M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia€¦ · M etodos Num ericos Aplicados a Problemas de Engenharia Anderson Gabriel Santiago [email protected] Hospital das Cl

Metodos Numericos Aplicados a Problemas deEngenharia

Anderson Gabriel [email protected]

Hospital das Clınicas - Instituto do Coracao

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Objetivos

Objetivos

Introducao ao tema;

Caracterısticas de cada metodo (DF, MEF, MEC);

Metodo dos Elementos de Contorno;

Formulacao; Aplicacao;

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Objetivos

Objetivos

Introducao ao tema;




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Objetivos

Objetivos

Introducao ao tema;




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Objetivos

Objetivos

Introducao ao tema;




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Objetivos

Objetivos

Introducao ao tema;




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Introducao

Para que servem?

Solucao de Equacoes Diferenciais Parciais (EDP) e Ordinarias(EDO):

Lf (~x) = b (~x) L· operador diferencial; f (~x) e a funcao incognita; b (~x) e a fonte de campo presente no domınio;

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Introducao

Para que servem?



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Introducao

Para que servem?



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Introducao

Para que servem?



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Introducao

Para que servem?

Analise de problemas complexos: grande quantidade devariaveis e domınios irregulares;

Em geral, transformam uma equacao diferencial ouintegro-diferencial em um sistema de equacoes lineares([A] ~y = ~p);

Formulacao diferencial: Forma forte;

Formulacao integral: Forma fraca;

Utiliza funcoes de teste para relaxamento da ordem da ED.

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Introducao

Para que servem?






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Introducao

Para que servem?






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Introducao

Para que servem?






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Introducao

Para que servem?






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Introducao

Onde sao aplicados?

Eletromagnetismo:

Projeto de antenas, maquinas eletricas, problemas deaterramento, etc...

Mecanica das Estruturas:

Projetos de estruturas, estudo de casos estaticos e dinamicos,aeronautica, etc...

Bioengenharia:

Projeto de proteses, simulacao de tecidos vivos, etc...

Mecanica dos Fluıdos:

Transporte de massa e calor, problemas de conveccao, etc...

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Introducao

Onde sao aplicados?

Eletromagnetismo:




Bioengenharia:




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Introducao

Onde sao aplicados?

Eletromagnetismo:




Bioengenharia:




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Introducao

Onde sao aplicados?

Eletromagnetismo:




Bioengenharia:




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Introducao

Onde sao aplicados?

Eletromagnetismo:




Bioengenharia:




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Exemplo

(a) Modelo fısico. (b) Resultado para o campode deslocamentos na direcao“y”.

Figure: Modelagem de um humero por elementos de contorno 3D.

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Exemplo

Figure: Remodelagem ossea utilizando elementos finitos.

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Exemplo

(a) Esfera com malha coesa. (b) Esfera com malha densa.

Figure: Distribuicao da densidade de corrente eletrica para umaesfera iluminada por uma onda plana.

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Exemplo

Figure: Modelo de propagacao “indoor” usando DF e Ray Tracing.

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Caracterısticas de cada metodo

Diferencas Finitas

Pros:

Metodo geral; Matrizes esparsas; Rapido desenvolvimento para novas formulacoes.

Contras:

Requer malhas estruturadas; Difıcil de tratar problemas em meios infinitos; Difıcil de tratar condicoes de contorno.

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Diferencas Finitas

Pros:


Contras:


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Diferencas Finitas

Pros:


Contras:


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Diferencas Finitas

Pros:


Contras:


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Diferencas Finitas

Pros:


Contras:


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Diferencas Finitas

Pros:


Contras:


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Elementos Finitos

Pros:

Metodo geral; Matrizes esparsas; Integracao de funcoes simples; Malhas podem conter varios tipos de elementos.

Contras:

Requer malhas de volume; Difıcil de tratar problemas em meios infinitos; Difıcil de tratar condicoes de contorno; Gradiente de resposta depende do refinamento da malha.

