Upload
dangminh
View
237
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
MA3231 Pengantar Analisis Real
Semester II, Tahun 2016-2017
Hendra Gunawan, Ph.D.
Bab 7 Limit dan Kekontinuan
2
Isaac Newton (1643-1727)
Isaac Newton adalahseorang fisikawan & matematikawan Inggris yang bersama dengan Leibniz dinobatkan sebagai penemuKalkulus. Karyanya yang terkenal adalahβPhilosophiae NaturalisPrincipia Mathematicaβ (1687) dan βOpticksβ (1706).
Gottfried W. Leibniz (1646-1716)
Gottfried Wilhem (von) Leibniz adalah seorangfilsuf & matematikawanJerman yang bersamadengan Newton dinobatkansebagai penemu Kalkulus. Notasi dy/dx untuk turunandan Κ untuk integral yang kita pakai sekarang adalahnotasi ciptaannya.
7.1 Limit Fungsi di Suatu TitikDiberikanfungsi f yang terdefinisi pada interval (π, π) kecualimungkin di titik π β (π, π), kita tertarik untuk mengamati nilaiπ(π₯) untuk x di sekitar c.
Khususnya, kita bertanya: apakah f(x) menuju suatu bilangantertentu bila x menuju c?
Misalkan πΏ β β. Kita katakan bahwa f menuju L bila x menujuc, dan kita tuliskan
π π₯ β πΏ bila π₯ β π
atau limπ₯βπ
π(π₯) = πΏ,
apabila untuk setiap π > 0 terdapat πΏ > 0 sedemikiansehingga jika 0 < |π₯ β π| < πΏ, maka |π(π₯) β πΏ| < π.
5
Limit Fungsi
Dalam hal ini, bilangan L disebut sebagai limit f di c, dan fdikatakan mempunyai limit L di c.
2/26/2017 6(c) Hendra Gunawan
PROPOSISI
(i) limπ₯βπ
π = π.
(ii) limπ₯βπ
π₯ = π.
2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 7
Limit Kiri dan Limit Kanan (1)
Kadang, yang terjadi di sebelah kiri c berbeda dengan yang terjadi di sebelah kanan c. Sehubungan dengan itu, kitamempunyai definisi limit sepihak, yaitu limit kiri dan limit kanan, di suatu titik.
Misalkan f terdefinisi pada interval (π, π) dan πΏ β β. Kita katakan bhw f menuju L bila x menuju c dari kiri; kita tulis
π π₯ β πΏ bila π₯ β πβ
atau limπ₯βπβ
π(π₯) = πΏ,
apabila untuk setiap π > 0 terdapat πΏ > 0 sedemikian shg
jika π β πΏ < π₯ < π, maka |π(π₯) β πΏ| < π.
2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 8
Limit Kiri dan Limit Kanan (2)
Misalkan f terdefinisi pada interval (π, π) dan π β β. Kita katakan bhw f menuju M bila x menuju c dari kanan; kitatulis
π π₯ β πΏ bila π₯ β π+
atau limπ₯βπ+
π(π₯) = π,
apabila untuk setiap π > 0 terdapat πΏ > 0 sedemikian shg
jika π < π₯ < π + πΏ, maka |π(π₯) β πΏ| < π.
Bilangan L dan M berturut-turut disebut limit kiri dan limit kanan dari f di c.
2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 9
Proposisi
limπ₯βπ
π π₯ = πΏ jika dan hanya jika limπ₯βπβ
π(π₯) = πΏ
dan limπ₯βπ+
π(π₯) = πΏ.
2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 10
7.2 Kekontinuan Fungsi
Dalam definisi limπ₯βπ
π(π₯), nilai f di c sama sekali tidak
diperhatikan. Kita hanya tertarik dengan nilai f(x) untuk x di dekat c, bukan dengan nilai f di c.
Jadi mungkin saja f mempunyai limit L di c sekalipunf tidak terdefinisi di titik c.
