65

5. Stručný prehľad dejín logiky

5.1 Antická logika

Vývoj logiky trvá už približne 2500 rokov a jeho korene siahajú až do starovekého

Grécka, o čom svedčí aj pôvod slova „logika“ – z gréckeho „logos“ znamenajúceho

v najširšom význame slovo, reč, výpoveď, počet a pod. Vo formálnejších významových

odtieňoch však tento výraz môže označovať aj definíciu, dôkaz, argument, príčinu, dôvod

atď.62

V rámci dejín logiky sa najčastejšie rozlišujú štyri obdobia, medzi ktoré patria obdobie

antickej logiky, obdobie stredovekej logiky, obdobie novovekej logiky a obdobie

modernej resp. súčasnej logiky. V tejto kapitole sa budeme osobitne zaoberať spomínanými

obdobiami a pokúsime sa v stručnosti charakterizovať najdôležitejšie momenty, ktoré sa

v konkrétnych obdobiach v rámci logického skúmania objavili.

Logika sa prvýkrát vo svojej formálnej podobe objavuje v starovekom Grécku

(približne 5. stor. pr. Kr.) ako reakcia na argumentačnú prax sofistov, ktorá sa týkala

predovšetkým vyučovania rétoriky, písania súdnych rečí a pod. Išlo o snahu hľadania riešení

jazykových paradoxov, ktoré sofisti vo svojej argumentácii často účelne využívali. Jedným

z najznámejších paradoxov je tzv. paradox klamára, ktorého autorstvo býva pripisované

predstaviteľovi tzv. megarskej sókratovskej školy - Eubúlidovi z Milétu63

(4. stor. pr. Kr.).

Poznáme viacero zachovaných verzií tohto paradoxu a logici sa mu venujú až dodnes.64

Tento paradox spočíva v ťažkosti vyriešenia problému, či ten, kto vyslovuje tvrdenie

„Klamem“, vyslovuje pravdivé, alebo nepravdivé tvrdenie.

Paradox klamára však nebol prvým dôležitým paradoxom, ktorému antickí myslitelia

venovali značnú pozornosť. Už približne v šesťdesiatych rokoch 5. stor. pr. Kr. Zénón

z Eley (490 – 430 pr. Kr.) formuloval svoje apórie65

, pri ktorých je možné preukázateľne

identifikovať používanie dôkazu sporom (Sochor 2011, 299) a niektorých zákonov známych

aj v modernej logike (napr. pravidlo hypotetického sylogizmu). Medzi tieto apórie patria

apórie proti uznávaniu pohybu, mnohosti, priestoru a vnímania (Dragúň 1999, 8-11).

Objavujú sa v nich známe argumenty o Achillovi a korytnačke, letiacom šípe atď. Hľadaním

odpovede na tieto otázky sa mohol zaoberať pravdepodobne už Sókratés (približne 469 –

399 pr. Kr.), ak skutočne vzniesol požiadavku definície toho, čím nejaká vec je, resp.

definície jej pojmu. Jeho žiak Platón (427 – 347 pr. Kr.) sa síce logike nevenoval účelovo

a systematicky, ale v reakcii na dobové diskusie týkajúce sa problému definície ho však

zaujímala predovšetkým pravdivosť a platnosť vyplývania. V jeho dialógoch sa dokonca

objavuje aj odvodzovacie pravidlo modus tollens a tiež tzv. princíp typu (Sochor 2011, 299).

Niet pochýb, že o rozvoj logiky sa v istej miere pričinili aj spomínaní predstavitelia

sofistiky, ale o najvýraznejší prínos a systematizáciu logiky sa zaslúžil práve Platónov žiak

Aristotelés zo Stageiry (384 – 322 pr. Kr.), ktorý býva zvyčajne považovaný za jej

zakladateľa. Keďže je logika rozvíjaná Aristotelom veľmi bohatá a predurčuje istú podobu 62

Por.: Panczová, H. (2012): Grécko-slovenský slovník (od Homéra po kresťanských autorov). Bratislava:

Lingea, s. 779. 63

Okrem paradoxu klamára je Eubúlidovi pripisované aj autorstvo iných paradoxov, konkrétne paradoxu

skrytého, Elektry, zahaleného, hromady (známy aj pod označením „sorites“, z gréckeho „soros“ označujúceho

kopu či hromadu), rohatého a holohlavého. Por.: Kurzová, H. ed. (2007): Megarikové: zlomky. Praha:

OIKOYMENH, s. 258-260. 64

Stoický logik Chrýsippos zo Soloi o tomto paradoxe napísal údajne až 29 kníh (Gahér 1998, 23). Okrem neho

môžeme spomenúť i Aristotelovho žiaka Theofrasta, ktorý sa ním tiež preukázateľne zaoberal. 65

Z gréckeho „aporía“ znamenajúceho ťažkosť či bezradnosť, spájajúce sa aj s problematickými filozofickými

otázkami. Por.: Svoboda, L. ed. (1973): Encyklopedie Antiky. Praha: Academia, s. 61.

66

súčasnej formálnej logiky (hlavne predikátovej logiky), osobitne sme sa jej venovali už

v druhej kapitole.

67

5.2 Megarsko-stoická škola

Súčasne s Aristotelovým skúmaním sylogizmov sa megarsko-stoická škola začína

venovať podrobnému skúmaniu výrokov (Sochor 2011, 301). Medzi záujmy zakladajúcich

predstaviteľov tejto školy patrilo už od konca 5. stor. pr. Kr. skúmanie persuazívneho

používania jazyka,66

paradoxov, apórií a argumentačných techník, pri ktorých najviac

využívali reductio ad absurdum67

protivníkových tvrdení a údajne napádali závery jeho

úsudkov odhliadajúc od pravdivosti premís (Vandyshev, Słomski 2011, 13-14).

Zakladateľom tejto školy bol pravdepodobne Sókratov žiak a učiteľ spomínaného Eubúlida –

Eukleidés z Megary (približne 400 až 360 pr. Kr.). Na rozdiel od Aristotela a jeho žiakov

táto škola chápala výroky vyskytujúce sa v sylogizmoch ako potenciálne zložené z iných

výrokov (Sousedík 2008, 66). Megarsko-stoickej škole sa pripisuje aj problematizácia úlohy

logických spojok, hlavne spojok spájajúcich v úsudkoch celé výroky. Výroky v rámci

takýchto argumentov bolo potom možné vo všetkých ich výskytoch voľne nahradiť bez toho,

aby sa zmenila logická platnosť celého úsudku. Megarsko-stoická škola sa teda obišla bez

Aristotelovej teórie usudzovania rozlišujúcej všeobecné a čiastočné tvrdenia, v ktorých môžu

v úlohe premennej vystupovať všeobecné termíny, dnes označované za predikáty. Určujúcou

pre nich nebola vnútorná štruktúra jednoduchých výrokov a za stavebnú jednotku sylogizmu

nepovažovali pojem, ale celý výrok. Výsledná forma sylogizmu potom závisela od spôsobu

spojenia viet pomocou výrokových spojok a výsledný druh sylogizmu sa nazýval

hypotetickým. Príkladom tohto druhu hypotetického sylogizmu je:

Ak je deň, tak slnko svieti.

Je deň.

Slnko svieti.

Tento druh sylogizmu sa skladá z dvoch premís a záveru, pričom prvou premisou je

nejednoduchý výrok (teda výrok zložený), pretože sa skladá z dvoch jednoduchých výrokov -

„Je deň“ a „Slnko svieti“. Platnosť celého sylogizmu závisí na spôsobe spojenia týchto

výrokov pomocou spojok. Forma prvej premisy je v príklade určená spojkou „ak..., tak---“.

Funkciu rozlišovania kvantity a kvality súdov aristotelovského kategorického sylogizmu

zastávajú v hypotetickom sylogizme vzájomné vzťahy medzi jednotlivými výrokmi (Tamže,

66 -67).

