MÔ HÌNH 4 : DÙNG TỈ LỆ VÉC TƠ ĐỂ TÌM ĐIỂMqstudy.vn/upload/source/Tilevecto.pdfVậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là AD x y:3 5 0 Bình luận :

Qstudy.vn – Cùng các em hướng tới thành công Page 1

MÔ HÌNH 4 : DÙNG TỈ LỆ VÉC TƠ ĐỂ

TÌM ĐIỂM

Khi ta có : .AB k CD

tức là ta đã có 2 phương trình :

; B A B A

D C D C

x x y yk k

x x y y

. Từ 2 phương trình trên nếu ta có 2 ẩn thì sẽ tìm được :

Ví dụ 1 : Cho điểm : A(1,2) , B(2,3) , C(x,y) và AB = 2.AC

Bài toán này có 2 ẩn là x,y

2 1 3 2 3 5AB = 2.AC 2 2 ;

1 2 2 2B A B A

C A C A

x x y yx y

x x y y x y

Ví dụ 2 : Cho điểm : A(1,2) , B thuộc đường thẳng : 2x + y - 7 = 0 ,C 5x - 3y = 0 .và AB = 2.AC

Giải ta tham số hóa điểm B(a,7-2a);C(3b,5b)

Bài toán này có 2 ẩn là a,b .

1 7 2 2 1AB = 2.AC 2 2 2;

3 1 5 2 2B A B A

C A C A

x x y y a aa b

x x y y b b

Kết luận, khi có được tỉ lệ véc tơ, ta sẽ tìm được 2 phương trình, nếu bài toán chỉ có 2 ẩn

thì coi như đã dược giải

THẦY MẪN NGỌC QUANG – CHUYÊN LUYỆN THI THPT QG TOÁN

CHUYÊN ĐỀ SƯU TẬP TỪ CUỐN SÁCH OXY SẮP PHÁT HÀNH


BÀI MẪU:

Câu 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có điểm 2;1A , điểm

6;7C , 3;2M là điểm thuộc miền trong hình bình hành. Viết phương trình cạnh AD

biết khoảng cách từ M đến CD bằng 5 lần khoảng cách từ M đến AB và đỉnh D thuộc

đường thẳng : 11 0x y .

(Trích đề thi thử lần 2, THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng, năm 2015)

Hướng dẫn giải:

Phân tích tìm hướng giải quyết :

Đầu bài cho điểm A , M , Biết tỉ lệ MA/MF = 1/5

Theo mô hình tìm điểm bên trên ta sẽ tìm được điểm F . Biết F , C ta sẽ tìm được phương trình

CD (qua F và C) . Từ đó có điểm D , áp dụng AD = BC ta sẽ tìm được điểm B .

Lời giải chi tiết :

* Kéo dài AM cắt CD tại N, gọi E, H lần lượt là hình chiếu của M lên AB, CD.

Theo giả thiết 5HM ME

* Do ABCD là hình bình hành nên / / 5 5 MF HM

AB CD MN MAMA EM

* Lại có M nằm giữa A và N và 5 5 8;7MN MA MN MA N

* Đường thẳng CD đi qua hai điểm 6;7C và 8;7N nên : 7 0CD y


Đỉnh D là giao điểm của CD và : 11 0x y nên tọa độ D là nghiệm của hệ:

7 0

4;711 0

yD

x y

AD đi qua A, D nên : 3 5 0AD x y (kiểm tra thấy điểm M thuộc miền trong hình

bình hành).

Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là : 3 5 0AD x y

Bình luận : Các bài toán có hình bình hành , hình thoi , hình thang , hình chữ nhât ,hình vuông

, ta hay áp dụng định lý Talet và mô hình tìm điểm dựa vào tỉ lệ vecto . Thường chúng ta kéo dài

đường thẳng để cho việc áp dụng dễ dàng hơn .

Câu 2 : Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có 2AC AB , điểm 9

1;2

M

là trung

điểm của BC, D là điểm thuộc cạnh BC sao cho BAD CAM . Gọi E là trung điểm của

AC, đường thẳng DE có phương trình: 2 11 44 0x y , điểm B thuộc đường thẳng

: 6 0d x y . Tìm tọa độ 3 điểm A, B, C biết hoành độ điểm A là một số nguyên.

