Inovace a zvýšení atraktivity studia optikyreg. č.: CZ.1.07/2.2.00/07.0289

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Úlohy k přednášce Vlnová a paprsková optika OPT/VPO1X (řešení úloh pomocí programů OSLO Premium fy Lambda Research a MATLAB)

Zdeněk Bouchal

OBSAH:

I. Šíření světla nehomogenním prostředím

I.1 Prostředí s axiálním gradientemI.2 SELFOC – prostředí s radiálním gradientemI.3 Gradientní čočkaI.4 Luneburgova čočkaI.5 Maxwellova rybí čočkaI.6 Woodova čočka

II. Paraxiální zobrazování

II.1 Zobrazení kuličkouII.2 Afokální čočkaII.3 Kuličkový retroreflektor

III. Gaussovský svazek

III.1 Volné šíření GSIII.2 Obecná transformace GS čočkouIII.3 Fokusace GS čočkouIII.4 Kolimace GS dvoučlenným systémemIII.5 Průchod GS nehomogenním prostředímIII.6 Určení módů SELFOC prostředí

I. Šíření sv ětla nehomogenním prost ředím

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]riktirhtrH

riktiretrErrrrr

rrrrr

ϕωϕω

+=

+=

exp,

exp,

Monochromatická EM vlnaMaxwellovy

rovnice

Eikonálová rovnice

2n=∇⋅∇ ϕϕ

( )rnnr=

0→λ

Paprsková rovnice

nds

rdn

ds

d ∇=

r

vlnoplocha

trajektoriepaprsku

ϕ∇směr paprskun

vk

λπω 2==

Index lomu se mění v prostoru:

Řešení paprskové rovnice:

• analytické(s použitím paraxiální aproximace)

• numerické(Runge-Kuttova metoda, program Oslo)

Typy nehomogenních prostředí(možnost simulace v programu Oslo):

• axiálně-radiální gradient• axiální eliptický gradient• Woodova čočka• SELFOC gradient• sférický gradient• Maxwellova rybí oko• Luneburgova čočka

ϕrr

Úloha I.1: Prost ředí s axiálním gradientem

Zadání: Určete trajektorii paprsků, které se šíří prostředím, jehož index lomu je určen funkcí , kde A a B jsou reálné konstanty. Paprsek leží v rovině (x,z) a v rovině z=0 má vzdálenost x0 od osy z a svírás ní úhel θ0. Řešení úlohy ověřte simulací šíření paprsku v programu Oslo Premium.

zBAn ⋅+=

Postup výpo čtu:Paprsková rovnice pro axiální změnu indexu lomu : , kde( ) 0sin =θn

ds

d22

sindzdx

dx

ds

dx

+==θ

Použití okrajové podmínky:( )

dxA

ABzAz ∫

−+=

0

0222

sin

sin

θθ

Trajektorie paprsku:( ) 0

222

00

sin

sin)(

θθABzA

zAxzx

−++=

Diskuze výsledku:• Součin n sin θ je v prostředí konstantní – pro libovolnou vzdálenost šíření paprsku je splněn zákon lomu:

• Trajektorie paprsku je odlišná pro B1 = B a B2 = - B.• Pro B=0 je trajektorie paprsku přímočará:

( ) ( ) 00 sinsin θθ nzzn =

00)( θtgzxzx ⋅+=

Prostředí s axiálním gradientem – program OSLO Premium Zadání parametr ůprost ředí:

Prostředí s axiálním gradientem – program OSLO Premium

Zadání parametr ů paprsku:

Poloměr vstupního svazku

Úhel zorného pole

Předmětovávzdálenost

Podmínky vykreslení paprsk ů:

Počet svazků

Počet paprsků

Znázorn ění chodu paprsk ů:

Úloha I.2: SELFOC – prost ředí s radiálním gradientem

Zadání: Určete trajektorii paprsků, které se šíří prostředím, jehož index lomu je určen funkcí , kde n0 a α jsou reálné konstanty a . Paprsek leží v rovině (r,z) a v rovině z=0 má vzdálenost r0od osy z a svírá s ní úhel θ0. Řešení úlohy ověřte simulací šíření paprsku v programu Oslo Premium.

