Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunderfhs.diva-portal.org/smash/get/diva2:272952/FULLTEXT01.pdf · 2010. 4. 8. · Innehållsförteckning Förord 9 1. Inledning 11 1.1 Allmänt

Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunder

Lärobok i Militärteknik, vol. 1Grunder

Kurt AnderssonKristian ArtmanMagnus AstellStefan AxbergHans LiwångAnders LundbergMartin NorsellLars Tornérhielm

Lärobok i Militärteknik, vol. 1: GrunderFörfattare: Kurt Andersson, Kristian Artman, Magnus Astell, Stefan Axberg, Hans Liwång, Anders Lundberg, Martin Norsell och Lars Tornérhielm

Lärobok i Militärteknik nr. 1

© Försvarshögskolan och författarna 2007Mångfaldigandet av innehållet i denna bok och/eller kopiering av den medföljande cd-skivan är enligt lagen om upphovsrätt förbjudet utan medgivande av Försvarshögskolan.

Bokens innehåll har granskats och godkänts av Militärvetenskapliga institutionens publikationsråd.

Serieredaktör: Stefan AxbergProjektledare: Per EliassonRedaktör: Lars TornérhielmGrafisk form och teknisk redigering: Elsa JohannessonTryck: Elanders, Vällingby 2007

Första upplagan, första tryckningen, juni 2007

ISSN 1654-4838ISBN 978-91-85401-72-7

För mer information om Försvarshögskolans publikationer, kontakta oss på telefon-nummer 08-553 42 500 eller besök vår hemsida www.fhs.se/publikationer.

Innehållsförteckning

Förord 9

1. Inledning 111.1 Allmänt 111.2 Övrigt 12

2. Vadärvetenskap? 132.1 Teknikochvetenskap 132.2 Tro,övertygelse,vetande 142.3 Vetenskapensomprocess 152.4 Hypoteser 162.5 Faktaochteorier 18

3. Omstatistik 213.1 Stickprovsundersökningar 213.2 Beskrivandestatistik 223.3 Lägesmått 243.4 Spridningsmått 273.5 Statistiskhypotesprövning 28

4. Omsannolikhet 314.1 Träffsannolikhetvidfleraskott 314.2 Slumpmässigaförsök 324.3 Sannolikhet 334.4 Utfallsrum 354.5 Likformigsannolikhetsfördelning 364.6 Oberoendehändelser 374.7 Stokastiskavariabler 39

5. Modellochverklighet 455.1 Mentalamodeller 455.2 Fysiskamodeller 465.3 Matematiskamodeller 46

5.3.1 Boyleslag 465.3.2 Frittfall 475.3.3 Lanchestermodeller 47

5.4 Dynamiskamodellerochsimuleringar 485.5 Ytterligareexempel 49

6. Någramatematiskaverktyg 516.1 Naturligatal 516.2 Mätningavfysikaliskastorheter 536.3 Proportioner 536.4 Reellatal,tallinjenochkoordinatsystem 556.5 Relationerochfunktioner 566.6 Rationellafunktioner 586.7 Rätalinjerochriktningskoefficient 606.8 Derivata 616.9 Potensfunktioner 636.10 Exponential-ochlogaritmfunktioner 646.11 Trigonometiskafunktioner 676.12 Enhetscirkeln,utvidgningavsinusochcosinus,radianer 686.13 Sinussomrepresentationavsvängningar 726.14 Kortomintegraler 73

7. Mekanik 777.1 Allmänbakgrund 777.2 Begreppochstorheter 787.3 Koordinatsystemimekaniken–tröghet 797.4 Tyngdpunktensrörelse–translation 79

7.4.1 Sträcka,hastighetochacceleration 807.4.2 Krafter 817.4.3 Tyngdpunkt–masscentrum 837.4.4 Newtonslagar 847.4.5 Rätlinjigrörelse 857.4.6 Kroklinjigrörelse 887.4.7 Friktion 897.4.8 Fjädrar–dämpare 90

7.5 Rörelsekringtyngdpunkten–rotation 917.5.1 Moment 917.5.2 Tröghetsmoment 927.5.3 Rotationsacceleration,rotationshastighet ochvinkel 937.5.4 Rotationsrörelse 93

7.5.5 Omgyron 947.5.6 Torsionsfjädrar 95

7.6 Arbete–energi–effekt 95

8. Hållfasthet 998.1 Allmäntomhållfasthet 998.2 Hookeslag 1008.3 Dragbrott 1018.4 Böjning 1018.5 Beräkningsmetoder 1028.6 Konstruktionsmaterial 102

9. Aerodynamik 1059.1 Olikahastighetermedolikakrav 1059.2 Under-ochöverljudsströmning 1079.3 Huruppkommerlyftkraftochluftmotstånd? 1079.4 Skillnadermellanendeltavingeochenvanligvinge 1109.5 Lyftkraftscentrumochliteomstabilitet 1119.6 Luftmotstånd 1119.7 Laminärochturbulentströmning 1139.8 Stealthochaerodynamik 113

10. Vågutbredningochdesstillämpningar 11510.1 Uppkomstavelektromagnetiskstrålning 116

10.1.1 Utbredningshastighet 11710.1.2 Frekvens 11810.1.3 Våglängd 11810.1.4 Sambandetmellanvåglängdochfrekvens 119

10.2 Vågutbredning 12010.3 Antenner 123

10.3.1 Riktantenner 12310.3.2 Rundstrålandeantenner 12610.3.3 Gruppantenner 127

10.4 Fotonen 131

11. Atmosfärenspåverkanpåaerodynamikochvågutbredning 13311.1 Atmosfärenssammansättningochindelning 13311.2 Temperatur,lufttryckochdensitet 135

11.3 Vattenånga 13611.4 Atmosfärsdämpning 136

12. Hydroakustik 13912.1 Korthistorik 13912.2 Begrepp 14112.3 Ljudetsutbredningivatten 143

12.3.1 Allmänt 14312.3.2 Spridning 14412.3.3 Absorption 14512.3.4 Hastighet 14512.3.5 Dopplereffekt 14612.3.6 Ljudavböjning 14612.3.7 Sonarekvationerna 148

12.4 Exempel 14912.4.1 Passivasystem 14912.4.2 Aktivasystem 149

13. Laser 15313.1 Grunderförlaser 15313.2 Olikatyperavlasrar 156

13.2.1 Inkoherentlaser(direktdetektion) 15713.2.2 Koherentlaser 157

13.3 Strålutbredningförlaser 15813.4 Atmosfärspåverkan 15913.5 Lasersäkerhet 161

13.5.1 Allmäntomlasersäkerhet 16113.5.2 Äldrelaserklasser 16213.5.3 Denyalaserklasserna 163

Fördjupningslitteratur 165

Bilaga:Ommaterialetpåmedföljandecd 167

Ombokensförfattare 169

Serien”LärobokiMilitärteknik” 171

�

Förord

Vi lever ienföränderligvärlddärävenkrigetskaraktär förändras;desskon-sekvenserärdock likaohyggligasomtidigare.Hotenärnyaochoftadolda.Traditionellafronterförsvinner,nationalstaterärsedanlängeintedeendapar-ternavidkonflikter.Kunskapomochförståelseavdemilitäraarbetsredskapensfunktionochnyttjandeutgörenviktigframgångsfaktorfördagensochmor-gondagensofficer.Verktygenärtillheltövervägandedelavtekniskart.Dennanära koppling mellan teknik, taktik och operationer behöver betonas inomofficersutbildningen.DettaskergenomämnetMilitärteknik.Militärteknikärnämligendenvetenskapsombeskriverochförklararhurteknikeninverkarpåmilitär verksamhet på alla nivåer och hur officersprofessionen påverkar ochpåverkasavtekniken.Militärteknikenharsingrundifleraolikaämnenfrånskildadisciplinerochförenarsamhällsvetenskapensförståelseavdenmilitäraprofessionen med naturvetenskapens fundament och ingenjörsvetenskapenspåbyggnad och dynamik. Militärtekniken behandlar således tekniken i dessmilitärakontextochutifrånofficerensperspektiv.

Som följd avmilitärteknikens tvärvetenskaplighet studeras ochutvecklasämnetmedstödavbådenatur-,samhälls-ochingenjörsvetenskaper.Deme-todervilkatraditionellttillämpatsärfrämstkvantitativa.Matematik,statistik,tekniskaexperiment,modelleringochsimuleringärexempelpåsådanameto-der.Vidstudietavinteraktionenmellanteknikochtaktik,operationrespektivestrategikanävenkvalitativametoderbehövas.

Teknikenspåverkanfinnspåsåvälstridsteknisk,taktisk/operativsomstra-tegisknivå.Påverkanärmest tydligochmätbarpå lägrenivåer, t.ex.närettellerfleratekniskasystemavmotståndarensättsurspelgenomstörning,vilse-ledandeinformationetc.ochmangenomattanvändasigavenkombination


10

avtekniskochtaktiskkompetensgenomförerforderligtaktikanpassning.Medgodkunskapomverktygen,dvs.alltfrånvapenochplattformartillinforma-tions-ochledningssystemsamtprinciperförattbedrivastridpåolikanivåerkandenväpnadestridenförasframgångsriktpåallanivåer.Teknikenspåverkanökardockpåstrategisknivåochärdåoftaknutentillväsentligateknologiskautvecklingssteg.

FöreliggandeLärobok i Militärteknikäruppdeladifleradelar,avvilkadettaärdenförsta.Skildateknikområdenredovisasiseparatabokvolymerförattvidbehovsnabbtkunnareviderasutanatthelabokenfördendelenmåsteomarbe-tas.Likasåmöjliggördennastrukturattnyaochförofficersprofessionenviktigateknikområdensnabbtochenkeltkaningåilärobokengenomattadderanyavolymer.

Dennavolym,benämndGrunder, innehålleretturvalavmatematik,na-turvetenskapochtekniktillstödförvidaremilitärtekniskastudier.Studietavteknik förmilitärasyftengernödvändigteknisk förståelse liksomkunskaperinomrelevantaochaktuellateknikområden.Dettaskaparförutsättningarförattförståinteraktionenmellanteknikochmilitärverksamhet.

Militärteknikenutgör länkenmellandenrenateknikkunskapenochdesstillämpningarinomofficersprofessionenochjaghoppasattLärobok i Militär-teknikkommeratttillföradagensochmorgondagensofficerarekunskaperochintellektuellaredskaptillfrommaförsåvälkarriärsomförsvarsmakt.

Stockholm i januari 2007

Stefan Axberg, professor i Militärteknik

11

1. Inledning

1.1 Allmänt

Dennabokutgörvolym1avLärobok i Militärteknik.Skälettillattfleravoly-mergesutinomsammaserieärblandannatattböckernaskallvarahanterligtstoraochattdetunderlättarframtidabearbetningarförnyautgåvor.

• Vol.2behandlarsensorermedtillhörandeteknikområden.

• Vol.3behandlarledningmedtillhörandeteknikområden.

• Vol.4behandlarverkanavstridsdelarochskyddmotdessamedtillhörandeteknikområden.

• Vol.5behandlarplattformarmedtillhörandeteknikområden.

• Vol.6behandlarrelationenteknik,taktik,operationenochstrategi.

• Vol.7behandlarrymdteknik.

• Vol.8behandlarochexemplifierarmilitärtekniskaerfarenheter.

Föreliggandebokbehandlardegrunder somerfordras förattkunna till-godogörasigdemeravanceradedelarnaifrämstvol.2–5enligtovan.Utöverdennabokkrävsvissagrundläggandekunskapersärskiltinommatematikochfysik.BokenärframtagenavlärarevidFörsvarshögskolan(FHS).DennabokvändersigfrämsttilldesomvillhamöjlighetattkunnatillgodogörasigalltsombehandlasiLärobok i Militärteknik.Denärskrivenförofficerareochcivilasomverkarinomförsvaretochärtänktattvaraenlärobokviddeskolorsomharutbildninginommilitärtekniken.

12


1.2 Övrigt

• Textenstödsavdatorprogram,skrivnaiMatlab(<filnamn.m>).

• Idennabokanvändspunktsomdecimaltecken.

13

2. Vad är vetenskap?

2.1 Teknik och vetenskap

Viförknippargärnateknikmednaturvetenskap.Ivårtidärdettaheltbefogat.Modernnaturvetenskapkanintebedrivasutanenhögtutveckladteknik,ochdenmodernateknikenskulleintevaramöjligutanengedigennaturvetenskap-liggrund.Mendennakopplingäravsentdatum.Medannaturvetenskapen,sådanvinukännerden,baraharnågrahundraårpånacken,harmänniskannyttjat teknik i olika former alltsedan hon började tillverka saker och ting,alltsåihundratusentalsår.

Dentekniskakunskapenharförtsvidarefrångenerationtillgenerationiolikahantverkstraditioner,ochdenvisadesigiatthantverketfungeradeidetpraktiskautövandet.Detmestaavsådankunskapviladepåbetydligtsäkraregrundänåtskilligavdagensvetenskapligakunskap.Varförbetraktarvidåintedennatekniskakunskapsomvetenskaplig?

Dennunämnda,tekniskakunskapenhörnärmasttilldetvikallarbeprövad erfarenhet.Den skapasoch förmedlaspå etthelt annat sätt än vetenskapen.Densomlärsigetthantverkfårsjälvgörasammaerfarenhetersomläromäs-tarenengånggjorde.Denbeprövadeerfarenhetentillväxerochförnyasytterstlångsamt,oftagenomtillfälligheternasspel.

Dettaliggerisakensnatur,tyteknikutövasförmateriellproduktion,varvidkunskapenblirenbiprodukt.Vetenskapligforskningärdäremotettsystema-tisktkunskapssökande.Iempirisk–erfarenhetsbaserad–forskningkanförlop-petseutsåhär:Forskarenväljerettproblem(somhan/honsjälvellernågonannanharställt).Däreftersamlarhan/honfaktasomväntasbelysaproblemet.Detkanskegenomobservationer,studieravhistorisktkällmaterial,intervju-undersökningaretc.Urdeterhållnamaterialetförsökerforskarendraslutsatser,

14


somibästafallgerettsvarpådenställdafrågan.Heladennaprocedurdoku-menterasochpubliceras.

Medan den beprövade erfarenheten förmedlas från mästare till lärjunge,förmedlasvetenskapligaresultatgenomattdepubliceras.Andraförmedlings-former–kongresser,seminarier,lektionerm.m.–kansessomkomplementtilldetrycktaskrifterna.

Avdettaföljerattvetenskapligochtekniskkunskapäravdelvisolikaslag.Vetenskapligkunskapärformuleradipåståenden,medantekniskkunskapvi-sarsigivadmänniskorförmårgöra.Teknikenlegitimerarsigsjälvgenomvaddenåstadkommer,medanettvetenskapligtresultatintekanlegitimeraspåan-natsättänattmanargumenterarfördet.

Hurgårsådanargumentationtill?Vilkatyperavargumentkananvändasförattstyrkaettvetenskapligtresultat?Hursäkerärvetenskapligkunskap?Ärdetnågonväsentligskillnadmellanvetenskapligkunskapochannankunskap?DettaärkärnfrågoridenfilosofiskadisciplinsomiSverigebrukarkallasveten-skapsteoriochsompåengelskabenämnsphilosophy of science.

2.2 Tro, övertygelse, vetande

Närdusägerattduvetnågot,såärduövertygadomattdetärsant.Iblandmisstardudigemellertid.Detdutroddevarsantvisadesigvarafel.Dåvardetisjälvaverketintenågotvetande.Vetandeärövertygelse,menmeränså.Detdutrormåstevarasant.Menräckerdet?

Tänkdigföljandesituationikrig:Härföraren,H,harskaffatsigenupp-fattningomdenfientligastyrkan,vardenbefinnersigochhurstordenär.Hananfallerochvinnerslaget.Efteråtkundehankonstateraatthansuppfattningomfiendensstyrkastämde.

DufrågarHhurhankundevetadettaiförväg.Hansvaradeatthanhadekonsulteratsinastrologochfåttuppgiftenavdenne.Hanlitadeheltochfulltpåsinastrolog.Skulledu idet lägetbetraktahansövertygelsesomvetande?Antagligeninte.Duskullenoganseattdetvarrenaturenattastrologensupp-giftstämde.

AntaattHiställetsvaradeatthanhadeskickligaspanare,somhaderekog-noserat bakom fiendens linjer. Underrättelseavdelningen hade sammanställtspanarnasuppgifterochfått framenbedömning, somdenvidarebefordradetillH.Hanlitadepåpersonalenskompetens.Hurskulledudåställadig?

IbäggefallenvisadeHtilltrotillmänniskor.Ibäggefallenvaruppgifternariktiga.Ärdetnågonväsentlig skillnadmellan att litapå astrologenochpåunderrättelsetjänsten?

Alltmänskligtsamarbetemåstebyggapåengrundläggandetillit.Detkanintevarafelisig.Ärdetnågonväsentligskillnadmellanensådantillitochdet

15

Vad är vetenskap?

vikallarauktoritetstro?Bådaordeninnebärjuattvitartillossochlitarpåvadenannanmänniskasäger.Astrologiochreligionharsinaauktoriteter,vetenska-penharsina.Vadärskillnaden?

Skillnadenvisarsigivadsomhändernärdufrågar:”Vadärgrundenfördittpåstående?”Inomvetenskapenärtvivletalltidaccepterat.Omdubetvivlarettvetenskapligtresultatkanduiprincipalltidspåraresultatetsursprung.Detkanvaramödosamt.Dumåstesökaidenlitteratursomhävdarresultatet,gåtillreferenserna,tillreferensernasreferensero.s.v.,ändatillsdufinnerettorigi-nalarbetedärresultatetpresenteras.Däroberopaskanskeenmängdfaktasomerhållitsgenomobservationer,såutförligtbeskrivnaattdusjälvskullekunnautförasammaslagsobservationer.Pådetsättetskulledusjälvkunnataställ-ningtillomresultatetärriktigt.

Ävenomdettaärmöjligtiprincip,finnsdetpraktiskasvårighetersomgörattduintesäkertkangenomföradebehövligaundersökningarna.Detkanblifördyrtfördig.Dumåstekanskeväntapåettastronomisktobservationstillfällesomintekommerattinträffaunderdinlivstid.Ellerdekvarlevor,sombeskrivs,ärbortplockadefrånfyndplatsen.

Vill dupåmotsvarande sätt undersöka sanningshalten i en religiös tros-satsellerenastrologiskprincip,kanduocksågåtillurkunderna.Mendukanaldrigkommalängreäntilldenallraförstaurkunden.Pådessauktoritetvilaralltsammans.Dukommeraldrigtillnågonursprungligobservation,somdusjälvskullekunnakontrollera.

Detsomärutmärkandeförvetenskapligverksamhetäralltsåreproducerbar-heten.Enundersökning,somenpersonhargjort,kanenannanupprepaellerkontrollera–n.b.attdetkankrävatidochresurser.Mendetäralltidtillåtet.Finnerduattduintelyckasreproduceraettpåståttresultat,såärdetettindi-ciumpåattresultatetärfelaktigt.Detdubörgöraidetlägetärattpubliceradinarönochenutförligbeskrivningavhurduhargåtttillväga.Dåföreliggertvåvarandramotsäganderesultat.Problemetärdåintelöst.Fortsattforskningbehövsinnandetenaellerandraresultatetbetraktassomsäkerställt.

2.3 Vetenskapen som process

Pådetsättetutvecklasvetenskapeniprocesser,somintealltidtycksgåframåt.Detberordelspåattenstakavetenskapligaobservationerärbehäftademedfel(tillfälligamätfelsåvälsomsystematiskafel),delsattdekanvarasvårtolkade.Ettpubliceratvetenskapligtresultatkandärförvarafelaktigt,ävenomdetbyg-gerpåomsorgsfulltgjordaundersökningar.Detvetenskapligaienforsknings-rapportbeståralltsåinteiattattresultatetsäkertärriktigt,utaniattarbetetärsåutförtochpresenteratattandrakankontrolleradet.

16


Denna synpå vetenskapen står i stark kontrastmot en ”naiv” syn, somtidigarekanhavaritvanlig.Enligtdennaiva synenbörjar forskningenmedinsamlingavfakta.Dessafaktaanvändsiettpusselläggande,varvidkunskapengradvisbyggsupp.Bitläggstillbitochbildenavdetfärdigapussletväxersuc-cessivtfram.

Attdennaivasynenintehållerkanbaradelvisförklarasavdetredansagda–observationsfelochfeltolkningar.Enannan,kanskeviktigare,delavförkla-ringenliggeriattdefaktasomframkommervidenundersökningärfragmen-tariska.Deutgörisjälvaverketenförsvinnandelitendelavdenverklighetmanvillundersöka.Skamanjämföramedpusselläggande,såmåstemanförutsättaattdeflestaavpusselbitarnahargåttförloradeochintekanåterfinnas.Iallrabästafallharmanpusslets”lock”tillhands,meniallmänhetfinnsivetenskap-ligforskningintenågotsomkanfyllalocketsfunktion.

Felaktiga observationer kan jämföras med att vissa av de återfunna pus-selbitarnaärillaåtgångna.Feltolkningarkanjämförasmedattmangissarpus-selbitensrättaplats,menmisstarsig.Ochävenomdeåterfunnabitarnaharplaceratsrätt;vadgörmannärflerbitarinteärtillgängliga?Villmanändåfåettfärdiglagtpussel,måstemanrekonstrueradesaknadebitarna.Detkanskepåbasisavdetsammanhangsomkanskönjas.Meniblandfinnsinteunderlagensförrekonstruktioner.Dåfårmansjälvskapaåterstoden,välmedvetenomattdennainteärmeränensegenskapelse.

Defåtillgängligapusselbitarnakanvijämföramedfakta.Detvisjälvakon-struerarellerrekonstruerarärjämförbartmedvetenskapligateorier.Osäkerhe-teniteoribildningenäruppenbar,menvivillhellrehaenrekonstrueradhelhetännågotsomliknarenruin.Närpussletärfärdiglagtåterstårmångaobesvaradefrågoromhurpussletkundehasettutistället.Vadgörmanomnågonhittaryt-terligareenpusselbit?Passardeninteinidetfärdigamönstret,måstehelabilden–teorin–revideras.Sådanthänderhelatidenundervetenskapensutveckling.

Rättförstådd,ärpusselliknelsenganskaträffande,menkanintegeenrik-tiguppfattningomforskarensvillkor.Hurtersigdetvetenskapligaarbetet iverkligheten?

2.4 Hypoteser

Dethörtillundantagenattenforskarebeträderheltnymark;gersigininågot,däringenkunskapallsfannstidigare.Deproblemensådanforskarestårinför,kanvilämnadärhän.

Vitänkerossdärförenforskare,somvaltettprobleminomettområde,därmycketärkäntförut.Genomsinbekantskapmedämnetharhan/honenhel-hetsbildavdenverklighethan/honstuderar,enbildsomdockärofullständigochsomforskarenvillbidratillattfyllaut.Dennahelhetsbildärvadvikallar

17

Vad är vetenskap?

enteori.Förattfyllautden,ochgörateorinmerfullständig,behövsflerfakta.Vadslagsnyafaktabehövs?Hurfårmantagidem?

Finnsdetnågonallmänstrategisomlämparsig iensådansituation?Envanlig,ochoftalämpligstrategiärattbildaenhypotes.Densomgersiginiettforskningfält,gördetväloftasttillföljdavintresseochfallenhetförämnet.Närmanmöterenobesvaradfråga,lederintuitionentillidéeromvadsvaretkanvara.Ensådanidéärvadvikallarenhypotes.

En väl fungerande intuition är en av förutsättningarna för framgångsrikforskning.Närenhypotesharformulerats,måstedentestas.Detkangåtillsåhär:Omhypotesenärsann,följerdäravattvissafaktamåsteföreligga.Visarenundersökningattdessafaktainteföreligger,såärhypotesenfalsifierad,dvs.bevisadvarafalsk.Omåandrasidandessafaktapåvisas,behöverhypotesenfördenskullintevarasann.Detkanhändaattsammafaktaskullekunnaförklarasavenalternativhypotes.Attvisaattenhypotesärsannkallasattverifieraden.Menvetenskapligahypoteser låter sigsällanverifieras.Hurkommerdetsig?Omenhypotesärfalsifierad,såärväldenmotsattahypotesenverifierad?Alltsåbordefalsifieringochverifieringbaravaratvåsidoravsammasak.

Låt oss belysa situationen med det välbekanta ”svanexemplet”: Alla ob-serveradesvanarharvisatsigvaravita.Hypotesen”Allasvanarärvita”liggerdärförnäratillhands.Såupptäckernågonensvartsvannågonstanspåsödrahalvklotet.Därmedärhypotesen falsifierad.Men samtidigt ärdenmotsattahypotesenverifierad,nämligen:”Detfinnssvanarsominteärvita.”

Mendenförstahypotesenochdenmotsattaäravheltolikaslag.Denförstaärfalsifieradsåsnartviharobserveratensvansominteärvit.Mendenmot-sattahypotesenkanintefalsifierasmedmindreänattviundersökerallasvanarsomfinns.Ochhurskavivetaattvifunnitallihop?

EnöverläggningidenhärriktningenleddevetenskapsteoretikernKarlPop-pertillståndpunkten,attförattenhypotesskagodtassomvetenskapligmåstedenvarafalsifierbar.Detmåstealltsåvaratänkbartattmankanfinnanågotfaktum,somfalsifierarden.Somenallmänstrategiförvetenskapligforskningföresloghanattmanformulerar”djärva”hypoteser,alltsåhypotesersommankantänkasig skullekunna falsifierasavvissa fakta.Sedanmanföreslagitenhypotes,görmanvadmankanförattfalsifieraden.Visardensigvarafalsk,försökermanenannanhypotes,ochlåterdengenomgåsammaskärseld.Enhypotes,sommanintelyckatsfalsifiera,ärnaturligtvisintefördenskullverifie-rad,menhardenmotståttmångafalsifieringsförsök,såhardenvunnitåtskil-ligtitrovärdighet.Ensådanhypotesär,iPoppersterminologi,korroborerad.

Kravetpåfalsifierbarhetkanocksåuttryckassomettkravpåprecision.Etttillräckligtvagt,ellermångtydigt,uttalandeäripraktikenomöjligtattfalsifie-ra.Tasomexempelhoroskopellerorakelspådomar.Deäravsiktligtutformadesåattdeharnågonsanningshalt,alldelesoavsettvadsominträffar.

18


Exempelpåhypotesermedstorprecisionärbrottsåtal.Åklagarenharattvisaattenvisspersonärskyldigtillettdåd.Ensådanhypotesärihöggradfalsifierbar.Etthållbartalibispräckerhypotesen.Åtskillighistoriskforskningkanidetavseendetjämförasmedbrottmålsutredning.

Vetenskapligforskninglederaldrigtillabsolutvisshetomnågonting.Mendenlederilångaloppettillökadkunskapiformavalltfleralltmerkorrobore-radehypoteser.

ManbörintetaPopperssynalltförbokstavligt.Denbordehellreuppfattassomenmodellellerettgrovtschemaförvetenskapligverksamhet,ettförsökattförstånågotavdesskärna.EnsaksomtyckssaknashosPopperärinsiktenomattallvårverklighetsbeskrivningskerviamerellermindregodamodeller(sekapitel5).Enmodellkanvarasämreänmanhadetrott,menbehöverfördenskullinteförkastashelt,utanböriställetförbättras.

EnannansaksomPoppertyckslämnaurräkningenärattåtskillighypotes-prövningäravstatistiskkaraktär.Istatistikentalarmanaldrigomattverifieraellerfalsifieraenhypotes,eftersomprövningenärbehäftadmedstatistiskosä-kerhet.Iställettalarmanomattgodtaellerförkasta,vilketärnågotannat.Semeromdetislutetavkapitel3.

2.5 Fakta och teorier

Omviskaåterknytatillpusselanalogin,kanvisägaattsjälvapusselbitarnaut-görfakta.Varenenskildbitskallläggaskanmanbildaenhypotesom,medandetfärdigapusslet,helheten,ärdenteorivisökerbyggaupp.Menvipåpekadeocksåattsjälvabitarnakanvaraillaåtgångna,varför”fakta”inteärsåoproble-matiskasommaniblandkundetro.

Såärdetocksåiverkligheten.Detsomkallasfaktautgörintealltidsåsäkerkunskapsomordetkanskeantyder.Isjälvaverketfinnsdetingenskarpgränsmellanfaktaochteorier.Vadsomärfaktaidagvarteorierigår.Fördigärdetförmodligenett faktumattvattenären föreningavväteochsyre.Menhurvetdudet?Duharlärtdigdetiskolan,ochduifrågasätterdetförmodligeninte.Menvetduvadväteegentligenär,ellersyre?Ibörjanav1700-taletfannsintedebegreppen. Syretupptäcktes av svenskenScheele och engelsmannenPriestleyoberoendeavvarandra.Till attbörjamed ingick syrebara somendel ienteoriomförbränning,utveckladavLavoisier (somavrättadesunderfranskarevolutionen).Långtsenareinrangeradesdetisystemetavgrundämnen–Mendelieffsschema,somocksåvarenansatstillenteori.

Mendefaktasomsamlasunderforskningsprocessen,vadhardemedteo-rierattgöra?Svaretär,attvadduänharförmetoderattsamlafakta,såärdinaprotokollförda fakta ”teoriladdade”.Dumäter enelektrisk spänning.Redandet avlästa värdet bygger på antaganden om bl.a. ditt synsinne. Och steget

1�

Vad är vetenskap?

därifråntilluppgiftenomdenavlästaspänningenbyggerpåenteori,utifrånvilkenvoltmeternärkonstruerad.Ochävenomdensåhärleddaspänningenärettfaktum,såärfråganomduharmättmellanrättpunkter.Osv.

Eller anta att du gör en intervjuundersökning för att kartlägga väljarespartisympatier.Duantecknarsvarpåettfrågeformulär.Självasvarenärkan-skeodiskutablafakta.Mennärduskaredovisaensammanfattningavsvaren,måstedutolkadem.Hurvetduattfolksvararsomdeiverklighetenkommerattrösta?

Faktaäralltsåbaraenaändanavenskalaavmerellermindresäkerställdahypoteserellerteorier.Närenhypotesärtillräckligtvälsäkerställd–korrobore-rad–placerarviindenblandfakta.Djupareänsåliggerinteskillnadenmellanfaktaochteorier.

Härharviömsomtalatomteorier,ömsomomhypoteser.Vadäregentligenskillnadenmellandebegreppen?Intehellerhärfinnsnågondjupareliggandeskillnad.Enhypoteskanvaraenenkelutsaga,menkanocksåbeståavettheltsystemavinbördesrelateradeutsagor.Detärensådansammansatthypotesvikallarförenteori.

21

3. Om statistik

3.1 Stickprovsundersökningar

Iempiriskvetenskapärmanoftasthänvisadtillattstuderaenmycketlitendelavdenverklighetmanvillundersöka.Fråndefaktamanfårframomdennadelsökermansedanrekonstruerahelheten.Sättenattväljautdelarnaärolikaförolikavetenskaper.Ettsättsomnyttjasidemestskildaundersökningaräratttastickprov.Denmetodenlämparsignärdenhelhet,somskaundersökas,beståravettantalindividuellaobjektsomärvälavgränsadefrånvarandra.Mängdenavalladessaobjektkallarmandåenpopulation.Stickprovetbeståravendel-mängdavpopulationen.Attbedrivastatistikärattundersökapopulationer.

Populationbetyderbefolkning.Statistikvarursprungligenstudietavenstatochdessbefolkning.Sedanharordetpopulationfåttenmergenerellinnebörd.Individernaienpopulationkanvaraavvadslagsomhelst.Villmanundersökaenpopulationkanmaniprincipundersökaallaindivider.Detkallasförento-talundersökning.Ärpopulationenstor,ochärmångaavdessindividersvåraattfåtagi,blirentotalundersökningdyrochopraktisk.Dåfårmannöjasigmedatttautettstickprov.Detkallasävenurval,eller(frånengelskan)sample.

Enstickprovsundersökningbestårdärföravföljandesteg:

1. Populationenavgränsasochettstickprovväljsut.

2. Frånvarjeindividistickprovethämtasdefaktasomefterfrågas.

3. Stickprovetbeskrivspåbasisavdessaundersökningar.

4. Frånbeskrivningenavstickprovetdrasslutsatseromhelapopulationen.

22


Steg 1, 3 och 4 hör till den egentliga statistiken, medan steg 2 hör tilldenspeciellavetenskapinomvilkenundersökningengörs.Viberörvarjestegikorthet:

1. Oftaärdetlångtifrånsjälvklartvilkenpopulationenbörvara.Antagt.ex.attduskaläggauppplanerföruniformeringenavsoldateriframtidafreds-bevarande operationer. Du vill veta vilka mått som ska ligga till grundförtillverkningen.Frånvilkenpopulationskadudraditt stickprov?Allasvenskavärnpliktiga?Knappast!Visänder intevilkasomhelstpåsådanauppdrag.Omdunuharkommitframtillvilkavärnpliktigasomhörtillpopulationen,hurskadåstickprovetdras?Omduväljerblanddemsommönstrariår,skadudåtaallihop?Annarsvilkaavdem?

Ienstatistiskundersökningmedvetenskapligaambitionergörsurvaletslump-mässigt,ochsåattmanvetvilkasannolikheterdeolikaindividernaipopula-tionenharattkommamedistickprovet.Detfinnsmångasättattgöradet.Vinämnerhärbaradet,urteoretisksynpunkt,enklasteförfarandet:obundet slumpmässigt urval,förkortatOSU.Detinnebärattallaindividerharlikastorsannolikhetattkommamedochattdeväljsutheltoberoendeavvarandra.Vigåridennabokinteinpåolikateknikerförattdrastickprov.

2. Faktahämtasgenomobservationer,mätningar, intervjuer etc.,där tekni-kerna är olika för olika vetenskaper. Dessa fakta protokollförs i form avsifferdataellerpåannatsätt.

3. Deterhållnaprotokolletutgörisigenbeskrivningavstickprovet.Mendeninhämtadeinformationenskaanvändaspånågotsättochmåstebearbetasfördetändamålet.Denbearbetningensyftartillattsåtillgängligtochöver-skådligt som möjligt sammanfatta resultaten i protokollet. Detta är denbeskrivandedelenavstatistiken.

4. Attbeskrivastickprovetärdockingetsjälvändamål.Undersökningensyftartilluttalandenomhelapopulationen.Säkraslutsatserompopulationenkanförståsintedrasfrånstickprovet,somiallmänhetbaraärenlitendelavhelapopulationen.Ärstickprovetdragetmedettslumpförfarande,kanslutsat-sernadockangesmedhjälpavsannolikheter.Hurdetkangåtillberörviikorthetikapitletssistaavsnitt.

3.2 Beskrivande statistik

Påvarje individ i stickprovetkanmångaolikaobservationerochmätningargöras.Vibegränsarosshärtillmätningaravenendastorhet.Protokolletinne-hållerdåenlistapåmätetal.

23

Om statistik

Somexempel tar vi ett (fingerat) stickprovpå1000värnpliktiga,där vinoteratderasskonummer.Enlistapådessanummerfinnsifilenskonr.mat.Dukanstuderadenmedelstprogrammetskostud.m.Listanärdenmestfull-ständiga beskrivning av materialet man kan åstadkomma. Men den sortensbeskrivningärföroöverskådligförattkunnaanvändas.Meröverskådligtblirmaterialetomvigrupperardetefternummerochräknarantalet,frekvensen,avvarjenummer.Inedanståendetabellangesocksåderelativa frekvenserna,vilkaerhållsgenomattdividerafrekvensernamedantaletelementistickprovet.Såhärserdenrepresentationenut,därrelativafrekvensenäruttrycktiprocent:

Nummer 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Frekvens 3 40 141 199 206 169 97 80 35 19 8 3

Rel. frekv. 0.3 4.0 14.1 19.9 20.6 16.9 9.7 8.0 3.5 1.9 0.8 0.3

Kum.rel.fr. 0.3 4.3 18.4 38.3 58.9 75.8 85.5 93.5 97.0 98.9 99.7 100

Sistaradeninnehållerdekumuleraderelativafrekvenserna,dvs.summanavderelativafrekvensernaupptillresp.nummer.Informationenuttrycksigrafiskformietts.k.stolpdiagram–sefigur3.1.

Gruppering av material lämpar sig om antalet olika värden är måttligt.Härvardetantalettolv.Nästaexempelärettfingeratmaterialom1000värn-pliktigast längd [mm]. Här är antalet olika värden betydligt större, ca 250.

39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Figur 3.1. Relativa frekvensernas representation i form av stolpdiagram. (Källa: FHS)

24


Stolpdiagramöverdetgrupperadematerialetvisasidenövredelenavfigur3.2.Somsynesärdetmycketoöverskådligt–mångaavvärdenaförekommerbaraengång.Förattökaöverskådlighetengörmanens.k.klassindelning,dvs.mansammanförallavärdeninomettintervalltillenklassochräknarantaletelementiresp.klass.Denundredelenavfigur3.2visarengrafiskframställningavrelativafrekvensernainomdeolikaklasserna.Härharbreddenpåklasserna,klassbredden,valtstill20mm.Ensådanframställningavmaterialetkallasföretthistogram.

Omdukörprogrammetlngdstud.m,kanduexperimenteramedolikaklass-bredder.Ärklassbreddenlitenblirhistogrammetganskaliktettstolpdiagram.Ärklassbreddenstor,gåråtskilliginformationförlorad.Enrekommendationärattväljaklassbreddensåattantaletklasserblirnågotmellantioochtjugo.

Ifigur3.3ärdekumuleraderelativafrekvensernarepresenterade.Detövrediagrammetärettkumulerathistogram,detundreens.k.summapolygon.Idetsenareärderelativafrekvensernainterpoleradeinomklasserna,såattkurvanärsammansattavrätalinjer.

Minskarmanklassbredden,kommerdetkumuleradehistogrammetattblialltmerliktsummapolygonen.

Programmettresampler.minnehållertretänktastickprovfrånvarsinpopu-lation.Depresenterasdelsmedallaerhållnavärden(ordnadeefterstorlek),delsigrupperadformmedenlistapåfrekvensersamtgrafisktmedstolpdiagram.Körprogrammetochtittapådiagrammen.Hademframfördignärvinedandiskuterarläges-ochspridningsmått.Noterahurdetrestolpdiagrammenserut!Hurvilldubeskrivaderaslikheterocholikheter?Tittaocksåpåstolpdia-grammenfördekumuleraderelativafrekvenserna.

3.3 Lägesmått

Enredovisningavettgrupperatellerklassindelatmaterialkanmångagångerlämpasigsomdiskussionsunderlag.Menförmångaandraändamålinnehållerde åtskillig onödig information.Villmankarakterisera ettmaterialmed ettfåtalmått,användermaniförstahandläges-ochspridningsmått.Ettlägesmåttsägernågotomvarpåx-axelnmaterialetligger.Ettspridningsmåttsägernågotommaterialetsbredd.

Ettsättattangeettmaterialslägepåx-axelnärmedelstdetminstaochdetstörstavärdet.Devärdenasägerdockintesåmycket,eftersomvärdenlångtutiflankernaoftaharlågrelativfrekvens.

Omdumedettendamåttskulleangevarhuvuddelenavmaterialetbefin-nersig,såskulleduväljanågotvärdemellandetminstaochdetstörsta.Ettsådantvärdekallasettmedelvärde.Nufinns faktisktoändligtmånga sättattbildamedelvärden.Detgällerattväljanågotsomsomharenlätttolkad,ochrelevant,relationtillalladeolikavärdenaimaterialet.

25

Om statistik

1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 20000

5

10

15

1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 20000

0.05

0.1

0.15

0.2

Figur 3.2. Ett stolpdiagram och ett histogram över samma material. (Källa: FHS)

1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 20000

0.25

0.5

0.75

1

1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 20000

0.25

0.5

0.75

1

Figur 3.3. Det övre diagrammet är ett kumulerat histogram och det undre en s.k. summapolygon. (Källa: FHS)

26


Sägerman”medelvärdet”rättochslätt,utanytterligareprecisering,brukarman mena det aritmetiska medelvärdet. Det erhålls genom att man adderarsamtligavärdenochdividerarmedantalet.

Omenvektor (dvs.enuppsättning tal)medmaterialets samtligavärdenbetecknas(x1,x2,...,xn),brukarmedelvärdetbetecknasx .Detgälleralltså

∑=

=n

iix

nx

1

1 (1)

Summatecknet Σ är den grekiska bokstaven stora sigma. Det är oftabekvämt att använda, och du bör vänja dig vid denna symbol. Den an-vänds flitigt i matematisk text. Skriven utan summatecknet blir formeln

)...( 211

nn xxxx +++= .Är materialet grupperat, brukar man modifiera beteckningarna.Vektorn

(x1,x2,...,xm)fårdåbetydadeolika förekommandevärdena.Omvibeteck-nar motsvarande frekvenser med (f1,f2,...,fm) och relativa frekvenser med(r1,r2,...,xm),erhållervi

∑∑==

==m

iii

m

iii xrxf

nx

11

1 (2)

Avenformelförmedelvärdetsermanalltsådirektommaterialetärgrup-perat ellerogrupperat. (I formlerna (2) ärn fortfarande stickprovsstorleken,medanmärantaletolikavärden.)

