Embed Size (px)
Citation preview
LOGARİTMA
ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT
Üstel Fonksiyon ve Logaritma Fonksiyonu
1. Kazanım : Üstel fonksiyonu oluşturur, tanım ve görüntü kümesini açıklar.
2. Kazanım : Üstel fonksiyonların birebir ve örten olduğunu gösterir.
3. Kazanım : Logaritma fonksiyonunu üstel fonksiyonunun tersi olarak kurar.
4. Kazanım : Onluk logaritma fonksiyonunu ve doğal logaritma fonksiyonunu açıklar.
5. Kazanım : Logaritma fonksiyonunun özelliklerini gösterir ve uygulamalar yapar.
Üslü ve Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler
1. Kazanım : Üslü ve logaritmik denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur.
82
LOGARİTMA
9. sınıfta üslü ifadeler ve özelliklerini öğrenmiştik. Bu özellikleri bir kez daha hatırlayalım.
a, b ∈ R+ – {1} ve x, y ∈ R olmak üzere,
ax.ay = ax+y ax.bx = (a.b)x (ax)y = axy
aa a
y
xx y–=
ba
ba
x
x x= b l a
a1xx
– =
Şimdi de üstel fonksiyonu tanımlayalım.
a ∈ R+ – {1} ve x ∈ R olmak üzere, f: R → R+ , f(x) = ax fonksiyonuna, tabanı “a” olan üstel fonksiyon denir.
f(x) = 2x , g(x) = (v2)x ve h(x) = 31 x
c m fonksiyonlarının her biri, birer üstel fonksiyondur.
Bu fonksiyonlardan f(x) = y = 2x fonksiyonunu ele alıp, bu fonksiyonun grafiğini çizerek özelliklerini araştıralım.
f(x) = y = 2x fonksiyonu için x e bazı değerler verip, y değerlerini bulalım.
���
�
�
�
�
�
�
�
�
�����
x = –2 için, y = 2–2 = 41
x = –1 için, y = 2–1 = 21
x = 0 için, y = 20 = 1
x = 1 için, y = 21 = 2
x = 2 için, y = 22 = 4 olur.
O halde, y = 2x fonksiyonunun grafiği , , ,241 1
21– –c cm m, (0, 1), (1, 2) ve (2, 4) noktalarından geçmektedir.
Reel sayıların tümünü y = 2x fonksiyonunda yerine yazıp y değerlerini bularak düzlemde işaretleseydik yuka-
rıdaki grafiği elde ederdik. Bu grafiği incelediğimizde;
∀ x ∈ R için , y = 2x > 0 olduğunu görürüz.
x değerleri büyüdükçe, y değerlerinin büyüdüğünü görürüz.
O halde, f(x) = 2x fonksiyonu artan bir fonksiyondur.
x e verilen farklı değerlerin fonksiyondaki görüntüleri de farklıdır.
Yani, ∀ x1, x2 ∈ R , x1 ≠ x2 için f(x1) ≠ f(x2) dir. O halde , f(x) = 2x fonksiyonu bire bir fonksiyondur.
∀ y ∈ R+ için , 2x = y eşitliğini sağlayan bir x değeri vardır. O halde, f(x) = 2x örten fonksiyondur.
ÜSTEL FONKSİYON
Logaritma
83
f(x) = y = 21 x
c m fonksiyonunu ele alıp, bu fonksiyonun grafiğini çizerek özelliklerini araştıralım.
���
�
�
�
�
�
�
�
�
�����
x = –2 için, y = 21 4
2–=c m
x = –1 için, y = 21 2
1–=c m
x = 0 için, y = 21 1
0=c m
x = 1 için, y = 21
211
=c m
x = 2 için, y = 21
412
=c m olur.
O halde, y = 21 x
c m fonksiyonunun grafiği, (–2, 4), (–1, 2), (0, 1), , , ,121 2
41
c cm m noktalarından geçmektedir.
Bulduğumuz bu grafiği incelediğimizde;
∀ x ∈ R için y = 21 0>
xc m olduğunu görürüz.
x değerleri büyüdükçe, y değerlerinin küçüldüğünü görürüz.
