M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA1 6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA (ultima modifica 27/11/2012) Velocità di fase e velocità di gruppo Premessa

M. Usai 6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA 1

6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA(ultima modifica 27/11/2012)

Velocità di fase e velocità di gruppo

Premessa Si definisce fronte d’onda una superficie nella quale in tutti i

suoi punti, in un dato istante, una grandezza che caratterizza il fenomeno della propagazione, ha la stessa fase.

Il fronte d’onda serve per rappresentare intuitivamente il movimento di un’onda in uno spazio tridimensionale.

Nella propagazione di onde si definiscono:• la velocità di fase in un mezzo con e senza perdite,• la velocità di gruppo e• la relazione tra la velocità di gruppo la velocità di fase.


La velocità di fase è la velocità alla quale un fronte a fase costante si trasmette ed è uguale a up =/

up Δt


La velocità di gruppo di un pacchetto d’onda dipende dalla natura del mezzo.

•In un mezzo non dispersivo il pacchetto d’onde si muove senza cambiare la sua forma con una velocità di gruppo che coincide con la velocità di fase up delle sue componenti di Fourier.•Nel caso di propagazione in un mezzo dispersivo, le diverse componenti di Fourier si muovono con velocità di fase diversa. La perturbazione si muove con una velocità di gruppo ug diversa dalla velocità di fase up delle diverse componenti del segnale, deformandosi.


La velocità di fase up =/ per un’onda sinusoidale, è la

velocità alla quale l’onda deve viaggiare per mantenere costante

la fase istantanea.

Per dimostrare che questo valore della velocità garantisce la

condizione di fase istantanea costante, si esprime il fattore

esponenziale con il quale si rappresenta un’onda sinusoidale in

funzione della velocità di fase come:

si deduce la condizione affinché la fase istantanea sia costante

, ossia l’onda deve propagarsi con velocità up tale

che essendo:

[ ( / )]( ) [ ( / )] pj t z uj t z j t ze e e

t z A

/ / /pz t A u dz dt


La velocità di fase up di un’onda piana a singola frequenza è

dunque la velocità di propagazione di un fronte d’onda equifase.

La relazione tra up e la costante di fase é:

Per le onde piane in un mezzo privo di perdite

• la costante di fase è una funzione lineare di e

• la velocità di fase risulta una costante

indipendente dalla frequenza

s

m pu

1

pu


• In diversi casi reali (dielettrici con perdite, linee di trasmissione e guide d’onda) la costante di fase β non è una funzione lineare di ,

per cui onde con frequenza differenti si propagano con velocità di fase

diverse, causando una distorsione nella forma d’onda del segnale, chiamata dispersione.

I dielettrici con perdite sono dunque mezzi dispersivi.

In generale un segnale che trasporta informazione è costituito da più componenti a frequenza diversa, pacchetto d’onde.

La velocità di gruppo è la velocità con cui si propaga un segnale costituito da una stretta banda di componenti spettrali (gruppo), e più precisamente è la velocità di propagazione dell’inviluppo del pacchetto d’onda (o gruppo di frequenze).


Per comprendere le definizioni date si considera un semplice caso di un pacchetto d’onde costituito da due onde viaggianti di uguale ampiezza con differenti frequenze angolari :

0+ e 0-

a cui corrispondono valori di costanti di fase diverse essendo:

→ 0+ e 0- ,

Sovrapponendo le due onde si ha:

poiché << 0 l’espressione trovata rappresenta un’onda rapidamente oscillante alla frequenza 0 e un’ampiezza che varia lentamente con frequenza angolare .

cos z-tcos 2

cos

cos),(

000

000

000

ztE

ztE

ztEtzE


Onda portante

Onda modulante

la velocità di fase:

la velocità della modulante:

0

0pu

s

m

/

1

dt

dzug

ug

up

z

E(z,t)


Si può dimostrare che la velocità di fase e la velocità di gruppo sono legate tra di loro dalla relazione:

in base alla quale nel caso di mezzo di trasmissione con:

a)nessuna dispersione: (up indipendente da : ,

ug=up funzione lineare di )

b) nei casi di normale dispersione (up = / diminuisce con )

ug< up

c) nei casi di dispersione anomala: (up aumenta con )

ug> up

d

du

u1

uu

p

p

pg

0d

dup

0d

dup

0d

dup

1

up

pu


Potenza elettromagnetica e vettore di Poynting

Le onde elettromagnetiche trasportano potenza elettromagnetica.

