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L’Universo Meravigliosoe la Relatività Generale
Una passeggiata tra Stelle, Particelle
e Geometria
Le Tappe del nostro Viaggio• Prima Tappa: La gerarchia delle scale di lunghezza.• Seconda Tappa: il contenuto dell’Universo e gli strumenti
per esplorarlo• Terza Tappa: l’espansione dell’Universo ed il Big Bang• Quarta Tappa: Le quattro interazioni e due Modelli
Standard– Il modello standard delle Particelle Elementari– Il modello standard Cosmologico
• Quinta Tappa: uno sguardo alla Relatività Generale, il linguaggio per descrivere l’Universo e capire la gravitazione
• Sesta Tappa: soltanto i primi geometri entrano nella scuola di Circino
– La metrica: una regola per calcolare le distanze........– Stranezze metriche.....
Prima Tappa:Le Scale
La gerarchia delle scaleI fenomeni fisici sono legati alle scale caratteristiche di distanze e quindi di energia a cui avvengono. Più piccola é la distanza che si considera più grande é l’energia necessaria per esplorarla.
Relatività ristretta
Meccanica Quantistica
una passeggiate per le scale da 1028 a 10-33 cm
Facciamo ora
Le costanti fondamentali legano massa e lunghezza
Da dove cominciare ?Professor, qual’è la distanza
più grande di tutteÉ la dimensione del É la dimensione del
nostro Universo, nostro Universo, chiaramente!chiaramente!
Domande e Risposte ingenue.....• Se qualcuno vi dicesse che l’Universo é vecchio di Tu = 14
miliardi di anni, quanto pensereste che esso possa essere grande?
• 1 anno = 365 £ 24 £ 60 £ 60 sec ¼ 107 sec• Velocità della luce c = 300.000 km/sec = 3 £ 1010 cm /sec• Penseremmo che il raggio dell’Universo debba essere qualcosa
come c £ Tu ¼ 1028 cm . Questa infatti è la distanza massima che un fotone emesso al primo istante di vita dell’Universo può aver percorso da allora ad oggi.
• Alternativamente se riuscissimo a misurare la distanza degli oggetti più lontani e vedessimo che essi sono a 1028 cm da noi, concluderemmo che l’Universo ha almeno 14 miliardi di anni di età
Bravi! Risposta quasi esatta!Dunque partiamo da 1028 cm, ma dove terminiamo?
Papà, qual’è la distanza più piccola di tutte
É quella per esplorare É quella per esplorare la quale ci vuole la la quale ci vuole la energia più grande! energia più grande!
é fissata dalla costante é fissata dalla costante di Newton!!!!di Newton!!!!
1028 cm 104 Mpc Hubble = età dell’universo
1026 cm 100 Mpc Scala alla quale l’Universo é omogeneo
1024 cm 1 Mpc Estensione di un ammasso galattico ¼ 103 galassie
1022 cm 104 pc Estensione di una Galassia
La Via Lattea
Modellizzazione dell’Universo
1020 cm Distanza dalle stelle visibili
1019 cm ¼ 10 anni luce
Distanza dalle stelle più vicine
1015 cm 3 giorni luce
Distanza del Sole da Plutone, il pianeta più lontano
1013 cm 108 km Distanza Terra Sole
109 cm Raggio della Terra
106 cm Altezza delle montagne più elevate
104 cm Altezza di un grattacielo
102 cm 1-2 metri Dimensione di un essere umano
10-2 cm
10-5 cm Dimensione di un virus
10-8 cm Dimensione dell’atomo
10-13 cm 1 fermi Dimensione del nucleo atomico
10-15 cm 1 GeV Massa della particella W
mediatrice delle interazioni deboli
.................... .................... ....................
.................... .................... ....................
.................... .................... ....................
.................... .................... ....................
.................... .................... ....................
10-33 cm lunghezza di Planck
Un evento di produzione di W al CERN
Il grande deserto: uno dei problemi della fisica fondamentale
Seconda Tappa:Ilcontenuto dell’Universo
Il contenuto dell’Universo: LeGalassie
• M82 ad 11 milioni di anni luce da noi è una starbust galaxy dove stelle supermassive si formano e muoiono ad una velocità 10 volte superiore a quella media della Via Lattea. La fotografia mostra una sovvrapposizione dell’immagine ottica (azzurra) e di quella a raggi X.