O halde, f(x) = 21 x
c m fonksiyonu azalan fonksiyondur.
∀ x1, x2 ∈ R , x1 ≠ x2 için f(x1) ≠ f(x2) dir. f(x) = 21 x
c m fonksiyonu bire bir fonksiyondur.
∀ y ∈ R+ için 21 x
c m = y eşitliğini sağalayan bir x değeri vardır. O halde, f(x) = 21 x
c m örten fonksiyondur.
a ∈ R+ – {1} olmak üzere, f: R → R+ , f(x) = ax fonksiyonu
a > 1 için artan fonksiyon, 0 < a < 1 için azalan fonksiyondur.
f(x) = ax fonksiyonu bire bir ve örtendir.
Üstel fonksiyonların özellikleri yardımıyla bir çok denklemin çözüm kümesini elde edebileceğimizi biliyoruz.
Aşağıda bu denklemlere bazı örnekler verilmiştir.
2x = 16 ⇒ 2x = 24 ⇒ x = 4
4x–1 = 16. 2x ⇒ 22(x–1) = 24.2x2 ⇒ 22x–2 =
4 +2
x2 ⇒ 2x – 2 = 4 + x
2 ⇒ x
23 = 6 ⇒ x = 4
2x + 2x+1 + 2x–1 = 28 ⇒ 2x + 2x.2 + 2x.21 = 28 ⇒ 2x.
27 = 28 ⇒ 2x = 8 ⇒ 2x = 23 ⇒ x = 3
Ancak 2x = 5 , 3x = 23 , 5x–1 = 16 gibi denklemleri sağlayan x değerlerini üslü ifadelerin kuralları yardımıy-la bulamayız. Bu tür denklemlerin çözüm kümelerini bulmak için yeni bir fonksiyon olan logaritma fonksiyonunu tanımlayacağız.
Logaritma
84
ÖRNEK 1
Aşağıda bazı logaritmalı ifadeler, üstel biçimde yazıl-mıştır. İnceleyiniz.Çözüm
log2x = 5 ⇔ x = 25 = 32
log5x = 1 ⇔ x = 51 = 5
log7x = 0 ⇔ x = 70 = 1
log2x = 21
log 3 x = 4 ⇔ x = 3 4^ h = 9
ÖRNEK 2
log3(log2x) = 1
eşitliğini sağlayan x değerini bulunuz.
Çözüm
f: R → R+ , a ∈ R+ – {1} için f(x) = ax fonksiyonunun bire bir ve örten bir fonksiyon olduğunu öğrendik. O halde bu fonksiyonun ters fonksiyonu vardır.
a ∈ R+ – {1} ol mak üze re, f: R → R+ , f(x) = ax fonk si yo nu nun ters fonk si yo nu na, a ta ba nı na gö re lo ga rit ma fonk si yo nu de nir. f: R+ → R , f(x) = logax biçiminde gösterilir.
Bu tanıma göre, y = ax ⇔ x = logay dir.
���� �� �� ������������
�������������������
���������������
������
� �
Yandaki şema incelendiğinde, üstel fonksiyonun verilen belli bir tabana “üs koyma” işlemi,
logaritma fonksiyonunun ise verilen belli bir tabana göre “üs indirme” işlemi olduğu söylenebilir.
y = logax eşitliğini, “y eşittir a tabanına göre logaritma x” biçiminde okuruz. Bu eşitlikte,
x sayısının pozitif gerçek sayı
a sayısının 1 den farklı bir pozitif gerçek sayı
y sayısının bir gerçek sayı olduğuna dikkat ediniz.
Örneğin, log216 ifadesinin değerini, “2 sayısının hangi üssü 16 dır?” biçiminde düşünerek bulabiliriz.
Bu durumda, 24 = 16 olduğundan log216 = 4 sonucuna ulaşabiliriz.
