8/17/2019 m2-Bac 2010 Varianta 4

1/13

Subiectul I

1. Să se arate că numărul este real.Rezolvare: Avem

.

2. Să se arate că vârful parabolei este situat în cadranul III.

Rezolvare: Vârful V al parabolei are coordonatele

adică

sau

.

8/17/2019 m2-Bac 2010 Varianta 4

2/13

rin urmare vârful V al parabolei are coordonatele

!i deci este situat în cadranul III.

". Să se rezolve în mul#imea numerelor reale ecua#ia .Rezolvare: Avem

.

$otăm iar ecua#ia de mai sus devine atunci

.

Atunci

iar

%adică

%sau

% .entru a &ăsi solu#iile ecua#iei date vom rezolva ecua#iile

 !i .

8/17/2019 m2-Bac 2010 Varianta 4

3/13

Aceste solu#ii sunt '1 !i respectiv 1. rin urmare( mul#imea S a solu#iilor ecua#iei date este

.

). Să se determine probabilitatea ca ale&ând un număr din mul#imea numerelor naturale de trei cifre acesta să aibăe*act două cifre e&ale.Rezolvare: $otăm cu A evenimentulA: ale&ând un număr din mul#imea numerelor naturale de trei cifre( numărul ales are e*act două cifre e&ale.Atunci

.

+*istă de numere de " cifre( sau de cazuri posibile.,intre acestea' - numere de trei cifre au e*act două cifre e&ale cu /ultimele două0%' numere au ultimele două cifre e&ale cu 1 !i prima diferită de 1( - numere au prima !i ultima cifră e&ală cu 1 iar cifra

din miloc diferită de 1 !i tot - numere au primele două cifre e&ale cu 1 !i ultima cifră diferită de 1( adică 23 de numereau e*act două cifre e&ale cu 1%...' numere au ultimele două cifre e&ale cu - !i prima diferită de -( - numere au prima !i ultima cifră e&ală cu - iar cifradin miloc diferită de - !i tot - numere au primele două cifre e&ale cu - !i ultima cifră diferită de -( adică 23 de numereau e*act două cifre e&ale cu -.A!adar( e*istă

numere de trei cifre care au e*act două cifre e&ale( sau cazuri favorabile.rin urmare

.

4. Să se determine pentru care vectorii !i suntperpendiculari.

Rezolvare: Vectorii !i sunt perpendiculari dacă !i numai dacă

.Avem

iar

8/17/2019 m2-Bac 2010 Varianta 4

4/13

%sau

%adică

% .

rin urmare( pentru vectorii !i sunt perpendiculari.

3. Să se calculeze lun&imea laturii 56 a triun&7iului ascu#itun&7ic A56 !tiind că !i că aria

triun&7iului A56 este e&ală cu .Rezolvare: Avem

 /triun&7iul A56 8ind ascu#itun&7ic0.Aplicând acum teorema cosinusului în triun&7iul A56( pentru un&7iul A( ob#inem

.

A!adar( . 

8/17/2019 m2-Bac 2010 Varianta 4

5/13

Subiectul II

1. Se consideră matricea .a0 Să se calculeze ran&ul matricei A.

b0 Să se demonstreze că .

c0 Să se determine o matrice nenulă astfel încât .Rezolvare:a0 9ntrucât minorul de ordinul 2 care se ob#ine din matricea A prin suprimarea ultimei coloane( adică

este e&al cu

(rezultă că ran&ul matricei A este 2.b0 Avem

.ie

.Atunci( sco#ând factor comun de pe linia a doua( avem

.Adunând apoi la prima linie a ultimului determinant elementele celei de'a treia linii( ob#inem:

8/17/2019 m2-Bac 2010 Varianta 4

6/13

!i întrucât determinantul rezultat are două linii e&ale( el este nul.rin urmare

.

c0 utem ale&e o matrice nenulă 5 din cu cele două coloane identice( de forma:

ale cărei elemente să veri8ce e&alită#ile:

/e&alită#i rezultate din condi#ia .09nmul#ind cu '1 prima ecua#ie !i adunând'o la a doua( ob#inem:

.9nlocuind pe c cu a în prima ecua#ie de e*emplu( &ăsim:

.

utem ale&e de pildă ( caz în care .