10 milioni anni luce
=1022 cm
• NGC 4038 and NGC 4039, sono due galassie a 60 milioni di anni luce da noi nella costellazione del Corvo. Sono incastrate in una titanica collisione che ha creato una zona di intensa creazione di stelle. Il sistema è chiamato Antennae Galaxies. Nella zona di scontro vi sono migliaia di supernovae .....
Le Galassie si scontrano, talvolta
1022 cm = 10 milioni di anni luce
La Via Lattea è la nostra GalassiaLe galassie sono raggruppate in ammassi, gli ammassi in ammassi di ammassi, ma alla scala di
1028 cm l’Universo appare isotropo ed omogeneo
La nostra galassia ha una dimensione radiale di circa 1022 cm.
Ed ora le stelle.......
La nostra Galassia, la Via Lattea ne contiene qualcosa come
1011 cioè 100 miliardi.
Il Contenuto dell’Universo: Le Stelle
• Sirius A. Nel visibile é la stella più luminosa della notte. Dista circa 8 anni luce dalla Terra. E’ parte di un sistema binario. La compagna, piccolissima è:
• Sirius B, la nana bianca a noi più vicina
A molte stelle piace la compagnia: fanno coppia e formano sistemi binari
Stelle giovani: le Pleiadi per esempio• Ad un parsec = 3 anni
luce da noi, ci sono le Pleiadi. E’ un cluster di circa 500 stelle, piuttosto giovani: 70 milioni di anni rispetto ai 4.5 miliardi di anni del nostro Sole. Molte di queste giovani stelle blu, sono potenti sorgenti di raggi X.
Stelle morte: le stelle di neutroni o pulsars sono remnants delle supernovae• Nel 1054 gli astronomi
Cinesi osservarono ad occhio nudo una stella nuova luminosissima che poi sparì. Era l’esplosione di una supernova nella Nebulosa del Granchio. Oggi con i telescopi a raggi X possiamo osservare il remnant di quella esplosione: una pulsar in Crab Nebula.
In realtà la pulsar del 1054 ha una compagna, un’altra pulsar, GemingaQuesta immagine ai raggi X ce le rileva entrambe:
1054 remnant
Che cos’è una pulsar?
• Una pulsar è una stella di neutroni. E’ costituita da circa una massa stellare, cioè 1033 gm, di materia nucleare concentrata in una sfera di soli 3-4 km di raggio. Ha un momento magnetico enorme, tipicamente non allineato con il momento angolare e per questo diventa una sorgente di onde radio. Può anche essere una sorgente di raggi X attraverso le interazioni del plasma circostante con il suo campo magnetico.
Le stelle con una massa di 10 MS finiscono la loro vita con una esplosione spettacolare, nota come supernova. L’esplosione avviene quando la stella ha esaurito il combustibile nucleare nella sua parte più interna. Quando l’energia prodotta nella fusione nucleare non riesce più a controbilanciare l’attrazione gravitazionale la stella dapprima collassa su stessa e poi esplode quando tutta l’energia gravitazionale è rilasciata. L’esplosione proietta nello spazio gli strati esterni della stella. Essi sono composti di carbonio, ossigeno, neon e silicio, prodotti dalle reazioni termonucleari quando la stella era in equilibrio. Si produce anche una onda d’urto che accellera tutto questo materiale e lo riscalda a circa 10 milioni di gradi. La temperatura è così alta che non produce luce visibile, ma raggi X.Dopo l’esplosione il nucleo privo di energia collassa definitivamente su stesso e costituisce od una stella di neutroni od un buco nero, se la masssa iniziale era ancora più alta 20 MS
Esplosione di una supernova
Prima implosione
Poi esplosione
Si è formato il remnant, una pulsar od un buco nero
Il diagramma di Herzsprung Russel
Osservare la popolazione stellare è come osservare una popolazione umana ad un certo istante di tempo. Troviamo vari tipi di persone, più vecchie, più giovani, mature. Con un pò di riflessione scopriamo che i vari tipi sono le fasi di una vita tipica. Le stelle della sequenza principale rappresentano le fasi di vita di una stella media come il nostro sole.
Nel diagramma di H R si pone in ascissa il tipo spettrale (= la temperatura) ed in ordinata la magnitudine (=la luminosità)
Infatti possiamo anche .......
fare un diagramma della popolazione stellare con la temperatura in ascissa e la luminosità (o massa) in ordinata ottenendo la stessa figura. Le nane nane bianche bianche sono anormalmente piccole e caldissime, perché? perché? Lo capiremo Lo capiremo dopo aver dato uno sguardo al principio di Pauli. Non possiamo capire dopo aver dato uno sguardo al principio di Pauli. Non possiamo capire le Stelle senza capire le Particelle Elementari...... Abbiate pazienza!!!le Stelle senza capire le Particelle Elementari...... Abbiate pazienza!!!