( )21 220 rnn α−=

222 yxr +=

Postup výpo čtu:

Paprsková rovnice upravená s použitím paraxiální aproximace :dzddsd ≈ 022

2

=+ rdz

rd α

( ) ( )zzrr ααθα sincos 0

0 +=

( ) ( )zzr αθααθ cossin 00 +−=

Trajektorie paprsku:

Diskuze výsledku:

• Paprsky mají periodickou trajektorii, perioda je:

• Pro paprsky, které v rovině z=0 vycházejí z osy z, má periodická trajektorie amplitudu

• Pro paprsky, které jsou rovnoběžné s osou z, má periodická trajektorie amplitudu

Sklon paprsku vzhledem k ose z:

απ2=Λ

.0max αθ=r

.0max rr =

Prostředí SELFOC – program OSLO Premium Zadání parametr ůprost ředí:

( )[ ]

−≈

===

211

:04322

0 rnrnn

nrnrnrperioda: 12 nrπ=Λ

Prostředí SELFOC – program OSLO Premium Zadání parametr ůpaprsku:

Poloměr vstupního svazku

Předmětovávzdálenost

Úhel zorného pole

Vykreslení paprsk ů

Paraxiální chod paprsků:poloměr svazku 0.8 mm

Neparaxiální chod paprsků:poloměr svazku 3 mm

Chod paprsků ovlivněn sférickou vadou

Λ = 2π/nr1 = 31.42 mm

Prostředí SELFOC – program OSLO Premium

Vykreslení paprsk ů

Paraxiální chod paprsků:poloměr svazku 0.8 mm,zorné pole 15 o

Nearaxiální chod paprsků:poloměr svazku 3 mm,zorné pole 15 o

Chod paprsků ovlivněn komou

Úloha I.3: Gradientní čočka

Zadání: Určete ohniskovou vzdálenost gradientní čočky, která má tloušťku d a je vyrobena ze SELFOCmateriálu o indexu lomuÚlohu řešte obecně a následně proveďte vyčíslení pro parametry d=20 mm, n0=1.5 a α=0.05. Správnost výpočtu ověřte pomocí programu Oslo Premium.

( ).21 220 rnn α−=

Průchod paprsk ů gradientní (GRIN) čočkou

F´H´

f´

d

z´Fz´H

Z trajektorie paprsku a geometrie ur číme:

( )( )dn

dzF αα

αsin

cos

0

' =

Poloha obrazového hlavního bodu

( )( )dn

dzH αα

αsin

1cos

0

' −=

Obrazová ohnisková vzdálenost

( )dnf

αα sin

1

0

' =

Poloha obrazového ohniskového bodu

Gradientní čočka – program OSLO Premium

Parametry prostředí:

05.01

,5.10

=≡=

nr

n

α

( ) mmdn

f 845.15sin

1´

0

==αα

Zorné pole: 15 0

( )( ) mm

dn

dzF 561.8

sin

cos

0

' ==αα

α

Gradientní čočka – program OSLO Premium

Zobrazení gradientní čočkou

příčné měřítko m = - 0.5 příčné měřítko m = - 1

Úloha I.4: Luneburgova čočka – program Oslo Premium

Zadání: V programu Oslo Premium ověřte funkci Luneburgovy čočky, která umožňuje fokusacimonochromatické rovinné vlny. Znázorněte paprskovou kaustiku pro osový a mimoosový svazek rovnoběžných paprsků dopadajících na čočku. V programu Oslo Premium simulujte činnost teleskopusestaveného z Luneburgových čoček.

