M etodos Matem aticos para F sicos II - Material complemetario en Geofísica y ... · 2013. 5. 2. · 1 3. Funciones Especiales 2 3 Funciones Especiales 3.0 Coordenadas cil ndricas

Metodos Matematicos para Fısicos II

Profesor: Federico Pardo Casas

Facultad de CienciasUniversidad Nacional de Ingenierıa

Lima, PERU

Pardo Casas, Federico (UNI Ciencias Fısica) CF391 Ciclo 2013 I 1 / 22

1 3. Funciones Especiales

2 3 Funciones Especiales3.0 Coordenadas cilındricas y esfericas3.1 Problemas de tipo Sturm-Liouville3.1 Problemas de tipo Sturm-Liouville3.0 Los polinomios de Legendre. Series de Legendre-Fourier

3 4 Espacios vectoriales de dimension infinitaSubsection 7

4 5 Funciones de GreenSubsection 8

5 6 Ecuaciones Diferenciales ParcialesSubsection 12


3. Funciones Especiales

Table of Contents








Programa analitico

3.0 Coordenadas cilındricas y esfericas

3.1 Problemas de tipo Sturm-Liouville

3.2 Los polinomios de Legendre. Series de Legendre-Fourier

3.3 Funciones asociadas de Legendre y los armonicos esfericos.Aplicaciones

3.4 Funciones de Bessel. Polinomios y funciones de Hermite, deLaguerre. Aplicaciones

3.5 Funciones generatrices, propiedades y relaciones de recurrencia deestos polinomios



Programa analitico









Programa analitico









Programa analitico









Programa analitico








3 Funciones Especiales

Table of Contents







3 Funciones Especiales 3.0 Coordenadas cilındricas y esfericas

3.0.1 Coordenadas cilındricas y esfericasYa vimos nuestra primera separacion de variables, veamosahora de manera mas completa, es decir, en tres dimensionesya que observamos que los problemas parecen corresponder aplanos, esferas o cilindros.Por ello, las coordenadas esfericas o cilındricas son naturales.Veamos el caso de la ecuacion de onda en 3D

∇2ϕ =1

c2

∂2ϕ

∂t2

Para lo cual separemos el tiempo y el espacioϕ(r, t) = ψ(r)T (t)Con lo que obtenemos una ED y una EDP

a) d2Tdt2 = λc2T b)∇2ψ = λψ

Hemos visto que es conveniente que λ sea negativo, por loque podemos decir λ = −k2, como tambien k

c= ω

y ası, podemos escribir, una posible solucion

ϕk (r, t) = ψk (r)e−iωt

El uso de e−iωt no quita que podamos usar e iωt , pero esimportante saber que k y ω pueden tomar valores negativos.De ese modo podemos manejar todas las posibles opciones deϕk .Podemos estudiar la ecuacion de Helmholtz∇2ψ + k2ψ = 0, que en coordenadas cilındricas

se representa

1r∂∂r

(r ∂ψ∂r

)+ 1

r2∂2ψ

∂θ2 + ∂2ψ

∂z2 + k2ψ = 0

Para lo cual definimos ψ(r, θ, z) = R(r)Θ(θ)Z(z) yreemplazando obtenemos

1rR

ddr

(r dR

dr

)+ 1

r2Θd2Θdθ2 + 1

Zd2Zdz2 + k2 = 0

Vemos que los dos primeros terminos solamente dependen der y θ, mientras que los dos ultimos no lo son.Esto es posible solamente si1Z

d2Zdz2 + k2 = constante

lo que nos lleva a la siguente igualdadd2Zdz2 − λ1Z = 0 (λ1 = constante) λ1 = 1

Zd2Zdz2

Multiplicando por r2 y reemplazando obtenemosrR

ddr

(r dR

dr

)+ 1

Θd2Θdθ2 + (k2 + λ1)r2 = 0

Del mismo modo, podemos decird2Θdθ2 − λ2Θ = 0 (λ2 = constante) Por lo tanto, lo

restante queda asıddr

(r dR

dr

)+[

r(k2 + λ1) +λ2r

]R = 0

Y ası, la ecuacion de Helmholtz es completamente separableen el sistema de coordenadas cilındricas