Il telescopio extraterrestre Hubble
Per indagare il cielo disponiamo oggi di un gigantesco telescopio posto in orbita attorno al Pianeta
Terza Tappa:l’espansione dell’Universo
ed il Big Bang
Riconsideriamo:..............
L’Universo appare granulare alle scale più basse.La Via Lattea 10.000 anni luce
10 milioni di anni luce
100 milioni di anni luce
Ma a 1028 cm = 1 miliardo di anni luce appare omogeneo
Nel 1929 Hubble scopre la recessione universale delle Galassie
Le Galassie si allontano tutte radialmente da noi (dal Sole) e si allontanano tanto più velocemente, quanto più sono lontane.
Velocità di recessione
DistanzaCostante di
Hubble
La legge di Hubble si verifica attraverso la misura del redshift
Le righe spettrali delle galassie lontane appaiono spostate verso il rosso
Come capire la legge di Hubble?• Risposta: L’Universo
si espande!• Andando a ritroso nel
tempo torniamo ad un istante in cui l’Universo era piccolissimo e tutta la materia era concentrata in una regione infinitesima di spazio. La densità di energia era infinita. Le galassie sono come palle disposte e
su di un telo. Esse sono ferme ma è il telo che si dilata.
I puntini sulla superficie rappresentano le galassie.
Immaginate la superficie di una sfera
ogni puntino si troveràpiù distante da ogni altro puntinodi quanto esso lo fosse l’istante precedente
FATTORE di SCALA:
rAB
A
B
C
rACdAB = a(t) rAB
dAC = a(t) rAC
Le distanze sono funzioni del tempo
se la sfera si espande
La velocità é.....la derivata della distanza rispetto al tempo
quindi
La costante di Hubble è in realtà una funzione del tempo
è il suo valore al tempo attuale
Espansione dell’Universo
Universo Piatto (k=0)
Universo sferico (k=1)
Universo iperbolico (k= - 1)
L’Universo può avere tre diverse geometrie nelle sue sezioni a tempo costante, ma in ogni caso si espande. L’espansione è semplicemente una dilatazione dello spazio tridimensionale
L’Universo piatto
• Nella geometria euclidea lo spazio è diviso in cubi ed un osservatore ha la sensazione dell’ordinaria, familiare prosepettiva: l’apparente dimensione angolare degli oggetti è inversamente proporzionale alla loro distanza
L’Universo sferico• Lo spazio sferico mostrato qui é Lo spazio sferico mostrato qui é
tessellato da dodecaedri regolari. tessellato da dodecaedri regolari. La geometria dell spazio sferico è La geometria dell spazio sferico è simile a quella della superficie simile a quella della superficie della Terra. Siamo su una sfera della Terra. Siamo su una sfera tridimensionale anziché tridimensionale anziché bidimensionale. La prospettiva in bidimensionale. La prospettiva in uno spazio sferico é peculiare. uno spazio sferico é peculiare. Oggetti sempre più lontani Oggetti sempre più lontani dapprima diventano più piccoli dapprima diventano più piccoli in dimensione angolare, ma in dimensione angolare, ma raggiunta una raggiunta una dimensione dimensione minimaminima crescono di nuovo in crescono di nuovo in dimensione apparente al crescere dimensione apparente al crescere della loro distanza. Questo é della loro distanza. Questo é dovuto alla focalizzazione dei dovuto alla focalizzazione dei raggi luminosiraggi luminosi
L’Universo iperbolico• Lo spazio iperbolico mostrato Lo spazio iperbolico mostrato
qui è tessellato di dodecaedri qui è tessellato di dodecaedri regolari, cosa impossibile nello regolari, cosa impossibile nello spazio Euclideo. La taglia delle spazio Euclideo. La taglia delle celle é dell’ordine di grandezza celle é dell’ordine di grandezza della curvatura. Per oggetti della curvatura. Per oggetti vicini la prospettiva nello vicini la prospettiva nello spazio iperbolico é molto simile spazio iperbolico é molto simile a quella dello spazio Euclideo, a quella dello spazio Euclideo, ma la dimensione angolare ma la dimensione angolare apparente decresce molto più apparente decresce molto più rapidamente con la distanza. rapidamente con la distanza. Infatti decresce in Infatti decresce in modo modo esponenziale.esponenziale.
