Lorenzlikningene, et kurs på

sivilingeniør nivåForfatter av sivilingeniør hovedoppgave:

Sigve Hamilton Aspelund

http://sigvehamiltonaspelund.wordpress.com/about/

sigve.aspelund@lyse.net

Abstract:Objective of this thesis was to give an introduction to the chaotic dynamic system that Lorenz-equations represent. First I gave an introduction to strange attractors followed by historical overview and how Lorenz discovered sensitivity to initial values. Details to strange attractors are studied before butterfly-effect is explained. Chapter 2: Important characteristics to the differential equations, where stability to the critical points are a central theme. Global theory is introduced and the Poincare-Bendixon theorem is involved to show the limitations to a continuing dynamic system in two dimensions. Bifurcations are described at the end of the chapter. Chapter 3: The characteristics sensitivity to initial values to a chaotic dynamical system is described. Lyapunovexponents that are used to measure dynamical systems sensitivity and the fractal dimension are involved. The definition of a continuous dynamic dissipative system is studied and a chaotic path and a chaotic attractor are defined. Chapter 4: First a short introduction then important characteristics to Lorenz-equations. Stability analysis of the critical points is a central theme. The critical points are unstable for some values of the r-parameter. This lead to a system show extreme sensitivity to initial values. These characteristics are the definitions of a chaotic dynamic system and the reason for discarding a longtime forecast of the weather. The differential equations system as this thesis is impossible to solve analytical, but it is possible to solve the system numerically. This solution is not exact, but the general appearance of the solution will not change significantly. At the end of the chapter an overview over Lorenz equation are from conventions in the atmosphere followed by questions regarding the thesis. Chapter 5: Conclusion: In this thesis I have given an introduction to the chaotical dynamical system that the Lorenz equations represent. I have studied stability to the critical points with variable r parameter with constant parameters σ and b. For some of the values of the r parameter the critical points are stable. I have shown that bifurcation implies unstable critical points and is the most known property of this system. Instability to the critical points leads to sensitivity regarding to perturbations in the initial values. This is the most important property for the system and is the reason for being called chaotic. Lorenz concluded that a long term weather forecast was impossible.

Sære attraktorer

Introduksjon

Dynamiske systemer

◦ Dissipative

Energien minker pga. friksjon

◦ Konservative

Energien er bevart

Planetbevegelse

Det er vanlig å betrakte solsystemet vårt med planetbevegelse rundt sola som et konservativt system. Planetenes bane forblir praktisk talt de samme over millioner av år. Men dette er ikke helt korrekt, i og med at vi har gravitasjonsstråling og sola trekker til seg planetene som en spiral. Dette er imidlertidig en prosess som tar milliarder av år. Før dette skjer, blir sola etter noen milliarder år en rød kjempe og sluker de fleste planetene i vårt system

Dynamiske systemer

Kaos finnes i både dissipative og konservative systemer

Konservative systemer har ingen attraktorer

Den kaotiske bevegelsen, ulik den assosiert med dissipative systemer er ikke selv-similær. Et system som er selv-similært blir kalt en fraktal.

Eksempel: Kystlinje

Den kaotiske banen til et konservativt er ikke en fraktal.

Edvard Lorenz-Meteorologen

Interessert i vær og drømte om å bli matematiker

Det var ikke bruk for matematikere og han ble isteden meterolog da det var bruk for meteorologer

Værmelding kunne spås noen dager, mer var håpløst◦ Var det noen grunn til dette?

◦ Hvorfor er været så forusigbart?

◦ Laget en matematisk modell av været Likninger som representerte forandringer i

temperaturen, trykk, vindhastighet osv.

Hvordan Lorenz oppdaget

sensistivitet i initialbetingelsene Edvard programerte sin datamaskin og

undersøkte mønsteret som kom fra maskinen.

Han endret litt i initialbetingelsene og oppdaget at banene etter hvert begynte å divergere fra hverandre: ◦ Det Lorenz hadde oppdaget var den første

sære attraktoren.

Været er bare en av mange steder hvor kaos oppstår.◦ Eksempel: Turbulens

Detaljer til de sære

attraktorene En sær attraktor har følgende

egenskaper

1. Den består av et enkelt sett av

differensiallikninger

2. Den er en attraktor og derfor

konvergerer alle banene mot den

3. Den er en fraktal

Lorenzattraktorene er dissipative systemer◦ Hvilket som helst område av initialbetingelser

tiltrekkes med tiden

Dimensjonen til Lorenzattraktorene er mellom to og tre

Fraktaler har ikke heltallig dimensjon

En sær attraktor er en attrakterende mengde med fraktal dimensjon

Lorenzattraktorene har fraktal dimensjon◦ Attraktoren kalles derfor sær attraktor