Časť megarsko-stoickej školy (približne z obdobia 4.-3. storočia pr. Kr.) bola

označovaná aj ako dialektická škola (Svoboda 2008, 28). Mladší megarici Diodóros Kronos

(zomrel 307 pr. Kr.) a Filón z Megary (okolo r. 300 pr. K.), ktorý bol Diodórovým žiakom a

priateľom Zénóna z Kitia, vypracovali prostredníctvom analýzy implikácie základy antickej

výrokovej logiky, pričom zastávali navzájom odlišné chápanie vzťahu vyplývania medzi

antecedentom a konzekventom (Berka 1994, 22). Tento spor sa neskôr objavil aj v diskusii

medzi stoikmi, ktorá dokonca mohla zaujať aj širšiu verejnosť (Berka 1959, 17). K skúmaniu

problémov spojených s implikáciou ich zrejme viedli systematické úvahy o chápaní

podmienkových tvrdení vo výrokovej logike. Filón chápal ako pravdivé zrejme také

podmienkové tvrdenia, pri ktorých aktuálne nenastáva to, že ich podmienka (teda antecedent)

je pravdivá a dôsledok (teda konzekvent) nepravdivý. Na rozdiel od neho, Diodóros Kronos,

označovaný za hlavného predstaviteľa dialektickej školy, považoval za pravdivé len také

podmienkové tvrdenia, pri ktorých sa nikdy nemôže stať, že by podmienka bola pravdivá a

66

t. j. používania jazyka za účelom presvedčovania v argumentácii. 67

Argumentačná technika vyvodzujúca absurdné závery zo zjavne neabsurdných tvrdení oponenta.

68

dôsledok nepravdivý. Filón na rozdiel od Diodóra vychádzal z aktuálnych pravdivostných

hodnôt výrokov v podmienkových tvrdeniach, zatiaľ čo Diodórovi to k určeniu pravdivostnej

hodnoty celého podmienkového tvrdenia nepostačovalo (Svoboda 2008, 28). Formulácia

implikácie, ktorá sa stala základným výrokovým spojením celej antickej výrokovej logiky a

viedla až k vypracovaniu tabuľky jej pravdivostných hodnôt stoikmi, býva pripisovaná práve

Filónovi, no aj u Diodóra Krona je možné identifikovať podobnú formuláciu s určitými

obmedzeniami (Sochor 2011, 301). Filónovo chápanie implikácie s veľkou

pravdepodobnosťou anticipovalo moderné chápanie materiálnej implikácie (Berka 1959, 16).

Megarská škola zanikla okolo roku 300 pr. Kr. Jej dedičom sa však stala stoická

škola, ktorej zakladajúci predstavitelia Zénón z Kitia (333 – 261 pr. Kr.) a Chrýsippos zo

Soloi (282 – 206 pr. Kr.) sa zoznámili s logikou zrejme práve vďaka Filónovi z Megary a

Diodórovi Kronovi. Približne od 2. stor. sa už hovorí iba o stoickej škole, pretože megarský

vplyv a stoické povedomie o ňom postupne zanikajú (Sousedík 2008, 65). Stoickú školu v jej

počiatkoch ešte okrem spomínaných dvoch predstaviteľov spoluutvárali aj Diogenés zo

Seleukie, Antipatros z Tarzu a ďalší, pričom nenadväzovali len na učenia megarikov, ale aj

sofistov a starších peripatetikov (Aristotela a jeho žiakov). Inšpirovali sa tiež gramatikou,

medicínou a deduktívnou systematizáciou dobovej geometrie (Berka 1994, 23). Podobne ako

megarici sa aj oni pokúšali o systematizáciu výrokovej logiky. Keďže sa sami venovali

medicíne, učenie o príznakoch chorôb (semiotika,68

prvá veda zisťujúca vzájomné súvislosti

javov, vychádzajúca z hippokratovskej tradície) malo dokonca vplyv na ich chápanie

výrokovej logiky (Berka 1959, 9). Zénón z Kitia spolu s Chrýsippom a ich stoickými

súčasníkmi, na rozdiel od Aristotela, nepovažovali logiku za nástroj vedy, ale spoločne s

fyzikou a etikou za neodmysliteľnú súčasť filozofie. Náuku „logiké“ pritom rozdeľovali na

rétoriku a dialektiku. Dialektická časť („dialektiké téchne“ – umenie dialektiky) obsahovala

tri zložky – teóriu poznania, sémantiku spolu s gramatikou (syntaxou) a logiku. Vidíme teda,

že logika bola pre nich len jednou zo súčastí dialektiky, ktorej úlohou bolo skúmať tie časti

reči, ktoré sa týkali usudzovania a argumentov, ako aj ich foriem. (Algra – Barnes – Mansfeld

– Schofield 2002, 66)

V dialektike, ktorá sa mala zaoberať skúmaním pravdivosti či nepravdivosti výrokov,

obhajovali stoici pod vplyvom silného determinizmu princíp dvojhodnotovosti všetkých

výrokov. V sémantike sa zaoberali vzájomným vzťahom jazyka, myslenia a skutočnosti

medzi „označujúcim“ - „semainon“ (chápal sa pod ním zvuk „foné“) a „označovaným“ -

„semainomenon“ (zvukom označeným predmetom, ktorý bol významom výrazu v jazyku) a

skutočným predmetom - „tynchanon“ (materiálnou zvukom označenou vecou). Význam ako

celok - „lekton“ (výpoveď alebo obsah myšlienok vyjadrený v jazyku) považovali za

nehmotný (Berka 1959, 23). Disponovali dokonca niečím, čo by sa dalo označiť za antickú

teóriu rečových aktov (Döring - Ebert 1993, 27-32). Tým, na čom podľa Chrýsippa závisela

platnosť alebo neplatnosť argumentu, boli zrejme logické častice (Sousedík 2008, 68). Zo

syntaktického hľadiska rozlišovali stoici podobne ako megarici medzi jednoduchým a

zloženým výrokom. Zložený výrok sa skladal z jednoduchých, ktoré boli spojené špeciálnym

typom logickej častice – vetnou spojkou. Na základe nej bolo možné v rámci argumentu

rozlíšiť rôzne typy zložených výrokov - od implikácií po negácie (Tamže, 68-69). Zo

sémantického hľadiska sa stoici pomocou definícií snažili stanoviť podmienky, za ktorých je

výrok určitého typu pravdivý (Tamže, 70). Už podľa megarika Filóna je implikácia pravdivá

vtedy, keď nenastáva prípad, že je prvá veta pravdivá a druhá nepravdivá.

Chrýsippovo riešenie problému podmienkových viet sa však mohlo líšiť od Filónovho

aj Diodórovho a okrem toho, že mohlo byť presnejšie, mohlo mať aj bližšie k chápaniu

implikácie v prirodzenom jazyku. Podľa neho bolo totiž podmienkové tvrdenie pravdivé len

68

Semiotika mala v tomto období značne odlišný význam než má dnes.

69

vtedy, keď výrok, ktorý priamo popiera výrok v konzekvente, je nezlúčiteľný s výrokom v

antecedente (Sochor 2011, 301). Napr. veta „Ak je deň, tak svieti slnko“ je pravdivou

implikáciou, pretože veta „Nesvieti slnko“ je nezlúčiteľná s vetou „Je deň“. Táto definícia

implikácie má tiež svoje nedostatky a môže viesť k paradoxným záverom, ak si uvedomíme,

že ten istý výrok môže byť niekedy pravdivý a niekedy nie (Sousedík 2008, 73).

Gahér (2000, 166-168) však nevylučuje možnosť, že by Chrýsippos mohol ťažiť

z teroretického rozpracovania Filónovho chápania implikácie na pôde megarskej školy

a definovať svoju implikáciu logicky ekvivalentne s Filónovou. Chrýsippovo rozhodnutie

nanovo formulovať definíciu implikácie mohlo byť motivované povahou kotextov (napr.

veštby alebo predpovede), v ktorých sa v danej dobe výpovede implikatívnej formy

objavovali. Gahér (2000, 168) sa domnieva, že ak bol medzi Filónom a Chrýsippom v otázke

implikácie nejaký rozdiel, tak nebol logicky relevantný.