Am &ăsit astfel o matrice nenulă 5 din mul#imea pentru care are loc rela#ia ( !ianume:

.

2. Se !tie că este &rup( unde !i . Se consideră

func#ia .

a0 Să se calculeze .

b0 Să se demonstreze că func#ia f este un izomor8sm de &rupuri de la la .

c0 Să se demonstreze că dacă ; este un sub&rup al lui < care con#ine toate numerele naturale ( atunci ; con#ine

toate numerele ra#ionale .Rezolvare:

a0 9ntrucât este asociativă( avem:

8/17/2019 m2-Bac 2010 Varianta 4

7/13

.

b0 entru orice ( ecua#ia are solu#ie unică în .9ntr'adevăr(

.rin urmare( func#ia f este biectivă.

unc#ia f este un izomor8sm de &rupuri de la la dacă !i numai dacă1. f este biectivă%

2. .=ai rămâne să dovedim rela#ia de la 2.

( /A0.,in 1 !i 2 rezultă că f este un izomor8sm de &rupuri.

c0 9ntrucât f este un izomor8sm de &rupuri de la la /circ?0>@mat? !tim că

1. este element neutru pentru le&ea de compozi#ie %

2. este inversul elementului din

8/17/2019 m2-Bac 2010 Varianta 4

8/13

lui în raport cu apar#ine lui ;. ,ar conform a8rma#iei2( inversul lui

este .

rin urmare(

(adică am demonstrat că apar#ine lui ;.6um a fost un număr ra#ional mai mare ca " arbitrar ales( rezultă că ; con#ine toate numerele ra#ionale mai mari ca ".

 Subiectul III

1. Se consideră .a0 Să se determine asimptotele &ra8cului func#iei f.b0 Să se demonstreze că func#ia f nu are puncte de e*trem local.

c0 Să se calculeze ( unde .

Rezolvare:

a0 Să observăm mai întâi că pentru orice ( are loc

.6alculăm

.

8/17/2019 m2-Bac 2010 Varianta 4

9/13

.

A!adar( &ra8cul func#iei f are ca asimptotă orizontală spre dreapta de ecua#ie sau a*a B*.

Absolut analo& se arată că &ra8cul func#iei f are ca asimptotă orizontală spre dreapta de ecua#ie sau a*aB*.

,eci a*a B* este asimptotă orizontală atât spre cât !i spre pentru &ra8cul func#iei f.Să calculăm acum

%

.

rin urmare( dreapta de ecua#ie este asimptotă verticală atât la stân&a( cât !i la dreapta( spre pentru&ra8cul func#iei f.Apoi(

.

,eci( dreapta de ecua#ie sau a*a BC este asimptotă verticală atât la stân&a( cât !i la dreapta spre pentru

&ra8cul func#iei f.

b0 unc#ia f este derivabilă pe !i în plus avem:

.Atunci

.

8/17/2019 m2-Bac 2010 Varianta 4

10/13

,ar

!i prin urmare derivata func#iei f nu se anulează în nici un punct din mul#imea .,eci( func#ia f nu are puncte de e*trem local.c0 Avem:

.Atunci

.

2. Se consideră !irul .

a0 Să se calculeze .

b0 Să se arate că .

8/17/2019 m2-Bac 2010 Varianta 4

11/13

c0 Să se calculeze .Rezolvare:

a0

.b0 9ntrucât

 !i (rezultă folosind proprietă#ile inte&ralelor de8nite că

(adică

 sau .

c0 Vom demonstra folosind teorema cle!telui că .9ntr'adevăr( cf. pct. b

/10 .

Apoi( pentru orice !i orice rezultă aplicând ine&alitatea lui 5ernoulli că

8/17/2019 m2-Bac 2010 Varianta 4

12/13

.

Atunci( pentru orice avem

/20 .A!adar am demonstrat cf. lui /10 !i /20 că

.,ar

.

/am folosit la ultima e&alitate faptul că 0

8/17/2019 m2-Bac 2010 Varianta 4

13/13

Aplicând acum teorema cle!telui !irurilor !i !irului constant 1( rezultă că

.