Embed Size (px)
Citation preview
ÚLOHY Z VÝROKOVEJ
A PREDIKÁTOVEJ LOGIKY
PRÍRUČKA PRE ŠTUDENTOV ÚVODNÝCH KURZOV LOGIKY
aktualizované 5. decembra 2019
Vladimír Marko
2017
Univerzita Komenského v Bratislave
Publikácia je výsledkom práce realizovanej v rámci VEGA grantu (č. 1/0036/17) pod názvom Argumentácia vo vede a filozofii – logické, metodologické a pragmatické aspekty.
© 2017 PhDr. Vladimír Marko, PhD., Katedra logiky a metodológie vied, Filozofická fakulta
UK v Bratislave ISBN 978 - 80 - 223 - 4495 - 1
- 3 -
Obsah Predslov ....................................................................................................................................... 5
Pravidlá usudzovania ................................................................................................................. 7
a) Pravidlá usudzovania výrokovej logiky ............................................................................... 7 b) Pravidlá usudzovania predikátovej logiky .......................................................................... 11 c) Pravidlá narábania s identitou ............................................................................................ 11 d) O spôsobe zapisovania ....................................................................................................... 12 e) Niektoré užitočné internetové stránky ................................................................................ 13
ÚLOHY ........................................................................................................................................ 15
①. Úlohy z výrokovej logiky .................................................................................................... 16
A. Tabuľky hodnôt ................................................................................................................. 16 B. Spojky ................................................................................................................................ 20 C. Precvičovanie základných pravidiel ................................................................................... 24 D. Precvičovanie odvodených pravidiel ................................................................................. 28 E. Daľšie úlohy ....................................................................................................................... 36 F. Slovné úlohy ....................................................................................................................... 47 G. Hlavolamy Lewisa Carolla ................................................................................................ 53 H. Interpretácia textov ............................................................................................................ 54
②. Úlohy z predikátovej logiky ............................................................................................. 58
i. Slovne úlohy ........................................................................................................................ 58 ii. Vzájomná odvoditeľnosť kvantifikátorov .......................................................................... 59 iii. Ďalšie úlohy ....................................................................................................................... 59 iv. Slovné úlohy ...................................................................................................................... 61 v. Vzťah medzi viacerými množinami .................................................................................... 62 vi. Narábanie s reláciamí ........................................................................................................ 64 viii. Narábanie s Identitou ....................................................................................................... 71
RIEŠENIA ÚLOH .......................................................................................................................... 72
①. Riešenia úloh z výrokovej logiky ...................................................................................... 73
②. Riešenia úloh z predikátovej logiky................................................................................. 176
Index ..................................................................................................................................... 236 Bibliográfia ........................................................................................................................... 237
- 5 -
Predslov Táto zbierka úloh je určená ako učebná pomôcka pre študentov začiatočných kurzov logiky, ktoré ponúka Katedra logiky a metodológie vied na Univerzite Komenského v Bratislave. Keďže sú našimi uchádzačmi spravidla študenti spoločenskovedných a humanitných odborov, je im prispôsobená. Aby sme niektoré možné nedorozumenia mali hneď za sebou, nejde o učebnicu ale skôr o prostriedok, ktorým študent môže overovať a precvičovať tie vedomosti, ktoré už dostal na hodinách a prechádzajúc cez učebnice.1 Touto pomôckou študent môže zdokonaľovať ovládanie zručností a to v častiach študijných programov logiky týkajúcich sa úloh z len výrokovej a predikátovej logiky. Študentom preto odporúčam, aby ťažisko ich pobytu na hodinách logiky venovali poctivejšiemu sledovaniu prednášok, ktoré im zároveň umožnia šikovnejšie prechádzanie samotnou príručkou. Úlohy (alebo niektoré celky úloh) vyznačené v prvej časti textu modrou farbou majú riešenia. Značná časť úloh obsahuje aj riešenia, ale pri niektorých úlohách by sa študent musel aj potrápiť a dosiahnuť schopnosť samostatne oceniť správnosť ich výsledkov dosiahnutých viacerými spôsobmi, buď pravidlami prirodzenej dedukcie, tabuľkovou metódou alebo pomocou pravdivostného stromu. Pár slov o dôležitej veci – to, že je úloh veľa, nemá zámer vystrašiť študenta. Zdôrazňujeme, že to neznamená, že študent by bezpodmienečne na slušne zvládnutý predmet mal precvičiť všetky príklady. Skúsenosť je taká, že na zvládnutie základných a niektorých dôležitejších odvodených pravidiel stačí len zopár úloh, ktoré umožňujú študentom pochopiť spôsob ich použitia. Ak je to zvládnuté, tak ďalšie „športovanie“ je už možno aj zbytočné – ďalší prechod príručkou študent môže chápať len ako cestu k lepšiemu zvládnutiu zručností a k väčšej sebaistote v ich použití (v tých okolnostiach keď sa jeho výsledky hodnotia, ak tú sebaistotu dovtedy nedosiahol). Pokiaľ ide o konvenciu zapisovania, spôsob riešenia úloh ako aj o názvy pravidiel, rozhodol som sa pre „Lemmonov štýl“. Je prehľadný a zároveň sa asi najčastejšie vyskytuje v aktuálnych učebniciach.2 Symbolické názvy pravidiel sme väčšinou podali v bežnej forme, ktorú študent nájde aj na internetových stránkach (ak sa pokúša prechádzať cez tzv. Theorem Provers a dodatočne overovať svoje výsledky) a v zozname pravidiel sme sa pokúsili podať aj ich najčastejšie alternatívne názvy. Po prvých skúsenostiach s pravidlami a ich názvami by to už pre študentov nemalo predstavovať prekážku. Dovolím si dotknúť sa aj jedného citlivého problému. Vo všetkých generáciách niektorých zo študentov trápila nasledujúca, na prvý pohľad, mimoriadne ťažká otázka: načo študent vôbec potrebuje logiku? Načo mu treba ešte tento „zabijak“ počas štúdia? Druh tejto otázky by sa dal aj zovšeobecniť a prirovnať k celkom príbuznej hlbokej otázke, načo študent vôbec potrebuje akékoľvek štúdium – keď aj tak sa dnes o takmer všetkom dá dozvedieť cez prehrabávanie internetových stránok v mobile. Odpoveď by mohla ísť dvomi smermi. Po prvé, logika v žiadnom prípade, koľko viem, nemôže študentom ničím uškodiť (i keby sa rozhodli z protestu alebo akýchkoľvek iných dôvodov odmietnuť ju v živote používať, ak sa to vôbec dá). Po druhé, neexistuje akademický odbor, v ktorom nie sú užitočné rozumné a prehľadné zdôvodnenia –
1 Na našej katedre sú v ponuke dve učebnice – Gahér (20134) a Zouhar (2008). 2 Pozri bibliografický zoznam na konci.
- 6 -
logika je asi tou najkratšou cestou, ktorou študent akéhokoľvek odboru môže vedieť zastaviť sa nad svojimi úvahami, lepšie a jadrnejšie ich sformulovať a vedieť ich vzájomné súvislosti. Keď to nie je schopný, veľa mu toho nezostáva, okrem viesť sa názormi založenými na povrchných dojmoch a predsudkoch. Tá križovatka je profesionálne dôležitá pre všetkých študentov bez ohľadu na ich záujmy alebo odbor pre ktorý sa rozhodujú. Posledná vec. Zámer je túto príručku časom rozšíriť a čo najviac ju prispôsobovať študentom tých odborov, ktorým kurzy logiky ponúkame. Preto budem vďačný za pomoc študentov a zároveň by som oslovil všetkých, ktorí majú prípadne iné riešenia alebo lepšie príklady z vlastného odboru, aby sa na tejto práci zúčastnili a ozvali sa so svojimi príkladmi, návrhmi, pripomienkami alebo opravami, ktorými toto vydanie v budúcnosti spolu vylepšíme. Vladimír Marko
- 7 -
1. Pravidlá usudzovania a) Pravidlá usudzovania výrokovej logiky
Pravidlá pre tabuľku hodnôt Tabuľky hodnôt pre spojky výrokovej logiky:
P Q ¬P P → Q P ˄ Q P ˅ Q P ↔ Q T T F T T T T T F F F F T F F T T T F T F F F T T F F T
Ako na mnemotechnickú pomôcku sa môžete opierať o nasledujúce formulácie:
→ – implikácia (kondicionál) nie je platná len v prípade keď je antecedent platný a konzekvent neplatný; ˄ – konjunkcia je platná, len v prípade keď je platný každý z konjunktov; ˅ – disjunkcia je platná keď je platný aspoň jeden konjunkt; ↔ – bikondicionál (ekvivalencia) je platný keď premenné majú rovnaké hodnoty.
Test pravdivosti výrazov s pomocou pravdivostného stromu Pravidlá stromu pravdivosti
– Pravidlá vetvenia
A → B A ˅ B ¬(A ˄ B) A ↔ B ~(A ↔ B)
¬A B A B ¬A ¬B A B
¬A ¬B
A ¬B
¬A B
Pri konštruovaní stromu na papieri sa dá nakresliť vetvenie graficky. Tak napríklad vyraz
A → B
¬A B
bude A → B
¬A B
– Pravidlá nevetvenia A ˄ B ¬(A →B) ¬(A ˅ B) ¬¬A
A B
A ¬B
¬A ¬B
A
Ak sa chcete vyhnúť pravidlám dekompozície, ak vám nie sú jasné pravidlá dekompozície, tak sa musíte rozhodnúť pre tú najnešťastnejšiu cestu, musíte si ich zapamätať. Existuje aj spôsob, ako sa im celkom vyhnúť. Použitie iných pravidiel, ako sú materiálna implikácia, materiálna ekvivalencia a De Morganove pravidlá, transformujú zložené výroky, až kým nedosiahnete nenegovanú konjunkciu alebo nenegovanú
- 8 -
disjunkciu. Ak ide o konjunkciu, skontrolujte ju a uveďte jej dve premenné na rovnakej čiare. Ak je to disjunkcia, skontrolujte ju a pokúste sa ju rozvetviť, pričom na každej vetve uveďte jeden z disjunktov.
Základné pravidlá usudzovania Pravidlo zavedenia predpokladu (A)3 ↔ def.: P ↔ Q —||— (P→Q) (Q → P)
a) (↔E) P ↔ Q |— (P→Q) (Q → P)
Modus ponendo ponens (MPP, →E) b) (↔I) (P→Q) (Q → P) |— P ↔ Q
P → Q Zavedenie disjunkcie (vI)
P P
Q P ˅ Q
Modus tollendo tollens (MTT) Eliminácia disjunkcie (˅E)
P → Q 1. P ˅ Q
¬Q 2. P A 4. Q A
¬P 3. záver (1) 5. záver (2)
6. ZÁVER (1 a 2) 1,2,3,4,5 ˅E
Zavedenie konjunkcie (I) Dvojitá negácia (DN)
P, Q P ¬¬P
P Q ¬¬P P
Eliminácia konjunkcie (E; Simp.) Kondicionálny dôkaz; „teoréma dedukcie“ (CP; →I)
P Q; P Q (a) A1, A2, A3, ... An-1 |– An → B
P Q (b) A1 ... An-1, An (ako ďalší predpoklad) |– B
(c) dokázaný záver B, takže
(d) A1, A2, A3, ... An-1 |– An → B b,c CP (→I)
Reductio ad absurdum RAA (nemožný antecedent; nepriamy dôkaz) A1, A2, A3, ... An |– Záver (Z) A1, A2, A3, ... An |– Záver (Z)i ¬ Z A predpoklad, že záver neplatí (¬Z)ii ... A iii ...¬A iv A ˄ ¬A ... ˄I A ˄ ¬A, spor z krokov ii a iiiv ¬¬ Z i, iv RAA zamietnutý predpoklad, že záver neplatí (v’) Z DN (uvádzame krok predpokladu a krok konštatovania sporu)
Alternatívny zápis RAA (v ktorom neuvádzame zvlášť krok iv (˄I), vlastne konštatáciu sporu)
A1, A2, A3, ... An |– Záver (Z) A1, A2, A3, ... An |– Záver (Z)
i ¬ Z A predpoklad, že záver neplatí (¬Z)
ii ... A prvé (sporné) tvrdenie A
...
iii ...¬A druhé (sporné) tvrdenie ¬A
iv ¬¬ Z ii, iii RAA (i) zamietnutý predpoklad i), že záver neplatí
(iv’) Z DN
3 „Na akomkoľvek kroku môžeme zaviesť akýkoľvek predpoklad“.
- 9 -
Odvodené pravidlá usudzovania Ide o pravidlá použiteľné na zavedenie substitúcie – SI.4 Všetky úlohy by sa dali riešiť základnými pravidlami usudzovania. Odvodené pravidlá usudzovania, ktoré sme dostali s pomocou základných pravidiel (a použitia pravidla substitúcie) chápeme skôr ako skratky, ktorými by sa niektoré kroky dali premostiť, čo umožňuje kratší dôkaz s menším počtom krokov. Samozrejme, študent je vždy v rozpakoch – odstrašuje ho počet odvodených pravidiel. Ale niektoré z odvodených pravidiel drasticky uľahčujú resp. urýchľujú dôkazy a to by malo byť motiváciou, aby si precvičoval aj použitie odvodených pravidiel.
Hypotetický sylogizmus (HS, tranzitivita) Disjunktívny sylogizmus (DS)5
P → Q P ˅ Q P ˅ Q Q → R ¬P ¬Q P → R Q P Komplexná konštruktívna dilema (KD) Komplexná deštruktívna dilema (DD)
(P → Q) (R → S) (P → Q) (R → S)
P ˅ R ¬Q ˅ ¬S Q ˅ S ¬P ˅ ¬R Jednoduchá konštruktívna dilema (JD) Jednoduchá deštruktívna dilema (JDD)
(P → R) (Q → R) (P → Q) (P → R)
P ˅ Q ¬Q ˅ ¬R R ¬P Špeciálna dilema (ŠD, vlastne prípad JD) Špeciálna dilema* (ŠD*, prípad KD) P → Q {R → (P ˄ ¬Q)} ˄ {S → (¬P ˄ Q)} ¬P → Q R ˅ S Q P ˅ Q Modus ponendo tollens (MPT) Claviov zákon (CM)6 ¬(A ˄ B) P → ¬PA ¬P ¬B
Pozor: najčastejšie chyby!!! 1. Afirmácia konzekventu 2. Negácia antecedentu P → Q P → Q Q ¬P P ¬Q
4 SI – Substitution Introduction. 5 Historicky je pravidlo je známe pod menom modus tollendo ponens (MTP) 6 'Lex Clavia' (alebo Claviov zákon, (P → ¬P) → ¬P, Consequentia mirabilis). Prvýkrát sa objavil vo fragmente Aristotelovho Protrepticus. Toto je príklad: „Ak by sme mali filozofovať, mali by sme filozofovať, a ak by sme nemali filozofovať, mali by sme filozofovať (a aby sme to zdôvodnili), preto, v každom prípade by sme mali filozofovať.“
- 10 -
Vzájomne odvoditeľné tvrdenia (ktoré používame pri substitúciách).
De Morganove zákony (DM) Materiálna implikácia (impl.; neg→; →˅; →˄) ¬(P ˅ Q) —||— ¬P ¬Q P → Q —||— ¬P ˅ Q ¬(P Q) —||— ¬P ˅ ¬Q P → Q —||— ¬(P ¬Q) Asociativita (Asoc.) Distributivita (dist.) P ˅ (Q ˅ R) —||— (P ˅ Q) ˅ R P (Q ˅ R) —||— (P Q) ˅ (P R) P (Q R) —||— (P Q) R P ˅ (Q R) —||— (P ˅ Q) (P ˅ R) Transpozícia (transp.; kontrapozícia) Materiálna ekvivalencia (ekviv.) P → Q —||— ¬Q → ¬P (P ↔ Q) —||— (P → Q) (Q → P) (P ↔ Q) —||— (P Q) ˅ (¬P ¬Q) Exportácia a importácia (exp./ imp.) Komutativita (com.) (P Q) → R —||— P → (Q → R) P ˅ Q —||— Q ˅ P P Q —||— Q P Tautológia (taut.) P —||— (P ˅ P), ˅-idempotencia Dvojitá negácia (DN) P —||— (P P), ˄-idempotencia P —||— ¬¬P
Paradoxy materiálnej implikácie (použiteľné pri substitúciách): forma úsudku korešpondujúca teoréma názov1 ¬P ˄ P |— Q |— (¬P ˄ P) → Q Ex Fals7 (variant FA8) 2 P |— Q → P |— P → (Q → P) TC9
3 ¬P → |— P → Q |— ¬P → (P → Q) FA 4 P |— ¬P → Q |— P → (¬P → Q) FA 5 P |— Q ˅ ¬Q |— P → (Q ˅ ¬Q)6 ¬(P → Q) |— Q → R |— (P → Q) ˅ (Q → R)7 a) ¬(P → Q) |— P ˄ ¬Q;
b) ¬(P → Q) |— ¬(¬P ˅ Q)|— ¬(P → Q) → (P ˄ ¬Q) Impl
Pravidlá týkajúce sa bikondicionálu: ¬(P ↔ Q) —||— ¬P ↔ Q Neg ↔ ¬(P ↔ Q) —||— P ↔ ¬Q Neg ↔ P ↔ Q —||— ¬Q ↔ ¬P ↔Transp (transpozícia bikondicionálu) P ↔ ¬Q —||— ¬P ↔ Q ↔Transp (transpozícia bikondicionálu) P ↔ Q, P |— Q ↔PP (bikondicionál ponendo ponens) P ↔ Q, Q |— P ↔PP (bikondicionál ponendo ponens) P ↔Q, ¬P |— ¬Q ↔TT (bikondicionál tollendo tollens) P ↔ Q, ¬Q |— ¬P ↔TT (bikondicionál tollendo tollens)
P → (Q → R) |— Q → (P → R) KA, komutácia antecedentov
7 Ex Fals., Princíp pseudo-Scota: „ex falso quodlibet“,7 paradox vyplývania; niekedy princíp explózie; False Antecedent (FA). 8 Nepravdivý antecedent (False Antecedent, FA) 9 Pravdivý konzekvent (True Consequent, TC)
- 11 -
Niektoré teorémy Pravidlo TI Teorémy môžeme zaviesť na akomkoľvek kroku usudzovania |— P ˅ ¬P Exculusio tertii; tertium non datur; vylúčenie tretieho (ET) |— (P Q) Princíp nonkontradikcie |— P → P Princíp identity |— ((P → Q) → P) → P Peirceov zákon |— (P ˄ ¬ P) → Q Pravidlo pseudo-Scota |— P ↔ P ˄ P ˄-idempotencia |— P ↔ P ˅ P ˅-idempotencia
b) Pravidlá usudzovania predikátovej logiky UE – Eliminácia univerzálneho kvantifikátora10 i (x)Fx ii Fa (Fm, Fx) i UE
UI – Zavedenie univerzálneho kvantifikátora11
i ((x)Fx) (A) ....... ii Fa UEiii (x)Fx i UI
EE – Eliminácia existenčného kvantifikátora i (x)Fx A - predpoklad ii ... ...
Fa (Fm; Fx) ... ...
A ... ...
- predpoklad, typicky disjunkt korešpondujúci s existenčným výrazom (predikát s arbitrárnym, vlastným alebo menom množiny)
iii C ... - záver, výsledok z kroku ii (typického disjunktu) iv C’ i, ii, iii EE - pri eliminácii existenčného kvantifikátora uvádzame:
krok výskytu existenčného kvantifikátora; výskyt typického disjunktu korešpondujúceho s existenčným kvantifikatorom; krok (C alebo záver) vyplývajúci z typického disjunktu.
EI – Zavedenie existenčného kvantifikátora12 i Fa ii (x)Fx i EI
c) Pravidlá narábania s identitou eliminácia identity (=E) zavedenie identitety (=I)13
Fx x=y P Fy a = a
10 Universal Elimination UE, Universal Instantiation, UI. 11 Universal Introduction UI, Universal Generalisation, UG. 12 Existential Introduction EI, Existential Generalisation, EG. 13 =I – pre akýkoľvek výraz t, pravidlo =I nám, na akomkoľvek kroku dôkazu, umožňuje zavedenie identity t = t (pričom sa tento krok nezakladá na žiadnej z predchádzajúcich hypotéz).
- 12 -
d) O spôsobe zapisovania Samotný zápis nejakého úsudku v preklade do formáneho jazyka bude mať následujúcu formu:
predpoklady (premisy, asumpcie, hypotézy, ...)
záver
(vyplývajúci z uvedených predpokladov)
P1, P2, P3, Pn |— Z Zapisovanie14 spôsobu akým pokračuje usudzovanie z našich hypotéz pri dosahovaní záveru bude pokračovať v týchto štyroch kolónkach
a b c d 1 1) P1 A2 2) P2 A3 3) P3 A4 4) Pn A
pričom je
a číslo použitého predpokladu alebo použitých predpokladov na konkrétnom kroku usudzovania – predpoklad dostáva číslo podľa kroku, na ktorom je zavedený (pri samotnom zavedení predpokladu neuvádzame číslo, len pravidlo A);
b krok usudzovania (na rozdiel od prvej kolónky, budú to len poradové čísla); c znenie predpokladu;d názov použitého pravidla a na ktorý krok alebo kroky pravidlo bolo použité – tu
uvádzame len kroky usudzovania a nie čísla, ktoré sme priradili naším predpokladom. Príklad. Riešenie úlohy G→ (F → C), G ˄ ¬ C |— ¬F bude označené takto 1 (1) G→(F→C) A pravidlo zavedenia predpokladu 2 (2) G ˄ ¬C A pravidlo zavedenia predpokladu 2 (3) G 2 ˄E eliminácia ˄ z kroku 22 (4) ¬C 2 ˄E eliminácia ˄ z kroku 21, 2 (5) F→C 1,3 MPP MPP aplikované na kroky 1 a 3 1, 2 (6) ¬ F 4,5 MTT MTT aplikované na kroky 4 a 5
14 Spôsobov zapisovania je viacero. Budeme používať tzv. „Lemmonov štýl“.
- 13 -
e) Niektoré užitočné internetové stránky Pre nás zaujímavých stránok je samozrejme viacej a sezónne sa vždy objavujú aj ďalšie. Skúste si samí pohľadať tie, ktoré sa vám zdajú sympatickejšie. Truth Table Generator - Programming Dojo: https://programming.dojo.net.nz/study/truth-table-generator/index Truth Table Generator: https://syn-sem.appspot.com/al Truth Table Generator: http://mrieppel.net/prog/truthtable.html Truth Tables: http://turner.faculty.swau.edu/mathematics/materialslibrary/truth/ PL Theorem Prover: https://logik.phl.univie.ac.at/~chris/gateway/formular-uk-ableitung.html ProofTools: a symbolic logic proof tree generator: http://creativeandcritical.net/prooftools Aplikácie pre mobilné telefóny: „Logical Sentences“ – Android Apps on Google Play: https://play.google.com/store/apps/details?id=com.andrewrruiz.expressoeslogicas˄hl=en https://play.google.com/store/apps/details?id=com.hernan.LogicCalculatorLite˄hl=en https://play.google.com/store/apps/details?id=at.ac.univie.phl.logik.android.truthtables˄hl=en
2. ÚLOHY
①. Úlohy z výrokovej logiky A. Tabuľky hodnôt
A1. Tabuľky hodnôt pre platnosť argumentu Zadanie: Urob tabuľku hodnôt pre nasledujúce príklady a nájdi či je argument platný alebo nie. 1. (príklad)
A B ( ¬ ( A ˄ B ) ˄ ¬ A ) → B
¬(A → B) T T F T T T F F T T T
¬A T F T T F F F F T T F
∴ B F T T F F T T T F T T
premenné A B F F T F F F T T F F F
argument je: _____neplatný_____ 2. K ˅ M ¬M ∴ K ¬M K M argument je:__________ 3. ¬R ˅ ¬S ¬R ˅ S ∴ ¬R R S argument je:__________ 4. G → (G → H) ¬G ∴ ¬H G H argument je:__________ 5. A ˅ W ¬A ˅ ¬W ∴ ¬W ↔ A A W argument je:__________ 6. ¬(Q → ¬P) Q ∴ Q → P
- 17 -
Q P argument je:__________ 7. ¬D → ¬T D → T ∴ T ˅ D D T argument je:__________ 8. F → (G → A) ¬G ∴ ¬F F G A argument je:__________ 9. F → (G ˅ A) ¬G ∴ ¬F F G A argument je:__________ 10. S ↔ ¬K K ¬B → S ∴ ¬B ˅ S S K B argument je:__________
A2. Tabuľky hodnôt pre validitu Zadanie: Urob tabuľku hodnôt pre nasledujúce príklady a nájdi či je argument platný alebo nie. 1. A → (B → C) ¬C → ¬B ¬A ∴ ¬B argument je _____ A B C 2. E ˅ ¬P U ˅ ¬E ¬U ˅ ¬E ∴ ¬(P → E) argument je _____ E P U 3.
- 18 -
¬(A ↔ B) B ↔ ¬C ∴ ¬(A ↔ C) argument je _____ A B C 4. A ↔ (B → C) ¬(A ˅ ¬C) ∴ ¬B argument je _____ A B C 5. P → T ¬T → ¬Q ¬(¬P → ¬Q) ∴ T argument je _____ P T Q 6. (AV¬B)↔(C→B) C → ¬A ∴ ¬A → B argument je _____ A B C 7. F → (G → A) ¬G ˅ M ∴ M ˅ ¬F argument je _____ F G A M 8. (M → S) → (N → O) ¬S O → S ∴ ¬M argument je _______. M S N O
A3. Tabuľky hodnôt pre ekvivalenciu Či platí, že A ↔ B?
A B ¬(¬(¬P)) ¬P P ˅ Q ¬P → QP ˅ ¬Q ¬P ˅ Q
- 19 -
P ↔ Q ¬P ↔ ¬QP → ¬Q ¬P → Q P ↔ Q (P → Q) → (¬P → Q)P → ¬Q Q → ¬P P → (Q ˅ R) (P → Q) ˅ (P → R)¬(P → Q) ¬P → ¬Q (P → Q) → R (P → R) → (Q → R)¬(P → Q) P → ¬Q (P ˅ Q) → R (P → R) → (Q → R)¬(P ˅ Q) ¬P → ¬Q P (P → Q → R) ˅ (P → ¬Q) ˅ (P → ¬R)¬(D ˄ H) D → ¬H S (A ˅ ¬A) → S M [(M ˅ ¬¬M) ˄ M] ˅ M ¬Q ˄ E ¬Q ˄ (Q ˅ E) A ˅ (B ˄ C) (¬B → A) ˄ (¬C → A) F → ¬(G ˅ H) (F → ¬G) ˄ (F → ¬H) (P ˅ Q) → S (P → S) ˄ (Q → S) ¬(W ˅ K) ¬K ˄ [W → (H ˄ ¬H)]
A4. Tabuľky hodnôt pre vetné spojenia Zadanie: Urob tabuľku hodnôt pre nasledujúce príklady a nájdi či je veta platná alebo nie.
1. P ˅ ¬P 2. ¬(P → Q) ˅ P 3. ¬P ˅ (P → Q) 4. (P → Q) → ¬P 5. P → (Q → Q) 6. (P → P) → (Q → ¬Q) 7. (P → Q) ˅ (¬P → ¬Q) 8. (P ˅ Q) ˅ (P ˅ ¬Q)9. (P → Q) → (P → ¬Q)10. (P → Q) → Q11. (P ↔ Q) ↔ (¬P ↔ ¬Q)12. [P → (¬P ˅ Q)] → (Q ˅ R) 13. ((P → Q) → (R → Q)) ˅ (P ˅ R)14. ((P → Q) → (Q → R)) → (P → (R → ¬P))15. (B ˅ S) ˄ (¬B ˄ ¬S)16. (F → G) ˄ (F ˄ ¬G)17. (S ˄ ¬M) ˄ ¬(S ˅ M)18. ¬[P ˅ (P → Q)]19. ¬[(A ˅ B) ˅ (¬A ˅ C)]20. A ↔ ¬A 21. O ˄ (O → P) ˄ (P → R) ˄ ¬R22. (A ˅ B) ˄ (¬A ˅ C) ˄ (¬B ˄ ¬C)
A5. Tabuľky hodnôt pre konzistenciu viet Zadanie: Urob tabuľku hodnôt pre nasledujúce príklady a nájdi či sú vety konzistentné alebo nie.
- 20 -
1. P , P → Q , ¬Q 2. ¬P , P → Q , Q 3. ¬P , P ˅ Q , P ↔ Q 4. P , P → ¬Q , Q ˅ P 5. P ↔ Q, P ↔ ¬Q 6. P → ¬Q , (P → R) ↔ Q , P ˅ R7. ¬(P → Q) , ¬(Q → R) , ¬(P → R)8. ¬(P ˅ Q) , ¬(Q ˅ R) , ¬(P ˅ R)9. ¬(P ↔ Q) , ¬(Q ↔ R) , ¬(P ↔ R)10. ((P → Q) → ¬(Q → R)) → (P → R)19. M → D , (D ˅ ¬M) → S , ¬S 20. A ˅ B , ¬A ˅ C , ¬B ˄ ¬C 21. W ↔ P , ¬P , (A ˅ ¬A) → W 22. ¬(R ˄ S) , ¬(S ˄ T) , S ˄ (R ˅ T) 23. (A ˄ B) , [(A ˄ ¬B) ˅ (B ˄ ¬A)] 24. (A ˅ B) ˅ C , A → C , C → ¬C , B ↔ C 25. M ↔ ¬N , N ↔ ¬O , ¬M ↔ O 26. (A → B) → A , (B → A) → ¬A
A6. Tabuľky hodnôt pre logické pravdy 1. (B ˅ S) → (¬B → S) (príklad)
B S ((B ∨ S) → (¬B → S))
F F T
F T T
T F T
T T T2. P ˅ (P → Q) 3. (A ˄ (B ˄ C)) ˅ [A → (¬B ˅ ¬C)] 4. (S ˄ ¬M) → (S ˅ M) 5. ((A ˄ B) ˄ C) → (B ˅ Q) 6. [(Q → U) ˄ ¬U] → ¬Q 7. [(P ˅ Q) ˄ (P → R)] → (R ˅ Q) 8. (A ˄ B) ˅ (A ˄ ¬B) ˅ (¬A ˄ B) ˅ (¬A ˄ ¬B)
B. Spojky
Nutná a dostatočná podmienka Udalosť A je dostatočná (postačujúca) podmienka pre udalosť B, keď udalosť A je všetko čo je potrebné pre uskutočnenie udalosti B. Z opačnej strany, udalosť A je nutná (nevyhnutná) podmienka pre udalosť B keď sa B nemôže uskutočniť bez udiania A. Mať zimnicu je dostatočná podmienka aby sa človek cítil zle – aj iné veci okrem zimnice môžu byť dôvod aby sa človek cítil zle ale toto je samo osebe dostatočné. Antecedent je vždy dostatočnou podmienkou. Vzduch na dýchanie je nutná podmienka na prežitie – aj iné veci okrem vzduchu sú potrebné na prežitie, ale bez vzduchu je prežitie nemožné, takže vzduch je nutnou podmienkou.
- 21 -
Pri preklade viet uvádzajúcich dostatočnú a nutnú podmienku, vetu ktorá uvádza dostatočnú podmienku, treba dať do antecedentu kondicionálnej vety a vetu ktorá uvádza nutnú podmienku do konzekventu. Mnemotechnická pomôcka pravidla – „D – N“. Čokoľvek je dané ako dostatočná podmienka bude na mieste D, čokoľvek je dané ako nutná podmienka bude na mieste N.
To, že Hilton otvoril hotel je dostatočnou podmienkou, aby to urobil aj Marriott : H → M
To, že Hilton otvoril hotel je nutnou podmienkou, aby to urobil aj Marriott : M → H Ak, iba ak, len ak, vtedy a len vtedy keď, pokiaľ, iba ak, ... Funkcia „len ak“ je, v určitom zmysle, opačná od funkcie „ak“. „Chytíš rybu len ak máš návnadu“ neznamená „Ak máš návnadu, potom chytíš rybu“. Keby to bolo tak, potom by každý, kto má návnadu, chytil rybu. Táto veta má skôr význam, „Ak nemáš návnadu, nechytíš rybu“, čo je ekvivalentné s „Ak si chytil rybu, mal si návnadu“. Aby sme sa vyhli chybám v preklade „ak“ a „iba ak“, použijeme toto pravidlo. Tvrdenie ktoré nasleduje za „ak“ je vždy antecedent a tvrdenie, ktoré nasleduje za „iba ak“ je vždy konzekvent. Takže, C iba ak H prekladáme ako C → H, kým ‘‘C ak H’’ ako H → C. Ďalšie príklady: Ak Guinness varí pivo, potom Jameson destiluje whisky. G → J Guinness varí pivo ak Jameson destiluje whisky. J → G Guinness varí pivo iba ak Jameson destiluje whisky. G → J (alebo ¬J→¬G) Guinness varí pivo vtedy a len vtedy keď Jameson destiluje whisky. G ↔ J (nutná a
dostatočná podmienka, takže (J → G) (G → J) ) Ďalšie užitočné rady týkajúce sa spojok v podmienkových súvetiach:15 spojka pokiaľ vždy uvádza podmienku (antecedent); pokiaľ nie uvádza negovaný
antecedent; spojku nasledujúcu vtedy, keď chápeme ako antecedent; vtedy a len vtedy keď (práve vtedy keď) uvádza nutnú a dostatočnú podmienku
(ekvivalenciu); iba ak, len vtedy keď, len pokiaľ, len ak, chápeme ako uvádzajúce nutnú podmienku
(konzekvent); ale treba čítať ako konjunkciu; rovnaký prípad je s hoci (a i keď). okrem uvádza konjunkciu a negovanú premenu; rovnaký prípad je s ale nie;
Precvičovanie interpretácie spojok B1. Preložte nasledujúce vety do jazyka výrokovej logiky. Prekladová schéma pre 1-20
P: Ján tancuje
Q: Mária tancuje
R: Braňo tancuje
S:. Ján je šťastný
T:. Mária je šťastná
U: Braňo je šťastný
15 Gahér (2003), kap. 3.
- 22 -
1. Ján tancuje, ale Mária netancuje2. Ak Ján nebude tancovať, potom Mária nebude šťastná3. Jánov tanec stačí na to aby Mária bola šťastná4. Jánov tanec je nevyhnutný na to aby Mária bola šťastná5. Ján nebude tancovať, pokiaľ Mária nie je šťastná.6. Ak je Jánov tanec nevyhnutný na to aby Mária bola šťastná, Braňo
bude nešťastný
7. Ak Mária tancuje, aj napriek tomu, že Ján nie je šťastný, Braňo bude tancovať.
8. Ak ani Ján, ani Braňo netancujú, Mária je nie je šťastná.9. Mária nie je šťastná, pokiaľ netancujú ani Ján, ani Braňo.10. Mária bude šťastná, ak tancujú zároveň aj Ján a Braňo.11. Hoci ani Ján ani Braňo netancujú, Mária je šťastná12. Ak tancuje Braňo, potom ak Mária tancuje Ján tancuje tiež.13. Mária bude šťastná, iba ak je Braňo šťastný.14. Ani Ján ani Braňo nebudú tancovať, ak Mária nie je šťastná.15. Ak Mária tancuje iba ak Braňo tancuje a Ján tancuje, iba ak Mária
tancuje, potom Ján tancuje, iba ak Braňo tancuje.
16. Mária tancuje, ak Ján alebo Braňo, ale nie obaja, tancujú.17. Ak Ján tancuje, a tak aj Mária, ale Braňo nie, potom Mária nebude
šťastná, ale Ján a Braňo budú.
18. Mária bude šťastná, vtedy a len vtedy, keď bude Ján šťastný.19. Za predpokladu, že Braňo nie je spokojný, Ján nebude tancovať, ak
tancovať nebude aj Mária.
20. Ak Ján tancuje pod podmienkou, že ak on tancuje, tancuje aj Mária, potom aj on tancuje.
B2. Preložte nasledujúce vety do jazyka výrokovej logiky. Prekladová schéma pre 21-25: P: Účel trestu je odstrašovanie.Q: Trest smrti je účinným odstrašujúcim nástrojom.R: Trest smrti by mal pokračovať.S: Trest smrti sa používa v Spojených štátoch. T: Účelom trestu je retribúcia.
21. Ak je účelom trestu odstrašovanie a trest smrti je účinným
odstrašujúcim prostriedkom, trest smrti by mal pokračovať.
22. Trest smrti nie je účinným odstrašujúcim prostriedkom, hoci sa používa v Spojených štátoch.
23. Trest smrti by nemal pokračovať, ak nie je účinným odstrašujúcim prostriedkom, pokiaľ je odstrašovanie účelom trestu.
24. Ak je účelom trestu retribúcia, a nie odstrašovanie, potom by trest smrti nemal pokračovať.
25. Trest smrti by mal pokračovať, aj keď trest smrti nie je účinným odstrašujúcim prostriedkom, za predpokladu, že účelom trestu je odplata pričom má aj odstrašujúci účinok.
26. Žiadne pracovné štrajky nie sú udalosti vítané vedením.27. Niektorí obyvatelia Manhattanu nie sú ľudia, ktorí si môžu dovoliť
tam žiť.
28. Niektoré symfonické orchestre sú organizácie na pokraji bankrotu.
- 23 -
B3. Preložte nasledujúce vety do jazyka výrokovej logiky. 1. Nový Zéland nemá jadrové zbrane. 2. Turecko je členom NATO, ale Irak nie je. 3. Brazília alebo Argentína ničia svoje dažďové pralesy. 4. Poľsko aj Írsko zakázali interrupciu. 5. Ak Škótsko vyhlási nezávislosť, potom Anglicko zníži dovoz. 6. Škótsko vyhlasuje nezávislosť, ak Anglicko zníži dovoz. 7. Škótsko vyhlasuje nezávislosť vtedy a len vtedy, keď Anglicko zníži dovoz. 8. Škótsko vyhlasuje nezávislosť len vtedy, ak Anglicko zníži dovoz. 9. Tanzánia sa stáva bankovým centrom, keďže Zanzibar priťahuje zahraničný
kapitál.
10. To, že Grónsko chráni svoje rybolovné práva, znamená, že Island splatil svoj dlh.
11. Čína nebude vyvážať jadrovú technológiu, ak to neurobí Rusko. 12. Bielorusko vytvorí systém sociálneho zabezpečenia iba vtedy, ak to urobia
aj Lotyšsko a Estónsko.
13. Maďarsko prijme politické reformy a Rumunsko zmrazí mzdy alebo Bulharsko rozšíri služby.
14. Maďarsko prijalo politické reformy a Rumunsko zmrazuje mzdy alebo Bulharsko rozširuje služby.
15. Nie je pravda, že aj Pakistan a India zatvárajú politických väzňov. 16. Pakistan a India nezatvárajú politických väzňov. 17. Švédsko alebo Nórsko znižuje deficit. 18. Nie je pravda, že ani Švédsko ani Nórsko neznižujú deficit. 19. Ani Švédsko ani Nórsko neznižujú deficit. 20. Peru bude zvyšovať vojenské výdavky, pokiaľ Guyana a Bolívia nezlepšia
zdravotnú starostlivosť.
21. Ak Kanada vytvorí pracovné miesta, potom ak Spojené štáty zvýšia dane, Mexiko stabilizuje svoju menu.
22. Z toho, že Kanada vytvára pracovné miesta, vyplýva, že Spojené štáty zvyšujú dane a potom aj Mexiko stabilizuje svoju menu.
23. Líbya opustí terorizmus vtedy a len vtedy, ak ani Egypt ani Saudská Arábia nezatvoria svoje veľvyslanectvo.
24. Ak Spojené štáty zaútočia na obchod s drogami, potom Kolumbia alebo Ekvádor budú stíhať obchodníkov s drogami.
25. Guatemala nekončí svoju občiansku vojnu alebo ak Honduras znižuje chudobu, tak to urobí aj Nikaragua.
26. Ak Uganda alebo Rwanda dostanú zvýšenú pomoc, potom ani Keňa ani Burundi nebudú ochraňovať ohrozené druhy.
27. Ak aj Niger a Čad potláčajú slobodu prejavu, potom Sudán alebo Zaire budú trpieť konfliktom domorodcov.
28. Španielsko alebo Portugalsko čelia znečisteniu ovzdušia, pretože Nemecko a Rakúsko nezlepšujú kvalitu vody.
29. Argentína vyváža hovädzie mäso a Brazília vyváža kávu alebo Čile vyváža výrobky z dreva.
31. Nemecko a Francúzsko budú podporovať spoločnú menu, pokiaľ ju nebudú podporovať Švajčiarsko a Taliansko.
32. Holandsko zvyšuje úrokové sadzby za predpokladu, že to urobí Dánsko, kým Belgicko nie.
- 24 -
33. Nigéria alebo Angola odmietajú ľudské práva, ale nie je pravda, že to platí pre obe zároveň.
34. Japonsko neuznáva svoje vojnové zločiny; ak však zostane Taiwan nezávislý, potom Guam alebo Filipíny dostanú bankové úvery.
35. Nie je pravda, že Andorra podporuje vodnú energiu a San Marino alebo Lichtenštajnsko kontrolujú infláciu.
36. Nie je pravda, že Malta dotuje výrobu vína alebo Korzika a Sardínia dotujú výrobu korku.
37. Ak Thajsko bojuje proti korupcii, potom ak Barma povolí voľby, potom Laos a Kambodža prijmú trhovú ekonomiku.
38. Ak Ghana vyrovná svoj rozpočet, potom v prípade, ak Libéria konštruuje low-cost bývanie, potom uznávanie práv menšín v Čade znamená, že Somálsko ide odzbrojovať svojich kmeňových vodcov.
39. Nie je pravda, že Gruzínsko a Arménsko vykonávajú jadrové testy alebo Ukrajinu a Slovensko opúšťajú jadrovú energiu.
40. Nie je pravda, že Omán alebo Katar zatvára svoje hranice a Kuvajt alebo Irán redistribuuje svoje bohatstvo.
41. Čínske opustenie komunizmu je dostatočnou podmienkou, aby Tibet opäť získal svoju slobodu.
42. Čínske opustenie komunizmu je nevyhnutnou podmienkou obnovenia slobody Tibetu.
43. Čínske opustenie komunizmu je dostatočnou a nevyhnutnou podmienkou obnovenia slobody Tibetu.
44. Izraelské zatknutie fanatikov je postačujúcou podmienkou pre sýrske pristúpenie k mierovej dohode, len ak je rozpustenie libanonskej milície nevyhnutnou podmienkou pre získanie zvýšenej jordánskej pomoci.
47. Grécko umožní voľný obchod, ak Macedónsko zmení svoju vlajku za predpokladu, že Albánsko skončí s nepriateľskými aktivitami.
48. Vydávanie dlhopisov v Belize naznačuje, že Kostarika zvyšuje blahobyt, vzhľadom na to, že zo zamedzenia pašovania zbraní v El Salvadore vyplýva, že ani Nikaragua ani Panama si nenajmú žoldnierov.
49. Ak sú atraktívne investície Indonézie a relaxačné tarify Malajzie dostatočné a nevyhnutné podmienky na stimuláciu vývozu Austrálie, potom ani Japonsko ani Taiwan neotvoria svoje trhy.
50. Odmietanie fundamentalizmu v Alžírsku je nevyhnutnou podmienkou pre francúzske posielanie zbraní; naviac, zo zvýšenia kontroly inflácie v Maroku a podporovania cestovného ruchu v Tunisku spolu vyplýva, že je egyptská modernizácia vlastného priemyslu dostatočnou podmienkou na zvýšenie výrobe ropy v Saudskej Arábii.
C. Precvičovanie základných pravidiel
C1. A Najdi dôkaz pre nasledujúce výrazy: 1 P →(P → Q), P |– Q 2. ¬P → ¬Q, Q |– P MTT 3. P, Q |— P ˄ Q 4. P ˄ Q |— P 5. P ˄ Q |— Q 6. P ˄ (Q ˄ R) |- Q ˄ (P ˄ R)
- 25 -
7. (P ˄ Q) → R |— P → (Q → R) 8. P → (Q → R) |— (P ˄ Q) → R 9. ¬P → (Q ˄ R), (¬P ˅ S) → ¬T, U ˄ ¬P |— (U ˄ R) ˄ ¬T 10. P ˄ (Q ˄ R), (P ˄ R) → ¬S, S ˅ T |— T 11. P ˄ Q |— Q ˄ P ˄-komutácia 12. Q → R |— (P ˄ Q) → (P ˄ R) (˅I) a (˅E) 13 P ˅ Q |— Q ˅ P 14 Q → R |— (P ˅ Q) → (P ˅ R) 15 P ˅ (Q ˅ R) |— Q ˅ (P ˅ R) 16 P ˅ Q |— P ˅ Q 17 P ˄ Q |– P ˅ Q 18 P ˅ ¬R, ¬R → S, ¬P |— S 19 P ˅ ¬R, ¬R → S,¬P |— S ˄ ¬R 20 P → ¬Q, (¬Q ˅ R) → ¬S, P ˄ T |— ¬S 21 P → Q, P → R, P |— Q ˅ R 22 P, Q ˅ R, ¬R ˅ S, ¬Q |— P ˄ S 23 ¬P, (R ˅ ¬P) → (P ˅ Q) |— Q 24 (Q ˅ R) ˄ (¬S → T), Q ˄ U, ¬S ˅ ¬U |— T ˄ U Implikácia 25 P |– (P → Q) → Q 26 P → ¬P |— ¬P Claviov zákon 27 P → (Q ˄ R) |— (P → Q) ˄ (P → R)
C1. B Najdi dôkaz pre nasledujúce výrazy: (a) P → (P → Q), P |— Q (b) Q → (P → R) ¬R, Q |— ¬P (c) P → ¬¬Q, P |— Q (d) ¬¬Q → P, ¬P |— ¬Q (e) ¬P → ¬Q, Q |— P (f) P → ¬Q |— Q → ¬P (g) ¬P → Q |— ¬Q → P (h) ¬P → ¬Q |— Q → P (i) P → Q, Q → R |— P → R (j) P → (Q → R) |— (P → Q) → (P → R) (k) P → (Q → (R → S)) |— R → (P → (Q → S)) (l) P → Q |— (Q → R) → (P → R) (m) P |— (P → Q) → Q (n) P |— (¬(Q → R) → ¬P) → (¬R → ¬Q) Najdi dôkazy základnými pravidlami pre nasledujúce výrazy: (a) P |— Q → (P ˄ Q) (b) P ˄ (Q ˄ R) |— Q ˄ (P ˄ R) (c) (P → Q) ˄ (P → R) |— P → (Q ˄ R) (d) Q |— P ˅ Q (e) P ˄ Q |— P ˅ Q (f) (P → R) ˄ (Q → R) |— (P ˅ Q) → R (g) P → Q, R → S |— (P ˄ R) → (Q ˄ S)
- 26 -
(h) P → Q, R → S |— (P ˅ R) → (Q ˅ S) (i) ¬P → P |— P (j) ((P ˄ Q) → P) ˄ (P → (P ˄ Q)) |— P → Q; (k) (P Q) → R |— P → (Q → R) (l) P → (Q → R) |— Q → (P → R) (m) P → Q , ¬Q |— ¬P (n) P → (Q → R) |— (P Q) → R (o) Q → R |— (P Q) → (P R) (p) P → (Q S) , R → ¬Q, (¬R S) → F |— P → F
C2. Bikondicionál Df.↔ : A ↔ B = (A → B) ˄ (B → A). 1 P ↔ Q |— Q ↔ P 2 P, P ↔ Q |— Q 3 P ↔ Q, Q ↔ R |— P ↔ R 4 (P ˄ Q) P |— P → Q 5 P ˄ (P ↔ Q) |— P ˄ Q Použitím pravidla ↔def nájdi dôkazy pre nasledujúce výrazy: a) Q, P ↔ Q |— P b) P, P ↔ Q |— Q c) P → Q, Q → P |— P ↔ Q d) P ↔ Q |— ¬P ↔ ¬Q e) ¬P ↔ ¬Q |— P ↔ Q f) (P ˅ Q) ↔ P |— Q → P g) P ↔ ¬Q, Q ↔ ¬R |— P ↔ R h) (P ˄ Q) ↔ P |— P → Q (i) (P ↔ Q) → R,P → Q,Q → P |— R
C3. Dokáž vzájomnú odvoditeľnosť základnými pravidlami 1 (P ˄ Q) → R —||— P → (Q → R). 2 P ˄ (P ˅ Q) —||— P 3 P ˅ (P ˄ Q) —||— P 4 P ˅ P —||— P 5 P↔Q —||— Q↔P 6 P→(Q→R) —||— (P˄Q) → R
C4. Dokáž základnými pravidlami nasledujúce vety. 1 P → Q, P → ¬Q |— ¬P 2 P → ¬P |— ¬P 3 P, ¬(P ˄ Q) |— ¬Q 4 P |- ¬¬P 5 P → Q, ¬Q |— ¬P 6 P → Q, ¬P → Q |— Q
- 27 -
C5. Dokáž vzajomnú odvoditeľnosť výrazov 1 P → Q —||— ¬(P ˄ ¬Q) Materiálna implikácia (Impl) 2 P ˅ Q —||— ¬(¬P ˄ ¬Q) De Morganove pravidlá (DM) 3 P ˄ (Q ˅ R) —||— (P ˄ Q) ˅ (P ˄ R) Distribúcia- ˄ (a) P ˄ P —||— P (b) P ˅ (Q ˄ R) —||— (P ˅ Q) ˄ (P ˅ R) (c) P ˄ Q —||— ¬(P → ¬Q) (d) ¬(P ˅ Q) —||— ¬P ˄ ¬Q (e) ¬(P ˄ Q) —||— ¬P ˅ ¬Q (f) P ˄ Q —||— ¬(¬P ˅ ¬Q) (g) P → Q —||— ¬P ˅ Q (h) ¬P → Q —||— P ˅ Q (i) (P ˄ Q) ↔ P —||— P → Q
C6. Nájdi dôkaz 1 P ↔ Q —||— (P ˄ Q) ˅ (¬P ˄ ¬Q) 2 P → (Q ˄ R), (R ˅ ¬Q) → (S ˄ T), T ↔ U |—P → U 3 (¬P ˅ Q) ˄ R, Q → S|— P → (R → S) 4 Q ˄ R, Q → (P ˅ S), ¬(S ˄ R) |— P 5 P → (R ˄ Q), S → ¬R ˅ ¬Q |— S ˄ P → T 6 R ˄ P, R → (S ˅ Q), ¬(Q ˄ P) |— S 7 P ˄ Q, R ˄ ¬S, Q → (P → T), T → (R → (S ˅ W)) |— W 8 R → ¬P, Q, Q → (P ˅ ¬S) |— S → ¬R 9 P → Q, P → R, P → S, T → (U → (¬˅ → ¬S)), Q → T, R → (W → U), ˅ → ¬W, W |— ¬P 10 P ↔ ¬Q ˄ S, P ˄ (¬T → ¬S) |— ¬Q ˄ T 11 P ˅ Q ↔ P ˄ Q |—P ↔ Q
C7. Nájdi dôkazy pre nasledujúce výrazy (so základnými alebo odvoditeľnými pravidlami): 1 ¬Q |— P → (Q → R) 2 E → (F → G) |— F → (E → G) 3 (P → Q) → Q —||— P ˅ Q 4 P |— (P ˄ Q) ˅ (P ˄ ¬Q) 5 P → Q |— (P ˄ Q) ↔ P 6 P ˄ ¬P |– Q ex falso quodlibet, pravidlo pseudo-Scota 7 ¬P ˅ Q |— P → Q 8 P → Q —||— ¬P ˅ Q Materiálna implikácia (Impl)) 9 P |— Q → P 10 ¬P |— P → Q 11 ¬P, P ˅ Q |— Q DS 12 ¬Q, P ˅ Q |— P DS Dokáž nasledujúce vety pomocou základných pravidiel a SI: (a) P ˄ Q —||— P ˄ (P ↔ Q) (b) ¬Q |— P → (Q → R) (c) P, ¬P |— Q (d) P ˅ Q —||— ¬P → Q
- 28 -
(e) ¬(P → Q) —||— P ˄ ¬Q (f) (P → Q) → Q —||— P ˅ Q (g) (P → Q) ˅ (P → R) —||— P → (Q ˅ R) (h) P → Q —||— (P ↔ Q) ˅ Q (i) Q |— (P ˄ Q) ↔ P (j) ¬Q |— (P ˅ Q) ↔ P
D. Precvičovanie odvodených pravidiel
D1. Nájdi dôkaz pre nasledujúce vety: 1 ¬P |— P → Q 2 C |— D → C (pravdivý konzekvent, TC) 3 E → (F → G) |— F → (E → G) 4 H → (I ˄ J) |— H → I 5 K → L |— K → (L ˅ M) 6 N → O |— (N ˄ P) → O 7 (Q ˅ R) → S |— Q → S 8 T → ¬(U → V) |— T → U 9 W → (X ˄ ¬Y) |— W → (Y → X) 10 A → ¬(B → C), (D ˄ B) → C, D |— ¬A 11 E → F, E → G |— E → (F ˄ G) 12 H → (I ˅ J), ¬I |— H → J 13 (K ˅ L) → ¬(M ˄ N), (¬M ˅ ¬N) → (O ↔ P), (O ↔ P) → (Q ˄ R) |— (L ˅ K) → (R ˄ Q) 14 S → T, S ˅ T |— T 15 (¬U ˅ V) ˄ (U ˅ W), ¬X → ¬W |— V ˅ X 16 A → (B → C), C → (D ˄ E) |— A → (B → D) 17 E → F, G → F |— (E ˅ G) → F 18 [(H ˄ I) → J] ˄ [¬K → (I ˄ ¬J)] |— H → K 19 [L ˄ (M ˅ N)] → (M ˄ N) |— L → (M → N) 20 O → (P → Q), P → (Q → R) |— O → (P → R) 21 S → (T ˄ U), (T ˅ U) → V, ¬S ˅(T ˄ U) |— S → V 22 ¬W ˅ [(X → Y) ˄ (Z → Y)], W ˄ (X ˅ Z) |— Y 23 (A ˅ B) → (C ˄ D), ¬A → (E → ¬E), ¬C |— ¬E 24 (F → G) ˄ (H → I), F ˅ H, (F → ¬I) ˄ (H → ¬G) |— G ↔ ¬I 25 E → (F → G) |— F → (E → G) 26 Q ˅ (R ˄ S), (Q → T) ˄ (T → S) |— S 27 (U → V) ˄ (W → X) |— (U ˅ W) → (V ˅ X) 28 (Y → Z) ˄ (A → B) |— (Y ˄ A) → (Z ˄ B) 29 (C → D) ˄ (E → F), G → (C ˅ E) |— G → (D ˅ F) 30 (H → I) ˄ (J → K), H ˅ J, (H → ¬K) ˄ (J → ¬I), (I ˄ ¬K) → L, K → (I ˅ M) |— L ˅ M
D2. Najdi dôkazy pre nasledujúce výrazy: 1. (D ˄ E) ˅ (B → P), ¬(D ˄ E) |— B → P 2. (K ˄ O) → (N ˅ T), K ˄ O |— N ˅ T 3. (M ˅ P) → ¬K, D → (M ˅ P) |— D → ¬K 4. ¬¬(R ˅ W), S → ¬(R ˅ W) |— ¬S 5 ¬C → (A → C), ¬C |— ¬A 6 F ˅ (D → T), ¬F, D |— T
- 29 -
7 (K ˄ B) ˅ (L → E), ¬(K ˄ B), ¬E |— ¬L 8 P → (G → T ), Q → (T → E), P, Q |— G → E 9. ¬W → [¬W → (X → W)], ¬W |— ¬X 10. ¬S → D, ¬S ˅ (¬D → K), ¬D |— K 11. A → (E → ¬F), H ˅ (¬F → M), A, ¬H |— E → M 12. N → ( J → P), ( J → P) → (N → J), N |— P 13. G → [¬O → (G → D)], O ˅ G, ¬O |— D 14. ¬M ˅ (B ˅ ¬T), B → W, ¬¬M, ¬W |— ¬T 15. (L ↔ N) → C, (L ↔ N) ˅ (P → ¬E), ¬E → C, ¬C |— ¬P 16. ¬J → [¬A → (D → A)], J ˅ ¬A, ¬J |— ¬D 17. (B → ¬M) → (T → ¬S), B → K, K → ¬M, ¬S → N |— T → N 18. (R → F) → [(R → ¬G) → (S → Q)], (Q → F) → (R → Q), ¬G → F, Q → ¬G |— S → F 19. ¬A → [A ˅ (T → R)], ¬R → [R ˅ (A → R)], (T ˅ D) → ¬R, T ˅ D |— D 20. ¬N → [(B → D) → (N ˅ ¬E)], (B → E) → ¬N, B → D, D → E |— ¬D 21. (N→ B) (O → C), Q → (N ˅ O), Q |– B ˅ C 22. P ˅ (I L), (P ˅ I ) → ¬ (L ˅ C), (P ¬C) → (E F) |– F ˅ D 23. S ˅ (I ¬J ), S → ¬R, ¬J → ¬Q |– ¬ (R Q)
D3.
D3. A. Dopíš pravidlá a predpoklady.
(1) 1. J → (K → L) 2. L ˅ J 3. ¬L |— ¬K 4. J 5. K → L 6. ¬K
(2) 1. ¬(S ↔ T ) → (¬P → Q)
2. (S ↔ T ) → P 3. ¬P |— Q 4. ¬(S ↔ T ) 5. ¬P → Q 6. Q
(3) 1. ¬A → (B → ¬C) 2. ¬D → (¬C → A) 3. D ˅ ¬A 4. ¬D |— ¬B 5. ¬A 6. B → ¬C
- 30 -
7. ¬C → A 8. B → A 9. ¬B
(4) 1. ¬G → [G ˅ (S → G)] 2. (S ˅ L) → ¬G 3. S ˅ L |— L 4. ¬G 5. G ˅ (S → G) 6. S → G 7. ¬S 8. L
(5) 1. H → [¬E → (C → ¬D)] 2. ¬D → E 3. E ˅ H 4. ¬E |— ¬C 5. H 6. ¬E → (C → ¬D) 7. C → ¬D 8. C → E 9. ¬C
6) P ˅ Q |— ¬ (¬P ¬Q) (1) P ˅ Q (2) ¬P ¬Q (3) P (4) ¬P (5) P ¬P (6) ¬ (¬P ¬Q) (7) Q (8) ¬Q (9) Q ¬Q (10) ¬ (¬P ¬Q) (11) ¬ (¬P ¬Q)
7) 1. (AvB) → (C ¬D) 2. ¬C |— ¬B 3. ¬C ˅ ¬D 4. ¬ (C ¬D) 5. ¬ (A ˅ B) 7. ¬B ¬A
- 31 -
8. ¬B
D3. B. Nájdi či je uvedené pravidlo správne. Príklad: 1. ¬J → (A ˅ S), ¬J |— (A ˅ S) MPP Áno 2. (A ˅ S) →¬J, ¬J |— (A ˅ S) MPP_____ 3. (A ˅ S) → J, ¬J |— ¬(A ˅ S) MTT _____ 4. J → (A ˅ S), ¬J |— ¬(A ˅ S) MTT _____ 5. A → ¬C, ¬B → ¬C |— ¬C ˄E _____ 6. T ˅ ¬E, ¬T |— ¬E DS _____ 7. H ˅ ¬I, H → ¬P, ¬A → ¬I |— ¬P ˅ ¬A Dilem. _____ 8. ¬B → ¬C, ¬B → A |— ¬C → A HS ____ 9. (T → B) ˅ ¬E, ¬(¬E) |— T → B DS _____ 10. ¬T ˅ ¬E, ¬T |— ¬E DS _____ 11. A → Q, ¬C ↔ B |— ¬C → B ↔def _____ 12. ¬E, |— ¬E ˅ (M → S) ˅I ____ 13. B → ¬C, ¬A → B |— ¬A → ¬C HS _____ 14. H ˅ ¬I, H → ¬P, ¬I → ¬J |— ¬P ˅ ¬J Dilem. _____ 15. L → (B → E), L → ¬(B → E) |— ¬L RAA. _____ 16. (B → E) → ¬C, ¬A → (B → E) |— ¬A → ¬C HS ____ 17. ¬(A ˅ B) → C |— (A ˅ B) →¬C Trans _____ 18. ¬(A ˅ B) → C |— ¬C → (A ˅ B) Trans _____ 19. ¬(A ˅ B) |— ¬A ˅ ¬B DM _____ 20. ¬(S → E) |— ¬S ˅ ¬E DM ____ 21. ¬A ˅ ¬B |— A → ¬B Impl_____ 22. (Q → P) → A |— (¬Q→¬P) ˅ A Impl _____ 23. L → ((B → E) → A) |— L → (B → E) D.Thens _____
- 32 -
24. L → (B → E) |— L → (¬B ˅ L) Taut _____
D3. C. Nájdi správne pravidlo. 1. ¬(A ˅ ¬B) |— ¬A → ¬(¬B) pravidlo: 2. (A ˅ S) → J, ¬J |— ¬(A ˅ S) pravidlo: 3. ¬(A ˅ B) → C |— ¬C → (A ˅ B) pravidlo: 4. (A ˅ S) → ¬J, (A ˅ S) |— ¬J pravidlo: 5. H ˅ ¬I, H → ¬P, ¬I → ¬J |— ¬P ˅ ¬J pravidlo: 6. J → (A ˅ S), ¬(A ˅ S) |— ¬J pravidlo: 7. ¬S → ¬E |— ¬(S ˅ E) pravidlo: 8. T ˅ ¬E, ¬T |— ¬E pravidlo: 9. ¬H → Q, ¬H ˅ I, I → M |— Q ˅ M pravidlo: 10. (T → B) ˅ ¬E, ¬(¬E) |— T → B pravidlo: 11. ¬T ˅ ¬E, ¬T |— ¬T → (¬T ˅ ¬E) pravidlo: 12. A → B, ¬C ↔ B |— ¬C → B pravidlo: 13. L → (B → E) |— (L E) → B pravidlo: 14. ¬E |— ¬E ˅ (M → S) pravidlo: 15. ¬Q → (B → E) |— Q ˅ (B → E) pravidlo: 16. B → ¬C, ¬A → B |— ¬A → ¬C pravidlo: 17. ¬J → (A → S), ¬J |— A → S pravidlo: 18. ¬(Q → P) ˅ A |— (Q → P) → A pravidlo: 19. A → ¬C, ¬B → ¬C |— ¬C pravidlo: 20. (B → E) → ¬C, ¬A → (B → E) |— ¬A → ¬C pravidlo: 21. (A ˅ B) → C |— ¬(A ˅ B) ˅ C pravidlo: 22. A ˅ ¬B, D |— D → (A ˅ ¬B) pravidlo: 23. (B → ¬C) → (¬B → A) |— ¬B → A
- 33 -
pravidlo: 24. L → (¬B → ¬E) |— L → ¬E pravidlo:
D3. D. Dopíš chýbajúce pravidlá. 1) (príklad)
1. A → B A2. B → C A3. A → C 1,2, SI HS4. ¬C → ¬A 3, SI Transp.
2) 1. T ˅ (D ˄ ¬E) A2. ¬T A3. D ˄ ¬E ____________ 4. ¬E ____________
3) 1. (A ˅ B) → C A2. (A ˅ B) ˄ F A3. A ˅ B ____________ 4. C ____________
4) 1. ¬(Q ˅ S) A2. B A3. ¬Q ˄ ¬S ____________ 4. B ˄ (¬Q ˄ ¬S) ____________
5) 1. ¬B ˄ A A2. (K ˄ ¬E) → B A3. ¬B ____________4. ¬(K ˄ ¬E) ____________5. ¬K ˅ ¬(¬E) ____________
6) 1. ¬J → ¬I A2. (H → P) ˄ (H ˅ ¬J) A3. H → P ____________4. H ˅ ¬J ____________5. P ˅ ¬I ____________
7) 1. L → (B ˄ E) A2. E → S A3. L → B ____________ 4. L → E ____________ 5. L → S ____________
8)
- 34 -
1. L → (B ˄ E) A2. ¬E A3. (B ˄ E) → E ____________ 4. ¬(B ˄ E) ____________ 5. ¬L ____________
9) 1. A ↔ ¬B A2. C ↔ ¬B A3. A → ¬B ____________ 4. ¬B → C ____________ 5. A → C ____________ 6. ¬C → ¬A ____________
10) 1. (¬S ˅ Y) ˅ ¬A A2. ¬Y A3. (Y ˅ ¬S) ˅ ¬A ____________4. Y ˅ (¬S ˅ ¬A) ____________5. ¬S ˅ ¬A ____________6. ¬(S ˄ A) ____________
D4 Nájdi dôkazy pre nasledujúce teorémy. T1 |– (P ˄ ¬P) → Q Ex falso quodlibet, pravidlo pseudo-Scota T2 |— P ˅ ¬P Vylúčenie tretieho (EM) T3 |— ¬(P ˄ ¬P) Princíp nonkontradikcie T5 |— P → ¬¬P T6 |— ¬¬P → P T7 |— P ↔ ¬¬P Dvojitá negácia T8 |— (P ˄ Q) → P T10 |— (P → Q) ˅ (Q → P) Paradox materiálnej implikácie T11 |— ((P → Q) → P) → P Peirceov zákon T12 |— P → (Q → P) Rozšírenie T13 |— (P ↔ Q) ↔ (Q ↔ P) ↔Transp T14 |— ¬(P ↔ Q) ↔ (¬Q ↔ P) T15 |— (P ↔ Q) ↔ (¬P ↔ ¬Q) ↔Transp T16 |— ((¬P → Q) ˄ (R → Q)) ↔ ((P → R) → Q) T17 |— P ↔ P ˄ P ˄-idempotencia T18 |— P ↔ P ˅ P ˅-idempotencia T19 |— (P ↔ Q) ˄ (R ↔ S) → (P˅R ↔ Q˅S) T20 |— (P ↔ Q) → ((R → P) ↔ (R → Q)) ˄ ((P → R) ↔ (Q → R)) T21 |— (P ↔ Q) → (R v P ↔ R v Q) T22 |— ((P → Q) → Q) ↔ ((Q → P) → P) T23 |— (P ˄ Q) v (R ˄ S) ↔ ((P v R) ˄ (P v S)) ˄ ((Q v R) ˄ (Q v S)) T24 |— (P ↔ Q) ˄ (R ↔ S) → ((P → R) ↔ (Q → S)) T25 |— (P ↔ Q) ˄ (R ↔ S) → (P ˄ R ↔ Q ˄ S) T26 |— (P ↔ Q) ˄ (R ↔ S) → ((P ↔ R) ↔ (Q ↔ S)) T27 |— (P ↔ Q) → (R ˄ P ↔ R ˄ Q) T28 |— (P ↔ Q) → ((R ↔ P) ↔ (R ↔ Q)) T29 |— P ˄ (Q ↔ R) → (P ˄ Q ↔ R)
- 35 -
T30 |— P → (Q → R) ↔ ((P → Q) → (P → R)) T31 |— P → (Q → R) ↔ Q → (P → R) T32 |— P → (P → Q) ↔ P → Q T33 |— P → ¬Q ↔ Q → ¬P T34 |— ¬P → P ↔ P T35 |— (P˅Q) ˄ (R˅S) ↔ ((P ˄ R) ˅ (P ˄ S)) ˅ ((Q ˄ R) ˅ (Q ˄ S)) T36 |— (P → Q) ˄ (R → S) ↔ ((¬P ˄ ¬R) ˅ (¬P ˄ S)) ˅ ((Q ˄ ¬R) ˅ (Q ˄ S)) T37 |— (P ˅ ¬P) ˄ Q ↔ Q T38 |— (P ˄ ¬P) ˅ Q ↔ Q T39 |— P ˅ (¬P ˄ Q) ↔ P ˅ Q T40 |— P ˄ (¬P ˅ Q) ↔ P ˄ Q T41 |— P ↔ P ˅ (P ˄ Q) T42 |— P ↔ P ˄ (P ˅ Q) T43 |— (P → Q ˄ R) → (P ˄ Q ↔ P ˄ R) T44 |— (P → Q) ˅ (Q → P) T45 |— (Q → R) → ((P → Q) → (P → R)) T46 |— P → (Q → P ˄ Q) T47 |— (P → R) → ((Q → R) → (P ˅ Q → R)) T48 |— (P → Q ˄ ¬Q) → ¬P T49 |— (¬P → P) → P T50 |— P → (P ˅ Q) T51 |— (P → (Q → R)) → ((P → Q) → (P → R)) T52 |— P ˅ (P → Q)
D5 Nájdi dôkaz pre nasledujúce vety: 1 ¬P → P —||— P 2 P ↔ Q —||— ¬((P → Q) → ¬(Q → P)) 3 P ↔ Q —||— P ˅ Q → P ˄ Q 4 P ↔ Q —||— ¬(P ˅ Q) ˅ ¬(¬P ˅ ¬Q) 5 P ↔ Q —||— ¬(P ˄ Q) → ¬(P ˅ Q) 6 P ↔ Q —||— ¬(¬(P ˄ Q) ˄ ¬(¬P ˄ ¬Q)) 7 P ˅ Q → R ˄ ¬P , Q ˅ R, ¬R |— C 8 ¬P ↔ Q, P → R, ¬R |— ¬Q ↔ R 9 ¬((P ↔ ¬Q) ↔ R), S → P ˄ (Q ˄ T), R ˅ (P ˄ S) |— S ˄ K → R ˄ Q 10 (P ˄ Q) ˅ (R ˅ S) |— ((P ˄ Q) ˅ R) ˅ S 11 P ˄ (¬Q˄¬R), P→(¬S → T), ¬S → (T ↔ R ˅ Q) |— S 12 (P ˄ ¬Q) → ¬R, (¬S → ¬P) ↔ ¬R |— (R ↔ Q ˄ (P ˄ ¬S) 13 P ˅ Q, (Q → R) ˄ (¬P ˅ S), Q ˄ R → T |— T ˅ S 14 P → Q˅R (¬Q˄S) ˅(T→¬P), ¬(¬R → ¬P) |— ¬T ˄ Q 15 P ˅ Q, P → (R → ¬S), (¬R ↔ T) → ¬P |— (S ˄ T) → Q 16 (P↔-Q) → ¬R, (¬P˄S) ˅ (Q˄T), (S˅T) → R |— Q → P 17 ¬S ˅ (S ˄ R), (S → R) → P |— P 18 P˅(R˅Q), (R→S) ˄ (Q→T), (S ˅ T) → (P ˅ Q), ¬P |— Q 19 (P → Q) → R, S → (¬Q → T) |— (R ˅ ¬T) → (S → R) 20 (P ˄ Q) → (R ˅ S) |— (P → R) ˅ (Q → S) 21 (P→Q) ˄ (R → P), (P˅R) ˄ ¬(Q˄R) |— (P˄Q) ˄ ¬R 22 P ˄ Q →((R ˅ S)˄¬(R ˄ S)), (R˄Q)→ S, S → (((R ˄ Q) ˅ (¬R ˄ ¬Q))˅¬P) |— P → ¬Q 23 ¬(P˄¬Q)˅¬(¬R˄¬S), ¬S˄¬Q, T→(¬S→(¬R˄P)) |— ¬T
- 36 -
E. Daľšie úlohy
E1 Dopíš pravidlá a pridaj čísla predpokladov pre každý krok.