V rámci skúmania vzťahov medzi zloženými výrokmi sa Chrýsippos zaoberal aj

inými vetnými spojkami (Svoboda 2008, 29). Stoická forma výrokovej logiky, ktorú

Chrýsippos používal, obsahovala výrokové spojenia ako sú implikácia, vylučujúca

disjunkcia, konjunkcia a negácia a všetky výroky zložené takýmito spôsobmi boli chápané

extenzionálne (teda ako pravdivostné funkcie) (Berka 1959, 12). Okrem toho, že Chrýsippos

zaviedol do výrokovej logiky aj pojem axiómy, vypracoval aj jej axiomatický systém. Na

základe piatich základných princípov, ktoré sa nazývali nedokázateľnými, identifikoval päť

platných foriem úsudkov, ktorých platnosť je zrejmá a nie je potrebné ich dokazovať (Sochor

2011, 301; Svoboda 2008, 29). Takto vytvorená teória dedukcie sa zakladala na

nasledovných úsudkových schémach vyjadrených pomocou čísloviek, ktoré plnili funkciu

výrokových premenných:

1. „Ak prvé, tak druhé; ale prvé; potom druhé“.

2. „Ak prvé, potom druhé; ale nie druhé; teda nie prvé“.

3. „Nie prvé a druhé; ale prvé; potom nie druhé“.

4. „Buď prvé, alebo druhé; ale prvé; teda nie druhé“.

5. „Buď prvé alebo druhé; ale nie prvé; potom druhé“.

Prvé dve formy sylogizmu zodpovedajú pravidlám modus ponens a modus tollens

(Sochor 2011, 301). Sylogizmy III. – V. sa kryjú s logickými dôsledkami vzťahov

zachytených v logickom štvorci, pričom v IV. chápeme spojku „buď“ exkluzívne (platí iba

jedna možnosť69

) a v V. inkluzívne70

(platia obe možnosti súčasne) (Sousedík 2008, 75).

Okrem týchto piatich platných úsudkových foriem používali stoici aj štyri základné

odvodzovacie pravidlá a dokázali tak podrobnejšie rozpracovať náuku o dôkaze, pri ktorej

zdôrazňovali jej heuristický význam pre konkrétne vedné odbory a každodennú prax (Berka

1959, 12). Stoici pracovali s negáciou podobne ako moderní logici t. j. ako s operátorom

meniacim pravdivostnú hodnotu toho výroku, pred ktorým sa objaví. V aristotelovskej logike

neboli negované celé výroky, ale len termíny, no v stoickej logike spĺňali funkciu logických

konštánt, medzi ktoré patrili výrokové spojky spolu s operátorom negácie (Svoboda 2008,

30).

Keďže sa stoici zaujímali aj o neplatné formy úsudkov, používali svoj systém tzv.

prirodzenej dedukcie aj na analýzu štruktúry antických paradoxov a sofizmov. Prvýkrát

formulovali aj metalogické pravidlá, ktoré im umožnili originálne riešenia paradoxov (napr.

prípad „paradoxu klamára“ alebo „paradoxu Diodóra Krona“ postulujúceho nemožnosť

69

Ide o tzv. vylučujúcu disjunkciu (exkluzívna disjunkcia = vylučujúca disjunkcia) 70

Ide o tzv. nevylučujúcu disjunkciu (inkluzívna disjunkcia = nevylučujúca disjunkcia)

70

pohybu, ktorý stoici dokázali zredukovať na formy svojho úsudkového systému) (Berka

1994, 30).

Hoci boli práce stoikov a obzvlášť Chrýsippa v období antiky nemenej významné ako

Aristotelovo rozpracovanie pojmovej logiky, základy stredovekej logiky ovplyvnil práve

Aristotelés, ktorého Kategórie do latinčiny preložil a uviedol v 6. stor. komentátor Boëthius.

Zmienky o stoickom logickom systéme sa nám bohužiaľ zachovali len v zlomkoch a v

správach životopiscov.

71

5.3 Obdobie komentátorov

Aristotelov žiak Theofrastos z Erezu (371 – 286 pr. Kr.) rozvinul za pomoci analógie

Aristotelovu sylogistiku do formy hypotetických úsudkov. Analogicky k asertorickým

sylogizmom rozlišoval tri figúry hypotetických sylogizmov. Všetky mali formu implikácie.

Súčasne s Aristotelom a Theofrastom sa nimi zaoberala aj spomínaná megarsko-stoická

škola.

Približne od 2. stor. pr. Kr. nadväzovali na Aristotelovo učenie rôzni autori, ktorí

písali komentáre k Aristotelovým spisom, preto sa toto obdobie až do 6. stor. po Kr. – teda až

po Boëthiovu tvorbu – označuje za obdobie komentátorov (Sousedík 2008, 38). Hoci

Cicero (106 – 43 pr. Kr.) nevynikol v logike svojou pôvodnou tvorbou, z tohto obdobia nám

zachoval záznamy z prác niektorých stoikov a prispel aj latinským prekladom niektorých

gréckych termínov antickej logiky (Volek 1999, 41). K najznámejším Aristotelovým

komentátorom patrili Androníkos z Rhodu (okolo 70 po Kr.), ktorý pripravil nové vydanie

Aristotelových spisov; Apuleius (2. stor.), ktorý zaviedol latinskú terminológiu pre

Aristotelove všeobecné a čiastočné výroky ako aj schému logického štvorca; Galénos (130 –

200), ktorý skúmal päť nepriamych modov prvej sylogistickej figúry, neúplnú disjunkciu

a relácie; Alexandros z Afrodíziady (okolo roku 200) a Porfyrios z Tyru (232 – 304), ktorý

vypracoval náuku o predikábiliách a usporiadal spôsoby predikovania do vlastnej sústavy,

tzv. „Porfyriovho stromu“. Porfyrios napísal tiež dielo Úvod do Aristotelových Kategórií,

ktorý spolu s Aristotelovými Kategóriami preložil do latinčiny v roku 525 spomínaný

Boëthius, čím vlastne položil základy latinskej scholastickej terminológie (Tamže, 41).

72

5.4 Stredoveká logika

O stredovekej logike hovoríme približne v rozmedzí 6. až 15. stor. Toto označenie

sa nekryje s označením scholastickej logiky. Všeobecne sa rozoznávajú dve vývojové etapy

stredovekej logiky – logica antiqua (starobylá logika, 6. stor. až začiatok 13. stor.) a logica

modernorum (logika moderných, 13. až 14. stor.) (Nytrová, Pikálková 2007, 200; Sousedík

2008, 100). Berka niekedy navyše hovorí aj o poslednej tretej etape (od polovice 14. do

polovice 15. stor.), v rámci ktorej dochádza k systematizácii stredovekej logiky a objavujú sa

aj niektoré pokrokové myšlienky týkajúce sa logickej syntaxe, sémantiky, ba dokonca

logického kalkulu. Pre scholastický dogmatizmus sa však nemohli presadiť a v niektorých

prípadoch museli čakať na svoje znovuobjavenie až do konca 19. či začiatku 20. storočia,

keď sa začala utvárať moderná formálna logika (Berka 1981, 14; Berka 1994, 191).

5.4.1 Prechod od antiky k stredoveku

Stredoveká logika spočiatku do značnej miery nadväzovala na antickú. Dedičstvo

antiky stredoveku sprostredkoval rímsky filozof A. M. S. Boëthius (480 až 524), ktorý

niekedy býva zaraďovaný aj ku scholastike, pretože žil v čase zániku západorímskej ríše.