L’energia é trasportata attraverso lo spazio nei punti distanti

di ricezione per mezzo di onde elettromagnetiche.

Per mezzo del teorema di Pointyng é possibile scrivere un bilancio energetico in termini di grandezze di campo.

Per dimostrare il teorema, si consideri che attraverso le equazioni rotoriche di Maxwell è possibile ricavare una relazione tra la velocità di trasferimento di tale energia e l’intensità del campo elettrico e magnetico associati ad un onda elettromagnetica trasmessa:

tD

JHtB

E


Moltiplicando la prima relazione per il campo elettrostatico

e la seconda per il campo magnetostatico e sommando si ha: E

H

JE tD

EtB

HHEEH

tD

E JEHE

tB

HEH

tD

JHtB

E


Per il primo membro si può verificare facilmente la seguente identità:

sostituendo alla relazione precedente:

si ottiene:

In un mezzo semplice, i cui parametri costitutivi , e non variano con il tempo, gli addendi del secondo membro si possono esprimere :

HEHEEH

JEtD

EtB

HHE

2

2

2

,21

21

,21

21

EEEJE

Ett

EEtE

EtD

E

Htt

HHtH

HtB

H

JE tD

E tB

H HE EH


Quindi l’equazione

si può scrivere con la relazione puntuale in funzione di :

La forma integrale si ottiene integrando il primo e il secondo membro su un volume V e applicando al primo membro il teorema della divergenza per convertire l’integrale volumico nell’integrale superficiale sulla superficie S che delimita il volume V:

JEtD

EtB

HHE

222 EH21

E21

tHE

-

dvEdvHEt

sdHEvdHEVVSV

222

21

21

-

H e E


Esaminando la forma integrale della relazione trovata si vede come:

• il primo e il secondo termine a secondo membro rappresentano la variazione nel tempo della energia immagazzinata nel campo elettrico e magnetico rispettivamente,

• l’ultimo termine é la potenza ohmica dissipata nel volume V dovuta al flusso della densità della corrente di conduzione in presenza del campo elettrico .

Per essere coerente con la legge della conservazione della energia, la somma dei tre termini a secondo membro deve essere uguale alla potenza, che lascia il volume attraverso la sua superficie, ossia il flusso di potenza per unità di area o potenza trasmessa.

dvEdvHEt

sdHEVVS

222

21

21

-

EE


Quindi la quantità é un vettore che rappresenta il flusso di potenza trasmessa per unità di area :

essa é nota come vettore di Poynting, che é la densità di potenza vettoriale associata al campo elettromagnetico.

Dalla relazione si vede come non ci può essere trasporto di energia in presenza del solo campo elettrostatico o del solo campo magnetostatico .

HE

3m

W HEP

EH


Più precisamente mentre

• in regime stazionario l’energia può essere presente in un campo elettrostatico o in un campo magnetostatico indipendentemente, in una regione limitata nello spazio prossimità delle sorgenti del campo

• in ogni situazione di variazione temporale delle grandezze di campo almeno una parte della energia deve apparire in entrambe le forme e la regione interessata dalle grandezze di campo aumenta (sarebbe infinita se non esistessero dispersioni). Quando le grandezze di campo variano è possibile trasmettere energia in regioni distanti dalle sorgenti.