1) 1. F ↔ G _____________ 2. E → (F ˅ G) _____________ 3. ¬G ˄ (A ˅ B) _____________ 4. (B → E) ˄ H _____________ 5. ¬G _____________ 6. A ˅ B _____________ 7. B → E _____________ 8. F → G _____________ 9. ¬F _____________ 10. ¬F ˄ ¬G _____________ 11. ¬(F ˅ G) _____________ 12. ¬E _____________ 13. ¬B _____________ 14. A _____________ 2) 1. A ˅ (N ˅ W) _____________ 2. W → ¬(¬B) _____________ 3. K ˄ ¬S _____________ 4. (N → L) ˄ ¬A _____________ 5. (¬S ˅ M) → Q _____________ 6. ¬S _____________ 7. ¬S ˅ M _____________ 8. Q _____________ 9. ¬A _____________ 10. N ˅ W _____________ 11. N → L _____________ 12. W → B _____________ 13. L ˅ B _____________ 14. Q ˄ (L ˅ B) _____________ 3) 1. M → (¬P ˅ T) _____________ 2. ¬M → Q _____________ 3. (P ˅ A) ˄ (¬Q ˄ ¬A) _____________ 4. P ˅ A _____________ 5. ¬Q ˄ ¬A _____________ 6. ¬Q _____________ 7. ¬¬M _____________
- 37 -
8. M _____________ 9. ¬P ˅ T _____________ 10. ¬A _____________ 11. P _____________ 12. ¬¬P _____________ 13. T _____________ 14. ¬S ˅ T _____________ 4) 1. A → (B → C) _____________ 2. D → (E ˄ F) _____________ 3. (B → C) → (A → D) _____________ 4. (¬A ˅ E) → (B → C) _____________ 5. ¬C _____________ 6. A → (A → D) _____________ 7. (A ˄ A) → D _____________ 8. A → D _____________ 9. A → (E ˄ F) _____________ 10. A → E _____________ 11. ¬A ˅ E _____________ 12. B → C _____________ 13. ¬B _____________ 14. ¬B ˄ ¬C _____________
E2 Dopíš pravidlá, čísla predpokladov a kroky usudzovania.
1. 1. D → E A 2. E → F A 3. F → G A ∴ D → G 4. ______________ __________ 5. ______________ __________2. 1. E ˅ F A 2. E → G A 3. ¬F A ∴ G 4. ______________ __________ 5. ______________ __________3. 1. G ˅ ¬F A 2. H → F A 3. ¬G A ∴ ¬H 4. ______________ __________ 5. ______________ __________ 6. ______________ __________ 7. ______________ __________
- 38 -
8. ______________ __________4. 1. (¬E ˅ P) ˅ U A 2. (¬E ˅ P) → A A 3. U → B A 4. ¬A A ∴ B 5. ______________ __________ 6. ______________ __________ 7. ______________ __________ 8. ______________ __________5. 1. ¬R → (A → M) A 2. ¬R A 3. ¬M A ∴ ¬A˄¬M 4. ______________ __________ 5. ______________ __________ 6. ______________ __________ 7. ______________ __________6. 1. ¬M ˅ ¬O A 2. O ˅ N A 3. M A ∴ N 4. ______________ __________ 5. ______________ __________ 6. ______________ __________ 7. ______________ __________7. 1. A → (B ˄ C) A 2. ¬B ˄ E A ∴ ¬A 3. ______________ __________ 4. ______________ __________ 5. ______________ __________ 6. ______________ __________8. 1. A → (B ˄ C) A 2. ¬B A ∴ ¬A 3. ______________ __________ 4. ______________ __________ 5. ______________ __________ 6. ______________ __________9. 1. (A ˄ B) → C A 2. A ˄ D A 3. B A ∴ B ˄ C 4. ______________ __________ 5. ______________ __________ 6. ______________ __________ 7. ______________ __________ 8. ______________ __________
- 39 -
10. 1. B → [C ˅ (D ˄ E)] A 2. B ˄ ¬C A ∴ E 3. ______________ __________ 4. ______________ __________ 5. ______________ __________ 6. ______________ __________ 7. ______________ __________ 8. ______________ __________11. 1. ¬M → O A 2. U → ¬M A 3. S ˄ ¬O A ∴ ¬U˄¬O 4. ______________ __________ 5. ______________ __________ 6. ______________ __________ 7. ______________ __________ 8. ______________ __________12. 1. (A ˅ B) → K A 2. C → (A ˅ B) A 3. D ↔ C A ∴ ¬K→¬D 4. ______________ __________ 5. ______________ __________ 6. ______________ __________ 7. ______________ __________ 8. ______________ __________13. 1. ¬(A ˄ ¬H) A 2. ¬H ˅ ¬E A 3. N ˄ A A ∴ S ˅ ¬E 4. ______________ __________ 5. ______________ __________ 6. ______________ __________ 7. ______________ __________ 8. ______________ __________14. 1. U → C A 2. L ˅ U A 3. (M ˄ H) → ¬L A∴ (M˄H)→C 4. ____________ __________ 5. ____________ __________ 6. ____________ __________ 7. ____________ __________ 8. ____________ __________15. 1. ¬B ˄ ¬U A 2. ¬U → (W ˅ S) A 3. (W → Q)˄(S → A) A ∴ Q ˅ A
- 40 -
4. ______________ __________ 5. ______________ __________ 6. ______________ __________ 7. ______________ __________ 8. ______________ __________ 9. ______________ __________16. 1. (A ˅ B) → K A 2. C → (A ˅ B) A 3. ¬C → ¬D A ∴ D → K 4. ______________ __________ 5. ______________ __________ 6. ______________ __________ 7. ______________ __________ 8. ______________ __________ 9. ______________ __________17. 1. A ↔ (B ˄ C) A 2. ¬(A ˅ ¬C) A ∴ ¬B 3. ______________ __________ 4. ______________ __________ 5. ______________ __________ 6. ______________ __________ 7. ______________ __________ 8. ______________ __________ 9. ______________ __________ 10.______________ __________18. 1. (M ˅ S)→(N ˄ O) A 2. ¬S A 3. O → S A ∴ ¬M 4. ______________ __________ 5. ______________ __________ 6. ______________ __________ 7. ______________ __________ 8. ______________ __________ 9. ______________ __________ 10.______________ __________19. 1. (¬A → D)˄(A → I) A 2. (D → S) ˄ (I → Q) A ∴ Q ˅ S 3. ______________ __________ 4. ______________ __________ 5. ______________ __________ 6. ______________ __________ 7. ______________ __________ 8. ______________ __________ 9. ______________ __________ 10.______________ __________
- 41 -
20. 1. E → (U → D) A 2. E → U A 3. ¬D A∴ ¬(E ˅ D) 4. ______________ __________ 5. ______________ __________ 6. ______________ __________ 7. ______________ __________ 8. ______________ __________ 9. ______________ __________ 10.______________ __________
E3. Doplň tabuľky a použi voľný priestor, tak ako to budeš potrebovať.
(1) 1. ¬A A2. ¬B A3. B V C A4. A V D A ---------- ∴ C ˄ D 5. ______________ ____________6. ______________ ____________7. ______________ ____________8. ______________ ____________ (2) 1. ¬A ˄ ¬B A2. B V C A ---------- ∴ C ˄ ¬A 3. ______________ ____________4. ______________ ____________5. ______________ ____________6. ______________ ____________7. ______________ ____________ (3) 1. A → B A2. ¬P → ¬T A3. B → ¬P A ----------- ∴ A → ¬T 4. ______________ ____________5. ______________ ____________6. ______________ ____________7. ______________ ____________
- 42 -
(4) 1. G V ¬H A2. ¬G A3. I → H A --------- ∴ ¬I 4. ______________ ____________5. ______________ ____________6. ______________ ____________7. ______________ ____________ (5) 1. (A ˄ B) V (Q ˄ R) A2. ¬Q V ¬R A ------------- ∴ B 3. ______________ ____________4. ______________ ____________5. ______________ ____________6. ______________ ____________ (6) 1. C → (A ˄ S) A ------------ ∴ ¬S → ¬C 2. ______________ ____________3. ______________ ____________4. ______________ ____________5. ______________ ____________ (7) 1. M ↔ ¬O A ------------ ∴ ¬M → O 2. ______________ ____________3. ______________ ____________4. ______________ ____________5. ______________ ____________ (8) 1. F → (G V A) A2. ¬G A3. ¬A A ---------- ∴ ¬F 4. ______________ ____________5. ______________ ____________6. ______________ ____________
- 43 -
E4 Doplň tabuľky - dopíš pravidlá, čísla predpokladov a kroky usudzovania.
(1) 1. (¬M ˄ ¬N) → [(¬M v H) → (K ˄ L)] 2. ¬M ˄ (C → D) 3. ¬N ˄ (F ↔ G) K ˄ ¬N 4. ¬M 5. ¬N 6. ¬M ˄ ¬N 7. (¬M v H) → (K ˄ L) 8. ¬M v H 9. K ˄ L 10. K 11. K ˄ ¬N
(2) 1. (P v S) → (E → F ) 2. (P v T ) → (G → H) 3. (P v U) → (E v G) 4. P F v H 5. P v S 6. E → F 7. P v T 8. G → H 9) P v U 10) E v G 11) F v H
E5 Nájdi riešenia nasledujúcich úloh.
(1) 1) ¬(A ˄ B) 2) A 3) ¬B → D ∴ D
(2) 1) K ˅ M 2) ¬M ∴ ¬(¬K ˅ M)
(3) 1) ¬R ˅ ¬S 2) ¬R ˅ S ∴ ¬R
- 44 -
(4) 1) F → (G ˄ A) 2) ¬G ˄ M ∴ ¬F
(5) 1) F → A 2) G ˄ ¬A ∴ ¬F ˅ X
(6) 1) S → ¬M 2) M ˅ T 3) S → ¬T ∴ ¬S
E6 Nájdi riešenia nasledujúcich úloh.
(1) 1) A ˅ W 2) ¬A ˅ ¬W ∴ ¬W ↔ A
(2) 1. S ↔ ¬K 2. K 3. ¬B → S ∴ B ˄ K
(3) 1) (S ˅ ¬S) → ¬B 2) (A ˄ P) → B ∴ ¬A ˅ ¬P
(4) 1 1) U → R A2 2) ¬N → ¬F A3 3) N → J A4 4) ¬U → ¬J A ∴ F → R
(5) 1 1) P → T A2 2) ¬T → ¬Q A3 3) ¬(¬P ˄ ¬Q) A ∴ T
(6) 1 1) ¬Q → E A2 2) ¬A → E A
- 45 -
3 3) ¬E A ∴ (A ˄ Q) ˅ (A ˄ E)
(7) 1 1) A ˅ (B ˄ C) A2 2) A → M A3 3) M → D A ∴ D ˅ B
E7 Najdi dôkazy pre nasledujúce výrazy: (1) A → (B ˅ C), C ↔ B |– A → B (2) ¬(A ˄ B), (A ˅ B) ˄ (A ˅ ¬B) |– A ˄ ¬B (3) A → B, C → D |– (A ˅ C) → (B ˅ D) (4) P → (Q ˄ R), (Q ˅ R) → S, P ˅ S |– S (5) (A ˅ B) → (A → ¬B), (B ˄ ¬C) → (A ˄ B), ¬A → B |– A ˅ C (6) ¬(T ˄ R), (P → Q) ˄ (R → S), T ˄ (P ˅ R), ¬Q ↔ S |– ¬R ˄ ¬S (7) G → F, (D → A) ˄ (E → B), G ˅ (D ˅ E), ¬(F ˅ C), B → C |– A (8) (E ˅ R) ↔ D, (K → L) ˄ (G → H), (¬E ˅ L) → (D ˅ G), ¬(D ˅ L) |– E ˅ H (9) (N ˄ E) ˅ (N ˄ H), (B ˅ P) ↔ ¬(B ˄ K), (E ˅ P) → ¬N, H → B |– ¬K (10) (K ˄ L) → ¬M, S → (M ˄ P), T → (Q ˄ R), L ˄ (S ˅ T), K ↔ L |– Q ˅ ¬L (11) (T K) ˅ (C E), K → ¬E, E → ¬C |– T K
E8a Precvičovanie pravidiel CP a RAA Nájdi riešenia nasledujúcich úloh.
(1) 1. (A ˅ B)→(C ˄ D) ∴ A → D (2) 1. (A ˅ B) → (A ˄ B) ∴ A ↔ B (3) 1. A ˅ (B ˄ C) 2. A → D 3. D → E ∴ ¬E → B (4) 1. C → [A ˅ (B ˄ C)] 2. ¬B ∴ C →(A ˅ D) (5) 1. A → (B ˄ C) 2. (D ˄ C) → (E ˄ F) ∴ (A ˄ D) → E (6)
- 46 -
1. (A ˄ ¬B) → C 2. B → C 3. ¬(¬A ˄ ¬B) ∴ C (7) 1. A → ¬B 2. C → (D → B) ∴ D → (¬A ˅ ¬C) (8) 1. E → (A → B) ∴ E → [(A ˅ B) → B] (9) 1. (A ˄ B) → C 2. (A ˄ ¬B) → E ∴ A → (C ˅ E) (10) 1. (A → B) ˅ (A → C) 2. B → D 3. C → D ∴ A → D
E8b Precvičovanie pravidiel CP a RAA Toto je ťažšia časť než predchádzajúca. Nájdi riešenia nasledujúcich úloh.
(1) 1. (P ˅ Q) → ¬R 2. S → (¬U ˄ ¬W) 3. M → (R ˄ U) ∴ (P ˅ S) → ¬M (2) 1. ¬[A ˄ (B ˅ C)] 2. D → B 3. E → C ∴ ¬[A ˄ (D ˅ E)] (3) 1. (P ˅ Q) → (R ˄ S) 2. (T ˅ U) → (U ˄ W) ∴ (P ˅ T) → (R ˅ W) (4) 1. A ˅ B 2. ¬A ˅ ¬B ∴ ¬(A ↔ B)
- 47 -
(5) 1. (A ˄ B) → C 2. A → B 3. (A ˅ C) ˅ ¬D ∴ D → C (6) 1. (A ˄ B) → (C ˅ D) 2. (¬A ˅ C) → D ∴ B → D (7) 1. (B ˅ C) → ¬A 2. (D ˄ ¬E) → B 3. A → ¬E ∴ A → ¬D A ¬(B ˅ C) ¬B ˄ ¬C ¬B ¬(D ˄ ¬E)
(8) 1. A → [B → (C ˅ D)] 2. (Q ˄ ¬C) → B ∴ ¬C →[A →(Q →D)]
E9. Dokáž pravidlami výrokovej logiky nasledujúce ekvivalencie („A ↔ B“):
A B 1. ¬(D ˄ H) D → ¬H 2. S (A ˅ ¬A) → S 3. M [(M ˅ ¬¬M) ˄ M] ˅ M 4. ¬Q ˄ E ¬Q ˄ (Q ˅ E) 5. A ˅ (B ˄ C) (¬B → A) ˄ (¬C → A) 6. F → ¬(G ˅ H) (F → ¬G) ˄ (F → ¬H) 7. (P ˅ Q) → S (P → S) ˄ (Q → S) 8. ¬(W ˅ K) ¬K ˄ [W → (H ˄ ¬H)]
F. Slovné úlohy Nájdi dôkazy pre nasledujúce úsudky. Nájdi dôkazy pre nasledujúce úsudky. 1) Budúci prezidenti budú protokolárne nosievať červené legíny na veľkú radosť občanov iba
ak bude zmenená a doplnená Ústava. Politické strany sa nikdy nevedia dohodnúť o zmenách a doplnkoch ústavy. Preto budúci prezidenti nebudú protokolárne nosievať červené legíny.
- 48 -
2) Dinosaury neboli studenokrvné alebo neboli zakladateľmi moderného umenia. Dinosaury boli zakladateľmi moderného umenia. Z tohto dôvodu dinosaury neboli studenokrvné.
3) Ak psychoterapeuti rešpektujú právo svojich klientov na dôvernosť, tak neoznámia
zneužívanie detí štátnym úradom; ale ak majú nejaký záujem o blahobyt detí, tak to ohlásia. Psychoterapeuti musia hlásiť alebo nehlásiť orgánom zneužívanie detí. Preto psychoterapeuti nerešpektujú právo klientov na dôvernosť alebo nemajú záujem o blahobyt detí.
4) Ak lekári odpoja z prístrojov smrteľne chorých pacientov, riskujú, že budú obvinení z
vraždy; ale ak ich neodpoja z prístrojov, predlžujú bolesť a utrpenie pacientov. Keďže lekári smrteľne chorých pacientov musia urobiť jedno alebo druhé, riskujú obvineniu z vraždy, alebo predlžujú bolesť a utrpenie svojich pacientov.
5) Ak korporácie majú zostať konkurencieschopné, nesmú míňať peniaze na neutralizáciu
svojho toxického odpadu; ale ak sa má zachovať životné prostredie, korporácie by mali míňať peniaze na neutralizáciu svojho toxického odpadu. Korporácie budú alebo nebudú míňať peniaze na neutralizáciu svojho toxického odpadu. Preto nezostanú konkurencieschopné alebo sa zničí životné prostredie.
6) Ak je slnko premenlivou (variabilnou) hviezdou, potom jej energia v budúcnosti drasticky
klesne. Ak energia slnka v istom momente v budúcnosti drasticky klesne, potom sa Zem stane obrovskou ľadovou guľou. Preto, ak je slnko premenlivou hviezdou, potom sa Zem stane obrovskou ľadovou guľou.
7) Ak vstúpite do učiteľskej profesie, nebudete mať peniaze na dovolenku; a ak nevstúpite do
učiteľskej profesie, nebudete mať čas na dovolenku. Keďže musíte vstúpiť do učiteľskej profesie, alebo nie, z toho vyplýva, že nebudete mať peniaze alebo čas na dovolenku.
8) Ak pracujem, zarobím si peniaze, ale ak leňoším, potom využijem čas pre seba. Pracujem
alebo leňoším. Ak však pracujem, nemám čas pre seba, zatiaľ čo keď leňoším, nič nezarobím. Preto využijem čas pre seba vtedy a len vtedy keď nič nezarobím. (P, Z, L, S)
9) Ak došlo k poklesu cien alebo k nárastu miezd, tak sa zvýšili aj maloobchodné tržby a
reklamné aktivity. Ak sa maloobchodné tržby zvýšili, potom zamestnanci na zmluvu zarábajú viac, ale je pravdou aj to, že zamestnanci na zmluvu skutočne nezarábajú viac peňazí. Preto nedošlo k poklesu cien (C, M, T, R, V)
10) Zníži sa financovanie výskumu jadrovej fúzie alebo ak sa v laboratóriu dosiahnu dostatočne
vysoké teploty, jadrová fúzia sa stane realitou. Dodávka vodíkových pohonných hmôt je obmedzená, alebo ak sa jadrová fúzia stane skutočnosťou, svetové energetické problémy sa vyriešia. Financovanie výskumu jadrovej fúzie sa nezníži. Dodávka vodíkových palív navyše nie je obmedzená. Preto ak sa v laboratóriu dosiahnu dostatočne vysoké teploty, vyriešia sa energetické problémy sveta. (Z, V, R, D, E)
11) Ak sa zavádzajú kvóty na dovoz textilu iba ak sa pracovné miesta udržia, potom sa domáce
textilné odvetvie zmodernizuje, iba ak domáce textilné odvetvie nebude zničené. V prípade zavedenia kvót na dovoz textilu sa zmodernizuje domáci textilný priemysel. Domáci textilný priemysel sa modernizuje, len ak sa pracovné miesta udržia. To znamená, že ak sa kvóty zavádzajú na dovoz textilu, domáce textilné odvetvie nebude zničené. (K, P, M, D)
12) Ak priemerné dieťa sleduje televíziu viac ako päť hodín denne, potom sa zlepší jeho
predstavivosť, alebo sa stane závislým od očakávania neustáleho vzrušenia. Priemerná sila
- 49 -
predstavivosti dieťaťa sa nezlepšuje sledovaním televízie. Tiež, priemerné dieťa sleduje televíziu viac ako päť hodín denne. Preto je priemerné dieťa závislé od očakávania neustáleho vzrušenia. (S, P, V)
13) Ak teroristi zoberú viac rukojemníkov, potom budú teroristické požiadavky splnené vtedy a
len vtedy, ak médiá úplne pokryjú teroristické činy. Médiá dobrovoľne obmedzia tok informácií alebo ak médiá zistia, že ich využívajú teroristi, preto obmedzia tok informácií dobrovoľne. Médiá zistia, že ich teroristi využívajú alebo teroristi unesú viac rukojemníkov. Médiá dobrovoľne neobmedzujú tok informácií. Požiadavky na strane teroristov budú preto splnené iba vtedy keď médiá úplne pokryjú teroristické činy. (R, P, Č, D, Z)
14) Ideme brať recykláciu vážne alebo budeme pochovaní v smetí. Ak spaľujeme náš odpad len
keď je naše zdravie ohrozené, potom recykláciu neberieme vážne. Ak sa vyčerpajú naše skládky smetia, potom keď budeme spaľovať náš odpad, bude sa produkovať toxický popol. Keď sa produkuje toxický popol, naše zdravie je ohrozené. Naše skládky sa stávajú vyčerpanými. Preto budeme pochovaní v smetí. (R, P, S, Z, K, T)
15) Ak existuje desiata planéta, potom je jej obežná dráha kolmá na dráhu ostatných planét.
Desiata planéta je zodpovedná za vymretie dinosaurov alebo jej obežná dráha nie je kolmá na dráhu ostatných planét. Desiata planéty nie je zodpovedná za smrť dinosaurov. Preto neexistuje desiata planéta. (E, K, D)
16) Ak dôjde k zvýšeniu dane alebo ak sa zvýšia výdavky, potom sa zvýši aj dlhový strop. Keď
sa zvyšujú dane, zvyšujú sa aj náklady na výber daní. Ak z nárastu výdavkov vyplýva, že si vláda musí požičať viac peňazí, potom ak sa zvýši dlhový strop, zvýšia sa aj úrokové sadzby. Keď sa nezvýšia dane a náklady na výber daní zostanú rovnaké, potom ak sa zvýši dlhový strop, vláda si bude musieť požičať viac peňazí. Náklady na výber daní sa nezvyšujú. Úrokové sadzby zostávajú rovnaké alebo si vláda nepožičia viac peňazí. To znamená, že dlhový strop nie je zvýšený alebo výdavky zostávajú rovnaké. (D: Dane sa zvyšujú, V: zvýšia sa výdavky, S: Strop dlhu sa zvyšuje, N: Náklady na výber daní sa zvyšujú, P: Vláda si požičia viac peňazí, U: Úrokové sadzby rastú.
17) Ak sú väznice preplnené, potom ťažké prípady nebudú vo výkone trestu. Ak sú väznice
preplnené a ťažké prípady nebudú vo výkone trestu, narastie kriminalita. Ak nebudú vybudované žiadne nové väznice a kriminalita narastá, potom na to doplatia nevinné obete. To znamená, že ak sú väznice preplnené a nebudú vybudované žiadne nové väznice, doplatia na to nevinné obete (P, T, V, K, N).
18) Ak sa Dánsko posunie k ľavici, potom, keď Estónsko naďalej bude bábkou Ruska, Fínsko sa
musí stále viac podriaďovať Rusku. Estónsko bude naďalej bábkou Ruska. Takže ak sa Dánsko posunie k ľavici, potom Fínsko musí čoraz viac podliehať Rusku.
19) Ak hladina mora stúpne o šesť metrov na celom svete, potom budú zaplavená pobrežné mestá
od New Yorku po Sydney. Ak ľadovce na Antarktíde skĺznu do mora, potom hladina mora stúpne o šesť metrov po celom svete. Preto v prípade, že ľadovce na Antarktíde skĺznu do mora, budú zaplavené pobrežné mestá od New Yorku po Sydney.
20)16 Pokiaľ spaľovanie uhlia bude pokračovať aj naďalej, ťažké kovy budú vypúšťané do
atmosféry. V prípade, keď ťažké kovy nie sú uvoľnené do atmosféry, môže dôjsť k poklesu
16 Argument je neplatný. Urob tabuľku hodnôt a ukáž neplatnosť argumentu.
- 50 -
poškodenia nervovej sústavy. Z tohto dôvodu, ak spaľovanie uhlia nebude pokračovať, môže dôjsť k poklesu poškodenia nervovej sústavy.
21)17 Povolí sa klonovanie génov komárov alebo sa komáre stanú odolnými voči všetkým
insekticídom a výskyt encefalitídy sa zvýši. Ak sa gény komára klonujú alebo sa zvyšuje výskyt encefalitídy, potom sa komáre nestanú odolnými voči všetkým insekticídom. Z tohto dôvodu sa povolí klonovanie génov komárov alebo sa komáre budú množiť nekontrolovane. (G, O, E, M)
22) Ak pracovníci majú základné právo na prácu, potom by nezamestnanosť prakticky nemala
existovať, ale problémom sa stane nadbytočná práca. Ak pracovníci nemajú základné právo na prácu, potom efektivita výroby bude maximalizovaná, ale bezpečnosť práce bude ohrozená. Pracovníci buď majú alebo nemajú základné právo na prácu. Preto nezamestnanosť prakticky nebude existovať alebo efektivita výroby bude maximalizovaná. (Z, N, P, E, B)
23) Ak Japonsko zníži svoj obrovský obchodný prebytok, potom musí presvedčiť svojich
občanov, aby viac míňali alebo musí presunúť svoje výrobné závody do iných krajín. Nie je pravda, že Japonsko bude zvyšovať svoj dovoz alebo presviedčať svojich občanov, aby viac utrácali. Okrem toho nie je pravda ani to, že Japonsko bude povoľovať zahraničným stavebným firmám súťažiť na úrovni rovnakej s domácimi firmami alebo presúvať svoje výrobné závody do iných krajín. Preto Japonsko nezníži svoj obrovský obchodný prebytok. (Z, P, K, D, F)
24) Ak populácia morských korytnačiek stále klesá alebo sa začína úsilie zachrániť morské
korytnačky pred vyhynutím, potom treba vytvárať útočiská na hniezdenie a zastaviť lov týchto zvierat. Ak sa vytvárajú útočiská na hniezdenie alebo pytliaci bývajú zatýkaní, potom ak lov týchto zvierat bude zastavený, populácia morských korytnačiek nebude aj naďalej klesať. Preto by populácia morských korytnačiek naďalej nemala klesať. (K, Z, U, L, P)
25) Ak pôjde na opekačku, potom si oblečie niečo športové. Ak si oblečie niečo športové, potom
sa nezúčastní na bankete a tanci. Ak nepôjde na banket, ešte by mu odtiaľ zostala vstupenka. Ale niekde tú vstupenku stratil. Vieme, že sa zúčastnil na tanci. To znamená, že nešiel na opekačku.
26) Ak vyšetrovanie pokračuje, objavia sa nové dôkazy. Ak sa objavia nové dôkazy, dotkne sa
to niekoľkých verejných činiteľov. Ak sú zapojení viacerí verejní činitelia, noviny prestanú zverejňovať prípad. Ak pokračovanie vyšetrovania vedie k tomu, že noviny prestanú zverejňovať prípad, potom aj objavenie nových dôkazov naznačuje, že vyšetrovanie pokračuje. Vyšetrovanie nepokračuje. To znamená, že sa nové dôkazy neobjavili. (C: Vyšetrovanie pokračuje, N: Nové dôkazy sa objavia, I: Niekoľko verejných činiteľov je zapletených, S: Noviny prestávajú zverejňovať prípad.)
27) Ak kráľ neurobil rošádu a pešiak postupuje, potom je strelec zablokovaný alebo je veža
ohrozená. Ak kráľ neurobil rošádu, potom ak je strelec zablokovaný, hra vedie k remíze. Kráľ urobí rošádu, alebo ak je veža ohrozená, výmena je zbytočná. Kráľ neurobil rošádu a pešiak postupuje. Preto hra vedie k remíze alebo je výmena zbytočná. (K: rošáda, P: pešiak postupuje, B: strelec je zablokovaný, R: veža je ohrozená, D: hra vedie k remíze, E: výmena je zbytočná)
17 Urob tabuľku hodnôt a ukáž neplatnosť argumentu.
- 51 -
28) Ak sa Fero prihlasuje alebo sa Lukáš prihlasuje, Dada sa neprihlási. Dada sa prihlási alebo
sa Lukáš prihlási. Ak sa prihlási Lukáš alebo sa Fero neprihlási, Juro sa prihlási. Fero sa prihlasuje. To znamená, že sa Juro a Lukáš prihlásia. (F: Fero sa prihlasuje, L: Lukáš sa prihlasuje, D: Dada sa prihlasuje, J: Juro sa prihlasuje)
29) Ak bol Fero nedávno očkovaný, určite má horúčku. Fero bol nedávno očkovaný alebo ak sa
začínajú objavovať kiahne, musí byť v karanténe. Fero má osýpky alebo ak sa vyvíjajú vyrážky, nastúpili komplikácie. Ak má Fero osýpky, má aj horúčku. Ak Fero nebol nedávno očkovaný a nemá osýpky, potom sa objavujú vyrážky alebo sa začínajú objavovať kiahne. Fero nemá horúčku. To znamená, že existujú komplikácie alebo že Fero musí byť zaradený do karantény. (O: Fero bol nedávno očkovaný, H: Fero má horúčku, K: začínajú sa objavovať kiahne, Z: Fero musí byť zaradený do karantény, S: Fero má osýpky, V: vyvíjajú sa vyrážky, E: nastúpili komplikácie)
30) Ak je rýchlosť, ktorou sa rubídium stane stronciom alebo rýchlosť, ktorou sa draslík stane
argónom, presný ukazovateľ veku, potom sú skaly v Grónsku staré 3,8 miliardy rokov alebo sú kamene z mesiaca staré 4,6 miliardy rokov. Rýchlosť, ktorou sa rubídium stáva stronciom a rýchlosť, ktorou sa urán stáva olovom, sú presné ukazovatele veku. Ak sú kamene z Grónska staré 3,8 miliardy rokov, potom Zem vznikla pred viac než 3,8 miliardami rokov; tiež, ak sú skaly z mesiaca staré 4,6 miliardy rokov, potom Zem vznikla pred 4,6 miliardami rokov. Ak Zem vznikla pred viac ako 3,8 miliardami rokov alebo pred 4,6 miliardami rokov, potom kreacionisti nemajú pravdu. Preto kreacionisti nemajú pravdu. (S, A, G, M, U, Z, V, K)
31) Zvieratá sú len stroje alebo aj cítia bolesť. Ak zvieratá cítia bolesť alebo majú dušu, potom
majú právo nebyť vystavené týraniu a ľudia majú povinnosť nespôsobovať im zbytočnú bolesť. Zvieratá nie sú stroje. Preto zvieratá majú právo nebyť vystavené týraniu. (S, B, D, P, L)
32) Ak dodávka striebra (S) zostane na aktuálnej úrovní a spotreba striebra stúpne (U), potom
stúpne aj cena striebra (P). Ak rast v spotrebe striebra prináša zo sebou rast v cene striebra, to môže priniesť určité neočakávané zisky špekulantom na burze (W). Dodávka striebra zostáva stále rovnaká. To znamená určité neočakávané zisky špekulantov na burze.
33) Ak priláka hlasy farmárov (F), tým preberie aj voličov z vidieka (R) a ak priláka hlasy
robotníkov (L), potom sa mu podarí prebrať hlasy z mestských častí (U). Ak dostane aj mestské aj vidiecke časti, potom si môže byť istý, že bude zvolený (C). Nie je si istý, že bude zvolený. To znamená, že neprilákal farmárske hlasy alebo robotníckych voličov.
34) Ak použije dobrú návnadu (G), potom ak ryba zaberá (F), môže chytiť zákonom povolené
maximum(C). Použil dobrú návnadu, ale nechytil zákonné maximum. To znamená, že ryba nezaberala.
35) Ak sa Argentína alebo Brazília pripojí k aliancii, potom ju aj Chile aj Ekvádor budú
bojkotovať. To znamená, že ak sa Argentína pripojí k aliancii, potom ju Chile bude bojkotovať.
36) Ak sa Argentína pripojí k aliancii, potom ju aj Brazília aj Chile budú bojkotovať. Ak Brazília
alebo Chile budú bojkotovať alianciu, potom aliancia bude neúčinná. To znamená, že ak sa Argentína pripojí k aliancii, potom táto bude neúčinná.
- 52 -
37) Ak sa Argentína alebo Brazília pripoja k aliancii, potom, ak ju aj Chile alebo Ekvádor bojkotujú, tak vtedy i keď ju Peru nebude bojkotovať, Venezuela ju bude bojkotovať. Ak ju Peru alebo Nikaragua nebudú bojkotovať, potom sa Uruguaj pripojí k aliancii. To znamená že ak Argentína sa pripojí k aliancii, potom ak ju Chile bojkotuje, Uruguaj sa pripojí k aliancii.
38) Ak sa Argentína pripojí k aliancii, potom ju Brazília alebo Chile budú bojkotovať. Ak sa
Ekvádor pripojí k aliancii, potom ju Chile alebo Peru budú bojkotovať. Chile nebude bojkotovať alianciu. To znamená že, ak ani Brazília ani Peru nebudú bojkotovať alianciu potom sa ani Argentína ani Ekvádor nepripoja k aliancii.
39) Ak vôbec prejde prvým kolom vnútrostraníckych volieb (P), zvíťazí v okresných voľbách
(N), len ak vyvinie silnú kampaň (C). Ak zvíťazí v okresných voľbách (N) a dostane podporu aj na zasadnutí strany (R), bude zvolený ako kandidát strany v parlamentných voľbách (E). Ale ak bude brať príliš vážne program strany (T), aj keby dostal podporu na zasadnutí strany, nebude zvolený ako jej kandidát. To znamená, že ak prejde prvým kolom volieb, potom, ak vyvinie silnú kampaň, nemal by brať program strany príliš vážne.
40) Ak sa zúčastní na kurze (C) a poctivo študuje (H), potom úspešne prejde cez skúšky (P). Ale
ak sa zúčastní na kurze a neštuduje dostatočne poctivo, potom cez skúšky úspešne neprejde. To znamená, že ak sa zúčastní na kurze, potom bude poctivo študovať a prejde úspešne cez skúšky, alebo nebude študovať dostatočne poctivo a neprejde cez skúšky.
41) Ak poprava teroristických vodcov porušuje civilizačné hodnoty a nie je z dlhodobého
hľadiska efektívna, potom v prípade keď predchádza /bráni pred/ teroristickým útokom, je účinná v dlhodobom horizonte. Ak poprava teroristických vodcov porušuje civilizačné hodnoty, potom nie je v dlhodobom horizonte účinná. Poprava teroristických vodcov porušuje civilizované hodnoty a tiež je nezákonná. Ak poprava teroristických vodcov nie je z dlhodobého hľadiska účinná, potom predchádza teroristickým útokom alebo ospravedlňuje teroristické pomsty. Preto poprava teroristických lídrov ospravedlňuje teroristické pomsty a nie je z dlhodobého hľadiska účinná. (P, E, B, N, O)
42) Ak astronauti podniknú medziplanetárny vesmírny let, potom bude treba zdokonaliť
ochranný štít lode proti solárnej radiácii. Ak so sebou vezú veľké množstvo paliva alebo vody, potom vesmírna loď musí byť značne väčšia. To znamená, že ak je potrebný ochranný štít lode na ochranu astronautov proti solárnej radiácii vtedy a len vtedy keď so sebou vezú veľké množstvo paliva, potom, ak astronauti podniknú medziplanetárny vesmírny let, potom vesmírna loď musí byť značne väčšia (A, S, P, V, Z).
43) Milan sedí na stretnutí s kamošmi v krčme alebo Milan vôbec nebol pozvaný na stretnutie.
Keby partia chcela Milana na stretnutí, potom by bol aj pozvaný. Nezúčastnil sa na stretnutí. Keby partia nechcela prítomnosť Milana na stretnutí aj keby nebol pozvaný na stretnutie, potom je na dobrej ceste k tomu, že všetci naňho budú aj tak čoskoro kašľať. Zdá sa, že je Milan na dobrej ceste k tomu, že všetci naňho začínajú kašľať. S, P, C, K
44) Kúpi si kotol na pálenie sliviek (R) alebo si kúpi nové zubné implantáty (I). Ak si kúpi kotol
na pálenie sliviek, potom bude musieť investovať značné peniaze do garáže (G). Ak investuje značné peniaze do garáže, tak dlhšiu dobu sa nezbaví dlhov (D). Ak si kúpi nové zubné implantáty, potom musí zobrať aj pôžičku z banky (B) a ak musí zobrať pôžičku z banky, potom sa tiež ťažko zbaví dlhov. Rýchlo sa zbaví dlhov alebo sa jeho investície skončia finančnou katastrofou (T). To znamená, že sa asi jeho investície skončia katastrofálne.
- 53 -
45) Starovekí Etruskovia boli skúsení plánovači miest a vytvorili umenie písania alebo boli šikovní remeselníci a vytvorili umenie písania. Ak starovekí Etruskovia boli krvilační primitívi (ako sa niektorí učenci domnievajú), potom neboli tí ktorí vytvorili umenie písania. To znamená, že starovekí Etruskovia neboli krvilační primitívi (M, P, R, K).
G. Hlavolamy Lewisa Carolla Tieto hlavolamy môžeme riešiť predikátovou logikou ale tým, že sú všetky premisy univerzálne, vieme ich interpretovať aj výrokovou logikou. i. 1. Marťania nemajú nič proti bravčovému mäsu. 2. Nikto kto sa s obdivom pozerá na chlievy, nečíta Dylanove básne. 3. Žiadni18 mandarín nevie hovoriť po keltsky. 4. Ten kto nemá nič proti bravčovému mäsu, s obdivom sa pozerá na chlievy. 5. Niet takého obyvateľa zeme, ktorý nevie po keltsky. Žiadny mandarín nečíta Dylanove básne. Interpretačná schéma. A - s obdivom pozerá na chlievy; B- obyvateľ zeme; C- vie po keltsky; D- mandarín; E- majú niečo proti bravčovému mäsu; H- číta Dylanove básne. Dodatočné otázky: 1. Či je mandarín obyvateľ zeme? 2. Či sa niekto kto vie po keltsky, s obdivom pozerá na chlievy? 3. Či tí, ktorí vedia po keltsky, sú čitatelia Dylanovych básní? 4. Či sa mandaríni s obdivom pozerajú na chlievy? 5. Či Marťania čítajú Dylanove básne?
... ii. Dokáž, že záver vyplýva z nasledujúcich predpokladov – Lewis Carollov hlavolam znie: Nenávidím to čo sa dá použiť ako most. Všetko čo by si zaslúžilo ódu, by som nerád prijal do daru. Dúha by nezvládla váhu môjho záhradného fúrika. Všetko čo sa dá použiť ako most, znesie váhu môjho záhradného fúrika. Keď niečo nechcem prijať do daru, nenávidím to. ∴ Dúha si nezaslúži ódu. Použi nasledujúce premenné: A: to čo zvládne váhu môjho záhradného fúrika; B: to čo by som prijal do daru; C: to čo nenávidím; D: to čo je dúha; E: to čo sa dá použiť ako most; H: to čo by si zaslúžilo ódu. Otázky:
Či by som prijal dúhu do daru? Či to čo zvládne váhu môjho záhradného fúrika, si zaslúži ódu? Či by som rad dostal do daru to čo sa nedá použiť ako most? Či mám rád dúhu?
iii.
18 Pri preklade dávajte pozor na to, čo v slovenčine znamená „žiadny“!
- 54 -
Dokáž, že záver vyplýva z nasledujúcich predpokladov – Lewis Carollov hlavolam znie: Každá vec, ktorá nie je absolútne škaredá, môže zostať v obývačke. Žiadna vec, ktorá je obalená soľou, nikdy nie je úplné suchá. Vlhké veci netreba držať v obývačke. Kabínky na prezliekanie sa vždy nachádzajú vedľa mora. Žiadna vec, ktorá je zostavená z perál, nemôže byt absolútne škaredá. Všetko čo sa ocitne vedľa mora, je obalené soľou. Kabínky na prezliekanie nikdy nie sú urobené z perál. Použi nasledujúce premenné: A: absolútne škaredá vec; B: kabínky na prezliekanie; C: niečo obalené soľou; D: čo je vedľa mora; E: urobené z perál; H: niečo úplne suché; K: veci ktoré môžu zostať v obývačke. Otázky: a) Či sú kabínky na prezliekanie škaredé? b) Či absolútne škaredá vec môže byť suchá? c) Či kabínky na prezliekanie môžu zostať v obývačke? iv. Spisovatelia, ktorí sa vyznajú v ľudskej povahe, sú múdri. Kto nemôže zapôsobiť na čitateľa, nie je skutočný básnik. Shakespeare napísal Hamleta. Spisovateľ, ktorý nepozná ľudskú povahu, nemôže zapôsobiť na čitateľa. Hamleta mohol napísať len skutočný básnik. ∴ Shakespeare bol múdry. A: zapôsobiť na čitateľa, B: byť múdry, C: Shakespeare, D: skutočný básnik, E: spisovateľ, ktorý pozná ľudskú povahu, H: napísal Hamleta v. Bábätká sú nelogické. Nie je hodný zosmiešnenia, kto vie zaobchádzať s krokodílmi. Nelogické osoby sú hodné zosmiešnenia. ∴ Takže, bábätka nevedia zaobchádzať s krokodílmi.
H. Interpretácia textov Toto sú výroky prebrate z interneta a zákonov, takže, z každodeného života. Niektoré, ako to v živote byva, nie sú moc šťastné sformulované. Treba urobyť preklad textov do výrazov výrokovej logiky a tam, kde to nie je uplne jasné, pokusiť sa dať alternatívny zápis a slovámi interpretovať jeho význam alebo skúste vetu sformulovat jasnejšie. 1. Čím skôr si vášho strateného psíka z útulku prevezmete, tým budú náklady nižšie. (Sme) 2. Nehľadajte šťastie a potešenie vo veciach, ale v láske a dôvere vo vesmír. (Sme) 3. Existujú tuláci (tulák sa líši od bezdomovca tým, že tulák chce byť tulák, zatiaľ čo
bezdomovec nechce byť bezdomovec), ktorí sa živia žobraním alebo drobnými službami, vyžijú z pár centov a považujú to za celkom príjemný spôsob života. (Sme)
4. Ak počas vychádzky v intraviláne obce, mesta púšťate psa „na voľno“, teda bez vôdzky, uistite sa vopred, že sa nenachádzate v lokalite, v ktorej je voľný pohyb zakázaný. (Sme)
5. Za každý pohyb vášho psa na verejnom priestranstve bez evidenčnej známky vám môže polícia uložiť blokovú pokutu do výšky 33 €, ak odmietnete zaplatiť blokovú pokutu, tak v nasledujúcom správnom konaní obce sa môže pokuta vyšplhať až do výšky 65 €, ba v
- 55 -
prípade, ak psa zaevidovaného nemáte vôbec a pritom ho držíte už dlhšie ako 3 mesiace, zaplatíte ešte viac: až 165 €. (Sme)
6. V prípade opakovaných útekov psov z dvorov alebo objektov možno problém riešiť len kvalitnejšou konštrukciou plota, opravou dier v oplotení, dôslednejšou kontrolou psa, zatváraním brán a pod. Nemožno situáciu riešiť nedovoleným definitívnym uviazaním psa na reťaz alebo ho trvalo držať v koterci. (Sme)
7. Ak sa vám však stane, že váš pes pohrýzol človeka, vznikne tým celý rad vážnych povinností. V prvom rade musíte pohryznutej osobe oznámiť základné údaje: meno, priezvisko a adresu držiteľa psa. Ak tak neurobíte, pokuta môže dosiahnuť až výšku 165€. Vzápätí musíte dať bezodkladne vyšetriť psa vo veterinárnej ambulancii a potvrdenie o jeho zdravotnom stave poskytnúť pohryznutej osobe. (Sme)
8. Argumenty, že mestá neposkytujú chovateľom vrecká na zber exkrementov, sú v skutočnosti najčastejšie výhovorkami – v každej domácnosti sa dnes nachádzajú desiatky či stovky odkladaných a nevyužitých igelitových vreciek, ktoré sme si priniesli z nákupov potravín, ktoré poskytujú chovateľom vrecká. (Sme)
9. Nezabúdajte na denné vychádzky aj v prípade, že držíte psa vo veľkom dvore – jeho vrodený program obsahuje požiadavky na náročnejší a aktívnejší pohyb a vo väčšom teréne – ak vychádzky odmietate, je možné, že psík sa začne o ne pokúšať aj sám, čo môže spustiť sériu útekov cez dovtedy zdanlivo dostatočné oplotenie. (Sme)
10. Ak vám niečo chýba, vtedy nie je dobrý nápad donútiť sa ku skromnosti vo vedomí, že sa treba zmieriť s tým, že si to nikdy nebudete môcť dovoliť. To nevedie ani k vášmu šťastiu, ani k vášmu rozvoju. Ak by ste sa mali do skromnosti nútiť, potom je oveľa zdravšie začať aktívne pracovať na splnení svojich túžob. Pravda, ak dokážete prijať skromnosť spokojne a s ľahkým srdcom, potom budete mať o dosť jednoduchší život. (Sme)
11. Pri kupovaní napr. auta si pozorne všímajte predávajúceho. Z jeho postojov a správania sa dá dobre určiť či vás náhodou nechce dobehnúť. Ak sa ho pýtate na stav vozidla a on vám odpovedá a pritom si škriabe ucho alebo nos, či trie oko, rátajte s tým, že niečo nie je v poriadku a predajca môže aj klamať. Tento signál trenia je spojený s podvedomým váhaním a nespoľahlivosťou.
12. Najčastejšie gestá s rukami: Keď náhle zistíme, že máme nejaký problém alebo sa nám niečo nevydarí a má to nejaký záporný dopad, tak časté gesto v takejto situácii je prekríženie rúk nad hlavou...
13. Ak ste boli za určitý skutok slovenskými orgánmi v minulosti právoplatne odsúdený alebo oslobodený, resp. trestné stíhanie bolo voči vám skončené iným konečným rozhodnutím, nesmiete byť opätovne trestne stíhaný za ten istý skutok. To neplatí, ak bolo takéto právoplatné, konečné rozhodnutie zrušené napr. obnovením konania.
14. Ak si v prípade povinnej obhajoby obhajcu nezvolíte, bude vám ustanovený súdom. Právo zvoliť si obhajcu máte aj vtedy, ak voči vám ešte nebolo vznesené obvinenie, ale polícia vás chce vypočuť ako podozrivého zo spáchania trestného činu alebo ak ste boli napr. zadržaný pri páchaní trestného činu.
15. Ak je potrebné zistiť, či sú na vašom tele stopy (napr. stopy krvi) alebo následky trestného činu (napr. pomliaždeniny), musíte sa podrobiť prehliadke tela, ktorú vykonáva lekár alebo osoba toho istého pohlavia. Treba rozlišovať od osobnej prehliadky. Ak je to potrebné na získanie dôkazu, možno vám odobrať krv alebo iný biologický materiál (napr. sliny, vlasy atď.) alebo daktyloskopické odtlačky, ak tým nie je ohrozené vaše zdravie.
16. Ak nerozumiete slovenskému jazyku, máte právo používať pred orgánmi váš materinský jazyk a právo na bezplatnú pomoc tlmočníka, ktorého zaobstará polícia, prípadne súd. Taktiež máte právo, aby ste boli o všetkých skutočnostiach, ktoré sa vám kladú za vinu, oboznámený vo vašom jazyku. Máte právo na preklad písomností, ktoré sa nachádzajú vo vyšetrovacom spise, ak je to nevyhnutné na zaručenie spravodlivého procesu.
17. Ak bolo proti vám už vznesené obvinenie, osobnú slobodu vám môže obmedziť policajt alebo prokurátor len vtedy, ak existujú dôvody väzby a nie je možné vopred získať
- 56 -
rozhodnutie o väzbe. Napr. ak ste boli zastihnutý na úteku alebo z vašej výpovede policajt zistí niektorý z dôvodov väzby a pod.
18. Pokiaľ ju nemáte, potrebujete skutočne obrovské investície, aby ste sa vyšvihli hore. Inak máte smolu. Alebo existuje jedna skratka – môžete si požičať značku, ktorá už vo svete niečo znamená a pôsobí doslova ako magnet na ľudí. Pokiaľ by ste sa spýtali, akú značku bolo na veľtrhu IFA vidieť najčastejšie, tak odpoveď je jednoznačná: Star Wars.
19. Emisnú kontrolu na technologickom vybavení pracoviska emisnej kontroly možno vykonať, len ak sú splnene požiadavky na prevádzku všetkých súčastí technologického vybavenia určené výrobcom, najmä teplota a vlhkosť. Ak sa má emisná kontrola vykonať na mobilnom pracovisku emisnej kontroly, pri náhlej zmene počasia, najmä v dôsledku dažďa, sneženia alebo mrazu, ktorá by mohla ovplyvniť bezpečnosť vykonávania emisnej kontroly alebo výsledky meraní, sa emisná kontrola nevykoná.
20. Ak právnická osoba alebo fyzická osoba – podnikateľ za predchádzajúce účtovné obdobie nemala žiadny obrat alebo jej obrat nemožno vypočítať ani na základe informácií, ktoré predložila úradu podľa § 40 ods. 3 písm. i), úrad uloží pokutu podľa odsekov 1 a 2 a odseku 3 písm. a) najviac do výšky 300 000 eur.
21. Niektorí vyšetrovateľa tvrdia, že dlhé a detailné odpovede na inak jednoduché otázky môžu tiež naznačovať klamstvo. Je to tým, že čím väčší dôraz človek kladie na odpoveď, tým viac sa snaží presvedčiť pýtajúceho sa, že je čestný. Ak je potom konfrontovaný alebo z niečoho obvinený, klamár poprie z čoho ho obviňujú chladne a bez emócií namiesto toho, aby ostal rozrušený a prekvapene sa opýtal: "Čooo? Myslíte si, že som to urobil?"
22. Ak sú v zastupiteľstve vyššieho územného celku zástupcovia politických strán a politických hnutí alebo nezávislí poslanci, komisia je zložená z jedného zástupcu každej politickej strany alebo politického hnutia a jedného zástupcu nezávislých poslancov. Komisia musí mať aspoň troch členov; ak sa tento počet nedosiahne tým spôsobom, doplní sa počet členov komisie o zástupcu politickej strany alebo politického hnutia s najvyšším počtom poslancov.
23. Finančná pomoc poskytnutá právnickej osobe alebo fyzickej osobe – podnikateľovi je na účely tohto zákona každá peňažná pomoc poskytnutá z verejných zdrojov týkajúca sa činnosti vykonávanej právnickou osobou alebo fyzickou osobou – podnikateľom, ktorá sa prejaví v cene jeho tovaru alebo služby.
24. Úrad rieši iné spory ako spory podľa § 75, ktoré vznikli v oblasti upravenej týmto zákonom, ak účastník, ktorý nie je spotrebiteľom podľa osobitného predpisu, nesúhlasí s výsledkom reklamácie alebo so spôsobom jej vybavenia, a to na základe ním podaného návrhu na mimosúdne riešenie sporu (ďalej len „návrh“) s podnikom poskytujúcim siete alebo služby.
25. Ak potrebujete využiť texty tu zverejnených znení predpisov, môžete tak urobiť úplne slobodne - pokiaľ pri každom použití uvediete zdroj www.zakonypreludi.sk. Ak tak neurobíte, vystavujete sa riziku následkov odhalenia, pretože tu zverejnené texty obsahujú sofistikované kontrolné znaky, ktoré vieme pomerne ľahko odhaliť. Ak potrebujete konsolidované znenia tu nezverejnených predpisov alebo máte akúkoľvek inú súvisiacu požiadavku, neváhajte nás kontaktovať emailom uvedeným na stránke „Kontakty“ alebo prostredníctvom kontaktného formulára na stránke „Napíšte nám.“
26. Polícia často žiada podozrivého, aby niekoho detailne opísal. Ak sa podozrivý pozrie doprava (z nášho pohľadu doľava), všeobecne si vytvára, alebo vymýšľa vizuálny opis. Ak pozrie doľava (z nášho pohľadu doprava), všeobecne si spomína na detaily podľa jeho vizuálnej pamäte. Takže všeobecne, pohľad doľava pri pohľade do očí nášho náprotivku indikuje, že si niečo vytvára alebo klame, zatiaľ čo pohľad doprava naznačuje, že si na niečo spomína, na nejakú skutočnú udalosť alebo že hovorí pravdu.
27. V prípade, že sa vám stratil pes počas vychádzky alebo zistíte, že ušiel z miesta držania, dvora, objektu, nečakajte, že sa vám sám vráti, ale po zistení straty okamžite o tom upovedomte mestskú alebo obecnú políciu – číslo 159 (hovor zadarmo) alebo priamo najbližší útulok pre zvieratá, ktorý sústreďuje hlásenia o stratených a nájdených psoch. V prípade, že stratu nenahlásite a rozhodnete sa pasívne čakať na návrat psa, pričom ho však
- 57 -
polícia alebo poverená služba odchytí a prevezie do útulku, budete pravdepodobne musieť po jeho prevzatí uhradiť zriaďovateľovi útulku všetky náklady, ktoré vznikli výjazdom, odchytom a následnou starostlivosťou o vášho psa.
28. Ak je váš milovaný kúsok zo semišu a vy nemáte po ruke dáždnik, radšej si kabelku skryte pod kabát. Ak to neurobyte, dážď dokáže s kvalitným semišom narobiť neplechu, najmä ak ste si kožu predtým nenaimpregnovali alebo inak neočistili.
29. Ak v práci naozaj idete na 100 percent a napriek tomu ju za 8 hodín nestihnete, niekde je chyba. Sledujte kolegov, ktorí robia to isté, čo vy… Stíhajú alebo sedia v práci dlhšie? Ak však sedíte v práci dlho všetci, je na mieste zájsť za nadriadeným a jasne mu povedať dôvody, prečo zadanú prácu za 8 hodín nestihnete.
30. Pokiaľ chcete schudnúť, musíte prijať menej kalórií ako vydáte. Ak, naopak, potrebujete trošku zaguľatiť, príjem má prevyšovať výdaj. Ak teda už praktizujete trikrát do týždňa spinningové lekcie, pridajte ešte 30-minútovú chôdzu dvakrát do týždňa. Pokiaľ je váš život už dostatočne aktívny, môžete urobiť zmenu v pridaní jogovej lekcie, silového cvičenia alebo turistiky do vášho životného štýlu.
- 58 -
②. Úlohy z predikátovej logiky
i. Slovne úlohy Urob preklad nasledujúcich viet do výrazov predikátovej logiky. 1. Hady sú plazy. (Sx: x je had, Rx: x je plaz.) 2. Hady nie sú všetky jedovaté. (Hx: je had; Px: x je jedovatý.) 3. Deti sú prítomné. (Cx: x je dieťa; Px: x je prítomné.) 4. Vedúci pracovníci majú všetci sekretárky. (Vx: x je vedúci pracovník; Sx: x má sekretárku.) 5. Iba vedúci pracovníci majú sekretárky. (Vx: x je vedúci pracovník; Sx: x má sekretárku.) 6. Iba vlastníci nehnuteľností môžu voliť v mimoriadnych komunálnych voľbách. (Px: x je
vlastník nehnuteľnosti. Vx: x môže voliť v mimoriadnych komunálnych voľbách.) 7. Zamestnanci môžu používať len služobný výťah. (Vx: x je výťah, ktorý zamestnanci môžu
používať. Sx: x je služobný výťah.) 8. Len zamestnanci môžu používať služobný výťah. (Napr .: Zx je zamestnanec. Vx: x môže
používať služobný výťah.) 9. Všetko, čo sa leskne, nie je zlato. (Lx: x sa leskne, Zx: x je zlato.) 10. Nikto okrem statočných si nezaslúži úctu. (Sx: x je statočný. Dx: x si zaslúži úctu.) 11. Nie každý návštevník zostal na večeru. (Vx: x je návštevník. Nx: x zostal na večeru.) 12. Žiadny návštevník nezostal na večeru. (Nx: x je návštevník, Vx: x zostal na večeru.) 13. Nič v dome neuniklo zničeniu. (Dx: x byť v dome; Ux: x uniklo zničeniu.) 14. Niektorí študenti sú inteligentní a tvrdo pracujúci. (Sx: x je študent, Ix: x je inteligentný, Px:
x je tvrdo pracujúci.) 15. Žiadna bunda nie je vodovzdorná, pokiaľ nie je špeciálne ošetrená. (Bx: x je bunda. Vx: x je
vodovzdorné, Ox: x bolo špeciálne ošetrené.) 16. Niektoré lieky sú nebezpečné iba vtedy, ak sa užívajú v nadmernom množstve. (Lx: x je liek
Nx: x je nebezpečný; Mx: x sa užíva v nadmernom množstve.) 17. Každé ovocie a zelenina je zdravé a výživné. (Ox: x je ovocie Zx: x je zelenina Dx: x je zdravé
Vx: x je výživné.) 18. Čokoľvek vyvoláva pôžitok je nemorálne, nezákonné alebo nezdravé. (Napríklad Px: x je
príjemné, Mx: x je morálne, Lx: x je legálne, Nx: x je nezdravé.) 19. Učiteľ je dobrý prednášajúci vtedy a len vtedy ak je dobre informovaný a zároveň zaujímavý.
(Ux: x je učiteľ, Dx: x je dobrý prednášajúci, Ix: x je dobre informovaný, Zx: x je zaujímavý.) 20. Iba policajti a hasiči sú nenahraditeľní (nepostrádateľní) a zároveň sú nedostatočne platení.
(Px: x je policajt. Hx: x je hasič. Nx: x je nepostrádateľný. Px: x je nedostatočne platený.) 21. Nie každý herec je talentovaný, len preto, že je aj známy. (Hx: x je herec. Tx: x je talentovaný.
Zx: x je známy.) 22. Akékoľvek dievča je zdravé, ak dodržuje správnu výživu a pravidelne cvičí. (Dx: x je dievča.
Zx: x je zdravé, Vx: x dodržuje správnu výživu, Cx: x pravidelne cvičí.) 23. Nie je pravda, že každé hodinky budú ukazovať správny čas, vtedy a len vtedy keď sú
pravidelne naťahované a nie je s nimi zle narábané. (Hx: x je hodinky, Sx: x ukazuje správny čas, Px: x je pravidelne naťahované, Zx: s x je zle narábané.)
