magnetyzm cd.

ver-10.01.12

F

dx

⊗B

praca przemieszczenia obwodu w polu B

praca wykonana jest kosztem źródła prądu!

F= ΙlB

B⊥j

dW=Fdx= Ι lBdx= Ι BdS

ΦB=∫ B⋅d S=∫ BdS

dΦ B=BdS

dW= ΙdΦ B

= Ι B⋅d S

W= Ι∫dΦB= Ι Φ2−Φ1

W=q ϕ2−ϕ1

(siła Ampere’a)

strumień

dla obwodu:

dywergencja pola magnetycznego

(monopol magnetyczny Diraca?)

ΦB=∮S

B⋅d S=0

∇⋅B=0 div B≡0

nie istnieją ładunki magnetyczne!

pole bezźródłowe:

∫V

∇⋅BdV=0Gauss:

rotacja pola magnetycznego

rdα – rzut dl na B

∮Γ

B⋅d l=∮Γ

μ0

4π2Ιr

rd α

∮Γ

B⋅d l=μ0 Ι

2π ∮Γdα=μ0 Ι ∮

Γ

dα=2π

∮Γ

B⋅d l=μ0∫S

j⋅d S

∇×B=μ0j rot B=μ0

j

pole wirowe

ale Stokes:

B

dlr

jdα

Γ

⊗

∫S

∇×B ⋅d S=μ0∫S

j⋅d S

podsumowanie własności pól wektorowych

pole bezwirowe, istnieje potencjał skalarny:

∇⋅E=

0

∇×E≡0}E=−∇ ϕ

B= ∇×A

coraz bliżej do równań Maxwella!

pole bezźródłowe, istnieje potencjał wektorowy:

∇⋅B≡0∇×B=0

j }

cewka indukcyjna (selenoid)

a

⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗

ʘʘʘʘʘʘʘʘʘʘʘ

B1

B2

⊗⊗⊗

pole jednorodne (prawie)

∮ B⋅d l=B1−B2 a=0 ⇒ B1=B2

selenoid

R ϑ1ϑ2 x

n - gęstość zwojów

dB=−μ0

2nI

R sin ϑ

r2 dx

x=Rctg ϑ

dx=−R1

sin2ϑdϑ

r=R / sinϑ

B=−μ0

2nI∫

ϑ 1

ϑ2

−sin ϑ dϑ=μ0

2nΙ cos ϑ1−cos ϑ2

na zewnątrz: B = 0ϑ10o

ϑ2180o } B=μon Ι

toroid (pierścień Rowlanda)

[µ0] = Tm/A

∮ B⋅d l=2π rB=μ0 2π RnI

B=μ0nΙRr≈μ0nΙ

Rr ≈1

SI

pole magnetyczne w materii

↑ ↑ pole wewnętrzne (uśrednione)

B=B0B '

pole zewnętrzne

teoria Ampère’a magnetyzmu:prądy elementarne

J =def 1

ΔV∑ pm

P=def 1

ΔV∑ΔV

p

∇⋅B=∇⋅B0∇⋅B'

=0

namagnesowanie:

natężenie pola magnetycznego

↑ prądy elementarne

∇×B=∇×B0∇×B '

=μ0 jj '

można wykazać, że: j '= ∇×J ρ'=−∇⋅P

∇×B=μ0jμ0

∇×J

∇× Bμ0

−J =j

H =def B

μ0

−J ∇× H=j- natężenie pola magnetycznego

D=def

ε0EP ∇⋅D= ρ

cd.

np.: dla prądu prostego:

∮Γ

H⋅d l=∫S

j⋅d S=∑k

Ι k

J=0, H=Bμ0

H=14π

2Ib

[H] = [J] = A/m

Stokes:

w próżni:

SI

cd.

- przenikalność magnetyczna, może być > 1 lub < 1

J= χ H P=κε0 E

H=Bμ0

− χ H H=B

μ0 1 χ

μ =def

1 χ

H=B

μ0 μD=ε0 ε E

namagnesowanie wiąże się z natężeniem pola

↑ podatność magnetyczna

ośrodek izotropowy

stała bezwymiarowa

(ferro: zależy od H)

χ (podatność) może być dodatnia lub ujemna

warunki brzegowe

w magnetyku o większym µ linie zagęszczają się

∇⋅B=0∇× H=j

B1,n=B2,n

μ2 B1, t=μ1 B2, t

μ1 H 1,n=μ2 H 2,n

H 1, t=H 2, t

magnetyki

χ<0 diamagnetyki µ<1 B<B0 J↑↓H

χ>0 paramagnetyki µ>1 B>B0 J↑↑H

χ>>0 ferromagnetyki µ>>1 B>>B0 χ=χ(H)

diamagnetyki: brak własnego momentu magnetycznego, precesja Larmora ωL = eB/2m, indukuje przeciwne pole

magnetyczne, (Bi, Zn, Pb, Ag, Au, Hg)

paramagnetyki: własny moment magnetyczny ustawiający się zgodnie z zewnętrznym polem, χ~1/T, (Mn, Sn, Al, Pt)

ferromagnetyki

histereza

ferromagnetyki: spontaniczne namagnesowanie domen (10µm), niejednoznaczna funkcja B = µ0(H+J), (Fe, Ni, Co),

punkt Curie (np.: TC = 768oC)

