MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean · Silabus dan Tujuan Peubah Acak dan Distribusi Kontinu Distribusi Normal Penaksiran Titik dan Selang Uji Hipotesis MA5283 STATISTIKA

Silabus dan TujuanPeubah Acak dan Distribusi Kontinu

Distribusi NormalPenaksiran Titik dan Selang

Uji Hipotesis

MA5283 STATISTIKABab 3 Inferensi Untuk Mean

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

“Orang Cerdas Belajar Statistika”

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean



Uji Hipotesis

Silabus

Peubah acak kontinu, distribusi dan Tabel normal, penaksiran titikdan selang, uji hipotesis untuk mean




Uji Hipotesis

Tujuan

1 Memahami definisi dan konsep peubah acak kontinu

2 Mempelajari distribusi dan Tabel normal

3 Menentukan penaksir mean dan selang kepercayaan untukmean

4 Melakukan uji hipotesis untuk mean




Uji Hipotesis

P.A. Kontinu

Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya FX dapatditurunkan. Fungsi peluang fX adalah turunan dari fungsidistribusi,

fX (x) =d

dxFX (x)

atau dengan kata lain

FX (x) =

∫ x

−∞fX (t) dt




Uji Hipotesis

Definisi:Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi peluangnyaada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagaipeubah acak kontinu. Catatan:

1 = FX (∞) =

∫ ∞−∞

fX (t) dt

P(a ≤ X ≤ b) = FX (b)− FX (a) =

∫ b

afX (t) dt

P(X = a) =

∫ a

afX (t) dt = 0




Uji Hipotesis

Contoh/Latihan

1 Misalkan X p.a kontinu dengan fungsi peluang

f (x) = c (4x − 2x2), 0 < x < 2,

Tentukan c . Hitung P(X > 1).

2 Misalkan X p.a kontinu dengan fungsi peluang

f (x) = 10/x2, x > 10,

Hitung P(X > 20). Tentukan fungsi distribusi dari X .




Uji Hipotesis

IlustrasiDefinisi Distribusi Normal

Ilustrasi

Riset bidang psikologi melibatkan pengukuran perilaku. Hasil-hasilpengukuran akan berbeda antara individu satu dengan yanglainnya. Namun demikian, sesungguhnya hasil-hasil tersebut dapatdiprediksi sebagai kelompok individu. Salah satu pola umum padahasil pengukuran (tentunya berupa angka) adalah bahwakebanyakan pengukuran-pengukuran tersebut terkonsentrasi disekitar mean dari distribusi tersebut. Ada sedikit hasil pengukuranyang jauh dari mean. Apabila distribusi frekuensi digambarkan,akan tampak kurva berbentuk bel (bell-shaped curve) yang disebutDISTRIBUSI NORMAL.




Uji Hipotesis


Perhatikan fungsi peluang dari X , p.a yang menyatakan kandunganzat dalam tubuh. Distribusi peluangnya tidak simetri dan mencengke kanan (skew to the right atau positively skewed) sbb (Gb 4.1):




Uji Hipotesis


densitas

0 50 100 150 serum trigliserida (mg/dL)

Figure: Fungsi peluang kandungan zat




Uji Hipotesis


Sedangkan fungsi peluang dari tekanan darah pada laki-laki usia35-44 tahun adalah seperti gambar berikut (Gb 4.2). Area A,B,Cberturut-turut menyatakan peluang terjadinya hipertensi ringan,sedang dan berat. Umumnya DBP terjadi disekitar 80 mm Hg,dimana kemudian kemungkinannya berkurang seiring denganberubahnya nilai DBP yang jauh dari 80.




Uji Hipotesis


densitas

0 50 80 90 100 110 DBP

0.03

0.02

0.01

A

B

C

Figure: Fungsi peluang tekanan darah




Uji Hipotesis


Fungsi peluang dari peubah acak yang menyatakan Berat BadanLahir berikut fungsi distribusinya saat BB-nya 88 atau P(X ≤ 88)(Gb 4.3). Area tersebut memiliki arti khusus dalam kebidanan atauobstetrics dimana 88 adalah nilai batas atau cutoff point yangdigunakan untuk mengidentifikasi bayi BBLR.




