Upload
8detect
View
249
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
1/117
Bài giảng Lý thuyết đồ thị
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
2/117
Đồ thị (graph) là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnhvà các cạnh nối các đỉnh đó.
Đồ thị được ký hiệu là G = (V, E), trong đó: V là tập đỉnh (vertex), E V V là tập hợp các cạnh (edge).
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 2
1
2
3
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
3/117
CÁC LOẠI ĐỒ THỊ
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 3
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
4/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
Tiền Giang
Trà Vinh
Vĩnh Long
Đồng Tháp
Cần Thơ
4
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
5/117
Một đơn đồ thị (simple graph) G = (V, E) gồm mộttập không rỗng V và một tập cạnh E là các cạnhkhông sắp thứ tự của các đỉnh phân biệt.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 5
1
2
3
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
6/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
Tiền Giang
Trà Vinh
Vĩnh Long
Đồng Tháp
Cần Thơ
6
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
7/117
Một đa đồ thị (multigraph) G = (V, E) gồm một tậpcác đỉnh V, một tập các cạnh E và một hàm f từ E tới{{u, v} | u, v V, u v}. Các cạnh e1, e2 được gọi làcạnh song song (parallel) (hay cạnh bội (multiple))nếu f(e1) = f(e2).
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 7
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
8/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
Tiền Giang
Trà Vinh
Vĩnh Long
Đồng Tháp
Cần Thơ
8
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
9/117
Một giả đồ thị (pseudo graph) G = (V, E) gồm mộttập đỉnh V, một tập các cạnh E và một hàm f từ E tới{{u, v} | u, v V}.Một cạnh là khuyên (loop) nếu f(e) = {u, u} = {u} vớimột đỉnh u nào đó.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
9
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
10/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
Tiền Giang
Trà Vinh
Vĩnh Long
Đồng Tháp
Cần Thơ
10
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
11/117
Một đồ thị có hướng (directed graph hoặc digraph)G = (V, E) gồm tập các đỉnh V và tập các cạnh E làcác cặp có thứ tự của các phần tử thuộc V. Cáccạnh ở đây còn được gọi là cung (arc).
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 11
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
12/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
Tiền Giang
Trà Vinh
Vĩnh Long
Đồng Tháp
Cần Thơ
12
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
13/117
Một đa đồ thị có hướng (directed multigraph)G = (V, E) gồm một tập các đỉnh V, tập các cạnh Evà một hàm f từ E tới {(u, v) | u, v V}.
Các cạnh e1 và e2 là các cạnh bội nếu f(e1) = f(e2).
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 13
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
14/117
Loại Cạnh Có cạnh bội? Có khuyên?
Đơn đồ thị Vô hướng Không Không
Đa đồ thị Vô hướng Có Không
Giả đồ thị Vô hướng Có Có
Đồ thị có hướng Có hướng Không Có
Đa đồ thị có hướng Có hướng Có Có
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 14
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
15/117
Chỉ làm việc với đồ thị có tập đỉnh và tập cạnh hữuhạn. Thuật ngữ Đồ thị được ngầm hiểu là Đồ thị hữuhạn.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 15
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
16/117
CẠNH KỀ, ĐỈNH KỀ, BẬC
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 16
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
17/117
Hai đỉnh u và v trong một đồ thị vô hướng G đượcgọi là kề hay liền kề (adjacent) (hay láng giềng(neibor)) nếu {u, v} là một cạnh của G.
Nếu e = {u, v} thì e được gọi là cạnh liên thuộc(incident) với các đỉnh u và v. Cạnh e cũng được gọi
là cạnh nối (connect) các đỉnh u và v. Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút (endpoint)
của cạnh {u, v}.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 17
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
18/117
Bậc (degree) của một đỉnh trên đồ thị vô hướng làsố các cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên tại mộtđỉnh được tính hai lần cho bậc của nó. Người ta kýhiệu bậc của đỉnh v là deg(v).
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
18
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
19/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
Tiền Giang
Trà Vinh
Vĩnh Long
Đồng Tháp
Cần Thơ
3
6
5
3
5
19
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
20/117
Cho G = (V, E) là một đồ thị vô hướng có e cạnh. Khiđó:
Có bao nhiêu cạnh trong đồ thị có 10 đỉnh, mỗi đỉnhcó bậc bằng 7?