(Đề Thi Thử THPT Chuyên Biên Hòa 2016)

Đáp án:

Bước 1 : Phân tích và định hướng tính chất.

Tam giác ABC có AB = 2AB , BAD = DAM . Cho như vậy chúng ta thấy được điều gì .

Bài toán này tính chất rất khó phát hiện ,nó là quan hệ độ dài , nên có thể nói không giải

theo tính chất thông thường .

Theo như mô hình tìm điểm theo tỉ lệ vecto nếu có 2 ẩn thì ta sẽ giải quyết được . Trong

bài toán này , nếu tìm được tỉ lệ BD/DM bằng bao nhiêu ta sẽ tìm được điểm B và D vì

mỗi điểm chỉ có 1 ẩn . Cái khó là ở chỗ tỉ lệ .


Ta sẽ chứng minh được : BI = IG = GE .

Từ đó sẽ tìm được 2 5 BM BD ,đây có thể nói là chìa khóa của bài toán vì , qua đây tìm

được cả B và D . Từ đó tìm luôn ra C .

Dựa vào AB = AE ta sẽ tìm được điểm A .

Bước 2 : Lời giải chi tiết .

Gọi I là giao điểm của BE và AD, G là giao điểm của AM và BE.

. .ABI AEG g c g BI GE . Mà 2BG GE (do G là trọng tâm của ABC )

BI IG GE

Kẻ / /EH BC H AD . Chứng minh được 2 , 2 5CD HE HE BD CB BD

9

2 5 , ;6 , 22 11 ;2 , 1;2

BM BD B b b D d d M

11 189 ;55 3 1085 55

10 3 273 3;3

Dd b d

d bb B

91;

2M

là trung điểm của 1;6BC C

Gọi 22 11 ;2E a a , E là trung điểm của 45 22 ;4 6 AC A a a


2

2

2 75 278 256 0 1;2128

75

a tm

AC AB a a Aa l

Vậy 1;2 , 3;3 , 1;6A B C

Bình luận :

Khi bài toán cho góc ta hay nghĩ đến việc tìm các tam giác bằng nhau sử dụng góc đó ,

thường là như vậy ,vì qua góc ta sẽ tỉ lệ độ dài.

Khi có các đoạn tỉ lệ ta sẽ thường vẽ các đường song song để khai thác tỉ lệ đó . Trong bài

toán có BI = IG = GE . Ta kẻ EH//BC .

Câu 3:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A(5;-7), điểm C

thuộc đường thẳng có phương trình x – y + 4 = 0. Đường thẳng đi qua D và trung điểm

của đoạn thẳng AB có phương trình 3x – 4y – 23 =0. Tìm tọa độ điểm B và C, biết B có

hoành độ dương.

(Đề thi thử THPT Hà Huy Tập 2016 Lần 2)

Phân tích và tìm hướng giải :

Bài toán này dễ hơn bài trên vì hình vẽ đơn giản và tỉ lệ vec tơ cũng rõ ràng hơn

Ta tính được tỉ lệ AI/IC . Mà điểm A có rồi , điểm I,C đều chứa một ẩn . Vậy ta sẽ tìm điểm I, C

được theo mô hình trên hình vẽ đầu chương


Tìm điểm B và D ta cũng làm ra nhanh vì điểm M có 1 ẩn , biểu diễn B qua M nên B có 1 ẩn ,kết

hợp với D có 1 ẩn .Áp dụng quy tắc trung điểm ta sẽ có 2 phương trình của ẩn B và D .

