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8/17/2019 Los vectores.docx

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ANALISIS MATEMATICO I

TOPICOS DE CALICULO I

SOLUCIONARIO DE FISICA

BASICA

UAC LA ESCUELA ACADEMICA QUE PERTENECES MATEMATICA II

Los vectores

Tipos de magnitudes

Una magnitud física es cualquier propiedad física susceptible de ser medida.

Ejemplos: el tiempo (t ), la velocidad ( ), la masa (m), la temperatura (T ), el

campo eléctrico ( ).

Las magnitudes físicas se pueden clasificar en:

agnitudes escalaresLas magnitudes escalares son aquéllas que quedan completamente

determinadas mediante el conocimiento de su valor e!presado mediante

una cantidad (un n"mero real) seguida de una unidad (a e!cepci#n delas adimensionales). $sí, por ejemplo, si decimos que la masa de unobjeto es % &g, 'emos aportado toda la informaci#n necesaria.

agnitudes vectorialesLas magnitudes vectoriales son aquéllas que no quedan completamente

determinadas por su valor (cantidad unidad), sino que requierenadems el conocimiento de la direcci#n el sentido de su actuaci#n

su punto de aplicaci#n. $sí, al decir que sobre un objeto se aplica unafuer*a de % +, no poseemos toda la informaci#n, a que 'abr que

indicar 'acia d#nde se dirige dic'a fuer*a.rficamente, las magnitudes vectoriales se representan por una flec'a,siendo la longitud de esta flec'a proporcional al m#dulo de la

magnitud, su direcci#n sentido los de la magnitud vectorial.-ector ligado

uando el origen del vector est fijado (por ejemplo, una fuer*a que seaplica en un punto concreto no otro) se dice que tenemos un vector

ligado.-ector Libre

/i podemos cambiar el origen del vector sin que afecte al significado

físico de éste (como ocurre, por ejemplo, con el peso de un objeto) sedice que tenemos un vector libre.

Ejemplos de magnitudes

Escalares Vectoriales

Magnitud Símbolo Magnitud Símbolo

asa m 0osici#n

1iempo t -elocidad

1emperatura T 2uer*a

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BASICA


Energía E ampo eléctrico

3bsérvese la diferencia en la notaci#n entre magnitudes escalares

vectoriales. 0or la condici#n de la 'omogeneidad que se comenta ms abajo,es mu importante tener claro e indicar qué magnitud es escalar cul

vectorial. 0or ello, adoptaremos el convenio de siempre escribir lasmagnitudes vectoriales con flec'a (también es usual, especialmente en libros,

el usar negrita)

$dems de las magnitudes escalares vectoriales, e!isten otros tipos de

magnitudes 4de orden superior5, conocidas en general como magnitudestensoriales .Un ejemplo de magnitud tensorial son los 4esfuer*os5 en un

s#lido. uando se aplica una fuer*a en una direcci#n resulta una deformaci#nque puede ir en una direcci#n diferente. 0or tanto necesitamos la informaci#n

de la direcci#n sentido de los dos, fuer*a deformaci#n, por lo que no nos basta con una magnitud vectorial .En este curso las magnitudes tensoriales

aparecen mu raramente.

Principio de homogeneidad

Una propiedad importante de las lees físicas es que son 'omogéneas. Estoquiere decir que los dos miembros de una igualdad, o cada uno de los

sumandos de una suma, deben ser del mismo tipo:

• Una cantidad escalar ser igual a otra cantidad escalar, por ejemplo

• Una cantidad vectorial ser igual a otra cantidad vectorial

• pero nunca una cantidad escalar ser igual a una vectorial. 0or

ejemplo, el momento de una fuer*a es una cantidad cua unidad /6 es 7

+8m, la energía cinética es una magnitud cua unidad es 7 9 7 +8m,

pero, aunque se midan en las mismas unidades, el momento de una

fuer*a nunca puede ser igual a la energía cinética, pues la primera esuna magnitud vectorial la segunda es una escalar

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BASICA


La energía cinética sí podr ser igual al m#dulo del momento de la fuer*a, que

es una cantidad escalar

CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR.

Cantidad vectorial o vector: Una cantidad vectorial o vector es aquella que tienemagnitud o tamaño, dirección u orientación y sentido positivo (+) o negativo (-) ypunto de aplicación, pero una cantidad vectorial puede estar completamenteespecificada si sólo se da su magnitud y su dirección.