3m

W HEP


L’equazione in forma integrale può essere scritta nella seguente forma che esprime il teorema di Poynting, ossia la potenza trasmessa attraverso la superficie S:

ohmicapotenza didensità */σJJ

* EEσ/σJ σE p

magneticaenergia didensità *HHμ2

1μH

2

1w

elettricaenergia didensità * EE ε2

1εE

2

1 w

dove

dvpdvwwt

sdP

22σ

2m

2e

V

σ

V

me

S

dvEdvHEt

sdHEVVS

222

21

21

-


Se oltre alle forze elettriche indotte vi sono forze elettriche impresse di altra origine ( chimica, termica etc.), le equazioni rotoriche di Maxwell diventano:

da cui rifacendo i passaggi si ottiene una espressione più generale del bilancio energetico in funzione delle grandezze di campo:

iEE

Poyntingvettore di nerale delone più gel'espressi

HEEP essendo

HEE -EEH HEEP con

σEμH2

1εE

2

1

tHEE -EEHHE

i

iii

222iii

;

tEE

JtD

JHtB

EEi

i


Espressione generale del teorema di Poynting:

; lavoro compiuto per unità di volume e per unità di tempo

dalle forze elettriche impresse di natura non elettromagnetica

; energia trasmessa mediante il campo elettromagnetico

; energia elettrica e magnetica immagazzinate

; energia dissipata per effetto joule

Poyntingvettore di il HEEP essendo

σEμH2

1εE

2

1

tPHE

i

222i

HE i

σE 2

μH2

1εE

2

1

t22

P


Il teorema di Poynting in forma generale, dice che

ossia , la potenza che fluisce attraverso una superficie chiusa S che delimita una regione spaziale di volume V, è in ogni istante è legata al

• lavoro compiuto per unità di volume e per unità di tempo dalle forze elettriche impresse di natura non elettromagnetica

• alle variazioni delle energia elettrostatica e magnetica immagazzinate (nulle in condizioni statiche) e

• alla potenza ohmica dissipata all’interno del volume (nulla per i mezzi privi di perdite).

Per mezzo di questo teorema é possibile scrivere un bilancio energetico in termini di grandezze di campo.

222

21

21

σEμHεEt

HEP i


Esempi di applicazioni elementari

Resistore rettilineo indefinito

Si consideri un tratto l di un resistore rettilineo omogeneo indefinito di sezione circolare S di raggio r, percorso dalla corrente costante I; la forza elettrica agente vale:

e il campo magnetico nella superficie vale:

I due vettori e sono diretti come riportati in figura e il vettore

é in ogni punto della superficie del resistore, un vettore centripeto che vale: P = EH sin(90).

JS

IJE

r2JS

r2I

H

E H P

IE

HP

l

S


Applicando il teorema di Poynting per la superficie cilindrica chiusa di altezza l e base S:

E H 2rl= J2 S l

(E l ) (2r H)= J2 S l →VI= J2 S l

Il flusso del vettore entrante dalla superficie che delimita il conduttore è uguale alla potenza dissipata nel conduttore.

Detto flusso coincide con il prodotto della differenza di potenziale V=E l per la corrente I = 2r H.

P

dvEdvHEt

sdHEVVS

222

2

1

2

1 -


Trasmissione di energia lungo un cavo coassiale

Il circuito sia costituito da un generatore di fem E, di resistenza Ri che attraverso un cavo coassiale di conducibilità infinita, alimenta una resistenza R.

Entro il cavo il campo é radiale e vale:

mentre il campo magnetico vale:

E

1

2

rr

r

VE

ln

r2I

H

R

Ri

E+

VH

PE


Il vettore di Poynting é diretto come in figura e vale,essendo il seno del prodotto vettoriale uguale a zero :

il flusso di attraverso la sezione normale al cavo vale :

Applicando il teorema di Poynting per una superficie chiusa che tagli il cavo normalmente all’asse e racchiuda il generatore: tenedo conto che è nullo fuori dal cavo coassiale, si ottiene: EI=RiI2 +VI,

che esprime il bilancio energetico, ossia il flusso del vettore di Poynting attraverso la sezione considerata è uguale alla potenza che viene trasferita dal generatore all’utilizzatore.