Giải chi tiết :

Ta có: 4 0 ; 4C x y C c c , M là trung điểm AB và I là giao điểm AC và DM

Theo định lý Thales thuận ta có:

1 10 102 ;

3 3 3

CD IC ID c cAI AC I

AM IA IM

Mặt khác I thuộc DM nên ta có 10 10

3 4 23 0 1 1;53 3

c cc C

Ta có M thuộc 3 23 3 9

; 2 5;4 2

m mMD M m B m

3 52 10;

2

3 192 6;

2

mAB m

mCB m

3 5 3 19

. 0 2 10 2 6 02 2

m mABCB m m

Suy ra 1m hay 29

5m

Do đó 3; 3B hay 33 21

;5 5

B

. Do B có hoành độ dương nên ta nhận 33 21

;5 5

B

.

Tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là 33 21

; , 1;55 5

B C

Bình luận : Bài toán có sẵn tỉ lệ , ta sẽ định hướng về giải theo tỉ lệ vecto

Bài toán có trung điểm ta sẽ tham số hóa 1 điểm và biểu diễn điểm còn lại qua điểm đã tham số

hóa .


BÀI LUYỆN TẬP :

Câu 4: Trong mặt phẳng (Oxy), cho hình chữ nhật ABCD có 2AB AD , đỉnh 0;5A .

Đường thẳng qua đỉnh B và vuông góc với AC có phương trình 3 1 0x y và đỉnh

D nằm trên đường thẳng d có phương trình 2 7 0x y . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại

của hình chữ nhật ABCD.

(Đề thi thử THPT Trần Cao Vân Khánh Hòa 2016 Lần 1)

Bài 5:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân có

phương trình đường thẳng và đường thẳng . Gọi I là giao

điểm của hai đường chéo AC và BD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang cân ABCD,

biết , hoành độ điểm I: và nằm trên đường thẳng BD.

(Đề thi thử THPT Tôn Đức Thắng 2016 Lần 2)

Câu 6:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm M nằm trên cạnh

BC sao cho 2MC MB , trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho 2NC ND . Biết điểm

1; 3D , điểm A nằm trên đường thẳng : 3 9 0d x y và phương trình đường thẳng

MN là 4 3 3 0x y . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD.

(Trích đề thi thử số 10, Website: toanmath.com, năm 2015)

Câu 7: (Thpt Chuyên Lê Quý Đôn – Hải Phòng - 2015)Trong hệ toạ độ oxy, cho hình

bình hành ABCD có điểm A(2; 1), điểm C(6; 7) và M(3; 2) là điểm thuộc miền trong hình

bình hành. Viết phương trình cạnh AD biết khoảng cách từ M đến CD bằng 5 lần

khoảng cách từ M đến AB và đỉnh D thuộc đường thẳng : 11 0x y .Đáp số :3x – y

– 5 = 0.

Câu 8 :Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có 4;5D . Điểm

M là trung điểm của đoạn AD, đường thẳng CM có phương trình 8 10 0x y . Điểm B

nằm trên đường thẳng 2 1 0x y . Tìm tọa độ các đỉnh A, B và C, biết rằng C có tung

độ nhỏ hơn 2.

/ /ABCD AD BC

: 2 3 0AB x y : 2 0AC y

2IB IA 3Ix 1;3M


(Đề thi thử THPT Phan Bội Châu Khánh Hòa 2016 Lần 1)

Đáp án:Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của B, D lên CM.

Câu 9:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và B có

. Gọi M là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật BADM, P là giao điểm của AN với

BD và N là điểm trên cạnh BM sao cho . Biết và

. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD.

(Đề thi thử THPT Nguyễn Khuyến TP Hồ Chí Minh 2016 Lần 3)

Câu 10:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có 2;0A , C nằm trên

đường thẳng có phương trình 3 0x y , đường thẳng MN, với M là trung điểm cạnh

BC, N là điểm nằm trên cạnh AD sao cho 2 DAN N , có phương trình 7 5 6 0x y .

Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D.(Trích đề thi thử số 3, Website: mathvn.com, năm 2015)

Câu 11:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;2). Gọi

M là trung điểm của AB, đường thẳng DM có phương trình 5x + 3y – 7 = 0, điểm C

thuộc đường thẳng d có phương trình 2x – y – 7 = 0. Xác định tọa độ các điểm A,B,C,D

biết điểm D có hoành độ dương.