Ocksåförettklassindelatmaterialanvänds(2)förberäkningavmedelvärdet,mendåtolkasxisomklassmittenideni-teklassen.Detsättetatträknautmed-elvärdetärförståsinteexakt,mengervanligtvisettacceptabeltnärmevärde.

Ett annat ofta använt lägesmått är medianen. Om x-värdena är ordnadeefterstorlek,ochnärudda,såärmedianendetmellerstavärdet.Ärnjämnt,har de tvåmellersta värdena lika anspråkpå att varamedian.Dådefinierasmedianensomderasmedelvärde.

Nukanduberäknamedelvärdenaochmedianernafördetrestickprovenitresampler.m.Körprogrammet,beräknaellergissavärdenaochkollaomdinaresultatstämmermeddemsomvisasiprogrammet.

Förstickprov1såvälsomstickprov2ärmedianenungefärligenlikamedmedelvärdet.Förstickprov3ärmedelvärdetmärkbartstörreänmedianen.Gerstolpdiagrammensutseendennågonförklaringpådet?

Stickproven 1 och 2 är någorlunda symmetriska. För varje symmetrisktstickprovärmedelvärdetochmedianenexaktlika.Stickprov3visarenkraftigtsnedfördelning–positiv snedhet,eftersomdetfinnsenlång”svans”åthöger.Vidpositivtsnedafördelningarärmedelvärdetalltidstörreänmedianen.

Vilkeninformationomensnedfördelningerhållermanmedelstmedelvärdetresp.medianen?(Tänkt.ex.påinkomstfördelningeniettojämliktsamhälle.)

27

Om statistik

För ett klassindelat material kan medianen skattas medelst summapoly-gonen.Körlngdstud.mtillsdufåttframsummapolygonen.Medianenliggernäradenpunktdärpolygonenskär0.5-nivålinjen.Zoomainskärningspunk-tenmedfigurenszoom-in-verktygochjämförmedmedianvärdet1785,somerhållsmedelstmedian(v).

Zoomasedaninpolygonensskärningarmed0.25-och0.75-nivålinjen.Dex-värdensomdåkanavläsasärdes.k.kvartilerna.Denundrekvartilenbörlig-ganäravs(250)ochdenövrenäravs(750)idetinledandeexemplet.Stämmerdet?(Vektornvs,somtasframavprogrammet,innehållermaterialetsvärdenordnadeefterstorlek.)

Medanmedianbegreppetärväldefinierat,finnsdetintenågonlikanaturligdefinitionavkvartilernaförettstatistisktmaterial.Ärmaterialetstort,såhardenolägenheteningenpraktiskbetydelse.Villmankarakteriseraettmaterialmed flera lägesmått, kan man använda medianen och kvartilerna.Vill manangeytterligaretvåmått,kanmantaminstaochstörstavärdet.Omfrekven-sernaförettmaterialharetttydligtmaximivärdebrukardetkallasdenmättastorhetenstypvärde.

3.4 Spridningsmått

Ett tänkbart spridningsmått ärvariationsbredden – skillnadenmellan störstaochminstavärdet.Dettaärdockintelämpligtnärvärdenalängstutiflankernaärfå.Skillnadenmellankvartilernasägermer.Halvaskillnadenmellankvarti-lernakallaskvartilavvikelsenochärettspridningsmåttsomdåochdåanvändsförstoramaterial.

Vibehöverdockspridningsmåttsomäranvändbaraförbådestoraochsmåmaterial.Ennäratillhandsliggandeidéärattbildamedelvärdetavdeenskildavärdenasavståndfrånmedelvärdet,dvs.

||1

1xx

n

n

ii −∑

=

Faständettamåttverkarvettigt, användsdet inte ipraktiken.Detberorfrämst på att statistiska teorier, baserade på det måttet, skulle bli onödigtkomplicerade. Man får betydligt enklare teorier om man i stället använderdetkvadratiskamedelvärdetavdeenskildaavvikelserna.Detmåttetbenämnsstandardavvikelsen.Detbetecknasmeddengrekiskabokstavenσ (sigma),ochdefinierasgenomformeln

2

1)(1 xx

n

n

ii −= ∑

=

σ

(3)

28


Innebördenavdennaformelärkanskeintesålättattföreställasigintuitivt.Programmet stdgiss.mär till förattövaupp intuitionen.Dufår sematerialsomtasframslumpvis.Förvarjestolpdiagramkandumedögonmåttförsökabedömamedelvärdeochstandardavvikelse.EfterEnterfårdusesvaret.

Förstatistiskslutledninganvändsenmodifieradformavstandardavvikelse,s,därmandividerarmedn–1iställetförn.Denvariantenkanintemotiverasutifråndenbeskrivandestatistikensståndpunkt.

3.5 Statistisk hypotesprövning

Detfinnstvåhuvudtyperavstatistiskslutledning.Denenatypenkallasskatt-ning.Enskattninggårutpåattfinnaettapproximativtvärdepåenstorhetsomärkarakteristiskförenpopulation–ettmedelvärde,enproportione.d.–genomattutgåfrånmätningarpåettstickprov.Exempelviskanstickprovetsmedelvärde x tas som skattning av populationens medelvärde m. Vill manangeosäkerhetenidennaskattning,angermanettintervall,sommedvisssan-nolikhetinnehållerm.Ettsådantintervallkallaskonfidensintervall.

Denandratypenavslutledningsförfarandenärhypotesprövning.Viskahärendastpresenteradenstatistiskahypotesprövningensgrundidéer.Densomvilllärasigdetekniskadetaljernahänvisastilluniversitetskurseristatistik.

Envanligfrågeställningistatistiskaundersökningaräromtvåpopulatio-nerskiljersigåtinågotväsentligtavseende.Detkanrörasigomutprovningav läkemedel,därman jämfördemsomfåttmedletmeddemsominte fåttdet.Ellermanvilljämföranäringsvärdetitvågrödor,t.ex.tvåolikavetesorter.Hypotesenattdetvåpopulationernainteskiljersigåtkallasnollhypotesen(ef-tersomskillnadenmellanmedelvärdenafördetvåpopulationernadåärnoll).NollhypotesenbetecknasH0.Närdentestas,ställsdenemotenannanhypotes,sombenämnsmothypotesenochbetecknasH1.Vadmothypotesenutsägerberorpåsammanhanget.OmH0innebärattettvisstmedelvärdemärlikamednoll,kanH1varam ≠ 0,m>0ellerm<0,beroendepåvilkenkunskapmanharinnantestetutförs.

Somexempeltarvidensituationendomstolstårinför,närdenskadömaiettbrottmål.LåtossantaattåklagarensbevisningbaseraspåettDNA-prov,somstarktpekaririktningattdenåtaladeärskyldig,menattdetändåfinnsutrymmeförtvivel.H0äridettafallhypotesen”oskyldig”medanH1är”skyl-dig”.GodtasH0,frikännsdenåtalade.FörkastasH0,betyderdetattiställetH1godtas,dvs.domenblirfällande.BeroendepåomH0ärsannellerfalsk,ochberoendepåomH0godtasellerförkastas,fårviföljandefyramöjligheter:

2�

Om statistik

H0 sann H0falsk

H0godtas + –

H0förkastas – +

Attgodtanollhypotesomdenärsann,ochattförkastadenomdenärfalsk,ärvadmanönskar.Därförharviskrivit+ibådaderutorna.Deövrigarutornaärmarkerademed–.Deinnebärattbeslutsfattarenmisstagitsig.Vilketavdetvå felenärvimestangelägnaomattundvika: förkastaensannnollhypotesellergodtaenfalsk?

Attförkastaensannnollhypoteskallasfel av första slaget.Detärdensortensfelmaniförstahandvillundvika.Därförarrangerasenstatistiskhypotespröv-ningsåattsannolikhetenförfelavförstaslagetärlitet.Vilkensannolikhetsomäracceptabel,berorförståspåbeslutssitutationen.Ivårträttssamhälleönskarvienförsvinnandelitensannolikhetförattfällaenoskyldig.Iandratestsituatio-nerkanviaccepteraenstörrerisk.

Denstörstasannolikhetmedvilkenviaccepterarattförkastanollhypote-sen,omdenärsann,kallastestetssignifikansnivå(äv.risknivå).Ivetenskapligasammanhangär5%ennivåmanoftaväljer.Ommanförkastarnollhypotesenvidetttestmed5%signifikansnivå,brukarmansägaattresultatetärsignifi-kantpå5%-nivån.

Politiskaopinionsundersökningaråtföljs av statistiskahypotesprövningar.Opinionssiffrorna brukar publiceras med vissa mellanrum. Man iakttar dåupp-ochnergångarideolikapartiernasprocenttal.Oftaberorförändringarnapåslumpen,tystickprovenbrukarintevarastörreäntusentaletpersoner.Närenförändringsägsvarastatistisktsäkerställd,betyderdetattmantestatnoll-hypotesenattpartietharoförändradandelsympatisörer,ochförkastatdennapå5%-nivån.

Enhypoteskanaldrigverifierasellerfalsifierasmedelststatistiskhypotes-prövning.Vadinnebärdetdåiettvetenskapligtsammanhangattförkastaennollhypotes?Detkanmedföraattmanrapporterarenvissskillnadmellantvåpopulationer,faständetbararåkatblienslumpmässigskillnadmellanstick-proven.Ochsådantär inteallssällsynt, tytestarmanrutinmässigtpånivån5%,kommercaentjugondelavallasituationer,dåingenskillnadfinns,attledatillfalsklarm.

Efterettendastatistiskttestärettvetenskapligtresultataldrigsäkerställt.Tes-tetärbaraettsållningsinstrument.Närettresultatrapporterassomsignifikant,ärdetensignaltillandraforskareattundersökasammasak.Förstnärmångaforskareharnåttsammaresultat,kandetvinnavetenskapligterkännande.

30


Skulledenvedertagna signifikansnivån sänkas, så skulle vi få färre fel avförstaslaget,mentillprisetavattfleravdeeffektersomverkligenfinnsskulleundgåuppmärksamhet.Dettaärettdilemmasomvimåstelevamed.Innebör-deninseslättomviharneurosedynkatastrofenpåsextiotaletiåtanke.Statis-tikenöverfosterskadortyddepåenuppgångavenvisstypavmissbildningar.Närvardetdagsattslålarm?Hademanvaritalltförräddförfalsklarm,skulledet ha tagit längre tid innan man kunde identifiera den omständighet somhadeorsakatuppgången.

31

4. Om sannolikhet

4.1 Träffsannolikhet vid flera skott

Duhar lärtdigendelomsannolikhet igymnasiet,ochsomofficerhardumångagångertalatomträffsannolikhet.Vibörjardärförmedettdiagnostisktexempel:Duskjuterfleraskottmotettochsammamål.Viantarattförhål-landenaärlikartadeförvarjeskott,attduriktarpånyttvarjegångduskjuterochattskottendärförskjutsoberoendeavvarandra.Förvarjeskottärträff-sannolikheten0.3.Hurstorärsannolikhetenförattfåminstenträff,omduskjuter

• tvåskott?

• treskott?

• fyraskott?

Läsintevidareförränduharförslagtillsvarpådetrefrågorna.Lösningarnafinnerduiavsnitt4.6.Äralladinatresvarrätta,såkandutroligentillräckligtomsannolikhetfördinastudieriMilitärteknik.

DettaexempelhariblandanväntsförattintroducerasannolikhetpåkurservidFHS.Någrahardärvidsvarat0.6pådenförstafråganoch0.9pådenan-dra.Närdesedananväntsammaresonemangpådentredjefrågan,ochdåfåttsvaret1.2,hardeförståttattnågotärfel.Deharvetatattensannolikhetaldrigkanvarastörreän1.

Ambitionsnivånidettakapitelärattduskavetavadsannolikhetärochvadettuppgivetvärdepåensannolikhetinnebär,samtattduskakunnaberäknasannolikheterförsammansattahändelseravungefärsammakomplexitetsomi

32


dediagnostiskafrågorna.Idettaingårattkunnatolkadiagramsominnehållersannolikhetsinformation.

4.2 Slumpmässiga försök

Ettförsöksägsvaraslumpmässigtomdetkanutfallapåolikasättdåförsöketupprepas,ochdärkommandeutfallintemedsäkerhetkanförutsägas.Skjut-ning är ett exempel på slumpmässiga försök. Du kan i allmänhet inte vetasäkertomskottetkommeratt träffaellerbomma.Ettannatexempelär tär-ningskast.Närdukastarenvanligtärningkanduintepåförhandvetavilketögontalsomkommerattvisasig.

Närvinuintroducerarsannolikhetsläransbegrepp,kommerviattanvändaenklaexempelsåsomskjutning,tärningkastetc.somillustration.Omettför-sökutförsngångerochenvisshändelseAdärvidinträffarfgånger,sägsfvarafrekvensenförA.Kvotenf / nkallasfrekvenskvotenellerrelativafrekvensenförA.Dessabegreppintroduceradesikapitel3.

Programmetsymmtern.märtillförattsimulerakastseriermedensymme-trisktärning.Duväljerettantalkastochfårsedansestolpdiagrampåniokast-seriermeddetvaldaantaletkast.Diagrammenvisarderelativafrekvensernaförtärningenssexolikaögontal.EfterEnterfårdusenioseriertillosv.Villduändraantaletkastivarjeserie,matarduindetnyaantaletföreEnter.Däreftergällerdetantalettillsettnyttmatasin.

Börjamedkortakastserier, t.ex.påsexkast.Dufinnerattstolpdiagram-mensutseendenvarierarkraftigttillföljdavslumpen.Ökasedantill,förslags-vis,60kastperserie.Ävennufinnerduattdiagrammenvarierar,menintelikakraftigt. Ju större kastserier, desto mindre blir variationerna.Väljer du flerahundratusenkastellermer,kanmannästaninteseattdiagrammenärolika.Dessutomärstolparnaivarjediagramnästanlikahögavidstorakastserier.Dettyderpåattdensimuleradetärningenärsymmetrisk.

Prövanuprogrammetfalsktern.m.Ävenhärärdetsvårtattseskillnadmel-landiagrammenförstorakastserier.Menhärärstolparnaiettdiagramintelika,vilkettyderpåatttärningenärosymmetrisk.

Dessaexperimentillustrerarenföreteelsesomkallasrelativafrekvensernasstabilitet.Innebördenär,attsålängeenförsöksserieärkort,fluktuerarrelativafrekvensen för envisshändelsemärkbart,menallt eftersomantalet försök iserienökar,såminskardessafluktuationer,ochdenrelativafrekvensentycksstabiliserasignäranågotvisstvärde.

Slumpentycksalltsåipraktikenlydaensortslagellerprincip,somviut-tryckersomattderelativafrekvensernastabiliserarsigvidmångaförsök.Omduintekännerdigövertygad,såkanduocksåprövaprogrammetupprepn.m,

33

Om sannolikhet

somuppreparettvisstförsöktillsdusjälvavbryterochsommedvissamellan-rumvisardenrelativafrekvensenentänkthändelse.

4.3 Sannolikhet

Vibetraktarifortsättningenderelativafrekvensernasstabilitetsomettempi-risktfaktum.FörvarjehändelseA,somkaninträffavarjegångettvisstförsökupprepas,finnsdetdåetttalsådantattdenrelativafrekvensenförAsvängerinsigalltnärmaredettataljuflerförsöksomgörs.Dettatalkallarvisanno-likhetenförA.

Relativafrekvenserärnågotsomfinnsiverkligheteni likahöggradsomatthändelserinträffariverkligheten.MensannolikhetenförAärettteoretiskthjälpbegrepp.Görvienförsöksserieochprotokollfördenordentligt,harrela-tivafrekvensenförAviddenförsöksserienettalldelesbestämtvärdesomvikanange.MensannolikhetenförAkanaldrigbestämmasmedfullsäkerhet,ivarjefallinteexperimentellt.

RelativafrekvensenförAbetecknarvir (A)ochsannolikhetenP (A).Medanr (A)hänförsigtillenvissförsöksserie,hänförsigP (A)tillsjälvaförsöketska-raktärutanattvaraknutentillnågonvissförsöksserie.Relationenmellanr (A)ochP (A)kanuttryckassåhär:

• P (A)kantjänasomenförutsägelseavdetungefärligavärdetavr (A)videttstortantalförsök.

• r (A)kananvändassomenskattningP (A),somäralltsäkrarejuflerförsöksomgörs.

Dettanärasambandmellanrelativfrekvensochsannolikhetgörattnågraegenskaperhossannolikheterföljerdirektavmotsvarandeegenskaperhosrela-tivafrekvenser.Begrundaföljande:

1. FörvarjehändelseAgälleratt0≤P (A) ≤1.

2. OmAäromöjligärP (A)=0.OmAsäkertmåsteinträffaärP (A)=1.

3. Förtvåhändelsersomuteslutervarandra,gällerP (AellerB)=P (A)+P (B).

Kommentarer: Antag att ett försök, där A kan inträffa, utförs n gånger(under lika förutsättningar varje gång).Låt f (A)betyda absoluta frekvensenför A, dvs. antalet gånger A inträffat under försöksserien. Då gäller förstås0 ≤ f (A) ≤ n. Dividerar vi båda leden i båda olikheterna med n, får vi0≤r (A)≤1.Dettagällerförallaslagsförsök,allatänkbaraförsöksserieroch

34


allaslagshändelser.Eftersomr (A)kankommahurnäraP (A)somhelst,barangörstillräckligtstort,måsteäven0≤P (A)≤1.

OmAäromöjlig,dvs.A intekan inträffa, är f (A)=0 för allan.Alltsåär alltid r (A)=0, varförP (A)=0.Om tvärtomA säkertmåste inträffa, ärf (A)=n ,varavr (A)=n /n=1förallaförsöksserier.AlltsåärP (A)=1.

AttAochButeslutervarandra–AochBäruteslutande,sommanocksåsäger–betyderattintebådeAochBkaninträffaiettochsammaförsök.Vissahändelseruteslutervarandra,vissakaninträffasamtidigt.Exempel:Videtttär-ningskastkanögontalet inteblibådeuddaoch jämnt.Menhändelsernaattögontaletäruddaochattdetärstörreäntvåutesluterintevarandra.Blirdetentreaellerfemma,inträffarbådadenämndahändelserna.

Med”A ellerB”menar vi att antingenA ellerB inträffar.KanA ochBinte inträffa samtidigt, måste det antal gånger A eller B inträffar vara likamedsummanavantaletgångerAinträffarochantaletgångerBinträffar,dvs.f (AellerB)=f (A)+f (B).

Dividerarvimednfårvir (AellerB)=r (A)+r (B)ochalltsåmåstesammarelationgällaförsannolikheterna,dvs.P (AellerB)=P (A)+P (B).

Egenskaperna1–3äralltsåintesärskiltkonstiga.Mendeärgrundläggandeförallräkningmedsannolikheter.Detkantyckasattmanintekankommasålångtmeddem.Menmedrimligatilläggsantaganden,kanmanbyggauppenfruktbarsannolikhetskalkylutifråndessaegenskaper.

Dentredjeegenskapenlederomedelbarttilltvåresultatsomvihäruttryck-eriformavsatser.Denenasatsenhandlaromkomplementärahändelser.TillvarjehändelseAfinnsenhändelseA*sådanattAellerA*måsteinträffaochattdeuteslutervarandra.A*kallaskomplementettillA.SjälvfalletärocksåAkomplementettillA*.

Sats 1. För en godtycklig händelse A gäller P(A*) = 1 – P(A).

Bevis:EftersomAochA*äruteslutandegällerP(AellerA*)=P(A)+P(A*).MeneftersomAellerA*måsteinträffa,ärP(AellerA*)=1,varavsatsenföljer.

Denandrasatsenärengeneraliseringavegenskapen3tillettgodtyckligt(ändligt)antalhändelser:

Sats 2. För n godtyckliga händelser A1,A2, ...,An, som parvis utesluter varandra vid ett slumpmässigt försök, gäller

P (A1ellerA2eller...ellerAn)=P (A1)+P (A2)+...+P (An)

35

Om sannolikhet

Densistnämndasummankanocksåskrivas

∑=

n

iiAP

1)(

vilketoftakännsbekvämare.Omduintekommerihågsummatecknet,sågåtillbaksochläsomdetikapitel3isambandmedmedelvärde.

4.4 Utfallsrum

Hittillsharvibetraktatdetsombekantvadenhändelseärförnågot.Ordetärjuvälkäntfrånvardagsspråket,ochframtillförstahälftenav1900-taletföre-komingensträngdefinition.Denbristenleddeemellertidtillenradsvårighe-ter, sommanslapp ifrånnärbegreppetutfallsruminfördes (avKolmogoroff1930).

Exemplettärningskasträckerförattillustreraidén.Vidkastmedvanligtär-ninguppfattarviendastsexolikautfallsommöjliga.Varjesidapåtärningensvararmotettutfall.Atttärningenkanliggapåmångaolikasätt,närenvisssidaäruppåt,bryrviossinteom.Utfallenbetecknarvimedsiffrorna1–6.Mängdenavdessautfall,alltså{1,2,3,4,5,6},kallarvitärningskastetsutfallsrum.

Idettafallärutfallsrummetändligt.Detfinnsoändligautfallsrum,menvigårinteinpådensvårighetenhär.Förvarjeförsökärutfallsrummetmängdenavallautfallsomkanerhållas.Ifortsättningenbetecknarviettförsöksutfalls-rummedU.MedenhändelsemenarvidåendelmängdavU.

Dethärtycksiförstoneintestämmameddenvardagligauppfattningenavvadenhändelseär.Menomvitarnågraexempelpåhändelsersomkaninträffavidtärningskast,såserviattvarjehändelsesvararmotenvissdelmängdavutfalls-rummetU={1,2,3,4,5,6}.Tillvarjehändelseangerviocksådesskomplement.

Händelse formulerad i ord Mängd Komplement

Udda antal ögon {1,3,5} {2,4,6}

Minst tre {3,4,5,6} {1,2}

Högst tre {1,2,3} {4,5,6}

Två eller fyra {2,4} {1,3,5,6,7}

KomplementettillenhändelseAbeståralltsåavallaelementiutfallsrum-metsomintetillhörA.Fördensomkännertillmängdläranssymboliknämnerviocksåatt”eller”svararmotunionavmängder.Händelsen”uddaantalögonellertvåellerfyra”äralltså{1,3,5}∪ {2,4}=={1,2,3,4,5}.

36


Komplementet till U är tomma mängden, Ø, vilket är en omöjlig hän-delse,eftersomnågotavutfalleniutfallsrummetalltidinträffarvidettförsök.P (U)=1ochP (Ø)=0.

4.5 Likformig sannolikhetsfördelning

Sats2ovanskavi tillämpapåenviktig typavsituationerdärsannolikheterkanberäknasrentteoretiskt.Vianknyterånyotill tärningskast förattsedangeneralisera resonemanget. Vi antar att tärningen är symmetrisk och kastasså att alla utfallen 1–6 är lika sannolika. Då råder det som kallas likformig sannolikhetsfördelning.Tillämpar vi Sats 2 på hela utfallsrummet erhåller vi1=P (U)=P (1)+P (2)+P (3)+P (4)+P (5)+P (6).

Dåtärningenärsymmetriskäralladessasexsannolikheterlika.DärförärP (1) / P (2) / P (3) / P (4) / P (5) / P (6) = 6

1 . Därur kan vi räkna ut san-nolikheten för vilken händelse som helst i utfallsrummet. Exempelvis ärP (uddaantal)=P ({1,3,5})=P (1)+P (3)+P (5)= 6

1+ 6

1 + 61 += 6

3 .Dettaresultatgeneraliserarvinutillgodtyckligahändelseriettgodtyckligt

ändligtutfallsum:

Sats 3. Om U är ett ändligt utfallsrum med likformig sannolikhetsfördelning och A är en godtycklig händelse i U, så gäller

P (A )=antaletelementiAantaletelementiU

Avhistoriska skälkallasdenna formel förklassiska sannolikhetsdefinitio-nen.Förossärdettadockinteendefinitionutanettresultat.Mennärsan-nolikhetsläranföddespå1600-taletbetraktadesformelnsomdefinitionenpåsannolikhet.

FöratträknautsannolikhetenförenhändelseA iettändligtutfallsrumUmedlikformigsannolikhetsfördelningbehövervialltså”bara”räknaantaletelementiAochU.ÄvendåAochUinteärstörreänatträknandettarrimligtid,finnsensvårighet,nämligenatthållaredapåvilkaelementsomärräknade,såattmanintehopparövernågotellerräknarnågotmeränengång.NärAochUärsåstoraatträknandettarlångtid,behövermanmetoderattberäknaantaletelementiengivenändligmängd.Sådanametoderhörtillkombinatori-ken,vilkenviintegårinpåhär.Iställetvisarvinågraexempel,därräkningenantingenkanutförasmanuelltellermedhjälpavdatorn.

Exempel: Dukastar två symmetriska tärningar.Ange ett lämpligtutfalls-rum.Beräknasannolikhetenförattsummanavögontalenära)likamed7,b)minst9.Funderasjälvetttaginnanduläserigenomdiskussionen.

37

Om sannolikhet

Diskussion:Etttänkbartutfallsrumförbådafrågornaärmängdenavmöjligaögon-summor, dvs. {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.Men sannolikhetsfördelningen på detutfallsrummet är inte likformig. För atträkna ut de olika utfallens sannolikhe-ter, måste man ändå återföra dem på ettutfallsrum med likformig fördelning.Ett sådant är mängden av alla ordnadepar (ö1,ö2) där ö1 är den ena tärningensögontalochö2denandras,dvs.mängdenU = {(1,1),(1,2),(1,3),...,(5,6),(6,6)}. För

atträknaantaletelementidesöktahändelsernamåstedudockskrivautallatrettiosexelementeniU.DetbliröverskådligareattangeUigrafiskform,t.ex.såhär,därvarjeprickrepresenterarettelementiU.

Vi kan låtaden vågräta axeln representeraden första tärningenochdenlodräta den andra. De utfall, för vilka ögonsumman är lika med 7, ligger idiagonalenfrån(1,6)till(6,1).Antaletelementidenhändelsenär6.AlltsåärP (ögonsumman=7)= 6

1366)7ögonsumman( P .

28,0)9ögonsumman( 185

3610 P .

= 61 .

De utfall, för vilka ögonsumman är minst 9, ligger i diagona-len från (3,6) till (6,3) eller däröver. Antalet av dessa är 10, varavP (ögonsumman≤7)=

61



3610 P .=

61



3610 P .≈0,28.

Ärantalet tärningar intemerän två,kanmanalltså lätt åskådliggöra si-tuationen.Menredanförtretärningarbörjardetblisvårt.Meddatornshjälpkanvidockräknaantaletelementihändelseravlikartadtyp.Körprogrammettcount.m–medhjälpfilerna tvotern.m, tretern.m, fyrtern.m, sextern.mochtiotern.m–ochundersök liknandefrågeställningar.för två, tre, fyra, sexochtiotärningar.

4.6 Oberoende händelser

AntaattvikännerP (A)ochP (B),därAochBärhändelsersomkaninträffavidettvisstförsök.Imångatillämpningarönskarmanbestämmasannolikhe-tenförattbådeAochBinträffar.

Somexempeltarviånyokastmedsymmetrisktärning.VäljA={1,2,3},B={2,3,4,5}.SättC=AochB,dvs.närCinträffarbetyderdetattbådeAochBinträffar.DåärC={2,3}.NärtärningenärsymmetriskerhållervimedelstSats3attP (A)= 6

3 =21 ,P (B)= 6

4= 3

2 ochP (C )= 62 =3

1 .IdettaexempelgälleralltsåP (AochB)=P (A)•P (B).

Dettasambandgällerförvissaparavhändelser,meninteföralla.VäljervisammaAsomnyss,menB={4,5,6},erhållerviP (A)•P (B)= 2

1 • 21 = 4

1 .Men

123456

123456

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Figur 4.1. Ett utfallsrum vid kast med två tärningar. (Källa: FHS)

38


AochBharingetgemensamtelementochkandärförinteinträffasamtidigt.AlltsåäridettafallP (AochB)=0.Fråganäralltså:NärärP (AochB)likamedP (A)•P (B)?Viföredrarattgesvaretiföljandesats:

Sats 4.Om A och B är oberoende, så är P(A och B) = P (A) • P(B).

Detfinnsemellertidenhakehär.Vibehöverendefinitionav”oberoende”.Ideflesta framställningaravsannolikhetsläransägsAochBvaraoberoendejustomP (AochB)=P (A)•P (B).DetvikallatSats4ärdåinteensatsutanendefinition.Vibehöveremellertid intefördjupaoss idennasvårighet, ty ipraktikenbehandlarvitvåellerflerahändelsersomoberoendeomvikanantaattdeinteharnågotorsaksmässigtsamband.Sats4kanutvidgastillmeräntvåhändelserochblirdå

Sats 4′. Om händelserna A1, A2 ,..., An är oberoende, så är

P(A1 och A2 och ... och An) = P(A1) • P(A2) ... + P(An)

Anm:Medmängdläranssymbolikskriverman”A∩B”iställetför”AochB”.AttbådeAochBinträffarbetyderalltsåattskärningenmellandessahändelserinträffar.DåA={1,2,3}ochB={2,3,4,5}äralltsåA∩B = {2,3}.

Nuärviredoattlösaskjutproblemetikapitletsbörjan.Viantogattskottenavlossadesoberoendeavvarandra,vilketkanvararimligtommansiktarpånytteftervarjeskott.Dåärsåvälhändelserna”träff”som”bom”itvåolikaskottoberoende.LåtAi varahändelsen”träffiskottnri”,dåi=1,...4.Händelsen”bomiskottnri”betecknasdåAi*.EnligtantagandetärP (Ai)=0.3förvarjei.FrånSats1fårvidåP (Ai*)=1–P (Ai)=1–0.3=0.7.Genomattanvändasatserna1och4′fårvidärförföljande:

• Tvåskott:P (minstenträff)=1–P (bådabommar)=1–P (A1*ochA2*)==1–P (A1*)•P(A2*)=1–0.7•0.7=1–0.49=0.51

• Treskott:P (minstenträff)=1–P (allabommar)=1–P (A1*ochA2*ochA3*)==1–P (A1*)•P (A2*)•P (A3*)=1–0.73=1–0.343≈0.66

• Fyraskott:P (minst en träff) = 1 – P (alla bommar) = 1 – P (A1* och A2* och A3*

ochA4*)==1–P (A1*)•P (A2*)•P (A3*)•P (A4*)=1–0.74=1–0.2401≈0.76

3�

Om sannolikhet

4.7 Stokastiska variabler

Utfallavförsökbestårimångaviktigasammanhangavattstorheterantarvissavärden. En storhet, vars värde varierar slumpmässigt från försök till försök,kallasenstokastisk variabel (förk.s.v.).Ärantaletmöjligavärdenändligt(elleroändligtmenuppräkneligt)sägsvariabelnvaradiskret.Viharredansettnågraexempelpås.v.,nämligensummanavögontalenvidkastmedtärningar.Idettaavsnittnämnerviytterligaretvåviktigatyperavs.v.

Denförstatypenärdes.k.binomialfördeladevariablerna.Exempelpåenså-danfårviomvibetraktarenseriepånskottsomskjutsoberoendeavvarandra,vartochettmedträffsannolikhetenp.LåtXbetydaantaletträff.(Detärvanligtattbetecknastokastiskavariablermedstorabokstäver.)Dennas.v.variabelärbinomialfördelad.

Varfördessfördelningkallasså,gårviförbihär.Menvikanförståsbytautskottserienmotvilkentypavförsöksomhelst,somutförsfleragångerundersammabetingelser,ochdär envisshändelseAhar sammasannolikhetvarjegång.XfårdåbetydadetantalgångersomAinträffar.

OmP (A)=pochförsöketutförsngånger,betecknasdenfördelningavX,somdärviderhålls,Bin(n, p).DevärdenXkanantaär0,1,...,n.SannolikhetenP (X=k)ärenfunktionavk,somkallassannolikhetsfunktionenförX,oftabetecknadpX(k).

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.05

0.1

0.15

0.2 Bin(n,p)n= 20p= 0.3m= 62.0494

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.05

0.1

0.15

0.2

Figur 4.2. Stolpdiagram över en binomialfördelning och ett stickprov på denna av storlek 100. (Källa: FHS)

40


Denövrebildenifigur4.2påförgåendesidanärettstolpdiagramöversan-nolikhetsfunktionenförens.v.medfördelningenBin(20,0.3).Detkant.ex.varaantaletträffdåtjugoskottskjutsoberoendeavvarandra,vartochettmedträffsannolikheten0.3.Denundrebildenärettstolpdiagramöverettstickprovavstorleken100påsammafördelning.

Medprogrammetbinstolp.mochdesssubrutinbinstat.mkandufåframstolpdiagramövervalfriabinomialfördelningarochsedanexperimenteramedstickprovavolikastorlek,tagnapådessafördelningar.Justörrestickprovduväljer,destostörrebliriallmänhetöverensstämmelsenmellanbinomialfördel-ningenssannolikheterochstickprovensrelativafrekvenser.

Medelvärdetförettsådantstickproverhållsgenomatttillämpaformel(2)ikapitel3.Omrelativafrekvensenförutfalletkbetecknasr (k),blirstickprovetsmedelvärde

n

kkkr

0)(

n

kX kkp

0)(

Låter vi stickprovsstorleken växaobegränsat, kommer r (k) attnärma sigpx(k)ochmedelvärdetnärmarsig

n

kkkr

0)(

n

kX kkp

0)(

som kallas fördelningens väntevärde. På motsvarande sätt kan man bildastandardavvikelsen för en fördelning genom att i formeln för stickprovensstandardavvikelse(formel(3),kapitel3)bytautr (k)motpx(k).MankanvisaattomXärfördeladBin(n,p),såharXväntevärdetnpochstandardavvikelsen

)1( pnp .Denandratypavs.v.,somvihärnämner,ärdenormalfördelade.Dessahör

till gruppen kontinuerliga s.v. Sådana kan vanligen anta värden i ett helt in-tervall.OmXärenkontinuerligs.v.såärP(X=x)=0förvarjex.Därförkanfördelningenavenkontinuerligs.v.inteangesmedensannolikhetsfunktion.Iställetangermanförallaaochb,dära<b,sannolikhetenförattXliggeriinter-vallet]a,b],alltsåP(a<X≤b).Detkangörast.ex.medhjälpavdens.k.täthets-funktionenförX,betecknadfx.Kurvanifigur4.3visarhurfx kanvarabeskaffad.Förallaxärf(x)≥0.Areanmellankurvany=fx(x)ochx-axelnärlikamed1.

Areanmellanfunktionskurvanochx-axelnsamtlinjernax=aochx=b ärlikamedP (a<X≤b).Medelsttäthetsfunktionenkanmandärför,förvarjex,bestämmasannolikhetenFx(x)=P (X≤x).FunktionenFxkallas fördelnings-funktionenförX.

41

Om sannolikhet

Varjekontinuerligs.v.harettväntevärdeochenstandardavvikelse,somkanberäknasmedhjälpav täthetsfunktionen.Dessavärdenärungefär likamedmedelvärdetresp.standardavvikelsenförettstortstickprovpåX.

Normalfördeladsägsenkontinuerligs.v.Xvaraomdesstäthetsfunktionäravtypen

2

2

2)(exp

21)(

σπσmxxf X

−−= (1)

Parametrarnamochσ ärväntevärdetresp.standardavvikelsen.Självafor-melngeringenförklaringtillattenfördelningmedensådantäthetsfunktionbenämns”normal”.Detsomrättfärdigarbenämningenärattstokastiskavari-ablerigodamodelleravverklighetenoftaärnormalfördelade.Dettaberorpåensannolikhetslag,somkallascentrala gränsvärdessatsen,varsandemeningärattensummaavmångaoberoendes.v.undermycketallmännavillkorärungefärnormalfördelad.Dettaframkombl.a.vidstudietavtillfälligamätfel.Sådanauppståripraktikentillföljdavettstortantaloberoendefelkällor.

Dåx=m(=väntevärdet)harfunktionen(1)sittstörstavärde.Enföränd-ringavminnebärbaraenförflyttningavkurvanlängsx-axeln.Denövredelenavfigur4.4visartäthetsfunktionerförtreolikanormalfördelningar,allamedväntevärdet0,menmedolikastandardavvikelse:0.5,1resp.2.Deskiljersigåtendastgenomenskalningibådaaxelriktningarna.Ökarσ,såblirtäthetsfunk-tionenskurvabredareochplattare.

y : täthetsfunktionen för XXf

a b x

Figur 4.3. En möjlig täthetsfunktion för en kontinuerlig stokastisk variabel X. (Källa: FHS)

42


Denundredelenavfigur4.4visarmotsvarandefördelningsfunktioner.Justörreσ blir,destoflackarefördelningsfunktion.

Somsynesharkurvanöverennormaltäthetsfunktionnästanformenavenklocka.DenbrukarkallasGaussklockkurva–ävenGaussfelkurva–eftersinupptäckare.

Iprogrammetnostat.mstuderasstickprov,hämtadefrånnormalfördelningmedväntevärde0ochstandardavvikelse1.Därkandujämföratäthetsfunktio-nenmedstickprovetshistogramsamtfördelningsfunktionenmedmotsv.ku-muleradehistogram.Görjämförelsernaförolikavalavstickprovsstorlek.

Ens.v.XmedfördelningenBin(n,p)kanuppfattassomsummanavnobe-roendes.v.,varochenmedfördelningenBin(1,p).OmnärstortärXdärför,ochpga.centralagränsvärdessatsen,mycketnäranormalfördelad(underförut-sättningattpinteärnära0eller1).DetvisarsiggenomattstolparnastoppariettstolpdiagramöverBin(n,p)nästanöverensstämmermedtäthetsfunktionenförennormalfördelads.v.medsammaväntevärdeochstandardavvikelsesomX.Programmetbinorm.märavsettattillustreradetta.Figur4.5kommerfrånenkörningavbinorm.m,därn=100ochp=0.5.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figur 4.4. Täthets- resp. fördelningsfunktioner för tre normalfördelade s.v. med olika standardavvikelser. (Källa: FHS)

43

Om sannolikhet

25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 750

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08Bin(n,p)n= 100p= 0.5m= 505

Figur 4.5. En binomialfördelning och en normalfördelning med samma väntevärde och standardavvikelse. (Källa: FHS)

45

5. Modell och verklighet

Ordet”modell”betyderiblandförebildellernågotliknande.Konstnärensmo-dellärnågotsomfinnsiverklighetenochsomdenneavbildar.Inomforskningochutredninganvändsordetpånästanmotsattsätt,intesombeteckningpåettstyckeverklighet(V),utanpåetthjälpmedelförattbeskrivaV.Verklighetenärkomplexellerpåannatsättsvårgripbar.Modellen(M)ärenklareochmertill-gängligförstudier.OmdetfinnsgodaskälatttroattMiväsentligaavseendenliknarV,såkankunskapomMocksåvaraettslagskunskapomV.

Dukännersäkert till situationerdärmodelleranvänds förverklighetsbe-skrivning.Dethärkapitletärtillförattmednågraexempelgeenuppfattningomhurmångavarierandeslagavmodellersomförekommer.Någonfullstän-digheteftersträvasinte.Närduharsettettantalexempelkommerdusjälvattinsemångfaldenavmöjligamodeller.

5.1 Mentala modeller

Allavåraföreställningaromverklighetenkanviuppfattasommodeller,somfinnsivårahjärnor.Medvårasinnenregistrerarvidelaravverklighetenochrekonstruerar sedan–medvetet elleromedvetet–det somkanhabetydelsemensomviintekanregistrera.Dennarekonstruktionkanvikallaförenmen-talmodell.

Närduhar lärtdighitta ienbyggnadharduskaffatdigen inrebildavlokaliteterna.Omdulederenstridharduförstskaffatdigenlägesuppfattningiformavenmentalmodellavegnaochfiendensstridskrafter.

Efterdessatvåexempelkandufortsättasjälvochmedvetandegöramentalamodellersomduanvänderiolikasammanhang.

46

Lärobok i militärteknik, vol. 1: Grunder

5.2 Fysiska modeller

Bilderochskulpturerärexempelpåfysiskamodeller,ävenomviintebenämnerdemså.Däremotanvändsordetoftaomminiatyreravbilar,järnvägar,flygplanm.m.Endockaärensortsmodellavenmänniska.

Sådanamodellerkananvändasiforskningssyfte.Dockorinaturligstorlek,gjordailämpligamaterialkant.ex.användasförattstuderahurmänniskorpå-verkasavbilkrockar.Skalenligamodelleravflygplananvändsivindtunnlarförattstuderaaerodynamiskaegenskaper.Påsammasättkanskalenligamodelleravfartyganvändasförattstuderaflyt-ochstabilitetsegenskaper.Sådanaförsökutförssystematisktföratttestakonstruktioner.