Uji Hipotesis


densitas

60 88 120 Berat Badan Lahir (BBL)

0.02

0.01

Figure: Fungsi peluang Berat Badan Lahir




Uji Hipotesis


Definisi Distribusi Normal

Misalkan X peubah acak berdistribusi normal dengan parameter µdan σ2. Fungsi peluangnya adalah

fX (x) =1√

2π σexp

(− 1

2σ2(x − µ)2

), −∞ < x <∞,

Notasi: X ∼ N(µ, σ2), dengan mean µ = E (X ) dan variansiσ2 = Var(X ).




Uji Hipotesis


Contoh: fungsi peluang untuk distribusi normal dengan mean 50dan variansi 100 (Gb 4.4).

f(x)

40 50 60 (µ-σ) µ (µ+σ)

x

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

σ σ

Figure: Fungsi peluang dari distribusi normal




Uji Hipotesis


Contoh/Latihan

1 Misalkan X p.a berdistribusi normal dengan µ = 3 danσ2 = 9, hitung:(a) P(2 < X < 5); (b) P(X > 0); (c) P(|X − 3| > 6)




Uji Hipotesis


Distribusi N(0, 1) adalah kasus khusus dari distribusi N(µ, σ2)dengan mean 0 dan variansi 1. Distribusi ini disebut juga distribusinormal standar/baku (Gb 4.5). Sifatnya adalah simetrik disekitar0. Sifat empirik yang penting dari distribusi normal baku adalah

P(−1 < X < 1) = 0.6827,

P(−1.96 < X < 1.96) = 0.95,

P(−2.576 < X < 2.576) = 0.99.




Uji Hipotesis


f(x)

-2.58 -1.96 -1 0 1 1.96 2.58 (µ)

x

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

68% area

95% area

99% area

Figure: Fungsi peluang dari distribusi normal standar




Uji Hipotesis


Contoh/Latihan

1 Diketahui Z ∼ N(0, 1). Tentukan nilai c dari persamaanpeluang berikut:(a) P(Z > c) = 0(b) P(|Z | ≤ c) = 0.25(c) P(c ≤ Z < 0) = 0.324

2 Misalkan diameter pohon adalah peubah acak berdistribusinormal dengan mean 8 (inchi) dab deviasi standar 2 (inchi).Hitung peluang bahwa sebuah pohon memiliki diameter yangtak wajar yaitu lebih dari 12.




Uji Hipotesis

Penaksir MeanTeorema Limit PusatSK untuk Mean

Definisi

Misalkan suatu populasi memiliki mean µ. Misalkan X1,X2, . . . ,Xn

sampel acak dari populasi tersebut. Penaksir untuk µ (disebutpenaksir sampel) adalah

X̄ =1

n

n∑i=1

Xi ,




Uji Hipotesis


dengan sifatE (X̄ ) = µ, Var(X̄ ) = σ2/n,

dimana deviasi standarnya adalah σ/√

n yang disebut standarderror of mean atau “sem” atau standard error. Standard erroradalah ukuran kuantitatif dari variablitas mean sampel yangdiperoleh dari sampel acak (berulang) berukuran n dari populasiyang sama.




Uji Hipotesis


Teorema Limit Pusat

Misalkan X1,X2, . . . ,Xn sampel acak dari populasi dengan mean µdan variansi σ2. Maka, untuk n besar,

X̄ ∼ N(µ, σ2/n),

meskipun distribusi populasinya tidak normal.




Uji Hipotesis


Contoh. Hitung peluang bahwa mean BBL dari sampel berukuran10 akan berada diantara 98 dan 126 (diketahui data populasi:mean 112 dan deviasi standar 20.6).




Uji Hipotesis


Solusi:

P(98 < X̄ < 126) = Φ

(126− 112

20.6/√

10

)− Φ

(98− 112

20.6/√

10

)= · · ·




Uji Hipotesis


Perhatikan transformasi peubah acak:

Z =X̄ − µσ/√

n,

dimana Z berdistribusi normal standar. Akibatnya, 95% nilai Zakan berada diantara -1.96 dan 1.96. Dengan kata lain, 95% meansampel berada di selang(

µ− 1.96σ/√

n , µ+ 1.96σ/√

n)

Catatan:Dalam praktiknya, nilai σ tidak diketahui dan harus ditaksir olehdeviasi standar sampel s.




Uji Hipotesis


Distribusi t

Jika X1,X2, . . . ,Xn sampel acak berdistribusi normal dengan meanµ dan variansi σ2, maka

X̄ − µS/√

n∼ tn−1,

berdistribusi t dengan derajat kebebasan (degrees of freedom)n − 1, dimana

P(td < td ,u) = u.




