- 1.PENDEKATAN GEOMETRI EUCLID1. PENDAHULUAN Panjang merupakan
dasar dari geometri euclid, akan tetapi yang paling penting dalam
geometri euclid adalah sudut atau luas daerah. Misalnya, teorema
tentang jumlah sudut dalam segitiga dan teorema pythagoras dalam
jumlah kuadrat sisi persegi. Euclid sering menggunakan luas daerah
untuk membuktikan teorema tentang panjang, seperti teorema thales.
Dalam sudut dikenal dengan SAS (sisi sudut sisi) untuk segitiga
sama sisi dan ASA (sudut sisi sudut) Kemudian teori sudut ini
digabungkan dengan teorema Thales dan memberikan dua pembuktian
teorema Pythagoras. Dengan begitu, kita mempelajari lebih lanjut
tentang ruang lingkup dari penggunaan penggaris dan jangka. Untuk
menarik kesimpulan dari penyelidikan ini kita harus melewati proses
pemotongan poligon menjadi potongan-potongan yang membentuk
persegi, pemberian akar kuadrat dari setiap sisi dan konstruksi
dari pentagon biasa.2. PEMBAHASAN 2.1 Aksioma Kesejajaran Dalam Bab
1, kita telah mempelajari penggunaan empat sisi poligon yang
semuanya adalah sudut siku-siku atau yang disebut persegi. Bentuk
aksioma kesejajaran euclid adalah jika sebuah garis melewati dua
garis maka terbentuk sudut dalam di satu sisi bersama-sama kurang
dari dua sudut siku-siku, maka akan terbentuk dua garis lurus pada
sisinya. Pada Gambar 1 menunjukkan situasi yang dimaksud oleh
aksioma kesejajaran Euclid ketika dua garis L dan M tidak sejajar.
Jikaini kurang dari dua sudut siku-siku, maka L dan M bertemu
akanbertemu di suatu titik.
2. N M LGambar 1. Ketika garis tidak sejajar Maka dapat
dikatakan jika L dan M tidak bertemu di suatu sisi, maka + = .
Dengan kata lain, jika L dan M adalah sejajar, maka dan membentuk
sudut lurus, dan sudut yang terbentuk oleh garis L, M dan N
ditunjukkan oleh gambar 2. N M LGambar 2. Ketika garis sejajar
Jumlah sudut segitiga. Jika , , dan adalah sudut segitiga
sembarang, maka ++= Untuk membuktikannya, tarik sebuah garis L
melalui salah satu titik sudut dan sejajar dengan sisi yang berada
di hadapannya, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.LGambar 3.
Jumlah sudut segitiga 3. Latihan 2.1.1 Tunjukkan bahwa jumlah sudut
setiap segiempat adalah 2 . 2.1.2 Jelaskan mengapa konvek n-segi
dapat dipotong menjadi n - 2 segitiga. 2.1.3 Gunakan diseksi dari
n-segi menjadi segitiga untuk menunjukkan bahwa jumlah sudut konvek
n-segi adalah (n 2) . Penyelesaian 2.1.1I 2.1.2II I: + + = II: + +
= + I: + + = 2+ n segi dapat dipotong menjadi n 2 segitiga. + Misal
n = 6. Dapat dibentuk menjadi: n 2 = 6 2 = 4 segitigaPerhatikan
gambar Pada gambar ada tiga segitiga yaitu segitiga a, b dan
c.2.1.3Satu segitiga memiliki jumlah sudut = , misal, n = 6. Maka,
(n 2) = (6 2) = 42.2 Aksioma Kongruen Jika dua segitiga memiliki
dua sisi bersesuaian yang sama, dan satu sudut antara sisi tersebut
juga sama, maka sisi ketiga mereka dan dua sudut lainnya juga sama.
Jadi dapat disimpulkan bahwa dua segitiga dikatakan kongruen jika
besar sudut dan panjang sisi yang bersesuaian sama. 4. Aksioma SAS.