3.0.2 Coordenadas cilındricas y esfericas

En el caso del sistema de coordenadas esfericas

la ecuacion de Helmholtz esta escrita de la siguiente manera

1

r2

∂

∂r

(r2 ∂ψ

∂r

)+

1

r2senθ

∂

∂θ

(senθ

∂ψ

∂θ

)+

1

r2sen2θ

∂2ψ

∂φ2+k2

ψ = 0

En este caso definimos ψ(r, θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ) yveremos que la ecuacion de Helmholtz es tambien separableen el sistema de coordenadas esfericas de la siguiente manera.Dividiendo por R(r)Θ(θ)Φ(φ) obtenemos

1

r2R

d

dr

(r2 dR

dr

)+

1

Θr2senθ

d

dθ

(senθ

dΘ

dθ

)+

1

Φr2sen2θ

d2Φ

dφ2+k2 = 0

Si multiplicamos la ecuacion anterior por r2,

1

R

d

dr

(r2 dR

dr

)+

1

Θsenθ

d

dθ

(senθ

dΘ

dθ

)+

1

Φsen2θ

d2Φ

dφ2

+k2r2 = 0

Si multiplicamos ahora por sen2θ,

sen2θ

R

d

dr

(r2 dR

dr

)+

senθ

Θ

d

dθ

(senθ

dΘ

dθ

)+

1

Φ

d2Φ

dφ2

+k2sen2θr2 = 0

podemos reconocer, que el tercer termino (y ningun otro)solamente depende de φ y por lo tanto podemos obtener1Φ

d2Φdφ2 + m2 = constante

d2Φdφ2 − λ1Φ = 0 (λ1 = constante) λ1 = 1

Φd2Φdφ2

, de modo tal, que podemos escribir

sen2θ

R

d

dr

(r2 dR

dr

)+

senθ

Θ

d

dθ

(senθ

dΘ

dθ

)

+λ1 + k2sen2θr2 = 0

, Ahora dividimos entre sen2θ



3.0.3 Coordenadas cilındricas y esfericas

1

R

d

dr

(r2 dR

dr

)+

1

Θsenθ

d

dθ

(senθ

dΘ

dθ

)+

λ1

sen2θ+k2r2 = 0

Podemos aislar el segundo y tercer termino

1

Θsenθ

d

dθ

(senθ

dΘ

dθ

)+

λ1

sen2θ= λ2

Multiplicando por senθ

1

Θ

d

dθ

(senθ

dΘ

dθ

)+

λ1

senθ= senθ.λ2

Multiplicando por Θ

d

dθ

(senθ

dΘ

dθ

)+λ1Θ

senθ= senθ.λ2Θ

Agrupando

d

dθ

(senθ

dΘ

dθ

)+

[−senθ.λ2 +

λ1

senθ

]Θ = 0

Nos falta reducir R(r), para lo cual, reemplazamos λ2

1

R

d

dr

(r2 dR

dr

)+ λ2 + k2r2 = 0

Y obtenemos

d

dr

(r2 dR

dr

)+[

r2k2 + λ2

]R = 0

Y ası, la ecuacion de Helmholtz es completamente separableen el sistema de coordenadas esfericas



3.0.4 EjemplosEjemplo 1La solucion de la ecuacion de Helmholtz Ψ en el sistema decoordenadas cilındricas requiere generalmente ser periodica en

θ, para lo cual, la ecuacion d2Θdθ2 − λ2Θ = 0

se convierte en una ecuacion de autovalores o eigenvalueequation ya que restringe los valores de λ2, de modo tal, que

λ2 = −m2 m = 0, 1, 2, ...)solucion que nos lleva a usar funciones trigonomotricas queserviran de autofunciones

La segunda constante de separacion λ1 (para un problema enel sistema de coordenadas cilındricas) se determina usandocondiciones de frontera adicionales.Si esas condiciones involucran a z entonces tendremos que laecuaciond2Zdz2 − λ1Z = 0

se convierte en otra ecuacion de autovalores

En este caso, si ψ(r, θ, z) = R(r)Θ(θ)Z(z) debe ser nulapara z = 0 y z = L, entonces Z(z) debe satisfacer esas

condiciones, para lo cual, λ1 = −n2π2/L2

n = 0, 1, 2, ...) y asıZn(z) = sen nπz

L

En el caso de R(r) tendremos

ddr

(r dR

dr

)+

[r

(k2 + n2π2

L2

)− m2

r

]R = 0

Es usual hacer un cambio de variable (escala) de modo que

x = r

√k2 + n2π2

L2

entonces tenemos

ddr

= r

√k2 + n2π2

L2ddx

y si definimos

R(r) = R(x/

√k2 + n2π2

L2 = y(x)

entonces la ecuacion se escribe asiddx

(x dy

dx

)+

(x − m2

x

)y = 0

Esta es la ED de Bessel de orden m, la que generalmente seescribed2y

dx2 + 1x

dydx

+

(1− m2

x2

)y = 0

Ejemplo 2En el sistema de coordenadas esfericas es comun que serequiera que ψ(r, θ, φ) sea periodica en φ.