Omräkningfrånenskalmodelltillnaturligstorlekkandockkrävaåtskilligtteoretisktkunnande.Detinsesomedelbartavattnågotsomfungerarbra,inteskullekunnafungerapåsammasättomalladessdimensionerförstoradesienvissskala.Detäringenslumpattenelefantärheltannorlundabyggdänenfluga.

Djuranvändsimedicinskforskningsommodelleravmänniskor.Oftaärmodellentillräckligtverklighetstrogenföratttillåtasäkraslutsatser.Mendetärvälkäntattdjurförsökiblandkanledaalldelesfel.Neurosedynkatastrofenärettextremtexempel.Heltoväntatvisadesigmänniskansfosterutvecklingiettkritisktskedevaraåtskilligtkänsligarefördenaktivasubstansenänhosnågonannanundersöktart.Detillustrerarviktenavatthelatidenvaramedvetenomattmodelleninteärverkligheten.

5.3 Matematiska modeller

Enmodellbehöver intehanågonyttre likhetmedsitt föremål.Vi talarommodellävenomdetbaraärenellerettfåtalaspekterpåföremåletsomåterfinnsimodellen.Enmatematiskformelkanuttryckaensådanaspekt.Vigerhärtreenklaexempel.Ideolikadelarnaavdennalärobokfinnerdumångaandrama-tematiskaformler.Hadåiåtankeattdeinteuttryckerverklighetensjälv,baramerellermindregodamodelleravverkligheten.

5.3.1 Boyleslag

OmmanharengasinneslutenienbehållareochvarierarbehållarensvolymV,underdetatttemperaturenhållskonstant,såvarierargasenstryckp.Boylefanngenomexperimentattsambandetungefärligenkanbeskrivasmedformeln

p= kV

därkärenkonstant(sombestämsavgassorten,gasensmassaochtemperaturen).

47

Modell och verklighet

Självaformelnkansägasvaraenmodellavgasen(ellermeregentligt,enmo-dellavsambandetmellantrycketochvolymen).Dennamodellharvidsträcktanvändning.Menmodellenkanbyggaspåsåattdenblirännumerverklig-hetstrogen,vilketskertillprisetattformelnblirmerkomplicerad.VanderVaalföreslogföljandemodell,somgällermedstörrenoggrannhetänBoyles:

p= k bV – a V 2

där a och b är konstanter. Genom a tar man hänsyn till volymen av självagasmolekylernamedandensistatermentarhänsyntillattattraktionenmellanmolekylerna ökar då deras genomsnittliga avstånd minskar. Det finns ännuexaktaregasmodeller,mendeärocksåmerkomplicerade.

5.3.2 Frittfall

Ommansläpperenkroppilufttomtrumochstuderarhurfallsträckansberoravfalltident,såfinnerman

s=gt2

2därgärtyngdaccelerationen.Dennamodellärmycketnoggrann.Mendenärinteheltexakt,delsberoendepåattgravitationsfältetinteärexakthomogent,delstillföljdavrelativistiskaeffekter(upptäcktaavEinstein).Finnsdetluftirummetblirnoggrannhetensämre.Modellersomtarhänsyntillluftmotstån-detärbetydligtmerkomplicerade.

5.3.3 Lanchestermodeller

FrederickWilliamLanchesterhargettnamnåtvissaenkla,analytiskamodelleravstrider,därmanihuvudsakbarabeaktardestridandeparternasnumerärer.Fråganärvilkenbetydelsenumerärernaharomallaandraegenskaperhosdestridandeantasvaralika.Vikant.ex.tänkaosstvåskyttekompanier,somsam-tidigtöppnareldmotvarandraochfortsätterskjutatillsdenenasidanärheltutplånad.

AntagattA-sidanhar100enheterochB-sidan80enhetervidstridensbör-jan.HurmångakommerdåA-sidanatthakvarnärallapåB-sidanärskjutna?Görenegenbedömninginnanduläservidare!

Härkommerförstenformel,därbegynnelsevärdenakanväljasgodtyckligt.KallaA-sidansstyrkaxochB-sidans y.Vidstridensbörjanär x=aochy=b.Understridensgångminskarbådexochy.Förderassambandkanmanhärledaformelnx2=y2+a2–b2.

48


Den härleds med hjälp av den matematiska analysens metoder, var-förmodellensägsvaraanalytisk.Sättervi ina=100ochb=80,erhållervix2=y2+3600.

DåB-sidanärutplånadäry=0,vilketgerx=60.Hadedugissatnågotidenvägen?

Oavsettdittsvar,måsteviånyopåminnaomattmodelleninteärverklig-heten.Närmananvänder enmodellmåsteman, så gottmankan,bedömai vilka avseenden modellen skiljer sig från verkligheten. Ibland kan skillna-denvaraobetydlig, iblandärdeså storaattmodellen lederalldeles fel.Kandenna enkla Lanchestermodell användas i praktiken? Ger den någon anvis-ning för en taktiskdoktrin?KanskeSovjet engång tog intryckavden.En-ligtsovjetiskdoktrinskullemanundvikastridomdenegnastyrkanintevarminsttregångerfiendens.Antagatta=300ochb=100.Insättninggerdåx2=y2+3002–1002=y2+80000.NärB-sidanärutplånad,dvs.y=0,ärx= 80000 ≈283.EnligtmodellenharA-sidanalltsåkvardrygt94%avsinstyrkaefterdenstriden.

Sådanahärenklamodellerkangeenvissinsikt.Menmanfårintelitapåenmodellförrändenomsorgsfulltprövats.Lanchestersmodelltestarmanförståsinteiverkligaförsök.Ettannatsättatttestaenmodellärattkonstrueraandramodelleravsammatypavverklighetochprövadeolikamodellernasinbördesöverensstämmelse.

DennubeskrivnaLanchestermodellenskiljersigbl.a.iföljandetvåavseen-denfråndenverklighetdenavsesrepresentera:

1. Betraktelsesättetärkontinuerligt:A-ochB-sidansstyrkarepresenterasinteavantalutanavkontinuerligtvarierandestorheter.

2. Modellenärdeterministisk.Detbetyder,attmedettgivetutgångslägeblirslutresultatetalltiddetsamma.Men iverklighetenkommerresultatenattvarierafrånförsöktillförsöktillföljdavslumpen.Enmodellsomtarhän-syntillslumpensinverkankallasstokastisk.

Meddatorerärdetlättattskapastokastiskamodeller.ViskanedanrefereratillnågravarianterpåstokastiskaLanchestermodeller.

5.4 Dynamiska modeller och simuleringar

Enmodelldärtidfinnsinbyggd,ochdärtillståndetförändrasmedtiden,kanvikallaendynamisk modell.Omdärtillverklighetensförändringsmekanismerfinnsavbildadeimodellen,sägerviattskeendetimodellenärensimuleringavverklighetensskeende.Ensimuleringkanalltsåuppfattassomenmodellavetttidsförloppmeddessinbyggdamekanismer.

4�

Modell och verklighet

Ettförsökmedlevandedjur,därdjuretanvändssommodellavmänniskan,ärensimulering.Enarrangeradbilkrock,därendockaanvändssommodellavenmänniska,ärenannansimulering.Fysiska,dynamiskamodelleranvändsimångasammanhangförattåstadkommasimuleringar.

Datorerlämparsigocksåförsimuleringar.Ivåradagarärdigitaladatorerdevanligaste.Ensådanarbetarstegförsteg.Denhareninbyggdklocka,somgene-rerardessatidssteg.Förändringarnaidatornskeralltsåsprångvis,menomtids-stegenärtillräckligtsmå,dugerdatorngotttillattsimuleraverkligaförlopp.

Programmetlanch.märendatoriseradvariantavdenovanbeskrivnaLan-chestermodellen.Idatornrepresenterasnumerärernaxochyavheltal.Närdustartarprogrammetfårduförstväljaaochb.Sedanfårduocksåväljadebäggesidornasträffsannolikheter.Därefterfårduväljahurmångapartierduvillspelaienomgång.Datorngenomfördessapartierochlevererarsedanstatistiköverresultatet.

Körförstenomgångmeddeförvaldavärdena(a=100,b=80,träffsan-nolikheterna=0.5,antaletpartier=100).Stämmermedelvärdetavresultatennågorlundavälmedovanståendeanalytiskamodell?

Detkanräckamednågrahundrasimuleringarförattduskakunnamärkaenlitenskillnad.DatormodellengernågotlägreslutvärdenförA-sidanändenanalytiskamodellen.Ökarmanvärdenapå aochbmenbibehållerpropor-tionen100:80,blirskillnadenmellandebådamodellernamindre,ochmärksnästan intedåa ochb är åtskilliga tusen.Detta tyderpå attdenanalytiskamodellenskontinuerligabetraktelsesättgynnardenstarkaresidannågot.

Modellenlanch.märmycketprimitiv.Denbyggerpåantagandetattsanno-likhetenförattA-sidanskjuternästaskottärx/(x+y),mendentarintehänsyntillskyttarnasgruppering.Ienmodifieradmodell,lanchm.m,antasskyttarnaståpålinjeochskjutapådennärmastefiendesoldaten.Därmedkantvåellerflerapådenstarkaresidankommaattskjutapåsammasoldatpådensvagaresi-dan.Dennaoundvikligaöverlappningförsämrarytterligaredenstarkaresidansslutresultat,vilketmärkssärskilttydligtomträffsannolikhetenärhög.

Enmodell,somäruppbyggdmedelstdetreprogrammenlanset.m,langrp.mochlanskjut.m,tarännubättrehänsyntilldegeometriskaförhållandena.Detmöjliggörocksåattdenenasidangrupperarsigpådjupet.Dukanexperimen-teramedolikadjupochstuderahurdettapåverkarutfallet.Stämmerresultatetmeddinintuitivauppfattning?

5.5 Ytterligare exempel

För att ge eftertryck åt det faktum, att åtskillig (kanske egentligen all)beskrivningavverklighetengörsviamodeller,nämnervihärytterligarenågraexempel.

50


Mekanismenienlottoapparatärtänktattgöraobundetslumpmässigturvalavkulor.AntagligenåstadkommerdenengodmodellavOSU(sekapitel3).

Endatorarbetardeterministisktochkandärför inteproduceraegentligaslumptal.Ens.k.slumptalsgeneratorkanbarasessomenmodellavslumpen.De erhållna talen är alltså deterministiskt genererade och kallas egentligenpseudoslumptal.

Ettstickprovkanuppfattassomenmodellavenpopulation.Ikapitletomsannolikhetanvändeviprogrammetsymmtern.msommo-

dellavensymmetrisktärning.Denstoravinstenmeddetärattvipånågrasekunderkangöraexperiment,somskulletamånaderattutföramedriktigatärningar.

Varjemodell,somskaanvändasförattdraslutsatseromverklighetenmåstetestas.Visardensigintehållamåttet,måstedenmodifierastilldessöverens-stämmelsenmedverklighetenbliracceptabel.Därvidsägermanattmodellenvalideras.

51

6. Några matematiska verktyg

Idethärkapitletpresenterasnågramatematiskahjälpmedel sombehövs fördelar av Militärtekniken. Framställningen bygger på vad du väntas ha meddigfrångymnasieskolanssamhällsvetenskapligaprogram.Dithörräkningmeddefyravanligaräknesätten,omformningavuttryckmeddessaräknesättochlösningavekvationeravförstagraden.Duförutsättsocksåvetaatttaloftabe-tecknasmedelstbokstäverochattvilkenbokstavsomhelstkanföreskrivasattbetecknavilkettalsomhelst.

Vidareförutsätterviattdukännertillpotenserochrötter,koordinatsystemochfunktioner,rätalinjensekvation,likformigatrianglarochPythagorassats,mendessasakerkommerviattrepeteraviikorthet.

Attmatematikenärettoumbärligthjälpmedelförfysikenberorbl.a.påattfysikaliskadataerhållsgenommätningar.Vadgörmannärmanmäter?Vadärdetsomframkommervidenmätning?Grundenförallmätningärräknandetavantal.Därförbörjarvidär.

6.1 Naturliga tal

Att räkna antal har väl varit ennödvändighet ända sedanmänniskorna fåttägodelaratthållaredapå.Antalenmåsteocksåkunnakommunicerastillandramänniskor.Medolikaknepkundemankommuniceraantallångtinnanräk-neordenutvecklades.

Denskriftligakommunikationenframtvingadeolikasymbolsystemförattrepresenteraantal.Vårtpositionssystem,medtiosombas,detdecimala(deka-diska)systemet,fördestillossfrånIndienviaaraberna,menkominteiallmäntbrukiSverigeförränrunt1600-talet.Idagärdetsåinförlivativårkulturattvi

52


använderdetdagligenochstundligen,utanattvikanskereflekterarsåmycketöverdet.

Du förutsättsvara förtrogenmeddetdecimala systemet.Så t.ex.börduvetaatt53248ärettkomprimeratsättattskriva5•104+3•103+2•102+4•101+8•100.

Femmanitaletär,pågrundavsinposition,värd50000osv.(Attjaghärskrev101iställetför10och100iställetför1varenbartförattbelysasystema-tikenipositionssystemet.)

Ettpositionssystemkanbyggapåvilkenbassomhelst.Justörrebasenär,destoflerolikasiffersymbolerbehövs.Tvåärdenminstamöjligabasen.Posi-tionssystemetmedbasentvåkallasbinäratalsystemet.Imångatekniskasam-manhangärdetbinärasystemetattföredraframförsystemmedandrabaser.Deendasiffersymbolersombehövsidetbinärasystemetärettorochnollor.Internträknardatorermedbinärasystemet,beroendepåattettorochnollorärlättaattrepresenteraielektriskellermagnetiskform.

Attskrivaetttalibinärasystemetärattskrivadetsomensummaavtvå-potenser.Exempelvisbetyder101101001,tolkatsomettbinärtuttryck,talet1•28+0•27+1•26+1•25+0•24+1•23+0•22+0•21+1•20=256+64+32+8+1=361.

Detbinäratalsystemetärpåsättochvisdetenklaste.Attvi föredrardetdecimalasystemettillvardagsärbl.a.därförattdetintekräverlikalångasif-ferföljder.

Dukantestadinförståelseavdetbinärasystemetgenomattskrivaomdetdecimaltskrivnatalet53248tillbinärform.Sådanaomskrivningarkommerinteattkrävasavdig,menförfullständighetensskullgerjaghärenlösning:

Vibörjarmedattskrivauppallaheltalspotenseravtvåsomärmindreän53248.Dessaär:

327681638481924096204810245122561286432168421

Den första siffran (ettan) i den binära framställningen har därför värdet32768.Drarvidetfrån53248erhålls20480.Dettaärstörreän16384var-förnästabinärasiffrablirenetta,vilkenfårvärdet16384.Drasdetfrån20480erhålls4096.Detärmindreän8192,varförnästabinärasiffrablirennolla.Senfårvienetta,varsvärdeär4096.Restenärnollor.Viharalltsåfunnitatt5324810=11010000000000002.(Indexsiffrorna10och2markerardetdeci-malaresp.detbinärasystemet.)

Detal,sompådettasättbetecknasmedelstettpositionssystem,kallarvidenaturliga talen.Vilkenbas vi änväljer,kanvilketnaturligt tal somhelstrepresenterasmedelstensvitavsiffror.Tvåolikauppsättningarsiffror,utifrånenochsammabas,representeraralltidtvåolikatal.

53

Några matematiska verktyg

6.2 Mätning av fysikaliska storheter

Exempelpåfysikaliskastorheterärlängd,tid,massa,kraft,elektriskspänningochströmstyrka,belysningsstyrkaochvärmemängd.OmnågonfrågardighurlångtdetärfrånStockholmtillUppsala,svarardukanskeattdetärca7mil.Dåharduangettavståndetmedelstenhetenmil,varvidmätetaletblev7.Allafysikaliskastorheterangesmedenenhetochettmätetal.Attfinnamätetaletförenstorhet,utifrånengivenenhet,ärattmätadennastorhet.

Såhärkandetgåtilliprincip:Förstsermanefterhurmångagångerenhe-tengåridengivnastorheten?Omstorhetenär,låtsäga,meränfyraenheter,menmindreänfem,såärmätetalet4plusmätetaletavdenöverskjutandede-len.Dennajämförsnumedenlämpligbråkdelavenheten,vanligenentiondel.Låtsägaattdenrymmersextiondelsenheter,menintesju.Dåärmätetalet4.6plusmätetaletavdennuöverskjutandedelen.Påsammasätt fortsättermanmedhundradelar,tusendelarosv.avenheten.Hurlångtmangåriuppdelningavenhetenberorpåvilkennoggrannhetmanönskar(ochkan)uppnå.

Procedurenärisjälvaverketendivision.Attstorheten=mätetaletgångerenhetenkanuttryckasiformen

mätetalet=storhetenenheten

Låtossantaattenhetenär1tum=24mmochattstorhetenär112mm.Villduuttryckastorhetenitum,erhållerdumätetaletgenomattdividera112mmmed24mm,dvs.112med24.Omduställeruppdivisionenpåvanligtsätt,serduattförfarandetöverensstämmermeddetovanbeskrivna.

Viddemest förfinade fysikaliskamätningarmankan göra idag, uppnårmanungefärtiosiffrignoggrannhet.Imatematikenfinnsingensådanbegräns-ning.Endecimalföljdkanvarahurlångsomhelst,t.o.m.oändlig.Divisionen122/24kandudrivahur långtdu vill,menhadedet rört sig omkonkretafysikaliskaobjekt,såhadedunåttengränsdärduintekundeavgöravadnästadecimalskullebli.

6.3 Proportioner

Meddivisionsförfarandetiåtankeserviattvarjepositivttaluttryckerenpro-portion,dvs.detangerhur stortnågontingär i förhållande tillnågotannat.Denegenskapenhostalenärviktig,tyenkorrektuppfattningomproportio-nerbehövs förmånga av vårabeslut.För attbedömaproportioner försökerman konkretisera dem. Ofta handlar det om proportioner mellan noll ochettellermåttligtstörreänett.Ettbrasättkonkretiserasådanaproportionerärattuttryckademiprocent–%,hundradelar.Etthundraärettförmänniskan

54


någorlundafattbartheltal,ochenjämförelsemedhundragerossengodföre-ställningomenproportion.

Avdenanledningenbördukunnaräknaomettgivetförhållandetillpro-cent: Du utför divisionen, multiplicerar kvoten med 100 och avrundar pålämpligtsätt(t.ex.tillnärmasteheltalellertilltvåvärdesiffror).Närdufårettprocenttalangivet,bördukunnaföreställadigvilketförhållandedetrepresen-terar.Omvänt:Omduiakttartvåstorheterbördukunnabedömapåettun-gefärhurmångaprocentdenenautgöravdenandra.Programmetprocent.märtillförattövauppdenförmågan.

Exempelpåproportionersombrukarangesiprocentärandelarochhaltersamtgradvisaökningarochminskningarsomt.ex.indexochräntor.

Procentangivelser lämpar sig dock inte för förhållanden som är avsevärtstörre än ett. För att konkretisera förhållanden somär åtskilliga tiopotenserstörreänett,ärdetintetillstorhjälpattvaresigangetaletmedsiffrordirektelleriprocent.Ettvanligtsättattangesådanaförhållandenärmeddecibel,dB.Viåterkommertilldettaiavsnitt7.10isambandmedlogaritmer.

Lutning:Enbackeslutning(stigning)ärettexempelpåproportioner.Medlutningenmenasförhållandet(kvoten)mellandenvertikalaochdenhorison-tellaprojektionenavbacken.Detresträckorna–backenochdetvåprojektio-nerna–utgörenrätvinkligtriangel.

Bokstävernaa,bochcbetecknarlängdernaavdenvertikalaochhorison-tellaprojektionen(kateternaidenrätvinkligatriangeln)ochbackensjälv(hy-potenusan). Backens lutning är a/b. Om t.ex. a = 76m och b = 143m ärlutningen=76/143≈0.51=51%.

Ocksåvinkelnvkananvändasförattangelutningen.Frångymnasietför-utsättsdukännatillnågravinkelmått.Dubörvetaattettvarv=360°(°=deg=grader),enrätvinkel=90°,attvarderaavdetvåövrigavinklarnaienrätvinkligtriangelärmindreän90°ochattsummanavvinklarnaiengodtyckligtriangelalltidär180°.Programmetlutning.märtillförattövauppkänslanförvinklarochlutningar.

Hur många grader bedömerduattvinkelnvifigur6.1är?Omtriangeln är skalenligt ritad, samt a = 76m och b = 143m, så ärv≈28°.Vinkelnkanalltså räknasut om a/b är känd. Omvänt be-stäms a/b entydigt av v, dvs. förettgivetvärdepåvhara/bsammavärdeoberoendeavtriangelnsstor-lek.Kvotena/bkallastangensförv,

c a

vb

Figur 6.1. Rätvinklig triangel. Hypotenusans längd är c, kateternas a och b. (Källa: FHS)

55


vilketkortareskrivsa/b =tanv.Backenslutningäralltsåtangensförvinkeln.(Meromtangensfinnsiavsnitt6.11.)

6.4 Reella tal, tallinjen och koordinatsystem

Utifråndivisionsförfarandetärdetlättattseatttalenkanrepresenterasmedpunkterpåenlinje,såsnartennollpunktochenenhetssträckaärbestämd.Pålinjennedanärpunkterna0,1och–1markerade.

11− 0 x

Förövrigapunkterpå linjenbestäms resp. talmedelstdivisionav sträckor.Varjepunktpådennalinje,somvinukallartallinjen,svararmotettochendastetttal.Varjesådanttalskrivsmedettändligtelleroändligtantaldecimaler.Dessatalkallarvidereellatalen.Varjereellttal,skiltfrånnoll,ärantingenpositivtellerne-gativt.Nollpunktenpåtallinjenbenämnsorigo.Pilspetsenmarkeraråtvilkethålltalenväxer,idettafallåthögervilketärdetvanligastedåtallinjenritasvågrätt.

Vidpilspetsenharhärangettsbokstavenx.Detärvanligtattpådetsättetangeenbenämningpådenstorhetsomrepresenteraspåengiventallinje.Mantänkersigattmätetaletfördennastorhetvarierarfråntidtilltid,ellerattvikanföreskrivaolikavärdenpådetsamma.Ensådanvariabelstorhetkallasrättochslättenvariabel.Ärdetenfysikaliskstorhetangermanocksågärnadenanvändaenheteninomklammer,[],vidpilspetsen.

Villmangrafisktvisasambandetmellantvåvariabler,ritarmanuttvåtal-linjer,envågrätkalladdenvågrätaaxeln,ochenlodrätkalladdenlodrätaaxeln.Axlarnabenämnsävenefterdevariablerderepresenterar.Variabelbeteckning-arnakanmanväljasommanvill.Detärdockvanligastattvariablerbetecknasmedbokstäverislutetavalfabetet(x ,y ,z , t ,u ,v , ...)ochkonstantermedbok-stäveribörjanavalfabetet(a ,b ,c ,d , ...).Ifigur6.2pånästasidaharvivaltdeallravanligastevariabelbeteckningarna,xochy,varvidx-axelnärdenvågrätaochy-axelndenlodräta.

Detvierhållitpådettasättkallas förettkoordinatsystem.Meddesshjälpkanviangepunkteriplanetmedhjälpavtalpar.Taleniettsådantparkallaspunktenskoordinater.Förstakoordinatenbetyderx-värdet,andrakoordinateny-värdet.Ifigur6.2harvimedelstkryssmarkerattvåpunkterochangivitde-raskoordinater.Punkten(2,3)skallbefinnasigmittovanför2påx-axelnochi jämnhöjdmed3påy-axeln.Kontrolleraattdetstämmer(inomramenförfigurensnoggrannhet).Kontrolleraävenpunkten(–3,–3).

Mycketoftaritarmanaxlarnasåattdeskärvarandraorigo,punkten(0,0).Figur6.2ärritadmedelstMatlab,som,oavsetthurskalornaärvalda,läggerdenvågrätaaxelnifigurensunderkantochdenlodrätalängsttillvänster.

56


Näraxlarnaskärvarandraiorigoavskiljerdefyradelariplanetsombenämnskvadranter.Iförstakvadrantenärx>0ochy>0.Andra,tredjeochfjärdekva-drantengenomlöperviomvifrånförstakvadrantengårmotsolskringorigo.

6.5 Relationer och funktioner

Såsnartduharförståttidénmedkoordinatsystemkanduinseattvarjepunkt-mängdiettplan,därdetfinnsettkoordinatsystem,representerarenrelationmellanaxlarnasvariabler.Ifigur6.2finnstresådanarelationerutritade:kur-vornasommarkeratsmedA,B,ochC.TittaförstpåkurvanA.Väljettx-värdesomfinnsmediA.DuserattdetbarafinnsenpunktiAsomhardetx-värdet.Därmedfinnsdetbaraettenday-värdesomhörtilldet x-värdet.Närypådetsättetbestämsentydigtavxsägsyvaraenfunktionavx.MansägerocksåattAutgörenfunktionfrånxtilly.

TittasedanpåkurvanB.Tillvarjex,utomdetivänstraändpunkten,svarartvåolikay-värden,varförBinteärenfunktionfrånxtilly.DäremotärBenfunktionfrånytillx.KurvanCslutligen,ärvarkenenfunktionfrånxtillyellerfrånytillx.

Antagattfärenfunktionfrånxtilly.Dex-värdensomfinnsmedifutgördesss.k.definitionsmängd(ävendomän,eng.domain)ochbetecknasDf .Mot-svarandemängdavy-värdenkallasfunktionensvärdemängdochbetecknasoftaVf .

-6 -4 -2 0 2 4-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

xx(2,3)

xx(-3,-3)

A

B

C

Figur 6.2. Punkter och relationer representerade i koordinatsystem. (Källa: FHS)

57


Attfärenfunktionfrånxtilly brukarskrivasy=f (x)(uttal:yärlikamedfavx).Väljermanettvisstvärdex=x1,såbetyderf (x1)dettillx1hörandey-värdet.Denvariabel,varsvärdensättsiniparentesen,idettafallx,kallasdenoberoendevariabeln,medandenvariabelsomgenomlöperfunktionensvärde-mängd,idettafally,kallasdenberoendevariabeln.Mängdenavallapar(x ,y ),sådanaatty=f (x)kallasgrafentillfunktionenf.OmkurvanAifigur6.2ärgrafentillf,såärexempelvisf (4)=–3ochf (3)=f (5)=–1.

Dettarkantanågontidattsmältabegreppetfunktionochallahithörandebegreppochtermer.Menvarförärfunktionsbegreppetsåviktigt?Kanskedär-förattdethandlaromattfåettentydigt,ettbestämt,svarpåenfråga.Vadäry,dåx=x1?Aifigur6.2geralltidettentydigtsvar,meninteBellerC.Vivilloftahaettendasvarpåenställdfråga.Låty varaenstorhetsomvivillmäta,menintekanmätadirekt.Däremotkännervifunktionssambandety=f (x)ochvikanmätax.Därmedfårviettmåttocksåpåy.Sådanaförfarandenärutom-ordentligtvanliga.Medentermometerfårvitemperaturengenomattavläsahöjdenpåenkvicksilverpelare.Strömstyrkakanvimätaviadessmagnetiskaverkningarosv.

Funktioneranvändsideflestamatematiskamodelleravverkligheten.Iav-snitt5.3gervinågrasådanaexempel.Enlångradandraexempelgesiolikadelaravboken.

Närvianvänderenfunktionkanvivaraintresseradeavenskildafunktions-värden.Menoftaärvimerintresseradeavfunktionensomhelhet:ärfunktionenväxandeelleravtagande?,hardennågotmaximum?,varväxerdensnabbast?,hurärdessförloppförstorax?osv.Sådanakvalitativaegenskaperframträdertydligastvidgrafiskframställningsomt.ex.kurvorikoordinatsystem.

Enkurvapåettpappergerocksåenskildafunktionsvärden,menintesär-skiltnoggrant.Krävsstörrenoggrannhetkanmanpresenterafunktionenita-bellform. Före datorernas tid var böcker med tabeller över olika funktionerviktigahjälpmedel.Idaglagrastabellermedfördelidatorer.Mångafunktionersvärden,somförrslogsuppitabeller,gårdocksåsnabbtatträknautmedelstdatorerattdeintebehövertabelleras.

Studietavenbitverklighetkangåtill såattviutförenseriemätningar,somresulterarientabellöverenvissfunktion.Vikant.ex.tänkaossBoylessituation,dåhanstuderadesambandetmellantrycketochvolymenhosengas.Antagatthanfickframmätvärdensomifigur6.3,därdenvågrätaaxelnrepre-senterarvolymen(V )ochdenlodrätatrycket(p)ilämpligtvaldaenheter.Detförstadiagrammetvisarbaramätvärden.Deövrigatrevisarförsökattanpassadatatillformleravtypenp=k/Vmedolikavärdenpåk,somsattsutidiagram-men.Somsynesger ingetk-värdeenkurvasomanpassarsigväl till samtligapunkter.Iensådansituationfårmanväljamellanenenkelmodell,medmåttligtgodanpassning,ochenmerkompliceradmodellmedbättreanpassning.

58


6.6 Rationella funktioner

Våravanligafyraräknesätträckeroftaförattgenereraformlersomgergodamodelleravverkligheten.Omviförstutesluterdivision,kanvimeddeåter-stående tre räknesätten få fram formler för funktioner av x, som utöver xbara innehåller konstanter. Om vi utgår från talet 1 och multiplicerar medx ett antal gånger, får vi potenser av x där exponenterna är naturliga tal:1x x2x3x4x5x6...(Observeraatt0ärettnaturligttalochattx0=1förallax≠0.)Tarviettändligtantalsådanapotenserochmultiplicerarmedkon-stanter,betecknadet.ex.a0, a1,a2,a3, ...,samtläggerihopdessaprodukter,såfårviettuttryckavtypen

p (x)=a0+a1x+a2x2+...+an xn (1)

Ett sådantuttryckkallas för ettpolynom ix.En funktionp, vars värdenberäknasmedelstettpolynomp (x)kallasförenpolynomfunktion.Oman≠0sägsnvarapolynometsgrad.

Merallmäntbetyder”polynom”uttryckmedfleratermer–”binom”ut-tryckmedtvåtermer.Sägerman”polynomix”,menarmanatttermernaärav

0 5 100

2

4

6

8

10x

x

xx

x x x x x

0 5 100

2

4

6

8

10

k=8.5

x

x

xx

x x x x x

0 5 100

2

4

6

8

10

k=8.0

x

x

xx

x x x x x

0 5 100

2

4

6

8

10

k=7.5

x

x

xx

x x x x x

Figur 6.3. Några försök att anpassa formler av typen p = k / v till sambandet mellan trycket och volymen hos en gas. (Källa: FHS)

5�


typenaix idäri=0,1,2,...,dvs.naturligatal.Konstanternai(1)kallaspolyno-metskoefficienter.

Uttryckix,somerhållsmedelstkonstantersamtadditionochmultiplika-tion(ochsubtraktionommansåvill)kanförståsseutpåmångaandrasättän(1),menallasådanauttryckkanomformastillettuttryckavtypen(1).Mångagångerkanmandockföredraattdelaupp(1)ifaktorer.Denmestfullständigafaktoruppdelningav(1),somkanåstadkommas,ärdåallafaktoreräravförstagraden.Såuppdeladkan(1)skrivas

p (x)=an(x–α1)(x–α2)•...•(x–αn) (2)

där α1,α2, ...,αn är polynomets nollställen, dvs. de värden på x för vilkap (x)=0.

Exempel:Skriv i formen(1)polynometp (x)=x (x–1)(x+1)+ (x–1)(x–2)+x (x–2).Räknasedanutp (3).

Lösning:Multipliceraihopparenteserna:p (x)=x3–x+x2–3x+2+x2–2x.Samladärefterallatermermedsammagradtal,såerhållsp (x)=x3+2x2

–6x + 2.Hurmanräknarutp (x)förgivetvärdepåxberorpåvadmanharförräk-

nehjälpmedel.Användermandatornskalkylator,ärdetlämpligtattförstskrivaomp (x)såhär:p (x)=x (x (x+2)–6)+2.

Därefterläggerviin3ikalkylatornsminnemedsekvensen3M+.Dåfinns3iminnet.(KontrolleragenomattförstnollställamedC,däreftergöraMR.)Nuerhållsp (3)medelstsekvensenMR+2=× MR–6=× MR+2=.Rättsvarär29.

Polynomfunktionernautgörenså rik funktionsklassattvilkensomhelstkontinuerligfunktionmedvarjeönskadnoggrannhetkanapproximerasmedenpolynomfunktion.(Attfunktionenfärkontinuerligbetyderattenmycketlitenändringavx alltid resulterar i enmycket litenändringav f (x).)Dettainnebärdockinteattettpolynomalltidärenlämpligrepresentationsform.Detkankrävasmyckethögtgradtalförönskadnoggrannhet.

Enrikareklassavfunktionerfårviomvidessutomanvänderdivision.Ettsåerhålletuttryckixsägsvararationelltochkanalltidomformastillenkvotmellantvåpolynom:

nn

mm

xbxbxbbxaxaxaa

xr++++++++

=......

)( 2210

2210 (3)

Viseromedelbartattpolynomfunktionernahörtillderationellafunktio-nerna,eftersomnämnareni(3)kanvaraavgradnoll,dvs.konstant.

Blanddefunktionersomkanstuderasmedelstprogrammetfunk.mfinnsvissapolynomfunktionermedgivnanollställenochvissarationellafunktioner.

60


6.7 Räta linjer och riktningskoefficient

Grafentillettförstagradspolynomäralltidenrätlinje.Omväntärvarjerätlin-je,sominteärparallellmedy-axeln,graftillnågotförstagradspolynom.Dettaärlättattvisamedhjälpavbasalkunskapomlikformigatrianglar.Somexem-peltarvidenrätalinjesomgårgenompunkterna(2,3)och(6.5).Låt(x,y)varaengodtyckligpunktpådennalinje.Situationenvisasifigur6.4.

Figuren innehåller två rätvinkliga trianglar.Densominnehållerpunkten(6,5)harbasen6–2=4ochhöjden5–3=2.Härurfårviattlinjenslutning=2/4= 2

1 (läsomlutningiavsnitt6.3).Triangelnmedpunkten(x,y)harbasenx–2ochhöjdeny–3,vilketgerattlinjenslutning=(y–3)(x–2).Sät-tervidessauttryckförlinjenslutninglikaochmultiplicerarbådaledenmedx–2,erhållervi

y–3= 21 (x–2) (4)

Dennaekvationärsatisfieradförallapunkterpådenangivnarätalinjen,meninteförnågonannanpunkt.Därförsägermanatt(4)ärekvationenfördennalinje.Lösermanutyur(4)ochförenklar,fårmany= 2

1 x+2.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

x

x

x

(2,3)

(6,5)

(x,y)

Figur 6.4. Rita linjen genom punkterna (2,3) och (6,5). (Källa: FHS)

61


Påmotsvarandesättkanmanförvilkenrätlinjesomhelst,sominteärpa-rallellmedy-axeln,finnakonstanterkochlsådanaattekvationen

y=kx+l (5)

satisfierasavpunkternapådenlinjenochinteavnågraandrapunkter.Taletkärlikamedlinjenslutning.Eftersomkärenkoefficientihögerledeti(5)kall-laskocksåförlinjensriktningskoefficient.Dessteckenbestämmeråtvilkethålllinjenlutar.

Riktningskoefficientengerbeskedomhuryförändrasdåxförändras.Dåk>0ärfunktionen(5)växande,dvs.yväxerdåx växer.Dåk<0ärfunktionenavtagande.

6.8 Derivata

Enrätlinjelutarlikamycketöverallt.Förandrafunktionerkanmananvändaräta linjer somjämförelseobjekt.Låt fvaraenfunktion, låtxochξvara tvågodtyckliga,menolika,punkterpådenvågrätaaxelnsamtantagatty=f (x)ochη=f (ξ).(Degrekiskabokstävernaξochηuttalasxiresp.eta).Ifigur6.5

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(x,y)

Figur 6.5. En funktionskurva med inritad sekant. (Källa: FHS)

62


harviritatutpunkterna(x,y)och(ξ,η)samtfunktionskurvanssekant(skär-ningslinje)genomdessatvåpunkter.Dessriktningskoefficient(η–y)/(ξ–x)ärettmåttpåmedellutningenhoskurvanmellandetvåpunkterna.

Nulåtervipunkten(ξ,η)rörasigmot(x,y).Punkternafårintesamman-falla, tydåblir linjenobestämd,mende fårkommahurnäravarandrasomhelst.Omsekantenharettgränsläge,då(ξ,η)kommergodtyckligtnära(x,y),sägsdenlinjenvarakurvanstangentipunkten(x,y).Körprogrammetderiv.momduvillseenillustrationavdennagränsprocess.

Omgrafen till fhar tangent i envisspunkt, sägs f varaderiverbar idenpunkten.Tangentensriktningskoefficientärettmåttpåfunktionskurvanslut-ningipunktenxochkallasderivatanavfidennapunkt.Omdumedögon-måttkanskattalutningenavenrätlinje,såkanduiprincipskattaenfunktionsderivataienpunkt.Programmetderiv.minnehållerenövningpådet.

Det finns många olika beteckningssätt för en och samma derivata. Omy=f (x)såkanvibetecknaderivatanavfipunktenxpåbl.a.följandeolikasätt:yy′(uttal:y-prim)f )(xf ′(x),Df (x)och

dydx

Den sistnämndabeteckningen serut somenkvotochkanuppfattas så.Nämnarenärendifferensix,täljarenmotsvarandedifferensiylängstangen-tentillkurvan.Differensernalängstangentenkallasdifferentialer.Dåy=f (x)äralltsådy=f dxxfdy )(′= (x)dx,somillustrerasavfigur6.6.

Mångagångerärdetlämpligtattframställaenkurvaiparameterform.Såvälxsomy uppfattasdåsomfunktioneraventredjevariabel,dens.k.parametern.Låtosskalladent.Villmaninteinföranågranyafunktionsbeteckningar,kanmanskrivax=x (t),y=y (t).Atthasammabeteckningarpåfunktionernasompåvariablernakanverkaoegentligtmenbrukarintevållanågramissförstånd.

y

dx x

y = f(x)

tangent

dy = f ′(x)dx

Figur 6.6. Differentialen av en funktion är differensen längs tangenten till dess graf. (Källa: FHS)

63


Närdessafunktionerderiveras,börmanhanyabeteckningarförattundvikaförväxling.Manbrukaranvändaprickariställetförprim-tecken.Meddebe-teckningarnafårvi

dtdxtxx )( ,

dtdytyy )(

Förtydlighetensskullsägermanocksåatty y′ärderivatanavymed avseende på x,medany ärderivatanavymedavseendepåt.Differentialernadx,dyochdtkanmanräknamedsommedtal.Genomattförlänga

dydx

meddtfårvi

dtdx

dtdy

dxdt

dtdy

dxdy : , d.v.s.

xyy

,dvs.

dtdx

dtdy

dxdt

dtdy

dxdy : , d.v.s.

xyy

f )(xf ′(x)bestämsentydigtavxochäralltsåenfunktionavx.Omdutittarpågrafentillenfunktionf,såkanskedukanföreställadigungefärhurgrafentillff ′serut.Enövningpådetgesocksåavprogrammetderiv.m.Närdukördendelenavprogrammet,slumpardetutenfunktionsomduskaförsökaföreställadigderivatantill.Senfårdusegrafentillderivatanosv.

Idenmatematiskaanalysenärderivatanettoumbärligthjälpmedelförattundersökaenfunktion.Derivatangerbeskedomvarfunktionenväxerresp.avtarochvarev.maximi-ochminimipunkterfinns.Genomattstuderaderi-vatansderivataetc.(derivatoravhögreordning)kanmanhärledametoderattberäknafunktionersvärdenmeddennoggrannhetmanönskar.

Ifysikenharderivatanotaligaanvändningar.Viktigatillämpningarärnärmanstuderartidsförlopp.Närnågotförändrasmedtidenärderivatanettmåttpåhursnabbtförändringensker.Deriverarmanentidsberoendesträckamedavseendepåtidenerhållermanhastigheten.Derivatanavhastighetäraccelera-tion.Tillförsenergitillettsystem,ochmanderiverardentillfördaenergimäng-denmedavseendepåtiden,erhållermaneffekten.

Dubehöverintenödvändigtvisläradigattutföraderivationer,menförattförståfysikmåsteduförståderivatansinnebörd.

