Metodos Numericos y Computacion - Tema # 1

FICH - UNL, CA Vionnet

April 11, 2019

1 Nociones sobre MODELACION MATEMATICA

1.1 ¿Que se entiende por “modelacion matematica”?

1. Es el proceso de traducir o trasladar conceptos, tanto de ida como de vuelta, entre el mundoreal y la fısica-matematica

2. Recordemos el conocido libro “consideremos una vaca esferica”...

3. Por lo general, los estudiantes se quejan de que la combinacion de la matematica universitariay los cursos de ciencia e ingenierıa no los prepara adecuadamente para enfrentar los prob-lemas del mundo real. En otras palabra, el mundo real no se comporta tan bella y mansamentecomo los dibujos o esquemas del pizarron.

4. ¿Podrıamos decir que la culpa es compartida? Es decir, ¿no sera que se combina cierta inca-pacidad docente con cierta indiferencia del estudiante? NO hay mucho “espacio” para mejoraral docente, pero si hay “tiempo” para que Uds. pulan sus habilidades.

5. ¿¿Que gana el estudiante con la modelacion matematica?

• a entender mejor el funcionamiento del mundo real

• a manejar el ciclo de aprendizaje matematico (motivacion, modelizacion conceptual, matem-atizacion, solucion, aprendizaje)

1

• a desempenarse mejor en un mundo profesional multidisciplinario

Ejemplos: no es posible estudiar “experimentalmente” el derrame de petroleo de un naufragio, oel escape de una central nuclear...

(a) Derrame de petroleo en el mar. (b) Chernobyl, Ucrania (USRR).

Figure (1) Casos donde la simulacion numerica es insustituible.

¿Alternativa? → la Modelacion Ambiental.

Supongase que se quiere determinar la concentracion de radiacion en la zona de Chernobyl (Ucrania).Un modelo es asumir que la velocidad de desintegracion del material radiactivo es proporcional a lamasa presente en cada instante

dm

dt= −km , m(0) = m0 , (1)

cuya solucion esm = moe

−kt , (2)

donde el coeficiente k se determina experimentalmente como sigue: sea α el % de la masa inicial delmaterial radiactivo desintegrada durante el tiempo t0, usualmente = 1 ano, con lo cual se tiene(

1− α

100

)m0 = m0e

−kt0 . (3)

Despejando k

k = − 1

t0ln(

1− α

100

). (4)

Para el radio, k = 0.00044/ano, con lo cual su perıodo T de semidesintegracion (cuando m = m0/2)es

T =ln 2

0.00044= 1590 anos (5)

Por el contrario, el isotopo de Cesio (Cs-137) tiene un perıodo de semidesintegracion de 30 anos(liberado en cantidades apreciables durante la explosion).

Esto podrıa ser ası en el mediano y largo plazo a escala local. Sin embargo, los Europeos deloeste estaban preocupados sobre cuanta radiacion podıa caerles en la cabeza despues de la fugaradiactiva. Para eso, el modelo anterior es claramente ineficiente, puesto que entre otras cosas noincorpora el transporte por viento (ver Figura 2).

1. Un modelo siempre es una simplificacion de la realidad (recordemos la “vaca esferica”).

2. ¿En que nos basamos entonces para formular un modelo?

• en leyes de conservacion (masa, momentum, energıa)

• en la experiencia propia y la de otros (que llegaron antes)

2

Figure (2) Cenizas del volcan Puyehue.

• en la intuicion (casi siempre equivocada!)

• en la experimentacion

3. Lo importante es saber que la modelacion es una herramienta aliada, en ocasiones indispens-able, del cientıfico o del ingeniero interesado en reproducir y predecir el comportamiento presentey futuro, respectivamente, de un determinado “sistema ambiental”

4. CONCLUSION: no hay que tenerle miedo a la “modelacion ambiental”

Ciclo de la Modelacion

Entonces, a modo de sıntesis, es posible decir que la modelacion matematica

1. describe fenomenos del mundo real,

2. investiga cuestiones importantes acerca de dichos procesos,

3. intenta explicarlos,

4. verifica ideas o hipotesis adelantadas para describir tales procesos,

5. realiza predicciones acerca de su comportamiento.