Ejemplos!) "#$ %e&tons a "$' al norte del este, esto es nos movemos "$' aciael norte desde el este.

) # m al norte. ") !# *m. a "' es decir "' en sentido retrogrado.

Un vector se representa grficamente por una fleca y se nom/ra con una letramay0scula ej. 1 2 # l/. a !$'. 3a dirección de un vector se puede indicar con unngulo o con los puntos cardinales y un ngulo.

%o se de/e confundir despla4amiento con distancia, el despla4amiento esta indicadopor una magnitud y un ngulo o dirección, mientras que la distancia es unacantidad escalar.

5or ejemplo si un ve6culo va de un punto 1 a otro 7 puede reali4ar diferentescaminos o trayectorias en las cuales se puede distinguir estos dos conceptos dedistancia y despla4amiento .

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8! y 8 8on las distancias que se recorren entre los puntos y son escalares. 9! y9 son los despla4amientos vectoriales.

3a distancia total ser la cantidad escalar S1 + S2 en la cual se puede seguircualquier trayectoria, y el despla4amiento total ser la cantidad vectorial

R =D1 +D2

TIOS DE VECTORES.Vectore! Colineale!: 8on aquellos que act0an en una misma l6nea de acción.

Ejemplos En los instrumentos de cuerda, el punto donde est atada la cuerda(puente) se puede representar a la fuer4a de tensión en un sentido y al puntodonde se afina la cuerda (llave) ser otra fuer4a en sentido contrario. :tro ejemplopuede ser cuando se levanta un o/jeto con una cuerda, la fuer4a que representa latensión de la cuerda va acia arri/a y la fuer4a que representa el peso del o/jetoacia a/ajo.

Vectore! Conc"rrente!. 8on aquellos queparten de un mismo punto de aplicación.

Ejemplos ;uando dos aviones salen de un mismolugar, cuando dos o mas cuerdas tiran del mismo

punto o levantan un o/jeto del mismo punto.

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Vector Re!"ltante. #VR$ El vector resultante en un sistema de vectores, es unvector que produce el mismo efecto en el sistema que los vectores componentes.

Vector E%"ili&rante. #VE$ Es un vector igual en magnitud y dirección al vectorresultante pero en sentido contrario es decir a !


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BASICA


Suma

La suma de magnitudes escalares debe respetar el principio de 'omogeneidaddimensional, esto es, las magnitudes sumadas deben poseer las mismas

dimensiones (no se puede sumar una distancia a un tiempo).

La suma de magnitudes escalares posee las propiedades 'abituales:

conmutativa, asociativa, elemento neutro elemento simétrico.

Producto

En el producto de magnitudes escalares, el resultado tiene por dimensiones el producto de las dimensiones de los diferentes factores. $sí, por ejemplo la

densidad de masa

0ose dimensiones

se medir en el /6 en &g;m


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BASICA


Suma de vectores

las magnitudes vectoriales pueden sumarse, siempre respetando el principio de'omogeneidad dimensional (una fuer*a puede sumarse con otra, pero no con

una velocidad, por ejemplo).

rficamente, la suma de magnitudes vectoriales puede definirse de dos

formas equivalentes:

• olocndolos con el mismo origen: la suma vectorial ser la diagonal

del paralelogramo que definen (regla del paralelogramo).

•olocando uno a continuaci#n del otro uniendo el origen del primerocon el e!tremo del segundo (regla del triángulo).

Regla del paralelogramo Regla del triángulo

Esta suma así definida presenta las propiedades usuales de la suma:conmutativa, asociativa, elemento neutro elemento simétrico.

La propiedad asociativa, junto con la regla del tringulo, permitesumar n vectores a base de formar una línea quebrada disponiendo los

vectores en sucesi#n uniendo el origen del primero con el e!tremo del"ltimo.

0ara que dos vectores ligados se puedan sumar, deben poseer el mismo puntode aplicaci#n. +o tiene significado sumar, por ejemplo, el campo eléctrico en

un punto con el campo eléctrico en otro. /í lo tiene sumar dos camposeléctricos aplicados sobre el mismo punto. uando los puntos de aplicaci#n

coinciden, el punto de aplicaci#n de la suma ser el mismo que el de lossumandos.