Benzer şekilde,
log327 = x eşitliğini sağlayan x değerini bulmak için, “3 sayısının hangi üssü 27 dir?” sorusuna cevap bul-malıyız. 33 = 27 olduğundan log327 = 3 olur.
Bu durumu daha sade olarak ab = c ⇔ b = logac biçiminde ifade edebiliriz. Örneğin,
24 = 16 ⇔ log216 = 4 , 32 = 9 ⇔ log39 = 2 , 103 = 1000 ⇔ log101000 = 3 , 2–3 =81 ⇔ log2 8
1 = –3 tür.
LOGARİTMA FONKSİYONU
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
85
ÖRNEK 3
log4[13 + log2(x – 1)] = 2
eşitliğini sağlayan x değerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 4
f(x) = log2(x – 3)
olduğuna göre, f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 5
f(x) = 2[log3(x + 1)] – 1
olduğuna göre, f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 6
Aşağıda ab = c ⇔ logac = b eşitliğinden yararlanıla-
rak üstel biçimde verilmiş ifadeler logaritma kullanıla-
rak yazılmıştır. İnceleyiniz.
Çözüm
2x = 3 ⇔ log23 = x
3x = 5 ⇔ log35 = x
2x–1 = 10 ⇔ log210 = x – 1
⇔ x = 1 + log210
5x+2 = 2 ⇔ log52 = x + 2
⇔ x = (log52) – 2 olur.
ÖRNEK 7
f(x) = 3x–1 ise f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 8
f(x) = 23x–1 ise f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
86
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN EN GENİŞ TANIM KÜMESİNİ BULMA
f(x) = logax fonksiyonunda a ∈ R+ – {1} ve x ∈ R+
olduğundan bu fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulurken, a > 0 , x > 0 ve a ≠ 1 koşullarını birlikte sağlayan aralıklar bulunur.
ÖRNEK 9
f(x) = log3(x – 4) fonksiyonunun en geniş tanım kü-mesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 10
f(x) = log2(9 – x2) fonksiyonunun en geniş tanım kü-mesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 11
f(x) = log4–x(x – 1) fonksiyonunun en geniş tanım kü-
mesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 12
f(x) = log2–x(x2 – x – 12) fonksiyonunun en geniş ta-
nım kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 13
f(x) = log(x2 – 2mx + 4) fonksiyonu ∀ x ∈ R için ta-nımlı bir fonksiyon ise m nin değer aralığını bulunuz.
Çözüm
Logaritma
87
ÖRNEK 14
f(x) = log3(x2 – 9) + logx x
x3
5 –+c m
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm
ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU
ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONUTabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna, onluk logaritma fonksiyonu denir.
f(x) = log10x veya f(x) = logx biçiminde gös-terilir.
ÖRNEK 15
Aşağıda ab = c ⇔ logac = b eşitliğinden yararlanıla-
rak üstel biçimde verilmiş ifadeler logaritma kullanıla-
rak yazılmıştır. İnceleyiniz.
100 = 1
101 = 10
102 = 100 ⇔ log10100 = 2
103 = 1000 ⇔ log101000 = 3
10–1 = 101
10–2 = 1001
ETKİNLİK
Okyanus coğrafyası (oşinografi) alanındaki araştırmalar sonucunda, plajın eğimi ile üzerindeki kum tanecikleri-nin büyüklüğü arasındaki ilişkiyi ortaya çıkarmıştır.
Plajın eğimi: m , Kum taneciklerinin ortalama çapı: d mm olmak üzere,
m = 0,159 + 0,118.logd bağıntısı vardır.
Örneğin, kum taneciklerinin ortalama çapı: 0,2 mm olan bir plajın eğimini hesap makinesi yardımıyla
m = 0,159 + 0,118.log(0,2) ≅ 0,159 + 0,118.(–0,299) ≅ 0,159 – 0,035 ≅ 0,124 bulunur.
Benzer şekilde işlem yaparak aşağıdaki tabloyu siz doldurunuz.