Figure (3) Ciclo de la modelacion.

3

El desafıo de la Modelacion Matematica no es producir el modelo descriptivo mas completo sinoproducir el modelo mas sencillo que incorpore los rasgos mas salientes del fenomeno bajo

estudio. Howard Emmons.

2 Importancia de los Metodos Numericos

Los metodos numericos son tecnicas mediante las cuales es posible formular problemas matematicosde tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritmeticas. El analisis numerico trata dedisenar metodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresadosmatematicamente.

El objetivo principal del analisis numerico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas com-plejos utilizando solo las operaciones mas simples de la aritmetica. Se requiere de una secuencia deoperaciones algebraicas y logicas que producen la aproximacion al problema matematico. Los metodosnumericos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matematicos en:

1. Calculo de derivadas.

2. Integrales.

3. Ecuaciones diferenciales.

4. Operaciones con matrices.

5. Interpolaciones.

6. Ajuste de curvas.

7. Polinomios.

Aunque hay muchos tipos de metodos numericos, todos comparten una caracterıstica comun: llevana cabo un buen numero de tediosos calculos aritmeticos. Es por ello que la computacien es unaherramienta que facilita el uso y el desarrollo de tales calculos.

3 GNU Octave

GNU Octave es una herramienta multifuncional orientada al analisis numerico sofisticado. Es unlenguaje de alto nivel estructurado en una interfaz sencilla, orientada a la lınea de comandos (consola),que permite la resolucion de problemas numericos, lineales y no lineales. Permite, ademas, la ejecucionde scripts y puede ser usado como lenguaje orientado al procesamiento por etapas o modulos.

GNU Octave proporciona:

1. Un gran conjunto de funcionalidades integradas para resolver diferentes problemas.

2. Un lenguaje de programacion completo que permite introducir al usuario en tecnicas de progra-macion.

3. Facilidades graficas en un entorno de trabajo amigable.

GNU Octave usa un interprete para compilar y ejecutar una secuencia de instrucciones dadas porel usuario en tiempo de ejecucion. Ası es como, por ejemplo, PHP y Python funcionan. Esto estaen contraste con lenguajes de programacion precompilados como C, fortran, donde el programa secompila primero y luego es ejecutado manualmente. Al igual que Python, es posible dar instruccionesde Octave de GNU de forma rapida. En el curso se veran muchos ejemplos mas adelante.

Octave fue originalmente pensado para ser un software complementario en un programa de textode nivel de grado. El libro sobre diseno de reactores quımicos esta escrito por James B. Rawlingsde la Universidad de Wisconsin-Madison y John G. Ekerdt de la Universidad de Texas. Claramente,Octave es ahora mucho mas que otro paquete de ”cursos” con una utilidad limitada mas alla del

4

aula. Aunque originalmente estaba destinado a ser utilizado para ensenar diseno de reactores, se hautilizado en varios otros cursos de grado y posgrado en el Departamento de Ingenierıa Quımica de laUniversidad de Texas. Asimismo, el Departamento de Matematicas de la Universidad de Texas lo haestado utilizando para la ensenanza de Ecuaciones diferenciales y Algebra lineal.

GNU Octave es un software libremente distribuido. Se puede redistribuir y/o modificarlo bajo losterminos de la Licencia Publica General de GNU publicada por el Fundacion de Software Libre (theFree Software Foundation).

3.1 Experimentando con Octave

Ejemplo 1. En matematicas, la sucesion de Fibonacci es la serie infinita de numeros naturales:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 14, 21, 34, 55, . . .. La sucesion comienza con los numeros 0 y 1, y a partir de estos,cada termino es la suma de los dos anteriores. El siguiente algoritmo

% fibonacci

n= [1,1]

for k=3:10

n(k)= n(k-2)+n(k-1)

endfor

produce la salida n = 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55.En las Figuras 4a y 4b se aprecian situaciones donde la secuencia de Fibonacci se manifiesta en la

naturaleza.

