Lukasiewicz - Estudios de Lógica y Filosofía

ESTUDIOS DE LOacuteGICA Y

FILOSOFIacuteA

Jan Łukasiewicz (edicioacuten y seleccioacuten a cargo de

Alfredo Deantildeo)

Edicioacuten electroacutenica de wwwphilosophiacl Escuela de Filosofiacutea Universidad ARCIS

wwwphilosophiacl Escuela de Filosofiacutea Universidad ARCIS

IacuteND IC E ELEMENTOS CREATIVOS EN LA CIENCIA 3 LECCIOacuteN DE DESPEDIDA PRONUNCIADA POR EL PROFESOR JAN ŁUKASIEWICZ EN EL AULA MAGNA DE LA

UNIVERSIDAD DE VARSOVIA EL 7 DE MARZO DE 1918 15 SOBRE LA LOacuteGICA TRIVALENTE 18 SOBRE EL DETERMINISMO 20 OBSERVACIONES FILOSOacuteFICAS SOBRE LOS SISTEMAS POLIVALENTES DE LOacuteGICA PROPOSICIONAL 34 PARA LA HISTORIA DE LA LOacuteGICA DE PROPOSICIONES 56 LOGIacuteSTICA Y FILOSOFIacuteA 60 EN DEFENSA DE LA LOGIacuteSTICA 74

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ELEMENTOS CREATIVOS EN LA CIENCIA Tanto los cientiacuteficos como los profanos piensan muchas veces que lo que la ciencia persigue es la verdad y entienden la verdad como el acuerdo entre el pensamiento y lo que existe De ahiacute que consideren que la tarea del cientiacutefico consiste en reproducir hechos mediante juicios verdaderos de igual modo que una placa fotograacutefica reproduce luces y sombras y un fonoacutegrafo reproduce sonidos El poeta el pintor y el compositor trabajan creativamente el cientiacutefico no crea nada simplemente descubre la verdad1 Este nudo de ideas a la vez que suscita en el cientiacutefico un sentimiento de injustificada arrogancia lleva al artista a tomarse la ciencia a la ligera Tales puntos de vista han abierto un vaciacuteo entre ciencia y arte y en ese vaciacuteo ha desaparecido la comprensioacuten de esa inapreciable cualidad que es el elemento creativo en la ciencia Cortemos este nudo de ideas con la espada del espiacuteritu criacutetico loacutegico

1 No todos los juicios verdaderos son verdades cientiacuteficas Hay verdades que son demasiado fuacutetiles como para formar parte de la ciencia Dice Aristoacutefanes en Las nubes2

laquoPreguntaba ha poco Querefon a Soacutecrates cuaacutentas veces saltaba lo largo de sus patas una pulga que habiacutea picado a Querefon en una ceja y se habiacutea lanzado luego a la cabeza de Soacutecratesraquo

Soacutecrates dio caza a la pulga y sumergioacute sus patas en cera fundida quedoacute asiacute la pulga como con zapatos Luego la descalzoacute y los utilizoacute para medir la distancia He aquiacute una verdad acerca del salto de la pulga que llegoacute a preocupar a Soacutecrates Pero el lugar apropiado para verdades tales estaacute en una comedia y no en la ciencia La mente humana cuando estaacute produciendo ciencia no persigue la omnisciencia Si asiacute fuera tendriacuteamos que ocuparnos hasta de las verdades maacutes fuacutetiles En realidad la

Publicado por ver primera con el tiacutetulo laquoO twoacuterczości w nauceraquo en Księga pamiątkowa ku uczczeniu 250 rocznicy zalożenia Uniwersytetu Lwowskiego Lwoacutew 1912 y reimpreso en una versioacuten abreviada con el tiacutetulo de laquoO nauceraquo [Sobre la ciencia] en Poradnik dla samoukoacutew Vol 1 Varsovia 1915 Publicado de nuevo en la edicioacuten de 1961 de Z zagadnień logiki i filozofii [Problemas de loacutegica y filosofiacutea] 1 Cuando ya teniacutea redactada la introduccioacuten a este escrito encontreacute en una obra de Xeacutenopol conocido metodoacutelogo de las ciencias histoacutericas las siguientes formulaciones laquoLa ciencia no es una creacioacuten de nuestro espiacuteritu a la manera del artehellip La ciencia no es maacutes que la reproduccioacuten intelectual del universoraquo (Cf La theacuteorie de lrsquohistoire Pariacutes 1908 paacuteg 30) 2 [Versos 144‐147 Hemos utilizado la versioacuten de Federico de Baraacuteiacutebar y Zumaacuterraga Comedias de Aristoacutefanes Tomo primero Madrid Libreriacutea y Casa Editorial Hernando 2ordf ed 1962]

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omnisciencia parece un ideal religioso maacutes que cientiacutefico Dios conoce todos los hechos porque El es el Creador y la Providencia del mundo y el juez de las humanas acciones e intenciones Como dice el salmista

laquoMira Yahveacute desde los cieloscontempla a todos los hijos de los hombres Desde la morada en que se asientaobserva todos los habitantes de la tierra El ha plasmado todos los corazonesy conoce a fondo todas sus obrasraquo3

iexclCuaacuten diferente es la idea aristoteacutelica de conocimiento perfecto Tambieacuten Aristoacuteteles piensa que un sabio lo conoce todo pero no conoce hechos detallados sino que soacutelo tiene un conocimiento de lo general Y como conoce lo general en un cierto sentido conoce todos los detalles que lo general abarca De modo que en potencia conoce todo lo que puede ser conocido Pero soacutelo en potencia la omnisciencia en acto no es el ideal del Estagirita4 2 Puesto que no es cierto que todos los juicios verdaderos formen parte de la ciencia alguacuten otro valor habraacute ademaacutes de su verdad que confiere a determinados juicios el rango de verdades cientiacuteficas Ya Soacutecrates y sus grandes continuadores pensaron que ese valor adicional era el de la generalidad Aristoacuteteles deciacutea que el conocimiento cientiacutefico se ocupa no de eventos incidentales (como el salto de la pulga desde la ceja de Querefon) sino de hechos que se repiten de manera constante o al menos con frecuencia Esos hechos quedan reflejados en juicios generales y soacutelo tales juicios forman parte de la ciencia5 Sin embargo la generalidad no es ni una caracteriacutestica necesaria ni una caracteriacutestica suficiente de las verdades cientiacuteficas No es necesaria porque podemos no eliminar de la ciencia los juicios singulares La proposicioacuten singular laquoWładysław Jagiełło fue el vencedor de la batalla de Grunwaldraquo se refiere a un importante evento histoacuterico el juicio singular que sobre la base de ciertos caacutelculos previoacute la existencia de Neptuno fue uno de los mayores triunfos de la astronomiacutea Sin juicios singulares la historia dejariacutea de existir como ciencia y la ciencia natural se veriacutea reducida a retazos de teoriacutea La generalidad no es una caracteriacutestica suficiente de las verdades cientiacuteficas La siguiente estrofa de cuatro versos obra de Mickiewicz

laquoNa każdym miejscu i o każdej dobie gdziem z tobą płakał gdziem się z toba bawił wszędzie i zawsze będę ja przy tobie

3 Salmo 33 (Exultate iusti in Domino) versos 29‐30 Cf tambieacuten Salmo 139 [Hemos utilizado la versioacuten de E Naacutecar y A Colunga Madrid B A C 4a ed 1970] 4 Metafiacutesica A 2 982a8 y ss 21 y ss 5 Metafiacutesica E 2 1027 a 20 21 26

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bom wszędzie cząstkę mej duszy zostawiłraquo puede ser objeto de los siguientes juicios generales laquoEn todos los versos aparece la letra sraquo laquoEn todos los versos en los que aparece la letra m eacutesta aparece dos vecesraquo laquoEn todos los versos el nuacutemero de veces en que aparece la letra m es una funcioacuten del nuacutemero de veces en que aparece la letra s expresada por la foacutermula m = s2 ‐ 5s + 6raquo6 Podemos producir indefinidamente verdades generales como eacutestas iquestHabremos de incluirlas en la ciencia 3 Aristoacuteteles al adoptar la generalidad como la caracteriacutestica de la verdad cientiacutefica estaba sucumbiendo al encanto del valor metafiacutesico Tras los hechos constantemente repetidos percibiacutea eacutel una existencia permanente distinta de los fenoacutemenos evanescentes del mundo de los sentidos Hoy en diacutea los cientiacuteficos se sienten maacutes inclinados a ver en la generalidad un valor praacutectico Los juicios generales al definir las condiciones bajo las cuales tienen lugar los fenoacutemenos hacen posible pronosticar el futuro provocar fenoacutemenos uacutetiles y evitar que se produzcan los dantildeinos De aquiacute procede la concepcioacuten seguacuten la cual las verdades cientiacuteficas son juicios valiosos para la praacutectica reglas de la accioacuten eficaz7 Pero el valor praacutectico no es tampoco ni una propiedad suficiente ni una propiedad necesaria de las verdades cientiacuteficas El teorema de Gauss seguacuten el cual todo nuacutemero primo de la forma 4n + 1 es un producto de dos nuacutemeros conjugados no tiene valor praacutectico8 Por otra parte la informacioacuten proporcionada por la policiacutea de que ciertos objetos

Dejamos sin traducir el ejemplo original debido a que la referencia del autor no estaacute dirigida al significado del poema sino a la presencia en eacutel de ciertas letras 6 Estos cuatro versos componen la tercera estrofa del poema Do M (A M) que comienza con las palabras Precz z moich oczu Adam Mickiewicz Dziela [Obras] Sociedad Literaria Adam Mickiewicz Lwoacutew 1896 Vol 1 paacuteg 179 Se sigue de la foacutermula que m = 2 para s = 1 (versos uno y dos) m = 0 para s = 2 (verso tres) y m = 2 para s = 4 (verso cuatro) 7 A Comte (cf Cours de philosophie 2ordf ed Pariacutes 1864 Vol 1 paacuteg 51) definiacutea la relacioacuten entre ciencia y accioacuten del siguiente modo laquoCiencia y de ahiacute previsioacuten previsioacuten y de ahiacute accioacutenraquo Pero Comte sin embargo no veiacutea en la prediccioacuten ni en la accioacuten el objetivo de la ciencia (cf la nota 3 al piacutee de la paacutegina 6) Actualmente el pragmatismo identifica la verdad con la utilidad y H Bergson al reemplazar en Lrsquoeacutevolution creacuteatice (5ordf ed Pariacutes 1909 paacuteg 151) el teacutermino homo sapiens por homo faber (cosa que ya Carlyle habiacutea hecho antes el hombre es un animal que utiliza instrumentos Sartor Resarius Libro 1 capiacutetulo 5) quiere que la mente entera del hombre se ponga al servicio de los objetivos de la actividad praacutectica H Poincareacute en su libro La valeur de la science (Pariacutes 1911 paacuteg 218) [Hay versioacuten castellana de A B Besio y J Banfi Madrid Espasa‐Calpe 1947] cita la siguiente afirmacioacuten de Le Roy uno de los seguidores de Bergson laquoLa ciencia no es maacutes que una regla de accioacutenraquo 8 Gauss Theoria residuorum biquadraticorum commentatio secunda sect 33 Ejemplos 5 = (1 + 2i) (1 ‐ 2i) 13 = (2 + 3i) (2 ‐ 3i) etc El teorema de Gauss es equivalente al teorema de Fermat seguacuten el cual todo nuacutemero primo de la forma 4n + 1 se puede representar como una suma de dos nuacutemeros cuadrados e g 5 = 12 + 22 13 = 22 + 32 etc

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robados han sido recuperados es desde todos los puntos de vista praacutecticos muy valiosa para los propietarios de lo sustraiacutedo Por lo demaacutes iexclcuaacutentos fenoacutemenos pueden preverse y cuaacutentos percances pueden conjurarse en virtud de la siguiente ley desconocida para Gali‐leo en esta formulacioacuten que le damos laquoTodos los laacutepices fabricados por Majewski y Ciacutea S L de Varsovia cuando nada los sostiene ni en nada se apoyan caen con una velocidad que se incrementa en proporcioacuten al periodo de caiacutedaraquo Los que quieren convertir a la ciencia en una sierva de las necesidades cotidianas tienen una baja opinioacuten de la ciencia Maacutes sublime aunque no mejor era la idea de Tolstoi de condenar las ciencias experimentales y pedir de la ciencia que nos instruyera tan soacutelo en las cuestiones eacuteticas9 La ciencia tiene una importancia inmensa en los asuntos praacutecticos puede elevar eacuteticamente al hombre y puede resultar una fuente de satisfaccioacuten esteacutetica pero lo esencial de su valor estaacute en otra parte 4 Aristoacuteteles vio el origen de la ciencia en el asombro Los griegos se asombraron al descubrir que la diagonal y el lado de un cuadrado eran inconmensurables10 El asombro es un estado psicoloacutegico de naturaleza a la vez intelectual y emocional Hay otros estados semejantes a eacutel como pueden ser la curiosidad el temor a lo desconocido la incredulidad la incertidumbre Hasta ahora no han sido estudiados de una manera completa pero basta con un anaacutelisis sumario para percatarse de que todos ellos conllevan junto a factores emocio‐nales un elemento intelectual que no es sino un deseo de conocimiento11 Este deseo se refiere a hechos que son importantes para algunos individuos o para todos los hombres Un hombre que estaacute enamorado y se siente torturado por la duda de si la persona amada le corresponde tendriacutea intereacutes en conocer ese hecho tan importante para eacutel Pero todo hombre ve la muerte con temor y curiosidad cuando intenta en vano sondear su misterio La ciencia no tiene que ver con los deseos de ciertos individuos investiga aquello que puede despertar deseo de conocimiento en todo hombre Si lo que acabamos de decir es cierto entonces el valor adicional ademaacutes de la verdad que todo juicio debe poseer para pertenecer a la ciencia puede definirse como la capacidad de desper‐tar o de satisfacer directa o indirectamente necesidades intelectuales comunes a toda la humanidad es decir necesidades que todo hombre con un cierto grado de desarrollo intelectual puede sentir 5 La verdad relativa al salto de la pulga desde la ceja de Querefon no forma parte de la ciencia porque ni despierta ni satisface ninguna de nuestras necesidades intelectuales La 9 L Tolstoi incluyoacute sus observaciones sobre los objetivos de la ciencia en la conclusioacuten de su libro contra el arte moderno (Soacutelo conozco ese libro en traduccioacuten alemana Gegen die Modern Kunst V alem de W Thal Berliacuten 1898 paacutegs 171 y ss) H Poincareacute cita a Tolstoi en su artiacuteculo laquoLe choix des faitsraquo incluido en su libro Science et meacutethode (Pariacutes 1908 paacuteg 7) [Hay versioacuten castellana de M G Miranda y L Alonso Madrid Espasa‐Calpe 1944] 10 Metafiacutesica A 2 982 b 11 ss Comte (loc cit) dice que el conocimiento de las leyes que gobiernan los fenoacutemenos satisface esa urgente necesidad de la mente humana que se expresa en el asombro eacutetonnement 11 Los estados de incertidumbre en la medida en que se dan en los deseos han sido analizados por W Witwicki en Analiza psychologiczana objawoacutew woli (Anaacutelisis psicoloacutegico de las manifestaciones de la voluntad) Lwoacutew 1904 paacutegs 99 y ss

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informacioacuten proporcionada por la policiacutea relativa a la recuperacioacuten de lo robado puede ser de intereacutes a lo sumo para las personas afectadas Asimismo nadie estaacute interesado en saber cuaacutentas veces aparecen las letras m y s en un determinado poema o cuaacutel es la relacioacuten entre esos dos nuacutemeros Ni siquiera el juicio acerca de la caiacuteda de los laacutepices fabricados por Majewski y Ciacutea encontrariacutea su lugar en un libro de fiacutesica puesto que nuestro deseo de conocimiento queda satisfecho por una ley general acerca de la caiacuteda de los cuerpos El teorema de Gauss acerca de la factorizacioacuten de los nuacutemeros primos de la forma 4n + 1 en nuacutemeros complejos soacutelo lo conocen unos pocos cientiacuteficos Sin embargo forma parte de la ciencia porque revela la existencia de una extrantildea regularidad en las leyes que gobiernan los nuacutemeros los cuales siendo un poderoso instrumento de investigacioacuten des‐piertan curiosidad en todo hombre que piense No todo el mundo necesita ocuparse de la existencia de Neptuno pero ese hecho confirma la teoriacutea sinteacutetica de Newton acerca de la estructura del sistema solar y de este modo aunque sea indirectamente ayuda a satisfacer la necesidad intelectual que la humanidad ha sentido desde los maacutes tempranos tiempos La victoria de Jagiełło quizaacute sea como tal de poco intereacutes para un japoneacutes pero ese hecho tuvo su importancia en la historia de las relaciones entre dos naciones y la historia de una nacioacuten puede no resultar indiferente a un individuo culto Mientras que el arte partioacute de un anhelo de belleza la ciencia se formoacute en una buacutesqueda del conocimiento Pretender encontrar los objetivos de la ciencia fuera de la esfera del intelecto es un error tan grosero como restringir el arte mediante consideraciones de utilidad Las consignas laquola ciencia por la cienciaraquo y laquoel arte por el arteraquo son igualmente legiacutetimas 6 Toda necesidad intelectual que no puede satisfacerse inmediatamente de una manera empiacuterica da lugar al razonamiento Todo aquel que se sienta asombrado por la inconmen‐surabilidad de la diagonal con el lado de un cuadrado querraacute encontrar una explicacioacuten de ese hecho busca entonces razones de las que el juicio sobre la inconmensurabilidad pueda ser una consecuencia Todo el que sienta temor ante el paso de la tierra a traveacutes de la cola de un cometa intentaraacute inferir basaacutendose en las leyes conocidas de la naturaleza las consecuencias de tal suceso Un matemaacutetico que no esteacute seguro de si la ecuacioacuten xn + vn = zn no tiene solucioacuten entre enteros positivos con n gt 2 buscaraacute una demostracioacuten es decir buscaraacute juicios fidedignos que justifiquen el famoso teorema de Fermat Una persona que sufra de alucinaciones y que en un momento dado no cree lo que ve querraacute verificar la naturaleza objetiva de lo que ve buscaraacute por tanto las consecuencias que se derivan del supuesto de que no sufre alucinaciones Por ejemplo preguntaraacute a otras personas si ven lo mismo que eacutel La explicacioacuten la inferencia la demostracioacuten y la verificacioacuten son tipos de razonamiento12

12 El Profesor K Twardowski fue el primero en utilizar el teacutermino laquorazonamientoraquo como un teacutermino general para cubrir laquoinferenciaraquo y laquodemostracioacutenraquo en Zasadnicze pojecia dydaktyki i logiki (Los conceptos fundamentales de los meacutetodos de ensentildeanza y de la loacutegica) Lwoacutew 1901 paacuteg 19 paraacutegrafo 97 Como prolongacioacuten de sus puntos de vista introduzco la teoriacutea del razonamiento bosquejada en 7

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Todo razonamiento se compone cuando menos de dos juicios entre los que se da la relacioacuten de consecuencia Un conjunto de juicios conectados mediante esas relaciones puede recibir el nombre de siacutentesis Puesto que toda necesidad intelectual que sea comuacuten a la humanidad se puede satisfacer mediante el solo razonar y no mediante la experiencia que por su misma naturaleza es individual la ciencia no incluye juicios aislados sino solo siacutentesis de juicios 7 Toda siacutentesis de juicios incluye como factor necesario la relacioacuten formal de consecuencia El silogismo laquoSi todo S es M y todo M es P entonces todo S es Praquo es el ejemplo maacutes corriente aunque no el uacutenico de juicios conectados por medio de esa relacioacuten loacutegica La relacioacuten de consecuencia que se mantiene entre las premisas de un silogismo y su conclusioacuten se llama formal porque se mantiene con independencia del significado de los teacuterminos S M y P que constituyen la laquomateriaraquo del silogismo La relacioacuten formal de consecuencia es no‐simeacutetrica es decir tiene la propiedad de que cuando la relacioacuten de consecuencia se mantiene entre un juicio o conjunto de juicios A y B la misma relacioacuten puede mdashpero no tiene necesariamente quemdash mantenerse entre B y A El juicio A del que B es una consecuencia es la razoacuten y B es la consecuencia La transicioacuten de la razoacuten a la consecuencia determina la direccioacuten de la relacioacuten de consecuencia El razonamiento que parte de razones y busca consecuencias recibe el nombre de deduccioacuten el que parte de consecuencias y busca razone recibe el nombre de reduccioacuten En el caso de la deduccioacuten la direccioacuten del razonamiento estaacute de acuerdo con la de la relacioacuten de consecuencia en la reduccioacuten ambas direcciones son contrarias El razonamiento deductivo puede ser o bien una inferencia o bien una verificacioacuten y el razonamiento reductivo puede presentarse como una explicacioacuten o como una demostracioacuten Si a partir de juicios fidedignos deducimos una consecuencia estamos infi‐riendo si buscamos razones para determinados juicios fidedignos estamos explicando Si buscamos juicios fidedignos que sean consecuencias de determinados juicios no fidedignos estamos verificando si buscamos juicios fidedignos de los que determinados juicios no fidedignos sean consecuencias estamos demostrando 8 Hay un elemento creativo en todo razonamiento donde se manifiesta con maacutes fuerza es en la explicacioacuten La induccioacuten incompleta es un tipo de explicacioacuten Es un modo de razonar que para determinados juicios singulares fidedignos laquoS1 es P S2 es P S3 es Phellipraquo busca una razoacuten en forma de un juicio general laquoTodo S es Praquo Como todo razonamiento reductivo la induccioacuten incompleta no justifica el resultado del razonamiento por su punto de partida En efecto S1 S2 S3 no agotan la extensioacuten del concepto S e inferir un juicio general a partir de unos pocos juicios singu‐lares no es formalmente permisible He aquiacute la razoacuten de que un argumento por induccioacuten

Como se habraacute observado con un uacutenico teacutermino lsquoconsecuenciarsquo estamos refirieacutendonos a dos cosas distintas (que Łukasiewicz designa con dos teacuterminos diferentes) a la relacioacuten de consecuencia entre juicios y al juicio que se sigue de otro siendo eacuteste uacuteltimo el fundamento o razoacuten de aqueacutel

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incompleta no sea como tal un juicio fidedigno sino soacutelo un juicio probable13 La generalizacioacuten laquoTodo S es Praquo se puede interpretar bien como un conjunto de descripciones singulares bien como la relacioacuten laquosi algo es S entonces es Praquo Si una generalizacioacuten es un conjunto de juicios singulares entonces abarca no soacutelo aquellos casos que han sido ya investigados sino tambieacuten casos no conocidos hasta ahora En el supuesto de que los casos no conocidos sean como los conocidos nosotros no estamos reproduciendo hechos empiacutericamente dados sino que estamos creando nuevos juicios seguacuten el modelo de los juicios acerca de casos conocidos Si una generalizacioacuten expresa una relacioacuten entonces estaacute introduciendo un factor que es ajeno a la experiencia Desde los tiempos de Hume soacutelo nos estaacute permitido decir que percibimos una coincidencia o una secuencia de eventos pero no una relacioacuten entre ellos14 Asiacute pues un juicio acerca de una relacioacuten no reproduce hechos que esteacuten empiacuteri‐camente dados sino que una vez maacutes constituye una manifestacioacuten del pensamiento creativo del hombre Y esta es todaviacutea una actividad creativa de poca monta tendremos ocasioacuten de conocer otra de mayor entidad 9 Pensemos en la generalizacioacuten de Galileo laquoTodos los cuerpos pesados cuando nada los sostiene ni en nada se apoyan caen con una velocidad que se incrementa en proporcioacuten al tiempo de caiacutedaraquo Esta generalizacioacuten incluye una ley que expresa la relacioacuten funcional entre la velocidad v y el tiempo de caiacuteda t relacioacuten que viene dada por la foacutermula v = gt La cantidad t puede tomar valores que se expresan mediante enteros fracciones nuacutemeros irracionales y nuacutemeros trascendentales Esto conduce a un nuacutemero infinito de juicios acerca de casos que nadie ha observado nunca o que nadie podraacute nunca observar Este es un caso de pensamiento creativo que ya hemos mencionado antes El otro elemento estaacute inserto en la forma de la relacioacuten Ninguna medicioacuten es exacta Por tanto es imposible afirmar que la velocidad es exactamente proporcional al tiempo de caiacuteda Asiacute pues tampoco la forma de la relacioacuten reproduce hechos que esteacuten empiacute‐ricamente dados la relacioacuten entera es un producto de la actividad creativa de la mente humana Por lo demaacutes sabemos que la ley que gobierna la caiacuteda de los graves soacutelo puede ser verdadera aproximativamente puesto que supone condiciones que no se dan tales como una aceleracioacuten gravitatoria constante o una falta de resistencia por parte del aire Por consiguiente no reproduce la realidad sino que tan soacutelo alude a una ficcioacuten He aquiacute por queacute la historia nos dice que la ley no surgioacute de la observacioacuten de fenoacutemenos sino que nacioacute a priori en la mente creativa de Galileo Fue soacutelo despueacutes de

13 Esta concepcioacuten de la naturaleza de la inferencia inductiva estaacute de acuerdo con la denominada teoriacutea de la induccioacuten como inversioacuten formulada por Jevons y Sigwart (cf mi trabajo laquoO indukcji jako inwersji dedukejiraquo (Sobre la induccioacuten como la inversioacuten de la deduccioacutenraquo en Przeglad Filozoficzny 6 (1903) paacuteg 9 14 Cf David Hume Enquiry Concerning Human Understanding laquohellipno podemos en un solo caso aislado descubrir posibilidad alguna de conexioacuten necesariaraquo

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formular su ley cuando Galileo verificoacute en los hechos sus consecuencias15 Tal es el papel de la experiencia en toda teoriacutea de la ciencia natural servir de estimulo a ideas creativas y propor‐cionar materiales para su verificacioacuten 10 Otro tipo de explicacioacuten consiste en la formulacioacuten de hipoacutetesis Formular una hipoacutetesis significa asumir la existencia de un hecho no confirmado empiacutericamente con vistas a deducir de un juicio acerca de ese hecho que aparece como su razoacuten parcial un juicio fidedigno dado como consecuencia Por ejemplo una persona sabe que alguacuten S es P pero no sabe por queacute Como quiere encontrar una explicacioacuten da por supuesto que ese mismo S es M aunque no lo verifica empiacutericamente Pero eacutel sabe que todos los M son P de modo que si da por supuesto que S es M entonces de estos dos juicios puede concluir que S es P El juicio acerca de la existencia de Neptuno era antes de que el hecho se confirmara empiacutericamente una hipoacutetesis El juicio acerca de la existencia de Vulcano un planeta situado maacutes cerca del Sol que Mercurio es todaviacutea una hipoacutetesis Las concepciones seguacuten las cuales existen los aacutetomos los electrones o el eacuteter seraacuten siempre hipoacutetesis16 Toda la paleontologiacutea estaacute basada en hipoacutetesis por ejemplo el enunciado de que ciertas masas grises de caliza que se encontraron en Podolia son rastros de los braquioacutepodos que vivie‐ron en el Siluacuterico y en el Devoacutenico inferior atantildee a fenoacutemenos que no son accesibles a la observacioacuten La historia es un inmenso tejido de hipoacutetesis que por medio de juicios generales extraiacutedos en la mayoriacutea de los casos de la experiencia explican empiacutericamente determinados datos tales como monumentos histoacutericos documentos instituciones y costumbres que existen ahora Todas las hipoacutetesis son productos de la mente humana porque una persona que asume un hecho que no estaacute empiacutericamente confirmado estaacute creando algo nuevo Las hipoacutetesis son elementos permanentes del conocimiento y no ideas transitorias que mediante la verificacioacuten pueden transformarse en verdades establecidas Un juicio acerca de un hecho deja de ser una hipoacutetesis soacutelo si ese hecho se puede confirmar mediante experiencia directa Esto soacutelo tiene lugar en casos excepcionales Y demostrar que las consecuencias de una hipoacutetesis concuerdan con los hechos no significa convertir una hipoacutetesis en una verdad porque la verdad de la razoacuten no se sigue de la verdad de la consecuencia 11 Hay otros tipos de razonamiento que a diferencia de la explicacioacuten no contienen elementos creativos primarios Esto ocurre asiacute porque demostrar consiste en buscar razones

15 Cf E Mach Die Mechanik in ihrer Entwickelung 6ordf ed Leipzig 1908 paacutegs 129 y ss 16 En el escrito del Dr Bronislaw Biegeleisen laquoO twoacuterczosci w naukach scisłychraquo (Sobre elementos creativos en las ciencias exactas) publicado en Przeglad Fitozoficzny 13 (1910) paacutegs 263 387 se citan muchos ejemplos que sentildealan la presencia de elementos creativos en la fiacutesica El Dr Biegeleisen llama la atencioacuten sobre la visualizacioacuten de teoriacuteas fiacutesicas mediante modelos mecaacutenicos (paacutegs 389 y ss) Entre un modelo que explica una teoriacutea y una invencioacuten que es sin duda un trabajo creativo hay soacutelo una diferencia que se refiere a los objetivos y aplicaciones de ambos Hay tambieacuten modelos en loacutegica por ejemplo el aacutebaco loacutegico de Jevons (veacutease el disentildeo en su libro The Principles of Science Londres 1883) o las maacutequinas loacutegicas de Marquand (cf Studies in Logic by Members of the John Hopkins University Boston 1883 paacutegs 12 y ss)

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conocidas y la inferencia y la verificacioacuten desarrollan las consecuencias que estaacuten ya contenidas en las premisas en cuestioacutenhellip Sin embargo en todo razonamiento hay siempre razonamiento creativo formal un principio de razonamiento de caraacutecter loacutegico Un principio de razonamiento es un juicio que enuncia que la relacioacuten de conse‐cuencia se cumple entre ciertas formas de juicios El silogismo laquosi S es M y M es P entonces S es Praquo es un principio de razonamiento17 Los principios de razonamiento no reproducen hechos que esteacuten empiacutericamente dados porque ni la relacioacuten no‐simeacutetrica de consecuencia es objeto de experiencia ni las formas de juicios tales como laquoS es Praquo enuncian fenoacutemenos Las relaciones no‐simeacutetricas nunca ligan entre siacute objetos reales Porque llamamos no‐simeacutetrica a una relacioacuten que puede mdashpero no tiene quemdash mantenerse entre B y A si se mantiene entre A y B Y si A y B existen realmente entonces toda relacioacuten o bien se mantiene entre ellos o no se mantiene La realidad excluye la posibilidad La posibilidad estaacute presente tambieacuten en las formas de los juicios Los teacuterminos S y P son variables que no denotan nada definido sino que pueden denotar algo El elemento de posibilidad es suficiente para hacernos considerar los principios de razonamiento como creaciones de la mente humana y no como reproducciones de hechos reales La loacutegica es una ciencia a priori Sus teoremas son verdaderos sobre la base de definiciones y axiomas derivados de la razoacuten y no de la experiencia Esta ciencia es un aacutembito de pura actividad mental 12 La loacutegica da lugar a las matemaacuteticas La matemaacutetica seguacuten Russell es un conjunto de juicios de la forma laquop implica qraquo donde los juicios p y q soacutelo pueden contener ademaacutes de las variables constantes loacutegicas18 Las constantes loacutegicas incluyen conceptos tales como la relacioacuten de consecuencia la relacioacuten de pertenencia que se mantiene entre un individuo y una clase etc Si toda la matemaacutetica es reductible a la loacutegica entonces tambieacuten ella es un producto puramente mental Un anaacutelisis de las diversas disciplinas matemaacuteticas lleva a la misma conclusioacuten El punto la liacutenea recta el triaacutengulo el cubo todos los objetos que la geometriacutea investiga tienen tan soacutelo una existencia ideal no estaacuten empiacutericamente dados Y no digamos nada de las figuras no‐eucliacutedeas o de los soacutelidos multidimensionales No hay en el mundo de los fenoacutemenos nuacutemeros integrales irracionales imaginarios ni conjugados Dedekind deciacutea de los nuacutemeros que eran laquoproductos libres del espiacuteritu humanoraquo19 Y los nuacutemeros son el

17 Por lo que se refiere al concepto de laquoprincipio de razonamientoraquo estoy en deuda con el profesor K Twardowski (cf Zasadnicze pojecia dydaktyki i togiki (Los conceptos fundamentales de los meacutetodos de ensentildeanza y de la loacutegica) Lwoacutew 1901 paacuteg 30 paraacutegrafo 64) 18 B Russell The Principles of Mathematics Cambridge 1903 paacuteg 3 [Hay versioacuten castellana de J C Grimberg Buenos Aires Espasa‐Calpe 1948] Parece como si Łukasiewicz se refiriera aquiacute al siacutembolo de la implicacioacuten y al siacutembolo laquo0raquo que denota la relacioacuten de pertenencia que se da entre un objeto y un conjunto del que ese objeto es un elemento 19 R Dedekind Was sind und was sollers die Zahlen Braunschweig 1888 paacuteg VI laquodie Zahlen sind freie Schoumlpfungen des menschlichen Geistesraquo