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Producto por un escalar

Las magnitudes vectoriales pueden multiplicarse por magnitudes escalaresresultando una nueva cantidad vectorial. $sí, por ejemplo, la fuer*a sobre una

carga puntual es proporcional al campo eléctrico en el que se encuentra

El resultado es un vector, la fuer*a, que tiene por m#dulo

por direcci#n la misma del vector original, en este caso el campo eléctrico, por sentido el mismo que el del vector si la magnitud escalar, la carga en este

caso, es positiva opuesto si es negativa.

Las dimensiones del producto de un escalar por un vector son las del escalar

multiplicadas por las del vector. $sí, por ejemplo, de la segunda le de +e=ton

!"!# Vectores unitarios

La multiplicaci#n de un vector por un escalar, permite definir el vectorunitario en una direcci#n dada

0or tratarse de la divisi#n entre dos cantidades con las mismas dimensiones sededuce que los vectores unitarios son adimensionales. Producto escalar

El producto escalar entre dos magnitudes vectoriales es una magnitudescalar, definida como el producto de sus m#dulos por el coseno del ngulo

que forman, >. $sí, para la potencia desarrollada sobre una partícula

3bsérvese que el producto escalar se representa con un punto entre los dos

vectores, mientras que el producto por un escalar no lo lleva (adems de la&

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presencia o ausencia de flec'as que indican el carcter vectorial de las

magnitudes).

El producto escalar da como resultado una cantidad positiva o negativa seg"n

el ngulo que formen los dos vectores. Es positivo si el ngulo es agudo,negativo si es obtuso, nulo si los dos vectores son ortogonales.

El producto escalar también se anula si alguno de los dos vectores es el vector

nulo, por lo que se puede concluir

El producto escalar de un vector por sí mismo es igual a su m#dulo alcuadrado, a que el coseno es igual a la unidad,

El producto escalar es conmutativo, pero +3 es asociativo, a que ni siquieraest definido el producto escalar de tres vectores.

En la desigualdad

tenemos en cada miembro el producto de un escalar (el producto escalar dedos vectores) por un vector. El resultado en el primer miembro es un vector

que apunta en la direcci#n de en el segundo en la de , que ser diferenteen general, por lo que los resultados no son coincidentes.

Pro$ecci%n ortogonal

'

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El producto escalar se relaciona directamente con la proecci#n de un

vector en la direcci#n de otro ( proyección ortogonal ).

Esta proecci#n ortogonal es una cantidad escalar con signo (dependiendo delcoseno del ngulo).

La proecci#n ortogonal sirve para dado un cierto vector un ciertovector , descomponer éste como suma vectorial de una parte paralela una

parte perpendicular a aquél

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BASICA


El vector paralelo es igual a la proecci#n ortogonal multiplicada por el

unitario que nos da la direcci#n del vector

una ve* que tenemos éste, el clculo de la parte normal es inmediato

Producto vectorial

?ados dos magnitudes, , que forman

un ngulo @, podemos construir una nuevamagnitud como el producto vectorial de

estas dos . Esta magnitud estambién vectorial, con las propiedades:

#duloEs igual al producto de los m#dulos de

los dos vectores por el valor absolutodel seno del ngulo que forman. Equivalentemente, es el rea del

paralelogramo que definen ambos vectores.

?e aquí se deduce que las dimensiones del producto vectorial equivalen

al producto de las dimensiones de los factores. $sí, si es una posici#n

es una fuer*a, tiene las dimensiones

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en el /6 se medir en +8m.?irecci#n

la perpendicular al plano definido por los vectores .

/entidoel dado por la regla de la mano derecha: si colocamos nuestra manoderec'a de forma que los dedos sigan el sentido de giro desde el primer

vector, , 'acia el segundo vector, , por el camino ms corto,

entonces el pulgar e!tendido apunta en el sentido de .

El producto vectorial posee dos importantes no-propiedades:

+3 es asociativo

+3 es conmutativo

En su lugar, el producto vectorial es anticonmutativo

El producto vectorial se anula cuando alguno de los vectores es nulo o se tratade vectores paralelos

El producto vectorial, adems de para 'allar reas, es mu "til para determinar

distancias.

Vector superficie

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El producto vectorial permite e!presar el vector superficie correspondiente a

figuras planas. Este vector se define como uno que tiene por m#dulo el rea dela figura, por direcci#n la normal al plano en que se encuentra un sentido

que puede ir 'acia un lado del plano o 'acia el otro seg"n el convenio que seelija.