(a) Boton de Camomila mostrando la ordenacion en es-pirales de modulos 21 (color azul) y 13 (color cian).

(b) Espiral de Fibonacci en la seccion de la concha deun nautilus.

Figure (4) Sucesion de Fibonacci (tomado de Wikipedia).

Ejemplo 2. Los siguientes ejemplos ilustran algunas de las capacidades graficas de Octave

% use_axes

clf;

t = 0:0.01:2*pi;

x = sin (t);

subplot (221);

plot (t, x);

title ("normal plot");

subplot (222);

plot (t, x);

title ("axis square");

axis ("square");

5

subplot (223);

plot (t, x);

title ("axis equal");

axis ("equal");

subplot (224);

plot (t, x);

title ("normal plot again");

axis ("normal");

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 6

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.5

0

0.5

1

normal plot axis square

axis equal normal plot again

Figure (5) Salida grafica de GNUplot - Octave.

% use_axes2

clf;

x = 0:0.1:2*pi;

y1 = sin (x);

y2 = exp (x - 1);

ax = plotyy (x, y1, x-1, y2, @plot, @semilogy);

xlabel (’X’);

ylabel (ax(1), ’Axis 1’);

ylabel (ax(2), ’Axis 2’);

4 Aproximacion de Funciones

4.1 Evaluacion de Polinomios

En Octave, un polinomio esta representado por sus coeficientes (ordenados en orden descendente).Por ejemplo, un vector c de longitud N + 1 corresponde al siguiente polinomio de orden N

pn(x) = c1xn + c2x

n−1 + . . .+ cnx+ cn+1 (6)

Se puede evaluar en forma directa realizando las operaciones indicadas, aunque esa forma es numericamenteinestable por lo general. Existe un algoritmo, conocido como de Heron, que realiza la evaluacion en

6

0 2 4 6-1

-0.5

0

0.5

1

X

Axi

s 1

0 2 4 61e-1

1e+0

1e+1

1e+2

1e+3

Axi

s 2

Figure (6) Salida grafica de GNUplot - Octave.

forma eficiente (es justamente lo que hace Octave mediante la funcion polyval(c,x)). Para emplearla,lo unico que se necesita es el rango o valor de la variable independiente, y el vector de coeficientes c

c = (c1, c2, . . . , cn, cn+1)T (7)

Ejemplo 3. Supongase que se quiere evaluar el siguiente polinomio de grado 3:

p3(x) = x3 − 5

2x2 +

1

2x+ 1 (8)

En este caso, el vector c se define como sigue

c = (1.,−2.5, 0.5, 1.)T (9)

Es sencillo ver que p3(x) puede factorizarse en la siguiente forma (multiplicacion anidada):

p3(x) = c4 + [c3 + (c2 + c1x)x]x , (10)

factorizacion que puede reflejarse en el siguiente algoritmo

b1 ← c1

b2 ← c2 + b1z

b3 ← c3 + b2z (11)

. . . ← . . .

bn+1 ← cn+1 + bnz

La introduccion de la variable z como argumento independiente se hace para reforzar la idea devariable dummy, o ficticia (es decir, es indistinto el uso de x o z, la diferencia reside luego en como secompatibilizan los argumentos a la hora de programar). Llevando esto a Octave

% polinom : funcion externa provista p el usuario

function pnz= polinom(n,c,z)

% pnz - evalua polinomio con multiplicacion anidada

pnz= c(1)

for k=2:n+1

pnz= c(k) + pnz*z

endfor

endfunction

Para lo cual es necesario grabar la funcion polinom.m aparte, preferentemente en el directorio detrabajo. El programa principal, que evalue tanto la funcion de Octave polyval como la funcion anterior,lucirıa mas o menos como sigue

