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MA311 - Calculo III
Primeiro semestre de 2020
Turma B – Curso 51
Ricardo M. Martins
http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
Aula 28: Exponencial matricial
Exponencial de.. matrizes?
Se t ∈ R, ja vimos que
exp(t) = et =∞∑k=0
1
k!tk = 1 + t +
t2
2!+
t3
3!+ . . . ,
pois esta serie de potencias tem raio de convergencia R =∞.
Seja A ∈ Mn×n(R) uma matriz n × n de entradas reais. Definimos
a exponencial de A por
exp(A) = eA =∞∑k=0
1
k!Ak = Id + A +
1
2!A2 +
1
3!A3 + . . . .
SOMA INFINITA DE MATRIZES? O QUE E ISTO?
Exponencial de.. matrizes?
Quando estudamos series numericas, a nocao de soma infinita era
apresentada como limite de uma sequencia: a sequencia das somas
parciais.
Para sequencias, a nocao de convergencia e bem conhecida:
dizemos que a sequencia (xn)n de numeros reais converge para
a ∈ R se dado ε > 0, existir n0 ∈ N tal que |xn − a| < ε sempre
que n ≥ n0.
Na definicao acima, se ingenuamente trocarmos os termos da
sequencia de xn ∈ R por Xn ∈ Mm×m(R), o “unico” conceito que
nao pode ser passado diretamente para matrizes e a parte |xn − a|,pois nao sabemos o que isto significa para matrizes.
So nos falta a nocao de “distancia” entre duas matrizes. Vamos
definir precisamente o que significa isto.
Metricas
Existem varias nocoes de distancia em matematica, e uma das
mais simples e a metrica.
Seja X um conjunto. Uma metrica em X e uma funcao
d : X × X → R que satisfaz
# d(x , y) ≥ 0 para todos x , y ∈ X
# d(x , y) = 0⇔ x = y
# d(x , y) = d(y , x), para todos x , y ∈ X .
# d(x , z) ≤ d(x , y) + d(y , z), para todos x , y , z ∈ X
O par (X , d) se chama espaco metrico.
Metricas
Vantagem enorme da metrica: pode ser colocada num conjunto
qualquer, sem estrutura adicional.
Limitacoes: em conjuntos sem estrutura, nao da para medir
“tamanhos” de elementos, so distancias.
Se (X , d) e um espaco metrico, dado a ∈ X e r > 0, o conjunto
B(x , r) = {y ∈ X , d(x , y) < r}
e chamado de bola aberta com centro x e raio r .
Metricas
Exemplo
Se X 6= ∅, podemos definir uma metrica em X como sendo
d(x , y) =
1, x 6= y ,
0, x = y .
Quem sao as bolas B(x , r)?
Metricas
Exemplo
Se X = R, entao uma metrica canonica e dada por
d(x , y) = |x − y |,
onde
|z | =
z , z ≥ 0,
−z , z < 0.
Verifique que de fato d satisfaz aos axiomas de metrica.
Neste caso, quem e B(a, r)?
Metricas
Exemplo
Se X = Rn, entao a metrica canonica e
d(x , y) = ||x − y ||,
onde se z = (z1, . . . , zn) temos ||z || =√z21 + . . .+ z2n .
Neste caso, quem e B(a, r)?
Metricas
Exercıcio
Em R2, descreva B(a, r) para as metricas
d1(x , y) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|
e
d2(x , y) = max{|x1 − y1|, |x2 − y2|}.
Normas
Em conjuntos com estrutura melhor, o conceito de norma tambem
pode ser usado para medir tamanhos e distancias. Toda norma
induz uma metrica, mas a recıproca e falsa.
Se X e um espaco vetorial real ou complexo, uma funcao
|| · || : X → R+
e uma norma se
# ||x || = 0⇔ x = 0
# ||αx || = |α| · ||x ||# ||x + y || ≤ ||x ||+ ||y ||
O par (X , || · ||) e chamado de espaco vetorial normado.
Normas
# Se || · || e uma norma, entao d(x , y) = ||x − y || e uma metrica.
# Nao vou falar de produto interno, mas deveria.
Exemplo
O exemplo que voce precisa ter na mente e Rn com a norma usual
||x || =√
x21 + . . .+ x2n .
Normas
Exemplo
Outro exemplo importante: seja l∞ o conjunto de todas as
sequencias limitadas. Entao l∞ e um espaco normado, com norma
||(xn)||∞ = sup{|xn|}.
Normas
Podemos introduzir a nocao de convergencia de sequencia em um
espaco normado da seguinte forma.