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
V v
ve )deg(2
20
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
21/117
Định nghĩa hàm f từ E x V tới {0, 1, 2… } trong đó: f(e, v) = 1 nếu e có 2 đỉnh phân biệt và v là một trong 2đỉnh này.
f(e, v) = 2 nếu e là một khuyên và v là đỉnh của khuyênnày, và
f(e, v) = 0 nếu v không phải là đỉnh thuộc cạnh e.
Do vậy, với cạnh e E bất kỳ, ta cósuy ra được từ định nghĩa.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
V v
ve f 2),(
21
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
22/117
Do vậy:
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
V v
E e
V v E e E e V v E e
E e V v E e
v E
ve f v
ve f ve f E
ve f
)deg(2
),()deg(:cóTa
),(),(22
),(2
22
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
23/117
Định lý: Một đồ thị vô hướng có số lượng đỉnh bậclẻ là một số chẵn.
Chứng minh: Giả sử V1, V2 tương ứng là tập các đỉnh bậc chẵn và
tập các đỉnh bậc lẻ của đồ thị vô hướng G = (V, E). Khiđó:
Vì deg(v) là chẵn với mọi v V1, nên tổng đầu tiêntrong vế phải phải là số chẵn, nên tổng còn lại cũngphải là số chẵn. Vì tất cả các số hạng của tổng này là
số lẻ, nên suy ra số các số hạng của nó phải là sốchẵn. [đpcm]
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
1 2
)deg()deg()deg(2V v V vV v
vvve
23
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
24/117
Khi (u, v) là cạnh của đồ thị có hướng G, thì u đượcgọi là nối tới v và v được gọi là nối từ u. Đỉnh u đượcgọi là đỉnh đầu (initial vertex), đỉnh v gọi là đỉnh cuối(terminal hoặc end vertex) của cạnh (u, v).
Cạnh e = (u, v) được gọi là đi từ đỉnh u tới đỉnh v
hoặc đi ra đỉnh u vào đỉnh v.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 24
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
25/117
Trong đồ thị có hướng, bậc vào (in-degree) của đỉnhv, ký hiệu là deg-(v) là số các cạnh có đỉnh cuối là v.
Bậc ra (out-degree) của đỉnh v, ký hiệu là deg+(v) làsố các cạnh có đỉnh đầu là v.(Một khuyên sẽ góp thêm 1 đơn vị vào bậc vào và 1
đơn vị vào bậc ra của đỉnh chứa khuyên)
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 25
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
26/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
Tiền Giang
Trà Vinh
Vĩnh Long
Đồng Tháp
Cần Thơ
d- = 2, d+ = 1
d- = 4, d+ = 1
d- = 2, d+ = 3
d- = 2, d+ = 4
d- = 1, d+ = 2
26
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
27/117
Cho G = (V, E) là một đồ thị có hướng. Khi đó:
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
V vV v
E vv )(deg)(deg
27
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
28/117
Đỉnh treo (pendant vertex) là đỉnh có bậc bằng 1.
Đỉnh cô lập (isolated vertex) là đỉnh có bậc bằng 0.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 28
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
29/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
Tiền Giang
Trà Vinh
Vĩnh Long
Đồng Tháp
Cần Thơ
Phú Quốc
29
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
30/117
MỘT SỐ ĐƠN ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 30
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
31/117
Đồ thị đầy đủ (complete graph) n đỉnh, ký hiệu là Kn,
là một đơn đồ thị chứa đúng một cạnh nối mỗi cặpđỉnh phân biệt.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 31
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
32/117
Đồ thị chính quy (regular graph) là đơn đồ thị màbậc của mọi đỉnh đều bằng nhau.
Nếu bậc của các đỉnh là n, thì đồ thị này được gọi làn – chính quy (n – regular).