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fundamento de todo el anaacutelisis La loacutegica junto con la matemaacutetica se puede comparar a una fina red que se arroja al inmenso abismo de los fenoacutemenos para obtener esas perlas que son las siacutentesis cientiacute‐ficas Es un instrumento poderoso de investigacioacuten pero soacutelo un instrumento Los juicios loacutegicos y matemaacuteticos soacutelo son verdades en el mundo de las entidades ideales Probable‐mente nunca sabremos si estas entidades tienen sus correspondencias en algunos objetos reales20 Las construcciones mentales a priori que estaacuten contenidas en toda siacutentesis empapan la ciencia entera en un elemento ideal y creativo 13 Ha llegado el momento de examinar la siguiente cuestioacuten iquestcuaacuteles verdades cientiacuteficas son puras reproducciones de hechos Porque si las generalizaciones las leyes y las hipoacutetesis y por tanto todas las teoriacuteas de las ciencias empiacutericas y el aacutembito entero de las ciencias a priori son un resultado del trabajo creativo de la mente humana entonces probablemente pocos juicios habraacute en la ciencia que sean puramente reproductivos La respuesta a esta cuestioacuten parece faacutecil Soacutelo un enunciado singular acerca de un hecho que estaacute directamente dado en la experiencia puede ser un juicio puramente reproductivo Por ejemplo laquoAquiacute crece un pinoraquo laquoEsta aguja magneacutetica se desviacutea ahora (de su posicioacuten anterior)raquo laquoen esta habitacioacuten hay dos sillasraquo Pero si alguien examina estos juicios con mayor atencioacuten quizaacute encuentre tambieacuten en ellos elementos creativos Las palabras laquopinoraquo laquoaguja magneacuteticaraquo y laquodosraquo representan conceptos y por tanto encierran un trabajo del espiacuteritu Todos los hechos formulados en palabras estaacuten por primitivos que sean interpre‐tados por el hombre Un laquohecho crudoraquo intocado por la mente humana se antoja un concepto limite En cualquier caso tenemos la sensacioacuten de que la capacidad creativa de la mente humana no es ilimitada Los sistemas idealistas de epistemologiacutea no consiguen eliminar la sensacioacuten de que existe alguna realidad independiente del hombre y de que ha de buscarse en los objetos de observacioacuten en la experiencia Desde hace mucho tiempo la gran tarea de la filosofiacutea ha sido investigar queacute elementos de esa realidad vienen de la mente humana21 14 En la ciencia hay que distinguir dos tipos de juicios de algunos se supone que reproducen hechos dados en la experiencia los otros estaacuten producidos por la mente humana Los juicios del primer tipo son verdaderos porque la verdad consiste en el acuerdo entre el pensamiento y lo que existe iquestSon tambieacuten verdaderos los juicios del segundo tipo

20 En mi libro O zasadzie sprzecznosci u Arystotelesa (Sobre el principio de contradiccioacuten en las obras de Aristoacuteteles) Cracow 1910 paacutegs 133 y ss intenteacute demostrar que no podemos tener la seguridad de que los objetos reales esteacuten sometidos al principio de contradiccioacuten 21 La idea copernicana de Kant que intentoacute demostrar que los objetos siguen al conocimiento maacutes bien que al reveacutes incluye puntos de vista que favorecen la tesis de la presencia de elementos creativos en la ciencia Yo sin embargo he intentado demostrar esa tesis no sobre la base de alguna determinada teoriacutea del conocimiento sino sobre la base del realismo comuacuten por medio de la investigacioacuten loacutegica Por la misma razoacuten no he tomado en consideracioacuten el pragmatismo de James ni el humanismo de Schiller

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No podemos afirmar categoacutericamente que sean falsos Lo que la mente humana ha producido no tiene por queacute ser necesariamente una fantasiacutea Pero tampoco estamos autorizados a considerarlos como verdaderos porque normalmente no sabemos si tienen su correspondencia en lo que realmente existe Sin embargo los incluimos en la ciencia si estaacuten ligados por relaciones de consecuencia a juicios del primer tipo y si no conducen a consecuencias que esteacuten en discordancia con los hechos Por tanto es erroacuteneo pensar que el objetivo de la ciencia sea la verdad La mente humana no trabaja creativamente buscando la verdad El objetivo de la ciencia es construir siacutentesis que satisfagan las necesidades intelectuales comunes a toda la humanidad Esas siacutentesis incluyen juicios verdaderos acerca de los hechos ellos son los que fundamentalmente suscitan necesidades intelectuales Son elementos reconstructivos Pero esas siacutentesis incluyen tambieacuten juicios creativos eacutestos son los uacutenicos que satisfacen necesidades intelectuales Son elementos constructivos Los elementos del primero y del uacuteltimo tipo se combinan en un todo mediante relaciones loacutegicas de consecuencia Son estas relaciones las que dan a las siacutentesis de juicios su caraacutecter cientiacutefico La creatividad poeacutetica no difiere de la creatividad cientiacutefica en que encierre mayor cantidad de fantasiacutea Cualquiera que como Copeacuternico haya cambiado a la Tierra de posicioacuten y la haya enviado a hacer revoluciones en torno al Sol o que como Darwin haya percibido en las nieblas del pasado las transformaciones geneacuteticas de las especies puede codearse con el mayor de los poetas Pero el cientiacutefico difiere del poeta en que en todo tiempo y lugar razona No necesita ni puede justificarlo todo pero todo lo que afirme tiene que ligarlo mediante lazos loacutegicos en un todo coherente El fundamento de ese todo consiste en juicios acerca de hechos y ello sostiene la teoriacutea que explica organiza y predice hechos Asiacute es como se crea el poema de la ciencia22 Estamos viviendo un periacuteodo de afanosa recoleccioacuten de hechos Fundamos museos de ciencia natural y hacemos herbolarios Confeccionamos listas de las estrellas y trazamos mapas de la Luna Organizamos expediciones a los Polos de nuestro globo y a las elevadas montantildeas del Tiacutebet Medimos computamos y recolectamos datos estadiacutesticos Acumulamos artefactos procedentes de civilizaciones prehistoacutericas y especimenes de arte popular Exploramos tumbas antiguas en busca de nuevos papiros Publicamos fuentes histoacutericas y damos listas bibliograacuteficas Nos gustariacutea preservar de la destruccioacuten todo fragmento de papel impreso Todo esto es un trabajo valioso y necesario Pero una coleccioacuten de hechos no es todaviacutea ciencia Un verdadero cientiacutefico es el que sabe coacutemo trabar los hechos para formar siacutentesis Para hacer esto no basta con adquirir el conocimiento de los hechos es tambieacuten necesario aportar pensamiento creativo

22 Ignacy Matuszewski en su trabajo laquoCele sztukiraquo (Los objetivos del arte) incluido en el libro Tuoacuterczoseacute i twoacutercy (Creacioacuten y creadores) Varsovia 1904 ofrece puntos de vista similares sobre los elementos creativos en la ciencia Sus estudios emprendidos con propoacutesitos diferentes y desde un diferente punto de vista le han conducido a los mismos resultados a que me han conducido a miacute las consideraciones loacutegicas

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Cuanto maacutes adiestre una persona su mente y su corazoacuten y cuanto maacutes estrechamente se una con las grandes mentes creativas de la humanidad tanto mayor seraacute el nuacutemero de ideas creativas que pueda formar en su feacutertil espiacuteritu Y quizaacute en un momento feliz se vea iluminado por una chispa de inspiracioacuten que le haraacute procrear algo grande Porque como ha dicho Adam Miacuteckiacuteewicz23 laquoTodas las cosas grandes que hay en el mundo mdashlas nacionalidades la legislacioacuten las viejas instituciones todos los credos anteriores a la venida de Cristo todas las ciencias los inventos los descubrimientos todas las obras maestras de la poesiacutea y el artemdash han tenido su origen en la inspiracioacuten de profetas sabios heacuteroes y poetasraquo

23 Esta formulacioacuten extraiacuteda de las cartas de Odyniec aparece citada por W Biegantildeski en su escrito laquoO filozofii Mickiewiczaraquo (Sobre la filosofiacutea de Mickiewicz) en Przeglpd Filozoficzny 10 (1907) paacuteg 205

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LECCIOacuteN DE DESPEDIDA PRONUNCIADA POR EL PROFESOR JAN ŁUKASIEWICZ EN EL AULA MAGNA DE LA UNIVERSIDAD DE VARSOVIA EL 7 DE MARZO DE 1918

En esta leccioacuten de despedida quiero ofrecer una siacutentesis de miacute trabajo investigador basada en confesiones autobiograacuteficas Quiero describir el fondo emocional sobre el que se han ido desarrollando mis puntos de vista He declarado una guerra espiritual en contra de toda coercioacuten que restrinja la libre actividad creativa del hombre Hay dos clases de coercioacuten Una de ellas es la coercioacuten fiacutesica que se presenta bien como una fuerza externa que pone cadenas a la libertad de movimientos bien en la forma de una impotencia interna que hace imposible toda accioacuten De esa coercioacuten podemos liberarnos Tensando nuestros muacutesculos podemos rom‐per las cadenas y ejercitando nuestra voluntad podemos vencer la inercia del cuerpo Y cuando todas las medidas fracasan todaviacutea queda la muerte como la gran liberadora La otra clase de coercioacuten es la coercioacuten loacutegica No tenemos maacutes remedio que aceptar los principios que son evidentes asiacute como los teoremas que de ellos se derivan Esa coercioacuten es mucho maacutes fuerte que la fiacutesica no hay esperanza de liberacioacuten No hay fuerza ni fiacutesica ni intelectual que pueda vencer a los principios de la loacutegica y la matemaacutetica Esa coercioacuten surgioacute con la aparicioacuten de la loacutegica de Aristoacuteteles y la geometriacutea de Euclides Habiacutea nacido el concepto de ciencia como sistema de principios y teoremas conectados mediante relaciones loacutegicas El concepto vino de Grecia y ha mantenido su soberaniacutea El universo se concebiacutea sobre el modelo de un sistema cientiacutefico todos los eventos y fenoacutemenos estaacuten interconectados por lazos causales y se siguen los unos de los otros como los teoremas de una teoriacutea cientiacutefica Todo lo que existe estaacute sujeto a leyes necesarias En el universo asiacute concebido no hay lugar para un acto creativo que resulte no de una ley sino de un impulso espontaacuteneo Los impulsos ademaacutes estaacuten sometidos a leyes tienen su origen en la necesidad y podriacutean ser previstos por un ser omnisciente Antes de que yo venga a este mundo mis acciones han sido predeterminadas hasta en sus menores detalles Esta idea invade incluso la vida praacutectica Resulta que la accioacuten sujeta a leyes tanto naturales como sociales y por ende ordenada e intencional es siempre efectiva Si la nacioacuten entera pudiera llegar a constituir un mecanismo cuya estructura reprodujera la del sistema cientiacutefico adquiririacutea tan enorme fuerza que podriacutea aspirar a convertirse en la duentildea del mundo La mente creativa se subleva contra esta concepcioacuten de la ciencia del universo y de la vida Un individuo valiente consciente de su valor no se resigna a ser un simple eslaboacuten en la cadena de causa y efecto sino que quiere dejar sentir su influencia en el curso de los acontecimientos

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Aquiacute ha estado siempre el fondo de la oposicioacuten entre ciencia y arte Pero he aquiacute que los artistas permanecen ajenos a los resultados de la ciencia y no son sensibles a la coercioacuten loacutegica iquestQueacute ha de hacer entonces un cientiacutefico Tiene dos viacuteas para escoger o bien hundirse en el escepticismo y abandonar la investigacioacuten o bien veacuterselas con el concepto de ciencia basado en la loacutegica aristoteacutelica Por mi parte he escogido esta segunda viacutea Lenta y gradualmente he llegado a comprender cuaacutel es el objetivo uacuteltimo de la campantildea que ahora estoy llevando a cabo Incluso todo mi trabajo anterior serviacutea inconscientemente el mismo propoacutesito En mi intento de modificar el concepto de ciencia basado en la loacutegica aristoteacutelica me veiacutea obligado a forjar armas maacutes poderosas que esa loacutegica La loacutegica simboacutelica se convirtioacute para miacute en esa arma Sometiacute a examen a la luz de esa loacutegica los grandes sistemas filosoacuteficos que proclaman la universalidad de la causalidad entre los fenoacutemenos Adquiriacute la certeza de que todos ellos sin excluir la filosofiacutea criacutetica de Kant se reducen a nada cuando se los somete a la criacutetica loacutegica Se convierten en una coleccioacuten de ideas sueltas a veces brillantes pero desprovistas de valor cientiacutefico En absoluto constituyen amenazas a la libertad Las ciencias empiacutericas llegan a leyes generales mediante el razonamiento inductivo Yo sometiacute a examen la estructura loacutegica de las conclusiones obtenidas por induccioacuten Empeceacute por las investigaciones de Jevons y Sigwart e intenteacute demostrar que la induccioacuten es un razonamiento reductivo que busca razones para determinadas consecuencias dadas Un razonamiento de ese tipo jamaacutes lleva a resultados seguros soacutelo a hipoacutetesis Tambieacuten aquiacute por tanto deja de funcionar la coercioacuten loacutegica Las leyes y teoriacuteas de la ciencia natural por ser hipoacutetesis no son reproducciones de hechos sino productos creativos del pensamiento humano Deberiacutea comparaacuterselos no con una fotografiacutea sino con un cuadro pintado por un artista El mismo paisaje puede aparecer interpretado de diferentes maneras en obras de artistas diferentes digamos por analogiacutea que teoriacuteas diferentes pueden servir para explicar los mismos fenoacutemenos En esto veo yo una primera cercaniacutea entre el trabajo cientiacutefico y el artiacutestico La coercioacuten loacutegica se manifiesta con mayor fuerza en las ciencias a priori Aquiacute la disputa se planteaba por todo lo alto En 1910 publiqueacute un libro sobre el principio de contradiccioacuten en la obra de Aristoacuteteles en el que intentaba demostrar que ese principio no es tan evidente como se creiacutea Ya entonces aspiraba a construir una loacutegica no aristoteacutelica pero en vano Ahora creo que tuve eacutexito en esto Mi camino me veniacutea indicado por las antinomias que demostraban que la loacutegica aristoteacutelica tiene lagunas El rellenarlas me llevoacute a una modificacioacuten de los principios tradicionales de la loacutegica El estudio de este tema fue el objeto de mis uacuteltimas clases He demostrado que ademaacutes de proposiciones verdaderas y falsas hay proposiciones posibles a las que corres‐ponde la posibilidad objetiva como un tercer valor ademaacutes del ser y del no‐ser Esto dio origen a un sistema de loacutegica trivalente que desarrolleacute en detalle durante el verano pasado Ese sistema es tan coherente y consistente como la loacutegica de Aristoacuteteles y resulta mucho maacutes rico en leyes y foacutermulas

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Esa nueva loacutegica al introducir el concepto de posibilidad objetiva destruye el primitivo concepto de ciencia basado en la necesidad Los fenoacutemenos posibles no tienen causas aunque ellos mismos puedan constituir el punto de partida de una secuencia causal El acto de un individuo creativo puede ser libre y al mismo tiempo afectar el curso del mundo La posibilidad de construir sistemas loacutegicos diferentes muestra que la loacutegica no estaacute limitada a la reproduccioacuten de hechos sino que es un producto libre del hombre como una obra de arte La coercioacuten loacutegica se evapora en su misma fuente Tal fue mi trabajo investigador su trasfondo emocional y el objetivo por el que se guiaba Y ahora he de abandonar mi trabajo por alguacuten tiempo y someterme yo mismo a coercioacuten y atenerme a leyes y regulaciones e incluso velar por ellas No sereacute libre aunque el no serlo lo habreacute decidido por mi propia voluntad Pero cuando me sienta libre de nuevo volvereacute a la ciencia Volvereacute a ella y quizaacutes os ponga a vosotros o a los que os sucedan ante la tarea de continuar esa lucha ideal en pro de la liberacioacuten del espiacuteritu humano

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SOBRE LA LOacuteGICA TRIVALENTE La loacutegica aristoteacutelica al operar sobre la base de que toda proposicioacuten es o bien verdadera o bien falsa distingue soacutelo dos tipos de valores loacutegicos la verdad y la falsedad Si simbolizamos la verdad por 1 la falsedad por 0 la identidad por = y la implicacioacuten por lt podemos deducir todas las leyes de la loacutegica aristoteacutelica a partir de los siguientes principios y definiciones

I Los principios de identidad de la falsedad de identidad de la verdad y de no‐identidad de la verdad y la falsedad (0 = 0) = 1 (l = l) = 1 (0 = l) = (1 = 0) = 0

II Los principios de la implicacioacuten (0 lt 0) = (0 lt 1) = (1 lt 1) = 1 (1 lt 0) = 0

III Las definiciones de negacioacuten adicioacuten y multiplicacioacuten arsquo = (a lt 0) a + b = [(a

lt b) lt b] ab = (arsquo+brsquo)rsquo En estas definiciones a y b son variables que pueden tomar soacutelo dos valores 0 y 1 Todas las leyes loacutegicas expresadas por medio de variables se pueden verificar sustitu‐yendo las letras por 0 y 1 por ejemplo (a = 1) = a es verdadera porque (0 = l) = 0 y (l = 1) = l La loacutegica trivalente es un sistema de loacutegica no aristoteacutelica puesto que opera sobre la base de que ademaacutes de proposiciones verdaderas y falsas hay tambieacuten proposiciones que no son ni verdaderas ni falsas y por tanto de que existe un tercer valor loacutegico Este tercer valor loacutegico se puede interpretar como la laquoposibilidadraquo y se puede simbolizar por frac12 Si queremos formular un sistema de loacutegica trivalente hemos de antildeadir a los principios relativos a 0 y 1 principios relativos a frac12 Esto puede hacerse de varias maneras el sistema adoptado por este autor en el estado actual de sus investigaciones desviaacutendose lo menos posible de la loacutegica laquobivalenteraquo es el siguiente

I Principios de identidad (0 = frac12) = (frac12 = 0) = (1 = frac12) = (frac12 = 1) = frac12 (frac12 = frac12) = 1 II Principios de implicacioacuten (0 lt frac12) = (frac12 lt 1) = (frac12 lt frac12) = 1 (frac12 lt 0) = (1 lt frac12) = frac12

Los principios antes especificados relativos a 0 y 1 y las definiciones de negacioacuten adicioacuten y multiplicacioacuten siguen siendo los mismos en loacutegica trivalente con la uacutenica diferencia de que las variables a y b pueden tomar tres valores 0 1 y frac12

Publicado originalmente como laquoO logice troacutejwartosciowejraquo en Ruch Filozoficzny 5 (1920) paacutegs 170‐171 En este escrito Łukasiewicz utilizaba el siacutembolo laquo2raquo para denotar un tercer valor loacutegico en escritos posteriores utilizoacute siempre el siacutembolo laquofrac12raquo con ese mismo sentido

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Las leyes de la loacutegica trivalente difieren en parte de las de la loacutegica bivalente Algunas de las leyes de la loacutegica aristoteacutelica son soacutelo laquoposiblesraquo en loacutegica trivalente por ejemplo el principio del silogismo en la formulacioacuten ordinaria (a lt b) (b lt c) lt (a lt c) sin embargo el principio del silogismo en la formulacioacuten (a lt b) lt [(b lt c) lt (a lt c)] es verdadero el principio de contradiccioacuten aarsquo = 0 el principio de tercio excluso a + arsquo = l etc Algunas de las leyes de la loacutegica bivalente son falsas en loacutegica trivalente entre ellas la ley (a = arsquo) = 0 puesto que para a = frac12 el enunciado a = arsquo es verdadero Esto explica el hecho de que en loacutegica trivalente no haya antinomias Este autor es de la opinioacuten de que la loacutegica trivalente tiene sobre todo importancia teoacuterica como medio para construir un sistema de loacutegica no‐aristoteacutelica Si este nuevo sistema de loacutegica tiene o no importancia praacutectica es algo que soacutelo podraacute determinarse cuando se examinen en detalle fenoacutemenos loacutegicos y en especial los fenoacutemenos loacutegicos que se dan en las ciencias deductivas y cuando las consecuencias de la filosofiacutea indeterminista que es el sustrato metafiacutesico de la nueva loacutegica se comparen con los datos empiacutericos

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SOBRE EL DETERMINISMO Este articulo es la versioacuten revisada de una conferencia que pronuncieacute como Rector de la Universidad de Varsovia en la Inauguracioacuten del curso acadeacutemico 1922‐1923 Como de costumbre hableacute sin el auxilio de notas Maacutes tarde redacteacute mi discurso pero nunca hasta ahora lo habiacutea publicado En el curso de los uacuteltimos veinticuatro antildeos volviacute con frecuencia sobre mi confe‐rencia perfeccionando su forma y su contenido Las ideas fundamentales y en particular el examen criacutetico de los argumentos en favor del determinismo quedaron sin embargo como estaban Por el tiempo en que pronuncieacute miacute conferencia los hechos y teoriacuteas que dentro del campo de la fiacutesica atoacutemica siguieron inmediatamente al socavamiento del determinismo eran todaviacutea desconocidos Para no desviarme demasiado del contenido original de la conferencia ni tampoco interferir con eacutel he renunciado a ampliar mi artiacuteculo antildeadieacutendole argumentos tomados de esta rama del conocimiento Dubliacuten noviembre de 1946

1 Es una vieja costumbre acadeacutemica que el Rector abra un nuevo periacuteodo lectivo con una disertacioacuten inaugural Se supone que en ese discurso debe exponer su credo intelectual y ofrecer una siacutentesis de sus investigaciones La siacutentesis de unas investigaciones filosoacuteficas se expresa en un sistema filosoacutefico en una visioacuten comprehensiva del mundo y de la vida Me siento incapaz de presentar un sistema de ese tipo porque no creo que hoy en diacutea se pueda sentar un sistema filosoacutefico que satisfaga las exigencias del meacutetodo cientiacutefico Formo junto con unos pocos compantildeeros de trabajo un grupo todaviacutea pequentildeo de filoacutesofos y matemaacuteticos que han escogido la loacutegica matemaacutetica como tema o base de sus investigaciones Esta disciplina fue inaugurada por Leibniz el gran matemaacutetico y filoacutesofo pero sus esfuerzos habiacutean caiacutedo en olvido cuando hacia mediados del siglo diecinueve George Boole se convirtioacute en su segundo fundador Gottlob Frege en Alemania Charles Peirce en los Estados Unidos y Bertrand Russell en Inglaterra han sido los representantes maacutes prominentes de la loacutegica matemaacutetica en nuestros tiempos En Polonia el cultivo de la loacutegica matemaacutetica ha producido resultados maacutes abun‐

Nota editorial tomada de Polish Logic 1920‐1939 ed por Storrs McCall Oxford The Clarendon Press 1967 Este escrito titulado laquoO Determinizmieraquo se publicoacute por vez primera en Z zagadnień logiki i filozofii una antologiacutea de las obras de Łukasiewicz editada por J Slupecki Varsovia 1961 Traducido por Z Jordan

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dantes y fructiacuteferos que en muchos otros paiacuteses Hemos construido sistemas loacutegicos que desbordan con mucho no soacutelo la loacutegica tradicional sino tambieacuten los sistemas de loacutegica matemaacutetica formulados hasta ahora Hemos comprendido quizaacute mejor que otros queacute es un sistema deductivo y coacutemo deben construirse tales sistemas Hemos sido los primeros en captar la conexioacuten de la loacutegica matemaacutetica con los antiguos sistemas de loacutegica formal Sobre todo hemos alcanzado niveles de precisioacuten cientiacutefica que son muy superiores a las exigencias hasta ahora aceptadas Comparada con estos nuevos niveles de precisioacuten la exactitud de la matemaacutetica considerada antes como un modelo sin igual deja mucho que desear El grado de precisioacuten que le bastaba al matemaacutetico ya no nos satisface Nosotros exigimos que cada rama de la matemaacutetica sea un sistema deductivo correctamente construido Queremos saber cuaacuteles son los axiomas sobre los que se basa cada sistema y las reglas de inferencia de las que hace uso Pedimos que las demostraciones se lleven a cabo de acuerdo con esas reglas de inferencia que sean completas y susceptibles de contrastacioacuten mecaacutenica Ya no nos sentimos satisfechos con las deducciones matemaacuteticas usuales que por lo general comienzan de alguacuten modo laquopor la mitadraquo revelan frecuentes vaciacuteos y hacen constantes apelaciones a la intuicioacuten Si la matemaacutetica no ha pasado la prueba del nuevo nivel de precisioacuten iquestcoacutemo han de pasarlo las demaacutes disciplinas menos exactas que ella iquestCoacutemo podraacute la filosofiacutea en la que las investigaciones sistemaacuteticas se ven a menudo sofocadas por fantaacutesticas especulaciones sobrevivir Cuando nos acercamos a los grandes sistemas filosoacuteficos de Platoacuten o de Aristoacuteteles de Descartes o de Spinoza de Kant o de Hegel con los criterios de precisioacuten establecidos por la loacutegica matemaacutetica esos sistemas caen en pedazos como si fueran castillos de naipes Sus conceptos baacutesicos no estaacuten claros sus tesis maacutes importantes son incomprensibles sus argumentaciones y demostraciones son inexactas y las teoriacuteas loacutegicas que con frecuencia subyacen a ellas son praacutecticamente todas erroacuteneas La filosofiacutea ha de ser reconstruida desde sus mismos fundamentos tendriacutea que inspirarse en el meacutetodo cientiacutefico y basarse en la nueva loacutegica Ninguacuten individuo puede sontildear con cumplir eacutel solo esta tarea Es una labor de generaciones y de intelectos mucho maacutes poderosos que los nacidos hasta ahora 2 Este es mi credo cientiacutefico Puesto que no puedo ofrecer un sistema filosoacutefico intentareacute hoy discutir un problema que ninguna siacutentesis filosoacutefica puede ignorar y que estaacute estrechamente conectado con mis investigaciones loacutegicas Quisiera confesar ya desde ahora que no soy capaz de examinar este problema en todos sus detalles con la precisioacuten cientiacutefica que me exijo a miacute mismo Lo que ofrezco es soacutelo un ensayo muy imperfecto del que quizaacute alguien pueda alguacuten diacutea beneficiarse para establecer sobre la base de estas indagaciones preliminares una siacutentesis maacutes exacta y madura Quiero hablar del determinismo Entiendo por determinismo algo maacutes que la cre‐encia que rechaza la libertad de la voluntad Empezareacute explicando mediante un ejemplo lo que pretendo decir Juan se encontroacute con Pablo en la Plaza de la Ciudad Vieja de Varsovia ayer a mediodiacutea El hecho del encuentro de ayer ya no existe hoy Sin embargo ese hecho de ayer no es hoy una mera ilusioacuten sino una cierta parte de la realidad que tanto Juan como Pablo tienen que tomar en consideracioacuten Ambos recuerdan su encuentro de ayer Los efectos o

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rastros de ese encuentro existen de alguacuten modo en ellos hoy Cualquiera de ellos podriacutea jurar ante un tribunal que vio al otro en la Plaza de la Ciudad Vieja de Varsovia ayer a mediodiacutea Sobre la base de estos datos yo digo laquoes verdad en cualquier instante del diacutea de hoy que Juan se encontroacute con Pablo en la Plaza de la Ciudad Vieja de Varsovia ayer a mediodiacutearaquo Con esto no pretendo sostener que la frase laquoJuan se encontroacute con Pablo en la Plaza de la Ciudad Vieja de Varsovia ayer a mediodiacutearaquo sea verdadera en todo instante del diacutea de hoy porque esa frase si nadie la usa o piensa en ella puede no existir en absoluto Hago uso de la expresioacuten laquoes verdadero en el instante t que praquo mdashdonde laquoinstanteraquo significa un punto inextenso de tiempo y laquopraquo cualquier enunciado de hechomdash como equivalente a laquoes el caso en el instante z que praquo Por el momento soy incapaz de dar un mayor anaacutelisis de esta uacuteltima expresioacuten Estamos en la creencia de que lo que ha tenido lugar no ha podido no ser hecho facta infecta fieri non possunt Lo que era verdadero en una ocasioacuten sigue siendo verdadero para siempre Toda verdad es eterna Estos enunciados parecen intuitivamente ciertos Estamos por tanto en la creencia de que si un objeto A es b en el instante t es verdad en cualquier instante posterior a t que A es b en el instante t Si Juan se encontroacute con Pablo en la Plaza de la Ciudad Vieja de Varsovia ayer a mediodiacutea es verdad en cualquier instante posterior al mediodiacutea de ayer que Juan se encontroacute con Pablo en la Plaza de la Ciudad Vieja de Varsovia ayer a mediodiacutea Se plantea la cuestioacuten de si era tambieacuten verdadero en cualquier instante anterior al mediodiacutea de ayer que Juan se encontrariacutea con Pablo en la Plaza de la Ciudad Vieja de Varsovia ayer a mediodiacutea iquestEra verdadero anteayer y hace un antildeo en el momento del nacimiento de Juan y en cualquier instante que precediera a ese nacimiento iquestAcaso todo lo que ha de suceder y de ser verdadero en alguacuten tiempo futuro es verdadero ya hoy y ha sido verdadero desde toda la eternidad iquestEs eterna toda verdad La intuicioacuten en este caso no nos sirve y el problema se hace controvertido El determinismo responde a la cuestioacuten afirmativamente y el indeterminismo con una negativa Por determinismo entiendo la creencia en que si A es b en el instante t es verdad en cualquier instante anterior a t que A es b en el instante t Nadie que haga suya esta creencia puede tratar el futuro de modo diferente a como trata el pasado Si todo lo que ha de ocurrir y llegar a ser verdadero en alguacuten tiempo futuro es verdadero ya hoy y ha sido verdadero desde toda la eternidad el futuro estaacute tan determinado como el pasado y soacutelo se diferencia del pasado en que no ha pasado todaviacutea El determinista contempla los eventos que tienen lugar en el mundo como si fueran un drama rodado en peliacutecula producido por alguacuten estudio cinematograacutefico del universo Nos encontramos en plena realizacioacuten y no conocemos el final aunque cada uno de nosotros es no soacutelo un espectador sino tambieacuten un actor del drama Pero el final estaacute ahiacute existe desde el comienzo de la realizacioacuten porque la imagen entera estaacute completa desde toda la eternidad En ella todas nuestras cualidades todas las aventuras y vicisitudes de nuestra vida todas nuestras decisiones y actos tanto buenos como malos estaacuten fijados por anticipado Incluso el momento de nuestra muerte la de ustedes y la miacutea estaacute establecido de antemano Soacutelo somos tiacuteteres en el drama del universo No nos queda sino contemplar

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el espectaacuteculo y esperar pacientemente su final Es eacutesta una concepcioacuten extrantildea y en modo alguno evidente Hay sin embargo dos argumentos de poder persuasivo considerable que se conocen desde hace mucho tiempo y que proporcionan apoyo al determinismo Uno de ellos que tiene su origen en Aristoacuteteles estaacute basado en el principio loacutegico de tercio excluso y el otro conocido ya de los Estoicos en el principio fiacutesico de causalidad Intentareacute presentar estos dos argumentos a pesar de lo difiacuteciles y abstractos que son del modo maacutes faacutecil que me sea posible 3 Dos enunciados de los que uno es la negacioacuten del otro se llaman contradictorios Voy a ilustrar esta nocioacuten mediante un ejemplo tomado de Aristoacuteteles laquoMantildeana habraacute una batalla navalraquo y laquoMantildeana no habraacute una batalla navalraquo son enunciados contradictorios Dos famosos principios derivados de Aristoacuteteles el principio de contradiccioacuten y el principio de tercio excluso hacen referencia a enunciados contradictorios El primero de ellos enuncia que dos enunciados contradictorios no son verdaderos a la vez es decir que uno de ellos debe ser falso En lo que sigue no me ocupareacute de este importante principio que Aristoacuteteles y con eacutel otros muchos pensadores consideraron como el maacutes profundo sosteacuten de nuestro pensamiento Me ocupareacute aquiacute del principio de tercio excluso Este establece que dos enunciados contradictorios no son falsos a la vez es decir que uno de ellos ha de ser verdadero O bien habraacute mantildeana una batalla naval o bien no habraacute mantildeana una batalla naval Tertium non datur No hay teacutermino medio entre los argumentos de esta alternativa no hay una tercera cosa que siendo verdadera invalidariacutea sus dos argumentos Puede ocurrir a veces que dos personas en disputa de las que una considera blanco lo que otra considera negro esteacuten ambas equivocadas y que la verdad esteacute en alguacuten punto entre esas dos aserciones No hay contradiccioacuten sin embargo entre considerar una cosa como blanca y considerar esa misma cosa como negra Soacutelo los enunciados que afirman que la misma cosa es y no es blanca seriacutean contradictorios En casos semejantes la verdad no puede estar entre esos enunciados o fuera de ellos sino en uno de ellos Volvamos a nuestro ejemplo cotidiano Si se cumple el principio de tercio excluso y si Pedro dice hoy laquoJuan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo y Pablo lo niega diciendo laquoJuan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo entonces uno de ellos dice la verdad No podemos saber hoy cuaacutel de los dos es el que la dice pero lo sabremos haciendo una visita a Juan mantildeana a mediodiacutea Si encontramos a Juan en casa Pedro hizo una afirmacioacuten verdadera y si Juan no estaacute Pablo dijo la verdad hoy Por lo tanto o bien es ya verdadero hoy que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea o es verdadero hoy que Juan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea Si alguien profiere el enunciado laquopraquo y alguna otra persona profiere su negacioacuten laquono‐praquo entonces uno de ellos hace una afirmacioacuten verdadera no soacutelo hoy sino en cualquier instante t porque o bien laquopraquo o bien laquono‐praquo es verdadero No importa que alguien exprese de hecho estos enunciados o piense en ellos parece estar en la naturaleza misma del caso que o bien es verdadero en el instante t que laquopraquo o es verdadero en el instante t que laquono‐praquo Esta alternativa parece intuitivamente verdadera Aplicada a nuestro ejemplo toma la siguiente forma

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(a) O bien es verdadero en el instante t que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea o es verdadero en el instante t que Juan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea

Retengamos este enunciado como primera premisa de nuestro razonamiento La segunda premisa no estaacute basada en ninguacuten principio loacutegico y se puede expresar de manera general en la siguiente forma condicional laquosi es verdadero en el instante t que p entonces praquo En este condicional laquopraquo representa cualquier enunciado sea afirmativo o negativo Si sustituimos laquopraquo por el enunciado negativo laquoJuan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo obtenemos

(b) Si es verdadero en el instante t que Juan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea entonces Juan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea

Esta premisa tambieacuten parece intuitivamente verdadera Si es verdadero en un ins‐tante cualquiera t por ejemplo ahora que Juan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea mdashporque sabemos que se ha marchado a un lugar lejano por largo tiempomdash no ha lugar a llamar a su puerta mantildeana a mediodiacutea Tenemos la certeza de que no lo encontraremos en casa Aceptamos ambas premisas sin demostracioacuten como intuitivamente ciertas La tesis del determinismo se basa en estas premisas Su demostracioacuten se desarrollaraacute rigurosa‐mente de acuerdo con la llamada teoriacutea de la deduccioacuten 4 Gracias a la loacutegica matemaacutetica sabemos hoy que el sistema baacutesico de loacutegica no es el pequentildeo fragmento de la loacutegica de teacuterminos conocida como la silogiacutestica de Aristoacuteteles sino la loacutegica de proposiciones incomparablemente maacutes importante que la silogiacutestica Aristoacuteteles utilizoacute intuitivamente la loacutegica de proposiciones y soacutelo los estoicos con Crisipo a la cabeza la formularon de manera sistemaacutetica En nuestros diacuteas la loacutegica de proposiciones fue construida en una forma axiomaacutetica casi perfecta por Gottlob Frege en 1879 fue descubierta independientemente de Frege y enriquecida con nuevos meacutetodos y teoremas por Charles Peirce en 1895 y bajo el nombre de laquola teoriacutea de la deduccioacutenraquo fue convertida por Bertrand Russell en 1910 en la base de la loacutegica y la matemaacutetica Fue tambieacuten Bertrand Russell quien divulgoacute su conocimiento entre la comunidad de cientiacuteficos en sentido amplio La teoriacutea de la deduccioacuten deberiacutea convertirse en algo tan universalmente conocido como la aritmeacutetica elemental porque comprende las reglas de inferencia maacutes importantes utilizadas en la ciencia y en la vida diaria Nos ensentildea a utilizar correctamente palabras tan comunes como laquonoraquo laquoyraquo laquooraquo laquosi‐entoncesraquo En el curso de esta exposicioacuten que empezareacute con nuestra segunda premisa nos encontraremos con tres reglas de inferencia que perte‐necen a la teoriacutea de la deduccioacuten La segunda premisa es un condicional de la forma laquosi α entonces no‐βraquo donde laquoαraquo representa el enunciado laquoes verdadero en el instante t que Juan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo y laquoβraquo el enunciado laquoJuan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo En el consecuente de la premisa (b) aparece la negacioacuten del enunciado laquoβraquo es decir el enunciado laquono‐βraquo laquoJuan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo De acuerdo con la teoriacutea de la deduccioacuten la

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premisa laquosi α entonces no‐βraquo implica la conclusioacuten laquosi β entonces no‐αraquo Porque si laquoαraquo implica laquono‐βraquo entonces laquoαraquo y laquoβraquo se excluyen entre siacute y por tanto laquoβraquo implica laquono‐αraquo Siguiendo esta regla de inferencia la premisa (b) se transforma en el enunciado

(c) Siacute Juan va a estar en casa mantildeana a mediodiacutea entonces no es verdadero en el instante t que Juan no va a estar en casa mantildeana a mediodiacutea

Pasemos ahora a la primera premisa a la alternativa de la forma laquoγ o αraquo donde laquoγraquo significa el enunciado laquoes verdadero en el instante t que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo y laquoαraquo el mismo enunciado que antes laquoes verdadero en el instante t que Juan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo De la teoriacutea de la deduccioacuten se sigue que la premisa laquoγ o αraquo implica la conclusioacuten laquosi no‐α entonces γraquo Porque una alternativa es verdadera si y soacutelo si al menos uno de sus argumentos es verdadero Si el segundo argumento es falso el primero ha de ser verdadero De acuerdo con esta regla de inferencia la premisa (a) se transforma en el enunciado

(d) Si no es verdadero en el instante t que Juan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea entonces es verdadero en el instante t que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea

Comparemos ahora los enunciados (c) y (d) Ambos son condicionales y el conse‐cuente de (c) tiene la misma forma que el antecedente de (d) estos dos enunciados tienen la forma laquosi β entonces no‐αraquo y laquosi no‐α entonces γraquo Seguacuten la teoriacutea de la deduccioacuten esas dos premisas implican la conclusioacuten laquosi β entonces γraquo Porque si es verdadero que laquosi lo primero entonces lo segundoraquo y laquosi lo segundo entonces lo terceroraquo entonces es tambieacuten verdadero que laquosi lo primero entonces lo terceroraquo Esta es la ley del silogismo hipoteacutetico como sabemos por Aristoacuteteles Si recordamos que laquoβraquo representa el enunciado laquoJuan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo y laquoγraquo el enunciado laquoes verdadero en el instante t que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo obtenemos la conclusioacuten

(e) Si Juan va a estar en casa mantildeana a mediodiacutea entonces es verdadero en el instante t que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea

El instante t es un instante cualquiera por lo tanto o bien es anterior o bien simul‐taacuteneo o bien posterior a mantildeana a mediodiacutea De ello se sigue que si Juan va a estar en casa mantildeana a mediodiacutea entonces es verdadero en un instante cualquiera que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea Dicho de manera general se ha demostrado sobre la base de un ejemplo concreto que si A es b en el instante t entonces es verdadero en cualquier instante mdashy por lo tanto en cualquier instante anterior a tmdash que A es b en el instante t Ha queda‐do demostrada la tesis del determinismo deducieacutendola del principio de tercio excluso 5 El segundo argumento en favor del determinismo estaacute basado en el principio de causalidad No es faacutecil presentar este argumento de un modo comprensible porque ni la palabra laquocausaraquo ni la proposicioacuten conocida como principio de causalidad han adquirido un significado establecido en la ciencia Simplemente estaacuten asociados con un cierto sig‐

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nificado intuitivo que me gustariacutea explicitar dando algunas explicaciones Yo digo que el sonido del timbre en la puerta de entrada de mi casa en este instante es un hecho que estaacute teniendo lugar ahora Yo considero la presencia de Juan en casa en el instante t como un hecho que ocurre en el instante t Todo hecho se produce en alguna parte en alguacuten momento Las afirmaciones de hecho son singulares e incluyen una indica‐cioacuten de tiempo y lugar El hecho F que tiene lugar en el instante s se llama causa del hecho G que tiene lugar en el instante t y el hecho G efecto del hecho F si el instante s es anterior al instante t y si los hechos F y G estaacuten conectados entre siacute de tal modo que por medio de leyes conocidas vigentes entre los respectivos estados de cosas es posible inferir la afirmacioacuten de hecho G a partir de la afirmacioacuten de hecho F Por ejemplo yo considero que la presioacuten sobre el botoacuten de un timbre eleacutectrico es la causa de su sonido porque el timbre es presionado en un instante anterior a aquel en el que suena y yo puedo deducir el enunciado del segundo hecho a partir del enunciado del primero por medio de las conocidas leyes de la fiacutesica en las que se basa la construccioacuten de un timbre eleacutectrico La definicioacuten de causa implica que la relacioacuten causal es transitiva Esto significa que para cualesquiera hechos F G y H si F es la causa de G y G es la causa de H entonces F es la causa de H Por principio de causalidad entiendo la proposicioacuten de que todo hecho G que se produce en el instante t tiene su causa en alguacuten hecho F que se produce en el instante s anterior a t y que en todo instante posterior a s y anterior a t se producen hechos que son a la vez efectos del hecho F y causas del hecho G Estas explicaciones se proponen hacer expliacutecitas las siguientes intuiciones El hecho que es causa tiene lugar antes que el hecho que es efecto Yo primero presiono el botoacuten del timbre y el timbre suena despueacutes aunque nos parezca que ambos hechos ocurren simultaacute‐neamente Si se produce un hecho que es la causa de alguacuten otro hecho entonces este uacuteltimo hecho que es el efecto del primero sigue inevitablemente a la causa Asiacute pues si yo aprieto el botoacuten entonces el timbre suena Es posible inferir el efecto a partir de la causa Asiacute como la conclusioacuten es verdadera siempre y cuando sus premisas sean verdade‐ras asiacute tambieacuten de manera similar el efecto tiene que producirse siempre y cuando exista su causa Nada sucede sin causa El timbre no suena por siacute mismo si suena es debido a algunos hechos anteriores En el conjunto de hechos que se suceden ordenados por la relacioacuten causal no hay ni vaciacuteos ni saltos Entre el instante en que se aprieta el botoacuten y el instante en que suena el timbre se producen constantemente hechos cada uno de los cuales es simultaacuteneamente un efecto de la presioacuten del botoacuten y una causa del sonido del timbre Ademaacutes cada uno de estos hechos que se producen antes es la causa de cada uno de los que se producen despueacutes 6 Tras estas explicaciones puede resultar maacutes inteligible el argumento mediante el

Esta definicioacuten del concepto de causa difiere de la definicioacuten aceptada por Łukasiewicz en su ensayo laquoAnaliza i konstrukcja pojecia przyczynyraquo (Anaacutelisis y construccioacuten del concepto de causa) Przeglad Filozoficzny 9 (1906) paacutegs 105‐179 reimpreso en la edicioacuten de 1961 Z zagadnień logigi i filozofii Ambas definiciones establecen sin embargo que la relacioacuten de causalidad es transitiva y este punto es de relevante importancia en las investigaciones subsiguientes de Łukasiewicz

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cual se deduce la tesis del determinismo a partir del principio de causalidad Supongamos que un cierto hecho F ocurre en el instante t por ejemplo que Juan estaacute en casa mantildeana a mediodiacutea El hecho F tiene su causa en alguacuten hecho F1 que tiene lugar en el instante t anterior a t1 A su vez el hecho F1 tiene su causa en alguacuten hecho F2 que tiene lugar en el instante t2 anterior a t1 Puesto que de acuerdo con el principio de causalidad todo hecho tiene su causa en alguacuten hecho anerror este procedimiento puede ser repetido una y otra vez Por lo tanto obtenemos una secuencia infinita de hechos que regresa indefinidamente

hellip Fn Fn‐1 hellip F2 F1 F porque los hechos tienen lugar en instantes siempre anteriores

hellip tn tn‐1 hellip t2 t1 t En esta secuencia todo hecho anterior es la causa de todo hecho posterior porque la relacioacuten causal es transitiva Ademaacutes si el hecho Fn que se produce en el instante tn es la causa del hecho F que se produce en el instante t entonces de acuerdo con el principio de causalidad en todo instante posterior a tn y anterior a t se producen hechos que son simul‐taacuteneamente efectos del hecho Fn y causas del hecho F Puesto que estos hechos son infinitos en nuacutemero no nos es posible ordenarlos todos en la secuencia y soacutelo podemos designar algunos como por ejemplo Fn‐1 F2 o F1 Hasta aquiacute todo parece estar en orden Pero es ahora cuando viene el paso maacutes importante en el argumento del determinista Su razonamiento tomariacutea probablemente el siguiente curso Como la secuencia de hechos que ocurren antes que F y que son las causas de ese hecho F es infinita en todo instante anterior a t mdashy por tanto en todo instante presente y pasadomdash ocurre alguacuten hecho que es la causa de F Si es el caso que Juan va a estar en casa mantildeana a mediodiacutea entonces la causa de este hecho existe ya hoy y tambieacuten en todo instante anterior a mantildeana a mediodiacutea Si la causa existe o existioacute todos los efectos de esta causa deben inevitablemente existir Por lo tanto es ya verdadero ahora y ha sido verda‐dero desde toda la eternidad que Juan estariacutea en casa mantildeana a mediodiacutea En general si A es b en el instante t es verdadero en todo instante anterior a t que A es b en el instante t porque en todo instante anterior a t existen las causas de este hecho Asiacute pues la tesis del determinismo se puede demostrar por medio del principio de causalidad Estos son los dos argumentos de mayor fuerza que pueden aducirse en apoyo del determinismo iquestHemos de desistir y aceptarlos iquestHemos de creer que todo en el mundo tiene lugar de manera necesaria y que todo acto libre y creativo es soacutelo una ilusioacuten iquestO por el contrario hemos de rechazar el principio de causalidad junto con el principio de tercio excluso 7 Escribe Leibniz que hay dos famosos laberintos en los que nuestra razoacuten se pierde a menudo Uno de ellos es el problema de la libertad y la necesidad y el otro hace referencia a la continuidad y la infinitud Cuando Leibniz escribiacutea esto no pensaba que estos dos laberintos pudieran constituir un todo uacutenico y que la libertad si es que existe

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pudiera estar oculta en alguacuten rincoacuten de la infinitud Si las causas de todos los hechos que pudieran ocurrir alguna vez existieran en todo instante entonces no habriacutea libertad Por fortuna el principio de causalidad no nos obliga a aceptar esta consecuencia La infinitud y la continuidad vienen en nuestro rescate Hay un error en el argumento que deriva la tesis del determinismo a partir del principio de causalidad Porque no es el caso que si Juan estaacute en casa mantildeana a mediodiacutea entonces la secuencia infinita de causas de este hecho deba alcanzar el instante presente y todo instante pasado Esta secuencia puede tener su liacutemite inferior en un instante anterior al instante presente un instante que por lo tanto no ha llegado todaviacutea a pasar Esto es lo que claramente implican las siguientes consideraciones Consideremos el tiempo como una liacutenea recta y establezcamos una correspon‐dencia uno a uno entre un cierto intervalo de tiempo y el segmento (0 l) de esa liacutenea Supongamos que el instante presente corresponde al punto 0 que un cierto hecho futuro ocurre en el instante 1 (correspondiente al punto 1) y que las causas de este hecho ocurren en instantes determinados por nuacutemeros reales mayores que frac12 Esta secuencia de causas es infinita y no tiene comienzo es decir causa primera Porque esta primera causa tendriacutea que tener lugar en el instante correspondiente al menor nuacutemero real mayor que frac12 y ese nuacutemero real no existe como tampoco existe el menor nuacutemero racional mayor que frac12 En el conjunto de los nuacutemeros reales y de modo similar en el conjunto ordenado de los nuacutemeros racionales no hay dos nuacutemeros que se sucedan inmediatamente el uno al otro es decir tales que uno de ellos sea el predecesor inmediato y otro el sucesor inmediato del otro entre dos nuacutemeros cualesquiera hay siempre otro y en consecuencia hay infinitos nuacutemeros entre cualesquiera dos de ellos De acuerdo con el principio de causalidad todo hecho de la secuencia sometida a consideracioacuten tiene su causa en alguacuten hecho anterior Aunque tiene un liacutemite inferior en el instante frac12 que es posterior al instante presente 0 y que no ha sido todaviacutea alcanzado la secuencia es infinita Ademaacutes esta secuencia no puede rebasar su liacutemite inferior y por lo tanto no puede regresar hasta el instante presente Este razonamiento muestra que pueden existir secuencias causales infinitas que no han comenzado todaviacutea y que pertenecen enteramente al futuro Esta concepcioacuten es no soacutelo loacutegicamente posible sino que tambieacuten parece maacutes prudente que la creencia seguacuten la cual hasta el menor hecho futuro tiene sus causas actuando desde el comienzo del universo No dudo en absoluto de que haya algunos hechos futuros cuyas causas existan ya hoy y hayan existido desde toda la eternidad Mediante observaciones y con ayuda de las leyes del movimiento de los cuerpos celestes los astroacutenomos predicen eclipses de luna y de sol con gran precisioacuten y con muchos antildeos de anticipacioacuten Pero nadie es capaz de predecir hoy que una mosca que no existe todaviacutea zumbaraacute en mi oiacutedo al mediodiacutea del 7 de septiembre del antildeo proacuteximo La creencia en que esta conducta futura de esta mosca futura tiene sus causas ya hoy y las ha tenido desde toda la eternidad se antoja una fantasiacutea maacutes bien que una proposicioacuten apoyada por una miacutenima sombra de validacioacuten cientiacutefica Por lo tanto el argumento basado en el principio de causalidad cae por los suelos Se puede tener el firme convencimiento de que nada sucede sin causa y de que todo hecho

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tiene su causa en alguacuten hecho anterior sin por ello ser un determinista Nos queda por examinar el argumento basado en el principio de tercio excluso 8 Aunque el argumento basado en el principio de tercio excluso es independiente del que se deriva del principio de causalidad ciertamente el primero se hace completa‐mente inteligible si todo hecho tiene sus causas existiendo desde toda la eternidad Explicareacute lo que quiero decir mediante un ejemplo tomado de la vida diaria Supongamos que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea Si las causas de todos los hechos existen desde toda la eternidad tendriacuteamos que reconocer que en el momento actual existe la causa de la presencia de Juan en su casa mantildeana a mediodiacutea Por lo tanto es verdadero o dicho de otro modo es el caso en el momento presente que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea La expresioacuten algo confusa laquoes el caso en el instante t que praquo donde laquopraquo representa enunciados acerca de eventos futuros expresioacuten que antes he sido incapaz de clarificar se hace ahora perfectamente inteligible Es el caso en el instante actual que laquoJuan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo implica en primer lugar que en el instante actual existe un hecho que es la causa de la presencia de Juan en casa mantildeana a mediodiacutea y en segundo lugar que este efecto futuro estaacute comprendido en esa causa del mismo modo que una conclusioacuten estaacute incluida en sus premisas La causa del hecho futuro que el enunciado laquopraquo enuncia y que existe en el instante t es un correlato real de la oracioacuten laquoes el caso en el instante t que praquo Si supusieacuteramos que Juan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea podriacuteamos seguir el mismo curso de razonamiento Si aceptamos que las causas de todo hecho existen desde toda la eternidad debemos aceptar tambieacuten el hecho de que la causa de la ausencia de Juan de su casa mantildeana a mediodiacutea existe ya en el instante actual Por lo tanto la oracioacuten laquoes verdadero es decir es el caso en el instante actual que Juan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo tiene su correlato real en la causa del hecho enunciado y esta causa existe actualmente Puesto que Juan o bien estaraacute o bien no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea existe o bien la causa de su presencia en casa o bien la causa de su ausencia de ella mantildeana a mediodiacutea supuesto que las causas de todos los hechos existen desde toda la eternidad Por lo tanto o bien es verdadero en el instante actual que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea o es verdadero en el instante actual que Juan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea El argumento basado en el principio de tercio excluso tiene un apoyo adicional en el argumento derivado del principio de causalidad 9 Sin embargo el segundo de estos argumentos es como se ha demostrado no vaacutelido De acuerdo con las investigaciones anteriores podemos suponer que en el instante actual no existe auacuten ni la causa de la presencia de Juan ni la causa de la ausencia de Juan de su casa mantildeana a mediodiacutea Por tanto puede suceder que la secuencia infinita de causas que ocasiona la presencia o ausencia de Juan de casa mantildeana a mediodiacutea no haya comenzado auacuten y pertenezca enteramente al futuro Para decirlo en teacuterminos coloquiales podemos decir que la cuestioacuten de si Juan estaraacute o no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea no estaacute todaviacutea decidida en ninguacuten sentido iquestCoacutemo arguumliriacuteamos nosotros en este caso Łukasiewicz repite este argumento en su ensayo laquoObservaciones filosoacuteficas sobre los sistemas polivalentes de loacutegica proposicionalraquo (en este volumen)

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Podemos adoptar la siguiente liacutenea de argumentacioacuten La oracioacuten laquoes verdadero en el instante presente t que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo no tiene correlato actual porque la causa de este hecho no existe en el instante t por lo tanto nada nos obliga a aceptar esta oracioacuten como verdadera Asiacute puede suceder que Juan no esteacute en casa mantildeana a mediodiacutea Del mismo modo la oracioacuten laquoes verdadero en el momento presente t que Juan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo no tiene correlato real porque la causa de este hecho no existe en el instante t una vez maacutes nada nos obliga a aceptar esta oracioacuten como verdadera Asiacute podriacutea suceder que Juan estuviera en casa mantildeana a mediodiacutea Podemos por tanto rechazar como falsas ambas oraciones y aceptar sus negaciones laquono es verdadero en el instante t que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo y laquono es verdadero en el instante t que Juan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo El condicional previa‐mente establecido (e) laquosi Juan va a estar en casa mantildeana a mediodiacutea entonces es verda‐dero en el instante t que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo se hace no vaacutelido Porque su antecedente resulta verdadero si Juan estaacute en casa mantildeana a mediodiacutea y su consecuente se vuelve falso si escogemos un instante t anterior a mantildeana a mediodiacutea en el que la causa de la presencia de Juan en casa mantildeana a mediodiacutea no exista auacuten Pero al ser invaacutelido el condicional (e) la tesis del determinismo laquosi A es b en el instante t es verdadero en todo instante anterior a t que A es b en el instante traquo se torna invaacutelida a su vez porque podemos sustituir las variables A b y t por valores tales que el antecedente de la tesis se vuelve verdadero y el consecuente falso Si sobre el supuesto de que un cierto hecho futuro no estaacute todaviacutea decidido en ninguacuten sentido la tesis del determinismo se vuelve falsa la deduccioacuten de esta tesis a partir del principio de tercio excluso debe envolver un error Ademaacutes si rechazamos como falsa la oracioacuten laquoes verdadero en el instante t que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo asiacute como la oracioacuten laquoes verdadero en el instante t que Juan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo debemos rechazar tambieacuten la alternativa (a) que tiene a estas oraciones como argumentos y que ha sido el punto de partida de la deduccioacuten Una alternativa cuyos dos argumentos son falsos es ella misma falsa Asiacute tambieacuten el condicional (d) obtenido transformando la premisa (a) laquosi no es verdadero en el instante t que Juan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea entonces es verdadero en el instante t que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo resulta ser falso porque aceptamos su antecedente y rechazamos su consecuente Nada tiene de extrantildeo que la inferencia produzca una conclusioacuten falsa si una de sus premisas y uno de los teoremas que intervienen son falsos Habriacutea que sentildealar que el rechazo de la alternativa (a) no es una transgresioacuten del principio de tercio excluso porque sus argumentos no se contradicen entre siacute Soacutelo las oraciones laquoJuan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo y laquoJuan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo son contradictorias y la alternativa construida con estas oraciones laquoO bien Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutea o Juan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo ha de ser verdadera de acuerdo con el principio de tercio excluso Pero las oraciones laquoes verdadero en el instante t que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo y laquoes verdadero en el instante t que Juan no estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo no son contradictorias porque la una no es la negacioacuten de la otra y su presentacioacuten como alternativa no tiene por que ser verdadera La premisa (a) ha sido deducida del principio de tercio excluso sobre la

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base de investigaciones puramente intuitivas y no mediante la aplicacioacuten de un principio loacutegico Sin embargo las investigaciones intuitivas pueden ser falaces y en este caso parece que nos han engantildeado 10 Aunque esta solucioacuten parece loacutegicamente vaacutelida no la considero enteramente satisfactoria porque no satisface todas mis intuiciones Creo que hay una diferencia entre la no aceptacioacuten de la oracioacuten laquoes verdadero en el instante presente que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo porque la presencia o ausencia de Juan de su casa no esteacute todaviacutea decidida y la no aceptacioacuten de esta oracioacuten porque la causa de su ausencia de mantildeana exista ya en el instante presente Pienso que soacutelo en este uacuteltimo caso estamos autorizados a rechazar la oracioacuten en cuestioacuten y decir laquono es verdadero en el instante presente que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo En el primer caso no podemos ni aceptar ni rechazar la oracioacuten sino soacutelo suspender nuestro juicio Esta actitud encuentra su justificacioacuten tanto en la vida como en el habla coloquial Si la presencia o ausencia de Juan de su casa mantildeana no estaacute todaviacutea decidida entonces decimos laquoes posible que Juan esteacute en casa mantildeana a mediodiacutea pero tambieacuten es posible que Juan no esteacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo Por otra parte si la causa de la ausencia de Juan de su casa mantildeana a mediodiacutea existe ya en el instante presente entonces decimos en el supuesto de que conozcamos su causa laquono es posible que Juan esteacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo En el supuesto de que la presencia o ausencia de Juan de casa mantildeana a mediodiacutea no esteacute todaviacutea decidida la oracioacuten laquoes verdadero en el instante presente que Juan estaraacute en casa mantildeana a mediodiacutearaquo no puede ser ni aceptada ni rechazada es decir no podemos considerarla ni verdadera ni falsa En consecuencia tampoco la negacioacuten de esta oracioacuten laquono es verdadero en el instante presente que Juan vaya a estar en casa mantildeana a mediodiacutearaquo puede ser ni aceptada ni rechazada es decir no podemos conside‐rarla ni verdadera ni falsa El razonamiento de antes que consistiacutea en el rechazo de la ora‐cioacuten sometida a consideracioacuten y en la aceptacioacuten de su negacioacuten es ahora inaplicable En concreto el condicional (d) que antes fue rechazado se aceptaba su antecedente y se rechazaba su consecuente no tiene ahora por queacute ser rechazado porque ya no es verdad que su antecedente sea aceptado y su consecuente rechazado Ademaacutes puesto que el condicional (d) junto con la premisa (c) sobre la que no parece existir ninguna duda basta para validar la tesis del determinismo parece como si el argumento de Aristoacuteteles recupe‐rara su poder persuasivo 11 Sin embargo este no es el caso Pienso que soacutelo ahora alcanzamos una solucioacuten que concuerda a la vez con nuestras intuiciones y con las concepciones del propio Aristoacuteteles Porque Aristoacuteteles formuloacute su argumento en apoyo del determinismo soacutelo con el propoacutesito de rechazarlo subsecuentemente como invaacutelido En el famoso capiacutetulo 9 del De Interpretatione Aristoacuteteles parece haber llegado a la conclusioacuten de que la alternativa laquoo bien habraacute una batalla naval mantildeana o bien no habraacute una batalla naval mantildeanaraquo es ya verdadera y necesaria hoy pero ni es verdadero hoy que laquohabraacute una batalla naval mantildeanaraquo ni que laquono habraacute una batalla naval mantildeanaraquo Estas oraciones se refieren a eventos futuros contingentes y como tales no son ni verdaderas ni falsas hoy Esta era la interpretacioacuten de Aristoacuteteles que dieron los estoicos los cuales como deterministas que eran se opusieron a esta concepcioacuten y los epicuacutereos que defendiacutean el indeterminismo y a

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Aristoacuteteles El razonamiento de Aristoacuteteles no socava tanto el principio de tercio excluso como uno de los principios baacutesicos de toda nuestra loacutegica que eacutel precisamente fue el primero en formular a saber que toda proposicioacuten es o bien verdadera o bien falsa Es decir se puede asumir uno y soacutelo uno de dos valores de verdad verdad o falsedad Yo llamo a este principio principio de bivalencia En la antiguumledad este principio fue enfaacuteticamente defen‐dido por los estoicos y atacado por los epicuacutereos siendo totalmente conscientes unos y otros de las cuestiones envueltas en ello Como este principio yace en los fundamentos mismos de la loacutegica no puede ser demostrado Soacutelo se puede creer en eacutel y soacutelo el que lo considera evidente cree en eacutel A miacute personalmente el principio de bivalencia no me parece evidente Por lo tanto estoy en el derecho de no reconocerlo y de aceptar la idea de que ademaacutes de la verdad y la falsedad existen otros valores de verdad como miacutenimo uno maacutes un tercer valor de verdad iquestCuaacutel es este tercer valor de verdad No tengo un nombre apropiado para eacutel Pero despueacutes de las explicaciones precedentes no seraacute difiacutecil entender cuaacutel es mi idea Sostengo que hay proposiciones que no son ni verdaderas ni falsas sino indeterminadas Todas las oraciones acerca de hechos futuros que todaviacutea no estaacuten decididos pertenecen a esta ca‐tegoriacutea Esas oraciones no son ni verdaderas en el momento presente porque no tienen correlato real ni falsas porque sus negaciones tampoco tienen correlato real Haciendo uso de una terminologiacutea filosoacutefica que no es particularmente clara podriacuteamos decir que ontoloacutegicamente no corresponde a estas oraciones ni el ser ni el no‐ser sino la posibilidad Las oraciones indeterminadas que ontoloacutegicamente tienen la posibilidad como correlato toman el tercer valor de verdad Si se introduce en loacutegica este tercer valor de verdad estamos cambiando sus fundamentos Un sistema trivalente de loacutegica cuyo primer bosquejo pude dar en 1920 difiere de la loacutegica bivalente ordinaria la uacutenica conocida hasta ahora tanto como los sistemas no eucliacutedeos de geometriacutea difieren de la geometriacutea eucliacutedea A pesar de ello la loacutegica trivalente es tan consistente y libre de contradicciones como la loacutegica bivalente Sea cual fuere la forma que esta nueva loacutegica asuma cuando se la desarrolle en detalle la tesis del determinismo no formaraacute parte de ella Porque en el condicional mediante el que se expresa esa tesis laquosi A es b en el instante t entonces es verdadero en todo instante anterior a t que A es b en el instante traquo podemos asignar a las variables laquoAraquo laquobraquo y laquotraquo valores tales que su antecedente se convierte en una oracioacuten verdadera y su consecuente en una oracioacuten indeterminada es decir en una oracioacuten que tiene el tercer valor de verdad Esto sucede siempre cuando la causa del hecho de que A sea b en un instante futuro t no existe hoy Un condicional con antecedente verdadero y consecuente indeterminado no se puede aceptar como verdadero porque la verdad soacutelo puede implicar verdad El argumento loacutegico que parece apoyar el determinismo falla decisivamente 12 Estoy llegando al final de mis investigaciones En mi opinioacuten los viejos argu‐mentos en apoyo del determinismo no superan la prueba de un examen criacutetico Esto no En laquoObservaciones filosoacuteficashellipraquo Łukasiewicz utiliza el teacutermino laquoposibilidadraquo La primera mencioacuten de la loacutegica trivalente se hace en la laquoLeccioacuten de despedidahellipraquo de 1918 (paacuteg 18 de este libro)

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implica en absoluto que el determinismo sea una concepcioacuten falsa la falsedad de los argu‐mentos no demuestra la falsedad de la tesis Apoyaacutendome en el examen criacutetico que he hecho quisiera decir solamente una cosa que el determinismo no es una concepcioacuten mejor justificada que el indeterminismo Por lo tanto y sin exponerme a que se me acuse de irreflexivo puedo declararme en favor del indeterminismo Puedo asumir que no es cierto que el futuro entero esteacute determinado con anticipacioacuten Si hay cadenas causales que comienzan soacutelo en el futuro entonces soacutelo algunos hechos y eventos futuros los que estaacuten maacutes cerca del tiempo presente estaacuten causalmente determinados en el instante presente Apoyaacutendose en el conocimiento presente incluso una mente omnisciente podriacutea predecir cada vez menos hechos cuanto maacutes profundamente intente penetrar en el futuro esta es la uacutenica cosa efectivamente determinada en el marco cada vez maacutes amplio dentro del cual tienen lugar los hechos y dentro del cual hay maacutes y maacutes cabida para la posibilidad El drama universal no es un cuadro completado desde la eternidad cuando maacutes nos alejemos de las partes de la peliacutecula que se estaacuten pasando en este instante maacutes vaciacuteos y blancos incluiraacute la imagen Estaacute bien que ello deba ser asiacute Podemos creer que no somos simplemente espectadores pasivos del drama sino tambieacuten participantes activos en eacutel Entre las contingencias que nos esperan podemos escoger el camino mejor y evitar el peor Podemos de alguacuten modo configurar el futuro del mundo de acuerdo con nuestros designios No seacute coacutemo es posible esto pero estoy en la creencia de que lo es En cuanto al pasado no debieacuteramos tratarlo de modo distinto que el futuro Si la uacutenica parte del futuro que es real ahora es aquella que estaacute causalmente determinada por el instante presente y si las cadenas causales que comienzan en el futuro pertenecen al reino de la posibilidad entonces soacutelo las partes del pasado que continuacutean teniendo efectos hoy son reales en el momento presente Los hechos cuyos efectos han desaparecido totalmente y que ni siquiera una mente omnisciente podriacutea inferir de los que estaacuten ocu‐rriendo ahora pertenecen al reino de la posibilidad De ellos no se puede decir que tuvieron lugar sino soacutelo que fueron posibles Es bueno que ello deba ser asiacute Hay momen‐tos difiacuteciles de sufrimiento y momentos todaviacutea maacutes difiacuteciles de culpa en la vida de todo el mundo Deberiacuteamos sentirnos felices de borrarlos no soacutelo de nuestra memoria sino tambieacuten de la existencia Cabe creer que cuando todos los efectos de estos momentos nefastos se hayan agotado incluso aunque ello suceda soacutelo despueacutes de nuestra muerte entonces tambieacuten sus causas seraacuten borradas del mundo de la realidad y pasaraacuten al reino de la posibilidad El tiempo calma nuestros cuidados y nos trae el perdoacuten

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OBSERVACIONES FILOSOacuteFICAS SOBRE LOS SISTEMAS POLIVALENTES DE LOacuteGICA PROPOSICIONAL

1 Proposiciones modalesmdash2 Teoremas relativos a las proposiciones modalesmdash3 Consecuencias de los dos primeros teoremas relativos a proposiciones modalesmdash4 Consecuencias del tercer teorema sobre proposiciones modalesmdash5 Incompatibilidad de los teoremas sobre proposiciones modales en el caacutelculo proposicional bivalentemdash6 Las proposiciones modales y el caacutelculo proposicional trivalentemdash7 Definicioacuten del concepto de posibilidadmdash8 Consecuencias de la definicioacuten del concepto de posibilidadmdash9 Signifi‐cacioacuten filosoacutefica de los sistemas polivalentes de loacutegica proposicional Apeacutendice Sobre la historia de la ley de bivalencia En la comunicacioacuten laquoUntersuchungen uumlber den Aussagenkalkuumllraquo (investigaciones sobre el caacutelculo proposicional) que aparecioacute en esta misma publicacioacuten con la firma de Tarski y la miacutea la seccioacuten 3 estaacute dedicada a los sistemas laquopolivalentesraquo de loacutegica propo‐sicional que yo estableciacute En lo que se refiere a las cuestiones loacutegicas remito al lector a esa comunicacioacuten Aquiacute me propongo clarificar el origen y la significacioacuten de estos sistemas desde un punto de vista filosoacutefico