Vedome založil svoju logiku na analýze latinského jazyka, do ktorého preložil Aristotelove

spisy (Organon) a komentáre (Porfyriov Úvod do Aristotelových Kategórií) ako aj

Cicerónove komentáre. K tomuto súboru poznatkov prispel tiež vlastnými prácami o logike,

napr. spisom O hypotetickom sylogizme (Berka 1981, 13; Berka 1994, 190). Vytvoril

prakticky posledný systém antickej výrokovej logiky, ktorého objektovým jazykom bola

latinčina. S jej využitím definoval aj výrokové premenné (Berka 1994, 35). V jeho diele sa

konfrontuje peripatetické a stoické chápanie logiky. Zaoberal sa otázkami úžitku logiky a jej

zaradenia do štúdia filozofie. Považoval logiku skôr za nástroj vedy a teda za druh umenia

(„ars“), pretože jej cieľ sa nepodobal ani cieľom teoretických, ani praktických vied, no bol

podľa neho s oboma druhmi vied spojený. Toto riešenie bolo inšpirované peripatetickým

prístupom k predmetu logiky. Zvažoval však aj stoickú alternatívu, podľa ktorej by logika

vedou byť mohla. Jej predmet by tvorilo štúdium jazyka (hlavne argumentácie), no nezaujal

vyhranené stanovisko a problém uzatvoril zmierlivo, keď skonštatoval, že logike nič nebráni

byť súčasne časťou filozofie a zároveň jej nástrojom. Boëthiovo chápanie logiky z čias

raného stredoveku síce neprinieslo organickú syntézu peripatetickej a stoickej logiky, napriek

tomu však predznamenávalo jej moderné chápanie, podľa ktorého je logika samostatná

vedecká, avšak nefilozofická disciplína zaoberajúca sa jazykom a schopná uplatniť svoje

výsledky tam, kde sa používa argumentácia (Sousedík 2008, 98).

Po rozpade rímskej ríše historické okolnosti spôsobili, že antická tradícia logiky sa

zachovala prostredníctvom moslimských zdrojov. Ich predstaviteľmi boli hlavne Al-Fárábí

(875-950), nazývaný „Aristotelom východu“, pretože podrobne študoval Aristotelove spisy.

Logiku delil na dve pomerne samostatné časti: náuku o pojmoch, ktorá obsahuje aj

metodologické vysvetlenie klasifikácie definícií; a náuku o súdoch a úsudkoch,

metodologicky doplnenú o teóriu dôkazu (Berka 1994, 52). Lekár Abú Alí ibn Síná (980-

1037), latinizovaným menom Avicenna, napísal vlastnú učebnicu logiky a aj vo svojich

komentároch rozpracoval náuku o definíciách a teóriu implikatívnych výrokov. Ibn Rušd

(1126-1198), latinizovaným menom Averroes, tiež písal komentáre k Aristotelovi a zachoval

sa zaznamenaný aj jeho názor, že človek nemôže byť šťastný bez znalosti logiky (Tamže,

52). V západnej Európe sa záujem o logiku začína oživovať až na prelome 10. a 11. storočia

(Berka 1981, 190).

73

5.4.2 Logica antiqua

Logika sa vyučovala spočiatku v školách pri kláštoroch (scholae interior claustri),

kde boli vzdelávaní mnísi a kňazi, ďalej v dvorských školách (scholae palatinae) a tiež

v školách pre laikov (scholae exterior). Na konci 12. a začiatkom 13. stor. sa v Európe

zakladajú prvé univerzity v Paríži, Bologni, Oxforde, Cambridgei a Prahe (Berka 1994).

V období scholastiky sa logika stáva jedným zo siedmych slobodných umení (artes

liberales). Ich zvládnutie bolo podmienkou štúdia teólogie, medicíny a iných vied na

stredovekých univerzitách. Skladali sa zo štyroch matematických (quadrivium) a troch

jazykových umení (trivium), medzi ktoré spolu s gramatikou a rétorikou patrila aj logika

chápaná ako formálny nástroj alebo pomocná veda (Sousedík 2008, 100).

V tomto období sa v západnej Európe vedelo len o Aristotelových spisoch Kategórie a

O vyjadrovaní a Porfyriových komentároch, ktoré sprostredkoval spomínaný Boëthius. Prvú

fázu charakteristickú spracovaním týchto poznatkov Aristotelovho diela nazývame starou

logikou (logica vetus). Jednou zo zaujímavých osôb tejto vývojovej fázy bol Alkuin (735-

804, narodený v Anglicku). Vyučoval na dvore Karola Veľkého, poznal antickú a byzantskú

kultúru a pre potreby vyučovania trivia napísal prvý stredoveký spis o logike Dialectica.

Ďalším autorom tohto obdobia bol Ján Scotus Origen (810-877), ktorý sa zaoberal

sylogistikou (Berka 1994, 52). O sprístupnenie logiky širšej skupine záujemcov sa v tejto

dobe pokúšali najmä írski mnísi, ale okrem nich aj iné osobnosti, napr. Gerbert (935 - 1003),

ktorý sa v roku 999 stal pápežom Silvestrom II. (Sochor 2011, 302). Nemecký logik Notker

Labeo (1022) bol vlastne prvým, kto v stredoveku nadviazal na Boëthia a venoval sa

výrokovej logike (Berka 1994, 34). Boëthiove práce mali vplyv aj na najvýznamnejšiu

osobnosť stredovekých dejín logiky Petra Abelarda (1079-1142), ktorý sa zaoberal najmä

odvodzovacími pravidlami. Aj keď má jeho tvorba väčšinou povahu opakovania

a upravovania starších myšlienok, jej význam spočíval hlavne v šírení poznatkov logiky vo

veľkom okruhu poslucháčov (jeho prednášky mohlo údajne navštevovať až 5000 študentov)

(Sochor 2011, 302). Pri zostavovaní prednášok Abelard často nanovo formuloval a opravoval

starú látku, napr. štvrtá časť jeho Dialektiky („De propositioibus et syllogismis hypotheticis“)

je parafrázou Boëthiovho spisu O hypotetickom sylogizme (Berka 1994, 34). Abelard tiež

napr. ukazoval, ako je možné v prípadoch pravidiel „modus ponens“ a „modus tollens“ za

použitia bežných logických pravidiel odvodiť jedno pravidlo z druhého. Pri systematickom

rozbore chybného usudzovania sa zmieňuje aj o tom, že z neplatnosti antecedentu nemôžeme

vyvodiť ani platnosť, ani neplatnosť konzekventu; z platnosti antecedentu nevyvodíme

neplatnosť konzekventu; z platnosti konzekventu nevyvodíme ani platnosť, ani neplatnosť

antecedentu; a že z neplatnosti konzekventu nevyvodíme platnosť antecedentu (Sochor 2011,

303). Abelardovo dielo Dialectica býva často považované za hlavné dielo starej logiky

(Sousedík 2008, 100). Príznačná je pre neho aj zmena spôsobu vyučovania, keďže na rozdiel

od Alkuina, ktorý sa sťahoval spolu s dvorom Karola Veľkého, Abelard vyučoval v Paríži

a jeho okolí (Sochor 2011, 303).

Až do Abelardových čias stredovekí logici vôbec nepoznali ďalšiu časť

Aristotelových spisov. V druhej fáze vývoja starobylej logiky známej ako logica nova (12.

stor. – začiatok 13. stor.) sa zo spomínaných moslimských zdrojov do Európy dostávajú

ďalšie Aristotelove práce – Prvé a Druhé analytiky, Topiky a spis O sofistických dôkazoch,

tvoriace zvyšok Organonu. Počiatočnú nedôveru k týmto prácam prelomil svojimi

komentármi Albert Veľký (1193-1280), ktorý študoval predovšetkým sylogistiku a vzťahy

vyplývania (Tamže, 303). Medzi ďalších významných predstaviteľov tohto obdobia patrili

Ján zo Salisbury (1110-1180), ktorý sa zaoberal modálnou logikou a k tejto problematike

napísal spis Metalogicum; ako aj Adam Balsham, ktorý okolo roku 1132 napísal spis Ars

Disserendi a skúmal problematiku paradoxu klamára (Berka 1994, 52-53).