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Elementos Finitos

Pros:


Contras:


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Elementos Finitos

Pros:


Contras:


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Elementos Finitos

Pros:


Contras:


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Elementos Finitos

Pros:


Contras:


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Elementos Finitos

Pros:


Contras:


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Elementos Finitos

Pros:


Contras:


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Elementos Finitos

Pros:


Contras:


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Elementos de Contorno

Pros:

Modela contornos e condicoes de contorno de forma natural; Requer malhas de superfıcie apenas; Modela facilmente problemas em meios infinitos; Malhas podem conter varios tipos de elementos.

Contras:

Requer integracoes de nucleos singulares; Matrizes densas e algumas vezes nao simetricas; Requer o uso de funcoes de Green (solucao fundamental).

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Pros:


Contras:


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Pros:


Contras:


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Pros:


Contras:


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Pros:


Contras:


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Pros:


Contras:


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Pros:


Contras:


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Exemplo de malhas para cada metodo:

Figure: Malha para diferencas finitas.

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Figure: Malha para elementos finitos.

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Figure: Malha para elementos de contorno.

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Diferencas finitas:

Utiliza a propria equacao diferencial (forma forte) paradiscretizacao do problema:

dfdx ≈

f (xi )−f (xi−∆x)∆x

Elementos Finitos:

Utiliza a equacao integral (forma fraca) para discretizacao doproblema;

Utiliza funcoes de teste;

Elementos de contorno:


Utiliza funcoes de Green, w (x , ξ): Lw (x , ξ) = δ (x − ξ);

ξ e o ponto onde esta localizada a carga;

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Diferencas finitas:


dfdx ≈


Elementos Finitos:







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Diferencas finitas:


dfdx ≈


Elementos Finitos:







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Diferencas finitas:


dfdx ≈


Elementos Finitos:







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Diferencas finitas:


dfdx ≈


Elementos Finitos:







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Diferencas finitas:


dfdx ≈


Elementos Finitos:







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Diferencas finitas:


dfdx ≈


Elementos Finitos:







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Diferencas finitas:


dfdx ≈


Elementos Finitos:







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Propriedades do Delta de Dirac δ(x, ξ):

δ(~x − ~ξ

)=

0 ~x 6= ~ξ

∞ ~x = ~ξ

´∞−∞ δ (x − a) dx = 1

´δ (x − a) f (x) dx = f (a)

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Definicao do problema escalar potencial:

Campo escalar u;

Equacao diferencial homogenea;

∇2u (~x) = 0

Equacao Integral de Contorno (Boundary Integral Equation -BIE):

´Γu (~x)

[∇w

(~x , ~ξ)· ~n]dΓ + u

(~ξ)

=´Γw(~x , ~ξ)

[∇u (~x) · ~n] dΓ

Ponderacao da equacao de Laplace pela funcao de Green eaplicacao da segunda identidade de Green;

Γ: contorno do domınio Ω;~ξ: ponto fonte;

~x : ponto campo; ~n: versor normal a superfıcie Γ

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Campo escalar u;


∇2u (~x) = 0


´Γu (~x)

[∇w

(~x , ~ξ)· ~n]dΓ + u

(~ξ)

=´Γw(~x , ~ξ)

[∇u (~x) · ~n] dΓ




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Campo escalar u;


∇2u (~x) = 0


´Γu (~x)

[∇w

(~x , ~ξ)· ~n]dΓ + u

(~ξ)

=´Γw(~x , ~ξ)

[∇u (~x) · ~n] dΓ




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Campo escalar u;


∇2u (~x) = 0


´Γu (~x)

[∇w

(~x , ~ξ)· ~n]dΓ + u

(~ξ)

=´Γw(~x , ~ξ)

[∇u (~x) · ~n] dΓ




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Princıpio da superposicao:

Assume a superposicao do efeito de uma quantidade finita defontes distribuıdas sobre a superfıcie do corpo;

O efeito (potencial e fluxo) de cada fonte e calculado em todoo contorno do corpo;

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Sobre a funcao de Green:

Funcao de Green e seu gradiente possuem singularidades(fraca e forte);

Representam o campo potencial e fluxo produzido por umafonte pontual em qualquer ponto dos espaco;

Ex.: Potencial e fluxo eletrico produzido por uma cargapontual.