0or tanto, para un paralelogramo definido por dos vectores, el vectorsuperficie es el producto vectorial de ambos

/i en ve* de un paralelogramo tenemos un tringulo definido por esos dos

vectores, el vector superficie ser la mitad del anterior

&oble producto vectorial

1res vectores se pueden multiplicar sucesivamente de forma vectorial,

obteniéndose el doble producto vectorial , cua e!presi#n puede demostrarseque es equivalente a

3bsérvese que el resultado del doble producto vectorial contiene un término

en la direcci#n de otro en la direcci#n de . /e encuentra contenido por

tanto en el plano definido por estos dos vectores.

/i agrupamos de otra forma los vectores obtenemos la relaci#n similar, pero

no idéntica

Aestando estas dos ecuaciones operando con las propiedades del productovectorial se llega a la identidad de 9acobi

Producto mi'to

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?ados tres vectores se define su producto mi!to como la operaci#n

?ado que

es el vector superficie correspondiente al paralelogramo definido por ,

que tiene por m#dulo el rea de dic'o paralelogramo por direcci#n laortogonal a ambos, resulta que

siendo

la altura del paralelepípedo definido por , . 0or tanto el productomi!to nos da el volumen de dic'o paralelepípedo, con un signo que depende

de como estén orientados los tres vectores.

?e aquí se deduce que tres vectores son coplanarios cuando su producto mi!to

es cero (a que al aplastar el paralelepípedo su volumen se anula).

El producto mi!to cumple la propiedad

es decir se pueden intercambiar los paréntesis, como en la propiedad

asociativa, siempre que al mismo tiempo se intercambien los signos de producto escalar vectorial.

Resumen

1enemos entonces tres tipos de productos que 'a que distinguir:

Primer

elemento

Segundo

elementoOperaci%n Resultado Ejemplo

Escalar -ector 0roducto por un

escalar -ector

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-ector -ector 0roducto escalar (8) Escalar

-ector -ector 0roducto vectorial

(B)-ector

&escomposici%n de un vector

En física, es mu frecuente que sea necesario descomponer un vector en sumade dos vectores ortogonales. $sí por ejemplo, la aceleraci#n se descompone

en tangencial normal, el peso de un objeto en un plano inclinado se separaen una componente paralela al plano una ortogonal a él. Es fcil ver que esta

descomposici#n es "nica.

on auda del doble producto vectorial podemos dar una forma alternativa

para la descomposici#n de un vector en una parte ortogonal una paralela aotro. $plicando la e!presi#n al caso en que

queda

?espejando de aquí

El primer término es el paralelo a , mientras que el segundo es ortogonal,

por lo que la descomposici#n de es

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$unque 'emos empleado los símbolos de la velocidad la aceleraci#n, el

proceso es obviamente el mismo para cualquier otra descomposici#n anloga.

RECTA O LINEAS

1$

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BASICA


Línea

Una línea funciona como una sucesión continua de puntos trazados, como por ejemplo

un trazo o un guion. Las líneas suelen utilizarse en la composición artística, se denomina

en cambio «raya» a trazos rectos sueltos, que no forman una figura o forma en particular.

1

En matemticas ! geometría, línea suele denotar línea recta o cur"a

En geometría, la línea tambi#n puede considerarse la distancia ms corta entre dos puntos

puestos en un plano.

El otro concepto de la línea desde la teoría de $andins%! es, la línea geom#trica es un

ente in"isible. La línea es un punto en mo"imiento sobre el plano& al destruirse el reposo

del punto este se mue"e por el espacio dando origen a la línea.

La línea es el elemento ms bsico de todo grafismo ! uno de los sumamente utilizados.'epresenta a la forma de e(presión ms sencilla ! pura, que a la "ez puede ser dinmica !

"ariada. Enrique Lipsz!c e(presa) la línea que define un contorno es una in"ención de los

dibujantes, !a que «en la naturaleza un objeto es distinguido de otro por su diferencia de

color o de tono.» *a! "arios tipos de líneas, estn la línea e(presi"a ! la línea de contorno.

Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta

Euclides, en su tratado denominado Los Elementos,1 establece "arias definiciones

relacionadas con la línea ! la línea recta)

• Una línea es una longitud sin anc+ura Libro -, definición /.

• Los e(tremos de una línea son puntos Libro -, definición 0/.

• Una línea recta es aquella que !ace por igual respecto de los puntos que estn en

ella Libro -, definición /.

Características de la recta

• La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos.