74

5.4.3 Logica modernorum

Druhá vývojová etapa stredovekej logiky sa vyznačuje postupným prekonávaním

Aristotela, ktorého dielo už bolo Európe v období 13. až 14. stor. prístupné prakticky celé

(Berka 1988, 190). Recepcia ďalších Aristotelových spisov sa stala predpokladom

konštituovania špeciálnych oblastí stredovekej logiky. Pojmová logika rozpracovala učenie

o vlastnostiach termínov; na stoické systémy výrokovej logiky, zachované prostredníctvom

neskoro antických resp. ranne stredovekých komentátorov, nadväzuje náuka o dôsledkoch;

bola ďalej rozpracovaná Aristotelova sylogistika, modálna logika a v latinčine sa objavujú aj

rozbory syntaktických a sémantických problémov prirodzeného jazyka (Berka 1994, 52).

Autori začínali postupne k sume týchto poznatkov pridávať nové „moderné“ poznatky, ktoré

sa tematicky rozdeľovali do siedmych skupín: propriotates terminorum, syncategoremata,

exponibilia, consequentiae, obligationes, insolubilia, a sophismata (Sousedík 2008, 101-102).

Wiliam zo Shyreswoodu (zomrel v roku 1249) napísal Úvod do logiky (Introductiones in

Logicam), v ktorom zaviedol aj niektoré mnemotechnické pomôcky, napr. pomenovanie

„barbara“ pre prvý modus platného sylogizmu prvej figúry (Sochor 2011, 303). Tieto

pomôcky po ňom vylepšil a rozšíril Peter Hispánsky (1210-1277, stal sa pápežom Jánom

XXI.) v knihe Summulae Logicales. Tá sa stala štandardnou stredovekou učebnicou logiky

(Tamže, 303). V 13. stor. tvoril aj Roger Bacon (1214-1294), autor Summulae Dialecticae.

Podraďoval logiku náuke o metódach – metodológii. Ján Duns Scotus (1270-1308) sa

zaoberal pojmovou a výrokovou logikou a medzi jeho najznámejšie spisy patria Quaestiones

in Universam Logicam, Tractatus de Modis Significandi seu Grammatica Speculativa (Berka

1994, 53). Aj keď autorstvo jeho logických spisov je sporné, býva mu pripisovaná formulácia

„zákona Dunsa Scota“, podľa ktorého z logického sporu vyplýva čokoľvek (Sochor 2011,

43). Obzvlášť zaujímavou postavou z perspektívy dejín logického myslenia bol na prelome

13. a 14. stor. R. Lullus (1235-1315). Vo svojom diele Veľké umenie (Ars magna),

formuloval ideu logického kalkulu, ktorá neskôr inšpirovala G. Leibniza k myšlienke

mathesis universalis (Berka 1988, 191). Jeho kombinatorické úvahy boli podnetné už pre G.

Bruna, ako aj učiteľa národov J. A. Komenského či Alsteda. Kryptografiou sa zasa inšpiroval

A. Kircher a filozofická gramatika 17. storočia (Berka 1994, 53).

V období od 14. do polovice 15. stor. sa stredoveká logika systematizuje, vychádzajú

kompendiá logiky pod názvami Summa Totius Logicae, Logica Magna, De Puritate Artis

Logicae, Summula de Dialectica. Prispievateľmi k týmto kompendiám boli hlavne Wiliam

Occam (1295-1349) – pôvodca Occamovej britvy (princípu úspornosti myslenia

zamedzujúceho zbytočnému postulovaniu existencie zdvojených entít), Walter Burleigh

(zomrel 1343), Albert Saský (1316-1390), Jan Buridan (zomrel 1398), a P. Venetus

(zomrel 1429) (Berka 1994, 53). Zo začiatku 14. storočia sa zachoval aj anonymný rukopis

sumarizujúci snahy o riešenie antického paradoxu klamára (Sochor 2011, 303).

75

5.4.4. Logika v období renesancie (vznik tradičnej logiky)

Obdobie renesancie zaujíma voči scholastike a stredovekému aristotelizmu kritický

postoj a celkovo sa oslabuje záujem o štúdium formálnych problémov logiky. Obdobie

stagnácie v štúdiu formálne logickej problematiky (začína sa utvárať už v tomto období, no

formuje sa hlavne v novoveku a pretrváva v podstate až do prelomu 19. a 20. stor.) sa nazýva

aj tradičnou logikou. Kritici však často nedokázali dostatočne rozlišovať medzi aristotelskou

logikou a stredovekým aristotelizmom, t. j. zjednodušeným školským výkladom logiky pre

potreby teologických dišpút a detailnými analýzami stredovekých logikov. Predstaviteľmi

tejto kritiky boli v Taliansku L. Valla (1405-1457), v Nemecku R. Agricola (1442-1485) a

vo Francúzsku Petrus Ramus (1515-1572) (Berka 1988, 191). Ramistická logika

predstavená spisom Dialecticae Institutiones (1543) rozširuje štyri figúry asertorickej

sylogistiky o dva nové mody so singulárnym stredným termínom. Reformačný prúd myslenia

reprezentuje Melanchthonova (1497-1565) dialektika (Compendiaria Dialectices Ratio a

Eortemata Dialectices) (Berka 1994, 77). Hoci mali títo autori výhrady voči neproduktívnosti

aristotelovského deduktívneho systému, nedotkli sa čisto logickej problematiky Organonu

(Berka 1981, 14). Rozvoj modernej prírodovedy v tomto období poskytol impulzy k štúdiu

teoretických a praktických otázok vedeckej činnosti a Francis Bacon (1561-1626)

vypracoval v Novom Organone (1620) induktívnu logiku (Berka 1988, 191).

76

5.4.5. Novoveká logika (cesta k modernej logike)

V období 16. až 17. stor. ešte doznievali logické systémy nadväzujúce na scholastickú

tradíciu, no vývoj formálnej logiky sa prerušil. Dôraz sa pri štúdiu jazyka kládol na jeho

estetickú stránku, rozvíjala sa psychológia, rétorika a teória poznania. René Descartes (1596-

1650) sproblematizoval otázku metódy poznávania, keď napísal práce Rozprava o metóde a

Pravidlá na vedenie rozumu. Aj medzi humanistami sa však objavili myslitelia, ktorí

nadväzovali na Aristotela a stoikov a oproti nim považovali stredoveké vplyvy za barbarské.

Práve medzi nimi vzniklo jadro tradičnej logiky a okrem formálne logických problémov

skúmali hlavne otázky poznania a psychológie. (Nytrová, Pikálková 2007, 201).

V 17. stor. vývoj logiky nebol vonkoncom jednotný. Na jednej strane sa utvárala

spomínaná tradičná logika, na druhej strane sa však objavili aj niektoré pokrokové myšlienky

charakteristické pre súčasnú logiku. Pre tradičnú logiku bola základným dielom učebnica P.

Nicola (1625-1695) a A. Arnaulda (1612-1694) z roku 1662 - La Logique, ou l’ Art de

Penser (Logika alebo umenie myslieť), známa tiež ako Port-royalská logika, ktorá zhŕňala

obsah Aristotelových Kategórií, spisu O vyjadrovaní, a začiatočné kapitoly Prvých analytík.