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 32
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
33/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
2 – chính quy
3 – chính quy
4 – chính quy
33
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
34/117
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
35/117
Một đơn đồ thị G được gọi là đồ thị phân đôi(bipartite graph) nếu tập các đỉnh V có thể phân làmhai tập con không rỗng, rời nhau V1 và V2 sao chomỗi cạnh của đồ thị nối một đỉnh của V1 với một đỉnhcủa V2.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 35
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
36/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 36
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
37/117
Đồ thị C6
và K3
có phải là các đồ thị phân đôi? Giảithích.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
1 2
3
45
6
1
2
3
37
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
38/117
Đồ thị phân đôi đầy đủ (complete bipartite graph)Km,n là đồ thị có tập đỉnh được phân thành hai tậpcon tương ứng có m đỉnh và n đỉnh và có một cạnhgiữa 2 đỉnh nếu và chỉ nếu một đỉnh thuộc tập connày và đỉnh thứ hai thuộc tập con kia.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 38
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
39/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 39
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
40/117
ĐỒ THỊ CON –ĐỒ THỊ BỘ PHẬN
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 40
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
41/117
Đồ thị con (subgraph) của đồ thị G = (V, E) là đồ thịH = (W, F) trong đó W V và F E.
Đồ thị H là con của đồ thị G được gọi là đồ thị bộphận (spanning subgraph) của G khi W = V.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 41
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
42/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
1 2
3
45
6
1
3
45
6
1 2
3
45
6
42
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
43/117
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
44/117
1. Cho G là một đồ thị đơn, vô hướng có số đỉnh n > 3.Chứng minh G có chứa 2 đỉnh cùng bậc.
Hướng dẫn:
Giả sử có 1 đỉnh bậc 0 đỉnh có bậc lớn nhất còn lạichỉ là n – 2. Vậy các đỉnh có thể có bậc là 0.. n-2.
Nếu không có đỉnh bậc 0 các đỉnh có thể có bậc là1, 2… n-1.
Do vậy theo Dirichlet, phải có ít nhất 2 đỉnh cùng bậc.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 44
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
45/117
2. Có thể tồn tại đồ thị đơn có 15 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc bằng 5 hay không?
Hướng dẫn
Không thể vì 15 (số đỉnh) x 5 (bậc) là một số lẻ. Điềunày trái với định lý bắt tay.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 45
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
46/117
3. Trong một buổi chiêu đãi, mọi người bắt tay nhau.Chứng tỏ rằng tổng số người được bắt tay với một sốlẻ người khác là một số chẵn. Giả sử không ai tự bắttay mình
Hướng dẫn
Chứng minh tương tự định lý số đỉnh bậc lẻ của đồ thị
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 46
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
47/117
4. Vẽ các đồ thị:a. K 7 b. K 1,8c. K 4,4
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 47
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
48/117
5. Các đồ thị sau đây có bao nhiêu cạnh?a. K n b. K m,n
Hướng dẫn Kn có số cạnh là C(2, n) = n(n-1)/2.
Km,n có số cạnh là mn.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 48
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
49/117
6. Đồ thị sẽ có bao nhiêu cạnh nếu nó có các đỉnh bậc 4, 3, 3, 2,
2? Vẽ một đồ thị như vậy.
Hướng dẫn
Tổng số bậc đỉnh của đồ thị là 4 + 3 + 3 + 2 + 2 = 14,
vậy đồ thị này có 7 cạnh (nếu tồn tại đồ thị).
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
ca
e d
b
49
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
50/117
7. Có tồn tại đồ thị đơn chứa năm đỉnh với các bậc sauđây? Nếu có hãy vẽ đồ thị đó.a. 3, 3, 3, 3, 2
b. 1, 2, 3, 4 ,5
c. 1, 1, 1, 1, 1d. 1, 2, 1, 2, 1
e. 2, 1, 0, 2, 1
Hướng dẫn
a, e). Có.b, c, d). Không thể (vì có số đỉnh bậc lẻ là một số lẻ).
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
ca
e d
b
ca
e d
b
50
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
51/117
8. Một buổi tiệc có 6 người tham dự. Chứng minh rằngcó 3 người từng cặp quen nhau hoặc 3 ngườikhông quen nhau.
Hướng dẫn
Theo dirichlet, chắc chắn phải có 1 ngườiquen/không quen với 3 người bất kỳ trong nhóm.Giả sử người đó là A và 3 người kia là B, C và D. Nếu trong số 3 người đó, có 1 cặp quen nhau Bài
toán được giải vì có 3 người từng quen nhau. Nếu không có 3 người không quen nhau.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 51
