Upload
vanquynh
View
232
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
MA3231 Pengantar Analisis Real
Semester II, Tahun 2016-2017
Hendra Gunawan, Ph.D.
Bab 5 Deret
2
5.1 Definisi Deret
Diberikan sejumlah terhingga bilangan 𝑎1, … , 𝑎𝑁, kita dapat menghitung jumlah 𝑎1 +⋯+ 𝑎𝑁. Namun, diberikan tak terhingga banyaknyabilangan 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, …, bagaimana kita menghitungatau memaknai 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯?
Menjawab pertanyaan tersebut, misalkan 𝑎𝑛adalah sebuah barisan bilangan real. Definisikanbarisan ⟨𝑠𝑁⟩ dengan𝑠𝑁: = ∑𝑛=1
𝑁 𝑎𝑛: = 𝑎1 +⋯+ 𝑎𝑁 , 𝑁 ∈ ℕ.
3
Definisi Deret (lanjutan)
Untuk tiap 𝑁 ∈ ℕ, 𝑠𝑁 dikenal sebagai jumlahparsial dari deret
∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛 ∶= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯ .
Dalam hal ini deret ∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛 dianggap identik
dengan barisan jumlah parsial ⟨𝑠𝑁⟩.
Jika 𝑠𝑁 → 𝑠 untuk𝑁 → ∞, maka deret ∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛
dikatakan konvergen ke s, dan s disebut sebagaijumlah deret tersebut:
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯ = 𝑠.
2/8/2017 4(c) Hendra Gunawan
Definisi Deret (lanjutan)
Jadi
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 = lim𝑁→∞
𝑛=1
𝑁
𝑎𝑛 = lim𝑁→∞𝑠𝑁 = 𝑠.
Catatan. Jika 𝑠𝑁 divergen, maka deret divergen.
CONTOH 1: Deret geometri1 + 𝑟 + 𝑟2 + 𝑟3 +⋯
konvergen ke1
1−𝑟untuk −1 < 𝑟 < 1.
2/8/2017 (c) Hendra Gunawan 5
CONTOH 2
Deret ∑𝑛=1∞ 1
𝑛 𝑛+1mempunyai jumlah parsial
𝑠𝑁 =1
1⋅2+1
2⋅3+⋯+
1
𝑁⋅ 𝑁+1
=1
1−1
2+1
2−1
3+⋯+
1
𝑁−1
𝑁+1[*]
= 1 −1
𝑁+1.
Di sini 𝑠𝑁 → 1 untuk 𝑁 → ∞. Jadi ∑𝑛=1∞ 1
𝑛 𝑛+1= 1.
___________
[*] Deret yg suku-sukunya saling menghapuskan dikenal sebagaideret teleskopis.
2/8/2017 (c) Hendra Gunawan 6
SOAL
Buktikan bahwa ∑𝑛=1∞ 4
4𝑛2−1= 2.
2/8/2017 (c) Hendra Gunawan 7
5.2 Deret dengan Suku-Suku Positif
Deret yang suku-sukunya bernilai positif (atau tak
negatif) termasuk deret yang mudah dipelajari,
karena jumlah parsialnya membentuk barisan naik.
Jadi, jika kita ingin menunjukkan bahwa deret
tersebut konvergen, kita hanya perlu menunjukkan
bahwa barisan jumlah parsialnya terbatas di atas.
Jika barisan jumlah parsialnya tak terbatas di atas,
maka deret tersebut divergen ke +∞.
2/8/2017 (c) Hendra Gunawan 8
CONTOH
1. Jumlah parsial dari deret ∑𝑛=1∞ 1
𝑛2membentuk
barisan naik dan terbatas di atas. Karena ituderet ini konvergen (ke suatu bilangan di antara1 dan 2).
2. Jumlah parsial dari deret ∑𝑛=1∞ 1
𝑛membentuk
barisan naik tetapi tidak terbatas di atas. Karenaitu deret ini divergen ke +∞.
3. Bagaimana dengan deret ∑𝑛=1∞ 1
𝑛!?