Jika segitiga ABC dan ABC adalah sedemikian rupa |AB| = |AB|, Sudut
ABC = sudut ABC , |BC| = |BC|. Maka |AC| = |AC|, Sudut BCA = sudut
BCA dan Sudut CAB = sudut CAB Keadaan yang sama juga berlaku untuk
ASA dan SSS, yang juga menunjukkan kekongruenan, akan tetapi tidak
untuk SSA. Segitiga dengan dua sisi yang sama memiliki dua sudut
yang sama besar. Segitiga seperti ini disebut sama kaki Teorema
segitiga sama kaki. Jika segitiga memiliki dua sisi yang sama, maka
sudut yang berhadapan dengan sisi ini juga sama. Anggap bahwa
segitiga ABC memiliki |AB| = |AC|. Kemudian segitiga ABC dan ACB,
yang tentu saja segitiga sama yang kongruen oleh SAS (gambar 2.4).
Sisi kiri mereka sama, sisi kanan mereka sama, dan begitu juga
sudut antara sisi kiri dan kanan, karena mereka memiliki sudut yang
sama yaitu sudut A. Akibat yang berguna dari ASA adalah teorema
berikut tentang jajar genjang, yang memungkinkan kita untuk
menentukan luas segitiga. Jajar genjang didefinisikan sebagai
gambar yang dibatasi oleh dua pasang garis sejajardefinisi ini
tidak mengatakan apapun tentang panjang sisinya. Teorema sisi jajar
genjang. Sisi yang berhadapan dari jajar genjang adalah sama. Untuk
membuktikan teorema ini jajar genjang dibagi menjadi dua segitiga
oleh diagonal seperti pada gambar 4, dan akan dibuktikan bahwa
segitiga-segitiga tersebut kongruen. Karena segitiga-segitiga
tersebut memiliki: Sisi yang sama yaitu AC.Sudut-sudut yang
bersesuaian adalah sama, menjadi sudut dalam untuk kesejajaran AD
dan BC.Sudut-sudut yang bersesuaian adalah sama, menjadi sudut
dalam untuk kesejajaran AB dan DC, 5. D AC BGambar 4. Membagi jajar
genjang menjadi dua segitiga Latihan 2.2.1 Gunakan teorema sisi
jajar genjang dan ASA untuk temukan segitiga yang kongruen pada
gambar di bawah dan tunjukkan bahwa diagonal jajar genjang saling
membagi dua.2.2.2 Simpulkan bahwa diagonal belah ketupat atau jajar
genjang yang sisisisinya sama bertemu di sudut siku-siku.
(Petunjuk: Anda mungkin menggunakan SSS, yang mengatakan bahwa
segitiga kongruen jika sisi yang sesuai mereka sama) Penyelesaian
2.2.1Diketahui: Jajar Genjang ABCD Akan dibuktikan bahwa |AB| =
|DC| dan |AD| = |BC| Bukti : Buat diagonal AC, ada ADC dan ABC |AC|
berhimpit DAC =BCA = (sudut dalam berseberangan)DCA =BAC = (sudut
dalam berseberangan) 6. Maka, berdasarkan teorema Sudut Sisi Sudut
(ASA) maka ADC ABC Sehingga terbukti bahwa | AB | = | DC | dan | AD
| = | BC | 2.2.1 Diket : ABC sama kaki =Akan dibuktikan bahwaBukti:
Perhatikan ABD = ACD berhimpitMaka ADB kongruen dengan ACD (S,S,S)
Akibatnya,ADB =terbukti bahwa=ACD D AC berpotongan dengan diagonal
BD pad sudut 900 AC|AB| = |BC| = |CD| = |DA|. Definisi Belah
ketupat | BD | berhimpitBD ABD dan BCD | AB | = | BC | Sisi | AD |
= | CD | Sisi | BD | = | BD | Sisi sehingga, ABDAO BCD| AD | = | CD
| definisi segitiga sama kaki | OD | = | OD | berhimpit Akibatnya |
OA | = | OC | AOD CODMaka OD Adalah garis Sumbu. Jadi , ODACC 7.
2.3 Luas dan Kesamaan Prinsip logika yang digunakan adalah lima
prinsip Euclid, yaitu: 1. Hal yang sama dengan hal yang sama juga
akan sama satu dengan lainnya. 2. Jika sesuatu yang sama
ditambahkan ke sesuatu yang sama, keutuhannya adalah sama. 3. Jika
sama dikurangkan dari sesuatu yang sama, sisanya adalah sama. 4.