L’evoluzione del raggio di curvatura con il tempo cosmico
t
a
Universo chiuso di curvatura positiva
Universo aperto di curvatura negativa o nulla
Chi lo dice?• Lo dice un’equazione differenziale,
l’equazione di Freedman:
per la materia
per la radiazione
• Da dove nasce l’equazione di Freedman?
• Dalla Relatività Generale. E’ l’equazione di Einstein per il fattore di scala a(t) !!
Quarta Tappa: Le quattro interazioni e due Modelli
Standard
Le Quattro Interazioni Fondamentali
• La gravità è universale. Tutte le masse la subiscono.
• L’interazione elettromagnetica è trasmessa dai fotoni
• L’interazione debole è trasmessa dai W e Z. Fa decadere il neutrone.
• L’interazione forte è trasmessa dai gluoni. Incolla insieme i nucleoni
da
Oggi abbiamo una buona teoriadelle interazioni fondamentali…..
La gravità di Einstein spiega la legge di Newton, il moto dei pianeti, la struttura dell’Universo a grande scala
Il Modello StandardIl Modello Standard
C YSU(3) x SU(2)W x U(1)
Descrive le interazioni Descrive le interazioni elettrodeboli e spiega elettrodeboli e spiega la struttura dell’atomo la struttura dell’atomo e del nucleo atomicoe del nucleo atomico..
Il Modello Standard contiene i mattoni fondamentali checostituiscono la materia
I mattoni sono particelle elementari caratterizzate da: • Massa • Spin• Colore• Sapore
• Numero di famiglia
• Quanto gravita • Quanto ruota• Come subisce le interazioni
forti• Come subisce le interazioni
deboli• Tutto si ripete tre volte
Le particelle appartengono a due grandi classi: i bosoni ed i fermioni
Lo spin é il momento angolare Lo spin é il momento angolare intrinseco delle particelle elementariintrinseco delle particelle elementari
Fermioni e bosoni si differenziano per Fermioni e bosoni si differenziano per il tipo di spinil tipo di spin
Valore dello spin =numero intero Valore dello spin =numero intero BOSONE BOSONE
Valore dello spin = numero semi interoValore dello spin = numero semi intero
FERMIONEFERMIONE
Quale struttura concettuale presiede a questa strana Quale struttura concettuale presiede a questa strana distinzione?distinzione?
Avete studiato i gruppi a scuola?
Questi gruppi, Questi gruppi, dalle elementaridalle elementariall’Università, all’Università,
che barba!che barba!Voglio andare Voglio andare
al Cinemaal Cinema
La Teoria dei Gruppi è l’essenza La Teoria dei Gruppi è l’essenza del concetto di Simmetria.del concetto di Simmetria.
Le simmetrie sono la linfa vitale Le simmetrie sono la linfa vitale delle Teorie Fisiche.delle Teorie Fisiche.
GRUPPO delle ROTAZIONI
Rotazione
Un gruppo é un insieme i cui elementi sono operazioni di trasformazione che possono essere eseguite in sequenza
A
A
R1 A
R2
R3=R2R1
In genere il prodotto non In genere il prodotto non é commutativoé commutativo
La sequenza delle La sequenza delle due trasformazioni:due trasformazioni:
Il prodotto di due elementi del gruppo é......
I Fermioni sono i costituenti I Fermioni sono i costituenti della materia: della materia:
I Bosoni sono i mediatori delle I Bosoni sono i mediatori delle forze che “incollano” la materiaforze che “incollano” la materia
Leptoni Leptoni s=1/2s=1/2
Quarks Quarks s=1/2s=1/2
elettroneelettrone
mumu
tautau
neutrinineutrini
upup
downdown
strangestrange
charmcharm
bottombottom
toptop
GravitàGravità gravitone gravitone : s=2 : s=2 m=0 m=0
InterazioniInterazioni
fortiforti
gluoni: s=1gluoni: s=1
m=0m=0
InterazioniInterazioni
elettro-elettro-debolideboli
fotone: s=1fotone: s=1
m=0m=0
W,Z: s=1, m>0W,Z: s=1, m>0
I mattoni elementari del Modello I mattoni elementari del Modello StandardStandard
Il modello standard é stato verificato al CERN a Ginevra
L’anello di LEP é in un profondo tunnel sotto Terra
Il rivelatore Delphi
I fasci collidono nelle zone di interazione
UA1 rivelò la particella W, (1983) mediatrice delle interazioni deboli
Questa é la Questa é la ricostruzione di un ricostruzione di un evento di evento di produzione del Wproduzione del W
I laboratori sono sopra la zona di interazione
La distinzione più importante tra bosoni e fermioni é..................