24. Nie každý, kto hovorí veľa, má aj čo povedať. (Ox: x je osoba Hx: x hovorí veľa Px: x má čo povedať.)
25. Žiadny automobil starší ako 10 rokov nebude opravený, ak je vážne poškodený. (Ax: x je automobil) Rx: x je staršie ako desať rokov. Ox: x bude opravený Px: x je vážne poškodený.)
Urob preklad nasledujúcich viet do vyrazov predikátovej logiky. Pri symbolizovaní nasledujúcich viet použite tieto skratky: Kx: x je kôň. Rx: x je krotké.
- 59 -
Vx: x je dobre vycvičené. 26. Niektoré kone sú krotké a dobre vycvičené. 27. Niektoré kone sú krotké, iba ak sú dobre vycvičené. 28. Niektoré kone sú krotké, ak sú dobre vycvičené. 29. Každý kôň je krotký, keď je dobre vycvičený. 30. Akýkoľvek kôň, ktorý je krotký, bol dobre vycvičený. 31. Žiadny kôň nie je krotký, okrem ak nie je dobre vycvičený. 32. Akýkoľvek kôň je krotký, ak bol dobre vycvičený. 33. Každý kôň bol dobre vycvičený, ak bol krotký. 34. Každý kôň je krotký, vtedy a len vtedy keď je dobre vycvičený. 35. Krotké kone boli všetky dobre vycvičené. 36. Len dobre vycvičené kone sú krotké. 37. Len krotké kone boli dobre vycvičené. 38. Jedine kone sú krotké ak sú dobre vycvičené 39. Niektoré kone sú krotké aj napriek tomu, že nie sú dobre vycvičené. 40. Ak je niečo dobre vycvičený kôň, potom to musí byť krotké. 41. Niektoré kone, ktoré sú dobre vycvičené, nie sú krotké. 42. Niektoré kone nie sú ani krotké ani vycvičené. 43. Žiadnym koňom, ktoré sú dobre vycvičené, nechýba krotkosť. 44. Kôň je krotký len ak je dobre vycvičený. 45. Ak niečo vôbec je krotkým koňom, tak to muselo byť dobre vycvičené. 46. Ak je akýkoľvek kôň dobre vycvičený, potom je aj krotký. Podaj riešenie pre nasledujúce úsudky. 47 Sokrates je človek, všetci ľudia sú smrteľní. Sokrates je smrteľný. 48 Sokrates je človek, nikto z ľudí nie je nesmrteľný. Sokrates nie je nesmrteľný.
ii. Vzájomná odvoditeľnosť kvantifikátorov (Substitúcia kvantifikátorov SI QE; quantifyer exchange QE) 1. ¬(x)Fx –||– (x)¬Fx 2. ¬(x)Fx –||– (x)¬Fx 3. ¬(x)¬Fx –||– (x)Fx 4. ¬(x)¬Fx –||– (x)Fx
iii. Ďalšie úlohy Dokáž nasledujúce úsudky: 1. (x)(Fx → Gx), (x)(Gx → Hx) |– (x)(Fx → Hx) 2. (x)(Fx → Gx), (x)Fx |– (x)Gx 3. (x)Fx |– (x)Fx 4. (x)(Fx → Gx), (x)Fx |– (x)Gx 5. (x)(Gx → Hx), (x)(Fx ˄ Gx) |– (x)(Fx ˄ Hx) 6. (x)(Fx → Gx) |– (x)Fx → (x)Gx 7. (x)(Fx → Gx) |– (x)Fx → (x)Gx 8. (x)(Gx → ¬Hx), (x)(Fx ˄ Gx) |– (x)(Fx ˄ ¬Hx) 9. (x)(Hx → Gx), (x)(Fx ˄ ¬Gx) |– (x)(Fx ˄ ¬Hx) 10. (x)(Hx → ¬Gx), (x)(Fx ˄ Gx) |– (x)(Fx ˄ ¬Hx)
- 60 -
11. (x)(Gx → Hx), (x)(Gx ˄ Fx) |– (x)(Fx ˄ Hx) 12. (x)(Gx ˄ Hx), (x)(Gx → Fx) |– (x)(Fx ˄ Hx) 13. (x)(Gx → ¬Hx), (x)(Gx ˄ Fx) |– (x)(Fx ˄ ¬Hx) 14. (x)(Gx ˄ ¬Hx), (x)(Gx → Fx) |– (x)(Fx ˄ ¬Hx) 15. (x)Fx |– (x)(Gx → Fx) 16. (x)¬Fx |– (x)(Fx → Gx) 17. (x)Fx → (x)Gx |– (x)(Fx → Gx) 18. (x)(Fx ˄ Gx) –||– (x)Fx ˄ (x)Gx 19. (x)(Fx ˅ Gx) –||– (x)Fx ˅ (x)Gx 20. (x)(Fx ˄ Gx) |– (x)Fx ˄ (x)Gx 21. (x)Fx ˅ (x)Gx |– (x)(Fx ˅ Gx) 22. (x)(Gx ˄ ¬Fx), (x)(Gx → Hx) |– (x)(Hx ˄ ¬Fx) 23. (x)(Fx→Gx), (x)¬Gx, |– ¬(x)Fx 24. x(Gx ˄ Fx), (x)(Fx→¬Hx) |– x¬Hx 25. (x)(Gx → (Hx ˄ Jx)), (x)((Fx ˅ ¬Jx) → Gx) |– (x) (Fx → Hx) 26. (x)(Gx ˄ Fx), (x)(Fx → ¬Hx) |– (x)¬Hx 27. (x)(Gx→¬Fx), (x)(¬Fx→¬Hx) |– (x)(Gx→¬Hx) 28. (x)(Gx → (y)(Fy ˄ Hy)) |– (x)¬Fx → ¬(z)Gz 29. (x)(Gx → (Hx ˄ Jx)), (x)((Fx ˅ ¬Jx) → Gx) |– (x)(Fx → Hx) 30. (x)((Gx˄Kx)↔Hx), ¬(x)(Fx˄Gx) |– (x)¬(Fx˄Hx) 31. (x)(Gx → Hx), (x)((Fx ˄ Gx) ˄ Mx) |– (x)(Fx ˄ (Hx ˄ Mx)) 32. (x)(¬Gx ˅ ¬Hx), (x)((Jx → Fx) → Hx) |– ¬x)(Fx ˄ Gx) 33. ¬(x)(¬Gx˄Hx), (x)(Fx→¬Hx) |– (x)((Fx ˅ ¬Gx)→¬Hx) 34. (x)¬(Gx ˄ Hx), (x)(Fx ˄ Gx) |– (x)(Fx ˄ ¬Hx) 35. (x)(Fx ˄ ¬Hx), ¬(x)(Fx ˄ ¬Gx) |– ¬(x)(Gx → Hx) 36. (x)(Hx → (Hx ˄ Gx)), (x)(¬Gx ˄ Fx) |– (x)(Fx ˄ ¬Hx) 37. (x)(Hx → ¬Gx), ¬x(Fx ˄ ¬Gx) |– (x)¬(Fx ˄ Hx) 38. (x)(Fx ↔ Gx) |– (x)Fx ↔ (x)Gx 39. (x)Fx ˅ (x)Gx, (x)(Fx → Gx) |– (x)Gx 40. (x)(Fx → ¬Gx) |– ¬(x)(Fx ˄ Gx) Impl. 41. (x)(Fx → Gx) –||– ¬(x)(Fx ˄ ¬Gx) Impl. 42. (x)((Fx ˅ Hx)→(Gx˄Kx)), ¬(x)(Kx˄Gx) |– (x)¬Hx 43. (x)((Fx ˄ Gx) → Hx), Ga ˄ (x)Fx |– Fa ˄ Ha 44. (x)(Fx ↔ (y)Gy) |– (x)Fx ˅ (x)¬Fx 45. |– (x)(Fx → Gx) → ((x)Fx → (x)Gx) distribúcia univerzálneho kvantifikátora 46. |– (x)(Fx → Gx) → ((x)Fx → (x)Gx). 47. |– (x) ¬ (Fx ˄ ¬Fx) – nonkontradikcia 48. |– (x)(Fx → Fx) – identita 49. |– (x)(Fx ˅ ¬Fx) – vylúčenie tretieho. 50. (x)(Ax → Bx), ¬Bt |– ¬At 51. (x)(Cx → Dx), (x)(Ex → ¬Dx) |– (x)(Ex → ¬Cx) 52. (x)(Fx → ¬Gx), (x)(Hx ˄ Gx), (x)(Jx → Ix) 53. (x)(Ix → Jx), (x)(Ix ˄ ¬Jx) |– (x)(Jx → Ix) 54. (x)(Kx → Lx), (x)[(Kx ˄ Lx) → Mx] |– (x)(Kx → Ox) 55. (x)(Nx → Ox), (x)(Px → Ox) |– (x)[(Nx → Px) → Ox] 56. (x)(Qx → Rx), (x)(Qx ˅ Rx) |– (x)Rx 57. (x)[Sx → (Tx → Ux)], (x)[Ux → (Vx ˄ Wx)] |– (x)[Sx → (Tx → Vx)] 58. (x)[(Xx ˅ Yx) → (Zx ˄ Ax)], (x)[(Zx ˅ Ax) → (Xx ˄ Yx)] |– (x)(Xx ↔ Zx) 59. (x)[(Bx → Cx) ˄ (Dx → Ex)], (x)[(Cx ˅ Ex) → {[Fx → (Gx → Fx)] → (Bx ˄ Dx)}] |–
(x)(Bx ↔ Dx)
- 61 -
iv. Slovné úlohy Nájdi dôkaz pre nasledujúce úsudky. 1. Všetci športovci sú odvážni. Braňo nie je odvážny. Takže Braňo nie je športovec. (Ax, Bx, b) 2. Žiadny bubeníci nie sú spoľahliví. Niektorí bubeníci sú aj speváci. Niektorí speváci preto nie
sú spoľahliví. (Cx, Dx, Ex) 3. Všetci huslisti sú chlapi. Niektorí poľovníci nie sú chlapi. Niektorí poľovníci preto nie sú
huslisti. (Fx, Gx, Hx) 4. Žiadni predsedovia Vlády nie sú idioti. Bimbo je idiot. Takže Bimbo nie je predsedom Vlády.
(Jx, Ix, b). 5. Všetci klamári sú prefíkaní. Niektorí klamári sú novinármi. Preto sú niektorí novinári prefíkaní.
(Kx, Px, Nx) 6. Chiropraktici nie sú pediatri. Niektorí šarlatáni sú pediatri. Preto niektorí šarlatáni nie sú
chiropraktici. (Ox, Px, Qx) 7. Iba predajcovia sú maloobchodníci. Nie všetci maloobchodníci sú cestujúcimi. Niektorí
obchodníci preto nie sú cestujúcimi. (Sx, Rx, Tx) 8. Neexistujú uniformy, ktoré nie sú umývateľné. Neumývateľný je zamat. To znamená, že
uniformy nie sú zamatové. (Ux, Wx, Vx) 9. Iba autoritári sú byrokrati. Autoritári sú všetci neústretoví. Preto sú byrokrati neústretoví. (Ax,
Bx, Cx) 10. Datle sú jedlé. Iba potraviny sú jedlé. Potraviny sú dobré. Preto sú všetky datle dobré. (Ux,
Ex, Fx, Gx) 11. Všetci tanečníci sú pôvabní. Mária je študentka. Mária je tanečnica. To znamená, že sú
niektorí študenti pôvabní. (Dx, Cx, Sx, m) 12. Tigre sú divoké a nebezpečné. Niektoré tigre sú krásne. Takže niektoré nebezpečné veci sú
krásne. (Tx, Fx, Dx, Bx) 13. Banány a hrozno sú ovocie. Ovocie a zelenina sú výživné. Preto banány sú výživné. (Bx, Gx,
Fx, Vx, Nx) 14. Fagotista je blázon alebo naivný. Blázni sú naivní. Nie všetci huslisti sú naivní. Preto aspoň
niektorí huslisti nie sú fagotisti. (Cx, Fx, Kx, Nx) 15. Všetci lokaji a sluhovia sú aj úslužní aj dôstojní. Preto sú všetci sluhovia dôstojní. (Bx, Vx,
Ox, Dx) 16. Všetky domy postavené z tehál sú teplé a útulné. Všetky domy v meste Senec sú postavené z
tehál. Preto všetky domy v Senci sú teplé. (Dx, Tx, Px, Ux, Sx) 17. Všetci učitelia sa vzdelaní. Všetci učitelia sú učenci. Preto sú všetci učitelia vzdelaní učenci.
(Ux, Vx, Čx) 18. Všetci diplomati sú štátni predstavitelia. Niektorí diplomati sú výreční. Všetci výreční štátni
predstavitelia sú rečníci. Preto niektorí diplomati sú rečníci. (Dx, Sx, Vx, Rx) 19. Lekári a právnici sú absolventi vysokých škôl. Každý altruista je idealista. Niektorí právnici
nie sú idealisti. Niektorí lekári sú altruisti. Preto sú niektorí vysokoškolskí absolventi idealisti. (Dx, Px, Vx, Ax, Lx)
20. Včely a osy pichajú, ak sú nahnevané alebo vystrašené. Preto akékoľvek včely pichajú, keď sú nahnevané. (Vx, Ox, Px, Nx, Sx)
21. Vlčiaky a teriéri sú poľovnícke psy. Poľovnícke psy a pretekové psy sú domáce zvieratá. Domáce zvieratá sú krotké a užitočné. Niektoré vlčiaky nie sú ani krotké ani drobné. To znamená, že niektorí teriéri sú drobní, ale nie krotkí.
22. Žiadny muž, ktorý je profesionálny vyhadzovač z nočného podniku, nebude na vstupných dverách porazený, ak je starostlivý chovateľ drobnej ozdobnej hydiny. Muž, ktorý dostane zadarmo vstup do podniku pre rodičov na víkendové detské matiné, určite je profesionálny vyhadzovač z nočného podniku. Ak je niekto profesionálny vyhadzovač z nočného podniku, potom ak nebude na vstupných dverách porazený, bude odmenený poukážkou do kreatívneho nechtového štúdia. Ak je niekto muž, ktorý je odmenený poukážkou do kreatívneho
- 62 -
nechtového štúdia, potom je starostlivý chovateľ drobnej ozdobnej hydiny. Preto každý muž, ktorý ma zadarmo vstup do podniku pre rodičov na víkendové detské matiné, bude odmenený poukážkou do kreatívneho nechtového štúdia vtedy a len vtedy, ak je starostlivý chovateľ drobnej ozdobnej hydiny.
23. Bohatý zákazník (C) je nervózna (F) alebo mimoriadne podozrivá osobnosť (K). Nervózne osobnosti sú fúzaté (N). Nie všetci bohatí zákazníci sú fúzatí. To znamená že niektorí bohatí zákazníci sú mimoriadne podozrivé osobnosti.
24. Každý terorista cestuje na výkon teroristického útoku (P) vlastným autom (F) alebo autobusom (T). Každý terorista cestuje na výkon teroristického útoku autobusom vtedy a len vtedy, keď nemá peniaze na slušnejší aranžmán (W). Niektorí teroristi cestujúci na výkon teroristického útoku sú bohatí. Ale nie sú všetci teroristi cestujúci na výkon teroristického útoku bohatí. To znamená, že niektorí teroristi cestujú na výkon teroristického útoku autobusom.
25. Všetci konšpirační filatelisti (M) sú aj mafiánski účtovníci (O) aj žongléri (G). Všetci mafiánski účtovníci sú prefíkaní hobojisti (F). Len zberatelia harabúrd (P) sú žongléri alebo nie sú prefíkaní hobojisti. Žiadny zberateľ harabúrd nie je prefíkaný hobojista, ak je žonglér. Niektorí konšpirační filatelisti sú vtedy a len vtedy prefíkaný hobojisti, keď sú mafiánski účtovníci. Takže, nie všetci konšpirační filatelisti sú prefíkaní hobojisti.
v. Vzťah medzi viacerými množinami
v. A. 1. (x)Fx –||– (y)Fy 2. (x)Fx –||– (y)Fy 3. (x)(Fx → P) –||– (x)Fx → P 4. (x)(P → Fx) –||– P → (x)Fx 5. (y)(Fa → ((x)Gx → Gy)), (x)(Gx → Hx), (x)(¬Jx → ¬Hx) |– (x)¬Jx → (¬Fa ˅
(x)¬Gx) 6. (x)(Dx→Fx) |– (z)(Dz→((y)(Fy→Gy)→Gz)) 7. (x)Fx ↔ (y)((Fy ˅ Gy)→Hy), (x)Hx, ¬(z)¬Fz |– (x)(Fx˄Hx) 8. (x)Fx |– ¬xGx ↔ ¬(x(Fx ˄ Gx) ˄ (y)(Gy → Fy))
v. B. 1. (x)(Ax → Bx) |– (x)(Bx → Cx) → (Ak → Ck) 2. (x)(Dx → Ex) |– Da → [(y)(Ey → Fy) → Fa] 3. (x)[Gx → (y)(Hy → Iy)] |– (x)Gx → (y)(Hy → Iy) 4. (x)Jx → (y)Ky |– (x)[Jx → (y)Ky] 5. (x)Lx → (y)My |– (x)[Lx → (y)My] 6. (x)(Nx → Ox) |– (x)[Px → [(y)(Py → Ny) → Ox]] 7. (x)(Qx → Rx), (x)(Sx → Tx) |– (x)(Rx → Sx) → (y)(Qy → Ty) 8. (x)Ux → (y)[(Uy ˅ Vy) → Wy], (x)Ux ˄ (x)Wx |– (x)(Ux ˄ Wx) 9. (x)Xx → (y)(Yy → Zy) |– (x)(Xx ˄ Yx) → (y)(Xy ˄ Zy) 10. (x)Ax → (y)(By → Cy), (x)Dx → (x)By |– (x)(Ax ˄ Dx) → (y)Cy 11. (x)(y)(Ex ˅ Fy) |– (x)Ex ˅ (y)Fy 12. (x)Gx ˅ (y)(Gy → Hy), (x)(Ix → ¬Gx) |– (x)(Gx → Ix) → (y)(Gy → Hy) 13. (x)Jx ˅ (y)Ky, (x)(Jx → Kx) |– (y)Ky 14. (x)(Lx → Mx), (x)(Mx → Nx) |– (x)Lx → (y)Ny 15. (x){Ox → [(y)(Py → Qy) → Rx]}, (x){Rx → [(y)(Py ˄ Sy) → Tx]} |– (y)[Py → (Qy ˄
Sy)] → (x)(Ox → Tx)
- 63 -
16. (x)[Ux ˄ (y)(Vy → Wy)], (x)[Ux → [(y)(Xy ˄ Wy) → Yx]] |– (y)(Xy ˄ Vy) → (x)Yx
17. (x)[Cx → [(y)Dy → Ex]], (x)[Ax → [(y)By → Cx]] |– (x)(Bx ˄ Fx) → [(y)(Fy→ Dy) → (z)(Az → Ez)]
18. (x)(y)(Gx ˄ Hy) |– (x)Gx ˄ (y)Hy 19. (x)(y)(Ix ↔ Jy) |– (y)(x)(Ix ↔ Jy) 20. (x)(y)(Kx ˄ Ly) |– (y)(x)(Kx ˄ Ly) Dokáž nasledujúce teorémy: 21. |– (y)((x)Fx → Fy) 22. |– (y)(Fy → (x)Fx) 23. |– (y)(Fy → (x)Fx) 24. |– (y)((x)Fx → Fy)
v. C. Slovné úlohy Urob preklad nasledujúcich viet: 1. Ak je niečo poškodené, niekto za to bude obvinený. 2. Ak je niečo poškodené, od nájomníka za to bude účtovaný poplatok. 3. Ak nič nie je poškodené, nikto nebude obvinený. 4. Ak je niečo poškodené, ale nikto nie je obvinený, nájomníkovi za to nebude účtované. 5. Ak sú ktorékoľvek banány žlté, potom sú aj zrelé. 6. Ak je niektorý banán žltý, potom sú niektoré banány zrelé. 7. Ak sú ktorékoľvek banány žlté, potom ak sú všetky žlté banány zrelé, potom sú zrelé aj tieto. 8. Ak sú všetky zrelé banány žlté, niektoré žlté veci sú zrelé. 9. Ak sú všetci prítomní dôstojníci kapitánmi alebo majormi, potom sú prítomní niektorí kapitáni
alebo sú prítomní niektorí majori. 10. Ak je akýkoľvek muzikant prítomný, potom nie je prítomný žiadny bubeník alebo je on sám
bubeníkom. 11. Ak sú prítomní niektorí muzikanti, ak sú všetci prítomní muzikanti fagotisti, potom sú
prítomní niektorí fagotisti. 12. Ak sú prítomní niektorí športovci, potom ak sú všetci športovci, ktorí sú prítomní, futbalisti,
potom sú to futbalisti. 13. Ak všetci pozostalí mali šťastie a iba ženy prežili, potom niektoré ženy mali šťastie. 14. Ak je ktorýkoľvek z pozostalých žena, potom ak všetky ženy mali šťastie, potom tí mali
šťastie. 15. Ak je nejaký pozostalí a iba ženy sú pozostalí, potom to budú ženy. 16. Ak má každá pozícia budúcnosť a žiadni zo zamestnancov nie je lenivý, potom niektorí
zamestnanci budú úspešní. 17. Ak sú niektorí zamestnanci leniví, potom ak niektoré pozície nemajú budúcnosť, tí nebudú
úspešní. 18. Ak sú niektorí zamestnanci leniví a niektoré pozície nemajú perspektívu, potom niektorí
zamestnanci nebudú úspešní. 19. Ak je nejaký manžel neúspešný, potom ak sú všetky manželky ambiciózne, potom niektoré
ženy budú sklamané. 20. Ak ktorýkoľvek z manželov nie je úspešný, potom ak sú niektoré ženy ambiciózne, ten bude
nešťastný.
- 64 -
v. D. Urob preklad nasledujúcich viet: 1. Žiadni členovia Vlady nie sú neohybní. Preto ak Dodo je čašník, potom ak všetci čašníci sú
neohybní, Dodo nie je člen Vlády. (Ax, Cx, Wx, a.) 2. Všetky miláčiky sú krotké. Preto ak sú nejaké psy vzrušivé a žiadne vzrušivé psy nie sú ktrotké,
potom nie sú miláčikmi. (Px, Gx, Dx, Ex.) 3. Všetci obvinení sú vinní. Všetci odsúdení budú visieť. Preto, ak všetci vinní sú odsúdení, potom
všetci obvinení budú visieť. (Ax, Gx, Cx, Hx.) 4. Ak existujú nejakí géniovia, potom všetci skvelí skladatelia sú géniovia. Ak je niekto
temperamentný, všetci géniovia sú temperamentní. Preto, ak niekto je temperamentný génius, potom všetci veľkí skladatelia sú temperamentní. (Gx: x je génius, Cx: x je skvelý skladateľ, Px: x je osoba, Tx: x je temperamentné.)
5. Akékoľvek auto s dobrými brzdami je bezpečné riadiť a v ňom bezpečne sedieť. Takže ak je auto nové, potom ak všetky nové automobily majú dobré brzdy, je bezpečné ich šoférovať. (Cx: x je auto, Bx: x má dobré brzdy, Dx: x je bezpečné na riadenie, Rx: v x je bezpečné sedieť, Nx: x je nové.)
6. Všetci hostia si úprimne úživali alebo niektorí z hostí ukryli svoje skutočné pocity. Žiadny čestný človek by nezakrýval svoje skutočné pocity. Preto ak boli hostia všetci čestní ľudia, všetci hostia si úprimne užívali. (Gx: x je hosťom, Ex: x si užíval, Cx: x skrýva svoje skutočné pocity, Hx: x je úprimný, Px: x je človek.)
7. Každý podnikateľ, ktorý je básnikom, musí byť bohatým človekom. Bohatí muži sú všetci konzervatívci. Ak niektorí konzervatívci nemá radi poéziu, potom básnici nie sú konzervatívci. Preto ak je taký bohatý muž, ktorý nemá rád poéziu, potom žiadni podnikatelia nie sú básnici. (Bx: x je podnikateľ, Px: x je básnik, Wx: x je bohatý človek, Cx: x je konzervatívny, Lx: x má rád poéziu.)
8. Všetky rádioaktívne látky majú veľmi krátku životnosť alebo sú vzácne na medické účely. Žiadny izotop rádioaktívneho uránu nemá krátku životnosť. Preto ak sú všetky izotopy uránu rádioaktívne, potom všetky izotopy uránu sú vzácne na medické účely. (Rx: x je rádioaktívny, Sx: x má veľmi krátku životnosť, Mx: x je vzácne na medické účely, Ux: x je izotopom uránu.)
9. Žiadny rozumný svedok by neklamal, keby sa klamstvom zapojil do zločinu. Preto ak niekto zo svedkov bol zapojený do zločinu, potom ak boli všetci svedkovia rozumní, ten svedok by neklamal. (Sx: x je rozumný, Wx: x je svedok, Lx: x klame, Ix: x sa zapája do zločinu.)
10. Ak nejaké šperky chýbajú a ak sú všetci sluhovia čestní, vrátia ich. Ak je ktokoľvek zo sluhov čestný, všetci sú. Takže ak nejaké šperky chýbajú, potom ak je aspoň jeden sluha čestný, budú vrátené. (Jx: x je šperk, Mx: x chýba, Sx: x je sluha, Hx: x je čestný, Rx: x bude vrátené.)
11. Ak existuje liberál, potom sú všetci filozofi liberálmi. Ak existujú humanisti, potom všetci liberáli sú humanisti. Takže ak existujú humanisti, ktorí sú liberáli, potom všetci filozofi sú humanisti. (Lx: x je liberálny, Px: x je filozof, Hx: x je humanista.)
12. Keď sa niečo stratí, potom, ak si každý váži svoj majetok, bude mu to chýbať. Ak si niekto váži svoj majetok, tak si ho vážia všetci. Preto ak sa niečo stratí, ak si niekto váži svoj majetok, potom mu niečo bude chýbať. (Lx: x je stratené, Px: x je osoba, Vx: x si váži svoj majetok, Mx: x chýba.)
vi. Narábanie s reláciamí
vi. A. Urob preklad nasledujúcich viet:
Tomko je kocúr. ('M','t') Robo nie je kocúr. ('M','r') Nietoré jahňatá su ostrihané. ('J','O')
- 65 -
Všetky jahňatá sú ostrihané. ('J','O') Len skinheadi sú ostrihaní. ('S','O') Žiadny hipster nie je oholený. ('H','O') Niektoré psy nie sú ostrihané. ('P','O') Fido je ostrihaný pes. ('P','O','f') Brutus zavraždil Cézara. ('Z','m','n') Niekto zavraždil Cézara. ('Z','n') Brutus niekoho zavraždil. ('Z','m') Niekto niekoho zavraždil. ('Z') Niekto sa zavraždil. ('Z') Nikto sa nezavraždil. ('Z') Niekto všetkých zavraždil. ('Z') Niekoho všetci zavraždili. ('Z') Existuje mesto medzi Londýnom a Stratfordom. ('M','l','s') Každá žena vlastní psa. ('Ž','P','V') Niektoré dievčatá majú rady všetky športy. ('D','R','Š') Každý múdry volič vloží guličku. ('M','V','U','G') Každy z voličov vloží múdru guličku. ('V','U','M','G') Ján má rád individuálne športy. ('m','R','I','Š') Niektoré dievčata majú rady rýchle športy. ('D','R','R','Š') Niektorí chlapci majú radi len rýchle športy. ('C','R','B','Š')
Niektoré dievčatá nemajú rady žiadny z rýchlych športov. ('D','R','B','Š')
Niektorí chlapci majú radi len športy, ktoré nie sú rýchle. ('M','V','Š','B')
vi. B.
Nájdi páry a priraď ich podľa nasledujúcej schémy prekladu: a = 'Godzilla', b = 'Bambi', Jx = 'x je jašterica', Dx = 'x je dinosaurus', Ox = 'x je obrovské', Kx = 'x je krásne', Zxy = 'x zje y', Vxy = 'x videl y', Pxyz = 'x podal y ku z'
1. I Godzilla je obrovská jašterica, ktorá zje všetko
A. (x)¬Pbxa
2. H Ak je Godzilla dinosaurus, potom dinosaurus zjedol Bambiho
B. (x)(Dx → ¬Zxx)
3. G Niektoré jašterice videli všetko, čo Bambi zjedol
C. (x)(Vax → Zax)
- 66 -
4. B Žiadni dinosauri sa nezjedia navzájom D. (x)Paxb
5. C Godzilla zje všetko, čo uvidí E. (x)(¬Zax ˄ Vax)
6. J Bambi nie je ani obrovský, ani krásny F. (x)((Ox ˄ Jx) → ¬Kx)
7. E Godzilla videla niečo, čo nezje G. (x)(Jx ˄ (y)(Zby → Vxy))
8. D Godzilla dala niečo Bambimu H. Da → (x)(Dx ˄ Zxb)
9. A Bambi nič nedal Godzille I. (Oa ˄ Ja) ˄ (x)Zax
10. F Žiadne obrovské jašterice nie sú krásne J. ¬(Ob ˅ Kb)
vi. C. Urob preklad podľa nasledujúcej schémy: Ox = 'x je ovečka'; Mx = 'x je príšera', Zxy = 'x zjedol y', j = 'Jánošík '.
1. Jánošík niečo zjedol 2. Niečo zjedlo Jánošíka 3. Jánošík zjedol nejaké ovečky 4. Nejaká príšera zjedla Jánošíka
vi. D. Dodatočná prekladová schéma pre ďalšie príklady: Kxy = 'x pohrýzlo y'; Cx = 'x je mačka', f = 'Fido'.
1 Fido nehryzie mačky.2 Žiadna mačka nepohryzne Fida.3 Niektoré príšery zjedli všetky mačky.4 Niektoré mačky zjedli všetky príšery.5 Každá príšera zjedla nejaké mačky.6 Bambi má rád Janošika, ale nie aj seba. Prekladová schéma: Rxy = 'x má rád y', b =
'Bambi', j = 'Janošík':7 Jeden škaredý pes zjedol Bambiho. Prekladová schéma: Šx = 'x je škaredý'; Px = 'x je
pes'; b = 'Bambi'8 Ked je Godzilla depresívna, zjedla by všetko čo vidí. Prekladová schéma: Dx = 'x je
depresívne', Vxy = 'x vidí y', Zxy = 'x by zjedlo y', g = 'Godzilla'9 Godzilla je väčšia než Bambi, ale nič nie je väčšie než Godzilla. Prekladová schéma: Vxy
= 'x je väčšie než y'; b = 'Bambi'; g = 'Godzilla'.10 Žiadna Godzilla nemá rada Godzillu.
Prekladová schéma: Rxy = 'x má rád y'; g = 'Godzilla'.
- 67 -
vi. E. Slovné úlohy Urob preklad nasledujúcich viet: 1. Mŕtvy muž nepovie žiadny príbeh. (Rx: x je mŕtvy, Mx: x je muž, Px: x je príbeh, Hxy: x
hovorí y.) 2. Advokát, ktorý sa hlási k svojmu vlastnému prípadu, má klienta za blázna. (Ax: x je advokát,
Bx: x je blázon, Hxy: x sa hlási k prípadu y, Kxy: x je klient y). 3. Mŕtvy lev je nebezpečnejší ako živý pes. (Lx: x je lev, Zx: x je živé, Px: x je pes, Nxy: x je
nebezpečnejšia ako y). 4. Neľahko sa drží vztýčená hlava, ktorá nesie korunu. (Lx: x sa drží ľahko vztýčená, Hx: x je
hlava, Kx: x je koruna, Nxy: x nesie y.) 5. Každá ruža má svoj tŕň. (Rx: x je ruža, Tx: x je tŕň, Mxy: x má y). 6. Keď chlapček hovorí len klamstvá, nikto mu neverí. Cx: chlapec; Hxy: x hovorí y, Kx;
klamstvo, Vxy: x verí y. 7. Ten kto konzultuje psychiatra, by mal mať vyšetrenú hlavu. (Ox: x je osoba, Sx: x je psychiater,
Mx: x by si mal vyšetriť hlavu, Kxy: x konzultuje y.) 8. Nikto sa nikdy nič nenaučí, iba ak sa sám o tom ponaučil. (Ox: x je osoba, Uxy: x poučí y,
Nxyz: x ponaučí y o z.) 9. Dalila mala na každom prste prsteň a prst v každom ceste. (d: Dalila, Px: x je prsteň, Rxy: x je
prst y, Nxy: x nesie na y, Px: x je cesto, Vxy: x sa nachádza v y.) 10. Nemôže byť človek – ktorý nenávidí deti a psy – úplne zlý. (Čx: x je človek, Dx: x je dieťa,
Px: x je pes, Zx: x je úplne zlé, Nxy: x nenávidí y.) 11. Komukoľvek, kto dokončí čokoľvek, budú závidieť všetci. (Ox: x je osoba, Dxy: x dokončí
y, Zxy: x závidia y.) 12. Kto chce chytiť rybu, musí mať návnadu. (Ox: x je osoba, Rx: x je ryba, Lx: x je návnada,
Cxy: x chce chytiť y, Mxy: x má y.) 13. Každý študent spôsobil nejaké problémy, ale žiadny študent ich nespôsobil všetky. (Šx: x je
študent, Px: x je problém, Vxy: x spôsobil y.) 14. Každý súťažiaci, ktorý odpovie na všetky otázky, ktoré mu boli položené, získa akúkoľvek
cenu, ktorú si sám vyberie. (Sx: x je súťažiaci, Ox: x je otázka, Cx: x je cena, Dxy:x odpovedá y, Pxy: x je položené y, Vxy: x vyhrá y, Bxy: x vyberá y.)
15. Každý syn má otca, ale nie každý otec má syna. (Ox: x je osoba, Mx: x je muž, Pxy: x je rodičom y.)
16. Človek zapríčiňuje nepríjemnosti, keď má psa, ktorý šteká na každého, kto navštívi jeho majiteľa. (Ox: x je osoba, Rx: x je nepríjemnosť, Zxy: x zapríčiňuje y, Px: x je pes, Šxy: x šteká na y, Nxy: x navštevuje y, Vx: x vlastní y).
17. Lekár nemusí mať žiadne výčitky svedomia, keď ošetruje pacienta, ktorý nemá žiadnu chorobu. (Lx: x je lekár, Vx: x je výčitka svedomia, Mxy: x má y, Px: x je pacient, Cx: x je choroba, Oxy: x ošetruje y.)
18. Lekár, ktorý sa zaoberá človekom, ktorý má každú chorobu, má prácu, ktorú by mu nikto nemal závidieť. (Lx: x je lekár, Ox: x je osoba, Zxy: x sa zaoberá y, Cx: x je choroba, Mxy: x má y, Px: x je práca, Zxyz: x zavidí y z.)
19. Ak farmár chová iba sliepky, žiadna z nich nebude klásť vajcia, aby to stálo za to. (Fx: x je farmár, Cxy x chová y, Hx: x je hydina, Vx: x je vajce, Kxy: x kladie y, Sx: x stojí za to.)
vi. F. Urob preklad nasledujúcich viet. Pre nasledujúce príklady použi nasledujúcu schému: Ox = x je osoba Px = je predajňa Kxyz = x kupuje y v z. 1. Každy niečo kupuje v nejakej predajni.
- 68 -
2. Je predajňa, v ktorej každý niečo nakupuje. 3. Nikto nekupuje všetko v každom obchode. 4. Nikto nekupuje veci v každom obchode. 5. Žiadna predajňa nemá všetko pre každého zákazníka. 6. Nie je predajňa, ktorá všetko predáva jednej osobe.
vi. G. Urob preklad nasledujúcich viet. Pre nasledujúce príklady použi prekladovú schému: • Cx = x je charita • Ex = x sú peniaze • Ox = x je osoba • Pxy = x patrí k y • Dxyz = x daruje y z 1. Nikto nie je darcom každej charity. 2. Nikto nedaruje peniaze každej charite. 3. Nikto nedaruje všetky peniaze, ktoré mu patria, na charitu. 4. Nikto nedaruje všetky peniaze, ktoré mu patria, žiadnej jednotlivej charite. 5. Nikto nedaruje všetko, čo mu patrí, žiadnej jednotlivej charite. 6. Nikto neposkytuje všetky donácie žiadnej jednotlivej charite. 7. Žiadna charita nedostáva všetky svoje peniaze od žiadnej jednotlivej osoby. 8. Žiadna charita nedostane všetky peniaze od žiadnej jednotlivej osoby (všetky jej peniaze). 9. Žiadna charita nedostáva dary od žiadnej jednotlivej osoby (jej dary). 10. Žiadna charita nedostane všetky dary patriace akémukoľvek darcovi. 11. Žiadna charita nepoberá len peniaze ako dar. 12. Niekto dáva peniaze na charitu. 13. Niekto daruje všetky svoje peniaze na charitu. 14. Aspoň jedna osoba daruje všetky svoje veci jednej charite. 15. Aspoň jedna osoba dáva všetky svoje dary jednej charite. 16. Niektoré charity dostávajú dar od všetkých. 17. Niektoré charity dostávajú dar od každého darcu. 18. Niektoré dary sa neposkytujú charitám. 19. Niektorí darcovia obdarovávajú každú charitu. 20. Každá charita dostáva donácie od najmenej jedného darcu.
vi. H. Zapíš nasledujúce vety:
1. Každý mládenec má rád určité dievča. 2. Jano nemá rád žiadne dievča.3. Každý zdravý pes má rád kosť.4. Všetky psy okrem čivavy majú radi chlad.5. Jedine sú ľudia, ktorí hltajú orechové rezne, sú vegeteriáni.6. Každý, kto má rád každého, má rád aj Jana.7. Pes, ktorý uhryzol Rexa, ma uhryzol.8. Žiadny pes, ktorý uhryzol Rexa, ma neuhryzol.9. Uhryziem každého psa, ktorý ma uhryzne.10. Každý pes, ktorý uhryzol kocúra uhryzol aj sliepku.11. Pes, ktorý uhryzol mačku, uhryzol aj človeka, ktorý mu niesol hračku.12. Peržanka zje každú myšku, ktorú Tigrica nezje.13. Pes uhryzol mačku.14. Mačky a psy sú nepriatelia.15. Niektoré psy a mačky sú kamoši.
- 69 -
16. Niektoré psy a mačky so členovia domácnosti.
vii. Relácie Dokáž nasledujúce úsudky. 1. (x)((x)Fyx→(z)Fxz) |– (y)(x)(Fyx→Fxy) 2. (x)(Fx ˄ (y)Gxy), (x)(y)(Gxy → Gyx) |– (x)(Fx ˄ (y)Gyx) 3. (x)¬(y)(Gxy → Gyx) |– (x)(y)(Gxy ˄ ¬Gyx) 4. (x)(Gx→(y)(Fy→Hxy)), (x)(Fx˄(z)¬Hxz) |– ¬(x)Gx 5. (x)(y)(Fxy → Gxy) |– (x)(Fxx → y(Gxy˄Fyx)) 6. (x)(y)Fxy –||– (y)(x)Fxy 7. (x)(y)Fxy –||– (y)(x)Fxy 8. (x)(y)Fxy |– (y)(x)Fxy 9. (x)(y)Lxy, (x)(y)(Lxy→Lyx) |– (x)(y)Lyx 10. (x)((y)Fyx→(z)Fxz) |– (y)(x)(Fyx→Fxy) 11. (x)(y)[(z)Ayz → Ayx], (y)(z)Ayz |– (x)(y)Ayx 12. (x)[(y)Byz → (z)Bxz] |– (y)(z)(Byz → Bzy) 13. (x)(Cax → Dxb), (x)Dxb → (y)Dby |– (x)Cax → (y)Dby 14. (x)[Ex → (y)(Fy → Gxy)], (x)[Ex ˄ (y)¬Gxy] |– (x)¬Fx 15. (x)[Hx ˄ (y)(Iy → Jxy)] |– (x)(Hx → Ix) → (y)(Iy ˄ Jyy) 16. (x)[Kx → [(y)Lxy → (z)Lzx]], (x)[(z)Lzx → Lxx], ¬(x)Lxx |– (x)(Kx → (y)¬Lxy) 17. (x)[Mx → (y)(Ny → Oxy)], (x)[Px → (y)(Oxy → Qy)] |– (x)(Mx ˄ Px) → (y)(Ny → Qy) 18. (x)[(Rx ˄ ¬Sx) → (y)(Txy ˄ Uy)], (x)[Vx ˄ Rx ˄ (y)(Txy → Vy)], (x)(Vx → ¬Sx) |–
(x)(Vx ˄ Ux) 19. (x)(Wx → Xx), (y)[(Yy ˄ Xy) → Zy], (x)(y)(Yy ˄ Ayx), (x)(y)[(Ayx ˄ Zy) → Zx] |–
(x)[(y)(Ayx → Wy) → Zx] 20. (x)[[Bx ˄ (y)[Cy ˄ Dyx ˄ (z)(Ez ˄ Fxz)]] → (w)Gxwx], (x)(y)(Hxy → Dyx),
(x)(y)(Fxy → Fyx), (x)(Ix → Ex) |– (x)[Bx → [[(y)(Cy ˄ Hxy) ˄ (z)(Iz ˄ Fxz)] → (u)(w)Gxwu]]
vii. Slovne úlohy A 1. Všetky kone sú zvieratá; to znamená, že každá hlava koňa je hlava zvieraťa. 2. Niektorí chlapci majú radi všetky hry. Žiadny chlapec nemá rád nudné veci. To znamená, že
žiadna hra nie je nudná vec. 3. Niektorí fujaristi sú excentrici. Niektorí fujaristi nemajú radi žiadnych excentrikov. To
znamená, že niektorí fujaristi nie sú obľúbení zo strany všetkých fujaristov. Použite tieto skratky: fujarista (F); excentrik (G); mať rád (H).
4. Ak niekto hovori s niekým, tak ich niekto jedného s druhým zoznámil. Nikto nezoznamuje niekoho s iným, ak ich sám nepozná. Každy hovorí s Jánom. To znamená, že každý je zoznámený s Jánom zo strany niekoho, kto ich osobne pozná.
5. Keď prší, žiadny vtáčik nie je šťastný; Keď sneží, niektoré vtáčiky sú šťastné; to znamená, že keď prší, nesneží. (použi P: „prší“; S: „sneží“)
6. Všetky ťavy majú rady opatrných jazdcov; niektoré ťavy nemajú rady Janka; Janko je jazdec; to znamená, že Janko nie je opatrný.
7. Všetky ťavy sú mimoriadne citlivé zvieratá; niektorí jazdci nemajú radi mimoridne citlivé zvieratá; to znamená, že niektorí jazdci nemajú radi žiadnu ťavu.
- 70 -
8. Niektoré psy majú radi Janka; všetky decká majú radi všetkých psov; Janko je decko; to znamená, že existuje niečo, čo zároveň má rado Janka a aj Janko to má rád.
9. Veľryba je cicavec; všetky ryby majú chvost; to znamená, že niektoré rybacie chvosty sú chvosty cicavcov (použi „Cab“ na „a je chvost b“).
vii. Slovne úlohy B 1. Ten, kto podporuje Jána, bude voliť Roba. Tomáš nebude voliť niekoho kto nie je Ferov priateľ.
Žiadny Lukášov priateľ nemá za priateľa Roba. Preto, ak je Fero priateľom Lukáša, Tomáš nepodporí Jána. (Sxy: x podporuje y, Vxy: x volí y, Fxy: x je priateľ y, a: Tomáš, i: Ján, j: Robo, h: Fero, h: Lukáš.)
2. Všetky kruhy sú figúry. Preto všetci, ktorí kreslia kruhy, kreslia figúry. (Kx: x je kruh, Fx: x je figúra, Dxy: x kreslí y.)
3. Ktorýkoľvek Aďov kamarát je Borisov priateľ. Preto každý, kto pozná Aďovho priateľa, pozná Borisovho priateľa. (Px: x je osoba, Fxy: x je priateľom y, Kxy: x pozná y, a: Ado, b: Boris.)
4. Len blázon by klebetil zle o niekom z členov Jánovho biskupického gangu jemu samému. Jánov spolužiak mu klebetil o Romanovi. Preto ak nie je žiadny Jánov spolužiak blázon, potom Roman nie je členom Jánovho biskupického gangu. (Fx: x je blázon, Lxyz: x klebetil o y k z, Cxy: x je spolužiak y, Bxy: x je člen biskupického gangu patriacemu y, a: Roman, b: Ján.)
5. Kto patrí do krajského fujaristického hnutia, je prefíkanejší než akýkoľvek člen fagotistickej konšpiračnej internacionály. Nie každý, kto patrí do krajského fujaristického hnutia, je prefikanejši než ten, kto tam nepatrí. Preto nie každý patrí ku krajskému fujaristickému hnutiu alebo k fagotistickej konšpiračnej internacionále. (Cx: x patrí ku krajskému fujaristickému hnutiu, Ex: x patrí k fagotistickej konšpiračnej internacionále, Px: x je osoba, Wxy: x je prefíkanejší než y.)
6. Je kriminálne predávať neregistrovaný revolver. Všetky zbrane, ktoré vlastnil Braňo, boli kúpené od Jána alebo Márie. Takže ak jedna z Braňových zbraní je neregistrovaný revolver, potom ak Braňo čokoľvek kúpil od Márie, Ján je kriminálnik. (Rx: x je registrované, Gx: x je revolver, Cx: x je kriminálnik, Wx: x je zbraň, Oxy: x vlastní y, Sxyz: x predal y z, r: Braňo, I: Ján, m: Mária.)
7. Všetko na mojom stole je majstrovským dielom. Ktokoľvek, kto napíše majstrovské dielo, je génius. Niekto veľmi obskúrny napísal niektoré z románov na mojom stole. Preto je niektorá veľmi obskúrna osoba géniom. (Dx: x je na mojom stole, M: a je majstrovské dielo, Ix: x je osoba, Gx: x je génius, Ox: x je veľmi obskúrny, Nx: x je román, Wxy: x napísal y.)
8. Je taký profesor, ktorého má rád každý taký študent, ktorý sám má rád aspoň jedného profesora. Každý študent má rád nejakého profesora. Preto existuje profesor, ktorého všetci študenti majú radi. (Px: x je profesor, Sx: x je študent, Lxy: x má rád y.)
9. Nikto nerešpektuje osobu, ktorá nerešpektuje seba. Nikto nebude zamestnávať osobu, ktorú nerešpektuje. Preto osobu, ktorá nikoho nerešpektuje, nikdy nezamestná nikto. (Px: x je osoba, Rxy: x rešpektuje y, Hxy: x zamestná y.)
10. Kto donuje Klub zberateľov zriedkavých foriem ovocia, dáva všetky svoje donácie Klubu zberateľov zriedkavých foriem ovocia. Preto, ak je Jano osobnosťou, ktorá neposkytuje všetky svoje donácie Klubu zberateľov zriedkavých foriem ovocia, potom nedaruje vôbec nič Klubu zberateľov zriedkavých foriem ovocia. (Ox: x je osoba, Dxyz: x dáva donáciu y z, f: Klub zberateľov zriedkavých foriem ovocia, j: Jano.)
11. Každú knihu, ktorú schvaľujú všetci kritici, číta každá vzdelaná osoba. Každý, kto čokoľvek číta, bude o tom rozprávať. Kritik schvaľuje každú knihu napísanú osobou, ktorá mu lichotí. Preto, ak niekto lichotí každému z kritikov, potom o akejkoľvek knihe, ktorú napíše, budú hovoriť všetky vzdelané osoby. (Kx: x je kniha, Cx: x je kritik, Vx: x je vzdelané, Ox: x je osoba, Sxy: x schvaľuje y, Čxy: x číta y, Hxy: x hovorí o y, Lxy: x lichoti y, Pxy: x píše y.)
- 71 -
12. Umelecké dielo, ktoré rozpráva príbeh, vie každý pochopiť. Niektoré náboženské umelecké diela vytvorili skvelí umelci. Každé náboženské umelecké dielo rozpráva inšpiratívny príbeh. Preto, ak niektorí ľudia obdivujú iba to, čo nedokážu pochopiť, potom niektoré veľké výtvarne diela skvelých umelcov nebudú obdivované zo strany všetkých. (Ux: x je skvelý umelec, Ox: x je osoba, Sx: x je príbeh, Ix: x je inšpiratívne, Nx: x je náboženské, Dx: x je umelecké dielo, Vxy: x vytvoril y, Axy: x obdivuje y, Rxy: x rozpráva y, Pxy: x môže pochopiť y).
13. Akýkoľvek kôň vie predbehnúť akéhokoľvek psa. Niektorí chrti vedia predbehnúť akéhokoľvek zajaca. Preto, akýkoľvek kôň vie predbehnúť akéhokoľvek zajaca. (K, R, P, H, Z)
viii. Narábanie s Identitou 1. a = b |– b = a 2. a = b & b = c |– a = c 3. Fa –||– (x)(x = a & Fx) 4. |– (x)(x = x) 5. |– (x)(y)(x = y → y = x) 6. |– (x)(y)(z)(x = y & y = z → x = z) 7. Len Ján a strážca na bráne vedia heslo. Niekto, kto vie heslo, ukradol bicykel. To zamená, že Ján alebo strážca na bráne ukradol bicykel. Použite tieto skratky: (Z) vedieť heslo; (m) Ján; (n) strážca na bráne; (U) ukradnúť bicykel.
- 72 -
3. RIEŠENIA ÚLOH
- 73 -
①. Riešenia úloh z výrokovej logiky
A6. 3. (A ˄ (B ˄ C)) ˅ [A → (¬B ˅ ¬C)]
5. ((A ˄ B) ˄ C) → (B ˅ Q)
A B C Q ( ( A ˄ B ) ˄ C ) → ( B Q )
T T T T T T T T T T T T T
T T T F T T T T T T T T F
T T F T T T T F F T T T T
T T F F T T T F F T T T F
T F T T T F F F T T F T T
T F T F T F F F T T F F F
T F F T T F F F F T F T T
T F F F T F F F F T F F F
F T T T F F T F T T T T T
F T T F F F T F T T T T F
F T F T F F T F F T T T T
F T F F F F T F F T T T F
F F T T F F F F T T F T T
F F T F F F F F T T F F F
F F F T F F F F F T F T T
F F F F F F F F F T F F F
B. Spojky Riešenia pre B1. 1-20 1. P ¬Q 2. ¬P → ¬T 3. P→T 4. T→P 5. ¬P v T (alebo ¬T →¬P) 6. (T → P) → ¬U7. (Q ¬S) → R8. (¬P¬R) → ¬T alebo ¬(P v R) → ¬T9. ¬T v (P v R) (alebo ako v 8.)