Hal-hal yang bertepatan dengan satu sama lain adalah sama satu
dengan lainnya. 5. Keseluruhan lebih besar daripada sebagian.
Kuadrat dari jumlah Sebagai contoh adalah persegi dan persegi
panjang yang dinyatakan dengan rumus aljabar.Euclid tidak memiliki
notasi aljabar, sehingga persamaan ini harus dinyatakan dalam
kata-kata: Jika garis dipotong secara acak, kuadrat secara
keseluruhan adalah sama dengan kuadrat pada segmen dan dua kali
persegi panjang yang dikandung oleh segmen. Perhatikan gambar 5
berikut, Garisnya adalah a + b karena dipotong menjadi dua bagian a
dan b.Gambar 5. Kuadrat dari sejumlah segmen garis Kuadrat pada
garis adalah apa yang kita tulis sebagai (a + b)2. Kuadrat pada dua
ruas a dan b adalah a2 dan b2. Persegi panjang "diisi" oleh ruas a
dan b adalah ab Kuadrat (a + b)2 sama (dalam luas) jumlah a2, b2,
dan dua bentuk dari ab 8. Latihan 2.3.1 Berikan diagram untuk
identitas a (b + c) = ab + ac. 2.3.2 Berikan diagram untuk
identitas a2 b2 = (a + b) (a b). 2.3.3 Buatlah gambar kubus dengan
tepi a + b dan tunjukkan itu dipotong oleh bidang yang membagi
setiap sisi menjadi panjang ruas a dan panjang ruas b. Penyelesaian
2.3.1 Diagram untuk identitas a (b + c) = ab + ac 1 baa(b + c) = L1
+ L2 = ab + ac2 c2.3.2 Diagram untuk identitas a2 b2 = (a + b) (a
b) ababbabb aa1 2 ab1 a+babba2 b2 = L1 + L2b2 ab= a(a b) + b(a b) =
a2 ab + ab b2 = (a + b)(a b) 2.3.3 Kubus dengan tepi a + b a b b 7
b a a a a 5 b a 1 2 a b 6 b 3 4 b b a a bDimensi masing-masing
kotak: 1. a, a, a 2. a, a, b 3. a, a, b 4. a, b, b 5. a, b, b 6. b,
b, b 7. a, a, b 8. Bagian belakang pojok kiri, yaitu a, b, b 9.
Identitas dari (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 dapat dicari dengan
menjumlahkan masing-masing volume dari tiap-tiap kotak. (a + b)3 =
V1 + V2 + V3 + V4 + V5 + V6 + V7 + V8 = a3 + a2b + a2b + ab2 + ab2
+ b3 + a2b + ab2 = a3 + a2b + a2b + a2b + ab2 + ab2 + ab2 + b3 = a3
+ 3a2b + 3b2a + b32.4. Luas Jajaran Genjang dan Segitiga Daerah
yang bukan persegi panjang dapat ditunjukkan sama dengan persegi
panjang dalam arti euclid adalah jajaran genjang. Gambar 6
menunjukkan bagaimana garis lurus dapat memotong jajar genjang
menjadi potongan yang dapat membentuk persegi panjang.Gambar 6.
Bentuk jajar genjang dan persegi panjang dari potongan yang sama
Hanya satu pemotongan yang dibutuhkan pada gambar 6, akan tetapi
banyak potongan yang dibutuhkan dalam jajaran genjang seperti
gambar 7Gambar 7. Kasus dimana lebih membutuhkan banyak pemotongan
Berdasarkan gambar di atas, dibutuhkan dua potongan, yang
menghasilkan potongan-potongan 1, 2, 3. Jumlah potongan bisa
menjadi tidak beraturan besarnya. Untuk menghindari pemotongan
dalam jumlah besar dengan
memungkinkanpenguranganpotongansertapenambahan.Gambar8menunjukkan
bagaimana mengubah persegi panjang menjadi jajar genjang dengan OR
sebagai alas dan OP sebagai tingginya. Kita perlu hanya menambah
sebuah segitiga, dan kemudian menguranginya dengan segitiga sama.