7

% eval_poly3: evaluacion de polinomios de grado n ===

% clear window

clf

n = 3

c =[ 1.,-2.5,0.5,1.]

x1=[-2:0.1:3]

for k=1:length(x1)

t = x1(k)

y(k)= polinom(n,c,t)

endfor

subplot(1,2,1)

% Octave

plot(x1,polyval(c,x1));

title(’Eval Polinomica c Octave’);

xlabel(’x’);

ylabel(’polyval’);

subplot(1,2,2)

% Multipl anidada

plot(x1,y,’xr’);

title(’Eval Polinomica c Multipl Anidada’);

xlabel(’x’);

ylabel(’polinom’);

Este algoritmo produce la siguiente salida grafica, en dos ventanas separadas. Una que presenta lafuncion polyval y la otra, el algoritmo de Heron.

-2 -1 0 1 2 3-20

-15

-10

-5

0

5

10

x

poly

val

-2 -1 0 1 2 3-20

-15

-10

-5

0

5

10

x

polin

om

Eval Polinomica c Octave Eval Polinomica c Multipl Anidada

Figure (7) Evaluacion de polinomios - multiplicacion anidada.

4.2 Aproximacion de funciones con polinomios de Taylor

Ejemplo 4. Supongase que la funcion y = f(x) tiene derivadas continuas hasta un orden (n + 1)inclusive en cierto segmento que contiene al punto x = a

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 + . . .+

f (n)(a)

n!(x− a)n +Rn(x) (12)

8

El termino complementario Rn(x) esta dado por la formula de Lagrange

Rn(x) =f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− a)n+1 , (13)

donde el punto intermedio es tal que a < ξ < x. Si ahora la expresion se trunca despues de n + 1terminos, se obtiene el llamado polinomio de Taylor de orden n.

Ejemplo 5. Supongase que se quiere aproximar la funcion ln(x) con un polinomio de Taylor dequinto orden en la vecindad del punto a = 1. En este caso, la expansion resultante es

p5(x) =(x− 1)5

5− (x− 1)4

4+

(x− 1)3

3− (x− 1)2

2+ (x− 1) (14)

Teniendo en mente Octave, el vector de coeficientes serıa, en este caso

c = (1/5,−1/4, 1/3,−1/2, 1, 0)T (15)

% eval_taylor5 : evaluacion de un polinomio de Taylor de grado n ===

% clear window

clf

n = 5

c =[ 1/5,-1/4,1/3,-1/2,1,0]

x1=[0.1:0.1:2.6]

for k=1:length(x1)

z = x1(k)-1.

y(k)= polinom(n,c,z)

endfor

subplot(1,2,1)

% Octave

plot(x1,log(x1));

hold on;

plot(x1,polyval(c,x1-1.),’xr’);

title(’Funcion ln(x) - polyval’);

axis([0. 3. -2.5 2.5]);

xlabel(’x’);

ylabel(’ln(x) - polyval’);

subplot(1,2,2)

% Multipl anidada

plot(x1,y,’+b’);

title(’Eval Polinomica c Multipl Anidada’);

axis([0. 3 -2.5 2.5]);

xlabel(’x’);

ylabel(’polinom’);

hold on

plot(x1,log(x1));

Ejemplo 6. Sea ahora la funcion exp(x), cuya expansion en la vecindad de a = 0, es

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ ... (16)

9

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

-1

0

1

2

x

ln(x

) -

poly

val

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

-1

0

1

2

x

polin

om

Funcion ln(x) - polyval Eval Polinomica c Multipl Anidada

Figure (8) Evaluacion de un polinomio de Taylor - multiplicacion anidada.

Los sucesivos polinomios de Taylor son, en consecuencia

p0(x) = 1

p1(x) = 1 + x

p2(x) = 1 + x+x2

2. . . = . . .

La Figura 9 ilustra las aproximaciones logradas con los sucesivos polinomios de Taylor en la vecindaddel origen.