Seja (X , || · ||) um espaco normado e (xn)n uma sequencia em X ,
ou seja, x : N→ X e uma funcao e iremos denotar xn = x(n).
Diremos que (xn)n converge para a ∈ X se, dado ε > 0, existir
n0 ∈ N tal que ||xn − a|| < ε para todo n ≥ n0.
Diremos que (xn)n e uma sequencia de Cauchy em X se, dado
ε > 0, existir n0 ∈ N tal que para todos m, n ≥ n0 temos
||xn − xm|| < ε.
Um espaco vetorial normado onde toda sequencia de Cauchy
converge e chamado de espaco de Banach.
Norma para espaco vetorial das matrizes
Vamos denotar por L(Rn) o espaco vetorial dos operadores lineares
de Rn em Rn. Note que L(Rn) e isomorfo a Mn×n(R) (este
isomorfismo depende de uma escolha de base).
Vamos introduzir uma norma no espaco L(Rn).
Denotaremos por 〈·, ·〉 o espaco interno usual de Rn e por || · || a
norma usual, ou seja, se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) entao
〈x , y〉 = x1y1 + . . .+ xnyn
e
||x || =√〈x , x〉 =
√x21 + . . .+ x2n .
Norma para espaco vetorial das matrizes
Se A ∈ L(Rn), vamos definir a norma de A por
||A|| = sup
{||Ax ||||x ||
, x 6= 0
}= sup {||Ax ||, ||x || = 1} .
A primeira pergunta: este supremo esta bem definido?
Sim!
Prova 1 (difıcil): o conjunto dos x ∈ Rn tais que ||x || = 1 e
compacto; como a funcao x 7→ Ax e contınua, o conjunto dos Ax
e tambem compacto, daı o conjunto dos ||Ax || e limitado e
portanto tem supremo.
Norma para espaco vetorial das matrizes
Prova 2 (tambem difıcil, mas e algebra linear, e vou fazer o caso
2× 2): sejam x = (x , y) e
A =
(a b
c d
).
Entao
Ax =
(ax + by
cx + dy
).
Seja x 6= 0 e vamos calcular ||Ax||/||x||.
Norma para espaco vetorial das matrizes
||Ax||||x|| =
√(ax + by)2 + (cx + dy)2√
x2 + y 2
=
√a2x2 + b2y 2 + c2x2 + d2y 2 + 2axby + 2cxdy√
x2 + y 2
=
√x2
x2 + y 2(a2 + c2) +
y 2
x2 + y 2(b2 + d2) +
xy
x2 + y 2(2ab + 2cd)
≤√
a2 + c2 + b2 + d2 + 2ab + 2cd
Portanto, o conjunto dos valores ||Ax||/||x|| e limitado (por uma
constante que nao depende de x).
Logo, o supremo existe e a norma esta bem definida!
Norma para espaco vetorial das matrizes
Agora temos uma norma em L(Rn) (e tambem em Mn×n(Rn)).
Proposicao/Exercıcio/Justificativa da escolha da norma
Se A ∈ L(Rn) e x ∈ Rn entao
||Ax || ≤ ||A|| · ||x ||.
Por consequencia, temos
||AB|| ≤ ||A|| · ||B||
e tambem
||An|| ≤ ||A||n.
Cuidado, estamos usando o sımbolo || · || para muitas coisas!
Decida qual e a norma pelo contexto.
Afirmacao importante
Teorema
L(Rn) e um espaco de Banach.
E facil provar isto com o:
Lema
Rk e um espaco de Banach para todo k ≥ 1.
e a observacao de que as normas sao equivalentes, ou seja, se
denotarmos por ||A||2 a norma de Mn×n(Rn) quando considerado
Rn2 , entao temos que existem constantes c , c com
c ||A||2 ≤ ||A|| ≤ c||A||2.
Fica como exercıcio (melhor fazer antes do curso de espacos
metricos).
Exponencial matricial
Seja A uma matriz n× n. Voltemos a serie que usamos para definir
a exponencial de matriz,
exp(A) = Id + A +1
2!A2 +
1
3!A3 + . . .+
1
n!An + . . .
Como provar que exp(A) e uma matriz (ou um operador)?
Simples, vamos provar que a sequencia das somas parciais da serie
acima e de Cauchy, logo ela sera convergente (pois L(Rn) e um
espaco de Banach).
Exponencial matricial
Seja ε > 0.
Denote
Sn =n∑
k=0
1
k!Ak .
Devemos achar n0 tal que se m, n ≥ n0 entao
||Sn − Sm|| < ε.
Suponha s.p.g. que n > m e seja n = m + p.