1

22

rr

r2

VIEHP

ln

P

VIrdr2

rr

r2

VIdsP

2r

1r

1

22S

ln

P


Densità di potenza istantanea e media per campi armonici

Quando le onde elettromagnetiche sono armoniche nel tempo, é conveniente utilizzare la notazione fasoriale in base alla quale i campi elettrico e magnetico possono essere così espressi:

e in funzione del tempo si avrà:

n

n

jθn

zjzyyy

zjxxz

eηηzoa del mezrina a impedenz fase dell angolo di θcon

eeE

azHazH

eEazEazE

secint

0

0

nz

yzjz

ytj

zx

ztjzx

tj

zteE

aeeE

aezHtzH

zteEaeeEaezEtzE

n

cosRe Re,

cosRe Re,

00

00


Dalle relazioni precedenti l’espressione del vettore di Poynting o del vettore densità di potenza in funzione del tempo diventa:

La trasmissione di potenza per mezzo di onde elettromagnetiche é caratterizzata significativamente al suo valore medio, per tale motivo si definisce il valore medio nel tempo del vettore di Poynting per un’onda che si propaga nella direzione z:

tj

tjtj

ezHzEzHzE2

1

ezHezEtzHtzEtzP

*

Re

ReRe,,,

2

*T

0

av m

W zHzERe

2

1dt t,zP

T

1zP


Correnti indotte nei conduttori massicci

Correnti parassite

Se in una porzione dello spazio occupata da un conduttore, il campo magnetico è variabile nel tempo, si producono entro il conduttore stesso delle correnti indotte, alle quali in generale si associano fenomeni dissipativi di energia indesiderati; esse sono perciò chiamate correnti parassite o anche correnti vorticose o correnti di Foucault.

Correnti parassite nei nuclei magnetici

I circuiti magnetici hanno una conducibilità diversa da zero per cui in presenza di un campo magnetico saranno anch’essi interessati da correnti indotte.

Per quantificare la potenza dissipata per unità di volume dovuta all’effetto delle correnti parassite e comprendere come poter intervenire per ridurla,

si considerino gli esempi di una sbarra a sezione circolare e di una sbarra a sezione rettangolare.


Barra a sezione circolare di diametro d

L’induzione magnetica sia per ipotesi assiale, uniforme e variabile nel tempo con legge sinusoidale è in modulo:

B=Bmsen(t) .

Il flusso concatenato con una

spira ideale di raggio r e sezione

circolare Ac sarà:

= Bm Ac sen(t) = BM (r2) sen(t)

La f.e.m indotta lungo tale spira

per la legge di Lenz è:

e=-d /dt= - BM (r2) cos(t)

con valore efficace:

ddr

r

Ac

B

r

dr

L=1m

2

πrωBE

2M


La potenza dissipata per effetto Joule nello strato cilindrico di spessore dr considerato è:

dP=dgE2

Essendo:

e

dg = conduttanza di un

tubo elementare di raggio r,

di larghezza dr e di profondità

assiale L= l m:

: potenza dissipata nella spira

cilindrica elementare

ddr

r

2 2 3M B l ( r )

dP= 4

dr

1 ldr 2 r

dg

2

πrωBE

2M


La totale potenza dissipata si ottiene integrando quest’ultima relazione, per r variabile fra 0 e d/2 , ottenendo:

Poiché il volume del materiale interessato è →

La potenza dissipata per unità di volume è:

Essa risulta:- inversamente proporzionale

- alla resistività ,

- direttamente proporzionale - al quadrato della pulsazione e quindi al quadrato della frequenza

f, - al quadrato della induzione massima B2

M

- al quadrato del diametro d2.

