UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

CUARTA PRCTICA CalificadaAPLICACINES VECTORIALES

Alumnos: Roman Morn, George Anthony20081261I

Salvatierra Ayala, Manuel Gonzalo20081248B

Murga Vargas, Aldo El20082646A

Profesor:Bringas Ziga, Jess Jos

Seccin:S

Curso:Geometra Descriptiva

Fecha de entrega:10 de noviembre del 2009

FACULTAD DE INGENIERIAGEOLOGICA MINERA Y METALURGICA(FIGMM)

UNI 2009APLICACIONES VECTORIALES DE LAGEOMETRA DESCRIPTIVA

1. Representacin vectorialLas magnitudes fsicas se pueden clasificar, entre otras muchas denominaciones, de dos maneras: escalares y vectoriales. Una magnitud escalar es la que se refiere a la magnitud en s misma, es decir, magnitud verdadera en s misma que puede estar representada por un simple nmero; as son magnitudes escalares cuando hablamos en abstracto del tiempo, temperatura, volumen, masa, etc. Una magnitud escalar, puede tambin ser representada grficamente, tanto en planos, diagramas, etc., representando a las magnitudes lineales, reas, o volmenes. Como vemos en este concepto escalar nunca va implcita la idea de direccin.Una magnitud vectorial es la que adems de tener todas las caractersticas correspondientes al concepto de magnitud, tiene adems el concepto de direccin; o sea, ideas de desplazamiento, velocidad, aceleracin, momentos, fuerzas, torsiones, etc. Una magnitud vectorial se puede representar grficamente por un segmento rectilneo, como una flecha o vector. La longitud de este vector deber ser proporcional a la magnitud en relacin con su unidad de medida, es decir, que esta longitud se expresa por una cantidad determinada; tambin es preciso conocer el punto de aplicacin donde, grficamente, ese vector parece partir, o punto de origen; y asimismo, el tercer dato, ser la direccin de ese vector, en la que se pueden considerar los dos sentidos. Este sentido de la direccin de un vector se indica grficamente por la punta de la flecha.Cuando un vector se indica desde el punto de aplicacin, tenemos ya una direccin marcada con un sentido que es el que indica la lnea de accin de esa magnitud vectorial, y entonces se le llama vector localizado. Pero si el vector se moviese en una direccin conveniente que fuese paralela a la que al principio tena, entonces se le llamar vector libre. Las operaciones que se hagan con los vectores son independientes de su posicin, por eso los vectores libres se pueden emplear con propsitos de suma, resta, etc. En algunas aplicaciones, sin embargo, los vectores localizados sern los que tengan que actuar segn una lnea de accin determinada, para una solucin que se busque.Un sistema de vectores podr ser concurrente, cuando todos los vectores coincidan en un punto comn de aplicacin; puede ser paralelo, cuando los vectores sean paralelos; y podr ser no concurrente, cuando los vectores ni concurren en un punto ni son paralelos. El sistema de vectores podr tambin ser bajo otra consideracin coplanar, cuando los vectores actan en el mismo plano o en planos paralelos; y podr ser no-coplanar, cuando los vectores acten, en el espacio, en planos que no sean paralelos.Como los vectores son sencillos segmentos de lneas rectas, los principios de la geometra descriptiva les son directamente aplicables, para la solucin grfica de todos los problemas que impliquen magnitudes vectoriales.2. Suma y resta de vectores coplanaresDos o ms vectores se pueden sumar geomtricamente, para obtener otro vector que sea equivalente en efecto al que producen los otros dos; a este vector equivalente se le llama resultante, y si los dos vectores dados son coplanares, el vector resultante estar en el mismo plano. Pero para el simple propsito de sumar o restar vectores se pueden considerar como si fueran vectores libres, pudiendo ser trasladados a posiciones paralelas. Los, smbolos y indican, respectivamente, la suma y resta de vectores.Los vectores coplanares se pueden sumar grficamente por cualquiera las siguientes construcciones, que son similares:

ley del paralelogramo. En la figura 11-1 se dan las magnitudes y direcciones de dos vectores A y B; se elige un punto cualquiera O, como origen de trazado, trazando por l las paralelas a los vectores dados, tomando sobre dichas direcciones, y en escala arbitraria las magnitudes de cada uno de los dos; por los puntos extremos de dichos vectores, o flechas de los mismos se trazan las paralelas a cada uno de ellos, para completar el paralelogramo, como vemos en esa figura; la diagonal del paralelogramo formado corresponde al vector resultante, equivalente a la suma grfica de los dos vectores dados, medido en la misma escala que habamos antes fijado.Obsrvese que el mismo resultado se obtiene trazando desde el origen O los dos vectores, que si hubiramos tomado las magnitudes de los vectores en sentido inverso, desde los puntos extremos de los mismos, o puntas de flecha, pues siempre tendremos el mismo resultado de A B.

ley del tringulo. En la figura 11-2 tenemos los mismos vectores A y B, dados antes, con la misma longitud de escala. Desde el origen O se traza el vector A, en magnitud, direccin, y sentido conveniente, para desde el extremo de la flecha A trazar el otro vector B, tambin en la direccin, sentido y magnitud dadas. Si ahora unimos el extremo de la flecha del vector B con el origen O, se habr formado un tringulo cuyo tercer lado, representa A B, con una magnitud, direccin, y sentido exactamente igual al obtenido anteriormente cuando se formaba el paralelogramo de fuerzas. Si en vez de haber tomado los vectores en la forma indicada antes, se hubiera tomado a partir de O el vector B y luego el A, tendramos exactamente el mismo resultado; lo mismo que vimos analticamente ahora se ve grficamente, que el orden de los sumandos no altera el valor de la suma.

suma de tres o ms vectores. La ley que hemos visto para formar un paralelogramo o un tringulo de fuerzas se puede extender para sumar tres o los vectores que se precisen. En la figura 11-3(a) se dan los vectores coplanares A, B y C. Por un punto cualquiera del plano, O, por ejemplo, se trazan los vectores A y B que al sumarse, empleando el paralelogramo o el tringulo se tendr el vector resultante A B, el cual se sumar a su vez con el C, para obtener otro vector resultante total en A B C, que representar la suma total grfica de los tres vectores dados, lo mismo empleando paralelogramos que tringulos, siendo preferible el tringulo por su sencillez, ya que en realidad se limita a ir tomando los vectores dados a partir del origen O, empezando con el vector A, en direccin, magnitud, y sentido y del mismo modo sigue con los otros dos vectores B y C. A partir del extremo del vector A se traza una paralela al vector B, y desde el extremo de B otra paralela al vector C, para tener solamente que unir el punto extremo del vector C con el origen O, formando el vector resultante la lnea que cierra el polgono que se va formando, llamndose a este sistema el mtodo del polgono. Siendo este mtodo el preferible, sobre todo cuando hay que sumar muchos vectores.

sustraccin de vectores. Supongamos en la figura 11-4 que queremos restar los vectores dados A y B, siendo este problema similar al anterior, ya que si consideramos, por ejemplo, al vector B que tenga el mismo valor y direccin, pero sentido inverso el problema queda reducido a sumar los vectores +A y -B, como lo vemos en dicha figura, bien con el paralelogramo o con el mtodo del tringulo. Es decir, que si desde un origen O tomamos el vector A, en su direccin, magnitud y sentido, y por el extremo del vector A se traza el vector B, que hay que restar, en su misma direccin, magnitud, y sentido inverso al que estaba trazado como dato, bastar unir el origen con el extremo de -B, para tener el vector que representa la diferencia grfica de los dos vectores dados.