Çap (d)
0,08 mm
0,6 mm
1 mm
5 mm
Kum türü
‹nce kum
Kal›n kum
Çok iri taneli kum
Çak›l
Plaj›n e¤imi (m)
Logaritma
88
e Sayısı
Bir çok bilim dalında ve mühendisliklerde yaygın olarak kullanılan e sayısı da π sayısı gibi irrasyonel bir sa-yıdır. Bu sayıyı kimin bulduğu tam bilinmesede Euler’in bulduğu kabul edilmektedir. Dolayısıyla e, Euler Sayısı olarak adlandırılmıştır.
Euler x
1 1 x+c m ifadesinin, x sonsuz büyüdüğünde 2,718281828459...... sayısına yaklaştığını tespit etmiş ve
bu sayıyı virgülden sonraki 23 ondalığa kadar hesaplamıştır.
Hesap makinesi yardımıyla doldurulan aşağıdaki iki tabloyu inceleyiniz.
10
100
1000
1 000 000
1 000 000 000
2,59374246
2,704813829
2,716923932
2,718282031
2,718281827
1+1x
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
x
x
–10
–100
–1000
–1 000 000
–1 000 000 000
2,867971991
2,731999026
2,719642216
2,718281758
2,718281827
1+1x
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
x
x
Bu iki tabloda, x sayısının alacağı çok büyük pozitif ve çok küçük negatif değerler için x
1 1 x+c m ifadesinin bir
sayıya yaklaştığı görülmektedir. Bu sayı e sayısı olup
e = 2,718281828459045235360287471..... dir.
Tabanı e olan loga rit ma fonk si yo nu na, doğal lo ga rit ma fonk siyonu denir.
f(x) = lo gex ve ya f(x) = lnx bi çi min de gös te ri lir.
Leonhard Euler (1707 - 1783) İsviçre’li matemmatikçi ve fizikçi.
18. Yüzyıl’ın en önemli ve tüm zamanların önde gelen matematik-çilerinden biri kabul edilmektedir.
Euler matematiğin neredeyse bütün dallarında çalışmıştır. Temel analiz, grafik teorisi ve şu anda inşaat, elektrik ve havacılık mü-hendisliklerine temel teşkil eden matematiğin fiziksel uygulamala-rının bir çoğunun kurucusu olmuştur.
DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU
89
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. x
y = 3x
–2 –1 0 1 2
Yukarıdaki tabloyu doldurarak elde ettiğiniz nok-taları analitik düzlemde işaretleyerek
f: R → R+ , f(x) = 3x fonksiyonunun grafiğini elde ediniz.
2. � � � � � �
�!
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟�
��
Yukarıdaki tabloyu doldurarak elde ettiğiniz nok-taları analitik düzlemde işaretleyerek
f : R → R+ , f(x) = 31 x
c m fonksiyonunun grafiğini
elde ediniz.
3. a ∈ R+ – {1}, y ∈ R+ ve x ∈ R olmak üzere aşa-ğıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutularaD yanlış olanlar için Y yazınız.
f(x) = ax fonksiyonu bire bir dir.
f(x) = ax fonksiyonu örten değildir.
a > 1 için, f(x) = ax artan bir fonksiyondur.
0 < a < 1 için, f(x) = ax azalan bir fonksi-
yondur.
4. Aşağıdaki eşitliklerin her birinde x değerini bulu-nuz.
a. 2x =321
b. 3x–1 = 3v3
c. 2x – 2x+1 + 2x–1 = –1
d. 2x + 2x + 2x + 2x = 2x.2x.2x
e. 4 4
2 2 257
x x
x x x
1
1 1–
++ + =
+
+
f. 32x – 9x–1 = 24
5. Aşağıdaki logaritmalı ifadelerin her birini, üstel bi-çimde yazıp x değerlerini bulunuz.
a. log3x = 4
b. log2x = 2
c. log8x = 1
d. log x21 = 9
e. log x 62 =
f. log5 x1 = –2
g. logx2 1–
31 =
ALIŞTIRMALAR – 1
Logaritma
90
ES
EN
YAY
INLA
RI
6. log2(log3x) = 2 eşitliğini sağlayan x değerini bu-lunuz.