1 Proposiciones modales El sistema trivalente de loacutegica proposicional debe su origen a ciertas investiga‐ciones que yo realiceacute sobre las llamadas laquoproposiciones modales y sobre las nociones mdashestrechamente conectadas con ellasmdash de posibilidad y necesidad24 Por proposiciones modales entiendo proposiciones que han sido construidas sobre el modelo de una de las cuatro expresiones siguientes (1) Es posible que p en siacutembolos Mp (2) No es posible que p en siacutembolos NMp (3) Es posible que no‐p en siacutembolos MNp (4) No es posible que no‐p en siacutembolos NMNp

Nota del editor en la edicioacuten de MacCall Este ensayo aparecioacute originariamente bajo el tiacutetulo laquoPhilosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aussagenkalkuumllsraquo en Comptes rendus des seacuteances de la Socieacuteteacute des Sciences et des Lettres de Varsovie 23 (1930) cl iii paacutegs 51‐77 Traducido al ingleacutes por H Weber Reimpreso en la edicioacuten de 1961 de Z zagadnień logiki i filozofii 24 Leiacute un ensayo sobre estas investigaciones en la reunioacuten del 5 de junio de 1920 de la Sociedad Filosoacutefica Polaca en Lwoacutew Las partes esenciales de este ensayo se publicaron en la revista polaca Ruch Filozoficzny [La traduccioacuten al ingleacutes fue realizada por O Wojtasiewicz sobre el texto mismo del ensayo leiacutedo por Łukasiewicz el 5 de junio de 1920]

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La letra laquopraquo designa aquiacute cualquier proposicioacuten laquoNraquo es el siacutembolo de la negacioacuten (laquoNpraquo = laquono‐praquo) laquoMraquo corresponde a las palabras laquoes posible queraquo En lugar de decir laquono es posible que no‐praquo se podriacutea tambieacuten utilizar el giro laquoes necesario que praquo Las expresiones aquiacute enumeradas no son ideacutenticas a los juicios laquoproblemaacuteticosraquo y laquoapodiacutecticosraquo de Kant Corresponden maacutes bien a las proposiciones modales de la loacutegica medieval que tuvieron su origen en Aristoacuteteles y que estaacuten formadas a partir de los cuatro laquomodosraquo possibile (por ejemplo Socratem currere est possibile) impossibile contingens y necessarium Ademaacutes de estos cuatro modos los loacutegicos medievales citaban otros dos verum y falsum Sin embargo estos modos no fueron objeto de mayor consideracioacuten ya que las proposiciones modales que corresponden a ellos laquoes verdadero que praquo y laquoes falso que praquo se teniacutean por equivalentes a las proposiciones laquopraquo y laquoNpraquo25 La expresioacuten laquoes posible queraquo no se define aquiacute su sentido se esclarece mediante los teoremas que se cumplen para las proposiciones modales

2 Teoremas relativos a las proposiciones modales En la historia de la loacutegica nos encontramos con tres grupos de teoremas relativos a proposiciones modales En el primer grupo incluyo los siguientes teoremas mdashtodos ellos muy conocidosmdash que nos han llegado de la loacutegica claacutesica y que en ella fueron considerados como verdades evidentes sin demostracioacuten (a) Ab oportere ad esse valet consequentia (b) Ab esse ad posse valet consequentia Por contraposicioacuten obtenernos de (b) una tercera proposicioacuten (c) Ab non posse ad non esse valet consequentia Esta uacuteltima proposicioacuten significa laquoLa inferencia que va desde el no‐ser‐posible al no‐ser es vaacutelidaraquo Por ejemplo no es posible dividir un nuacutemero primo por cuatro por lo tanto ninguacuten nuacutemero primo es divisible por cuatro Este ejemplo es plausible y tan plausible como eacutel es el siguiente teorema general que retendremos como representativo del primer grupo I Si no es posible que p entonces no‐p Menos conocido si bien no menos intuitivo parece el siguiente teorema del segundo grupo citado por Leibniz en la Theacuteodiceacutee26 25 Cf Prantl Geschichte der Logik im Abendlande vol iii paacuteg 14 nota 42 paacuteg 117 nota 542 26 Philos Schriften (ed Gerhardt) vol 6 paacuteg 131

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(d) Unumquodque quando est oportet esse laquoTodo lo que es cuando es es necesarioraquo Este teorema se remonta a Aristoacuteteles quien ciertamente sostiene que no todo lo que es es necesario y no todo lo que no es es imposible sino que cuando algo que es es entonces es tambieacuten necesario y cuando algo que no es no es entonces es tambieacuten imposible27 No es faacutecil interpretar los teoremas citados hasta ahora Empezareacute dando algunos ejemplos No es necesario que yo esteacute en casa esta tarde Pero cuando yo estoy en casa esta tarde entonces sobre este supuesto es necesario que yo esteacute en casa esta tarde Otro ejemplo raramente ocurre que yo no tenga dinero en mi bolsillo pero si ahora (en un cierto momento t) yo no tengo dinero en mi bolsillo no es posible sobre este supuesto que yo tenga (exactamente en el mismo momento t) dinero en el bolsillo Repaacuterese en dos cosas a propoacutesito de estos ejemplos En primer lugar las propo‐siciones laquoYo estoy en casa esta tarderaquo y laquoYo no tengo (en el momento t) dinero en el bolsilloraquo se suponen verdaderas y sobre este su puesto se infieren respectivamente la necesidad o la imposibilidad En segundo lugar la palabra quando en (d) y el correspon‐diente ὅταν de Aristoacuteteles no es una partiacutecula condicional sino una partiacutecula temporal Sin embargo lo temporal se subsume en lo condicional si la determinacioacuten del tiempo en las proposiciones temporalmente conectadas se incluye en el contenido de las propo‐siciones Los ejemplos dados son ademaacutes lo bastante claros como para establecer el siguiente teorema general que retendremos como representativo del segundo grupo II Si se supone que no‐p entonces sobre este supuesto no es posible que p El tercer grupo consta de un solo teorema basado en el concepto aristoteacutelico de posibilidad laquobilateralraquo Seguacuten Aristoacuteteles hay algunas cosas que son posibles en ambas direcciones es decir que pueden ser pero no son necesariamente Es posible por ejemplo que este manto sea cortado pero es tambieacuten posible que no lo sea28 Igualmente es posible que el paciente muera pero tambieacuten es posible que se recobre y por tanto no muera Este concepto de posibilidad bilateral estaacute profundamente enraizado en el pensamiento y en el habla cotidiana El siguiente teorema sobre el que habremos de volver parece tan evidente como los dos anteriores III Para alguacuten p es posible que p y es posible que no‐p 27 De interpr 9 19a23 28 De interpr 9 19a9

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3 Consecuencias de los dos primeros teoremas relativos a proposiciones

modales Haremos ahora algunas inferencias a partir de los teoremas I y II antes citados A este fin representaremos primero estos teoremas en el simbolismo de la loacutegica propo‐sicional Convengamos en que laquoCpqraquo simboliza la implicacioacuten laquosi p entonces qraquo donde laquopraquo y laquoqraquo denotan cualquier proposicioacuten Es evidente que el teorema I se puede expresar en forma de una implicacioacuten que llamareacute laquotesisraquo 129 1 CNMpNp Significado laquosi no es posible que p entonces no‐praquo No es igualmente evidente pero se puede demostrar que es posible representar el teorema II como una implicacioacuten que es el converso de I Porque si una proposicioacuten laquoβraquo es vaacutelida sobre el supuesto laquoαraquo esto quiere decir simplemente que laquoβraquo es verdadero si laquoαraquo es verdadero Por tanto la implicacioacuten laquosi α entonces βraquo se cumple si laquoαraquo es verdadero Puesto que esta implicacioacuten debe cumplirse tambieacuten si laquoαraquo es falso se cumple en ambos casos Llegamos asiacute a la tesis 2 CNpNMp Esto significa laquosi no‐p entonces no es posible que praquo El teorema II no se puede expresar de ninguna otra manera en el caacutelculo proposicional bivalente A partir de estas tesis y utilizando el caacutelculo proposicional usual demostraremos varias consecuencias Todas las demostraciones que siguen estaacuten estrictamente formali‐zadas y se llevan a cabo por medio de dos reglas de inferencia sustitucioacuten y separacioacuten Estas reglas de inferencia sobradamente conocidas no seraacuten examinadas aquiacute Me limi‐tareacute a explicar coacutemo se formulan demostraciones formalizadas en el simbolismo que yo he introducido Antes de cada tesis a demostrar (a las que se asignaraacuten nuacutemeros consecutivos con el objeto de identificarlas) hay una liacutenea no numerada a la que llamo laquoliacutenea de deriva‐cioacutenraquo Cada liacutenea de derivacioacuten consta de dos partes separadas por el signo laquo x raquo Los siacutembolos que van antes y despueacutes del signo de separacioacuten denotan la misma expresioacuten pero de diferentes maneras Antes del signo de separacioacuten se indica una sustitucioacuten que ha de efectuarse sobre una tesis ya demostrada En la primera liacutenea de la derivacioacuten por ejemplo la expresioacuten laquo3qMpraquo significa que hay que sustituir laquoqraquo por laquoMpraquo en 3 La tesis resultante que en la demostracioacuten se omite en aras de la brevedad seriacutea 3 CCNMpNpCpMp 29 Siguiendo a Lesniewski entiendo por laquotesisraquo tanto los axiomas como los teoremas de un sistema deductivo

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La expresioacuten laquoC1‐7raquo despueacutes del signo de separacioacuten se refiere a esta tesis 3rsquo e indica que la regla de separacioacuten se puede aplicar a 3rsquo La tesis 3rsquo se establece como una instancia de sustitucioacuten de la tesis 3 pero puesto que constituye una implicacioacuten cuyo antecedente es la tesis 1 su consecuente se puede separar y establecer como tesis 7 En la segunda liacutenea de la derivacioacuten el nuacutemero laquo8raquo denota la tesis obtenida de 7 mediante la sustitucioacuten laquopNpraquo En la liacutenea de derivacioacuten de la tesis 10 la regla de separacioacuten se utiliza dos veces Despueacutes de estas explicaciones creo que el lector no tendraacute dificultad en enten‐der la demostracioacuten que sigue Ademaacutes de las tesis 1 y 2 que figuran como axiomas aparecen en la demostracioacuten cuatro tesis auxiliares bien conocidas del caacutelculo proposicional ordinario tres leyes de transposicioacuten con los nuacutemeros 3‐5 y el principio del silogismo hipoteacutetico (tesis 6) Todas estas tesis las coloco a la cabeza de la demostracioacuten como premisas 1 CNMpNp 2 CNpNMp 3 CCNqNpCpq 4 CCNpqCNqp 5 CCpNqCqNp 6 CCpqCCqrCpr 3 qMp x C1‐7 7 CpMp 7 pNp x 8 8 CNpMNp 4 qMNp x C8‐9 9 CNMNpp 6 pNMNp qp rMp x C9‐C7‐10 10 CNMNpMp 4 pMNp qMp x C10‐11 11 CNMpMNp 3 qp pMp x C2‐12 12 CMpp 12 pNp x 13 13 CMNpNp 5 pMNp qp x C13‐14 14 CpNMNp 6 pMp qp rNMNp x C12‐C14‐15

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15 CMpNMNp 5 pMp qMNp x C15‐16 16 CMNpNMp Las tesis 7‐11 son consecuencias de l 12‐16 resultan de 2 La tesis 7 dice laquosi p entonces es posible que praquo La tesis 9 dice laquosi no es posible que no‐p entonces praquo La uacuteltima tesis corresponde al teorema (a) en loacutegica claacutesica citado arriba y la primera al teorema (b) Ambas son evidentes De hecho todas las tesis del primer grupo 7‐11 son evidentes No lo son tanto las del segundo grupo 12‐16 La tesis 12 reza laquosi es posible que p entonces praquo Sobre la base de esta tesis podemos inferir Es posible que el paciente muera por lo tanto moriraacute Esta inferencia soacutelo la admitiraacuten quienes no hacen distincioacuten entre posibilidad y realidad Las tesis del segundo grupo 12‐16 son las conversas de las tesis del primero 7‐11 Todo el que admita ambos grupos de tesis debe asumir que son equivalen‐tes las siguientes proposiciones laquopraquo laquoes posible que praquo y laquono es posible que no‐praquo o laquoes necesario que praquo Pero entonces resulta que podemos prescindir de los conceptos de nece‐sidad y posibilidad Esta consecuencia poco agradable resulta de la aceptacioacuten de nuestra formulacioacuten simboacutelica del teorema II que es evidente en el lenguaje ordinario y se puede reconocer como verdadero sin reservas Sin embargo me parece imposible expresar la proposicioacuten II en el lenguaje simboacutelico del caacutelculo proposicional bivalente de otra manera que mediante una simple implicacioacuten que es el converso de la tesis I

4 Consecuencias del tercer teorema sobre proposiciones modales La formulacioacuten simboacutelica del tercer teorema conduce a otro resultado desagra‐dable El teorema III se puede expresar soacutelo por medio del simbolismo del caacutelculo propo‐sicional ampliado Sea laquoΣraquo el cuantificador existencial y convengamos en que laquoΣpraquo denota la expresioacuten laquopara alguacuten praquo Sea laquoKpqraquo el siacutembolo de la conjuncioacuten laquop y qraquo donde laquopraquo y laquoqraquo denotan proposiciones cualesquiera El teorema III se puede expresar simboacutelicamente del siguiente modo 17 ΣpKMpMNp Esto en palabras significa laquoPara alguacuten p es posible que p y es posible que no‐praquo El cuantificador existencial laquoΣraquo se puede expresar por medio del cuantificador universal laquoΠraquo Si laquoΠpraquo significa laquopara todo praquo y si laquoα(p)raquo representa cualquier expresioacuten que contiene laquopraquo resulta evidente la siguiente definicioacuten D1 Σpα(p) = NΠpNα(p) D1 enuncia que las expresiones laquopara alguacuten p α(p) (se cumple)raquo y laquono es verdadero

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que para cada p (se cumpla) no‐α(p)raquo significan la misma cosa La tesis 17 se convierte entonces en la siguiente 18 NΠpNKMpMNp Hay sin embargo ademaacutes del caacutelculo proposicional ampliado un sistema loacutegico todaviacutea maacutes general creado por Lesniewski que eacutel ha llamado laquoprototeacuteticaraquo30 La diferencia fundamental entre la prototeacutetica y el caacutelculo proposicional ampliado es la aparicioacuten en este uacuteltimo de laquofunctoresraquo31 variables ademaacutes de constantes Si designamos un functor variable al que se conecta una sola proposicioacuten como argumento mediante laquoφraquo podemos demostrar en la prototeacutetica la siguiente proposicioacuten

CKφpφNpφq

Las tesis 18 y 19 asiacute como dos tesis auxiliares pertenecientes al caacutelculo proposi‐cional ordinario mdasha saber el principio de transposicioacuten (4) mencionado arriba y otra regla de transposicioacuten (la tesis 20)mdash son premisas de la demostracioacuten formalizada que damos maacutes abajo Ademaacutes de las de sustitucioacuten y separacioacuten en la demostracioacuten se utiliza la regla de introduccioacuten de un cuantificador Esta regla reza asiacute laquoSi en el consecuente de una implicacioacuten que es una tesis aparece una variable proposicional libre laquopraquo que no aparece en el antecedente de esa implicacioacuten el siacutembolo laquoΠpraquo se puede poner antes del conse‐cuente Esta regla de inferencia se representaraacute maacutes abajo por laquo+Πraquo Empezando por las premisas nuestra demostracioacuten reza asiacute 18 NΠpNKMpMNp 19 CKMpMNpMq 20 CCpqCNqNp 20pKMpMNp qMq x C19‐21 21 CNMqNKMpMNp 21 + Π x 22 22 CNMqΠpNKMpMNp 4pMp qΠpNKMpMNp x C22qp‐C18‐23 23 Mp El resultado obtenido la tesis 23 ha de admitirse como verdadero Esta tesis que en palabras se lee laquoes posible que praquo se cumple para cualquier p Tenemos por tanto que

30 S Lesniewski laquoGrundzuumlge eines neuen Systems der Grundlagen der Mathematikraquo introduccioacuten y sectsect 1‐11 Fund Math 14 (1929) 31 En la funcioacuten laquoCpqraquo laquoCraquo es el laquofunctorraquo y laquopraquo y laquoqraquo los laquoargumentosraquo El teacutermino laquofunctorraquo fue introducido por Kotarbiński

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admitir como verdadera la proposicioacuten laquoes posible que 2 sea un nuacutemero primoraquo asiacute como la proposicioacuten laquoes posible que 2 no sea un nuacutemero primoraquo Dicho francamente por razoacuten del teorema III nos hemos visto llevados a admitir como posible todo Sin embargo si todo es posible entonces nada es imposible y nada es necesario Porque si se admite la proposicioacuten laquoMpraquo obtenemos de ella por sustitucioacuten la proposicioacuten laquoMNpraquo y las expresiones laquoNMpraquo y laquoNMNpraquo tienen que rechazarse en cuanto que son negaciones de las precedentes Estas son consecuencias que van en contra de todas nuestras intuiciones Sin embargo no veo posibilidad de expresar el teorema III en el simbolismo del caacutelculo proposicional ampliado con otra forma que la de las tesis 17 oacute 18

15 Incompatibilidad de los teoremas sobre proposiciones modales en el caacutelculo proposicional bivalente

Las consecuencias desagradables a que nos hemos visto conducidos por los teoremas II y III considerados separadamente se vuelven totalmente inaceptables cuando los consideramos en conjunto Ademaacutes cuando combinamos la tesis 12 resultante de la formulacioacuten simboacutelica del teorema II con la tesis 23 12 CMpp 23 Mp obtenemos inmediatamente 12 x C23‐24 24 p Por lo tanto si las tesis 12 y 23 son vaacutelidas cualquier proposicioacuten p es vaacutelida tambieacuten Asiacute llegamos al sistema inconsistente de todas las proposiciones Los teoremas II y III son incompatibles cuando se representan simboacutelicamente como las tesis 2 y 18 Podemos obtener el mismo resultado sin emplear la tesis 19 que presupone una proposicioacuten perteneciente a la prototeacutetica En la siguiente demostracioacuten utilizamos soacutelo las tesis 12 13 y 20 junto con ciertas tesis auxiliares del caacutelculo proposicional ordinario 25 CpCqp 26 NKpNp 27 CCpqCCrsCKprKqs 27 pMp qp rMNp sNp x C12‐C13‐28

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28 CKMpMNpKpNp 20pKMpMNp qKpNp x C28‐C26‐29 29 NKMpMNp 25pNKMpMNp x C29‐30 30 CqNKMpMNp 30 + Π x 31 31 CqΠpNKMpMNp 31 qCpCqp x C25‐32 32 ΠpNKMpMNp Las tesis 18 y 32 se contradicen Por lo tanto las proposiciones II y III son incom‐patibles La demostracioacuten que antes hemos dado podriacutea hacerse intuitivamente plausible del siguiente modo Si seguacuten la proposicioacuten III las expresiones laquoMαraquo y laquoMNαraquo fueran conjun‐tamente verdaderas para una cierta proposicioacuten laquoaraquo entonces las proposiciones laquoαraquo y laquoNαraquo tendriacutean tambieacuten que ser verdaderas de acuerdo con las tesis 12 y 13 Sin embargo esto es imposible porque laquoαraquo y laquoNαraquo se contradicen A la vista de este hecho el problema de las proposiciones modales podriacutea resolverse de dos maneras tomando como base el caacutelculo proposicional bivalente El teo‐rema I y las tesis del primer grupo que estaacuten conectadas con eacutel (a saber las tesis 1 y 7‐11) han de ser aceptadas incondicionalmente de hecho nunca se las puso en cuestioacuten De los teoremas II y III hay que elegir uno Si nos decidimos en favor del teorema II y de las tesis del segundo grupo conectadas con eacutel (a saber las tesis 2 y 12‐16) entonces todas las proposiciones modales se convierten en equivalentes a proposiciones no‐modales La consecuencia de esto es que ya no vale la pena introducir en loacutegica proposiciones modales Asimismo el concepto extremadamente intuitivo de posibilidad bilateral ha de ser recha‐zado como inconsistente Si por otra parte nos decidimos en favor de la proposicioacuten III nos vemos forzados a admitir la paradoacutejica consecuencia de que todo es posible En este supuesto tambieacuten carece de sentido la introduccioacuten de proposiciones modales en loacutegica ademaacutes tendriacuteamos entonces que prescindir del teorema II intuitivamente evidente para evitar la contradiccioacuten Ninguna de estas soluciones puede aspirar a ser satisfactoria No se podriacutea esperar otro resultado Esto resulta especialmente claro cuando el sistema del caacutelculo proposicional bivalente se define mediante el llamado meacutetodo de matrices Sobre la base de este meacutetodo se supone que todas las variables proposicionales pueden tomar soacutelo dos valores constantes laquo0raquo o laquolo falsoraquo y laquo1raquo o laquolo verdaderoraquo Se establece ademaacutes que

C00 = C01 = C11 = 1 C10 = 0 N0 = 1 y N1 = 0 Estas ecuaciones quedan registradas en la siguiente tabla que es la laquomatrizraquo del caacutelculo proposicional bivalente basado en laquoCraquo y laquoNraquo

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C 0 1 N

1 1 1 0 0 1 01

En un sistema bivalente soacutelo se pueden formar cuatro funciones distintas de un argumento Si laquoφraquo denota un functor de un argumento entonces caben los siguientes casos (1) φ0 = 0 y φ1 = 0 esta funcioacuten la denotamos por laquoFpraquo (laquofalsum de praquo) (2) φ0 = 0 y φ1 = 1 φp es equivalente a p (3) φ0 = 1 y φ1 = 0 esta es la negacioacuten de p laquoNpraquo (4) φ0 = 1 y φ1 = 1 esta funcioacuten la denotamos por laquoVpraquo (laquoverum de praquo) laquoMpraquo tendraacute que ser ideacutentica a uno de estos cuatro casos Pero cada una de las tesis 1 2 y 18 excluye ciertos casos Mediante verificacioacuten directa con laquo0raquo y laquolraquo se puede averi‐guar que

1 CNMpNp se cumple soacutelo para Mp = p o Mp = Vp (A) 2 CNpNMp se cumple soacutelo para Mp = p o Mp = Fp

18 NΠpNKMpMNp se cumple soacutelo para Mp = Vp

La tesis 18 queda verificada mediante el enunciado Πpa(p) = Ka(0)a(1) Se obtiene entonces NΠpNKMpMNp = NKNKM0MN0NKM1MN1 = NKNKM0M1NKM1M0 = NKNKM0M1NKM0M1 = NNKM0M1 = KM0M1 Las condiciones (a) hacen evidente que las tesis 1 y 2 pueden ser vaacutelidas conjunta‐mente soacutelo para Mp = p del mismo modo que las tesis 1 y 18 pueden ser vaacutelidas soacutelo para Mp = Vp Las tesis 2 y 18 son incompatibles puesto que no hay funcioacuten para laquoMpraquo que verifique simultaacuteneamente ambas tesis

6 Las proposiciones modales y el caacutelculo proposicional trivalente Cuando en 1920 me percateacute de la incompatibilidad de los teoremas tradicionales sobre proposiciones modales32 me hallaba ocupado estableciendo el sistema del caacutelculo 32 En el trabajo citado en la nota 24 yo habiacutea definido el concepto de posibilidad bilateral de una manera maacutes estricta asumiendo que las proposiciones laquoes posible que praquo y laquoes posible que no‐praquo deben siempre cumplirse a la vez lo cual en conjuncioacuten con proposiciones de los dos primeros

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proposicional ordinario laquobivalenteraquo mediante el meacutetodo de matrices33 En esa eacutepoca estaba convencido de que era posible demostrar todas las tesis del caacutelculo proposicional ordina‐rio sobre la base de que sus variables proposicionales podiacutean asumir soacutelo dos valores laquo0raquo o laquolo falsoraquo y laquo1raquo o laquolo verdaderoraquo A este supuesto corresponde el teorema baacutesico de que toda proposicioacuten es o bien verdadera o bien falsa Para abreviar llamareacute a esto la ley de bivalencia Aunque ocasional‐mente se le llama ley de tercio excluso prefiero reservar este nombre para el conocido principio de loacutegica claacutesica seguacuten el cual dos proposiciones contradictorias no pueden ser falsas simultaacuteneamente La ley de bivalencia es la base de toda nuestra loacutegica y sin embargo fue objeto de grandes disputas ya entre los antiguos Aristoacuteteles la conociacutea aunque la puso en cuestioacuten respecto de las proposiciones referidas a futuros contingentes terminantemente rechazada por los epicuacutereos la ley de bivalencia aparece plenamente por vez primera con Crisipo y los estoicos como un principio de su dialeacutectica que representa lo que hoy llamamos caacutelculo proposicional34 La disputa acerca de la ley de bivalencia tiene un trasfondo metafiacutesico los que abogan en favor de la ley son decididos deterministas mientras que sus oponentes tienden a una Weltanschauung indeterminista35 Asiacute pues hemos vuelto a entrar en el aacuterea de los conceptos de posibilidad y necesidad La ley maacutes fundamental de la loacutegica no parece despueacutes de todo completamente evidente Apoyaacutendome en ejemplos venerables que se remontan a Aristoacuteteles intenteacute refutar la ley de bivalencia mediante la siguiente liacutenea de pensamiento Puedo suponer sin contradiccioacuten que mi presencia en Varsovia en un cierto mo‐mento del antildeo proacuteximo mdashpor ejemplo al mediodiacutea del 21 de diciembremdash no estaacute en el presente instante determinada ni positiva ni negativamente Por tanto es posible pero no necesario que yo esteacute presente en Varsovia en ese momento dado En este supuesto la proposicioacuten laquoestareacute en Varsovia a mediodiacutea del 21 de diciembre del antildeo proacuteximoraquo no puede en el presente instante ser ni verdadera ni falsa Porque si fuera verdadera ahora

grupos conduce a numerosas contradicciones Pensaba entonces en el concepto aristoteacutelico de posi‐bilidad laquopuraraquo Parece que Aristoacuteteles distinguiacutea entre dos tipos esencialmente diferentes de posibi‐lidad posibilidad en el sentido propio o posibilidad pura por la cual algo es soacutelo posible si no es necesario y posibilidad en el sentido impropio que estaacute conectada con la necesidad y resulta de ella de acuerdo con nuestra tesis 10 Cf H Maier Die Syllogistik des Aristoteles part i (Tuumlbingen 1896) paacutegs 180 181 33 Los resultados de estas investigaciones han sido publicados en mi articulo laquoLogika dwuwar‐tosciowaraquo (Loacutegica bivalente) que aparecioacute en la revista filosoacutefica polaca Przeglad Filozoficzny (Estu‐dios en honor del Profesor Twardowski) 23 (1921) paacutegs 189‐205 34 Cf el apeacutendice de este trabajo laquoSobre la historia de la ley de bivalenciaraquo 35 En la disertacioacuten inaugural que pronuncieacute como Canciller de la Universidad de Varsovia en 1922 intenteacute resolver el problema de una filosofiacutea indeterminista mediante la loacutegica trivalente Una versioacuten revisada de esa conferencia se publicaraacute proacuteximamente en polaco [En realidad este texto (laquoSobre el determinismoraquo) fue publicado 16 antildeos maacutes tarde por J Słupecki en la edicioacuten de 1961 de Z zagadnień logiki i filozofii y maacutes tarde en una versioacuten inglesa en la edicioacuten de McCall] En el ensayo laquoSobre el determinismoraquo antes mencionado Łukasiewicz ejemplifica esta argumen‐tacioacuten de modo similar

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mi futura presencia en Varsovia tendriacutea que ser necesaria lo cual estaacute en contradiccioacuten con el supuesto Si por otra parte fuera falsa ahora mi presencia futura en Varsovia tendriacutea que ser imposible lo cual tambieacuten contradice el supuesto Por lo tanto la proposicioacuten en cuestioacuten no es en este momento ni verdadera ni falsa y debe poseer un tercer valor distinto de laquo0raquo o falsedad y de laquolraquo o verdad Este valor se puede designar por laquofrac12raquo Representa laquolo posibleraquo y se antildeade como tercer valor junto a laquolo verdaderoraquo y laquolo falsoraquo El sistema trivalente de loacutegica proposicional debe su origen a esta liacutenea de pensa‐miento La siguiente tarea era dar la matriz mediante la cual se pudiera definir este nuevo sistema de loacutegica Inmediatamente vi claro que si la proposicioacuten concerniente a mi presencia futura en Varsovia tomaba el valor frac12 su negacioacuten debiacutea tomar el mismo valor frac12 Asiacute obtuve la ecuacioacuten Nfrac12 = frac12 Teniacutea todaviacutea que determinar para la implicacioacuten las cinco ecuaciones que conteniacutean el valor frac12 a saber C0frac12 Cfrac120 Cfrac12frac12 Cfrac121 y C1frac12 Las ecua‐ciones que no conteniacutean el valor frac12 las tomeacute del sistema bivalente de loacutegica proposicional asiacute como los valores para laquoN0raquo y laquoN1raquo Las ecuaciones buscadas las obtuve sobre la base de consideraciones detalladas que me resultaban maacutes o menos plausibles De este modo llegueacute por fin a la formulacioacuten de un caacutelculo proposicional trivalente definido por la matriz que sigue El sistema nacioacute en 192036

C 0 frac12 1 N

1 1 1 1 0 frac12 1 1 frac12 frac12 0 frac12 1 0 1

7 Definicioacuten del concepto de posibilidad Sobre la base de este sistema intenteacute entonces construir una definicioacuten del con‐cepto de posibilidad que me permitiera establecer todos los teoremas intuitivos tradi‐cionales para proposiciones modales sin incurrir en contradiccioacuten Lleveacute esto a cabo en lo relativo al concepto de posibilidad laquopuraraquo y pronto encontreacute una definicioacuten satisfactoria37

36 Di cuenta de este sistema a la Sociedad Polaca de Filosofiacutea en Lwoacutew el 19 de junio de 1920 Los contenidos esenciales de ese informe se han publicado en Ruch Filozoficzny 5 (1920) [en este libro] 37 La definicioacuten hallada es maacutes bien complicada y reza asiacute D1 Mp = AEpNpΠgNCpKgNq Esto es La expresioacuten laquoes posible que praquo significa laquoo bien p y no‐p son equivalentes entre siacute o no hay ninguacuten par de proposiciones contradictorias implicadas por praquo laquoAraquo es el signo de la alternacioacuten laquoEraquo el signo de equivalencia En loacutegica trivalente se cumplen las siguientes definiciones D2 Apq = CCpqq D3 Kpq = NANpNq D4 Epq = KCpqCqp

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Maacutes tarde sin embargo me convenciacute de que el concepto maacutes amplio de posibilidad en general era preferible al concepto maacutes restringido de posibilidad pura En lo que sigue por tanto examinareacute una definicioacuten de ese concepto que satisface todas las exigencias de los teoremas I‐III La definicioacuten en cuestioacuten fue descubierta por Tarski en 1921 cuando asistiacutea a mis seminarios como estudiante de la Universidad de Varsovia La definicioacuten de Tarski es la siguiente D2 Mp = CNpp Esto en palabras reza asiacute laquoes posible que praquo significa laquosi no p entonces praquo Hay que captar el significado intuitivo de esta definicioacuten La expresioacuten laquoCNppraquo es de acuerdo con la matriz de tres valores falsa si y soacutelo si laquopraquo es falsa En los demaacutes casos laquoCNppraquo es verdadera Obtenemos asiacute las ecuaciones

M0 = 0 Mfrac12 = 1 M1 = 1 Por lo tanto si una proposicioacuten dada laquoαraquo es falsa la proposicioacuten laquoes posible que αraquo es falsa tambieacuten Y si laquoαraquo es verdadera o si toma el tercer valor el de laquoposibilidadraquo entonces la proposicioacuten laquoes posible que αraquo es verdadera Esto concuerda muy bien con nuestras intuiciones En loacutegica bivalente la expresioacuten laquoCNppraquo es equivalente a la expresioacuten laquopraquo pero no asiacute en loacutegica trivalente La tesis laquoCCNpppraquo que es vaacutelida en el caacutelculo bivalente y aparece

La definicioacuten de laquoimposibilidadraquo es maacutes evidente Drsquo5 NMp = KNEpNpΣqCpKgNq Esto es la expresioacuten laquono es posible que praquo significa laquop y no‐p no son equivalentes entre siacute y hay un par de proposiciones contradictorias implicadas por praquo A partir de D1 se obtienen para M las siguientes ecuaciones M0 = 0 Mfrac12 = 1 M1 = frac12 Por medio de estas ecuaciones y de la matriz del caacutelculo proposicional trivalente se pueden verificar faacutecilmente las siguientes tesis (1) CpCpNMNp (4) CMNpCMNpMp (2) CNpCNpNMp (5) CNMpCNMpNp (3) CMpCMpMNp (6) CNMNpCNMNpp La tesis (5) nos permite obtener mediante dos separaciones de acuerdo con el teorema I y sobre la base de la proposicioacuten admitida laquono es posible que αraquo (laquoNMαraquo) la proposicioacuten laquono‐αraquo (laquoNαraquo) Conversamente obtenemos mediante dos separaciones la proposicioacuten laquono es posible que αraquo (laquoNMαraquo) a partir de la tesis (2) de acuerdo con el teorema II sobre la base de la proposicioacuten admitida laquono‐αraquo (laquoNαraquo) Ademaacutes si se admite una de las proposiciones laquoes posible que αraquo (laquoMαraquo) y laquoes posible que no‐αraquo (laquoMNαraquo) la otra de esas proposiciones ha de ser admitida tambieacuten por las tesis (3) y (4) Partiendo de las proposiciones admitidas laquoαraquo y laquoes necesario que αraquo no se puede hacer inferencia alguna a la proposicioacuten laquoes posible que αraquo puesto que aquiacute estamos tratando con la posibilidad laquopuraraquo que es incompatible con la necesidad Cf nota 32