- 74 -
10. (P R) → T11. T (¬P¬R) alebo T ¬ (P v R) 12. R→ (Q→P)13. T→U 14. ¬T → ¬ (P v R)15. (Q → R) (P →Q) → (P → R)16. (P v R) ¬(P R) → Q17. (P Q) ¬R → (¬T (S U))18. T ↔ S 19. (¬U → (¬Q → ¬P)) alebo ¬U → (¬P v Q) 20. ((P → Q) → P) → P
Riešenia pre B2. 21-25
21. (P Q) → R 22. ¬Q S 23. (P → (¬Q → ¬R)) alebo (¬Q → ¬R) v ¬P24. (T ¬P) → ¬R25. (T P) → (R ¬Q)
C1 Riešenia 1. P →(P → Q), P |– Q
1 (1) P → (P → Q) A
2 (2) P A1,2 (3) P → Q 1,2 MPP
1,2 (4) Q 2,3MPP 2. ¬P → ¬Q, Q |– P MTT
1 (1) ¬P → ¬Q A 2 (2) Q A 2 (3) ¬ ¬Q 2 DN 1,2 (4) ¬ ¬P 1,3 MTT 1,2 (5) P 4 DN
3. P, Q |— P ˄ Q
1 (1) P A2 (2) Q A1,2 (3) P ˄ Q 1,2 ˄I
4 P ˄ Q |— P
1 (1) P ˄ Q A 1 (2) P 1 ˄E
5 P ˄ Q |— Q
1 (1) P ˄ Q A 1 (2) Q 1 ˄E
6 P ˄ (Q ˄ R) |- Q ˄ (P ˄ R)
1 (1) P ˄ (Q ˄ R) A
- 75 -
1 (2) P 1 ˄E 1 (3) Q ˄ R 1 ˄E 1 (4) Q 3 ˄E 1 (5) R 3 ˄E 1 (6) P ˄ R 2,5 ˄I 1 (7) Q ˄ (P ˄ R) 4,6 ˄I
7 (P ˄ Q) → R |— P → (Q → R)
1 (1) (P ˄ Q) → R A 2 (2) P A 3 (3) Q A 2,3 (4) P ˄ Q 2,3 ˄I1,2,3 (5) R 1,4 MPP1,2 (6) Q → R 3,5 CP 1 (7) P → (Q → R) 2,6 CP
8 P → (Q → R) |— (P ˄ Q) → R
1 (1) P → (Q → R) A 2 (2) P ˄ Q A 2 (3) P 2 ˄E 2 (4) Q 2 ˄E 1,2 (5) Q → R 1,3 MPP 1,2 (6) R 4,5 MPP 1 (7) (P ˄ Q) → R 2,6 CP
9 ¬P → (Q ˄ R), (¬P ˅ S) → ¬T, U ˄ ¬P |— (U ˄ R) ˄ ¬T 1 (1) ¬P → (Q ˄ R) A 2 (2) (¬P ˅ S) → ¬T A 3 (3) U ˄ ¬P A 3 (4) ¬P 3 ˄E 1,3 (5) Q˄R 1,4 MPP 1,3 (6) R 5˄E 3 (7) U 3 ˄E 1,3 (8) U ˄ R 6,7 ˄I 3 (9) ¬P ˅ S 4 ˅I 2,3 (10) ¬T 2,9 MPP 1,2,3 (11) (U ˄ R) ˄ ¬T 8,10˄I 10 P ˄ (Q ˄ R), (P ˄ R) ↔ ¬S, S ˅ T |— T 1 (1) P ˄ (Q ˄ R) A 2 (2) (P ˄ R) → ¬S A 3 (3) S˅T A (4) P 1 ˄E (5) Q˄R 1 ˄E (6) R 5˄E (7) P˄R 4,6 ˄I 1,2 (8) ¬S 2,7MPP 1,2,3 (9) T 3,8 SI DS 11 P ˄ Q |— Q ˄ P ˄-komutácia
- 76 -
1 (1) P ˄ Q A 1 (2) P 1 ˄E 1 (3) Q 1 ˄E 1 (4) Q ˄ P 3,2 ˄I 12 Q → R |— (P ˄ Q) → (P ˄ R) 1 (1) Q → R A 2 (2) P ˄ Q A 2 (3) P 2 ˄E 2 (4) Q 2 ˄E 1,2 (5) R 1,4 MPP 1,2 (6) P ˄ Q 3,5 ˄I 1 (7) (P ˄ Q) → (P ˄ R) 2,6 CP 13 P ˅ Q |— Q ˅ P ˅-komutácia 1 (1) P ˅ Q A 2 (2) P A 2 (3) Q ˅ P 2 vI 4 (4) Q A 4 (5) Q ˅ P 4 vI 1 (6) Q ˅ P 1,2,3,4,5 vE 14 Q → R |— (P ˅ Q) → (P ˅ R) 1 (1) Q → R A 2 (2) P ˅ Q A 3 (3) P A 3 (4) P ˅ R 3vI 5 (5) Q A 1,5 (6) R 1,5 MPP 1,5 (7) P ˅ R 6 vI 1,2 (8) P ˅ R 2,3,4,5,7 vE 1 (9) (P ˅ R) → (P ˅ R) 2,8 CP 15 P ˅ (Q ˅ R) |— Q ˅ (P ˅ R) ˅-asociativita
17 P ˄ Q |– P ˅ Q
1 (1) P ˅ (Q ˅ R) A 2 (2) P A 2 (3) P ˅ R 2 vI 2 (4) Q ˅ (P ˅ R) 3 vI 5 (5) Q ˅ R A 6 (6) Q A 6 (7) Q ˅ (P ˅ R) 6 vI 8 (8) R A 8 (9) P ˅ R 8 vI 8 (10) Q ˅ (P ˅ R) 9 vI 5 (11) Q ˅ (P ˅ R) 5,6,7,8,10 vE 1 (12) Q ˅ (P ˅ R) 1,2,4,5,11 vE
- 77 -
1 (1) P ˄ Q A 1 (2) P 1˄E 1 (3) P ˅ Q 2 vI 18 P ˅ ¬R, ¬R →S, ¬P |— S 1 (1) P ˅ ¬R A 2 (2) ¬R→S A 3 (3) ¬P A 1,3 (4) ¬R 1,3 DS1,2,3 (5) S 2,4 MPP 20 P→¬Q, (¬Q ˅R)→¬S, P˄T |— ¬S 1 (1) P→¬Q A 2 (2) ¬Q ˅ R → ¬S A 3 (3) P˄T A 3 (4) P 3˄E 1,3 (5) ¬Q 1,3 MPP 1,3 (6) ¬Q ˅ R 5˅I 1,2,3 (7) ¬S 2,6MPP 23 ¬P,( R ˅ ¬P) → (P ˅ Q) |— Q 1 (1) ¬P A 2 (2) (R ˅ ¬P) → (P ˅ Q) A 1 (3) R˅¬P 1 ˅I 1,2 (4) P˅Q 2,3 MPP 1,2 (5) Q 1,4 DS 25 P |- (P → Q) → Q 1 (1) P A 2 (2) P → Q A 1,2 (3) Q 1,2 MPP 1 (4) (P → Q) → Q 2,3 CP 27 P → (Q ˄ R) |— (P → Q) ˄ (P → R) 1 (1) P→ (Q ˄ R) A 2 (2) P A 1,2 (3) Q ˄ R 1,2MPP
1,2 (4) Q 3˄E 1 (5) P →Q 2,4CP 6 (6) P A 1,6 (7) Q ˄ R 6,1 MPP 1,6 (8) R 7˄E 1 (9) P→R 6,8CP 1 (10) (P → Q) ˄ (P → R) 5,9˄I
C2 Bikondicionál 1 P ↔ Q |— Q ↔ P 1 (1) P ↔ Q A 1 (2) (P → Q) ˄ (Q → P) 1 ↔def
- 78 -
1 (3) P → Q 2 ˄E 1 (4) Q → P 2 ˄E 1 (5) (Q → P) ˄ (P → Q) 4,3 ˄I 1 (6) Q ↔ P 5 ↔def 2 P, P ↔ Q |— Q 1 (1) P A 2 (2) P ↔ Q A 2 (3) (P → Q) ˄ (Q → P) 2 ↔def 2 (4) P → Q 3 ˄E 1,2 (5) Q 1,4 MPP 3 P ↔ Q, Q ↔ R |— P ↔ R 1 (1) P ↔ Q A2 (2) Q ↔ R A1 (3) (P → Q) ˄ (Q → P) 1 ↔def
1 (4) P → Q 3 ˄E1 (5) Q → P 3 ˄E2 (6) (Q → R) ˄ (R → Q) 2 ↔def
2 (7) Q → R 6 ˄E2 (8) R → Q 6 ˄E9 (9) P A1,9 (10) Q 4,9 MPP1,2,9 (11) R 7,10 MPP1,2 (12) P → R 9,11 CP13 (13) R A2,13 (14) Q 8,13 MPP1,2,13 (15) P 5,14 MPP1,2 (16) R → P 13,15 CP1,2 (17) (P → R) ˄ (R → P) 12,16 ˄I1,2 (18) P ↔ R 17 ↔def
4 (P ˄ Q) ↔ P |— P → Q 1 (1) (P ˄ Q) ↔ P A1 (2) ((P ˄ Q) → P) ˄ (P → (P ˄ Q)) 1 ↔def
1 (3) P → (P ˄ Q) 2 ˄E4 (4) P A1,4 (5) P ˄ Q 3,4 MPP1,4 (6) Q 5 ˄E1 (7) P → Q 4,6 CP 5 P ˄ (P ↔ Q) |— P ˄ Q
1 (1) P ˄ (P ↔ Q) A 1 (2) P ˄ ((P → Q) ˄ (Q → P)) 1 ↔def 1 (3) P 2 ˄E 1 (4) (P → Q) ˄ (Q → P) 2 ˄E 1 (5) P → Q 4 ˄E 1 (6) Q 3,5 MPP 1 (7) P ˄ Q 3,6 ˄I
- 79 -
C3 1 (P ˄ Q) → R —||— P → (Q → R). a) (P ˄ Q) → R |— P → (Q → R)
1 (1) (P ˄ Q) → R A 2 (2) P A 3 (3) Q A2,3 (4) P ˄ Q 2,3 ˄I 1,2,3 (5) R 1,4 MPP1,2 (6) Q → R 3,5 CP 1 (7) P → (Q → R) 2,6 CP
b) P → (Q → R) |— (P ˄ Q) → R
1 (1) P → (Q → R) A 2 (2) P ˄ Q A 2 (3) P 2 ˄E 2 (4) Q 2 ˄E 1,2 (5) Q → R 1,3 MPP 1,2 (6) R 4,5 MPP 1 (7) (P ˄ Q) → R 2,6 CP
2 P ˄ (P ˅ Q) —||— P (a) P ˄ (P ˅ Q) |— P
1 (1) P ˄ (P ˅ Q) A 1 (2) P 1 ˄E
(b) P |— P ˄ (P ˅ Q)
1 (1) P A 1 (2) P ˅ Q 1 vI 1 (3) P ˄ (P ˅ Q) 1,2 ˄I
3 P ˅ (P ˄ Q) —||— P (a) P ˅ (P ˄ Q) |— P
1 (1) P ˅ (P ˄ Q) A 2 (2) P A 3 (3) P ˄ Q A 3 (4) P 3 ˄E 1 (5) P 1,2,2,3,4 vE
(b) P |— P ˅ (P ˄ Q)
1 (1) P A 1 (2) P ˅ (P ˄ Q) 1 vI
4 P ˅ P —||— P ˅-idempotencia (a) P ˅ P |— P
1 (1) P ˅ P A 2 (2) P A 1 (3) P 1,2,2,2,2 vE
(b) P |— P ˅ P
- 80 -
1 (1) P A 1 (2) P ˅ P 1 vI 5 P ↔ Q —||— Q ↔ P (a) P↔Q |— Q↔P 1 (1) P↔Q A 1 (2) P→Q 1 ↔E 1 (3) Q→P 1 ↔E 1 (4) Q↔P 2,3 ↔I (b) Q↔P |— P↔Q 1 (1) Q↔P A 1 (2) Q→P 1 ↔E 1 (3) P→Q 1 ↔E 1 (4) P↔Q 2,3 ↔I 6 P→(Q→R) —||— (P˄Q) → R, exportácia a importácia a) P→(Q→R) |— (P˄Q) → R, exportácia
1 (1) P→(Q→R) A
2 (2) P˄Q A
2 (3) P 2 ˄E
1,2 (4) Q→R 1,3 MPP
2 (5) Q 2 ˄E
1,2 (6) R 4,5 MPP
1 (7) (P˄Q)→R 2,6 CP
b) (P˄Q) → R |— P→(Q→R), importácia
1 (1) (P˄Q)→R A
2 (2) P A
3 (3) Q A
2,3 (4) P˄Q 2,3 ˄I
1,2,3 (5) R 1,4 MPP
1,2 (6) Q→R 5 CP (3)
1 (7) P→(Q→R) 6 CP (2)
C4 1 P → Q, P → ¬Q |— ¬P Reductio ad absurdum RAA
1 (1) P → Q A2 (2) P → ¬Q A3 (3) P A1,3 (4) Q 1,3 MPP2,3 (5) ¬Q 2,3 MPP1,2,3 (6) Q ˄ ¬Q 4,5 ˄I1,2 (7) ¬P 3,6 RAA
- 81 -
2 P → ¬P |— ¬P 1 (1) P → ¬P A 2 (2) P A 1,2 (3) ¬P 1,2 MPP 1,2 (4) P ˄ ¬P 2,3 ˄I 1 (5) ¬P 2,4 RAA
3 P, ¬(P ˄ Q) |— ¬Q
1 (1) P A2 (2) ¬(P ˄ Q) A3 (3) Q A1,3 (4) P ˄ Q 1,3 ˄I1,2,3 (5) (P ˄ Q) ˄ ¬(P ˄ Q) 2,4 ˄I1,2 (6) ¬Q 3,5 RAA
4 P |- ¬¬P Dvojitá negácia
1 (1) P A2 (2) ¬P A (RAA)1,2 (3) P ˄ ¬P 1,2 ˄I1 (4) ¬¬P 2,3 RAA
5 P → Q, ¬Q |— ¬P MTT RAA
1 (1) P → Q A 2 (2) ¬Q A 3 (3) P A (RAA) 1,3 (4) Q 1,3 MPP 1,2,3 (5) Q ˄ ¬Q 2,4 ˄I 1,2 (6) ¬P 3,5 RAA
6a. P → Q, ¬P → Q |— Q Špeciálna dilema (ŠD) 1 (1) P→Q A
2 (2) ¬P→Q A
3 (3) ¬Q A (RAA)
2,3 (4) P 2,3 MTT
1,2,3 (5) Q 1,4 MPP
1,2,3 (6) Q ˄ ¬Q 3,5 ˄I
1,2 (7) ¬¬Q 3,6 RAA
1,2 (8) Q 7 DN 6b. 1 (1) P→Q A
2 (2) ¬P→Q A
3 (3) P ˅ ¬P TI |— P ˅ ¬P
4 (4) P A
1,4 (5) Q 1,4 MPP
6 (6) ¬P A
- 82 -
2,6 (7) Q 2,6 MPP
1,2 (8) Q 3,4,5,6,7 ˅E
C5 1 P → Q —||— ¬(P ˄ ¬Q) Materiálna implikácia (Impl) (a) P → Q |— ¬(P ˄ ¬Q)
1 (1) P → Q A 2 (2) P ˄ ¬Q A 2 (3) P 2 ˄E 2 (4) ¬Q 2 ˄E 1,2 (5) Q 1,3 MPP 1,2 (6) Q ˄ ¬Q 4,5 ˄I 1 (7) ¬(P ˄ ¬Q) 2,6 RAA
(b) ¬(P ˄ ¬Q) |— P → Q
1 (1) ¬(P ˄ ¬Q) A 2 (2) P A 2 (3) ¬Q 2 ˄E 2,3 (4) P ˄ ¬Q 2,3 ˄I 1,2,3 (5) (P˄¬Q) ˄ ¬(P˄¬Q) 1,4 ˄I 1,2 (6) ¬¬Q 3,5 RAA 1,2 (7) Q 6 DN 1 (8) P → Q 2,7 CP
2 P ˅ Q —||— ¬(¬P ˄ ¬Q) De Morganove pravidlá (DM) (a) P ˅ Q |— ¬(¬P ˄ ¬Q) DM
1 (1) P ˅ Q A 2 (2) ¬P ˄ ¬Q A 3 (3) P A 2 (4) ¬P 2 ˄E 2,3 (5) P ˄ ¬P 3,4 ˄I 3 (6) ¬(¬P ˄ ¬Q) 2,5 RAA 7 (7) Q A 2 (8) ¬Q 2 ˄E 2,7 (9) Q ˄ ¬Q 7,8 ˄I 7 (10) ¬(¬P ˄ ¬Q) 2,9 RAA 1 (11) ¬(¬P ˄ ¬Q) 1,3,6,7,10 ˅E
(b) ¬(¬P ˄ ¬Q) |— P ˅ Q
1 (1) ¬(¬P ˄ ¬Q) A 2 (2) ¬(P ˅ Q) A 3 (3) P A 3 (4) P ˅ Q 3 ˅I 2,3 (5) (P ˅ Q) ˄ ¬(P ˅ Q) 2,4 ˅I 2 (6) ¬P 3,5 RAA 7 (7) Q A 7 (8) P ˅ Q 7 ˅I
- 83 -
2,7 (9) (P ˅ Q) ˄ ¬(P ˅ Q) 2,8 ˄I 2 (10) ¬Q 7,9 RAA 2 (11) ¬P ˄ ¬Q 6,10 ˄I 1,2 (12) (¬P˄¬Q)˄¬(¬P˄¬Q) 1,11 ˄I 1 (13) ¬¬(P ˅ Q) 2,12 RAA 1 (14) P ˅ Q 13 DN
(b’) ¬(¬P ˅ ¬Q) |— P ˄ Q
1 (1) ¬(¬P ˅ ¬Q) A2 (2) ¬P A2 (3) ¬P ˅ ¬Q 2 ˅I1,2 (4) (¬P ˅ ¬Q) ˄ ¬(¬P ˅ ¬Q) 1,3 ˄I1 (5) ¬¬P 2,4 RAA1 (6) P 5 DN7 (7) ¬Q A7 (8) ¬P ˅ ¬Q 7 ˅I1,7 (9) (¬P ˅ ¬Q) ˄ ¬(¬P ˅ ¬Q) 1,8 ˄I1 (10) ¬¬Q 7,9 RAA1 (11) Q 10 DN1 (12) P ˄ Q 6,11 ˄I
3 P ˄ (Q ˅ R) —||— (P ˄ Q) ˅ (P ˄ R) Distribúcia (a) P ˄ (Q ˅ R) |— (P ˄ Q) ˅ (P ˄ R)
1 (1) P ˄ (Q ˅ R) A 2 (2) ¬((P ˄ Q) ˅ (P ˄ R)) A [RAA] 1 (3) P 1 ˄E 1 (4) Q ˅ R 1 ˄E 5 (5) Q A 1,5 (6) P ˄ Q 3,5 ˄I 1,5 (7) (P ˄ Q) ˅ (P ˄ R) 6 ˅I 8 (8) R A 1,8 (9) P ˄ R 3,8 ˄I 1,8 (10) (P ˄ Q) ˅ (P ˄ R) 9 ˅I 1,2 (11) (P ˄ Q) ˅ (P ˄ R) 4,5,7,8,10 ˅E 1 (12) (P ˄ Q) ˅ (P ˄ R) 2,11 RAA
(b) (P ˄ Q) ˅ (P ˄ R) |— P ˄ (Q ˅ R) 1 (1) (P ˄ Q) ˅ (P ˄ R) A2 (2) P ˄ Q A2 (3) Q 2 ˄E2 (4) Q ˅ R 3 ˅I2 (5) P 2 ˄E2 (6) P ˄ (Q ˅ R) 4,5 ˄I7 (7) P ˄ R A7 (8) P 7˄E7 (9) R 7˄E7 (10) Q ˅ R 9 ˅I7 (11) P ˄ (Q ˅ R) 8,10 ˄I1 (12) P ˄ (Q ˅ R) 1,2,6,7,11 ˅E
- 84 -
C6 1 P ↔ Q—||— (P ˄ Q) ˅ (¬P ˄ ¬Q) (a) P ↔ Q |— (P ˄ Q) ˅ ¬P ˄ ¬Q) 1 (1) P↔ Q A 1 (2) P→Q ↔E 1 (3) Q→P ↔E
4 (4) ¬((P ˄ Q) ˅ (¬P ˄ ¬Q) A 5 (5) ¬P A 6 (6) Q A
1,6 (7) P 3,6 MPP 1,5 (8) ¬Q 5,7 RAA (6)
1,5 (9) ¬P ˄ ¬Q 5,8 ˄I 1,5 (10) (P ˄ Q) ˅ (¬P ˄ ¬Q) 9 ˅I 1,4 (11) P 4,10 RAA (5) 1,4 (12) Q 2,11 MPP
1,4 (13) P ˄ Q 11,12 ˄I 1,4 (14) (P ˄ Q) ˅ (¬P ˄ ¬Q) 13 ˅I 1 (15) (P ˄ Q) ˅ (¬P ˄ ¬Q) 4,14 RAA (4) (b) (P ˄ Q) ˅ (¬P ˄ ¬Q) |— P ↔ Q 1 (1) (P ˄ Q) ˅ (¬P ˄ ¬Q) A2 (2) P A3 (3) ¬Q A 4 (4) P ˄ Q A 4 (5) Q 4˄E 3 (6) ¬(P˄Q) 3,5 RAA (4) 1,3 (7) ¬P˄¬Q 1,6 SI DS1,3 (8) ¬P 7 ˄E 1,2 (9) Q 2,8 RAA (3) 1 (10) P→Q 2,9 CP11 (11) Q A [CP] 12 (12) ¬P˄¬Q A [RAA] 12 (13) ¬Q 12˄E 11 (14) ¬(¬P ˄ ¬Q) 11,13 RAA (12) 1,11 (15) P˄Q 1,14 SI DS1,11 (16) P 15˄E 1 (17) Q→P 11,16 CP1 (18) P↔Q 10,17 ↔I 2 P→ (Q ˄ R), (R ˅ ¬Q) → (S ˄ T), T ↔ U |— P → U
1 (1) P → (Q˄R) A
2 (2) (R˅¬Q) → (S˄T) A
3 (3) T↔U A
4 (4) P A
1,4 (5) Q˄R 1,4 MPP
1,4 (6) R 5 ˄E
- 85 -
1,4 (7) R˅¬Q 6 ˅I
1,2,4 (8) S˄T 2,7 MPP
1,2,4 (9) T 8 ˄E
3 (10) T→U 3 ↔E
1,2,3,4 (11) U 9,10 MPP
1,2,3 (12) P→U 4,11 CP
3 (¬P ˅ Q) ˄ R, Q → S |— P → (R → S)
1 (1) (¬P˅Q)˄R A
2 (2) Q→S A
3 (3) P A
4 (4) R A
1 (5) ¬P˅Q 1 ˄E
1,3 (6) Q 3,5 SI DS
1,2,3 (7) S 2,6 MPP
1,2,3 (8) R→S 4,7 CP
1,2 (9) P→(R→S) 3,8 CP
4 Q ˄ R, Q → (P ˅ S), ¬(S ˄ R) |— P
1 (1) Q ˄ R A
2 (2) Q→ (P ˅ S) A
3 (3) ¬(S ˄ R) A
4 (4) ¬P A
1 (5) Q 1 ˄E
1,2 (6) P ˅ S 2,5 MPP
1,2,4 (7) S 4,6 SI DS
1 (8) R 1 ˄E
1,2,4 (9) S ˄ R 7,8 ˄I
1,2,3 (10) P 3,9 RAA (4)
5 P → R ˄ Q, S → (¬R ˅ ¬Q) |— (S ˄ P) → T
1 (1) P→R˄Q A
2 (2) S→(¬R˅¬Q) A
3 (3) S ˄ P A
4 (4) ¬T A
3 (5) S 3 ˄E
2,3 (6) ¬R ˅ ¬Q 2,5 MPP
3 (7) P 3 ˄E
- 86 -
1,3 (8) R˄Q 1,7 MPP
1,3 (9) R 8 ˄E
1,2,3 (10) ¬Q 6,9 SI DS
1,3 (11) Q 8 ˄E
1,2,3 (12) T 10,11 RAA (4)
1,2 (13) (S˄P)→T 3,12 CP
6 R ˄ P, R → (S ˅ Q), ¬(Q ˄ P) |— S
1 (1) R ˄ P A
2 (2) R → (S ˅ Q) A
3 (3) ¬(Q ˄ P) A
4 (4) Q A
1 (5) P 1 ˄E
1,4 (6) Q˄P 4,5 ˄I
1,3 (7) ¬Q 3,6 RAA (4)
1 (8) R 1 ˄E
1,2 (9) S˅Q 2,8 MPP
1,2,3 (10) S 7,9 SI DS
7 P ˄ Q, R ˄ ¬S, Q → (P → T), T → (R → (S ˅ W)) |— W
1 (1) P ˄ Q A
2 (2) R ˄ ¬S A
3 (3) Q → (P → T) A
4 (4) T → (R →( S ˅ W)) A
1 (5) P 1 ˄E
1 (6) Q 1 ˄E
1,3 (7) P→T 3,6 MPP
1,3 (8) T 5,7 MPP
1,3,4 (9) R→(S˅W) 4,8 MPP
2 (10) R 2 ˄E
1,2,3,4 (11) S˅W 9,10 MPP
2 (12) ¬S 2 ˄E
1,2,3,4 (13) W 11,12 SI DS
8 R → ¬P, Q, Q → (P ˅ ¬S) |— S → ¬R
1 (1) R → ¬P A
2 (2) Q A
3 (3) Q → (P ˅ ¬S) A
4 (4) S A
- 87 -
5 (5) R A
1,5 (6) ¬P 1,5 MPP
2,3 (7) P˅¬S 2,3 MPP
1,2,3,5 (8) ¬S 6,7 SI DS
1,2,3,4 (9) ¬R 4,8 RAA (5)
1,2,3 (10) S→¬R 4,9, CP
9 P→Q, P→R, P → S, T → (U → (¬V → ¬S)), Q → T, R → (W → U), V → ¬W, W |— ¬P
1 (1) P → Q A
2 (2) P → R A
3 (3) P → S A
4 (4) T → (U → (¬V → ¬S)) A
5 (5) Q → T A
6 (6) R → (W → U) A
7 (7) V → ¬W A
8 (8) W A
9 (9) P A (RAA)
1,9 (10) Q 1,9 MPP
2,9 (11) R 2,9 MPP
3,9 (12) S 3,9 MPP
1,5,9 (13) T 5,10 MPP
1,4,5,9 (14) U → (¬V → ¬S) 4,13 MPP
2,6,9 (15) W → U 6,11 MPP
2,6,8,9 (16) U 8,15 MPP
1,2,4,5,6,8,9 (17) ¬V → ¬S 14,16 MPP
18 (18) V A
7,18 (19) ¬W 7,18 MPP
7,8 (20) ¬V 8,19 RAA (18)
1,2,4,5,6,7,8,9 (21) ¬S 17,20 MPP
1,2,3,4,5,6,7,8 (22) ¬P 12,21 RAA (9)
10 P ↔ (¬Q ˄ S), P ˄ (¬T → ¬S) |— ¬Q ˄ T
1 (1) P ↔ (¬Q ˄ S) A
2 (2) P ˄ (¬T → ¬S) A
1 (3) P→(¬Q ˄ S) 1, ↔E
2 (4) P 2 ˄E
1,2 (5) ¬Q ˄ S 3,4 MPP
1,2 (6) S 5 ˄E
- 88 -
2 (7) ¬T → ¬S 2 ˄E
8 (8) ¬T A
2,8 (9) ¬S 7,8 MPP
1,2 (10) T 6,9 RAA (8)
1,2 (11) ¬Q 5 ˄E
1,2 (12) ¬Q ˄ T 10,11 ˄I
11 (P ˅ Q) ↔ (P ˄ Q) —||— P ↔ Q (P ˅ Q) ↔ (P ˄ Q)|— P ↔ Q
1 (1) (P ˅ Q) ↔ (P ˄ Q) A
1 (2) (P˅Q) → (P˄Q) 1 ↔E
3 (3) P A
3 (4) P˅Q 3 ˅I
1,3 (5) P˄Q 2,4 MPP
1,3 (6) Q 5 ˄E
1 (7) P→Q 3,6 CP
8 (8) Q A
8 (9) P˅Q 8 ˅I
1,8 (10) P˄Q 2,9 MPP
1,8 (11) P 10 ˄E
1 (12) Q→P 8,11 CP
1 (13) P↔Q 7,12 ↔I
b) P↔Q |— (P ˅ Q) ↔ (P ˄ Q)
1 (1) P↔Q A
1 (2) P→Q 1 ↔E
1 (3) Q→P 1 ↔E
4 (4) P˅Q A
5 (5) ¬P A
4,5 (6) Q 4,5 SI DS
1,4,5 (7) P 3,6 MPP
1,4 (8) P 5,7 RAA (5)
1,4 (9) Q 2,8 MPP
1,4 (10) P˄Q 8,9 ˄I
1 (11) (P˅Q)→(P˄Q) 4,10 CP
12 (12) P˄Q A
12 (13) P 12 ˄E
12 (14) P˅Q 13 ˅I
- 89 -
(15) (P˄Q)→(P˅Q) 12,14 CP
1 (16) (P ˅ Q) ↔ (P ˄ Q) 11,15 ↔I
C7 1 ¬Q |— P → (Q → R) a) so základnými pravidlami
1 (1) ¬Q A 2 (2) P A 3 (3) Q A 4 (4) ¬R A 3,4 (5) Q ˄ ¬R 3,4 ˄I 2,3,4 (6) P ˄ (Q ˄ ¬R) 2,5 ˄I 2,3,4 (7) Q ˄ ¬R 6 ˄E 2,3,4 (8) Q 7 ˄E 1,2,3,4 (9) Q ˄ ¬Q 1,8 ˄I 1,2,3 (10) ¬¬R 4,9 RAA 1,2,3 (11) R 10 DN 1,2 (12) Q → R 3,11 CP 1 (13) P → (Q → R) 2,12 CP
b) s odvodenými pravidlami
1 (1) ¬Q A1 (2) Q → R 1 SI (¬P |– P → Q) 1 (3) P → (Q → R) 2 SI (P |– Q → P)
2 E → (F → G) |— F → (E → G)
1 1. E → (F → G) F → (E → G)
2 2. F A3 3. E A1,3 4. F → G 1,3 MPP1,2,3 5. G 2,4 MPP1,2 6. E → G 3,5 CP1 7. F → (E → G) 2,6 CP
3 (P → Q) →Q —||— P ˅ Q a) (P → Q) → Q |— P ˅ Q
1 (1) (P → Q) → Q A (2) P ˅ ¬P TI (ET)3 (3) P A3 (4) P ˅ Q 3 ˅I
5 (5) ¬P A
5 (6) P → Q 5 SI ¬P |– P → Q
1,5 (7) Q 1,6 MPP1,5 (8) P ˅ Q 7 ˅I
- 90 -
1 (9) P ˅ Q 2,3,4,5,8 ˅E
b) P ˅ Q |— (P → Q) → Q
1 (1) P ˅ Q A 2 (2) P → Q A 3 (3) P A 2,3 (4) Q 2,3 MPP 5 (5) Q A 1,2 (6) Q 1,3,4,5,5 ˅E 1 (7) (P → Q) → Q 2,6 CP
4 P |— (P ˄ Q) ˅ (P ˄ ¬Q)
1 (1) P A (2) Q ˅ ¬Q TI Taut 3 (3) Q A 1,3 (4) P ˄ Q 1,3 ˄I 1,3 (5) (P ˄ Q) ˅ (P ˄ ¬Q) 4 vI 6 (6) ¬Q A 1,6 (7) P ˄ ¬Q 1,6 ˄I 1,6 (8) (P ˄ Q) ˅ (P ˄ ¬Q) 7 vI 1 (9) (P ˄ Q) ˅ (P ˄ ¬Q) 2,3,5,6,8 vE
5 P → Q |— (P ˄ Q) ↔ P
1 (1) P → Q A (2) (P ˄ Q) → P TI |– (P ˄ Q) → P 3 (3) P A 1,3 (4) Q 1,3 MPP 1,3 (5) P ˄ Q 3,4 ˄I 1 (6) P → (P ˄ Q) 3,5 CP 1 (7) ((P ˄ Q) → P) ˄ (P → (P ˄ Q)) 2,6 ˄I 1 (8) P ˄ Q ↔ P 7 ↔def
6 P ˄ ¬P |– Q ex falso quodlibet, pravidlo pseudo-Scota
1 (1) P ˄ ¬P A 1 (2) P 1 ˄E 1 (3) ¬P 1 ˄E 1 (4) P ˅ Q 2 ˅I 1 (5) Q 3,4 SI DS
7 ¬P ˅ Q |— P → Q
1 (1) ¬P ˅ Q A 1 (2) ¬(¬¬P ˄ Q) 1 SI DM 1 (3) ¬¬P → Q 2 Impl 4 (4) P A 4 (5) ¬¬P 4 DN 1,4 (6) Q 3,5 MPP 1 (7) P → Q 4,6 CP
- 91 -
9 P |— Q → P 1 (1) P A 1 (2) ¬Q ˅ P 1 ˅I 1 (3) Q → P 2 SI Impl
10 ¬P |— P → Q
1 (1) ¬P A 1 (2) ¬P ˅ Q 1 ˅I 1 (3) P → Q 2 SI Impl
11 ¬P, P ˅ Q |— Q DS
1 (1) ¬P A 2 (2) P ˅ Q A 3 (3) P A 1 (4) P → Q 1 SI FA 1,3 (5) Q 3,4 MPP 6 (6) Q A 1,2 (7) Q 2,3,5,6,6 vE
12 ¬Q, P ˅ Q |— P DS (pozry 11.)
D1 1 ¬P |— P → Q
1 1. ¬A A A → B
1 2. A → B 1 FA 2 C |— D → C (pravdivý konzekvent, TC) a)
1 1. C A D → C
2 2. D 1 A1 3. D → C 1,2 CP
b) 1 1. C A
D → C 1 2. C ˅ ¬D 1 ˅I 1 3. ¬D ˅ C 2 Com1 4. D → C 3 Impl
3 E → (F → G) |— F → (E → G)
1 1. E → (F → G) A F → (E → G)
1 2. (E ˄ F) → G 1 exp 1 3. (F ˄ E) → G 2 com 1 4. F → (E → G) 3 exp
4 H → (I ˄ J) |— H → I
- 92 -
1 1. H → (I ˄ J) A H → I
1 2. ¬H ˅ (I ˄ J) 1 impl 1 3. (¬H ˅ I) ˄ (¬H ˅ J) 2 dist1 4. ¬H ˅ I 3 ˄E1 5. H → I 4 impl
5 K → L |— K → (L ˅ M)
1 1. K → L A K → (L ˅ M)
1 2. ¬K ˅ L 1 impl1 3. (¬K ˅ L) ˅ M 2 ˅I1 4. ¬K ˅ (L ˅ M) 3 asoc1 5. K → (L ˅ M) 4 impl
6 N → O |— (N ˄ P) → O
1 1. N → O (N ˄ P) → O
1 2. ¬N ˅ O 1 impl1 3. (¬N ˅ O) ˅ ¬P 2 ˅I1 4. ¬N ˅ (O ˅ ¬P) 3 asoc 1 5. ¬N ˅ (¬P ˅ O) 4 com 1 6. (¬N ˅ ¬P) ˅ O 5 asoc 1 7. ¬(N ˄ P) ˅ O 6 SI DM1 8. (N ˄ P) → O 7 imp
7 (Q ˅ R) → S |— Q → S
1 1. (Q ˅ R) → S A Q → S
1 2. ¬(Q ˅ R) ˅ S 1 impl 1 3. (¬Q ˄ ¬R) ˅ S 2 DM1 4. S ˅ (¬Q ˄ ¬R) 3 com1 5. (S ˅ ¬Q) ˄ (S ˅ ¬R) 4 dist1 6. S ˅ ¬Q 5 simp 1 7. ¬Q ˅ S 6 com1 8. Q → S 7 impl
8 T → ¬(U → V) |— T → U
1 1. T → ¬(U → V) A T → U
1 2. T → ¬(¬U ˅ V) 1 impl1 3. T → (U ˄ ¬V) 2 DM1 4. ¬T ˅ (U ˄ ¬V) 3 impl1 5. (¬T ˅ U) ˄ (¬T ˅ ¬V) 4 dist 1 6. ¬T ˅ U 5 simp 1 7. T → U 6 impl
9 W → (X ˄ ¬Y) |— W → (Y → X)
1 1. W → (X ˄ ¬Y) A W → (Y → X)
1 2. ¬W ˅ (X ˄ ¬Y) 1 impl
- 93 -
1 3. (¬W ˅ X) ˄ (¬W ˅ ¬Y) 2 dist 1 4. ¬W ˅ ¬Y 3 com, simp1 5. (¬W ˅ ¬Y) ˅ X 4 ˅I 1 6. ¬(W ˄ Y) ˅ X 5 SI DM1 7. (W ˄ Y) ˅ X 6 impl1 8. (W → (Y → X) 7 exp
10 A → ¬(B → C), (D ˄ B) → C, D |— ¬A
1 1. A → ¬(B → C) A2 2. (D ˄ B) → C A3 3. D A
¬A 2 4. D → (B → C) 2 exp 2,3 5. B → C 3,4 MPP1,2,3 6. ¬A 1,5 MTT
11 E → F, E → G |— E → (F ˄ G)
1 1. E → F A2 2. E → G A
E → (F ˄ G) 1 3. ¬E ˅ F 1 impl 2 4. ¬E ˅ G 2 impl 1,2 5. (¬E ˅ F) ˄ (¬E ˅ G) 3,4 ˄I1,2 6. ¬E ˅ (F ˄ G) 5 dist1,2 7. E → (F ˄ G) 6 impl
12 H → (I ˅ J), ¬I |— H → J
1 1. H → (I ˅ J) A2 2. ¬I A
H → J 1 3. ¬H ˅ (I ˅ J) 1 impl1 4. ¬H ˅ (J ˅ I) 3 com1 5. (¬H ˅ J) ˅ I 4 asoc1,2 6. ¬H ˅ J 2,5 DS1,2 7. H ˅ J 6 impl
13 (K ˅ L) → ¬(M ˄ N), (¬M ˅ ¬N) → (O ↔ P), (O ↔ P) → (Q ˄ R) |— (L ˅ K) → (R ˄ Q)
1 1. (K ˅ L) → ¬(M ˄ N)2 2. (¬M ˅ ¬N) → (O ↔ P)3 3. (O ↔ P) → (Q ˄ R)
(L ˅ K) → (R ˄ Q) 1 4. (K ˅ L) → (¬M ˅ ¬N) 1 SI DM1,2 5. (K ˅ L) → (O ↔ P) 2,4 SI HS1,2,3 6. (K ˅ L) → (Q ˄ R) 5,3 SI HS1,2,3 7. (L ˅ K) → (R ˄ Q) 6 com, com
14 S → T, S ˅ T |— T
1 1. S → T A2 2. S ˅ T A
T 1 3. ¬T → ¬S 1 transp
- 94 -
2 4. ¬S → T 2 impl1,2 5. ¬T → T 3,4 SI HS1,2 6. T ˅ T 5 impl1,2 7. T 6 taut
15 (¬U ˅ V) ˄ (U ˅ W), ¬X → ¬W |— V ˅ X
1 1. (¬U ˅ V) ˄ (U ˅ W)2 2. ¬X → ¬W
V ˅ X 1 3. ¬U ˅ V 1 ˄E 1 4. U → V 3 impl1 5. U ˅ W 1 ˄E 1 6. ¬U → W 3 impl1,2 7. ¬W → U 2,6 tranz1,2 8. ¬X → U 1,7 SI HS1,2 9. ¬X → V 4,8 SI HS1,2 10. X ˅ V 9 impl1,2 11. V ˅ X 10 com
16 A → (B → C), C → (D ˄ E) |— A → (B → D)
1 1. A → (B → C) A 2 2. C → (D ˄ E) A
A → (B → D) 2 3. ¬C ˅ (D ˄ E) 2 impl2 4. (¬C ˅ D) ˄ (¬C ˅ E) 3 dist 2 5. ¬C ˅ D 4 ˄E 2 6. C ˅ D 5 impl1 7. (A ˄ B) → C 1 exp 1,2 8. (A ˄ B) → D 7,6 HS 1,2 9. A → (B → D) 8 exp
17 E → F, G → F |— (E ˅ G) → F
1 1. E → F A2 2. G → F A
(E ˅ G) → F 1 3. ¬E ˅ F 1 impl 2 4. ¬G ˅ F 2 impl 1,2 5. (¬E ˅ F) ˄ (¬G ˅ F) 3,4 ˄I1,2 6. (F ˅ ¬E) ˄ (F ˅ ¬G) 5 com, com1,2 7. F ˅ (¬E ˄ ¬G) 6 dist1,2 8. (¬E ˄ ¬G) ˅ F 7 com1,2 9. ¬(E ˅ G) ˅ F 8 DM1,2 10. (E ˅ G) → F 9 impl
18 [(H ˄ I) → J] ˄ [¬K → (I ˄ ¬J)] |— H → K
1 1. [(H ˄ I) → J] ˄ [¬K → (I ˄ ¬J)] A H → K
1 2. (H ˄ I) → J 1 ˄E1 3. ¬K → (I ˄ ¬J) 1 ˄E1 4. H → (I → J) 2 exp2 5. ¬(I ˄ ¬J) → K 3 transp
- 95 -
1 6. (¬I ˅ J) → K 5 DM1 7. (I → J) → K 6 impl1 8. H → K 4,7 HS
19 [L ˄ (M ˅ N)] → (M ˄ N) |— L → (M → N) 1 1. [L ˄ (M ˅ N)] → (M ˄ N) A
L → (M → N) 1 2. L → [(M ˅ N) → (M ˄ N)] 1 exp 1 3. L → [¬(M ˅ N) ˅ (M ˄ N)] 2 impl 1 4. L → [[¬(M ˅ N) ˅ M] ˄ [¬(M ˅ N) ˅ N]] 3 dist 1 5. L → [[(¬M ˄ ¬N) ˅ M] ˄ [(¬M ˄ ¬N) ˅ N] 4 DM, DM 1 6. L → [(M ˅ ¬M) ˄ (M ˅ N) ˄ (N ˅ ¬M) ˄ (N ˅ ¬N)] 5 dist, dist 1 7. ¬L ˅ [(M ˅ ¬M) ˄ (M ˅ N) ˄ (N ˅ ¬M) ˄ (N ˅ ¬N)] 6 impl 1 8. [¬L ˅ (M ˅ ¬M)] ˄ [¬L ˅ (M ˅ N)] ˄ [¬L ˅ (N˅¬M)] ˄ [¬L ˅ (N ˅ ¬N)] 7 dist 1 9. ¬L ˅ (N ˅ ¬M) 8 simp 1 10. ¬L ˅ (¬M ˅ N) 9 con 1 11. ¬L ˅ (M → N) 10 impl 1 12. L → (M → N) 11 impl
20 O → (P → Q), P → (Q → R) |— O → (P → R)
1 1. O → (P → Q) A2 2. P → (Q → R) A
O → (P → R) 2 3. ¬P ˅ (Q → R) 2 impl2 4. ¬P ˅ (¬Q ˅ R) 3 impl2 5. (¬P ˅ ¬Q) ˄ (¬P ˅ R) 4 dist2 6. ¬P ˅ R 5 ˄E2 7. (¬P ˅ R) ˅ ¬O 6 ˅I2 8. ¬O ˅ (¬P ˅ R) 7 com2 9. O → (¬P ˅ R) 8 impl2 10. O → (P → R) 9 impl
Dôkaz je dosiahnuteľný len na základe druhého predpokladu 21 S → (T ˄ U), (T ˅ U) → V, ¬S ˅(T ˄ U) |— S → V
1 1. S → (T ˄ U) A2 2. (T ˅ U) → V A3 3. ¬S ˅ (T ˄ U) A
S → V 3 4. (¬S ˅ T) ˄ (¬S ˅ U) 3 dist3 5. ¬S ˅ T 4 ˄E3 6. S → T 5 impl2 7. ¬(T ˅ U) ˅ V 2 impl2 8. (¬T ˄ ¬U) ˅ V 7 DM2 9. V ˅ (¬T ˄ ¬U) 8 com2 10. (V ˅ ¬T) ˄ (V ˅ ¬U) 9 dist2 11. V ˅ ¬T 10 ˄E2 12. ¬T ˅ V 11 com2 13. T → V 12 impl2,3 14. S → V 6,13 HS
Dôkaz je dosiahnuteľný len na základe druhého a tretieho predpokladu
- 96 -
22 ¬W ˅ [(X → Y) ˄ (Z → Y)], W ˄ (X ˅ Z) |— Y 1 1. ¬W ˅ [(X → Y) ˄ (Z → Y)] A 2 2. W ˄ (X ˅ Z) A
Y 2 3. W 2 ˄E 2 4. X ˅ Z 2 ˄E 1,2 5. (X → Y) ˄ (Z → Y) 1,3 DS1,2 6. Y ˅ Y 4,5 CD1,2 7. Y 6 taut
23 (A ˅ B) → (C ˄ D), ¬A → (E → ¬E), ¬C |— ¬E
1 1. (A ˅ B) → (C ˄ D) A2 2. ¬A → (E → ¬E) A3 3. ¬C A
¬E 1 4. ¬(A ˅ B) ˅ (C ˄ D) 1 impl1 5. [¬(A ˅ B) ˅ C] ˄ [¬(A ˅ B) ˅ D] 4 dist1 6. ¬(A ˅ B) ˅ C 5 ˄E1,3 7. ¬(A ˅ B) 3,6 DS1,3 8. ¬A ˄ ¬B 7 DM1,3 9. ¬A 8 ˄E1,2,3 10. E → ¬E 2,9 MP1.2.3 11. ¬E ˅ ¬E 10 impl1,2, 3 12. ¬E 11 taut
24 (F → G) ˄ (H → I), F ˅ H, (F → ¬I) ˄ (H → ¬G) |— G ↔ ¬I
1 1. (F → G) ˄ (H → I) A 2 2. F ˅ H A 3 3. (F → ¬I) ˄ (H → ¬G) A
G ↔ ¬I 1,2 4. G ˅ I 1,2 CD2,3 5. ¬I ˅ ¬G 2,3 CD2,3 6. ¬G ˅ ¬I 5 com2,3 7. G → ¬I 6 impl1,2 8. I ˅ G 4 com1,2 9. ¬I → G 8 impl1,2,3 10. (G → ¬I) ˄ (¬I → G) 7,9 conj1,2,3 11. G ↔ ¬I 10 equiv
25 E → (F → G) |— F → (E → G)
1 1. E → (F → G) A F → (E → G)
1 2. (E ˄ F) → G 1 Exp 1 3. (F ˄ E) → G 2 Com1 4. F → (E → G) 3 Exp
26 Q ˅ (R ˄ S), (Q → T) ˄ (T → S) |— S
1 1. Q ˅ (R ˄ S) A2 2. (Q → T) ˄ (T → S) A
S 1 3. (Q ˅ R) ˄ (Q ˅ S) 1 dist
- 97 -
1 4. Q ˅ S 3 ˄E2 5. Q → T 2 ˄E2 6. T → S 2 ˄E2 7. Q → S 5,6 SI HS1 8. ¬Q → S 4 impl 1 9. ¬S → Q 8 transp1,2 10. ¬S → S 9,7 SI HS1,2 11. S ˅ S 10 impl1,2 12. S 11 taut
27 (U → V) ˄ (W → X) |— (U ˅ W) → (V ˅ X)
1 1. (U → V) ˄ (W → X) (U ˅ W) → (V ˅ X)
1 2. (U → V) 1 ˄E1 3. ¬U ˅ V 2 impl1 4. (¬U ˅ V) ˅ X 3 ˅I1 5. ¬U ˅ (V ˅ X) 4 asoc1 6. (V ˅ X) ˅ ¬U 5 com1 7. W → X 1 ˄E1 8. ¬W ˅ X 7 impl1 9. (¬W ˅ X) ˅ V 8 ˅I1 10. ¬W ˅ (X ˅ V) 9 asoc1 11. ¬W ˅ (V ˅ X) 10 com1 12. (V ˅ X) ˅ ¬W 11 com1 13. [(V ˅ X) ˅ ¬U] ˄ [(V ˅ X) ˅ ¬W] 6,12 ˄I1 14. (V ˅ X) ˅ (¬U ˄ ¬W) 13 dist1 15. (¬U ˄ ¬W) ˅ (V ˅ X) 14 com1 16. ¬(U ˅ W) ˅ (V ˅ X) 15 SI DM1 17. (U ˅ W) → (V ˅ X) 16 impl
Dôkaz s pomocou CP je krátšy. 28 (Y → Z) ˄ (A → B) |— (Y ˄ A) → (Z ˄ B)
1 1. (Y → Z) ˄ (A → B) A (Y ˄ A) → (Z ˄ B)
1 2. (Y → Z) 1 ˄E1 3. ¬Y ˅ Z 2 impl1 4. (¬Y ˅ Z) ˅ ¬A 3 ˅I1 5. ¬Y ˅ (Z ˅ ¬A) 4 asoc1 6. ¬Y ˅ (¬A ˅ Z) 5 com1 7. A → B 1 ˄E1 8. ¬A ˅ B 7 impl1 9. (¬A ˅ B) ˅ ¬Y 8 ˅I1 10. ¬Y ˅ (¬A ˅ B) 9 com1 11. [¬Y ˅ (¬A ˅ Z)] ˄ [¬Y ˅ (¬A ˅ B)] 6,10 ˄I1 12. ¬Y ˅ [(¬A ˅ Z) ˄ (¬A ˅ B)] 11 dist1 13. ¬Y ˅ [¬A ˅ (Z ˄ B)] 12 dist1 14. ¬Y ˅ [A → (Z ˄ B)] 13 impl1 15. Y → [A → (Z ˄ B)] 14 impl1 16. (Y ˄ A) → (Z ˄ B) 15 exp
Dôkaz s pomocou CP je kratší. 29 (C → D) ˄ (E → F), G → (C ˅ E) |— G → (D ˅ F)
- 98 -
1 1. (C → D) ˄ (E → F) A 2 2. G → (C ˅ E) A
G → (D ˅ F) 2 3. ¬G ˅ (C ˅ E) 2 impl2 4. (¬G ˅ C) ˅ E 3 asoc2 5. (C ˅ ¬G) ˅ E 4 com2 6. C ˅ (¬G ˅ E) 5 asoc2 7. ¬C → (¬G ˅ E) 6 impl1 8. C → D 1 ˄E 1 9. ¬D → ¬C 8 transp 1,2 10. ¬D → (¬G ˅ E) 9,7 HS 1,2 11. D ˅ (¬G ˅ E) 10 impl 1,2 12. D ˅ (E ˅ ¬G) 11 com 1,2 13. (D ˅ E) ˅ ¬G 12 asoc 1,2 14. (E ˅ D) ˅ ¬G 13 com 1,2 15. E ˅ (D ˅ ¬G) 14 asoc 1,2 16. ¬E → (D ˅ ¬G) 15 impl 1 17. E → F 1 ˄E 1 18. ¬F → ¬E 17 transp1,2 19. ¬F → (D ˅ ¬G) 18,16 HS1,2 20. F ˅ (D ˅ ¬G) 19 impl 1,2 21. (D ˅ ¬G) ˅ F 20 com 1,2 22. (¬G ˅ D) ˅ F 21 com 1,2 23. ¬G ˅ (D ˅ F) 22 asoc 1,2 24. G → (D ˅ F) 23 impl
30 (H → I) ˄ (J → K), H ˅ J, (H → ¬K) ˄ (J → ¬I), (I ˄ ¬K) → L, K → (I ˅ M) |— L ˅ M
1 1. (H → I) ˄ (J → K) A2 2. H ˅ J A3 3. (H → ¬K) ˄ (J → ¬I) A4 4. (I ˄ ¬K) → L A5 5. K → (I ˅ M) A
L ˅ M 1,2 6. I ˅ K 1,2 CD2,3 7. ¬K ˅ ¬I 2,3 CD1,2 8. ¬I → K 6 impl2,3 9. K → ¬I 7 impl1,2,3 10. ¬I → ¬I 8,9 HS1,2,3 11. I ˅ ¬I 10 impl4 12. (¬K ˄ I) → L 4 com4 13. ¬K → (I → L) 12 exp2,3 14. I → ¬K 9 transp2,3,4 15. I → (I → L) 14,13 HS2,3,4 16. (I ˄ I) → L 15 exp2,3,4 17. I → L 16 taut1,2,5 18. ¬I → (I ˅ M) 8,5 HS1,2,5 19. I ˅ (I ˅ M) 18 impl1,2,5 20. (I ˅ I) ˅ M 19 asoc1,2,5 21. I ˅ M 20 taut1,2,5 22. ¬I → M 21 impl1,2,3,4,5 23. (I → L) ˄ (¬I → M) 17,22 ˄I1,2,3,4,5 24. L ˅ M 23,11 CD
- 99 -
D2.
1. 1 1) (D ˄ E) ˅ (B → P) A 2 2) ¬(D ˄ E) A ∴ B → P 1,2 3) B → P 1,2 SI DS
2. 1 1) (K ˄ O) → (N ˅ T ) A 2 2) K ˄ O A ∴ N ˅ T 1,2 3) N ˅ T 1,2 MPP
3. 1 1) (M ˅ P) → ¬K A 2 2) D → (M ˅ P) A ∴ D → ¬K 1 3) K → ¬ (M ˅ P) 1 SI Transp 1,2 4) D → ¬K 2,3 SI HS
4. 1 1) ¬¬(R ˅ W) A 2 2) S → ¬(R ˅ W) A ∴ ¬S 1,2 3) ¬S 1,2 MTT
5 1 1) ¬C → (A → C) A 2 2) ¬C A ∴ ¬A 1,2 3) A → C 1,2 MPP 1,2 4) ¬A 2,3 MTT
6 1 1) F ˅ (D → T ) A 2 2) ¬F A 3 3) D A ∴ T 1,2 4) D → T 1,2 SI DS 1,2,3 5) T 3,4 MPP
7 1 1) (K ˄ B) ˅ (L → E) A 2 2) ¬(K ˄ B) A 3 3) ¬E A ∴ ¬L 1,2 4) L → E 1,2 SI DS 1,2,3 5) ¬L 3,4 MTT
- 100 -
8 1 1) P → (G → T ) A 2 2) Q → (T → E) A 3 3) P A 4 4) Q A ∴ G → E 1,3 5) G → T 1,3 MPP 2,4 6) T → E 2,4 MPP 1,2,3,4 7) G → E 5,6 SI HS
9. 1 1) ¬W → [¬W → (X → W)] A 2 2) ¬W A ∴ ¬X 1,2 3) ¬W → (X → W) 1,2 MPP 1,2 4) X → W 2,3 MPP 1,2 5) ¬X 2,4 MTT
10. 1 1) ¬S → D A 2 2) ¬S ˅ (¬D → K) A 3 3) ¬D A ∴ K 1,3 4) S 1,3 MPP 1,2,3 5) ¬D → K 2,4 SI DS 1,2,3 6) K 3,5 MPP
11. 1 1) A → (E → ¬F) A 2 2) H ˅ (¬F → M) A 3 3) A A 4 4) ¬H A ∴ E → M 1,3 5) E → ¬F 1,3 MPP 2,4 6) ¬F → M 2,4 SI DS 1,2,3,4 7) E → M 5,6 SI HS
12. 1 1) N → ( J → P) A 2 2) ( J → P) → (N → J ) A 3 3) N A ∴ P 1,3 4) J → P 1,3 MPP 1,2,3 5) N → J 2,4 MPP 1,2,3 6) J 3,5 MPP 1,2,3 7) P 4,6 MPP alebo 1,2,3 6) N → P 4,5 SI HS 1,2,3 7) P 3,6 MPP
13.
- 101 -
1 1) G → [¬O → (G → D)] A 2 2) O ˅ G A 3 3) ¬O A ∴ D 2,3 4) G 2,3 SI DS 1,2,3 5) ¬O → (G → D) 1,4 MPP 1,2,3 6) G → D 3,5 MPP 1,2,3 7) D 4,6 MPP
14. 1 1) ¬M ˅ (B ˅ ¬T ) A 2 2) B → W A 3 3) ¬¬M A 4 4) ¬W A ∴ ¬T 2,4 5) ¬B 2,4 MTT 1,3 6) B ˅ ¬T 1,3 SI DS 1,2,3,4 7) ¬T 5,6 SI DS
15. 1 1) (L ↔ N) → C A 2 2) (L ↔ N) ˅ (P → ¬E) A 3 3) ¬E → C A 4 4) ¬C A ∴ ¬P 1 5) ¬C → ¬ (L ↔ N) 1 SI Transp. 1,4 6) ¬ (L ↔ N) 1,4 MPP 1,2,4 7) P → ¬E 2,6 SI DS 1,2,3,4 8) P → C 3,7 SI Transp. 1,2,3,4 9) ¬P 4,8 MTT
16. 1 1) ¬J → [¬A → (D → A)] A 2 2) J ˅ ¬A A 3 3) ¬J A ∴ ¬D 1,3 4) ¬A → (D → A) 1,3 MPP 2,3 5) ¬A 2,3 SI DS 1,2,3 6) D → A 4,5 MPP 1,2,3 7) ¬D 5,6 MTT
17. 1 1) (B → ¬M) → (T → ¬S) A 2 2) B → K A 3 3) K → ¬M A 4 4) ¬S → N A ∴ T → N 2,3 5) B → ¬M 2,3 SI HS 1,2,3 6) T → ¬S 1,5 MPP 1,2,3,4 7) T → N 4,6 SI HS
- 102 -
18. 1 1) (R → F ) → [(R → ¬G) → (S → Q)] A 2 2) (Q → F ) → (R → Q) A 3 3) ¬G → F A 4 4) Q → ¬G A ∴ S → F 3,4 5) Q → F 3,4 SI HS 2,3,4 6) R → Q 3,5 MPP 2,3,4 7) R → F 5,6 SI HS 1,2,3,4 8) (R → ¬G) → (S → Q) 1,7 MPP 1,2,3,4 9) R → ¬G 4,6 SI HS 1,2,3,4 10) S → Q 8,9 MPP 1,2,3,4 11) S → F 5,10 SI HS
19. 1 1) ¬A → [A ˅ (T → R)] A 2 2) ¬R → [R ˅ (A → R)] A 3 3) (T ˅ D) → ¬R A 4 4) T ˅ D A ∴ D 3,4 5) ¬R 3,4 MPP 2,3,4 6) R ˅ (A → R) 2,5 MPP 2,3,4 7) A → R 5,6 SI DS 2,3,4 8) ¬A 5,7 MTT 1,2,3,4 9) A ˅ (T → R) 1,8 MPP 1,2,3,4 10) T → R 8,9 SI DS 1,2,3,4 11) ¬T 5,10 MTT 1,2,3,4 12) D 4,11 SI DS
20. 1 1) ¬N → [(B → D) → (N ˅ ¬E)] A 2 2) (B → E) → ¬N A 3 3) B → D A 4 4) D → E A ∴ ¬D 3,4 5) B → E 3,4 SI HS 2,3,4 6) ¬N 2,5 MPP 1,2,3,4 7) (B → D) → (N ˅ ¬E) 1,6 MPP 1,2,3,4 8) N ˅ ¬E 3,7 MPP 1,2,3,4 9) ¬E 6,8 SI DS 1,2,3,4 10) ¬D 4,9 MPP
21 a)
1 1) (N→ B) (O → C) A
2 2) Q → (N ˅ O) A 3 3) ¬B → V A
4 4) Q A
B ˅ C 2,4 5) N ˅ O 2,4 MPP
1 6) N→ B 1E
- 103 -
1 7) O → C 1E 8 8) N A
1,8 9) B 6,8 MPP
1,8 10) B ˅ C ˅ I 11 11) O A
1,11 12) C 7,11 MPP
1,11 13) B ˅ C 12˅ I 1,2,4 14) B ˅ C 5,8,10,11,13 ˅ E
b) RA
1 1) (N→ B) (O → C) A
2 2) Q → (N ˅ O) A
3 3) ¬B → V A 4 4) Q A
B ˅ C 5 5) ¬ (B ˅ C) A
5 6) ¬ B ¬ C 5 DM 5 7) ¬ B 6E 5 8) ¬ C 6E 2,4 9) N ˅ O 2,4 MPP 1 10) N→ B 1E 1 11) O → C 1E 1,5 12) ¬N 7,10 MPP 1,5 13) ¬O 8,11 MPP
1,5 14) ¬N ¬O 12,13 I 1,5 15) ¬ (N ˅ O) 14 DM 1,2,4,5 16) (N ˅ O) ¬ (N ˅ O) 14,15 I 1,2,4 17) ¬ ¬ (B ˅ C) 5,16 RA
1,2,4 18) B ˅ C 17 DN
- 104 -
22. RA
1 1) P ˅ (I L) A
2 2) (P ˅ I ) → ¬ (L ˅ C) A 3 3) (P ¬C) → (E F) A
F ˅ D 4 4) ¬(F ˅ D) A
4 5) ¬F ¬D 4 SI DM 4 6) ¬F 5 E 4 7) ¬E ˅ ¬F 6 ˅I
4 8) ¬ (E F) 7 SI DM 3,4 9) ¬(P ¬C) 3,8 MPP
3,4 10) P → C 9 SI
11 11) P A 3,4,11 12) C 10, 11 MPP
11 13) P ˅ I 11 ˅I
2,11 14) ¬ (L ˅ C) 2,13 MPP 2,11 15) ¬L ¬C 13 SI DM
2,11 16) ¬C 15 E 2,3,4,11 17) ¬C C 12,16 I 1,2,3 18) ¬ ¬(F ˅ D) 11,17 RAA
19 19) I L A
19 20) I 19 E 19 21) P ˅ I 20 ˅I
2,19 22) ¬ (L ˅ C) 2, 21 MPP
2,19 23) ¬L ¬C 22 SI DM 2,19 24) ¬L 23 E 19 25) L 19 E 2,3,4,19 26) L ¬L 24,25 I 1,2,3 27) ¬ ¬(F ˅ D) 19, 26 RAA
1,2,3 28) ¬ ¬(F ˅ D) 1,11,18,19,26 ˅E
1,2,3 29) F ˅ D 27 DN
- 105 -
23. a)
1 1) S ˅ (I ¬J ) A
2 2) S → ¬R A 3 3) ¬J → ¬Q A
¬ (R Q) 4 4) S A 2,4 5) ¬R 2,4 DS
2,4 6) ¬R ˅¬Q 5 ˅ E
2,4 7) ¬ (R Q) 6 DM 8 8) I ¬J A
8 9) ¬J E 3,8 10) ¬Q 3,9 MPP 3,8 11) ¬R ˅¬Q 10 ˅I
3,8 12) ¬ (R Q) 6 DM
1,2,3 13) ¬ (R Q) 1,4,7,10,12 ˅I b) RA
1 1) S ˅ (I ¬J ) A 2 2) S → ¬R A
3 3) ¬J → ¬Q A
¬ (R Q) 4 4) ¬ ¬ (R Q) A 4 5) R Q 4DN
4 6) R 5 E 4 7) Q 5 E 2,4 8) ¬S 2,6 MTT
1,2,4 9) I ¬J 1,8 DS
1,2,4 10) ¬J 9E
- 106 -
3,4 11) J 3,6 MTT 1,2,3,4 12) J ¬J 10,11 I 1,2,3 13) ¬ ¬ ¬ (R Q) 4,12 RAA
1,2,3 14) ¬ (R Q) 13 DN
D4 Teorémy T1 |– (P ˄ ¬P) → Q ex falso quodlibet, pravidlo Dunsa Scota
1 (1) P ˄ ¬P A1 (2) P 1 ˄E 1 (3) ¬P 1 ˄E1 (4) P ˅ Q 2 ˅I1 (5) Q 3,4 SI DS (6) (P ˄ ¬P) → Q 1,5 CP
T2 |— P ˅ ¬P Teoréma vylúčenia tretieho / exculusio tertii
1 (1) ¬(P ˅ ¬P) A 2 (2) P A 2 (3) P ˅ ¬P 2 vI 1,2 (4) (P ˅ ¬P) ˄ ¬(P ˅ ¬P) 3,1 ˄I 1 (5) ¬P 2,4 RAA 1 (6) P ˅ ¬P 5 vI 1 (7) (P ˅ ¬P) ˄ ¬(P ˅ ¬P) 6,1 ˄I (8) ¬¬(P ˅ ¬P) 1,7 RAA (9) P ˅ ¬P 8 DN
T3 |— ¬(P˄¬P) (Non-kontradikcia)
1 (1) P˄¬P A
1 (2) P 1 ˄E
1 (3) ¬P 1 ˄E
(4) ¬(P˄¬P) 2,3 RAA (1)
- 107 -
T4 |— P → P Identita
1 (1) P A (2) P → P 1,1 CP
T5 |— P → ¬¬P
1 (1) P A 1 (2) ¬¬P 1 DN (3) P → ¬¬P 1,2 CP
T6 |— ¬¬P → P
1 (1) ¬¬P A 1 (2) P 1 DN (3) ¬¬P → P 1,2 CP
T7 |— P ↔ ¬¬P (dvojitá negácia) 1 (1) P A
2 (2) ¬P A
1 (3) ¬¬P 1,2 RAA (2)
(4) P→¬¬P 3 CP (1)
(5) ¬¬P→P 4 Transp
(6) P↔¬¬P 4,5 ↔I T8 |— (P ˄ Q) → P
1 (1) P ˄ Q A 1 (2) P 1 ˄E (3) (P ˄ Q) → P 1,2 CP
T9 |— (P → Q) → (¬Q → ¬P)
1 (1) P → Q A 2 (2) ¬Q A 1,2 (3) ¬P 1,2 MTT 1 (4) ¬Q → ¬P 2,3 CP (5) (P → Q) → (¬Q → ¬P) 1,4 CP
T10 |— (P → Q) ˅ (Q → P) (Paradox materiálnej implikácie) i) so základnými pravidlami 1 (1) ¬((P → Q) ˅ (Q → R)) A [RAA] 2 (2) (P → Q) A 2 (3) (P → Q) ˅ (Q → R) 2 vI 1 (4) ¬(P → Q) 1,3 RAA (2) 5 (5) Q A [CP] 6 (6) ¬R A [RAA] 7 (7) P A 5 (8) P → Q 5,7 CP 1,5 (9) R 4,8 RAA (6) 1 (10) Q → R 5,9 CP
- 108 -
1 (11) (P → Q) ˅ (Q → R) 10 ˅I (12) (P → Q) ˅ (Q → R) 1,11 RAA (1) (ii) s odvodenými pravidlami 1 (1) ¬(P → Q) A [CP] 1 (2) P ˄ ¬Q 1 Neg → 1 (3) ¬Q 2 ˄E 1 (4) Q → R 3 FA (5) ¬ (P → Q) → (Q → R) 1,4 CP (6) (P → Q) ˅ (Q → R) 5 Impl (iii) alternatívny dôkaz s odvodenými pravidlami 1 (1) Q A 1 (2) P → Q 1 TC 1 (3) (P → Q) ˅ (Q → R) 2 ˅I (4) Q → (P → Q) ˅ (Q → R) 1,3 CP 5 (5) ¬Q A 5 (6) Q → R 5 FA 5 (7) (P → Q) ˅ (Q → R) 6 ˅I (8) ¬Q → (P → Q) ˅ (Q → R) 5,7 CP (9) (P → Q) ˅ (Q → R) 4,8 ŠD (iv) so odvodenými pravidlami
(1) P ˅ ¬P (tautológia) 2 (2) P A 2 (3) Q → P 2 SI P |— Q → P 2 (4) (P → Q) ˅ (Q → P) 3 vI 5 (5) ¬P A 5 (6) P → Q ˄ SI ¬P |— P → Q
5 (7) (P → Q) ˅ (Q → P) 6 vI (8) (P → Q) ˅ (Q → P) 1,2,4,5,7 vE
T11 |— ((P → Q) → P) → P (Peirceov zákon) i) so základnými pravidlami 1 (1) (P →Q) →P A [CP ] 2 (2) ¬P A [RAA] 3 (3) P → Q A 1,3 (4) P 1,3 MPP 1,2 (5) ¬(P -→ Q) 2,4 RAA (3) 6 (6) p A [CP ] 7 (7) ¬Q A [RAA] 2,6 (8) Q 2,6 RAA (7) 2 (9) P → Q 6,8 CP 1 (10) P 5,9 RAA (2) (11) ((P → Q) → P) → P 1,10 CP (ii) s odvodenými pravidlami 1 (1) ¬(((P → Q) → P) → P) A 1 (2) ((P → Q) → P) ˄ ¬P 1 Neg → 1 (3) (P → Q) → P 2 ˄E 1 (4) ¬P 2 ˄E 1 (5) ¬(P → Q) 3,4 MTT
- 109 -
1 (6) P ˄ ¬Q 5 Neg → 1 (7) P 6 ˄E (8) ((P → Q) → P) → P 4,7 RAA (1) T12 |— P→(Q→P) Rozšírenie
1 (1) P A
2 (2) Q A
3 (3) ¬P A
1 (4) P 1,3 RAA (3)
1 (5) Q→P 2,4 CP
(6) P→(Q→P) 1,5 CP
T13 |— (P↔Q) ↔ (Q↔P) ↔Transpozícia
1 (1) P↔Q A
1 (2) Q↔P 1 ↔ com
(3) (P↔Q)→(Q↔P) 1,2 CP
4 (4) Q↔P A
4 (5) P↔Q 4 ↔ com
(6) (Q↔P)→(P↔Q) 4,5 CP
(7) (P↔Q)↔(Q↔P) 3,6 ↔I
T14 |— ¬(P ↔ Q) ↔ (¬Q ↔ P)
so základnými pravidlami 1 (1) ¬(P ↔ Q) A [CP] 2 (2) ¬P A [CP] 3 (3) ¬Q A 2 (4) ¬Q→¬P 2,3 CP 5 (5) P A [CP] 2,3 (6) ¬P 3,4 ↔E 2,5 (7) Q 5,6 RAA (3) 2 (8) P → Q 5,7 CP 3 (9) ¬P → ¬Q 2,3 CP 10 (10) Q A [CP] 11 (11) ¬P A [RAA] 3,11 (12) ¬Q 9,11 MPP 3,10 (13) P 10,12 RAA (11) 3 (14) Q→ P 10,13 CP 2,3 (15) P↔Q 8,14 ↔I 1,2 (16) Q 1,15 RAA (3) 1 (17) ¬P → Q 2,16 CP 10 (18) P → Q 5,10 CP5 (19) Q → P 5,10 CP 5,10 (20) P ↔ Q 18,19 ↔I 1,10 (21) ¬P 1,20 RAA (5) 1 (22) Q → ¬P 10,21 CP 1 (23) ¬P ↔ Q 17,22 ↔I
- 110 -
(24) ¬(P ↔ Q) → (¬P ↔ Q) 1,23 CP 25 (25) ¬P↔Q A [CP]25 (26) ¬P → Q 25 ↔E25 (27) Q → ¬P 25 ↔E28 (28) P ↔ Q A [for RAA]28 (29) P → Q 28 ↔E28 (30) Q → P 28 ↔E10,28 (31) P 10,30 MPP10,25 (32) ¬P 10,27 MPP25,28 (33) ¬Q 31,32 RAA (10)5,28 (34) Q 5,29 MPP25,28 (35) ¬P 33,34 RAA (5)25,28 (36) Q 26,35 MPP25 (37) ¬(P ↔ Q) 33,36 RAA (28) (38) (¬P ↔ Q) → ¬(P ↔ Q) 25,37 CP (39) ¬(P ↔ Q) → (¬P ↔ Q) 24,38 ↔I T15 |— (P ↔ Q) ↔ (¬P ↔ ¬Q) ↔Transpozícia (i) so základnými pravidlami