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
52/117
9. Các đồ thị sau đây có phải là đồ thị phân đôikhông?
Hướng dẫn Đồ thị bên trái: có. Đồ thị bên phải: không.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 52
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
53/117
ĐỒ THỊ ĐẲNG CẤU
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 53
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
54/117
Các đơn đồ thị G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2) là đẳngcấu (isomorphic) nếu có hàm song ánh f từ V1 lên V2sao cho các đỉnh u và v là liền kề trong G1 nếu vàchỉ nếu f(u) và f(v) là liền kề trong G2 với mọi u, vtrong V1. Hàm f như vậy được gọi là một đẳng cấu.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 54
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
55/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
Đồ thị G1 và G2 là đẳng cấu với nhau: f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, f(4) = d e1 = E1, e2 = E2…
1
3
2
4
a
b c
d
e1
e2
e3
e4e5
e6
E1 E2
E3
E4
E5
E6
55
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
56/117
Để xác định xem các đồ thị là đẳng cấu hay không làrất khó khăn!
Để chứng minh 2 đồ thị là đẳng cấu, cần đưa ra mộtquan hệ tương đương (đẳng cấu) giữa 2 đồ thị này.
Để chứng minh 2 đồ thị không đẳng cấu, chỉ ra
chúng không có chung một tính chất mà các đồ thịđẳng cấu phải có.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 56
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
57/117
Hai định lý sau đây sẽ giúp chúng ta xác định sựđẳng cấu của hai đồ thị (đã gán nhãn): Định lý 1: Hai đồ thị là đẳng cấu với nhau khi và chỉ
khi các đỉnh của nó có thể được gán nhãn sao cho matrận kề tương ứng là giống nhau.
Định lý 2: Hai đồ thị được gán nhãn G1 và G2 với haima trận kề tương ứng là A1 và A2 đẳng cấu với nhaukhi và chỉ khi tồn tại ma trận hoán vị P sao cho
P A1 PT = A2
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
Ghi chú: Ma trận hoán vị là một ma trận có được bằng cách hoán vị các hàng và/hoặc cột của một ma trận đơn vị n x n. Như vậy ma trận hoán vị là một ma trận vuông mà mỗi hàng và cột chỉ có 1 phần tử có giá trị '1', các phần tử còn lại có giá trị '0'.
57
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
58/117
Xét hai đồ thị G1 và G2 được gán nhãn như bêndưới và hai ma trận kề tương ứng:
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
21
4 3
da
b c
1 2 3 4
1 0 1 0 1
2 1 0 1 0
3 0 1 0 1
4 1 0 1 0
a b c d
a 0 0 1 1
b 0 0 1 1
c 1 1 0 0
d 1 1 0 0
58
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
59/117
Xét ma trận hoán vị
Ta có:
Vậy G1 và G2 đẳng cấu với nhau theo ánh xạ: 1
a,2 c, 3 b và 4 d.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
1000
0010
0100
0001
P
21
0011
0011
11001100
1000
0010
01000001
0101
1010
01011010
1000
0010
01000001
A P PA T
59
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
60/117
Để chứng minh 2 đồ thị không đẳng cấu, ta chỉ cầnđưa ra ví dụ phản chứng.
Để chứng minh 2 đồ thị là đẳng cấu, cần phải chỉ rama trận hoán vị P.
(Có đến n! hoán vị khác nhau với đồ thị n đỉnh, dovậy, bài toán xác định 2 đồ thị đẳng cấu có độ phứctạp rất lớn!)
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 60
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
61/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
ca
e d
b
zx
v t
y
61
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
62/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
ba
d c
e f
h g
ts
v u
w x
z y
62
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
63/117
BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 63
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
64/117
Đỉnh Các đ ỉnh k ề
a b, e
b a, c
c b, d, e
d c, e
e a, d
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
ca
e d
b
64
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
65/117
Đỉnh đ ầu Đỉnh cuối
1 2, 3, 4, 6
2 3
34 3
5
6 3
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
1 2
3
45
6
65
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
66/117
Giả sử G = (V, E) trong đó V = {v1, v2, …}, |V| = n.