6.9 Potensfunktioner

Funktioner av typen f (x) = xa kallas potensfunktioner. Om a är ett positivtheltal ärpotensenxa definieradgenomproduktenx •x • ... •x där antaletfaktorer=a.Dettagårbraförvarjereelltx.Ära=–ndärnärettpositivtheltal,definierarvixa=1/xn för alla talx≠0.Förövrigaa låtervidefini-tionenavxa vägledasavsambandenxm+n=xm •xnoch(xm)n=xmn,som

64


kanutsträckastillattgällaförallamochn,intebaraheltal.Exempelvisgäller(x0.5)2=x2 •0.5=x.Detta förutsätter attx ≥0.Förx =0 ärx0.5=0.Förpositivaxdefinierarvix0.5somdetpositivatalvarskvadrat=x.Detbetyderattx0.5= x .

Iställetföratthärsystematisktgåigenomvadxaärförsortsfunktionerförolikaa-värdenlåtervifigur6.7illustreranioexempel.

6.10 Exponential- och logaritmfunktioner

Vihållernubasenförenpotenskonstantochlåterexponentenvariera.Dåfårviens.k.exponentialfunktion:f (x)=ax.Oma>0,vilketviifortsättningenantar,såbestårDfavallareellatalochVfavallapositivatal.Oma>1ärfväxande.Oma<1ärfavtagande.

Medhjälpavdatornskalkylatorkanduräknautax förvaldavärdenpåaochx.Förattfåt.ex.81/2knapparduinsekvensen8x^y.5=.Svaretärca2.828.(Somligakalkylatoreranvänderdecimalkommaiställetförpunkt.)

Exponentialfunktioner uppträder ofta i matematiska modeller varfördu bör känna till deras förlopp. Figur 6.8 visar fyra avsnitt av funktionenf (x)=10x,därxvarieraröverintervallavolikalängd.

-5 0 50

10

20

30a=2

-5 0 5-100

0

100a=3

-5 0 50

200

400

600a=4

0 50

1

2

3a=1/2

-5 0 5-2

0

2a=1/3

-5 0 50

1

2

3a=2/3

0 50

2

4

6a=-1/2

-5 0 5-5

0

5a=-1

-5 0 50

10

20

30a=-2

Figur 6.7. Nio kurvor för olika värden på a i funktionen xa. (Källa: FHS)

65


Somsynesärdetintestoridéatthärväljaintervallpåx-axeln,somärbe-tydligtlängreäncaenenhet,tynäry-värdenaspännerövermångatiopotenserkanmanändåbaraöverblickaenlitendelavdem.Hurskamandåbärasigåtnärmanvilljämförastorhetersomskiljersigåtfleratiopotenserellergörasigenföreställningommycketstoraellersmåstorheter?

Följandeexempelärhämtat från”Knepigaklubben”:TänkdigattenavdinaförfädervidtidenförKristifödelsehadesattinenkronapåenbanksomgavfemprocentsränta(sammansatträntamedårligkapitalisering)ochattduvararvtagare tilldet förräntadekapitalet.Hurmycket skulledu i så fallägaidag,omvigjorde(detorimliga)antagandetattnågoninflationinteförekom?Omviavrundartidentill2000årblirsvaret1.052000kr.Uttrycktsomtiopo-tensblirdetca1043 kr.Hurmycketpengarärdet?Skulledukunnaköpauppalltguldpåjordenfördetbeloppet?Ja,mångagångerom.Skulledukunnaköpaetthelt jordklot fulltavguld? Ja,mångagångerom.Duskullekunnaköpaca1012(enbiljon=enmiljonmiljoner)guldklotavjordensstorlek

Exempletillustrerarhursnabbtexponentialfunktionerväxer,ävenomba-senbaraärnågotstörreän1.Vidaregerdetenantydanomatttiopotenserkanvaraettbrahjälpmedelförattuttryckamycketstoratal(ochmycketsmå,dvs.nära0).Dubördärförgöradigförtrogenmedanvändningenavtiopotenser.

0 0.5 10

2

4

6

8

10

0 1 2 3 40

2000

4000

6000

8000

10000

0 5 10 15 200

5

10x1015

0 20 40 60 800

5

10x1063

Figur 6.8. Fyra avsnitt av funktionen f (x) = 10x, där x varierar över intervall av olika längd. (Källa: FHS)

66


Detärexponentenitiopotensensomangertaletsstorlek.Därförkanmanarbetamedexponenternasjälvautanattskrivautbasenvarjegång.LåtTvaraettgodtyckligtpositivttal.Låtxvaradenexponent,som10skaupphöjastillförattresultatetskabliT.DennaexponentkallaslogaritmenförTochskrivslogT.OmT=10xäralltsåx=logT.

Logaritmerkanbildasmedandrabaserän10,varförmanförtydlighetensskulloftasäger”tiologaritmen”närbasenär10.Iförkortadformhakarmandåpåtianpå”log”såattdetblir10log,log10e.d.

I tillämpningar där man systematiskt arbetar med tiopotenser uttryckermansiggärnailogaritmiskform.Härkommertvåexempelpådet.

Ljud-ochljussomvikanuppfattaspänneröverstyrkeintervallpååtskilligatiopotenser.LåtI0varaintensitetenpånättochjämnthörbartljud.EttmåttpåstyrkanhosettljudmedintensitetenIkandåvaraI/I0.Dennakvotvarierarinormalafallmellan1ochkanske1010ellermer.Sommåttpåljudnivånkanmananvändalog(I/I0).Manbrukardockanvändadecibeltalet,dB,definieratsom10•log(I/I0).Omljudnivånär100dB,såärI/I0=10100/10=1010,vilketbetyderattintensitetenärtiomiljardergångersåstarksomgränsenförhörbar-het.Dennivånliggerinärhetenavsmärtgränsen.

Ikeminuttrycksjonkoncentrationeroftailogaritmiskform,beroendepåattdenormalavariationernasträckersigöverfleratiopotenser.MandefinierarpH=–log[H+],där[H+]ärvätejonkoncentrationen(imol/liter).Förenneu-tralvattenlösningärpH=7.DåpH=1ärlösningenstarktsur,dåpH=13starktalkalisk.

Förattuttryckaenexponentialfunktionkanvilkenbassomhelstanvändas.Oftastföredrarmanattanvändabasene≈2.718.(Exaktdefinierasesomgräns-värdetför n

n )1( 1+ dångårmotoändligheten.)Detsomgörtaleteintressantisammanhangetärattfunktionenf (x)=exärsinegenderivata,dvs.omy=ex

såäryy′ =ex.Enalternativ(ochvanlig)beteckningpåexärexp(x).Oma är ett godtyckligt positivt tal, såfinns ett talk sådant atta = ek.

Detbetyder attk är logaritmen föramed e sombas,dvs. eloga.Envanligbeteckningärlna.(Mångaförfattareskriverdocklogibetydelsenelog .)Medk=lnagällerax =(ek)x=ekx.

Derivatan av ekx är kekx. Derivatans värde är alltså proportionellt motfunktionensvärde.Dettaärorsakentillattmångaiverklighetenförekomman-deprocesserärungefärligenexponentiella.Såfortnågottillväxer,elleravtar,ientaktsomärproportionellmotmängden,såblirmängdenenexponentiellfunktionavtiden.Dettakantillämpaspåradioaktivtsönderfall,bakterie-ochbefolkningstillväxt,urladdningavkondensatorerm.m.

67


6.11 Trigonometiska funktioner

Titta tillbakspåfigur6.1.Omtvåav längderna ifigurenärkändakandentredjeräknasutmedelstPythagorassats,somutsägeratta2+b2=c2.Däravföljerattomkvotenmellantvåavdessalängderärkänd,kandeövrigasexkvo-ternaräknasut.Varjesådankvotbestämsentydigtavv,dvs.denärenfunktionavv.Iavsnitt6.3möttevitangensfunktionen.Härföljerbenämningarnapåsamtligadesexfunktionerna:

a/c kallas sinus förvochbetecknassinv b/c kallas cosinus förv ochbetecknascosv a/b kallas tangens förv ochbetecknastanv b/a kallas cotangens förv ochbetecknascotv c/b kallas sekanten förv ochbetecknasscv c/a kallas cosekanten förv ochbetecknascscv

Alladessa funktionerkallas trigonometriska (trigon=trehörning).Detvåsistaförekommerianglosaxisklitteratur,menjustinteisvensk.Detreförstaärviktigastattvaraförtrogenmed.

Vissaegenskaperhosdessafunktionerkanvisedirekturfigur6.1.Efter-som0≤a≤cär0≤sinv≤1.Idessaolikheterkanlikhetgälla,tyvigodtarextremfalletv=0,dåa=0ochdetmotsattaextremfalletv=90°,dåa=c.Iextremfallenärtriangeln”urartad”,meninnebördenärlättattse.Dåvväxerfrån0till90°växersinvfrån0till1.Påsammasättserviattcosvavtarfrån1till0dåvväxerfrån0till90°.

Tvåvinklar,varssummaär90°kallaskomplementvinklar.Avfigur6.1ochdefinitionernapåsinochcosframgårattcosinusförenvinkelärkomplement-vinkelns sinus, dvs. cos v = sin(90° – v). Av definitionerna följer vidare atttanv=sinv/cosv.Tangensfunktionenärväxandeochtan0=0.Förv=90°existerarintetanv,menviseratttanvväxeröverallagränserdåvnärmarsig90°.

Följandetabellexemplifierarnärmevärdenpåsin,cosochtan.

v [deg] 0 10 20 30 40 45 50 60 70 80 90

sin v 0 .17 .34 .50 .64 .71 .77 .87 .94 .98 1

cos v 1 .98 .94 .87 .77 .71 .64 .50 .34 .17 0

tan v 0 .18 .36 .58 .84 1 1.19 1.73 2.75 5.67 –

68


Figur6.9visardetrefunktionernasgrafer.Eftersomtanvväxeröverallagränserdåv närmarsig90°måstegrafenförtanhuggasavenbitfrån90°.Härhargrafenavdetskäletpresenteratsitvåbilder.SkalornaivertikalledärvaldaavMatlabsystemet.Medelstprogrammetfunk.mkanduvarieradetintervalldärgrafenförtanvisasochstuderaeffektenavattlåtaintervalletshögraänd-punktnärmasig90°.

6.12 Enhetscirkeln, utvidgning av sinus och cosinus, radianer

Definitionen utifrån rätvinkliga trianglar, som i figur 6.1, förutsätter att0≤v≤90°.Mensinus-ochcosinusfunktionernasdefinitionerkanutvidgastillgodtyckligavinklar.Fördetsyftetplacerarvitriangelnietträtvinkligtkoor-dinatsystemmedvinkelspetseniorigoochdenvågrätakatetenlängspositivax-axeln.Väljifortsättningenc=1.Närvvarierarkommerhypotenusansandraändpunkt(x ,y)attrörasiglängsencirkelmedmedelpunktiorigoochradien1,dens.k.enhetscirkeln.Sålänge0<v<90°befinnerviossiförstakvadran-ten.Låtervivväxa,passerarviiturochordning2:a,3:eoch4:ekvadrantenförattsenbörjaomi1:akvadranten.Pådetsättetkanvifortsättavarveftervarv.Startarvividx-axelnmedv=0ochlåterpunkten(x ,y)rörasigmedsols,uppfattarvivsomnegativ.Tecknenpåxochyidefyrakvadranternaframgåravfigur6.10.

0 30 60 900

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sin

0 30 60 900

0.2

0.4

0.6

0.8

1

cos

0 20 40 60 800

2

4

6

tan

80 85 89 900

50

100

150

tan

Figur 6.9. Grafer för sin, cos och tan. (Källa: FHS)

6�


Videfinierarnuutifråndessaförutsättningar

sinv=y,cosv=x (6)

Dukanseattdedefinitionerna,sålängeviliggeri1:akvadranten,stämmermeddeföregåendedefinitionerna.Nuärsinochcosdefinieradeförallareellavinklar.PåenhetscirkelngällerenligtPythagorassatsx2+y2=1,varför

sin2v+cos2v=1 (7)

Dennarelationkallas”trigonometriskaettan”.(sin2v ärettkortareskrivsättför(sinv)2o.s.v.)

Härföljernågraandrarelationersomdirektkanutläsasurdefinitionerna.

sin(v+360°)=sinv,cos(v+360°)=cosv (8)

utsäger att funktionerna är periodiska med perioden 360°. Det betyder attfunktionernauppreparsinaförloppvarveftervarv.

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

v

1:akvadrantenx>0,y>0

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

v

2:akvadranten

x<0,y>0

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

v

3:ekvadranten

x<0,y<0

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

v

4:ekvadrantenx>0,y<0

Figur 6.10. Enhetscirkeln och kvadranterna. (Källa: FHS)

70


Enfunktionfdärf (–x)=f (x)förallaxsägsvarajämn.Ärf (–x)=–f (x)förallaxsägsfvaraudda.Cosinusärenjämnfunktionmedansinusärudda,alltså

cos(–v)=cosv,sin(–v)=–sinv (9)

Att cosinus är komplementvinkelns sinus har vi redan sett. Detta gällerocksåfördenuutvidgadefunktionerna.Kombinerasdetmedattcosinusärjämn,erhållervi

sin(v+90°)=cosv (10)

Den relationenutsäger attde två funktionernaär lika sånär sompåattcosinusärvadmansägerfasförskjuten90°iförhållandetillsinus.

Närviskastuderaderivationavsinochcosärengradintenågonlämpligvinkelenhet.Vibehöverenenhetsomstårienenkelrelationtillsinusfunktio-nen.Vinkelbenenskäravenbågeavenhetscirkelnvarslängdärproportionellmotv.Vi låterdenna längdvaramåttetpåv.Densåerhållnavinkelenhetnkallas1radian(rad).Enhetscirkelnshelaomkretsär2π.Alltsåär2πradianer=360°,varav

1rad=180°π

≈57.3deg (11)

Närvinklarmätsiradbrukarradinteskrivasut,tyenvinkelenhetärdi-mensionslös,ochradärunderförståddomingenannanenhetsättsut.

Ärmanvanvidatttänkaigrader,krävsdetenmentalomställningattgåövertillradianer.Ifigur6.11harvinklarnairadianersattsutförnågravanligtförekommanderiktningar.Siffrornainomparentesärresp.vinkelsmåttideg(somintehellerskrivitsutidennafigur).

Figur6.12.visarsituationenförenlitenpositivvinkelv.Bågenslängdärmarkeradmedv,ochdenlodrätasträckanslängdärsinv.Jumindrevär,destomerlikablirsomsynesvochsinv.Mankanvisamedsträngamatematiskametoderatt=sinv

v gårmot1dåvgårmot0.Innebördenidetärattderivatanavsinvärlikamed1dåv=0.Enfortsatt

undersökningavsinus-ochcosinusfunktionenledertillrelationerna

Dsinv=cosvochDcosv=–sinv (12)

Ifältkanradianensegenskapavbågmåttutnyttjaspraktisktgenomattin-strumentgraderas inågot som liknarmilliradianer.En sträckaav1m, somiakttaspåettavståndav1km,upptarenvinkelpåcaenmilliradian.Antalet

71


0

pi/6(30)

pi/4(45)

pi/3(60)pi/2(90)

3pi/4(135)

pi(180)

5pi/4(225)

-pi/2alt.3pi/2

-pi/4alt.7pi/4

IMatlabskrivermannormalt"pi"iställetför"".Vinklarnasomäruttrycktaipiärmättairadianer,vinklarnainomparentesigrader.

Varjeriktningsvararmotoändligtmångaalternativavinklar.Mankanläggatillellerdraifrånettgodtyckligtantalvarv.

Figur 6.11. Vinklar i radianer (resp. grader) för några vanligt förekommande riktningar. (Källa: FHS)

vsin v

Figur 6.12. En liten positiv vinkel och dess sinus. (Källa: FHS)

milliradianerpåettvarvär6283.2.Manmåstedärföravrundatillettheltal.Avrundarmantillnärmastehundratalfårmanenheten1streck =1/6300varv.Ennågotsämreapproxationär1mils =1/6400varv,somhardenfördelenattenkvadrantbeståravetthelthundratalmils,1600.Mendensämreapproxi-mationenkan i praktikenvara ennackdel vid skjutningmedhögprecision,särskiltinomluftvärnet.

72


6.13 Sinus som representation av svängningar

Omvinklarnarepresenteraslängsdenvågrätaaxeln,samtsinus-ochcosinus-funktionernasvärdenlängsdenlodräta,kommerdessafunktionerattrepresen-terasavkurvorsomifigur6.13.

Medvinklarnairadianerharsinochcosperioden2πvilketsynspåattderasförloppuppreparsigmedettmellanrumavca6.28enheter.

Detförstadiagrammetvisary=sinx(därdenvågrätaaxelnärx-axelnochdenlodrätay-axeln).Detandradiagrammetvisary=cosx.Tittarmannärmarepåkurvornasermanattvarjepunktpåcosinuskurvan liggerca1.6enheterföremotsv.punktpåsinuskurvan(π/2≈1.57).Dettredjediagrammetvisarkurvany=sin(x+π/4).Kollaattdenliggerca0.8enheterföresinuskurvan–ix-ledmittemellansinus-ochcosinuskurvan.

Funktioneny=sin(x+φ)ärfasförskjutenvinkelnφ (phi)iförhållandetillfunktioneny=sin(x).Vinkelnφ kallasfasvinkeln.

Sinus och cosinus uppträder vanligen som tidsfunktioner. Vinkeln v ärdåproportionellmot tiden.En vanligbeteckning ärv =ω t. (Dengrekiskabokstavenω uttalas omega.)Ett fysikaliskt förlopp, somkanbeskrivasmedfunktioneny=sin(ω t+φ),däryärenfysikaliskstorhet–envariabelsträcka,spänning, strömstyrka, fältstyrka etc. – är en sinusformad svängning. Dess

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-10

1y=sinx

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1y=cosx=sin(x+pi/2)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

0

1y=sin(x+pi/4)

Figur 6.13. Sinuskurvor med olika fasvinklar. (Källa: FHS)

73


periodtidär2π/ω ochdessfrekvens,dvs.antaletperioderpersekund,ärω / 2π.Storhetenω kallassvängningensvinkelfrekvens.

Programmetsincos.märtillförattåskådliggöradenubehandladefunktio-nerna.Detbeståravfyradelar.Del1avserillustrerahursinochcosgenererasavenrörligpunktpåenhetscirkeln.

Del2visarhurenfasförskjutensinussvängningkanuppfattassomenbland-ningavsinochcosi lämpligaproportioner.Denbakomliggandeformelnärsin(ω t+φ)=sinω tcosφ+cosω t sinφ,somvidockintehärlederhär.

Idel3visasinterferens(överlagring)avtvåsinusvågormedolikafrekvens,somrörsigiförhållandetillvarandra.Dukanväljahurfrekvensernaskaför-hållasigtillvarandra.

Del 4 visar ett exempel på en viktig tillämpning av sinus- och cosinus-funktioner.Varjeperiodisktförloppmedvinkelfrekvensenω0 kantänkassam-mansatt av rena sinus- och cosinussvängningar, vars vinkelfrekvenser är ω0själv(grundtonen)ochheltalsmultipleravω0 (övertonerna).Dettafaktumäravstortekniskbetydelsevidsignalbehandling.Benämningarna”grund-”och”övertoner”ärhämtadefrånakustikenochärkanskevälkändafördemsomsysslarmedmusik.

6.14 Kort om integraler

Duharkanske förut sett ett integraltecken,”∫”.Detär ingen slumpattdetliknarett”S”.Enintegralärnämligenensortssumma.Fysikaliskastorheter,somkanuppfattassomsummoravettstortantalsmådelar,beräknasoftamedhjälpavintegraler.Somexempelnämnervidenelektriskafältstyrkaienpunkt,somorsakasavettstortantalelementarladdningaridessnärhet.

Desmådelar,somenintegralkanuppfattassomsummanav,kallasdifferen-tialer.Vimöttebegreppetisambandmedderivatan(avsnitt7.8)ochåterkny-tertilldetnu.Betraktaettintervall[a,b]påx-axeln.

Videlarinintervalletidelintervallmedlängddx(somkanhaolikavärdenförolikadelintervall).

a dx b x

Summanavdelintervallens längderärförstås längdenav[a,b]dvs.b–a(därvinuantaratta<b).Vibetecknardennasummamedelstintegraltecknet,varvidsträckansvänstraändpunkt,a,markerasnertillpåintegraltecknetochdenhögraändpunkten,b,markerasupptill.Meddetbeteckningssättetfårvialltså

74


(13) abdx

b

a

(14) kakbdYkdxkb

ka

b

a

(15) )()()()(

)(

aFbFdYdxxfbF

aF

b

a

(13)

Vibenämnera denundre integrationsgränsenochbdenövre.Symbolen

(13) abdx

b

a

(14) kakbdYkdxkb

ka

b

a

(15) )()()()(

)(

aFbFdYdxxfbF

aF

b

a

uttalas”integralenfrånatillb”.Meningenmeddettaframgårförstnärmantillämpardetpåenfunktion

avx,Vibörjarmedenlinjärfunktion,Y=kx.Närxgenomlöperintervallet[a,b]påx-axeln,genomlöperYintervallet[ka,kb]påY-axeln.AvY=kx följerdY=kdx.Integrationsgränsernabestämsavvilkenvariabelviintegrerarmedavseendepå.Vifårdåföljandetvåuttryckförenochsammaintegral:

(13) abdxb

a

(14) kakbdYkdxkb

ka

b

a

(15) )()()()(

)(

aFbFdYdxxfbF

aF

b

a

(14)

NuersätterviY=kx medenfunktionY=F (x),somintenödvändigtvisärlinjär.OmvisätterFF ′(x)=f (x)erhållervidY=f (x)dx.(Sefigur6.6ochbytdärutfmotFochy mot Y.)ViersätterocksåkamedF (a)ochkbmedF (b),varvid(14)övergåri

(13) abdxb

a

(14) kakbdYkdxkb

ka

b

a

(15) )()()()(

)(

aFbFdYdxxfbF

aF

b

a

(15)

Integralensdefinitionärdock inte såenkel somjaghär framställt saken,eftersomdifferentialenavF(x)ärdifferensenlängskurvanstangent,intelängskurvansjälvannatändågrafentillFärenrätlinje.Förallmännarefunktionerdefinieras integralen medelst en gränsprocess, där differenserna i x går motnoll.

Integralens fysikaliska innebördberoravvadxoch f (x)är förslagsstor-heter.Låtförstxochf (x)varavanligalägeskoordinater.Omdxärlitet,varie-rar fendast litet i intervallet[x,x+dx].Strimlanmellanx-axelnochkurvany = f (x)idettaintervallkanvidåapproximeramedenrektangelmedbreddendxochhöjdenf (x).Summanavallasådanastrimlorsareorärhelaareanmellankurvanochx-axelniintervallet[a,b],dvs.integralen(15)ärlikameddennaarea.Integralenäralltsåenstorhetavsammaslagsomproduktenf (x)dx.Härkommerytterligaretreexempel:

75


Omenpartikelflyttasunderinverkanavenkraftiförflyttningensriktningochmedabsolutbeloppet f (x), såbetyder f (x)dx detarbetesomuträttasvidförflyttningenfrånxtillx+dx.

b

a

dxxf )(

b

a

dttf )(

b

a

dttp )(

ärhelaarbetetvidförflyttningenfrånatillb.Omtärtidenochf (t)ärfartenhosnågotsomrörsig,såärf (t)dtdentill-

ryggalagdasträckanundertidsintervallet[t, t+dt].

b

a

dxxf )(

b

a

dttf )(

b

a

dttp )(

ärheladentillryggalagdasträckanundertidsintervallet[a,b].Omtärtidenochp (t)ärdeneffektenmotorutvecklar,såärp (t)dtdet

arbetemotornuträttarundertidsintervallet[t, t+dt].

b

a

dxxf )(

b

a

dttf )(

b

a

dttp )(

ärheladetuträttadearbetetundertidsintervallet[a,b].

77

7. Mekanik

7.1 Allmän bakgrund

Idettaavsnittskallvi,mycketöversiktligtochförenklat,avhandladenklassiskamekanikensomhuvudsakligenhärstammar frånNewton.*Dettaharvaritdemodeller(sekapitel5)somiprincipvaritgällandefråndetattdepubliceradestilltidigt1900-taldåAlbertEinsteinpresenteradesinarelativitetsteorierochdärNewtonsteoriertilldelarkomattmodifieras.Förvardaglig,praktiskverksamhetdugerdockNewtonsteoriermeränväl;detärförstnärmanarbetarmedhastig-heternäraljusets,somdeblirmindreanvändbara.Denklassiskamekanikenkansägasbehandlamateriellasystemivilaellerrörelseochdekraftersomdåärin-blandade.Studietavsystemivilakallasstatikochstudieravsystemirörelsekall-lasdynamik.Dynamikenkanisinturdelasin,någotsomvidockintegörhär.Imekanikenbehandlassystemavmycketvarierandestorlek,alltfrånmycketsmåsystem,dockintesåsmåsompåmolekylerelleratomer,upptillsystemavstjär-nor,planeterochandrahimlakroppar.Begreppetmateriella systemkan inne-fattamycket,någratyperärpartiklar,stelakroppar,deformerbarakroppar,ochfluider.Deformerbarakropparsmekanikkansägasvaradedelaravmekanikensomavhandlasinomhållfasthetsläranmedanfluidersmekanikbrukarbenämnasströmningslära,somärengrundförhydro-ochaerodynamik(sekapitlen9och12).Detvihärhuvudsakligenkommerattbehandlaärs.k.stelakroppar.

Detabsolutövervägandeantaletfallinommekanikeninvolverarvektorer.Dessaproblem lösespåolika sättbl.a.genomattkomposantuppdelavekto-rernaocharbetamedekvationssystemmeddeolikakomposanterna.Idennaframställninggörsingasådanaberäkningarutandeuttrycksomgeskansägasgällaförettendimensionelltfall,menkanlättutvecklastillflerdimensioner.* NewtonlevdeiEnglandåren1642–1727,sebl.a.Ny Teknik,Nr23,7juni2006.

78


7.2 Begrepp och storheter

Med”partikel”avsesidenklassiskamekanikeninteenelementarpartikel,dvs.atom,molekylellermotsv.utanenkroppvilkensomhelst,menvarsstorleksaknarbetydelsefördetaktuellaproblemetslösande.*Oftabörjarmanmedattgöraberäkningarförenpartikelförattsedanförfinamodellen.Detärocksåoftastytterstlämpligtattgöradennaansatsvidöverslagsmässigaberäkningar.

Med”kropp”avsesiprincipvilketföremålsomhelst(ochinteenbartdetmankanskeförstkommeratttänkapå).Medstelkroppförståsenkroppdärvarjepunktikroppenhelatidenliggerisammalägeiförhållandetillallaövrigapunkter.Dettaärenapproximationavverkligheten(enmodell)vigör,föriverklighetenärjuingetföremålheltstelt.

Inomfysikenarbetarmanmedettenhetssystemmedsjugrundstorheter.Detfinnsettflertalandraenhetssystem,menvianvändernågotsomkallasSI-systemet(SystèmeInternationald´Unités),vilketocksåbörjarblidetivärldenheltdominerande.Degrundstorhetersomär(mest)aktuellainommekanikenär längd, tidochmassa,övriga storheter, somvikommer ikontaktmed,ärs.k.härleddastorheter,ochdenämnsdärdetäraktuellt.Förknippatmedvarjestorhetfinnsenenhet(jmf.avsnitt6.2),enligtnedanståendetabell.(AvövrigasystemärdetsomanvändsiUS,specielltilitetäldrelitteratur,detsomärmestvanligtförekommande.)FördelenmedattanvändaSI-systemetärattingaom-vandlingstaleller”onödiga”konstanterbehöveranvändas.

Grundstorhet Beteckning (vanligast förekommande)

Enhet Enhetens beteckning

I USA förekommande enheter och bet.

Längd l, L meter m slug

Tid t sekund s second (sec)

Massa m, M kilogram (kilo) kg pound (lb)

1 meter,1 m,definieradesursprungligenavinternationellameterprototy-peniParis,menärnumeradefinieratsomdensträckaljusetgårundertidsin-tervallet1/299792458s.

1 sekund,1 s,definieradesursprungligensom1/86400avettmedelsol-dygn men den moderna definitionen är att det är tiden för 9192631770perioderav ljusstrålningenavenvissvåglängdsomsändsutavcesium133,undervissaförhållanden

1 kilogram,1 kg,definierasavkilogramprototypeniParis.Massenhetenärdenendagrundenhetsominteharen”atomär”definitionidagensläge.

* Elementarpartiklarnasmekanikm.m.studerasiämnet”kvantfysik”,ochberörsinteallshär.

7�

Mekanik

Man talar iblandomviktoch tyngd.Viktkan sägas vara enäldre, ävenomdenanvändsflitigtänidag,benämningförmassa.Tyngdärdenkraft(seavsnitt7.4.2)medvilkenjordenpåverkarenvissmassa.(Uttrycket”tyngdlösttillstånd”användsoftanärdetgällerrymdflygningar,dettaäretttillstånddåt.ex.jordensdragningskraftbalanserasavandrakrafter.)

7.3 Koordinatsystem i mekaniken – tröghet

De”lagar”ochformler,somkommerattavhandlasimekanikenhär,gälleriettfast(fixt)koordinatsystem.Oftastanserviattettkoordinatsystemsom”sitterfast”ijordenkanbetraktassomfast.

Ettenkeltexempelpårörligtkoordinatsystemäromvit.ex.tänkerossetttåg,somgårmedkonstanthastighet,påenrakbana.Vikandåläggaettkoordi-natsystemsom”sitterfast”itåget.Omduskallgåfråndinplatstillrestaurang-vagnenärdujuiförstahandintresseradavvadsomhänderidetta”tågfasta”koordinatsystem.Sålängetågetrörsigraktframochmedkonstanthastighetärproblemettämligenenkelt.Omtågetbörjarbromsauppleverdudetsomenkraftsomvillslungadigframåtitåget.Dettakallasoftaför”tröghet”eller”tröghetskraft”.Detärdockingenkraft idenmeningvisenarekommerattbehandla,utanendastettuttryckförattdetkoordinatsystemsomdubetraktar,nämligendet”tågfasta”,retarderarochduvillfortsättamedoförändradhastig-het(seavsnitt7.4.5)idetfastakoordinatsystemet.Vivetjuallaattjordenrör*sig(roterarruntsinegenaxel,vandrarruntsolenosv.)vilketgörattförvissatillämpningar,t.ex.vidstudieravlångskjutandeartilleri,långskjutanderobotarm.m.måstemanbeaktaattettkoordinatsystemsomsitterfastijordenärettrörligtsystem,somharbådes.k.translationochrotation.Principerfinnsförhuromräkningmellanolikakoordinatsystemskallgöras.IdessasammanhangtalasoftaomCorioliskrafterochCoriolisacceleration.Dettaärdockinga”rik-tiga”krafter�elleraccelerationerutanfaktorersomkommeriniberäkningarnapga.attdetkoordinatsystemvistuderarrörelsenirörsigpåettellerflersätt.

7.4 Tyngdpunktens rörelse – translation

Närmanstuderarenkroppsrörelsedelarmanoftauppdennarörelseitvådelar:

1. Tyngdpunktensrörelse

2. Rörelsekringtyngdpunkten

* Vemsade”…ochändockrörhonsig…”,närochvarför?� Debenämsibland”skenbarakrafter”.

80


Detförstadelproblemet,sommanoftastärintresseradav,ärhurettföre-mål,enkropp,rörsigistort,t.ex.hurenprojektilbanagårgenomlufthavetel-lerenrobotflygerfram.(Manantardåinledningsvisattdenkommermed”rättände”först.)Denansatsmangörärattkroppenärenpunktmedsammamassasomdetverkligaföremålethar.Pådennapunktverkarsedanolikakrafter,somkommerattbestämmahurkroppenrörsig.Ivarjekroppfinnsenpunktdärallmassakantänkaskoncentrerad(seavsnitt7.4.3)ochdennapunktkallastyngdpunktellermasscentrumochpunktensrörelsebenämnstranslationsrö-relse.Mantalarocksåemellanåtomenpunktmassaochdessrörelse,vilketärsammasak.

Ovansadesatt”manantogattprojektilenkommedrättändeföre”.Förattsäkerställaattsåärfalletbehövermanstuderahurkroppenroterar,rörel-senrunttyngdpunkten(seavsnitt7.5.4).Inledningsvisbetraktarvinuenbarttyngdpunktensrörelse.

7.4.1 Sträcka,hastighetochacceleration

Omettföremål,en”partikel”(se7.2),rörsiglängsenrätlinjemedkonstanthastighetkanmanbestämmadennahastighetgenomattmätatiden,t,föratttillryggaläggaenvisssträcka,s.Hastigheten,oftabetecknadmedVellerv,ärdenaktuellasträckandivideratmeddenuppmättatiden.Omväntkanalltsåtillryggalagdsträckaberäknassomhastighetmultipliceratmedtiden(medan-tagandenenligtvadsomsadesinledningsvisidettaavsnitt).

Enhetenförhastighetär1 m/s,ochdennastorhetärens.k.härleddstorhet(seavsnitt7.2).Omhastigheteninteärkonstantfåsmedenmätningpåbe-skrivetsättmedelhastigheten.Önskarmanenuppfattningomhurhastighetenförändrasutefterensträckafårman,iprincip,göramätningaröverettstortantalmycketsmåsträckor.

Hastighetenärenvektorvilket innebärattdenkännetecknasavsåvälenstorleksomenriktning.Grafisktillustrerasvektoreroftastmedpilar.

Förändring,ökning,avhastighetenkallasacceleration,ochnegativaccele-ration,alltsåminskningavhastigheten,kallasretardation.Påmotsvarandesättsombeskrevsovankanaccelerationen,omdenärkonstant,beräknasgenomattbestämmahastighetenvidtvåtidpunkterochsedandivideradenuppmättahastighetsförändringenmedtidenmellanmättillfällena.Omväntberäknashas-tighetsökninggenomattmultipliceraaccelerationen(antagenkonstant)medtiden.

Enhetenföracceleration,oftabetecknadmeda,är1 m/s2[=1(m/s)/s],vil-ketliksomhastighetenärenvektorochenhärleddstorhet.

Vidkonstantaccelerationkanhastigheten,V,beräknassomV=V0+at,därV0ärhastighetendåtident=0.

81

Mekanik

Hastighetenkanocksåberäknas somfunktionav sträckan,nämligenge-nomattanvändauttrycket V2 – V0

2 = 2 as,underförutsättningatthastighetenV=V0dåsträckans=0.

Sträckanberäknassoms = 0.5at2 +V0 tunderantagandetattsträckanbör-jarmätasdåtidenbörjarmätas(t=0)ochatthastighetendåärV0.

Merstringentochallmänt,utanantagandeomkonstanthastighetellerac-celeration,kandetnysssagdabeskrivasmedföljande:

V = ds

dts=

Hastigheten,V,ärtidsderivatanavsträckan,s,ochaccelerationen,a,defi-nierassomtidsderivatanavhastigheten(jmf.avsnitt6.8),

a = dV

dtd sdt

= V = s vilket också kan utvecklas till V dVds

2

2=

vilketocksåkanutvecklastill

a = dV

dtd sdt

= V = s vilket också kan utvecklas till V dVds

2

2=

Omväntgäller

V adt

V

V

0

= ∫

resp.

s Vdts

s

0

= ∫

7.4.2 Krafter

Kraftärettabstraktbegreppochsvårtattdefiniera.Inomfysikeniallmänhettalarmanomolikakraftersom”hållerihop”universumistortochismått.Avdessakrafterskallvihärbaradiskuteragravitationskraften.Lagenomgravita-tionskraftenställdesuppavNewtonochsägeratttvåkropparattraherar,drasmot,varandramedenvisskraft.Detärdettafenomensomvikallartyngd-kraftenochsomgörattallaföremålnärajorden”dras”motjordytan.Newtonsgravitationslagsägeratttvåkropparmedmassornam1ochm2ochpåavståndetrmellansigattraherarvarandramedenkraft,F,enl.

F G

m mr1 2

2=

därGärallmännagravitationskonstantensomharvärdet≈ 6.6710–11(Nm2/kg2),sefigur7.1.

82


I mekaniken är det yttre krafter, dvs. kraf-tersomt.ex.fårettföremålattrörasigellerändrariktning,somäravintresse.Inoman-dra ämnesområden, t.ex. hållfasthetslära, ärinrekrafterocksåavintresse.Ävenomkraft-begreppetärabstraktharvinogallaengoduppfattningomvadkraftär,t.ex.denkraftsomkrävsförattlyftaettföremålellerdraettföremålöverettgolv.

EnhetenförkraftärNewton, 1 N,vilketärdenkraftsomgermassa1kgaccelerationen1m/s2.KraftenbetecknasoftamedbokstavenF, sorten ellerdimensionenpåNär[kg•m/s2].

EndirekteffektavNewtonsgravitationslagärattvarjeföremålpåellernärajordytanpåverkasavenkraft,riktadmotjordklotetscentrum,somär9.81mN,därmärföremåletsmassa.Värdet9.81,somärettallmäntanväntmedel-värdeochsomoftabetecknasmed”g”,kommerbl.a.avgravitationskonstantenenl.ovan,jordensmassasamtavståndettilljordensmedelpunkt.

Värdet9.81är,somredannämnts,ettmedelvärdesomoftastanvänds.Vär-detvarierarfrån9.83vidpolernatill9.78videkvatornvilketisinturberordelspåavståndtill jordenscentrumdelspå”centrifugalkraften”på jordytan(senedan).Dessutomavtarvärdetpågmedhöjden.Tillyttermeravissofinnslokalavariationer,omänsmå.

Kraftenär,liksomhastighetochaccelerationenvektor,ochharalltsåbådeenstorlekochenriktning.Kraftertillskrivsocksåoftaenangreppspunkt,dvs.enpunktdärkraftenkantänkasangripa.Krafteradderassomvektoreriall-mänhet,vilketkanillustrerasmeddetenklafalletifigur7.2medtvåkraftersomangriperisammapunkt.

m1

F m2

F

Figur 7.1. Två kroppar påverkar varandra med kraften F. (Källa: FHS)

F1

F2

F1

R

F2

Figur 7.2. Två krafter som angriper samma punkt. (Källa: FHS)

Figur 7.3. Resultanten av två krafter. (Källa: FHS)

83

Mekanik

Summanavdessatvåkrafterfåssomdiagonalenidenparallellogramsomkanritasmeddetvåkrafternasomsidor.Summankallasresultantochbeteck-nasiblandmedR(sefigur7.3).

Påmotsvarandesättkankrafteradderas i tredimensioner likvälsomflerkrafterkanadderastillenresultant.

Tidigarehartalatsomkoordinatsystemimekaniken.Enkraft,likvälsomhastighetochacceleration,delasoftastuppikomposanteridetkoordinatsys-temmanvaltattarbetai(sefigur7.4).

En kraft härstammar ofta från en utbredd last, som vattentrycket på endammlucka.Dennautbreddalastomräknasdockimångafall,förmekaniskaberäkningar,tillenkraftsomangriperienvisspunkt.

7.4.3 Tyngdpunkt–masscentrum

Tyngdpunkten,ävenkallatmasscentrum,förenkroppärentänktpunktdärkroppenshelamassaärkoncentrerad.Attanvändadennamodellavenkropphar visat sig ytterst användbart, speciellt när det gäller att beräkna rörelser,energim.m.

Omvisomexempeltänkerossentunnhomogen,jämntjockrektangulärskivaavnågotämne,attvigörettytterstlitethåldärdiagonalernaskärvaran-draochsedanhängeruppskivanpåen”nål”genomdettahålpåenvertikalväggsåattskivanlättkanrotera,finnerviattmankanställaskivanivilketlägesomhelstutanattdenvridersig.

y

Fy F

xFx

Figur 7.4. En kraft F uppdelat i sina komposanter. (Källa: FHS)

Figur 7.5. Tyngdpunkten för en rektangel. (Källa: FHS)

84


Tyngdpunkten för denna skivaligger där diagonalerna skär var-andra.

Om vi däremot hänger uppskivan,fortfarandesåattdenlättkanvridasig,kringnågonannanpunktkommerdenalltidattvridasigsåatt tyngdpunktenkommeratt ligga rakt under upphäng-ningspunkten. (Ett undantag

finnsochdetärnärtyngdpunktenliggerraktöverupphängningspunkten,menvidallraminstalillastörningkommerskivanattsnurrasåatttyngdpunktentillslutliggerraktunderupphängningspunktenigen.)Tyngdkraften(jordensdrag-ningskraft)kanalltsåtänkasverkaienendapunkt,nämligentyngdpunkten.

Hurtyngdpunktenberäknasberörsintehär,utanvinöjerossmedatthän-visatillattför”enkla”geometrierfinnsformlerförvartyngdpunktenliggeritabellverkavtypenTEFYMA.*Därfinnsocksådegenerellauttryckenförberäk-ningavtyngdpunktenförmerkompliceradekropparellersystemavkroppar.

Härkanviocksåpåminnaomattettföremålstårstabiltsålängelodlinjengenomtyngdpunktenfallerinnanförstödytan,menstjälperdåsåinteärfallet(sefigur7.6).