Dalam hal f terdefinisi di c, menarik untukmembandingkan nilai lim
π₯βππ(π₯) dan f(c).
Jika limπ₯βπ
π π₯ = π(π), kita katakan f kontinu di c.
2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 11
Catatan
Berdasarkan Proposisi 3, f kontinudi c jika dan hanya jika untuk setiapπ > 0 terdapat πΏ > 0 sedemikiansehingga: jika |π₯ β π| < πΏ, maka|π(π₯) β π(π)| < π.
Secara intuitif, f kontinu di c berartigrafik fungsi f tidak `terputus' di c.
Jelas bahwa f kontinu di c jika danhanya jika f kontinu kiri dankontinu kanan di c.
2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 12
Ketakkontinuan yang Dapat Dihapuskandan Ketakkontinuan Loncat
Jika limit kiri dan limit kanan f di c ada, tetapi salah satuatau kedua limit tersebut tidak sama dengan f(c), makaf tidak kontinu di c.
Jika limit kiri dan limit kanan f di c bernilai sama tetapitidak sama dengan f(c), maka ketakkontinuan f di cdisebut sebagai ketakkontinuan yang dapatdihapuskan.
Jika limit kiri dan limit kanan f di c ada tetapi berbedanilainya, maka ketakkontinuan f di c dikenal sebagaiketakkontinuan loncat.
2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 13
Contoh
(i) Untuk setiap π β β, fungsi π(π₯) = π₯1
π kontinukanan di 0, dan kontinu di setiap x > 0.
(ii) Fungsi π(π₯) = ππ₯ + π kontinu di setiap titik.
(iii) Fungsi π(π₯) = β π₯ β, yang sama dengan bilanganbulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x, kontinu kecuali di setiap bilangan bulat. Ketakkontinuan f di setiap bilangan bulatmerupakan ketakkontinuan loncat.
2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 14
TEOREMAMisalkan f terdefinisi pada (π, π) kecuali mungkin di π β π, π . Maka, kedua pernyataan berikut ekuivalen:
(a)limπββ
π π₯ = πΏ.
(b) Untuk setiap barisan β¨π₯πβ© di (π, π), dengan
π₯π β π (π β β) dan limπββ
π₯π = π, berlaku
limπββ
π π₯π = πΏ.
Catatan. Jika f kontinu di c, makalimπββ
π π₯π = π( limπββ
π₯π) .
2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 15
SOAL
Misalkan f terdefinisi pada (π, π) dan kontinu di suatutitik π β (π, π). Buktikan jika π(π) > 0, maka terdapatπΏ > 0 sehingga π(π₯) > 0 untuk π₯ β (π β πΏ, π + πΏ).
16
7.3 Sifat-Sifat Limit & Kekontinuan
Proposisi. Misalkan f dan g terdefinisi pada interval (π, π) kecuali mungkin di π β (π, π). Misalkanlimπ₯βπ
π π₯ = πΏ dan limπ₯βπ
π π₯ = π, dan π, π β β.
Maka
(i) limπ₯βπ
ππ π₯ + ππ π₯ = ππΏ + ππ.
(ii) limπ₯βπ
π π₯ π π₯ = πΏπ.
(iii) limxβπ
f π₯
π π₯=
πΏ
π, asalkan π β 0.
17
AKIBAT
Jika f dan g kontinu di c, maka ππ + ππ, ππ, danπ
πkontinu di c (asalkan π π β 0.)
AKIBAT
Fungsi polinom kontinu di setiap titik. Fungsi rasional kontinu di setiap titik dalam daerah asalnya.
18
Teorema
Jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), maka π β πkontinu pada c.
Bukti. Ambil π > 0 sembarang. β¦
19
SOAL
Benar atau salah: Jika limπ₯βπ
π(π₯) = πΏ dan
limπ¦βπΏ
π(π¦) = π, maka limπ₯βπ
π(π(π₯)) = π?
20