Exponencial matricial
Vamos usar uma serie auxiliar para concluir a prova: seja
exp(t) =∞∑n=0
1
n!tn
a serie de Taylor da funcao exponencial (de numeros reais).
Podemos calcular exp(t) em t = ||A||, pois a norma de A e um
numero real. Entao a serie
exp(||A||) =∞∑n=0
1
n!(||A||)n
converge. Portanto, a sequencia das somas parciais desta serie e de
Cauchy.
Exponencial matricial
Vamos denotar (Wn)n a sequencia de somas parciais da serie
exp(||A||) =∞∑n=0
1
n!(||A||)n,
ou seja,
Wn =n∑
k=0
1
k!(||A||)k .
Como (Wn)n e de Cauchy, existe n0 ∈ N tal que para todo
m, n ≥ n0 temos |Wn −Wm| < ε, ou seja, se escrevermos
n = m + p, temos∣∣∣∣∣m+p∑k=0
1
k!||A||k −
m∑k=0
1
k!||A||k
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣m+p∑
k=m+1
1
k!||A||k
∣∣∣∣∣ < ε.
Exponencial matricial
Vamos voltar agora para nossa sequencia (Sn)n, das somas parciais
da exponencial matricial.
Sejam m, n ≥ n0 (o mesmo n0 que encontramos antes), com
n = m + p. Usando a desigualdade triangular da norma e tambem
o fato de que ||Ak || ≤ ||A||k temos
||Sm+p − Sm|| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣m+p∑k=0
1
k!Ak −
m∑k=0
1
k!Ak
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
m+p∑k=m+1
1
k!Ak
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
≤m+p∑
k=m+1
1
k!||A||k < ε
Exponencial matricial
Ou seja, (Sn)n e de Cauchy e portanto convergente! Com isto,
mostramos que a aplicacao exponencial matricial esta bem
definida.
Exemplo
# exp(0) = Id .
# exp(A) sempre tem inversa, dada por exp(−A).
# Mostre que se D e diagonal, D = (a1, . . . , an) entao
exp(D) = (ea1 , . . . , ean).
Exponencial matricial
Note que se A e uma matriz n × n e t ∈ R entao
eAt = exp(At) =∞∑n=0
1
n!Antn.
Seja x0 ∈ Rn. Sendo eAt uma matriz, o produto eAtx0 esta
bem-definido. Vamos denotar x(t) = eAtx0.
Note que x(0) = x0 e1
d
dtx(t) =
d
dteAtx0 =
d
dt
( ∞∑n=0
1
n!Antn
)x0 = AeAtx0 = Ax(t)
1Nao provamos que esta serie pode ser derivada termo a termo, mas assim
como no caso de series de potencias, isto pode ser feito.
Exponencial matricial
Portanto x(t) = eAtx0 e uma solucao do problema de valor inicial
d
dtx(t) = Ax(t), x(0) = x0.
Resumo
Seja A uma matriz n × n, a ∈ Rn e x(t) = (x1(t), . . . , xn(t) uma
funcao R → Rn cujas coordenadas sao diferenciaveis. Entao a
solucao da equacao diferencial
x ′(t) = Ax(t), x(0) = a
e
x(t) = eAta.
Exponencial matricial
Exemplo
Considere
A =
(1 0
0 −2
).
O PVI
x = Ax, x(0) = (1, 3)
e equivalente ao sistema de equacoes{x1 = x1
x2 = −2x2
com condicoes iniciais x1(0) = 1, x2(0) = 3.
Exponencial matricial
A solucao do PVI anterior pode ser obtida de forma simples:
x(t) = exp(At)(1, 3).
Como
exp(At) = exp
(t 0
0 −2t
)=
(et 0
0 e−2t
),
segue que
x(t) =
(et 0
0 e−2t
)(1
3
)=
(et
3e−2t
),
ou seja, x1(t) = et e x2(t) = 3e−2t .
Exponencial matricial
Problemas que teremos num futuro proximo.
# Como calcular exp(At) para uma matriz qualquer?
# O que acontece se a equacao nao for homogenea, ou seja, for
da forma
x ′ = Ax + g(t)?
# Nao e um problema, mas um aviso: em geral usaremos a
notacao x para derivadas, ao inves de x ′, no caso dos sistemas
lineares de equacoes diferenciais. Nao se perca.
# Sabe calcular forma de Jordan? Ih, rapaz..
Sugestao de leitura: Notas de Aula “Forma de Jordan e Equacoes
Diferenciais Lineares”, do Prof. Aloisio Neves, disponıveis aqui:
http://www.ime.unicamp.br/~aloisio/documentos/jordan.pdf