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Figure: Campo criado por uma carga pontual.

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Exemplo de funcoes de Green:

Potencial 2D:

w(~x , ~ξ)

= − 14πε ln

[r(~x , ~ξ)]

Gradiente do potencial 2D (fluxo):

∇w(~x , ~ξ)

= 1

4πεr(~x,~ξ)

[∂r(~x,~ξ)∂x

~ax +∂r(~x,~ξ)∂y

~ay

] r(~x , ~ξ)

=√

[x (η)− ξ1] ² + [y (η)− ξ2] ²

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Figure: Comportamento singular de w(~x , ~ξ)

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Calculo das integrais:

As integracoes sao realizadas numericamente (ex.:Gauss-Legendre);

Integracao singular e realizada numericamente por metodosespeciais ou analiticamente;

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Calculo das integrais:

As integracoes sao realizadas numericamente (ex.:Gauss-Legendre);

Integracao singular e realizada numericamente por metodosespeciais ou analiticamente;

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Discretizacao da EIC:

Interpolacao das grandezas fısicas e geometricas;

Funcoes de base, funcoes de forma, etc...

Contorno e discretizado (dividido) em elementos;

Grandesas fısicas e geometricas sao aproximadas por funcoesde interpolacao:

ν (~x) =∑

i Ni (~x) νi O conjunto de funcoes e definido por elemento:

Ni [~x (η)] =

Ni [~x (η)] ~x ∈ Γi

0 ~x /∈ Γi

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ν (~x) =∑


Ni [~x (η)] =

Ni [~x (η)] ~x ∈ Γi

0 ~x /∈ Γi

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ν (~x) =∑


Ni [~x (η)] =

Ni [~x (η)] ~x ∈ Γi

0 ~x /∈ Γi

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ν (~x) =∑


Ni [~x (η)] =

Ni [~x (η)] ~x ∈ Γi

0 ~x /∈ Γi

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Exemplos de funcao de forma:

Funcoes para interpolacao de geometria;

Funcoes para interpolacao do fenomeno fısico;

Funcoes contınuas:

Impoe continuidade do fenomeno ou da geometria entre oselementos;

Funcoes descontınuas:

Fenomeno/ geometria nao e contınuo entre elementos;

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Funcoes contınuas:




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Funcoes contınuas:




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Funcoes contınuas:




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Exemplos de funcao de forma (descontınua):

Funcao constante∗:

N (η) = 1

Funcao linear descontınua:

N1 (η) = 12 − η, N2 (η) = 1

2 + η

Funcao quadratica descontınua:

N1 (η) = 98η(η − 2

3

), N2 (η) = 9

4

(49 − η

2),

N3 (η) = 98η(η + 2

3

)

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N (η) = 1


N1 (η) = 12 − η, N2 (η) = 1

2 + η


N1 (η) = 98η(η − 2

3

), N2 (η) = 9

4

(49 − η

2),

N3 (η) = 98η(η + 2

3

)

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N (η) = 1


N1 (η) = 12 − η, N2 (η) = 1

2 + η


N1 (η) = 98η(η − 2

3

), N2 (η) = 9

4

(49 − η

2),

N3 (η) = 98η(η + 2

3

)

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Figure: Funcao de interpolacao descontınua.

