Numeerisia ja algebralllisia menetelmiä MA 12

1. tunnin laskinharjoittelua ja kertausta Lue esimerkit 2 ja 3 ja harjoittele laskimen

käyttöä Tee tehtäviä 7, 8, 10, 13, 17, 18

Funktion kuvaaja ja kertausta aiemmilta kursseilta Jotta funktion kuvaajan saisi skaalattua

laskimen näyttöön kokonaan, pitäisi tietää ainakin funktion ääriarvot (MA07 asiaa) ja ns. kulkukaavio

Joutuu skaalaamaan x ja y –akselia, katso esimerkki 1 s. 19

Yhtälön graafinen ratkaisu

Piirrä molemmat funktiot graafisella laskimella ja määritä leikkauspisteiden koordinaatit. Esim. 3 sivulla 24.

Kaikki termit voi myös siirtää yhtälön vasemmalle puolelle ja ratkaista syntyvän funktion nollakohdat.

Kertausta

Määrittelyjoukko ja toisen asteen epäyhtälön ratkaisu

Ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö ja kuvaajan piirtäminen. Esim. 4 s. 27.

Lukujärjestelmät

10-järjestelmässä luvut esitetään 10 potenssin avulla ja käytössä on 10 lukua.

Esim. tietokoneissa on käytössä binäärijärjestelmä (kaksijärjestelmä), joten luvut esitetään kakkosen potensseina ja lukuina on vain 0 ja 1.

Esim.

Polynomien jakolasku

Esim. (2x2+3x-2):(x+2)

Murtofunktion asymptootit

Murtofunktio ei saa arvoja nimittäjän nollakohdissa, vaan funktion arvot ainoastaan lähenevät sitä

Toinen asymptootti tulee polynomin jakolaskun tuloksena

Esim. (x2+1):(x+2)

Polynomien jaollisuus

Jos jakolaskun P(x):S(x) osamäärä on Q(x) ja jakojäännös R(X), niin P(x):S(X) = Q(X) + R(x):S(x) eli P(x) = Q(x)S(x) + R(x)

Polynomi P(x) on jaollinen polynomilla S(x), kun jakojäännös R(x) = 0

Huom! Jakojäännöksen asteluku on pienempi kuin jakajan asteluku

Binomilla x-a jakaminen

Tällöin P(x) = (x-a)Q(x) + r P(a) = (a-a)Q(x) + r = r

Eli jakolasku P(x):(x-a) menee tasan eli x-a on polynomin P(x) tekijä joss P(a) = 0

Polynomien jaollisuus – tekijöihin jako Esim. s 50. Tekijöihin jako nollakohtien perusteella

päättele ensimmäinen nollakohta esim. kuvaajasta

jaa jakokulmassa, niin saat muut tekijät Esim. s. 50. s. 52 yleisesti Esim. s. 53. Tehtävä 111.

Tekijöihin jako

Jos n. asteen polynomilla P on n nollakohtaa x1, x2, …, xn (ei voi olla enempää), niin P = a(x - x1) (x – x2)…(x - xn), missä a on

korkeimman asteen tekijä

Esim. ax2+bx+c = a(x - x1) (x – x2) Kaksinkertainen juuri tarkoittaa sitä, että

sama nollakohta toistuu. Esim. x2+4x+4 = (x+2)(x+2)=(x+2)2

Korkeamman asteen yhtälöt

Ratkaisut voi päätellä kuvaajasta, kunhan toteaa, että ne myös ovat nollakohdat. S. 56.

Tulon nollasääntö. S. 57. Jos nähdään selkeästi vain yksi nollakohta x1,

niin muut saadaan jakamalla jakokulmassa tällä tekijällä (x – x1). S. 58.

Esim. s. 60. Aina ei tarvitse ”arvata”.

Huom!

Huom! Nollakohdan voi ’arvata’ myös näin.