10. Gambar 8. Persegi panjang dan jajar genjang dengan alas dan
tinggi yang sama Dimulai dengan persegi panjang OPQR dan
menambahkan segitiga RQT, kemudian dikurangi dengan segitiga OPS,
hasilnya adalah jajar genjang OSTR. Dengan demikian, jajar genjang
sama (dalam luas) terhadap persegi panjang dengan alas dan tinggi
yang sama. Dari hal ini diperoleh: Luas jajar genjang = alas x
tinggi Untuk menemukan luas segitiga ABC, lihat bahwa hal tersebut
dapat dipandang sebagai setengah dari jajaran genjang dengan
menambahkan segitiga kongruen ACD seperti yang ditunjukkan pada
gambar 9.Gambar 9. Segitiga sebagai setengah jajar genjang Jelas,
luas segitiga ABC + luas segitiga ACD = luas jajar genjang ABCD,
dan dua segitiga "bertepatan" (karena mereka adalah kongruen),
sehingga kedua segitiga tersebut memiliki luas yang sama
berdasarkan pemikiran Euclid nomor 4. Dengan demikian, Luas
Segitiga =alas x tinggi.Latihan 2.4.1 Diberikan segitiga dengan
sisi tertentu yang ditetapkan sebagai alas, tunjukkan bagaimana
menemukan ketinggian dengan konstruksi penggaris dan jangka. 11.
Berdasarkan gambar 8. 2.4.2 Atas dasar apa |PQ| = |ST|? 2.4.3 Atas
dasar apa |PS| = |QT|? 2.4.4 Dengan aksioma kongruensi apa yang
membuat segitiga OPS kongruen dengan segitiga RQT? Penyelesaian
2.4.1 Cara menentukan tinggi segitiga dengan konstruksi penggaris
dan jangka Misal diketahui segitiga sembarang ABC dengan AB sebagai
alas dan titik C sebagai puncak segitiga. Langkah-langkahnya adalah
sebagai berikut: 1. Perpanjang garis AB atau alas segitiga 2. Buat
busur lingkaran dengan titik pusat C yang melalui perpanjangan ruas
garis AB, sehingga diperoleh dua titik potong busur tersebut dengan
perpanjangan garis AB. Misal kita beri nama titik P dan Q. 3. Buat
busur lingkaran di bawah perpanjangan garis AB masing-masing dengan
pusat P dengan jari-jari |PC| dan pusat Q dengan jari-jari |QC|. 4.
Tarik garis dari C ke perpotongan dua busur tersebut. Akan didapat
perpotongan garis tersebut dengan alas segitiga yang diberi nama R.
Maka ruas garis CR adalah tinggi segitiga. Karena CR tegak lurus
dengan AB.2.4.2 Berdasarkan definisi jajar genjang yaitu sisi yang
berhadapan dari jajar genjang adalah sama. Maka pada jajar genjang
OSTR, |ST| = |OR| karena OR merupakan alas dari persegi panjang
OPQR maka |OR| = |PQ| sehingga |PQ| = |ST|. 12. 2.4.3 Berdasarkan
gambar |QT| = |QS| + |ST| dan |PS| = |QS| + |PQ|, sedangkan
diketahui panjang |PQ| = |ST|. |PS| = |QS| + |PQ| |PS| = |QS| +
|ST| |QT| = |QS| + |ST| Jadi |PS| = |QT| 2.4.4 Diketahui| PO | = |
QR | sisi | PS | = | QT | sisi | OS | = | RT | sisiBerdasarkan
aksioma SSS, akibatnya OPS RQT2.5.Teorema Pythagoras Teorema
Pythagoras. Untuk setiap segitiga siku-siku, jumlah kuadrat dua
sisi pendek sama dengan kuadrat dari sisi miring. Euclid
membuktikannya dengan cara persegi di sisi miring dibagi menjadi
dua persegi panjang seperti ditunjukkan pada Gambar 10. Kemudian
akan ditunjukkan bahwa luas persegi abu-abu terang sama dengan luas
persegi panjang abu-abu terang dan luas persegi abu-abu gelap sama
dengan luas persegi panjang abu-abu gelap, sehingga jumlah dari
