metode untuk menentukan
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK). 3. Untuk memenuhi tugas
mandiri mata kuliah Teori Bilangan. D. Metode Penulisan Metode yang
digunakan dalam penyusunan makalah ini adalah studi kepustakaan dan
browsing internet yaitu mencari informasi melalui situs-situs
internet. E. Sistematika Penulisan Untuk mempermudah penyusunan
makalah ini, maka kami akan mencantumkan sistematika pembahasan.
Adapun sistematika pembahasannya adalah sebagai berikut : BAB I
akan diuraikan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah,
tujuan penulisan, metode penulisan dan sistematika penilisan. BAB
II akan diuraikan tentang isi yaitu meliputi definisi Kelipatan
Persekutuan Terkecil (KPK), dan metode untuk menentukan Kelipatan
Persekutuan Terkecil (KPK), BAB III akan diuraikan tentang simpulan
dan saran.
2
BAB II PEMBAHASAN A. Definisi Kelipatan Persekutuan Terkecil
(KPK) Pengertian Kelipatan Persekutaan Terkecil (KPK) adalah hasil
kali dari sebuah faktor- faktor (prima) yang berbeda dengan
mengambil pangkat tertinggi. Apabila A adalah himpunan kelipatan
positif dari 5 yaitu A = {5,10 ,15 ,20 , .... } dan B adalah
kelipatan positif dari 3; yaitu B = {3,6,9,12 ,.... } maka Irisan A
dan B,1 0 5 yaitu A B = { 5 ,3 ,4 ,.... } adalah himpunan semua
kelipatan persekutuan dari
5 dan 3. Elemen terkecil dari A B disebut kelipatan persekutuan
terkecila (KPK) dari 5 dan 3. Secara dormal kelipatan persekutuan
dan kelipatan persekutuan terbesar didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 3.4 Bilangan-bilangan bulata1 , a2 , a3 ,...., an
masing-masingai b
tidak nol memiliki
kelipatan persekutuan b, jika
untuk setiap = 1,2,3,..... n.a1 , a2 , a3 ,...., an
Kelipatan persekutuan bilangan-bilangan bulat misalnya ( a1 , a2
, a3 ,..., an ) = aii =1 n
selalu ada,
Definisi 3.5 Apabila a1 , a2 , a3 ,...., an adalah
bilangan-bilangan bulat yang tidak nol, maka kelipatan persekutuan
terkesil (KPK) dari bingan bulat positif terkecil di antara
kelipatan-kelipatan persekutuan a1 , a2 , a3 ,...., an . KPK daria1
dan a2
dinyatakan ( a1 , a2 ) dan KPK dari
a1 , a2 , a3 ,...., an
dinyatakan [ a1 , a2 , a3 ,...., an ] . Perhatikan contoh
berikut [3,5] yaitu KPK dari 3
3
dan 5 adalah 15, maka setiap kelipatan persekutuan dari 3 dan 5
selalu terbagi oleh 15. Hal ini secara umum dinyatakan dalam
teorema berikut ini. Teorema 3.16 Jika b suatu kelipatan
persekutuan dari a1 , a2 , a3 ,...., an maka [ a1 , a2 , a3 ,....,
an ] b. Denagn kata lain, teorema ini menyatakan bahwa jika h
adalah KPKh 2 3 a1 , a2 , a3 ,...., an yaitu h = ( a1 , a2 , a3
,..., an ) maka 0, , h, h,... masing-
masing merupakan kelipatan persekutuan dari a1 , a2 , a3 ,....,
an . Bilangan b itu adalah salah satu dari kelipatan-kelipatan h
itu. Bukti Teorema 3.16 Misalkan [ a1 , a 2 , a3 ,...., a n ] = h ,
maka harus ditunjukkan bahwahb hb
. Andaikan
, maka ada q dan r sehingga b = hq +r dengan 0 < r < h,
karenaai r
ai b dan ai h
maka
yaitu r kelipatan persekutuan dari a1 , a2 , a3 ,...., . Hal ini
bertentangan
dengan r