Základní informace:

Luneburgova čočka je optické prostředí se sféricky symetrickým, prostorově proměnným indexem lomu,které poskytuje dokonalé geometrické zobrazení dvou koncentrických sfér (jedna sféra se zobrazuje na druhou). Nejjednodušším typem je Luneburgova fokusační čočka (Rudolf Luneburg, 1944), která mátvar koule a je z materiálu, jehož index lomu se od středu čočky k jejímu povrchu zmenšuje. Čočka zobrazuje nekonečně vzdálený předmětový bod na protilehlou plochu čočky.

2

2

−=R

rn

2=n

1=n

Eliptická dráha paprsku

Index lomu:

222 zyxr ++=

R … poloměr čočky

R

Luneburgova čočka – program Oslo Premium

Parametry čočky:- poloměr kuličky R = nr1 = 5 mm,- n0 = 1,- sgc = 5 mm.

Luneburgova čočka – program Oslo Premium

Vykreslení paprsk ů

Zorné pole: 15 0

Luneburgův teleskop – program Oslo Premium

Vykreslenípaprsk ů

Dokonalézobrazení

Optickévady

Zorné pole: 15 0

Úloha I.5: Maxwellova rybí čočka – program Oslo Premium

Zadání: V programu Oslo Premium ověřte funkci Maxwellovy rybí čočky, která umožňuje dokonalézobrazení monochromatického bodového zdroje. Znázorněte paprskovou kaustiku pro svazky vycházející z osového a mimoosového bodového zdroje.

Základní informace:

Maxwellova rybí čočka je optické prostředí se sféricky symetrickým, prostorově proměnným indexem lomu, které má tvar kuličky. Poskytuje dokonalé geometrické zobrazení bodového monochromatického zdroje umístěného na povrchu kuličky – dokonalý obraz vzniká na protilehlé straně kuličky.

20

1

+=

R

r

nn

Index lomu:

222 zyxr ++=

R … poloměr čočky

0nn =

20n

n =

R

Zdroj Obraz

Maxwellova rybí čočka – program Oslo Premium

Parametry čočky:- poloměr kuličky R = nr1 = 5 mm,- n0 = 1,- sgc = 5 mm.

Vykreslení paprsk ůMaxwellova rybí čočka – program Oslo Premium

Úloha I.6: Woodova čočka – program Oslo Premium

Zadání: Navrhněte parametry při kterých bude Woodova čočka transformovat svazek rovnoběžných paprsků jako spojná a rozptylná čočka. Proveďte propočet paprsků Woodovou čočkou v programuOslo Premium.

Základní informace:

Woodova čočka je optické prostředí s radiálním gradientem indexu lomu. V programu Oslo Premium jeindex lomu určen vztahemPodle záporné nebo kladné hodnoty koeficientu nr1 Woodova čočka působí jako spojka nebo rozptylka.

.1 20 rnrnn +=

Pro určení optických parametrů Woodovy čočky může být použit stejný postup jako v případě SELFOCčočky:

.1 20 rnrnn +=

Woodova čočka:SELFOC čočka:

( )21 220 rnn α−= 2

12

0αnnr −=

Obrazová ohniskovávzdálenost:( )dn

fαα sin

1´

0

= ,12

1´

:1

dnrf

dpro

−≈

<<α

rozptylkanr

spojkanr

K

K

01

01

><

čočkytloušťkadK

Woodova čočka – program Oslo Premium

Parametry prostředí:

0035.01

10,5.10

−===

nr

mmdn

mmdnr

f

čočkaWoodovaSpojná

3.1412

1' =−≈

(předpoklad d nr1<<1)

Woodova čočka – program Oslo Premium

Průchod paprsk ů Woodovou čočkou

Spojná Woodova čočka

0035.01

10,5.10

−===

nr

mmdn

mmdnr

f 3.1412

1' =−≈

0035.01

10,5.10

===

nr

mmdn

mmdnr

f 3.1412

1' −=−≈

Rozptylná Woodova čočka

II. Paraxiální zobrazování

Úlohy paraxiálního zobrazování lze řešit pomocí maticového formalismu:

Optickýsystém

Vstupnípaprsek

x1, ϕ1

Výstupnípaprsek

x2, ϕ2

=

1

1

2

2

ϕϕx

DC

BAx

M . . . matice soustavy

Transformační matice optických systémů

Fokusační systém

12 ϕBx =

Zobrazovací systém

A=0 B=0

D=0C=0

12 Axx =A . . . příčné

měřítkoKolimační systémAfokální systém

12 ϕϕ D=D . . úhlové

zvětšení12 Cx=ϕ

Volné šíření(homogenní prostředí)

n

L

=

10

/1 nLM

Průchod sférickým rozhranímn1 n2

ROdraz:

Tenká čočka

( )

−=

1/

01

21 RnnM

=

1/2

01

1 RnM

=

1/1

01

fM

f . . . předmětováohniskovávzdálenost

Základní transformační matice

Úloha II.1: Zobrazování sklen ěnou kuli čkou

Zadání: Určete paraxiální optické parametry skleněné kuličky, která je vyrobena ze skla o indexu lomu n = 3/2 a má poloměr R = 5 mm. Kulička je umístěna ve vzduchu. V programu Oslo Premium proveďte simulaci fokusace a vykreslete paprskovou kaustiku pro osový a mimoosový předmětový bod..

M1 M2M3 M4

M5

n

12345 MMMMMDC

BAM =

=

F´H´

z´Fz´H

f´

( )

R

nK

Kn

RK

Kn

R

z

ArovinaohniskováObrazová

F

1,

22

12

:0

' −=

−

−=

=

R

( )

22

2

:1

'

−=

=

Kn

Rn

R

z

ArovinahlavníObrazová

H

−=−=

Kn

RK

zzf

vzdálenostohniskováObrazová

HF 22

1

:

'''

Fokusace svazku skleněnou kuličkou – program Oslo Premium

mmf

mmz

mmRn

F

5.7

5.2

5,2/3

'

'

=

=

==

Zorné pole: 15 0

Úloha II.2: Návrh afokální čočky

Zadání: Navrhněte optické parametry afokální čočky, která pracuje jako teleskop Keplerova typu s úhlovým zvětšením Γ = - 2 a Galileova typu Γ = 2. Čočka je vyrobena ze skla o indexu lomu n = 3/2a je umístěna ve vzduchu.

M1 M2 M3

123 MMMDC

BAM =

=

Postup návrhu:

- Volba poloměru R1

- Podmínka afokálnosti: C = 0- Úhlové zvětšení: Γ = DR1 R2

n

d

( ).

1

,

21

12

−−=

Γ=

n

RRnd

RR

Návrh afokální čočky

Afokální čočka Keplerova typu:n = 3/2, R1 = 50 mm, Γ = -2R2 = -25 mm, d = 225 mm

Afokální čočka Galileova typu:n = 3/2, R1 = 50 mm, Γ = 2R2 = 25 mm, d = 75 mm

Úloha II.3: Návrh kuli čkového retroreflektoru

n

Skleněnákulička

Odraznávrstva

M1 … průchod předním rozhranímM2 … šíření paprsku uvnitř kuličky M1

M2

−

−

==1

1

22

12

R

nn

R

n

n

MMM

R

Podmínka fokusace A=0:

n=2

Zadání: Navrhněte poloměr a index lomu skleněné kuličky s odraznou vrstvou, která pracuje jako retroreflektor. Kulička je umístěna ve vzduchu.

Kuličkový retroreflektor – program Oslo

Paraxiální svazek paprsků Široký svazek paprsků – optické vady

Gaussovský svazek má kruhově symetrickou stopu - jeho intenzitní profil je určen Gaussovoufunkcí. Je to základní typ svazku, který je vyzářen ideálním laserem.