Likiarvon tarkkuus

Merkitseviä numeroita on kaikki muut paitsi ei kokonaisluvun lopussa olevat nollat ja desimaaliluvun alussa olevat nollat Esim. 13000 on kaksi merkitsevää numeroa Esim. 0,002340 on neljä merkitsevää numeroa Esim. 1,00 on kolme merkitsevää numeroa

Tulos ilmoitetaan epätarkimman avulla Monesti järkevä pyöristyssääntö on

desimaalien lukumäärä tai mittayksikön tarkkuus

summassa ja erotuksessa käytetään epätarkinta desimaalilukua pyöristyssääntönä

tulossa ja osamäärässä käytetään epätarkinta merkitsevää numeroa pyöristyssääntönä

Virhe

Esim. Jos suorakulmion mitat on 3 m ja 5 m, niin todelliset mitat voivat olla välillä [2,5 ; 3,5[ tai [4,5 ; 5,5[

Tällöin todellinen pinta-ala voi olla pienimmillään 2,5 * 4,5 =11,25 m2

suurimmillaan 3,5*5,5 = 19,25 m2

Absoluuttinen virhe on tällöin 15 – 11,25 = 3,75 tai 19,25 – 15 = 4,25

Suhteellinen virhe on tällöin 4,25 : 15 = 28 %

Jonot ja raja-arvot

Esim. 84. Miten laskimella? Esim. s.78. Lukujonossa n on luonnollinen

luku. Miten tableset nyt toimii, kun n lähestyy ääretöntä? Eli lasketaan lukujonon raja-arvo, kun n lähestyy

ääretöntä. Tällöin lukujono suppenee.

Funktion nollakohdat

Esim.

Osoita, että funktiolla f(x) = x3+2x2+2x-1 on tasan yksi nollakohta ja määritä sen likiarvo Bolzanon lauseen avulla haarukoimalla.

Derivointiesimerkkejä

Mikä oli derivaatta? Miten derivaatta liittyy funktion

kasvamiseen/vähenemiseen?

Newtonin menetelmä

Lasketaan derivoituvan funktion nollakohtia

Valitaan b nollakohdan likiarvoksi Piste c on pisteeseen (b, f(b))

piirretyn tangentin ja x-akselin leikkauspiste

Tällöin c on yleensä lähempänä nollakohtaa kuin b

Toistetaan toimenpidettä, jotta saadaan tarkempia likiarvoja

Itse prosessi on seuraava

Tangentin yhtälö on

Esim.

Iterointi

Pyritään ratkaisemaan yhtälö, joka on saatettu muotoon x = g(x)

Sijoitetaan funktioon g(x) alkuarvaus x0, josta saadaan uusi arvo x1, joka sijoitetaan takaisin funktioon g(x) jne. Alkuarvauksen voi katsoa kuvaajasta

Graafinen iterointi

Kuva tilanteesta on sivun 115 yläreunassa Jos käy hyvin, niin xn lähestyy x:n ja g(x):n

leikkauspistettä (x=g(x))

Esim.

Esim.

Kiintopiste s. 114

Äskeisessä esimerkissä x:n joutuu ratkaisemaan kahdella eri tavalla, jotta iterointi onnistuu.

Iterointi onnistuu, jos |g’(a)|<1 ns. puoleensa vetävä piste

Iterointi ei onnistu, jos |g’(a)|>1 ns. hylkivä piste

a voi käytännössä olla alkuarvaus

Derivaatta

Derivaatta tarkoittaa geometrisesti käyrälle piirretyn tangentin kulmakerrointa

Erotusosamäärä

Derivaatan määritelmä osa I

Derivaatan määritelmä osa II

Täsmälleen sama idea, mutta merkinnät hieman muuttuvat. x – a = h, jolloin x = a + h

ja derivaatan määritelmä on

Esim.

Laske molempien määritelmien avulla funktion f(x)= x – x3 derivaatta numeerisesti kohdassa -1.

Numeerinen derivaatta

Jos |h| on riittävän pieni, niin kohtaan a piirretyn tangentin kulmakerroin on likimain

Esim.

Pinta-alan numeerinen määrittäminen

Ala suorakulmioiden avulla

Määritetään pinta-alojen ns. ylä –ja alasummat

Jaetaan kysyttävä pinta-ala n:ään osaväliin. Mitä suurempi n on, sitä tarkempi ala on

Keskipistesääntö

Jaetaan väli [a,b] n:ään yhtä pitkään osaväliin ja valitaan suorakulmion korkeudeksi välien keskipisteet

Puolisuunnikassääntö

Tehdään suorakulmiosta puolisuunnikas

t. 289

Simpsonin sääntö

Esim.

Laske yksikköympyrän pinta-ala Simpsonin säännöllä laskemalla ensin neljänneksen ala käyttämällä kuutta osaväliä

Määrätty integraali

Lasketaan funktion ja x-akselin väliin jäävää alaa.

Kun jakovälien lukumäärä lähestyy ääretöntä, niin tämän raja-arvon tuloksena saadaan alan tarkka arvo. (Simpsonin sääntö, puolisuunnikassääntö)

Esim.