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Exemplos de funcao de forma (contınua):

Funcao linear contınua:

N1 (η) = 12 (1− η), N2 (η) = 1

2 (1 + η)

Funcao quadratica contınua:

N1 (η) = 12η (η − 1), N2 (η) = (1− η) (1 + η),

N3 (η) = 12η (η + 1)

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Exemplos de funcao de forma (contınua):

Funcao linear contınua:

N1 (η) = 12 (1− η), N2 (η) = 1

2 (1 + η)

Funcao quadratica contınua:

N1 (η) = 12η (η − 1), N2 (η) = (1− η) (1 + η),

N3 (η) = 12η (η + 1)

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Figure: Funcao de interpolacao contınua.

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Campo potencial:

u (η) ≈∑

j Nj (η) uj i 6= j

´Γ

[∇w

(~x , ~ξ)· ~n]u (η) dΓ ≈∑

j

ˆΓj

[∇w

(~xj , ~ξi

)· ~nj]Nj (η) dΓj (η)︸︷︷︸

Hij

uj

Campo de fluxo normal:

∇u (η) · ~n = q (η) ≈∑

j Nj (η) qj i 6= j

´Γw(~x , ~ξ)q (η) dΓ ≈

∑j

ˆΓj

w(~xj,~ξi

)Nj (η) dΓj (η)︸︷︷︸

Gij

qj

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Campo potencial:

u (η) ≈∑

j Nj (η) uj i 6= j

´Γ

[∇w

(~x , ~ξ)· ~n]u (η) dΓ ≈∑

j

ˆΓj

[∇w

(~xj , ~ξi

)· ~nj]Nj (η) dΓj (η)︸︷︷︸

Hij

uj


∇u (η) · ~n = q (η) ≈∑

j Nj (η) qj i 6= j

´Γw(~x , ~ξ)q (η) dΓ ≈

∑j

ˆΓj

w(~xj,~ξi

)Nj (η) dΓj (η)︸︷︷︸

Gij

qj

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Campo potencial:

u (η) ≈∑

j Nj (η) uj i 6= j

´Γ

[∇w

(~x , ~ξ)· ~n]u (η) dΓ ≈∑

j

ˆΓj

[∇w

(~xj , ~ξi

)· ~nj]Nj (η) dΓj (η)︸︷︷︸

Hij

uj


∇u (η) · ~n = q (η) ≈∑

j Nj (η) qj i 6= j

´Γw(~x , ~ξ)q (η) dΓ ≈

∑j

ˆΓj

w(~xj,~ξi

)Nj (η) dΓj (η)︸︷︷︸

Gij

qj

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Campo potencial:

u (η) ≈∑

j Nj (η) uj i 6= j

´Γ

[∇w

(~x , ~ξ)· ~n]u (η) dΓ ≈∑

j

ˆΓj

[∇w

(~xj , ~ξi

)· ~nj]Nj (η) dΓj (η)︸︷︷︸

Hij

uj


∇u (η) · ~n = q (η) ≈∑

j Nj (η) qj i 6= j

´Γw(~x , ~ξ)q (η) dΓ ≈

∑j

ˆΓj

w(~xj,~ξi

)Nj (η) dΓj (η)︸︷︷︸

Gij

qj

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Campo potencial:

u (η) ≈∑

j Nj (η) uj i 6= j

´Γ

[∇w

(~x , ~ξ)· ~n]u (η) dΓ ≈∑

j

ˆΓj

[∇w

(~xj , ~ξi

)· ~nj]Nj (η) dΓj (η)︸︷︷︸

Hij

uj


∇u (η) · ~n = q (η) ≈∑

j Nj (η) qj i 6= j

´Γw(~x , ~ξ)q (η) dΓ ≈

∑j

ˆΓj

w(~xj,~ξi

)Nj (η) dΓj (η)︸︷︷︸

Gij

qj

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Campo potencial:

i = j Hii = −

∑i 6=j Hij (princıpio de “corpo rıgido”);


i = j Gii = solucao analıtica

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Campo potencial:

i = j Hii = −




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Campo potencial:

i = j Hii = −




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Figure: Contorno discretizado.33 / 44


Discretizacao da EIC: Sistema de Equacoes Lineares


Sistema linear, com (L + 1)× e incognitas; L grau da funcao de forma utilizada; e quantidade de elementos na malha.