• En geometría euclidiana, la distancia ms corta entre dos puntos es la línea recta.

• La recta puede definirse como el conjunto de puntos situados a lo largo de la

intersección de dos planos.

1%

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https://es.wikipedia.org/wiki/Trazo_(escritura)https://es.wikipedia.org/wiki/Guion_ortogr%C3%A1ficohttps://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_del_arte#L.C3.ADneahttps://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_del_arte#L.C3.ADneahttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_rectahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttps://es.wikipedia.org/wiki/Kandinskyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_de_Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_de_Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Recta#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/Recta#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/Longitudhttps://es.wikipedia.org/wiki/Longitudhttps://es.wikipedia.org/wiki/Longitudhttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Guion_ortogr%C3%A1ficohttps://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_del_arte#L.C3.ADneahttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_rectahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttps://es.wikipedia.org/wiki/Kandinskyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_de_Euclideshttps://es.wikipedia.org/wiki/Recta#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/Longitudhttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Trazo_(escritura)


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2emirrecta

2e le llama semirrecta a cada una de las dos partes en que

queda di"idida una recta al ser cortada en cualquiera de sus

puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los

puntos que se ubican +acia un lado de un punto fijo de la recta,

denominado origen, a partir del cual se e(tiende indefinidamente

en una sola dirección.

2emirrecta opuesta

La semirrecta opuesta de una semirrecta es la otra semirrecta salida de la recta que

define la primera.3 4

• 5ada semirrecta solo tiene una semirrecta opuesta.

• Una semirrecta ! su semirrecta opuesta tienen el mismo origen.

Ecuación de la recta en el plano

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https://es.wikipedia.org/wiki/Recta#cite_note-c-5https://es.wikipedia.org/wiki/Recta#cite_note-d-6https://es.wikipedia.org/wiki/Recta#cite_note-d-6https://es.wikipedia.org/wiki/Recta#cite_note-c-5https://es.wikipedia.org/wiki/Recta#cite_note-d-6


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BASICA


6res líneas rectas 7 Las líneas roja ! azul poseen la misma pendiente m/ que en este ejemplo es

8, mientras que las líneas roja ! "erde interceptan al eje ! en el mismo punto, por lo que poseen

id#ntico "alor de ordenada al origen b/ que en este ejemplo es el punto (9:, !91.

En un plano cartesiano, podemos representar una recta mediante una ecuación generaldefinida en dic+o plano !a sea mediante coordenadas usando puntos ! "ectores, o bien

funciones que especifican dic+as coordenadas.

;endiente ! ordenada al origen

orma simplificada de la ecuación de la recta?editar @

2i se conoce la pendiente m, ! el punto donde la recta corta al eje de ordenadas

es 0, b/, podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la

recta, )

1'

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https://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttps://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttps://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Recta&action=edit&section=8https://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttps://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Recta&action=edit&section=8


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BASICA


Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta ! se utiliza cuando se conoce

la pendiente ! la ordenada al origen, que llamaremos .

>orma segmentaria de la ecuación de la recta ecuación

sim#trica/

'ecta que corta el eje ordenado en ! la abscisa en .

.

Ecuación general de la recta

Es la e(presión A( B C! B 5 9 :,1: =ADC representa la pendiente ! =5DC seala

la ordenada en el origen cuando C sea diferente a cero.


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BASICA


2iendo d el "alor de la distancia entre la recta ! el origen de

coordenadas. El ngulo alfa α es el ngulo entre la recta ! la parte

positi"a del eje de ordenadas, cu!a tangente e(presa el "alor de la

pendiente de la recta.

Ecuación normal de la recta segunda forma/

6omando el "alor positi"o o negati"o de la raíz segIn corresponda.

'ectas que pasan por un punto

'ectas que pasan por el punto) ,/.

;ara determinar las rectas del plano que pasan por el

punto se usa la ecuación

donde m toma cualquier "alor real.

'ecta que pasa por dos puntos?editar @

2i pasa por dos puntos ! , la ecuación de la recta puede e(presarse

como)

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BASICA


'ectas notables

'ectas perpendiculares.

La ecuación de una recta "ertical responde a la ecuación general constante/.

La ecuación de una recta +orizontal responde a la ecuación general constante/.

Una recta trigonoidal que pase por el origen G (0, 0), cumplir la condición b = 0, siendo su

ecuación) .

'ecta secante

'ecta tangente


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BASICA


Ejemplo


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