3. Descomposicin de un vector coplanarHemos visto cmo dos o ms vectores podan componerse para formar un solo vector resultante. Por el procedimiento inverso un vector sencillo se puede descomponer en dos o ms vectores componentes. Si estos componentes son coplanares, habr que conocer la direccin y magnitud. Pero el caso ms corriente es el que un vector tenga que descomponerse en dos componentes que tengan una determinada direccin.En la figura 11-5(a) el vector dado A tiene que descomponerse en dos componentes que tengan las direcciones OM y ON, solicitndose la magnitud de cada uno de ellos. En la figura 11-5(b) se ve cmo por el origen O del vector A, se han trazado las paralelas a las direcciones de los componentes dados, para luego por el extremo de dicho vector A trazar las paralelas a estas direcciones, y completar as el paralelogramo de fuerzas, con lo cual el vector A ha quedado descompuesto en los dos componentes, o sumandos, AN y AM con los sentidos que se marcan por la flecha, en cada uno de estos componentes.En la figura 11-5(c), vemos la descomposicin de ese vector por el mtodo del tringulo. Por el origen O se ha trazado la paralela AM a la direccin que ha de tener ese componente, OM; por el extremo del vector A, por su flecha, se traza la paralela al otro componente ON, encontrndose los dos componentes AN y AM en un punto que determina el tringulo buscado. La direccin de cada componente se determina tambin en (c).

4. Suma de vectores situados en el espacioLos vectores que estn situados en el espacio, se pueden representar en las proyecciones mltiples que conocemos. Y sus longitudes, direcciones y relaciones entre ellos, se pueden determinar por los procedimientos y mtodos corrientes de geometra descriptiva.establecimiento de la longitud de los vectores. Para establecer o situar un vector dado en el espacio es preciso mostrar su direccin en las dos proyecciones principales; y la longitud verdadera del vector deber ser igual (o a escala) a la magnitud medida del mismo. La figura 11-9 nos indica un mtodo rpido para establecer la longitud de un vector en el espacio.Fase 1: Establecer la direccin del vector en cada proyeccin.Trazar la lnea OA, de longitud indefinida y paralela al vector solicitado, en cada proyeccin.Fase 2: Establecer la longitud verdadera de un segmento del vector dadoSe selecciona cualquier punto X de la lnea OA, para establecer as XT y XF. Se construye el tringulo rectngulo OTXTXA, trasladando la distancia d desde la proyeccin vertical a la horizontal. Obsrvese que el tringulo rectngulo no es nada ms que una versin simplificada de una proyeccin de longitud real adyacente a la proyeccin horizontal, y por lo tanto OTXA ser la longitud verdadera que tenga el segmento del vector OX.Fase 3: Establecer la longitud verdadera del vector completando las proyecciones.Por la lnea OTXA, prolongada si es necesario, se traza a escala la longitud verdadera de 5.7 unidades del vector dado, para establecer as el punto aA. Los puntos aT y aF pueden ahora ser localizados por el sistema de alineaciones.

suma de dos vectores en el espacio. La figura 11-10 nos indica el mtodo para sumar dos vectores en el espacio. El diagrama de fuerzas, de la parte izquierda, indica la situacin y direccin de los vectores dados A y B, pero sus respectivas longitudes, que valen 6 y 5 unidades, no han sido todava establecidas en estas proyecciones. Los vectores A y B no es necesario que sean concurrentes.La construccin del diagrama de vectores, que figura en la parte derecha, se inicia en el punto convencional O. El vector A empieza en O, trazndose en las dos proyecciones paralelas a esta direccin en ambas. A partir del extremo A se traza el vector B, no sin antes haber tomado en la proyeccin vertical las seis unidades de longitud verdadera en el segmento y vector A. El vector B trazado es oblicuo no apareciendo en tamao real, por ello y empleando el mtodo de la figura 11-9 se traza este vector en su longitud verdadera tomando las cinco unidades, de su valor absoluto, en la distancia aTbA. Uniendo el punto B con el O, por medio de una lnea, tendremos la proyeccin vertical y horizontal del vector resultante.Para obtener la verdadera magnitud de este vector suma, de la lnea OB, habr que encontrar su verdadera longitud. Esto se puede hacer fcilmente construyendo el tringulo rectngulo aTbTbB. Obsrvese que la distancia e es la diferencia de nivel entre los puntos O y B y que la hipotenusa del tringulo rectngulo, que vale 8.6 unidades, es la verdadera longitud de la resultante buscada.