Metody popisugaussovského

svazku

Řešení Helmholtzovy rovnicev paraxiální aproximaci

Rovinná vlna propuštěnágaussovskou amplitudovou

maskou

Zobecněná paraboloidní vlna(nahrazení souřadnice

komplexním parametrem)

III. Gaussovský laserový svazek

Matematický popis gaussovského svazku

osováamplituda

amplitudovýprofil

tvarvlnoplochy

Gouyůvfázový posuv

oscilačníčleny

Parametry svazku

w0 …… pološířka (poloměr) pasu svazkuq0 …… Rayleighova vzdálenostw …… pološířka (poloměr) svazku ve vzdálenosti z od pasuR ……. poloměr křivosti vlnoplochyk ……. vlnové čísloω …… kruhová frekvence

2

20

0

kwq =

2/1

20

2

0 1

+=

q

zww

+=

2

201

z

qzR

( ) ( )

( )

−=

−

−=

2

2

2

20

0

0

2

2

20

2exp,

expexp2

expexp,

w

r

w

wIzrI

ikztiq

ziarctg

R

kri

w

r

w

wAzrU ω

konstantníamplituda

Komplexní amplituda:

Intenzita:

Znázornění gaussovského svazku

ww0

I0

I0 / e2

Poloměr pasu svazku je definován jako vzdálenost od osy ve kteréintenzita poklesne z hodnoty I0 na hodnotu I0/e

2.

Vlnoplocha

Profilintenzity

I0I0 /2

q0

Osováintenzita

I

z

S rostoucí vzdáleností od pasu se stopa svazku rozšiřuje a klesáosováintenzita. Ve vzdálenosti q0 od pasu osová intenzita klesne na polovinu.

( )1

20

2

0 1,0

−

+=

q

zIzI

Maticová transformace gaussovského svazku

Gaussovský svazek odpovídá paraxiální (paraboloidní) vlně u které je souřadnice z nahrazena komplexním parametrem q=z+iq0.

−=

z

kri

z

AU

2exp

2

−=

q

kri

q

AU

2exp

2

X

Paraboloidní vlna Gaussovský svazek

Komplexní parametr: q = z + iq0

Vztah komplexního parametru a geometrických parametrů svazku

2

211

kwi

Rq−=

Maticová transformace komplexního parametru

=

DC

BAM

Vstupní svazekq1

Výstupní svazekq2

DCq

BAqq

++

=1

12

Transformace gaussovského svazku čočkou

M1

z2

pas vstupního svazku w01

pas transformovanéhosvazku w02

M2

M3

z1

komplexní parametrv rovině pasu:

q1=iq01

komplexní parametrv rovině pasu:

q2=iq02

Maticová transformace mezi rovinami pasu:

Vyjádření komplexního parametru transformovaného svazku v rovině pasu

022 iqq = 2201

201

201

2 DqC

iqBDACqq

+++

=

123 MMMDC

BAM =

≡

X

Porovnání reálné a imaginární části:

Reálná část určuje polohu pasu transformovaného svazku

Imaginární část určuje polom ěr pasu transformovaného svazku

F F´

l1 l2

Výsledky transformace svazku čočkou

−

+

+=+

'1

''1

'1 2

2

01

2

11

f

z

f

q

f

z

f

z 2/12

01

2

10201 ''

1

+

+=

f

q

f

zww

Poloha pasu transformovaného svazku

Poloha pasu transformovaného svazku z2 je určena polohou pasu vstupního svazku z1 a jeho Rayleighovou vzdáleností q01.

Poloměr pasu transformovaného svazku

Poloměr pasu transformovaného svazku w02 je určen poloměrem pasu vstupního svazku w01 a jeho polohou z1.