7.4.4 Newtonslagar

Allmänt talar man om Newtons tre lagar i mekaniken. Dessa är enligt föl-jande.

• Första lagen: Tröghetslagen

Enkroppförblirivilaellerlikformigrörelsesålängeingayttrekrafterverkarpåkroppenellersummanavallayttrekrafterärnoll.Dennalagsägeralltsåattdetkrävsenkraftförattändraenkroppshastighetoch/ellerrörelseriktning.

• Andra lagen: Accelerationslagen

Ändringenpertidsenhetavenkroppsrörelsemängdärproportionellmotdenverkandekraftenochliggeridennasriktning.

Förstmåstevidefiniera”rörelsemängd”.Medrörelsemängdavsesproduk-tenavenkroppsmassaochhastighet,mV.Inästanallaintressantafallstuderarvi kroppar med konstant massa varvid lagen kan formuleras som kraften =produktenavmassaochacceleration=(massa)•(acceleration),F = ma.Denna

* EttannatexempelärCarlNordlingandJonnyÖsterman,Physics Handbook for Science and Engineering (Lund:Studentlitteratur,2006).

StårstabiltFaller

Figur 7.6. Stabilitet. (Källa: FHS)

85

Mekanik

formelärtroligendenmestgrundläggandeavallasambandinomdynamiken.Urdettafåsattaccelerationenärkraftendivideratmedmassan,a = F/m.Detallmännamatematiskauttrycketlyderenl.följande

F d(mV)

dt=

därmVsåledesärrörelsemängden.Dådetvanligastefalletärattmärkonstantbliruttrycketovan

F m

dVdt

ma= =

Ändringenavrörelsemängdkallasimpuls.Impulsen,I,kan,vidkonstantkraft,beräknassomproduktenavkraftochtid,I = Ft,ellerallmäntsom

I Fdt

o

t

= ∫EnhetenförimpulsärNewtonsekunder, Ns.

Ettfalldärmassanintekanbetraktassomkonstantärvidstudietavraketmo-torerochrobotarmedraketmotorer,därjubränsleförbrännsochtotalamassanminskar.Därfinnsocksåbegreppetimpuls,mendettaberörsintemerhär.*

• Tredje lagen: Lagen om verkan och motverkan

Motvarjekraftsvararenlikastorochmotriktadkraft,reaktionskraft,såattdeömsesidigtmellantvåkropparverkandekrafternaalltidärlikastoraochmot-sattriktade.Dettainnebärt.ex.attdådustårpågolvetpåverkardugolvetmeddintyngd,mg,därmärdinmassaochg≈9.81(enl.ovan)somärriktadnedåt,ochsamtidigtpåverkargolvetdigmedenlikastorkraftsomärriktaduppåt.

7.4.5 Rätlinjigrörelse

Vitänkerosshärattviförenkelhetsskullbararörossutefterenrätlinje.Detsomdågällerförsträcka,hastighetochaccelerationharredogjortsförunder7.4.1.Detsomnuhartillkommitärattvienl.Newtonsandralagkanberäknaaccelerationensstorlek.

Ovanbetecknadessträckanmed”s”.Dåmanoftaarbetarmedkoordinat-systemmedx-,y-ochz-axlarkanvinut.ex. tänkaossattvi rörossutefterendastenavdessaaxlarförslagsvisx-axeln.Detsomdåkommerattgällaär:

a F

mdVdt

V d xdt

x V dVds

2

2= = = = = =

* Isambandmedtryck-ochstötvågsbelastningaravkonstruktionselementförståsmedimpulsoftaprodukten(integralen)avtryckochtid.

86


Problem: En JAS 39 står vid banänden. Den väger 12 ton och motornlämnar 80.5 kN dragkraft med tänd efterbrännkammare (ebk). Vilken bliraccelerationen inledningsvis?Hur långrullsträckabehövs förattuppnå lätt-ningshastigheten,Vlätt, somvi antar är250km/timochomvibortser frånluftmotståndetochantarattaccelerationenärkonstant?

Lösning:AccelerationärF/m=80500/12000=6.7[m/s2].FörhastighetengällerV2=2as(förutsattattV0=0)vilketkangörasomtills=V2/2avilketmedinsättning ger (250km/s≈70m/s): s=702/2•6.7≈366[m]. Startsträckanblirsåledesca366m.Viddennahastighetkanmaninteheltbortsefrånluft-motståndet, varför den verkliga startsträckan blir längre. På FMV:s hemsidauppgesstartsträckantill400m,docksägsingetommotsvarandestartvikt.

• Fallrörelse

Ettexempelpårätlinjigrörelsemedkonstantaccelerationärfrittfall.Accele-rationärhäralltidg,som,enl.ovan,antasvara9.81m/s2närajordytan,omvibortserfrånluftmotståndet.

Problem: Manvillvetahurlångtnerdetärtillvattenytaniendjupbrunn.Förattfåenuppskattningavdettasläppermanenstenochmätertidentilldessattmanhörnedslaget.Vibortserviddennaförstauppskattningfrånluftmot-ståndetsinverkanpåfallhastighetenochantarattljudetgåroändligtsnabbtiluften.Tidenmätstill2s.(Kalladenvertikalakoordinatenförz.)

Lösning: z=0.5at2+V0tmeda=9.81 ochV0=0 fås z=0.5•9.81•4≈20[m].Brunnenäralltsåca20mdjup.

• Av varandra oberoende rörelsekomposanter

Denrätlinjigarörelsenenl.ovankansynasutgöraettfåtalspecialfall.Detgårdockattvisaattmångamerkompliceradefallkan lösasgenomattmanbe-traktarrörelsensombeståendeavtvåellerfleravvarandraoberoendelinjärarörelser.Ettexempelkanvaraettflygplansomflygerpåkonstanthöjdmedkonstantfart.Omviantarattplanetvidettvisstögonblickfällerenbombkanbombensrörelsebeskrivassomenrörelseframåt(x-riktningen)medkonstanthastighetochenfallrörelsenedåt(z-riktningen)enligtföregåendeavsnitt,alltunderförutsättningattvibortserfrånluftmotståndet.

På motsvarande sätt kan kulbanan från ett eldrörsvapen beräknas, dockfortfarandeunderantagandetattingetluftmotståndfinns.Dåluftmotståndettasmediberäkningarnablirproblemetväsentligtmerkompliceratbl.a.genomattluftmotståndetsriktninghelatidenvarierar.

Problem: Ettflygplanflygerpå40mhöjdmedhastigheten250m/s.Upp-skattahurlångtföretänktträffpunkten500kgbombskallfällas?

Lösning: Falltidenfrån40märca2.9s,förutsattattbegynnelsehastighetennedåtär0m/s.Massanharingenbetydelseomvibortserfrånluftmotståndet.

87

Mekanik

Alltsåskallbombenfällasca710mföretänktträffpunkt.Ifigur7.7visasentabellöver”fallet”ochvärdenafråntabellenävengrafiskt.

Tid (s) Fallhastighet (m/s) Fallsträcka (m) Höjd (m) Horisontell sträcka (m)

Total hastighet (m/s)

0 0 0 40 0 250

0.4 4 1 39 100 250

0.8 8 3 37 200 250

1.2 12 7 33 300 250

1.6 16 13 27 400 250

2 20 20 20 500 251

2.4 24 28 12 600 251

2.65 26 34 6 662.,5 251

2.75 27 37 3 687.5 251

2.8 27 38 2 700 252

2.85 28 40 0 712.5 252

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

10

20

30

40

Höj

d(m

)

Avståndfrånfällningspunkten(m)

0 100 200 300 400 500 600 700 800

0

2

4

Tid

Höjd

Tid

från

fälln

ing

(s)

Figur 7.7. Tabell över fritt fall för en bomb och graf visande den fallande bombens bana och tid. (Källa: FHS)

88


7.4.6 Kroklinjigrörelse

Denenklastekroklinjigarörelsenärmåhändacirkeln,låtossdärförstuderaenrencirkelrörelse.EnligtNewtonsförstalagfortsätterenkropp,sominteutsättsförnågrakrafter,ienrätlinjemedkonstanthastighet.Förattfåenkroklinjigrörelsekrävsalltsåenkraft.

Dennakraft,F,ärriktadmotcirkelnscen-trumochkallas centripetalkraft.Låtosstänkaossattdennacirkelrörelseåstadkomsavt.ex.ensläggkastare.”Snöret”manhålleripåver-kardåsläggan/kulanmedkraftenF.SlägganshastighetärV.Vihöroftatalasomcentrifu-galkraft,vilketkansägasvaradenkraftsomslägganpåverkar”snöret”med.

OmFupphörfortsätterslägganicirkel-tangentens,alltsåhastighetens,riktning.(Ettfenomensomkandrabbaävenenvanbilfö-rarevidförstasnöfallet.)

Storleken på kraften F kan beräknas uruttrycketF = mV2/Rdärmärkroppensmassa,VhastighetenochRärradienpåcirkelnsomkroppenrörsigi.

Eftersomkroppenpåverkasavenkraftutsättsdenocksåförenacceleration,idettafallhelatidenriktadmotcirkelnscentrum.dennaaccelerationkallascentripitalacceleration,vilkendåkanberäknassoma = F/m = V2/R.

I sambandmedflygplansoch robotarsprestanda talasoftaomdet antal”g”,lastfaktorn,n,somrobotenellerflygplanetkansvängamed.Dettalsomdånämns är centripitalaccelerationen, somvi justdiskuterat,divideratmedg=9.81,alltsån = V2/Rg.

Sammaformlersomovangällerävenomkroppeninterörsigiencirkelutaninågonannankurvagenomattvarjelitendelavbanankantänkasutgörasavencirkelbågemedenvissradie,R.

Problem: AntagattenJAS39kansvängamed9g.Hurgörpilotensnab-basten180osväng?Skallhan/honhahögellerlåghastighet?Viförutsätteratthan/honhållersammalastfaktorgenomhelasvängensamtbortserfråndentiddetskulletaattaccelereraellerretarderaföresvängen.Ledning:OmkretsenpåenhalvcirkelärπR.

Lösning: Tiden,t,förattsvängaetthalvtvarvärπR/V;samtidigtgällerattn=V2/Rg=9,vilketgert.ex.R=V2/9g.Omdettauttrycksättsinisamban-detförtidenfåst = πV/9g [s].

Avdettaframgårattmanbörhållasålåghastighetsommöjligt(dockgällerdettaunderdenågotkonstladeförutsättningarna).

F

Figur 7.8. Cirkelrörelse hos en kropp. (Källa: FHS)

8�

Mekanik

7.4.7 Friktion

Förattt.ex.draettföremålöverettgolvkrävsenvisskraft.Skälettilldettaärattmellangolvetochföremåletverkarenfriktionskraftimotsattriktningmotrörelsen.

Vitänkerossattvidrarenkroppmedkonstanthastighetöverenplan,ho-risontellyta.Fråganärhurstorkraft,F,krävs.Låtossförstantaattkroppenharmassan=m.Dettainnebärenl.tidigareattkroppenpåverkarytanmedkraftenmg(g=9.81)ochytanpåverkarkroppenmedenkraft,normalkraften,N,somärlikastor.DenkraftsomdåkrävsärF = µN = µmg.

µkallasfriktionskoefficientenochberorpåvilkamaterial,kroppochytabeståravsamtytornasbeskaffenhet.Attmärkaärattkontaktytansstorlekintepåverkarvilkenkraftsomkrävsochejhellermedvilkenhastighetföremåletdras!Däremotkanmankonstateraattförattrörelsenöverhuvudtagetskallbörjakrävsenstörrekraftänvadsomsedanbehövsföratthållakonstanthas-tighet.Avdettaskältalarmanomtvå”olika”friktionskoefficienter,nämligenden”ivila”,oftabetecknadmedµs(sförstatisk),alltsådensombestämmervilkenkraftsomkrävsförattrörelsenskallstarta,ochdenfriktionskoefficientsområdervidrörelse,µk(kförkinetisk).Förfriktionskraftenmellanettfastföremålochenvätskaellergasgällerandraformler.

Härnågraexempelpåfriktionskoefficienter(ettantalfaktorergörattvär-denakanvariera):

Typ av ytor µs µk

Stål mot stål, torrt 0.6 0.4

Stål mot stål, oljigt 0.1 0.05

Stål mot teflon 0.04 0.04

Gummi mot asfalt, torrt 0.9 0.8

Metall mot is 0.02

N=mg

mg

F Ffrikt

Figur 7.9. Friktion mellan golvet och föremålet. (Källa: FHS)

�0


Problem: IettproblemovanfrågadesefteraccelerationendåenJAS39star-tade.Frågannuär:Kanpilotendrapåfullgasochtändefterbrännkammare(ebk)utanattplanetbörjarglidapåbanan?Antagµmellangummiochasfaltär0.9(enl.tabellenovan).

Lösning: Ffrikt*≤mgµs=12000•9.81•0.9=105950[N]. Eftersomdragkraftenmedtändebkär80500Növervinnsintefriktionskraften!(Omplanetdäremotintevoresåtungtlastat,sägt.ex.attmaninförenuppvisningpåhemmabasenbarahartankatdelaravvadsomkantassamtinteharnågrayttrelaster.Planetvägerdåca8tonochfriktionskraftenblirmaximaltca70600N.Idettafallskullemotordragkraftenövervinnafriktionskraften.)

7.4.8 Fjädrar–dämpare

Många mekaniska system innehåller fjädrar eller elastiska element som kanbetraktassomfjädrar.Ettgammaltpraktisktinstrumentsombyggerpåfjäderärjufjädervågen.Viantarattviharenmassaupphängdienfjäder.

Denkraftsomkrävsförattflyttamassanavståndet∆LbrukarberäknassomF = k ∆Ldärkärdensk.fjäder-konstantensomberorheltavhurfjä-dern är uppbyggd. Vid beräkningarantasoftastatt”k”ärlikastorobero-ende av omdrar i eller trycker ihopfjädern.Omvibetraktarfjädernovaninnanvihängtditmassanochsedandåmassanhängerdär,dockutanatt

viläggerpånågonytterligarekraft,kommerföljandeattgälla:mg = k ∆LFjädernsförlängningärsåledesproportionellmotmassan.(Omviförmed

ossenfjädervågochettvisstföremåltillmånen,visardåfjädervågenlikastormassapåjordensompåmånen?)�

Fjäderkraftenäralltidriktadimotsattriktningmotfjädernslängdföränd-ring.Ommaniettfallsomovandragitutenfjädermedenmassaochsläpperdensammauppstårensvängningsrörelsekringjämnviktspunkten.Frekvensenpådennasvängningkallasegenfrekvensenochbestämsavmassansstorlekochfjäderkonstanten. Om upphängningspunkten påförs en rörelse med sammafrekvens, om än aldrig så liten, som fjädersvängningen har, uppstår en s.k.egensvängning som teoretiskt slutarmedoändligt stor amplitud. (Antag att

* Friktionskraftenäraldrigstörreändenkraftsomdenmotverkar,dvs.omingenkraftfinnssomförsökerdraovannämndakroppövergolvetfinnshelleringenfriktionskraft.

� Fjädervågen visar egentligen inte massan utan tyngden, som på månen är mindre än påjorden.

∆L

Figur 7.10. Fjädrar. (Källa: FHS)

�1

Mekanik

massanochfjädernärupphängditaket.Ivåningenovanförbörjarmandansajenka.Detgällerdåatttakteninteöverensstämmermedegenfrekvensen.*Det-taärocksåskälettillatttruppaldrigskallmarscheraitaktöverenbro!)

Genomattutgå frånde sambandvi talatom tidigarekanmanbeskrivakroppenspositionochrörelse.Underantagandeattfjäderndragitsutlängdenxipositivx-riktningerhålles

F = ma = mx = -kx därxsedankanlösasutochkroppenssvängningsrörelsebeskrivsav

x b sin( k

mt )= + α

därb ochα är valfria konstanter.Urdetta kandå för den s.k. harmoniskasvängningenvinkelhastighetenbestämmassom√k/m,frekvensenblirdärav

f 1

2km

och perioden T = 2 mk

=π

π

Iett idealfall skulleen svängning,orsakadavattenfjäderbelastadmassaförtsursittjämviktsläge,pågåialloändlighet.Iverklighetenfinnsalltidens.k.dämpning,oftaavsiktligtinförd(jmf.stötdämparepåbil).Dämpkraftenver-karalltidimotsattriktningmotrörelsen/hastighetenochärproportionellmothastigheten,tillskillnadfrånfjäderkraftensomärproportionellmotläget.

7.5 Rörelse kring tyngdpunkten – rotation

Om vi betraktar fallet ovan, när tyngdpunkt diskuterades och där vi på envertikalvägghängdeuppenskivagenomsintyngdpunktochdåfannattski-vankundeintavilketlägesomhelstochförblidär,ochiställettänkerossattvihängerdeninågonannanpunkt.Denkommerdåatt,somnämndesredantidigare,attroteraförattintaett jämviktsläge.Hurdennarotationskerochvadsombestämmerhurdenroterar skallvinu(mycketkortochförenklat)beskriva.

7.5.1 Moment

Vitänkerossenkraft,F,ochenpunkt,O,isidansplan.KraftenFgenererarnuettmoment,M,runtpunktenO.Momentetsstor-

lekär M = Fr därrärdetvinkelrättaavståndet(=minsta)frånkraftensriktningtillpunktenO.

* ”…klockanärlångteftertolv…dåslårdetmigplötsligtattmitttakärnågonannansgolv”,AlfHenriksson.

�2


EnhetenförmomentärNewtonmeter, Nm,ochmomentetär,liksomkraf-ten,envektor,varsriktningidettafallärvinkelrättmotplanetsomkraftenochpunktenliggeri,idettafallsidansplanochriktadinåt(”korkskruvsregeln”).

7.5.2 Tröghetsmoment

Förattkunnaberäknarotationsrörelsenbehöverkroppenbeskrivasmedmeränenbartmassa,vilketärvadvigjorthittills.Manbehöverhärocksåpånågotsättbeskrivahurkroppensmassafördelas.Dettagörsgenomdets.k.tröghets-momentet,vanligenbetecknatmedIellerJ.Oftastberäknaströghetsmomentetrunttremotvarandravinkelrätaaxlar,varvidt.ex.beteckningarnaIx,IyochIzanvänds.Härgesendastettmycketenkeltexempelpåhurtröghetsmomentetberäknasförentänktkonfigurationbeståendeavtvåmasspunktermedvarderamassanmochpåavståndet2rfrånvarandra.

Tröghetsmomentet, I, runt den streckadelinjen, som går genom tyngdpunkten, blirI = 2 mr2.Tröghetsmomentetbeskriversåledesnågotomhurmassanärfördelad.Här,liksomi fallet tyngdpunkten, hänvisas till tabellverkavtypenTEFYMAförattdärfinnavärdenpåtröghetsmomentförvissaenklaregeometriskakonfigurationer samt vissa beräkningsregler.

AllmäntgällerattI = ∫r2dmdärrärvinkelrätaavståndet fråndenaxel,kringvilkentröghetsmomentetstuderas,tillettlitetmasselement,dm.

Iblandtalarmanomtröghetsradie,r,vilkendefinierassom I = r2mvilketkanutvecklastill

I r m vilket kan utvecklas till r = I

m2=

Intesällantalarmanomhuvudtröghetsaxlarochhuvudtröghetsmoment.Fördetfallviharenkroppmedenellerflerasymmetriaxlarutgördessahuvud-tröghetsaxlar,ochtröghetsmomentenkringdessaärhuvudtröghetsmoment.

F

OM

r

Figur 7.11. Moment. (Källa: FHS)

r

m m

Figur 7.12. Tröghetsmoment. (Källa: FHS)

�3

Mekanik

7.5.3 Rotationsacceleration,rotationshastighetochvinkel

Dåenkropproterarkringenaxelhardenenvissvinkelhastighet,betecknadt.ex.medω.Omvinkelhastighetenbetecknasmedω såbetecknasvinkelac-celerationenmedω.Beteckningarförvinkelvarierarmycketsomt.ex.α,β,δ,ϕ och θ.Vinkelhastigheterna kan då betecknas med aktuell variabel medenpunktöverochvinkelaccelerationernamedtvåpunkteröver.Enhetenförvinkel är1 radian, 1 rad (jmfavsnitt6.12), enheten förvinkelhastighet är1 rad/s,eller1/s,ochenhetenförvinkelaccelerationärföljaktligen1 rad/s2,el-ler1/s2.Såvälvinkelhastighetensomvinkelaccelerationenärvektorstorheter.

Analogt med vad som gällde för acceleration, hastighet och sträcka vidtranslationsrörelse(seavsnitt7.4.1)gällerhärsammasakerförvinkelhastighetochvinkel.

Vinkelmåttet1rad(radian)definierasavattettvarvär2πradianer.(Mått-tetärmåhändamerkäntsommilliradianerellerstreck,alltså0.001radianer.ISverigeharmantidigareräknatmedattpåettvarvgår6300streckmedanmaniNato-länderräknatmed6400streckpåettvarv.)

7.5.4 Rotationsrörelse

Storalikheterrådervadgällerekvatio-nerförvinkelrörelseochtranslationsrö-relse,vilketvisasnedan.Låtossinled-ningsvis ta ett enkelt exempel. Antagattviharettsvänghjulsomskalldrasigång. Detta görs genom att en kraftanbringas vid hjulets periferi , t.ex.startsnörettillengräsklipparmotor.

Kraften, F, ger ett moment kringsvänghjuletsaxel, somantasvaravin-kelrätt mot papprets plan. Vi tänkeross att svänghjulets tröghetsmomentrunt samma axel är I. Då kraften F

läggspåbörjarhjuletrotera.Rotationsaccelerationenkandåberäknassom:

M=Idωdt

=Iώ

eller

ώ= MI

underförutsättningattIärkonstant,vilketärdetipraktikenvanligastföre-kommandefallet.

M

F

Figur 7.13. Kraft som ger upphov till ett moment. (Källa: FHS)

�4


OmdessutomMärkonstantochalltsåvinkelaccelerationenkonstant,fåsvinkelhastigheten somω = ώt och vinkel, kalla den i detta fall för ϕ, somϕ=ωt.

Ovanstående formler härleds från det allmänna uttrycket för sambandetmellanmomentochrörelsemängdsmomentnämligen

M d(I )

dt=

ω

därsåledesproduktenavtröghetsmomentochvinkelhastighet,Iω,kallasrörel-semängdsmoment.UnderförutsättningattIärkonstantbliruttrycket

M I d( )

dt= =

ωωI

OmmomentetM = 0kommerrörelsemängdsmomentetattvarakonstant,såomt.ex.tröghetsmomentetminskarökarrotationshastigheten.Dettavisastydligtav”skridskoprinsessan”sommedutsträcktaarmarharenvissrotations-hastighetpåisen.Närhonsedandrarinarmarnaochpåsåsättminskartrög-hetsmomentetökarrotationshastigheten!

7.5.5 Omgyron

Ett (tungt) gyro är en kropp som kännetecknas av att tröghetsmomentetkringen(huvudtröghets)axelärmycketstörreänruntdetvåandra(huvud-tröghets)axlarna.Dennakroppgesenmyckethögrotationshastighetruntdenhuvudtröghetsaxelsomharstörsttröghetsmoment.

Ettgyrovillalltidförblimedrotationsaxelnisammariktning.Dettaan-vänds för att bygga plattformar som vinkelmässigt ”ligger stilla” då t.ex. enfarkostdesitterirörsig.

Gyronhardessutomdenegenskapenatt,omvi tänkeross ett gyro somroterarkringenvertikalaxel,enl.figur7.14,ochsompåförsettmoment,M,runtenaxelvinkelrättmotrotationsaxelnochriktadiniparetsplansåkom-mer inte gyrots rotationsaxel att vrida sig kring denna axel utan strävar attvridasigkringenaxel(A – Aifiguren)vinkelrättmotdessabådaaxlar.Detta

MA A

Figur 7.14. Princip för ett gyro. (Källa: FHS)

�5

Mekanik

fenomenkananvändasförattbyggaplattformarsomärskrovfasta.Genomattmätademomentsomuppkommerdågyrottvingasvridasigkanmanberäknahuren”rymdfastplattform”skullehaståttochpåsåsättfåsammainformationsommedenrörligplattform.

Attvitalarom”tungtgyro”berorpåattidagenslägefinnsandratyperavgyronsomt.ex.lasergyron,mendet”tungagyrot”ärursprunget.

7.5.6 Torsionsfjädrar

Tidigarehar talats omfjädrarochdå avsågs främstfjädrar av typen ”spiral-fjädrar”.En stav somvridskring sin längdaxel, kanocksåbetraktas somenfjäderochmantalardåom”torsionsfjäder”.

Fördennatypavfjädrargälleriprincipsammasomförspiralfjädermenmeddenskillnadenattiställetför”fjäderförlängningen”∆xbetraktarmanen”vinkelförändring”,t.ex.∆ϕ.

7.6 Arbete – energi – effekt

Låtossförstgöraenlitenutvikninggenomattcitera”termodynamikensförstahuvudsats”somsäger:”Energikanvarkenskapasellerförstöras.”*

Energin förstörs alltså inteutanomvandlasmellanolika typeravenergi.Inommekanikenkommerviidetföljandeattberöraettpartyperavenergisomärintimtförknippademeddetsomvihittillstalatom.Utöverdettafinnsett stort antal energiformer som t.ex. elektrisk energi, värmeenergi, kemisktbundenenergim.m.

Omettföremålskallförflyttaskrävsiallmänhetettarbeteförattgöradet-ta.Låtosstatvåexempel.Omvidrarettföremålövergolvetmedkonstanthastighetmåstevidramedenvisskonstantkraft,F,somexaktkompenserarfriktionskraften.

Antagattviförflyttatkroppensträckans.DetarbetesomvidåutförtärFs.AlltsåarbetetW,definierassomW = Fseller”arbetetärproduktenavkraftens

* Dettagälldeändatillsmanbörjademedt.ex.kärnklyvningardåmassaomvandlastillenergienligt formlersomredovisatsavEinstein.Såförpraktiskt”vardagsbruk”gäller fortfarandedennaförstahuvudsats.

s

F

Figur 7.15. En kropp rör sig längs ett golv. (Källa: FHS)

�6


projektionpåvägenochtillryggalagdsträcka”.Dettainnebärattomvisläparettföremålöverettgolviettrepärdetbaradendelavkraftensomärparallellmedgolvet,Fx,som”bidrar”tillarbetet,detärjubaradennakomposantsomövervinnerfriktionskraften.

Allmänt gäller attW = Fds.Låtoss tänkaoss attman lyfter ett föremål,varsmassa ärmkg, sträckanhm.Denkraft somkrävs fördetta ärmg N,vilketinnebärattdetarbetesomkrävsfåssomW = mgh.Enhetenförarbeteär1 Joule, 1 J,(=Nm[Newtonmeter]).*EnvanligbeteckningförarbeteärW.Arbeteärenformavenergi.

Mankandåit.ex.detsenarefalletfrågasigivilkenformenerginomvandlatsdåmanlyfterettföremål.Svaretärattdetnedlagdaarbetetåterfinnssompo-tentiellenergiellerlägesenergihoskroppen.Denpotentiellaenerginharaldrignågotabsolutbelopputanangesalltidförhållandetillnågotreferensplan.Ifalletdärvitänkerossattvilyfterettföremålfrånettgolvärdetlogiskt,menintenödvändigt,atthagolvetsomreferensplanochattdärmedärdenpotentiellaenergindär= 0.(Dettainnebärocksåattpotentiellenergikanvaranegativ.)

Omvitänkerossattvisläpperkroppenvilyft.Denkommerdåattbörjafallaenligtvadsomavhandlatstidigare.Nuomvandlasdenpotentiellaenergintillkinetiskenergieller rörelseenergi.Förattvaraexaktbörmöjligendennaformavrörelseenergibetecknassomtranslationsenergi,eftersomdenärdirektförknippadmedtyngdpunktensrörelse,translationen.DenkinetiskaenerginbetecknasoftamedTochenhetenärsomförallaenergiformerJoule.

Hur beräknas då translationsenergin? Det går att visa att den ärWtransl = ½mV2där,somtidigare,Värtyngdpunktenshastighetochmkrop-pensmassa.

Omviåtergårtilldettänktafalletdåviförstlyfterettföremålsträckanh(t.ex.överettgolv)ochsedansläpperdetsamma,såskallallpotentiellenergihaomvandlatstillrörelseenergidåföremåletåternårgolvet,alltså½mV2 = mgh.UrdettakanhastighetendåföremåletnårgolvetberäknassomV = √2gh.(Omkroppenfallerenlängresträckaänavståndettillgolvet,t.ex.genomattmangårframtillettfönsterochsläpperden,ärhdetavståndsomkroppenfallit.)

* Tidigarevarenhetenförvärmeenergikalorier(kilokalorier)varvidenomräkningsfaktormåsteinförasvidövergångfrånellertillvärmeenergi.GenomattkonsekventanvändaSI-systemetbehövsingasådanaomräkningstal!

s

FW=FxsFx

Figur 7.16. Kraften F uppdelat på en komposant. (Källa: FHS)

�7

Mekanik

Problem: Tidigarehadeviettproblemmedattmätadjupetpåenbrunn.Beräknapåtvåsätthastighetensomstenendusläpperhardådennårvatteny-tanunderantagandeavattluftmotståndetkanförsummas.

Lösning:Idettidigareexempletsadesattfalltidenvar2 sochbrunnensdjupca20 m.DettagerV = V0 + atmenV0 = 0alltsåV = 9.81 • 2 = 19.6 [m/s]el-lerV = √2gh = √2 • 9.81 • 20 = 19.8 [m/s](brunnenvarinteexakt20 m!).

Vihartidigarekortdiskuteratfjäderkrafter.Underantagandeavenidealfjäderkanmanocksåberäknadenenergi somlagras ifjäderndådentrycksihopellerdrasut!DennaenergiblirWfjäder = ½kx2underantagandetattfjä-derntrycktsihop/drasutsträckanxfrånett”viloläge”.

Förentorsionsfjädergällermotsvarandemenmedenvinkelsomersätterförändringenilängdsamtdendåaktuellafjäderkonstanten.

Enroterandekropp,t.ex.engyrosnurraellerenroterandegranat,harocksåenrotationsenergi.DennaenergiberäknassomWrot = ½Iω2därIärtröghets-momentetruntrotationsaxelnochωrotationshastighetenruntsammaaxel.

Denenergisomutvecklaspertidsenhetkallaseffekt.Enhetenföreffektär1 watt, 1 W (= 1 J/s = 1 Nm/s).EffektenbetecknasoftamedPochkanbe-räknassomP = FVdärFärkraftenochVärhastigheten.VidkonstanteffektgällerW = Pt.

Detallmännauttrycketärannars

P= dWdt

eller

W Pdt= ∫

��

8. Hållfasthet

8.1 Allmänt om hållfasthet

Mekanikenbehandlaroftastkropparsomstelaochbeskriverdärmedintevadsomhänderinutikropparnanärdeutsättsförkrafterellermoment.Mångaavdekropparsomåterfinnsimekanikexempelärinteheltstela,t.ex.enbiländrarform,ellerdeformeras,underettaccelerationsförlopp.Förattkunnastuderahurochhurmycketbilenändrarformochomdetinnebärattdenriskerarattgåsöndersåbehövskunskapihållfasthet.Hållfasthetbeskrivernämligenhurenkropp,ellerkonstruktion,betersignärdenbelastas.Frågorsomhållfast-hetsberäkningaroftasvararpåär:

• Hurkommerkonstruktionenattdeformeras?

• Kommerdeformationenattkvarstå?

• Kommerkonstruktionenattgåsönder?

• Varkommerkonstruktionenattgåsönder?

Enförutsättning förattkunnasvarapådessa frågorärattmanvetvilkakrafterkonstruktionenkommerattutsättasför.Dettarmanoftastredapåmedhjälpavmätningarochstatistik,ellermedhjälpavberäkningarpåtillexempelaccelerationerelleromgivandetryck.

Förattkunnabestämmavadsomhändermedkonstruktionenmåstemanvetavadsomhändermedrespektivedelochdärmedmåstemanvetavadsomhänderinutit.ex.plåtenellerbalken.

100


8.2 Hookes lag

Tvåcentralabegrepp för attbeskrivavad somhänder inuti ettmaterialnärdetutsättsförkrafterärnormalspänningochtöjning.Normalspänningenkanantingen vara i drag eller tryck och beskriver hur kraften fördelar sig inutikroppen.

Normalspänningbetecknasmeddengrekiskabokstavenσ(sigma)ochharenhetenN/m2.Figur8.1visarattienstångsomutsättsförendragkraftFsåblirdetdragspänningenσ=F/Ainuti.EnhetenförnormalspänningärPascal(Pa),detvillsägasammaenhetsomtrycksomocksåärkraftperytenhet.Ifalletovanärdetenkeltattberäknanormalspänningenochdenärlikastoröveralltistången.Ideflestafallsåvarierardocknormalspänningenavsevärtberoendepåvilkenpunktifigurersomäraktuell.Tillexempelomstångenskullehaensmalaremidjadärtvärsnittsareanskullevara5gångermindresåskullenormal-spänningenimidjanvara5gångerstörre.

Töjningbeskriverhurmycketmaterialetdeformeras:omtöjningenärposi-tivsåförlängsmaterialetochomtöjningenärnegativsåblirdetkortare.

OmstångenvarLlånginnankraftenlaspåsåblirstångennågotlängrenärdenutsättsförkraftenF.Töjningenεkandåberäknasgenomattdelalängdför-ändringen(x–L)meddenursprungligalängden.ε=(x–L)/L(sefigur8.2).

Hookes lagbeskriverhurnormalspänningochtöjningberoravvarandraförettspecifiktmaterial:E = σ / ε

E,elasticitetsmodulen,ärenmaterialparameter,somt.ex.kanslåsuppienmaterialtabell.Dvs.attommanvetvilketmaterialdetärochvilkentöjning

a) FF

b) F =F/A

Tvärsnittsarea=A

Figur 8.1. En stång som utsätts för en dragkraft F. (Källa: FHS)

c) FFTvärsnittsarea=A

x

Figur 8.2. En stång utsätts för kraften F. (Källa: FHS)

101

Hållfasthet

Vidlåganormalspänningar,detvill sägasvagadragkrafter,är töjningenidetelastiskaområdet.Detinnebäratttöjningengårtillbakaommantarbortkraften.Närkraftenökaskommertöjningenattövergåtillplastisktöjningochdärmedkvarståävenomkraftentasbort.Närnormalspänningennårsträck-gränsenkommertöjningenatthastigtöka.Maximalnormalspänningsomma-terialettålkallasbrottgräns.

Lutningenpålinjenbestämsavelasticitetsmoduleninomdetelastiskaom-rådet.Normaltkonstruerarmantillexempelettfordonsåattnormalspänning-enaldrigkommernärasträckgränsenochattalldeformationskeridetelastiskaområdet.Ävenomkonstruktionenfortfarandehållerihopvidsträckgränsensåkommerdeninteattfungerapåsammasättsominnan.

8.4 Böjning

Deflestakonstruktionerinnehållernågontypavbalkarsomutsättsförmo-mentochdärmedböjsnågot.T.ex.hardeflestasetthurenflygplansvinge,somhållfasthetsmässigtärenbalk,böjsuppåtnärfartenökarinnanstart.Ocksåpå

Elastisktområde

Plastisktområde

Brottgräns

Sträckgräns

Figur 8.3. Förhållandet mellan normalspänning och töjning. (Källa: FHS)

detärsåkanmanberäknanormalspänningenellerberäknatöjningenommaniställetkännernormalspänningen.Elasticitetsmodulenförstålär211GPa.

8.3 Dragbrott

Ommandrarienstålstavenligtfigur8.2kommerdenattslutligengåsönder.Figur8.3beskriver förhållandetmellannormalspänningoch töjning viddetförloppet.

102


Närenbalkpågrundavkrafterellermomentböjstvingaslängdenpåöver-ochunderdelenavbalkenattändralängd.

Ombalkenböjsnerpåmittenkommerdenövredelenblinågotkortareochdenundrenågot längre.Dvs.attvi får tryckspänningar iöverdelenochdragspänningariunderdelen.Hurstoradessanormalspänningarochhurut-böjningenblirberorpåhurstorkraftenär,menocksåpåhurbalkenserut.

8.5 Beräkningsmetoder

Deflestakonstruktionersomtasframidagärkompliceradeochdekraftersomdeutsättsförkanvaramånga.Dettainnebärattdetsällanärmöjligtattberäk-nadettaförhand.Konstruktionenmåstebeskrivasmycketdetaljeratinågontypavberäkningsprogram.Sedanmåsteävendeaktuellakrafternabeskrivasiprogrammetförattprogrammetsedanskallkunnaberäknaderesulterandepåfrestningarnaochdeformationerna.

Detärrelativt lättatt fåut färggladabilderurdessaberäkningsprogram,mendetkrävsmycketkunskapförattgörabeskrivningenavkonstruktionernaochkrafternatillräckligtbra.

8.6 Konstruktionsmaterial

Detvanligastekonstruktionsmaterialetärolikatyperavmetalliskalegeringarsåsomt.ex.stålochmässing.Dessalegeringarblandasolikaberoendepåvilkahållfasthetsegenskapermanvillhaut.T.ex.skallettstålsomanvändsifjädrarhaettstortelastisktområde,dvs.deskalltålastoradeformationermenändåfjädratillbaka.Däremotanvändermanenmjukmetalltillgördlarpågranater;gördelntätarmellangranatochrörmenmåstetillåtaattröretsbommargörspårimaterialet.Gördlartillverkasdärföroftaikopparsombådeharenlågsträckgränsoch lågelasticitetsmodulochdärmed tidigtdeformerasavbom-marnautanattförstöraröret.

F

Figur 8.4. Böjning av en balk. (Källa: FHS)

fartygochfordonfinnsdetmångabådestoraochsmåbalkar.Broarärandrabraexempelpåbalkar.

103

Hållfasthet

Kerameräroftastenhögelasticitetsmodul,dvs.deärstyvaochdetkrävshöganormalspänningarförattuppnåmycketsmådeformationer.Kerameran-vändsdärföroftaiskyddsapplikationer.

Idaganvändsävenmångaolikatyperavplaster.Dessakanhamycketvarie-randehållfasthetsegenskaperochdärmedverkligenskapasförettspecifiktsyfte.Kompositerinnebärattmanblandarolikatyperavmaterialförattuppnånyamaterialegenskaper.Detfinnsdärförmångaolika typer avkompositer, t.ex.kompositersominnehållerbådekeramerochmetaller.Detvanligasteärdockattmanmenarenkompositsombeståravnågontypavfiberochenpolymer,polymerafiberkompositer.Glasfiberarmeradplastärenpolymerfiberkompositdärglasfiberomslutsavhärdplastenpolyester.Fördelenmeddessapolymerafi-berkompositerärattfiberärmycketdragstyvochmandåkanläggadessafibreridenriktningdärmanförväntarsigstoradragspänningar.

Detfinnsävenandrafaktorersompåverkarmaterialochderashållfasthet;denviktigasteärtemperatursomdrastisktkanpåverkamaterialetsfunktion.Mångamaterialblirsprödavidlågatemperaturerochmjuknarvidhöga.

105

9. Aerodynamik

Aerobetyderluftochdynamikrörelsesåidettakapitelskallvitittanärmarepåhurluftensrörelsepåverkarolikafarkoster.Aerostater,dvs.farkostersomärlättareänluft,kommerviinteattbehandlaingåendeidennabok.Förutomfastförankradeaerostater,såkalladespärrballonger,kanmankonstateraattut-vecklingeninomdettaområde(2006)gårmotluftskeppsomskallkunnaliggapåmyckethöghöjd(12–20km,dvs.ovanförvanligttrafikflyg)underlångtid.Dettalasomtiderpåupptill5årigeostationärposition,ochdessaskulleisåfallbliettalternativtillsatelliter.Detpågårocksåforskningpåhybridfarkostersomfårca80%avsinlyftkraftsomenaerostatochresterandedelavrörelsesometttraditionelltflygplan.

Förattunderlättaframställningenkommernågraantagandeattgöras.Detförstaärattluftenärettkontinuum,dvs.attviintetittarpåenskildaluftmole-kylerutananserluftenvarahomogen.Dettaärnormaltenbraapproximationsålängemanintetittarpåfysisktmycketsmåsakersomgasturbinersomärimillimeterstorlek.Detfungerarintehellerpåhöghöjdvidgränsentillrymdendärdetärlångtmellanluftmolekylernaochdeträffarenfarkostslumpmässigt.