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como axioma en mi sistema del caacutelculo proposicional ordinario38 no es vaacutelida para p = frac12 en el sistema trivalente Vailati ha escrito una interesante monografiacutea sobre la tesis laquoCCNpppraquo39 en la que se muestra que Euclides hizo uso de esta tesis en la demostracioacuten de uno de sus teoremas sin formularla expresamente40 Fue Clavius un comentador de Euclides de la segunda mitad del siglo dieciseacuteis jesuita y elaborador del Calendario Gregoriano quien primero prestoacute atencioacuten a esta tesis41 Desde esa eacutepoca parece haber adquirido una cierta popularidad entre los estudiosos jesuitas bajo el nombre de consequentia mirabilis42 El notable jesuita Gerolamo Saccheri en particular fue arrebatado hasta tal punto por la tesis laquoCCNpppraquo que intentoacute demostrar el postulado euclidiano de las paralelas sobre la base de ella El intento fracasoacute pero Saccheri ganoacute el tiacutetulo de precursor de la geometriacutea no eucliacutedea43 La tesis laquoCCNpppraquo enuncia que si para una cierta proposicioacuten digamos laquoαraquo se cumple la implicacioacuten laquoCNααraquo entonces laquoαraquo se cumple tambieacuten Ciertamente la impli‐cacioacuten laquosi no‐α entonces αraquo no significa lo mismo que la expresioacuten laquoα se puede inferir a partir de no‐αraquo pero a pesar de ello el concepto maacutes general de implicacioacuten cubre el caso maacutes especial de la inferencia Por lo tanto si de una proposicioacuten laquono‐αraquo se puede inferir la proposicioacuten laquoαraquo entonces laquoαraquo es verdadera No seriacutea correcto sin embargo asumir con Saccheri que el hecho laquode no‐α se infiere αraquo estampa la proposicioacuten laquoαraquo como una prima veritas44 Al contrario la tesis laquoCCNpppraquo nos sorprende por su caraacutecter abiertamente para‐doacutejico como indica su nombre consequentia mirabilis Soacutelo esto es cierto si una proposicioacuten se puede inferir de su contradictoria ciertamente no es falsa y por ende tampoco impo‐sible Es posible como enuncia la definicioacuten de Tarski Quizaacutes esta definicioacuten se haga maacutes 38 Cf Etementy logiki matematycznej (Elementos de loacutegica matemaacutetica) edicioacuten litografiada de confe‐rencias dadas por mi en la Universidad de Varsovia en el otontildeo de 1928‐29 revisada por M Presburger (Varsovia 1929) paacuteg 45 [Una versioacuten inglesa hecha por O Wojtasiewicz y editada por J Słupecki (Elements of Mathematical Logic) se publicoacute en coedicioacuten por PWN y Pergamon Press en 1963 reimprimieacutendose en 1966] 39 Scritti di G Vailati Leipzig‐Firenze 1911 CXV A proposito drsquoun passo del Teeteto e di una dimostrazione di Euclide paacutegs 516‐527 40 Cf Vailati op cit paacutegs 518 y ss Parece haber escapado a Vailati que la tesis arriba mencionada era ya conocida de los estoicos aunque no en su forma pura Leemos en Sexto Empiacuterico Adv math viii 292 41 Cf Vailati op cit paacuteg 521 42 Encuentro el nombre de consequentia mirabilis aplicado a esta tesis en los escritos de los jesuitas polacos Adam Krasnodębski en su Philosophia Aristotelis explicata (Varsovia 1676) Dialecticae Prole‐gomenon 21 escribe por ejemplo lo siguiente Artificium argumentandi per consequentiam mirabilem in hoc positum est (uti de re especulativa optime in Polonia meritus R P Tho Mtodzianowski Tr 1 de Poenit disp l quae 1 difficul 1 No 20 refert) ut ex propositione quam tuetur respondens ab argumentante eliciatur contradictoria 43 Cf Vailati op cit CIX Di unrsquoopera dimenticata del P Gerolamo Saccheri (lsquoLoacutegica demostrativarsquo 1697) paacutegs 477‐484 44 Cf Vailati op cit paacuteg 526 donde se citan las siguientes palabras de Saccheri laquoNam hic maxime videtur esse cuiusque primae veritatis veluti character ut non nisi exquisita aliqua redargutione ex suo ipso contradictorio assumpto ut vero fila ipsi tandem restitui possitraquo (Euclides ab omni naevo vindicatus paacuteg 99)

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obvia si se aplica al concepto de necesidad Porque de acuerdo con D2 obtenemos D3 NMNp = NCpNp que dice que laquoes necesario que praquo significa laquono es verdadero que si p entonces no‐praquo Hablando libremente podemos entonces afirmar que una determinada proposicioacuten laquoαraquo es necesaria si y soacutelo si no contiene su propia negacioacuten Sin insistir en el caraacutecter intuitivo de la definicioacuten arriba reproducida tenemos que admitir en cualquier caso que esta definicioacuten reuacutene todos los requisitos de los teoremas I‐III Ademaacutes como ha mostrado Tarski es la uacutenica definicioacuten positiva dentro del sistema trivalente que reuacutene esos requisitos Procederemos ahora a demostrar esas uacuteltimas asercio‐nes

8 Consecuencias de la definicioacuten del concepto de posibilidad De la definicioacuten D2 se sigue que todas las tesis del primer grupo se verifican es decir la tesis 1 correspondiente al teorema I y las tesis 7‐11 Porque en loacutegica proposi‐cional trivalente la tesis T1 CpCqp se cumple Obtenemos entonces T1qNp x T2 T2 CpCNpp T2D2 x T3 T3 CpMp En la liacutenea de derivacioacuten perteneciente a la tesis T3 se ha utilizado una regla de inferencia que nos permite reemplazar la parte derecha de una definicioacuten por su parte izquierda Puesto que en el caacutelculo trivalente se cumplen todas las leyes de transposicioacuten asiacute como el principio del silogismo a partir de T3 obtenemos las restantes tesis del primer grupo Todas estas tesis son perfectamente evidentes Las tesis del segundo grupo no son vaacutelidas Sin embargo no todas esas tesis son evidentes en cualquier caso Dos de ellas una de las cuales corresponde al teorema II son en un cierto sentido vaacutelidas aunque no como simples implicaciones Para ser exactos por la definicioacuten D2 se cumplen las siguientes proposiciones en el caacutelculo trivalente

CpCpNMNp y CNpCNpNMp

aunque las expresiones

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CpNMNp y CNpNMp no son vaacutelidas Esto se debe al hecho de que en el caacutelculo trivalente la tesis laquoCCpCpqCpqraquo no se cumple y por ello las expresiones laquoCαCαβraquo y laquoCαβraquo no son equivalentes entre siacute como lo son en el caacutelculo bivalente ordinario Las proposiciones arriba mencionadas se pueden demostrar por medio de las siguientes tesis auxiliares que tambieacuten se cumplen en la loacutegica proposicional trivalente T4 CpCCpqq T5 CpCCNNpqq T6 CCpCqrCpCNrNq T7 CCpCqNrCpCrNq T6pNp qCNpp rp x CT4pNp qp‐T8 T8 CNpCNpNCNpp T8D2 x T9 T9 CNpCNpNMp T7qCNNpNp rp x CT5qNp‐T10 T10 CpCpNCNNpNp T10D2pNp x T11 T11 CpCpNMNp Si se admite la proposicioacuten laquono‐αraquo entonces por doble separacioacuten aplicada a la tesis T9 se obtiene la proposicioacuten laquono es posible que αraquo Si se admite la proposicioacuten laquoαraquo entonces por T11 y doble separacioacuten llegamos a la proposicioacuten laquono es posible que no‐αraquo que significa lo mismo que laquoes necesario que αraquo Por lo tanto se puede inferir correc‐tamente laquoNo tengo dinero en mi bolsillo por lo tanto no es posible que yo tenga dinero en mi bolsilloraquo O tambieacuten laquoEstoy en casa al atardecer por lo tanto es necesario que yo esteacute en casa al atardecerraquo Se ha mostrado que el teorema II intuitivamente evidente se cumple y ademaacutes de tal manera que se conserva la maacutexima aristoteacutelica seguacuten la cual no todo lo que es es necesario y no todo lo que no es es imposible Porque ni las expresiones laquoαraquo y laquoNMNαraquo ni laquoNαraquo y laquoNMαraquo son equivalentes entre siacute Tampoco puede la existencia ser inferida de la posibilidad en el caso de que laquoMpraquo signifique lo mismo que laquoCNppraquo puesto que ni laquoCMppraquo ni laquoCMpCMppraquo se cumplen en el caacutelculo proposicional trivalente Finalmente el teorema III se verifica en la forma de las tesis T12 ΣpKMpMNp o T13 NΠpNKMpMNp

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en las cuales se asumen las siguientes definiciones D4 Apq = CCpqq D5 Kpq = NANpNq Las tesis T12 y T13 se verifican faacutecilmente con la ayuda de la matriz del caacutelculo trivalente y las ecuaciones que se han dado para laquoMraquo en la seccioacuten anterior Para p = frac12 obtenemos

KMfrac12MNfrac12 = K1Mfrac12 = K11 = 1

Hay por tanto un valor de p para el que la expresioacuten laquoKMpMNpraquo es correcta Como resumen de los resultados anteriores estamos ahora en condiciones de establecer el siguiente teorema Todos los teoremas tradicionales para proposiciones modales han sido establecidos libres de contradiccioacuten en el caacutelculo proposicional trivalente sobre la base de la definicioacuten laquoMp = CNppraquo Este resultado se me antoja altamente significativo Porque parece que aquellas de nuestras intuiciones que estaacuten conectadas con los conceptos de posibilidad y necesidad apuntan a un sistema de loacutegica que difiere en aspectos fundamentales de la loacutegica ordinaria basada en la ley de bivalencia Queda por probar que la definicioacuten que da Tarski es la uacutenica que dentro del caacutelculo trivalente cumple los requisitos de los teoremas I‐III Esto se puede mostrar de la siguiente manera Puesto que seguacuten el teorema I la proposicioacuten laquoNαraquo se sigue de la proposicioacuten laquoNMαraquo por la ley de transposicioacuten laquoMαraquo debe seguirse de laquoαraquo Por tanto si α = 1 entonces Mα = M1 = 1 Obtenemos asiacute la ecuacioacuten M1 = 1 Por otra parte seguacuten el teo‐rema II la proposicioacuten laquoNMαraquo se sigue de la proposicioacuten laquoNαraquo Por tanto si α = 0 o Nα = 1 entonces NMα = NM0 = 1 Pero NM0 soacutelo puede ser igual a 1 a condicioacuten de que M0 = 0 Obtenemos asiacute la segunda ecuacioacuten M0 = 0 Finalmente tambieacuten el teorema III laquoΣpKMpMNpraquo ha de ser verdadero Pero no es verdadero para p = 0 o para p = 1 porque en ambos casos hay un teacutermino de la conjuncioacuten que es falso y por tanto la conjuncioacuten misma ha de ser falsa tambieacuten Tenemos pues que asumir que Mfrac12 = 1 puesto que soacutelo en ese caso resulta la conjuncioacuten laquoKMpMNpraquo igual a 1 para p = frac12 De este modo la funcioacuten laquoMpraquo queda totalmente determinada para el caacutelculo proposicional trivalente y soacutelo se puede definir mediante laquoCNppraquo o alguna otra expresioacuten equivalente a ella

9 Significacioacuten filosoacutefica de los sistemas polivalentes de loacutegica proposicional Ademaacutes del sistema trivalente de loacutegica proposicional descubriacute en 1922 toda una clase de sistemas estrechamente relacionados que definiacute por medio del meacutetodo de matri‐ces del siguiente modo Cuando laquopraquo y laquoqraquo denotan ciertos nuacutemeros del intervalo (0 1) entonces

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Cpq = 1 para p le q Cpq =1 ndash p + q para p gt q Np = 1 ndash p Si del intervalo (0 l) se escogen soacutelo los valores liacutemite 0 y 1 esta definicioacuten representa la matriz del caacutelculo proposicional bivalente ordinario Si se incluye ademaacutes el valor frac12 obtenemos la matriz del sistema trivalente De manera similar se pueden formar sistemas de 4 5hellip n valores Desde el principio tuve claro que de entre todos los sistemas polivalentes soacutelo dos podiacutean aspirar a tener alguna significacioacuten filosoacutefica los trivalentes y los infinitamente polivalentes Porque si los valores distintos de laquo0raquo y laquo1raquo se interpretan como laquolo posibleraquo soacutelo cabe razonablemente distinguir dos casos o bien se supone que no hay variaciones de grado en lo posible y consecuentemente se llega al sistema trivalente o se supone lo opuesto en cuyo caso seriacutea maacutes natural pensar (como en teoriacutea de las probabilidades) que hay infinitos grados de posibilidad lo cual lleva al caacutelculo proposicional infinitamente polivalente Creo que este uacuteltimo sistema es preferible a todos los demaacutes Por desgracia este sistema no ha sido todaviacutea suficientemente investigado en particular la relacioacuten entre el sistema infinitamente polivalente y el caacutelculo de probabilidades demanda ulterior inves‐tigacioacuten45 Si se asume para el sistema infinitamente polivalente la definicioacuten de posibilidad establecida por Tarski ocurre que como en el sistema trivalente aparecen todas las tesis mencionadas en la seccioacuten precedente Los teoremas I‐III intuitivamente evidentes se verifican tambieacuten en el caacutelculo proposicional infinitamente polivalente El sistema trivalente es una parte propia del bivalente del mismo modo que el sistema infinitamente polivalente es una parte propia del sistema trivalente Esto quiere decir que todas las tesis de los sistemas trivalente e infinitamente polivalente son verda‐deras para el sistema bivalente Hay sin embargo tesis que son vaacutelidas en el caacutelculo biva‐lente pero no en el sistema infinitamente polivalente Pero cuando se trata de las tesis proposicionales mejor conocidas mdashpor ejemplo las que aparecen relacionadas en los Principia Mathematica46mdash la diferencia entre el caacutelculo proposicional trivalente y el infinita‐mente polivalente es miacutenima Desde luego no puedo encontrar una sola tesis en esta obra que siendo vaacutelida en el sistema trivalente no lo sea tambieacuten en el infinitamente poli‐valente Las tesis maacutes importantes del caacutelculo bivalente que no son verdaderas en los sistemas trivalente e infinitamente polivalente se refieren a ciertos esquemas de inferencia apagoacutegica sobre los que desde tiempo inmemorial ha habido dudas Por ejemplo las siguientes tesis no son verdaderas en sistemas polivalentes laquoCCNpppraquo laquoCCpNpNpraquo laquoCCpqCCpNqNpraquo laquoCCpKqNqNpraquo laquoCCpEqNqNpraquo La primera de estas tesis ha sido exami‐

En su trabajo laquoUn sistema de loacutegica modalraquo (1953) sostiene Łukasiewicz una opinioacuten claramente distinta sobre este tema 45 Mi librito Die logischen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Cracovia Akad d Wiss 1913 intenta basar la nocioacuten de probabilidad en una idea por completo diferente 46 Cf A N Whitehead y B Russell Principia Mathematica Cambridge 1910 vol i paacutegs 94‐131

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nada arriba la segunda se diferencia de la primera soacutelo por la introduccioacuten de la negacioacuten de p en lugar de p Las otras dos tesis justifican la asuncioacuten de que una proposicioacuten laquoNαraquo es verdadera cuando de su opuesta laquoaraquo se pueden derivar dos proposiciones mutuamente contradictorias La uacuteltima tesis afirma que una proposicioacuten de la que se sigue la equiva‐lencia de dos proposiciones contradictorias es incorrecta Hay en matemaacuteticas modos de inferencia mdashentre otros el llamado laquomeacutetodo de la diagonalraquo en teoriacutea de conjuntosmdash que se basan en esas tesis no aceptadas en los sistemas trivalentes e infinitamente polivalentes de loacutegica proposicional Seriacutea interesante indagar si los teoremas matemaacuteticos basados en el meacutetodo de la diagonal se pueden demostrar sin tesis proposicionales como eacutestas Aunque los sistemas polivalentes de loacutegica proposicional son meramente fragmen‐tos del caacutelculo proposicional ordinario la situacioacuten cambia enteramente cuando se am‐pliacutean estos sistemas por adicioacuten del cuantificador universal Hay tesis de los sistemas polivalentes ampliados que no son vaacutelidas en el sistema bivalente T13 puede servir como ejemplo de una tesis de ese tipo Si en T13 se reemplaza la expresioacuten laquoMpraquo de acuerdo con D2 por laquoCNppraquo y laquoMNpraquo por laquoCNNpNpraquo obtenemos la tesis T14 NΠpNKCNppCNNpNp que es falsa en el caacutelculo bivalente El sistema trivalente de loacutegica proposicional con cuantificadores que gracias a los trabajos de Tarski y Wajsberg se puede presentar axio‐maacuteticamente es el ejemplo maacutes simple de un sistema loacutegico consistente que difiere del sistema bivalente ordinario como cualquier geometriacutea no‐eucliacutedea de la eucliacutedea Pienso que se puede decir que el sistema mencionado es el primer sistema intuiti‐vamente fundado que difiere del caacutelculo proposicional ordinario El objetivo fundamental de esta comunicacioacuten era demostrar que esta base intuitiva reside en los teoremas I‐III que son intuitivamente evidentes para proposiciones modales pero que no son conjuntamente sostenibles en loacutegica ordinaria Cierto es que Post ha investigado sistemas polivalentes de loacutegica proposicional desde un punto de vista puramente formal pero no ha sido capaz de interpretarlos loacutegicamente47 Los famosos intentos de Brouwer que rechaza la validez universal de la ley de tercio excluso y repudia asimismo varias tesis del caacutelculo propo‐sicional ordinario no han conducido hasta el momento a un sistema intuitivamente basado Son simplemente fragmentos de un sistema cuya construccioacuten y significacioacuten estaacuten toda‐viacutea completamente oscuras48

47 Veacutease E L Post laquoIntroduction to a general theory of elementary propositionsmdash Am Journ of Math 43 (1921) paacuteg 182 laquohellip El mayor espacio proposicional intuible es de dos dimensionesraquo En 1930 cuando aparecioacute este artiacuteculo los resultados obtenidos por A Heyting que expresaban las intuiciones de Brouwer en forma de un sistema loacutegico formalizado no se habiacutean publicado todaviacutea En su ensayo laquoSobre la teoriacutea intuicionista de la deduccioacutenraquo Łukasiewicz dice de ese siste‐ma laquoMe parece que entre los sistemas de loacutegica conocidas hasta ahora la teoriacutea intuicionista es el maacutes intuitivo y eleganteraquo 48 Cf e g L E J Brouwer laquoIntuitionistische Zerlegung mathematischer Grundbe‐grifferaquo Jahresber d Deutsch Math‐Vereinigung 33 (1925) paacutegs 251 y ss laquoZur Begruumlndung der intuitionistischen Mathematik Iraquo Math Ann 93 (1925) paacutegs 244 ss

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Quizaacute no seriacutea correcto denominar a los sistemas polivalentes de loacutegica proposi‐cional por miacute establecidos loacutegica laquono‐aristoteacutelicaraquo dado que Aristoacuteteles fue el primero que pensoacute que la ley de bivalencia podiacutea no ser verdadera para ciertas proposiciones Nuestra loacutegica provista de un nuevo fundamento podriacutea denominarse maacutes bien laquono‐crisiacutepearaquo puesto que parece haber sido Crisipo el primer loacutegico que conscientemente establecioacute y defendioacute obstinadamente el teorema seguacuten el cual toda proposicioacuten es o bien verdadera o bien falsa Este teorema de Crisipo ha constituido hasta el presente el maacutes baacutesico funda‐mento de toda nuestra loacutegica No es faacutecil prever queacute influencia ejerceraacute el descubrimiento de sistemas no‐crisipeos de loacutegica sobre la especulacioacuten filosoacutefica Me parece sin embargo que la signifi‐cacioacuten filosoacutefica de los sistemas de loacutegica aquiacute tratados puede ser al menos tan grande como la significacioacuten de los sistemas no‐eucliacutedeos de geometriacutea

APEacuteND ICE

Sobre la historia de la ley de bivalencia La ley de bivalencia es decir la ley seguacuten la cual toda proposicioacuten es o bien verda‐dera o bien falsa le era familiar a Aristoacuteteles que caracterizoacute expliacutecitamente una propo‐sicioacuten ἀπόϕανσις como un discurso que es o bien verdadero o bien falso En el De interpr 4l7a2 leemos ἀποϕαντικός δὲ (scil λόγος λόγος ἀποϕαντικός = ἀπόϕανσις) οὐ πᾶς ἀλλ᾽ ἐν ᾠ τὸ ἀληϑεύειν ἢ ψεύδεσϑαι ὑπάρχει Aristoacuteteles sin embargo no acepta la validez de esta ley para aquellas proposiciones que se refieren a eventos futuros contin‐gentes El famoso capitulo 9 del De interpretatione estaacute dedicado a este tema Aristoacuteteles creiacutea que la consecuencia inevitable de la ley de bivalencia seriacutea el determinismo conse‐cuencia que eacutel era incapaz de aceptar Por tanto se vio forzado a restringir la ley No lo hizo sin embargo con la suficiente decisioacuten y por esa razoacuten su manera de plantear el tema no resulta completamente clara El pasaje maacutes importante reza como sigue (De interpr 919a36) τούτων γὰρ (scil τῶν μὴ ἀεὶ ὄντων ἢ μὴ ἀεὶ μὴ ὄντων) ἀνάγκη μὲν ϑάτερον μόριον τῆς ἀντιϕάσεως ἀληϑὲς εἶναι ἢ ψεῦδος οὐ μέντοι τόδε ἢ τόδε ἀλλ᾽ ὁπότερ ἔτυχε ϰαὶ μᾶλλον μὲν ἀληϑῆ τὴν ἑτέραν οὐ μέντοι ἤδη ἀληϑῆ ἢ ψευδῆ Otro pasaje del De interpretatione (a saber 18b8 τὸ γὰρ ὁπότερ ἔτυχεν οὐδὲν μᾶλλον οὕτως ἢ μὴ οὕτως ἔχει ἢ ἔξει) dio pie a los estoicos para mantener que Aristoacuteteles negaba la ley de bivalencia Asiacute en Boecio Ad Arist de interpr ed secunda rec Meiacuteser paacuteg 208 (ed Bas paacuteg 364) encontramos este pasaje laquoputaverunt autem quidam quorum Stoici quoque sunt Aristotelem dicere in futuro contingentes nec veras esse nec falsasraquo Los peripateacuteticos intentaron defender a Aristoacuteteles frente a esta objecioacuten mediante una confusa laquodistincioacutenraquo entre lo definite verum y lo indefinite verum inexistente en las obras del Estagirita Asiacute dice Boecio (Ad Arist de interpr ed prima rec Meiser paacuteg 125) laquomanifestum esse non ne‐cesse esse omnes adfirmationes et negaciones definite veras esse (sed deest lsquodefinitersquo atque ideo subaudiendum est)raquo La frase entre pareacutentesis ha sido tomada casi literalmente de los comentadores griegos Cf Ammonius in librum Arist de interpr ed Busse paacuteg 141 20

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προσυπαϰουομένον laquoἀϕορισμένοςraquo No cabe duda de que los epicuacutereos que manteniacutean una Weltanschauung indeter‐minista hicieron suya la idea de Aristoacuteteles Uno de los maacutes importantes pasajes que da testimonio de eacutesto nos ha sido transmitido por Ciceroacuten De fato 37 laquoNecesse est enim in rebus contrariis duabus (contraria autem hoc loco ea dico quorum alterum ait quid alterum negat) ex his igitur necesse est invito Epicuro alterum verum esse alterum falsum at lsquosauciabitur Philoctetarsquo omnibus ante seculis verum fuit lsquonon sauciabiturrsquo falsum Nisi forte volumus Epicureorum opinionem sequi qui tales enuntiationes nec veras nec falsas esse dicunt aut cum id pudet illud tamen dicunt quod est impudentius veras esse ex contrariis disiunctiones sed quae in his enuntiata essent eorum neutrum esse verumraquo Ciceroacuten se opone a esta concepcioacuten y continuacutea laquoTenebitur ergo id quod a Chrysippo defenditur omnem enuntiationem aut veram aut falsam esseraquo Que no soacutelo los epicuacutereos compartiacutean la opinioacuten de Aristoacuteteles se sigue de un pasaje de Simplicio In Arist cat ed Kalbfleisch paacuteg 406 (f 103A ed Bas) laquoὁ δὲ Νιϰόστατος αιτιᾶιται ϰἀνταῦϑα λέγων μὴ ἴδιον εἶναι τῶν ϰατά ἀντίϕασιν ἀντϰειμένον τὸ ἀληϑες ϰαὶ τὸ ψεῦδος hellip αἱ γὰρ τὸ lsquoἔσται ναυμαχίαrsquo ἀληϑες οὔτε τὸ lsquoοὐϰ ἔσταιrsquo ἀλλ ὁπότερον ἔτυχενraquo El uacuteltimo ejemplo estaacute tomado del De interpretatione (9 19a30) de Aristoacuteteles En relacioacuten con Nikostratos veacutease Prantl vol i paacutegs 618‐620 En consciente oposicioacuten a esto los estoicos como francos deterministas que eran y Crisipo en especial erigieron la ley de bivalencia en principio fundamental de su dialeacutec‐tica Como prueba se pueden citar los siguientes pasajes tomados de los Stoicorum veterum fragmenta de Von Arnim (l) Paacuteg 62 fr 193 Diocles Magnes apud Diog Laert vii 65 ἀξίωμα δέ ἐστιν ὅ ἐστιν ἀληϑὲς ἢ ψεῦδος (2) Paacuteg 63 frag 196 Ciceroacuten Acad Pr H 95 laquoFundamentum dialecticae est quidquid enuntietur (id autem appellant ἀξίωμα) aut verum esse aut falsumraquo (31 Paacutegina 275 fragm 952 Ciceroacuten De Pato 20 laquoConcludit enim Chrysippus hoc modo lsquoSi est motus sine causa non omnis enuntiatio quod ampliacute(oμa dialectici appellant aut vera aut falsa erit causas enim efficientis quod non habebit id nec verum nec falsum erit Omnis autem enuntiatio aut vera aut falsa est Motus ergo sine causa nullus est 21 Quod si ita est omnia quae fiunt causis fiunt antegressis Id si ita est fato omnia fiunt Efficitur igitur fato fieri quaecunque fiantrsquo hellip Itaque contendit omnis nervos Chrysippus ut persuadeat omne aut verum esse aut falsumraquo He reunido tantas citas de manera deliberada En efecto aunque arrojan luz sobre uno de los maacutes importantes problemas de la loacutegica muchas resultaban a lo que parece desconocidas a los historiadores de la loacutegica o al menos no se las apreciaba lo bastante La razoacuten de esto estaacute en mi opinioacuten en que la historia de la loacutegica ha sido hecha hasta ahora por filoacutesofos con un adiestramiento insuficiente en loacutegica A los autores maacutes antiguos no se les puede reprochar esto ya que hace muy pocas deacutecadas que existe una loacutegica cientiacutefica La historia de la loacutegica debe ser escrita de nuevo y por un historiador que tenga un completo dominio de la moderna loacutegica matemaacutetica Por valiosa que sea la obra de Prantl como compilacioacuten de fuentes y materiales desde un punto de vista loacutegico es praacutecticamente inuacutetil Para dar soacutelo un ejemplo Prantl al igual que los autores posteriores que han escrito acerca de la loacutegica de la Stoa como Zeller y Brochard ha comprendido mal esta loacutegica Porque cualquier persona familiarizada con la loacutegica matemaacutetica sabe de sobra que la

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dialeacutectica estoica es la forma antigua de la moderna loacutegica proposicional49 La loacutegica proposicional que contiene soacutelo variables proposicionales es tan distinta de la silogiacutestica aristoteacutelica que opera soacutelo con variables de teacuterminos como lo es la aritmeacute‐tica de la geometriacutea La dialeacutectica estoica no es un desarrollo o un complemento de la loacutegi‐ca aristoteacutelica sino un logro de igual fuste que el de Aristoacuteteles A la vista de esto parece elemental exigir de un historiador de la loacutegica que sepa algo de loacutegica Hoy en diacutea no basta con ser un filoacutesofo para tener voz sobre cuestiones de loacutegica

49 Ya he expresado esta idea en 1923 en un ensayo que leiacute al primer congreso de filoacutesofos polacos en Lwoacutew Un breve resumen de eacutel aparecioacute en Przeglad Filozoficzny 30 (1927) paacuteg 278 [Łukasiewicz desarrolla su anaacutelisis histoacuterico de la loacutegica estoica en su artiacuteculo laquoPara la historia de la loacutegica de proposicionesraquo (en de este libro)]

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PARA LA HISTORIA DE LA LOacuteGICA DE PROPOSICIONES La moderna loacutegica matemaacutetica nos ha ensentildeado a distinguir dentro de la loacutegica formal dos disciplinas baacutesicas no menos diferentes entre siacute que la aritmeacutetica y la geometriacutea Son eacutestas la loacutegica de proposiciones y la loacutegica de teacuterminos La diferencia entre ambas reside en el hecho de que en la loacutegica de proposiciones soacutelo aparecen ademaacutes de constantes loacutegicas variables proposicionales mientras que en la loacutegica de teacuterminos aparecen variables de teacuterminos La manera maacutes simple de aclarar esta diferencia es examinar las versiones peripa‐teacutetica y estoica de la ley de identidad Para evitar malentendidos permiacutetaseme decir ya que a juzgar por las fuentes las dos leyes de identidad fueron formuladas por los antiguos soacutelo de un modo incidental y en modo alguno pertenecen a los principios baacutesicos de ninguna de las dos loacutegicas La ley estoica de identidad reza asiacute laquoSi lo primero entonces lo primeroraquo y figura como premisa en uno de los esquemas de inferencia que cita Sexto Empiacuterico50 La ley peripateacutetica de identidad es laquoa pertenece a todo araquo y no aparece mencio‐nada en Aristoacuteteles si bien puede inferirse de un pasaje del comentario de Alejandro a los Primeros Analiacuteticos51 Utilizando variables podemos escribir la ley estoica de identidad en la forma laquosi p entonces praquo la ley peripateacutetica se puede reformular en la forma laquotodo a es araquo En la primera ley la expresioacuten laquosihellip entoncesraquo es una constante loacutegica y laquopraquo una variable proposicional laquopraquo soacutelo se puede sustituir con sentido por proposiciones como laquoes de diacutearaquo Esta sustitucioacuten proporciona un caso especial de la ley estoica de identidad laquosi es de diacutea es de diacutearaquo En la segunda ley la expresioacuten laquotodohellip esraquo es una constante loacutegica y laquoaraquo una variable de teacutermino laquoaraquo se puede sustituir con sentido soacutelo por un teacutermino y de acuerdo con un supuesto taacutecito de la loacutegica aristoteacutelica soacutelo por un teacutermino general tal como por ejemplo laquohombreraquo Con esa sustitucioacuten obtenemos un caso especial de la ley peripateacutetica de identidad laquotodo hombre es hombreraquo La ley estoica de identidad es una tesis de la loacutegica de proposiciones mientras que la ley peripateacutetica es una tesis de la loacutegica de teacuterminos Esta diferencia fundamental entre la loacutegica de proposiciones y la loacutegica de teacuterminos les era desconocida a todos los viejos historiadores de la loacutegica Ello explica por queacute no ha habido hasta el presente historia de la loacutegica de proposiciones y consecuentemente

Nota editorial tomada de la edicioacuten de McCall Este ensayo aparecioacute originariamente bajo el tiacutetulo laquoZ historii logiki zdafiraquo en Przeglad Filozoficzny 37 (1934) paacutegs 417‐337 Se reimprimioacute en una coleccioacuten de ensayos de Łukasiewicz titulada Z zagadnieh logiki i filozofii editada por J Słupecki Varsovia 1961 En Erkenntnis 5 (1935) paacutegs 111‐131 aparecioacute una traduccioacuten alemana realizada por el autor con el titulo de laquoZur Geschichte der Aussagenlogikraquo 50 Sexto Adv Math viii 292 (omitido en Arnim) Por buena que sea la compilacioacuten de H von Arnim (Stoicorum veterum fragmenta vol ii Leipzig 1903) ha empezado a no servir como fuente para la dialeacutectica estoica 51 Alejandro In anal pr comm ed Wallies paacuteg 34 1 19

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ninguna visioacuten correcta de la historia de la loacutegica formal como un todo Por indispensable que sea incluso hoy la obra de Prantl52 como recopilacioacuten de fuentes y material apenas tiene valor alguno como presentacioacuten histoacuterica de problemas y teoriacuteas loacutegicas La historia de la loacutegica ha de ser escrita de nuevo y por un historiador que haya alcanzado un dominio completo de la loacutegica matemaacutetica En este breve escrito tocareacute soacutelo tres grandes puntos de la historia de la loacutegica proposicional En primer lugar quiero mostrar que la dialeacutectica estoica en contraste con la silogiacutestica aristoteacutelica es la forma antigua de la loacutegica proposicional y de acuerdo con ello que se les deben devolver los honores debidos a los hasta ahora totalmente malentendidos y equivocadamente juzgados logros de los estoicos En segundo lugar intentareacute mostrar por medio de varios ejemplos que la loacutegica proposi‐cional estoica perduroacute y se desarrolloacute durante la eacutepoca medieval particularmente en la teoriacutea de las laquoconsecuenciasraquo En tercer lugar me parece importante establecer algo que no parece ser de conocimiento general ni siquiera en Alemania a saber que el fundador de la loacutegica proposicional moderna es Gottlob Frege La ley estoica de identidad arriba mencionada perteneciente a la loacutegica proposi‐cional atestigua que la dialeacutectica estoica es una loacutegica de proposiciones Sin embargo un teorema aislado nada prueba En consecuencia vamos a examinar el ceacutelebre esquema de inferencia que los estoicos colocaron a la cabeza de su dialeacutectica como primer silogismo laquoindemostrableraquo