Ma trận kề (Adjacency Matrix) A (hay AG) của G làmột ma trận 0-1 cấp nxn có phần tử aij tại dòng i, cột
j bằng 1 nếu vi và v j kề nhau và bằng 0 nếu vi và v jkhông kề nhau.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 66
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
67/117
a b c d e
a 0 1 0 0 1
b 1 0 1 0 0c 0 1 0 1 1
d 0 0 1 0 1
e 1 0 1 1 0
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
ca
e d
b
67
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
68/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
1 2
3
45
6
1 2 3 4 5 6
1 0 1 1 1 0 1
2 0 0 1 0 0 0
3 0 0 0 0 0 0
4 0 0 1 0 0 0
5 0 0 0 0 0 0
6 0 0 1 0 0 0
68
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
69/117
1 2 3 4
1 1 1 0 1
2 1 1 2 0
3 0 2 1 2
4 1 0 2 0
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
21
4 3
69
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
70/117
Giả sử G = (V, E) trong đó: V = {v1, v2, …}, |V| = n. E = {e1, e2, …}, |E| = e.
Ma trận liên thuộc (incidence matrix) M của G là mộtma trận 0-1 kích thước nxe có phần tử aij tại dòng i,
cột j bằng 1 nếu cạnh e j nối với đỉnh vi và bằng 0nếu cạnh e j không nối với đỉnh vi.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 70
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
71/117
1 2 3 4 5 6
a 1 0 1 0 0 0
b 1 1 0 0 0 0
c 0 1 0 1 0 1
d 0 0 0 1 1 0
e 0 0 1 0 1 1
(a, b) (b, c) (a, e) (c, d) (d, e) (c, e)
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
ca
e d
be1 e2
e3e4
e5
e6
71
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
72/117
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 0 0 0 0 0 0 1
2 0 1 1 1 1 0 0 0 0
3 0 0 0 1 1 1 1 1 0
4 0 0 0 0 0 0 1 1 1
(1) (1, 2) (2) (2, 3) (2, 3) (3) (3, 4) (3, 4) (1, 4)
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
21
4 3
e1
e2e3
e5e4
e6
e7
e8
e9
72
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
73/117
Danh sách kề
Cách 1: int ke[MAX][MAX]; int soDinhKe[MAX];
Cách 2: list ke[MAX];
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 73
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
74/117
Ma trận kề & Ma trận liên thuộc int a[MAX][MAX];
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 74
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
75/117
Chọn lựa cách biểu diễn nào là phù hợp?
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 75
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
76/117
1. Hãy biểu diễn các đồ thị sau đây bằng 3 cách biểu
diễn đã học. Liệu có thể biểu diễn được?
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
21
4 3
21
4 3
5
76
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
77/117
2. Hãy biểu diễn các đồ thị sau bằng các cách biểu
diễn đã họca) K4b) K1,4c) C4d) K2, 3
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 77
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
78/117
3. Hãy vẽ các đồ thị vô hướng cho bởi ma trận kề sau:
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
1 3 2
3 0 4
2 4 0
1 2 0 1
2 0 3 0
0 3 1 1
1 0 1 0
0 1 3 0 4
1 2 1 3 0
3 1 1 0 1
0 3 0 0 2
4 0 1 2 3
78
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
79/117
4. Hãy mô tả hàng và cột của ma trận kề của đồ thị
tương ứng với đỉnh cô lập.5. Các đơn đồ thị với ma trận kề sau đây có đẳng cấu
không?
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
0 0 1
0 0 1
1 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 0
0 1 0 1
1 0 0 1
0 0 0 11 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 0 11 1 1 0
79
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
80/117
6. Các đồ thị sau đây có đẳng cấu?
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
a)
b)
80
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
81/117
7. Các đồ thị sau đây có đẳng cấu?
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
a)
b)
81
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
82/117
ĐƯỜNG ĐI, CHU TRÌNH
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 82
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
83/117
Đường đi (path) (độ dài n) từ u tới v trong một đồ thị
vô hướng là một dãy các cạnh e1, e2 … en của đồ thịsao cho f(e1) = {x0, x1}, f(e2) = {x1, x2}… f(en) = {xn-1,xn}, với x0 = u và xn = v.
Khi đồ thị là đơn ta ký hiệu đường đi này bằng dãy
các đỉnh x0, x1, … xn.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 83
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
84/117
Đường đi được gọi là chu trình (cycle/circuit) nếu nó
bắt đầu và kết thúc tại một đỉnh (nghĩa là u = v). Đường đi hay chu trình gọi là đơn nếu nó không đi
qua cùng một cạnh quá một lần.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 84
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
85/117
{a, b, c, e, d} là một đườngđi độ dài 4.