Uji Hipotesis


Selang Kepercayaan untuk Mean

100%(1− α) selang kepercayaan (SK) atau confidence interval(CI) untuk mean dari distribusi normal dengan variansi tidakdiketahui adalah(

x̄ − tn−1,1−α/2 s/√

n , x̄ + tn−1,1−α/2 s/√

n)

atau dituliskanx̄ ± tn−1,1−α/2 s/

√n




Uji Hipotesis


Contoh/Latihan

1 Tentukan persentil ke-5 (atas) atau persentil ke-95 daridistribusi t dengan derajat kebebasan 23.

2 Hitung 95% selang kepercayaan untuk mean BBL berdasarkansampel berukuran 10. Diketahui: x̄ = 116.9; s = 21.7.




Uji Hipotesis


Selang Kepercayaan untuk Mean - Sampel Besar

Nilai pendekatan 100%(1− α) selang kepercayaan (SK) atauconfidence interval (CI) untuk mean dari distribusi normal (sampelbesar) dengan variansi tidak diketahui adalah(

x̄ − z1−α/2 s/√

n , x̄ + z1−α/2 s/√

n)

dengan ukuran sampel n > 200.




Uji Hipotesis


Catatan:Panjang SK dipengaruhi oleh nilai n, s, dan α. Jika:n membesar, maka panjang SK...s membesar, maka panjang SK...α mengecil, maka panjang SK...




Uji Hipotesis


Contoh/Latihan

1 Hitung 95% dan 99% selang kepercayaan untuk meantemperatur berdasarkan sampel berukuran 10 dan 100.Diketahui: x̄ = 97.2; s = 0.189.

2 Pandang soal no 1. Hitung 95% SK dengan s = 0.4.




Uji Hipotesis

Konsep dan Tahapan Uji HipotesisKesalahan Tipe-1 dan Tipe-2Uji Hipotesis Untuk Mean

Definisi

Uji hipotesis (UH) adalah bagian dari statistika inferensi. UHbertujuan untuk mengambil kesimpulan secara statistik (signifikan)dari hipotesis-hipotesis yang diberikan. Kesimpulan tersebutdidasarkan pada tingkat signifikansi α (yang sesungguhnya adalahtingkat kesalahan tipe I).




Uji Hipotesis


Tahapan Uji Hipotesis

Tahap-tahap dalam pelaksanaan UH adalah

1 Membuat (menyatakan) hipotesis nol, H0, dan hipotesisalternatif, Ha atau H1,

2 Menentukan α,

3 Menentukan statistik uji (test statistic),

4 Menentukan daerah kritis (critical region) atau daerahpenolakan/penerimaan,

5 Menghitung statistik uji dengan data sampel

6 Mengambil kesimpulan: “menolak atau gagal menolak H0”




Uji Hipotesis


Contoh:

1. Ini cerita tentang kematian karena kanker yang diduga dimulaidari radiasi nuklir. Diketahui terjadi 13 kematian pada pekerjadi suatu proyek nuklir, dimana 5 kematian diantaranyadisebabkan oleh kanker. Berdasarkan data statistik, pihakotoritas kesehatan mengklaim bahwa sekitar 20% kematiandisebabkan oleh kanker. Benarkah klaim pihak otoritaskesehatan?




Uji Hipotesis


2. Misalkan X p.a menyatakan panjang lompatan yang dilakukanseorang atlet. Diketahui X berdistribusi normal dengan meanµ. Akan diuji

H0 : µ = 3 vs H1 : µ > 3

dengan menggunakan data sampel 6 atlet terpilih acakdengan mean 3.763 dan deviasi standar 0.724. Apakahkesimpulan yang diambil dari uji hipotesis tersebut?




Uji Hipotesis


Kesalahan dalam UH

Kesalahan-kesalahan dalam UH dibagi atas:- kesalahan tipe-1 atau α, yaitu kesalahan “menolak H0 yangbenar, atau

P(menolak H0 |H0 benar)

- kesalahan tipe-2 atau β, yaitu kesalahan “menerima H0 yangsalah, atau

P(menerima H0 |H0 salah)




Uji Hipotesis


Catatan:

Tidak ada hubungan antara α dan β

1− β adalah kuasa atau power dari UH




Uji Hipotesis


Kaitan antara pengambilan kesimpulan dan kesalahan dapat dilihatdalam tabel berikut:

Table: Pengambilan kesimpulan dan tipe kesalahan.