(Đề thi thử THPT Thăng Long Hà Nội 2016 Lần 1)

Câu 12: (Thpt – Trần Thị Tâm – Quảng Trị)Trong mặt phẳng oxy cho tam giác ABC có

phương trình cạnh BC là x-2y+3=0, trọng tâm G(4;1) và diện tích bằng 15. Điểm E(3;-2)

là điểm thuộc đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A. Tìm tọa độ các điểm A, B, C.

Đáp số :B(6; 9

2); C(2;

5

2) hoặc B(2;

5

2); C(6;

9

2).

Câu 13:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tọa độ

điểm D(5; 4). Đường trung trực của đoạn CD có phương trình 1 : 2 3 9 0d x y và

đường phân giác trong góc BAC của tam giác ABC có phương trình 2 : 5 10 0d x y .

Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành ABCD.

2 3BC AD

4BM MN 11 1

1; 2 , ;7 7

N P

5sin

89MAD


(Đề thi thử THPT Thanh Hoa Bình Phước 2016 Lần 1)

Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD. Điểm 3;0M là

trung điểm của cạnh AB, điểm 0; 1H là hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm

4;3

3G

là trọng tâm tam giác BCD. Tìm tọa độ các điểm B và D.

Câu 15:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình hành ABCD. Gọi 3; 1M là điểm nằm

trên đoạn AC sao cho 4AC AM , gọi 1;2N là điểm trên đoạn AB sao cho 3AB BN ,

gọi 2;0P là điểm trên đoạn BD sao cho 4BD DP . Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình

hành ABCD.

Câu 16:Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 15.Đường

thẳng AB có phương trình 2 0x y . Trọng tâm của tam giác BCD có tọa độ 16 13

;3 3

G

.

Tìm tọa độ A, B, C, D biết B có tung độ lớn hơn 3.

(Đề thi thử THPT Đông Du Daklak 2016 Lần 1)

Câu 17:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) có tâm

1;2I và có trực tâm H thuộc đường thẳng : 4 5 0d x y . Biết đường thẳng AB có

phương trình 2x 14 0y và khoảng cách từ C đến AB bằng 3 5 . Tìm tọa độ điểm C,

biết hoành độ điểm C nhỏ hơn 2.

Câu 18:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có ACD với

1cos

5 , điểm H thỏa mãn điều kiện HB HC

, K là giao điểm của hai đường thẳng

AH và BD. Cho 1 4

; , 1;03 3

H K

và điểm B có hoành độ dương. Tìm tọa độ các điểm

A, B.(Trích đề thi thử lần 1, THPT Chuyên Đại Học Vinh, năm 2015)


LỜI GIẢI

Câu 4: Trong mặt phẳng (Oxy), cho hình chữ nhật ABCD có 2AB AD , đỉnh 0;5A .

Đường thẳng qua đỉnh B và vuông góc với AC có phương trình 3 1 0x y và đỉnh

D nằm trên đường thẳng d có phương trình 2 7 0x y . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại

của hình chữ nhật ABCD.

(Đề thi thử THPT Trần Cao Vân Khánh Hòa 2016 Lần 1)

Đáp án:

: 3x y 5 0AC ptAC

H AC nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình

83 5 8 15

;3 1 1 5 5

5

xx y

Hx y

y

Trong AHB vuông tại B có, 2 2

2

222

4.

5

4

AH AB ABAB AH AC

ABAC ACAB

5

2; 14

AC AH C

Gọi I là trung điểm của AC 1;2I


(C) là đường tròn ngoại tiếp ABCD 2 2

: 1 2 10C x y

B C nên tọa độ B là nghiệm hệ phương trình

2 2

43 1 0 4 5

1 31 2 10

5

xx y x

yx yy

. 4 3

4;1 ;5 5

B B

nên tọa độ B là nghiệm hệ phương trình

2 2

8x2x y 7 0 x 2 5

y 3 19x 1 y 2 10y

5

8 19

D 2;3 ,D ;5 5

Vì I là trung điểm AD nên và

Câu 5:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân có

phương trình đường thẳng và đường thẳng . Gọi I là giao

điểm của hai đường chéo AC và BD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang cân ABCD,

biết , hoành độ điểm I: và nằm trên đường thẳng BD.