7. log3[log2(log4x)] = 0 eşitliğini sağlayan x değe-rini bulunuz.
8. log3[25 + log2(2x – 1)] = 3 eşitliğini sağlayan xdeğerini bulunuz.
9. log[log2(lnx)] = 0 eşitliğini sağlayan x değerinibulunuz.
10. Aşağıdaki fonksiyonların her birinin ters fonksi-yonlarını bulunuz.
a. f(x) = log3x
b. f(x) = log2(x + 1)
c. f(x) = 1 – log3(x – 2)
d. f(x) = 1 + 2log(x – 1)
11. Aşağıdaki üstel ifadelerin her birini logaritma kul-lanarak yazıp x değerlerini bulunuz.
a. 3x = 2
b. 5x–1 = 3
c. 10x+2 = 4
d. 21–x = 5
12. Aşağıdaki fonksiyonların her birinin ters fonksi-yonlarını bulunuz.
a. f(x) = 2x+2
b. f(x) = 31–x
c. f(x) = 52x–5
d. f(x) = 1 + 2x–1
13. Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümele-rini bulunuz.
a. f(x) = log8(x – 1)
b. f(x) = log4(x + 2)
c. f(x) = log(16 – x2)
d. f(x) = logx(x – 5)
e. f(x) = log5–x(x – 2)
f. f(x) = logx(x2 – 8x – 9)
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
91
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ
a1 = a ⇔ logaa = 1 bulunur.
a ∈ R+ – {1} olmak üzere, logaa = 1 dir.
ÖRNEK 16
log22 = 1
log10 = log1010 = 1
lne = logee = 1 dir.
a0 = 1 ⇔ loga1 = 0 bulunur.
a ∈ R+ – {1} olmak üzere, loga1 = 0 dır.
ÖRNEK 17
log31 = 0
log1 = 0
ln1 = 0
log 1 02 = dır.
logaxn = k ve n.logax = p olsun.
logaxn = k ⇒ xn = ak ..... (I)
n.logax = p ⇒ logax =np
⇒ x = a np
⇒ xn = ap ..... (II)
I ve II eşitliklerinden
x a
x a
n k
n p
=
=4 ⇒ ak = ap ⇒ k = p dir.
k = p ⇒ logaxn = n.logax bulunur.
x ∈ R+ , a ∈ R+ – {1} ve n ∈ R olmak üzere, logax
n = n.logax tir.
ÖRNEK 18
log24 = log222 = 2.log22 = 2.1 = 2
log3 91 = log33
–2 = –2log33 = –2.1 = –2
logc10 = log10 2 = 21 log10 =
21 .1 =
log1000 = log103 = 3.log10 = 3.1 = 3
log3 39 = log33
2 – = log33 2 = log33 =
lne3 = 3.lne = 3.1 = 3
lne
e3 = lne
3 – = lne 2 = .lne =
logax = k ve logay = p olsun.
logax = k ⇒ x = ak ve logay = p ⇒ y = ap olup
x.y = ak.ap ⇒ x.y = ak+p bulunur.
x.y = ak+p ⇒ loga(x.y) = k + p
⇒ loga(x.y) = logax + logay olur.
a ∈ R+ – {1} ve x, y ∈ R+ olmak üzere,
loga(x.y) = logax + logay dir.
ÖRNEK 19
log2 = x ve log3 = y ise log12 nin x ve y cinsin-den değerini bulunuz.
Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
92
ÖRNEK 20
loga = 2 , logb = 4 ve logc = 3 ise log(a.vb.c2) ifa-desinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 21
log2 + 2log3 + log5 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 22
logabca + logabcb + logabcc ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 23
log122 + log128 + log129 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 24
ln2 = x ise ln8e2 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
logax = k ve logay = p olsun.
logax = k ⇒ x = ak
logay = p ⇒ y = ap olacağından
yx
aa
p
k= = ak–p dir.
yx = ak–p ⇒ loga = k – p
⇒ loga = logax – logay olur.
xy
xy
a ∈ R+ – {1} ve x, y ∈ R+ olmak üzere,
loga yx = logax – logay dir.