• La statistica.
• I BOSONI ubbidiscono la statistica di BOSE EINSTEIN
• I FERMIONI ubbidiscono la statistica di FERMI-DIRAC
• Come conseguenza di quest’ultima per i fermioni vige IL PRINCIPIO di ESCLUSIONE di PAULI
• E’ sopratutto a causa di quest’ultimo che la materia é dura e come la conosciamo
Non ho ancora spiegato lo spin, ma la statistica..................
• é un concetto più facile da illustrare.
•Consideriamo un insieme di N particelle (qualunque cosa ciò significhi).
•In meccanica classica descriviamo lo stato del sistema dicendo, di ciascuna particella, in quale stato di moto ella si trova.
•la particella Pino si trova costì ed ha la velocità tale, la particella Giovanni si trova colà ed ha la velocità tal altra e così via.
•nel mondo quantico tale dovizia di particolari è priva di senso, poichè le particelle sono indistinguibili.
•Lo stato del sistema si descrive enumerando prima gli stati disponibili e dicendo poi quante particelle si trovano in ciascuno di essi
•Di qui nasce il concetto di NUMERO NUMERO di OCCUPAZIONEdi OCCUPAZIONE
PrecisamenteLA STATISTICA vuol dire:• La funzione d’onda deve essere, per i fermioni completamente
antisimmetrica, per i bosoni completamente simmetrica
• Spiegazione: In Meccanica quantistica la funzione d’onda
....,n), é un numero complesso il cui modulo dà
la probabilità che le n-particelle siano negli stati ....,n rispettivamente.
• La statistica richiede che sotto un qualunque scambio:
i
j
ji
La funzione d’onda si comporti come segue
1
1
, , , , ,
, , , ,
i j n
j i n
Uno scambioB.E. +B.E. +
F.D. -F.D. -
La scelta di questo segno distingue le due statistiche. Per quella di Bose Einstein (simmetrica), la funzione può essere diversa da zero anche con due o più argomenti uguali. Per quella di Fermi Dirac invece essa si annulla ogni volta che ha due argomenti uguali. Quindi la probabilità che
due fermioni siano nello stesso stato é zero!
All’ albergo Fermioni albergo Fermioni chi arriva tardi deve alloggiare ai piani superiori, più costosi, energeticamenteenergeticamente.....!
Mi dispiace, signor elettrone, ma abbiamo solo camere singole. La prima libera é al quarto piano
All’ albergo Bosoni c’é sempre posto. E la camerata (lo stato fondamentalestato fondamentale) é aperta a tutti i poveretti
Non c’è problema, signore. Abbiamo sempre posto. Se vuole spendere poco, abbiamo la camerata
Il sistema periodico degli elementi é una conseguenza del Principio di Esclusione. Due elettroni non possono stare nello stesso STATO dinamico, perché sono fermioni. Perciò si dispongono via via nelle caselle disponibili e...........
Una stella comincia la sua vita come una grande massa fredda di gas, parte di una nebula come la grande Nebula in Orione (foto di sinistra). Sotto effetto della gravità si contrae e si scalda fino a che si innescano le reazioni termonucleari e l’idrogeno viene fuso in elio. In questo stato (sequenza principale) una stella media, come il nostro sole, brilla e dura circa 10 miliardi di anni. (foto al centro). Quando tutto il combustibile é bruciato stelle come il sole finiscono la loro esistenza come nane bianche: stelle densissime, caldissime che emettono pochissima luce, molto bianca.Stelle più grandi finiscono invece esplodendo come supernovae. Una é mostrata nella Grande Nube di Magellano (foto a sinistra)
Un esempio spettacolare di conseguenza del Principio di Pauli é dato dalle stelle Nane Bianche
La risposta é il Principio di Esclusione
• Bruciato tutto il suo combustibile la stella è un ammasso di elio spento e nulla più può contrastare la gravità che forza la stella a contrarsi.
• Contraendosi la stella diventa così densa che ad un certo punto gli elettroni di tutti gli atomi di elio sono così vicini l’uno all’altro da formare un unico gas.