5. Descomposicin de un vector en el espacioLas componentes de un vector situado en el espacio son tres, segn las direcciones que sirven para determinar en general a todo cuerpo, pudindose descomponer en tres direcciones no-coplanares que tuvieran tambin direcciones especficas ya determinadas. Un caso corriente es el que vemos expresado en la figura 11-11, en el que, en (a), vemos las dos proyecciones principales, con el eje Z proyectado en un punto, en la proyeccin horizontal; y el eje Y, tambin proyectado en un punto, en la proyeccin vertical. En (b) aparece el prisma rectangular que se forma en el espacio, con el vector A como diagonal, y las tres proyecciones del mismo segn los tres ejes del sistema coordenado. Y en (c) se tiene de nuevo las proyecciones principales del mismo prisma con el vector A y sus tres componentes, una de las cuales se proyecta en un punto. Todos los vectores tienen su origen comn en el punto O. Esta descomposicin de un vector cualquiera, en tres sumandos, segn los ejes coordenados rectangulares, es una operacin muy til, porque permitir reemplazar un vector oblicuo por tres vectores de longitudes verdaderas.

6. La fuerza como una magnitud vectorialLa magnitud fuerza puede ser definida, simplemente, o como impulsora o tractora. Una fuerza acta sobre un cuerpo del modo siguiente: (1) Cambiando la velocidad del cuerpo, no existiendo otra que se le oponga: (2) creando otra fuerza de reaccin, o de inercia, si el cuerpo est en reposo o con velocidad constante, ya que tiende a que el mismo no cambie de posicin; (3) produciendo una deformacin en el referido cuerpo, que origina otras fuerzas internas. Nos vamos a concretar aqu solamente, al segundo efecto, al de las fuerzas que actan sobre un cuerpo que est en reposo, lo que en mecnica se llama esttica.Una fuerza cualquiera tiene tres caractersticas, de las que ya hemos hablado en los vectores: Punto de aplicacin, direccin-sentido y magnitud; tambin se les llama magnitud, lnea de accin y sentido. Son las caractersticas generales que han de tener los vectores localizados. Para las operaciones de suma y resta, las fuerzas se consideran ocasionalmente como vectores libres, pero cualquier fuerza resultante que haya sido obtenida, no queda completamente establecida hasta que no se determina el punto de aplicacin.

7. El principio de la transmisin de una fuerzaEl efecto externo de una fuerza que acta sobre un cuerpo rgido no se altera si el punto de aplicacin se mueve siguiendo la direccin de la lnea de accin de esa fuerza. A este importante hecho se le conoce con el nombre de principio de la transmisin, que es muy til para la solucin de los problemas relativos a las fuerzas. La figura 11-12 muestra las aplicaciones que tiene ese principio a un sencillo caso de fuerzas coplanares. Un cuerpo irregular se le supone sometido a dos fuerzas F1 y F2, aplicadas en los puntos A y B, como vemos en la fase 1. Por el principio enumerado estas dos fuerzas, de sentido Inverso y aplicadas en los puntos A y B, se pueden considerar aplicadas en las prolongaciones internas de las dos direcciones que se encuentran en el punto C; es decir que conociendo el punto de aplicacin de esas fuerzas magnitudes, direcciones y sentido, quedan en este caso concentradas en ese punto C, bastando con poner estas dos fuerzas F1 y F2 segn vemos en la fase 3 para tener la resultante R. O sea, que la actuacin de las dos fuerzas externas F1 y F2 en los puntos A y B, es lo mismo que si actuase sobre el cuerpo una sola fuerza resultante R, aplicada en cualquier punto de la lnea DE-C. Siempre en la lnea ED.Si el punto de concurrencia fuera inaccesible, la fuerza resultante se puede determinar por el mtodo indicado en la figura 11-13. En la fase 1 se muestran las dos fuerzas dadas coplanares, fi y F2 aplicadas en los puntos A y B, que concurren en un punto inaccesible, a la izquierda de la figura. Si aplicamos en A y B dos fuerzas F, iguales en magnitud, en la misma direccin y sentido opuesto, a lo largo de la lnea AB, como se observa en la fase Z, no se altera el efecto de las fuerzas dadas, F1 y F2 al neutralizarse entre s las dos fuerzas F.Se suman los vectores F y F1, reemplazndoles por el vector R1, as como los vectores F y F2 por su suma R2. Estas fuerzas R1 y R2 ya concurren en el punto C, como vemos en la fase 3, pudiendo sumarse para obtener la resultante final R, que puede considerarse aplicada en cualquier punto de la lnea DE. Las fuerzas iguales F pueden tener cualquier magnitud, ya que el punto C estar siempre en la lnea DE.