% eval_expx3: evaluacion de e(x) y los polinomios de Taylor ===

% clear window

clf

c1=[ 1 ]

c2=[ 1,1 ]

c3=[1/2,1,1]

x1=[-1:0.1:1]

for k=1:length(x1)

z = x1(k)

y1(k)= polinom(0,c1,z)

y2(k)= polinom(1,c2,z)

y3(k)= polinom(2,c3,z)

endfor

% Multipl anidada

% linestyle

% ’-’ : solid lines (default).

% ’--’ : dashed lines

% ’:’ : dotted lines.

% ’-.’ : dash-dotted lines.

% ’r’ : red

plot(x1,y1,’--r’,’markersize’,4,’linewidth’,2)

title(’Aproximacion de exp(x) con Polinomios de Taylor’);

axis([-1.2 1.2 -0.2 2.5]);

10

xlabel(’x’);

ylabel(’polinom’);

hold on;

% ’b’ : blue

plot(x1,y2,’:b’,’markersize’,4,’linewidth’,2);

hold on;

% ’g’ : green

plot(x1,y3,’-.g’,’markersize’,4,’linewidth’,2);

hold on;

% ’k’ : black

plot(x1,exp(x1),’k’);

legend(’p0(x)’,’p1(x)’,’p2(x)’,’exp(x)’)

-1 -0.5 0 0.5 1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x

polin

om

p0(x)p1(x)p2(x)exp(x)

Aproximacion de exp(x) con Polinomios de Taylor

Figure (9) Polinomios de Taylor de la funcion exp(x).

De los ejemplos examinados se deduce, naturalmente, la siguiente cuestion; sea la funcion continuay = ϕ(x) en el segmento [a, b]. ¿Es posible aproximarla con un polinomio p(x) con cualquier grado deprecision previamente dado? Es decir, ¿sera posible encontrar un polinomio p(x) tal que la diferenciaen valor absoluto, entre ϕ(x) y p(x) sea inferior en todos los puntos del segmento [a, b] que cualquiernumero positivo ε previamente dado? El siguiente teorema, citado sin demostracion

Teorema 1. (Weierstrass:) Si la funcion ϕ(x) es continua en el segmento [a, b] , entonces para todoε > 0 existe un polinomio p(x) tal que en cada punto de este segmento se cumple la desigualdad

|ϕ(x)− p(x)| < ε , (17)

proporciona una respuesta afirmativa. La Figura 10 ilustra el concepto.

La teorıa sobre la aproximacion optima de funciones mediante polinomios fue desarrollada porel matematico ruso Chevishev o Tchebychev (1821-1894). Sus valiosos resultados en este campoinfluenciaron decisivamente muchos trabajos matematicos posteriores. El punto de partida de sutrabajo fueron los mecanismos articulados, que lo condujo a la busqueda de aquel polinomio de gradon, entre todos los polinomios de grado n, cuyo coeficiente del termino de mayor orden fuese igual a launidad y tal que se desvıe de cero, en el segmento dado, en mucho menor medida que todos los demaspolinomios.

Por el momento, supongase que la busqueda se limita a encontrar el grado n del polinomio de Taylortal que

|f(x)− pn(x)| < ε , (18)

11

Figure (10) Aproximacion de f(x) en [a, b], mediante fn(x) en este caso (fig. bajada de Internet).

y que a su vez, se quiere tener nocion del error cometido al usar px(x) en vez de f(x), y lo que es mas,se quiere acotar la magnitud del error. La respuesta a este ultimo cuestionamiento esta dada por laformula del error de Lagrange, Ec.(13)

|f(x)− pn(x)| = |Rn(x)| =∣∣∣∣(x− a)n+1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)

∣∣∣∣ , 0 < ξ < x (19)

Ejemplo 7. Si se considera nuevamente el Ejemplo 6 en [0, 1], cabe preguntar ¿cual deberıa ser elgrado del polinomio de Taylor para que el error sea menor a 10−5?