ÖRNEK 25
log2 = x ise log5 in x cinsinden değerini bulunuz.
Çözüm
log5 = 1 – log2 , log2 = 1 – log5
ÖRNEK 26
log2 = x , log3 = y ve log7 = z ise log4924 ifadesinin
eşitini bulunuz.
Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
93
ÖRNEK 27
logx – 2logy + 21 logz – logt
ifadesini tek bir logaritma altında yazınız.
Çözüm
ÖRNEK 28
logx = a , logy = b ve logz = c ise
logy zx2
ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 29
1 + log3 – log2 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 30
2 – log23 + log215 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 31
log23 = x , log25 = y ve log27 = z ise log2420 ifa-desinin eşitini bulunuz.
Çözüm
Taban Değiştirme Kuralı
logab = k ve logca = p olsun.
logab = k ⇒ ak = b
logca = p ⇒ cp = a
cp = a ⇒ (cp)k = ak ⇒ cp.k = b olur.
cp.k = b ⇒ logcb = p.k ⇒ logcb = logca.logab
⇒ logab = loglog
ab
c
c bulunur.
a, c ∈ R+ – {1} ve b ∈ R+ olmak üzere,
logab = loglog
ab
c
c dir.
ÖRNEK 32
log23 = x ise log1218 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
94
ÖRNEK 33
log1872 = x ise log23 ifadesinin x cinsinden değe-
rini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 34
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
log34 = loglog
loglog
InIn
34
34
34
2
2 = =
log5 = loglog
loglog
InIn
105
105
105
3
3
7
7= =
ln7 = loglog
loglog
e e7 7
5
5 =
ÖRNEK 35
loglog
InIn
63
62+ ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
Taban değiştirme özelliğine göre,
logab = loglog
logab
a1
b
b
b= bulunur.
a, b ∈ R+ – {1} olmak üzere,
logab = log a
1b
dır.
ÖRNEK 36
log log61
61
4 9+ ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 37
log log log701
701
701
2 7 5+ + ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 38
log1
31
1
2+
ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
95
Taban değiştirme özelliğine göre,
loganb = .
.
loglog
loglog
loglog
ab
n ab
nb
nb olur1
an
a
a
a
aa
=
= =
loganb
m = nm logab
a ∈ R+ – {1} , b ∈ R+ ve n ∈ R
olmak üzere, loganb =
n1 logab dir.
ÖRNEK 39
log42 = log222 = log22 = .1 =
logv39 = log
31/2
log log2
4
21 3
=
log0,2 5v5 = log
log log827
–
94 =
logab = logaxb
x ve logab = .log b dira
nn
ÖRNEK 40
log49 = log
log827 = log
logv23 = log
log log35 =
logab.logbc.logcd ... logpk
= …loglog
loglog
loglog
loglog
ab
bc
cd
pk
· ·
= loglog
ak = logak bulunur.
a, b, c, ... p, k ∈ R+ – {1} olmak üzere,
logab.logbc.logcd ... logpk = logak dır.
ÖRNEK 41
log23.log35.log516 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 42
log25.logv549.log7v2 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
96
ÖRNEK 43
log23 = a ve log35 = b ise log12 ifadesinin a ve b cinsinden değerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 44
logv34 = a ve log29 = b ise logab4 ifadesinin eşi-
tini bulunuz.
Çözüm
alogab = x ⇒ logab = logax
⇒ b = x olur.
O halde, b = alogab elde edilir.
a ∈ R+ – {1} ve b ∈ R+ olmak üzere,
alogab = b dir.
ÖRNEK 45
2log23 = 3
23log2a = 2log2a3 = a3
2log425 = 2logv4 c25 = 2log25 = 5
10log3 = 3
eln5 = 5
101+log2 = 101.10log2 = 10.2 = 20
e1–ln3 = e1.e–ln3 = e.eln3–1 = e.3–1 =
2 2 logIn21
=
logbc.logba = logba.logbc
logbalogbc = logbc
logba
alogbc = clogba bulunur.
a, b, c ∈ R+ – {1} olmak üzere,
alogbc = clogba dir.