1 (1) P ↔ Q A [CP] 1 (2) P → Q 1 ↔E 1 (3) Q → P 1 ↔E 4 (4) ¬P A [CP] 5 (5) Q A [RAA] 1,5 (6) P 3,5 MPP1,4 (7) ¬Q 4,6 RAA (5) 1 (8) ¬P → ¬Q 4,7 CP 9 (9) ¬Q A [CP] 10 (10) P A [RAA] 1,10 (11) Q 2,10 MPP 1,9 (12) ¬P 9,11 RAA (10) 1 (13) ¬Q → ¬P 9,12 CP 1 (14) ¬P ↔ ¬Q 8,13↔I (15) (P ↔ Q) → (¬P ↔ ¬Q) 1,14 CP16 (16) ¬P ↔ ¬Q A [CP] 16 (17) ¬P → ¬Q 16 ↔E 16 (18) ¬Q → ¬P 16 ↔E 19 (19) P A [CP] 20 (20) ¬Q A [RAA] 16,20 (21) ¬P 18,20 MPP 16,19 (22) Q 19,21 RAA (20)16 (23) P → Q 19,22 CP 24 (24) Q A [CP] 25 (25) ¬P A [RAA] 16,25 (26) ¬Q 17,25 MPP 16,24 (27) P 24,26 RAA (25) 16 (28) Q → P 24,27 CP 16 (29) P ↔ Q 23,28 ↔I (30) (¬P ↔ ¬Q) → (P ↔ Q) 16,29 CP (31) (P ↔ Q) ↔ (¬P ↔ ¬Q) 15,30 ↔I
(ii) s odvodenými pravidlami
- 111 -
1 (1) P ↔ Q A 1 (2) Q ↔ P 1 Com.1 (3) ¬P ↔ ¬Q 2 ↔Transp. (4) (P ↔ Q) → (¬P ↔ ¬Q) 2,3 CP 5 (5) ¬P↔¬Q A 5 (6) Q ↔ P 5 ↔Transp5 (7) P ↔ Q 6 Com (8) (¬P ↔ ¬Q) → (P ↔ Q) 5,7 CP (9) (P ↔ Q) ↔ (¬P ↔ ¬Q) 4,8 ↔I
T16 |— ((¬P → Q) ˄ (R → Q)) ↔ ((P → R) → Q ) Dilema (i) so základnými pravidlami
1 (1) (¬P → Q) ˄ (R → Q) A 1 (2) ¬P → Q 1 ˄E 1 (3) R → Q 1 ˄E 4 (4) P → R A [CP] 5 (5) ¬Q A [RAA] 6 (6) ¬P A 1,6 (7) Q 2,6 MPP 1,5 (8) P 5,7 RAA (6) 1,4,5 (9) R 4,8 MPP 1,4,5 (10) Q 3,9 MPP 1,4 (11) Q 5,10 RAA (5) 1 (12) (P →R) →Q 4,11 CP (13) (¬P → Q) ˄ (R → Q) → ((P → R) → Q) 1,12 CP14 (14) (P → R) → Q A 15 (15) ¬P A 16 (16) P A 17 (17) ¬R A 15,16 (18) R 15,16 RAA (17) 15 (19) P → R 16,18 CP 14,15 (20) Q 14,19 MPP 14 (21) ¬P → Q 15,20 CP 22 (22) R A 22 (23) P → R 16,22 CP 14,22 (24) Q 14,23 MPP 14 (25) R → Q 22,24 CP 14 (26) (¬P → Q) ˄ (R → Q) 21,25 ˄I (27) ((P → R) → Q)→(¬P → Q) ˄ (R → Q) 14,26 CP (28) (¬P → Q) ˄ (R → Q) ↔ (P → R) → Q 13,27 ↔I
(ii) s odvodenými pravidlami
1 (1) (¬P → Q) ˄ (R → Q) A 1 (2) ¬P → Q 1 ˄E 1 (3) R → Q 1 ˄E 4 (4) P → R A 1,4 (5) P → Q 3,4 HS 1.4 (6) Q 2,5 ŠD 1 (7) (P → R) → Q 4,6 CP (8) (¬P → R) ˄ (R → Q)→((P → R) → Q) 1,7 CP 9 (9) (P → R) → Q A
- 112 -
10 (10) ¬P A 10 (11) P → R 10 FA 9,10 (12) Q 9,11 MPP 9 (13) ¬P → Q 10,12 CP 14 (14) R A 14 (15) P → R 14 TC 9,14 (16) Q 9,15 MPP 9 (17) R → Q 14,16 MPP 9 (18) (¬P → Q) ˄ (R → Q) 13,17 ˄I (19) ((P → R) → Q) → (¬P → Q) ˄ (R → Q) 9,18 CP (20) (¬P → Q) ˄ (R → Q) ↔ (P → R) → Q 8,19 ↔I
T17 |— P ↔ P ˄ P ˄-idempotencia
1 (1) P A 1 (2) P ˄ P 1,1 ˄I (3) P → P ˄ P 1,2 CP 4 (4) P ˄ P A 4 (5) P 4 ˄E (6) P ˄ P ↔ P 4,5 CP (7) P ↔ P ˄ P 3,6 ↔I
T18 |— P↔ (P ˅ P) ˅-idempotencia
1 (1) P A 1 (2) P ˅ P 1 ˅I (3) P → (P ˅ P) 1,2 CP 4 (4) P ˅ P A 5 (5) ¬P A [RAA] 4,5 (6) P 4,5 SI DS4 (7) P 5,6 RAA (5) (8) (P ˅ P) → P 4,7 CP (9) P ↔ (P˅P) 3,8 ↔def
T19 |— (P ↔ Q) ˄ (R ↔ S) → ((P ˅ R) ↔ (Q ˅ S)) (i) so základnými pravidlami 1 (1) (P ↔ Q) ˄ (R ↔ S) A 1 (2) P↔Q 1 ˄E 1 (3) P→Q 2↔E 1 (4) Q→P 2↔E 1 (5) R↔S 1 ˄E 1 (6) R→S 5 ↔E 1 (7) S→R 5 ↔E 8 (8) P ˅ R A [CP] 9 (9) ¬(Q ˅ S) A [RAA] 10 (10) Q A 10 (11) Q ˅ S 10 ˅I 9 (12) ¬Q 9,11 RAA (10) 13 (13) P A 1,13 (14) Q 3,13 MPP 1,9 (15) ¬P 12,14 RAA (13) 1,8,9 (16) R 8,15 SI DS1,8,9 (17) S 6,16 MPP 1,8,9 (18) Q ˅ S 17 ˅I
- 113 -
1,8 (19) Q ˅ S 9,18 RAA (9) 1 (20) P ˅ R → Q ˅ S 8,19 CP 21 (21) Q˅S A 22 (22) ¬(P ˅ R) A 23 (23) P A 23 (24) P ˅ R 23 ˅I 22 (25) ¬P 22,24 RAA (23) 26 (26) Q A 1,26 (27) P 4,26 MPP 1,22 (28) ¬Q 25,27 RAA (26) 1,21,22 (29) S 21,28 SI DS1,21,22 (30) R 7,29 MPP 1,21,22 (31) P ˅ R 30 ˅I 1,21 (32) P ˅ R 22,31 RAA (22)1 (33) Q ˅ S → P ˅ R 21,32 CP1 (34) P ˅ R ↔ Q ˅ S 20,33 ↔I (35) (P ↔ Q) ˄ (R↔ S) ↔ (P ˅ R ↔ Q ˅S) 1,34 CP (ii) dôkaz s odvodenými pravidlami 1 (1) (P ↔ Q) ˄ (R ↔ S) A 1 (2) P ↔ Q 1 ˄E 1 (3) R ↔ S 1 ˄E 4 (4) P ˅ R A 1 (5) P → Q 2 ↔E 1 (6) R → S 3 ↔E 1,4 (7) Q ˅ S 4,5,6 CD 1 (8) P ˅ R → Q ˅ S 7 ↔I (4) 9 (9) Q ˅ S A 1 (10) Q→P 2 ↔E 1 (11) S→R 3 ↔E 1,9 (12) P˅R 9,10,11 CD 1 (13) Q ˅ S → P ˅ R 9,12 CP 1 (14) P˅R↔Q˅S 8,13 ↔I (15) (P↔Q)˄(R↔S)→(P˅R↔Q˅S) 1,14 CP T20 |— (P ↔ Q) → ((R → P) ↔ (R → Q)) ˄ ((P → R) ↔ (Q → R)) (i) so základnými pravidlami 1 (1) P ↔ Q A [CP] 1 (2) P→Q 1 ↔E 1 (3) Q→P 1 ↔E 4 (4) R→P A [CP] 5 (5) R A [CP] 4,5 (6) P 4,5 MPP 1,4,5 (7) Q 2,6 MPP 1,4 (8) R→Q 5,7 CP 1 (9) (R → P) → (R → Q) 4,8 CP 10 (10) R→Q A 11 (11) R A 10,11 (12) Q 10,11 MPP 1,10,11 (13) P 3,12 MPP
- 114 -
1,10 (14) R→P 11,13 CP 1 (15) (R → Q) → (R → P) 10,14 CP 1 (16) (R → P) ↔ (R → Q) 9,15 ↔I 17 (17) P↔R A 18 (18) Q A 1,18 (19) P 3,18 MPP 1,17,18 (20) R 17,19 MPP 1,17 (21) Q→R 18,20 CP 1 (22) (P → R) → (Q → R) 17,21 CP 23 (23) Q → R A 24 (24) P A 1,24 (25) Q 2,24 MPP 1,23,24 (26) R 23,25 MPP 1,23 (27) P → R 24,26 CP 1 (28) (Q → R) → (P → R) 23,27 CP 1 (29) (P → R) ↔ (Q → R) 22,28 ↔I 1 (30) ((R → P) ↔ (R→Q))˄((P→R)↔(Q→R)) 16,29 ˄I (31) (P↔Q)→((R→P)↔(R→Q)) ˄ ((P→R) ↔ (Q→R)) 1,30 CP (ii) dôkaz s odvodenými pravidlami 1 (1) P↔Q A 1 (2) P→Q 1 ↔E 1 (3) Q→P 1 ↔E 4 (4) R→P A 1,4 (5) R→Q 2,4 HS 1 (6) (R → P) → (R → Q) 4,5 CP 7 (7) R→Q A 1,7 (8) R→P 3,7 HS 1 (9) (R → Q) → (R → P) 7,8 CP 1 (10) (R → P) ↔ (R → Q) 6,9 ↔I 11 (11) P→R A 1,11 (12) Q→R 3,11 HS 1 (13) (P → R) → (Q → R) 11,12 CP 14 (14) Q → R A 1,14 (15) P → R 2,14 HS 1 (16) (Q → R) → (P → R) 14,15 CP 1 (17) (P → R) ↔ (Q → R) 13,16 ↔I 1 (18) ((R→P)↔(R→Q)) ˄ ((P→R)↔(Q→R)) 10,17 ˄I (19) (P↔Q)→((R→P)↔(R→Q)) ˄ ((P→R) ↔ (Q→R)) 1,18 CP T21 |— (P ↔ Q) → (R v P ↔ R v Q) (i) so základnými pravidlami
1 (1) P↔Q A 1 (2) P → Q 1 ↔E 1 (3) Q → P 1 ↔E 4 (4) R ˅ P A 5 (5) ¬(R ˅ Q) A 6 (6) R A 6 (7) R v Q 6 ˅I 5 (8) ¬R 5,7 RAA (6) 4,5 (9) P 4,8 SI DS1,4,5 (10) Q 2,9 MPP
- 115 -
1,4,5 (11) R ˅ Q 10 ˅I 1,4 (12) R ˅ Q 5,11 RAA (5) 1 (13) R ˅ P → R ˅ Q 4,12 CP 14 (14) R ˅ Q A 15 (15) ¬(R ˅ P) A 16 (16) R A 16 (17) R ˅ P 16 ˅I 15 (18) ¬R 15,17 RAA (16) 14,15 (19) Q 14,18 SI DS1,14,15 (20) P 3,19 MPP 1,14,15 (21) R ˅ P 20 ˅I 1,14 (22) R ˅ P 15,21 RAA (15) 1 (23) R ˅ Q → R ˅ P 14,22 CP 1 (24) R ˅ P ↔ R ˅ Q 13,23 ↔I (25) (P ↔ Q) → (R ˅ P ↔ R ˅ Q) 1,24 CP
(ii) s odvodenými pravidlami 1 (1) P ↔ Q A1 (2) P → Q 1 ↔E1 (3) Q → P 1 ↔E4 (4) R ˅ P A4 (5) ¬R → P 4 Impl1,4 (6) ¬R → Q 2,5 HS1,4 (7) R ˅ Q 6 Impl1 (8) R ˅ P ↔ R ˅Q 4,7 CP9 (9) R ˅ Q A9 (10) ¬R → Q 9 Impl1,9 (11) ¬R → P 3,10 HS1,9 (12) R ˅ P 11 Impl1 (13) R ˅ Q → R ˅ P 9,12 ↔I1 (14) R ˅ P ↔ R ˅ Q 8,13 ↔I (15) (P ↔ Q) → (R ˅ P ↔ R ˅ Q) 1,14 CP T22 |— ((P → Q) → Q) ↔ ((Q → P) → P) (i) so základnými pravidlami 1 (1) (P →Q) →Q A [CP]2 (2) Q→P A [CP]3 (3) ¬P A [RAA]4 (4) Q A2,4 (5) P 2,4 MPP2,3 (6) ¬Q 3.5 RAA (4)7 (7) P→Q A1,7 (8) Q 1,7 MPP1,2,3 (9) ¬(P → Q) 6.8 RAA (7)10 (10) P A10 (11) PvQ 10 ˅I3,10 (12) Q 3,11 SI DS3 (13) P→Q 10,12 CP1,2 (14) P 9,13 RAA (3)1 (15) (Q→P)→P 2,14 CP (16) ((P → Q) → Q) → ((Q → P) → P) 1,15 CP17 (17) (Q → P) → P A [CP]
- 116 -
18 (18) P→Q A [CP]19 (19) ¬Q A [RAA]20 (20) P A18,20 (21) Q 18,20 MPP18,19 (22) ¬P 19,21 RAA (20)23 (23) Q →P A17,23 (24) P 17,23 MPP17,18,19 (25) ¬(Q→P) 22,24 RAA (23)26 (26) Q A26 (27) QvP 26 ˅I19,26 (28) P 19,27 SI DS19 (29) Q↔P 26,28 CP17,18 (30) Q 25,29 RAA (19)17 (31) (P -> Q) -> Q 18,30 CP (32) ((Q -> P) -> P) → ((P -> Q) -> Q) 17,31 CP (33) ((P -> Q) -> Q) ↔ ((Q ↔ P) → P) 16,32 ↔I (ii) s odvodenými pravidlami 1 (1) ¬(((P→Q)→Q)→((Q→P)→P)) A 1 (2) ((P → Q) →Q) ˄ ¬Q →P) → P) 1 Neg →1 (3) (P → Q) → Q 2 ˄E 1 (4) ¬((Q → P) → P) 2 ˄E 1 (5) (Q → P) ˄ ¬P 4 Neg →1 (6) Q → P 5 ˄E 1 (7) ¬P 5 ˄E 1 (8) P → Q 7 FA 1 (9) Q 3,8 MPP 1 (10) P 6,9 MPP (11) ((P→Q)→Q) → ((Q→P)→P) 7,10 RAA (1) 12 (12) ¬(((Q→P)→P) → (P→Q)→Q))) A 12 (13) ((Q → P) → P) ˄ ¬((P → Q) → Q) 12 Neg →12 (14) (Q→P)→P 13 ˄E 12 (15) ¬((P→Q)→Q) 13 ˄E 12 (16) (P→Q) ˄ ¬Q 15 Neg →12 (17) P→Q 16 ˄E 12 (18) ¬Q 16 ˄E 12 (19) Q→P 18 FA 12 (20) P 14,19 MPP 12 (21) Q 17,20 MPP (22) ((Q→P)→P) → ((P→Q)→Q) 18,21 RAA (12) (23) ((P→Q)→Q) ↔ ((Q→P)→P) 11,22 ↔I T23 |— (P ˄ Q) v (R ˄ S) ↔ ((P v R) ˄ (P v S)) ˄ ((Q v R) ˄ (Q v S))
so základnými pravidlami 1 (1) (P ˄ Q) ˅ (R ˄ S) A [CP] 2 (2) ¬(P ˅ R) A [RAA] 3 (3) ¬(P ˅ S) A [RAA] 4 (4) ¬P A 5 (5) P ˄ Q A 5 (6) P 5˄E 4 (7) ¬(P ˄ Q) 4,6 RAA (5) 1,4 (8) R ˄ S 1,7 DS
- 117 -
1,4 (9) R 8 ˄E 1,4 (10) S 8 ˄E 1,4 (11) P ˅ R 9 ˅I 1,2 (12) P 2,11 RAA (4) 1,2 (13) P ˅ R 12 ˅I 1 (14) P ˅ R 2,13 RAA (2) 1,4 (15) P ˅ S 10 vI 1,3 (16) P 3,15 RAA (4) 1,3 (17) P ˅ S 16˅I 1 (18) P ˅ S 3,17 RAA (3) 1 (19) (P ˅ R) ˄ (P ˅ S) 14,18 ˄I 20 (20) ¬(Q ˅ R) A [RAA] 21 (21) ¬(Q ˅ S) A [RAA] 22 (22) ¬Q A 5 (23) Q 5 ˄E 22 (24) ¬(P ˄ Q) 22,23 RAA (5) 1,22 (25) R ˄ S 1,24 DS 1,22 (26) R 25 ˄E 1,22 (27) S 25 ˄E 1,22 (28) Q ˅ R 26 ˅I 1,20 (29) Q 20,28 RAA (22) 1,20 (30) Q ˅ R 28 ˅I 1 (31) Q ˅ R 20,30 RAA (20) 1,22 (32) Q ˅ S 27 ˅I 1,21 (33) Q 21,32 RAA (22) 1,21 (34) Q ˅ S 33 ˅I 1 (35) Q ˅ S 21,34 RAA (21) 1 (36) (Q ˅ R) ˄ (Q ˅ S) 30,35 ˄I 1 (37) ((P˅R) ˄ (P˅S)) ˄ ((Q˅R) ˄ (Q˅S)) 19,36˄I (38) (P˄Q)˅(R˄S) → ((P˅R) ˄ (P˅S)) ˄ ((Q˅R) ˄ (Q˅S)) 1,37 CP 39 (39) ((P ˅ R) ˄ (P ˅ S)) ˄ ((Q ˅ R) ˄ (Q ˅ S)) A [CP] 39 (40) (P ˅ R) ˄ (P ˅ S) 39 ˄E 39 (41) (Q ˅ R) ˄ (Q ˅ S) 39 ˄E 39 (42) P ˅ R 40 ˄E 39 (43) P ˅ S 40 ˄E 39 (44) Q ˅ R 41˄E 39 (45) Q ˅ S 41 ˄E 46 (46) ¬((P˄Q) ˅ (R˄S)) A [RAA] 47 (47) P A 48 (48) Q A 47,48 (49) P ˄ Q 47,48 ˄I 47,48 (50) (P˄Q) ˅ (R˄S) 49 ˅I 46,47 (51) ¬Q 46,50 RAA (48) 39,46,47 (52) R 44,51 DS 39,46,47 (53) S 45,51 DS 39,46,47 (54) R ˄ S 52,53 ˄I 39,46,47 (55) (P ˄ Q) v (R ˄ S) 54 ˅I 39,46 (56) ¬P 46,55 RAA (47) 39,46 (57) R 42,56 DS 39,46 (58) S 43,56 DS 39,46 (59) R˄S 57,58 ˄I 39,46 (60) (P ˄ Q) ˅ (R ˄ S) 59 vI
- 118 -
39 (61) (P˄Q) ˅ (R˄S) 46,60 RAA (46) (62) ((P˅R)˄(P˅S))˄((Q˅R)˄(Q˅S)) → (P ˄ Q) ˅ (R ˄ S) 39,61 CP (63) (P ˄ Q) ˅ (R ˄ S) ↔ ((P ˅ R) ˄ (P ˅ S)) ˄ ((Q ˅ R) ˄
(Q˅S))38,62 ↔I
(ii) s odvodenými pravidlami
1 (1) (P˄Q) ˅ (R˄S) A 1 (2) ((P ˄ Q) ˅ R) ˄ ((P ˄ Q) ˅ S) 1 Dist 1 (3) (P˄Q) ˅ R 2 ˄E 1 (4) (P ˄ Q) ˅ S 2 ˄E 1 (5) (P ˅ R) ˄ (Q ˅ R) 3 Dist 1 (6) (P ˅ S) ˄ (Q ˅ S) 4 Dist 1 (7) P ˅ R 5 ˄E 1 (8) P ˅ S 6 ˄E 1 (9) (P ˅ R) ˄ (P ˅ S) 7,8 ˄I 1 (10) Q ˅ R 5 ˄E 1 (11) Q ˅ S 6 ˄E 1 (12) (Q ˅ R)˄(Q ˅ S) 10,11 ˄I 1 (13) ((P˅R)˄(P˅S))˄((Q˅R) ˄ (Q˅S)) 9,12 ˄I 1 (14) (P˄Q)˅(R˄S)→((P˅R) ˄ (P˅S)) ˄ ((Q˅R) ˄ (Q˅S)) 1,13 CP 15 (15) ((P˅R)˄(P˅S))˄((Q˅R)˄(Q˅S)) A 15 (16) (P˅R)˄(P˅S) 15 ˄E 15 (17) (Q v R) ˄ (Q v S) 15 ˄E 15 (18) P˅R 16 ˄E 15 (19) P˅S 16 ˄E 15 (20) Q ˅ R 17 ˄E 15 (21) Q ˅ S 17 ˄E 15 (22) (P ˅ R) ˄ (Q ˅ R) 18,20 ˄I 15 (23) (P˅S)˄(Q˅S) 19,21 ˄I 15 (24) (P ˄ Q) ˅ R 22 Dist 15 (25) (P ˄ Q) ˅ S 23 Dist 15 (26) ((P ˄ Q) ˅ R) ˄ ((P ˄ Q) ˅ S) 24,25 ˄I 15 (27) (P ˄ Q) ˅ (R ˄ S) 26 Dist (28) ((P˅R)˄(P˅S))˄((Q˅R)˄(Q˅S))→(P ˄ Q) ˅ (R ˄ S) 15,27 CP (29) (P ˄ Q) ˅ (R ˄ S) ↔((P ˅ R) ˄ (P˅S)) ˄ ((Q˅R) ˄ (Q˅S)) 14,28 ↔I
D5
C8 1 ¬P → P —||— P a) ¬P→P |— P Claviov zákon 1 (1) ¬P→P A
2 (2) ¬P A
1,2 (3) P 1,2 MPP
1 (4) P 2.3 RAA (2) b) P |— ¬P → P
1 (1) P A
- 119 -
1 (2) ¬P→P 1 FA (alebo TC)
2 P ↔ Q —||— ¬((P→Q)→¬(Q→P)) a) P↔Q |— ¬((P→Q)→¬(Q→P))
1 (1) P↔Q A
1 (2) P→Q 1 ↔E
1 (3) Q→P 1 ↔E
1 (4) (P→Q)˄(Q→P) 2,3 ˄I
1 (5) ¬((P→Q)→¬(Q→P)) 4 Impl
b) ¬((P→Q)→¬(Q→P)) |— P ↔ Q
1 (1) ¬((P→Q)→¬(Q→P)) A
1 (2) (P→Q)˄(Q→P) 4 Impl
1 (3) P→Q 1 ↔E
1 (4) Q→P 1 ↔E
1 (5) P↔Q 2,3 ↔I
3 P ↔ Q |— (P ˅ Q) → (P ˄ Q)
1 1) P ↔ Q A
2 2) P˅Q A [CP]
3 3) P A
1,3 4) Q 1,3 BP
1,3 5) P˄Q 3,4 ˄I
1 6) P → (P ˄ Q) 2,3 CP
7 7) Q A
1,7 8) P 1,7 BP
1,7 9) P ˄ Q 7,8 ˄I
1 10) Q → (P ˄ Q) 7,9 CP
1,2 11) P ˄ Q JD
1 12) P ˅ Q → P ˄ Q 2,11 CP
4 P ↔ Q —||— ¬(P ˅ Q) ˅ ¬(¬P ˅ ¬Q) a) P ↔ Q |— ¬(P ˅ Q) ˅ ¬(¬P ˅ ¬Q) 1 (1) P↔Q A1 (2) P ↔ Q 1 ↔E 1 (3) Q → P 1 ↔E 4 (4) P ˅ Q A4 (5) ¬P → Q 4 Impl1.4 (6) Q 2,5 ŠD4 (7) ¬Q→P 4 Impl 1,4 (8) P 3,7 ŠD1,4 (9) P˄Q 6,8 ˄I 1,4 (10) ¬(¬P ˅ ¬Q) 9 DM
- 120 -
1 (11) P ˅ Q → ¬(¬P ˅ ¬Q) 10 ↔I (4) 1 (12) ¬(P ˅ Q) ˅ ¬(¬P ˅ ¬Q) 11 Impl (b) ¬(P˅Q) ˅ ¬(¬P ˅ ¬Q) |— P ↔ Q 1 (1) ¬(P ˅ Q) ˅ ¬(¬P ˅ ¬Q) A 2 (2) P A [CP] 2 (3) P˅Q 2 ˅I 1,2 (4) ¬(¬P ˅ ¬Q) 1,3 SI DS1,2 (5) P˄Q 4 SI DM 1,2 (6) Q 5 ˄E 1 (7) P→Q 2,6 CP8 (8) Q A [CP] 8 (9) P˅Q 8 ˅I 1,8 (10) ¬(¬P ˅ ¬Q) 1,9 SI DS1,8 (11) P˄Q 10 SI DM 1,8 (12) P 11 ˄E 1 (13) Q→P 8,12 CP1 (14) P↔Q 7,13 ↔I 5 P↔Q —||— ¬(P˄Q)→¬(P˅Q) a) P↔Q |— ¬(P˄Q)→¬(P˅Q) 1 (1) P↔Q A
2 (2) P˅Q A
2 (3) ¬P→Q 2 Impl
1 (4) P→Q 1 ↔E
1,2 (5) Q 3,4 ŠD
2 (6) ¬Q→P 2 Impl
1 (7) Q→P 1 ↔E
1,2 (8) P 6,7 ŠD
1,2 (9) P˄Q 5,8 ˄I
1 (10) (P˅Q)→(P˄Q) 2,9 CP
1 (11) ¬(P˄Q)→¬(P˅Q) Transp
b) ¬(P˄Q)→¬(P˅Q) |— P↔Q
1 (1) ¬(P˄Q)→¬(P˅Q) A
2 (2) ¬(P↔Q) A
2 (3) ¬P↔Q 2 Neg↔
1 (4) (P˅Q)→(P˄Q) 1 Transp
2 (5) ¬P→Q 3 ↔E
2 (6) P˅Q 5 Impl
1,2 (7) P˄Q 4,6 MPP
2 (8) Q→¬P 3 ↔E
1,2 (9) Q 7 ˄E
1,2 (10) ¬P 8,9 MPP
1,2 (11) P 7 ˄E
- 121 -
1 (12) P↔Q 10,11 RAA (2)
6 P↔Q —||— ¬(¬(P˄Q)˄¬(¬P˄¬Q)) a) P↔Q |— ¬(¬(P˄Q)˄¬(¬P˄¬Q))
1 (1) P↔Q A
2 (2) ¬(P˄Q) A19 |—¬(¬P˄¬Q)
2 (3) ¬P˅¬Q 2SI DM
2 (4) P→¬Q 3 Impl
1 (5) P→Q 1 ↔E
1,2 (6) ¬P 4,5 RAA
1,2 (7) ¬Q 1,6 ↔TT
1,2 (8) ¬P˄¬Q 6,7 ˄I
1 (9) ¬(P˄Q)→¬(¬P˄¬Q) 2,8 CP
1 (10) ¬(¬(P˄Q)˄¬(¬P˄¬Q)) 9 Impl
b) ¬(¬(P˄Q)˄¬(¬P˄¬Q)) |— P↔Q
1 (1) ¬(¬(P˄Q)˄¬(¬P˄¬Q)) A
1 (2) ¬(P˄Q)→(¬P˄¬Q) 1Impl
3 (3) ¬P A (Th: P ˅ ¬P)
3 (4) ¬P˅¬Q 3 ˅I
3 (5) ¬(P˄Q) 4 DM
1,3 (6) ¬P˄¬Q 2,5 MPP
1,3 (7) ¬Q 6 ˄E
1 (8) ¬P→¬Q 3,7 CP
9 (9) P A
9 (10) P˅Q 9 ˅I
9 (11) ¬(¬P˄¬Q) 10 DM
1,9 (12) P˄Q 2,11 MTT
1,9 (13) Q 12 ˄E
1 (14) P→Q 9,13 CP
1 (15) Q→P 8 Transp
1 (16) P↔Q 14,15 ↔I
7 (P ˅ Q) → (R ˄ ¬P), Q ˅ R, ¬R |— C 1 (1) (P ˅ Q) → (R ˄ ¬P) A
2 (2) Q ˅ R A
3 (3) ¬R A
19 ¬(P˄Q) je vlastne antecedent záveru, ¬(¬(P˄Q)˄¬(¬P˄¬Q)) – resp. ¬(P˄Q) →¬(¬P˄¬Q).
- 122 -
2,3 (4) Q 2,3 DS
2,3 (5) P ˅ Q 4 ˅I
1,2,3 (6) R ˄ ¬P 1,5 MPP
1,2,3 (7) R 6 ˄E
3 (8) R → C 3 FA
1,2,3 (9) C 7,8 MPP 8 ¬P ↔ Q, P → R, ¬R |— ¬Q ↔ R
1 (1) ¬P↔Q A
2 (2) P→R A
3 (3) ¬R A
2,3 (4) ¬P 2,3 MT
1,2,3 (5) Q 1,4 ↔PP
6 (6) Q↔R A
1,2,3,6 (7) R 5,6 ↔PP
1,2,3 (8) ¬(Q↔R) 3,7 RAA (6)
1,2,3 (9) ¬Q↔R 8 Neg↔
9 ¬((P↔¬Q)↔R), (S→(P˄(Q˄T)), R˅(P˄S) |— (S˄K)→(R˄Q) 1 (1) ¬((P↔¬Q)↔R) A
2 (2) S→(P˄(Q˄T)) A
3 (3) R˅(P˄S) A
4 (4) S˄K A |— R˄Q
4 (5) S 4 ˄E
2,4 (6) P˄(Q˄T) 2,5 MPP
2,4 (7) Q˄T 6 ˄E
2,4 (8) Q 7 ˄E
1 (9) (P↔¬Q)↔¬R 1 Neg↔
10 (10) ¬R A
1,10 (11) P↔¬Q 9,10 ↔PP
1,2,4,10 (12) ¬P 8,11 ↔TT
2,4 (13) P 6 ˄E
1,2,4 (14) R 12,13 RAA (10)
1,2,4 (15) R˄Q 13,14 ˄I
1,2 (16) (S˄K)→(R˄Q) 4,15 CP 20
10 (P ˄ Q) ˅ (R ˅ S) |— ((P ˄ Q) ˅ R) ˅ S 1 (1) (P˄Q) ˅ (R˅S) A
20 Premisa 3 v dôkaze nie je použitá.
- 123 -
2 (2) P ˄ Q A
2 (3) (P ˄ Q) ˅ R 2 ˅I
2 (4) ((P ˄ Q) ˅ R) ˅ S 3 ˅I
(5) P ˄ Q → ((P ˄ Q) ˅ R) ˅ S 2 CP
6 (6) R ˅ S A
7 (7) R A
7 (8) (P ˄ Q) ˅ R 7 ˅I
(9) R → (P ˄Q) ˅ R 7,8 CP
(10) S → S Id
6 (11) ((P ˄ Q) ˅ R) ˅S 6,9,10 CD
(12) R ˅ S → ((P ˄ Q) ˅ R) ˅S 6,11 CP
2,4 (13) ((P ˄ Q) ˅ R) ˅ S 6 ˄E
1 (14) ((P ˄ Q) ˅ R) ˅ S 1,2,4,6,13 ˅E 11 P ˄ (¬Q ˄ ¬R), P → (¬S → T), ¬S → (T ↔ R ˅ Q) |— S 1 (1) P ˄ (¬Q ˄ ¬R) A
2 (2) P → (¬S → T) A
3 (3) ¬S → (T ↔ R ˅ Q) A
4 (4) ¬S A
3,4 (5) T ↔ R ˅ Q 3,4 MPP
1 (6) ¬Q ˄ ¬R 1 ˄E
1 (7) ¬R ˄ ¬Q 6 ˄-Com
1 (8) ¬(R ˅Q) 7 DM
1,3,4 (9) ¬T 5,8 ↔TT
1 (10) P 1 ˄E
1,2 (11) ¬S → T 2,10 MPP
1,2,4 (12) T 4,11 MPP
1,2,3 (13) S 9,12 RAA (4)
12 (P ˄ ¬Q) → ¬R, (¬S → ¬P) ↔ ¬R |— R ↔ (Q ˄ (P ˄ ¬S)) 1 (1) (P˄¬Q)→¬R A
2 (2) (¬S→¬P)↔¬R A
3 (3) R A
1,3 (4) ¬(P˄¬Q) 1,3 MTT
2,3 (5) ¬(¬S→¬P) 2,3 ↔TT
2,3 (6) ¬S˄P 5 SI Impl
1,3 (7) ¬P˅Q 4 SI DM
2,3 (8) P 6 ˄E
1,2,3 (9) Q 7,8 DS
2,3 (10) P˄¬S 6 ˄ Com
1,2,3 (11) Q˄(P˄¬S) 9,10 ˄I
- 124 -
1,2 (12) R→(Q˄(P˄¬S)) 3,11 CP
13 (13) Q˄(P˄¬S) A
13 (14) P˄¬S 13 ˄E
13 (15) ¬S˄P 14 ˄ Com
13 (16) ¬(¬S→¬P) 15 Impl
2,13 (17) R 2,16 ↔TT
2 (18) (Q˄(P˄¬S))→R 13,17 CP
1,2 (19) R↔(Q˄(P˄¬S)) 12,18 ↔I
13 P ˅ Q, (Q → R) ˄ (¬P ˅ S), (Q ˄ R) → T |— T ˅ S 1 (1) P˅Q A 2 (2) (Q → R) ˄ (¬P ˅ S) A 3 (3) (Q˄R)→T A 2 (4) Q→R 2˄E 2 (5) ¬P˅S 2˄E 6 (6) ¬T A [CP] 3,6 (7) ¬(Q ˄ R) 3,6 MTT 3,6 (8) Q→¬R 7 SI Impl2,3,6 (9) ¬Q 4,8 RAA1,2,3,6 (10) P 1,9 DS1,2,3,6 (11) S 5,10 DS1,2,3 (12) ¬T→S 6,11 CP1,2,3 (13) T˅S 12 SI Impl 14 P→(Q ˅ R), (¬Q ˄ S) ˅ (T → ¬P), ¬(¬R → ¬P) |— ¬T ˄ Q 1 (1) P→(Q ˅ R) A
2 (2) (¬Q ˄ S) ˅ (T → ¬P) A
3 (3) ¬(¬R → ¬P) A
3 (4) ¬R ˄ P 3 Impl
3 (5) ¬R 4 ˄E
3 (6) P 4 ˄E
1,3 (7) Q ˅ R 1,6 MPP
1,3 (8) Q 5,7 SI DS
1,3 (9) Q ˅ ¬S 8 ˅I
1,3 (10) ¬(¬Q ˄ S) 9 DM
1,2,3 (11) T → ¬P 2,10 SI DS
1,2,3 (12) ¬T 6,11 MTT
1,2,3 (13) ¬T ˄ Q 8,12 ˄I
15 P ˅ Q, P → (R → ¬S), (¬R → T) → ¬P |— (S ˄ T) → Q 1 (1) P˅Q A 2 (2) P → (R → ¬S) A 3 (3) (¬R → T) → ¬P A 4 (4) S ˄ T A [CP] 5 (5) P A [RAA] 2,5 (6) R → ¬S 2,5 MPP
- 125 -
3,5 (7) ¬(¬R → T) 3,5 MTT 4 (8) S 4 ˄E 2,4,5 (9) ¬R 6,8 MTT 4 (10) T 4 ˄E 4 (11) ¬R → T 10 TC 2,4,5 (12) T → ¬R 9 TC 2,4,5 (13) ¬R → T 11,12 CP2,3,4 (14) ¬P 7,13 RAA (5) 1,2,3,4 (15) Q 1,14 DS1,2,3 (16) S ˄ T→Q 4,15 CP 16 (P ↔ ¬Q) → ¬R, (¬P ˄ S) ˅ (Q ˄ T), (S ˅ T) → R |— Q → P 1 (1) (P ↔ ¬Q) → ¬R A 2 (2) (¬P ˄ S) ˅ (Q ˄ T) A 3 (3) (S˅T)→R A 4 (4) Q A [CP] 5 (5) ¬P A [RAA] 5 (6) P→¬Q 5 FA 4 (7) ¬Q→P 4 FA 4,5 (8) P↔¬Q 6,7 ↔I 1,4,5 (9) ¬R 1,8 MPP 1,3,4,5 (10) ¬(S ˅ T) 3,9 MTT 1,3,4,5 (11) ¬S˄¬T 10 DM 1,3,4,5 (12) ¬S 11 ˄E 1,3,4,5 (13) P ˅ ¬S 12 ˅I 1,3,4,5 (14) ¬(¬P ˄ ¬¬S) 13 DM 15 (15) ¬P˄S A 15 (16) ¬P 15 ˄E 15 (17) S 15 ˄E 15 (18) ¬¬S 17 DN 15 (19) ¬P ˄ ¬¬S 16,18 ˄I (20) ¬P ˄ S → ¬P ˄ ¬¬S 15,19 CP1,3,4,5 (21) ¬(¬P ˄ S) 14,20 MTT 1,2,3,4,5 (22) Q˄T 2,21 DS1,2,3,4,5 (23) T 22 ˄E 1,2,3,4,5 (22) Q˄T 2,21 DS1,2,3,4,5 (23) T 22 ˄E 1,3,4,5 (24) ¬T 11 ˄E 1,2,3,4 (25) P 23,24 RAA (5) 1,2,3 (26) Q→P 4,25 CP 17 ¬S ˅ (S ˄ R), (S → R) → P |— P 1 (1) ¬S ˅ (S ˄ R) A 2 (2) (S → R) → P A 3 (3) ¬S A [CP] 3 (4) S→R 3 FA (5) ¬S → (S → R) 3,4 CP6 (6) S˄R A 6 (7) R 6˄E 6 (8) S→R 7TC (9) S ˄ R → (S → R) 6,8 CP1 (10) S→R 1,5,9 JD
- 126 -
1,2 (11) P 2,10 MPP 18 P ˅ (R ˅ Q), (R → S) ˄ (Q → T), (S ˅ T) → (P ˅ Q), ¬P |— Q 1 (1) P ˅ (R ˅ Q) A 2 (2) (R → S) ˄ (Q → T) A 3 (3) (S ˅ T) → (P ˅ Q) A 4 (4) ¬P A 1,4 (5) R ˅ Q 1,4 DS2 (6) R → S 2˄E 2 (7) Q → T 2˄E 1,2,4 (8) S ˅ T 5,6,7 CD1,2,3,4 (9) P ˅ Q 3,8 ˄E 1,2,3,4 (10) Q 4,9 DS 19 (P → Q) → R, S → (¬Q → T) |— (R ˅ ¬T) → (S → R) 1 (1) (P →Q) → R A 2 (2) S → (¬Q → T) A 3 (3) R ˅ ¬T A [CP] |— S → R4 (4) S A [CP] |— R5 (5) R A [3]5 (6) S → R 4,5 CP (7) (R ˅ ¬T) → (S → R) 3,6 CP8 (8) ¬T A [3]2 (9) (S ˄ ¬Q) → T 2 Exp/impl 2,8 (10) ¬(S ˄ ¬Q) 7,8 MTT 2,8 (11) ¬S ˅ ¬¬Q 9 DM 2,4,8 (12) ¬¬Q 4,11 DS2,4,8 (13) Q DN2,4,8 (14) P → Q 15 TC 1,2,4,8 (15) R 1,14 MPP 1,2,8 (16) S → R 4,15 CP1,2 (17) (R ˅ ¬T) → (S → R) 14,18 CP1,2 (18) (R ˅ ¬T) → (S → R) 3,4,7,8,17˅E 20 (P ˄ Q) → (R ˅ S) |— (P → R) ˅ (Q → S) 1 (1) (P ˄ Q) → (R ˅ S) A2 (2) ¬(P→R) A [CP]2 (3) P ˄ ¬R Impl4 (4) Q A [CP]2 (5) P 3 ˄E2,4 (6) P ˄ Q 4,5 ˄I1,2,4 (7) R˅S 1,6 MPP1,2,4 (8) ¬R 3 ˄E1,2,4 (9) S 7,8 DS1,2 (10) Q→S 4,9 CP1 (11) ¬(P→R)→(Q→S) 2,10 CP1 (12) (P→R)˅(Q→S) 11˅I 21 (P → Q) ˄ (R → P), (P ˅ R) ˄ ¬(Q ˄ R) |— (P ˄ Q) ˄ ¬R 1 (1) (P →Q) ˄ (R →P) A 2 (2) (P ˅ R) ˄ ¬(Q ˄ R) A 1 (3) P→Q 1 ˄E
- 127 -
1 (4) R→P 1 ˄E 2 (5) P˅R 2˄E 2 (6) ¬(Q ˄ R) 2˄E 2 (7) ¬Q˅¬R 6 SI DM 2 (8) ¬P→R 5 Impl1 (9) ¬P→¬R 4 Trans 1,2 (10) ¬¬P 8.9 IA 1,2 (11) P 10DN 1 (12) R→Q 3,4 SI HS 1 (13) ¬Q→¬R 12 Transp2 (14) Q→¬R 7 Impl1,2 (15) ¬R 13,14 ŠD1,2 (16) Q 3,11 MPP 1,2 (17) P˄Q 11,16 ˄I 1,2 (18) (P ˄ Q) ˄ ¬R 15,17 ˄I 22 (P ˄ Q)→((R ˅ S)˄¬(R ˄ S)), (R ˄ Q) → S, S → (((R ˄ Q) ˅ (¬R ˄ ¬Q)) ˅ ¬P) |— P→¬Q 1 (1) (P ˄ Q)→((R ˅ S)˄¬(R ˄ S)) A 2 (2) (R ˄ Q) → S A 3 (3) S → (((R ˄ Q) ˅ (¬R ˄ ¬Q)) ˅ ¬P) A 4 (4) P A [CP] 5 (5) Q A [RAA] 4,5 (6) P˄Q 4,5 ˄I 1,4,5 (7) (R ˅ S) ˄ ¬(R ˄ S) 1,6 MPP 1,4,5 (8) R˅S 7˄E 1,4,5 (9) ¬(R ˄ S) 7 ˄E 1,4,5 (10) R→¬S 9 Impl11 (11) R A 5,11 (12) R˄Q 5,11 ˄I 2,5,11 (13) S 2,12 MPP 2,5 (14) R→S 11, 13 CP 1,2,4,5 (15) ¬R 10,14 IA 1,2,4,5 (16) S 8,15 DS1,2,3,4,5 (17) ((R ˄ Q) ˅ (¬R ˄ ¬Q)) ˅ ¬P 3,16 MPP 1,2,3,4,5 (18) (R ˄ Q) ˅ (¬R ˄ ¬Q) 4,17 DS5 (19) ¬R→Q 5TC 5 (20) ¬(¬R ˄ ¬Q) 19 Impl1,2,3,4,5 (21) R˄Q 18,20 DS1,2,3,4,5 (22) R 21 ˄E 1,2,3,4 (23) ¬Q 15,22 RAA (5) 1,2,3 (24) P→¬Q 4,22 CP 23 ¬(P ˄ ¬Q) ˅ ¬(¬R ˄ ¬S), ¬S ˄ ¬Q, T → (¬S → (¬R ˄ P)) |— ¬T 1 (1) ¬(P ˄ ¬Q) ˅ ¬(¬R ˄ ¬S) A
2 (2) ¬S ˄ ¬Q A
3 (3) T → (¬S → (¬R ˄ P)) A
4 (4) T A
3,4 (5) ¬S→(¬R ˄ P) 3,4 MPP
2 (6) ¬S 2 ˄E
2,3,4 (7) ¬R ˄ P 5,6 MPP
- 128 -
2,3,4 (8) ¬R 7 ˄E
2,3,4 (9) ¬R ˄ ¬S 6,8 ˄I
1,2,3,4 (10) ¬(P ˄ ¬Q) 1,9 DS
1,2,3,4 (11) ¬P ˅ Q 10 DM
2 (12) ¬Q 2 ˄E
1,2,3,4 (13) ¬P 11,12 DS
2,3,4 (14) P 7 ˄E
1,2,3 (15) ¬T 13,14 RAA (4)
E3.
(1) 1 1) ¬A 2 2) ¬B 3 3) B ˅ C 4 4) A ˅ D ∴ C ˄ D 1,4 5) D 1,4 DS 2,3 6) C 2,3 DS 1,2,3,4 7) C ˄ D 5,6 ˄I
(2) 1 1) ¬A ˄ ¬B 2 2) B ˅ C ∴ C ˄ ¬A 1 3) ¬A 1˄E1 4) ¬B 1˄E1,2 5) C 2,4 DS 1,2 6) C ˄ ¬A 3,5 ˄I
(3) 1 1) A → B 2 2) ¬P → ¬T 3 3) B → ¬P ∴ A → ¬T 4 4) A A1,4 5) B 1,4 MPP1,3,4 6) ¬P 3,5 MPP1,2,3,4 7) ¬T 2,6 MPP1,2,3 8) A → ¬T 4,7 CP
Ďalšia možnosť 1,3 4) A →¬P 1,3 Tranz. (A → B) ˄ (B → C) |– A → C 1,4 5) A → ¬T 2,4 Tranz.
(4) 1) G ˅ ¬H 2) ¬G
- 129 -
(6) 1 1) C → (A ˄ S) ∴ ¬S → ¬C 2 2) ¬S A 2 3) ¬S ˅ ¬A 2˅I2 4) ¬(A ˄ S) 3DM1,2 5) ¬C 1,4 MPP1,2 6) ¬S → ¬C 2,5 CP
RA
2 2) ¬S A 3 3) C A 1,3 4) A ˄ S 1,3 MPP1,2 5) S 1,3 ˄E 1,2,3 6) ¬S ˄ S 2,5 ˄I1,2 7) ¬C 3,6 RA 1 8) ¬S → ¬C 2,7 CP
(7) 1 1) 1. M ↔ ¬O ∴ ¬M → O 1 2) (M → ¬O) ˄ (¬O → M) ↔ def
1 3) ¬O → M 2˄E1 4) ¬M → O SI Transp. ¬O → M –||– ¬M → O
(8) 1 1) F → (G ˅ A)2 2) ¬G3 3) ¬A ∴ ¬F 2,3 4) ¬G ˄ ¬A 2,3 ˄I2,3 5) ¬(G ˅ A) 4 SI DM 1,2,3 6) ¬F 1,5 MTT
RA 4 4) F A1,4 5) G ˅ A 1,4 MPP 1,2,4 6) A 2,5 SI DS
3) I → H ∴ ¬I 1,2 4) ¬H 1,2 DS 1,2,3 5) ¬I 3,4 MTT
(5) 1 1) (A ˄ B) ˅ (Q ˄ R) 2 2) ¬Q ˅ ¬R ∴ B 2 3) ¬(Q ˄ R) 2 DM1,2 4) A ˄ B 1,3 DS1,2 A 4 ˄E
- 130 -
1,2,3,4 7) A ˄ ¬A 3,6 ˄I1,2,3 8) ¬F 4,7 RA
E4.
(1) 1 1. (¬M ˄ ¬N) → [(¬M ˅ H) → (K ˄ L)] A2 2. ¬M ˄ (C → D) A3 3. ¬N ˄ (F ↔ G) A K ˄ ¬N 2 4. ¬M 2 ˄E3 5. ¬N 3 ˄E2,3 6. ¬M ˄ ¬N 4,5 ˄I1,2,3 7. (¬M ˅ H) → (K ˄ L) 1,6 MPP2 8. ¬M ˅ H 4 ˅I1,2,3 9. K ˄ L 7,8 MPP1,2,3 10. K 9 ˄E1,2,3 11. K ˄ ¬N 5,10 ˄I
(2) 1 1. (P v S) → (E → F ) A 2 2. (P v T ) → (G → H) A 3 3. (P v U) → (E v G) A 4 4. P A F v H 4 5. P v S 4˅I1,4 6. E → F 1,5 MPP4 7. P v T 4 ˅I 2,4 8. G → H 2,7 MPP4 9) P v U 4˅I3,4 10) E v G 3,9 MPP1,2,3,4 11) (E → F) ˄ (G → H) 6,8 ˄I1,2,3,4 11) F v H 10,11 SI KD
E5.
(1) 1 1) ¬(A ˄ B)2 2) A3 3) ¬B → D ∴ D 4 4) ¬D A3,4 5) B 3,4 MTT2,3,4 6) A ˄ B 2,5 ˄I1,2,3,4 7) ( A ˄ B) ˄ ¬(A ˄ B) 1,6 ˄I1,2,3 8) ¬¬D 4,7 RA1,2,3 9) D 8 DN
- 131 -
(1a) 1 1) ¬(A ˄ B)2 2) A3 3) ¬B → D ∴ D 1 4) ¬A ˅ ¬B 1 SI DM1,2 5) ¬B 2,4 SI DS1,2,3 6) D 3,5 MPP
(2)
1 1) K ˅ M2 2) ¬M ∴ ¬(¬K ˅ M) 3 3) ¬K ˅ M A1,2 4) K 1,2 SI DS1,2,3 5) M 3,4 SI DS1,2,3 6) M ˄ ¬M 2,5 ˄I1,2 7) ¬(¬K ˅ M) 3,6 RA
(3) 1 1) ¬R ˅ ¬S2 2) ¬R ˅ S ∴ ¬R 3) 3) R A 2,3 4) S 2,3 SI DS1,2,3 5) ¬R 1,4 SI DS1,2,3 6) R ˄ ¬R 3,4 ˄I1,2 7) ¬R 3,6 RA
(4) 1 1) F → (G ˄ A) 2 2) ¬G ˄ M ∴ ¬F 3 3) F A1,3 4) G ˄ A 1,3 MPP1,3 5) G 4˄E2 6) ¬G 2˄E1,2,3 7) G ˄ ¬G 5,6 ˄I 1,2 8) ¬F 3,7 RA
(5) 1 1) F → A2 2) G ˄ ¬A ∴ ¬F ˅ X 2 3) ¬A 2˄E1,2 4) ¬F 1,3 MPP1,2 5) ¬F ˅ X 4 ˅I
(6a) 1 1) S → ¬M2 2) M ˅ T
- 132 -
3 3) S → ¬T ∴ ¬S 4 4) S A1,4 5) ¬M 1,4 MPP 3,4 6) ¬T 3,4 MPP 1,2,4 7) T 2,5 SI DS 1,2,3,4 8) T ˄ ¬T 6,7 ˄I1,2,3 9) ¬S 4,8 RA
(6b) 1 1) S → ¬M2 2) M ˅ T3 3) S → ¬T ∴ ¬S 4 4) M A1,4 5) ¬S 1,4 MTT 6 6) T A3,6 7) ¬S 3,6 MTT 1,2,3 8) ¬S 2,4,5,6,7 ˅E
E6 (1) 1 1) A ˅ W A2 2) ¬A ˅ ¬W A ∴ ¬W ↔ A 1 3) ¬A → W 1 SI2 4) A → ¬W 2 SI2 5) W → ¬A 4 SI Transp.1,2 6) (¬A → W) ˄ (W → ¬A) 4,5 ˄I1,2 7) ¬W ↔ A 6. ↔def
(2) 1 1. S ↔ ¬K A2 2. K A3 3. ¬B → S A ∴ B ˄ K 1 4. (S → ¬K) ˄ (K → ¬S) ↔def
1 5 S → ¬K 4 ˄E1,2 6 ¬S 2,5 MPP1,2,3 7 B 3,6 MPP1,2,3 8 B ˄ K 2,7 ˄I
- 133 -
(3) 1 1) (S ˅ ¬S) → ¬B A 2 2) (A ˄ P) → B A ∴ ¬A ˅ ¬P 3 3) ¬(¬A ˅ ¬P) A 3 4) A ˄ P 3 SI DM2,3 5) B 2,4 MPP1,2,3 6) ¬(S ˅ ¬S) 1,5 MTT1,2,3 7) S ˄ ¬S 6 SI DM1,2 8) ¬¬(¬A ˅ ¬P) 3,7 RA1,2 9) ¬A ˅ ¬P 8 DN
(4a) 1 1) U → R A2 2) ¬N → ¬F A3 3) N → J A4 4) ¬U → ¬J A ∴ F → R 5 5) F A2,5 6) N 2,5 MTT2,3,5 7) J 3,6 MPP2,3,4,5 8) U 4,7 MTT1,2,3,4,5 9) R 1,8 MPP1,2,3,4 10) F → R 5,9 CP
(4b) 1 1) U → R A 2 2) ¬N → ¬F A 3 3) N → J A 4 4) ¬U → ¬J A ∴ F → R 2 5) F→N 2 SI Transp.2,3 6) F→J 3,5 SI Tranz.4 7) J→ U 4 SI Transp.2,3,4 8) F → U 6,7 SI Tranz.1,2,3,4 9) F → R 1,8 SI Tranz.
(5) 1 1) P → T A2 2) ¬T → ¬Q A3 3) ¬(¬P ˄ ¬Q) A ∴ T 4 4) ¬T A1,4 5) ¬P 1,4 MTT2,4 6) ¬Q 2,4 MPP1,2,4 7) ¬P ˄ ¬Q 5,6 ˄I1,2,3,4 8) ¬(¬P ˄ ¬Q) ˄ (¬P ˄ ¬Q) 3,7 ˄I1,2,3 9) T 4,8 RA
- 134 -
(6) 1 1) ¬Q → E A2 2) ¬A → E A3 3) ¬E A ∴ (A ˄ Q) ˅ (A ˄ E) 1,3 4) Q 1,3 MTT2,3 5) A 2,3 MTT1,2,3 6) A ˄ Q 4,5 ˄I1,2,3 7) (A ˄ Q) ˅ (A ˄ E) 6 ˅I
(7) 1 1) A ˅ (B ˄ C) A 2 2) A → M A 3 3) M → D A ∴ D ˅ B 4 4) A A 2,4 5) M 2,4 MPP2,3,4 6) D 3,5 MPP2,3,4 7) D ˅ B 6 ˅I 8 8) B ˄ C A 8 9) B 8 ˄E 8 10) D ˅ B 9 ˅I 11) D ˅ B 1,4,7,8,10 ˅E
E7.
(1) 1 1) A → (B ˅ C) A2 2) C ↔ B A ∴ A → B 3 3) A A 4 4) ¬B A 1,3 5) B ˅ C 1,3 MPP 2 6) (C → B) ˄ (B → C) 2 ↔def
2 7) C → B 6˄E2 8) B → C 6˄E1,3,4 9) C 4,5 SI DS1,2,3,4 10) B 7,9 MPP1,2,3,4 11) B ˄ ¬B 4,10 ˄I1,2,3 12) B 4,11 RA1,2 13) A → B 3,12 CP
(2) 1 1) ¬(A ˄ B) A2 2) (A ˅ B) ˄ (A ˅ ¬B) A ∴ A ˄ ¬B 1 3) A → ¬B 1 Impl2 4) A ˅ ¬B 2 ˄E
- 135 -
2 5) ¬A → ¬B 4 Impl1,2 6) ¬B 3,5 ŠD2 7) A ˅ B 2 ˄E1,2 8) A 6,7 SI DS1,2 9) A ˄ ¬B 6,8 ˄I
Strom pre (2)21
(3) 1 1) A → B A 2 2) C → D A
∴ (A ˅ C) → (B ˅ D) 3 3) A ˅ C A 4 4) A A 1,4 5) B 1,4 MPP 1,4 6) B ˅ D 5˅I 7 7) C A 2,7 8) D 2,7 MPP 2,7 9) B ˅ D 8 ˅I 1,2 10) B ˅ D 3,4,6,7,9 ˅E
(4) 1 1) P → (Q ˄ R) A2 2) (Q ˅ R) → S A3 3) P ˅ S A ∴ S 4 4) ¬S A3,4 5) P 3,4 SI DS1,3,4 6) Q ˄ R 1,5 MPP1,3,4 7) Q 6 ˄E1,3,4 8) Q ˅ R 7 ˅I1,2,3,4 9) S 2,8 MPP
21 https://www.umsu.de/logik/trees/
- 136 -
1,2,3,4 10) S ˄ ¬S 4,9 ˄I 1,2,3 11) ¬¬S 4,10 RAA1,2,3 12) S 11 DN
(5)
(5a) 1 1) (A ˅ B) → (A → ¬B) A 2 2) (B ˄ ¬C) → (A ˄ B) A 3 3) ¬A → B A ∴ A ˅ C 1 4) (¬A → B) → (A → ¬B) 1 SI DM 1,3 5) A → ¬B 1,3 MPP 1,3 6) ¬(A ˄ B) 5 SI Impl. 1,2,3 7) ¬(B ˄ ¬C) 2,6 MPP 1,2,3 8) ¬B ˅ C 7 SI DM 9 9) ¬B A 3,9 10) A 3,9 MTT 3,9 11) A ˅ C 10 ˅I 12 12) C A 12 13) A ˅ C 12 ˅I 1,2,3 14) A ˅ C 8,9,11,12,13 ˅E
(5b) 1 1) (A ˅ B) → (A → ¬B) A 2 2) (B ˄ ¬C) → (A ˄ B) A 3 3) ¬A → B A ∴ A ˅ C 3 4) A ˅ B 3 SI Impl. 5 5) A A 5 6) A ˅ C 5 ˅I 7 7) B A 7 8) A ˅ B 7 ˅I 1,7 9) A → ¬B 1,8 MPP 1,7 10) ¬A 7,9 MTT 1,7 11) ¬A ˅ ¬B 10 ˅I 1,7 12) ¬(A ˄ B) 11 SI DM 1,2,7 13) ¬(B ˄ ¬C) 2,12 MPP 1,2,7 14) ¬B ˅ C 13 SI DM 1,2,7 15) C 7, 14 SI DS 1,2,7 16) A ˅ C 15 ˅I 1,2,3 17) A ˅ C 4,5,6,7,16 ˅E
(5c, RA) 1 1) (A ˅ B) → (A → ¬B) A 2 2) (B ˄ ¬C) → (A ˄ B) A 3 3) ¬A → B A ∴ A ˅ C
- 137 -
4 4) ¬(A ˅ C) 4 5) ¬A ˄ ¬C 4 SI DM 4 6) ¬A 5 ˄E 4 7) ¬C 5 ˄E 3,4 8) B 3,6 MPP 3,4 9) B ˄ ¬C 7,8 ˄I 2,3,4 10) A ˄ B 2,9 MPP 2,3,4 11) A 9 ˄E 2,3,4 12) A ˄ ¬A 6,11 ˄I 2,3 13) ¬¬(A ˅ C) 4, 12 RA 2,3 14) A ˅ C 13 DN
(6)
(6a) 1 1) ¬(T ˄ R) A2 2) (P → Q) ˄ (R → S) A3 3) T ˄ (P ˅ R) A4 4) ¬Q ↔ S A ∴ ¬R ˄ ¬S 3 5) T 3 ˄E3 6) P ˅ R 3 ˄E1 7) ¬T ˅ ¬R 1 SI DM1,3 8) ¬R 5,7 SI DS1,3 9) P 6,8 SI DS2 10) P → Q 2 ˄E1,2,3 11) Q 9,10 MPP4 12) (¬Q → S) ˄ (S → ¬Q) 4 ↔def
4 13) S → ¬Q 12 ˄E1,2,3,4 14) ¬S 11,13 MTT1,2,3,4 15) ¬R ˄ ¬S 14 ˄I
(6b, RA) 1 1) ¬(T ˄ R) A2 2) (P → Q) ˄ (R → S) A
- 138 -
3 3) T ˄ (P ˅ R) A4 4) ¬Q ↔ S A ∴ ¬R ˄ ¬S 5 5) ¬(¬R ˄ ¬S) A5 6) R ˅ S 5 SI DM3 7) T 3 ˄E3 8) P ˅ R 3 ˄E1 9) ¬T ˅ ¬R 1 SI DM1,3 10) ¬R 7,9 SI DS1,3,5 11) S 6,10 SI DS1,3 12) P 8,10 SI DS2 13) P → Q 2 ˄E1,2,3 14) Q 12,13 MPP4 15) (¬Q → S) ˄ (S → ¬Q) 4 ↔def
4 16) S → ¬Q 15 ˄E1,2,3,4 18) ¬S 14,16 MTT1,2,3,4,5 19) S ˄ ¬S 11,18 ˄I1,2,3,4 20) ¬¬(¬R ˄ ¬S) 5,19 ˄I1,2,3,4 21) ¬R ˄ ¬S 20 DN
(7) 1 1) G → F A2 2) (D → A) ˄ (E → B) A3 3) G ˅ (D ˅ E) A4 4) ¬(F ˅ C) A5 5) B → C A ∴ A 4 6) ¬F ˄ ¬C 4 SI DM4 7) ¬F 4 ˄E4 8) ¬C 4 ˄E
- 139 -
2 9) D → A 2 ˄E2 10) E → B 2 ˄E1,4 11) ¬G 1,7 MTT1,3,4 12) D ˅ E 3,11 SI DS4,5 13) ¬B 5,8 MTT2,4,5 14) ¬E 10,13 MTT1,2,3,4,5 15) D 12,14 SI DS1,2,3,4,5 16) A 9,15 MPP
(8)
(8a) 1 1) (E ˅ R) ↔ D A 2 2) (K → L) ˄ (G → H) A 3 3) (¬E ˅ L) → (D ˅ G) A 4 4) ¬(D ˅ L) A ∴ E ˅ H 4 5) ¬D ˄ ¬L 4 SI DM 4 6) ¬D 5˄E 4 7) ¬L 5˄E 1 8) ((E ˅ R) → D) ˄ (D→(E ˅ R)) 1↔def
1 9) (E ˅ R) → D 8 ˄E 1,4 10) ¬(E ˅ R) 6,9 MTT 1,4 11) ¬E ˄ ¬R 10 SI DM 1,4 12) ¬E 11 ˄E 1,4 13) ¬E ˅ L 12 ˅I 1,3,4 14) D ˅ G 3,13 MPP 1,3,4 15) G 6,14 SI DS 2 16) G → H 2˄E 1,2,3,4 17) H 15,16 MPP 1,2,3,4 18) E ˅ H 17 ˅I
(8b) 1 1) (E ˅ R) ↔ D A 2 2) (K → L) ˄ (G → H) A 3 3) (¬E ˅ L) → (D ˅ G) A 4 4) ¬(D ˅ L) A ∴ E ˅ H 5 5) ¬(E ˅ H) A 5 6) ¬E ˄ ¬H 5 SI DM 5 7) ¬E 6 ˄E 5 8) ¬H 6 ˄E5 9) ¬E ˅ L 7 ˅I 3,5 10) D ˅ G 3,9 MPP 4 11) ¬D ˅ ¬L 4 SI DM 2 12) G → H 2 ˄E 2,5 13) ¬G 8,12 MTT 2,3,5 14) D 10,13 SI DS 2,3,5 15) D ˅ L 14 ˅I 2,3,4,5 16) ¬(D ˅ L) ˄ (D ˅ L) 4,15 ˄I 2,3,4 17) ¬¬(E ˅ H) 5,16 ˄I
- 140 -
2,3,4 18) E ˅ H 17 DN (9)
(9a) 1 1) (N ˄ E) ˅ (N ˄ H) A2 2) (B ˅ P) ↔ ¬(B ˄ K) A3 3) (E ˅ P) → ¬N A4 4) H → B A ∴ ¬K 1 5) N ˄ (E ˅ H) 1 asoc1 6) N 5 ˄E1 7) E ˅ H 5 ˄E1,3 8) ¬(E ˅ P) 3,6 MTT1,3 9) ¬E ˄ ¬P 8 SI DM1,3 10) ¬E 9 ˄E1,3 11) H 7,10 SI DS1,3,4 12) B 4,11 MPP1,3,4 13) B ˅ P 12 ˅I2 14) ((B˅P)→¬(B˄K)) ˄ (¬(B˄K)→(B˅P)) 2 ↔def
2 15) (B ˅ P) → ¬(B ˄ K) 14 ˄E1,2,3,4 16) ¬(B ˄ K) 13,15 MPP1,2,3,4 17) ¬B ˅ ¬K 16 SI DM1,2,3,4 18) ¬K 12, 17 SI DS
(9b RAA) 1 1) (N ˄ E) ˅ (N ˄ H) A2 2) (B ˅ P) ↔ ¬(B ˄ K) A3 3) (E ˅ P) → ¬N A4 4) H → B A ∴ ¬K 5 5) K A1 6) N ˄ (E ˅ H) 1 asoc.1 7) N 6 ˄E1 8) E ˅ H 6 ˄E1,3 9) ¬(E ˅ P) 3,7 MTT 1,3 10) ¬E ˄ ¬P 9 SI DM 1,3 11) ¬E 10 ˄E1,3 12) H 8,11 SI DS 1,3,4 13) B 4,12 MPP 1,3,4 14) B ˅ P 13 ˅I2 15) ((B ˅ P) → ¬(B ˄ K)) ˄ (¬(B ˄ K) → (B ˅P)) 2 ↔def
2 16) (B ˅ P) → ¬(B ˄ K) 15 ˄E1,2,3,4 17) ¬(B ˄ K) 14,16 MPP 1,3,4,5 18) K ˄ B 5,13 ˄I1,2,3,4,5 19) (K ˄ B) ˄ ¬(B ˄ K) 17,18 ˄I1,2,3,4 20) ¬K 5, 19 RA
- 141 -
(10)
(10a) 1 1) (K ˄ L) → ¬M A2 2) S → (M ˄ P) A3 3) T → (Q ˄ R) A4 4) L ˄ (S ˅ T) A5 5) K ↔ L A ∴ Q ˅ ¬L 4 6) L 4 ˄E5 7) (K → L) ˄ (L → K) 5 ↔def
5 8) L → K 7 ˄E4,5 9) K 6,8 MPP4,5 10) K ˄ L 6,9 ˄I1,4,5 11) ¬M 1,10 MPP1,4,5 12) ¬M ˅ ¬P 11 ˅I1,4,5 13) ¬(M ˄ P) 12 SI DM1,2,4,5 14) ¬S 2,13 MTT4 15) S ˅ T 4 ˄E1,2,4,5 16) T 14,15 SI DS1,2,3,4,5 17) Q ˄ R 3,16 MPP1,2,3,4,5 18) Q 17 ˄E1,2,3,4,5 19) Q ˅ ¬L 18 ˅I
(10b, RA) 1 1) (K ˄ L) → ¬M A2 2) S → (M ˄ P) A3 3) T → (Q ˄ R) A4 4) L ˄ (S ˅ T) A5 5) K ↔ L A ∴ Q ˅ ¬L 6 6) ¬(Q ˅ ¬L) A
- 142 -
6 7) ¬Q ˄ L 6 SI DM6 8) ¬Q 7 ˄E6 9) L 7 ˄E6 10) ¬Q ˅ ¬R 8 ˅I6 11) ¬(Q ˄ R) 10 SI DM3,6 12) ¬T 3,11 MTT4 13) S ˅ T 4 ˄E3,4,6 14) S 12,13 SI DS2,3,4,6 15) M ˄ P 2,14 MPP2,3,4,6 16) M 15 ˄E1,2,3,4,6 17) ¬(K ˄ L) 1,16 MTT1,2,3,4,6 18) ¬K ˅ ¬L 17 SI DM1,2,3,4,6 19) ¬K 9,18 SI DS5 20) (K → L) ˄ (L → K) 5 ↔def
5 21) L → K 7 ˄E1,2,3,4,5,6 22) ¬L 19,21 MTT1,2,3,4,5,6 23) ¬L ˄ L 9,22 ˄I1,2,3,4,5 24) ¬¬(Q ˅ ¬L) 6,23 RA1,2,3,4,5 25) Q ˅ ¬L 24 DN
11 a)
1 1) (T K) ˅ (C E) A
2 2) K → ¬E A 3 3) E → ¬C A
T K 4 4) ¬ (T K) A
- 143 -
1 5) ¬ (T K) → (C E) 1 SI Impl. 1,4 6) C E 4,5 MPP
1,4 7) C 6 E 1,3,4 8) ¬ E 3,7 MTT 1,4 9) E 6 E 1,3,4 10) ¬ E E 8,9 I 1,3 11) ¬ ¬ (T K) 4,10 RA 1,3 12) T K 11 DN
b) 1 1) (T K) ˅ (C E) A 2 2) K → ¬E A
3 3) E → ¬C A
T K 4 4) ¬ (T K) A 1,4 5) C E 1,4 SI DS
1,4 6) C 4,5 MPP
1,4 7) E 5 E 1,3,4 8) ¬C 3,7 MPP
1,3,4 9) ¬ C C 6,8 I 1,3 10) ¬ ¬ (T K) 4,9 RA 1,3 11) T K 10 DN
F. Slovné úlohy 1) L → U, ¬U |— ¬L, (MTT) 2) ¬D ˅ ¬M, M |— ¬D (DS) 3) P → ¬O, B → O, O ˅ ¬O |— ¬P ˅ ¬B (DD) 5) (K → ¬T) (P → T), T ˅ ¬T |– ¬K ˅ ¬P (DD)
- 144 -
a)22 1 1) (K → ¬T) (P → T) A
2 2) T ˅ ¬T A
¬K ˅ ¬P 1 3) K → ¬T 1E 1 4) P → T 1E 5 5) T A 1,5 6) ¬K 3,5 MTT
1,5 7) ¬K ˅ ¬P 6 ˅I
8 8) ¬T A 1,8 9) ¬P 2,8 MPP
1,8 10) ¬K ˅ ¬P 9 ˅I
1,2 11) ¬K ˅ ¬P 2,5,7,8,10 ˅E b) RA
1 1) (K → ¬T) (P → T) A
2 2) T ˅ ¬T A
¬K ˅ ¬P 1 3) K → ¬T 1E 1 4) P → T 1E 5 5) ¬ (¬K ˅ ¬P) A
5 6) K P 5 DM
5 7) K 6 E 1,5 8) ¬T 3,7 MPP
5 9) P 6 E 1,5 10) T 4,9 MPP 1,5 11) T ¬T 8,10I 1 12) ¬¬ (¬K ˅ ¬P) 3,11 RAA
1 13) ¬K ˅ ¬P 12DN Keďže je (T ¬T) ↔ ¬ (¬ T ˅ T) resp. jeho komutovaná podoba ¬ (T ˅ ¬T), riešenie môže pokračovať od kroku 12) aj takto:
1,5 12) ¬ (T ˅ ¬T) 11DM
1,2,5 13) (T ˅ ¬T ) ¬ (T ˅ ¬T) 2,11I 1, 2 12) ¬¬ (¬K ˅ ¬P) 3,11 RAA
1, 2 13) ¬K ˅ ¬P 12DN
22 Dôkaz základnými pravidlami.
- 145 -
6. S→ K, K → L |— S → L (HS)
7) U → ¬P, ¬U → ¬Č |— (U ˅ ¬U) → (¬P ˅ ¬Č) (KD) a)
1 1) U → ¬P A 2 2) ¬U → ¬Č A
(U ˅ ¬U) → (¬P ˅ ¬Č) 3 3) U ˅ ¬U A |— ¬P ˅ ¬Č
4 4) U A 1,4 5) ¬P 1,4 MPP
1,4 6) ¬P ˅ ¬Č 5 ˅I
7 7) ¬U A 2,7 8) ¬Č 2,7 MPP
2,7 9) ¬P ˅ ¬Č 8 ˅I
1,2,3 10) ¬P ˅ ¬Č 3,4,6,8,9 ˅E 1,2 11) (U ˅ ¬U) → (¬P ˅ ¬Č) 6,9 CP
b) 1 1) U → ¬P A 2 2) ¬U → ¬Č A
(U ˅ ¬U) → (¬P ˅ ¬Č) 3 3) U ˅ ¬U A |— ¬P ˅ ¬Č 1,2 4) (U → ¬P) ˄ (¬U → ¬Č ) 1,2 ˄I
1,2,3 5) ¬P ˅ ¬Č 3,4 SI KD
1,2 6) (U ˅ ¬U) → (¬P ˅ ¬Č) 3,5 CP
- 146 -
c) RAA 1 1) U → ¬P A 2 2) ¬U → ¬Č A
(U ˅ ¬U) → (¬P ˅ ¬Č) 3 3) U ˅ ¬U A |— ¬P ˅ ¬Č
4 4) ¬(¬P ˅ ¬Č) 4 5) P ˄ Č 4 SI DM
4 6) P 5˄E
4 7) Č 5˄E 1,4 8) U 1,6 MTT
2,4 9) ¬U 2,7 MTT
1,2,4 10) U ˄ ¬U 8,9˄I 1,2 11) ¬¬(¬P ˅ ¬Č) 4,10 RAA
1,223 12) ¬P ˅ ¬Č 11 DN
1,2 13) (U ˅ ¬U) → (¬P ˅ ¬Č) 3,12 CP
8) (P → Z) ˄ (L → S), P ˅ L, (P → ¬S) ˄ (L → ¬Z) |— S ↔ ¬Z
1 1) (P → Z) ˄ (L → S), A
2 2) P ˅ L A
3 3) (P → ¬S) ˄ (L → ¬Z) A S ↔ ¬Z 1,2 4) Z ˅ S 1,2 SI KD
2,3 5) ¬S ˅ ¬Z 2,3 SI KD 1,2 6) S → ¬Z 5 SI Impl.