Celkom však oproti stredovekej logike vynechávali náuku o supozíciách, modálnu logiku,

teóriu odvodzovania a diskusiu o antinómiách. Predpoklady k systematizácii tradičnej logiky

je však možné nájsť už v tých stredovekých učebniciach, ktoré sa primárne zaoberali

metodologickými otázkami alebo argumentáciou. Učebnice 17. storočia ale často bývali

poznačené silným psychologizmom pri vysvetlení procesov usudzovania a explicitne

ontologickou interpretáciou logických zákonov a pravidiel. Príkladom je aj spomínaná Port-

royalská logika, ktorá bola používaná až donedávna napriek tomu, že deduktívne postupy

vysvetľuje prinajmenšom veľmi zjednodušene (Berka 1988, 192). Vyššiu úroveň dosiahla

učebnica Logica Hamburgensis, hoc et Institutiones Logicae (1638), známa aj vo svojej

skrátenej verzii Compendium Logicae Hamburgensis od J. Jungia (1587-1657). Hoci sa

zaoberala modálnou a relačnou logikou, Jungius sa pri jej koncipovaní tiež opieral o silný

psychologizmus (Berka 1994, 78). Tradičná logika bola vlastne pre potreby vedy prakticky

bezcennou, pretože nenadviazala na dobový vývoj vedeckého poznania. (Čechák, Berka,

Zapletal 1981, 14).

Na druhej strane však matematická logika, symbolická logika, či logistika

predznačovali počiatky modernej formálnej logiky. Pod vplyvom Lullových

kombinatorických inšpirácií sa začala rozvíjať myšlienka mathesis universalis, univerzálnej

vedy s jednotnou matematickou metódou, jazykom a novou logikou, podporovaná aj

vývojom modernej prírodovedy, v ktorej došlo k úzkemu prepojeniu fyziky a matematiky a

osvietenského racionalizmu (Berka 1988, 192). G. W. Leibniz (1646-1716) v snahe o

rozšírenie ideálu matematizácie vedy, ktorého korene siahajú až k antickým pýthagorovcom,

formuloval pre novú logiku (označovanú aj ako logica či logistika) nasledujúce požiadavky:

1. vybudovanie všeobecného systému znakov, obsahujúceho ich dva druhy: základné

znaky pre charakteristiku základných pojmov a definované znaky pre charakteristiku

všetkých ostatných pojmov – tzv. characteristica universalis;

2. vytvorenie logického kalkulu, ktorý by umožňoval kalkulové riešenia rôznych

problémov, pričom výrazy kalkulu by boli vyjadrené znakmi všeobecnej

charakteristiky – tzv. calculus ratiocinator;

3. vytvorenie rozhodovacej procedúry, dovoľujúcej o každom výraze kalkulu rohodnúť,

či je pravdivý alebo nepravdivý – tzv. ars iudicandi. (Berka 1988, 192).

77

Leibniz odlišoval matematiku a logiku na jednej a empirické vedy na druhej strane a

analogicky k tomuto rozlíšeniu aj analytické a syntetické vety; a rozumové a faktové pravdy

(Berka 1994, 83). Svoju koncepciu logiky metodologicky založil na princípoch logického

atomizmu, ktorý je možné zhrnúť do piatich bodov:

1. každý pojem je možné redukovať na určitý malý počet základných jednoduchých

pojmov, ktoré tvoria myslenie;

2. zložené pojmy sa získavajú z jednoduchých logickým násobením, pričom každý

pojem má určité charakteristické číslo, napr. človek = 6, živočích – 2, a rozumný = 3;

definícii „človek je živočích rozumný“ zodpovedá potom numerický výraz 6 = 2 * 3;

3. súbor výrokov vyjadrujúcich vzťahy medzi základnými pojmami je bezosporný;

4. každý výrok má subjektovo-predikátovú formu;

5. pravdivé kladné výroky sú považované za analytické, ich predikát je obsiahnutý v

subjekte (Berka 1994, 86).

Zaviedol aj novú definíciu totožnosti, podľa ktorej sú termíny totožné, ak môžeme

jeden ľubovoľne nahradiť druhým bez zmeny pravdivosti akéhokoľvek tvrdenia, pričom A =

B označuje, že A a B sú totožné. Ide o ekvivalenciu, pri ktorej je implikácia zľava doprava

matematizovaná na základe princípu dôkazu rovností (Sochor 2011, 305). Totožnosť teda

Leibniz chápal na základe princípu totožnosti nerozlíšiteľných entít, pričom platí, že nemôžu

jestvovať dve absolútne nerozlíšiteľné entity. Okrem tohto ontologického chápania totožnosti

ju chápal Leibniz ešte aj sémanticky v zmysle princípu substitúcie, podľa ktorého môžu byť

entity totožné len vtedy, ak je možné označenie jednej dosadiť v každom pravdivom výroku

za označenie druhej bez toho, aby to ovplyvnilo pravdivosť („salva veritate“) (Berka 1994,

85). V rámci predikátovej logiky Leibniz interpretoval singulárne výroky ako všeobecné a v

každej zo štyroch sylogistických figúr uznával na základe kombinatorických výpočtov šesť

platných modov. Navrhol tiež kruhové a štvorcové diagramy pre znázorňovanie sylogizmov.

Za autora kruhových diagramov sa však bežne považuje L. Euler. Leibnizov návrh bol

publikovaný až neskôr (1903), dokonca ešte neskoršie než Vennov (1880). (Berka 1994, 86)

Leibnizov reformný program, ktorý zaznamenávali hlavne jeho nevydané spisy, našiel

odozvu vďaka posmrtne vydanej práci Nové úvahy o ľudskom rozume (1756). Väčšina jeho

prác týkajúcich sa logiky však upadla do zabudnutia a bola vydaná najskôr až koncom 19.

storočia (Berka 1988, 192). Uverejnená časť jeho prác a jeho intenzívna korešpondencia však

predstavovali pre jeho nasledovníkov postačujúci vplyv, obzvlášť pre G. Ploucqueta, J. H.

Lamberta, G. J. von Hollanda, G. F. Castillona, S. Maimona, a J. D. Gergonneho.

Koexistujúci prúd tradičnej logiky sa však stával stále viac závislým na teórii

poznania a psychológii. Uskutočneniu Leibnizovho programu matematizácie vied prekážal aj

ahistorický názor o dokonalosti a uzavretosti Aristotelovej logiky zastávaný I. Kantom

(1724-1804). Kant sa pokúšal vytvoriť obsahovú logiku, ktorú nazval transcendentálnou,

čo zapríčinilo odlišovanie formálnej logiky. (Berka 1994, 80)

78

5.5 Počiatky matematickej logiky v 19. storočí

V 19. storočí sa oživuje záujem o logiku a ožíva aj staronová disciplína –

matematická logika. V kontexte technickej orientácie spoločnosti a rozvoja priemyslu sa

logika stáva v 19. a 20. storočí nástrojom myslenia v matematike. Jej priekopníkmi bývajú v

tomto období často ľudia, ktorých primárnou sférou záujmu bola matematika (Nytrová,

Pikálková 2007, 202). Ako sa neskôr ukázalo, tradičná logika totiž ani nemohla byť

primeraným nástrojom pre štúdium logických základov matematiky. Na utváranie modernej

logiky pôsobili významne aj podnety z rozvíjajúcej sa metodológie deduktívnej výstavby

matematických teórií, ako napr. neeuklidovskej geometrie spracovanej N. I. Lobačevským

(1792-1856) a B. Riemannom (1826-1866). Poukazovali na skutočnosti, že evidentnosť,

jednoduchosť či názornosť axióm neboli postačujúcim dôvodom pre ich výber, a že intuitívne

poskytnuté dôkazy matematických tvrdení nepostačovali. Teória množín, ktorá so sebou

priniesla nové paradoxy a na ktorej mala matematika stavať svoje základy, spôsobila stratu

hodnovernosti bežne používaných logických prostriedkov matematických dôkazov. (Berka

1988, 193)

Najvýznamnejším predchodcom modernej logiky bol Bernard Bolzano (1781-1848),

ktorý na rozdiel od Leibniza anticipoval vo svojom Vedosloví71

(1837) problém sémantiky,

ktorá bola rozpracovaná podrobnejšie v tridsiatych rokoch 20. storočia. (Berka 1988, 193).