Zápis transformace pomocí příčného měřítka „m“

Přeznačení polohy pasu:Poloha pasu vstupního svazku vzhledem k předmětovému ohniskovému bodu:Poloha pasu výstupního svazku vzhledem k obrazovému ohniskovému bodu:

11 ´ zfl +=22 ´ zfl −=

,0102 wmw ⋅=

12

2 lml ⋅=201

21

´

ql

fm

+=

Speciální případ:Pas vstupního svazku je v předmětové ohniskové rovině čočky

0,0 21 == ll01

´

q

fm=

,1

12 θθ ⋅=m

Úloha III.1: Volné ší ření Gaussovského svazku

Zadání: Svazek He-Ne laseru (λ=632.8 nm) se šíří volným prostorem a ve vzdálenosti L od pasu vytvářína stínítku kolmém k ose svazku stopu s gaussovským profilem o poloměru w. Určete poloměr pasu svazku w0 tak, aby stopa vytvořená na stínítku mělo co nejmenší poloměr. Výsledný vztah vyčíslete pro L=500 mm a ověřte ho s použitím programu Oslo Premium.

Poloměr svazku ve vzdálenosti z=L:λ

π 20

020

2

0 ,1w

qkdeq

Lww =+=

Podmínka minimalizace stopy svazku: 00

=∂∂w

w

πλL

w =0Optimální polom ěr pasu svazku:

Minimální polom ěr stopy:πλL

ww2

2 0 ==

Volné šíření Gaussovského svazku

Parametry: λ=632.8 nm, L=500 mm mmwwmmL

w 4488.02,317.0 00 ====πλ

Úloha III.2: Obecná transformace gaussovského svazku čočkou

Zadání: Svazek laseru Verdi V2 (λ=532 nm) je transformován čočkou o ohniskové vzdálenosti f´=50 mm.Určete polohu a poloměr pasu transformovaného svazku, víte-li, že vstupní svazek má poloměr pasuw01=0.2 mm a je umístěn do předmětové ohniskové roviny čočky. Vlastní výpočet ověřte pomocíprogramu Oslo Premium. Pro simulaci transformace použijte ideální čočku („Perfect Lens“).

Rayleighova vzdálenost vstupního svazku: mmw

q 21.236201

0 ==λ

π

Příčné měřítko zobrazení: 2116.0´

0

==q

fm

Poloha pasu vstupního svazku: 01 =l

Poloha pasu transformovaného svazku: 02 =l

Polom ěr pasu transformovaného svazku: mmmww 04232.00102 ==

Obecná transformace gaussovského svazku čočkou

Vypočtené parametry:

w01=0.2 mm

q0=236.21 mm

w02=0.04232 mm

Úloha III.3: Fokusace gaussovského svazku čočkou

Zadání: Svazek He-Ne laseru, který má vlnovou délku λ=632 nm, výkon P=20 mW a poloměr pasu w0=0.45 mm, má být navázán do optického vlákna o poloměru ρ=1.5 µm. Navázání se provede tak, že svazek je na čelo vlákna fokusován pomocí mikroskopového objektivu. Určete ohniskovou vzdálenost objektivu, při které za předpokladu ideální justáže zachytí čelo vlákna 70 % výkonusvazku dopadajícího na objektiv. Příčné omezení vstupního svazku objektivem neuvažujte. Fokusaci svazku ověřte v programu Oslo Premium.

−−=

2'0

2

0

2exp1

wPP

ρVýkon fokusovaného svazku zachycený čelem vlákna:

Poloměr pasu fokusovaného svazku pro zachycený výkon :0P

P

−

−=

0

2'0

1ln

2

P

Pw

ρ

Ohnisková vzdálenost objektivu (q0>>f’):λ

π '00´

wwf =

Fokusace gaussovského svazku čočkou – program Oslo Premium

Zadané parametry:λ=632,8 nmw0=0.45 mmρ=1.5 µmP/P0=0.7

Vypočtené parametry:w’0=1.93 µmf´=4.32 mm

Úloha III.4: Návrh laserového rozši řovače

Zadání: Gaussovský svazek He-Ne laseru o vlnové délce λ = 633 nm má poloměr pasu w0=0.2 mm. Navrhněte dvoučlenné laserové rozšiřovače Keplerova a Galileova typu, které vstupní svazek transformujína svazek s Rayleighovou vzdáleností q’0=1.8 m. Při návrhu systému respektujte podmínku, aby stavební délka systému byla L=200 mm. Funkčnost navrženého systému ověřte v programu OSLO Premium.