{a, b, e, d} không là đườngđi.
{a, b, c, e, a} là một chutrình.
{c, e, d, e, c} không phải làmột đường đi đơn.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
ca
e d
b
85
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
86/117
Nếu 2 đồ thị đẳng cấu với nhau, nó sẽ có các chu
trình có cùng độ dài k vói nhau, trong đó k > 2.
(Điều này suy ra Nếu điều kiện trên không thỏa,nghĩa là 2 đồ thị không đẳng cấu với nhau)
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 86
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
87/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
a
f b
e c
d
1
6 2
5 3
4a
f b
e c
1
5 2
4 3
87
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
88/117
LIÊN THÔNG
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 88
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
89/117
Một đồ thị vô hướng được gọi là liên thông
(connected) nếu có đường đi giữa mọi cặp đỉnhphân biệt của đồ thị.
Ngược lại, đồ thị này được gọi là không liên thông(disconnected).
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 89
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
90/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 90
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
91/117
Một đồ thị không liên thông sẽ bao gồm nhiều đồ thị
con liên thông, các đồ thị con này được gọi là cácthành phần liên thông (connected component).
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 91
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
92/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
a b
c
k l
g
d e
h
i j
f
92
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
93/117
Định lý: Nếu một đồ thị G (không quan tâm liên
thông hay không) có đúng 2 đỉnh bậc lẻ, chắc chắnsẽ có một đường đi nối 2 đỉnh này.
Chứng minh:
TH1: G liên thông: rõ ràng có đường nối 2 đỉnh bậclẻ này (do định nghĩa của đồ thị liên thông).
TH2: G không liên thông: các thành phần liên thôngcủa G là một đồ thị. Do đó, theo định lý về số đỉnhbậc lẻ, 2 đỉnh này phải thuộc về cùng một thànhphần liên thông. Do vậy, phải có đường nối.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 93
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
94/117
Số cạnh tối đa của một đơn đồ thị không liên thông
G gồm n đỉnh và k thành phần là:
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
2
)1)(( k nk n
94
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
95/117
Đồ thị có hướng gọi là liên thông mạnh (strongly
connected) nếu có đường đi từ a tới b và từ b tới avới mọi cặp đỉnh a và b của đồ thị.
Đồ thị có hướng gọi là liên thông yếu (weaklyconnected) nếu có đường đi giữa 2 đỉnh bất kỳ của
đồ thị vô hướng nền. Đồ thị có hướng được gọi là liên thông một phần
(unilaterally connected) nếu với mọi cặp đỉnh a, bbất kỳ, có ít nhất một đỉnh đến được đỉnh còn lại.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 95
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
96/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
1 2
3
4
5
1 2
3
4
5
96
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
97/117
Đỉnh khớp (cut vertex/ articulation point) của một đồ
thị vô hướng là đỉnh mà nếu xóa đỉnh này khỏi đồ thịvà các cạnh nối đến nó thì số thành phần liên thôngcủa đồ thị sẽ tăng thêm.
Cạnh cầu (bridge) của một đồ thị vô hướng là cạnh
mà nếu xóa đi khỏi đồ thị thì số thành phần liênthông của đồ thị sẽ tăng thêm.
Đồ thị song liên thông (biconnectivity) là đồ thị khôngchứa đỉnh khớp.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 97
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
98/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 98
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
99/117
Khả năng liên thông (connectivity) hay khả năng liên
thông đỉnh (vertex connectivity) (G) của một đồ thịlà tập có lực lượng nhỏ nhất các đỉnh mà khi xóacác đỉnh này đi đồ thị không còn liên thông nữa.
Một đồ thị G được gọi là k – liên thông (k–
connectivity) hay k – liên thông đỉnh (k-vertex-connectivity) khi (G) ≥ k.
Như vậy, một đồ thị đầy đủ Kn, theo định nghĩa sẽ có(G) = n – 1.
Đồ thị song liên thông chính là đồ thị 2 – liên thông.