8. Resultante de varias fuerzas concurrentesCualquier sistema de fuerzas concurrentes se puede reemplazar por una sola fuerza resultante, que acte en el punto de concurrencia. En el caso general de fuerzas no-coplanares estos vectores deben representarse como vectores de fuerzas y agregarse a las proyecciones principales. En la figura 11-14 se muestra el mtodo de determinacin de la fuerza resultante para este caso general.el diagrama de fuerzas. Este diagrama muestra la direccin que tienen las tres fuerzas que actan en el punto O; para conveniencia de este caso, y en general de todos los problemas que vayamos exponiendo, la notacin de Bow (tambin se llama notacin de Henrici) es la que se emplea para designar las fuerzas en su enunciacin. En esta anotacin se coloca una letra mayscula a cada lado de cada vector, quedando, por tanto, algunas entre estos vectores, designando cada vector por las dos letras maysculas que hay a sus dos lados, empezando por la izquierda; es decir, se leen los vectores de izquierda a derecha. Pero para evitar posibles confusiones, si se empleara este sistema de notacin en las dos proyecciones, se efecta nicamente en una de ellas, en este caso en la proyeccin horizontal de la figura 11-14; mientras que en la proyeccin vertical, o en otras que fueran adyacentes a la horizontal la serie de enumeracin de los vectores se hace con las dos letras sucesivas que indican los dos extremos del vector, que se corresponden con las que figuran en la proyeccin horizontal a los dos lados de cada fuerza, de izquierda a derecha. Los vectores indicados en este diagrama de fuerzas no precisan ser dibujados a escala, como sucede con el diagrama de vectores.el diagrama de vectores. Siguiendo el orden de la notacin del diagrama anterior, este diagrama de vectores, que habr de dibujarlo a escala, empieza su construccin en cualquier punto conveniente tal como el punto A. Se traza el vector AB paralelo a la direccin de esta fuerza mostrada en el otro diagrama y su magnitud de 70 kilos se toma sobre esta direccin, siguiendo el mtodo de la figura 11-9, quedando as localizado el punto B. Por este mismo punto se traza el vector BC, que figura en longitud verdadera en la proyeccin vertical tomando en ella la magnitud de 40 kilos para as quedar localizado el punto C. Por este extremo y paralelamente a las proyecciones de la fuerza CD se trazar este vector en el que se tomar a escala una magnitud de 60 kilos, obteniendo as el punto D, ltimo de las tres fuerzas que se estn componiendo. No quedar ya ms que unir D con A, para completar el polgono de vectores, siendo este vector AD el resultante que se buscaba, y su magnitud de 120 kilos, en la direccin que marca la figura, nos indicar que la accin de los tres vectores, con sus fuerzas respectivas, equivalen a la sola accin que tiene el vector resultante indicado.Para completar la solucin, la resultante R se traza tambin por el punto O en el diagrama de fuerzas con una paralela a dicha resultante, y cuyo sentido debe ser de A hacia D para que sea equivalente al vector de la cadena ABCD. Si la resultante R se tomase en sentido opuesto, el sistema quedara equilibrado ya que este vector, con la fuerza que representa equivale a los tres componentes que al actuar en sentido inverso se anularan.