Esto implica que en la ecuaciond2Φdφ2 − λ2Φ = 0

la constante de separacion tenga los valores permitidosλ1 = −m2 m = 0, 1, 2, ...)Consideremos el caso en el que la solucion ψ(r, θ, φ) seaindependiente de φ. De ser asi, se requiere que m = 0 y queΦ(φ) sea igual a una constante (la otra solucion, Φ = Cφ,no es periodica)Por lo tanto, la ecuacion para Θ tiene la siguiente forma

ddθ

(senθ dΘ

dθ

)− λ2senθΘ = 0

Si hacemos el cambio de variable cosθ = x obtenemosd

dθ= dx

dθddx

= −senθ ddx

definiendo Θ(θ) = Θ(arccos x) = y(x) tenemosddx

[(1− x2) dy

dx

]− λ2y = 0 que es la ED de Legendre.


3 Funciones Especiales 3.1 Problemas de tipo Sturm-Liouville

3.1.1 El problema tipo Sturm-Liouville

Las ecuaciones obtenidas de la separacion de variables en laEDP de Helmholtz tienen la siguiente formaddx

[p(x) dy

dx

]− s(x)y + λr(x)y = 0

y se conocen como ecuaciones de Sturm-Liouville. Se asumeque la unica constante de separacion ya han sidodeterminadas y solamente nos queda λ por determinar.Por lo tanto, es una ecuacion de autovalores en λ. Es unproblema de condiciones de frontera que tienen que sersatisfechas.Condiciones que tienen tanta importancia como la ED misma.definimos el operador diferencial de Sturm-Liouville asociadoa problemas de Sturm-Liouville

L ≡ ddx

[p(x) dy

dx

]− s(x)y

que es un operador lineal de segundo orden y asi podemosescribir la ecuacion anterior de una manera convenienteL{y(x)} = −λr(x)y(x)Es conveniente indicar que no debe confundirse con eloperador de la Transformada de Laplace.Trataremos ahora de representar problemas de la Fisica(EDP) para ser resueltos con el uso de autofunciones, delmismo modo que hicimos con la Transformada de Fourier.Lo primero es mostrar que se cumple la propiedad deortogonalidad de las autofunciones del operador L, para locual consideraremos los casos no triviales ym(x) e yn(x), quecorrespondan a los autovalores λm y λn , es decirddx

[p(x) dym

dx

]− s(x)ym + λmr(x)ym = 0

ddx

[p(x) dyn

dx

]− s(x)yn + λnr(x)yn = 0

Multiplicando la primera ecuacion por yn y la segunda porym , luego restando y despues integrando entre a y b,logramos que los terminos en s(x) se cancelen mientras quepodemos simplificar los terminos en derivadas integrando porpartes para lograr, por ejemplo,∫ b

a ynddx

[p(x) dym

dx

]dx−ynp(x) dym

dx

∣∣∣ba−∫ b

a p(x) dymdx

dyndx

dx

Al hacer la resta, el termino de la derecha se cancela con otroequivalente.El resultado final es por lo tanto

p(x)[

yn(x) dymdx− ym(x) dyn

dx

] ∣∣∣ba

=

(λn − λm)∫ b

a r(x)ym(x)yn(x)dxEl lado izquierdo depende de las CCFF impuestas a lasautofunciones y sus derivadas ( y a las propiedades de p(x).Y si el lado izquierdo fuese nulo, entonces se obtiene

(λn − λm)∫ b

a r(x)ym(x)yn(x)dx = 0lo que nos lleva a concluir que las autofuncionescorrespondientes a diferentes autovalores λm 6= λn sonortogonales entre sı con respecto a la funcion peso r(x).La aparicion de r(x) no interfiere en la evaluacion de loscoeficientes en la serie de autofunciones. Si asumimos losiguiente- Hay un numero infinito de autofunciones ym- Las autofunciones son ortogonales entre sı respecto a r(x)- Una funcion f (x) puede ser representada por una serieinfinita f (x) =

∑m amym(x)

Multiplicamos ambos lados por r(x)yn(x) e integramos entrea y b, asumiendo la integracion termino a termino posible.