(Đề thi thử THPT Tôn Đức Thắng 2016 Lần 2)

Đáp án:

D C d

4;1B 2;3D

/ /ABCD AD BC

: 2 3 0AB x y : 2 0AC y

2IB IA 3Ix 1;3M


Ta có A là giao điểm của AB và AC nên

Lấy điểm . Gọi sao cho

Khi đó

Với thì là vtcp của đường thẳng BD. Nên chọn vtpt của BD là

Pt

Ta có

Với thì là vtcp của đường thẳng BD. Nên chọn vtpt của BD là

Do đó (loại)

Câu 6 : Trong mặt phẳn gtọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm M nằm trên

cạnh BC sao cho 2MC MB , trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho 2NC ND . Biết

điểm 1; 3D , điểm A nằm trên đường thẳng : 3 9 0d x y và phương trình đường

thẳng MN là 4 3 3 0x y . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD.

(Trích đề thi thử số 10, Website: toanmath.com, năm 2015)


1;2A

0;2E AC 2 3;F a a AB / /EF BD

2 2EF AE EF BI

EF AEBI AI AE AI

2 2

1

2 3 2 2 11

5

a

a aa

1a 1; 1EF

1; 1n

: 4 0 2;2BD x y BD AC I 5; 1BD AB B

3 32 2; 2

2 2

IB IBIB ID ID ID D

ID IA

13 2 2;2

2

IA IAIA IC IC IC C

IC IB

11

5a

7 1;

5 5EF

1; 7n

: 7 22 0 8;2BD x y I


* Gọi E là giao điểm của AD và MN. Khi đó ED là đường trung bình của tam giác MCN.

Suy ra 3 *2 3 3

MC BC ADED ED AD

* Ta có 4

;3 9 , ; 13

eA d A a a E MN E e

. Từ

3 2 2*

3 4 6 0

a e a

a e e

2;3 3; 6 3 1; 2 : 2 7 0A AD CD x y

* Khi đó tọa độ điểm N là nghiệm của hệ: 4 3 3 0 3

3; 52 7 0 5

x y xN

x y y

* Do D là trung điểm của CN nên ta có 5; 1C mà 2;5BC AD B

Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là 2;3 , 2;5 , 5; 1A B C

Câu 7: (Thpt Chuyên Lê Quý Đôn – Hải Phòng - 2015)Trong hệ toạ độ oxy, cho hình

bình hành ABCD có điểm A(2; 1), điểm C(6; 7) và M(3; 2) là điểm thuộc miền trong hình

bình hành. Viết phương trình cạnh AD biết khoảng cách từ M đến CD bằng 5 lần

khoảng cách từ M đến AB và đỉnh D thuộc đường thẳng : 11 0x y .

d:3x-y+9=0A B

CDN

M


Kéo dài AM cắt CD tại N. Gọi E, H lần lượt là hình chiếu của M lên AB, CD

Theo giả thiết HM = 5ME

Do ABCD là hình bình hành nên / / 5 5MN HM

AB CD MN MAMA EM

Lại có M nằm giữa A và N, MN = 5MA

3 5 2 3 85 8;7

72 5 1 2

N N

NN

x xMN MA N

yy

Đường thẳng CD đi qua hai điểm C(6; 7), N(8; 7)

nên CD có vtcp là 2;0CDu CN CD

có vtpt là 0;2CDn

Phương trình của CD có dạng CD: y – 7 = 0

Đỉnh D là giao điểm của CD và : 11 0x y nên tọa độ điểm D là nghiệm hệ

phương trình:

7 0 4

4;711 0 7

y xD

x y y

AD đi qua hai điểm A, D nên AD có vtcp là 2;6u AD

=> AD có vtpt là 3; 1n

phương trình cạnh AD có dạng 3x – y – 5 = 0.

Kiểm tra thấy thỏa mãn điểm M thuộc miền trong hình bình hành ABCD.


Vậy phương trình cạnh AD là 3x – y – 5 = 0.