2,3 7) ¬Z → S 4 SI Impl.
1,2,3 8) (S → ¬Z) ˄ (¬Z → S) 6,7 ˄I 1,2,3 9) S ↔ ¬Z 8 ↔def
23 Príklad by bol platný aj bez predpokladu 3), tautológie (U ˅ ¬U).
- 147 -
9) (C ˅ M) → (T ˄ R), (T → V) ˄ ¬V |— ¬C
1 1) (C ˅ M) → (T ˄ R) A
2 2) (T → V) ˄ ¬V A
¬C 2 3) ¬V 2˄E 2 4) T → V 2˄E
2 5) ¬T 3,4 MPP
2 6) ¬T ˅ ¬R 5˅I 2 7) ¬(T ˄ R) 6 SI DM
1,2 8) ¬(C ˅ M) 1,7 MPP
1,2 9) ¬C ˄ ¬M 8 SI DM 1,2 10) ¬C 9 ˄E
10) Z ˅ (V → R), D ˅ (R→ E), ¬Z, ¬D |– V → E
1 1) Z ˅ (V → R) A
2 2) D ˅ (R→ E) A
3 3) ¬Z A 4 4) ¬D
V → E 5 5) V A
1,3 6) V → R 1,3 SI DS
1,3,5 7) R 5,6 MPP
2,4 8) R→ E 2,4 SI DS
1,2,3,4,5 9) E 7,8 MPP
1,2,3,4 10) V → E 5,9 CP
11) (K → P) → (M → D), K → M, M→ P |– K → D a)
1 1) (K → P) → (M → D) A 2 2) K → M A
3 3) M→ P A K → D 2,3 4) K → P 2,3 SI HS
1,2,3 5) M → D 1,4 MPP
1,2,3 6) K → D 2,5 SI HS b) RA
1 1) (K → P) → (M → D) A
2 2) K → M A 3 3) M→ P A K → D 4 4) K A
- 148 -
5 5) ¬D A
2,4 6) M 2,4 MPP 2,4,5 7) M ˄ ¬D 5,6 ˄I
2,4,5 8) ¬(M → D) 7 SI Impl.
1,2,4,5 9) ¬(K → P) 1,8 MTT 2,3 10) (K → M) ˄ (M → P) 2,3 ˄I
2,3 11) K → P 10 SI HS
1,2,3,4,5 12) (K → P) ˄ ¬(K → P) 9,11 ˄I 1,2,3,4 13) D 5,12 RA
1,2,3 14) K → D 4,13 CP
12) S → (P ˅ V), ¬P, S |– V a)
1 1) S → (P ˅ V) A
2 2) ¬P A 3 3) S A V 1,3 4) P ˅ V 1,3 MPP 1,2,3 5) V 2,4 SI DS
b) RA 1 1) S → (P ˅ V) A 2 2) ¬P A
3 3) S A V 4 4) ¬V A
1,3 5) P ˅ V 1,3 MPP
1,3,4 6) P 4,5 SI DS 1,2,3,4 7) P ¬P 2,6 I 1,2,3 8) ¬ ¬V 4,7 RA
1,2,3 9) V 8 DN
- 149 -
13) R → (P ↔ Č), D ˅ (Z → D), Z ˅ R, ¬D |– P → Č
1 1) R → (P ↔ Č) A 2 2) D ˅ (Z → D) A 3 3) Z ˅ R A 4 4) ¬D A
P → Č 2,4 5) Z → D 2,4 SI DS 2,4 6) ¬Z 4,5 MTT 2,3,4 7) R 3,6 SI DS 1,2,3,4 8) P ↔ Č 1,7 MPP 1,2,3,4 9) (P → Č) (Č → P) ↔def 1,2,3,4 10) P → Č 9˄E
14) R ˅ P, (S → Z) → ¬R, K → (S → T), T → Z, K |– P
1 1) R ˅ P A
2 2) (S → Z) → ¬R A 3 3) K → (S → T) A
4 4) T → Z A
5 5) K A
P 3,5 6) S → T 3,5 MPP
- 150 -
3,4,5 7) S → Z 4,6 SI HS 2,3,4,5 8) ¬R 2,7 MPP
1,2,3,4,5 9) P 1,8 SI DS
15) E → K, D ˅ ¬ K, ¬D |– ¬E a)
1 1) E → K A
2 2) D ˅ ¬ K A 3 3) ¬D A ¬E 2,3 4) ¬K 2,3 SI DS 1,2,3 5) ¬E 1,4 MPP
b) RA
1 1) E → K A
2 2) D ˅ ¬ K A
3 3) ¬D A ¬E 4 4) ¬¬E A
4 5) E 4 DN 1,4 6) K 1,5 MPP
2,3 7) ¬K 2,3 SI DS
1,2,3,4 8) K ¬K 6,7 I 1,2,3 9) ¬¬¬E 4,8 RA
1,2,3 10) ¬E 9 DN
- 151 -
16) D ˅ (V → S), D → N, (V → P)→ (S→U), (¬D ¬N)→ (S→P), ¬N, ¬U ˅ ¬P |– ¬S ˅ ¬V a)
1 1) D ˅ (V → S) A 2 2) D → N A
3 3) (V → P)→ (S→U) A
4 4) (¬D ¬N)→ (S→P) A 5 5) ¬N A
6 6) ¬U ˅ ¬P A
¬S ˅ ¬V 2,5 7) ¬D 2,5 MTT
2,5 8) ¬D ¬N 5,7I 2,4,5 9) S→P 4,8 MPP 1,2,4,5 10) V → S 1,7 SI DS
1,2,4,5 11) V → P 9,10 SI HS
1,2,3,4,5 12) S→U 3,11 MPP 13 13) ¬U A
1,2,3,4,5,13 14) ¬S 12,13 MTT
1,2,3,4,5,13 15) ¬S ˅ ¬V 14 vI 16 16) ¬P A
1,2,4,5,16 17) ¬V 11,16 MTT
1,2,4,5,16 18) ¬S ˅ ¬V 17 vI 1,2,3,4,5,6 19) ¬S ˅ ¬V 6,13,15,16,18 vE
b) RA
1 1) D ˅ (V → S) A
2 2) D → N A
3 3) (V → P)→ (S→U) A 4 4) (¬D ¬N)→ (S→P) A
5 5) ¬N A
6 6) ¬U ˅ ¬P A
¬S ˅ ¬V 7 7) ¬ (¬S ˅ ¬V) A
7 8) S V 7 SI DM
2,5 9) ¬D 2,5 MTT
- 152 -
2,5 10) ¬D ¬N 5,9I 2,4,5 11) S→P 4,10 MPP
1,2,5 12) V → S 1,9 SI DS
1,2,4,5 13) V → P 11,12 SI HS 1,2,3,4,5 14) S→ U 3,13 MPP
7 15) S 8E 7 16) V 8E 2,4,5,7 17) P 11,15 MPP
1,2,3,4,5,7 18) U 14,15 MPP
1,2,3,4,5,6,7 19) ¬P 6,18 SI DS 1,2,3,4,5,6,7 20) P ¬P 17,19I 1,2,3,4,5,6 21) ¬ ¬ (¬S ˅ ¬V) 7,20 RA
1,2,3,4,5,6 22) ¬S ˅ ¬V 21 DN
17) a) 24
1 1) P → T A
2 2) (P T) → K A 3 3) (V K) → N A (P V) → N 4 4) P V A |– N 4 5) P 4 E
1,4 6) T 1,5 MPP
1,4 7) P T 5,6 I 1,2,4 8) K 2,7 MPP
4 9) V 4 E
24 Dôkaz základnými pravidlami.
- 153 -
1,2,4 10) V K 8,9 I 1,2,3,4 11) N 3,10 MPP
1,2,3 12) (P V) → N 4,11 CP
b) 25 RA
1 1) P → T A
2 2) (P T) → K A 3 3) (V K) → N A (P V) → N 4 4) P V A |– N 5 5) ¬N A
4 6) P 4 E
1,4 7) T 1,6 MPP 1,4 8) P T 6,7 I
1,2,4 9) K 2,8 MPP
4 10) V 4 E 1,2,4 11) V K 9,10 I
1,2,3,4 12) N 3,11 MPP
1,2,3,4,5 13) N ¬N 5, 12 I 1,2,3,4 14) ¬¬N 5, 13 RA
1,2,3,4 15) N 14 DN
1,2,3 16) (P V) → N 4,15 CP 18) D → (E → F), E |– D → F
1 1) D → (E → F) A 2 2) E A
D → F 3 3) D A |– F 1,3 4) E → F 1,3 MPP
1,2,3 5) F 2,4 MPP
1,2 6) D → F 3,5 CP 19) S → Z , L → S |– L → Z Tranzitivita (HS)
1 1) S → Z A 2 2) L → S A
L → Z 3 3) L A 2,3 4) S 2,3 MPP
1,2, 3 5) Z 1,4 MPP
1,2 6) L → Z 3,5 CP alebo
1,2 3) L → Z 1,2 SI HS
25 Dôkaz základnými pravidlami.
- 154 -
20)
1) S → A A
2) ¬A → P A
¬S → P Argument je neplatný.
A P S ( ( S → A ) ( ¬ A → P ) ) → ( ¬ S → P )
1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0
1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1
0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0
21) Urob tabuľku hodnôt a ukáž neplatnosť argumentu. G ˅ (O E), (G ˅ E) → ¬O |– G ˅ M.
E G M O ( ( G ˅ ( O ¬ E ) ) ( ( G ˅ E ) → ¬ O ) ) → ( G ˅ M )
1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
- 155 -
1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0
1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0
0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0
0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1
0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 22) Z → (N P), ¬Z → (E B), Z ˅ ¬Z ) |– N ˅ E
1 1) Z → (N P) A
2 2) ¬Z → (E B) A 3 3) Z ˅ ¬Z A N ˅ E 4 4) Z A 3,4 5) N P 1, 3 MPP
3,4 6) N 5 E 3,4 7) N ˅ E 6 ˅ I 8 8) ¬Z A
2,8 9) E B 2,8 MPP
2,8 10) E 9 E 2,8 11) N ˅ E 10 ˅ I
1,2,3 12) N ˅ E 3,4,7,8,11 ˅ E
RA 1 1) Z → (N P) A
2 2) ¬Z → (E B) A
3 3) Z ˅ ¬Z A N ˅ E 4 4) ¬(N ˅ E) A
4 5) ¬N ¬E 4 DM 4 6) ¬N 5 E 4 7) ¬N ˅ ¬P 6 ˅ I
4 8) ¬(N ˅ P) A 1,4 9) ¬Z 1,8 MTT
4 10) ¬E 5 E 4 11) ¬E ˅¬ B 10 ˅ I
- 156 -
4 12) ¬ (E B) 11 DM 2,4 13) Z 1,8 MTT
1,2,4 14) Z ¬Z 9, 13 I 1,2 15) ¬ ¬ (N ˅ E) 4, 14 RA 1,2 16) N ˅ E 15 DN
23) Z → (P ˅ K), ¬(D ˅ P), ¬(F ˅ K) |– ¬Z
1 1) Z → (P ˅ K) A
2 2) ¬(D ˅ P) A
3 3) ¬(F ˅ K) A ¬Z 2 4) ¬D ¬P 2 DM
3 5) ¬F ¬K 3 DM 2 6) ¬P 4 E 3 7) ¬K 5 E 2,3 8) ¬P ¬K 6,7 I 2,3 9) ¬ (P ˅ K) 7 DM
1,2,3 10) ¬Z 1,9 MPP
RA
1 1) Z → (P ˅ K) A
2 2) ¬(D ˅ P) A 3 3) ¬(F ˅ K) A ¬Z 4 4) Z A 1,4 5) P ˅ K 1, 4 MPP
6 6) P A
6 7) D ˅ P 6 ˅ I 2,6 8) ¬(D ˅ P) (D ˅ P) 2,7I 1,2 9) ¬¬Z 4, 8 RA
10 10) K A 10 11) F ˅ K 10 ˅ I
3,10 12) ¬( F ˅ K) ( F ˅ K) 3,11 I 1, 3 13) ¬Z 4, 12 RA 1,2,3 14) ¬Z 5, 6,9,11,13 ˅ I
24) (K ˅ Z) → (U L), (U ˅ P) → (L → ¬K) |– ¬K
1 1) (K ˅ Z) → (U L) A
2 2) (U ˅ P) → (L → ¬K) A
¬K 3 3) K A 3 4) K ˅ Z 3˅ I 1,3 5) U L 1, 4 MPP
1,3 6) U A
- 157 -
1,3 7) U ˅ P 6 ˅ I 1,2,3 8) L → ¬K 2, 7 MPP
1,3 9) L 5 E 1,2,3 11) ¬K 8,9 MPP 1,2,3 12) K ¬K 3,11 I 1,2 13) ¬K 3, 12 RA
1,2 14) ¬K 13 DN 25) O → Š, Š → ¬ (B T), ¬B → V,¬V, T|– ¬O a)
1 1) O → Š A
2 2) Š → ¬ (B T) A 3 3) ¬B → V A
4 4) ¬V A
5 5) T A
¬O 3,4 6) ¬¬B 3,4 MPP
3,4 7) B 6 DN 3,4,5 8) B T 5,7 I 2,3,4,5 9) ¬Š 2,8 MTT
1, 2,3,4,5 11) ¬O 1,9 MPP b) RA
1 1) O → Š A
2 2) Š → ¬ (B T) A 3 3) ¬B → V A
4 4) ¬V A
5 5) T A
¬O 6 6) (¬¬)O A
1,6 7) Š 1,6 MPP
1,2,6 8) ¬ (B T) 2,7 MPP 4,5 9) ¬¬B 3,5 MPP
4,5 10) B 9 DN
3,4,5 11) B T 5,10 I 1, 2,3,4,5,6 12) B T) ¬(B T) 8,11
MPP1, 2,3,4,5 13) ¬O 6,12 RA
26. C → N, N → I, I → S, (C → S) → (N → C), ¬C |– ¬N a) RA
1 1) C → N A
2 2) N → I A 3 3) I → S A
4 4) (C → S) → (N → C) A
- 158 -
5 5) ¬C A ¬N 6 6) N A
2,6 7) I 2,6 MPP 2,3,6 8) S 3,7 MPP
5,6 9) N ¬C 5,6 I 5,6 10) ¬ (N → C) 9 SI 4,5,6 11) ¬ (C → S) 4,10 MTT
4,5,6 12) C ¬S 11 SI
4,5,6 13) ¬S 12 E 2,3,4,5,6 14) S¬S 8,13 I 2,3,4,5 15) ¬N RA
b) 1 1) C → N A
2 2) N → I A
3 3) I → S A 4 4) (C → S) → (N → C) A
5 5) ¬C A ¬N 1,2,3 6) C→ S 1,2,3 SI HS i. C → N, N → I |– C→ I
1,2,3,4 7) N → C 4,6 MPP ii. C→ I, I → S|– C→ S
1,2,3,4,5 8) ¬N 5,7 MTT
27) (¬K P) → (B ˅ R), ¬K → (B → D), K ˅ (R → E), ¬K P |– D ˅ E
1 1) (¬K P) → (B ˅ R) A 2 2) ¬K → (B → D) A 3 3) K ˅ (R → E) A 4 4) ¬K P A D ˅ E 1,4 5) B ˅ R 1,4 MPP 4 6) ¬K 4 E
- 159 -
2,4 7) B → D 2,6 MPP 3,4 8) R → E 3,6 SI DS 9 9) B A 2,4,9 10) D 7,9 MPP 2,4,9 11) D ˅ E 10 vI 12 12) R A 3,4,12 13) E 8,12 MPP 3,4,12 14) D ˅ E 13 vI 1,2,3,4 15) D ˅ E 5,9,11,12,14 vE
RA 1 1) (¬K P) → (B ˅ R) A
2 2) ¬K → (B → D) A 3 3) K ˅ (R → E) A
4 4) ¬K P A D ˅ E 5 5) ¬ (D ˅ E) A
5 6) ¬D ¬E 5 SI DM
5 7) ¬D 6 E 5 8) ¬E 6 E 1,4 9) B ˅ R 1,4 MPP
4 10) ¬K 4 E 2,4 11) B → D 2,6 MPP
2,4,5 12) ¬B 7,10 MTT
1,2,4,5 13) R 9,12 SI DS 3,4 14) R → E 3,10 SI DS
1,2,3,4,5 15) E 13,14 MPP
1,2,3,4,5 16) E ¬E 8,15 I 1,2,3,4 17) ¬ ¬ (D ˅ E) 5, 16 RA
1,2,3,4 18) D ˅ E 17 DN
- 160 -
28) (F ˅ L) → ¬D, D ˅ L, (L ˅ F) → J, F |– J L
1 1) (F ˅ L) → ¬D A
2 2) D ˅ L A 3 3) (L ˅ ¬F) → J A
4 4) F A J L
4 5) F ˅ L 4 ˅I 1,4 6) ¬D 1,5 MPP
1,2,4 7) L 2,6 SI DS
1,2,4 8) L ˅ ¬F 7 ˅I 1,2,3,4 9) J 3,8 MPP
1,2,3,4 10 L J 7,9 I
- 161 -
29) O → H, O ˅ (K → Z), S ˅ (V → E), S → H, (¬O ¬S) → (V ˅ K), ¬H |– E ˅ Z
1 1) O → H A
2 2) O ˅ (K → Z) A 3 3) S ˅ (V → E) A
4 4) S → H A 5 5) (¬O ¬S) → (V ˅ K) A 6 6) ¬H A E ˅ Z
4,6 7) ¬S 4,6 MTT 3,4,6 8) V → E 3,7 SI DS
1,6 9) ¬O 1,6 MTT
1,2,6 10) K → Z 2,9 SI DS 1,4,6 11) ¬O ¬S 7,9 I 1,4,5,6 12) V ˅ K 5,11 MPP
13 13) V A 3,4,6,13 14) E 8,13 MPP
3,4,6,13 15) E ˅ Z 14 ˅I
16 16) K A 1,2,6,16 17) Z 10,16 MPP
1,2,6,16 18) E ˅ Z 17 ˅I
1,2,3,4,5,6 19) E ˅ Z 12,13,15,16,18 ˅E Riešenie môže pokračovať aj použitím konštruktívnej dilemy KD: P→Q, R→S, P ˅ R |– Q ˅ S.
1,2,3,4,5,6 13) E ˅ Z 8,10,12 SI KD
- 162 -
30) (S ˅ A) → (G ˅ M), S U, (G → Z) (M → V), (Z ˅ V) → K |– K a)
1 1) (S ˅ A) → (G ˅ M) A 2 2) S U A
3 3) (G → Z) (M → V) A
4 4) (Z ˅ V) → K A K 2 5) S 2 E 2 6) S ˅ A 5 ˅I
1,2 7) G ˅ M 1,6 MPP 3 8) G → Z 3E 3 9) M → V 3E 10 10) G A 3,10 11) Z 8,10 MPP
3,10 12) Z ˅ V 11 ˅I
3,4,10 13) K 4,12 MPP 14 14) M A
3,14 15) S 9,14 MPP
3,14 16) Z ˅ V 15 ˅I 3,4,14 17) K 4,16 MPP
1,2,3,4 18) K 7,10,13,14,17 ˅E
b)
- 163 -
1 1) (S ˅ A) → (G ˅ M) A 2 2) S U A
3 3) (G → Z) (M → V) A
4 4) (Z ˅ V) → K A K 2 5) S 2E 2 6) S ˅ A 5˅I
1,2 7) G ˅ M 1,6 MPP 1,2,3 8) Z ˅ V 3,7 SI KD26
1,2,3,4 9) K 4,8 MPP
c) RA
1 1) (S ˅ A) → (G ˅ M) A
2 2) S U A 3 3) (G → Z) (M → V) A
4 4) (Z ˅ V) → K A K 5 5) ¬K
2 6) S 2 E 2 7) S ˅ A 5 ˅I 1,2 8) G ˅ M 1,6 MPP
3 9) G → Z 3E 3 10) M → V 3E 4,5 11) ¬(Z ˅ V) 4,5 MTT
4,5 12) ¬Z ¬V 11 SI DM
4,5 13) ¬Z 12 E 4,5 14) ¬V 12 E 3,4,5 15) ¬G 9,13 MTT
1,2,3,4,5 16) M 8,15 SI DS 3,4,5 17) ¬M 10,14 MTT
1,2,3,4,5 18) M ¬M 17,18 I 1,2,3,4 19) ¬ ¬K 5,18 RA 1,2,3,4 20) K 19 DN
26 KD: P→Q, R→S, P ˅ R |– Q ˅ S
- 164 -
31) S ˅ B, (B ˅ D) → (P L), ¬S |– P a)
1 1) S ˅ B A 2 2) (B ˅ D) → (P L) A
3 3) ¬S A
P 1,3 4) B 1,3 SI DS 1,3 5) B ˅ D 4 ˅I
1,2,3 6) P L 2,5 MPP
1,2,3 7) P 6E b) RA
1 1) S ˅ B A
2 2) (B ˅ D) → (P L) A 3 3) ¬S A
P 4 4) ¬P A 4 5) ¬P ˅ ¬L 4 ˅I
4 6) ¬ (P L) 5 SI DM
2,4 7) ¬ (B ˅ D) 2,6 MTT 2,4 8) ¬B ¬D 7 SI DM
2,4 9) ¬B 8 E 1,2,4 10) S 1,9 SI DS 1,2,3,4 11) S ¬S 4,10 I 1,2,3 12) ¬ ¬P 4,11 RA
- 165 -
1,2,3 13) P 12 DN
32) (S˄U)→P, (U˄P)→W, S |– W
1 (1) (S˄U)→P A 2 (2) (U˄P)→W A 3 (3) S A W 4 (4) ¬W A 2,4 (5) ¬(U→P) 2,4 MTT 2,4 (6) ¬ ¬U ˄ ¬P 5, SI Impl2,4 (7) ¬ ¬ U 6 ˄E2,4 (8) U 7 DN3, 2, 4 (9) S ˄ U 3,7 ˄I1,3,2,4 (10) P 1,8 MPP1,3,2,4 (11) ¬ P 6 ˄E1,3,2,4 (12) P ˄ ¬P 10,11 ˄I1,2,3 (13) ¬ ¬ W 4, 12 RAA1,2,3 (14) W 13 DN
33) (F→R) ˄ (L→U), (U˄R)→C, ¬C |— ¬F ˅ ¬L
1 (1) (F→R) ˄ (L→U)2 (2) (U˄R)→C3 (3) ¬C ¬F ˅ ¬L 1 (4) F→R 1 ˄E1 (5) L→U 1 ˄E2, 3 (6) ¬(U˄R) 2,3 MTT2, 3 (7) ¬U ˅ ¬R 6 SI8 (8) ¬U A1, 8 (9) ¬ L 8, 5 MTT1, 8 (10) ¬ L ˅ ¬F 8 ˅I11 (11) ¬R A1, 11 (12) ¬F 1,11 MTT1, 11 (13) ¬F ˅ ¬L 12 ˅I1, 2, 3, 4 (14) ¬F ˅ ¬L 7,8,10,11,13 ˅E
34) G→(F→C), G ˄ ¬C |— ¬F
- 166 -
1 (1) G→(F→C) A2 (2) G ˄ ¬C A ¬F 2 (3) G 2 ˄E2 (4) ¬C 2 ˄E1, 2 (5) F→C 1,3 MPP1, 2 (6) ¬ F 4,5 MTT
35) (A ˅ B) → (C ˄ E) |— A → C
1 (1) (A ˅ B) → (C ˄E) A A → C 2 (2) A A |— C2 (3) A ˅ B 2 ˅I1, 2 (4) C ˄ E 1, 3 MPP1, 2 (5) C 4 ˄E1 (6) A → C 2, 5 CP
36) A→(B ˄C), (B ˅ C) → N |— A→N
1 (1) A → (B ˄ C) A 2 (2) (B ˅ C) → N A A → N 3 (3) A A |— N1, 3 (4) B ˄ C 1, 3 MPP1, 3 (5) B 4 ˄E1, 3 (6) B˅C 5 ˅I1, 2, 3 (7) N 2,6 MPP1, 2 (8) A→N 3, 7 CP
37) (A ˅ B) → ((C ˅ E) → (P ˄ V)), (P ˅ N) → U |– A → (C → U)
1 1. (A ˅ B) → ((C ˅ E) → (P ˄ V)) 2 2. (P ˅ N) → U A → (C → U) 3 3. A A |– C → U4 4. C A |– U3 5. A ˅ B 3 ˅I1,3 6. (C ˅ E) → (P V) 1, 5 MPP 4 7. C ˅ E 4 ˅I1,2,3,4 8. P V 6,7 MPP 1,2,3,4 9. P 8 ˄E 1,2,3,4 10. P ˅ N 8 ˅I 1,2,3,4 11. U 2,10 MPP1,2,3 12. C → U 4,11 CP1,2 13. A → (C → U) 3,12 CP
38) A → (B ˅ C), E → (C ˅ P), ¬C |– (¬B ˄ ¬P) → (¬A ˄ ¬E)
1 1) A → (B ˅ C) A2 2) E → (C ˅ P) A3 3) ¬C A (¬B ˄ ¬P) → (¬A ˄ ¬E) 4 4) ¬B ˄ ¬P A |— ¬A ˄ ¬E 4 5) ¬B 4 ˄E
- 167 -
4 6) ¬P 4 ˄E3,4 7) ¬B ˄ ¬C 3,5 ˄I3,4 8) ¬(B ˅ C) 7 SI DM1,3,4 9) ¬A 1,8 MTT3,4 10) ¬C ˄ ¬P 3,6 ˄I3,4 11) ¬(C ˅ P) 10 SI DM2,3,4 12) ¬E 2,11 MTT1,2,3,4 13) ¬A ˄ ¬E 9,12 ˄I1,2,3 14) (¬B ˄ ¬P) → (¬A ˄ ¬E) 4,13 CP
RAA (a ˅E) 1 1) A → (B ˅ C) A2 2) E → (C ˅ P) A3 3) ¬C A (¬B ˄ ¬P) → (¬A ˄ ¬E) 4 4) ¬B ˄ ¬P A |— ¬A ˄ ¬E 5 5) ¬(¬A ˄ ¬E) A (RAA)5 6) A ˅ E 6 SI DM7 7) A A1,7 8) B ˅ C 1,7 MPP1,3,7 9) B 3,8 SI DS4 10) ¬B 4 ˄E1,3,4,7 11) B ˄ ¬B 9,10 ˄I1,3,4 12) ¬¬(¬A ˄ ¬E) 5,11 RAA13 13) E A2,13 14) C ˅ P 2,13 MPP2,3,13 15) P 3,14 SI DS4 16) ¬P 4 ˄E2,3,4,13 17) P ˄ ¬P 15,16 ˄I2,3,4 18) ¬¬(¬A ˄ ¬E) 5,17 RAA1,2,3,4 19) ¬¬(¬A ˄ ¬E) 6,7,12,13,18 ˅E1,2,3,4 20) ¬A ˄ ¬E 19 DN1,2,3 21) (¬B ˄ ¬P) → (¬A ˄ ¬E) 4,20 CP
39) P→(C→N), (N ˄ R) → E, T → (R ˄ ¬E) |— P → (C→ ¬T)
1 1) P→(C→N) A
- 168 -
2 2) (N ˄ R) → E A3 3) T → (R ˄ ¬E) A P → (C→ ¬T) 4 4) P A |— C→ ¬T5 5) C A |— ¬T1,4 6) C→N 1,4 MPP1, 4, 5 7) N 5,6 MPP8 8) T A3, 8 9) R ˄ ¬E 3,8 MPP3, 8 10) R 9 ˄E3, 8 11) ¬E 9 ˄E1,3,4,5,8 12) N ˄ R 7,10 ˄I1,2,3,4,5,8 13) E 2, 12 MPP1,2,3,4,5,8 14) ¬E ˄ E 11, 13 ˄I1,2,3,4,5 15) ¬T 8,14 RAA1,2,3,4 16) C→ ¬T 5,15 CP1,2,3 17) P → (C→ ¬T) 4,16 CP
40) (C ˄ H) → P, (C ˄ ¬H) → ¬P |— C → ((H ˄ P) ˅ (¬H ˄ ¬P))
1 1) (C ˄ H) → P A2 2) (C˄¬H)→ ¬P A C→((H˄P) ˅ (¬H˄¬P)) 3 3) C A |— (H˄P) ˅ (¬H˄¬P) 4 4) ¬((H˄P) ˅ (¬H˄¬P)) A 4 5) ¬(H˄P) ˄ ¬(¬H˄¬P) SI4 6) ¬(H ˄ P) 5 ˄E4 7) ¬(¬H ˄ ¬P) 5 ˄E4 8) ¬H → P 6 SI4 9) ¬H ˅ ¬P 3,8 MPP10 10) ¬H A (9)3,10 11) C ˄ ¬H 3, 10 ˄I2,3,10 12) ¬P 2, 11 MPP4,10 13) P 8, 10 MPP2,3,4,10 14) P ˄ ¬P 12, 13 ˄I2,3,4 15) ¬ ¬((H˄P) ˅ (¬H˄¬P)) 10,14 RAA2,3,4 16) (H˄P) ˅ (¬H˄¬P) 15 DN17 17) ¬ P A (9)1,17 18) ¬(C˄H) 1,17 MTT1,17 19) C → ¬ H 18 SI1,3,17 20) ¬H 3, 19 MPP1,3,4,17 21) P 8, 20 MPP1,3,4,17 22) P ˄ ¬P 17, 21 ˄E1,3,4 23) ¬ ¬((H˄P) ˅ (¬H˄¬P)) 17, 22 RAA1,3,4 24) (H˄P) ˅ (¬H˄¬P) 23 DN1,2,3,4 25) (H˄P) ˅ (¬H˄¬P) 9,10,15,17,24 ˅E1,2,3 26) C → ((H˄P) ˅ (¬H˄¬P)) 3, 25 CP
41) (P ˄ ¬E) → (B → E), P → ¬E, P ˄ ¬Z, ¬E → (B ˅ O) |— O ˄ ¬E a)
1 1) (P ˄ ¬E) → (B → E) A2 2) P → ¬E A
- 169 -
3 3) P ˄ ¬Z A4 4) ¬E → (B ˅ O) A O ˄ ¬E 3 5) P 3 ˄E2,4 6) (P → ¬E) ˄ (¬E → (B ˅ O)) 2,4 ˄I2,4 7) P → (B ˅ O) 6 SI Tranz.2,3,4 8) B ˅ O 5,7 MPP2,3 9) ¬E 2,5 MPP2,3 10) P ˄ ¬E 5,9 ˄I1,2,3 11) B → E 1,10 MPP1,2,3,4 12) ¬B 9,11 MTT1,2,3,4 13) O 8,12 SI DS1,2,3,4 14) O ˄ ¬E 9,13 ˄E
b) 1 1) (P ˄ ¬E) → (B → E) A2 2) P → ¬E A3 3) P ˄ ¬Z A4 4) ¬E → (B ˅ O) A O ˄ ¬E 5 5) ¬(O ˄ ¬E) A5 6) O → E 5 SI Impl3 7) P 3 ˄E2,3 8) ¬E 2,7 MPP2,3,5 9) ¬O 6,8 MTT2,3,4,5 10) B ˅ O 4,9 MPP2,3,4,5 11) B 9,10 SI DS2,3,4,5 12) P ˄ ¬E 7,8 ˄I1,2,3,4,5 13) B → E 1,12 MPP1,2,3,4,5 14) ¬B 8,13 MTT1,2,3,4,5 15) B ˄ ¬B 11,14 ˄I1,2,3,4 16) ¬¬(O ˄ ¬E) 5,15 RA1,2,3,4 17) O ˄ ¬E 16 DN
- 170 -
42) A → S, (P ˅ V) → Z |— (Š ↔ P) → (A → Z) 1 1) A → S A2 2) (P ˅ V) → Z A (S ↔ P) → (A → Z) 3 4) S ↔ P A; |— A → Z4 5) A A; |— Z3 6) (S → P) ˄ (P → S) 4 ↔def
3 7) S → P 6 ˄E1,4 8) S 1,5 MPP1,3,4 9) P 7,8 MPP1,3,4 10) P ˅ V 9 ˅I1,2,3,4 11) Z 2,10 MPP1,2,3 12) A → Z 5.11 CP1,2 13) (S ↔ P) → (A → Z) 4,12 CP
43) K ˅ ¬P, C → P, ¬K, (¬C ˄ ¬P) → K |— K
1 1) K ˅ ¬P A2 2) C → P A3 3) ¬K A4 4) (¬C ˄ ¬P) → K A K 1,3 5) ¬P 1,3 SI DS1,2,3 6) ¬C 2,5 MTT1,2,3 7) ¬P ˄ ¬T 5,6 ˄I1,2,3,4 8) K 4,7 MPP
- 171 -
44) R ˅ I, R → G, G → D, (I → B)→ (B → D), ¬D ˅ T |— T a)
1 1) R ˅ I A2 2) R → G A3 3) G → D A4 4) (I → B) ˄ (B → D) A5 5) ¬D ˅ T A T 4 6) I → D 4 SI HS2,3 7) (R → G) ˄ (G → D) 2,3 ˄I2,3 8) R → D 7 SI HS2,3,4 9) (I → D) ˄ (R → D) 6,8 ˄I1,2,3,4 10) D 1,9 SI KD1,2,3,4,5 11) T 5,10 SI DS
b) RA 1 1) R ˅ I A2 2) R → G A3 3) G → D A4 4) (I → B) ˄ (B → D) A5 5) ¬D ˅ T A T 6 6) ¬T A5,6 7) ¬D 5,6 SI DS3,5,6 8) ¬G 3,7 MTT2,3,5,6 9) ¬R 2,8 MTT1,2,3,5,6 10) I 1,9 SI DS4 11) I → B 4 ˄E1,2,3,4,5,6 12) B 10,11 MPP4 13) B → D 4 ˄E1,2,3,4,5,6 14) D 12,13 MPP1,2,3,4,5,6 15) D ˄ ¬D 7,14 ˄I1,2,3,4,5 16) ¬¬T 6,15 RA1,2,3,4,5 17) T 16 DN
- 172 -
45) (M ˄ P) ˅ (R ˄ P), K → ¬P |— ¬K a)27
1 1) (M ˄ P) ˅ (R ˄ P) A2 2) K → ¬P A ¬K 3 3) M ˄ P A3 4) P 4 ˄E 2,3 5) ¬K 2,4 MTT 6 6) R ˄ P A6 7) P 6 ˄E 2,6 8) ¬K 2,7 MTT 1,2 9) ¬K 1,3,5,6,8 ˅E
b) RA
1 1) (M ˄ P) ˅ (R ˄ P) A 2 2) K → ¬P A ¬K 3 3) K A 2,3 4) ¬P 2,3 MPP2,3 5) ¬M ˅ ¬P 4 ˅I2,3 6) ¬ (M ˅ P) 5 SI DM1,2,3 7) R ˄ P 1,6 SI DS1,2,3 8) P 7 ˄E1,2,3 9) P ˄ ¬P 4,8 ˄I1,2 10) ¬K 4,9 RA
27 Riešenie len s pomocou základných pravidiel.
- 173 -
G. Hlavolamy – Riešenia i. ¬B → ¬E, A → ¬H, D → ¬C, ¬E → A, B → C D → ¬H
Reťaz usudzovania predstavuje nasledujúcu tranzitivitu: 3) D → ¬C, 5) ¬C→ ¬B, 1) ¬B → ¬E, 4) ¬E → A, 2) A → ¬H |— D → ¬H alebo, v ešte prehľadnejšiej forme: D → ¬C→ ¬B → ¬E → A → ¬H . Takže, výraz počíta s nasledujúcimi implikáciami, podľa ktorých je možné určiť či platia dodatočné otázky (pre každý riadok môžeme ešte pridať aj platnú kontrapozíciu toho vzťahu, napr. pre riadok 1. H → ¬A):
D → ¬C → ¬B → ¬E → A → ¬H
A → ¬H
¬E → ¬H
¬B → ¬H
¬C → ¬H
D → ¬H
- 174 -
¬E → A
¬B → A
¬C → A
D → A
¬B → ¬E
¬C → ¬E
D → ¬E
¬C → ¬B
D → ¬B
D → ¬C
Odpovede na dodatočné otázky nájdeme v hornej tabuľke a teraz je ich ľahko nájsť, sformulovať, a dokázať:
Či je mandarín obyvateľ zeme. D → B? Či niekto kto vie po keltsky, sa s obdivom pozerá na chlievy. C→ A? Či tí, ktorí vedia po keltsky, sú čitatelia Dylanových básní. C → H? Či sa mandaríni s obdivom pozerajú na chlievy. D → A? Či Marťania čítajú Dylanove básne. ¬B → H? ...
ii Interpretácia Ak vec nenávidím, tá sa dá použiť ako most: C→E Ak by si niečo zaslúžilo ódu, nerád by som to prijal do daru : H→B Ak je niečo dúhou, potom nezvládne váhu môjho záhradného fúrika: D→¬A Ak sa niečo dá použiť ako most, znesie to váhu môjho záhradného fúrika: E→A Ak niečo nechcem prijať do daru, potom to nenávidím: B → C
- 175 -
Dúha si nezaslúži ódu. D→¬H C→E, H→B, D→¬A, E→A, B → C |– D→¬H
1 1) C→E A 2 2) H→B A 3 3) D→¬A A 4 4) E→A A 5 5) B → C A D→¬H 6 6) D A 3,6 7) ¬A 3,6 MPP 3,4,6 8) ¬E 4,7 MTT 1,3,4,6 9) ¬C 1,8 MTT 1,3,4,5,6 10) ¬B 5,9 MTT 1,2,3,4,5,6 11) ¬H 2,10 MTT 1,2,3,4,5 12) D→¬H 6,11 CP
Tranzitivita tohto hlavolamu znie takto: D→¬A →¬E → ¬C→¬B →¬H iii ¬A→ K, C→ ¬H, ¬H→¬K, B→D, E→¬A, D→ C |– B→ ¬E
1 1) ¬A→ K A 2 2) C→ ¬H A 3 3) ¬H→¬K A 4 4) B→D A 5 5) E→¬A A 6 6) D→ C A B→ ¬E 7 7) B A 4,7 8) D 4,7 MPP 4,6,7 9) C 6,8 MPP 2,4,6,7 10) ¬H 2,9 MPP 2,3,4,6,7 11) ¬K 3,10 MPP 1,2,3,4,6,7 12) A 1,11 MTT 1,2,3,4,5,6,7 13) ¬E 5,12 MTT 1,2,3,4,5,6 14) B → ¬E 7,13 CP
Tranzitivita tohto hlavolamu znie takto: B → D → C → ¬H → ¬K → A → ¬E iv E→B, ¬A→¬D, C→H, ¬E→¬A, H→D |– C→B Tranzitivita je nasledujúca: C→H→D→A→E→B v B → ¬L, K → ¬Z, ¬L → Z B → ¬K
- 176 -
②. Riešenia úloh z predikátovej logiky
i. Slovné úlohy 1 (x)(Sx → Rx)2 (x)(Hx ˄ ¬Px), takže aspoň jeden had nie je jedovatý.3 (x)(Dx ˄ Px); (x)(Dx → Px) by znamenalo, všetky decká sveta sú tu. 4 (x)(Vx → Sx)5 (x)(Sx → Vx)6 (x)(Vx → Px)7 (x)(Vx → Sx)8 (x)(Vx → Zx)9 (x)(Lx → ¬Zx); „nie všetko čo sa leskne je zlato“ by bolo ¬(x)(Lx → Zx) alebo (x)(Lx ˄
¬Zx); 10 (x)(Ux → Sx), vlastne, len statoční si zaslúžia úctu.11 (x)(Nx ˄ ¬Vx)12 (x)(Nx →¬Vx), alebo ¬(x)(Nx ˄ Vx); je to na prvý pohľad čudné – ale treba dávať pozor, že
žiadny sa rovná každý!13 (x)¬(Dx → Ux) alebo (x)(Dx → ¬Ux) 14 (x)(Sx ˄ Ix ˄ Px)15 (x)[Bx → (¬Vx ˅ Ox)], doslova „ak niečo má vlastnosť byť bundou, potom má vlastnosť
nebyť vodovzdorným alebo má vlastnosť byť špeciálne ošetreným.16 (x)[Lx ˄ (Nx → Mx)] 17 (x)[(Ox ˅ Zx) → (Dx ˄ Vx)]; v prvej zátvorke je disjunkcia, preto že nejde o ovocie, ktoré je
zároveň zeleninou, ale hovoríme o niečom, čo je ovocie alebo je zelenina. 18 (x)[Ex → (¬Mx ˅ ¬Lx ˅ Fx)]19 (x)[Ux → [Dx ↔ (Ix ˄ Zx)]]; alternatívne čítanie, (x)[(Px ˄ Gx) ↔ (Wx ˄ Ex)] by znamenalo,
že aj zaujímavá hlásateľka predpovede počasia by bola zaradená medzi dobré učiteľky. 20 (x)[(Nx ˄ Px) → (Px ˅ Hx)]; disjunkcia tu len pripomína, že nejde o tých, ktorí sú policajti a
zároveň aj hasiči, ale sú jedno alebo druhé.21 (x)(Hx ˄ Zx ˄ ¬Tx)22 (x)[Dx → [(Vx ˄ Cx) → Zx]], čo je ekvivalentné, cez exportáciu, s (x)[(Dx ˄ Vx ˄ Cx) →
Zx]. 23 ¬(x)[Hx → [(Px ˄ ¬Zx) ↔ Sx]]
alebo (x)¬[Hx → [(Px ˄ ¬Zx) ↔ Sx]] alebo (x) [Hx ˄ ¬[(Px ˄ ¬Zx) ↔ Sx]]
24 (x)(Ox ˄ Hx ˄ ¬Px) 25 (x)[(Ax ˄ Rx) → (Px → ¬Ox)],
pozor, to nie je ekvivalentné s (x)¬[(Ax ˄ Ox ˄ Dx) → Rx]. 26 (x)(Kx ˄ Rx ˄ Vx)27 (x)[Kx ˄ (Rx → Vx)]28 (x)[Kx ˄ (Vx → Rx)]29 (x)[Kx → (Vx → Rx)]30 (x)[Kx → (Rx → Vx)]
čo je ekvivalentné s (x)[(Kx ˄ Rx) → Vx]31 (x)[Kx → (Rx → Vx)]; byť dobre vycvičený je nutná podmienka pre byť krotký, čo je ďalej
ekvivalentné s (x)[Kx → (¬Vx → ¬Rx)], (x)[Kx → (Vx ˅ ¬Rx)], (x)[(Kx ˄ ¬Vx) → ¬Rx]. 32 (x)[Kx → (Vx → Rx)], cez exportáciu (x)[(Kx ˄ Vx) → Rx].33 (x)[Kx → (Rx → Vx)], cez exportáciu máme (x)[(Kx ˄ Rx) → Vx].34 (x)[Kx → (Rx ↔ Vx)]
- 177 -
35 (x)[Kx → (Rx → Vx)], cez exportáciu máme (x)[(Kx ˄ Rx) → Vx] (pozry 33). 36 (x)[Kx → (Rx → Vx)], cez exportáciu máme (x)[(Kx ˄ Rx) → Vx] (pozri 33 a 35) 37 (x)[Kx → (Vx → Rx)], cez exportáciu máme (x)[(Kx ˄ Vx) → Gx] (porovnaj s 32). 38 (x)[(Vx → Rx) → Kx], resp. len kone ešte môžu byť krotké a to ak sú dobre vycvičené. 39 (x)(Kx ˄ Rx ˄ ¬Vx) 40 (x)[(Kx ˄ Vx) → Rx], pozri 32 a 37. 41 (x)(Kx ˄ Vx ˄ ¬Rx) 42 (x)(Kx ˄ ¬Rx ˄ ¬Vx)43 (x)(Kx → (Vx → Rx)], vlastne, všetky dobre vycvičené kone sú krotké; cez exportáciu máme
(x)[(Kx ˄ Vx) → Rx] (pozri 32, 37, a 40).44 (x)[Kx → (Rx → Vx)], cez exportáciu máme (x)[(Kx ˄ Rx) → Vx] (pozri 33, 35, a 36). 45 (x)[(Kx ˄ Rx) → Vx], pozri 33, 35, 36, a 44.46 (x)[(Kx ˄ Vx) → Rx], pozri 32, 37, 40, a 43.
47 Fm, (x)(Fx → Gx) |– Gm 1 (1) Fm A 2 (2) (x)(Fx → Gx) A 2 (3) Fm → Gm 2 UE 1,2 (4) Gm 1,3 MPP 48 Fm, (x)(Fx → ¬Gx) |– ¬Gm 1 (1) Fm A 2 (2) (x)(Fx → ¬Gx) A 2 (3) Fm → ¬Gm 2 UE 1,2 (4) ¬Gm 1,3 MPP
ii. Vzájomná odvoditeľnosť kvantifikátorov 1 ¬(x)Fx –||– (x)¬Fx a) ¬(x)Fx |– (x)¬Fx
1 (1) ¬(x)Fx A
2 (2) Fa A (RAA)
2 (3) (x)Fx 2 EI
1,2 (4) (x)Fx ˄ ¬(x)Fx 1,3 ˄I
1 (5) ¬Fa 2,4 RAA
1 (6) (x)¬Fx 5 UI
b) (x)¬Fx |– ¬(x)Fx
1 (1) (x)¬Fx A
2 (2) (x)Fx A (RAA)
3 (3) Fa A (EE)
1 (4) ¬Fa 1 UE
1,3 (5) Fa ˄ ¬Fa 3,4 ˄I
1 (6) ¬(x)Fx 2,5 RAA
- 178 -
1 (7) ¬(x)Fx 2,3,6 EE
3. (x)Fx –||– ¬(x)¬Fx (a) (x)Fx –||– ¬(x)¬Fx 1 (1) (x)Fx A 2 (2) (x)¬Fx A 3 (3) ¬Fa A 1 (4) Fa 1 UE 1,3 (5) Fa ˄ ¬Fa 3,4 ˄I 3 (6) ¬(x)Fx 1,5 RAA 2 (7) ¬(x)Fx 2,3,6 EE 1,2 (8) (x)Fx ˄ ¬(x)Fx 1,7 ˄I 1 (9) ¬(x)¬Fx 2,8 RAA (b) ¬(x)¬Fx |– (x)Fx 1 (1) ¬(x)¬Fx A 2 (2) ¬Fa A 2 (3) (x)¬Fx 2 EI 1,2 (4) (x)¬Fx ˄ ¬(x)¬Fx 1,3 ˄I 1 (5) ¬¬Fa 2,4 RAA 1 (6) Fa 5 DN 1 (7) (x)Fx 6 UI 4. (x)Fx –||– ¬(x)¬Fx (a) (x)Fx |– ¬(x)¬Fx 1 (1) (x)Fx A 2 (2) Fa A 3 (3) (x)¬Fx A 3 (4) ¬Fa 3 UE 2,3 (5) Fa ˄ ¬Fa 2,4 ˄I 2 (6) ¬(x)¬Fx 3,5 RAA 1 (7) ¬(x)¬Fx 1,2,6 EE (b) ¬(x)¬Fx |– (x)Fx 1 (1) ¬(x)¬Fx A 2 (2) ¬(x)Fx A 3 (3) Fa A 3 (4) (x)Fx 3 EI 2,3 (5) (x)Fx ˄ ¬(x)Fx 2,4 ˄I 2 (6) ¬Fa 3,5 RAA 2 (7) (x)¬Fx 6 UI 1,2 (8) (x)¬Fx ˄ ¬(x)¬Fx 1,7 ˄I 1 (9) ¬¬(x)Fx 2,8 RAA 1 (10) (x)Fx 9 DN
- 179 -
iii. 1. (x)(Fx → Gx), (x)(Gx → Hx) |– (x)(Fx → Hx) 1 (1) (x)(Fx → Gx) A 2 (2) (x)(Gx → Hx) A 1 (3) Fa → Ga 1 UE 2 (4) Ga → Ha 2 UE 1,2 (5) Fa → Ha 3,4 SI HS 1,2 (6) (x)(Fx → Hx) 5 UI 2. (x)(Fx → Gx), (x)Fx |– (x)Gx 1 (1) (x)(Fx → Gx) A 2 (2) (x)Fx A 1 (3) Fa → Ga 1 UE 2 (4) Fa 2 UE 1,2 (5) Ga 3,4 MPP 1,2 (6) (x)Gx 5 UI 3. (x)Fx |– (x)Fx 1 (1) (x)Fx A 1 (2) Fa 1 UE 1 (3) (x)Fx 2 EI 4. (x)(Fx → Gx), (x)Fx |– (x)Gx 1 (1) (x)(Fx → Gx) A 2 (2) (x)Fx A 3 (3) Fa A 1 (4) Fa → Ga 1 UE 1,3 (5) Ga 3,4 MPP 1,3 (6) (x)Gx 5 EI 1,2 (7) (x)Gx 2,3,6 EE 5. (x)(Gx → Hx), (x)(Fx ˄ Gx) |– (x)(Fx ˄ Hx) 1 (1) (x)(Gx → Hx) A 2 (2) (x)(Fx ˄ Gx) A 3 (3) Fa ˄ Ga A 1 (4) Ga → Ha 1 UE 3 (5) Ga 3 ˄E 1,3 (6) Ha 4,5 MPP 3 (7) Fa 3 ˄E 1,3 (8) Fa ˄ Ha 6,7 ˄I 1,3 (9) (x)(Fx ˄ Hx) 8 EI 1,2 (10) (x)(Fx ˄ Hx) 2,3,9 EE 15. (x)Fx |– (x)(Gx → Fx) 1 (1) (x)Fx A 1 (2) Fa 1 UE 1 (3) Ga → Fa 2 SI TC 1 (4) (x)(Gx → Fx) 3 UI 16. (x)¬Fx |– (x)(Fx → Gx)
- 180 -
1 (1) (x)¬Fx A 1 (2) ¬Fa 1 UE 1 (3) Fa → Ga 2 SI FA 1 (4) (x)(Fx → Gx) 3 UI 17. (x)Fx → (x)Gx |– (x)(Fx → Gx) 1 (1) (x)Fx → (x)Gx A 2 (2) ¬(x)(Fx → Gx) A 2 (3) (x)¬(Fx → Gx) 2 SI 2 (4) ¬(Fa → Ga) 3 UE 2 (5) Fa ˄ ¬Ga Impl 2 (6) Fa 5 ˄E 2 (7) ¬Ga 5 ˄E 2 (8) (x)Fx 6 EI 2 (9) (x)¬Gx 7 UI 1,2 (10) (x)Gx 1,8 MPP 1,2 (11) ¬(x)¬Gx 10 SI 1,2 (12) (x)¬Gx ˄ ¬(x)¬Gx 9,11 ˄I 1 (13) ¬¬(x)(Fx → Gx) 2,12 RAA 1 (14) (x)(Fx → Gx) 13 DN 18. (x)(Fx ˄ Gx) –||– (x)Fx ˄ (x)Gx (a) (x)(Fx ˄ Gx) |– (x)Fx ˄ (x)Gx 1 (1) (x)(Fx ˄ Gx) A 1 (2) Fa ˄ Ga 1 UE 1 (3) Fa 2 ˄E 1 (4) (x)Fx 3 UI 1 (5) Ga 2 ˄E 1 (6) (x)Gx 5 UI 1 (7) (x)Fx ˄ (x)Gx 4,6 ˄I (b) (x)Fx ˄ (x)Gx |– (x)(Fx ˄ Gx) 1 (1) (x)Fx ˄ (x)Gx A 1 (2) (x)Fx 1 ˄E 1 (3) Fa 2 UE 1 (4) (x)Gx 1 ˄E 1 (5) Ga 4 UE 1 (6) Fa ˄ Ga 3,5 ˄I 1 (7) (x)(Fx ˄ Gx) 6 UI 19. (x)(Fx ˅ Gx) –||– (x)Fx ˅ (x)Gx (a) (x)(Fx ˅ Gx) |– (x)Fx ˅ (x)Gx 1 (1) (x)(Fx ˅ Gx) A 2 (2) Fa ˅ Ga A 3 (3) Fa A 3 (4) (x)Fx 3 EI 3 (5) (x)Fx ˅ (x)Gx 4 vI 6 (6) Ga A 6 (7) (x)Gx 6 EI
- 181 -
6 (8) (x)Fx ˅ (x)Gx 7 vI 2 (9) (x)Fx ˅ (x)Gx 2,3,5,6,8 vE 1 (10) (x)Fx ˅ (x)Gx 1,2,9 EE (b) (x)Fx ˅ (x)Gx |– (x)(Fx ˅ Gx) 1 (1) (x)Fx ˅ (x)Gx A 2 (2) (x)Fx A 3 (3) Fa A 3 (4) Fa ˅ Ga 3 ˅I 3 (5) (x)(Fx ˅ Gx) 4 EI 2 (6) (x)(Fx ˅ Gx) 2,3,5 EE 7 (7) (x)Gx A 8 (8) Ga A 8 (9) Fa ˅ Ga 8 ˅I 8 (10) (x)(Fx ˅ Gx) 9 EI 7 (11) (x)(Fx ˅ Gx) 7,8,10 EE 1 (12) (x)(Fx ˅ Gx) 1,2,6,7,11 ˅E 20. (x)(Fx ˄ Gx) |– (x)Fx ˄ (x)Gx 1 (1) (x)(Fx ˄ Gx) A 2 (2) Fa ˄ Ga A 2 (3) Fa 2 ˄E 2 (4) (x)Fx 3 EI 2 (5) Ga 2 ˄E 2 (6) (x)Gx 5 EI 2 (7) (x)Fx ˄ (x)Gx 4,6 ˄I 1 (8) (x)Fx ˄ (x)Gx 1,2,7 EE 2 (9) (x)Fx ˅ (x)Gx 2,3,5,6,8 ˅E 1 (10) (x)Fx ˅ (x)Gx 1,2,9 EE 21. (x)Fx ˅ (x)Gx |– (x)(Fx ˅ Gx) 1 (1) (x)Fx ˅ (x)Gx A 2 (2) (x)Fx A 2 (3) Fa 2 UE 2 (4) Fa ˅ Ga 3 ˅I 2 (5) (x)(Fx ˅ Gx) 4 UI 6 (6) (x)Gx A 6 (7) Ga 6 UE 6 (8) Fa ˅ Ga 7 vI 6 (9) (x)(Fx ˅ Gx) 8 UI 1 (10) (x)(Fx ˅ Gx) 1,2,5,6,9 ˅E 22. (x)(Gx ˄ ¬Fx), (x)(Gx → Hx) |– (x)(Hx ˄ ¬Fx)
1 (1) x(Gx ˄ ¬Fx) A
2 (2) (x)(Gx → Hx) A
3 (3) Ga ˄ ¬Fa A
2 (4) Ga → Ha 2 UE
3 (5) Ga 3 ˄E
- 182 -
3 (6) ¬Fa 3 ˄E
2,3 (7) Ha 4,5 MPP
2,3 (8) Ha ˄ ¬Fa 6,7 ˄I
2,3 (9) (x)(Hx ˄ ¬Fx) 8 I
1,2 (10) (x)(Hx ˄ ¬Fx) 1,3,9 E 23. (x)(Fx→Gx), (x)¬Gx, |– ¬(x)Fx a) 1 (1) (x) (Fx → Gx) A
2 (2) (x)¬Gx A
3 (3) ¬Ga A (2 EE)
1 (4) Fa→Ga 1 UE
1,3 (5) ¬Fa 3,4 MTT
1,3 (6) (x)¬Fx 5 EI
1,2 (7) (x)¬Fx 2,6 EE(3)
1,2 (8) ¬(x)Fx 7 QE b)
1 (1) (x)(Fx → Gx) A
2 (2) (x)¬Gx A
3 (3) (x)Fx A (RAA)
1 (4) Fa → Ga 1 UE
1,3 (5) Fa 3 UE
1,3 (6) Ga 4,5 MPP
1,3 (7) (x)Gx 6 UI
1,3 (8) ¬(x)¬Gx 7 QE
1,2 (9) ¬(x)Fx 2,8 RAA(3)
24. x(Gx ˄ Fx), (x)(Fx→¬Hx) |– x¬Hx
1 (1) (x)(Gx˄Fx) A
2 (2) (x)(Fx → ¬Hx) A
3 (3) Fa ˄ Ga A (1 EE)
3 (4) Fa 3 ˄E
2 (5) Fa → ¬Ha 2 UE
2,3 (6) ¬Ha 4,5 MPP
2,3 (7) (x)¬Hx 6 EI
1,2 (8) (x)¬Hx 1,7 EE(3)
25. (x)(Gx → (Hx ˄ Jx)), (x)((Fx ˅ ¬Jx) → Gx) |– (x) (Fx → Hx)
1 (1) (x)(Gx → (Hx ˄ Jx)) A
- 183 -
2 (2) (x)((Fx ˅ ¬Jx) → Gx) A
1 (3) Ga → (Ha ˄ Ja) 1 UE
2 (4) (Fa ˅ ¬Ja) → Ga 2 UE
5 (5) Fa A (CP)
5 (6) Fa ˅ ¬Ja 5 ˅I
2,5 (7) Ga 4,6 MPP
1,2,5 (8) Ha ˄ Ja 3,7 MPP
1,2,5 (9) Ha 8 ˄E
1,2 (10) Fa→Ha 5,9 CP
1,2 (11) (x) (Fx→Hx) 10 UI
26. (x)(Gx ˄ Fx), (x)(Fx → ¬Hx) |– (x)¬Hx
1 (1) (x)(Gx ˄ Fx) A
2 (2) (x)(Fx → ¬Hx) A
3 (3) Ga ˄ Fa A
3 (4) Fa 3 ˄E
2 (5) Fa → ¬Ha 2 UE
2,3 (6) ¬Ha 4,5 MPP
2,3 (7) (x)¬Hx 6 EI
1,2 (8) (x)¬Hx 1,3,7 E 27. (x)(Gx→¬Fx), (x)(¬Fx→¬Hx) |– (x)(Gx→¬Hx) 1 (1) (x)(Gx → ¬Fx) A
2 (2) (x)(¬Fx → ¬Hx) A
1 (3) Ga → ¬Fa 1 UE
2 (4) ¬Fa → ¬Ha 2 UE
1,2 (5) Ga → ¬Ha 3,4 SI HS
1,2 (6) (x)(Gx → ¬Hx) 5 UI 28. (x)(Gx → (y)(Fy ˄ Hy)) |– (x)¬Fx → ¬(z)Gz
1 (1) (x)(Gx → (y)(Fy˄Hy)) А
2 (2) (x)¬Fx А (CP)
3 (3) z)Gz А (RAA)
4 (4) Ga А (EE)
1 (5) Ga → (y)(Fy ˄ Hy) 1 UE
1,4 (6) (y)(Fy ˄ Hy) 4,5 MPP
7 (7) Fb ˄ Hb A
7 (8) Fb 7 ˄E
2 (9) ¬Fb 2 UE
2,7 (10) Fb ˄ ¬Fb 8,9 ˄I
- 184 -
2,7 (11) ¬(z)Gz 3,10 RAA
1,2,4 (12) ¬(z)Gz 6,7,10 EE
1,2,3 (13) ¬(z)Gz 3,4,11 EE
1,2,3 (14) z)Gz ˄ ¬(z)Gz 3,13 ˄I
1,2 (15) ¬(z)Gz 3,12 RAA
1 (16) (x)¬Fx → ¬(z)Gz 2,13 CP
29. (x)(Gx → (Hx ˄ Jx)), (x)((Fx ˅ ¬Jx) → Gx) |– (x)(Fx → Hx) 1 (1) (x)(Gx → (Hx ˄ Jx)) A
2 (2) (x)((Fx ˅ ¬Jx) → Gx) A
1 (3) Ga → (Ha ˄ Ja) 1 UE
2 (4) (Fa ˅ ¬Ja) → Ga 2 UE
5 (5) Fa A
5 (6) Fa ˅ ¬Ja 5 vI
2,5 (7) Ga 4,6 MPP
1,2,5 (8) Ha ˄ Ja 3,7 MPP
1,2,5 (9) Ha 8 ˄E
1,2 (10) Fa → Ha 5,9 CP
1,2 (11) (x)(Fx → Hx) 10 UI 30. (x)((Gx˄Kx)↔Hx), ¬(x)(Fx˄Gx) |– (x)¬(Fx˄Hx) 1 (1) (x)((Gx ˄ Kx) ↔ Hx) A
2 (2) ¬(x)(Fx ˄ Gx) A
3 (3) Fa ˄ Ha A
3 (4) Ha 3 ˄E
1 (5) (Ga ˄ Ka) ↔ Ha 1 UE
1,3 (6) Ga ˄ Ka 4,5 BP
1,3 (7) Ga 6 ˄E
3 (8) Fa 3 ˄E
1,3 (9) Fa ˄ Ga 7,8 ˄I
1,3 (10) x)(Fx ˄ Gx) 9 EI
1,3 (11) x)(Fx ˄ Gx) ˄ ¬(x)(Fx ˄ Gx)2,10 ˄I
1,2 (12) ¬(Fa ˄ Ha) 3,11 RAA
1,2 (13) (x)¬(Fx ˄ Hx) 11 UI 31. (x)(Gx → Hx), (x)((Fx ˄ Gx) ˄ Mx) |– (x)(Fx ˄ (Hx ˄ Mx)) 1 (1) (x)(Gx → Hx) A
2 (2) x)((Fx ˄ Gx) ˄ Mx) A
3 (3) (Fa ˄ Ga) ˄ Ma A
3 (4) Fa ˄ Ga 3 ˄E
3 (5) Ma 3 ˄E
- 185 -
3 (6) Ga 4 ˄E
3 (7) Fa 4 ˄E
1 (8) Ga → Ha 1 UE
1,3 (9) Ha 6,8 MPP
1,3 (10) Ha ˄ Ma 5,9 ˄I
1,3 (11) Fa ˄ (Ha ˄ Ma) 7,10 ˄I
1,3 (12) x)(Fx ˄ (Hx ˄ Mx)) 11 EI
1,2 (13) x)(Fx ˄ (Hx ˄ Mx)) 2,3,12 EE
32. (x)(¬Gx ˅ ¬Hx), (x)((Jx → Fx) → Hx) |– ¬x)(Fx ˄ Gx) 1 (1) (x)(¬Gx ˅ ¬Hx) A
2 (2) (x)((Jx → Fx) → Hx) A
3 (3) x)(Fx ˄ Gx) A
4 (4) Fa ˄ Ga A
4 (5) Fa 4 ˄E
4 (6) Ga 4 ˄E
1 (7) ¬Ga ˅ ¬Ha 1 UE
1 (8) Ga→¬Ha 7 Impl
1,4 (9) ¬Ha 6,8 MPP
2 (10) (Ja → Fa) → Ha 2 UE
1,2,4 (11) ¬(Ja → Fa) 9,10 MTT
1,2,4 (12) Ja ˄ ¬Fa 11 Impl
1,2,4 (13) ¬Fa 12 ˄E
1,2,4 (14) Fa ˄ ¬Fa 5,13 ˄I
1,2 (15) ¬x)(Fx ˄ Gx) 3,15 RAA
1,2 (16) ¬x)(Fx ˄ Gx) 3,4,15 EE
33. ¬(x)(¬Gx˄Hx), (x)(Fx→¬Hx) |– (x)((Fx ˅ ¬Gx)→¬Hx)
1 (1) ¬(x)(¬Gx ˄ Hx) A
2 (2) (x)(Fx Hx) A
3 (3) Fa ˅ ¬Ga A
4 (4) Ha A
2 (5) Fa → ¬Ha 2 UE
2,4 (6) ¬Fa 4,5 MTT
2,3,4 (7) ¬Ga 3,6 vE
2,3,4 (8) ¬Ga ˄ Ha 4,7 ˄I
2,3,4 (9) (x)(¬Gx ˄ Hx) 8 EI
2,3,4 (10) (x)(¬Gx ˄ Hx) ˄ ¬(x)(¬Gx ˄ Hx) 1,9 ˄I
1,2,3 (11) ¬Ha 4,10 RAA
1,2 (12) (Fa ˅ ¬Ga) → ¬Ha 3,11 CP
1,2 (13) (x)((Fx ˅ ¬Gx) → ¬Hx) 12 UI
- 186 -
34. (x)¬(Gx ˄ Hx), (x)(Fx ˄ Gx) |– (x)(Fx ˄ ¬Hx) 1 (1) (x)¬(Gx ˄ Hx) A
2 (2) (x)(Fx ˄ Gx) A
3 (3) Fa ˄ Ga A
1 (4) ¬(Ga ˄ Ha) 1 UE
3 (5) Ga 3 ˄E
1 (6) ¬Ga ˅ ¬Ha 4 DM
1,3 (7) ¬Ha 5,6 vE
3 (8) Fa 3 ˄E
1,3 (9) Fa ˄ ¬Ha 7,8 ˄I
1,3 (10) (x)(Fx ˄ ¬Hx) 9 EI
1,2 (11) (x)(Fx ˄¬Hx) 2,3,10 EE
35. (x)(Fx ˄ ¬Hx), ¬(x)(Fx ˄ ¬Gx) |– ¬(x)(Gx → Hx)
1 (1) (x)(Fx ˄ ¬Hx) A
2 (2) ¬(x)(Fx ˄ ¬Gx) A
3 (3) (x)(Gx → Hx) A
4 (4) Fa ˄ ¬Ha A
3 (5) Ga → Ha 3 UE
4 (6) ¬Ha 4 ˄E
3,4 (7) ¬Ga 5,6 MTT
4 (8) Fa 4 ˄E
3,4 (9) Fa ˄ ¬Ga 7,8 ˄I
3,4 (10) x(Fx ˄ ¬Gx) 9 EI
3,4 (11) ¬(x)(Fx ˄ ¬Gx) ˄ (x)(Fx ˄ ¬Gx)2,10 ˄I
2,4 (12) (x)(Gx → Hx) 3,11 RAA
1,2 (13) (x)(Gx → Hx) 1,3,11 EE 36. (x)(Hx → (Hx ˄ Gx)), (x)(¬Gx ˄ Fx) |– (x)(Fx ˄ ¬Hx) 1 (1) (x)(Hx → (Hx ˄ Gx)) A
2 (2) x)(¬Gx ˄ Fx) A
3 (3) ¬Ga ˄ Fa A
1 (4) Ha→(Ha ˄ Ga) 1 UE
3 (5) ¬Ga 3 ˄E
3 (6) ¬Ha ˅ ¬Ga 5 vI
3 (7) ¬(Ha ˄ Ga) 6 SI DM
1,3 (8) ¬Ha 4,7 MTT
3 (9) Fa 3 ˄E
1,3 (10) Fa ˄ ¬Ha 8,9 ˄I
1,3 (11) (x)(Fx ˄ ¬Hx) 10 EI
- 187 -
1,2 (12) (x)(Fx ˄ ¬Hx) 2,3,11 EE
37. (x)(Hx → ¬Gx), ¬x(Fx ˄ ¬Gx) |– (x)¬(Fx ˄ Hx) 1 (1) (x)(Hx → ¬Gx) A
2 (2) ¬(x)(Fx ˄ ¬Gx) A
3 (3) Fa ˄ ¬Ga A
3 (4) (x)(Fx ˄ ¬Gx) 3 EI
2 (5) ¬(Fa ˄ ¬Ga) 2,4 RAA(3)
1 (6) Ha → ¬Ga 1 UE
2 (7) Fa → Ga 5 Impl
1 (8) Ga → ¬Ha 6 Trans
1,2 (9) Fa → ¬Ha 7,8 SI HS
1,2 (10) ¬(Fa ˄ Ha) 9 Impl
1,2 (11) (x)¬(Fx ˄ Hx) 10 UI 38. (x)(Fx ↔ Gx) |– (x)Fx ↔ (x)Gx 1 (1) (x)(Fx ↔ Gx) A
2 (2) (x)Fx A
2 (3) Fa 2 UE
1 (4) Fa ↔ Ga 1 UE
1,2 (5) Ga 3,4 BP
1,2 (6) (x)Gx 5 UI
1 (7) (x)Fx → (x)Gx 6 CP(2)
8 (8) (x)Gx A
8 (9) Ga 8 UE
1 (10) Fa ↔ Ga 1 UE
1,8 (11) Fa 9,10 BP
1,8 (12) (x)Fx 11 UI
1 (13) (x)Gx → (x)Fx 12 CP(8)
1 (14) (x)Fx ↔ (x)Gx 7,13 ↔def 38. (x)Fx → (y)(Gy → Hy), (x)Jx → (x)Gx |– (x)(Fx ˄ Jx) → (z)Hz
1 (1) x)Fx → (y)(Gy → Hy) A
2 (2) x)Jx → (x)Gx A
3 (3) x)(Fx ˄ Jx) A
4 (4) Fa ˄ Ja A
4 (5) Fa 4 ˄E
4 (6) x)Fx 5 EI
1,4 (7) (y)(Gy → Hy) 1,6 MPP
4 (8) Ja 4 ˄E
4 (9) x)Jx 8 EI
- 188 -
2,4 (10) x)Gx 2,9 MPP
11 (11) Gb A
1,4 (12) Gb → Hb 7 UE
1,4,11 (13) Hb 11,12 MPP
1,4,11 (14) z)Hz 13 EI
1,2,4 (15) z)Hz 10,11,14 EE
1,2,3 (16) z)Hz 3,4,15 EE
1,2 (17) x)(Fx ˄ Jx) → (z)Hz 16 CP(3)
39. (x)Fx ˅ (x)Gx, (x)(Fx → Gx) |– (x)Gx
1 (1) (x)Fx ˅ (x)Gx A
2 (2) (x)(Fx→Gx) A
3 (3) ¬(x)Gx A
1,3 (4) (x)Fx 1,3 SI DS
5 (5) Fa a
2 (6) Fa → Ga 2 UE
2,5 (7) Ga 5,6 MPP
2,5 (8) (x)Gx 7 EI
1,2,3 (9) (x)Gx 4,8 EE(5)
1,2,3 (10) (x)Gx ˄ ¬(x)Gx 3,9 ˄I
1,2 (11) (x)Gx 3,10 RAA
40. (x)(Fx → ¬Gx) |– ¬(x)(Fx ˄ Gx) Impl. 1 (1) (x)(Fx → ¬Gx) A
2 (2) x)(Fx ˄ Gx) A
3 (3) Fa ˄ Ga A
1 (4) Fa → ¬Ga 1 UE
1 (5) ¬(Fa ˄ Ga) 4 Impl
1,3 (6) ¬(x)(Fx ˄ Gx) 3,5 RAA(2)
1,2 (7) ¬(x)(Fx ˄ Gx) 2,3,6 EE
1 (8) ¬(x)(Fx ˄ Gx) 2,7 RAA(2)
41. (x)(Fx → Gx) –||– ¬(x)(Fx ˄ ¬Gx) Impl. (a) (x)(Fx → Gx) |– ¬(x)(Fx ˄ ¬Gx) 1 (1) (x)(Fx → Gx) A 2 (2) (x)(Fx ˄ Gx) A 3 (3) Fa ˄ ¬Ga A 3 (4) ¬(Fa → Ga) 3 Impl 1 (5) Fa → Ga 1 UE 1,3 (6) (Fa → Ga) ˄ ¬(Fa → Ga) 4,5 ˄I 3 (7) ¬(x)(Fx → Gx) 1,6 RAA 2 (8) ¬(x)(Fx → Gx) 2,3,7 EE 1,2 (9) (x)(Fx→Gx)˄¬(x)(Fx→Gx) 1,8 ˄I
- 189 -
1 (10) ¬(x)(Fx ˄ ¬Gx) 2,9 RAA (b) ¬(x)(Fx ˄ ¬Gx) |– (x)(Fx → Gx) 1 (1) ¬(x)(Fx ˄ ¬Gx) A 2 (2) ¬(Fa → Ga) A 2 (3) Fa ˄ ¬Ga 2 Impl 2 (4) (x)(Fx ˄ ¬Gx) 3 EI 1,2(5) (x)(Fx˄¬Gx)˄¬(x)(Fx˄¬Gx) 1,4 ˄I 1 (6) ¬¬(Fa → Ga) 2,5 RAA 1 (7) Fa → Ga 6 DN 1 (8) (x)(Fx → Gx) 7 UI 42. (x)((Fx ˅ Hx)→(Gx˄Kx)), ¬(x)(Kx˄Gx) |– (x)¬Hx
1 (1) (x)((Fx ˅ Hx)→(Gx ˄ Kx)) A
2 (2) ¬(x)(Kx ˄ Gx) A
3 (3) ¬(x)¬Hx A
4 (4) ¬Ha A
4 (5) (x)¬Hx 4 EI
3 (6) Ha 3,5 RAA(4)
1 (7) (Fa ˅ Ha) → (Ga ˄ Ka) 1 UE
3 (8) Fa ˅ Ha 6 vI
1,3 (9) Ga ˄ Ka 7,8 MPP
1,3 (10) Ka ˄ Ga 9 ˄-Comm
1,3 (11) (x)(Kx ˄ Gx) 10 UI
1,3 (12) (x)(Kx ˄ Gx) ˄ ¬(x)(Kx˄Gx) 2,11
1,2 (13) (x)¬Hx 3,12 RAA
43. (x)((Fx ˄ Gx) → Hx), Ga ˄ (x)Fx |– Fa ˄ Ha
1 (1) (x)((Fx ˄ Gx) → Hx) A
2 (2) Ga ˄ (x)Fx A
2 (3) Ga 2 ˄E
2 (4) (x)Fx 2 ˄E
2 (5) Fa 4 UE
1 (6) (Fa ˄ Ga) → Ha 1 UE
2 (7) Fa ˄ Ga 3,5 ˄I
1,2 (8) Ha 6,7 MPP
1,2 (9) Fa ˄ Ha 5,8 ˄I 44. (x)(Fx ↔ (y)Gy) |– (x)Fx ˅ (x)¬Fx
1 (1) (x)(Fx ↔ (y)Gy) A
2 (2) ¬(x)¬Fx A
3 (3) ¬(x)Fx A
4 (4) Fa A
- 190 -
4 (5) (x)Fx 4 EI
3 (6) ¬Fa 3,5 RAA(4)
3 (7) (x)¬Fx 6 UI
2 (8) (x)Fx 2,7 RAA(3)
9 (9) Fa A
1 (10) Fa ↔ (y)Gy 1 UE
1,9 (11) (y)Gy 9,10 BP
1 (12) Fb ↔ (y)Gy 1 UE
1,9 (13) Fb 11,12 BP
1,9 (14) (x)Fx 13 UI
1,2 (15) (x)Fx 8,9,14 EE
1 (16) ¬(x)¬Fx → (x)Fx 2,15 CP
1 (17) (x)¬Fx ˅ (x)Fx 16 Impl
1 (18) (x)Fx ˅ (x)¬Fx 17 ˅-Comm 50.