2 2 4M B l d

P= 4 64

2l

4

dv

2 2 2M

F B dP

p = = 64 v


Barra a sezione rettangolare di dimensioni a x b:

L’induzione magnetica sia per ipotesi assiale, uniforme e variabile nel tempo con legge sinusoidale:

B=Bmsen(t) .

Il flusso concatenato massimo con una

spira ideale di spessore dx e dy e

dimensioni 2x*2y e sezione

rettangolare Ar ,sarà:

M=Ar BM = 2x 2y BM

Nella generica spira di spessore dx e dy

sarà indotta una f.e.m. di valore efficace: 4

2 2M M

xyxy B

E

2x

a

bdy

dx 2y

B


La resistenza elettrica della spira è espressa da:

Poiché il contorno della spira è simile al perimetro del nucleo:

Quindi si può esprimere la Rxy in funzionedella sola variabile x , da cui risulta che :

d x a b b

y x y dxy b a a

2

2 2

4

2

4 4( / ) 4 a x

( / ) dx

Mxy

xy

b BE x e

a

x b a x bR

l b a dx ldx l ab

ldx

y

ldy

xRxy

22

22

a

bdy

dx 2y

2x


a

bdy

dx 2y

2x

Nella spira elementare si dissipa una potenza elettrica elementare:

Per ottenere la potenza totale PF dissipata nell’intera sezione, occorre integrare la potenza elementare per x che varia tra 0 e a/2, ottenendo:

2 3

2 2 3 2 2

2 x dx a

xyF M

xy

E b ldP B

R a b

3 4

2 2 2 2

a2 W

64aF M

b lP B

a b


La potenza dissipata per unità di volume sarà:

• L’ipotesi di distribuzione di flusso uniforme nell’intera sezione del nucleo è accettabile solo se l’intensità delle correnti parassite è sufficientemente piccola, affinché la forza magneto-motrice ad essa associata risulti trascurabile.

• In caso contrario le correnti concentriche indotte in ciascuna sezione del nucleo, hanno l’effetto di produrre una sensibile attenuazione del flusso verso il centro della sezione ed un corrispondente addensamento verso la periferia: questo fenomeno si denota con il nome di effetto schermante delle correnti parassite.

2 2 2

2 2 32 2

4 W

32 ma

F FF M

P P a bp f B

v abl b


La perdita specifica per correnti parassite nei nuclei laminati si determina sostituendo semplicemente nella formula valida per il nucleo massiccio, al posto della dimensione b lo spessore di ciascuna lamiera:

Per molto piccolo rispetto ad a si può ritenere che a2+ 2 a2, per cui:

2 2 2

2 2 32 2

4 W

32 ma

F FF M

P P ap f B

v abl

22 2 2

4

32 F Mp f B


Includendo tutti i termini costanti, compresa la resistività e la massa volumica, in un unico fattore KF si esprime la perdita di potenza totale per unità di massa del nucleo come:

Esprimendo in [mm], f in [Hz] e B in [T], risulta:

KF 0.002 per le lamiere normali

KF 0.0007 per le lamiere al silicio

Tale coefficiente deve essere determinato sperimentalmente per ogni tipo di lamiera.

La cifra di perdita è il valore delle perdita totale di potenza per unità di massa per f=50Hz, B= 1T

2 2 2 ' F F M

WP k f B

kg


Per ridurre le forti dissipazioni di energia legate ai flussi magnetici variabili si può:

1) Laminare il materiale con superfici di separazione parallele alla direzione del flusso di spessore pari a = 0.30.5 mm reciprocamente isolate. In questo modo si riducono notevolmente le perdite, senza comunque annullarle.

2) Aumentare la resistività utilizzando acciai speciali al silicio (3 5% di silicio) , che comporta anche una riduzione dell’area del ciclo di isteresi. La percentuale di silicio non si può aumentare oltre questi valori, perché il silicio rende il materiale più fragile.

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