9. Resultante de dos fuerza paralelasLa resultante de dos fuerzas que sean paralelas puede ser otra sencilla paralela, o tambin pueden formar un par de fuerzas. Consta, el par, de dos fuerzas que sean iguales y paralelas, pero de sentidos inversos; el efecto que produce este par al aplicarse a un cuerpo, es el de rotacin; si la resultante de las dos fuerzas paralelas fuese solamente otra tercera recta paralela, a aplicarse esta resultante sobre un cuerpo no producira nunca la rotacin de mismo, ya que supondra en el cuerpo diversas acciones, tales como desplazamiento, compresin, etc.La resultante de dos fuerzas paralelas se puede obtener rpidamente por c mtodo indicado en la figura 11-15, el cual es simplemente una aplicacin repetida del principio indicado en la figura 11-13. Presentndose los tres casos siguientes:

caso 1. En la figura 11-15(a) dos fuerzas desiguales y paralelas F1 y F2 actan en la misma direccin; si suponemos que en los puntos de origen de cada una de ellas, A y B, se aplican dos fuerzas F iguales y contrarias en sentido, dentro de la misma direccin, bastar componer las dos primeras fuerzas citadas con esta fuerza F, a lo largo de la lnea AB; las fuerzas dadas pueden ser reemplazadas por las dos resultantes R1 y R2. Estas resultantes concurren en el punto C dando a su vez la resultante total R, que en realidad no deja de ser ms que la suma aritmtica de las dos fuerzas F1 y F2 dadas. Ntese que en este caso la resultante R se encuentra entre las fuerzas dadas.caso 2. En la figura 11-15(b) se presentan las dos fuerzas desiguales y paralelas, F1 y F2, como en el caso anterior, slo que ahora, aunque tienen la misma direccin, tienen sentidos opuestos. Aplicando la misma construccin que anteriormente habamos efectuado, las dos resultantes R1 y R2 concurren en un punto C que ahora est ms bajo que el punto A, con una resultante total R=F1-F2, en direccin y sentido de la fuerza mayor que es F1.caso 3. En la figura 11-15(c) las dos fuerzas paralelas F1 y F2 son ahora iguales en magnitud, pero de sentido contrario, aun teniendo la misma direccin como en los casos anteriores. Al efectuar la misma composicin de fuerzas, como antes hicimos, las dos resultantes R1 y R2 tienen el mismo valor y adems son paralelas, es decir, que no concurren como antes en ningn punto C, donde habra que aplicarse la resultante. En este caso forman lo que se llama un par de fuerzas, cuya accin tiende a producir un movimiento giratorio, con una accin resultante que valdr F1a = R1b. Luego el valor que tiene este par de fuerzas se llama momento del par, que vemos vale l valor de una de las fuerzas por la distancia perpendicular que hay entre las dos fuerzas. Este par de segmentos forman en realidad una superficie dirigida o bivector que es el paralelogramo formado por esas dos fuerzas, y el rea de este paralelogramo es lo que antes hemos llamado el momento del par, y la distancia a es el brazo del par.