Bolzanovo dielo bolo však príliš objemné na to, aby ho počas jeho života mohol niekto

systematicky preštudovať a nemalo teda priamy vplyv na ďalší vývoj logiky. Bolzanov prínos

je možné zhrnúť do troch tematických okruhov – chápania deduktívnej a induktívnej logiky,

filozofických základov logiky a metodológie deduktívnej výstavby vied. (Berka 1994, 91).

Ako prvý vedome opieral svoju logiku variácií o pojem premennej, pričom uvažoval aj o

vetnej forme. (Berka 1994, 91). Bolzano sa snažil postaviť logiku na pojmoch predstáv a viet

v objektívnom zmysle. Logickými konštantami chápal všetky pojmy, ktoré majú vo všetkých

interpretáciách (leibnizovských možných svetoch) rovnaký zmysel. (Berka 1994, 94).

Napriek faktu, že za zakladateľa teórie množín býva obvykle považovaný Georg

Cantor (1845-1918), za prvú prácu, ktorá sa v dejinách logiky systematicky venuje tejto

problematike, sa pokladá práve Bolzanova posmrtne vydaná kniha Paradoxy nekonečna72

,

ktorú Cantor poznal a jej teóriu posilnil ešte o axiómu potencie. Urobil z nej všeobecne

akceptovaný rámec celej matematiky. (Sochor 2011, 306).

Okrem toho, že Bolzano anticipoval teóriu množín a problémy, ktoré ju neskôr naozaj

sprevádzali, venoval sa aj filozofii matematiky a matematickej metóde. Domnieval sa o nej,

že je primeraná pre deduktívnu a definitorickú výstavbu vied. V teórii dôkazov rozlišoval

vedecké dôkazy alebo zdôvodnenia uvádzajúce objektívny dôvod danej vety a heuristické

dôkazy alebo uistenia poskytujúce pocit istoty, že dokazovaná veta je pravdivá. Podobne

rozlišuje tiež explikácie zachytávajúce terminologické konvencie alebo význam použitých

jazykových výrazov a definície či pojmové určenia, ktoré určujú obsah pojmov na základe

skladby. (Berka 1994, 94)

71

V tomto diele formuluje Bolzano napríklad všeobecnú verziu odvodzovacieho pravidla, t. j. dôkaz dedukciou

alebo dedukčný teorém, avšak s vylúčením možnosti prázdnej množiny predpokladov. 72

Názov naznačuje hlavnú myšlienku knihy, podľa ktorej prijatie existencie aktuálne nekonečnej množiny má

paradoxnú povahu teórie, s ktorou sa musíme zmieriť.

79

5.6 Algebra logiky

Za zakladateľa logiky v modernom zmysle slova môže byť považovaný írsky

matematik George Boole (1815-1864), autor knihy Matematická analýza logiky (1847)

(Nytrová, Pikálková 2007, 202). Text paradoxne Boole napísal ako obranu de Morgana

(1806-1878) pred obvinením z plagiátorstva a neskôr ho rozšírený vydal vo svojom hlavnom

diele Skúmanie zákonov myslenia (1854) zaoberajúcom sa matematickými teóriami logiky a

pravdepodobnosti, ktorého náklad si spolu so spomínaným priateľom hradili sami (Sochor

2011, 307). De Morgan vydal ešte v roku 1847 nezávisle na Boolovi knihu Formálna logika

alebo kalkul nutného a pravdepodobného vyplývania. Na pulty kníhkupectiev sa údajne

dostala v ten istý deň ako Boolova kniha, no de Morgan sa v nej zameral skôr na

vypracovanie sylogistiky a rozpracovanie teórie relačných výrokov, nie na algebraizáciu

logiky. Boole sa vo svojich prácach pokúšal o vytvorenie nového systému logiky na

algebraickom podklade. Boolov systém (alebo tzv. „Boolova algebra“) je vlastne binárnou

algebrou, ktorú možno interpretovať aj za pomoci výrokovej logiky. Boole si bol vedomý

tejto vlastnosti svojho systému, no uprednostňoval jeho triedovú interpretáciu. Sám explicitne

formuloval myšlienku závislosti logiky na matematike už v prednáške z roku 1851 v New

Yorku: „Je jednoducho faktom, že zákony logiky sú svojou formou a vyjadrením

matematické, aj keď nepatria k matematike kvantity“ (Berka 1994, 96).

Obdobie algebry logiky sa dovršuje začiatkom 20. storočia, keď L. Couturat píše

Algebru logiky (1905) a E. Schröder predstavuje svoje Prednášky o algebre logiky (1890-

1905). Ďalší autori sa v tomto čase pokúšajú rozpracovať Boolovu koncepciu s väčšou

nezávislosťou na bežnej algebre a študuje sa tiež relačná logika. Medzi predstaviteľov tejto

etapy vývoja modernej logiky patril aj W. St. Jevons (1835-1882). Po Boolovom

rozpracovaní systému algebry logiky sa reakcie nasledovníkov zamerali hlavne na otázku, či

má byť logický kalkul založený extenzionálne na pojme triedy alebo intenzionálne na pojme

atribútu (leibnizovský prúd sa prikláňal k intenzionálnemu chápaniu). Boole sám sa rozhodol

pre extenzionálne chápanie a jeho rozhodnutie predurčilo aj smer skúmania ostatných

predstaviteľov algebry logiky. Ďalšou dôležitou otázkou sa stal spôsob interpretácie kalkulu,

pretože kým Boole, Jevons, Venn a Schröder sa prikláňali k triedovej interpretácii, napr.

McColl sa prikláňal k opačnému prístupu. (Berka 1994, 104)

80

5.7 Základy modernej logiky

Zaujímavou postavou, ktorá mala vplyv na počiatočný vývoj logiky v jej modernej

podobe na prelome 19. a 20. stor., bol Charles Sanders Peirce (1839-1914). Zaoberal sa aj

vylepšením boolovej algebry za použitia matematických nápadov a metód (O zdokonalení

Boolovho logického kalkulu), no jeho sféra záujmu v oblasti logiky bola takpovediac

všestranná (Berka 1994, 117). Peirce tiež rozpracoval výrokovú a relačnú logiku (zapracoval

matematický pojem funkcie do logiky a rozšíril ju o viacmiestne funkcie). Relácie pritom

chápal extenzionálne ako triedy dvojíc a preniesol do logiky aj pojmy tried – relačný súčet,

relačný súčin, doplnok relácie, univerzálnu a prázdnu reláciu. Originálnym nadviazaním na

Filóna, o ktorom v období rozvoja algebry logiky uvažoval málokto, zaviedol materiálnu

implikáciu a dokázal sformulovať zoznam jej vlastností (napr., že pravdivý výrok je

implikovaný akýmkoľvek výrokom) (Tamže, 117-118). Systematicky sa zaoberal vzťahmi

inklúzie, interpretáciou logickej sumy ako alternatívy a postaral sa aj o pokrok v používaní

kvantifikátorov, ktorých podoba sa práve vďaka nemu vlastne priblížila tej, v akej ich

poznáme dnes (Tamže, 117).

Za najvýznamnejšieho predstaviteľa modernej logiky je možné považovať Gottloba

Fregeho (1848-1925), vynálezcu tzv. pojmového písma (Pojmové písmo, 1879),

V pojmovom písme je obsah buď súditeľný (veta je buď pravdivá alebo nepravdivá, napr.