H0 benar H0 salah

H0 gagal ditolak keputusan benar β

H0 ditolak α keputusan benar




Uji Hipotesis


Dua jenis uji hipotesis nol vs hipotesis alternatif:

1 Uji hipotesis 2-sisi atau two-sided:

H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0

2 Uji hipotesis 1-sisi atau one-sided:

H0 : µ = µ0 vs H1 : µ > µ0

atauH0 : µ = µ0 vs H1 : µ < µ0




Uji Hipotesis


UH 1-Sampel

Uji hipotesis untuk mean populasi dapat dilakukan pada kasus (i)pengambilan sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normaldengan variansi diketahui atau tidak diketahui, (ii) pengambilansampel berasal dari populasi yang tidak berdistribusi normal.




Uji Hipotesis


Contoh: Seorang peneliti tertarik untuk menguji mean umurorang-orang dari suatu populasi: apakah mean umur orang-orangdari populasi tersebut berbeda dari 30 tahun? (apakah mean umurorang-orang tersebut 30 tahun?). Untuk itu, diambil sampelsebanyak 10 orang dan dihitung bahwa x̄ = 27. Asumsikan databerasal dari distribusi normal dengan σ2 = 20.




Uji Hipotesis


Tahapan UH-nya adalah

1. Hipotesis:H0 : µ = 30, Ha : µ 6= 30

2. Tingkat signifikansi: α = 0.05

3. Statistik uji:

Z =X̄ − µ0

σ/√

n∼ N(0, 1)

4. Daerah kritis:Tolak H0 jika z ≥ 1.96 atau z ≤ −1.96




Uji Hipotesis


5. Perhitungan:

z =27− 30√

20/10= −2.12

6. Kesimpulan:Tolak H0, karena z ≤ −1.96. Dengan kata lain, mean umursuatu populasi bukanlah 30 tahun atau berbeda dari 30 tahun.




Uji Hipotesis


p-value

Pengambilan kesimpulan dapat pula dilakukan dengan menghitungp-value, yaitu nilai α terkecil untuk menolak H0. Dengan kata lain“tolak H0 jika p-value lebih kecil dari α”. Pada contoh diatas, nilaip-value adalah

p − value = P(Z ≤ z) + P(Z ≥ z) = 2× P(Z ≤ −2.12) = 0.034.

Jadi, karena 0.034 < 0.05 maka H0 ditolak.




Uji Hipotesis


Contoh/Latihan:Lakukan UH untuk soal diatas. Pertanyaan yang diajukan adalah“apakah mean umur populasi kurang dari 30 tahun?”. Gunakantingkat signifikansi α = 0.01. Bagaimana jika n = 20 dan x̄ = 27?




Uji Hipotesis


Bagaimana jika σ tidak diketahui?Gunakan statistik uji:

T =x̄ − µ0

s/√

n∼ tn−1.




Uji Hipotesis


Contoh: Castillo dan Lilioja meneliti suatu teknik untuk mengukurindeks massa tubuh atau BMI. Mereka ingin menguji apakah meanBMI suatu populasi bukanlah 35. Dilakukan perhitungan pada 14orang dewasa (laki-laki) dan diperoleh x̄ = 30.5 dan s = 10.64.




Uji Hipotesis


Tahapan UH-nya adalah

1. Hipotesis:H0 : µ = 35, Ha : µ 6= 35

2. Tingkat signifikansi: α = 0.05

3. Statistik uji:

T =X̄ − µ0

s/√

n

4. Daerah kritis:Tolak H0 jika t ≥ 2.16 atau t ≤ −2.16




Uji Hipotesis


5. Perhitungan:

t =30.5− 35

10.64/√

14= −1.58

6. Kesimpulan:H0 gagal ditolak (dengan kata lain, diterima), karena−2.16 ≤ t ≤ 2.16 atau bukan dalam daerah penolakan. Tidakada alasan untuk mendukung klaim bahwa mean BMIbukanlah 35.




Uji Hipotesis


Contoh/Latihan:Lakukan pengambilan kesimpulan pada masalah BMI denganmenggunakan p-value. Bagaimana menurut anda? Manakah yanglebih mudah dilakukan? (dibandingkan dengan menentukan z ataut pada tabel)




Uji Hipotesis


Bagaimana UH dilakukan pada mean populasi yang tidakberdistribusi normal?Ambil sampel cukup besar!Contoh: PR.


Documents

MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean · Silabus dan Tujuan Peubah Acak dan Distribusi Kontinu Distribusi Normal Penaksiran Titik dan Selang Uji Hipotesis MA5283 STATISTIKA