10. Resultante de fuerzas paralelas coplanaresAplicando el mtodo dicho de la figura 11-15 por aplicaciones sucesivas a cualquier nmero de fuerzas paralelas, cualquiera que sea su sentido, puede quedar reducido siempre, el caso que sea, a una simple fuerza o a un par de fuerzas. Sin embargo, cuando estn implicadas ms de dos o tres fuerzas es ms prctico emplear el mtodo que vamos a ver en la figura 11-16.caso 1. la resultante final es una fuerza. En la figura 11-16(a) aparecen cuatro fuerzas paralelas, que nos son dadas en un diagrama de fuerzas, con objeto de trazar un diagrama de vectores para localizar la resultante, a escala. Empleando la notacin de Bow, las fuerzas estn designadas por las letras A, B, C, etc., sobre el lateral de cada fuerza, leyndose dichas fuerzas de izquierda a derecha. Se empieza el diagrama de vectores por cualquier punto A tomando hacia arriba, en escala, el valor de la fuerza AB que vale 6 kg, tenindose el punto B. A partir de este punto se toma hacia abajo la fuerza BC, que vale 5 kg, obtenindose el punto C. A partir de este punto C y hacia arriba se tomar la fuerza CD por una magnitud de 3 kg, tenindose el punto D; a partir del cual se tomar la ltima fuerza DE, por un valor de 4 kg, y hacia arriba, para tener el punto final E. Luego la distancia AE, ser la resultante buscada, que vale 8 kg Obsrvese que, las flechas de las fuerzas han sido omitidas para estos vectores, ya que el mismo orden de las letras va Indicando el sentido.Para localizar la resultante R en el diagrama de fuerzas se selecciona un punto O llamado polo, que se trazar en el diagrama de vectores, para unirlo con los diferentes puntos ya reseados por medio de radios, formndose un cierto nmero de tringulos superpuestos, que sern tringulos vectoriales, representando cada radio dos componentes vectoriales iguales de magnitud y de sentido contrario. As el radio OD es una componente de la fuerza CD, y DO es una componente de la fuerza DE, y como estos dos vectores OD y DO sobre ser iguales en magnitud se cuentan en sentido opuesto, su resultante que es O, no puede alterar el valor que tenga la resultante final R.Si ahora nos trasladamos, otra vez, al diagrama de fuerzas inicial, elegiremos un punto S sobre la lnea de accin de la fuerza AB, para empezar a trazar el polgono de cuerdas que vemos representado en dicha figura 11-16(a). Se trazan las cuerdas a y b, paralelas a los radio DA y DB, y desde el punto en que b corta a la fuerza BC se traza la paralela c al radio OC, y de igual manera se trazarn las cuerdas d y e. Obsrvese que cada espacio de la cuerda se corresponde con el espacio de las letras. El punto X donde el primero y el ltimo segmento de cuerda que hemos trazado se cortan, ser el punto de la lnea de accin de la fuerza resultante R. Cada cuerda representa la lnea de accin de dos fuerzas iguales y de sentido opuesto que se anulan mutuamente, de aqu que el polgono de cuerdas es simplemente un dispositivo para descomponer cada fuerza dada en dos componentes que se anulan mutuamente, excepto la primera y la ltima.Variando la posicin del polo O variar la forma del polgono de cuerdas y movindose el punto elegido S cambiara su posicin, pero el punto X siempre tiene que caer en la lnea de accin de la fuerza resultante.

caso 2. un par de fuerzas como resultante. En la figura ll-16(b) el mismo sistema de fuerzas tenemos ahora que las dadas anteriormente, excepto que la fuerza de 4 kgs en vez de estar dirigida hacia arriba ahora lo est hacia abajo. En el diagrama de vectores el punto E coincide con el punto A, de ah que la fuerza resultante sea cero. En el polgono de cuerdas a y e son paralelas, luego la resultante ser un par de fuerzas que actan a lo largo de las cuerdas a y e. La magnitud del par de fuerzas es de 8,8 kgs, segn escala, desde AO, como vemos, en el diagrama de vectores. El sentido de la fuerza AO puede ser determinado considerando un tringulo vectorial, en el cual AO sea un componente. Se puede construir el tringulo interior AOB que muestra con flechas todos sus lados para indicar que la componente AO debe actuar desde A hasta O. El par resultante, por lo tanto, tiene una magnitud, un momento, de 8,8 x 4,6 = 40,5 cm. - kg. que acta en direccin de izquierda a derecha.Si las cuerdas a y e coincidieran, el par resultante sera cero, y las fuerzas estaran en equilibrio.