„Russell sedí“, „Stavba stojí“ atď.), alebo nesúditeľný (t. j. nejde o vetu, napr. „najvyššia

hora sveta“, „matematik“ atď.). Frege chápal výroky ako oznamovacie vety, ktoré vždy

disponujú pravdivostnou hodnotou (t. j. sú vždy buď pravdivé, alebo nepravdivé) a pokúsil sa

pomocou analógie preniesť pojem funkcie z matematiky do logiky (Nytrová, Pikálková 2007,

202). Frege nadviazal na Leibnizov program reformy logiky svojou snahou o vytvorenie

charakteristického jazyka (lingua characteristica), ktorý by obsahoval aj logický kalkul

(calculus ratiocinator) a bol schopný presne zachytiť logické vzťahy medzi pojmami a

výrokmi. Bol kritizovaný za ignorovanie výsledkov dosiahnutých Boolom. Fregemu sa však

v tejto práci podarilo formulovať množstvo teoretických poznatkov, s ktorými už dnes logika

bežne pracuje, ako napr. rozdiel medzi premennými a konštantami alebo zákonmi a

pravidlami (Berka 1994, 118). Okrem toho, že zaviedol a vysvetlil pojmy kvantifikátorov a

pojem výrokovej funkcie, vypracoval aj prvý moderný axiomatický systém klasickej logiky:

p → (q → p)

(p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))

(p → (q → r)) → (q → (p → r))

p → q) → (¬q → ¬p)

¬¬p → p

p → ¬¬p

(x)Fx → Fy (Tamže, 118).

Malý záujem o Fregeho dielo zapríčinil ešte počas jeho života tiež fakt, že Frege si na

rozdiel od algebraického zápisu zvolil zrejme prakticky menej prehľadný geometrický

(dvojrozmerný) zápis. Zaviedol termíny „argument“ a „funkcia“ a charakterizoval pojem ako

funkciu, ktorej hodnotou je vždy pravdivostná hodnota (Tamže, 118). Pre argumenty funkcie

nemal Frege špeciálne obmedzenie, mohli nimi byť osoby, predmety, ale aj pravdivostné

hodnoty atď. Za argument Frege pokladal podľa vlastného vyjadrenia čokoľvek, čo nie je

funkciou. Zastával stanovisko logicizmu, keď aritmetiku nepovažoval za nič iné než

rozpracovanú logiku. Domnieval sa, že zdôvodnenie aritmetických zákonov je možné

dosiahnuť redukciou na čisto logické zákony. Stanovisko logicizmu Frege podrobne

81

rozpracoval neskôr vo svojej práci Základy aritmetiky (1884). Otázkami sémantiky a filozofie

logiky sa zaoberal v kratších statiach Funkcia a pojem (1891), O zmysle a význame (1892) a

O pojme a predmete (1892) (Tamže, 118).

Ďalším zakladateľom modernej logiky bol Giuseppe Peano (1838-1932), autor

prehľadnejšej symboliky z prác Arithmetices Principia, Novo Methodo Exposita (1889),

Notations de logique mathématique. Introduction au formulaire de mathématique (1894) a

Formulaire de mathématique (1895-1908). Peano dokázal odvodiť aritmetiku z piatich axióm

(Volek 1999, 44). Jeho axiomatizácia teórie prirodzených čísel sa zakladá na troch

primitívnych pojmoch „nula“, „číslo“, „následovník“ a nasledovných axiómach:

1. nula je prvkom triedy čísel;

2. ak x je prvkom triedy čísel, potom tiež nasledovník x je prvkom triedy čísel;

3. ak je x prvkom triedy čísel, potom sa nasledovník x nerovná nule;

4. ak sú x a y prvky triedy čísel a nasledovník x sa rovná nasledovníkovi y,

potom tiež x sa rovná y;

5. ak je X ľubovoľná trieda taká, že (a) nula je prvkom triedy X, (b) pre každé

číslo x platí: ak x je prvkom triedy X, potom tiež nasledovník x je prvkom

triedy X, potom každé číslo je prvkom triedy X. (Berka 1994, 120)

Prvé dve Peanove axiómy charakterizujú triedu čísel, ku ktorej patrí nula a všetky

ďalšie čísla, ktoré sú jej nasledovníkmi. Ďalšie dve axiómy charakterizujú pojem

následovníka, pretože nula nie je následovníkom žiadneho čísla a je teda v danom systéme

najmenším číslom. Štvrtá axióma určuje, že rôzne čísla nemôžu mať rovnakých

následovníkov a piata axióma je „axiómou matematickej indukcie.“73

Formalizovaná podoba Peanovej axiomatizácie vyzerá nasledovne:

A. primitívne pojmy: 0, N,´

definované pojmy: 1 = df 0´, 2 =df(0´)´, atď.

B. axiómy:

1. 0 N

2. (x)(x N → x´ N)

3. (x)(x N → x´ ≠ 0)

4. (x)(y)(x N y N x´ = y´ x = y)

5. (X)(( (x) (x X x´ X)) (y)(y N y X)

(Tamže, 121).

Peano namiesto zátvoriek (tak ako sa používajú dnes) používal bodky. Zaviedol tiež

rozdiel medzi voľnými a viazanými premennými, odlišoval vzťah inklúzie od vzťahu „byť

prvkom“ nejakej triedy a tiež odlišoval objekt od triedy, ktorej je objekt jediným prvkom.

Definoval aj pojem prvočísla ako čísla, ktoré je väčšie ako 1 a nie je súčinom dvoch kladných

čísel väčších ako 1 (Tamže, 120-121).

Bertrand Russell (1872-1970) ako prvý rozpoznal význam Fregeho systému a

nahradil jeho „geometrickú“ symboliku Peanovou. Nadviazal tiež na Fregeho logicizmus.

Podľa Russella bola matematika súčasťou formálnej logiky. Pokúsil sa teda definovať všetky

73

Matematická indukcia je metóda dokazovania platnosti výroku v matematike, ktorá postupuje zvyčajne

v dvoch krokoch. V prvom kroku sa dokáže, že výrok platí pre n alebo pre iné malé prirodzené číslo. V druhom

kroku sa dokáže platnosť implikácie, že ak platí ten istý výrok pre n, potom platí aj pre n + 1.

82

aritmetické pojmy pomocou logických pojmov a odvodiť všetky aritmetické teorémy z

logických axióm. Tento projekt sa mu však nepodarilo úspešne dokončiť (Čechák, Berka,

Zapletal 1981, 18). Russellova teória typov74

bola reakciou na problematiku logických

paradoxov75

, ktorým sa nevyhli ani Fregeho Základné zákony aritmetiky.

Najproblematickejším pri realizovaní programu logicizmu sa Russellovi ukázala byť paradox

množiny všetkých množín, ktoré nie sú prvkami samých seba. V reakcii naň zaviedol

extenzionálnu formuláciu, podľa ktorej sú čísla definované ako triedy tried majúcich rovnakú

mohutnosť (napr. číslo 3 je triedou všetkých trojíc). Tieto myšlienky ho v spolupráci s A. N.

Whiteheadom (1861-1947) viedli k syntetizovaniu systému klasickej logiky. (Tamže, 19)

Russellovo dielo Principia Mathematica (1910 - 1913) napísané v spolupráci s

Whiteheadom a tiež samostatne napísané dielo Matematická logika založená na teórii typov

(1908) predstavujú v dejinách modernej logiky dôležitý bod, pretože určili podobu klasickej

logiky a všetci neskorší autori už patria skôr k súčasným diskusiám než k dejinám logiky

(Sousedík 2008, 142). Tieto Russellove práce sa zaoberajú prirodzenou kategorizáciou

logických objektov a poskytujú ontologicky založené východisko sémantických základov

logiky a jej syntaktickej výstavby (Berka 1994, 122). Bolo by namieste tvrdiť, že Principia

Mathematica majú vďaka syntéze predchádzajúceho vývoja podobný význam pre súčasnú

logiku ako Aristotelovo dielo Organon pre predchádzajúc etapy vývoja dejín logiky (Tamže,

124).

74

Logické triedy mohli podľa Russella obsahovať ako svoje prvky iba predmety nižšieho rádu, pričom logickým

typom rozumel obor premennosti argumentu nejakej výrokovej funkcie. 75

Pre ich riešenie formuloval princíp bludného kruhu a axióm reducibility.