terang dan gelap adalah persegi di sisi miring.Gambar 10. Membagi
persegi untuk pembuktian euclid 13. Pertama akan dibuktikan bahwa
luas dari persegi abu-abu terang akan sama dengan luas persegi
panjang abu-abu terang dengan cara menunjukkan luas setengah dari
persegi abu-abu terang akan sama dengan setengah dari luas persegi
panjang abu-abu terang. Dimulai dengan sebuah segitiga abu-abu
terang yang merupakan setengah dari luas persegi abu-abu terang,
dan berturut-turut menggantinya dengan segitiga yang sama alas dan
tingginya, dan berakhir dengan sebuah segitiga yang jelas merupakan
setengah dari persegi panjang abu-abu terang. Untuk lebih jelasnya
perhatikan gambar berikut.Luas segitiga CDF adalah setengah dari
persegi CDEF Anggap CD sebagai alas segitiga dan CF adalah
tingginya.Perhatikan segitiga CDG, anggap CD sebagai alasnya dan CF
sebagai tingginya. Oleh karena itu segitiga CDG memiliki luas yang
sama dengan segitiga CDF karena memiliki alas dan tinggi yang
sama.Perhatikan segitiga BCF dengan segitiga CDG di atas, |CF| =
|DC| karena merupakan sisi-sisi dari persegi CDEF, |BC| = |CG|
karena merupakan sisi-sisi dari persegi ABCG, dan memiliki besar
sudut yang sama pada titik C. Jadi segitiga BCF dan segitiga CDG
merupakan segitiga yang kongruen berdasarkan aksioma SAS. Anggap BC
sebagai alas segitiga dan CH adalah tinggi segitiga. 14. Perhatikan
segitiga BCH, anggap BC adalah alasnya dan CH sebagai tingginya.
Oleh karena itu luas segitiga BCH sama dengan luas segitiga BCF
karena memiliki alas dan tinggi yang sama. Gambar 11. Merubah
bentuk segitiga tanpa merubah luasnya Berdasarkan langkah-langkah
di atas, dapat disimpulkan bahwa pada gambar 10 luas dari setengah
persegi abu-abu terang sama dengan luas dari setengah persegi
panjang abu-abu terang. Yang mengakibatkan luas persegi abu-abu
terang sama dengan luas persegi panjang abu-abu terang. Dengan cara
yang sama akan diperoleh juga untuk persegi dan persegi panjang
abu-abu gelap. Sehingga teorema phytagoras dapat terbukti. Latihan
2.5.1 Pastikan bahwa (5, 12, 13), (8, 15, 17), dan (7, 24, 25)
adalah segitiga sikusiku. 2.5.2 Bagaimana kita bisa yakin bahwa
panjang a, b, c > 0 dengan bersama-sama tepat akan membentuk
segitiga? (Petunjuk: Tunjukkan bahwa a + b > c.) Segitiga
siku-siku dapat digunakan untuk membangun panjang irasional
tertentu. Sebagai contoh, kita lihat di Bagian 1.5 bahwa segitiga
siku-siku dengan sisi 1, 1 memiliki sisi miring.2.5.3 Mulai dari
segitiga dengan sisi 1, 1, dan dan jangka yang membangun, temukan
konstruksi penggaris.2.5.4 Oleh karena itu, dapatkan
konstruksiuntuk n = 2, 3, 4, 5, 6, .... 15. Penyelesaian:
2.5.1terbuktiterbuktiterbukti 2.5.2 Panjang segitiga a, b, c > 0
dengan, akan dibuktika bahwaa+b>c Misal: Sebuah segitiga
siku-siku dengan panjang sisi pendeknya a = x dan b = x dengan x
> 0. Teorema Pythagoras: c2 = a2 + b2ca=xc2 = x2 + x2 c2 =
2x2b=xc=x a+b=x+x a + b = 2x Kita tahu bahwa 2 lebih besar dari 2
> 2.x >. x2x > x a+b > cTerbukti, dengan x > 0 maka:
16. 2.5.3 Diketahui segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi: 1,
1,.Langkah-langkahuntukmendapatkanpanjang sisidengan
menggunakankonstruksi penggaris dan jangka: 1. Perpanjang garis AC