11. Resultante de fuerzas paralelas no coplanaresEl mtodo anterior de polgonos, de cuerdas y de radios, se puede aplicar tambin a fuerzas paralelas que no sean coplanares, pero la construccin tiene que ser realizada dos veces, una por cada una de las dos proyecciones principales adyacentes, con objeto de localizar la fuerza resultante en el espacio. Para ilustrar el procedimiento, y tambin para mostrar las aplicaciones de un problema prctico, el mtodo que se emplear consistir en la determinacin del centro de gravedad de un cuerpo. Las fuerzas de gravitacin que actan en las diversas partes de un cuerpo, constituyen realmente un sistema de fuerzas paralelas cuya resultante es la suma de estas fuerzas, actuando esta fuerza resultante en el centro de gravedad del cuerpo entero.EjemploEn la figura 11-17 se representa un cuerpo homogneo que se compone de tres sencillos cuerpos geomtricos: La parte X es un prisma de volumen 36 cm3; la parte Y, otro prisma de volumen 144 cm3, y la parte Z, que es un prisma triangular, su volumen de 27 cm3, ha tenido que restarse. La fuerza gravitatoria que acta en cada una de estas partes ser proporcional a su volumen y peso, y acta en el centro de gravedad de cada una de estas partes. Por ser elementos slidos estas fuerzas de gravedad actan hacia abajo, y sern negativas cuando estas fuerzas tengan que actuar hacia arriba.

SolucinEn la figura 11-17 el volumen de cada parte ha sido calculado, como se ve, para encontrar un volumen total de 153 cm3. El centro de gravedad de los cuerpos X e 7 es el centro geomtrico de cada uno de estos prismas, pudiendo localizarse estos puntos trazando las diagonales que vemos en dicha figura. Para el prisma triangular de la parte Z se puede encontrar el centro del tringulo de la cara trazando la interseccin de sus medianas, como vemos en zf.En la proyeccin vertical las tres fuerzas gravitatorias, que aparecen en la misma son proporcionales, respectivamente a 36 cm:t, 144 cm3, y a 27 cm3, que actan en los puntos xf, yp, y zf- Debajo de esta proyeccin vertical se ha trazado el polgono de radios, en cualquier escala convenida; tambin ha trazado el correspondiente polgono de cuerdas, en las prolongaciones de las lneas de accin de cada una de las tres fuerzas gravitatorias [como en la 11-gura 11-16(a)] Las fuerzas representadas por las cuerdas a y d se cortan en el punto M, luego la resultante R debe actuar segn la direccin de la lnea MN, en la cual estar situado el centro de gravedad gF.En la proyeccin lateral las mismas tres fuerzas se pueden ver actuando verticalmente en los puntos xr, yB y zb. El polgono de radios empleado en la proyeccin vertical puede ser empleado aqu, pero el polgono de cuerdas tiene que ser trazado en las prolongaciones correspondientes a las lneas de accin de esas tres fuerzas de gravedad en esa proyeccin lateral. Obsrvese que la cuerda C no ha sido trazada porque las fuerzas BC y CD tienen la misma lnea de accin en esta proyeccin. Las cuerdas a y d se cortan en el punto P, luego la resultante R pasar por esta lnea PQ, y qr tendr tambin que estar situado en esta lnea. Luego las lneas MN y PQ determinan la lnea de accin de esta resultante total R pero la altura del punto G es an desconocida.Si suponemos que los dibujos trazados efectan un giro de 90, podemos imaginar entonces que la proyeccin lateral se ha convertido en proyeccin vertical, y que la proyeccin vertical queda transformada en proyeccin horizontal. Es decir, viene a ser esto equivalente a que hubiramos girado el objeto para ponerlo en esta nueva posicin. Las fuerzas de gravedad que antes se dirigan hacia abajo ahora aparecern dirigidas hacia la derecha. El polgono de radios se vuelve a trazar de nuevo, poniendo los vectores paralelos a la nueva direccin, y el polgono de cuerdas se traza en prolongacin de las lneas de accin de esas fuerzas gravitatorias, ahora hacia la derecha. Las cuerdas a y d se cortan en el punto S, lo que indica que gx ha de estar situado en la lnea ST, y como tambin tena que estarlo en la lnea PQ, estar en la interseccin, con lo cual queda localizado ese punto de aplicacin gR, que determinar la posicin del punto gF? en la proyeccin vertical (ahora horizontal). Luego el punto G es el centro de gravedad buscado del cuerpo dado, que era nuestro objetivo.El mtodo indicado se puede emplear tambin para encontrar el centro de gravedad, o centro simplemente de cualquier rea, en cuyo caso los polgonos de los radios y de las cuerdas necesitan ser trazados solamente dos veces.