En este caso

|f(x)− pn(x)| = xn+1

(n+ 1)!eξ < ε = 10−5 ∀x ∈ [0, 1] (20)

La respuesta se obtiene maximizando el error en el intervalo [a, b],

max0≤ξ≤1

|Rn(x)|x=1 =e1

(n+ 1)!< ε = 10−5 (21)

Esta desigualdad puede arreglarse en la forma

(n+ 1)! >e

ε= 105e = 271828, . . .

Para lo cual alcanza con construir la siguiente tabla

n (n+ 1)!

0 11 22 63 244 1205 7206 50407 403208 362880

Queda claro, entonces, que el polinomio de Taylor de grado 8, p8(x), hara el trabajo. Por ultimo, esutil verificar la estimacion obtenida con Octave:

% error_e(1) : estimacion del error con un p8(x) de Taylor

c = [1/40320,1/5040,1/720,1/120,1/24,1/6,1/2,1,1]

p = polyval(c,1.)

12

err= abs(p - exp(1.))

p = 2.7183

err= 3.0586e-06

Puede verse que la discrepancia obtenida entre el polinomio y la funcion exponencial, en x = 1,satisface la tolerancia de error exigida, es decir

|e1 − p8(1)| = 3.0586× 10−6 < 10−5

Ejemplo 8. Supongase ahora que se pretende evaluar sin(20◦) con un error ε = 10−3 utilizando unpolinomio de Taylor en el intervalo [−π/9, π/9]

Es fundamental la correcta obtencion del termino n−esimo, puesto que de su expresion depende elcalculo del error.

f(x) = sin(x)

f ′(x) = cos(x) = sin(x+π

2)

f ′′(x) = −sin(x) = sin(x+2π

2)

f ′′′(x) = −cos(x) = sin(x+3π

2)

. . . = . . .

fn(x) = sin(x+nπ

2)

En consecuencia, la serie de Taylor deviene, en la vecindad de a = 0

sin(x) = x− x3

3!+x5

5!+ . . .+ sin(

nπ

2)xn

n!+Rn(x) (22)

De esta forma, la estimacion del orden del polinomio consiste en hallar el max|Rn(x)| en |x| ≤ π/9∣∣∣∣sin((n+ 1)π

2

)xn+1

(n+ 1)!

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ xn+1

(n+ 1)!

∣∣∣∣ ≤ (π/9)n+1

(n+ 1)!< ε ,

puesto que |sin(.)| ≤ 1. La anterior desigualdad se puede reescribir en la forma

(n+ 1)!

(9

π

)n+1

>1

ε= 1000

Construyendo ahora una tabla, tal como se hizo para el Ejemplo 7,

n (n+ 1)!

0 2,871 16.412 141,073 1616,52

Lo que dice que con p3(x) sera suficiente. Verificando entonces dicha estimacion con Octave

% error_sin(pi/9) : estimacion del error con un p3(x) de Taylor

c = [-1/6,0,1,0]

p = polyval(c,pi/9)

err= abs(p - sin(pi/9))

p = 0.34198

err= 4.3062e-05

13

Puede verse que la discrepancia obtenida satisface la tolerancia prefijada, es decir

|sin(π/9)− p3(π/9)| = 4.3062× 10−5 < 10−3

Repitiendo ahora los ejercicios que condujeron a la obtencion de las Figuras 8 y 9, se tiene

% eval_sinx5: aprox de sin(x) con polinomios de Taylor

clf

c1=[ 1,0]

c3=[ -1/6,0,1,0]

c5=[1/120,0,-1/6,0,1,0]

x1=[-pi:0.1:pi]

for k=1:length(x1)

z = x1(k)

y1(k)= polinom(1,c1,z)

y3(k)= polinom(3,c3,z)

y5(k)= polinom(5,c5,z)

endfor

% Multipl anidada

plot(x1,y1,’+b’);

title(’Aproximacion de sin(x) con Polinomios de Taylor’);

axis([-pi pi -1.4 1.4]);

xlabel(’x’);

ylabel(’polinom’);

hold on;

plot(x1,y3,’xr’);

hold on;

plot(x1,y5,’-.g’,’markersize’,4,’linewidth’,2);

hold on;

plot(x1,sin(x1),’k’);

legend(’p1(x)’,’p3(x)’,’p5(x)’,’sin(x)’)