Ghi chú: đọc là kappa.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 99
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
100/117
1. Mỗi danh sách các đỉnh sau đây có tạo nên đường
đi trong đồ thị đã cho hay không? Đường đi nào làđường đi đơn? Đường đi nào là chu trình? Độ dàicủa các đường đi?a) a, e, b, c, d
b) a, e, a, d, b, c, a
c) e, b, a, d, b, ed) c, b, d, a, e, c
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
ca b
d e
100
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
101/117
2. Hãy tìm thành phần liên thông mạnh của các đồ thị
có hướng sau:
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
ca b
f e d
ca b
h g f
d
e
101
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
102/117
3. Các đồ thị sau đây có phải là đồ thị song liên thông?
a) K3b) K4c) K2,3d) C5
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 102
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
103/117
CÁC PHÉP DUYỆT ĐỒ THỊ
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 103
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
104/117
Depth First Search
Nguyên lý: Khởi từ một đỉnh, đi theo các cạnh(cung) xa nhất có thể. Trở lại đỉnh sau của cạnh xanhất, tiếp tục duyệt như trước cho đến đỉnh cuốicùng.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 104
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
105/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
a b
c
g
d e
h f
1 2
3
4
5 6
78
105
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
106/117
procedure DFS(v)
begin
ThămĐỉnh(v);
chưaXét[v] = false;
for u Kề(V) do
if chưaXét[u] then
DFS(u);
end
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 106
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
107/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
a b
c
g
d e
h f
1 2
3
4
5 6
78
ChưaXét[ ] a b c d e f g H
Khởi tạo T T T T T T T T
Thăm lần 1 F T T T T T T T
Thăm lần 2 F F T T T T T T
Thăm lần 3 F F F T T T T T
Thăm lần 4 F F F T T T F T
Thăm lần 5 F F F F T T F T
Thăm lần 6 F F F F F T F TThăm lần 7 F F F F F F F T
Thăm lần 8 F F F F F F F F
F: Đỉnh hiện tạiF: Đỉnh chọn đ ược ở bướck ế tiếp.
107
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
108/117
Chương trình chính
BEGIN
for v V do
chưaXét[v] = true;
for v V do
if chưaXét[v] then
DFS(v);//BFS(v)
END.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 108
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
109/117
Breadth First Search
Ý tưởng: Đỉnh “gần” ưu tiên thăm trước
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 109
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
110/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
a b
c
g
d e
h f
1 2
3
4
5 7
86
110
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
111/117
procedure BFS(v)
beginQUEUE = ;QUEUE v; // Kết nạp v vào QUEUEchưaXét[v] = false;
while QUEUE do
p
QUEUE;ThămĐỉnh(p);
for u Kề(p) doif chưaXét[u] then
QUEUE u;chưaXét[u] = false;
end;
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 111
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
112/117
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến
ChưaXét[ ] a b c d e f g H
Khởi tạo T T T T T T T T
Thăm lần 1 F T T T T T T TThăm lần 2 F F T T T T T T
Thăm lần 3 F F F T T T T T
Thăm lần 4 F F F T T T F T
Thăm lần 5 F F F F T T F T
Thăm lần 6 F F F F T T F FThăm lần 7 F F F F F T F F
Thăm lần 8 F F F F F F F F
F: Đỉnh hiện tạiF: Đỉnh chọn đ ược ở bướck ế tiếp.
a b
c
g
d e
h f
1 2
3
4
5 7
86
112
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
113/117
VÍ DỤ MINH HỌA
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 113
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
114/117
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
115/117
Yêu cầu
Khi khảo sát các đảo ở một vùng biển, người ta ghikết quả khảo sát lại thành một bản đồ nhị phân trongđó số 0 cho biết biển và số 1 là đất liền. Một đảochính là một miền liên thông 4 các số 1 trên bản đồ.Từ một bản đồ cho trước, hãy đếm số lượng đảocủa vùng biển.
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 115
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
116/117
Từ một đồ thị vô hướng, liên thông cho trước, liệu có
thể định hướng lại thành đồ thị có hướng liên thôngmạnh?
(định lý: Đồ thị vô hướng liên thông là định hướngđược khi và chỉ khi mỗi cạnh của nó nằm trên ít nhấtmột chu trình)
HCMUS – 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị – Đặng Nguyễn Đức Tiến 116
8/16/2019 Ltdt- Bai 01 - Tong Quan Ltdt
117/117