2/8/2017 (c) Hendra Gunawan 9
5.3 Sifat-Sifat Deret
Teorema. Jika ∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛 konvergen ke a dan
∑𝑛=1∞ 𝑏𝑛 konvergen ke b, dan 𝛼 dan 𝛽 bilangan
real, maka ∑𝑛=1∞ (𝛼𝑎𝑛 + 𝛽𝑏𝑛) konvergen ke
𝛼𝑎 + 𝛽𝑏.
Teorema. Jika ∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛 konvergen, maka
lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 0.
10
SOAL
Apakah ∑𝑛=1∞ 𝑛
106𝑛+1konvergen? Jelaskan.
11
5.4 Kriteria Cauchy; Uji Kekonvergenan DeretTeorema (Deret Berganti Tanda). Misalkan 𝑎𝑛
turun, 𝑎𝑛 > 0 untuk tiap 𝑛 ∈ ℕ, dan 𝑎𝑛 → 0 untuk
𝑛 → ∞. Maka deret
𝑛=1
∞
−1 𝑛−1𝑎𝑛 = 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 +⋯
konvergen.
Petunjuk. Bila kita dapat menunjukkan bahwa ⟨𝑠𝑛⟩
merupakan barisan Cauchy, maka teorema terbukti.12
CONTOH
Deret 1 −1
2+1
3−1
4+⋯ merupakan deret
yang konvergen (ke suatu bilangan di antara 0 dan 1).
13
Teorema (Uji Banding). Misalkan |𝑎𝑛| ≤ 𝑏𝑛untuk tiap 𝑛 ∈ ℕ dan ∑𝑛=1
∞ 𝑏𝑛 konvergen, maka
∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛 konvergen.
Bukti. Ambil 𝜖 > 0 sembarang, pilih 𝑁 ∈ ℕ
sedemikian shg ∑𝑛=𝐾∞ 𝑏𝑛 < 𝜖 untuk K ≥ N.
Selanjutnya dapat dibuktikan bahwa 𝑠𝑚 − 𝑠𝑛< 𝜖 untuk m, n ≥ K, dengan 𝑠𝑛 menyatakan
jumlah parsial dari deret ∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛. Dengan
demikian 𝑠𝑛 konvergen.
14
Teorema (Uji Rasio). Misalkan 𝑎𝑛 ≠ 0 untuktiap 𝑛 ∈ ℕ dan
𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑎𝑛+1𝑎𝑛= 𝐿.
Jika 𝐿 < 1, maka ∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛 konvergen; jika
𝐿 > 1, maka ∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛 divergen.
Catatan. Selain Uji Rasio, ada Uji Akar (yang melibatkan limsup; sila pelajari sendiri).
15
5.5 Kokonvergenan Mutlak danKekonvergenan Bersyarat
Sebagian deret dapat diperiksa kekonvergenannyamelalui deret nilai mutlaknya. Deret ∑𝑛=1
∞ 𝑎𝑛 dikata-kan konvergen mutlak apabila deret ∑𝑛=1
∞ |𝑎𝑛|konvergen.
Sebagai contoh, ∑𝑛=1∞ −1 𝑛−1
𝑛2konvergen mutlak.
Catat bahwa deret yang konvergen berdasarkan UjiRasio secara otomatis merupakan deret konvergenmutlak.
16
Teorema. Deret yang konvergen mutlakmerupakan deret yang konvergen.
Catatan. Kebalikan teorema di atas tidakberlaku. Deret yang konvergen belum tentukonvergen mutlak. (Apakah anda tahucontohnya?)
Deret yang konvergen tetapi tidak konvergenmutlak disebut konvergen bersyarat.
Contohnya adalah deret 1 −1
2+1
3−1
4+⋯ .
17
SOAL
Buktikan jika ∑𝑛=1∞ 𝑎𝑛
2 dan ∑𝑛=1∞ 𝑏𝑛
2 konvergen, maka ∑𝑛=1
∞ 𝑎𝑛𝑏𝑛 konvergen mutlak (dankarenanya konvergen).
18