f’1 f’2

L

F1F’1=F2 F’2

w0=w01 w’01=w02 w’02=w’0

Rayleighova vzdálenost vstupního svazku:λ

π 20

0

wq =

Transformace pasu svazku 1. a 2. členem rozšiřovače:

Pološířka pasu svazku za rozšiřovačem: πλ '

'0

oqw =

,0200

'1'

01 wwq

fw == 02

02

'2'

0 wq

fw =

,0'1

'2'

0 wf

fw = Lff =+ '

2'

1

Návrh laserového rozšiřovače – program Oslo Premium

Rozšiřovač Keplerova typu

mmwmqmmwmmL 6.08.1,2.0,200 '0

'00 =⇒===

mmww

Lwfmm

ww

Lwf 150,50

'00

'0'

2'00

0'1 =

+==

+=

Požadavek:

( )0'1 >f

Návrh laserového rozšiřovače – program Oslo Premium

Rozšiřovač Galileova typu

mmwmqmmwmmL 6.08.1,2.0,200 '0

'00 =⇒===

mmww

Lwfmm

ww

Lwf 300,100

0'0

'0'

2'00

0'1 =

−=−=

−=

Požadavek:

( )0'1 >f

Úloha III.5: Ší ření gaussovského svazku prost ředím SELFOC

Zadání: Proveďte matematický popis šíření gaussovského svazku prostředím SELFOC s indexem lomu kde n0 a α jsou reálné konstanty a r2=(x2+y2). Diskutujte podmínky šíření svazku v

závislosti na jeho poloměru pasu. Gradientní prostředí je omezeno rovinnými plochami, na které svazek dopadá kolmo. Pas svazku leží na vstupní ploše prostředí, prostředí má tloušťku L. Úlohu řešte s použitím paraxiální aproximace.

( ),21 220 rnn α−=

Transformační matice pro SELFOC prostředí:

( ) ( )( ) ( )

−=

=

LL

LL

LDC

BAM

ααααα

cossin

sin1

cos

L

w0, q w’, q’

pas vstupního svazku

z=0 z=L

Rovina z=0: Rovina z=L:0iqq = 2'''

11

wi

Rq πλ−= Maticová

transformace: DCq

BAqq

++='

Parametry svazku v rovině z=L

Poloměr svazku w’: Poloměr křivosti vlnoplochy R’:

( )0

220

2'

q

BqAw

+⋅=πλ

BDACq

BqAR

++=

20

220

2'

Šíření gaussovského svazku prostředím SELFOC

Diskuze speciálních případů

απλ=0w Svazek má uvnitř gradientního prostředí konstantní

poloměr a rovinnou vlnoplochu – šíří se bez difrakčnírozbíhavosti.Difrakce vstupního svazku je přesně kompenzovánarefrakcí prostředí.∞=

='

0'

R

ww

:απm

z =

Pro libovolnou vzdálenost L platí:

απλ<0w

Pro vzdálenosti∞=

='

0'

R

ww

Pro vzdálenosti( )

:2

12

απ+= m

z

∞=

>=

'

00

'

R

ww

wαπ

λ

Případ I.

Případ II.

:απm

z =

απλ>0w

Pro vzdálenosti∞=

='

0'

R

ww

Pro vzdálenosti( )

:2

12

απ+= m

z

∞=

<=

'

00

'

R

ww

wαπ

λ

Případ III.