• La stella aveva la massa del sole e quindi gli elettroni sono in numero enorme. La stella non ha più energia da regalare agli elettroni ed essi vorrebbero stare tutti allo stato energetico più basso possibile.
• Ma l’albergo dei fermioni ha solo camere singole. Così gli elettroni riempono tutti gli stati energetici a partire dal più basso a salire fino ad accomodarsi tutti senza lasciare buchi.
• La gravità vorrebbe comprimere ancora, ma più di così non si può, data la regola delle camere singole.
• La stella si comporta come un gas allo zero assoluto, ma la sua temperatura é milioni di gradi, perché? Perchè essendo tanti gli elettroni, per sistemarli tutti ce n’è un numero apprezzabile in stati energetici molto elevati.
Le nane bianche nane bianche sono anormalmente piccole e caldissime, perché?perché?
Per chi sa un briciolino di matematica.
Alla base ci sono i concetti di: • Gruppo delle rotazioniGruppo delle rotazioni• Rappresentazioni del medesimoRappresentazioni del medesimo• Le particelle elementari si classificano in base a
molte proprietà di simmetria. Ogni simmetria é un gruppo.
• Il gruppo delle rotazioni ha due speci diverse di rappresentazioni, intere e semintere.
• A questa distinzione geometrica corrisponde una distinzione di ruolo dinamicoruolo dinamico
Due Modelli StandardModello Standard delle interazioni elettrodeboli e forti
Modello Standard Cosmologico
E’ basato sulla Teoria di Gauge del gruppo SU(3) £ SU(2) £ U(1) e descrive accuratamente la fisica alle
energie disponibili agli acceleratori.
E’ basato sulla Relatività Generale e sull’ipotesi di omogeneità ed isotropia
dell’Universo. Spiega molto bene la struttura attuale dell’Universo e la sua
dinamica a partire da un BIG BANG
Il modello standard però non spiega i suoi molti parametri e presenta un problema (la gerarchia delle scale) di consistenza logica alle alte energie.
Deve essere dedotto da una teoria superiore unificata.
Lo standard Big Bang model, però non spiega soddisfacentemente la piattezza e
l’omogeneità ed altre caratteristiche salienti dell’Universo prese come ipotesi.
Bisogna introdurre lo scenario inflazionistico che può derivare solo da
una teoria superiore unificata
Quinta Tappa:Uno sguardo alla Relatività Generale
Che cos’è e che cosa predice
Einstein nel 1915 scopre la teoria della gravitazione che sostituisce ed estende la Teoria di Newton e la rende compatibile con il principio di equivalenza e covarianza generale….
Che cos’è è più difficile da spiegare, ma alcune delle sue predizioni sono semplici da riassumere..
• Le orbite dei pianeti non sono ellissi chiuse ma curve di questo tipo:
Per il pianeta Mercurio vale
Questo angolo è l’avanzamento del periastro
m3mx
y
oloper arcod sec '"43
PREDIZIONI più significative1. La luce è deflessa dai campi gravitazionali, dalla massa solare, per
esempio. (= Lenti gravitazionali)
2. C’è uno spostamento verso il rosso delle frequenze luminose in presenza di campi gravitazionali
3. Esistono le onde gravitazionali
4. Esistono i buchi neri, regioni di spazio dove la forza gravitazionale è così intensa che nemmeno la luce può sfuggire (dunque non possiamo vedere dentro…!)
5. L’universo non può essere statico. Si espande. Dunque ha avuto origine da un’esplosione iniziale=il Big Bang (Ne abbiamo già parlato)
6. Le stelle hanno un limite superiore di massa oltre il quale,al momento in cui hanno finito il carburante collassano necessariamente in buchi neri
L’interferometro VIRGOL’interferometro VIRGOCostruito vicino a Pisa da una collaborazione Italo Francese sta entrando in funzione in questi mesi: dovrebbe rivelare le onde gravitazionali:
90 dopo la scoperta di Einstein
E’ un esperimento di Michelson Morley: l’onda gravitazionale entrante deforma lo spazio--tempo e contrae i bracci del rivelatore
I bracci sono lunghi 6 Km.
L’interferometro Americano L’interferometro Americano Ligo ad HanfordLigo ad Hanford
Lo schema Lo schema dell’esperimento di dell’esperimento di interferometriainterferometria
Da dove vengono le onde gravitazionali
Ad esempio dalla collisione e poi dalla Ad esempio dalla collisione e poi dalla fusione di due stelle di neutroni o di buchi fusione di due stelle di neutroni o di buchi neri che formano un sistema binario.neri che formano un sistema binario.Questi fenomeni sono estremamente Questi fenomeni sono estremamente complessi, ma le Equazioni di Einstein complessi, ma le Equazioni di Einstein possono essere risolte numericamente al possono essere risolte numericamente al computer e si ottengono delle simulazioni computer e si ottengono delle simulazioni come queste.come queste.