B

H

Br

Hk

Br - pozostałość

magnetyczna

Hk - koercja

domeny

B

magnetyzm ziemski

magnetyzm ziemski

indukcja elektromagnetyczna

indukcja elektromagneczna

1831 (Michael Faraday 1791-1867)

zmiana strumienia B powoduje indukowanie prądu w obwodzie

reguła Lenza (przekory): kierunek prądu indukowanego powoduje przeciwdziałanie zmianom.

http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/faraday/

http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/faraday2/

prawo Faradaya

B vdt

dS

⊗1

2

l v

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

B=const

F=q v×B

ε i=∮ v×B ⋅d l=∫1

2

v×B ⋅d l=v×B ⋅l

=ddt

l×v ⋅B dt=−d Sdt

⋅B=−dΦB

dt ε i=−dΦB

dt

v

↑ ↑ ↑ praca w polu B ↑ ↑ praca na pokonanie oporu (ciepło) ↑ praca wykonana przez ogniwo

ε Ι dt= Ι 2 Rdt Ι dΦ

Ι=ε dt−dΦ

Rdt=

ε−dΦdt

R=εε i

RHelmholtz

B

dl

SEM w poruszającym się przewodzie

powstaje ∆ϕ

równowaga gdy

obwód otwarty

F=evB

E=Δϕl

eE=evB

Δϕl=v B Δϕ=− ε

εi=−Blv=−Bl

dsdt=−

dΦdt

szybkość przecinania linii B przez obwód

v

FB

dl

cd

pole wirowe!

∮Γ

E⋅d lε i

=−ddt∫S

B⋅d S=−∫S

∂ B∂ t

⋅d S

∇×E=−∂ B∂ t

↑ przy stałej geometrii

prądnica

Φ=BS cosα

ε i=−dΦdt

=BS sin αdαdt

=BS ωsin α

B

ε i={εmax=BS α=π /2

0 α=0

x

prąd zmienny

α=ω t

ε=ε0sinωt

tT

εmax

ε

B

α

x

t

t

t

ε

B

samoindukcja

prąd w obwodzie ↓strumień indukcji ΦB

↓I(t) → ΦB (t) → SEM

↓indukcyjność obwodu [L] = Tm2/A = Wb/A = H henr

ΦB=L Ι

(Joseph Henry 1797-1878)

SI

ΦB=∫ B⋅d S

B=μ0

4πΙ∫

Γ

μd l×r

r 3

ΦB=∫S

μ0

4πΙ ∫ μ

r3d l×r d S

= Ιμ0

4π∫d S∫ μr3

d l×r

L

x

(Emilij Ch. Lenc 1804-1865, Heinrich Friedrich Lenz), est, rus

geometria

ε i=−dΦdt

=−ddt

L Ι =−LdΙdt

− ΙdLdt

=0

ε i=−LdΙdt

=gen−L Ι

dLdt dΙdt

magnetyczne własności ośrodka

L

= const jeśli sztywny obwód i bez ferromagnetyków

‘–‘ reguła przekory Lenza

Эмилий Христианович Ленц

zamykanie i otwieranie obwodu

γγγγγγγγγγγγ

R

L Ι 0=εR

Rw << R

Ι t R=εi

Ι t R=−LdΙdt

dΙΙ=−

RLdt

ln Ι=−RLtconst

Ι= Ι 0e−

RLt= Ι 0 e

−tτ

τ=L /R

otwieranie:

stała czasowa obwodu

cd.

I0

I

t

zamykanie:

Ι t R=εε i=ε−LdΙdt

dΙdt

RLΙ=

εL

Ι= Ι 0const e−

RLt

Ι= Ι 01−e

−RLt

energia pola magnetycznego

γγγγγγγγγγγγ

R

L

NB: energia pola selenoidu –

dW=ε Ι dt=−dΦdt

Ι dt=−ΙdΦ

L Ι =const

dΦ=Ld Ι

dW=−LΙdΙ

W=−∫I

0

LΙdΙ=LΙ 2

2

Em=LΙ 2

2

ale dla selenoidu: L=μ0n2V B=μ0n I

Em=B2

2 μ0

Vczyli: a gęstość energii: wm=B2

2 μ0

jednostki w magnetyzmie

F=qvB

T=N

Cms

=kg

As2

B – wektor indukcji magnetycznej

tesla

ΦB – strumień indukcji magnetycznej

ΦΒ=B⋅S

weber Wb=T ⋅m2

ΦΒ=L⋅Ι

H=WbA

=T⋅m2

A

L – indukcyjność

henr

SI

jednostki w magnetyzmie

H – wektor natężenia pola magnetycznego

J=ISV

Am

H=14π

2Ιb

AmJ – wektor namagnesowania

stałe w magnetyzmie

μ0=4π⋅10−7 Hm

ε0 μ0=1

c2

J= χ HB=μ H

stała magnetyczna:

stałe materiałowe:

µ – podatność magnetyczna (bezwym.)χ – przenikalność magnetyczna (bezwym.)

koniec