3.1.2 El problema tipo Sturm-Liouville ...

Aplicando la ortogonalidad, encontramos que solamente eltermino n = m es no nulo, de modo que∫ b

af (x)r(x)yn(x)dx = an

∫ b

a[yn(x)]2 r(x)dx

de modo que

an =

∫ ba f (x)r(x)yn(x)dx∫ ba r(x) [yn(x)]2 dx

Ya casi hemos terminado con el proceso de formulacion de lasolucion al problema de Sturm-Liouville. Nos queda atenderuna pregunta. ¿Que tipo de CCF se obtendran conautofunciones ortogonales? Revisemos la relacion

p(x)

[yn(x)

dym

dx− ym(x)

dyn

dx

] ∣∣∣∣ba

= 0

que puede ser satisfecha bajo la siguiente variedad decondiciones

a) Las funciones ym e yn se anulan en x = a y x = b.Estas CC de F son llamadas Condiciones de Diritchlet(homogeneas)

b) Las derivadas dymdx

y dyndx

se anulan en x = a y x = b.

Estas CC de F son llamadas Condiciones de Neumann(homogeneas)

ym(a) + αdym(a)

dx= 0, ym(b) + β

dym(b)dx

= 0 (α, β =

const.)

c)Una combinacion lineal de ym y sus derivadas se anulan enx = a y x = b

d) Cualquiera de las anteriores en x = a y cualquier otra enx = b

Existen otras posibles combinaciones que no vamos a detallar.



3.1.3 Operadores auto-adjuntos

Lo hecho anteriormente puese ser resumido de la siguientemanera∫ b

a yn(Lym)dx −∫ b

a ym(Lyn)dx = (λn − λm)∫ b

a rymyndx

Por otro lado se requiere que ym(x) e yn(x) satisfagan lasCCFF descritas, tenemos que se prueba la relacion∫ b

ayn(Lym)dx =

∫ b

aym(Lyn)dx

Y podemos extender la validez del concepto y formular paracualesquiera dos funciones f (x) y g(x) que cumplan las CCde F ∫ b

af (Lg)dx =

∫ b

ag(Lf )dx

La prueba es la misma, integracion por partes, y, aplicacionde las condiciones de frontera; notemos que r(x) no apareceen la ecuacion.Un operador lineal D es llamado auto-adjunto si satisface lasiguiente igualdad∫ b

af (Dg)dx =

∫ b

ag(Df )dx

para cualesquiera dos funciones f y g que satisfagan lascorrespondientes CC de F (obviamente, f y g deber sersuficiente diferenciables para que Df y Dg tengan sentido)

De este modo mostramos que los operadores del tipoSturm-Liouville son auto-adjuntos.Tambien es evidente que las autofunciones de cualquieroperador auto-adjunto, especıficamente, las que satisfacen laecuacion Dy = −λr(x)y son mutualmente ortogonales conrespecto a r(x), siempre y cuando tengan autovalores λdiferentes entre sı.


3 Funciones Especiales 3.0 Los polinomios de Legendre. Series de Legendre-Fourier

3.0.1 Los polinomios de Legendre


4 Espacios vectoriales de dimension infinita

Table of Contents







4 Espacios vectoriales de dimension infinita

This is a test 6


4 Espacios vectoriales de dimension infinita Subsection 7

This is subsection 8


5 Funciones de Green

Table of Contents







5 Funciones de Green

This is a test 9


5 Funciones de Green Subsection 8



6 Ecuaciones Diferenciales Parciales

Table of Contents







6 Ecuaciones Diferenciales Parciales

This is a test 11


6 Ecuaciones Diferenciales Parciales Subsection 12


Hello

World

Hola

Mundo


Documents

M etodos Matem aticos para F sicos II - Material complemetario en Geofísica y ... · 2013. 5. 2. · 1 3. Funciones Especiales 2 3 Funciones Especiales 3.0 Coordenadas cil ndricas