Câu 8 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có 4;5D . Điểm

M là trung điểm của đoạn AD, đường thẳng CM có phương trình 8 10 0x y . Điểm B

nằm trên đường thẳng 2 1 0x y . Tìm tọa độ các đỉnh A, B và C, biết rằng C có tung

độ nhỏ hơn 2.

(Đề thi thử THPT Phan Bội Châu Khánh Hòa 2016 Lần 1)

Đáp án: Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của B, D lên CM.

26

,65

DK d D CM

Gọi ; I BD AC G BD CM . Suy ra, G là trọng tâm ACD

Ta có: 52

2 2 265

BH BGDG GI BG DG BH

DK DG

217 18 52

; 2 1 ; , 7065 65

17

bb

B b b d B CM BHb l

(loại vì điểm B, D nằm cùng phía với CM)

Ta có: 2; 5 3;0B I


2

1

8 10; ; . 0 65 208 143 0 11

5

c

C c c CDCB c cc l

Suy ra: 2;1 , 8; 1C A

Vậy 8; 1 , 2; 5 , 2;1A B C

Câu 9 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và B có

. Gọi M là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật BADM, P là giao điểm của AN với

BD và N là điểm trên cạnh BM sao cho . Biết và

. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD.

(Đề thi thử THPT Nguyễn Khuyến TP Hồ Chí Minh 2016 Lần 3)

Hướng dẫn giải

2 3BC AD

4BM MN 11 1

1; 2 , ;7 7

N P

5sin

89MAD

1

5: 5 6 7 0

6AN x y k

2: 1 2BN y k x


Theo giả thiết có: và tam giác MAD vuông tại D nên ta

suy ra . Xét tam giác vuông ANB, theo công thức góc của 2 đường thẳng ta có

Xét từng trường hợp, tìm B, C, D

Câu 10 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có 2;0A , C nằm trên

đường thẳng có phương trình 3 0x y , đường thẳng MN, với M là trung điểm cạnh

BC, N là điểm nằm trên cạnh AD sao cho 2 DAN N , có phương trình 7 5 6 0x y .

Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D.

(Trích đề thi thử số 3, Website: mathvn.com, năm 2015)


* Gọi I là giao điểm giữa AC và MN

Do AIN CIM nên ta có:

24 433 3

2

ADAI AN

AI CIADCI CM

* Do C thuộc đường thẳng 3 0x y nên ;3C c c 6 4 12 4

;7 7

c cI

Mặt khác: I thuộc 7 5 6 0x y nên c = 3

3;0C

5 5sin tan

889MAD MAD

5

6

AB

BN

21 2

1 2 2

0

tan 601

11

kk k

ANBk k k

5;3 , 7; 2 , 5; 2 , 3;3A B C D


* Gọi J là trung điểm AC suy ra 1

;02

J

Phương trình đường tròn đường kính AC là: 2

21 25

2 4x y

Phương trình đường thẳng BD (trung trực của đoạn AC) là 2 1 0x

* Tọa độ B, D là nghiệm của hệ phương trình:

2

2

1 51 25 ;

2 22 4

1 5;2 1 0

2 2

x yx y

x yx

Kết hợp với điều kiện M là trung điểm BC nên ta nhận: 1 5 1 5

; , ;2 2 2 2

B D

Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là 1 5 1 5

; ,C 3;0 , ;2 2 2 2

B D

Câu 11:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;2). Gọi

M là trung điểm của AB, đường thẳng DM có phương trình 5x + 3y – 7 = 0, điểm C

thuộc đường thẳng d có phương trình 2x – y – 7 = 0. Xác định tọa độ các điểm A,B,C,D

biết điểm D có hoành độ dương.

(Đề thi thử THPT Thăng Long Hà Nội 2016 Lần 1)

x+y-3=0

7x-5y-6=0I

J

A(-2;0)

CD

N

B

M



Gọi là giao điểm của CI và DM.

Ta có G là trọng tâm của tam giác ADB.

Suy ra

I là trung điểm

Vì C thuộc đường thẳng nên

Suy ra

Gọi tọa độ điểm thuộc đường thẳng DM.