Sistema linear bem condicionado (possıvel de ser resvolvido):

Matriz quadrada; Linhas obtidas variando-se a localizacao do ponto fonte sobre a

malha; (L + 1) pontos fontes para cada elemento;

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1 < i , j ≤ (L + 1)× e

Gij =´

Γj

[∇w

(~xj , ~ξi

)· ~nj]Nj (η) dΓj (η)

Hij =´

Γjw(~xj , ~ξi

)Nj (η) dΓj (η)

[G ] u = [H] q

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Condicoes de contorno da EDP:

∇2u (~x) = 0

u (~x) = u, ~x ∈ ΓE

∇u (~x) = q, ~x ∈ ΓN

ΓE ∪ ΓN = Γ ΓE ∩ ΓN = ∅

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Exemplo:

Capacitor de placas paralelas;

Dieletrico perfeito:

Sem perdas.

Dimensoes:

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

Condicoes de contorno:

u (x , y = 0) = 0 [V ], u (x , y = 1) = 100 [V ] q (x = 0, y) = 0

[Vm

], q (x = 1, y) = 0

[Vm

]

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Exemplo:



Sem perdas.

Dimensoes:

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1


u (x , y = 0) = 0 [V ], u (x , y = 1) = 100 [V ] q (x = 0, y) = 0

[Vm

], q (x = 1, y) = 0

[Vm

]

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Exemplo:



Sem perdas.

Dimensoes:

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1


u (x , y = 0) = 0 [V ], u (x , y = 1) = 100 [V ] q (x = 0, y) = 0

[Vm

], q (x = 1, y) = 0

[Vm

]

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Figure: Geometria e condicoes de contorno para uma malha dequatro elementos.

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H11 H12 H13 H14

H21 H22 H23 H24

H31 H32 H33 H34

H41 H42 H43 H44

u1 = 10u2 =?u3 = 0u4 =?

=

G11 G12 G13 G14

G21 G22 G23 G24

G31 G32 G33 G34

G41 G42 G43 G44

q1 =?q2 = 0q3 =?q4 = 0

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−G11 H12 −G13 H14

−G21 H22 −G23 H24

−G31 H32 −G33 H34

−G41 H42 −G43 H44

︸︷︷︸

[A]

q1

u2

q3

u4

︸︷︷︸~y

= −10

H11

H21

H31

H41

︸︷︷︸~p

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(a) Distribuicao de potencialeletrico.

(b) Distribuicao de campo eletriconormal.

Figure: Solucao do problema de capacitor de placas paralelas.

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Para saber mais...

Metodos Numericos em geral:

Numerical Techniques in Electromagnetis, Second Edition;Matthew N. O. Sadiku, 2001, CRC Press.

Diferencas Finitas:

Finite Difference Methods for Ordinary and Partial DifferentialEquations: Steady-State and Time-Dependent Problems;Randall LeVeque, 2007, SIAM.

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Para saber mais...

Elementos Finitos:

The Finite Element Method Using MATLAB, Second Edition;Young W. Kwon & Hyoochong Bang, 2000, CRC Press.

Finite Element Procedures; Karl J. Bathe, 1996, Prentice Hall.

The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic FiniteElement Analysis; Thomas J. R. Hughes, 2000, Dover.

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Para saber mais...

Elementos de Contorno/ Metodo dos Momentos:

Boundary Element Methods for Engineers and Scientists: AnIntroductory Course with Advanced Topics; Lothar Gaul,Martin Kogl & Marcus Wagner, 2003, Springer.

Boundary Element Analysis in Engeneering ContinuumMechanics; James H. Kane, 1994, Prentice Hall.

The Method of Moments in Electromagnetics; Walton C.Gibson, 2008, Chapman & Hall/CRC.

Computational Methods for Electromagnetics; Andrew F.Peterson, Scott L. Ray & Raj Mittra, 1997, IEEE Press.

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