Implicazioni Cosmologiche della Relatività Generale
• Universo in Espansione e Universo in Espansione e Big Bang inizialeBig Bang iniziale
• La radiazione fossile a La radiazione fossile a tre gradi Kelvintre gradi Kelvin
• Il collasso gravitazionale Il collasso gravitazionale e la formazione dei buchi e la formazione dei buchi nerineri
• L’età dell’UniversoL’età dell’Universo
Storia Termica dell’UniversoAl trascorrere del tempo, dopo il Al trascorrere del tempo, dopo il Big Bang, l’Universo si espande e Big Bang, l’Universo si espande e si raffredda. La radiazione di fondo si raffredda. La radiazione di fondo cosmica rimane isotropa e sempre cosmica rimane isotropa e sempre più spostata verso il rosso ( = più spostata verso il rosso ( = fredda). Essa può definirsi fredda). Essa può definirsi l’eco l’eco dell’esplosione iniziale.dell’esplosione iniziale.
Sesta Tappa: soltanto i primi geometri entrano nella scuola di Circino.......
• Questi argomenti sono sicuro che sono per voi affascinanti ………ma per farli diventare qualcosa di più che un semplice racconto di fantascienza bisogna digerire i concetti e le strutture matematiche che si celano dietro le parole usate.
Proviamo insieme a capire che cosa significhi asserire che lo spazio tempo è curvo…
Questa nozione è la chiave d’accesso al cuore della Relatività Generale ed ai suoi affascinanti segreti.
Proveremo con un piccolo esempio in 2 dimensioni, dove possiamo disegnare….
122
21
20 XXX
Sin Cosh
Cos Cosh
Sinh
2
1
0
aX
aX
aX
Un esempio di spazio curvo in 2 dimensioni è fornito dall’iperboloide. I punti di questa superficie sono tutti quelli che soddisfano la seguente equazione quadratica
Possiamo parametrizzare tutti i punti di questo spazio con due coordinate:
20 a
Scrivendo:
0X
1X 2X
La metrica: una regola per calcolare la lunghezza delle curve!!
A
B
)(
)(
t
taa
)(Sin)(Cosh)(
)(Cos)(Cosh)(
)(Sinh)(
2
1
0
ttatX
ttatX
tatX
Una curva sulla superficie è descritta dando le coordinate come funzioni di un solo
parametro t
Questo integrale è una regola ! Ogni regola di questo tipo è un Questo integrale è una regola ! Ogni regola di questo tipo è un Campo Campo Gravitazionale!!!!Gravitazionale!!!!
Quanto è lunga questa curva?
Che cosa fanno le particelle in un campo gravitazionale?Risposta:Risposta: Vanno diritte come nello spazio libero!!!!
Ma è il concetto di linea retta che è modificato dalla presenza di gravità!!!!La metafora del telo di Eddingtonriassume tutta la Relatività Generale.Nello spazio curvo le linee dritte sono diverse dallo spazio piatto!! La linea rossa seguita dalla palla che cade nella gola è una linea dritta (geodetica). D’altra parte lo spazio si incurva sotto il peso della materia che vi risiede e vi si muove!
Che cosa sono le curve diritte?Sono le geodetiche cioè le curve che se deformate un pochino non cambiano quasi di lunghezza. Sono le curve sulle quali si trasportano Sono le curve sulle quali si trasportano parallelamente i vettori!parallelamente i vettori!
Su una sfera le Su una sfera le geodetiche sono i geodetiche sono i cerchi massimicerchi massimi
Nel trasporto parallelo l’angolo tra un vettore e la tangente alla curva si mantiene costante. Sulle geodetiche il vettore tangente si trasporta parallelamente a se stesso.
Vediamo quali sono le linee dritte (=geodetiche) sull’iperboloide
Tre tipi diversi di curve e quindi di geodetiche
Relatività
= segnatura
di Lorentz - , +
tempo spazio
dtal dtd
dtda Cosh 222
• dl2 >0 geodetica di tipo spazio:non può essere percorsa da nessuna particella (viaggerebbe più veloce della luce)
• dl2<0 geodetica di tipo tempo. E’ una possibile linea di mondo per una particella con massa!