(loại) hoặc (thỏa mãn).

Suy ra

I là trung điểm BD nên

Vậy

7 5;

3

aG a

3 3 3;1 5 3 2;3 5IA IG a a A a a

4 3 ;1 5AC C a a

2 7 0x y 2 4 3 1 5 7 0 0a a a

22;3 , 4;1 , 10A C IA

7 5; , 0

3

dD d d

2

2 21 51 10 34 28 80 0

3

dID IA d d d

20

17d 2d

2; 1D

0;5B

2;3 , 0;5 , 4;1 , 2; 1A B C D


Câu 12: (Thpt – Trần Thị Tâm – Quảng Trị)Trong mặt phẳng oxy cho tam giác ABC có

phương trình cạnh BC là x-2y+3=0, trọng tâm G(4;1) và diện tích bằng 15. Điểm E(3;-2)

là điểm thuộc đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A. Tìm tọa độ các điểm A, B, C.


Phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A: 2x+y-4=0.

Gọi A(a;4-2a), trung điểm đoạn BC là M(2m-3;m)

Ta có (4 ;2 3); (2 7; 1)AG a a GM m m

Mà 2AG GM

44 1872 2 12

aa m

a m m

Vậy A(4;-4), M(4; 7

2)

Gọi 2 2(2 3; ) (11 2 ;7 ) (14 4 ) (7 2 )B b b C b b BC b b

( ; ) 3 5d A BC 2 2 21.3 5. (14 4 ) (7 2 ) 15 20 140 255 0

2ABCS b b b b

- Với b=9

2 ta có B(6;

9

2); C(2;

5

2)

- Với b=5

2 ta có B(2;

5

2); C(6;

9

2)


Câu 13:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tọa độ

điểm D(5; 4). Đường trung trực của đoạn CD có phương trình 1 : 2 3 9 0d x y và

đường phân giác trong góc BAC của tam giác ABC có phương trình 2 : 5 10 0d x y .

Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành ABCD.

(Đề thi thử THPT Thanh Hoa Bình Phước 2016 Lần 1)


Gọi M là trung điểm của CD. Do M thuộc d1 nên 2 9

;3

mm

Mặt khác: DM vuông góc với d1 nên ta có: 1. 0 3dDM u m

Vậy 3;1 1; 2M C

Ta lại có A thuộc d2 nên ; 5 10A a a

Mà ABCD là hbh nên 4

4; 5 165 10 6

B

B

x aAB DC B a a

y a

Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua d2, ta có: ' 4; 3C AB

Ta có: A, B, C’ thẳng hàng 4 5 7

' ' ' 25 13

a aC A kC B a

a a

Vậy 2;0A và 6; 6B


Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD. Điểm 3;0M là

trung điểm của cạnh AB, điểm 0; 1H là hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm

4;3

3G

là trọng tâm tam giác BCD. Tìm tọa độ các điểm B và D.


Gọi E, F lần lượt là giao điểm của HM và HG với BC.

HM ME

và 2HG GF

Do đó 6;1E và 2;5F

Đường thẳng BC đi qua E và nhận EF

làm vecto chỉ phương, nên : 2 8 0BC x y

Đường thẳng BH đi qua H và nhận EF

làm vecto chỉ phương, nên : 2 1 0BH x y

Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ phương trình 2 8 0

2 1 0

x y

x y

2;3B

Do M là trung điểm của AB nên 4; 3A

Gọi I là giao điểm của AC và BD, suy ra 4GA GI

. Do đó 3

0;2

I

Do I là trung điểm của đoạn BD nên 2;0D

M G

I

E C

DA

FB

H


Câu 15:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình hành ABCD. Gọi 3; 1M là điểm nằm

trên đoạn AC sao cho 4AC AM , gọi 1;2N là điểm trên đoạn AB sao cho 3AB BN ,

gọi 2;0P là điểm trên đoạn BD sao cho 4BD DP . Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình

hành ABCD.


Gọi I là giao điểm của PM và AB, J là giao điểm của MN và AD, T là điểm nằm trên

cạnh AC sao cho 3AC TC .