En la Figura 11 se representan las graficas de la funcion sin(x) y de los tres primeros polinomios deTaylor. Es posible observar la mejora en la aproximacion, en el intervalo de la expansion, a medidaque el orden del polinomio crece.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1

-0.5

0

0.5

1

x

polin

om

p1(x)p3(x)p5(x)sin(x)

Aproximacion de sin(x) con Polinomios de Taylor

Figure (11) Polinomios de Taylor de la funcion sin(x).

14

Ejemplo 9. Recordar la serie o progresion geometrica

1

1 + x= 1− x+ x2 − x3 + . . . , (23)

que converge para |x| < 1.

Es util entonces recordar la suma parcial de sus n- primeros terminos

Sn = 1 + x+ x2 + . . .+ xn (24)

xSn = x+ x2 + x3 + . . .+ xn+1 ,

de lo cual se desprende la siguiente expresion

Sn − xSn = (1 + x+ x2 + . . .+ xn)− (x+ x2 + x3 + . . .+ xn+1)

= 1− xn+1 .

Resultado que conduce a1

1− x= Sn +

xn+1

1− x, |x| ≤ 1 . (25)

Utilizando ahora la Ec.(24), es posible obtener una expansion para ln(1 + x)

∫ x

0

dt

1− t= x+

x2

2+x3

3+ . . .+

xn+1

n+ 1+

∫ x

0

tn+1

1− tdt

ln(1− t) = −(x+

x2

2+x3

3+ . . .+

xn+1

n+ 1

)−∫ x

0

tn+1

1− tdt

Expresion valida para x < 1. El termino del resto puede ser simplificado aplicando el Teorema delValor Medio Generalizado para Integrales1∫ x

0

tn+1

1− tdt =

1

1− ξ

∫ x

0tn+1dt =

(1

1− ξ

)xn+2

n+ 2, (26)

para 0 < ξ < x.

Teorema 2. (Leibniz:) Si una serie alternante,

∞∑n=1

(−1)(n+1)un = u1 − u2 + u3 − u4 + . . . (27)

es tal que sus terminos satisfacen

• u1 > u2 > u3 > . . . , un > 0 ∀n ,

• limn→∞ un = 0 ,

• entonces, la serie definida por la Ec.(27) converge, su suma es positiva y el error que se cometeal truncar la serie luego de su n-esimo termino no supera, en valor absoluto, la magnitud delprimer termino de los terminos suprimidos.

Ejemplo 10. Supongase que es necesario calcular la integral

I(a) =

∫ a

0e−x

2dx , (28)

para |a| < 1, y donde la funcion primitiva, exp(−x2), no es un funcion elemental.

1Si f es continua en [a, b] y g es una funcion integrable en [a, b] que no cambia de signo, entonces ∃ ξ ∈ [a, b] tal que∫ b

afgdx = f(ξ)

∫ b

agdx

15

Para calcular esta integral, se procede como se ha hecho hasta ahora; es decir, se desarrolla elintegrando en una serie de Taylor, para lo cual se sustituye x por −x2 en la Ec.(16)

e−x2

= 1− x2

1!+x4

2!− x6

3!+ . . .+

(−1)nx2n

n!+ . . .

=∞∑n=0

(−1)nx2n

n!(29)

Integrando ambos miembros de esta igualdad entre los lımites de 0 a a conduce a

I(a) =

∫ a

0e−x

2dx =

(x

0!× 1− x3

1!× 3+

x5

2!× 5− x7

3!× 7+ . . .