2. Buat busur lingkaran dengan jari-jari |BC| 3. Buat garis tegak
lurus terhadap garis AC yang melalui titik C dan berpotongan dengan
busur lingkaran. Misal di D. 4. Segitiga ACD adalah segitiga
siku-siku dengan sudut siku d C. Sehingga teorema phytagoras
berlaku.2.5.4 Konstrusi, jika n = 2, 3, 4, 5, ... 17. 2.6 Bukti
dari Teorema Thales Teorema Thales. Sebuah garis yang ditarik
sejajar dengan salah satu sisi segitiga memotong dua sisi lainnya
secara proporsional. Misal segitiga ABC, dengan sisi-sisinya AB dan
AC dipotong oleh PQ sejajar dengan sisi BC (Gambar 12). Karena PQ
sejajar dengan BC, segitiga PQB dan PQC dengan alas PQ memiliki
ketinggian yang sama, yaitu jarak antara garis yang sejajar. Oleh
karena itu mereka memiliki luas yang sama.Gambar 12. Sisi segitiga
dipotong dengan sejajarJika kita menambahkan segitiga APQ untuk
masing-masing segitiga PQB dan PQC, kita mendapatkan segitiga AQB
dan APC. Oleh karena itu, kedua segitiga tersebut juga memiliki
luas yang sama. Sekarang perhatikan dua segitiga APQ dan PQB yang
membentuk segitiga AQB dengan alas AB. Mereka memiliki tinggi yang
sama terhadap alas AB, yaitu jarak tegak lurus dari Q ke AB. Oleh
karena itu, alas mereka adalah dalam perbandingan luasnya:Demikian
pula pada segitiga APQ dan PQC yang membentuk segitiga APC: 18.
Karena luas PQB sama dengan luas PQC, sisi kanan kedua persamaan
adalah sama, dan begitu juga sisi kirinya. Artinya,Dengan kata
lain, garis PQ memotong sisi AB dan AC secara proporsional.Latihan
Misalkan ada beberapa garis sejajar P1Q1, P2Q2, P3Q3, ... terhadap
sisi BC dari segitiga ABC. tunjukkan bahwaPenyelesaian Garis P1Q1
Garis P2Q2 19. Begitu juga untuk garis P3Q3, akan diperoleh:Dan
seterusnya, jadi:2.7 Sudut Dalam Lingkaran Invarian sudut dalam
lingkaran. Jika A dan B adalah dua titik pada lingkaran, kemudian,
untuk semua titik C pada salah satu busur yang menghubungkan
mereka, ACB sudut konstan. Untuk membuktikan invarian, tarik garis
dari A, B, C ke pusat lingkaran O, bersama dengan garis yang
membentuk sudut ACB (Gambar 13). Karena semua jari-jari lingkaran
adalah sama, |OA| = |OC|. Jadi segitiga AOC adalah sama kaki, dan
sudut di dalamnya adalah sama berdasarkan teorema segitiga sama
kaki. Sudut di segitiga BOC adalah sama karena alasan yang sama.
Karena jumlah sudut segitiga sembarang adalah , maka sudut O pada
segitiga AOC adalah 2 dan sudut di O pada segitiga BOC adalah 2.
Oleh karenanya sudut ketiga di O yaitu sudut AOB, adalah 2( + ),
karena total sudut dalam satu lingkaran adalah 2. Akan tetapi sudut
AOB adalah konstan, sehingga + juga konstan, dan + justru sudut
pada C. Hal penting dalam teorema ini adalah ketika A, O, dan B
terletak pada garis lurus dan melalui titik pusat lingkaran, maka 2
( + ) = . Dalam kasus ini, + = /2, sehingga didapatkan teorema
berikut. 20. Teorema sudut dalam setengah lingkaran. Jika A dan B
adalah ujung diameter lingkaran, dan C adalah titik lain pada
lingkaran, maka sudut ACB adalah sudut siku-siku. 2( + )Gambar 13.
Sudut + dalam lingkaran 21. DAFTAR PUSTAKAStillwell, John. 2005.
The Four Pillars of Geometry. San Fransisco: Springer.