Si lo primero entonces lo segundo es asiacute que lo primero luego lo segundo53

En esta foacutermula las palabras laquolo primeroraquo y laquolo segundoraquo son variables porque los estoicos no representaban las variables con letras sino con nuacutemeros ordinales54 Es claro que tampoco estas variables pueden ser sustituidas con sentido por otra cosa que no sean proposiciones por ejemplo laquoes de diacutearaquo laquohay luzraquo Al realizar esta sustitucioacuten obtenemos la inferencia que aparece una y otra vez como ejemplo escolar en los textos estoicos laquoSi es de diacutea entonces hay luz es asiacute que es de diacutea luego hay luzraquo Que las variables de esa foacutermula han de ser sustituidas por proposiciones y no por teacuterminos resulta evidente por su sentido y ademaacutes estaacute implicado claramente por el siguiente ejemplo laquoSi Platoacuten vive entonces Platoacuten respira es asiacute que lo primero luego lo segundoraquo Aquiacute es claro que laquolo primeroraquo se refiere a la proposicioacuten laquoPlatoacuten viveraquo y laquolo segundoraquo a la proposicioacuten laquoPlatoacuten respiraraquo55 La diferencia fundamental entre la loacutegica estoica y la aristoteacutelica no estriba en el hecho de que en la dialeacutectica estoica aparezcan proposiciones hipoteacuteticas y disyuntivas en tanto que en la silogiacutestica aristoteacutelica soacutelo aparecen proposiciones categoacutericas Estricta‐

52 K Prantl Geschichte der Logik im Abendlande vols i‐iv Leipzig 1855‐70 vol ii 2ordf ed Leipzig 1885 53 Sextobdquo Ade math viii 227 (Arnim ii 242 paacuteg 81 1 22) 54 Apuleyo De interpr 279 (Arnim ii paacuteg 81 nota) laquoStoici porro pro litteris numere usurpant ut lsquosi primum secundum atqui primum secundum igiturrsquoraquo 55 Dioacutegenes Laercio vii 76 (citado en Prantl i paacuteg 471 nota 177 omitido en Arnim)

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mente hablando se pueden encontrar tambieacuten proposiciones hipoteacuteticas en la silogiacutestica de Aristoacuteteles porque cada silogismo aristoteacutelico es una implicacioacuten y por ende una proposicioacuten hipoteacutetica Por ejemplo laquosi a pertenece a todo b y c pertenece a todo a entonces c pertenece a todo braquo56 La diferencia fundamental entre los dos sistemas antiguos de loacutegica reside maacutes bien en el hecho de que en los silogismos estoicos las variables son variables proposicionales mientras que en los de Aristoacuteteles son variables de teacutermino Esta diferencia crucial queda completamente borrada si traducimos el silogismo estoico arriba mencionado tal como lo hace Prantl (i paacuteg 473)

Si es lo primero es lo segundo Es asiacute que es lo primero Luego es lo segundo

Al antildeadir a cada variable la palabreja laquoesraquo que no aparece por ninguna parte en los textos antiguos Prantl sin saberlo y sin quererlo falsea la loacutegica proposicional estoica convirtieacutendola en una loacutegica de teacuterminos Porque en el esquema de Prantl laquolo primeroraquo y laquolo segundoraquo soacutelo se pueden sustituir con sentido por teacuterminos y no por proposiciones Por lo que podemos juzgar a partir del estado fragmentario en que la dialeacutectica estoica ha llegado hasta nosotros todos los esquemas de inferencia estoicos contienen uacutenicamente ademaacutes de constantes loacutegicas variables proposicionales La loacutegica estoica es por tanto una loacutegica de proposiciones57 Hay ademaacutes una segunda diferencia importante entre los silogismos aristoteacutelicos y los estoicos Los silogismos aristoteacutelicos son tesis loacutegicas y una tesis loacutegica es una propo‐sicioacuten que soacutelo contiene ademaacutes de constantes loacutegicas variables proposicionales o de teacutermino y que es verdadera para todos los valores de sus variables Los silogismos estoicos son esquemas de inferencia en el sentido de reglas de inferencia y una regla de inferencia es una prescripcioacuten que autoriza al que razona a derivar nuevas proposiciones a partir de otras ya admitidas Vamos a examinar esta diferencia con alguacuten mayor detalle El silogismo aristoteacutelico anteriormente citado que se puede tambieacuten escribir laquosi todo b es a y todo a es c entonces todo b es craquo es una implicacioacuten de la forma laquosi α y β entonces γraquo cuyo antecedente es una conjuncioacuten de las premisas α y β y cuyo consecuente es la conclusioacuten γ En cuanto implicacioacuten este silogismo es una proposicioacuten que Aristoacuteteles reconoce como verdadera una proposicioacuten que ademaacutes se cumple para todos los valores de sus variables laquoaraquo laquobraquo y laquocraquo Si estas variables se sustituyen por valores constantes obte‐nemos proposiciones verdaderas En la medida en que el silogismo en cuestioacuten no contiene ademaacutes de variables otra cosa que las constantes loacutegicas laquosihellip entoncesraquo laquoyraquo y laquotodohellip

56 Aristoacuteteles An pr ii 11 61b34 57 He defendido esta interpretacioacuten de la dialeacutectica estoica desde 1923 ver J Łukasiewicz laquoPhilosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aussagenkalkuumllsraquo Comptes rendues des seacuteances de la Socieacuteteacute des Sciences et des Lettres de Varsovie 23 (1930) iii paacutegs 51‐77 [laquoObservaciones filosoacuteficas sobre sistemas polivalentes de loacutegica proposicionalraquo en este libro] Me alegra haber encontrado en H Scholz (Geschichte der Logik Berliacuten 1931 paacuteg 31) un defensor de este punto de vista

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esraquo constituye como todos los demaacutes silogismos aristoteacutelicos una tesis loacutegica Otra cosa ocurre en la loacutegica estoica El silogismo estoico arriba reproducido que con ayuda de letras se puede escribir laquosi p entonces q es asiacute que p luego qraquo se compone como el silogismo aristoteacutelico de dos premisas y una conclusioacuten Pero aquiacute las premisas no estaacuten ligadas con la conclusioacuten en una sola proposicioacuten unificada Esto se ve por la palabra laquoluegoraquo que introduce la conclusioacuten En consecuencia el tal silogismo no es una proposicioacuten Puesto que no es una proposicioacuten no puede ser ni verdadero ni falso porque es algo admitido que la verdad y la falsedad pertenecen a las proposiciones soacutelo De ahiacute que el silogismo estoico no sea una tesis loacutegica si sus variables se sustituyen por valores constantes el resultado no es una proposicioacuten sino una inferencia Seguacuten esto el silogismo es un esquema de inferencia poseedor de la fuerza de una regla de inferencia que se puede expresar maacutes exactamente del siguiente modo quienquiera que acepta tanto la implicacioacuten laquosi p entonces qraquo como su antecedente laquopraquo tiene tambieacuten derecho a aceptar como verdadero el consecuente laquoqraquo de esta implicacioacuten ‐es decir a separar laquoqraquo de laquopraquo Esta regla de inferencia se ha convertido bajo el nombre de laquoregla de separacioacutenraquo en claacutesica dentro de la loacutegica moderna

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LOGIacuteSTICA Y FILOSOFIacuteA

El estiacutemulo directo para escribir el presente artiacuteculo se debe al libro del padre Augustyn Jakubisiak Od zakresu do treścy (De la extensioacuten a la intensioacuten)58 Dicha obra que es una coleccioacuten de escritos filosoacuteficos va precedida de una introduccioacuten en la que ataca aquellas corrientes filosoacuteficas que en su opinioacuten estaacuten conectadas con la logiacutestica Lamen‐to que el padre Jakubisiak que vive en Pariacutes no se tome la molestia de familiarizarse con los ambientes y opiniones que critica De ese modo habriacutea evitado ciertas formulaciones que desacreditan su ataque He aquiacute algunos ejemplos Pretendiendo que las corrientes filosoacuteficas conectadas con la logiacutestica han declara‐do una guerra sin cuartel a las doctrinas filosoacuteficas del pasado el Padre Jakubisiak dice en la paacutegina 11 laquoSemejante actitud hacia la filosofiacutea del pasado se encuentra en Russell en Whitehead y en Kreis Witgenstein Schlick Carnap y muchos otros entre los cuales ocupan un prominente lugar los loacutegicos polacos de la notoria ldquoEscuela de Varsoviardquoraquo Nunca he oiacutedo hablar de ninguacuten filoacutesofo que respondiera al nombre de Kreis y que pudie‐ra ser mencionado en este contexto pero seacute que Schlick y Carnap pertenecen a un grupo de filoacutesofos a los que en los medios filosoacuteficos se conoce con el nombre de laquoWiener Kreisraquo es decir laquoCiacuterculo de Vienaraquo iquestHa confundido acaso el Padre Jakubisiak el nombre de un grupo con el apellido de un individuo59 El Padre Jakubisiak cita ademaacutes extractos de mi intervencioacuten en la Segunda Confe‐rencia de Filoacutesofos Polacos en 1927 resumida en mi escrito O metodę w filozofii (Hacia un meacutetodo en filosofiacutea) publicado en las Actas de la Conferencia60 En la paacutegina 12 el Padre Jakubisiak cita otro texto en el que digo que laquola loacutegica creada por los matemaacuteticos que establece un nuevo nivel de precisioacuten cientiacutefica mucho maacutes alto que todos los anteriores ha abierto61 nuestros ojos a la inutilidad de la especulacioacuten filosoacutefica Por tanto como en la eacutepoca de Kant surge la necesidad de una reforma de la filosofiacutea No sin embargo una reforma hecha en nombre de alguacuten vago criticismo y en el espiacuteritu de una teoriacutea no cientiacute‐fica del conocimiento sino una reforma en el nombre de la ciencia y en el espiacuteritu de la loacutegica matemaacuteticaraquo Menos de dos paacuteginas despueacutes en la paacutegina 14 el Padre Jakubisiak

Publicado por vez primera como laquoLogistyka a filozofiaraquo en Przeglad Filozoficzny 39 (1936) paacutegs 115‐131 Reimpreso en la edicioacuten de 1961 de Z zagadnientilde logiki i filozofii 58 Augustyn Jakubisiak Od zakresu do treści (De la extensioacuten a la intensioacuten) Varsovia 1936 paacuteg 301 59 Repaacuterese en aras del rigor en que laquoWittgensteinraquo se escribe con una doble laquotraquo en la primera siacutelaba Me tomo asimismo la libertad de sentildealar que la escuela de logiacutestica de Varsovia ha alcanzado ya un cierto renombre tanto en Polonia como fuera pero el primero en calificarla de laquonotoriaraquo ha sido el Padre Jakubisiak 60 En Przeglad Filozoficzny 21 (1928) paacutegs 3‐5 Su tiacutetulo polaco aparece mal citado por el Padre Jakubisiak en la paacutegina 12 como laquoO metodzie w filozofiiraquo (Sobre un meacutetodo en filosofiacutea) 61 El autor cita mal escribiendo laquoabriraacuteraquo

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escribe laquoMientras que la mente humana contrariando las prohibiciones de Kant penetra cada vez maacutes profundamente en la realidad circundante los defensores de la reforma logiacutestica de la filosofiacutea quieren prohibir a esa misma mente humana todo contacto con la realidad y obligarla a concentrarse en un esteacuteril estudio de formas a priori sin contenido en una chaacutechara ociosaraquo El lector que recuerde el fragmento de mi intervencioacuten arriba citado y sepa asimismo que laquoloacutegica matemaacuteticaraquo significa lo mismo que laquologiacutesticaraquo estaacute comple‐tamente autorizado a suponer que soy yo quien en cuanto que abogo por una reforma logiacutestica de la filosofiacutea y tambieacuten como se dice en la paacutegina 11 del libro en cuanto soy uno de los laquopromotoresraquo de esa nueva filosofiacutea quiere prohibir a la mente humana todo contacto con la realidad y sin embargo en mi escrito arriba citado digo de modo comple‐tamente expliacutecito laquoDebemos buscar incesantemente el contacto con la realidad a fin de no producir entidades miacuteticas tales como las ideas platoacutenicas y las cosas‐en‐siacute kantianas sino entender la esencia y estructura de ese mundo real en el que vivimos y obramos y que de alguna manera queremos mejorarraquo iquestEs que acaso el Padre Jakubisiak no ha conseguido leer hasta el final mi escrito que tiene soacutelo dos paacuteginas En uno de sus escritos el Profesor Zawirski de Poznań se ocupa de un argumento de Heisenberg que cabriacutea resumir como sigue62 En el principio de causalidad que dice laquosi conocemos con exactitud el presente podemos predecir el futuroraquo el antecedente es falso porque no podemos conocer el presente con exactitud Por tanto el principio de causali‐dad no es vaacutelido El Profesor Zawirski presenta contra este argumento la siguiente obje‐cioacuten que el Padre Jakubisiak cita verbatim en su nota al pie de la paacutegina 17 laquoNo podemos hablar de la falsedad del principio de causalidad ni siquiera consideraacutendolo en la formu‐lacioacuten de Heisenberg Ese principio tiene la forma de una implicacioacuten en esa implicacioacuten el antecedente es falso por tanto el principio es erroacuteneo dice Heisenberg Ahora bien mdashescribe el Profesor Zawirskimdash no se puede razonar asiacute Precisamente la propiedad de una implicacioacuten es que sigue siendo verdadera incluso cuando su antecedente es falsoraquo Si la idea de Heisenberg estaacute correctamente reproducida cosa que el Padre Jakubisiak no pone en cuestioacuten entonces la objecioacuten del Profesor Zawirski es correcta porque por loacutegica de proposiciones sabemos que una implicacioacuten con antecedente falso es verdadera Tampoco puedo yo decir que el Profesor Zawirski sobreestime el peso de su argumento El estariacutea de acuerdo como recoge el Padre Jakubisiak con la opinioacuten de Born de que si fuera imposible averiguar el antecedente el principio de causalidad seriacutea laquoein leeres Gerederaquo y de que no resultariacutea aplicable iquestPor queacute entonces acumula nuestro autor denuncias sobre la objecioacuten del Profesor Zawirski Escribe el Padre Jakubisiak laquoEl sentildeor Zawirski acusa a Heisenberg de ignorar las leyes de la loacutegica (hellip) iexclEl pobre Heisenberg ni siquiera barrunta las simples y profundas operaciones criacuteticas con las que el sentildeor Zawirski socava su tesis fundamental hellip es soacutelo de lamentar que Heisenberg no conozca mdashni probablemente vaya a conocer nuncamdash queacute formidables oponentes tienen en la Universidad de Poznańraquo iquestEs

62 Zygmunt Zawirski laquoW sprawie indeterminizmu fizyki kwantowejraquo (Sobre el indeterminismo de la fiacutesica cuaacutentica) en Księga Pamiątkowa Towarzystwa Filozoficznego we Lwowie (Libro Conmemorativo de la Sociedad Filosoacutefica de Lwoacutew) Lwoacutew 1931 paacutegs 456‐483 Veacuteanse en particular las paacuteginas 478‐479 Tambieacuten este artiacuteculo aparece mal citado por el Padre Jakubisiak como laquoW sprawie inde‐terminizmuraquo

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posible que el Padre Jakubisiak no conozca la regla de la loacutegica a la que se refiere el Profe‐sor Zawirski A la vista pues de formulaciones como eacutestas que aparecen en el libro que estamos examinando el ataque del Padre Jakubisiak a la logiacutestica y a la filosofiacutea logiacutestica podriacutea muy bien obtener el silencio como respuesta Si he decidido hacer otra cosa es por aprove‐char la oportunidad que ese ataque me proporciona para clarificar algunos malentendidos que no faltan cuando se trata de las relaciones entre logiacutestica y filosofiacutea y para formular con mayor precisioacuten mis opiniones sobre la materia

I El Padre Jakubisiak comienza su ataque con la siguiente afirmacioacuten (paacuteg 11) laquoLa defensa de los postulados esenciales del criticismo es tambieacuten asumida aunque de una manera diferente por las corrientes filosoacuteficas maacutes recientes llamadas o bien empirismo loacutegico o bien loacutegica matemaacutetica o bien simplemente logiacutesticaraquo Esta frase contiene dos confusiones La primera viene implicada por la insinuacioacuten de que las citadas laquocorrientesraquo filosoacuteficas asumen la defensa de los principios esenciales del criticismo es decir la filoso‐fiacutea kantiana lo cual estaacute enteramente en desacuerdo con la verdad Me referireacute a este punto maacutes tarde La segunda confusioacuten consiste en identificar empirismo loacutegico con loacutegica matemaacutetica o logiacutestica La confusioacuten reside en lo siguiente por laquoempirismoraquo sea empiris‐mo loacutegico o del tipo que sea entendemos una corriente o tendencia filosoacutefica mientras que laquologiacutesticaraquo no es el nombre de una tendencia filosoacutefica ni siquiera de una tendencia loacutegica sino el nombre de una disciplina como laquoaritmeacuteticaraquo o laquopsicologiacutearaquo En este contex‐to permiacutetaseme repetir lo que dije en el Octavo Congreso Internacional de Filoacutesofos de Praga (1934)63 laquoLa logiacutestica llamada tambieacuten lsquoloacutegica matemaacuteticarsquo aparece todaviacutea ante algunos filoacutesofos como si fuera tan soacutelo una cierta tendencia que existe dentro de la loacutegica en unioacuten de otras tendencias igualmente legiacutetimas en tanto que para algunos matemaacuteticos parece tener soacutelo el valor de una disciplina auxiliar cuyo origen habriacutea estado en el intento de asentar los fundamentos de las matemaacuteticas A la vista de esto quiero hacer hincapieacute en que yo considero la logiacutestica como una disciplina autoacutenoma que incorpora la moderna loacutegica formal cientiacutefica y en que para miacute seriacutea imposible aceptar la existencia fuera de la logiacutestica de cualquier lsquotendenciarsquo en loacutegica que quisiera pasar por loacutegica cientiacutefica Histoacuteri‐camente mdashy en este punto quisiera poner particular eacutenfasismdash la loacutegica moderna es un estadio superior de desarrollo de la antigua loacutegica formal que soacutelo ahora puede desarro‐llarse de manera cabal gracias a que con la cooperacioacuten de los matemaacuteticos ha conse‐guido liberarse de oscuras especulaciones filosoacuteficas que hasta ahora habiacutean retrasado su progresoraquo La logiacutestica tal como yo la veo mdashy no me cabe duda de que todos los cientiacute‐ficos que cultivan esta rama de la investigacioacuten la veraacuten del mismo modomdash no es otra cosa que la forma contemporaacutenea de la loacutegica formal y tendriacutea pleno derecho a recibir el simple nombre de loacutegica ya que la loacutegica formal forma el nuacutecleo de la loacutegica 63 Jan Łukasiewicz laquoZnaczenie analizy logicznej dla poznaniaraquo (La significacioacuten del anaacutelisis loacutegico para el conocimiento) en Przeglad Filozoficzny 37 (1934) paacuteg 369

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Ahora bien nadie duda de que la loacutegica no es ni una tendencia ni una corriente en filosofiacutea sino a lo sumo una rama de eacutesta La loacutegica formal contemporaacutenea o logiacutestica se ha sin embargo extendido tanto y ha crecido con tal independencia de la filosofiacutea que al igual que la psicologiacutea ha de ser tratada como una disciplina aparte A la vista de su meacutetodo de la precisioacuten de sus resultados y a la vista asimismo de los problemas de los que se ocupa esa disciplina estaacute ahora maacutes cerca de las matemaacuteticas que de la filosofiacutea Ademaacutes quiero sentildealar que la logiacutestica no soacutelo no es una tendencia filosoacutefica sino que no estaacute asociada con ninguna tendencia filosoacutefica Dejemos que aquellos filoacutesofos que no estaacuten familiarizados con la loacutegica y en consecuencia no pueden averiguar esto por siacute mismos consideren simplemente que la logiacutestica es algo relacionado con la teoriacutea aristo‐teacutelica del silogismo Al igual que la silogiacutestica aristoteacutelica la logiacutestica investiga formas de razonar y establece los meacutetodos de la inferencia y demostracioacuten correctas Ahora bien es sin duda obvio que una persona puede hacer trabajo de investigacioacuten sobre la silogiacutestica y anaacutelogamente sobre la teoriacutea de la demostracioacuten al tiempo que en filosofiacutea profesa indiferentemente el empirismo o el racionalismo el realismo o el idealismo o bien no se pronuncia en ninguacuten sentido en torno a estos temas En logiacutestica como en aritmeacutetica ni se asume expliacutecitamente ni se acepta subrepticiamente ninguacuten punto de vista filosoacutefico deter‐minado La logiacutestica no es filosofiacutea ni pretende reemplazar a la filosofiacutea De ello no se sigue por supuesto que en logiacutestica no haya temas que tengan importancia filosoacutefica Toda disciplina tiene temas de ese tipo y esto lo sabe muy bien el Padre Jakubisiak puesto que en su coleccioacuten de ensayos filosoacuteficos hace constantes refe‐rencias a la matemaacutetica a la fiacutesica a la biologiacutea o incluso a la historia Pasando aquiacute por alto el tema de las loacutegicas polivalentes que en miacute opinioacuten son de la mayor importancia en filosofiacutea quiero mencionar brevemente otro problema de logiacutestica que me parece estrechiacute‐simamente relacionado con la filosofiacutea La loacutegica contemporaacutenea se presenta con un aire nominalista No se refiere a con‐ceptos y juicios sino a teacuterminos y proposiciones y considera estos teacuterminos y propo‐siciones no como flatos vocis sino mdashcon un enfoque visualmdash como inscripciones que tienen ciertas formas Seguacuten este supuesto la logiacutestica intenta formalizar todas las deducciones loacutegicas es decir presentarlas de tal modo que su acuerdo con las reglas de inferencia es decir las reglas de transformacioacuten de inscripciones pueda ser contrastado sin referencia alguna a los significados de eacutestas Dicho intento iniciado en la antiguumledad por los estoicos mdashlos cuales a este respecto se oponiacutean a los peripateacuteticosmdash aspira a reducir toda la evi‐dencia loacutegica a evidencia visual dejando de lado todos los elementos engantildeosos de natu‐raleza conceptual64 Aunque en la praacutectica adoptaron el punto de vista del nominalismo los loacutegicos

64 Ejemplos de demostraciones loacutegicas formalizadas pueden encontrarse en el ensayo miacuteo citado en la nota anterior y tambieacuten en los dos siguientes Jan Łukasiewicz laquoO znaczeniu i potrzebach logiki matematycznejraquo (Sobre la significacioacuten y exigencias de la loacutegica matemaacutetica) Nauka Polska 10 (1929) paacuteg 610 nota Jan Łukasiewicz laquoZ historii logiki zdaacuteńraquo (Sobre la historia de la loacutegica de proposiciones) Przeglad Filozodiczny 37 (1934) paacuteg 437 Este uacuteltimo escrito incluye tambieacuten (paacuteg 428) citas de Alejandro que aclaran el punto de vista de los estoicos y los peripateacuteticos sobre este tema

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por lo que yo he podido ver no han examinado todaviacutea lo bastante a fondo el nomina‐lismo como doctrina filosoacutefica Por mi parte sin embargo considero que un examen de este tema es sumamente deseable Y ello por las siguientes razones Si consideramos las proposiciones como inscripciones y las inscripciones como pro‐ducto de la actividad humana entonces hemos de suponer que el conjunto de las proposi‐ciones es finito Nadie duda de que soacutelo podemos producir un nuacutemero finito de inscrip‐ciones De otra parte en cualquier sistema loacutegico asumimos reglas de inferencia que conducen a un nuacutemero infinito de tesis es decir de proposiciones afirmadas en ese siste‐ma Por ejemplo en el caacutelculo proposicional podemos a partir de cualquier tesis obtener una tesis nueva maacutes larga sustituyendo cada variable por una foacutermula que sea una negacioacuten o una implicacioacuten Por tanto no existe la tesis loacutegica maacutes larga del mismo modo que no existe el mayor nuacutemero natural De ello se sigue que el conjunto de tesis loacutegicas es infinito Esta infinitud se manifiesta a cada paso incluso en un sistema loacutegico elemental como el caacutelculo proposicional bivalente En efecto podemos faacutecilmente establecer una correspondencia uno a uno entre el conjunto de todas las tesis de la loacutegica bivalente y un conjunto de tesis que sea soacutelo una parte propia del conjunto anterior revelando asiacute en el caso de las tesis loacutegicas una propiedad que seguacuten Dedekind es tiacutepica de conjuntos infinitos65 iquestCoacutemo podemos reconciliar estos hechos con el nominalismo Podemos sencilla‐mente dejarlos de lado y mantener que soacutelo existen aquellas tesis que hayan sido escritas por alguien Asiacute el conjunto de las tesis seriacutea siempre finito y siempre existiriacutea una tesis que seriacutea la maacutes larga Semejante punto de vista resultariacutea consistente pero me parece que sobre esa base seriacutea difiacutecil emprender una investigacioacuten logiacutestica y en particular meta‐logiacutestica del mismo modo que resultariacutea difiacutecil construir la aritmeacutetica partiendo del su‐puesto de que el conjunto de los nuacutemeros naturales es finito Al hacerlo asiacute hariacuteamos a la loacutegica depender de ciertos hechos empiacutericos es decir de la existencia de ciertas inscrip‐ciones lo cual difiacutecilmente seriacutea aceptable Ademaacutes siguiendo al Dr Tarski podemos con‐siderar como inscripciones no soacutelo productos de la actividad humana sino todos los cuerpos fiacutesicos de tamantildeo y forma definidos y suponer que hay infinitos cuerpos de ese tipo66 Pero entonces hariacuteamos depender la loacutegica de una hipoacutetesis fiacutesica difiacutecilmente demostrable lo cual no es deseable en ninguacuten caso iquestCoacutemo entonces vamos a eludir todas estas dificultades sin abandonar el nominalismo Hasta ahora nos hemos preocupado poco de estas dificultades y esto es lo maacutes 65 Para este fin basta en el sistema de implicacioacuten y negacioacuten asociar con todas las tesis impla‐cacionales todas sus tesis implicacionales equiformes y con las tesis que incluyen la negacioacuten asociar foacutermulas que difieren de esas tesis soacutelo en que tienen una foacutermula laquoCαNαraquo en lugar de la negacioacuten laquoNαraquo Este uacuteltimo conjunto seraacute tambieacuten un conjunto de tesis y seraacute equinumeroso con el primero mdashaunque soacutelo es una parte propia de eacuteste es decir del conjunto de las tesis puesto que indudablemente no incluiraacute por ejemplo la tesis laquoCpCNpqraquo 66 Alfred Tarski laquoPojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnychraquo en Prace Towarzystwa Naukowego Warszawskiego (Publicaciones de la Sociedad Cientiacutefica de Varsovia) Seccioacuten III Varsovia 1933 Hay una versioacuten inglesa titulada laquoThe Concept of Truth in Formalized Languagesraquo en Alfred Tarski Logic Semantics Metamathematics Oxford 1956 paacutegs 152‐278 Para el problema de que aquiacute se trata veacutease la nota 2 de la paacutegina 174 del texto ingleacutes

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extrantildeo Probablemente ello se debioacute a que aunque usamos la terminologiacutea nominalista no somos nominalistas auteacutenticos sino que nos inclinamos por alguacuten conceptualismo inanalizado o incluso por el idealismo Por ejemplo creemos que en el caacutelculo propo‐sicional bivalente de implicacioacuten y negacioacuten existe un laquouacutenico y exclusivoraquo axioma maacutes corto aunque hasta el momento nadie sabe coacutemo es ese axioma y por tanto nadie puede escribirlo67 Parece como si el axioma existiera a modo de una entidad ideal que podremos descubrir alguacuten diacutea Entre tanto seriacutea interesante analizar todas esas creencias teniendo presente el principio expuesto por el Venerabilis Inceptor del nominalismo de que entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem68

II

laquoEl rechazo de la metafiacutesica en el que tanto hincapieacute hacen los loacutegicos es un legado del filoacutesofo de Koumlnigsbergraquo continuacutea el Padre Jakubisiak en la paacutegina 12 de su libro Esta proposicioacuten incluye dos nuevos errores uno de naturaleza histoacuterica y otro de

67 Sobre los axiomas uacutenicos del sistema de implicacioacuten y negacioacuten puede encontrarse informacioacuten en Boleslaw Sobocinski laquoZ badań nad teoria dedukcjiraquo (Una investigacioacuten sobre la teoriacutea de la deduccioacuten) Przeglad Filozoficzny 35 (1932) paacutegs 172‐176 y nota 5 de las paacutegs 187‐190 A los detalles que alliacute se dan deberiacutea antildeadirse el hecho de que el 2 de febrero de 1933 Sobocinski encontroacute el siguiente axioma orgaacutenico compuesto de 27 letras

CCCpqCCCNpNrsCrtCuCCtpCvCrp que yo reduje a 25 letras

CCCpqCCCNpNrsCrtCuCCtpCrp Este es uno de los dos axiomas maacutes cortos conocidos del sistema de implicacioacuten y negacioacuten El otro hallado por miacute tiene la forma

CCCpqCCNrsCNtCrtCCtpCuCrp Se puede suponer con un grado considerable de probabilidad que ninguno de estos dos axiomas es el deseado axioma maacutes corto Esa investigacioacuten sin embargo es tan laboriosa que no puede decirse cuaacutendo se completaraacute mdashen el caso de que eso ocurra alguna vez En el momento de enviar este ensayo a la imprenta descubriacute que hay un axioma del sistema de implicacioacuten y negacioacuten que consta de 23 letras Su forma es la siguiente

CCCpqCCCNrNstrCuCCrpCsp

68 La necesidad de un anaacutelisis del nominalismo fue sentildealada por el Padre Jan Salamucha en su ensayo laquoLogika zdań u Wilhelma Ockhamaraquo (La loacutegica de proposiciones en las obras de Guillermo de Ockham) Przeglad Filozoficzny 38 (1933) paacuteg 210 La indicacioacuten de Salamucha me indujo a incluir estas observaciones sobre el tema

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caraacutecter faacutectico El uacuteltimo consiste en lo siguiente en que supone que los estudiosos de la loacutegica rechazan la metafiacutesica Ya he dicho que la logiacutestica no es la filosofiacutea y por tanto que no se ocupa de la metafiacutesica La logiacutestica ni rechaza ni acepta la metafiacutesica porque no se ocupa de ella Lo uacutenico que siacute es cierto es que algunos filoacutesofos que ademaacutes de hacer filosofiacutea se dedican a la logiacutestica rechazan la metafiacutesica Entre ellos estaacuten sobre todo los representantes del Ciacuterculo de Viena Maacutes tarde hareacute referencia a este punto Por el momento quiero examinar el primer error el de tipo histoacuterico Ni que decir tiene que no estoy autorizado a hablar en nombre del Ciacuterculo de Viena pero estoy seguro de que sus representantes protestariacutean con el maacuteximo vigor contra la suposicioacuten de que el rechazo de la metafiacutesica que ellos proponen sea un legado del filoacutesofo de Koumlnigsberg Estoy convencido de que la filosofiacutea trascendental de Kant que por una parte asume la existencia de cosas en siacute incognoscibles para nosotros y por otra supone que la mente estaacute dotada de algunas formas a priori de conocimiento debe aparecer a los ojos de los miembros del Ciacuterculo de Viena como metafiacutesica de la peor especie El rechazo de la meta‐fiacutesica por el Ciacuterculo de Viena es mucho maacutes radical de lo que el Padre Jakubisiak imagina y no es un legado de Kant sino de Hume Es a Hume a quien el profesor Carnap un emi‐nente representante del Ciacuterculo de Viena se refiere cuando escribe sus famosas palabras laquoPienso que los uacutenicos objetos de la ciencia abstracta o de la demostracioacuten son la cantidad y el nuacutemero (hellip) Todas las demaacutes investigaciones que llevan a cabo los hombres se ocupan soacutelo de cuestiones de hecho y existencia y es evidente que eacutestas no son susceptibles de demostracioacuten (hellip) Cuando persuadidos de estos principios recorremos las bibliotecas iquestqueacute estragos no deberiacuteamos hacer Si tomamos un volumen cualquiera de teologiacutea o de metafiacutesica escolaacutestica por ejemplo preguntemos iquestContiene alguacuten razona‐miento abstracto concerniente a la cantidad o el nuacutemero No iquestContiene alguacuten razona‐miento experimental concerniente a cuestiones de hecho o de existencia No Entregueacute‐moslo entonces a las llamas porque no puede contener otra cosa que sofisteriacutea e ilusioacutenraquo69 Carnap considera estas palabras mdashaunque yo dudo de que tenga razoacutenmdash como la formulacioacuten claacutesica de la idea de que soacutelo las proposiciones matemaacuteticas y las proposi‐ciones acerca de hechos son significativas (sinnvoll) mientras que las proposiciones metafiacutesicas carecen de significado (sinnlos) Este es el quid del rechazo de la metafiacutesica por Carnap antildeaacutedase que seguacuten Carnap las proposiciones matemaacuteticas incluyen las proposi‐ciones loacutegicas y las proposiciones de la sintaxis loacutegica del lenguaje que en su opinioacuten no es otra cosa que la matemaacutetica del lenguaje Me gustariacutea expresar aquiacute mi propia opinioacuten sobre este tema y disociarme de las opiniones del Ciacuterculo de Viena y de la opinioacuten de Carnap en particular Mis intereses han pasado de la filosofiacutea a la logiacutestica y esta uacuteltima mdashno por su contenido sino por su meacutetodomdash ha afectado grandemente mis opiniones acerca de la filosofiacutea Todo esto habiacutea tenido lugar incluso antes de que se formara el Ciacuterculo de Viena Le di vigorosa expresioacuten en un artiacuteculo ahora olvidado escrito en 1924 para celebrar el doscientos aniversario del