1 1. (x)(Ax → Bx) A2 2. ¬Bt A
¬At 1 3. At → Bt 1 UE1,2 4. ¬At 2,3 MTT
51.
1 1. (x)(Cx → Dx) A2 2. (x)(Ex → ¬Dx) A
(x)(Ex → ¬Cx) 1 3. Cy → Dy 1 UE2 4. Ey → ¬Dy 2 UE2 5. Dy → ¬Ey 4 transp1,2 6. Cy → ¬Ey 3,5 HS1,2 7. Ey → ¬Cy 6 transp1,2 8. (x)(Ex → ¬Cx) 7 UI
52.
1 1. (x)(Fx → ¬Gx) A2 2. (x)(Hx ˄ Gx) A
(x)(Hx ˄ ¬Fx) 3 3. Ha ˄ Ga A (2 EE)1 4. Fa → ¬Ga 1 UE3 5. Ga 3 ˄E1,3 6. ¬Fa 4,5 MT 3 7. Ha 3 ˄E1,3 8. Ha ˄ ¬Fa 7,6 ˄I1,3 9. (x)(Hx ˄ ¬Fx) 8 EI 1,2 10. (x)(Hx ˄ ¬Fx) 2,3,9 EE
- 191 -
53. 1 1. (x)(Ix → Jx) A2 2. (x)(Ix ˄ ¬Jx) A
(x)(Jx → Ix) 3 3. Ia ˄ ¬Ja A (2 EE)3 4. Ia 3 ˄E1 5. Ia → Ja 1 UE1,3 6. Ja 4,5 MP3 7. ¬Ja 3 ˄E1,3 8. Ja ˅ (x)(Jx → Ix) 6 ˅I1,3 9. (x)(Jx → Ix) 7,8 DS 1,2 10. (x)(Jx → Ix) 2,3,9 EE
54.
1 1. (x)(Kx → Lx) A 2 2. (x)[(Kx ˄ Lx) → Mx] A
(x)(Kx → Ox) 3 3. Ky A 1 4. Ky → Ly 1 UE 1,3 5. Ly 3,4 MP 1,3 6. Ky ˄ Ly 3,5 ˄I2 7. (Ky ˄ Ly) → My 2 UE 1,2,3 8. My 6,7 MP 1,2 9. Ky → My 3,8 CP 1,2 10. (x)(Kx → Mx) 9 UI
55.
1. (x)(Nx → Ox) A2. (x)(Px → Ox) A
(x)[(Nx → Px) → Ox] 3. Ny → Oy 1 UE4. Py → Oy 2 UE5. (Ny → Oy) ˄ (Py → Oy) 3,4 ˄I6. Ny ˅ Py A (CP) 7. Oy ˅ Oy 5,6 CD 8. Oy 7 taut9. (Ny ˅ Py) → Oy 6-8 CP 10. (x)[(Nx ˅ Px) → Ox] 9 UI
56.
1 1. (x)(Qx → Rx) A2 2. (x)(Qx ˅ Rx) A (x)Rx 3 3. Qa ˅ Ra A (2 EE)1 4. Qa → Ra 1 UE5 5. ¬Ra A (RAA)3,5 6. Qa 3,5 SI DS 1,3,5 7. ¬Qa 4,5 MTT1,3,5 8. Qa ˄ ¬Qa 6,7 ˄I 1,3 9. Ra 5,8 RAA1,3 10. (x)Rx 9 EI
- 192 -
1,2 11. (x)Rx 2,3,10 EE 57.
1 1. (x)[Sx → (Tx → Ux)] A 2 2. (x)[Ux → (Vx ˄ Wx)] A
(x)[Sx → (Tx → Vx)] 1 3. Sy → (Ty → Uy) 1 UE2 4. Uy → (Vy ˄ Wy) 2 UE5 5. Sy A |– Tx → Vx1,3 6. Ty → Uy 3,5 MPP7 7. Ty A |– Vx1,5,7 8. Uy 6,7 MPP1,2,5,7 9. Vy ˄ Wy 4,8 MPP1,2,5,7 10. Vy 9 ˄E1,2,5 11. Ty → Vy 7,10 CP 1,2 12. Sy → (Ty → Vy) 5,11 CP1,2 13. (x)[Sx → (Tx → Vx)] 12 UI
58.
1 1. (x)[(Xx ˅ Yx) → (Zx ˄ Ax)] A2 2. (x)[(Zx ˅ Ax) → (Xx ˄ Yx)] A
(x)(Xx ↔ Zx) 1 3. (Xy ˅ Yy) → (Zy ˄ Ay) 1 UE2 4. (Zy ˅ Ay) → (Xy ˄ Yy) 2 UE5 5. Xy A |– Zx5 6. Xy ˅ Yy 5 ˅I1,5 7. Zy ˄ Ay 3,6 MPP1,5 8. Zy 7 ˄E1 9. Xy → Zy 5,8 CP10 10. Zy A |– Xx10 11. Zy ˅ Ay 10 ˅I2,10 12. Xy ˄ Yy 4,11 MPP2,10 13. Xy 12 ˄E2 14. Zy → Xy 10,13 CP1,2 15. (Xy → Zy) ˄ (Zy → Xy) 9,14 ˄I1,2 16. (Xy ↔ Zy) 15 ↔def
1,2 17. (x)(Xx ↔ Zx) 16 UI 59.
1 1. (x)[(Bx → Cx) ˄ (Dx → Ex)]2 2. (x)[(Cx ˅ Ex) → {[Fx → (Gx → Fx)] → (Bx ˄ Dx)}] (x)(Bx ↔ Dx) 1 3. (By → Cy) ˄ (Dy → Ey) 1 UE 2 4. (Cy ˅ Ey) → [[Fy → (Gy → Fy)] → (By ˄ Dy)] 2 UE 1 5. By → Cy 3 ˄E 1 6. Dy → Ey 3 ˄E 7 7. By A |– Dy 8 8. ¬Dy A (RAA) 1,7 9. Cy 5,7 MPP 1,7 10. Cy ˅ Ey 9 ˅I 1,2,7 11. [Fy → (Gy → Fy)] → (By ˄ Dy) 4,10 MPP
- 193 -
8 12. ¬By ˅ ¬Dy 8 ˅I 8 13. ¬(By ˄ Dy) 12 SI DM 1,2,7,8 14. ¬[Fy → (Gy → Fy)] 11,13 MTT 1,2,7,8 15. Fy ˄ ¬(Gy → Fy) 14 SI impl 1,2,7,8 16. Fy 15 ˄E 1,2,7,8 17. ¬(Gy → Fy) 15 ˄E 1,2,7,8 18. Gy ˄ ¬Fy 17 SI impl 1,2,7,8 19. ¬Fy 18 ˄E 1,2,7,8 20. Fy ˄ ¬Fy 16, 19 ˄I 1,2,7 21. ¬¬Dy 8,20 RAA 1,2,7 22. Dy 21 DN 1,2 23. By → Dy 7,22 CP 1,2 24. (x)(Bx → Dx) 23 UI 25 25. Dy A |– By 1,25 26. Ey 6,25 MPP 1,25 27. Ey ˅ Cy 26 ˅I 1,2,25 28. [Fy → (Gy → Fy)] → (By ˄ Dy) 4,27 MPP 29 29. ¬By A (RAA) 29 30. ¬By ˅ ¬Dy 29 ˅I 29 31. ¬(By ˄ Dy) 30 SI DM 1,2,25,29 32. ¬[Fy → (Gy → Fy)] 28,31 MTT 1,2,25,29 33. Fy ˄ ¬(Gy → Fy) 32 SI impl 1,2,25,29 34. Fy 33 ˄E 1,2,25,29 35. ¬(Gy → Fy) 33 ˄E 1,2,25,29 36. Gy ˄ ¬Fy 35 SI impl 1,2,25,29 37. ¬Fy 36 ˄E 1,2,25,29 38. Fy ˄ ¬Fy 34, 37 ˄I 1,2,25 39. ¬¬By 29,38 RAA 1,2,25 40. By 39 DN 1,2 41. Dy → By 25,40 CP 1,2 42. (x)(Dx → Bx) 41 UI 1,2 43. (x)(Bx → Dx) ˄ (x)(Dx → Bx) 24,42 ˄I 1,2 44. (x)(Bx ↔ Dx) 43 ↔def
- 194 -
iv. Slovné úlohy 1.
1 1. (x)(Ax → Ox) A2 2. ¬Ob A
¬Ab 1 3. Ab → Ob 1 UI1,2 4. ¬Ab 2,3 MTT
2.
1 1. (x)(Cx →¬Dx) A2 2. (x)(Cx ˄ Ex) A
(x)(Ex ˄ ¬Dx) 3 3. Ca ˄ Ea A (EE)1 4. Ca → ¬Da 1 UE 3 5. Ca 3 ˄E1,3 6. ¬Da 4,5 MPP3 7. Ea 3 ˄E1,3 8. Ea ˄ ¬Da 7,6 ˄I 1,3 9. (x)(Ex ˄ ¬Dx) 8 EI 1,2 10. (x)(Ex ˄ ¬Dx) 2,3,9 EE
3.
1 1. (x)(Fx → Gx) A2 2. (x)(Hx ˄ ¬Gx) A
(x)(Hx ˄ ¬Fx) 3 3. Ha ˄ ¬Ga A (2 EE)3 4. Ha 3 ˄E3 5. ¬Ga 3 ˄E1 6. Fa → Ga 1 UI1,3 7. ¬Fa 5,6 MT1,3 8. Ha ˄ ¬Fa 4,7 ˄I 1,3 9. (x)(Hx ˄ ¬Fx) 8 EI 1,2 10. (x)(Hx ˄ ¬Fx) 2,3,9 EE
4.
1 1. (x)(Jx → ¬Ix) A 2 2. Ib A ¬Jb 1 3. Jb → ¬Ib 1 UE 1,2 4. ¬Jb 2,3 MTT
5.
1 1. (x)(Lx → Mx) A2 2. (x)(Lx ˄ Nx) A
(x)(Nx ˄ Mx) 3 3. La ˄ Na A (EE)1 4. La → Ma 1 UE3 5. La 3 ˄E
- 195 -
1,3 6. Ma 4,5 MPP3 7. Na 3 ˄E 1,3 8. Na ˄ Ma 6,7 ˄I1,3 9. (x)(Nx ˄ Mx) 8 EI 1,2 10. (x)(Nx ˄ Mx) 2,3,9 EE
6.
1 1. (x)(Ox → ¬Px) A 2 2. (x)(Qx ˄ Px) A
(x)(Qx ˄ ¬Ox) 3 3. Qa ˄ Pa A (EE)3 4. Qa 3 ˄E 3 5. Pa 3 ˄E 1 6. Oa → ¬Pa 1 UE 1,3 7. ¬Oa 5,6 MTT1,3 8. Qa ˄ ¬Oa 4,7 ˄I1,3 9. (x)(Qx ˄ ¬Ox) 8 EI 1,2 10. (x)(Qx ˄ ¬Ox) 2,3,9 EE
7.
1 1. (x)(Rx → Sx) A 2 2. (x)(Rx ˄ ¬Tx) A
(x)(Sx ˄ ¬Tx) 3 3. Ra ˄ ¬Ta A (2 EE)1 4. Ra → Sa 1 UE 3 5. Ra 3 ˄E 1,3 6. Sa 4,5 MP 3 7. ¬Ta 3 ˄E 1,3 8. Sa ˄ ¬Ta 6,7 ˄I1,3 9. (x)(Sx ˄ ¬Tx) 8 EI 1,2 10. (x)(Sx ˄ ¬Tx) 2,3,9 EE
8.
1 1. (x)(Ux → Wx) A2 2. (x)(Wx → ¬Vx) A
(x)(Ux → ¬Vx) 1 3. Uy → Wy 1 UE 2 4. Wy → ¬Vy 2 UE 1,2 5. Uy → ¬Vy 3,4 SI HS1,2 6. (x)(Ux → ¬Vx) 5 UI
9.
1 1. (x)(Bx → Ax) A2 2. (x)(Ax → Cx) A
(x)(Bx → Cx) 1 3. By → Ay 1 UI2 4. Ay → Cy 2 UI1,2 5. By → Cy 3,4 SI HS1,2 6. (x)(Bx → Cx) 5 UI
10.
- 196 -
1 1. (x)(Dx → Ex) A2 2. (x)(Ex → Fx) A3 3. (x)(Fx → Gx) A
(x)(Dx → Gx) 1 4. Dy → Ey 1 UE2 5. Ey → Fy 2 UE3 6. Fy → Gy 3 UE1,2 7. Dy → Fy 4,5 SI HS1,2,3 8. Dy → Gy 6,7 SI DS1,2,3 9. (x)(Dx → Gx) 8 UI
11.
1 1. (x)(Dx → Gx) A2 2. Sm A3 3. Dm A
(x)(Sx ˄ Gx) 1 4. Dm → Gm 1 UE1,3 5. Gm 3,4 MPP1,2,3 6. Sm ˄ Gm 2,5 ˄I1,2,3 7. (x)(Sx ˄ Gx) 6 EI
12.
1 1. (x)[Tx → (Fx ˄ Dx)] A 2 2. (x)(Tx ˄ Bx) A
(x)(Dx ˄ Bx) 3 3. Ta ˄ Ba A (2 EE)1 4. Ta → (Fa ˄ Da) 1 UE 3 5. Ta 3 ˄E 1,3 6. Fa ˄ Da 4,5 MPP3 7. Ba 3 ˄E 1,3 8. Da 6 ˄E 1,3 9. Da ˄ Ba 8,7 ˄I1,3 10. (x)(Dx ˄ Bx) 9 EI 1,2 11. (x)(Dx ˄ Bx) 2,3,10 EE
13.
1 1. (x)[(Bx ˅ Gx) → Fx]2 2. (x)[(Fx ˅ Vx) → Nx]
(x)(Bx → Nx) 1 3. (By ˅ Gy) → Fy 1 UE 2 4. (Fy ˅ Vy) → Ny 2 UE 5 5. By A |– Ny5 6. By ˅ Gy 5 ˅I 1,5 7. Fy 3,6 MPP1,5 8. Fy ˅ Vy 7 ˅I 1,2,5 9. Ny 4,8 MPP1,2 10. By → Ny 5-9 CP 1,2 11. (x)(Bx → Nx) 10 UI
14.
1 1. (x)[Cx → (Fx ˅ Kx)] A
- 197 -
2 2. (x)(Fx → Kx) A 3 3. (x)(Nx ˄ ¬Kx) A
(x)(Nx ˄ ¬Kx) 4 4. Na ˄ ¬Ka A (3 EE)1 5. Ca → (Fa ˅ Ka) 1 UE 2 6. Fa → Ka 2 UE 4 7. Na 4 ˄E 4 8. ¬Ka 4 ˄E 2,4 9. ¬Fa 6,8 MTT2,4 10. ¬Fa ˄ ¬Ka 7,9 ˄I2,4 11. ¬(Fx ˅ Kx) 10 SI DM1,2,4 12. ¬Ca 5,11 MTT1,2,4 13. Na ˄ ¬Ca 7,12 ˄I 1,2,4 14. (x)(Nx ˄ ¬Cx) 12 EI 1,2,3 15. (x)(Nx ˄ ¬Cx) 2,3,13 EE
15.
1 1. (x)[(Bx ˅ Vx) → (Ox ˄ Dx)] A (x)(Bx → Dx)
2 2. Ba A |– Da 1 3. (Ba ˅ Va) → (Oa ˄ Da) 1 UE2 4. Ba ˅ Va 2 ˅I1,2 5. Oa ˄ Da 3,4 MPP1,2 6. Da 5 ˄E1 7. Ba → Da 2,6 CP1 8. (x)(Bx → Dx) 10 UI
16.
1 1. (x)[(Dx ˄ Tx) → (Px ˄ Ux)] A2 2. (x)[(Dx ˄ Sx) → Tx] A
(x)[(Dx ˄ Sx) → Px] 1 3. (Da ˄ Ta) → (Pa ˄ Ua) 1 UE2 4. (Da ˄ Sa) → Ta 2 UE5 5. Da ˄ Sa A |– Pa2,5 6. Ta 4,5 MPP5 7. Da 5 ˄E2,5 8. Da ˄ Ta 7,8 ˄I1,2,5 9. Pa ˄ Ua 3,8 MPP1,2,5 10. Pa 9 ˄E1,2 11. (Da ˄ Sa) → Pa 5,10 CP1,2 12. (x)[(Dx ˄ Sx) → Px] 11 UI
17.
1 1. (x)(Ux → Vx) A 2 2. (x)[(Ux ˄ Vx) → Čx] A
(x)[Ux → (Vx ˄ Čx)] 1 3. Ua → Va 1 UE 2 4. (Ua ˄ Va) → Ča 1 UE 5 5. Ua A |– Va ˄ Ča1,5 6. Va 3,5 MPP1,5 7. Ua ˄ Va 5,6 ˄I
- 198 -
1,2,5 8. Ča 4,7 MPP1,2,5 9. Va ˄ Ča 6,8 ˄I1,2 10. Ua → (Va ˄ Ča) 5,9 CP 1,2 11. (x)[Px → (Vx ˄ Čx)] 10 UI
18.
1 1. (x)(Dx → Sx) A 2 2. (x)(Dx ˄ Vx) A 3 3. (x)[(Sx ˄ Vx) → Rx] A
(x)(Dx ˄ Rx) 4 4. Da ˄ Va A (2 EE)1 5. Da → Sa 1 UE 3 6. (Sa ˄ Va) → Ra 3 UE 4 7. Da 4 ˄E 4 8. Va 4 ˄E 1,4 9. Sa 5,7 MPP1,4 10. Sa ˄ Va 9,8 ˄I1,3,4 11. Ra 6,10 MPP1,3,4 12. Da ˄ Ra 7,11 ˄I1,3,4 13. (x)(Dx ˄ Rx) 12 EI 1,2,3 14. (x)(Dx ˄ Rx) 2,4,13 EE
19.
1 1. (x)[(Dx ˅ Px) → Vx] A 2 2. (x)(Ax → Ix) A 3 3. (x)(Px ˄ ¬Ix) A 4 4. (x)(Dx ˄ Ax) A
(x)(Vx ˄ Ix) 5 5. Da ˄ Aa A (4 EE)1 6. (Da ˅ La) → Ca 1 UE 2 7. Aa → Ia 2 UE 5 8. Aa 5 ˄E 2,5 9. Ia 7,8 MPP5 10. Da 5 ˄E 5 11. Da ˅ Pa 10 ˅I 1,5 12. Va 6,11 MPP1,2,5 13. Va ˄ Ia 12,9 ˄I 1,2,5 14. (x)(Vx ˄ Ix) 13 EI 1,2,4 14. (x)(Vx ˄ Ix) 4,5,14 EE
Tretí predpoklad nebol potrebný na záver – iba 1,2,4. 20.
1 1. (x){(Vx ˅ Ox) → [(Nx ˅ Vx) → Px]} A (x)[Vx → (Nx → Px)]
2 2. Va A |– Na → Pa3 3. Na A |– Pa1 4. (Va ˅ Oa) → [(Na ˅ Va] → Pa 1 UE2 5 Va ˅ Oa 2 ˅I1,2 6. (Na ˅ Va] → Pa 4,5 MPP3 7. Na ˅ Va 3 ˅I1,2,3 8. Pa 6,7 MPP
- 199 -
1,2 9. Na → Pa 3,8 CP1 10. Va → (Na → Pa) 2,9 CP1 11. (x)[Vx → (Nx → Px)] 10 UI
21.
1 1. (x)[(Vx ˅ Tx) → Px]28 A 2 2. (x)[(Px ˅ Mx) → Dx] A 3 3. (x)[Dx → (Kx ˄ Ux)] A 4 4. (x)(Vx ˄ ¬Kx ˄ ¬Bx) A
(x)(Tx ˄ Sx ˄ ¬Kx) 5 5. Va ˄ ¬Ka ˄ ¬Ba A (4 EE)1 6. (Va ˅ Ta) → Pa 1 UI2 7. (Pa ˅ Ma) → Da 2 UI3 8. Da → (Ga ˄ Ua) 3 UI5 9. ¬Ka 5 ˄E5 10. ¬Ka ˅ ¬Ua 9 ˄I5 11. ¬(Ka ˄ Ua) 10 SI DM3,5 12. ¬Da 8,11 MTT2,3,5 13. ¬(Pa ˅ Ma) 7,12 MTT2,3,5 14. ¬Pa ˄ ¬Ma 13 SI DM2,3,5 15. ¬Pa 14 ˄E1,2,3,5 16. ¬(Va ˅ Ta) 6,15 MTT1,2,3,5 17. ¬Va ˄ ¬Ta 16 SI DM1,2,3,5 18. ¬Va 17 ˄E1,2,3,5 19. Va 5 ˄E1,2,3,5 20. Va ˅ (x)(Tx ˄ Bx ˄ ¬Kx) 19 ˄I 1,2,3,5 21. (x)(Tx ˄ Bx ˄ ¬Kx) 18,20 SI DS 1,2,3,4 22. (x)(Tx ˄ Bx ˄ ¬Kx) 4,5,21 EE
28 I keď je v texte konjunkcia, vlčiaky nie sú zároveň teriéri...
- 200 -
22.
1 1. (x)[(Mx ˄ Vx) → (Hx → ¬Px)] A2 2. (x)[Mx → (Zx → Cx)] A3 3. (x)[Vx → (¬Px → Ox)] A4 4. (x)[(Mx ˄ Ox) → Hx] A
(x)[(Mx ˄ Zx) → (Ex ↔ Hx)] 1 5. (Ma ˄ Va) → (Ha → ¬Pa) 1 UE2 6. Ma → (Za → Va) 2 UE3 7. Va → (¬Pa → Oa) 3 UE4 8. (Ma ˄ Oa) → Ha 4 UE9 9. Ma ˄ Za A |– Ea→ Ha 2 10. (Ma ˄ Za) → Va 6 exp2,9 11. Va 9,10 MPP2,3,9 12. ¬Pa → Oa 7,11 MPP9 13. Ma 9 ˄E2,9 14. Ma ˄ Va 13,11 ˄I1,2,9 15. Ha → ¬Pa 5,14 MPP16 16. Oa A |– Ha9,16 17. Ma ˄ Oa 13,16 ˄I4,9,16 18. Ha 8,17 MPP4,9 19. Oa → Ha 16,18 CP 20 20. Ha A |– Oa1,2,9,20 21. ¬Pa 15,20 MPP1,2,3,9,20 22. Oa 12,21 MPP1,2,3,9 23. Ha → Oa 20,22 CP1,2,3,4,9 24. (Oa → Ha) ˄ (Ha → Oa) 19,23 ˄I1,2,3,4,9 25. Oa ↔ Ha 24 ↔def
- 201 -
1,2,3,4 26. (Ma ˄ Za) → (Oa ↔ Ha) 9,25 CP1,2,3,4 27. (x)[(Mx ˄ Zx) → (Ox ↔ Hx)] 26 UI
Strom vyzerá takto:29
29 http://creativeandcritical.net/prooftools
- 202 -
23.
1 1. (x)[Cx → (Fx ˅ Kx)] A2 2. (x)(Fx →Nx) A3 3. (x)(Cx ˄ ¬Nx) A (x)(Cx ˄ Kx) 4 4. Ca ˄ ¬Na A (3 EE)1 5. Ca → (Fa ˅ Ka) 1 UE2 6. Fa→ Na 2 UE4 7. Ca 4 ˄E4 8. ¬Na 4 ˄E1,4 9. Fa ˅ Ka 5,7 MPP1,2,4 10. ¬Fa 6,8 MTT1,2,4 11. Ka 9,10 DS1,2,4 12. Ca ˄ Ka 7,11 ˄I1,2,4 13. (x)(Cx ˄ Kx) 12 EI 1,2,3 14. (x)(Cx ˄ Kx) 3,4,13 EE
Dôkaz s pomocou Impl bez DS 1 1. (x)[Cx → (Fx ˅ Kx)] A2 2. (x)(Fx →Nx) A3 3. (x)(Cx ˄ ¬Nx) A (x)(Cx ˄ Kx) 4 4. Ca ˄ ¬Na A (3 EE)1 5. Ca → (Fa ˅ Ka) 1 UE2 6. Fa→ Na 2 UE4 7. Ca 4 ˄E4 8. ¬Na 4 ˄E2,4 9. ¬Fa 6,8 MTT1,2,4 10. Fa ˅ Ka 5,7 MPP1,2,4 11. ¬Fa→Ka 10 SI Impl.1,2,4 12. Ka 9,11 MPP1,2,4 13. Ca ˄ Ka 7,12 ˄I1,2,4 14. (x)(Cx ˄ Kx) 13 EI 1,2,3 15. (x)(Cx ˄ Kx) 3,4,14 EE
24.
1 1. (x)[Px → (Fx v Tx)] A2 2. (x)[Px → (Tx ↔ ¬Wx)] A3 3. (x)(Px ˄ Wx) A 4 4. (x)(Px ˄ ¬Wx) A (x)(Px ˄ Tx) 5 5. Pa ˄ ¬Wa A (4 EE)2 6. Pa → (Ta ↔ ¬Wa) 2 UE5 7. Pa 5 ˄E2,5 8. Ta ↔ ¬Wa 6,7 MPP2,5 9. (Ta→ ¬Wa) ˄ (¬Wa → Ta) 8 ↔def
2,5 10. ¬Wa → Ta 9 ˄E6 11. ¬Wa 5 ˄E2,5,6 12. Ta 10,11 MPP2,5,6 13. Pa ˄ Ta 7,12 ˄I2,5,6 14. (x)(Px ˄ Tx) 13 I
- 203 -
2,4,5 15. (x)(Px ˄ Tx) 4,5,14 EE 25.
1 1. (x)[Mx → (Ox ˄ Gx)] A2 2. (x)(Ox → Fx) A3 3. (x)[(Gx ˅ ¬Fx) → Px] A4 4. (x)[Px → (Fx → ¬Gx)] A5 5. (x)[Mx ˄ (Fx ↔ Ox)] A (x)(Mx ˄ ¬Fx) 6 6. Ma ˄ (Fa ↔ Oa) A (5 EE)1 7. Ma → (Oa ˄ Ga) 1 UE2 8. Oa → Fa 2 UE3 9. (Ga v ¬Fa) → Pa 3 UE4 10. Pa → (Fa → ¬Ga) 4 UE6 11. Ma 6 ˄E1,6 12. Oa ˄ Ga 7,11 MPP1,6 13. Oa 12 ˄E1,2,6 14. Fa 8,13 MPP1,6 15. Ga 12 ˄E1,6 16. Ga ˅ ¬Fa 15 ˅I1,3,6 17. Pa 9,16 MPP1,3,4,6 18. Fa → ¬Ga 10,17 MPP1,2,3,4,6 19. ¬Ga 14,18 MPP1,2,3,4,6 20. ¬Fa 16,19 DS1,2,3,4,6 21. Ma ˄ ¬Fa 11,20 ˄I1,2,3,4,6 22. (x)(Mx ˄ ¬Fx) 21 I 1,2,3,4,5 23. (x)(Mx ˄ ¬Fx) 5,6,22 EE
Dôkaz len so základnými pravidlami (takže bez SI DS) v kroku 20. by pokračoval s aplikáciou MTT (na kroky 18,19). Strom pre úlohu:30
30 https://www.umsu.de/logik/trees/
- 204 -
- 205 -
v. A. 1. (x)Fx –||– (y)Fy 1 (1) (x)Fx A 1 (2) Fa UE 1 (3) (y)Fy 2 UI 2. (x)Fx –||– (y)Fy 1 (1) (x)Fx A 2 (2) Fa A 1 (3) (y)Fy 2 UI 1 (4) (y)Fy 1,2,3 EE 3. (x)(Fx → P) –||– (x)Fx → P a) (x)(Fx → P) |– (x)Fx → P 1 (1) (x)(Fx → P) A 2 (2) (x)Fx A 3 (3) Fa A 1 (4) Fa → P 1 UE 1,3 (5) P 3,4 MPP 1,2 (6) P 2,3,5 EE 1 (7) (x)Fx → P 2,6 CP 4. (x)(P → Fx) –||– P → (x)Fx (a) (x)(P → Fx) |– P → (x)Fx 1 (1) (x)(P → Fx) A 2 (2) P A 3 (3) P → Fa A 2,3 (4) Fa 2,3 MPP 2,3 (5) (x)Fx 4 EI 1,2 (6) (x)Fx 1,3,5 EE 1 (7) P → (x)Fx 2,6 CP (b) P → (x)Fx |– (x)(P → Fx) 1 (1) P → (x)Fx A (2) P ˅ ¬P TI EM 3 (3) P A 1,3 (4) (x)Fx 1,3 MPP 5 (5) Fa A 5 (6) P → Fa 5 TC 5 (7) (x)(P → Fx) 6 EI 1,3 (8) (x)(P → Fx) 4,5,7 EE 9 (9) ¬P A 9 (10) P → Fa 9 FA 9 (11) (x)(P → Fx) 10 EI 1 (12) (x)(P → Fx) 2,3,8,9,11 vE
- 206 -
5. (y)(Fa → ((x)Gx → Gy)), (x)(Gx → Hx), (x)(¬Jx → ¬Hx) |– (x)¬Jx → (¬Fa ˅ (x)¬Gx)
1 (1) (y)(Fa → (xGx → Gy)) A
2 (2) (x)(Gx → Hx) A
3 (3) (x)(¬Jx → ¬Hx) A
4 (4) (x)¬Jx A
5 (5) Fa A
6 (6) ¬Jb A
2 (7) Gb → Hb 2 UE
1 (8) Fa → (xGx → Gb) 1 UE
3 (9) ¬Jb → ¬Hb 3 UE
3,6 (10) ¬Hb 6,9 MPP
2,3,6 (11) ¬Gb 7,10 MTT
1,5 (12) (x)Gx → Gb 5,8 MPP
1,2,3,5,6 (13) ¬(x)Gx 11,12 MTT
1,2,3,4,5 (14) ¬(x)Gx 4, 13 EE(6)
15 (15) Gc A
15 (16) (x)Gx 15 EI
1,2,3,4,5 (17) ¬Gc 14,16 RAA(15)
1,2,3,4,5 (18) (x)¬Gx 17 UI
1,2,3,4 (19) Fa → (x)¬Gx 18 CP(5)
1,2,3,4 (20) ¬Fa ˅ (x)¬Gx 19 Impl
1,2,3 (21) (x)¬Jx → (¬Fa ˅ (x)¬Gx) 4,20 CP
6. (x)(Dx→Fx) |– (z)(Dz→((y)(Fy→Gy)→Gz)) 1 (1) (x)(Dx → Fx) A
2 (2) Da A
3 (3) (y)(Fy → Gy) A
1 (4) Da → Fa 1 UE
3 (5) Fa → Ga 3 UE
1,2 (6) Fa 2,4 MPP
1,2,3 (7) Ga 5,6 MPP
1,2 (8) (y)(Fy → Gy) → Ga 3,7 CP
1 (9) Da → ((y)(Fy → Gy) → Ga) 2,8 CP
1 (10) (z)(Dz → ((y)(Fy→Gy) → Gz)) 9 UI 7. (x)Fx ↔ (y)((Fy ˅ Gy)→Hy), (x)Hx, ¬(z)¬Fz |– (x)(Fx˄Hx)
1 (1) (x)Fx ↔ (y)((Fy ˅ Gy) → Hy) A
2 (2) (x)Hx A
3 (3) ¬(z)¬Fz A
4 (4) ¬(x)Fx A
- 207 -
5 (5) Fa A
5 (6) (x)Fx 5 EI
4 (7) ¬Fa 4,6 RAA(5)
4 (8) (z)¬Fz 7 UI
3 (9) (x)Fx 3,8 RAA(4)
1,3 (10) (y)((Fy ˅ Gy) → Hy) 1,9 MPP
11 (11) Fa A
1,3 (12) (Fa ˅ Ga) → Ha 10 UE
11 (13) Fa ˅ Ga 11 ˅I
1,3,11 (14) Ha 12,13 MPP
1,3,11 (15) Fa ˄ Ha 11,14 ˄I
1,3,11 (16) (x)(Fx ˄ Hx) 15 EI
1,3 (17) (x)(Fx ˄ Hx) 9,11,16 EE
8. (x)Fx |– ¬xGx ↔ ¬(x(Fx ˄ Gx) ˄ (y)(Gy → Fy))
1 (1) (x)Fx A
2 (2) (x)Gx A
3 (3) Ga A
1 (4) Fa 1 UE
1,3 (5) Fa˄Ga 3,4 ˄I
1,3 (6) (x)(Fx˄Gx) 5 EI
1,2 (7) (x)(Fx˄Gx) 2,3,6 EE
1 (8) Fb 1 UE
1 (9) Gb→Fb 8 TC
1 (10) (y)(Gy→Fy) 9 UI
1,2 (11) (x)(Fx ˄ Gx) ˄ (y)(Gy → Fy) 7,10 ˄I
1 (12) (x)Gx → (x)(Fx ˄ Gx) ˄ (y)(Gy → Fy) 2,11 CP
13 (13) (x)(Fx ˄ Gx) ˄ (y)(Gy → Fy) A
13 (14) (x)(Fx ˄ Gx) 13 ˄E
15 (15) Fc ˄ Gc A
15 (16) Gc 15 ˄E
15 (17) (x)Gx 16 EI
13 (18) (x)Gx 14,15,17 EE
1 (19) (x)(Fx ˄ Gx) ˄ (y)(Gy → Fy)) → xGx 13,18 CP
1 (20) (x)(Fx ˄ Gx) ˄ (y)(Gy → Fy)) ↔ xGx 12,19 ↔def
1 (21) ¬(x)Gx ↔ ¬(x(Fx ˄ Gx) ˄ (y)(Gy → Fy)) 20 BiTrans
- 208 -
v. B. 1. (x)(Ax → Bx) |– (x)(Bx → Cx) → (Ak → Ck)
1 1. (x)(Ax → Bx) A (x)(Bx → Cx) → (Ak → Ck)
2 2. (x)(Bx → Cx) A (CP)3 3. Ak A (CP)1,3 4. Ak → Bk 1 UE1,3 5. Bk 3,4 MPP2 6. Bk → Ck 2 UE1,2,3 7. Ck 5,6 MPP1,3 8. Ak → Ck 3,7 CP1 9. (x)(Bx → Cx) → (Ak → Ck) 2,8 CP
2. (x)(Dx → Ex) |– Da → [(y)(Ey → Fy) → Fa]
1 1. (x)(Dx → Ex) A Da → [(y)(Ey → Fy) → Fa]
1 2. Da → Ea 1 UE3 3. Da A (CP)1,3 4. Ea 2,3 MP5 5. (y)(Ey → Fy) A (CP)5 6. Ea → Fa 5 UE1,3,5 7. Fa 4,6 MP1,3 8. (y)(Ey → Fy) → Fa 5,7 CP1 9. Da → [(y)(Ey → Fy) → Fa] 3,8 CP
3. (x)[Gx → (y)(Hy → Iy)] |– (x)Gx → (y)(Hy → Iy)
1 1. (x)[Gx → (y)(Hy → Iy)] A (x)Gx → (y)(Hy → Iy)
1 2. Gx → (y)(Hy → Iy) 1 UE3 3. (x)Gx A (CP)3 4. Gx 3 UE1,3 5. (y)(Hy → Iy) 2,4 MPP1 6. (x)Gx → (y)(Hy → Iy) 3,5 CP
4. (x)Jx → (y)Ky |– (x)[Jx → (y)Ky]
1 1. (x)Jx → (y)Ky A (x)[Jx → (y)Ky]
2 2. Jx → (y)Ky A (1 EE) 2 3. (x)[Jx → (y)Ky] 2 EI 1 4. (x)[Jx → (y)Ky] 1,2,3 EE
5. (x)Lx → (y)My |– (x)[Lx → (y)My]
1 1. (x)Lx → (y)My A (x)[Lx → (y)My]
2 2. Lx A (CP)2 3. (x)Lx 2 EI 1,2 4. (y)My 1,3 MPP1 5. Lx → (y)My 2,4 CP1 6. (x)[Lx → (y)My] 5 UI
- 209 -
6. (x)(Nx → Ox) |– (x)[Px → [(y)(Py → Ny) → Ox]]
1 1. (x)(Nx → Ox) A (x)[Px → [(y)(Py → Ny) → Ox]]
2 2. Px A (CP)3 3. (y)(Py → Ny) A (CP)3 4. Px → Nx 3 UE2,3 5. Nx 2,4 MPP1 6. Nx → Ox 1 UE1,2,3 7. Ox 5,6 MPP1,2 8. (y)(Py → Ny) → Ox 3,7 CP1 9. Px → [(y)(Py → Ny) → Ox] 2,8 CP1 10. (x)[Px → [(y)(Py → Ny) → Ox]] 9 UI
7. (x)(Qx → Rx), (x)(Sx → Tx) |– (x)(Rx → Sx) → (y)(Qy → Ty)
1 1. (x)(Qx → Rx) A2 2. (x)(Sx → Tx) A
(x)(Rx → Sx) → (y)(Qy → Ty) 3 3. (x)(Rx → Sx) A (CP)1 4. Qz → Rz 1 UE2 5. Sz → Tz 2 UE3 6. Rz → Sz 3 UE1,3 7. Qz → Sz 4,6 SI HS1,2,3 8. Qz → Tz 7,5 SI HS1,2,3 9. (y)(Qy → Ty) 8 UI1,2 10. (x)(Rx → Sx) → (y)(Qy → Ty) 3,9 CP
8. (x)Ux → (y)[(Uy ˅ Vy) → Wy], (x)Ux ˄ (x)Wx |– (x)(Ux ˄ Wx)
1 1. (x)Ux → (y)[(Uy ˅ Vy) → Wy] A 2 2. (x)Ux ˄ (x)Wx A (x)(Ux ˄ Wx) 2 3. (x)Ux 2 ˄E 1,2 4. (y)[(Uy ˅ Vy) → Wy] 1,3 MPP5 5. Uy A (3 EE)1,2 6. (Uy ˅ Vy) → Wy 4 UE5 7. Uy ˅ Vy 5 ˅I1,2,5 8. Wy 6,7 MPP1,2,5 9. Uy ˄ Wy 5,8 ˄I1,2,5 10. (x)(Ux ˄ Wx) 9 EI 1,2 11. (x)(Ux ˄ Wx) 3,5,10 EE
9. (x)Xx → (y)(Yy → Zy) |– (x)(Xx ˄ Yx) → (y)(Xy ˄ Zy)
1 1. (x)Xx → (y)(Yy → Zy) A (x)(Xx ˄ Yx) → (y)(Xy ˄ Zy) 2 2. (x)(Xx ˄ Yx) A (CP) 3 3. Xx ˄ Yx A (2 EE) 3 4. Xx 3 ˄E3 5. (x)Xx 4 EI 2 6. (x)Xx 2,3,5 EE 1,2 7. (y)(Yy → Zy) 1,6 MPP8 8. Xx ˄ Yx A (2 EE)
- 210 -
8 9. Xx 8 ˄E8 10. Yx 8 ˄E1,2 11. Yx → Zx 7 UI1,2,8 12. Zx 10,11 MPP1,2,8 13. Xx ˄ Zx 9,12 ˄I1,2,8 14. (y)(Xy ˄ Zy) 13 EI 1,2 15. (y)(Xy ˄ Zy) 2,6,14 EE 1 16. (x)(Xx ˄ Yx) → (y)(Xy ˄ Zy) 2,15 CP
10. (x)Ax → (y)(By → Cy), (x)Dx → (x)By |– (x)(Ax ˄ Dx) → (y)Cy
1 1. (x)Ax → (y)(By → Cy) A 2 2. (x)Dx → (x)By A (x)(Ax ˄ Dx) → (y)Cy3 3. (x)(Ax ˄ Dx) A (CP) 4 4. Ax ˄ Dx A (3 EE) 4 5. Ax 4 ˄E4 6. (x)Ax 4 EI 1,4 7. (y)(By → Cy) 2,3,5 EE8 8. Dx 1,6 MPP8 9. (x)Dx 4 ˄E 8 10. (x)By 8 EI 11 11. By A 1,2,8 12. By → Cy 7 UE1,2,8,11 13. Cy 11,12 MPP1,2,8,11 14. (y)Cy 13 EI 1,2,8 15. (y)Cy 10,11,14 EE 1,2 16. (y)Cy 3,4,15 EE 1 17. (x)(Ax ˄ Dx) → (y)Cy 3,16 CP
11. (x)(y)(Ex ˅ Fy) |– (x)Ex ˅ (y)Fy
1 1. (x)(y)(Ex ˅ Fy) A 2 2. ¬(x)Ex A (x)Ex ˅ (y)Fy 3 3. (x)(Ex ˅ Fy) A (1 EE) 2 4. (x)¬Ex 2 QE 5 5. ¬Ex A (4 EE) 3 6. Ex ˅ Fy 3 UE 3,5 7. Fy 5,6 SI DS3,5 8. (y)Fy 7 EI 1,2 9. (y)Fy 1,3,8 EE 1,2 10. (y)Fy 4,5,9 EE 1 11. ¬(x)Ex → (y)Fy 2,10 CP 1 12. (x)Ex ˅ (y)Fy 11 impl
12. (x)Gx ˅ (y)(Gy → Hy), (x)(Ix → ¬Gx) |– (x)(Gx → Ix) → (y)(Gy → Hy)
1 1. (x)Gx ˅ (y)(Gy → Hy) A 2 2. (x)(Ix → ¬Gx) A (x)(Gx → Ix) → (y)(Gy → Hy)3 3. Gz ˅ (y)(Gy → Hy) A (1 EE)
- 211 -
2 4. Iz → ¬Gz 2 UI5 5. (x)(Gx → Ix) A (CP)5 6. Gz → Iz 5 UI2,5 7. Gz → ¬Gz 6,4 SI HS2,5 8. ¬Gz ˅ ¬Gz 7 imp2,5 9. ¬Gz 8 taut2,3,5 10. (y)(Gy → Hy) 3,9 SI DS2,3 11. (x)(Gx → Ix) → (y)(Gy → Hy) 5,11 CP1,2 12. (x)(Gx → Ix) → (y)(Gy → Hy) 1,3,11 EE
13. (x)Jx ˅ (y)Ky, (x)(Jx → Kx) |– (y)Ky
1 1. (x)Jx ˅ (y)Ky A 2 2. (x)(Jx → Kx) A (y)Ky3 3. ¬(y)Ky A (RAA) 1,3 4. (x)Jx 1,3 DS 5 5. Jz A (4 EE)2 6. Jz → Kz 2 UE2,5 7. Kz 5,6 MPP2,5 8. (y)Ky 7 EI 1,2,3 9. (y)Ky 4,5,8 EE 1,2,3 10. ¬(y)Ky ˄ (y)Ky 3,9 ˄I 1,2 11. (y)Ky 3,10 RAA
14. (x)(Lx → Mx), (x)(Mx → Nx) |– (x)Lx → (y)Ny
1 1. (x)(Lx → Mx) A 2 2. (x)(Mx → Nx) A
(x)Lx → (y)Ny3 3. (x)Lx A (CP) 4 4. Lz A (3 EE)1 5. Lz → Mz 1 UE 2 6. Mz → Nz 2 UE 1,2 7. Lz → Nz 5,6 HS 1,2,4 8. Nz 4,7 MPP1,2,4 9. (y)Ny 8 EI 1,2,3 10. (y)Ny 3,4,9 EE 1,2 11. (x)Lx → (y)Ny 3,10 CP
15. (x){Ox → [(y)(Py → Qy) → Rx]}, (x){Rx → [(y)(Py ˄ Sy) → Tx]} |– (y)[Py → (Qy ˄ Sy)] → (x)(Ox → Tx)
1 1. (x){Ox → [(y)(Py → Qy) → Rx]} A2 2. (x){Rx → [(y)(Py ˄ Sy) → Tx]} A (y)[Py → (Qy ˄ Sy)] → (x)(Ox → Tx) 3 3. (y)[Py → (Qy ˄ Sy)] A (CP) |– (x)(Ox → Tx) 4 4. Ox A (CP) |– Tx1 5. Ox → [(y)(Py → Qy) → Rx] 1 UE 1,4 6. (y)(Py → Qy) → Rx 4,5 MPP3 7. Py → (Qy ˄ Sy)] 6 UE3 8. (Py → Qy) ˄ (Py → Sy)] 7 SI Dist3 9. Py → Qy 8 ˄E3 10. (y)(Py → Qy) 7 UI
- 212 -
1,3,4 11. Rx 6,10 MPP2 12. Rx → [(y)(Py ˄ Sy) → Tx] 2 UE1,2,3,4 13. (y)(Py ˄ Sy) → Tx 11,12 MPP3 14. (Py → Sy) 8 ˄E3 15. (y)(Py ˄ Sy) 14 UI1,2,3,4 16. Tx 9,15 MPP1,2,3 17. Ox → Tx 4,16 CP1,2,3 18. (x)(Ox → Tx) 17 UI1,2 19. (y)[Py → (Qy ˄ Sy)] → (x)(Ox → Tx 3,18 CP
16. (x)[Ux ˄ (y)(Vy → Wy)], (x)[Ux → [(y)(Xy ˄ Wy) → Yx]] |– (y)(Xy ˄ Vy) → (x)Yx
1 1. (x)[Ux ˄ (y)(Vy → Wy)] A 2 2. (x)[Ux → [(y)(Xy ˄ Wy) → Yx]] A (y)(Xy ˄ Vy) → (x)Yx3 3. (y)(Xy ˄ Vy) A (CP) 4 4. Xz ˄ Vz A (3 EE)5 5. Uw ˄ (y)(Vy → Wy) A (1 EE) 5 6. Uw 5 ˄E5 7. (y)(Vy → Wy) 5 ˄E2 8. Uw → [(y)(Xy ˄ Wy) → Yw] 2 UE 2,5 9. (y)(Xy ˄ Wy) → Yw 6,8 MPP 5 10. Vz → Wz 7 UE4 11. Vz 4 ˄E4,5 12. Wz 10,11 MPP4 13. Xz 4 ˄E4,5 14. Xz ˄ Wz 12,13 ˄I4,5 15. (y)(Xy ˄ Wy) 14 EI 2,4,5 16. Yw 9,15 MPP2,4,5 17. (x)Yx 16 EI 1,2,4 18. (x)Yx 1,5,17 EE 1,2,3 19. (x)Yx 3,4,18 EE 1,2 20. (y)(Xy ˄ Vy) → (x)Yx 3,19 CP
17. (x)[Cx → [(y)Dy → Ex]], (x)[Ax → [(y)By → Cx]] |– (x)(Bx ˄ Fx) → [(y)(Fy→ Dy) → (z)(Az → Ez)]
1 1. (x)[Ax → [(y)By → Cx]] A 2 2. (x)[Cx → [(y)Dy → Ex]] A (x)(Bx ˄ Fx) → [(y)(Fy→ Dy) → (z)(Az → Ez)]3 3. (x)(Bx ˄ Fx) A (CP) 4 4. (y)(Fy → Dy) A (CP)5 5. Bw ˄ Fw A (3 EE)1 6. Au → [(y)By → Cu] 1 UE 2 7. Cu → [(y)Dy → Eu] 2 UE 4 8. Fw → Dw 4 UE5 9. Fw 5 ˄E4,5 10. Dw 8,9 MPP4,5 11. (y)Dy 10 EI 2 12. [Cu ˄ (y)Dy] → Eu 7 Exp 2 13. [(y)Dy ˄ Cu] → Eu 12 SI com 2 14. (y)Dy → (Cu → Eu) 13 SI exp
- 213 -
2,4,5 15. Cu → Eu 11,14 MPP 5 16. Bw 5 ˄E5 17. (y)By 16 EI 1 18. [Au ˄ (y)By] → Cu 6 SI exp 1 19. [(y)By ˄ Au] → Cu 18 SI com 1 20. (y)By → (Au → Cu) 19 SI exp 1,5 21. Au → Cu 17,20 MPP 1,2,4,5 22. Au → Eu 21,15 SI HS 1,2,4,5 23. (z)(Az → Ez) 22 UI1,2,3,4 24. (z)(Az → Ez) 3,5,23 EE1,2,3 25. (y)(Fy → Dy) → (z)(Az → Ez) 4-24 CP1,2 26. (x)(Bx ˄ Fx) → [(y)(Fy→ Dy) → (z)(Az → Ez)] 3-25 CP
18. (x)(y)(Gx ˄ Hy) |– (x)Gx ˄ (y)Hy
1 1. (x)(y)(Gx ˄ Hy) A (x)Gx ˄ (y)Hy
2 2. (x)(Gx ˄ Hy) A (1 EE) 2 3. Gx ˄ Hy 2 UE2 4. Gx 3 ˄E2 5. (x)Gx 4 UI2 6. Hy 3 ˄E2 7. (y)Hy 6 EI 2 8. (x)Gx ˄ (y)Hy 5,7 ˄I 1 9. (x)Gx ˄ (y)Hy 1,2,8 EI
19. (x)(y)(Ix ↔ Jy) |– (y)(x)(Ix ↔ Jy)
1 1. (x)(y)(Ix ↔ Jy) A (y)(x)(Ix ↔ Jy)
2 2. (y)(Ix ↔ Jy) A (1 EI)2 3. Ix ↔ Jy 2 UI2 4. (x)(Ix ↔ Jy) 3 UI 2 5. (x)(Ix ↔ Jy 1,2,4 EE 1 6. (y)(x)(Ix ↔ Jy) 5 UI
20. (x)(y)(Kx ˄ Ly) |– (y)(x)(Kx ˄ Ly)
1 1. (x)(y)(Kx ˄ Ly) A (y)(x)(Kx ˄ Ly)
2 2. (x)(Kx ˄ Ly) A (1 EE)2 3. (y)(x)(Kx ˄ Ly) 2 EI 1 4. (y)(x)(Kx ˄ Ly) 1,2,3 EI
Slovné úlohy
v. C. 1. (x)[Px → (y)(Ny ˄ Oy)] 2. (x)(Px → Nx) 3. (x)¬Px → (y)(Ny → ¬Oy) 4. (x)[[Px ˄ (y)(Py → ¬Oy)] → ¬Ux]
- 214 -
5. (x)[(Bx ˄ Zx) → Rx]. Parafráza: Všetky žlté banány sú zrelé . 6. (x)(Bx ˄ Zx) → (y)(By ˄ Ry) 7. (x)[(Bx ˄ Zx) → [(y)[(By ˄ Zy) → Ry] → Rx]] 8. (x)[(Bx ˄ Rx) → Zx] → (y)(Zy ˄ Ry) 9. (x)[(Ox ˄ Px) → (Kx ˅ Mx)] → [(y)(Ky ˄ Py) ˅ (z)(Mz ˄ Pz)] 10. (x)[(Mx ˄ Px) → [(y)(By → ¬Py) ˅ Bx]] 11. (x)(Mx ˄ Px) → [(y)((My ˄ Py) → Fy) → (z)(Fz ˄ Pz)] 12. (x)[(Sx ˄ Px) → [(y)[(Sy ˄ Py) → Fy] → Fx]]. Parafráza: ak sú všetci športovci, ktorý sú
prítomní futbalisti, potom sú to futbalisti. 13. (x)[(Px → Sx) ˄ (Px → Zx)] → [(y)(Py) → (z)(Zz ˄ Sz)] 14. (x)[(Px ˄ Zx) → [(y)(Zy → Sy) → Sx]] 15. (x)[[(Px) ˄ (y)(Py → Zy)] → Zx] 16. [(x)(Px → Bx) ˄ (y)(Zy → ¬Ly)] → (z)(Zz ˄ Uz) 17. (x)[(Zx ˄ Lx) → [(y)(Py ˄ ¬By) → ¬Ux]] 18. [(x)(Zx ˄ Lx) ˄ (y)(Py ˄ ¬By)] → (z)(Zz ˄ ¬Uz) 19. (x)(Mx ˄ ¬Ux) → [(y)(Zy → Ay) → (z)(Zz ˄ Sz)] 20. (x)[(Mx ˄ ¬Ux) → [(y)(Zy ˄ Ay) → Nx]]
v. D. 1.
1 1. (x)(Ax → ¬Cx) A Wa → [(x)(Wx → Cx) → ¬Aa] 2 2. Wa A (CP)3 3. (x)(Wx → Cx) A (CP)3 4. Wa → Ca 3 UI2,3 6. Ca 3,5 MP1 7. Aa → ¬Ca 1 UI1.2,3 8. ¬Aa 6,7 MT2,3 Wa ˄ (x)(Wx → Cx) 2,3 ˄I1 9. [Wa ˄ (x)(Wx → Cx)] → ¬Aa 2,8 CP1 10. Wa → [(x)(Wx → Cx) → ¬Aa] 9 exp
2.