9.1 Olika hastigheter med olika krav

Ommanstickeruthandengenomsidorutanpåettfordonnärdettahargodfart kanmankänna att den aerodynamiska världen inte är linjär.Ommant.ex.provaratthållauthanden i30,60och90km/hkännermanattmot-ståndetinteökarlinjärt,dvs.attskillnadenmellan60och30km/hskullevaralikastorsomskillnadenmellan90och60km/h.Dettaförutsätternaturligt-visattduhållerhandenpåsammasättunderdittempiriskaförsöksamtatt

106


eventuellvindintevarierarinågonstörreomfattning.Detvisarsigattskill-nadensnarareärkvadratiskt,dvs.motståndetärcirka4ggrhögrei60km/hjämförtmed30km/hochhela9ggrhögrevid90km/h.Dettakallasdetdy-namiskatrycket, ∞q ochdetkanmatematisktbeskrivasav

2

21 Vq ρ=∞

därρärluftensdensitet(ca1.23kg/m3vid15°Cochhavsnivå)ochVbeteck-nar(friströms-)hastigheten.HärärdetocksåpåplatsattpresenteradetsomkallasBernoullis ekvation (trots attdetvarLeonardEuler sompresenteradedenförst):

konstant

21 2 =+ Vp ρ

dvs. att summan av det statiska trycket, ρ och det dynamiska trycket, ∞q enligtovanärkonstant.

Dagsförnyaförsök.Ommankörimotorvägsfartochöppnarsidorutanhastigtkännermanattdetryckertillitrumhinnorna.Dettaberorliteförenklatpåattdetdynamiskatrycketutanförrutanärhögreäninutibilen(därV=0)tyluftströmmenutanförharenhastighetochdetstatiskatrycketmåstedärförminskaförattsummanskallförblikonstant.

Vidarebrukarmandelainaerodynamikiolikaområdenbaseratpådens.k.Machtalet,vilketdefinierassom

∞

=aVM

där ∞a är ljudhastigheten(ca340m/svid15°Cochhavsnivå).NoteraattMachtaletkanvarabådestörreochmindreänett.Detharnämligenvisatsigatt det är stora skillnader i vilka verktyg och matematiska modeller som ärlämpligavidolikaMachtal.Mycket förenklatkanmansägaattvidM<0.3så är det relativt enkelt att förutsäga aerodynamiska prestanda och man ta-lar om inkompressibel strömning,dvs. densiteten antas konstant.Detfinnsmycket experimentella data för detta område och fram till strax före andravärldskrigetvardettahastighetsområdetmanbefann sig imedflygande far-koster.Vid0.3<M<0.8ärdetsvårareattförutsägaluftströmningenochvid0.8<M<1.2ärdetriktigtbesvärligt.Dettafartområdekallasdettransoniskaområdet,dvs.omslagetmellanunder-ochöverljudsströmning.Någotförvå-nandevisardetsigsedanattvidsupersoniskströmning1.2<M<5såärdetrelativtenkeltattutföraberäkningar.Inomdettafartområdeärdestörstapro-blemen normalt uppvärmningen av flygkroppen. Vid så kallad hypersoniskströmning, M<5, börjar man få nya problemställningar, bland annat medmyckethögatemperaturer.HuruppnårmandåriktigthögaMachtal?Ettsätt

107

Aerodynamik

ärattflygamycketfortpålåghöjd,ettannatärattflygarelativtfortdärluftenärtunn,dvs.påhöghöjd,därljudhastighetenärlåg.Ettbraexempelutgörsavenrymdfärjasåterinträdeiatmosfären.LäsarenombedsdärförattkommaihågattMachtalärettrelativthastighetsbegreppochintedirektöversättningsbarttillkm/h.

9.2 Under- och överljudsströmning

Inledningsviskanmanfunderaövergripandevaddetärsomskiljerdessatvådisciplineråt.Försttänkerviossenstackarsluftmolekylsomhängerstillochfunderarmittidetoändligalufthavet.Luftmolekylerhargenerelltmycketdå-lig syn och kan inte tillgodogöra sig den elektrooptiska informationen somfärdasmedljusetshastighet.OmenprojektilnukommeråkandeiM<1,dvs.underljudströmning får luftmolekylen informationen via sina kollegor medljudetshastighetattnågotärpågångochhartidattmakapåsig.OmiställetprojektilenfärdasiM>1får luftmolekyleningenförvarningdåinformatio-nenintekanfärdassnabbareänljudhastighetenochsålunda”smällerdetbaratill”fördenintetontanandeluftmolekylen.Mycketförenklatkanmanocksåsägaattdetärpågrundavdettaenljudbanguppkommer.Dethänderväldigtmycketichockvågen,somtypisktärnågontiotusendelsmillimetertunn,dettabehandlasdockinteidennabok.

9.3 Hur uppkommer lyftkraft och luftmotstånd?

Detfinnsmångaolikateorierkringdetta,mendenenklasteärdensomba-seras på Newtons teorier. Först måste man inse att en vinge som genererarlyftkraftavlänkarflödetbakomsig.Därföraccelereras(luft-)flödetnedåtochenligtNewtonsandralaguppkommerenkraftsomärdirektproportionellmotaccelerationen(F = ma).BaseratpåNewtonstredjelagomkraftochmotkraft(seavsnitt7.4.4)uppkommernuenlikastorochmotriktadkraftpåvingensompressardenuppåt.Dennadelkallaslyftkraft.Ikorthetkanmansägaattomenvingesomavlänkarenluftströmmedenvisskraft,uppstårenlikastorochmotriktadkraftpåvingen.

Lyftkraftskoefficientenärettuttrycksomoftaanvändsförattkunnajäm-föralyftkraftvidolikahastigheterpåettenkeltsätt,dennadefinierassom

SqLCL∞

=

därSärnågonreferensytaföreträdesvisvingarean.Lyftkraften,Lharettganskasjälvbeskrivandenamnochdenges(inomrimligagränser)av αα,LCL = somberorpådensåkalladeanfallsvinkeln,α.

108


Ifigur9.1kanmanselyftkraftskoefficientensomfunktionavanfallsvin-keln.Hurdettasamspelskerbeskrivsav α,LC somkanutläsassomlutningenpåkurvan.Förenoändligtlångvingeiidealströmningär α,LC =2π≈6.28ochomnågonpåstår sigkommanäraelleröverstigadettavärdebör läsarenkontakta expertis för att utredapåståendet.Vidare kanmanurfigur9.1 sehurenfarkosttapparlyftkraftnärmanpasserarettvisstvärdepåanfallsvinkel,dettakallasattvingenstallar(uttalas”stålar”).Omdettaskersnabbtharföra-reningenchansattkompenseraochflygplanettapparmyckethöjdpåkorttid.Dettaärnaturligtvisproblematisktommanbefinnersigpålåghöjd.Omdetskergradvisupplevsplanetsomsnällaredåförarenhartidattreagera.

Vadärdetdåsomorsakarstall?Enförenkladförklaringsynsifigur9.2.Ibildaharvianliggandeströmningochenanfallsvinkelpåca5graderochsomsynesavlänkasflödetnågotvilketgerupphovtilllyftkraft.Ibildbäranfallsvin-kelnförstorsåströmningenkaninteliggakvarutansläppervingprofilenoch

C

C

anfallsvinkel

”snällt” flygplan

”elakt” flygplan

L,max

L

Figur 9.1. Lyftkraftskoefficient som funktion av anfallsvinkel. (Källa: FHS)

(a) (b)

Figur 9.2. Anliggande och avlöst strömning. (Källa: FHS)

10�

Aerodynamik

därförblirdetingenordnadavlänkning.Resultatetblirdrastisktlägrelyftkraftochettkraftigtökatmotstånd.

Det somavhandlatshittillskallas tvådimensionell (2D) strömning förvihartittatpåvingarsomvarit”oändligt”långa.Vadhänderdåideverkligafal-lendärströmningenärtredimensionell(3D)?

Denstörstaskillnadenärettfenomensomuppstårfrånalla lyftproduce-randevingar,ändvirvlar,illustreratifigur9.3.Storaochtungaflygplanmedhögvingbelastninggerupphovtillännukraftigarevirvlar.Ommanvillprovasjälvkanmanvidpaddlingit.ex.enkajak,sedennavirvelbildningvidpad-delnommantarilite…Påsammasättuppkommervirvlarefterettstartandepassagerarflygplan.Detkansynasharmlöstmedliteluftsomsnurrarruntmenkrafteniensådanvirvelsomkommerfrånt.ex.ettstortplanmedenstartviktpårunt500ton,ärenorm,kraften ivarjevirvelmotsvararattmandrarsinpaddelmedmotsvarande250tonskraft.Normaltvandrardessavirvlarisid-ledochmattasavefterhandpågrundavfriktion.Omdetärvindstillaellerbarasvagasidovindarkanvirvlarnadockbliliggandeöverstartbanan.Detharhäntattflygplanheltsonikahamnatpåryggdådekört/flugitininågotannatflygplansändvirvlar.Dettaärocksåanledningentillattmanharenrelativlångtidssepareringmellanflygplansomskallstartapåvanligaflygplatser.Dennatidökasspecielltvidlugntväderochsvagsidovind.Virvlarnaupplösessnabbastistarkochturbulentvind.

Figur 9.3. Ändvirvlar efter ett litet jetflygplan. (Foto: © Steve Morris, Air Team Images, Airliners.net)

110


Fåglarharhaftlitelängretidattutvecklasinteknologiochanvänderänd-virvlarna från framförvarande fågel ochflyger där kraften från virvlarna gåruppåtvilketgörattdetblirextra lyftkraft,ungefär somatt surfapåenvåg.Manbytersedanledareförattsparaenergiochdetärdärfördekarakteristiskafågelsträcken iV-formation uppträder. Det talas om energibesparingar runt50–70%ommanflygerpådettasätt.Dettalasvidareomattautomatiseradflygningiframtidenskallkunnautnyttjaeffekten.Kanskefårvisåsmåningomsetransport-ochpassagerarflygplaniformationöverAtlanten.

9.4 Skillnader mellan en deltavinge och en vanlig vinge

Namnetdeltavingekommerfråndetgrekiskatecknetdelta,∆sombeskriverutseendethosmångamilitäraflygplanpåettbrasätt.Envanligvingehargene-relltenganskautprägladstallgräns(uttalasstålgräns)somdiskuteratsovan,dvs.manfårejanliggandeströmningpåovansidan,vingentapparlyftkraftochmanfallernertillmanåterfåttanliggandeströmning.Endeltavingeklararhögrean-fallsvinklar,storleksordningen35–45graderattjämföramed10–18graderförentraditionellvinge.Vidsådanahögaanfallsvinklarblirmotståndetmyckethögt,mendettakannormaltkompenserasmedenstarkmotor.Mendenkan-skefrämstafördelenärattmanmedkortvingspannfårettplansomärbättreuthållfasthetssynpunkt.Ommanjämförmeddetextremasegelflygplanet,seifigur9.4,kanenstorutböjningkonstaterasredanvidrelativtlågbelastning;då

Figur 9.4. Foto på det moderna segelflygplanet Eta. (Foto: © Holger Weitzel, www.aufwind-luftbilder.de)

111

Aerodynamik

villmankanskeintetillåtaenbelastningsomär9till12g.Varförflygermandåmedenså”känslig”struktur?Jodetsåkalladeglidtalet,enkeltuttryckthurmångametermankommerframåtförvarjeförloradhöjdmeter, liggerpåca60–70förettextremtsegelflygplanmedansiffran10ärmerrepresentativförettvanligtflygplan.Dettaberorikorthetpåattjustörrevingspann,jumindreblirdetidigarediskuteradeändvirvlarna.Enoändligtlångvingeharingaänd-virvlarochsålundaförlorarmaningenlyftkraftdär.

9.5 Lyftkraftscentrum och lite om stabilitet

Dettakanverkalitekompliceratvidenförstaanblickmenenenkelregelförattkommaihågdethelaäratttänkapåendartpil.Deflestavetattendartpilharenstorviktframochvingytanlångtbak.Dettaförattfåensåstabil”far-kost”sommöjligt.Dettamedförsåledesattdenflygerstabilt.Denblirdockrelativtsvårmanövrerad,vilketisinturmedförattdenblirrelativtokänsligaföryttrestörningar,enbraegenskapit.ex.pubmiljö.Omdartpileniställetkastasbaklänges,dvs.medvingytanförst,vänderdeniluftensåfortdenpåverkasavminstastörning.

Dettaäreninstabilkonfigurationochommaninteharettdatoriseratstyr-systemsomstabiliserarsituationenslutardethelaikatastrof.Dettaäranled-ningentillattfolkoftafårsittalångtframiettickefullsattflygplan.Generelltär tyngdpunkten långt fram att föredra, men detta gör samtidigt flygplanet”trögare”attmanövrera.Såberoendepåinsatsområdebörenlämpligkompro-misssomärtillräckligtstabilochsamtidigttillräckligtmanövrerbarkonstru-eras.Vidmilitäratillämpningaranvändsiblanddatorstabiliseradeflygplanförattåstadkommaextremmanövreringsförmågamedbibehållenflygbarhet förpiloten.

Vid överljudsströmning flyttas lyftkraftscentrum bakåt, normalt från 25till50%avkordan (påenoändlig, rakvinge).Dettamedföratt stabilitets-marginalen(skillnadenmellan lyftkraftcentrumochtyngdpunkt)ökarhögstväsentligtochenfarkostsomärinstabilt iunderljudkansålundablistabil iöverljudshastighet.Dettagällerförmångasåkalladeinstabilaflygplan.

9.6 Luftmotstånd

Om man gör vissa förenklingar, så visar de aerodynamiska och hydrodyna-miskamodellernaattmotståndetbordevaranollommanintetarutnågonlyftkraft.År1744komd’Alembertframtilldettaochfenomenetärkäntsomd’Alembertsparadox.Haninsågattnågotsaknadesidenteorisomfannsviddennatidpunkt.Vadärdetdåsomorsakardettamotstånd?Jo,detärsammaprincipsomgördetjobbigtattdradennaläroboköverskrivbordet,friktion.

112


Omvistuderarfigur9.5ochantarattluftenrörsigmedhastighetenV2åthö-gerochtittarpåhastighetsprofilennärmast”kroppen”serviattdenbörjarvidnoll.Luftenhakaralltsåfastochliggerstillnärmastkroppenochhastighetenökaruppåttilldessattmankommeruppifriströmshastigheten.Detuppstårnågotsomkallsförskjuvkraftermellandeolika”lagren”.Dessaskjuvkraftergerupphovtillmotståndet.

Motståndskoefficienten,Cddefinieras i likhetmed lyftkraftskoefficientensom

SqDCd∞

=

Om vi nu studerar motståndskoefficienten, Cd vid noll lyftkraft (det såkalladenollmotståndet,Cd,0) somfunktionavMachtal ifigur9.6kanvi se

V2

V1

Figur 9.5. Hastighetsprofil nära en kropp som rör sig i luft. (Källa: FHS)

Mach

Cd,0

1.0 1.300

Figur 9.6. Nollmotstånd som funktion av Machtal. (Källa: FHS)

113

Aerodynamik

attdetärrelativtkonstantupptilldetattmannärmarsigljudhastigheten.Dåskjutermotståndetkraftigtihöjden.Efterdetattmankommitigenomljudval-lenminskarmotståndskoefficienten.FöröverljudsplangörmanoftasåattmanstigermedMach0.9tillhöghöjdochsedandykermankraftigtförattsnabbtkommaigenomdettamotståndsområdeochuppiöverljudshastighet.Dettaärmereffektivtänattbara”gasa”sigigenomljudvallenpåkonstanthöjd.

Som ovan konstateras ökar motståndet Cd,0 kraftigt när M ≈ 1. För attminskadennaeffektkomNASApådensåkalladearearegeln.Denbetyderikorthetatttvärsnittsareanpåluftfarkostenskallhållaskonstantidess längd-riktning.Dettamedförattflygkroppengörssmalaredärvingarochstabilisatorärplacerade.AppliceringavdennaregelkanminskaCd,0tillungefärhälftennärmanpasserarljudvallen.

9.7 Laminär och turbulent strömning

Förattavslutadiskussionenommotståndskallvidiskuteraskillnadenmellanlaminär och turbulent strömning. Ett enkelt sätt att studera skillnaden kanmanfågenomattöppnaenvanligvattenkranliteförsiktigt.Längstupp,när-mastmynningenärdetlaminärt(ordnat)ochlängrener,innanvattnetnårvas-ken,ärdetturbulent(kaotiskt).Närmanserpåströmningenärdetintesvårtatt inse att laminär strömningnormalt ger lägremotstånd än turbulent.Påettmoderntsegelflygplanharmanlaminärströmningpå80–90%avvingenskordavidgynnsammaförhållanden.Menvarförharengolfbolldås.k.dimples(små gropar) som ”triggar” den laminära strömningen att bli turbulent? Påvissapassagerarflygplankanmanocksåhittasåkalladeturbulatorerommantittarpå vingarna, vad skall det varabra för?Det generella svaret är attdetiblandärviktigareattvetavarsjälvaomslagetskerochattdetärkonstant,änattminimeramotståndettilldensistadecimalen.Härkanmanocksågöraettenkeltempirisktförsökommanspelarvolleyboll(ellerännuhellreenplast-fotbollutansömmar).Ommanbaraslårtillbollenutanattskruvaden,kanmansehurdenvandraromkringliteiluften.Dettaberorpåattomslagspunk-tenmellanturbulentochlaminärströmningvandrarlite.Blandgolfspelareärdetta,avförklarligaskälingetpopulärtbeteende.

9.8 Stealth och aerodynamik

Mångagångerpresenterasaerodynamikochstealthsomettmotsatsförhållande,menoftaärproblemensnarareatthänföratilldåligkommunikationmellandeolikadisciplinerna.Renaytormedfåutstickandedelarärt.ex.eftersträvansvärtavbådeaerodynamikochstealth-konstruktörer.Storastrukturersomärlinje-radeärocksåenfördelurettelektromagnetisktperspektiv.

115

10. Vågutbredning och dess tillämpningar

Närenergiöverförsfrånensändare(t.ex.ettföremål)tillenmottagare(t.ex.ettöga)gerdetmöjlighetförmottagarenattupptäckasändaren.Visägerattdekommunicerar.

Energinöverförsvianågonformavvågrörelse,antingenelektromagnetiskeller mekanisk (t.ex. tryckvågor i en gas/vätska). Gemensamt för alla vågorärattdetransporterarenergiochintemateria.Vadärdetsomärgemensamtförögonen,vårkanskemestanvändasensor,ochandrasensorersomt.ex.ra-dar,värmekameraochbildförstärkare?Deärallakänsligaförelektromagnetiskstrålning(EM-strålning).VadärdåEM-strålningochvilkabegränsningarochmöjligheterharden?Dettakommeröversiktligtattbehandlasidettakapitel.

Vid trådlös kommunikation med t.ex. truppradio, radiolänk, laserlänk,trådlöstnätverk(WLAN),GSM,3Gosv.användselektromagnetiskstrålning.Sonarer utnyttjar istället hydroakustiska vågor som är en typ av mekaniskavågorsomutbredersigivatten.Ävenljudärmekaniskavågoriluften.Sensorerförattkunnadetekteraljudvågorkallarvimikrofoner.

Medstrålningenmenasattmanöverförenergimellant.ex.tvåpunkterAochB(sefigur10.1.apånästasida),vilketärfalletvidtrådlöskommunikationoch”registrering”avettföremålmedt.ex.envärmekameraellerpassivsonar.

Geometrinifiguren10.1.bpånästasidavisarettfalldärenerginfrånAreflekterasiBochåtervändertillAdärdenkandetekteras.Exempelärnärenradarsänderenpulssomsedanreflekterasavettmål.Sammasakgällerförenaktivsonarsomsänderljudvågorivattnetmotettmål.Ifigur10.1.cpånästasidavisasgeometrinfört.ex.ettöga,därt.ex.strålningenfrånsolenCreflekte-rasiföremåletBochsedanregistrerasavögatA.

116


I det följandebeskrivs elektromagnetisk strålning, för vilken vi kommerattbehandlabegreppsomutbredningshastighet,frekvens,våglängdochsam-bandenmellandessa.Därefterbehandlasvågutbredningochantennersamtdeparametrarsomstyrutformningenavantenner.Kapitletavslutasmednågotomfotonen.

10.1 Uppkomst av elektromagnetisk strålning

Igrundochbottenhandlardettaomkraftermellanladdningar.Stillaståendeladdningargerupphovtilldetelektriskafältet(E).*Laddningarsomrörsigiförhållandetillvarandragenererardessutomettmagnetisktfält(H).Idennabokgesendastenmycketkortochförenkladbeskrivningavfenomenet.

Accelererarman laddningar kommer endel av energin att stråla ut frånbärarnaavladdningarna(elektronerna),pådettasättgenererasEM-strålning.Detärdettasomskerivåraantenner.Viförinstoramängderelektronerian-tennengenomattanslutadentillenspänningskälla(generator1),sefigur10.2.

* Fet stilindikerarattfältetärenvektorstorhet,dvs.fältetharbåderiktningochstorlek.

Sensor Mätobjekt

A B

Mätobjektet genererar egenstrålning

Sändareoch sensor

Mätobjekt

A BMätobjektet reflekterar strålningfrån sändaren A

Sensor Mätobjekt

A BMätobjektet reflekterar strålningfrån en annan källa C.

Källa C

a)

b)

c)

1

2

2

1

Figur 10.1. Några tänkbara geometrier för vågutbredning. (Källa: FHS)

Gen 1

Antenn 1

Mott

Antenn 2

Gen 2

Figur 10.2. Sändare och mottagare. (Källa: FHS)

117

Vågutbredning och dess tillämpningar

Mendåelektronernanårantennenbromsasdetvärtupp(jmfmedattspringain i en vägg), eftersom de inte kan lämna antennen. Föremål som bromsasuppförlorarenergi,endelavenerginstrålarutfrånantennenochendelblirvärme.

Befinnermansigpåenfixpunktmedenantennsåkommerdenattkännaavattdetelektriskaochmagnetiskafältetvarierarmedtiden.Dessaföränd-ringaravfältetkommerattaccelereradeladdningsbäraresomfinnsiantennen;ärdenisinturanslutentillenmottagarekommerdenattupplevadetsomattenspänningskällafinnsiantennen(generator2).Detfinameddettaärattgenerator2svänger”identiskt”medgenerator1.

10.1.1 Utbredningshastighet

EM-strålningkanbeskrivassomenvågrörelseianalogimedt.ex.ljud-ochvat-tenvågor.Mendetfinnsnågra stora skillnader,bl.a.utbredningshastigheten.EM-vågor utbreder sig med hastigheten 300000000m/s=300000km/s ivakuum;detta skadå jämförasmedblygsammaca340m/s för ljudet i luftvidhavsytanochca1500m/sförljudetivatten.YtterligareenskillnadärattEM-strålningkanutbredasigutanettmedium*tillskillnadmotljudvågorsombehöverluftellernågotannatmaterial.(Detgårinteattprataivakuum.)

UtbredningshastighetengårnernågotnärEM-strålningenutbreder sig inågotannatänvakuum.Kvotenmellanhastighetenivakuumochhastighetenidetaktuellamedietkallasbrytningsindex(n).Skillnadenihastighetledertillattstrålningenbryts��(ändrarriktning)igränsskiktetmellantvåmaterial(sefigur10.3).

Brytningsindex ändrar sig bl.a.närtemperaturochfrekvensändras.Det första leder bl.a. till hägringaroch ”värmedaller” ovanför t.ex. ettvarmtstridsfordon.Detandralederbl.a.tillregnbågen.

* Under1800-taletladesmycketmödanerpåattförsökagåruntdettafaktumattljus(sommaniochförsigintehadeinsettärEM-strålning)kundeutbredasigtillsynesutanettme-dium.Därförinfördemanbegreppet”etern”,somsadesintehanågonmassa,luktellerannanegenskap!Lustigtnogleverdettaordkvariuttrycketetermedia.

� Ordetrefraktionanvändsoftaiställetförbrytning.� Det finns ett matematiskt samband, kallad för Snells lag, som beskriver detta fenomen

n1sinα=n2sinβ.

n 1

n 2 > n 1

Figur 10.3. Brytning i gränsskiktet mellan två material med olika brytningsindex. (Källa: FHS)

118


10.1.2 Frekvens

Hursnabbtenspänningskällasvängerkallarvifrekvens.Frekvensenharstorbetydelse förbl.a.utformningenavantennenochdämpningenavdenelek-tromagnetiskavågeniatmosfären.HursnabbtnågotsvängerbrukarvimätaiHertz[Hz]=antaletsvängningarpersekund.Antagattviharnågonfysiskstorhetsomsvängerruntettjämviktsläge(t.ex.enmassasomhängerienfjäderellerdetelektriskafältetivårEM-våg).Figur10.4visarhurdetelektriskafältetvarierarmedtidenpåettvisstavståndfrånantennen.Låtossbörjavidtident0däramplituden=0,därefterökaramplitudensuccessivtfrån0tillettmaximaltpositivtvärde+A.Sedanpasserarvi0igenföratthamnapåmaximaltnegativtvärde–Aochsedanåtertill0vidtident1.DåharvigenomlöptenperiodpåtidenT=t1–t0s.Antaletperioderpersekundäringetannanänfrekvensenf.AntagattperiodtidenT=0.1s,vilkenfrekvenssvängerfältetmeddå?Ja,detmåsteuppenbarligengå10perioderpå1sekund,frekvensenäralltså10Hz.

t [s]

E [V/m]

T

x =10m

t0 t1

+A

-A

Figur 10.4. Elektriska fältets variation med tiden på avståndet x = 10 m från källan. (Källa: FHS)

Dettakansammanfattassåhär:Frekvensenfärlikamed1divideratmedperiodtidenT.Ellerännuenklare:

Tf 1

=

Kortperiodtidäralltsåliktydigtmedhögfrekvens.

10.1.3 Våglängd

Vadmenasmedvåglängdλ [m]ochhurserkopplingentill frekvensut?Låtossgöraomovanståendeexperimentmenpåettlitetannorlundasätt.Iställetförattståstillapåettfixtställeochlåtatidengå,låtossfrysatidenochistället

11�


förflyttaossivågensutbredningsriktningochmätafältstyrkan.Mätresultatetblirsnarliktdetförra,detendasomskiljerärattvifårsträcka[m]påx-axelniställetförtid[s],sefigur10.5.

x [m]

E [V/m]

λ

t =1s

x0 x1

+A

-A

Figur 10.5. Elektriska fältets variation utmed utbredningsriktningen x vid tiden t = 1 s. (Källa: FHS)

Påmotsvarandesättsomtidigarekanvibetraktaenperiodavsignalen.Idettafallmåsteviförflyttaossensträckaλförattåterkommatillursprungs-situationen.Dennasträckakallarviförvåglängdenochdenbetecknasvanligenmeddengrekiskabokstavenλ(lambda).

10.1.4 Sambandetmellanvåglängdochfrekvens

Sånutillfråganhurfrekvensochvåglängdhängerihop.Förattförklaradettamåsteviblanda inutbredningshastighetenv.Vetvi frekvensenfochutbred-ningshastighetenv,kanviräknautvåglängden.

• Exempel 1. Antagattvågenrörsigmedhastighetenv=100m/sochattfrek-vensenär10Hz.Vivetsåledesattvågenflyttarsig100meterpåensekundochattdenundersammatid(1s)hinnergenomlöpa10perioder.Rimligenmåstedåvarjeperiodvara10mlångochperiodenslängdärjuingetan-natänvåglängden.Förattfåframresultatetdivideradevihastighetenmedfrekvensen(antalfullbordadeperioderpå1sekund).

• Exempel 2. Antagsammafrekvenssomiexempel1menatthastighetenharökattill300000km/s(=ljushastigheten).Vadblirdåvåglängden?Denblir30000km!75%avjordensomkrets!Ovanståenderesonemangkansam-manfattasinedanståendeformel:

(1)[Hz] [m/s] [m]

λλλ vffv

fv

=⇔⋅=⇔= (1)

120


Medhjälpavovanståendeformlersamttvåavdetreparametrarnakanninusjälvaräknautdenokända.Engenerellslutsatsurovanståendeformel(re-sonemang)ärattoavsettutbredningshastighetsågäller:Ökadfrekvensmedförkortarevåglängdochviceversa.

Nu har vi visat hur frekvens, våglängd och utbredningshastighet hängerihop.Varförärvidåsåintresseradeavdessaparametrar?Jo,detvisarsigatttransmissionenavEM-vågorärstarktberoendeavfrekvensenochfårsåledesstorinverkanpåhurmycketvågendämpasochhurdenutbredersig.Förattfåeffektivriktverkanavsinantennmåstemananpassastorlekentilldenaktuellafrekvensen.Imilitärasammanhangärdetoftatvärtom.Utrymmetförenra-darantennärbegränsatit.ex.enrobot,dåmåstemanväljaenlämpligvåglängdförbrariktverkaniantennen.

10.2 Vågutbredning

Deelektriskaochmagnetiskafältenärvinkelrätamotvarandraochävenmotutbredningsriktningen(sefigur10.6).Riktningenpådetelektriskafältet(E)anger strålningenspolarisation.Strålning från t.ex. solenochglödlampor ärheltopolariserat,dvs.polarisationenskiftarhelatidenpåettslumpmässigtsätt.Vissamaterialsåsomt.ex.vattenochsnöharegenskapenattvertikalpolariseratdämpaskraftigtvidreflektion.*DettakanutnyttjasisåkalladePolaroid-glasö-gonsomutnyttjarjustdennaeffekt.Genomatttillverkaglasögonensåattdeendastsläpperigenomvertikaltpolariseratljusdämpasbesvärligasolreflexerutpåettmycketbrasättutanattrestenavomgivningenocksåförsvinner.

* Videnvissvinkel,dens.k.Brewstervinkeln,försvinnerreflektionenheltochhållet.

E

E

3

E

2

1

λ

c

x

Figur 10.6. EM-vågens ”utseende” under utbredning längs x-axeln. (Källa: FHS)

121


Mångaavvåravanligastemilitäraapplikationeranvändersigavpolariseradstrålning.Någraexempelärlaser,radarochradiokommunikation.Däremotut-nyttjasintepolarisationenibildförstärkareochvärmekameror,vanligenkalladeIRV-kameror(Infra Red Vision).

Vågutbredningenharettstarktfrekvensberoende.Vidlågafrekvenserkanstrålningenutbredasigmycketlångasträckor(iprincipjordenrunt)utmedjor-densytagenomattväxelverkamedmarken/vatten,s.k.ytvåg(sefigur10.7).

Ökarmanfrekvensenkommerytvågenattdämpasuttidigareochtidigare.Villmandåfortfarandekommalångtkanmanfåvågenattreflekterashögtuppiatmosfären,detskerijonosfären.*Dennavågkallasrymdvåg.Dettafungerarbraifrekvensområdet3–30MHz;gränsernavarierarkontinuerligtöverdygnetochåret.Ökarmanfrekvensenytterligarefinnsdetingenmöjlighetattbrytaavijonosfärenochmanblirheltberoendeavdirektvågenochdenreflekteradevågen.Dessatvåtillsammansbrukarkallasföratmosfärsvågen.Läggermantillytvågenfårmandetsombrukarkallasförmarkvåg.Vidytterligareökningavfrekvensenärdetendastdirektvågensom”överlever”.Villmankommalångtpådessafrekvenserärmanheltberoendeavfrisikt.�Ävenomdetintefinnsnågrahindersåsomt.ex.bergochbyggnadersågerjordenskrökningupphovtillenradio-/radar-/optiskräckviddfördirektvågen(sefigur10.8pånästasida).

AvståndetRmaxgesavnedanståendeformel:

(5)km][m][m][12.4 21max hhR

km][6.27374,31.491412.4max R

(2)

* I jonosfären (50–400kmupp)är trycket så lågt att fria elektronerochpositiva jonerkanöverlevaenickeförsumbartid.DetbildasolikaskiktijonosfärendärbrytningavEM-vågortillbakatilljordenägerrum.

� Dettaledertillattmanvillkommaupppåhöjdermedsinasensorerochradiolänkar.

S M

Direktvåg

Rymdvåg

Reflekterad vågYtvåg

Figur 10.7. Vågutbredning. (Källa: FHS)

122


• Exempel 5.Ensjömålsrobotflygerpå9metershöjdanmotenkorvettavVisbytyp.Dessradarantennsitterpå14metershöjd.Vilketärdetstörstaavståndsomradarnkanupptäckarobotenpåommanendasttarhänsyntilljordenskrökning?Formel(2)gerosssvaret:

(5)km][m][m][12.4 21max hhR

km][6.27374,31.491412.4max R

• Exempel 6.Hurhögtuppmåsteenradarantennplacerasommanvillhamöjlighetattupptäckamålpå100metershöjd50milbort?Återigengerformel(2)svaretpåfrågan:

m12500

1121001.4

5001.4

km][m][m][12.4

1

2max

1

21max

h

hRh

hhR

(6)km][m][m][86.3 21max hhR

(7)km][m][m][57.3 21max hhR

15.1

m][m][57.3m][m][12.4

21

21

hhhh

Ganskahögt!Attsättaensensorienaerostatverkariallafallvaraenfung-erande lösning.Härbör läsarenobserveraatt formel (2)gäller framförallt imikrovågsområdet.Ioptiskaområdetgälleristället:

m12500

1121001.4

5001.4

km][m][m][12.4

1

2max

1

21max

h

hRh

hhR

(6)km][m][m][86.3 21max hhR

(7)km][m][m][57.3 21max hhR

15.1

m][m][57.3m][m][12.4

21

21

hhhh

(3)

Hurkommerdetsigattdenoptiskaräckviddenblirkortare?Detberorpåattvågenböjersigolikamycketpågrundavattbrytningsindexnärfrekvens-beroende.Vadhardåbrytningsindexmeddettaattgöra?Inormalatmosfärminskarbrytningsindexmedstigandehöjd.Ombrytningsindexminskarbrytsstrålningentillbakamotjorden.Faktumäratträckviddenskullevarabetydligtkortareomvågeninteböjdesigiatmosfären.Omviintetarhänsyntillbryt-ningenfårvidetsomkallasförgeometriskräckvidd:

m12500

1121001.4

5001.4

km][m][m][12.4

1

2max

1

21max

h

hRh

hhR

(6)km][m][m][86.3 21max hhR

(7)km][m][m][57.3 21max hhR

15.1

m][m][57.3m][m][12.4

21

21

hhhh

(4)

Figur 10.8. Radarräckvidd med hänsyn till jordens krökning och antennens resp. målets höjd. (Källa: FHS)

h1

h2Rmax

Syns

I skugga

123


Kvotenmellan(2)och(4)blir

m12500

1121001.4

5001.4

km][m][m][12.4

1

2max

1

21max

h

hRh

hhR

(6)km][m][m][86.3 21max hhR

(7)km][m][m][57.3 21max hhR

15.1

m][m][57.3m][m][12.4

21

21

hhhh

Dvs.räckviddenökarmed15%pågrundavbrytningeniatmosfären.

10.3 Antenner

Storlekenochformenpåantennenbestämsihuvudsakavdetvåparametrarnavåglängden,λ [m]och användningsområdet.En indelning av användnings-områdeärattskiljapåapplikationerdärvivillkunnariktastrålningen(radar,radiolänk)ochdetrundstrålandefallet(truppradio,mobiltelefon).

10.3.1 Riktantenner

Ofta hör man talas om begreppet antennförstärkning, vad menas med det?Låtossbörjamedenljusanalogi.Tänkerenglödlampasomhängerfrittisinelkabel.Denskullevidefinierasomenisotroplampa.AlleffektP1somvima-tarinilampanspridersigsfärisktåtallahåll.Ljusetskullevaralikastarktvarviänbefinnerosspåentänktsfärcentreradkringlampan.Dennalampaharljusförstärkningen=1.

Dennatypav lampaverkar ingetvidaredåhuvuddelenav ljuset sprids ioönskade riktningar. Onekligen verkar det smartare att rikta ljuset mot detmanvillseistället!

Låtosssättaenreflektorruntlampansomriktarljuset.Utformningenavreflektornberorpåhurvivillattljusetskallspridasig.Tillenbilkanmant.ex.köpatillextra strålkastaremedolikaegenskaper.Detfinnsbl.a. s.k.flodljussomharenbredljuskäglasomärrelativtkortochfjärrljussomharensmalochlångljuskägla.FörengivenljuseffektP2krävsdetsåledesmindreströmtillglödlampanomdenharenreflektoränomdensaknarreflektor.FörhållandetmellaneffekternaP1ochP2somgersammaljusstyrkakanvikallaReflektor-förstärkning,RF.

)2(]ggr[

2

1

PP

RF

)4(25000

)3(60

max

vh

G

d

mm6.800000000035

000000300

fc

]mrad[22.1d

(5)

Värtattnämnahärärocksåettfenomensomvibrukarkallaförsidolober.Detvillsägaatthurvälviänkonstruerarvårreflektor,såkommerendelavlju-setspridasvidsidanomhuvudloben.Däremotärstyrkanisidolobernamycketlägreänihuvudloben.

Ett liknande resonemang somovankan föras förövrig elektromagnetiskstrålning.Skillnadenäratt”refektor”kallasförantennoch”reflektorförstärk-ning”blirantennförstärkningG.

124


Låtoss studerafigur10.9 somvisar ett s.k. antenndiagram.DiagrammetvisarhurGvarie-rar i horisontalplanet för t.ex.enradarantenn.Figurenärinteskalenlig, oftast är antennför-stärkningen i huvudloben ca1000ggr(30dB)störreänditoi sido-/backlober. Det bästavore om vi inte hade någrasido-/backloberdådessagörosskänsligaförtelekrigåtgärder.*

I figur 10.10 har vi fört inlobbreddenθ(theta)somangerhursmalellerbredvårhuvudlobär.Detfinnsfleraolikadefini-tionerpålobbredd,häranvändsdenvanligastes.k.3dB-lobbred-den.Med3dBlobbreddmenasatt vinkelnmätsmellande tvåpunkteraochbdärantennför-stärkningennedgåtttillhälftenavGmax.

Med rimliga krav på sido-lobsnivå(ca–30dB=0.001ggr)såkannedanståendetvåformleranvändasföröverslagsberäkningar.

)2(]ggr[2

1

PP

RF

)4(25000

)3(60

max

vh

G

d

mm6.800000000035

000000300

fc

]mrad[22.1d

(6)

)2(]ggr[2

1

PP

RF

)4(25000

)3(60

max

vh

G

d

mm6.800000000035

000000300

fc

]mrad[22.1d

(7)

Låtosstittalitenärmarepåformel(6),vadbetyderdenegentligen?Tillattbörjamedkanvikonstateraattλstårovanförbråkstrecket,vilketmedförattomvåglängdenökar(frekvensenminskar)såökarocksålobbredden.Görvidä-remotantennenstörre(dökar)såminskarlobbredden.Slutsatser: Lobbreddenminskardåfrekvensenökaromdärkonstant,likasåomdökarochfrekvensenärkonstant.Ensmallob,somoftaeftersträvas,kräverenstorantennräknatiantalvåglängder.Låtosstittapånågraexempel:

* Sido/backlobermöjliggörförfiendenattsignalspanaochstöraossävenfastdenneintebefin-nersigivårhuvudlob.

Gmax

Backlob

Sidolob Huvudlob

Figur 10.9. Antenndiagram. (Källa: FHS)

Gmax

Gmax - 3dB Gmax - 3dB

d

a b

Figur 10.10. Ett antenndiagram från en antenn som är d m bred. (Källa: FHS)

125


• Exempel 3. Enrimliglobbreddpåenrikt-antennär1grad.Hurstorantennbreddbe-hövsom frekvensenär3MHz (λ =100m)?Formel (1) ger oss lösningen, θ°=1 med-för att d måste vara 60λ bred. Alltsåd=60•100=6000m,bred!

• Exempel 4. Antag att man vill ha sammalobbredd som ovan för radarn i AH-64DLongbow.Hurstormåstedenantennenvara?Vi”vet”attantennenmåstevaraminst60λ.EnligtJane’s*ärfrekvensenf=35GHz.Dettamotsvararenvåglängd

)2(]ggr[2

1

PP

RF

)4(25000

)3(60

max

vh

G

d

mm6.800000000035

000000300

fc

]mrad[22.1d

vilketisinturgerantennstorlekendungefär50cm.

Påbildenavhelikopternifigur10.11serdetutsomomdenvorestörreän0.5m.Dettaberorförmodligenpåattmandelsharettmekanisktskydd(radom)samtattmanvillhaenlägresidolobsnivåänvåra–30dB.