69 Rudolf Carnap laquoDie Aufgabe der Wissenschaftlogikraquo Einheitwissenschaft No 3 1934 paacutegs 7 y 21 Las palabras de Hume citadas por Carnap pertenecen al capiacutetulo 12 de su obra An Enquiry Concerning Human Understanding

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nacimiento de Kant70 laquoSoy conscienteraquo escribiacute entonces laquode que mi opinioacuten criacutetica acerca del valor cientiacutefico de la filosofiacutea de Kant y de la filosofiacutea moderna en general puede ser en exceso subjetiva pero esa opinioacuten se me impone con maacutes y maacutes fuerza a medida que me alejo de la filosofiacutea y vuelvo la vista hacia ella desde la distancia que separa la especula‐cioacuten filosoacutefica del meacutetodo cientiacuteficoraquo Y mi opinioacuten sobre la filosofiacutea de Kant formulada en ese artiacuteculo era la siguiente laquoEsa filosofiacutea se llama a siacute misma criacutetica Pero iexclcuaacuten lejos estaacute del verdadero criticismo del criticismo cientiacutefico Ni siquiera la propia diferenciacioacuten entre juicios analiacuteticos y sinteacuteticos estaacute cientiacuteficamente formulada por Kant No estamos autorizados a afirmar que el espacio que nos rodea haya de cumplir con ciertas verdades geomeacutetricas porque no sabemos si ese espacio es eucliacutedeo o de alguacuten otro tipo Es imposi‐ble entender queacute son esas pretendidas ideas puras de espacio y tiempo de las que se dice que son inherentes a nosotros El mundo de las cosas en siacute es una ficcioacuten metafiacutesica que puede competir con la monadologiacutea de Leibniz Cuando le aplicamos las exigencias del criticismo cientiacutefico la filosofiacutea kantiana se derrumba como un castillo de naipes A cada paso tropezamos con conceptos vagos enunciados incomprensibles aserciones injustifi‐cadas contradicciones y errores loacutegicos Nada queda sino unas pocas ideas quizaacute inspira‐das un material en bruto que espera elaboracioacuten cientiacutefica He ahiacute por queacute esa filosofiacutea no ha realizado su tarea a pesar de lo grande que ha sido su influencia Despueacutes de Kant no se empezoacute a filosofar de manera maacutes criacutetica maacutes razonable maacutes cautelosa Kant dio origen a la filosofiacutea idealista alemana cuyos arrebatos caprichosos y acientiacuteficos han supe‐rado los de todos los sistemas prekantianos Los problemas metafiacutesicos se han dejado sin resolver aunque en mi opinioacuten no son insolubles Pero debemos enfocarlos con un meacutetodo cientiacutefico el mismo bien contrastado meacutetodo que utiliza un matemaacutetico o un fiacutesico Y sobre todo hay que aprender a pensar con claridad loacutegicamente y con precisioacuten Toda la filosofiacutea moderna se ha visto inhabilitada por culpa de su incapacidad para pensar con claridad con precisioacuten y de una manera cientiacuteficaraquo Quienquiera que lea cuidadosamente estas palabras que ahora doce antildeos maacutes tarde puedo ratificar con igual conviccioacuten probablemente entenderaacute tanto el origen como la intencioacuten de mi campantildea contra la especulacioacuten filosoacutefica Esa comprensioacuten puede mejorarse con la ayuda de los siguientes comentarios Mis criacuteticas a la filosofiacutea tal como ha existido hasta ahora son la reaccioacuten de un hombre que habiendo estudiado filosofiacutea y leiacutedo enteros diversos libros filosoacuteficos entroacute en contacto con el meacutetodo cientiacutefico no soacutelo en la teoriacutea sino tambieacuten en la praacutectica directa de su propio trabajo creativo Esta es la reaccioacuten de un hombre que experimentoacute personalmente ese goce especiacutefico que es el resul‐tado de resolver correctamente un problema cientiacuteficamente formulado de llegar a una solucioacuten que en cualquier momento puede ser contrastada siguiendo un meacutetodo estricta‐mente definido y de la cual simplemente se sabe que debe ser eso y no otra cosa y que permaneceraacute en la ciencia de una vez por todas como un resultado permanente de la investigacioacuten metoacutedica Esta es me parece la reaccioacuten normal de todo cientiacutefico ante la especulacioacuten filosoacutefica Soacutelo a un matemaacutetico o a un fiacutesico que no estaacute versado en filosofiacutea y que entra en contacto casual con ella le falta usualmente el coraje para expresar en voz 70 Jan Łukasiewicz laquoKant i filozofia nowozytnaraquo (Kant y la filosofiacutea moderna) Wiadomosci Literackie vol 1 No 19 del 11 de mayo 1924

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alta su opinioacuten acerca de la filosofiacutea Pero el que ha sido filoacutesofo y se ha convertido en loacutegico y ha conocido los maacutes precisos meacutetodos de razonamiento de que hoy disponemos no tiene esos escruacutepulos Sabe cuaacutel es el valor de la especulacioacuten filosoacutefica tal como ha existido hasta ahora Y sabe cuaacutel puede ser el valor del razonamiento expresado como sucede usualmente en las inexactas y ambiguas palabras del lenguaje diario y no basado ni en datos empiacutericos ni en la estructura precisa de un lenguaje simboacutelico Esa obra no puede tener valor cientiacutefico y es una peacuterdida de tiempo y de energiacutea mental Pero alguien puede decir laquoDe estas observaciones parece seguirse que usted soacutelo considera cientiacuteficos aquellos razonamientos que estaacuten basados en datos empiacutericos o en un lenguaje simboacutelico preciso que es el lenguaje de la matemaacutetica iquestNo es ese exactamente el punto de vista de Hume Y iquestno incluye ello un rechazo de la metafiacutesicaraquo En absoluto respondo Mi punto de vista es por completo diferente Hume pensaba que el meacutetodo matemaacutetico o laquodemostrativoraquo soacutelo se podiacutea aplicar a magnitudes y nuacutemeros La logiacutestica ha demostrado que tiene aplicaciones mucho maacutes vastas Debemos aplicarlo tambieacuten a los problemas metafiacutesicos En el artiacuteculo miacuteo arriba citado escribiacute laquoLos problemas metafiacutesicos se han dejado sin resolver aunque en mi opinioacuten no son insolubles Pero debemos enfocarlos con un meacutetodo cientiacutefico el mismo bien contrastado meacutetodo que utiliza un matemaacutetico o un fiacutesicoraquo Intenteacute bosquejar ese meacutetodo en un escrito ya mencionado laquoO metodę w filozofiiraquo Escribiacute tambieacuten que laquouna filosofiacutea cientiacutefica futura ha de emprender su propia construccioacuten desde el principio mismo desde los fundamentos Y partir de los fundamentos significa pasar primero revista a los problemas filosoacuteficos y seleccionar de entre ellos soacutelo aquellos que puedan ser formulados de una manera comprensible recha‐zando los demaacutesraquo Cuando me referiacutea a los problemas que deberiacutean rechazarse pensaba fundamentalmente en todos los problemas relativos a la esencia del mundo o a las cosas en siacute porque yo no sabiacutea ni seacute coacutemo formular estos problemas de una manera compren‐sible laquoA continuacioacutenraquo proseguiacutea yo laquola tarea seriacutea intentar resolver estos problemas filosoacuteficos que pueden formularse de una manera comprensible El meacutetodo maacutes apropiado a estos efectos parece ser una vez maacutes el meacutetodo de la loacutegica matemaacutetica el meacutetodo deductivo axiomaacutetico Tendriacuteamos que basar nuestros argumentos en proposiciones que sean lo maacutes claras y ciertas posibles desde el punto de vista intuitivo y adoptar esos enunciados como axiomas Como teacuterminos primitivos o no definidos tendriacuteamos que seleccionar conceptos cuyos significados pudieran explicarse completamente por medio de ejemplos Tendriacuteamos que perseguir una reduccioacuten al miacutenimo del nuacutemero de axiomas y de conceptos primitivos y recontarlos cuidadosamente Todos los demaacutes conceptos tendriacutean que ser definidos incondicionalmente por medio de teacuterminos primitivos y todos los demaacutes teoremas tendriacutean que ser demostrados incondicionalmente por medio de axiomas y reglas de demostracioacuten como las adoptadas en loacutegica Los resultados asiacute obtenidos tendriacutean que ser incesantemente contrastados con los datos intuitivos y empiacutericos y con los resultados obtenidos en otras disciplinas en particular en las ciencias naturales En caso de desacuerdo el sistema tendriacutea que ser reformado mediante la formulacioacuten de nuevos axiomas y la eleccioacuten de nuevos teacuterminos primitivos Pensaba entonces mdashy hoy no pienso de modo distintomdash que ese meacutetodo podriacutea aplicarse a los problemas de la finitud o infinitud del mundo a los problemas del espacio del tiempo de la causalidad de la

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teleologiacutea y del determinismo En particular he estado siempre sumamente interesado en el tema del determinismo e indeterminismo lo he asociado con el problema de las loacutegicas polivalentes y he pensado que el meacutetodo arriba bosquejado podiacutea servir como una aproximacioacuten a la solucioacuten de esta cuestioacutenraquo A la luz de estas consideraciones la diferencia entre mi punto de vista acerca de la metafiacutesica y el del Ciacuterculo de Viena mdashen particular el de Carnapmdash se hace claro Carnap rechaza las cuestiones metafiacutesicas como carentes de significado porque siguiendo a Kant considera que soacutelo son proposiciones metafiacutesicas aquellas que pretenden representar conocimiento acerca de algo que queda completamente fuera de toda experiencia como por ejemplo la esencia de las cosas las cosas en siacute el absoluto etc71 Interpretando asiacute la metafiacutesica puedo estar de acuerdo con la opinioacuten de Carnap Pero realmente no estamos refirieacutendonos a ese concepto de metafiacutesica el cual como es bien sabido procede de una erroacutenea interpretacioacuten de un tiacutetulo puesto a ciertas obras de Aristoacuteteles Hay problemas como por ejemplo los relativos a la estructura del universo que siempre han estado incluidos en la filosofiacutea y en particular en la metafiacutesica independientemente de que uno se sienta inclinado o no a calificarlos de metafiacutesicos Para Carnap todas estas cuestiones son soacutelo problemas de lenguaje o maacutes estrictamente problemas de la sintaxis del lengua‐je Ahora bien apruebo por completo los precisos estudios de Carnap sobre la sintaxis del lenguaje la investigacioacuten en este campo tuvo su origen en Varsovia donde el primer impulso se debioacute al profesor Lesniewski y la posterior fundamentacioacuten sistemaacutetica al Dr Tarski cuyas obras no dejaron de tener su efecto sobre los trabajos posteriores de Carnap72 Pero en modo alguno puedo estar de acuerdo con una afirmacioacuten de Carnap como la siguiente laquoAsiacute todas las cuestiones acerca de la estructura del espacio y del tiempo son cuestiones sintaacutecticas acerca de la estructura del lenguaje y especiacuteficamente acerca de la estructura de las reglas de formacioacuten y transformacioacuten relativas a las coordenadas de espacio y de tiemporaquo73 En el mismo pasaje Carnap ofrece una formulacioacuten similar de los problemas de la causalidad y el determinismo Una refutacioacuten detallada de tales opiniones requeririacutea un ensayo aparte Aquiacute no puedo sino esbozar mi punto de vista sobre el tema Yo razono de manera muy simple quizaacutes ingenua pero hasta ahora nadie me ha convencido de que esteacute razonando incorrectamente Yo incluiriacutea entre los problemas resolubles sobre la base del lenguaje soacutelo cuestiones tales como la de si todos los cuerpos 71 Rudolf Carnap laquoPhilosophy and Logical Syntaxraquo Psyche Miniatures General Series No 70 Londres 1935 paacuteg 15 [Hay versioacuten castellana de este artiacuteculo en J Muguerza (ed) Lecturas de filosofiacutea analiacutetica La concepcioacuten analiacutetica de la filosofiacutea vol 1 Madrid Alianza Editorial 1974 La versioacuten del articulo (paacutegs 294‐337) es de Carlos Soliacutes y a ella nos atenemos] laquoLlamareacute metafiacutesico a todo enunciado que pretenda presentar un conocimiento sobre algo situado por encima o maacutes allaacute de toda experiencia por ejemplo sobre la Esencia real de las cosas las Cosas en siacute mismas el Absoluto y cosas por el estiloraquo 72 Alfred Tarski laquoUumlber einige fundamentale Begriffe der Metamathematikraquo Compres rendus des seacuteances de la Socieacuteteacute des Sciences et des Lettres de Varsovie 23 (1930) cl iii paacuteg 22‐29 Hay traduccioacuten inglesa en Logic Semantics Metamathematics de Tarski Oxford 1956 paacutegs 30‐37 En este ensayo Tarski introdujo los conceptos de laquooracioacutenraquo y laquoconsecuenciaraquo fundamentales para la sintaxis del lenguaje en los que Carnap basoacute tambieacuten mas tarde sus concepciones 73 Cf el texto ingleacutes de la obra de Carnap arriba citada paacuteg 86

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son extensos en el supuesto de que por laquocuerporaquo entienda algo extenso y defina el teacutermino de ese modo Esas son proposiciones analiacuteticas y en mi opinioacuten soacutelo esas proposi‐ciones se pueden decidir sobre la base del lenguaje Pero por otra parte no entiendo coacutemo podriacuteamos decidir sobre la base del lenguaje si el universo es espacialmente finito o infinito Porque con la expresioacuten laquoel universoraquo yo no significo algo finito o infinito y por tanto me hallo ante una proposicioacuten sinteacutetica y no analiacutetica Ademaacutes yo seacute que ser finito y ser infinito son dos cosas diferentes y que son incompatibles entre si pero el que una sea de hecho verdadera no depende en uacuteltima instancia de nosotros y nuestras reglas linguumliacutesticas Otro tanto se aplica a las cuestiones del determinismo y de la causalidad O bien la necesidad causal es el soberano omnipotente del mundo o bien no lo es y o bien todas las cosas estaacuten determinadas de antemano o no lo estaacuten pero tampoco esto puede depender de ninguna de nuestras reglas de la sintaxis del lenguaje Estos problemas son para miacute faacutecticos reales y objetivos y no pura mente formales linguumliacutesticos Estoy plan‐teando problemas de largo alcance contra el modo como Carnap intenta reducir problemas objetivos a problemas linguumliacutesticos Ademaacutes de las proposiciones objetivas que reproducen hechos como por ejemplo laquoesta rosa es rojaraquo distingue eacutel proposiciones pseudo‐objetivas que se forman cuando hablamos como eacutel dice laquoen el modo materialraquo Cada modo material de hablar tiene su contrapartida en el modo formal de hablar y seguacuten Carnap este uacuteltimo es el uacutenico apropiado Por ejemplo la proposicioacuten laquoEl hecho de que el cuerpo a se expande ahora es una consecuencia naturalmente necesaria del hecho de que a estaacute siendo calentadoraquo es una proposicioacuten pseudo‐objetiva formulada en el modo material Tiene su contrapartida en la siguiente proposicioacuten formulada en el modo formal de hablar laquoLa proposicioacuten lsquoa se expandersquo es una consecuencia de la proposicioacuten lsquoa estaacute siendo calentadarsquo y de leyes fiacutesicas (aceptadas en este momento por la ciencia)raquo Carnap antildeade que las proposiciones formuladas en el modo material redundan en la ilusioacuten de que existen algunas relaciones faacutecticas mdashaquiacute eacutel usa el teacutermino maacutes bien oscuro laquoObjektbezogenheitraquomdash que en realidad no existen de modo que esas proposiciones faacutecil‐mente conducen a malentendidos e incluso a contradicciones He aquiacute por queacute al menos en los lugares decisivos debemos evitar el modo material de hablar y reemplazarlo por el modo formal74 Podriacutea estar de acuerdo en que en el ejemplo arriba citado el modo formal de hablar corresponde al modo material Pero iquestcoacutemo sabe Carnap mdashya que de su formu‐lacioacuten parece resultar que lo sabemdash que no hay relacioacuten faacutectica entre la expansioacuten de un cuerpo y el hecho de que esteacute siendo calentado iquestPor queacute piensa eacutel que en este caso el modo material de hablar puede confundirnos Estas son afirmaciones dogmaacuteticas carentes de toda justificacioacuten En el segundo ejemplo que se encuentra en la obra de Carnap citada

74 Cf la obra de Carnap en alemaacuten citada en la nota 12 En la paacutegina 14 escribe laquoInhaltliche Redewise 2a Der Umstand dass der Koumlrper asich jetzt ausdehnt ist eine naturnotwendige Folge des Umstandes dass a erwaumlrmt wird‐2b Formale Redeweise Der Satz lsquoa dehnt sich ausrsquo ist eine Folge aus dem Satz lsquoa wird erwaumlrmtrsquo und den (gegenwaumlrting wissenschaftlich anerkannten) physikalischen Gesetzen mdash Die Saumltze der inhaltlichen Redeweise taumluschen Objektbezogenheit vor wo keine vorhanden ist Sie fuumlhren dadurch leicht zu Unklarheiten und Scheinproblem ja sogar zu Widerspruumlchen Daherist es ratsam die inhaltliche Redeweise an den entscheidenden Stellen nach Moumlglichkeit zu vermeiden und statt dessen die formale anzuwendenraquo

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en ingleacutes ni siquiera veo la correspondencia que se dice que hay entre el modo material y el modo formal de hablar Carnap afirma que la proposicioacuten pseudo‐objetiva que en el modo material de hablar es laquola estrella vespertina y la estrella matutina son ideacutenticasraquo tiene su contrapartida en la proposicioacuten laquosintaacutecticaraquo formulada en el modo material de hablar laquolas palabras lsquoestrella vespertinarsquo y lsquoestrella matutinarsquo son sinoacutenimasraquo Aquiacute tam‐bieacuten se hace referencia al caraacutecter engantildeoso del modo material de hablar75 Me parece a miacute que fueron necesarias muchas observaciones empiacutericas para darse cuenta de que la estrella que aparece en la parte occidental del firmamento poco despueacutes de la puesta de sol es el mismo planeta que vemos en la parte oriental del firmamento poco antes de la salida del sol La comprensioacuten de este hecho es algo enteramente diferente del enunciado del hecho de que dos teacuterminos son sinoacutenimos Puedo aceptar sin dificultad que los teacuterminos laquocaballo bayoraquo y laquocaballo de color blanco amarillentoraquo son sinoacutenimos puesto que por laquocaballo bayoraquo entiendo exactamente un caballo de color blanco amarillento Pero que laquoestrella vespertinaraquo y laquoestrella matutinaraquo denoten el mismo objeto es algo que no se puede decidir sobre la base del lenguaje Pienso que el intento carnapiano de reducir ciertos problemas objetivos a proble‐mas linguumliacutesticos es un resultado de su erroacutenea interpretacioacuten de las ciencias a priori y de su papel en el estudio de la realidad Esta erroacutenea opinioacuten la tomoacute Carnap de Wittgenstein el cual considera todas las proposiciones a priori es decir las pertenecientes a la loacutegica y la matemaacutetica como tautologiacuteas Carnap llama analiacuteticas a todas esas proposiciones Siempre me he opuesto a esa terminologiacutea puesto que suscita una asociacioacuten que puede inducir a error Ademaacutes Carnap como Wittgenstein cree que las proposiciones a priori no dicen nada acerca de la realidad Para ellos las disciplinas a priori son soacutelo instrumentos que facilitan el conocimiento de la realidad pero si fuera necesario podriacutea hacerse una inter‐pretacioacuten cientiacutefica del mundo sin esos elementos a priori Ahora bien mi opinioacuten sobre las disciplinas a priori y su papel en el estudio de la realidad es enteramente diferente Hoy sabemos que no soacutelo existen diferentes sistemas de geometriacutea sino tambieacuten diferentes sistemas de loacutegica y que ademaacutes tienen la propiedad de que uno de ellos puede traducirse a otro Estoy convencido de que uno y soacutelo uno de estos sistemas loacutegicos es vaacutelido en el mundo real es decir es real del mismo modo que un y soacutelo un sistema de geometriacutea es real Bien es cierto que hoy por hoy no sabemos todaviacutea cuaacutel sistema es pero no dudo de que la investigacioacuten empiacuterica demostraraacute alguacuten diacutea si el espacio del universo es eucliacutedeo o no eucliacutedeo y si las relaciones entre hechos responden a la loacutegica bivalente o a una de las loacutegicas polivalentes Todos los sistemas a priori tan pronto como se aplican a la realidad se convierten en hipoacutetesis cientiacutefico‐naturales que tienen que ser verificadas por los hechos exactamente igual que las hipoacutetesis fiacutesicas Mi enfoque de los problemas de

75 Cf la obra de Carnap en ingleacutes citada en la nota 14 En la paacutegina 61 escribe laquoOraciones de pseudo‐objeto Modo material de hablar 4b La estrella vespertina y la estrella matutina son ideacutenticas ‐Oraciones sintaacutecticas Modo formal de hablar 4c Las palabras lsquoestrella vespertinarsquo y lsquoestrella matutinarsquo son sinoacutenimasraquo Con referencia al mismo ejemplo escribe en la paacutegina 67 laquoAquiacute tropezamos de nuevo con el caraacutecter engantildeoso del modo material respecto al contenido de estas oraciones La mayoriacutea de las oraciones de la filosofiacutea nos engantildean de este modo porque como veremos la mayoriacutea estaacuten formuladas en el modo material de hablarraquo

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la metafiacutesica estaacute conectado con esta opinioacuten Los anaacutelisis de Carnap en este campo me parecen una arriesgada especulacioacuten filosoacutefica que moriraacute como han muerto todas las especulaciones similares Pienso que mi punto de vista es maacutes cauto y maacutes racional que el punto de vista radical de Carnap y el Ciacuterculo de Viena Teniacutea razoacuten el profesor Ajdukiewicz cuando escribioacute a propoacutesito del anti‐irracionalismo logiacutestico en Polonia que no conociacutea ninguacuten filoacutesofo polaco que acepta‐ra como propias las tesis materiales del Ciacuterculo de Viena Somos76 a lo que parece dema‐siado orgullosos para hacerlo asiacute

III

laquoEste es pues el objetivo uacuteltimo de la filosofiacutea cientiacutefica Empieza con un rechazo de la metafiacutesica y termina en el rechazo de Diosraquo Asiacute escribioacute el Padre Jakubisiak en la paacutegina 23 de su libro Estoy sinceramente agradecido al Padre Jakubisiak por que no haya escrito laquologiacutesticaraquo en lugar de laquofilosofiacutea cientiacuteficaraquo ya que asiacute no necesito defender a la logiacutestica de la acusacioacuten de ateiacutesmo Pero dado que el Padre Jakubisiak no siempre distingue entre logiacutestica de una parte y de otra parte empirismo loacutegico y filosofiacutea cientiacutefica no vendraacute mal que antildeada unas pocas palabras acerca de este tema La logiacutestica es una disciplina exacta matemaacutetica y no tiene nada que decir sobre las cuestiones de la religioacuten y de la existencia de Dios Entre los logiacutesticos hay creyentes y no creyentes seguacuten cuaacuteles sean sus convicciones personales El Padre Jakubisiak menciona en su libro el nombre de un profesor de la Universidad de Varsovia que aunque no es un logiacutestico conoce sin embargo y estima la logiacutestica y siente un vivo intereacutes por ella y del que se supone para utilizar las palabras del Padre Jakubisiak laquoque combate la religioacuten en nombre de la cienciaraquo (paacuteg 22) Aunque asiacute fuera iquesthabriacuteamos de acusar a la logiacutestica de ateiacutesmo Yo podriacutea mencionar el nombre de otro filoacutesofo de Varsovia que tambieacuten conoce y estima la logiacutestica y siente un vivo intereacutes por ella y que estaacute deseando aplicar esa disciplina tambieacuten a las teoriacuteas teoloacutegicas77 Por lo demaacutes iquestacaso no contamos actualmente con sacerdotes que reconocen el valor de la logiacutestica Tengo la sensacioacuten de que estoy llamando a una puerta que estaacute abierta Basta con decir que ni la logiacutestica incorpora expliacutecita o impliacutecitamente doctrina filosoacutefica especiacutefica alguna ni patrocina subrepticiamente ninguna tendencia antirreligiosa Lo mismo se aplica a la filosofiacutea cientiacutefica tal como yo la entiendo aquiacute La filosofiacutea

Sobre la relacioacuten entre loacutegica y realidad cf laquoEn defensa de la logiacutesticaraquo en este volumen donde el punto de vista de Łukasiewicz es algo distinto 76 Kazimir Ajdukiewicz laquoDer logistische Antiirrationalismus in Polenraquo Erkenntnis 5 (1935) paacutegs 151‐161 laquoDirekte Anhaumlnger des Wiener Kreis haben wir in Polen nicht d h ich kenne keinen polnischen Philosophen der die sachhchen Thesen des Wiener Kreises sich zu eigen gemacht haumltteraquo (Publicado antes en polaco en Przeglpd Filozoficzny 37 (1934) 77 Jan Franciszek Drewnowski laquoZarys programu filozoficznegoraquo (Esbozo de un programa filosoacute‐fico) Przeglad Filozoficzny 37 (1934) Veacutease en particular sectsect 169‐174

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cientiacutefica no quiere combatir a nadie porque tiene una gran tarea positiva que realizar tiene que construir una nueva visioacuten del mundo y de la vida basada en el pensamiento exacto metoacutedico laquoLa tarea que espera a los filoacutesofos cientiacuteficos futurosraquo escribiacute en mi ensayo laquoO metodę w filozofiiraquo laquoes inmensa seraacute realizada por mentes mucho maacutes pode‐rosas que las que han existido nunca en nuestro globoraquo Creo que un hombre que cree en la existencia de una Fuerza sabia y buena que gobierna este mundo un hombre que cree en la existencia de Dios puede ver con confianza los resultados futuros de esta tarea La logiacutestica y la filosofiacutea cientiacutefica son sobre todo productos del intelecto Yo doy a la razoacuten y al pensamiento loacutegico exacto mucha maacutes importancia de la que se le da usual‐mente La historia nos ha mostrado que la investigacioacuten metoacutedica basada en los datos empiacutericos y en el razonamiento estricto tiene un valor grande y duradero no soacutelo en la ciencia sino tambieacuten en la vida praacutectica Al discutir ese problema soliacutea referirme con frecuencia al ejemplo proporcionado por la guerra mundial Todas aquellas actividades humanas que durante ese periacuteodo se basaban en disciplinas apoyadas en el meacutetodo se han demostrado eficaces Las instalaciones teacutecnicas los aeroplanos los teleacutefonos los apa‐ratos de radio funcionaron con eficacia mdashal servicio de fines buenos o malosmdash puesto que estaban basados en leyes matemaacuteticas y fiacutesicas Las medicinas para combatir la enferme‐dad y prevenir epidemias funcionaron con eficacia mdasheacutestas soacutelo con buen finmdash porque estaban basadas en la investigacioacuten bioloacutegica Soacutelo fracasaron aquellas actividades huma‐nas que no estaban apoyadas en disciplinas sometidas a un meacutetodo ya que por lo general las humanidades carecen de esa base Se fracasoacute en el control efectivo y en la ordenacioacuten racional y deliberada de los fenoacutemenos econoacutemicos y sociales ya sea durante o despueacutes de la guerra Creo que cuando el conocimiento de la logiacutestica y por ende la capacidad de pensar de una manera precisa se haga comuacuten entre todos los investigadores podremos vencer las deficiencias metodoloacutegicas de estas disciplinas las maacutes difiacuteciles que se ocupan del hombre y de la sociedad humana Aunque soy un intelectual mdasho tal vez precisamente por ellomdash soy consciente quizaacute mejor que otras personas de que el intelecto no lo es todo Seacute que la razoacuten tiene dos liacutemites uno por arriba y otro por abajo El liacutemite superior estaacute formado por los axiomas en los que se basan nuestros sistemas cientiacuteficos No podemos traspasar ese liacutemite y en la eleccioacuten de axiomas debemos guiarnos no por la razoacuten sino por lo que llamamos usual‐mente intuicioacuten El liacutemite inferior estaacute formado por hechos individuales irrepetibles que no se pueden interpretar mediante ninguna consecuencia deducida de leyes generales y de axiomas Debemos reemplazar la razoacuten por una observacioacuten directa de esos hechos y alguacuten tipo de comprehensioacuten intuitiva de ellos En esos campos que estaacuten fuera de los liacutemites de la razoacuten hay espacio bastante tambieacuten para los sentimientos y convicciones religiosas que asimismo deben penetrar nuestra actividad racional entera

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EN DEFENSA DE LA LOGIacuteSTICA

Durante una sesioacuten celebrada en el Instituto Cientiacutefico Catoacutelico Romano pronuncieacute dos conferencias en defensa de la logiacutestica Siguiendo una sugerencia del Editor de esta revista las he ampliado hasta formar el presente artiacuteculo

La logiacutestica creada por los matemaacuteticos en el siglo diecinueve no parece tener profundas conexiones con la loacutegica tradicional tal como la desarrollan los filoacutesofos Cierto que el aacutelgebra de la loacutegica de Boole siendo como es una teoriacutea de las clases remitiacutea a la loacutegica aristoteacutelica pero el caacutelculo proposicional que tuvo su origen con Frege en 1879 y fue situado al frente de la logiacutestica por Russell y Whitehead autores de los Principia Mathematica no pareciacutea tener nada que ver con la loacutegica de los filoacutesofos Nada tiene pues de extrantildeo que la logiacutestica no haya disfrutado ni disfrute todaviacutea de aprobacioacuten en los ciacuterculos filosoacuteficos Es ajena a ellos en la medida en que no se ha desarrollado a partir de la tradicioacuten loacutegica que conocemos y su rareza viene intensificada por su aderezo matemaacute‐tico Habieacutendome ocupado desde hace tiempo de la logiacutestica y en particular del caacutelculo proposicional llegueacute a interesarme por el problema de si esa seccioacuten fundamental de la loacutegica matemaacutetica habiacutea sido conocida con anterioridad a la existencia de la logiacutestica Buscando informacioacuten sobre este punto consulteacute textos de historia de la loacutegica y monogra‐fiacuteas relativas a esa disciplina No tardeacute sin embargo en darme cuenta de que no apren‐deriacutea mucho de esos libros porque estaban escritos por filoacutesofos que o bien subestimaban la loacutegica formal y sus problemas o careciacutean de un conocimiento apropiado y de una com‐prensioacuten del tema y o bien lo dejaban a un lado o bien lo interpretaban mal Era necesario ir a las fuentes Asiacute lo hice y descubriacute en la loacutegica estoica tan menospreciada por Prantl y Zeller el prototipo antiguo de la moderna loacutegica proposicional78 La loacutegica estoica ha sido conocida casi sin solucioacuten de continuidad desde su creacioacuten pero nadie se percatoacute de que esa loacutegica en cuanto loacutegica proposicional difiere esencialmente de la silogiacutestica de Aristoacute‐teles en cuanto que eacutesta es loacutegica de teacuterminos Soacutelo la logiacutestica hacieacutendonos maacutes sensibles a los problemas loacutegicos nos permitioacute percatarnos de esa diferencia Hoy en diacutea sabemos que las dos grandes ramas de la logiacutestica moderna la loacutegica de proposiciones y la loacutegica de teacuterminos la loacutegica estoica y la loacutegica aristoteacutelica existiacutean ya en la antiguumledad La loacutegica de Aristoacuteteles disfrutoacute siempre de una posicioacuten superior ya que estaba respaldada por la inmensa autoridad del maacutes grande de los filoacutesofos antiguos con quien ninguacuten represen‐ Publicado originalmente como laquoW obronie logistykiraquo en Studia Gnesnensia 15 (1937) 78 Jan Łukasiewicz laquoZ historii logiki zdańraquo (Para la historia de la loacutegica de proposiciones) Przeglad Filozofczny 37 (1934) paacutegs 97‐117 [Cf en este volumen paacutegs 56]

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tante de la escuela estoica incluido Crisipo podiacutea rivalizar en importancia Pero paralela‐mente a la loacutegica aristoteacutelica existioacute a traveacutes de los siglos la corriente maacutes deacutebil de la loacutegica estoica bien conocida en la Edad Media por los loacutegicos escolaacutesticos quienes la desarrollaron en sus comentarios a Aristoacuteteles y en los tratados De consequentiis incre‐mentaacutendola con muchas nuevas verdades De este modo he podido recomponer en un lugar importante el hilo roto de la tradicioacuten entre la loacutegica antigua y la logiacutestica Es posible encontrar maacutes hilos que conectan la vieja loacutegica formal con la moderna logiacutestica Citareacute tan soacutelo el meacutetodo axiomaacutetico tan caracteriacutestico de la logiacutestica que fue ya utilizado por Aristoacuteteles en la construccioacuten de su teoriacutea del silogismo Pero ese hecho como muchos otros hechos y opiniones en el campo de la loacutegica cayoacute en completo olvido durante el periacuteodo de la filosofiacutea moderna que como reaccioacuten a la filosofiacutea escolaacutestica medieval desdentildeoacute totalmente la loacutegica formal sustitu‐yeacutendola por lo que se llamaba teoriacutea del conocimiento La loacutegica formal dominada por los filoacutesofos sufrioacute un declive del que fue rescatada por los matemaacuteticos quienes le imprimie‐ron la forma de logiacutestica Asiacute pues la logiacutestica de hoy es ni maacutes ni menos que una continuacioacuten y expansioacuten de la antigua loacutegica formal No es una tendencia en loacutegica al lado de otras muchas que podriacutean existir sino que es justamente la loacutegica formal cientiacutefica contemporaacutenea que guarda con la loacutegica antigua una relacioacuten similar a la que existe entre la matemaacutetica contemporaacutenea y los Elementos de Euclides Ahora bien es obvio que todo el que quiera aprender matemaacuteticas no puede hoy en diacutea limitarse a Euclides es igual mente claro que todo el que quiera familiarizarse con la loacutegica formal no puede limitarse a Aristoacuteteles Ademaacutes para comprender adecuadamente la silogiacutestica de Aristoacuteteles y apreciar a un tiempo su rigor y su belleza es necesario primero estudiar el caacutelculo proposicional con‐temporaacuteneo porque en las demostraciones de los modos silogiacutesticos Aristoacuteteles emplea intuitivamente tesis de ese caacutelculo A la luz de esta interpretacioacuten de la logiacutestica se hace clara su relacioacuten con la filosofiacutea Aunque ya he expresado mi opinioacuten sobre el particular en otra parte79 intentareacute aquiacute para evitar constantes malentendidos describir con precisioacuten mi punto de vista Ahora bien antes de nada tengo que dejar sentado que aun cuando la loacutegica soliacutea considerarse como una rama de la filosofiacutea la loacutegica formal contemporaacutenea o logiacutestica se ha extendido de tal modo y ha crecido con tanta independencia de la filosofiacutea que ha de ser tratada como disciplina aparte A la vista de su meacutetodo y de la precisioacuten de sus resul‐tados y a la vista tambieacuten del contenido de sus problemas esa disciplina estaacute hoy maacutes cerca de la matemaacutetica que de la filosofiacutea Tengo ademaacutes que antildeadir que la logiacutestica no soacutelo no es la filosofiacutea ni una rama de ella sino que no estaacute asociada con ninguna tendencia filosoacutefica La tarea principal de la logiacutestica es establecer meacutetodos correctos de inferencia y demostracioacuten Esta es la misma tarea que Aristoacuteteles asumioacute cuando elaboroacute su teoriacutea del silogismo Ahora bien es obvio que una persona puede cultivar la silogiacutestica e investigar la teoriacutea de la demostracioacuten con independencia de que en filosofiacutea acepte el empirismo o el racionalismo el realismo o el idealismo el espiritualismo o el materialismo o bien no 79 Jan Łukasiewicz laquoLogistyka a filozofiaraquo (Logiacutestica y filosofiacutea) Przeglad Filozoficzny 39 (1936) paacutegs 115‐131 [Cf en este volumen paacuteg 60]