• dl2 = 0 geodetica di tipo luce. E’ una possibile linea di mondo per i fotoni e le altre particelle di massa nulla
Tipo spazioap
aptg
22 Cosh
Sinh
Queste curve giacciono sull’iperboloide e sono di tipo spazio. Esse si estendono dall’infinità negativa nella falda inferiore all’infinità positiva in quella superiore. Si attorcigliano un po’ attorno alla gola ma non fanno mai un giro completo. Sono caratterizzate dalla costante p=pendenza.
La forma delle geodetiche è una conseguenza della metrica, la nostra regola per misurare le lunghezze
Tipo tempo1
1 Cosh
2
22
E
E
tg
tgEEa
Queste curve giacciono sull’iperboloide e sono di tipo tempo. Esse hanno un’estensione limitata in “altezza “ e si attorcigliano completamente attorno alla gola facendo più di un giro completo. Sono caratterizzate dalla costante E=energia
La forma delle geodetiche è una conseguenza della metrica, la nostra regola per misurare le lunghezze
Tipo luce 1
1 Cosh
2
2
tg
tga
Queste curve giacciono sull’iperboloide e sono di tipo luce. Esse hanno un’estensione infinita in “altezza “ e non si attorcigliano attorno alla gola Sono caratterizzate dalla costante
=energia
La forma delle geodetiche è una conseguenza della metrica, la nostra regola per misurare le lunghezze
Paragoniamo due metriche in tre dimensioni
E’ sufficiente scrivere il quadrato dell’integrando della regola per
calcolare le lunghezze
A) Metrica piatta
B) Metrica di Bianchi 2
Come sono le geodetiche, cioé le linee dritte nelle due metriche?
Per la metrica A) la risposta é facile. Le linee dritte sono proprio diritte, sono cioé delle rette.
Per la metrica B) esse sono invece delle....spirali circolari...!
Geodetiche nella metrica A
xy
z
y
Sono le famigliari rette nello spazio tridimensionale
Geodetiche della metrica B
xy
z
y
z
-2 2 4 6 8
-4
-2
2
4
Proiezione nel piano xy
Visione tridimensionale
Sono spirali con proiezione circolare sul piano xy
La Curvatura che cos’é
2
22
y
yxl Consideriamo il semipiano superiore con la seguente regola per le distanze (metrica di Poincaré)
Le Geodetiche sono cerchi di raggio arbitario con il centro sull’asse reale
x
y In un triangolo geodetico qui In un triangolo geodetico qui la somma degli angoli interni è la somma degli angoli interni è sempre minore di 180°. sempre minore di 180°. Questo deficit angolare è la Questo deficit angolare è la curvatura negativa.curvatura negativa.
Caduta in un buco nero
t=tempo
r = coordinata radiale
2c
GMmr
tcx Questa regola per le distanze si chiama metrica di Schwarzschild ed è la soluzione delle equazioni di Einstein che descrive una stella sferica
Che cosa capita ai fotoni?Per le geodetiche di tipo luce si ha:
mr
mrc
GM
c
rrr
r rcGM
dr
cee
e
e
tt 03
0
0
2
ln2
21
10
Visto dall’osservatore all’esterno il fotone impiega un tempo infinito a raggiungere l’orizzonte r=m. Nel suo tempo proprio, pero’ esso lo raggiunge in un tempo finito e poi cade dentro. All’interno dell’orizzonte i coni luce sono sempre orientati verso la singolarità r=0
Effetti gravitazionali nella metrica di Schwarzschild
Deflessione di un raggio laser
Avvicinandosi all’orizzonte l’immagine della compagna (stella blu) è sdoppiata dall’effetto di lente gravitazionale
Caduta nella singolaritàIl raggio di Schwarzschild di una stella di massa stellare (1033 gm) é rs ¼ 3 km. L’ultima orbita circolare possibile (ma instabile) è a 3 rS
Chi si avvicina a meno di tale distanza cadrà fatalmente dentro l’orizzonte e poi nella singolarità.
Sarà stritolato dalle forze di marea
Prolungamento di Kruskal oltre l’orizzonte Si può capire che cosa succede veramente se si fa
un cambio di coordinate opportuno e si usano nuovi parametri per descrivere i punti dello spazio tempo
Singolarità r=0
Orizzonte r=m
Geodetiche di tipo tempo per r>m
Geodetiche di tipo tempo per r<0
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