Hittillsharvibarabehandlatantennerinomradio-ochradarområdet,menfaktumärattdetärsammafenomensomgälleräveninomdetoptiskaområ-det.Låtosstittapåettexempel:

• Exempel 5.JämförelsemellanstorlekpålinsitermiskaIR-områdetochlinsförsynligstrålning.Förlinsergällerprecissomförriktantennerattlobvin-kelnθärberoendeavbådevåglängdenochstorlekenpålinsen.Förlinseranvändsoftadettaförhållande:

)2(]ggr[2

1

PP

RF

)4(25000

)3(60

max

vh

G

d

mm6.800000000035

000000300

fc

]mrad[22.1d

Dvs.sammaförhållandegällermellanvinkel,våglängdochstorleksomti-digare.AntagnuattvivillkunnaidentifieraettföremålpåsammaavståndmedantingenettvisuelltsikteelleretttermisktIR-sikte.Rimligtattantaärattförattkunnaidentifierapåsammaavståndsåmåstelobvinkelnvaradensammafördetvåsiktena.DettermiskaIR-bandetliggermellan8–12μmochdetvisuellaområdetär0.4–0.7μm.VåglängdenförtermiskIRäralltsåca20ggrlängreänvåglängdenförvisuellstrålning.Dettainnebäratten

* MartinStreetly(ed.),Jane’s Radar and Electronic Warfare Systems 2004–2005 (Surrey,Eng-land:Jane’sInformationGroup,2004),s.244.

Figur 10.11. AH-64 Longbow med radarantennen ovanför huvudrotorn. (Foto: US Department of Defense)

126


IR-linsmåstevara20ggrstörreändenvisuellalinsenomsammaprestandaskaerhållas.

10.3.2 Rundstrålandeantenner

Ettexempelpårundstrålandeantennärhalvvågsdipolen,vilketärettledandesprötsomärenhalvvåglängdlångt(sefigur10.12).

Halvvågsdipolenstrålarmestvinkelrätmotsprötet.Ärsprötetvertikaltsåäralltsåstrålningensomintensivastihorisontellriktning.Denstrålarlikamycketåtallahållihorisontplanet,däravbeteckningenrundstrålande(sefi-gur10.13.a).Ivertikalriktningfinnsdetingenstrålningalls(sefigur10.13.b).

Måstedenverkligenvaraenhalvvåglängdlång?Detmåstedenintevara,mengörmandenkortarefårmanproblemmedverkningsgraden.Dvs.anten-nenblirvarmochdetblirsvårtattanpassaantennenelektriskttillsändtagaren.Görmanantennen längreärdetdessutom inte säkertattden strålarmest ihorisontellriktninglängre.

Förattfåhyggligverkningsgradmåsteantennenvaraavminstsammastor-leksordningsomvåglängden.*

Strålningen i vanlig stavantenn, enligt figur 10.12, är polariserad i sam-mariktningsomstaven.Ärantennenriktadvertikaltsåblirstrålningenock-så vertikalt polariserad. En horisontellt riktad antenn kan teoretiskt inte taemotstrålningfrånenvertikaltpolariseradsändarantenn.Teoretisktblirden

* Vidmottagningkanmantänkasigattanvändamindreantenner.Likasåt.ex.imobiltelefoni,dådetintevoresåroligtattgåruntmeddecimeterstoraantennerifickan!

a)Strålningsdiagram b)Uppskuretstrålningsdiagram

Figur 10.13. Strålningsdiagram för en halvvågs dipolantenn. (Källa: FHS)

/2

Figur 10.12. Halvvågs dipolantenn. (Källa: FHS)

127


mottagnaeffektennoll,meniverklighetenkommerliteeffektin.Redanvid45gradersskillnadmellanantennernareduceraseffektenmed50%.

Strålningavolikapolarisationharolikaförmågorattträngagenomolikamaterial. Exempelvis svensk ”normalskog” dämpar horisontellt polariseradstrålningitruppradiobandetmindreänvertikaltpolariserad.*

10.3.3 Gruppantenner

Gruppantennerären typavantenndärmananvänderettflertalantennele-ment(sefigur10.14)ochslårihopsignalernaförattpåsåsättökaantennför-stärkningenG.Enfördelmedengruppantennärattmankan”flytta”lobenutanattrentmekanisktbehövavridaantennen.

Attmankanökaantennförstärkningengenomattanvändafleraantennerärganskarimligt.Antagattviendastharettantennelementsom”fångar”uppeffektenP0frånbörjan(sefigur10.15.apånästasida).

Tänknuiställetattvihartvåantennelementbredvidvarandraenligtfigur10.15.b,dåmåsterimligtvisbådaelementen”fånga”uppvarderaeffektenP0.Tillsammans fångar de således upp effekten 2P0.Vi har således fått någon

* Varföranvändervidåintehorisontellpolarisation?Jo,detärsvårtattbyggaenantennsomstrålarvarvetruntlikabra.(Manmåstedärmedvetaungefärvardensommanskallkom-municeramedbefinnersig.)

ϕ1 ϕ2 ϕNϕ3 ϕ4

∆φ2∆φ

3∆φN∆φPlan våg

Summator

Figur 10.14. Gruppantenn. (Källa: FHS)

128


slagseffektförstärkning,menhurskavislåihopsignalernafråndetvåantenn-elementen?

DetsomelementenegentligenfångaruppärjudeelektromagnetiskafältenEochH. DessafältharbådeenamplitudAochettfaslägeθsåvidsammanslag-ningenmåstevitahänsyntilldessa!Vihartidigareantagitattbådaelementenfångaruppsammaeffekt;dettaärsammasaksomattsägaattamplitudernaärlika.Menförfaslägetgällerattdetmycketvälkanfinnasenskillnadmellandetvåelementen.Ifjärrzonen(långtfrånsändarantennen)gällerenligttidigareattvågfrontenärplan,dvs.påenlinjevinkelrätmotutbredningsriktningenärfasenkonstant. Iutbredningsriktningendäremotvarierar fasenmedavståndet frånsändaren.Läggermanihoptvåsignalermedsammaamplitudmenolikafaskansummanblialltmellan0och2A.Hurpåverkardettavårantennifigur10.16?

1

P0

1

P0

2

P0 ) b)a

Figur 10.15. Ett resp. två antennelement. (Källa: FHS)

1 2

P0, A, φ2

Våg 1

Våg 2

+

P0, A, φ1

P0, A0

Figur 10.16. Exempel på två olika vågfronter. (Källa: FHS)

12�


Vistuderarförstvåg1somträffarbådaantennernasamtidigt.Eftersomvå-genärplan,fårbådasignalernasammafaslägeochkommerdärförattadderasifasmedvarandraochamplitudenA0blirdärmed2A,dvs.A0=2A.Våg2kom-merattträffaantenn1enstundinnandenträffarantenn2,medtidsdifferensen∆t.Dettamåsteocksåinnebäraattsignalenblirfasfördröjdenvissvinkel∆•,storlekenpåfasfördröjningenberoravbåde*tiden∆tochfrekvensenf.Såvidafasfördröjningenintemotsvararenmultipelav2π(360°)såkommeramplitu-denA0pådensammanslagnasignalenattvaramindreän2A,dvs.A0< 2A.

Slutsatsenblirattantennsystemetärmestkänsligt(Gstörst)förvåg1ochmindrekänsligtförvåg2.Viharsåledesfåttenriktantenn!

Egentligenärvimestintresseradeavvåg2.Dåuppstårfråganomdetfinnsnågotenkeltsättmodifieraantennsystemetsåvifårdennaegenskap.Detsombehövergörasärattvimåstesetillattvåg2frånantenn1resp.2adderasifas.Vivetattvåg2blirfasfördröjd∆φpågrundavtidsfördröjningen∆t.Omviinförenfasfördröjningϕ1=∆φävenpåsignalenfrånantenn1såkommersignal1och2attvaraifasigenochsummanA0=2A.Våg1kommerdäremotinte längre att vara i fasnärde summeraspå grund av fasfördröjningenϕ1vilketledertillattA0< 2A.OmvinubyggerossengruppantennbeståendeavNstyckenelementenligtfigur10.17medsammainbördesavståndmellanelementensåkanvilättsummeraihopallasignalernagenomatthaolikafas-fördröjningarϕnförrespektiveelement.

* Sambandetär∆φ =2πf∆t.

1 2 N3 4

t

Planvåg

Summator

22 t 33 t

NtN

Figur 10.17. Gruppantenn bestående av N st antennelement. (Källa: FHS)

130


Storlekenpåfördröjningarnablir:

ϕϕ ∆−= )( nNn

Pådettasättkanvisåledessummeraifas,igodtyckligriktning.Fasfördröj-ningarna ifigur10.17kanbl.a. realiseras elektroniskt ellermekaniskt.Medelektroniskt avses att man på elektronisk väg kan variera fasfördröjningen,t.ex.genomattvarieraspänningenöverenkomponent.Pådettasättkanmanmycket snabbt (del av ms) ändra riktning på antennloben. Med mekanisktmenasattfasförskjutningenändrasgenomattmanmekanisktförskjutermat-ningenavarrayen.Detfinnsytterligareettsättattformaloben/loberna.Detskergenomattformalobernadigitaltvidmottagningen(sefigur10.18).

Signalen från antennelementen 1-N omvandlas från analoga signaler tilldigitalainnandegårvidaretillsignalbehandlingen.Därkansedansignalernat.ex.behandlasparallelltiflerakanaler.Ivarjekanalkansedanolikafasfördröj-ningaranvändas,vilketledertillattmankanskapafleraolikalobermedolikariktningar.Dettaärenmycketstorfördelförmodernaradarerochtelekom-utrustningar.

A/D A/D A/DA/D A/D

t

Planvåg

Signalbehandling

22 t 33 t

NtN

Figur 10.18. Digital lobformning. (Källa: FHS)

131


10.4 Fotonen

HittillsharvibehandlatEM-strålningsomenvågrörelse.Tyvärrkanvi inteförklaraallafenomenmeddenmodellen.Ettavdessafenomenärdenfoto-elektriskaeffektensombeskrivsinästastycke.Ettannatärs.k.fotondetektorersomanvändsit.ex.värmekamerorochbildförstärkare.*

Närmanbelyserenmetallsålyckasmanibland”slå”lossenelektronfrånmetallen.Befinnersigdåmetallenivakuumrörsåkandenfrigjordaelektronenanvändastillattledaström.Detmärkligaärattommanbelyserenvissmetallmedblåttljus(högfrekvens)såledervakuumröretströmävenvidmycketlitenljusstyrka.Omviiställetbelysersammametallmedröttljus(lågfrekvens)sålederdeninteströmoavsetthurstorljusstyrkavihar!Voreljusetenvågrörelsesåskadetenligtallateorierslåslossenelektronbaraljusstyrkanärtillräckligtstor.Vid förra sekelskiftet fanns ingen förklaring på detta. Men 1905 komAlbertEinsteinpåenförklaringtilldettaproblem.�Hanslösningvarattener-ginintekomkontinuerligtienvågrörelse,utansomsmåpaket�(kvanta)ochenerginivarjepaketvarberoendeavfrekvensenförmotsvarandevågrörelse.EnerginivarjesådantpaketärE=h• f[J]därh=6.63• 10–34Js.Ljusäralltsåbådeenvågrörelseochenpartikel!

Inomradio-ochradarområdetanvändsuteslutandevågmodellen.DäremotinomIR-teknikenochdetvisuellaområdetmåstemananvändafotonmodellenförattförklarafunktionenhosbl.a.detektorer.

* Detfinnsenannantypavdetektorersomreagerarpåvärmeökningenisjälvadetektorn,s.k.bolometriskadetektorer.

� DetvarfördenfotoelektriskaeffektensomEinsteinfickNobelprisetifysik1921;hansrelati-vitetsteoriervarförkontroversiellaförNobelkommitén.

� Ordetfotonkomlångtsenare.

133

11. Atmosfärens påverkan på aerodynamik och vågutbredning

Idettakapitelstuderasdettunnaskiktsomomger jordenochkallasatmos-fär.Förstkommeratmosfärenssammansättningochtillståndattbeskrivasochslutligenkommeratmosfärenspåverkanpåtekniskasystemochvågutbredningattbeskrivas.

Istortbeståratmosfärenavgasernakväve(78%)ochsyre(21%),detvikallarluft,ochhållspåplatsavjordensgravitation.Detärvärtattnoteraattatmosfäreninteslutarpåenväldefinieradhöjdutanblirtunnareochtunnareinnandenövergårirymden.Ungefär75%avatmosfärensmassaåterfinnspåunder11kmhöjd.Förattfåkallasigastronaut,omläsarenharsådanaplaner,måstemanbefinnasigpåhögrehöjdän80km,åtminstonekortvarigt.

Atmosfären skyddar de olika livsformerna på jorden genom att dels ab-sorberaultraviolettstrålningochdelsgenomattjämnautdeannarsextrematemperaturskillnadernamellandagochnatt.Knappthälften (43%) avdensolenergisomnåratmosfärensytterstagränsnårnertilljordytan.Restenspridsiatmosfären(22%)ellerreflekterasutirymden(35%).Nästaningenupp-värmningavatmosfärenskernärenerginpasserarigenomdensamma,dvs.luftäryttersttransparentidessavåglängdsområden.Medeltemperaturenvidjordy-tanär14°C,beräknatpåhelajordklotet.

11.1 Atmosfärens sammansättning och indelning

Atmosfären indelas ihöjdledpågrundavsintemperaturfördelning(sefigur11.1).Detförstaskiktet,troposfären,harhämtatsittnamnfrånettgrekisktordsomkanöversättasmedattvridaellerblanda.Troposfärenharentjocklek

134


påca7kmvidpolernaochca17kmvidekvatorn;påvårabreddgraderärdenca10km.Pågrundavsolensuppvärmningavjordytanstigervarmluftochkylsnermedökadhöjd,dettaikombinationmedjordensrotationorsakardetvikallarväder.Solenmedsin6000-gradigaytaärsåledesvädretsmotor.

I troposfären minskar temperaturen normalt med 0.65 °C/100m höjd.Detmedförmycket lågatemperaturervidhögrehöjder, jämförmednormalflyghöjd för trafikflyg, 10–12km. I vissa moderna passagerarflygplan angesyttertemperaturen.Denintresseradeläsarenuppmanasbedömarimlighetenidettapåståendegenomattnoterayttertemperaturochhöjdvidnästaflygresa.

Vidövergångenmellantroposfärenochstratosfären,tropopausen,ändrarsigtemperaturfördelningenochtemperaturenökarsedanmedökandehöjdistratosfären(sefigur11.1).Dettapågårändaupptilldensåkallademesopau-sen. Imesosfärenminskar temperaturen ånyo för att öka i jonosfären (ellerthermosfären).Attgöraenavgränsningtillattfrämsttittapåtroposfärenkantyckasinskränktmenenöverväldigandedelavmilitär(ochannan)verksamhetskermednödvändighetdär.

-90 -60 -30 0 +30

Tropopaus

Stratopaus

Temperatur, grader C

20

30

Höjd km

80

70

60

50

40

10

90

Stratosfär

Troposfär

Mesosfär

Jonosfär

Figur 11.1. Atmosfärens olika skikt och ungefärlig temperatur. (Källa: FHS)

135

Atmosfärens påverkan på aerodynamik och vågutbredning

11.2 Temperatur, lufttryck och densitet

Itroposfärenminskaralltsåtemperaturenmedca0.65°C/100mhöjdökning.På grund av olika väderbetingelser skiftar detta, men mer om detta nedan.Lufttrycketärendirektföljdavluftensegenmassa(vikt).Trycketvidjordytanär101325N/m2vilketmotsvarardrygt10metervattenpelare.Dettaärsäkertkänt av dykare som har ungefär dubbel luftförbrukning på 10meters djupjämförtmed sin förbrukning vid ytan.Lufttrycket sommotsvarar 10metervattenpelareärocksåanledningentillattmanaldrigkan”sugaupp”vattenmeränca10meter,däremotgårdetbraatttryckauppdetmyckethögre.

Lufttrycketminskar till ungefär hälften ommankommer upp på5 kmhöjd.Någotmanskallvaramedvetenomärattkroppensförmågaattutnytt-jahemoglobinförsyretransportberorpådeltrycketavsyreochredanvidca3000mhöjdminskarsyresättningsförmågan(hosickebergslevandepersoner)dramatiskt.För att vara fulltkapabel attutföra sinauppdragbör syrgas an-vändasfråndennahöjdochuppåt.Vidhöjderöver8000märdeltrycketfördåligtförgodsyresättningävenomrensyrgasinandas.

Densitetenpåluftärca1.225kg/m3vidjordytan.Varmluftharlägreden-sitetänkallluftochstigersåledes.Dettaärdetfenomensomvanligenanvändsavsegelflygare,dvs.varmluftsomvärmtsuppavsolinstrålningennärajordytanstigerfortareänflygplanettapparhöjdochnettoresultatetblirattman”lyftsupp” till en högre höjd. Ett annat konkret exempel består av varmluftsbal-longersomalstrarhelasinlyftkraftpådettasätt.

Prestandapåtekniskasystempåverkasiallmänhetmycketberoendepåden-sitetsskillnadenmedvarierandehöjd.Eftersomluftenblirtunnarefårt.ex.flyg-planförsämradestighastighets-ochstigvinkelprestanda.Tillsnyligen(2005)hadet.ex.ingenhelikopterlyckatslandapåvärldenshögstaberg,MountEve-rest.Tillgängligtsyre,ellersyretsdeltryck,förenmotorminskarmedhöjdenochävenpårimligahöjder(läs2–3000m)kanmanmärkauppenbartförsäm-radeprestandaförenvanligOttomotor.Åandrasidanminskarluftmotstån-detvidökadhöjd(färreluftmolekylerattkrockamed).Förflygplanärdärförjetmotorerattföredravidhögahöjder(ochhögahastigheter).

Varförminskardåljudhastighetenmedminskandedensitet?Ikorthetkanmansägaattdetberorpåattavståndetmellanluftmolekylernaärlängresånärmanpetartillendröjerdetlängreinnandenträffarnästaochinformationenspridsvidare.Ommantaretttätaremedium,t.ex.vatten,såökarljudhastighe-tendrygt4gångerpågrundavatt”informationsvägarna”ärkortare.

Förattmanskallkunnajämföraprestandapåettkorrektsättförolikabe-tingelserärdetviktigtattdetfinnsenstandardfördefysikaliskastorheternasomen funktionavhöjden.Eftersomden riktiga atmosfärenaldrig är stillamåste en modell användas. Modellen av atmosfären är känd som Standard

136


Atmosfären.Luftenimodellenantasfrifrånsmuts,fuktighetochvattenånga.Dessutomantasattdetärvindstilla,dvs.ingenrörelseiförhållandetillJordenochingenturbulens.

Efter lite trevande försök (innan 1952) finns numera The International Standard Atmosphere (ISA) som tagits fram av International Civil AviationOrganization(ICAO).ISAäretttabellverkmedtryck,temperatur,densitet,ljudhastighetm.m.somfunktionavhöjden.Dessavärdenärbaseradepåtidigamätningarmedalltfrånraketertillväderballongerochkansägasutgöramed-elvärdenpådessamätningar.

Ettvanligvärdeärt.ex.International Standard Atmosphere(ISA)0vilketärenvanligdagmedenlufttemperaturav15°Cvidhavsytan.VidISA+5ärdet20°Cvidhavsytan,vidISA–10ärdet5°Cvidhavsytanosv.

11.3 Vattenånga

Vattenångaärenosynliggassomalltidförekommeritroposfärenochharstorinverkanpåmolnbildning,nederbördoch räckvidder för elektrooptiska sys-tem.Ettexempelärläsarenselektrooptiskaögasomfungerarmycketdåligtviddimma.Luftfuktighetenkan,somallakännertill,varierakraftigtdagtilldagochiblandfråntimmetilltimme.

Vattenångatillförsluftenfrämstgenomavdunstningfrånstörreochmindrevattendragsamtvegetationochfuktigmark.Luftenhardockengränsförhurmycketvattenångadenkaninnehålla,dens.k.mättnadsgränsen.Ommervat-tenångatillförssåkondenserasöverskottetidroppar(elleriskristaller).Luftensförmågatillattinnehållavattenångabestämsfrämstavtemperaturen.Eftersomvisedantidigarevetatttemperaturennormaltsjunkermedökandehöjdfinnsnuallaingredienserförattförklarauppkomstavmoln.Soluppvärmd,fuktigluft stigerochnär temperaturen sjunkerminskar förmåganatthålla vatten-ånganochmolnbildas.Dettaärsåkalladecumuluseller”vackertväder”-moln.Mångaandramekanismeralstrarmolnmendåtarennyvetenskapvid,meteo-rologi,sominteskallavhandlashär.

11.4 Atmosfärsdämpning

Elektromagnetisk strålning dämpas under utbredning i atmosfären. Dämp-ningenvarierarstarktmedfrekvensen.Istoradragärdetsåattjuhögrefrek-vensdestostörredämpning.Sefigur11.2,därmanocksåkanseendeltopparsomberorpåresonansivatten-ochsyremolekyler.

Dettaärmestadelsettbekymmerförvårasensorerochradiokommunika-tionssystem.Dettakanmanutnyttja imilitärasammanhang.T.ex.kanmantänkasigettradiosystemsomanvänder60GHz-områdetsstoradämpningför

137


Figur 11.2. Atmosfärsdämpning. (Källa: FHS)

30

10

3

1

0.1

0.01

1 10 50 100 300

0.001

0.100

0.501

0.794

0.977

0.998

Atmosfärsdämpning vid klar väderlek utmed havsytan

Frekvens GHz

Däm

pnin

g i d

B/k

m

And

el a

v si

gnal

ens

ener

gi s

om ä

r kva

r efte

r 1 k

matt implementeraensmygfunktion.Ettsådantsystemblir svårtattupptäckapålängreavstånd.Redanefter3kmharsignalstyrkanminskatmedenfaktor180000ggr(=52.5dB)!

Ytterligareenobservationärattvid35GHzfinnsettminimaidämpning-en.DetärsåledesingenslumpattradarniAH-64Longbowanvänderjustdenfrekvensen.Låt oss tittapå ett annat frekvensområde,nämligendet optiska.Hurserdämpningenutdär?Ifigur11.3pånästasidaärtransmissionen*upp-ritadsomfunktionavvåglängd.

Noteraattfrekvensenökartillvänsteribilden.(0.2µm=1.5• 1015Hz=1.5PHzsamt20µm=1.5• 1013Hz=15THz).Härgörvibaraenobserva-tionattdetfinnsvissafönsterdärtransmissionenärhög,bl.a.inomdetvisuellaområdetochtermiskaIR-området.

* Medtransmissionmenashurstordelavdenursprungligasignalensomärkvar.

138


1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,00,2 0,5 1 2 5 10 20

Våglängd [µm]

Transmission

O3

CO2

CO2

CO2

CO2

H O2 H O2

H O2

H O2 H O2

Figur 11.3. Transmissionen över 1 km, höjd 10 m, temp 15°C, sikt 23 km. (Källa: FHS, Illustration: Samuel Svärd)

13�

12. Hydroakustik

12.1 Kort historik

Historisktharsjövägarnavaritavgörandeförhandelochvarutransportliksomförupptäcktochpolitiskexpansion.Ävenidagtransporterashuvuddelenavhandelnsgodspåköl.Behovavattkunnamätavattendjupetpåannatsättängenomempiriskaförsök(grundstötningar)harsåledesfunnitslängeochskeddeändainpå1900-taletmedelsthandlodning–mansänktenedenblytyngdlinameddjupmarkeringarochavlästedjupet.Dåfartygenvarrelativtlångsamma(framdrevsmedhjälpavårorellersegel)fungerademetodenförvånansvärtbra.Allteftersomfartygenblevmaskindrivnaochdärmedgickfortareochkundegåpårakarekursmellanhamnarna,uppstodbehovavattmätavattendjupetpåannatsätt.Ävenden(nya)militäraanvändningenavdykbåtar(ubåtar)bi-drog tillutvecklingenavden tillämpadedisciplinenhydroakustikoch idesskölvatten(sic!)följdeenstormängduppfinningar/instrument.

Detförstaförsöketattmätaljudhastighetenivattengenomfördes1826iGenève-sjönavDanielColladon.Frånenbåtsombefannsig8distansminuterfrånstrandengenereradesettkraftigtljudivattnetsamtidigtsommantändeenfosforblixt.Colladonmättetidenfråndethannoteradeblixtentilldessatthanmottogljudetgenomenivattnetnedsänkttrattförseddmedettgummi-membran.Ljudhastighetensomuppmättes,1435m/s,ärförvånansvärtkor-rekt(utgör99.98%avdetvärdesomidaganvändsförliknandeförhållanden).Efterdessaförsökblevmanallmäntmedvetenomattljudkundetransporteraslångasträckorivattnetochstudieravhydroakustikpåbörjadesöverlag.

Ettproblemmantidigtidentifieradeärdetmänskligaöratsdåligaanpass-ningtillattuppfattaljudivatten.Öratär,fögaförvånande,anpassatförattuppfattaljudiluft.Därförutnyttjademaninitialtettivattnetnedsänktrördär

140


nederdelenvar förseddmedettgummimembran.Röretmeddessmembranfungerarsomenimpedansanpassareförattmatchaöratsakustiskaegenskaper.Vid slutet av 1800-talet konstruerade SamuelGray,USA, en ljudmottagareförundervattensbrukgenomatt klä in sinuppfinningkol-mikrofonenmedgummiochkoppladentillettparhörlurar.Denutnyttjadesnufördjupbe-stämning,menvardockbegränsaddåtidtagningenskeddemanuellt.

Den kanadensiske ingenjören och uppfinnaren Fessendens elektromeka-niskaoscillatorvaromnidirektional,dvs.saknaderiktningsverkan,ochutnytt-jadesunderVK1somkommunikationssystemförallaamerikanskaubåtar.Vi-darevarFessendenssystemettavflerasomutveckladesförattupptäckaisbergefterTitanicsförlisning1912.Desslågasändarfrekvens(upptillettparkHz)gjordedendockintesärskiltlämpligsomdjupmätaregenomsindåligaupplös-ningochringariktningsverkan.

ITysklandutveckladesomkring1920endjupmätare,Behm-lodet,därlju-detgenereradesavsmåkrutpatronerochdemottagnaekonaregistreradespåfotografiskaplåtar som senare ersattes av en elektromagnetisk funktion somävenblockerademottagarenunderexplositionsögonblicket.Densenarefunk-tionenvarenavgörandefaktorförBehm-lodetsframgång,t.ex.inomsvenskamarinen.

Även försök med piezoelektriska svängare inleddes kring 1920 då frans-mannenLangevinupptäckte ett sätt att utnyttja denmekaniska resonanseniensandwich-konstruktionmellanstålochkvartskristaller.Påsåsättkundesåväl frekvens och effekt höjas betydligt och grunden var lagd för modernaekolod/sonarsystem.

Dagenssystemanvändersigihuvudsakavelektrostriktivaljudomvandlare,keramer som i tillverkningen polariserats, t.ex. bariumtitanit.Terfenol-D äretthögmagnetostriktivtmateriallämpadförlågfekventaljudomvandlaremedhögeffektochprimärtmilitäratillämpningar.Namnetkanhärledasfråndesshuvudkomponenter,terbium(Te),järn(Fe)ochdysprosium(Dy)samtvardetutvecklades,nämligenvidNavalOrdnanceLaboratoryNOL).

Parallelltmedutvecklingavhydroakustiskmätutrustningharforskningrö-randeljudutbredningenivattenskett.Detärfrämstförhållandenaidestoraoceanernasomröntettomfattandeintresse,medandebetydligtmerkomplexaförhållandenaigrundavatten(<200m)förstdesenaste2–3decenniernaharvaritföremålförintensivastudierochomfattandefältförsök.

Godkunskapomhydroakustikkannämligenhaenavgörandetaktisk,ope-rativochävenstrategiskbetydelse.EttbelysandeexempelfrånVK2ärdentyskamarinensbristandekunskapomdehydroakustiskaförhållandenaiAtlanten.Närdetyskaubåtarnablevutsattaförubåtsjaktsöktedesigregelmässigtnedpåmaximaltdykdjup.Detärnaturligtattförsökakommasålångtbortfrånenjagandemotståndaresommöjligt.Dåubåtarnaintekundedykadjupareän

141

Hydroakustik

omkring100meterbefanndesigdärmedpåettdjupdärdehydroakustiskaförhållandenagjordedetlättfördejagandeövervattensfartygenattupptäckademochhållakontakt.Medbättrekunskapomdehydroakustiskaförhållan-denahadeubåtschefernakunnatväljadetförtillfälletmestskyddandedjupetochdärmedökatöverlevnadschansenväsentligt.

12.2 Begrepp

Hydroakustikenär ingenexaktvetenskap idenbemärkelse attdenhar sinatillämpningarienmiljösomärutomordentligtbesvärligatthafullkontrollövervidexperimentochfältmätningar.Laboratorieresultatenharhärsvårtattfulltutkunnatillämpas.Denteorisomområdetvilarpå,ihuvudsakakustikenochelektricitetsläran,ärdockvälkändochditorenommerad.Mångabegreppanvändsochdeflesta termerharamerikansktursprung,varför (onödigtvis?)mångaakronymerstårförengelskaord.Nedanföljerenförteckningöverförframställningenrelevantabegreppmedförklaringar:

Absorption. Betecknasα ochorsakasavattfriktionuppstårvidrörelsemellanpartiklarvarvidendelavenerginomvandlas tillvärme.Absorptionenärberoendeavviskositetenµ, täthetenρ,ljudhastighetenc ochfrekvensenfenligtsambandetα = k(µ/ρ.c3)f 2därkärenkonstant.

Aktiv sonar.Ettsystemsomutsänderljudpulserivattnet.Dådessaljudpulserträffarettobjektreflekterasdelaravdenutsändaljudpulsenochtasemotavsystemet.Oftamedgerdettaläges-ochkaraktärsbestämningavobjektet.

Akustisk impedans.Betecknaszochutgörproduktenavmediets täthet, ρ,ochljudhastighetenc.

Asdic.FörkortningavAnti-SubmarineDetectionandInvestigationCommit-tee.Dentidigarebrittiskabeteckningenpåsonar.

Brus.Oregelbundnatryckförändringar.

Cylindrisk spridning. Ljudet utbreder sig i en skiva med konstant tjock-lek likamed vattendjupet. Detta förutsätter dock att vattenyta ochbot-ten är helt plana. Vid cylindrisk utbredning avtar ljudintensiteten med10 log r + αr.

DI. Direktivitetsindex, egentligen antennförstärkningen (eng. Directivity Index).

DT.Detekteringströskeln, signal/brus-förhållande somprecismedgerdetek-tion(eng.Detection Treshold).

142


Haloklin.Ettsprångskiktmedenpåtagligvertikalsalthaltsförändringjämförtmedomgivandevatten.Bildasmellanvattenmassormedolikasalthalt(sa-linitet).Vattnetstäthetökarmedökandesalthalt.

Hydroakustik.Ordetharbildatsavhydro–vattenochakustik–ljudlära,dvs.dethandlaromljudivattenochdåiallmänhetomljudutbredningenochdesstillämpningariolikasensorsystem,oftabenämndasonarsystem.

Hydrofon. Tidigaresvenskbenämningpåsonar.Numeraavsesendastunder-vattensmikrofon,dvs.omvandlare frånakustisk energi i vattnet till elek-trisk.Engelskbeteckninghydrophone.

Hydrografi. Dendelavhavsforskningen somrörmätningenavhavensvat-tenstånd,djup,strömmarochvågrörelsersamthavsvattnetsfysikaliskaochkemiskaegenskaper.

Isotermi. Konstanttemperatur.Användsiallmänhetfördeförhållandensompräglarettvattenskiktmedkonstanttemperatur.

Isotropt brus.Brusetärlikastortiallariktningar.

Isoveli. Konstantljudhastighet.Användsiallmänhetfördeförhållandensompräglarettvattenskiktmedkonstantljudhastighet.

Ljud. Medljudmenasrörelsenhosmolekylernaiettelastisktmedium(t.ex.vattenellerluft).

Ljudhastighet.Betecknasmedc ochutgördenhastighetmedvilkenrörelsenhosmolekylernaiettelastisktmediumtransporterasgenommediet.

Ljudintensitet. Akustiskeffekt,betecknasmedI, utgördenenergimängdsompertidsenhetgenomströmmarenytenhetochutgörsavproduktenavljud-trycketpochpartikelhastighetenu.Ljudintensitetenkanocksåuttryckassomkvotenmellankvadratenpåljudtrycketochdenakustiskaimpedansen.

Ljudtryck.Betecknasmedp.Utgörproduktenavpartikelhastighetenimediet,u,ochdenakustiskaimpedansen.

Ljudutbredningsförluster.BetecknasisonarekvationernamedTL(transmis-sion losses). Orsakas av geometrisk spridning (sfärisk och cylindrisk), ab-sorption,temperatur-ochsalthaltsvariationer,bottenkaraktär,bottentopo-grafisamtavinhomogeniteterivattnetm.m.

NL. Brusnivån,dvs.nivåavoönskatbuller(eng.Ambient-Noise Level).

Passiv sonar.Ettsystemsomendastlyssnarochärlämpatförattregistreraochvidareförädlaljudsomalstratsivattenavt.ex.ubåtar.Oftamedgerdettariktnings-ochkaraktärsbestämningavobjektet.

143

Hydroakustik

Perifon.Tidigare tysk benämning på sonar. Ordet troligen bildat av ordenperiskop(utseendet)ochfon(ljudfunktionen).

Reverberation. Spridning,scattering,avljudetivatten.Ytreverberationupp-kommer från spridning vid ytor med olika akustisk impedans (bottnen,vattenytanetc.).Volymreverberationorsakasavinhomogeniteter(luftblåsor,planktonetc.)imediet.

Sfärisk spridning. Ljudet sprider sig likformigt i vattnet tills det träffar enytamedannanakustiskimpedanssomt.ex.vattenytanellerbottnen.Vidsfäriskutbredningavtarljudintensitetenmed20 log r + αr.

SL.Signalstyrkan,måletsbulleripassivafallet,egetutsäntljudidetaktivafal-let(eng.Source Level).

Sonar.FörkortningavSound Navigation and Ranging (jmfRadar).Amerikanskbeteckning,numerainternationellstandard,påakustiskasensorsystemförundervattensbruk.

Svängare. Omvandlarefrånelektriskenergitillakustiskenergiivattnet.Eng-elskbeteckningtransducer.

Termoklin. Ett språngskikt med en påtaglig vertikal temperaturförändringjämförtmedomgivandevatten.Bildasmellanvattenmassormedolikatem-peratur,oftasäsongsberoende.IÖstersjönkantemperatursprångsiktfinnaspåbaranågraellernågratiotalsmetersdjup,medanitropiskahavfinnsdepå300–400mdjup.

TL.Utbredningsförluster(eng.Transmission Losses).

Ton.Regelbundnatryckförändringar.Reverberationenkallasiblandpopulärtför”vattenton”.

TS. Styrkan på den del av utsänt ljud som målet reflekterar (eng. Target Strength).

12.3 Ljudets utbredning i vatten

12.3.1 Allmänt

Jordens yta är till 2/3 täckt av vatten.Medeldjupet i oceanerna är omkring3700m,medelsalthaltenärstraxunder35promilleochmedeltemperaturenärca3.5grader.Östersjönärspeciellochutgörettepikontinentalhav(innanhav)ochkännetecknasavettlitetvattendjup(medeldjupetär62m)samtkraftigtskiktadevattenmassor.Skiktningenberorpådensitetsskillnaderivattnetoch

144


omdeärorsakadeavförändradesalthalterkallasdeförhaloklinermedandeskiktsomuppståttpga.skildatemperaturförhållandenbenämnestermokliner.VattnetiÖstersjönharenrelativtlågsalthaltsomväxlarfrån15promille(tu-sendelar)isödertill3promilleinorrochbrukarbetecknassombrackvatten.Saltvatten,somfinnsiKattegattochSkagerack,harhaltersomnormaltväxlarmellan20och30promille.Östersjönsbottenförhållanden,prägladeavdetidi-garerådandeglacialaförhållandena(inlandsisen),kännetecknasavstoraarealermed”hårda”bottnarvilketbidrartillbesvärandehydroakustiskaförhållanden.Enfördelärdockattabsorptionen,sompåverkartransmissionsförlusten,äriÖstersjönsvattenca1/3avvaddenärisaltvattnetpåvästkusten.

Vatten är ett utmärkt medium för utbredning av ljudvågor. Radarvågorpenetrerarvattendäremotendastiringaomfattningocht.ex.en(blå)grönlaseruppnårenpenetrationpåhögst50miklartvatten.Igrumligtvattennårdessavågor(λ ≅500nm)dockendastnågonmeter.

12.3.2 Spridning

Ljudvågorna förändras och sprids under sin fortplantning genom vattnet.Ljudintensitetenminskasochbrusnivåntilltar.Mantalaromtvåformerförspridning,nämligengeometrisk spridningochreverberationsspridning.

Dengeometriska spridningen sker enligt två idealamodeller: sfärisk ochcylindrisk spridning. I verkligheten så existerar inte ideala förhållanden utanmantillämparenerfarenhetsbaseradmixdememellanvidhydroakustiskabe-räkningar.

Närljudetspridersig likformigtivattnetkallasdetförsfäriskspridning.Denpågårtills ljudetträffarenytamedannanakustiskimpedans,t.ex.vat-tenytan eller bottnen. Vid sfärisk utbredning avtar ljudintensiteten med20 log r + αr. Manbrukarnyttjasfäriskspridningimodellerdärvattenvoly-menärstorelleroändlig.

Vid cylindrisk spridning utbreder sig ljudet i en tänkt skiva med kon-stanttjockleklikamedvattendjupetochförutsättergivetvisattvattenytaochbotten är helt plana. Vid cylindrisk utbredning avtar ljudintensiteten med10 log r + αr.Denpåverkasöveravståndetdåbottentopografinsvariationin-verkarstarkt.Reverberationensätteroftabegränsningenfördennaberäknings-modell.

Då ljudutbredningen i grundavattenärkomplexnyttjas för attberäknaljudutbredningensärskildamatematiskamodellerbaseradepåensfärisksprid-ning inärområdet somövergår i cylindrisk spridning.Modellernaärdock iallmänhetstarktförenkladeochharsvårtattberäknainverkanfrånvattenytanochbottentopografien.

145

Hydroakustik

Ytreverberationuppkommerfrånspridningvidytormedolikaakustiskim-pedans(bottnen,vattenytanetc.).Bottenbeskaffenhetenharhärvidstorbety-delse.Mantalaroftaomvattenytereverberationochbotttenreverberationdådeiallmänhetskiljersigtidenidetsvarsomerhållesfrånenutsändsonars-puls.Volymreverberationorsakasavinhomogeniteterivattnetsåsomplankton,fiskstim,gasbubblor,oorgansiskapartiklaretc.Reverberationigrundavattenärstarktkoherent.Vidavsaknadavenbramodellförberäkningavreverbera-tionenkanmanuppnåetthyfsatresultatgenomattgöraenstrålgångsanalysför att ungefärligt se när i tiden effekten av de olika reverberationskällorna(vattenytan,botten,inhomogeniteterivattnet)böråterfinnasidenmottagnasignalen.

Reverberationen utgör tillsammans med ljudavböjningen den viktigasteräckviddsbegränsande faktorn vid användningen av hydroakustiska system igrundavatten.

Förenklatkanytreverberationen(RLy)beräknasommankännerljudkällansnivå,pulslängd,lobbredd,avståndet,ljudhastighetensamtreverberationskoef-ficienten(Sy).Densenarestyrsihuvudsakavbottenbeskaffenhetenochvarie-rarungefärfrån–10dBförhårdbottentill–40dBförlerbotten.SandbottnarharenSypåca–25dB.Detekteringströskeln(DT)blirannorlundaidetfallensonarärreverberationsbegränsadjämförtmedomdenärbrusbegränsad,DTRrespektiveDTN(seavsnittetomsonarekvationerna).

12.3.3 Absorption

Äregentligenenvärmeförlust.Denorsakasgenomdenfriktionsomuppkom-mervidmolekylernasrörelsevarvidendelavljudenergienomvandlastillvärme.Absorptionentilltarmedökandesalthalt,liksommedstigandefrekvenshosdenutsändaljudsignalen.AktivahögfrekventasonarsystemiAtlantenärutsattaförmyckethögabsorptionα >40dB/km,medanettlågfrekvent(normaltfö-rekommande)harenabsorptionpåα <0.2dB/km.IÖstersjön,meddessbrackvatten,ärabsorptionenlåg,mendetringavattendjupetgörsystemenoftareverberationsbegränsade,varfördetärvanligtattnyttjahögfrekventasonarsystem,vilkadessutommedger enhögreupplösning.Absorptionenkanberäknasenligtsambandetα = k(µ/ρ.c3)f 2därk ärenkonstant,µ visko-siteten, ρ tätheten,cljudhastigheten ochf frekvensen.

12.3.4 Hastighet

Ljudhastighetenivattenärejkonstant.Denvarierarmed6%kringschablon-värdet1500m/s.Variationernaberorihuvudsakpåvattnetstemperaturochsalthalt. Vattentrycket påverkar även, men i mindre grad. Det finns många

146


empirisktgrundadeformlerförattberäknaljudhastigheten.Detsomkänne-tecknardemallaärattdeärrelativtomfattandeochlämpadeförocean-förhål-landen.EttexempelpåenmeromfattandeformelkanhämtasfrånInstruktion för Stridstjänsten för Flottan(ubj):

c=1402.5+4.95t–0.0457t2–0.011tS+1.28S+0.016S2+0.017d

därcärljudhastighetenim/s,t=temperaturenioC,S=salinitetenipromilleochd=vattendjupetim.

HeltavgörandeinverkanpåljudhastighetenharsåledestemperaturenochförgrundavattenförhållandenmedlågasalthaltersomiÖstersjönerhållesoftatillräckligtbraljudhastighetgenomattnyttjadennastarktförenkladeformel:

c=1405+4t+S

därcärljudhastighetenim/s,t=temperaturenioCochS=salinitetenipro-mille.

12.3.5 Dopplereffekt

Ettekofrånettmålirörelseändrarfrekvensjämförtmeddenutsändaljudpul-sen.Dettaberorpådens.k.Dopplereffektensominnebärattenljudpulssomsändsfrånettobjektirörelsefårenfrekvensändringsomärproportionellmotsändarens rörelse. Frekvensändringen (∆f ) kan beräknas genom sambandet ∆f = 2vf/c därvärmåletshastighetrelativtsiktlinjenim/s,färdenutsändafrekvenseniHzochcljudhastighetenimediet.Ettmålsomgårvinkelrättmotsiktlinjengeringendopplereffektemedandetharenrelativhastighetpå0m/s.Gårdetmotmätandeenheterhållespositivdoppler(ökadfrekvens)ochgårdetfrånmätandeenhetregistrerasnegativdoppler(minskadfrekvens).

12.3.6 Ljudavböjning

En ljudstråle som träffar en diskontinuitetsyta (gränsytan mellan två medi-ermedolika ljudhastigheter)böjsav ienlighetmedSnell’s lagfrånoptiken,c1/ cosα1 = c2/ cosα2 = c3/ cosα3 etc. därcn=ljudhastigheten i skiktetnochαn= strålensinfallsvinkelmotdiskontinuitetsytan.Träffarstrålenettskiktmedlägreljudhastighetsåböjsstrålennedåt,motbottnen,ochviceversa.

SäsongsvariationernaavseendeljudutbredningäravsevärdaiÖstersjönochoftaärdebesvärande.Dessabestämsavomdetföreliggerennegativellerposi-tivvertikalljudhastighetsgradient.Ennegativgradientinnebärenminskandeljudhastighetivertikalledochuppstårdåvattnetstemperaturavtarfrånytan

147

Hydroakustik

motbottnen.Dessa förhållandenråderundersommarenochmanfårdåenkraftigljudavböjningmotbottnenochensonarräckviddpånågrahektometer.Underhöstenråderoftaisovelinedtill25–30mdjupvarunderdennegativavertikala gradienten kvarstår. Det medför att den räckviddsbegränsande av-böjningen, för en ytligt placerad ljudkälla, inte blir särskilt besvärande ochdenpraktiskaräckviddenflerfaldigasjämförtmedförhållandenatidigareundersommaren.Undervinterförhållanden,dådetråderenpositivgradientiÖst-ersjönmedisoveliidenundredelenavvattenmassan,måsteljudsändarenpla-cerasdjuptförattfålångaräckvidder;enytligtliggandeljudkällaunderdessaförhållandenharenbegränsadräckviddpågrundavattljudstrålarnaböjeravuppytanochenskuggzonbildas.Dockärförhållandenaavsevärtmergynn-sammaänundersommarendåalltutomnärområdetliggeriakustiskskugga.

IKattegattochSkagerrakärvattenvolymenoftast skiktad,medett skiktbrackvatten som strömmat ut frånÖstersjönöver ett skiktmed salt ocean-vatten.Enmycketkraftigochdistinkthaloklinäridessavattenområdenoftastförhanden.

Ien ljudkanal fortplantarsig ljudetmedsmåförluster.Enljudkanalkanuppståietthorisontelltutbrettvattenskiktmedlägreljudhastighetänomgi-vandevattenvarvidljudetreflekterasideomgivandegränsytornagenomlju-davböjning.Härvidkanlånga,anomala,räckvidderuppnås.Idestoraocea-nernaärsådanakanalervälkända.IÖstersjönuppstårlokalasådanaisynnerhetunderdendelavåretdåytvattnetharenhögretemperatur(ochdärmedhögreljudhastighet)änunderliggandevattenmassaochvattnetnärmastbottnenpga.högresalthaltharenhögreljudhastighetänvattnetovanför(inflödetiÖster-sjönavsaltarehavsvattenskermedbottenströmmarienmotsolsrörelse).

Laterala ljudhastighetsvariationer är vanliga (jmf badvattentemperaturen)ochäroftabesvärligaattbedömaförstoraavstånd.Deflestaljudutbrednings-modeller somfinnstillgängligasaknar förmågatillprognoseröver störreav-ståndutanärbaseradepåattmanmätertemperaturochsalthaltivertikalledpådenplatsdärmanbefinnersig.Delateralavariationernaorsakasavhydro-grafiska,meterologiskaochmaringeologiska förhållanden.Kyligt vattenkangenomströmmarsförsorgvällaupp,vindarkanmomentantförändraytvatten-temperaturen,stormarkanorsakaisoveliochyt-ochbottenströmmarnastyrsbl.a.avbottentopografien.

TransmissionsindexTI=20logp1/p2därp1ärljudtrycketinnanpassageavakustisktmediummedannanakustisktimpedans(t.ex.ett”akustisktfönster”)ochp2ärljudtrycketefterpassage.Kvotenp1/p2beräknasurföljandeformelhämtadfrånoptiken:

p1/p2 = 2/ 4cos2β + (χ +1/χ)2 sin2β

148


där β = 2πd/λ, χ =ρ1c1/ρ2c2, d=tjockleken av det akustiska fönstret ochρ1c1/ρ2c2ärkvotenmellandenakustiskaimpedansenförresp.medium.Oftaärdetönskvärtattappliceraettakustisktfönster(endom)somblirakustiskttransparent,dvs.attljudetpasserargenomfönstretutannågondämpning.Ommaniovanståendeformelsätterdtillhalvavåglängden(iplattan)blirβ = π ochTIblirlikamednollochljudetpasserarutandämpning.

12.3.7 Sonarekvationerna

Sonarekvationerna,enföraktivasonarsystemochenförpassiva,utnyttjasförattberäknadettröskelvärdedåettmålkanupptäckas,detekterasavettspeci-fiktsonarsystem.Sonarekvationernatarhänsyntillsonarsystemetsegenskaper,måletskaraktärochuppträdandemiljö.Iekvationernarelaterasallaenhetertillgrundenheten1µPapåavståndet1mochiHz-bandochangesilogaritmiskform(dB).Referenssignalenhänförsigalltidtillenplanvågmedettljudtryckav1µPaeffektivvärde.

• Denpassivasonarekvationentecknas:DT=SL–TL–NL+DI.

• Denaktivasonarekvationentecknasnormaltochvidbrusbegränsandeför-hållanden:DTN=SL–2TL+TS–NL+DI

• Vidreverberationsbegränsandeförhållandenfårdenaktivasonarekvationenföljandeutseende:DTR=SL–2TL+TS–RL

Parametrar som styrs av...

Sonarsystemet Aktuellt medium Målet

• SL (Sändarens signal-styrka)

• NL (Egenbrus)• DI (Förstärkning av mot-

tagen signal i antennens riktning)

• DT (Detektionströskeln)

• TL (Utbredningsförlus-terna)

• RL (Reverberationsnivån)• NL (Sjöbrus, Regn- och

vindgenererat brus)

• SL (Målets utstrålade buller)

• TS (Målekostyrkan)

TS, målekostyrkan, kan vara besvärlig att beräkna. För ubåtar är den-na omgärdad av hög sekretess. Enligt definitionen tecknas målekostyrkansom kvoten mellan intensiteten av den reflekterade vågen på 1 m avståndfrån dess akustiska centrum och intensiteten hos den infallande ljudvågen: TS = 10 log (Ir /Ii )

Betydelsenavenlågmålekostyrkahosubåtarförattförsvåraellerförhin-draupptäckttordevarauppenbar.Målekostyrkanhosubåtarkandockvarierahögstavsevärt,måhändafrån–6dBtill35dBochärberoendeavgeometrisk

14�

Hydroakustik

formochytbeläggningensreflekteringsförmåga.Vidareärdenvinkelmedvil-ken den utsända signalen träffar (insonifieringsvinkeln) betydelsefull, varförubåtenstaktiskauppträdandeiförhållandetilldenspanandesonarenäravstorviktochförutsättergodahydroakustiskakunskaperhosubåtsofficeren.

12.4 Exempel

12.4.1 Passivasystem

• Bestämning av räckvidder för passiva system (vid sfärisk spridning)

Somgrundförräckviddsbestämningutnyttjasdenpassivasonarekvationen:

DT=SL–TL–NL+DI

Räckviddenringåriuttrycketförtransmissionsdämpningen(TL)enligt

TL=20log(r)+α r+60(dB)(ref.avstR0=1m)(α=absorptionskoefficientenuttrycktidB/km,r=räckviddenikm)

Ommankännermåletsspektralanivå(SL),sittegenbuller(NL),ev.an-tennförstärkning(DI)ochvärdetfördetekteringströskeln(DT)kanmanbe-räknaräckviddenrförolikamål(olikaSL)vidolikahydrografiskaförhållan-den(olikaα).Seföljandeexempel:

1. Måletsutstråladebullerär116dB.

2. Uppmättegenbullerär60dB.

3. Detektionerhållesvid0dB(s/n).

4. αiÖstersjönär2dB/km.

5. Beräkninggerdåenräckvidd på 560 m.

Detfinnsiallmänhetfärdiganomogramfördettasyfte.

12.4.2 Aktivasystem

• Bestämning av räckvidder för aktiva system (vid sfärisk spridning)

Bestämräckviddenmedhjälpavföljandeuppgifter:

150


1. Givetär SL=210dB TS=12dB NL=70dB DI=15dB DTN=3dB α =10dB/km(sändarfrekvensca100kHz)

2. Söktärr(räckviddenikm).

Sonarenärejreverberationsbegränsad.

3. Somgrundförräckviddsbestämningutnyttjasdenaktivasonarekvationen

DTN=SL–2TL+TS–NL+DI

Vilkenger2TL=210+12–70+15–3

TL=82

4. Räckvidden(r)ingåriuttrycketförtransmissionsdämpningen(TL)enligt

TL=20log(r)+αr–60dB(ref.avstR0=1m)

Vilketger82=20log(r)+10r–60

r=12

Räckvidden blir ca 12 km.

• Bestämning av målekostyrka för olika geometriska former

1. Beräknamålekostyrkanhosensfärmedradien2m.Sfärenantasvaraenperfektochisotropreflektor,dvs.denreflekterarlikaiallariktningarochalleffektreflekteras.

Insonifieringseffektenblir Ii π a2där Ii=intensitetenhosden infallande

ljudvågenocha=radienhossfären.Dåhelaeffektenreflekterasblirdenreflekteradeintensitetenpåavståndet1mfrånsfärenIr = (πa2/4πr2) efter-somdenreflekteradeeffektenfördelasöverytan4πr2ochdära=radienhossfärenochr=avståndetfrånsfären.

IrkandåberäknasochblirIr = (πa2/4πr2)Ii ;Ir=(a2/4)Ii.

MålekostyrkanTSdefinieradsomTS = 10 log (Ir /Ii ) gerdåTSsfär = 10 log (a2/4).

Målekostyrkanhosdenidealasfärenmed2mradieblirdå0 dB.

Förenditosfärmedradien5mblirTS=8dB;medradien1mblirTS=–6dB.

151

Hydroakustik

Frekvensensaknarbetydelse i falletovanmedsfären, förutsattatt sfärensdiameterärmycketstoriförhållandetillvåglängdenhosdenutsändasig-nalen.Vidövrigageometriskaformeringårdockvåglängden.

2. TSförenidealcylinderkanberäknasursambandetTScyl = 10 log (aL2/2λ) däraärradien,Lärlängdenochλärvåglängden.Alltuttrycktim.

Bestämmålekostyrkanhosencylindermedradiena=1.5mochlängdenL=15m.

Deninsonifierandeljudkällansändermedenfrekvensav8kHz.

Ljudhastighetenivattnetsättstill1440m/s

Våglängdenberäknasursambandetλ =c/f

λ =1440/8000=0.18m

TScyl=10log(337.5/0.36) =29 dB

3. TSförettidealtplankanberäknasursambandetTSplan = 10 log (A/λ)2

därAärareanim2ochλärvåglängdenim.

Bestämmålekostyrkanhosettplanmedarean10m2ochdärinsonifierandeljudkällasändermedenfrekvensav30kHz.

Ljudhastighetenivattnetsättstill1500m/s.

λ =1500/30000=0.05m

TSplan=10log(10/0.05)2 =46 dB

• Dopplereffekt

Ettfartyggårraktmotsonarenisiktlinjen.Beräknamåletsfartiknop:

1. Utsändsignal(f )16kHz

2. Registreraddopplereffekt(∆f )115Hz

3. Ljudhastigheten(c)1440m/s

4. Måletsfart(v)sökt

5. Sambandet ∆f = 2vf/c ger 115 =2 • v • 16000/1440; v = 5.2 (m/s)v = 10 knop

152


• Ytreverberation

Enaktivsonarharlobbredden12o,sänderutensignalpånivån205dBmedenpulslängdom33ms.Bottnenbeståravlera.Ljudhastighetenär1440m/s.BeräknaytreverberationenRLypåavståndet2500m:

1. DenbestråladeytanA=ΦrcT/2

därΦ = sonarensöppningsvinkeliradianer(1o=π/180rad)r=avståndetimc=ljudhastighetenim/sT=pulslängdenisekgerA=12•π/180•2500•1440•33•10−3/2;A =12440m2

2. SL=205dBr=2500m

ReverberationskoefficientenSy,(förlera)=–40dB(sand–25dBochberg–10dB)

3. Sambandet RLy=SL–40logr+Sy+10logAgerRLy=205–40log2500–40+10log12440RLy=205–136–40+41RLy = 70 dB

• Ljudintensitet

LjudintensitetenkanberäknasursambandetI=p2/z:

1. Antagettljudtryckppå1Pa(1N/m2).

2. Ljudhastighetenivattencantasvara1500m/s.

3. Vattnetstäthetρ sättstill1000kg/m3.

4. Sambandetz=ρcgerenakustiskimpedansz=1.5x106kg/m2s.

5. Ljudintensitetenblirdå:I=1/1.5•106I=6.5•10–7 W/m2

(Omvänt ger en ljudintensitet på 1 W/m2 upphov till ett ljudtryck(zI)=1.225kPa.)

153

13. Laser

LASERärenakronymförLight Amplification by Stimulated Emission of Ra-diation,vilketpåsvenskablir”ljusförstärkninggenomstimulerademissionavstrålning”.Idettakapitelbehandlasgrundernaförlaser,olikatyperavlasrar,strålutbredning,atmosfärspåverkanochlasersäkerhet.

13.1 Grunder för laser

Medlasermenasenapparatsomlevererarmonokromatisktljus,detvillsägaljusavprincipenendavåglängd,ochattljusetärkoherent,vilketinnebärattallt ljus,fotonerna,svängerifasmedvarandra.Lasernsgrundprincipbyggerpåförstärkningavljusgenomstimulerademissiondärförstastegetärattenyttreenergikällatillförenergiiettlasermaterialförattlyftaelektronerna,exci-tera,frånsingrundnivåtillenhögreenerginivå(sefigur13.1).Dettakallasattpumpalasern.

Elektronen har mycket kort livslängd på pumpnivån och faller snabbtnertillvadsomkallasdenövrelasernivån(sefigur13.1),därlivslängdenäravsevärt längre.Genomattkontinuerligtpumpa lasernkanenpopulations-inversionskapasmellandenövreochundrelasernivån.Populationsinversioninnebärattdetärflerelektroneridenövrelasernivånänidennaturligagrund-energinivån.

När en elektron rör sig fråndenövre lasernivån tillden lägre lasernivånemitterardenenfoton,detvillsägaljus.Dennaemissionavljus(fotoner)kall-lasspontanemission.

Energiskillnadenmellanövreochdenundrelasernivånbestämmerljusetsvåglängd.Närelektronenfaller frånpumpnivåntillövre lasernivårespektive

154


frånnedre lasernivån till grundnivånemitteras ingen fotonutanblir iställetvärmeförluster.Detsomkrävsutöveryttreenergikällaochlasermaterialförattåstadkommaenlaserärspeglar,ävenkallatoptiskresonator.Speglarnaplaceraspåvarsinsidaomlasermaterialetriktadesåattdekanreflekteraljuset,dvs.fotonerna,mellanspeglarna(sefigur13.2).Enfotonsomreflekterasmellanspeglarnapasserarigenomlasermaterialetochomdendåträffarenexciteradelektronkommerdenattstimuleraemissionavytterligareenfotonmedsammafas,våglängdochriktningsomdeninfallandefotonen.DäravnamnetLASER(Light Amplifica-tion by Stimulated Emission of Radiation).

Enavspeglarnamåstevaradelvisgenomskinligsåattendelavfotonernakankommautförattbildaenlaserstråle.Sålängedenyttreenergikällantillförenergiilasermaterialetkommerlasernattlysa(sefigur13.3).

Tillförd energi

Pumpnivå

Grundnivå

Övre lasernivå

Nedre lasernivå

(värmeförlust)

(värmeförlust)

Ljus (Fotoner)

e

e

e

Figur 13.1. Pumpning av laser. (Källa: FHS)

Pumpnivå

Grundnivå

Övre lasernivå

Nedre lasernivå

Ljus (Fotoner)

spegel spegel

Figur 13.2. Hur en laserstråle produceras. (Källa: FHS)

155

Laser

Blixtlampa

Blixtlampa

Blixtlampa

Lasern är i sitt icke-lasrande tillstånd.

Blixtlampan lyser (tillför energi)in i rubinen och exciterar rubinensatomer.

Några av atomerna gör en spontanemission och emitterar atomer.

Några av fotonerna rör sig parallelltmed rubinstavens längdriktning ochstudsar fram och tillbaka mellanspeglarna. Under tiden träffar deandra exciterade atomer och stimu-lerar dem att emittera en foton (såkallad stimulerad emission).

Laserljus med samma frekvens,fas och riktning strömmar ut urden halvgenomsläppliga spegeln.

Spegel

Halvgenomsläpplig spegel

AtomerExciterade atomer

1

2

3

4

5

Blixtlampa

Figur 13.3. Hur laserljus skapas. (Källa: FHS, Illustration: Samuel Svärd)

156


Enlaserkanhaolikalasermaterialochdelasinikategoriereftervilketma-terialsomanvändsförattskapalaserstrålen.Dessaär:

• Gaslaser

• Kemisklaser

• Färgämneslaser

• Halvledarlaser

• Fastatillståndslasrar

Somyttreenergikälla,pumpningavlasermaterialet,användselektriskellerkemiskenergialternativtoptiskstrålning.

Laserstrålenharföljandespeciellaegenskaper:

• Denärparallellochfårdärmedlågspridning(divergens).

• Denärkoherent,dvs.harsammafas.

• Denärmonokromatisk,vilketinnebärattdenliggerinomettsmaltvåg-längdsområde.

Dessaegenskapermedförattlasernärattraktivattnyttjaförmilitäratill-lämpningar,t.ex.föravståndsmätningochsomledstrålarförstyrningavt.ex.robotar.Ennackdelmedlaserärattdenharlågverkningsgrad.

13.2 Olika typer av lasrar

Ovanharendastkoherentlaserberörtsmendetfinnsävenlasrarsomärinko-herenta,dvs.fotonernaistrålenliggerinteifas(sefigur13.4).

Olika typer av laser

Koherent

(Fotonerna i strålen är i fas)

Inkoherent

(Fotonerna i strålen är inte i fas)

Figur 13.4. Skillnad på koherent och inkoherent laser. (Källa: FHS)

157

Laser

13.2.1 Inkoherentlaser(direktdetektion)

Ärmanendastintresseradavattfåettavståndtillettobjektgenomattmätagångtidenförenkraftiglaserpulsmedenlaseravståndsmätarekandirektdetek-tionanvändasmedeninkoherentlaser.Avståndeträknardenutgenomattmätatidendettarförlaserpulsenattfärdasfrånlaserntillmåletochtillbaksigen.Dåhastighetenipulsenärkänd(ljusetshastighet,ca300000km/s)kanavståndettillmåletberäknas.Viddirektdetektionmätsendastdenreflekteradestrålning-ensintensitet.Ennackdelmeddirektdetektionärattsignal-brusförhållandetinteärsåbra.Medhjälpavettsmalbandigtfilterdärendastdenintressantare-flekteradelaserstrålningensläppsigenomkanmycketavbakgrundsstrålningenfiltrerasbort.Eftersomdetektornbaramäterintensitetenkandopplerskiftintemätasochdärmederhållsingeninformationomhastighet.

Fördelar Nackdelar

• Enkelt• Billigt

• Bakgrundstrålning• Låg känslighet• Kan inte mäta hastighet

13.2.2 Koherentlaser

Medkoherentdetektion,vilketärettmerkompliceratsystem,kanocksåamp-litud-ochfasinformationendetekteras,vilketutökaranvändningsområdetförenlaser.Genomattkunnamätafasenpåinkommandestrålningfinnsmöjlig-hetattbl.a.mätahastighet.

Ettkoherentlasersystemsomärpulsatkräverenlokaloscillatorstrålesomgenereras internt i systemet.Pådetektornblandasdenmottagnastrålningenmedlokaloscillatorstrålen.Påsåsättkanfasändringarpga.dopplermätasidenmottagnastrålen,vilketmöjliggörmätningavhastighet.Systemetblirjämförtmedeninkoherentlaserrelativtkomplicerat,vilketökarkostnaden,ochefter-sommananvändertvålaserstrålarkrävsdetennoggrannupplinjeringavdessasåattdeärparallellaförattsystemetskallfungerapåavsettsätt.

Fördelar Nackdelar

• Okänslig för bakgrundsstrålning• Hög känslighet (ca 1 000 ggr högre än

inkoherent laser)• Kan mäta hastighet

• Komplicerat system• Dyrt• Höga krav på upplinjering

158


13.3 Strålutbredning för laser

Enlaserstrålebeskrivsvanligensomenstrålemedgaussiskstrålprofil,dvs.denharnormalfördelad intensitetsfördelning.Fördelenmed att beskriva strålensutbredningsegenskaperpådettasättärattmankananvändaformlerhärleddafrånvågekvationen.Laserljusetärparallelltochhardärmedlågdivergens.Ävenomspridningenavstrålenärlågsåärdivergensenavsådanstorlekattdenpå-verkarsystemetsprestandaochdärmedviktigatthållasålitensommöjligt.

Viktigaparametrarförattbeskrivaenlaserstråle,ochdärmedsystemetpre-standa,ärstrålradie,divergensochdiffraktion.Radienförstrålenangessomstrålradienochdivergensenbeskriverhurstrålradienökarmedavståndetfrånlasern (se figur 13.5). En stor divergens innebär att strålradien ökar snabbtmedavståndet,vilketpåverkarsystemetsprestandanegativtsomt.ex.gersämreupplösningochlägreenergiperytenhet.Närenlaserstråle,vågor,passerarenapertursomharbegränsadöppninguppstårdiffraktion(strålenböjsaviyt-terkanterna).Detärdiffraktionensomprimärtpåverkarvilkenminstastråldi-vergenssomkanuppnås.Förhållandetmellanstråldivergensochdiffraktionärsådanattökasaperturstorlekensåreducerasdivergensen.Förattfåsåhögeffektperytenhet,dvs.litendivergens,sommöjligtpålångtavståndfrånsändarenmåsteaperturenvararelativtstor.Sambandetmellanstrålradieochstråldiver-gens.

r~s(km)*@(mrad) 2

Laser @r

s

r = strålradie@ = stråldivergenss = avståndet till objektet

Sambandet mellan strålradie och stråldivergens

s x @2

r ~

Figur 13.5. Sambandet mellan strålradie och stråldivergens. (Källa: FHS)

15�

Laser

13.4 Atmosfärspåverkan

Detärintebaradiffraktionsompåverkaregenskapernahosenlaserstråle.At-mosfärenpåverkarlaserstrålen,ochdärmedsystemetsprestanda,genom:

• Transmissionsdämpning

• Turbulens

• Termiskdistorsion

Transmissionsdämpning påverkar räckvidden för systemet och generelltkan sägas att ju längre våglängddestobättre räckvidd.Dendämpning i at-mosfärensompåverkartransmissionenärihuvudsakabsorption,vätske-ochstoftpartiklarsamtspridningigaser.

Atmosfärenstransmissionharuppmättsvidhavsnivå(sefigur13.6).Bildenvisaratttransmissionenärlåginomvissavåglängdsområdenmenattdetocksåfinnsområdenmedrelativthögtransmission,s.k.transmissionsfönster.Dessatransmissionsfönster som ligger inom våglängderna 300–1300nm, 1500–1700nm,2000–2500nm,3000–5000nmsamt8000–14000nmärdeområdensombästlämparsigförlasersystem.

Dendämpningsomorsakasavabsorbtionsamtvätske-ochstoftpartiklarberorfrämstpåhurmycketpartiklardetfinns,koncentrationen,ochpartikel-storleken.Dimma,dis,rökochdammgerhögredämpningvidkortarevåg-längdermedansnöochregngerenrelativtvåglängdsoberoendedämpning(sefigur13.7pånästasida).

Våglängd (m)

Tran

smitt

ans

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

20

40

60

80

100

O2 H O2 CO2 H O2 CO2 O3 H O2 CO2 O3 CO2H O2 CO2

Figur 13.6. Transmissionen i atmosfären. (Källa: FOI)

160


Turbulensmedförblandannatattlaserstrålensdivergensökarochattstrå-lensriktningändrasslumpmässigt.

Närföremålbetraktaspålångtavståndienkikareöveruppvärmdterrängkaninverkanavturbulensiakttasgenomattbildenfluktuerarikikaren.Or-sakentilldettaärdetlångaavståndetöverdenuppvärmdaterrängendärtem-peraturen slumpmässigt kommer att variera och blandas pga. vindar, vilketmedförattbrytningsindexkommerattvarieraslumpmässigt.Resultatetblirenflimrandebildikikaren.

Termiskdistorsionärprimärtettproblemsomuppstårförlasersystemsomskallbelysaettstillaståendeellernästanstillaståendeobjekt.Förettflygburetlasersystemellerettsystemsomskallbelysaettföremålmedhögvinkelhastig-hetblirproblemetmindreeftersomluftenhelatidensnabbtbytsut.Laserstrå-lens intensitetorsakaruppvärmningavdennärmsta liggande luftensomfårtillföljdattbrytningsindexvarierarvilketledertillattstrålradienökarpga.attstrålenböjs.Strålenböjsmestimitteneftersomluftenvärmsuppmestdär.

Sidvindpåverkarocksåettlasersystemsombelyserettstillaståendeobjekt.Luftenkommerattvarakallareilovartäniläomstrålendåluftenvärmsuppvidpassagegenomstrålen.Kallareluftharhögrebrytningsindexvarförstrålenkommerböjasavmotvindriktningen,dvs.lovart.Förlasersystemmedhögef-fektärdettafenomenmermärkbart.

10-1

100

10-2

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

102 103 104 105

Tran

smis

sion

Avstånd [m]

Våglängd 0.55 µm

100 km

10 km3 km1 km

Visuell sikt

Figur 13.7. Dämpning. (Källa: FOI)

161

Laser

13.5 Lasersäkerhet

13.5.1 Allmäntomlasersäkerhet

Beroendepåvilket lasermaterial somanvänds ien laserkommer laserstrålenhaolikavåglängd,frånca193nanometerupptilllitedrygt10600nanome-ter. Detta innebär att ögat ligger i riskzonen att utsättas för laserljus. Ögatärkänsligtförvåglängdermellan400–1400nanometereftersomhornhinnanochpupillen fokuserardessa våglängdermot gulafläcken, vilketmedför attäven låga lasereffekterkanvara skadliga (sefigur13.9pånästa sida).Liggerlaserstråleninomdetsynligaområdet400–770nm,somocksåkallassynligtljus,gerblinkreflexeniögatettvisstskyddeftersomviblundaromviexponerasförlaserljusinomdettavåglängdsområde.

Våglängder från ca700nmupp till 1400nmär särskilt farliga eftersomblinkreflexen inte fungerar inomdetta våglängdsområde.Ett exempelpå enfarliglaservåglängdärneodymlaserns,NdYAG,1060nmsomärvanligila-seravståndsmätare.Detärframföralltfastatillståndslasrar,laserdioderfärgäm-neslasrar som ligger inomhornhinnansochpupillens fokuseringsvåglängder(400–1400nm).

Utifrånhurfarligenlaserärförbl.a.ettoskyddatögaärlasrarnaindeladeilaserklasser.Indelningenavlasrariolikaklasserenligtdeninternationellastan-darden,ärettsättattberoendepåstrålningsegenskapernageengrovsorteringavlasrarmedolikagraderavskaderisker.Ensammanfattningavdessariskergesnedan.

Intensitet

Infallandestråle

Figur 13.8. Distortion. (Källa: FOI)

162


13.5.2 Äldrelaserklasser

• Klass 1. Lasrariklassenärofarligaävenvidlångtidsexponering.Antingenärlasrarnasåsvagaattdeintekangenågraskaderiskeroavsetthurdehan-teras,ellerocksårördetsigomapparatersominnehållerlasrarsomisigkanvaraavenfarligareklassmensomärinbyggdaochförsegladesåattingenfarligstrålningkommerut.Denmaximalttillåtnastrålningseffektenellerpulsenerginförlasrariklassenärdirektkoppladtillexponeringsgränsvär-dena.Denövreklassgränsenärnaturligtvisrigoröstdefinierad,menlåtersigintebeskrivasenkelt.

Lins

Iris

Gula fläcken

Hornhinna

Lins

Iris

Gula fläcken

Hornhinna

Lins

Iris

Gula fläcken

Hornhinna

Våglängdsområde400 – 1400 nm

Våglängdsområde1400 nm – 1 mm

Våglängdsområde315 – 390 nm

Figur 13.9. Ögats brytning av ljus mot hornhinnan vid olika våglängder. (Källa: FHS, Illustration: Samuel Svärd)

163

Laser

• Klass 2.Klasseninnehållerbaralasrarsomavgersynligstrålningvarmedilaserstandardenmenasstrålninginomintervallet400–700nm.Exponeringavettoskyddatögagerupphovtillbländningochögonlocketslutsreflex-mässigt.Blinkreflexengördåattögatinteexponerasundertillräckligtlångtid för att skadas.För cw-lasrar,dvs. sådana somkan lysamedkonstantstrålningseffekt,ärdenövreklassgränsen1mW.

• Klass 3a.Lasrarinomdennaklassharrelativthögeffekt,mendådeninteärsärskiltkoncentreradskadardeninteögatominteförstärkandeoptik,t.ex.kikare,används.

• Klass 3b.Direktexponeringavögonellerhudkangeskador.Diffustreflek-teradstrålningärvanligtvisofarlig.

• Klass 4. Härkandetävenvarafarligtattoskyddadbetraktaenlaserbelystfläckpåenmattyta.Klass4-lasrarkanocksåvållabrand.Klassensaknarövregräns.

13.5.3 Denyalaserklasserna

• Klass 1.Äriprincipoförändradjämförtmedtidigare.

• Klass 1M.Lasrarvarstotalaeffektellerpulsenergiöverskridervadsomtillåtsiklass1(gällersåvälUV,synligtochIR),mendärstråleninteärsmalutanutbredd.Påsåsättkanexponeringsgränsvärdenaförettobeväpnatögaelleroskyddadhudinteöverskridas.Ommansamlarstrålknippett.ex.medenkikareellerbetraktarenfiberändamedenlupp,kandockofarlighetenintegaranteras.Mstårförmagnifier.

• Klass 2.Äroförändradjämförtmedtidigare.

• Klass 2M. Klassen omfattar bara lasrar som avger synlig strålning (400–700nm).Klass2-gränsenfåröverskridastotalt,omstrålknippetärutbrettenligtsammaprincipersomförklass1M.Omstrålknippetintesamlasmedhjälp av någon optik gäller samma riskbedömning som för klass 2, dvs.blinkreflexenskyddardetobeväpnadeögat.

• Klass 3R.Klassenomfattarlasrarsomavgerupptill5ggrklassgränsenförklass1vidmotsvarandevåglängderellerpulstider,omstrålningenärosyn-lig. För synlig strålning tillåts upp till 5ggr gränsen för klass 2. Gräns-värdenaförexponeringavoskyddadeögonkanalltsåöverskridas,mendeinnehållersådanasäkerhetsmarginalerattskadoripraktikeninteuppstår.Rstårförrestricted.

164


• Klass 3B.Klasseninnehållerlasrarvarsstyrkaöverskriderklass3R.Iövrigtärdenoförändrad.

• Klass 4.Omfattarallalasrarsomärstarkareänklass3B.Klassenäroföränd-rad.

SÄKIharantagitdenyalaserklasserna.

165

Fördjupningslitteratur

Aerodynamik

Anderson, Jr., J. D., 1991: Fundamentals of Aerodynamics (Blacklick, Ohio:McGraw-HillCompany),ISBN0-07-001679-8.

Axelsson,R.ochDanewid,R.(red.),2002:Segelflyg: En lärobok(Skövde:Se-gelflygsportFörlagHB),ISSN91-973848-3-6.

Bertin,J.J.andSmith,M.L.,1997:Aerodynamics for Engineers. Third Edition(UpperSaddleRiver,NJ:PrenticeHall),ISBN0-13-576356-8.

Borglund,D.andEller,D.,2006:”AeroelasticityofSlenderWingStructuresinLow-SpeedAirflow:lecturenotes”,TRITA-AVE2006:11(Stockholm:KTH).

Klinker, O., 1995: ”Flygutprovningen av Sveriges första jetflygplan; SAAB21R”,Mekanisten,SvenskaMekanistersRiksförbund,3:17–30.


Streetly, M. (ed.), 2004: Jane’s Radar and Electronic Warfare Systems 2004–2005 (Surrey, England: Jane’s Information Group), s. 244, ISBN-10:0710626363,ISBN-13:978-0710626363.

Hågård,A.:”Optisk transmission iatmosfären”,kurskompendium,RobustaOptroniksystemPreliminär,s.1,980408,FOA.

166



Anderson, Jr., J. D., 1991: Fundamentals of Aerodynamics (Blacklick, Ohio:McGraw-HillCompany),ISBN0-07-001679-8.

Axelsson,R.ochDanewid,R.(red.),2002:Segelflyg: En lärobok(Skövde:Se-gelflygsportFörlagHB),ISSN91-973848-3-6.

Bertin,J.J.andSmith,M.L.,1997:Aerodynamics for Engineers. Third Edition(UpperSaddleRiver,NJ:PrenticeHall),ISBN0-13-576356-8.

Hydroakustik

Beranek, L. L., 1986: Acoustics (New York: American Institute of Physics),ISBN0-88318-494-X.

Bobber,R.J.,1988:Underwater Electroacoustic Measurements (LosAltos,CA:PeninsulaPubl.),ISBN0-932146-19-8.

Etter,P.C.,1991:Underwater Acoustic Modeling: Principles, Techniques and App-lications (NewYork:ElsevierScience&Technology),ISBN1851665285.

FMV, 1992: ”Sonarteknik”, kompendium (Stockholm: Försvarets Materi-elverk).

Jonsson,P.,1998:”Designandimplementationofaprogrammable,widebandsonar for sediment mapping”, Institutionen förTeknisk Geologi, LundsTekniskaHögskola.ISBN91-628-2903-3.

Medwin, H. & Clay, C. S., 1998:Fundamentals of Acoustical Oceanography(SanDiego,CA:AcademicPress),ISBN0-12-487570-X.

Pentelius,T.,1970:”Ljudabsorptionskoefficientenihavetförfrekvensområdet0.1–50kHzsomfunktionavtemperaturochsalthalt”,RapportC3620-57(Stockholm:Försvaretsforskningsanstalt).

Urick, R. J., 1983: Principles of Underwater Sound. 3rd edition (New York:McGraw-HillBookCompany),ISBN0-07-066087-5.

Urick,R.J.,1984:Ambient Noise in the Sea(LosAltos,CA:PeninsulaPubl.),ISBN0-932146-13-9.

167

Bilaga: Om materialet på medföljande cd

Förattköranedanståendefiler,kandematematiskaprogrammenMatlabellerOctaveanvändas.Octaveärtillgängliggratispå<http://www.octave.org>.

Sammanställning av Matlabfiler på cd:n

Filnamn Programmets användning

skostud.m Hämtar en vektor v, lagrad i filen skonr, utgörande ett fingerat material på 1 000 värnpliktigas skonummer. På materialet görs beskrivande statistik.

lngdstud.m Hämtar en vektor v, lagrad i filen vpllngd, utgörande ett fingerat material på 1 000 värnpliktigas längd [mm]. På materialet görs beskrivande statistik.

tresampler.m Visar beskrivande statistik på tre stickprov av något olika utseende.

stdgiss.m Visar stolpdiagram på slumpvis valda stickprov, varefter du med ögon-mått får skatta medelvärde och standardavvikelse.

symmtern.m Simulerar kastserier om valt antal kast med symmetrisk tärning. Använ-der programmet kastseriesymm.m som subrutin.

falsktern.m Simulerar kastserier om valt antal kast med en typ av osymmetrisk tärning. Använder programmet kastseriefalsk.m som subrutin.

upprepn.m Ett slumpmässigt försök upprepas under samma omständigheter till dess du avbryter. Vid försöket kan händelsen A inträffa. Du bestämmer inledningsvis P(A). Med vissa mellanrum redovisas relativa frekvensen för A.

tcount.m Räknar, vid kast med två, tre, fyra, sex eller tio tärningar, antal element i händelserna att erhålla ett givet antal ögon. Subrutiner: tvotern.m,tre-tern.m,fyrtern.m,sextern.m,tiotern.m. Svarar med resp. sannolikhet.

binstolp.m Stolpdiagram visas över en binomialfördelning, vars parametrar du får välja. Därefter genererar subrutinen binstat.m stickprov på fördelningen.

nostat.m Visar stickprov på en standardiserad normalfördelad s.v. (dvs. med väntevärdet 0 och standardavvikelsen 1). Histogrammet jämförs med fördelningens täthetsfunktion, och det kumulerade histogrammet med dess fördelningsfunktionen. Den senare beräknas med programmet Fi.m.

binorm.m Visar approximation av binomialfördelningens sannolikhetsfunktion med täthetsfunktionen för en normalfördelning med samma väntevärde och standardavvikelse.

168


lanch.m En enkel, datoriserad Lanchestermodell (ingen geometrisk representa-tion).

lanchm.m En modifiering avlanch.m med en ansats till geometrisk representation.

lanset.m Ger, i kombination med subrutinerna langrp.m,lanskjut.m, en Lanchester-variant med ännu mer geometrisk representation.

procent.m Övning på att med ögonmått skatta procenttal.

lutning.m Övning på att med ögonmått skatta lutningen hos en rät linje.

funk.m Visar kurvor över en rad elementära funktioner som du väljer ur menyer.

deriv.m Programmet är avsett att illustrera derivatans definition och innebörd. Använder programmet deriv2.m som subrutin.

sincos.m Avser att illustrera definitionerna och några egenskaper hos sinus- och cosinusfunktionen.

16�

Om bokens författare

BokenharskrivitsavlärarevidFörsvarshögskolan(FHS).Dessaharsomregellångerfarenhetfrånsittämnesområdeoch/ellerhardisputeratinomdetsamma.

kurt andersson,kapitel7.Anderssonärcivilingenjör.

kristian artman,kapitel13.Artmanäröverstelöjtnant iFlygvapnetochflygingenjör.

magnus astell,kapitel10–11.AstellärkapteniArménocharméingenjör.

stefan axberg,kapitel12.AxbergärprofessoriMilitärteknik.

hans liwång,kapitel8.Liwångärcivilingenjör.

anders lundberg,kapitel2–6.Lundbergärprofessoremeritusimatema-tik.

martin norsell,kapitel9och11.Norselläruniversitetslektor iMilitär-teknik.

lars tornérhielm,kapitel1.Tornérhielmärövltfrånarmén.

171

Serien ”Lärobok i Militärteknik”

Nr.1 KurtAndersson,KristianArtman,MagnusAstell,StefanAxberg,HansLiwång,AndersLundberg,MartinNorsellochLarsTornérhielm,Lä-robok i Militärteknik, vol. 1: Grunder (Stockholm:Försvarshögskolan,2007).ISSN1654-4838,ISBN978-91-85401-72-7.

Documents

Lärobok i Militärteknik, vol. 1: Grunderfhs.diva-portal.org/smash/get/diva2:272952/FULLTEXT01.pdf · 2010. 4. 8. · Innehållsförteckning Förord 9 1. Inledning 11 1.1 Allmänt