)a0

=a

0!× 1− a3

1!× 3+

a5

2!× 5− a7

3!× 7+ . . .+

(−1)na2n+1

n!(2n+ 1)+ . . . (30)

Claramente, esta serie alternante satisface las condiciones del Teorema 2 para |a| < 1, con lo cual, elerror cometido al truncar la serie luego de n+ 1-terminos no supera en magnitud a la cantidad

|Rn+1| =∣∣∣∣(−1)na2n+1

n!(2n+ 1)

∣∣∣∣ < 1

n!(2n+ 1), |a| < 1 (31)

con lo cual, para una tolerancia ε prefijada, se tiene

|Rn+1| = n!(2n+ 1) > ε−1 (32)

Un ε = 10−4 produce la siguiente Tabla, tal como se hizo en los Ejemplos 7 y 8. Ası, se llega adeterminar que

n n!(2n+ 1)

0 11 32 103 424 2165 13206 93607 75600

un polinomio de Taylor de grado p7(x) lograra una precision aproximada a la requerida para evaluarI(a). Verificando esto con Octave, para lo cual se invoca la funcion intrınsica erf(a), definida como

erf(a) =2√π

∫ a

0e−x

2dx (33)

=2√πI(a)

Es necesario evaluar en primer lugar el polinomio de Taylor p7(a), para lo cual se debe tener presentela forma que Octave “lee” un polinomio, definido por la Ec.(30)

p7(a) = −a7

42+ 0a6 +

a5

10+ 0a4 − a3

3+ 0a2 + a+ 0 (34)

% error_erf(0.7) : estimacion del error con un p7(x) de Taylor

a = 0.7

c = [-1/42,0,1/10,0,-1/3,0,1,0]

p = polyval(c,a)

err= abs(p - sqrt(pi)*erf(a)/2)

p = 0.60051

err = 1.7282e-04

16

En este caso se aprecia que el error es del orden de la precision requerida, pero no inferior. Paramejorar la precision, o bien se introduce un termino extra en la expansion, o bien se utilizan formasasintoticas que convergen mas rapidamente que los polinomios de Taylor. Por ejemplo, la expansionde C. Hastings, Jr., es uniformemente convergente

erf(x) ' 1− (a1p+ a2p+ a3p) e−x2 (35)

p =1

1 + 0.47047xa1 = 0.3480242 , a2 = −0.0958798 , a3 = 0.7478556 ,

en 0 < x <∞ con una precision del orden ±0.000025.

4.3 Aproximacion de Funciones con Polinomios; Repaso

1. Dada una y = f(x), continua y derivable en un cierto intervalo [x1, x2],

2. Expandir f(x) por serie de Taylor en la vecindad de x = a . Los primeros n + 1 terminos danorigen a los polinomios de Taylor pn(x), tal que pn(x) ' f(x),

3. Evaluar el orden requerido del polinomio tal que el error |f(x)− pn(x)| < ε mediante el empleode la formula de Lagrange, criterio de Leibniz, etc. |Rn+1(x)| < ε,

4. Construir la Tabla, |n, |1/|Rmax|| > ε−1, y determinar el orden requerido del polinomio,

5. Reescribir el polinomio en la forma reconocible por Octave, Ecs.(6) y (7),

6. Verificar la estimacion del error, |f(x)− pn(x)| < ε, con Octave (utilice polyval),

7. Graficar f(x) y pn(x) con Octave.

5 Ejercicios

Resuelva los siguientes casos, y efectue, si es posible, la expansion de Taylor correspondiente de algunade las funciones dadas de manera de simplificar las expresiones:

1. f(x) =(ex − 1)

x

2. f(x) =sinx

x

3. I(a) =

∫ a

0

sinx

xdx

4. S(x) =1

x

∫ x

0

sint dt

t

5. C(x) =1

x

∫ x

0

(1− cost)dtt2

6. Evalue las formulas de Hastings, Ecs.(35). Grafıquela junto a la fcn erf(x) de Octave en [4, 4].

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