Sommerfugl-effekten

Sommerfugl effekten er ideen der veldig

små årsaker kunne forårsake dramatiske

effekter. Begrepet der et slag av en

sommerfugls vinger i Brasil kunne starte

en tornado i Texas var presentert i en

forelesning av Edvard Lorenz for å

illustrere umuligheten av perfekt

værvarsel selv om alle kjente årsaker og

effekter kunne blir målt. Sommerfugl-

effekten er en illustrasjon av sensitivitet

av initialverdiene

Differensiallikninger

Dynamiske systemer kan

Settes opp som et sett av

differensiallikninger

Kritiske punkter

x0 er et kritisk

punkt dersom:

f(t, x0)=0

Egenverdier

Egenverdiene, λ,

til en nxn matrise A

finner vi ved å skrive

Ax= λx

Attraktorer

En attraktor er en

delmengde av

faserommet som

er invariant under

det dynamiske

systemet og som

tiltrekker seg alle

baner rundt seg

Kaos

Royal Society London 1986

◦ Kaos er stokastisk oppførsel i et

deterministisk system

Fysikere bruker ofte

lyapunoveksponenter for å måle

sensitiviteten til et system; dette for å

karakterisere kaotiske systemer

Sensitivitet

Et av de mest karakteristiske

aspektene ved kaotiske systemer

er sensitiv avhengighet av

initialverdiene. Med dette menes

at et systems oppførsel kan endre

seg sterkt, selv om man bare

endrer initialverdien litt.

Nødvendige krav for kaos

Viktigste krav for et system skal kunne

ha kaotisk oppførsel er at systemet er

ulineært.

Det finnes ikke kaos i lineære

systemer av differensiallikninger fordi

disse kan løses eksplisitt og har en

relativ enkel oppførsel.

Lorenzlikningene

Lorenz søkte etter et sett av

differensiallikninger som kunne

modellere det uforutsigbare været.

Likningene han fant var utledet fra en

modell for fluidkonveksjon. Dette

systemet er dissipativt:

Parametere

σ=

hvor

ν : kinematic viscosity, ν = μ / ρ, (SI units : m2/s)

α : thermal diffusivity, α = k / (ρcp), (SI units : m2/s)

μ : dynamic viscosity, (SI units : Pa s = (N s)/m2)

k: thermal conductivity, (SI units : W/(m K) )

cp : specific heat, (SI units : J/(kg K) )

ρ : density, (SI units : kg/m3 ).

ParametereParameterene r og b er proporsjonale til Raleightallet

hvor

x = Characteristic length (in this case, the distance from the leading edge)

Rax = Rayleigh number at position x

Grx = Grashof number at position x

Pr = Prandtl number

g = acceleration due to gravity

Ts = Surface temperature (temperature of the wall)

T∞ = Quiescent temperature (fluid temperature far from the surface of the object)

ν = Kinematic viscosity

α = Thermal diffusivity

β = Thermal expansion coefficient

Parametere

Variablene x, y og z måler henholdsvis

raten av konveksjon, horisontal og

vertikal temperaturvariasjon.

Løsninger

Projeksjoner i xz, xy og yz

planet av løsning av Lorenz-

likningene. Initialverdien er

(1,0,27) σ=10, b=8/3 og r=28

Kritiske punkter

De kritiske punktene

Finner vi ved å sette

x=y=z=0

Analyse

For å bestemme stabiliteten

til de kritiske punktene ser vi

på Jakobimatrisen A.

Vi finner egenverdiene til ved

å løse følgende likning:

Egenverdiene

De tre egenverdiene er:

Alle egenverdiene er

negative for r<1.

origo er asymptotisk

stabil for disse verdiene

av r.

Stabilitetsanalyse

Origo er ustabilt for r›1.

Alle baner som starter

nær origo vokser

unntatt de som ligger i

planet bestemt av

egenvektorene

assosiert med

egenverdiene λ1 og λ3

For 0<r<1, er P1 det

Eneste kritiske punkt.

◦ Assymptotisk stabilt

◦ Alle løsninger går mot

dette punktet når t ∞.

For 1<r<r1 er P2 og P3

Assymtptotisk stabile,

Og P1 er ustabilt

For r1<r<rH er P2 og P3

assymptotisk stabile,

og P1 er ustabilt.

For r›rH , er alle de

kritiske punktene

ustabile.

Løsninger nær P2 og P3

Spiraliser bort fra det

kritiske punktet.

Sensitivitet i

initialverdieneLøsningene av likningene til Lorenz er også ekstremt sensitive til pertubasjoner i initialverdiene. Det var denne egenskapen som

spesielt tiltrakk oppmerksomheten til Lorenz i hans opprinnelige studie av disse likningene, og som fikk ham til å konkludere med at langtidsvarsel av været var umulig.

Den tiltrekkende mengden blir kalt en sær attraktor