Magnitudes vectoriales y escalares

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Magnitudes escalares• Son aquellas que quedan completamente especificadas con un

número (mayor o menor que cero) y unidades.

• No tienen una expresión geométrica

Por ejemplo: la temperatura. Si decimos que en un día hay 25°C,

no necesitamos saber más sobre la temperatura.

Otras cantidades escalares que podemos mencionar son:

Masa

Volumen

Tiempo

Presión

Densidad

Distancia recorrida

Magnitudes vectoriales Son magnitudes que para estar determinadas precisan de un

valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de

aplicación.

Tienen una expresión geométrica.

Un vector se utiliza para representar una magnitud física que tiene dirección y sentido, por ejemplo,

Fuerza

Velocidad

Aceleración

Desplazamiento.

Un ejemplo entre la diferencias de magnitudes

vectoriales y escalares

Si una persona camina 8km hacía el este un día, y 6 km hacia el este el siguiente

día, la persona estará 14km al este desde donde partió.

Si una persona camina 8km hacía el este un día, y 6 km hacia el oeste el siguiente

día, la persona estará 2km al este desde donde partió.

Origen, 0

8km 6km

14km

x (km)

Este

x (km)

EsteOrigen, 0 8km

6km2km

espacio recorrido = desplazamiento

espacio recorrido ≠ desplazamiento

Magnitudes vectoriales: expresión geométrica

Es todo segmento de recta dirigido en el espacio con la siguientes

características:

• Origen: también llamado Punto de aplicación

• Módulo: es la longitud o tamaño del vector y representa la intensidad de la

cantidad vectorial que está representando: (Fuerza)

• Dirección: viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo

contiene.

• Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del

vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector

Vectoriales iguales y opuestos

Suma de vectores

Dados dos vectores, estos pueden se sumados

mediante una operación llamada suma de vectores.

Aunque recibe el mismo nombre que la suma de

números, se trata de una operación distinta.

La suma de vectores da como resultados otro vector

Suma de vectores: métodos gráficos

• Regla del paralelogramo: consiste en trasladar paralelamente los vectores

hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que

obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la

diagonal de ese paralelogramo.

• De la poligonal o punta y cola: En el extremo del primer vector se sitúa el

punto de aplicación del segundo, sobre el extremo del segundo vector se

coloca el del tercero y así sucesivamente. El vector resultante es el que se

obtiene al unir el punto de aplicación del primero con el extremo del

último.

Suma de Vectores - Propiedades

Como toda operación, la adición de vectores tiene ciertas propiedades

• Conmutativa

• Asociativa

• Existe elemento neutro

• Existe elemento opuesto

Conmutativa:

𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 = 𝑤𝑢 𝑢

𝑣

𝑣

𝑤

Suma de Vectores - Propiedades

Asociativa: 𝑤

𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤

𝑢

𝑣𝑢 + 𝑣

𝑣 + 𝑤

Suma de Vectores - Propiedades

Elemento Neutro:Existe el elemento neutro, el vector 𝟎, cuyo punto de aplicación ypunto final coinciden, por lo que su módulo vale 0.

Elemento Opuesto:𝑢 + 0 = 𝑢

𝑣 − 𝑣

Dado un vector 𝑣 existe suelemento opuesto ( − 𝑣 ), deigual intensidad y dirección,pero sentido opuesto, deforma que al sumarlos se

obtiene el vector 0

𝑣 + − 𝑣 = 0

Suma de vectores: métodos analíticos

La suma gráfica de vectores no essuficientemente precisa y no es útil para cuandodebemos trabajar con vectores en tresdimensiones. Los métodos analíticos son máseficaces y precisos a la hora de operar convectores, ya sea en dos o tres dimensiones.

Suma de vectores: métodos analíticos• Para poder aplicar el método de componentes debemos primeramente

repasar como descomponer un vector.

Descomposición de una fuerza en componentes

• Al igual que dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula se pueden sustituir por una única fuerza.

• También una única fuerza puede ser sustituida por dos o más fuerzas que actuando conjuntamente produzcan el mismo efecto que la primera

Suma de vectores: métodos analíticos

Suma de vectores: métodos analíticos

componentes rectangulares

Métodos analíticos: vectores unitarios

•Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios.

•Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es:

•tienen módulo 1,

•son perpendiculares entre sí; y

•corresponden a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

Métodos analíticos: vectores unitarios

Un Vector 𝑨, puede ser

reemplazado por su

representación con vectores

unitarios, donde 𝐴𝑥sería su

componente en el eje x, 𝐴𝑦su

componente en el eje y, y

finalmente, 𝐴𝑧 su representación

en el eje z.

𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘

Métodos analíticos: vectores unitarios

x

𝐴𝑦

𝑗𝐴𝑥 𝑖 𝑗

𝑖

𝐶 = 𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦

2

Métodos analíticos: suma de vectores

Dados dos

o más vectores

𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗

𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗

Entonces

𝐶 = 𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑗𝐴𝑦 𝑗

y

x

𝐴

𝐴𝑥 𝑖

𝐵

𝐵𝑥 𝑖

𝐵𝑦 𝑗

𝐶

Otras operaciones con Vectores: Producto Escalar

Definición:

Dados dos vectores 𝒓 y 𝒗 , el producto punto o producto escalar sedefine como el producto de la magnitud de 𝒓 , por lamagnitud 𝐝𝐞 𝒗 y el coseno del ángulo que va en sentido antihorariodel primero al segundo vector.

𝑟 = 𝑟𝑥 𝑖 + 𝑟𝑦 𝑗 + 𝑟𝑧 𝑘

𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 + 𝑣𝑧 𝑘

𝑟 ∙ 𝑣 = 𝑟 𝑣 cos 𝑟, 𝑣

𝜑

𝑟

𝑣

Puede demostrarse fácilmente que:

𝑟 ∙ 𝑣 = 𝑟𝑥 𝑣𝑥 + 𝑟𝑦 𝑣𝑦 + 𝑟𝑧 𝑣𝑧

Significado del producto escalar

El producto escalar de dos vectores puede definirse como el producto del módulo

de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Aplicaciones

Proyección de un vector sobre otro:

Criterio de Perpendicularidad de dos vectores:

Ángulo entre dos vectores:

cos 𝑢, 𝑣 =𝑢 ∙ 𝑣

𝑢 𝑣=

𝑢𝑥𝑣𝑥 + 𝑢𝑦𝑣𝑦 + 𝑢𝑧𝑣𝑧

𝑢𝑥

2+ 𝑢𝑦

2+ 𝑢𝑧

2𝑣𝑥

2+ 𝑣𝑦

2+ 𝑣𝑧

Proyección de 𝑢 sobre 𝑣 =𝑢 ∙ 𝑣

𝑣=

𝑢𝑥𝑣𝑥 + 𝑢𝑦𝑣𝑦 + 𝑢𝑧𝑣𝑧

𝑣𝑥

2+ 𝑣𝑦

2+ 𝑣𝑧

2

𝑢 ⊥ 𝑣 ⇔ 𝑢 ∙ 𝑣 = 0 ⇔ 𝑢𝑥𝑣𝑥 + 𝑢𝑦𝑣𝑦 + 𝑢𝑧𝑣𝑧 = 0

Producto vectorial o Cruz

Definición:

es una operación binaria entre dos vectores en

un espacio tridimensional.

El resultado es un vector perpendicular a los

vectores que se multiplican.

Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos

vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos

vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas

matemáticos, físicos o de ingeniería.

𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘

𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘

𝐶 = 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑦 𝑖 + 𝐴𝑧𝐵𝑥 − 𝐴𝑥𝐵𝑧 𝑗 + 𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥 𝑘

Regla de la Mano Derecha

Si pones el dedo pulgar de tu mano derecha apuntando en el mismo sentido que el vector 𝑎 y el dedo índice en el mismo sentido que el

vector 𝑏, entonces el sentido del

producto vectorial 𝑎 × 𝑏 lo da el dedo mayor de tu mano derecha cuando éste se estira de manera que esté perpendicular a los otros dos dedos.

𝑎𝑏

𝑎 × 𝑏

REGLA DEL TORNILLO O ROSCA DERECHA

El producto vectorial de dos vectores paralelos es cero.

𝑖 × 𝑗 = − 𝑗 × 𝑖 = 𝑘

𝑗 × 𝑘 = − 𝑘 × 𝑗 = 𝑖

𝑘 × 𝑖 = − 𝑖 × 𝑘 = 𝑗

𝑖 × 𝑖 = 𝑗 × 𝑗 = 𝑘 × 𝑘 = 0

Producto de un escalar por un vectorDefinición:

Dado un escalar 𝑘 y un vector 𝐴, el

producto 𝑘 𝐴 es un vector con la misma

dirección de 𝐴, y con sentido y módulo

determinado por 𝑘.

𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘

𝑘 𝐴 = 𝑘𝐴𝑥 𝑖 + 𝑘 𝐴𝑦 𝑗 + 𝑘 𝐴𝑧 𝑘

𝐴

𝑘1 𝐴

𝑘2 𝐴

𝑘3 𝐴

𝑘1 > 1 0 < 𝑘2 < 1 𝑘3 < 0