Ta có:

1 1 7 3; 2 ;

4 2 2 2

MI MPPM MI I

BC AD

Đường thẳng qua I và N là

: 7 5 17 0AB x y

Vì

2 153 4

1 34

AC ACNT NM MT AT AM

JA MJ AM AM AC

Do đó: 5 5 18

5;3 3 5

IN MT NTIN IA A

IA MA JA

. Vậy

3 244;

2 5AB AN B

Mặt khác: 34

4 3;5

AC AM C

. Vì ABCD là hình bình hành nên

86;

5BA CD D

Câu 16:Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 15.Đường

thẳng AB có phương trình 2 0x y . Trọng tâm của tam giác BCD có tọa độ 16 13

;3 3

G

.

Tìm tọa độ A, B, C, D biết B có tung độ lớn hơn 3.

M

E

A B

CD

J

N

T

I

P


(Đề thi thử THPT Đông Du Daklak 2016 Lần 1)


10

, 5 3 53 5

d G AB BC AB

Đường thẳng d qua G và vuông góc với AB là : 2 15 0x y

Gọi 1

6;3 53

N d AB N NB AB

2 22 ; 5 8;4

4

bB b b AB NB B

b

3 2;1BA BN A

3

7;62

AC AG C

1;3CD BA D

Câu 17:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) có tâm

1;2I và có trực tâm H thuộc đường thẳng : 4 5 0d x y . Biết đường thẳng AB có

phương trình 2x 14 0y và khoảng cách từ C đến AB bằng 3 5 . Tìm tọa độ điểm C,

biết hoành độ điểm C nhỏ hơn 2.


(Trích đề thi thử THPT Chuyên Lê Khiết, Quãng Ngãi, năm 2015)


* Do H thuộc d nên 4 5;H t t . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Ta có: 4 7 4

3 ;3 3

t tIH IG G

* Mặt khác, ta có: 1

3 8; 3 ;AB 3 5 3. 13

53

tt

d C AB Gt

* Gọi M là trung điểm AB, suy ra tọa độ M là hình chiếu của I trên AB nên 5;4M

* Với t = 1 ta có 11 5

;5 3

G

. Từ 3 1; 3MC MG C

Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là 1; 3C

Câu 18:Trongmặtphẳngtọa độOxy, chohìnhchữnhậtABCDcó ACD với1

cos5

,

điểmHthỏamãn điềukiệnHB HC

, Klà giao điểmcủahai đườngthẳngAHvà BD. Cho

1 4

; , 1;03 3

H K

và điểm B có hoành độ dương. Tìm tọa độ các điểm A, B.

(Trích đề thi thử lần 1, THPT Chuyên Đại Học Vinh, năm 2015)

GH

I

C

ABM



* Do tam giác KAD đồng dạng tam giác KHB suy ra 3 3

2 2

KA AB BC KHKA

KH HB BH

Do K thuộc đoạn AC suy ra 3

2;22

KA KH A

* Đặt ;B a b với a > 0. Ta có:

2 1

cos cos cos ABD .5 5 52

AB AB ABACD

BD KBKB

2 2 22 2 24 5 4 2 2 5 1AB KB a b a b

* Suy ra 2 2 6 16 27 0 1a b a b

* Đường tròn (C) đường kính AH có tâm 7 1 5 5

; ,6 3 2 6

ABI R

* Nên có phương trình là 2 2

7 1 125:

6 3 36C x y

* Do góc ABC bằng 90 độ nên B thuộc đường tròn (C) suy ra:

2 2

7 1 125: 2

6 3 36C a b

KD

A

B

C

H


* Giải (1) và (2) ta được:

1

5

8

5

a

b

hay 3

0

a

b

(do a >0 ) nên 3;0B

Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là 2;2 , 3;0A B

Documents

MÔ HÌNH 4 : DÙNG TỈ LỆ VÉC TƠ ĐỂ TÌM ĐIỂMqstudy.vn/upload/source/Tilevecto.pdfVậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là AD x y:3 5 0 Bình luận :