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adopte ninguacuten punto de vista sobre estos temas En logiacutestica insisto una vez maacutes no estaacute contenida ni expliacutecita ni impliacutecitamente ninguna doctrina filosoacutefica concreta La logiacutestica no aspira a reemplazar a la filosofiacutea su uacutenica tarea es proporcionar a la filosofiacutea como a cualquier otra disciplina los mejores instrumentos para hacer eficaz la investigacioacuten Estas afirmaciones resumen toda mi concepcioacuten de la relacioacuten entre logiacutestica y filosofiacutea Y aunque las he hecho con toda sinceridad y a pesar de que su justificacioacuten me parece clara no me sorprenderiacutea que no consiguieran convencer a todos A todas esas seguridades podriacutea responder un enemigo ele la logiacutestica laquoY sin embargo yo afirmo por‐que lo siento intuitivamente que la logiacutestica surgioacute de un substrato filosoacutefico definido mdashcircunstancia de la que quizaacute ni los fundadores de la logiacutestica eran conscientesmdash y que por lo tanto favorece ciertas tendencias filosoacuteficas y es hostil a otrasraquo De hecho me he encontrado con objeciones de ese tipo procedentes de varios medios seguacuten las cuales la logiacutestica profesa o favorece no una sino todo un grupo de tendencias filosoacuteficas con las que no todos estaacuten de acuerdo tales como el nominalismo el formalismo el positivismo el convencionalismo el pragmatismo y el relativismo Me ocupareacute de estas objeciones una a una He de admitir con franqueza que si se me hubiera preguntado no hace mucho si yo en cuanto logiacutestico profesaba el nominalismo hubiera contestado sin duda afirmativa‐mente No es que haya reflexionado con mayor profundidad sobre la doctrina nominalista misma sino que me limiteacute a prestar atencioacuten a la praacutectica efectiva de los logiacutesticos Ahora bien los logiacutesticos buscan el mayor rigor posible y ello puede alcanzarse mediante la construccioacuten de un lenguaje tan preciso como sea posible Nuestro propio pensamiento cuando no estaacute formulado en palabras es difiacutecil de aprehender incluso para nosotros y el pensamiento de otra persona cuando no estaacute revestido de alguna forma sensible soacutelo puede ser aprehendido por los videntes Todo pensamiento si ha de ser una verdad cientiacutefica que todo hombre puede aprender y verificar debe asumir alguna forma per‐ceptible debe recibir alguna formulacioacuten linguumliacutestica Todas estas son pienso afirmaciones indiscutibles De ellas se sigue que la precisioacuten del pensamiento soacutelo puede estar garanti‐zada por la precisioacuten de lenguaje Esto lo sabiacutean ya los estoicos que a este respecto se oponiacutean a los peripateacuteticos He aquiacute por queacute la logiacutestica presta la maacutexima atencioacuten a los signos e inscripciones con los que trata Permiacutetaseme dar al menos un ejemplo que mos‐traraacute mejor que todas las proclamaciones generales en queacute consiste el supuesto nomina‐lismo y tambieacuten formalismo de la logiacutestica Hay en logiacutestica una regla de inferencia llamada regla de separacioacuten que enuncia que quienquiera que afirme la proposicioacuten condicional de la forma laquosi α entonces βraquo y afirme tambieacuten el antecedente de esa propo‐sicioacuten laquoαraquo puede afirmar el consecuente de la proposicioacuten laquoβraquo Para poder aplicar esta regla hemos de saber que la proposicioacuten laquoαraquo que afirmamos por separado expresa laquoel mismoraquo pensamiento que en la proposicioacuten condicional viene expresado por el antece‐dente porque soacutelo entonces podemos trazar la inferencia Y eso soacutelo se puede certificar si las dos proposiciones representadas por laquoαraquo tienen la misma apariencia exterior es decir son equiformes No podemos captar directamente los pensamientos expresados por estas proposiciones y la identidad de forma de las proposiciones que expresan ciertos pensa‐mientos es una condicioacuten necesaria aunque no suficiente de la identidad de los pensa‐

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mientos Si una persona que afirma la proposicioacuten laquosi todo hombre es falible entonces todo loacutegico es falibleraquo afirmara al mismo tiempo la proposicioacuten laquoel hombre es falibleraquo no podriacuteamos llegar a la conclusioacuten laquoluego todo loacutegico es falibleraquo porque no habriacutea garantiacutea de que la proposicioacuten laquoel hombre es falibleraquo expresara el mismo pensamiento que la proposicioacuten laquotodo hombre es falibleraquo que no tiene igual forma que la primera Seriacutea nece‐sario establecer por definicioacuten que la palabra laquoelraquo significa lo mismo que laquotodoraquo sustituir en la proposicioacuten laquoel hombre es falibleraquo la palabra laquoelraquo por la palabra laquotodoraquo apoyaacutendose en la regla de sustitucioacuten por definicioacuten y soacutelo entonces habiendo afirmado la propo‐sicioacuten laquotodo hombre es falibleraquo cuya forma es ideacutentica a la del antecedente de la pro‐posicioacuten condicional afirmada podriacuteamos llegar a la conclusioacuten De esta manera inten‐tamos formalizar todas las deducciones loacutegicas es decir interpretarlas como inscripciones construidas de tal manera que podemos comprobar la correccioacuten del razonamiento sin referencia a los significados de estas inscripciones Lo hacemos asiacute porque no podemos captar los significados mientras que los signos son visibles y claros y al compararlos podemos fiarnos enteramente de lo que estaacute a la vista iquestEquivale esta preocupacioacuten por la precisioacuten del lenguaje y la formalizacioacuten de las demostraciones en siacute mismas a nominalismo Se diriacutea que no La logiacutestica adoptariacutea el punto de vista nominalista si considerara los teacuterminos y las proposiciones exclusivamente como inscripciones que tienen ciertas formas sin ocuparse de si significan algo y de queacute es lo que significan La logiacutestica se convertiriacutea entonces en una ciencia de adornos o figuras que trazamos y combinamos de acuerdo con ciertas reglas jugando con ellas como si estu‐vieacuteramos jugando al ajedrez Hoy en diacutea yo no podriacutea aceptar semejante concepcioacuten y esto no soacutelo por la razoacuten que formuleacute no hace mucho de que el conjunto de inscripciones es siempre finito mientras que el conjunto de tesis loacutegicas es ya en loacutegica de proposiciones infinito todas mis intuiciones estaacuten en contra de las consecuencias uacuteltimas del nomina‐lismo Mediante una difiacutecil labor intelectual desarrollada durante antildeos salvando enormes dificultades vamos paso a paso adquiriendo nuevas verdades loacutegicas Y iquestde queacute se ocupan estas verdades iquestDe inscripciones vaciacuteas y adornos Yo no soy un artista graacutefico ni un caliacutegrafo y no me interesan ni los adornos ni las inscripciones Toda la diferencia entre la logiacutestica y una partida de ajedrez consiste precisamente en esto en que las piezas de ajedrez no significan nada mientras que los siacutembolos loacutegicos tienen significado Nos ocu‐pamos de ese significado de los pensamientos e ideas expresadas mediante signos incluso aunque no sepamos cuaacuteles son esos significados y no de los signos como tales Por inter‐medio de esos signos queremos captar algunas leyes del pensamiento que seriacutean aplicables a la matemaacutetica y a la filosofiacutea y a todas las disciplinas que hacen uso del razonamiento Este objetivo es digno del mayor esfuerzo Formalizamos las deducciones loacutegicas y ha‐cemos bien pero la formalizacioacuten es soacutelo un medio de adquirir conocimiento y certeza acerca de algo y lo que resulta importante para nosotros no son los medios sino eso de lo que adquirimos conocimiento a traveacutes de esos medios Hoy en diacutea ya no puedo adoptar un punto de vista nominalista en logiacutestica Pero esto lo digo como filoacutesofo y no como loacutegico La loacutegica no puede solventar la cuestioacuten porque no es filosofiacutea A fortiori no se la puede acusar de nominalismo En el artiacuteculo laquoLogiacutestica y filosofiacutearaquo incluido en este volumen

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Otras objeciones se han suscitado en conexioacuten con el formalismo objeciones que no van contra la logiacutestica misma sino contra los intentos de aplicarla a la filosofa Se ha dicho que la logiacutestica deseariacutea axiomatizar y formalizarlo todo pero que eso es imposible de conseguir porque la realidad es maacutes rica que su formalizacioacuten racionalizada logiacutestica La realidad se puede captar no soacutelo mediante el pensamiento discursivo sino tambieacuten mediante el pensamiento imaginativo mediante el pensamiento concreto emocional e intuitivo Me gustariacutea replicar brevemente tambieacuten a estas objeciones No seacute queacute es el pensamiento intuitivo y no me encuentro con competencia para explicarlo Pero estoy convencido de que ademaacutes del pensamiento discursivo puede haber alguna otra manera de llegar a la verdad porque los loacutegicos conocen por propia experiencia hechos semejantes Sucede a veces que o bien como resultado del trabajo subconsciente de la mente o bien merced a una afortunada asociacioacuten de ideas o gracias a un sentido instintivo de la verdad una idea creativa y feacutertil que remueve nuestras dificul‐tades y abre nuevos caminos de investigacioacuten aparece en nuestra conciencia de una manera completamente inesperada como por inspiracioacuten80 Esto sucede sobre todo en la vanguardia del pensamiento humano alliacute donde nos enfrentamos con territorios todaviacutea no conquistados por la ciencia no iluminados por el pensamiento oscuros e incoacutegnitos Alliacute la intuicioacuten reemplaza con frecuencia al pensamiento discursivo que en esos casos suele ser inuacutetil y hace las primeras conquistas pioneras en los nuevos territorios Ahora bien una vez que el territorio ha sido conquistado ha de ser ocupado por el pensamiento discursivo con todo el aparato de la logiacutestica de tal modo que los logros de la intuicioacuten que faacutecilmente pueden resultar erroacuteneos puedan ser comprobados ordenados y raciona‐lizados Porque en mi opinioacuten ese territorio mental soacutelo puede considerarse definiti‐vamente ganado cuando lo estaacute para la ciencia que se ha ordenado siguiendo meacutetodos sancionados por la loacutegica Es asiacute como yo concibo la cooperacioacuten entre el pensamiento intuitivo y el discursivo A las objeciones sobre el positivismo he replicado ampliamente en mi ensayo laquoLogiacutestica y filosofiacutearaquo antes mencionado Alliacute he discutido en particular mi actitud hacia las concepciones del Ciacuterculo de Viena Aquiacute quisiera hacer tan soacutelo una breve observacioacuten a propoacutesito de esta objecioacuten El concepto de positivismo es algo elaacutestico A un hombre que se guiacutea por la razoacuten sin sucumbir a sus emociones y se atiene a la realidad sin darse a la fantasiacutea se le consi‐dera a menudo un positivista Tengo que admitir que en este sentido yo lo soy tambieacuten Creo firmemente en la razoacuten aunque conozco sus limitaciones y tomo en cuenta la realidad a la vez que intento refrenar mis emociones y mi fantasiacutea La logiacutestica no puede sino intensificar estas inclinaciones Esto explica mi aversioacuten por las especulaciones filosoacute‐ficas No rechazo la metafiacutesica no condeno la filosofiacutea no tengo prejuicios en contra de ninguna tendencia filosoacutefica pero desapruebo el trabajo intelectual chapucero Y probable‐mente no es culpa miacutea ni de la logiacutestica que ella aguce el criticismo y descubra muchos defectos en la especulacioacuten filosoacutefica Me atrevo a asegurar que todo aquel que reciba un 80 A propoacutesito de esto cf Jan Łukasiewicz laquoO nauceraquo (Sobre la ciencia) Biblioteczka Filozoficzna 5 Poiskie Towarzystwo Filozoficzne Lwoacutew 1934 [incluido en este volumen con el tiacutetulo de laquoEleven‐tos creativos en la cienciaraquo paacuteg 3)

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buen adiestramiento logiacutestico veraacute estos problemas como yo los veo A la logiacutestica contemporaacutenea se la acusa por otra parte de estar basada en el convencionalismo Se supone que esto viene demostrado por el hecho de que los actuales sistemas de logiacutestica no estaacuten constrentildeidos en la estructura de sus sistemas axiomaacuteticos por ningunas reglas o ideas absolutas sino construidos de una manera arbitraria Me gustariacutea examinar esta objecioacuten con mayor detalle Pensemos primero en el llamado caacutelculo proposicional bivalente Como es sabido este caacutelculo se puede presentar axiomaacuteticamente de varias maneras que dependen sobre todo de los teacuterminos primitivos elegidos y de las reglas de inferencia adoptadas Pero incluso con los mismos teacuterminos primitivos mdashpor ejemplo implicacioacuten y negacioacutenmdash y con las mismas reglas de inferencia mdashpor ejemplo sustitucioacuten y separacioacutenmdash podemos dar muy diversas listas de axiomas para el caacutelculo proposicional iquestSe sigue de ello que el caacutelculo proposicional esteacute construido de una manera arbitraria No en uacuteltimo teacutermino No podemos otorgar a cualesquiera tesis el status de axiomas porque en nuestro caacutelculo el sistema axiomaacutetico debe satisfacer condiciones muy rigurosas debe ser consistente independiente y completo lo cual significa que debe contener potencialmente todas las tesis verdaderas del sistema Soacutelo un sistema de axiomas que reuacutena esas condiciones es bueno pero al tiempo son buenos todos los que las reuacutenan puesto que todos ellos son equivalentes entre siacute y todos generan el mismo sistema del caacutelculo proposicional Al escoger este o ese sistema de axiomas de entre todos los posibles no tenemos por queacute estar constrentildeidos por principios absolutos ya que sabemos de antemano que tales principios mdashpor ejemplo el principio de consistenciamdash se ven satisfechos por todos los sistemas de axiomas y en la eleccioacuten soacutelo nos guiacutean consideraciones praacutecticas o didaacutecticas No veo en todo esto ni rastro de convencionalismo tendencia que nunca he patrocinado ni patrocino en la actualidad Dicho sencillamente el caacutelculo proposicional bivalente tiene la propiedad de que se puede construir axiomaacuteticamente de diferentes maneras y esa propiedad es un hecho loacutegico que no depende de nuestra voluntad y que tenemos que aceptar nos guste o no Esa propiedad dicho sea de paso la comparte el caacutelculo proposicional bivalente con otros sistemas axiomaacuteticos incluyendo la teoriacutea aristoteacutelica del silogismo El Estagirita intentoacute axiomatizar su teoriacutea del silogismo pero su sistema de axiomas era insuficiente Yo he resuelto este problema en otros trabajos anteriores adoptando como foacutermulas primi‐tivas de esta silogiacutestica las proposiciones laquotodo A es Braquo y laquoalguacuten A es Braquo y como axiomas las tesis laquotodo A es Araquo laquoalguacuten A es Araquo y los modos silogiacutesticos Barbara y Datisi81 A ellos antildeadiacute las reglas de sustitucioacuten separacioacuten e intercambio definicional y el caacutelculo proposi‐cional como sistema auxiliar Podriacutea por supuesto haber escogido otras foacutermulas primi‐tivas como por ejemplo las proposiciones laquotodo A es Braquo y laquoninguacuten A es Braquo En ese caso hubiera tenido que adoptar un sistema de axiomas diferente Pero incluso para las foacutermulas primitivas que he escogido podriacutea haber elegido axiomas diferentes por ejemplo en lugar de la tesis laquoalguacuten A es Araquo podriacutea haber utilizado la ley de conversioacuten de proposiciones universales afirmativas y en lugar del modo Dalisi podiacutea haber adoptado el 81 Jan Łukasiewicz Elemente logiki matematycznej Varsovia 1939 paacutegs 86‐96 [Cf la versioacuten inglesa Elements of Mathematical Logic Varsovia‐Oxford 1963 paacutegs 103‐117]

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modo Dimatis de la cuarta figura Asiacute pues tambieacuten la loacutegica aristoteacutelica se puede cons‐truir axiomaacuteticamente de muchas maneras Tras este hecho no hay convencionalismo puesto que todos estos sistemas de axiomas son equivalentes entre siacute y generan la loacutegica aristoteacutelica entera con los mismos modos silogiacutesticos La actitud subyacente de oposicioacuten a estos sistemas de axiomas calificados de arbitrarios parece consistir en el plano subconsciente en una exigencia de la teoriacutea del conocimiento que podriacutea formularse del siguiente modo laquoEn todo sistema deductivo hay soacutelo un principio directamente evidente sobre el que han de estar basadas todas las tesis de ese sistemaraquo El eacutenfasis se pone a la vez en el laquosoacutelo unoraquo y en el laquodirectamente evidenteraquo Ya Kant se complaciacutea en su capacidad de deducir algo como eacutel deciacutea a voluntad nach Wunsch a partir de un uacutenico principio aus einem einzigen Prinzip iexclCuaacuten bello seriacutea que tal principio fuera el uacutenico en este sentido y que el sistema no pudiera basarse en ninguacuten otro y que fuera tambieacuten directamente evidente y por ende algo necesario y absoluto Pero esto seriacutea demasiado bello para ser verdad Es un hecho que el caacutelculo proposicional bivalente de implicacioacuten y negacioacuten que hace uso de las reglas de sustitucioacuten y separacioacuten se puede basar en un solo axioma pero incluso eso puede hacerse de varias maneras Por tanto en ese caacutelculo hay muchos axiomas laquoabsolutosraquo Ademaacutes ninguno de los axiomas que hasta ahora hemos llegado a conocer es directamente eviden‐te porque todos ellos son demasiado largos como para que su verdad pueda captarse de modo intuitivo En lo que se refiere al uacuteltimo punto la situacioacuten suele ser tal que las tesis evidentes son deductivamente deacutebiles y las tesis deductivamente fuertes mdashy soacutelo eacutestas pueden servir como axiomasmdash no son evidentes En el caacutelculo proposicional implica‐cional que incluye soacutelo implicaciones sin negacioacuten probablemente la tesis maacuteximamente evidente sea la ley de identidad laquosi p entonces praquo (es decir en notacioacuten simboacutelica Cpp) Pero con las reglas de sustitucioacuten y separacioacuten esa ley soacutelo nos permite una deduccioacuten de sus propias sustituciones y por tanto es deductivamente muy deacutebil con lo cual por supuesto no puede servir como uacutenico axioma de ese caacutelculo Por otra parte los axiomas del caacutelculo implicacional no son evidentes El antildeo pasado conseguiacute encontrar el axioma maacutes corto de ese caacutelculo En la notacioacuten libre de pareacutentesis que he disentildeado tiene soacutelo trece letras y la siguiente forma CCCpqrCCrpCsp Pero tampoco este axioma es completamente evidente y en cualquier caso es menos evidente que la ley del silogismo hipoteacutetico CCpqCCqrCpr o incluso que la ley de Frege (que no es maacutes corta que mi axioma) CCpCqrCCpqCpr ninguna de las cuales sirve como axioma uacutenico del sistema Paso ahora a las uacuteltimas objeciones arriba enumeradas a saber las que acusan a la logiacutestica de pragmatismo y relativismo Me ocupo con mayor detalle de estas objeciones porque se han planteado a propoacutesito de los sistemas polivalentes de loacutegica proposicional Esta es la razoacuten por la que me gustariacutea replicar a ellas maacutes detenidamente En primer lugar y como fundador de los sistemas polivalentes de loacutegica proposi‐cional afirmo que histoacutericamente estos sistemas no se han desarrollado sobre la base del convencionalismo ni del relativismo sino que han surgido a partir de investigaciones loacutegicas relativas a las proposiciones modales y a los conceptos relacionados de posibilidad

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y necesidad82 En la construccioacuten de esos sistemas hice uso del meacutetodo de matrices inventado por Peirce ya en 1885 Mis alumnos Slupecki Sobocinski y Wajsberg continua‐ron mis investigaciones y aplicaron el meacutetodo axiomaacutetico a los sistemas polivalentes83 En particular sabemos hoy gracias a la obra de Slupecki coacutemo basar el llamado caacutelculo proposicional trivalente completo con un valor seleccionado en un sistema de axiomas que es consistente independiente y completo en el mismo sentido que los sistemas axiomaacuteticos del caacutelculo bivalente Si especifico estos hechos es para afirmar sobre la base de ellos que la existencia de sistemas de loacutegica polivalente se ha de tomar hoy en cuenta del mismo modo que se ha de tomar en cuenta por ejemplo la existencia de sistemas de geometriacutea no‐eucliacutedea Estos sistemas no dependen de ninguna doctrina filosoacutefica ya que en ese caso se derrumbariacutean junto con la tal doctrina sino que son un resultado objetivo de investiga‐cioacuten como pueda serlo cualquier teoriacutea matemaacutetica establecida Asiacute pues no se puede decir laquoYo rechazo la logiacutestica contemporaacutenea porque ha dado como resultado la loacutegica polivalente y vuelvo a la loacutegica tradicionalraquo del mismo modo que no se puede decir laquoRechazo la geometriacutea contemporaacutenea porque ha dado como resultado la geometriacutea no‐eucliacutedea y vuelvo a la geometriacutea eucliacutedearaquo Semejante punto de vista no soacutelo anulariacutea los logros de la ciencia contemporaacutenea sino que constituiriacutea me atrevo a decir una taacutectica de avestruz consistente en creer que lo que se ignora no existe No podemos dejar de tomar en cuenta los sistemas de loacutegica polivalente una vez que han sido construidos lo uacutenico que podemos hacer es discutir si se pueden interpretar intuitivamente al igual que la loacutegica bivalente y si se les puede encontrar alguna aplicacioacuten Quiero extenderme un poco sobre estos temas El fundamento maacutes profundo de toda la loacutegica hasta ahora conocida sea loacutegica de proposiciones o loacutegica de teacuterminos sea loacutegica estoica o aristoteacutelica es el principio de bivalencia que enuncia que toda proposicioacuten es o bien verdadera o bien falsa es decir tiene uno y soacutelo uno de esos dos valores loacutegicos La loacutegica cambia desde sus mismos fundamentos si asumimos que ademaacutes de la verdad y la falsedad hay tambieacuten un tercer valor loacutegico o varios maacutes Hice esa asuncioacuten invocando la autoridad del propio Aristoacute‐

82 Jan Łukasiewicz laquoO pojeciu mozliwościraquo (Sobre el concepto de posibilidad) (texto de una conferencia) Ruch Filozoficzny 5 (1920) paacutegs 169a‐170a Jan Łukasiewicz laquoO logice troacutejwartościowejraquo (Sobre la loacutegica trivalente) (texto de una conferencia) ibiacuted paacutegs 170a‐171a Jan Łukasiewicz laquoPhilosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aussagenkalkuumllsraquo Comptes rendus des seacuteances de la Socieacuteteacute des Sciences et des Lettres de Varsovie 23 (1930) cl iii paacutegs 51‐77 [El primer texto no estaacute incluido en este volumen En cuanto al segundo cf la paacuteg 18 de este libro El tercer trabajo citado estaacute recogido en las paacuteginas 27‐48 de este volumen] 83 M Wajsberg laquoAksjomatyzacja troacutejwartościowego rachunku zdańraquo (Axiomatizacioacuten del caacutelculo proposicional trivalente) Sprawozdania z posiedzeń Towarzystwa Naukowego Warszawskiego 24 (1931) Wydzial III J Slupecki laquoDer volle dreiwertige Aussagenkalkuumllraquo Comptes rendus des seacuteances de la Socieacuteteacute des Sciences et des Lettres de Varsovie 29 (1936) cl iii B Sobocinski laquoAksjomatyzacja pewnych wielowartościowych systemoacutew teorii dedukcjiraquo (Axiomatizacioacuten de algunos sistemas polivalentes de la teoriacutea de la deduccioacuten) Roczniki prac naukowych Zreszenia Asystentoacutew Uniwersytetu Joacutezefa Pilsudskiego vol 1 Varsovia 1936 Para detalles en torno al principio de bivalencia veacutease el trabajo laquoObservaciones filosoacuteficas sobre los sistemas polivalentes de loacutegica proposicionalraquo paacuteg 34 de este libro

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teles porque nadie maacutes que el Estagirita pareciacutea creer que las proposiciones concernientes a eventos futuros contingentes no son hoy ni verdaderas ni falsas Asiacute es como han de interpretarse algunas formulaciones de Aristoacuteteles en el capiacutetulo nueve de su De interpretatione y asiacute fue como las interpretaron los estoicos seguacuten testifica Boecio Al hablar asiacute el Estagirita intentaba evitar el determinismo que para eacutel estaba inevitable‐mente conectado con el principio de bivalencia Si esa concepcioacuten de Aristoacuteteles es correcta y si entre las proposiciones acerca de eventos que tienen lugar en el universo hay proposiciones que en el momento presente no son todaviacutea ni verdaderas ni falsas entonces estas proposiciones deben tener un tercer valor loacutegico Pero entonces el mundo de los hechos que nos rodean estaacute gobernado no por una loacutegica bivalente sino por una loacutegica trivalente o bien si el nuacutemero de estos nuevos valores loacutegicos es mayor por alguna otra loacutegica polivalente En ese caso los sistemas polivalentes de loacutegica adquiriacutean a la vez una justificacioacuten intuitiva y un vasto campo de aplicacioacuten A menudo he examinado el problema de coacutemo determinar si existen proposiciones acerca de hechos que tengan ese tercer valor de verdad Un problema loacutegico se convierte aquiacute en una cuestioacuten ontoloacutegica relativa a la estructura del universo iquestEstaacute todo lo que sucede en el universo determinado por siglos o hay ciertos hechos futuros que hoy no estaacuten todaviacutea determinados iquestExiste en el universo una esfera de contingencia o estaacute todo inevitablemente gobernado por la necesidad Y en el caso de que esta esfera de contingen‐cia exista iquestha de buscarse soacutelo en el futuro o se puede encontrar tambieacuten en el pasado Estas son cuestiones a las que resulta muy difiacutecil contestar Siempre he creiacutedo que las respuestas a estas cuestiones soacutelo pueden venir dadas por datos empiacutericos del mismo modo que soacutelo los datos empiacutericos pueden decirnos si el espacio en que nos movemos es eucliacutedeo o no‐eucliacutedeo Aquiacute estaacute el origen de las imputaciones de pragmatismo dirigidas a la logiacutestica imputaciones que son injustificadas en lo que a ella se refiere puesto que soacutelo se me pueden dirigir a miacute personalmente Tampoco puedo yo aceptar esas imputa‐ciones No acepto el pragmatismo como teoriacutea de la verdad y pienso que ninguna persona razonable aceptariacutea esa doctrina Tampoco he pensado nunca en verificar pragmaacutetica‐mente la verdad de los sistemas loacutegicos Estos sistemas no necesitan esa verificacioacuten De sobra seacute que todos los sistemas loacutegicos que construimos son necesariamente verdaderos bajo los supuestos admitidos en su construccioacuten El uacutenico punto seriacutea verificar los supues‐tos ontoloacutegicos que subyacen a la loacutegica y pienso que actuacuteo de acuerdo con los meacutetodos universalmente adoptados en la ciencia natural al intentar verificar las consecuencias de estos supuestos a la luz de los hechos Sobre este tema mi opinioacuten se opone a la de los positivistas del Ciacuterculo de Viena porque ellos niegan que estas cuestiones esteacuten sujetas a verificacioacuten empiacuterica y pretenden que pertenecen exclusivamente a la sintaxis del lengua‐je Esa opinioacuten de los miembros del Ciacuterculo de Viena que no comparto mereceriacutea en mi opinioacuten el nombre de convencionalismo No me parece que el problema de la interpretacioacuten de los sistemas polivalentes esteacute definitivamente zanjado Nuestro conocimiento de esos sistemas cuyo desarrollo es muy reciente es todaviacutea inadecuado Habraacute que someterlos a un examen completo tanto desde Cf la nota al pie de la paacutegina 72

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el punto de vista formal como desde el punto de vista intuitivo Pero ya desde ahora puedo afirmar algo el relativismo no es una consecuencia de la existencia de esos sis‐temas De la posibilidad de diferentes sistemas de loacutegica y por ende de diferentes concep‐tos de verdad mdashdependientes del sistema loacutegico que se adoptemdash no se puede inferir que no hay verdades absolutas Aduzco aquiacute este argumento porque hay un cientiacutefico que ha extraiacutedo esas conclusiones a partir de la existencia de distintos sistemas de loacutegica Hace dos antildeos E T Bell un profesor de matemaacuteticas americano publicoacute un difundido libro titulado The Search for Truth84 Como lema de su libro tomoacute las siguientes palabras del Evangelio de San Juan (XVIII 38) laquoPilatos le dijo iquestQueacute es la verdadraquo Esa pregunta pre‐tende el profesor Bell dejoacute de tener sentido cuando en 1930 se conocieron los sistemas de loacutegica polivalente A este respecto afirmo esa cuestioacuten no ha dejado nunca de tener sentido ni dejaraacute jamaacutes de tenerlo Las verdades absolutas del pensamiento no se derrumbaron en 1930 Sea cual fuere el descreacutedito que alguien pueda arrojar sobre las loacutegicas polivalentes ese alguien no puede negar que su existencia no ha invalidado el principio de contradiccioacuten Este es una verdad absoluta que se cumple en todos los sistemas loacutegicos porque si este principio fuera violado toda la loacutegica y toda la investigacioacuten cientiacutefica perderiacutean su sen‐tido Tambieacuten conservan su validez las reglas de inferencia a saber la regla de sustitucioacuten que corresponde al dictum de omni aristoteacutelico y la regla de separacioacuten anaacuteloga al silogis‐mo estoico denominado modus ponens Es precisamente gracias a estas reglas como cons‐truimos hoy no uno sino muchos sistemas loacutegicos todos ellos consistentes y libres de contradiccioacuten Cabe la posibilidad de que existan tambieacuten otros principios absolutos que todos los sistemas loacutegicos deban cumplir Pienso que una de las mayores tareas de la logiacutestica y de la filosofiacutea futura es descubrir todos esos principios Al concluir estas observaciones me gustariacutea esbozar una imagen que estaacute conectada con las intuiciones maacutes profundas que siempre experimento ante la logiacutestica Esa imagen arrojaraacute quizaacute mayor luz sobre el auteacutentico trasfondo de esa disciplina al menos en mi caso que cualquier descripcioacuten discursiva Hela aquiacute cada vez que me ocupo de un problema logiacutestico por insignificante que sea mdashpor ejemplo cuando busco el axioma maacutes corto del caacutelculo proposicional implicacionalmdash tengo siempre la impresioacuten de que estoy frente a una estructura poderosa dotada de la maacutexima coherencia y resistencia Siento esa estructura como si fuera un objeto concreto tangible hecho del maacutes duro metal cien veces maacutes fuerte que el acero y que el hormigoacuten Nada puedo cambiar en ello no estoy creando nada por mi voluntad sino que mediante un trabajo tenaz descubro cons‐tantemente en ello nuevos detalles y llego a verdades inconmovibles y eternas iquestDoacutende estaacute y queacute es esa estructura ideal Un creyente diriacutea que estaacute en Dios y que es Su pensamiento

84 Eric Temple Bell The Search for Truth Londres Allen and Unwin 1934 en particular paacutegs 245‐247

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IacuteND IC E ELEMENTOS CREATIVOS EN LA CIENCIA 3 LECCIOacuteN DE DESPEDIDA PRONUNCIADA POR EL PROFESOR JAN ŁUKASIEWICZ EN EL AULA MAGNA DE LA

UNIVERSIDAD DE VARSOVIA EL 7 DE MARZO DE 1918 15 SOBRE LA LOacuteGICA TRIVALENTE 18 SOBRE EL DETERMINISMO 20 OBSERVACIONES FILOSOacuteFICAS SOBRE LOS SISTEMAS POLIVALENTES DE LOacuteGICA PROPOSICIONAL 34 PARA LA HISTORIA DE LA LOacuteGICA DE PROPOSICIONES 56 LOGIacuteSTICA Y FILOSOFIacuteA 60 EN DEFENSA DE LA LOGIacuteSTICA 74

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Lukasiewicz - Estudios de Lógica y Filosofía