Poloměr vstupního svazku je pro dané prostředí malý, takže se svazek nejprve difrakcí rozšiřuje a ve vzdálenosti z=(2m+1)π/2α dosahuje maximálního poloměru. Pak se vlivem refrakce zúžuje až na původní poloměr w0. Tento vývoj svazku se v prostředí periodicky opakuje.

Poloměr vstupního svazku je pro dané prostředí velký,takže refrakce překonává difrakci a ve vzdálenostiz=(2m+1)π/2α fokusuje svazek do stopy s minimálnímPoloměrem. Pak se svazek zase difrakcí rozšiřuje na původní poloměr w0. Tento proces probíhá periodicky.

Šíření gaussovského svazku prostředím SELFOC – simulace MATLAB

Případ I: Refrakce kompenzuje difrakci

Případ II: Difrakce vstupního

svazku siln ějšínež refrakce

Případ III: Refrakce siln ější

než difrakce vstupního svazku

Úloha III.6: Ur čení mód ů SELFOC prost ředí

Zadání: Proveďte matematický popis monochromatických módů s obecným tvarem skalární komplexníamplitudy U=u(x,y) exp(iωt-iβz), které se šíří SELFOC prostředím s indexem lomu n=n0[1-α2(x2+y2)/2].Módy prostředí určete řešením Helmholtzovy rovnice. Podmínku pro existenci módů SELFOC prostředíporovnejte s podmínkou pro kompenzaci difrakce refrakcí, která byla stanovena pro gaussovský svazek použitím maticové metody .

Předpoklady:- skalární aproximace- zanedbání členu - separovatelnost u(x,y)

Helmholtzovarovnice :

,0022 =+∇ UU εµω ( )[ ]2222

00

1 yxn +−= αεε

( )εε Er

⋅∇∇

Označení:

αη

αξ

µεω

0

0

2000

220

,

,

ky

kx

nk

=

=

= Separace proměnných:

( ) ( ) ( )ηξηξ YXu =,

( )

( )αβη

η

ξξ

0

2202

2

2

22

2

,0

,0

k

kY

d

Yd

Xd

Xd

y

yxx

−=Λ=−Λ+

Λ+Λ=Λ=−Λ+

Substituce: ( )( )2/exp

~2/exp

~

2

2

ηξ

−=

−=

YY

XX( )

( ) 0~

1~

2~

0~

1~

2~

2

2

2

2

=−Λ+−

=−Λ+−

Yd

Yd

d

Yd

Xd

Xd

d

Xd

y

x

ηη

η

ξξ

ξŘešení:

( ) ( )

( ) ( ) 2/1,~

2/1,~

−Λ=≡

−Λ=≡

yn

xm

nHY

mHX

η

ξ

Hermiteovy polynomyKnm HH ,

Určení módů SELFOC prostředí

Hermiteovské - gaussovské módy pro SELFOC prost ředí:

( ) ( ) ( ) ,2

exp 22000

−+−= ziyxk

kyHkxHU mnnmmn βααα

( )0

0

121

k

nmkmn

++−= αβkde módy mají rozdílné konstanty šíření – módová disperze

m=n=0: Gaussovský svazek

( ) ( )

+−≡

+− 22020

22

2expexp yx

k

w

yx ααπλ=0w

Gaussovský svazek se šíří SELFOC prostředím jako nedifraktující mód pouze tehdy, když je jeho poloměr pasu přizpůsoben vlnové délce a gradientu indexu lomu, který je vyjádřen pomocíkonstanty α . V tomto případě je difrakční rozbíhavost kompenzována refrakcí prostředí.Identická podmínka pro poloměr pasu vedeného svazku byla získána pomocí maticového popisu šíření gaussovského svazku SELFOC prostředím.

Módy SELFOC prostředí – numerické vyhodnocení v programu MATLAB

Vyčíslení Hermiteových polynomů: ( )( )

( ) ( ) ( )xnHxxHxH

xxH

xH

nnn 11

1

0

22

,2

,1

−+ −===

Intenzita H-G módů2

mnmn UI =