1 1. (x)(Px → Gx) A (x)[[(Dx˄Ex) ˄ (y)[(Dy ˄ Ey)→¬Gy]]→¬Px] 2 2. (Dx ˄ Ex) ˄ (y)[(Dy ˄ Ey) → ¬Gy] A (CP)2 3. Dx ˄ Ex 2 ˄E2 4. (y)[(Dy ˄ Ey) → ¬Gy] 2 ˄E2 5. (Dx ˄ Ex) → ¬Gx 4 UI2 6. ¬Gx 3,5 MP1 7. Px → Gx 1 UI1,2 8. ¬Px 6,7 MT1 9. [(Dx ˄ Ex) ˄ (y)[(Dy ˄ Ey) → ¬Gy]] → ¬Px 2,8 CP1 10. (x)[[(Dx ˄ Ex) ˄ (y)[(Dy ˄ Ey) → ¬Gy]] → ¬Px] 9 UI
3.
1 1. (x)(Ax → Gx) A2 2. (x)(Cx → Hx) A (x)(Gx → Cx) → (y)(Ay → Hy)
- 215 -
1 3. Az → Gz 1 UE2 4. Cz → Hz 2 UE5 5. (x)(Gx → Cx) A (CP)5 6. Gz → Cz 5 UE2,5 7. Gz → Hz 6,4 HS1,2,5 8. Az → Hz 3,7 HS1,2,5 9. (y)(Ay → Hy) 8 UI1,2 10. (x)(Gx → Cx) → (y)(Ay → Hy) 5,9 CP
4.
1 1. (x)Gx → (y)(Cx → Gx) A 2 2. (x)(Px ˄ Tx) → (y)(Gy → Ty) A
(x)[Px ˄ (Tx ˄ Gx)] → (y)(Cy → Ty) 3 3. (x)[Px ˄ (Tx ˄ Gx)] A (CP) |– (y)(Cy → Ty) 4 4. Pu ˄ (Tu ˄ Gu) A (3 EE) 4 5. Gu 4 ˄E 4 6. (x)Gx 5 EI 4 7. Pu ˄ Gu 4 ˄E 4 8. (x)(Px ˄ Gx) 7 EI 1,4 9. (y)(Cx → Gx) 1,6 MPP 2,4 10. (y)(Gy → Ty) 2,8 MPP 1,4 11. Cw → Gw 9 UE 2,4 12. Gw → Tw 10 UE 1,2,4 13. Cw → Tw 11,12 SI DS1,2,4 14. (y)(Cy → Ty) 13 UI1,2,3 15. (y)(Cy → Ty) 3,4,14 EE1,2 16. (x)[Px ˄ (Tx ˄ Gx)] → (y)(Cy → Ty) 3,15 CP
5.
1 1. (x)[(Cx ˄ Bx) → (Dx ˄ Rx)] A (x)[(Cx ˄ Nx) → [(y)[(Cy ˄ Ny) → By] → Dx]]
1 2. (Cx ˄ Bx) → (Dx ˄ Rx) 1 UE 3 3. Cx ˄ Nx A (CP) 4 4. (y)[(Cy ˄ Ny) → By] A (CP) 4 5. (Cx ˄ Nx) → Bx 4 UE 3,4 6. Bx 3,5 MP 3 7. Cx 3 ˄E 3,4 8. Cx ˄ Bx 7,6 ˄I 1,3,4 9. Dx ˄ Rx 2,8 MP 1,3,4 10. Dx 9 ˄E 1,3 11. (y)[(Cy ˄ Ny) → By] → Dx 4,10 CP 1 12. (Cx ˄ Nx) → [(y)[(Cy ˄ Ny) → By] → Dx] 3,11 CP 1 13. (x)[(Cx ˄ Nx) → [(y)[(Cy ˄ Ny) → By] → Dx]] 12 UI
6.
1 1. (x)(Gx → Ex) ˅ (y)(Gy ˄ Cy) A 2 2. (x)[(Px ˄ Hx) → ¬Cx] A
(x)[Gx → (Hx ˄ Px)] → (x)(Gx → Ex) 3 3. (x)[Gx → (Px ˄ Hx)] A (CP)4 4. (x)(Gx → Ex) ˅ (Gz ˄ Cz) A (1 EE)
- 216 -
5 5. Gw A (CP)2 6. (Pw ˄ Hw) → ¬Cw 2 UE3 7. Gw → (Pw ˄ Hw) 3 UE3,5 8. Pw ˄ Hw 5,7 MP2,3,5 9. ¬Cw 6,8 MP2,3 10. Gw → ¬Cw 5,9 CP2,3 11. ¬Gw ˅ ¬Cw 10 imp2,3 12. ¬(Gw ˄ Cw) 11 SI DM2,3 13. (x)¬(Gx ˄ Cx) 12 UI2,3 14. ¬(Gz ˄ Cz) 13 UI2,3,4 15. (x)(Gx → Ex) 4,14 DS1,2,3 16. (x)(Gx → Ex) 1,4,15 EE1,2 17. (x)[Gx → (Hx ˄ Px)] → (x)(Gx → Ex)
3,16 CP
7.
1 1. (x)[(Bx ˄ Px) → Wx] A2 2. (x)(Wx → Cx) A3 3. (x)(Cx ˄ ¬Lx) → (y)(Py → ¬Cy) A
(x)(Wx ˄ ¬Lx) → (y)(By → ¬Py) 4 4. (x)(Wx ˄ ¬Lx) A (CP) |– (y)(By → ¬Py) 5 5. Wx ˄ ¬Lx A (4 EE) 5 6. Wx 5 ˄E5 7. ¬Lx 5 ˄E2 8. Wx → Cx 2 UE2,5 9. Cx 6,8 MPP2,5 10. Cx ˄ ¬Lx 9,7 ˄I2,5 11. (x)(Cx ˄ ¬Lx) 10 EI 2,4 12. (x)(Cx ˄ ¬Lx) 4,5,11 EE 2,3,4 13. (y)(Py → ¬Cy) 3,12 MPP2,3,4 14. Px → ¬Cx 13 UE1 15. (Bx ˄ Px) → Wx 1 UE2 16. Wx → Cx 2 UE1,2 17. (Bx ˄ Px) → Cx 15,16 HS2,3,4 18. Cx → ¬Px 14 transp1,2,3,4 19. (Bx ˄ Px) → ¬Px 17,18 HS1,2,3,4 20. Bx → (Px → ¬Px) 19 exp1,2,3,4 21. Bx → (¬Px ˅ ¬Px) 20 mat imp1,2,3,4 22. Bx → ¬Px 21 taut1,2,3,4 23. Px → ¬Bx 22 transp1,2,3,4 24. (y)(Py → ¬By) 23 UI1,2,3,4 25. (y)(By → ¬Py) 24 transp1,2,3 26. (x)(Wx ˄ ¬Lx) → (y)(By → ¬Py) 4,25 CP
8.
1 1. (x)[Rx → (Sx ˅ Mx)2 2. (x)[(Ux ˄ Rx) → ¬Sx]
(x)(Ux → Rx) → (y)(Uy → My) 3 3. (x)(Ux → Rx) A |– (y)(Uy → My)4 4. Uz A |– Mz
- 217 -
3 5. Uz → Rz 3 UE3,4 6. Rz 4,5 MPP3,4 7. Uz ˄ Rz 4,6 ˄I2 8. (Uz ˄ Rz) → ¬Sz 2 UE2,3,4 9. ¬Sz 7,8 MPP1 10. Rz → (Sz ˅ Mz) 1 UE1,3,4 11. Sz ˅ Mz 6,10 MPP1,2,3,4 12. Mz 9,11 SI DS1,2,3 13 Uz → Mz 4,12 CP1,2,3 14. (y)(Uy → My) 13. UI1,2 15. (x)(Ux → Rx) → (y)(Uy → My) 3,14 CP
9.
1 1. (x)[[(Wx ˄ Lx) → Ix] → [(Sx ˄ Wx) → ¬Lx]] (x)[(Wx ˄ Ix) → [(y)(Wy → Sy) → ¬Lx]]
2 2. Wx ˄ Ix A (CP) |– (y)(Wy→Sy) → ¬Lx 3 3. (y)(Wy → Sy) A (CP) |– ¬Lx3 4. Wx → Sx 3 UE2 5. Wx 2 ˄E2,3 6. Sx 4,5 MPP1 7. [(Wx ˄ Lx) → Ix] → [(Sx ˄ Wx) → ¬Lx] 1 UE1 8. [Lx → (Wx → Ix)] → [(Sx ˄ Wx) → ¬Lx] 7 com, exp2 9. Ix 2 ˄E2 10. Ix ˅ ¬Wx 9 ˅I2 11. ¬Wx ˅ Ix 10 com2 12. Wx → Ix 11 mat imp2 13. (Wx → Ix) ˅ ¬Lx 12 ˅I2 14. ¬Lx ˅ (Wx → Ix) 13 com2 15. Lx → (Wx → Ix) 14 mat imp1,2 16. (Sx ˄ Wx) → ¬Lx 8, 15 MPP2,3 17. Sx ˄ Wx 6,5 ˄I1,2,3 18. ¬Lx 16,17 MPP1,2 19. (y)(Wy → Sy) → ¬Lx 3,18 CP1 20. (Wx ˄ Ix) → [(y)(Wy → Sy) → ¬Lx] 2,19 CP1 21. (x)[(Wx ˄ Ix) → [(y)(Wy → Sy) → ¬Lx]] 20 EI
10.
1 1. (x)[(Jx ˄ Mx) → [(y)(Sy → Hy) → Rx]] A2 2. (x)(Sx ˄ Hx) → (y)(Sy → Hy) A
(x)[(Jx ˄ Mx) → [(y)(Sy ˄ Hy) → Rx]] 1 3. (Jx ˄ Mx) → [(y)(Sy → Hy) → Rx] 1 UE4 4. Jx ˄ Mx A (CP) |– (y)(Sy ˄ Hy) → Rx] 1,4 5. (y)(Sy → Hy) → Rx 3,4 MPP6 6. (y)(Sy ˄ Hy) A (CP) |– Rx 7 7. Sy ˄ Hy A (6 EE) 7 8. (x)(Sx ˄ Hx) 7 EI 6 9. (x)(Sx ˄ Hx) 6,7,8 EE 2,6 10. (y)(Sy → Hy) 2,9 MPP1,2,4,6 11. Rx 5,10 MPP1,2,4 12. (y)(Sy ˄ Hy) → Rx 6,11 CP 1,2 13. (Jx ˄ Mx) → [(y)(Sy ˄ Hy) → Rx] 4,12 CP
- 218 -
1,2 14. (x)[(Jx ˄ Mx) → [(y)(Sy ˄ Hy) → Rx]] 13 UI 11.
1 1. (x)Lx → (y)(Py → Ly) 2 2. (x)Hx → (y)(Ly → Hy)
(x)(Hx ˄ Lx) → (y)(Py → Hy) 3 3. (x)(Hx ˄ Lx) A (CP) 4 4. Hx ˄ Lx A (3 EE) 4 5. Hx 4 ˄E4 6. Lx 4 ˄E4 7. (x)Hx 5 EI 4 8. (x)Lx 6 EI 4 9. (x)Hx ˄ (x)Lx 7,8 ˄I 3 10. (x)Hx ˄ (x)Lx 3,4,9 EI 3 11. (x)Hx 10 ˄E 3 12. (x)Lx 10 ˄E 2,3 13. (y)(Ly → Hy) 2,11 MP1,2,3 14. (y)(Py → Ly) 1,12 MP1,2,3 15. Lx → Hx 13 UE1,2,3 16. Px → Lx 14 UE1,2,3 17. Px → Hx 15,16 HS1,2,3 18. (y)(Py → Hy) 17 UI1,2 19. (x)(Hx ˄ Lx) → (y)(Py → Hy) 3-18 CP
12.
1 1. (x){Lx → [(y)(Py → Vy) → Mx]}2 2. (x)(Pz ˄ Vz) → (y)(Py → Vy)
(x)Lx → [(z)(Pz ˄ Vz) → (y)My] 3 3. (x)Lx A (CP) |– (z)(Pz ˄ Vz) → (y)My 4 4. (z)(Pz ˄ Vz) A (CP) |– (y)My2,4 5. (y)(Py → Vy) 2,4 MPP6 6. Lu A (3 EE)1 7. Lu → [(y)(Py → Vy) → Mu] 1 UE1,6 8. (y)(Py → Vy) → Mu 6,7 MPP1,2,4,6 9. Mu 5,8 MPP1,2,4,6 10. (y)My 9 EI 1,2,3,4 11. (y)My 3,6,10 EE 1,2,3 12. (z)(Pz ˄ Vz) → (y)My 4,11 CP 1,2 13. (x)Lx → [(z)(Pz ˄ Vz) → (y)My] 3,12 CP
vi. Narábanie s reláciami
vi. A. 1. Kt 2. ¬Kr 3. (x)(Jx Ox)4. (x)(Jx Ox)5. (x)(Ox Sx)
- 219 -
6. (x)(Hx ¬Ox)7. (x)(Jx ¬Ox) 8. Pf Of9. Zmn 10. (x)Zxn 11. (x)Znx12. (x)(y)Zxy13. (x)Zxx14. (x)Zxx15. (x)(y)Zxy16. (x)(y)Zxy 17. (x)Mxls18. (x)(Žx y)(Py Vxy))19. (x)(Dx (y)(Šy Rxy))20. (x)(Mx Vx → (y)(Gy Uxy))21. (x)((Gx Mx) (y)(Vy → Uyx)) 22. (x)(Šx Ix Rmx)23. (x)(Rx Šx → (y)(Dy Ryx))24. (x)(y)((Cx Šy) (y)(Rxy → By))25. (x)(Dx (y)((Šy By) → ¬Rxy))26. (x)(y)((Cx Šy) (y)(Rxy → ¬By))
vi. C. 1. (x)Zjx2. (x)Axj 3. (x)(Ox˄Zjx)4. (x)(Px˄Zxj)
vi. D. 1 (x)(Mx → ¬Kfx) 2 (x)(Mx → ¬Kxf) 3 (x)(Px ˄ (y)(My → Zxy))
4 (x)(Mx ˄ (y)(Py → Zxy)) 5 (x)(Px → (y)(My ˄ Zxy))
6 Rbj ˄ ¬Rbb 7 (x)((Šx ˄ Px) ˄Zxb) 8 Dg → (x)(Vgx → Zgx) 9 Vgb ˄ (x)¬Vxg alebo Vgb ˄ ¬(x)Vxg 10 (x)(Rgx→ ¬Rxg) alebo ¬(x)(Rgx ˄ Rxg)
vi. E. 1 (x)[(Rx ˄ Mx) → (y)(Py → ¬Hxy)] alebo v prenexnej forme (x)(y)[(Mx ˄ Rx ˄ Py) →
¬Hxy],
- 220 -
2 (x)(y)[(Ax ˄ Hxx) → (Kyx ˄ By)] Parafráza: Všetky advokáti, ktorí sa hlásia k vlastnému prípadu, majú svojich klientov za bláznov.
3 (x)(y)[(¬Zx ˄ Lx ˄ Zy ˄ Py) → Nxy]4 (x)(y)[(Hx ˄ Ky ˄ Nxy) → ¬Lx]. Parafráza: Všetky hlavy, ktoré majú aspoň jednu korunu,
sa neľahko udržujú.5 (x)Rx → (y)(Ty ˄ Mxy)6 (x)[[Cx ˄ (y)(Hxy → Ky)] → (z)[Hxy → (u)¬Vuz]]. Parafráza: U všetkých chlapcov, ktorí
všetko čo povedia, predstavuje klamstvo, všetkému čo povedia, neuverí nikto. V prenexnom tvare (x)(y)(z)(u)[[Cx ˄ (Hxy → Ky)] → (Hxy → ¬Vuz)]
7 (x)(y)[(Ox ˄ Sy ˄ Kxy) → Mx]. Pozor – ide o aspoň jedného psychiatra. Inak, keď Mx premeníme na jemnejšiu formu – Hx: x je hlava, a Vxy: x sa má vyšetriť zo strany y – dostaneme (x)(y)(z)[(Ox ˄ Sy ˄ Kxy ˄ Hz) → Vzy].
8 (x)(y)[(Ox → ¬Uxy) ˅ Nxyx]. Parafráza: Všetci ktorí vedia (naučili sa) aspoň jednu vec, naučili sa ju od seba samých.
9 (x)(y)[(Rxd ˄ Py) → (Nyx] ˄ ( x)(y)[(Rxd ˄ Cy) → Nxy]. Parafráza: Pre všetky prsty Dalily, a každé cesto, existuje aspoň jeden prsteň na prste a aspoň jeden prst strčený v každom ceste.
10 (x)(y)(z)[(Čx ˄ Dy ˄ Pz ˄ Nxy ˄ Nxz) → ¬Zx] 11 (x){Ox → [(y)Dxy → (z)(Oz → Zzx)]}. Parafráza: Všetkým tým ktorí dokončia aspoň
jednu vec, budú všetci závidieť (samozrejme, vrátane závisti voči sebe samým!). 12 (x)(y)(z)[(Ox ˄ Ry ˄ Lz ˄ Cxy) → Mxz]13 (x)(y)[(Šx ˄ Py) → Sxy] ˄ ¬(x)(y)(Šx ˄ Py ˄ Sxy). Parafráza: Všetci študenti spôsobili
aspoň jeden (ten či ten) problém, ale nie je pravda to, že existuje jeden študent, ktorý ich spôsobil všetky. Druhý konjunkt by sa dal prečítať aj ako (x)(y)[(Šx ˄ Py) → ¬Sxy]
14 (x)(y)(z)[[(Sx ˄ Oy ˄ Cz ˄ Pyx) → Dxy] → (Bxz → Vxz)] Parafráza: Pre všetkých súťažiacich, ak odpovedali na všetky otázky, ktoré sú im položené, potom keď si cenu vybrali, tú cenu získajú.
15 (x)(y)[(Ox ˄ Mx ˄ Oy ˄ My) → Ryx] ˄ (x)(y)(Ox ˄ Mx ˄ Ry ˄ My ˄ ¬Rxy). Parafráza: Pre všetkých synov existuje práve osoba, ktorá je jeho otcom, a existuje otec, ktorý nemá žiadneho syna. Všetko by bolo jednoduchšie, keby sme medzi premenné pridali Cx: „x je otec y“ a Sx: „x je syn y“. Skúste prebrať aj túto možnosť.
16 (x){Ox →[(y)[Py ˄ Vxy ˄ (z)[(Oz ˄ Nzx) →Šyz]] → (u)(Ru ˄ Zxu)]]}. Parafráza: Všetci ľudia, ktorí majú aspoň jedného psa, ktorý šteká na všetkých návštevníkov jeho majiteľa, zapríčiňujú nepríjemnosti. V prenexnej forme by sme to mohli prečítať aj ako (x)(y)(z)(u)[(Ox ˄ Py ˄ Vxy ˄ Oz ˄ Nzx ˄ Šyz) → (Ru ˄ Zxu)]
17 (x)(y)(z)(w)[(Lx ˄ Vy ˄ Pz ˄ Cw ˄ Oxz ˄ ¬Mzw) → ¬Mxy]. Parafráza: Žiadni lekári, ktorí liečia aspoň jedného pacienta, ktorý nemá aspoň jednu chorobu, nemusia mať žiadne výčitky svedomia.
18 (x)(y)(z)(w)(u)[(Lx ˄ Oy ˄ Zxy ˄ Cz ˄ Myz ˄ Pw ˄ Ou) → (Mxw ˄ ¬Zuxw)]. Parafráza: Všetci lekári, ktorí ošetrujú aspoň jednu osobu, ktorá má všetky choroby, majú aspoň jeden taký prípad, ktorý by im nikto nezávidel.
19 (x)(y)(z)[(Fx ˄ Hy ˄ Cxy ˄ Vz) → (Kyz ˄ ¬Sz)]. Parafráza: Všetci farmári, ktorí držia iba sliepky, držia sliepky, ktoré znášajú vajcia, ktoré sa neoplatia.
vi. F. 1. (x)(y)(z)[(Ox ˄ Py) → Kxzy]. 2. (x)(y)(z)[(Px ˄ Oy) → Kyzx] 3. (x)(y)(z)[(Ox ˄ Py) → ¬Kxzy] 4. (x)(y)(z)[(Ox ˄ Py) → ¬Kxyz]
- 221 -
5. (x)(y)(z)[(Px ˄ Oy) → ¬Kyzx]. 6. (x)[Px → (y)[Oy → (z)[(w)Kwzx ˄ ¬Kyzx]]]. V prenexnej forme, (x)(y)(z)(w)[(Sx ˄ Py) → (Kwzx ˄ ¬Kyzx)]]. Toto je riešenie Copiho.31 Ďalší návrh riešenia je (x)(y)(z)[(Px ˄ Oz) → ¬Kzyx] – vlastne, aspoň jedna osoba kupuje aspoň jednu vec zo všetkých obchodov, ale nikto nekupuje aspoň jednu vec vo všetkých obchodoch. Inými slovami, všetky predajne majú aspoň jedného zákazníka, ale žiadna nemá všetkých ľudí ako zákazníkov.
vi. G. 1 (x)(y)(z)[(Ox ˄ Cy) → ¬Dxzy]. Parafráza: všetci ľudia nedarujú aspoň jednu vec každej
charite. 2 (x)(y)(z)[(Ox ˄ Ey ˄ Cz) → ¬Dxyz]. Pozor, peniaze sú s existenčným kvantifikátorom,
pretože nejde o darovanie všetkých peňazí.3 (x)(y)(z)[(Ox ˄ Ey ˄ Pyx ˄ Cz) → ¬Dxyz].4 (x)(y)(z)[(Ox ˄ Ey ˄ Pyx ˄ Cz) → ¬Dxyz].5 (x)(y)(z)[(Ox ˄ Pyx ˄ Cz) → ¬Dxyz].6 (x)(y)(z)[(Ox ˄ Cz) → ¬Dxyz].7 (x)(y)(z)[(Cx ˄ Ey ˄ Oz ˄ Pyx) → ¬Dzyx].8 (x)(y)(z)[(Cx ˄ Ey ˄ Oz ˄ Pyz) → ¬Dzyx]. 9 (x)(y)(z)[(Cx ˄ Oz) → ¬Dzyx]. Parafráza: žiadna charitatívna organizácia nedostáva
všetky dary, ktoré daruje akákoľvek jednotlivá osoba. Žiadna charita nie je jediným príjemcom darov, ktoré daruje akákoľvek jednotlivá osoba.
10 (x)(y)(z)(Cx → ¬Dzyx). Parafráza: Žiadna charitatívna organizácia nedostáva všetky dary, ktoré daruje každý darca
11 (x)(y)(z)(Cz ˄ ¬Ex ˄ Dyxz). Parafráza: Nie všetko, čo je darované ľubovoľnej charite, sú peniaze.
12 (x)(y)(z)(Ox ˄ Ey ˄ Cz ˄ Dxyz). 13 (x)(y)(z)(Ox ˄ Ey ˄ Pyx ˄ Cz ˄ Dxyz).14 (x)(y)(z)(Ox ˄ Pyx ˄ Cz ˄ Dxyz). 15 (x)(y)(z)(Ox ˄ Cz ˄ Dxyz).16 (x)(y)(z)(Cx ˄ Oz ˄ Dzyx). 17 (x)(y)(z)(Cx ˄ Dzyx). Nie len od osôb, ale aj od iných (napr. organizácií, firiem a pod.). 18 (x)(y)(z)(¬Cz ˄ Dyxz).19 (x)(y)(z)(Cz ˄ Dxyz).20 (x)(y)(z)(Cx → Dzyx).
vi. H.
1. A) to rovnaké dievča: (x)Dx ˄ (y)(Mx → Ryx)). B) iné dievča: (x)(Mx → (y)(Dy ˄ Rxy)).
2. (x)(Dx → ¬Rjx)3. jednú konkrétnu kosť:
(x)((Zx ˄ Px) → (x)(Ky ˄ Vxy)).
31 Copy, 1973, p. 323.
- 222 -
akúkoľvek kosť: (x)((Zx ˄ Px) → (y)(Ky → Vxy)). Asi skôr bude pravda v b).
4. (x)((Px ˄ ¬Čx) → Rx)5. a) všetci vegeteriáni sú ľudia...
(x)(Vx → (Lx ˄ Px)) b) 'všetci ľudia, ktorí hltajú orechové rezne, sú vegeteriáni' (x)((Lx ˄ Px) → Vx).
6. (x)((Ox ˄ (y)(Oy→ Rxy)) → Rxj)7. x)(Px ˄ Uxa ˄ Uxb)8. (x)((Px ˄ Uxa) → ¬Uxb)9. (x)((Px ˄ Uxb) → Bbx) 10. (x)((Px ˄ (y)(Ky ˄ Uxy)) → (z)(Sz ˄ Uzx))11. (x)((Px ˄ (y)(My ˄ Uxy)) ˄ (z)(Čz ˄ (w)((Hw ˄ Nzw) ˄ Uxz)))12. (x)((Mx ˄ ¬Zax) → Zbx) 13. (x)(Px ˄ (y)(My ˄ Uxy))14. (x)(Px → (y)(My → Nxy)), čo je ekvivalentné s
(x)(y)(Px → (My → Nxy)) a (x)(y)(Px ˄ My) → Nxy) 15. (x)(Px ˄ (y)(My ˄ Kxy)) čo je vlastne (x)(y)(Px ˄ My ˄ Kxy)16. (x)(Px ˄ Čx) ˄ (y)(My ˄ Čy).
vii. Relácie 1.
1 (1) (x)((x)Fyx → (z)Fxz) A
1 (2) (x)Fya → (z)Faz 1 UE
3 (3) Fba A
3 (4) y)Fya 3 EI
1,3 (5) (z)Faz 2,4 MPP
1,3 (6) Fab 5 UE
1 (7) Fba → Fab 3,6 CP
1 (8) (x)(Fbx → Fxb) 7 UI
1 (9) (y)(x)(Fyx → Fxy) 8 UI 2.
1 (1) x)(Fx ˄ (y)Gxy) A
2 (2) (x)(y)(Gxy → Gyx) A
3 (3) Fa ˄ (y)Gay A
2 (4) (y)(Gay → Gya) 2 UE
2 (5) Gab → Gba 4 UE
3 (6) Fa 3 ˄E
3 (7) (y)Gay 3 ˄E
3 (8) Gab 7 UE
2,3 (9) Gba 5,8 MPP
- 223 -
2,3 (10) (y)Gya 9 UI
2,3 (11) Fa ˄ (y)Gya 6,10 ˄I
2,3 (12) x)(Fx ˄ (y)Gyx) 11 EI
1,2 (13) x)(Fx ˄ (y)Gyx) 1,3,12 EE
3.
1 (1) x)¬(y)(Gxy → Gyx) A
2 (2) ¬(x)(y)(Gxy ˄ ¬Gyx) A (RAA)
3 (3) ¬(y)(Gay → Gya) A (1 EE)
3 (4) x)¬(Gay → Gya) 3 SI
5 (5) ¬(Gay → Gya) A (4 EE)
5 (6) Gab ˄ ¬Gba 5 Impl
5 (7) x)(Gax ˄ ¬Gxa) 4 EI
5 (8) x)(y)(Gxy ˄ ¬Gyx) 5 EI
2,5 (9) ¬(x)(y)(Gxy ˄ ¬Gyx) ˄ x)(y)(Gxy ˄ ¬Gyx) 2,8 ˄I
1,5 (10) x)(y)(Gxy ˄ ¬Gyx) 2,9 RAA
1 (11) x)(y)(Gxy ˄ ¬Gyx) 1,3,10 EE
1 (12) x)(y)(Gxy ˄ ¬Gyx) 4,5,11 EE
4. 1 (1) (x)(Gx → (y)(Fy → Hxy)) A
2 (2) (x)(Fx ˄ (z)¬Hxz) A
3 (3) (x)Gx A
4 (4) Fa ˄ (z)¬Haz A
4 (5) Fa 4 ˄E
4 (6) (z)¬Haz 4 ˄E
3 (7) Ga 3 UE
1 (8) Ga → (y)(Fy → Hay) 1 ˄E
1,3 (9) (y)(Fy → Hay) 7,8 MPP
1,3 (10) Fa → Haa 9 UE
1,3,4 (11) Haa 5,10 MPP
4 (12) ¬Haa 6 UE
1,3,4 (13) Haa ˄ ¬Haa 11,12 ˄I
1,4 (14) ¬(x)Gx 3,13 RAA
1,2 (15) ¬(x)Gx 2,4,14 EE 5. 1 (1) (x)(y)(Fxy → Gxy) A
2 (2) Faa A
1 (3) (y)(Fay → Gay) 1 UE
1 (4) Faa → Gaa 3 UE
- 224 -
1,2 (5) Gaa 2,4 MPP
1,2 (6) Gaa ˄ Faa 2,5 ˄I
1,2 (7) (x)(Gay ˄ Fya) 6 EI
1 (8) Faa → (x)(Gay ˄ Fya) 2,7 CP
1 (9) (x)(Fxx → (x)(Gxy ˄ Fyx)) 8 EI
6. a) (x)(y)Fxy |– (y)(x)Fxy 1 (1) (x)(y)Fxy A 1 (2) (y)Fay 1 UE 1 (3) Fab 2 UE 1 (4) (x)Fxb 3 UI 1 (5) (y)(x)Fxy 4 UI 7. a) (x)(y)Fxy |– (y)(x)Fxy 1 (1) (x)(y)Fxy A 2 (2) (y)Fay A 3 (3) Fab A 3 (4) (x)Fxb 3 EI 3 (5) (y)(x)Fxy 4 EI 2 (6) (y)(x)Fxy 2,3,5 EE 1 (7) (y)(x)Fxy 1,2,6 EE 8. 1 (1) (x)(y)Fxy A 2 (2) (y)Fay A 2 (3) Fab 2 UE 2 (4) (x)Fxb 3 EI 2 (5) (y)(x)Fxy 4 UI 1 (6) (y)(x)Fxy 1,2,5 EE 9.
1 (1) (x)(y)Lxy A
2 (2) (x)(y)(Lxy → Lyx) A
1 (3) y)Lay 1 UE
4 (4) Lab A (3 EE)
2 (5) (y)(Lay→Lya) 2 UE
2 (6) Lab→Lba 5 UE
2,4 (7) Lba 4,6 MPP
2,4 (8) (y)Lya 7 EI
1,2 (9) (y)Lya 1,3 EE(4)
1,2 (10) (x)(y)Lyx 9 UI
10
- 225 -
1 (1) (x)((y)Fyx → (z)Fxz) A
1 (2) y)Fya → (z)Faz 1 UE
3 (3) Fba A (CP)
3 (4) (y)Fya 3 EI
1,3 (5) (z)Faz 2,4 MPP
1,3 (6) Fab 5 EE
1 (7) Fba→Fab 3,6 CP
1 (8) (x)(Fbx→Fxb) 7 UI
1 (9) (y)(x)(Fyx→Fxy) 8 UI
11.
1 1. (x)(y)[(z)Ayz → Ayx] A 2 2. (y)(z)Ayz A
(x)(y)Ayx 3 3. (y)[(z)Ayz → Ayx] A 3 4. (z)Ayz → Ayx 3 UE 2 5. (y)Ayz 2 UE 2,3 6. Ayx 4,5 MPP 2,3 7. (y)Ayx 6 UI 2,3 8. (x)(y)Ayx 7 EI 1,2 9. (x)(y)Ayx 1,3,8 EE
12.
1 1. (x)[(y)Byz → (z)Bxz] A (y)(z)(Byz → Bzy)
2 2. Byz A (CP) 1 3. (x)[(y)Byx → Bxy 1 UE 1 4. (y)Byz → Bzy 3 UE 2 5. (y)Byz 2 EI 1,2 6. Bzy 4,5 MPP 1 7. Byz → Bzy 2,6 CP 1 8. (z)(Byz → Bzy) 7 UI 1 9. (y)(z)(Byz → Bzy) 9 UI
13.
1 1. (x)(Cax → Dxb) A2 2. (x)Dxb → (y)Dby A
(x)Cax → (y)Dby 3 3. (x)Cax A (CP) 4 4. Cax A (3 EE) 1 5. Cax → Dxb 1 UE1,4 6. Dxb 4,5 MPP1,4 7. (x)Dxb 6 EI 1,2,4 8. (y)Dby 2,7 MP
- 226 -
1,2,3 9. (y)Dby 3,4,8 EE 1,2 10. (x)Cax → (y)Dby 3,9 CP
14.
1 1. (x)[Ex → (y)(Fy → Gxy)] A 2 2. (x)[Ex ˄ (y)¬Gxy] A
(x)¬Fx 3 3. Ex ˄ (y)¬Gxy A (2 EE) 3 4. (y)¬Gxy 3 ˄E 5 5. ¬Gxy A (4 EE) 1 6. Ex → (y)(Fy → Gxy) 1 UE 3 7. Ex 3 ˄E 1,3 8. (y)(Fy → Gxy) 6,7 MPP 1,3 9. Fy → Gxy 8 UI 1,3,5 10. ¬Fy 5,9 MTT 1,3,5 11. (x)¬Fx 10 EI
1,3 12. (x)¬Fx 4,5,11 EE 1,2 13. (x)¬Fx 2,3,12 EE
15.
1 1. (x)[Hx ˄ (y)(Iy → Jxy)] A (x)(Hx → Ix) → (y)(Iy ˄ Jyy)
2 2. (x)(Hx → Ix) A |– (y)(Iy ˄ Jyy) 3 3. Ha ˄ (y)(Iy → Jay) A (1 EE) 3 4. Ha 3 ˄E 2 5. Ha → Ia 2 UE 2,3 6. Ia 4,5 MPP 3 7. (y)(Iy → Jay) 3 ˄E 3 8. Ia → Jaa 7 UE 2,3 9. Jaa 6,8 MPP 2,3 10. Ia ˄ Jaa 6,9 ˄I 2,3 11. (y)(Iy ˄ Jyy) 10 EI
1,2 12. (y)(Iy ˄ Jyy) 1,3,11 EE 1 13. (x)(Hx → Ix) → (y)(Iy ˄ Jyy) 2,12 CP
16.
1 1. (x)[Kx → [(y)Lxy → (z)Lzx]] A 2 2. (x)[(z)Lzx → Lxx] A 3 3. ¬(x)Lxx A
(x)(Kx → (y)¬Lxy) 4 4. Kx A (CP)3 5. (x)¬Lxx 3 QN3 6. ¬Lxx 5 UE2 7. (z)Lzx → Lxx 2 UE 2,3 8. ¬(z)Lzx 6,7 MTT 1 9. Kx → [(y)Lxy → (z)Lzx] 1 UE 1,4 10. (y)Lxy → (z)Lzx 4,9 MPP 1,2,3,4 11. ¬(y)Lxy 8,10 MTT
- 227 -
1,2,3,4 12. (y)¬Lxy 11 QN1,2,3 13. Kx → (y)¬Lxy 4,12 CP1,2,3 14. (x)(Kx → (y)¬Lxy) 13 UI
17.
1 1. (x)[Mx → (y)(Ny → Oxy)] A2 2. (x)[Px → (y)(Oxy → Qy)] A (x)(Mx ˄ Px) → (y)(Ny → Qy) 3 3. (x)(Mx ˄ Px) A (CP) 4 4. Mx ˄ Px A (3 EE)4 5. Mx 4 ˄E4 6. Px 4 ˄E1 7. Mx → (y)(Ny → Oxy) 1 UE2 8. Px → (y)(Oxy → Qy) 2 UE1,4 9. (y)(Ny → Oxy) 5,7 MPP2,4 10. (y)(Oxy → Qy) 6,8 MPP1,4 11. Ny → Oxy 9 UE2,4 12. Oxy → Qy 10 UE1,2,4 13. Ny → Qy 11,12 SI HS1,2,4 14. (y)(Ny → Qy) 13 UI1,2,3 15. (y)(Ny → Qy) 3,4,14 EE1,2,3 16. (x)(Mx ˄ Px) → (y)(Ny → Qy) 3,15 CP
18.
1 1. (x)[(Rx ˄ ¬Sx) → (y)(Txy ˄ Uy)] A 2 2. (x)[Vx ˄ Rx ˄ (y)(Txy → Vy)] A 3 3. (x)(Vx → ¬Sx) A (x)(Vx ˄ Ux) 4 4. Vx ˄ Rx ˄ (y)(Txy → Vy) A (2 EE)1 5. (Rx ˄ ¬Sx) → (y)(Txy ˄ Uy) 1 UE 3 6. Vx → ¬Sx 3 UE4 7. Vx 4 ˄E4 8. Rx 4 ˄E4 9. (y)(Txy → Vy) 4 ˄E3,4 10. ¬Sx 6,7 MPP3,4 11. Rx ˄ ¬Sx 8,10 ˄I1,3,4 12. (y)(Txy ˄ Uy) 5,11 MPP 13 13. Txy ˄ Uy A (12 EE)4 14. Txy → Vy 9 UI13 15. Txy 13 ˄E4,13 16. Vy 14,15 MPP13 17. Uy 13 ˄E4,13 18. Vy ˄ Uy 16,17 ˄I4,13 19. (x)(Vx ˄ Ux) 18 EI 1,3,4 20. (x)(Vx ˄ Ux) 12,13,19 EE 1,2,3 21. (x)(Vx ˄ Ux) 2,4,20 EE
19.
1 1. (x)(Wx → Xx) A2 2. (y)[(Yy ˄ Xy) → Zy] A3 3. (x)(y)(Yy ˄ Ayx) A
- 228 -
4 4. (x)(y)[(Ayx ˄ Zy) → Zx] A (x)[(y)(Ayx → Wy) → Zx]
5 5. (y)(Ayx → Wy) A (CP)6 6. (x)(Yy ˄ Ayx) A (3 EE)1 7. Wy → Xy 1 UE2 8. (Yy ˄ Xy) → Zy 2 UE4 9. (y)[(Ayx ˄ Zy) → Zx] 4 UE4 10. (Ayx ˄ Zy) → Zx 9 UE5 11. Ayx → Wy 5 UE6 12. Yy ˄ Ayx 6 UE6 13. Yy 12 ˄E6 14. Ayx 12 ˄E5,6 15. Wy 11,14 MPP1,5,6 16. Xy 7,15 MPP1,5,6 17. Yy ˄ Xy 13,16 ˄I1,2,5,6 18. Zy 8,17 MPP1,2,5,6 19. Ayx ˄ Zy 14,18 ˄I1,2,4,5,6 20. Zx 10,19 MPP1,2,3,4,5 21. Zx 3,6,20 EE1,2,3,4 22. (y)(Ayx → Wy) → Zx] 5,21 CP1,2,3,4 23. (x)[(y)(Ayx → Wy) → Zx] 22 UI
20.
1 1. (x)[[Bx ˄ (y)[Cy ˄ Dyx ˄ (z)(Ez ˄ Fxz)]] → (w)Gxwx]
A
2 2. (x)(y)(Hxy → Dyx) A 3 3. (x)(y)(Fxy → Fyx) A 4 4. (x)(Ix → Ex) A (x)[Bx → [[(y)(Cy ˄ Hxy) ˄ (z)(Iz ˄ Fxz)] →
(u)(w)Gxwu]]
5 5. Bx A (CP) 6 6. (y)(Cy ˄ Hxy) ˄ (z)(Iz ˄ Fxz) A (CP) 6 7. (y)(Cy ˄ Hxy) 6 ˄E 6 8. (z)(Iz ˄ Fxz) 6 ˄E 9 9. Cy ˄ Hxy A (7 EE) 10 10. Iz ˄ Fxz A (8 EE) 1 11. Bx ˄ (y)[Cy ˄ Dyx ˄ (z)(Ez ˄ Fxz)] → (w)Gxwx 1 UE 1 12. (y)[Cy ˄ Dyx ˄ (z)(Ez ˄ Fxz)] → (w)Gxwx 11 ˄E 2 13. (y)(Hxy → Dyx) 2 UE 2 14. Hxy → Dyx 13 UE 3 15. (y)(Fxy → Fyx) 3 UE 3 16. Fxz → Fzx 15 UE 4 17. Iz → Ez 4 UE 9 18. Cy 9 ˄E 9 19. Hxy 9 ˄E 2,9 20. Dyx 14,19 MPP 10 21. Iz 10 ˄E 4,10 22. Ez 17,21 MPP 10 23. Fxz 10 ˄E 4,10 24. Ez ˄ Fxz 22,23 ˄I 4,10 25. (z)(Ez ˄ Fxz) 24 EI
- 229 -
2,9 26. Cy ˄ Dyx 18,20 ˄I 2,4,9,10 27. Cy ˄ Dyx ˄ (z)(Ez ˄ Fxz) 26,25 ˄I 2,4,9,10 28. (y)[Cy ˄ Dyx ˄ (z)(Ez ˄ Fxz)] 27 EI 1,2,4,9,10 29. (w)Gxwx 12,28 MPP 1,2,4,9,10 30. (u)(w)Gxwu 29 EI 1,2,4,6,9 31. (u)( w)Gxwu 8,10,30 EE 1,2,3,4,6 32. (u)(w)Gxwu 7,9,31 EE 1,2,3,4 33. [(y)(Cy ˄ Hxy) ˄ (z)(Iz ˄ Fxz)] → (u)(w)Gxwu 6,32 CP 1,2,3,4 34. Bx → [[(y)(Cy ˄ Hxy) ˄ (z)(Iz ˄ Fxz)] →
(u)(w)Gxwu] 5,33 CP
1,2,3,4 35. (x)[Bx →[[(y)(Cy ˄ Hxy) ˄ (z)(Iz ˄ Fxz)] → (u)(w)Gxwu]]
34 UI
vii. Slovné úlohy A 1 (x)(Fx → Gx)|– (x)((y)(Fy ˄ Hxy) → (y)(Gy ˄ Hxy)) 1 (1) (x)(Fx → Gx) A 2 (2) (y)(Fy ˄ Hay) A 3 (3) Fb ˄ Hab 3 ˄E 3 (4) Fb 3 ˄E 3 (5) Hab 1 UE 1 (6) Fb → Gb 1 UE 1,3 (7) Gb 4,6 MPP 1,3 (8) Gb ˄ Hab 5,7 ˄I 1,3 (9) (y)(Gy ˄ Hay) 8 EI 1,2 (10) (y)(Gy ˄ Hay) 2,3,9 EE 1 (11) (y)(Fy˄Hay) → (y)(Gy˄Hay) 2,10 CP 1 (12) (x)((y)(Fy˄Hxy) → (y)(Gy˄Hxy)) 11 UI 2 (x)(Fx ˄ (y)(Gy → Hy)), (x)(Fx → (y)(By → ¬Hxy)) |– (x)(Gx → ¬Bx) 1 (1) (x)(Fx ˄ (y)(Gy → Hxy)) A 2 (2) (x)(Fx → (y)(By → ¬Hxy) A 3 (3) Fa ˄ (y)(Gy → Hay) A 3 (4) Fa 3 ˄E 3 (5) (y)(Gy → Hay) 3 ˄E 2 (6) Fa → (y)(By → ¬Hay) 2 UE 2,3 (7) (y)(By → ¬Hay) 4,6 MPP 8 (8) Gb A 3 (9) Gb → Hab 5 UE 3,8 (10) Hab 8,9 MPP 2,3 (11) Bb 7 UE 3,8 (12) ¬¬Hab 10 DN 2,3,8(13) ¬Bb 11,12 MTT 2,3 (14) Gb → ¬Bb 8,13 CP 2,3 (15) (x)(Gx → ¬Bx) 14 UI 1,2 (16) (x)(Gx → ¬Bx) 1,3,15 EE
- 230 -
3 (x)(Fx ˄ Gx), (x)(Fx ˄ (y)(Gy → ¬Hxy)) |– (x)(Fx ˄ ¬(y)(Fy → Hyx)) 1 (1) (x)(Fx ˄ Gx) A 2 (2) (x)(Fx ˄ (y)(Gy → ¬Hxy)) A 3 (3) Fa ˄ Ga A 4 (4) Fb ˄ (y)(Gy → ¬Hby) A 3 (5) Fa 3 ˄E 3 (6) Ga 3 ˄E 4 (7) Fb 4 ˄E 4 (8) (y)(Gy → ¬Hby) 4 ˄E 4 (9) Ga → ¬Hba 8 UE 3,4 (10) ¬Hba 6,9 MPP 11 (11) (y)(Fy → Hya) A 11 (12) Fb → Hba 11 UE 4,11 (13) Hba 7,12 MPP 3,4,11 (14) Hba ˄ ¬Hba 10,13 ˄I 3,4 (15) ¬(y)(Fy → Hya) 11,14 RAA 3,4 (16) Fa ˄ ¬(y)(Fy → Hya) 5,15 ˄I 3,4 (17) (x)(Fx ˄ ¬(Fy → Hyx) 16 EI 2,3 (18) (x)(Fx ˄ ¬(Fy → Hyx) 2,4,17 EE 1,2 (19) (x)(Fx ˄ ¬(Fy → Hyx) 1,3,18 EE 4 (x)(y)(Fxy → (z)Uzxy), (x)(y)(z)(Uzxy → Gzx ˄ Gzy), (x)Fxm |– (x)(y)(Uyxm ˄ Gym) 1 (1) (x)(y)(Fxy → (z)Uzxy) A 2 (2) (x)(y)(z)(Uzxy → Gzx ˄ Gzy) A 3 (3) (x)Fxm A 3 (4) Fam 3 UE 1 (5) (y)(Fay → (y)Uzay) 1 UE 1 (6) Fam → (z)Uzam 5 UE 1,3 (7) (z)Uzam 4,6 MPP 8 (8) Ubam A 2 (9) (y)(z)(Uzay → Gza ˄ Gzy) 2 UE 2 (10) (z)(Uzam → Gza ˄ Gzm) 9 UE 2 (11) Ubam → Gba ˄ Gbm 10 UE 2,8 (12) Gba ˄ Gbm 8,11 MPP 2,8 (13) Gbm 12 ˄E 2,8 (14) Ubam ˄ Gbm 8,13 ˄I 2,8 (15) (y)(Uaym ˄ Gym) 14 EI 1,2,3 (16) (x)(Uaym ˄ Gym) 7,8,15 EE 1,2,3 (17) (x)(y)(Uyxm ˄ Gym) 16 UI
vii. Slovné úlohy B 1.
1 1. (x)(Sxi → Vxj) A2 2. (x)(Vax → Fxh) A3 3. (x)(Fxk → ¬Fjx) A
Fhk → ¬Sai 2 4. Fhk → ¬Fjh 2 UI3 5. Vaj → Fjh 3 UI2 6. Fjh → ¬Fhk 4 transp
- 231 -
2,3 7. Vaj → ¬Fhk 5,6 HS 1 8. Sai → Vaj 1 UI1,2,3 9. Sai → ¬Fhk 7,8 HS 1,2,3 10. Fhk → ¬Sai 9 transp
2.
1 1. (x)(Kx → Fx) (x)(y)[(Kx ˄ Dyx) → (Fx ˄ Dyx)]
2 2. Kx ˄ Dyx A |– Fx ˄ Dyx2 3. Kx 2 ˄E2 4. Dyx 2 ˄E1 5. Kx → Fx 1 UI1,2 6. Fx 3,5 MPP1,2 7. Fx ˄ Dyx 6,4 ˄I1 8. (Kx ˄ Dyx) → (Fx ˄ Dyx) 2,7 CP1 9. (y)[(Kx ˄ Dyx) → (Fx ˄ Dyx)] 8 UI1 10. (x)(y)[(Kx ˄ Dyx) → (Fx ˄ Dyx)] 9 UI
3.
1 1. (x)(Fxa → Fxb) (x)(y)[(Px ˄ Kxy ˄ Fya) → (Kxy → Fyb)]
2 2. Px ˄ Kxy ˄ Fya A |– Kxy → Fyb 2 3. Px 2 ˄E2 4. Kxy 2 ˄E2 5. Fya 2 ˄E1 6. Fya → Fyb 1 UE1,2 7. Fyb 5,6 MPP1,2 8. Kxy ˄ Fyb 4,7 ˄I1 9. (Px ˄ Kxy ˄ Fya) → (Kxy → Fyb) 2,8 CP1 10. (y)[(Px ˄ Kxy ˄ Fya) → (Kxy → Fyb)] 9 UI1 11. (x)(y)[(Px ˄ Kxy ˄ Fya) → (Kxy → Fyb)] 10 UI
4.
1 1. (x){(y)(Byb ˄ Lyxb) → Fx} 2 2. (x)(Cxb ˄ Lxab)
(x)(Cxb → ¬Fx) → ¬Bab 3 3. (x)(Cxb → ¬Fx) A |– ¬Bab3 4. Cxb → ¬Fx 3 UE5 5. Cxb ˄ Lxab A (2 EE)5 6. Cxb 5 ˄E3,5 7. ¬Fx 4,6 MPP1 8. (y)(Byb ˄ Lxyb) → Fx 1 UE 1,3,5 9. ¬(y)(Byb ˄ Lxyb) 7,8 MTT 1,3,5 10. (y)(¬Byb ˅ ¬Lxyb) 9 QE (+ SI DM)1,3,5 11. ¬Bab ˅ ¬Lxyb 9 UE5 12. Lxab 5 ˄E1,3,5 13. ¬Bab 11,12 SI DS1,2,3 14. ¬Bab 2,4,13 EE1,2 15. (x)(Cxb → ¬Fx) → ¬Bab 3,14 CP
5.
- 232 -
1 1. (x)(y)[(Cx ˄ Ey) → Wxy] A2 2. (x)(y)(Cx ˄ ¬Cy ˄ ¬Wxy) A
(x)(¬Cx ˄ ¬Ex) 3 3. (y)(Cx ˄ ¬Cy ˄ ¬Wxy) A (2 EE) 4 4. Cx ˄ ¬Cy ˄ ¬Wxy A (3 EE)1 5. (y)[(Cx ˄ Ey) → Wxy] 1 UE1 6. (Cx ˄ Ey) → Wxy 5 UE4 7. Cx 4 ˄E4 8. ¬Cy 4 ˄E4 9. ¬Wxy 4 ˄E1,4 10. ¬(Cx ˄ Ey) 6,9 MT1,4 11. ¬Cx ˅ ¬Ey 10 SI DM1,4 12. ¬Ey 7,11 SI DS1,4 13. ¬Cy ˄ ¬Ey 8,12 ˄I1,4 14. (x)(¬Cx ˄ ¬Ex) 13 EI 1,3 15. (x)(¬Cx ˄ ¬Ex) 3,4,14 EE 1,2 16. (x)(¬Cx ˄ ¬Ex) 2,3,15 EE
6.
1 1) (x){(x)(z)(Gz ˄ ¬Rz˄ Sxzy)} → Cx 2 2) (z)[(Wz ˄ Orz) → (Slzr ˅ Smzr)] (z)(Wz ˄ Orz ˄ Gz ˄ ¬Rz) → [(u)(¬Smur)
→ Cl]
3 3) (z)(Wz ˄ Orz ˄ Gz ˄ ¬Rz) A |– (u)(¬Smur)→ Cl 4 4) (u)(¬Smur) A |– Cl 5 5) Wz ˄ Orz ˄ Gz ˄ ¬Rz A (3 EE) 5 6) Wz ˄ Orz 5 ˄E2 7) (Wz ˄ Orz) → (Slzr ˅ Smzr) 2 UE2,5 8) Slzr ˅ Smzr 6,7 MPP4 9) ¬Smzr 4 UE2,4,5 10) Slzr 8,9 SI DS5 11) Gz ˄ ¬Rz 5 ˄E2,4,5 12) Gz ˄ ¬Rz ˄ Slzr 10,11 ˄I2,4,5 13) (z)(Gz ˄ ¬Rz ˄ Slzy) 12 EI 2,4,5 14) (y)[(z)(Gz ˄ ¬Rz˄ Slzy)] 13 EI 1 15) {(x)(z)(Gz ˄ ¬Rz˄ Slzy)} → Cl 1 UE 1,2,4,5 16) Cl 14,15 MPP1,2,3,4 17) Cl 3,5,16 EE1,2,3 18) (u)(¬Smur) → Cl 4,17 CP1,2 19) (z)(Wz ˄ Orz ˄ Gz ˄ ¬Rz) → [(u)(¬Smur) →
Cl]3,18 CP
7.
1 1. (x)(Dx → Mx) A2 2. (x)(y)[(Px ˄ My ˄ Wxy) → Gx] A3 3. (x)(y)(Px ˄ Ox ˄ Ny ˄ Dy ˄ Wxy) A
(x)(Px ˄ Ox ˄ Gx) 4 4. (y)(Px ˄ Ox ˄ Ny ˄ Dy ˄ Wxy) A (3 EE) 5 5. Px ˄ Ox ˄ Ny ˄ Dy ˄ Wxy A (4 EE) 1 6. Dy → My 1 UE5 7. Dy 5 ˄E
- 233 -
1,5 8. My 6,7 MPP5 9. Px 5 ˄E5 10. Wxy 5 ˄E1,5 11. Px ˄ My ˄ Wxy 9,8,10 ˄I ˄I2 12. (y)[(Px ˄ My ˄ Wxy) → Gx] 2 UE2 13. (Px ˄ My ˄ Wxy) → Gx 12 UE1,2,4 14. Gx 11,13 MPP5 15. Ox 5 ˄E1,2,4,5 16. Px ˄ Ox ˄ Gx 9,15,14 ˄I ˄I1,2,4,5 17. (x)(Px ˄ Ox ˄ Gx) 16 EI 1,2,4 18. (x)(Px ˄ Ox ˄ Gx) 4,5,17 EE 1,2,3 19. (x)(Px ˄ Ox ˄ Gx) 3,4,18 EE
8.
1. (x)(y)[(Px ˄ Sy ˄ Lxy) → Lyx]2. (x)(y)[(Sx ˄ Py) → Lxy]
(x)(y)[(Px ˄ Sy) →Lyx] 9.
1 1. (x)[(Px ˄ ¬Rxx) → (y)(Py → ¬Ryx)] A2 2. (y)[(Px → (x)[(Px ˄ ¬Rxx) → ¬Hyx] A
(x){[Px ˄ (z)(Pz → ¬Rxz)] → (y)(Py → ¬Hyz)} 3 3. Px ˄ (z)(Pz → ¬Rxz) A |– (y)(Py → ¬Hyz)} 4 4. Py A |– ¬Hyz 3 5. (z)(Pz → ¬Rxz) 3 ˄E3 6. Px → ¬Rxx 5 UE3 7. Px 3 ˄E3 8. ¬Rxx 6,7 MPP3 9. Px ˄ ¬Rxx 7,8 ˄I1 10. (Px ˄ ¬Rxx) → (y)(Py → ¬Ryx) 1 UE1,3 11. (y)(Py → ¬Ryx) 6,10 MPP1,3 12. Py → ¬Ryx 11 UE1,3,4 13. ¬Ryx 4,12 MPP1,3,4 14. Px ˄ ¬Ryx 7,13 ˄I2 15. Py → (x)[(Px ˄ ¬Rxx) → ¬Hyx] 2 UE2,4 16. (x)[(Px ˄ ¬Rxx) → ¬Hyx] 4,15 MPP2,4 17. (Px ˄ ¬Rxx) → ¬Hyx 16 UE1,2,3,4 18. ¬Hyx 14,17 MPP1,2,3 19. Py → ¬Hyz 4,18 CP1,2,3 20. (y)(Py → ¬Hyz) 19 UI1,2 21. [Px ˄ (z)(Pz → ¬Rxz)] → (y)(Py → ¬Hyz)} 3,20 CP1,2 22. (x){[Px ˄ (z)(Pz → ¬Rxz)] → (y)(Py → ¬Hyz)} 21 UI
10
(x)(y)[(Ox ˄ Dxyf) → (y)Dxyf] A
(x)(Oj ˄ ¬Djxf) → (x)¬Djxf
11
1. (x)(y)(z)[(Kx ˄ Cy ˄ Sxy ˄ Oz ˄ Vz) →Čzx] A2. (x)(y)[(Ox ˄ Čxy) → Hxy] alebo: (x)(y)[(Ox ˄ Čxy) → Hxy] A 3. (x)(y)(z)[(Cx ˄ Ky ˄ Oz ˄ Pzy ˄ Lzx) → Sxy] A
- 234 -
(x)(y)(z)(w)[(Ox ˄ Cy ˄ Lxy ˄ Kz ˄ Ow ˄ Vw) → (Pxz → Hwz)] 12
1 1. (x)(y)(z)[(Dx ˄ Sy ˄ Rxy ˄ Oz) → Pxz] A1 2. (x)(y)(Dx ˄ Nx ˄ Uy ˄ Vyx) A 3 3. (x)[(Dx ˄ Nx ˄ Sy ˄ Iy) → Rxy] A
(x)(y)[(Ox ˄ Axy) → ¬Pxy] → (x)(y)(z)(Ux ˄ Vxy ˄ ¬Azy) 13
1 1. (x)(Kx → (y)(Py → Rxy)) A2 2. (y)(Hy (z)(Zz → Ryz)) A
(x)(Kx → (z)(Zz → Rxz)) 3 3. (x)(y)(z)((Rz Ryz) → Rxz) A – 3. a 4. sú dodatočne predpoklady 4 4. (y)(Hy → Py) A5 5. Kx A (CP)6 6. Zz A (CP)7 7. Hy (z)(Zz → Ryz) A (2 EE) 7 8. Hy 7 E4 9. Hy → Py 4 UE4,7 10. Py 8,9 MPP1 11. Kx → (y)(Py → Rxy) 1 UE1,5 12. (y)(Py → Rxy) 5,11 MPP1,5 13. Py → Rxy 12 UE1,4,5,7 14. Rxy 10,13 MPP7 15. (z)(Zz → Ryz) 7 E7 16. Zz → Ryz 15 UE6,7 17. Ryz 6,16 MPP1,4,5,6,7 18. Rxy Ryz 14,17 E3 19. (y)(z)((Rz Ryz) → Rxz) 3 UE 3 20. (z)((Rz Ryz) → Rxz) 19 UE 3 21. (Rz Ryz) → Rxz 20 UE 1,3,4,5,6,7 22. Rxz 18,21 MPP1,2,3,4,5,6 23. Rxz 2,7,22 EE1,2,3,4,5 24. Zz → Rxz 5,23 CP1,2,3,4,5 25. (z)(Zz → Rxz) 24 UI1,2,3,4 26. Kx → (z)(Zz → Rxz) 5,25 CP1,2,3,4 27. (x)(Kx → (z)(Zz → Rxz)) 26 UI
viii. Narábanie s identitou 1. a = b |– b = a 1 (1) a = b A (2) a = a =I 1 (3) b = a 1,2 =E 2. a = b b = c |– a = c tranzitivita 1 (1) a = b a = c A 1 (2) a = b 1 E 1 (3) b = c 1 E 1 (4) a = c 2,3 =E
- 235 -
3. Fa –||– (x)(x = a Fx) (a) Fa |– (x)(x = a Fx) 1 (1) Fa A (2) a = a =I 1 (3) a = a Fa 1,2 I 1 (4) (x)(x = a Fx) 3 EI (b) (x)(x = a Fx) |– Fa 1 (1) (x)(x = a Fx) A 2 (2) b = a Fb A 2 (3) b = a 2 E 2 (4) Fb 2 E 2 (5) Fa 3,4 =E 1 (6) Fa 1,2,5 EE 4. |– (x)(x = x) (1) a = a =I (2) (x)(x = x) 1 UI 7. (x)(Zx → x = m ˅ x = n), (x)(Zx ˄ Ux) |– Um ˅ Un 1 (1) (x)(Zx → x = m ˅ x = n) A 2 (2) (x)(Zx ˄ Ux) A 3 (3) Za ˄ Ua A 3 (4) Za 3 ˄E 3 (5) Ua 3 ˄E 1 (6) Za → a = m ˅ a = n 1 UE 1,3 (7) a = m ˅ a = n 4,6 MPP 8 (8) a = m A 3,8 (9) Um 5,8 =E 3,8 (10) Um ˅ Un 9 vI 11 (11) a = n A 3,11(12) Un 5,11 vI 3,11(13) Um ˅ Un 12 vI 1,3 (14) Um ˅ Un 7,8,10,11,13 vE 1,3 (15) Um ˅ Un 2,3,14 EE
- 236 -
Index
asociativita ˄-asociácia, 10 ˅-asociácia, 10, 76
bikondicionál ponendo ponens, ↔PP, 11 bikondicionál tollendo tollens, ↔TT, 11 Claviov zákon, 9, 24, 91 De Morganove pravidlá (DM), 26, 82 dilema, 120
jednoduchá deštruktívna dilema (JDD), 9 jednoduchá konštruktívna dilema (JD), 9 komplexná deštruktívna dilema (DD), 9 komplexná konštruktívna dilema (KD), 9 špeciálna dilema
ŠD, 9, 81 ŠD*, 9
disjunktívny sylogizmus (DS), 9 distribúcia
˄-distribúcia, 10, 26, 83 ˅- distribúcia, 10 univerzálneho kvantifikátora, 60
dostatočná podmienka, 19, 20 dvojitá negácia, 8, 10, 34, 81, 116 eliminácia existenčného kvantifikátora, EE,
11 eliminácia konjunkcie (E) , 8 eliminácia univerzálneho kvantifikátora,
EE, 11 hypotetický sylogizmus (HS, tranzitivita), 9 idempotencia
˄-idempotencia, 10, 11, 34, 121 ˅-idempotencia, 10, 11, 34, 79, 121
importácia/exportácia, 10, 80 internetové zdroje
aplikácie pre mobilné telefóny, 13 užitočné internetové stránky, 13
komutativita, 10 ˄-komutácia, 10, 24, 75 ˅-komutácia, 10, 76
komutácia antecedentov, KA, 11 kondicionálny dôkaz; „teoréma dedukcie“
(CP; →I), 8 materiálna ekvivalencia, 7, 10 materiálna implikácia (Impl), 7, 10, 26, 81 Modus ponendo ponens (MPP, →E), 8 Modus ponendo tollens (MPT), 9 najčastejšie chyby
afirmácia konzekventu, 10 negácia antecedentu, 10
nepravdivý antecedent, FA, 10 odvodené pravidlá usudzovania (SI), 9 paradox materiálnej implikácie, 10, 34, 116 Peirceov zákon, 11, 34, 117 podmienka
dostatočná, 20 nutná, 20, 176
pravdivý konzekvent, TC, 10, 27, 100 pravidlá bikondicionálu, 11 pravidlo pseudo-Scota, 10, 11, 26, 34, 90 pravidlo zavedenia predpokladu (A), 8 princíp identity, 11, 60, 116 princíp nonkontradikcie, 11, 34, 60, 115 reductio ad absurdum RAA, 8, 80
alternatívny zápis, 9 rozšírenie, 118 tautológia, 10 teorémy, 11, 34, 63, 115 transpozícia
↔transpozícia, 11, 34, 118, 119, 120 transp., 10
výlučenie tretieho, ET, 11, 34, 60, 115 zavedenie existenčného kvantifikátora, EI,
12 zavedenie konjunkcie (I), 8 zavedenie univerzálneho kvantifikátora, UI,
11
- 237 -
Bibliográfia
Allen C.; Hand, M.: 2001, Logic Primer, 2nd ed., Cambridge, Massachusetts; London, England: A Bradford Book; The MIT Press.
Carroll, L. 1977, Symbolic Logic, Part 1, rev. ed. by William Warren Bartley, III, New York : Harvester Press.
Copi I M.; Cohen C., 19673/19734/19908, Introduction to Logic, New York: MacMillan.
Gaher, F., 20033/20134, Logika pre každého, Bratislava : IRIS.
Gaher, F., 1996, Logické hádanky, hlavolamy a paradoxy (nejen pro děti a mládež), Bratislava, IRIS.
Gensler, H. J., 2007, Introduction to Logic, Oxon : Routledge
Hurley, P. J., 2011, A Concise Introduction to Logic, 11. Ed., Wadsworth : Cengage Learning.
Kneale, W. C.; Kneale, M., 1962/1968, The Development of Logic, Oxford : Clarendon Press.
Lemmon, E.J. 1971, Beginning Logic, New York : Chapman and Hall/CRC
Smullyan, R.M. 1968/1995, First Order Logic, corrected ed., New York : Dover Pub.
Teller, P. 1989, A Modern Formal Logic Primer, Prentice Hall
vander Nat, A., 2010, Simple Formal Logic: With Common-Sense Symbolic Techniques, New York: Routledge
Zouhar M.: 2008, Základy logiky pre spoločenskovedné a humanitné odbory, Bratislava : Veda
VLADIMÍR MARKO
ÚLOHY Z VÝROKOVEJ
A PREDIKÁTOVEJ LOGIKY
PRÍRUČKA PRE ŠTUDENTOV ÚVODNÝCH KURZOV LOGIKY
Vydala Univerzita Komenského v Bratislave vo Vydavateľstve UK 2017
Korigoval autor Rozsah 237 strán, prvé vydanie, vyšlo ako elektronická publikácia.