ÖRNEK 45
2log3x + xlog32 = 8 ise x değerini bulunuz.
Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
97
ÖRNEK 46
f(x) = log2(x – 1) ise f–1(x) fonksiyonunun eşitini bu-
lunuz.
Çözüm
ÖRNEK 47
f(x) = 2log(3x – 1) + 1 fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 48
f(x) = ln(x – 3) fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 49
f(x) = 2x–3 ise f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 50
f(x) = 102x–1 ise f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 51
f(x) = 2ex–1 + 1 fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
98
ÖRNEK 52
f(x) = 2log3(x – 1) + 1 ise f–1(5) ifadesinin eşitinibulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 53
f(x) = 2.32x–1 + 1 olmak üzere,
f–1(7) ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 54
f(x) = ln(2x + n) ve f –1(–1) = 21
olduğuna göre, n kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 55
f(x) = 6 + log3x ise (fof)(27) kaça eşittir?
Çözüm
ÖRNEK 56
f(x) = log3x ve (fog)(x) = 2x olduğuna göre,
g–1(81) nedir?
Çözüm
99
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. Aşağıdaki ifadelerden her birini sonuçlandırınız.
a. log216 + log3v3 + log
101
b. log2 42 – log55v5
c. lnve + lne12
– lne
d. log10 – log101 + log1000
e. log0,1 + log0,001 – log100
2. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku-tulara D yanlış olanlar için Y yazınız.
log(x + y) = logx.logy
log(x.y) = logx + logy
logyx
c m = logx – logy
loglog
yx = logx – logy
logxn = n.logx
logx.yn = n.logx.y
(logx)n = n.logx
3. log2 = x ve log3 = y ise aşağıdakilerin her biri-nin x ve y cinsinden değerlerini bulunuz.
a. log18
b. log0,24
c. log3600
d. log75
e. log2716
4. log2[log3(5 – log25625)]
ifadesinin eşitini bulunuz.
5. 2log25 + 4log2v3 + 2 ifadesini tek bir logaritma
cinsinden yazınız.
6. log2(a.b) = 12 ve log2 ba = 4 ise a + b kaçtır?
ALIŞTIRMALAR – 2
Logaritma
100
ES
EN
YAY
INLA
RI
7. log23 = x ise log1854 ifadesinin x cinsinden de-
ğerini bulunuz.
8. logaba.logba
2 = 16 ise a kaçtır?
9. logv2v6.log
v3v2.logv6 813
ifadesinin eşiti kaçtır?
10. log2 = 0,30103 ise log625 in değerini bulunuz.
11. log5 = a ise log ,0 0004 ifadesinin eşitini bulu-nuz.
12. log34.log45.logv5x = 2 ise x kaçtır?
13. Aşağıdaki işlemlerin her birini sonuçlandırınız.
a. 2log23
b. 4log25
c. 3log92
d. 101–log3
e. eln5
f. e1+ln2
14. 2log4(x+1) = v5 ise x kaçtır?
15. log215! = a ise log216! ifadesinin a cinsindendeğerini bulunuz.
16. log21 + log
32 + log
43 + ..... + log
10099
ifadesinin eşiti kaçtır?
Logaritma
101
ES
EN
YAY
INLA
RI
17. 349log x
41
=2 – 9 ise x kaçtır?
18. 2a = 3b ise log1627 ifadesinin a ve b cinsin-den değerini bulunuz.
19. log23 = a ise log6 32 ifadesinin a cinsinden de-
ğerini bulunuz.
20. eln(2x–2) = log2(1 + log327)
eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
21. f(x) = ex–2 ise f–1(e2) kaçtır?
22. f(x) = 2 – log2(3 – x) ise f–1(–1) kaçtır?
23. f(x) = 2 + log3x ise (fof)(3) kaçtır?
24. f(x) = ( )log x2
3 1–2+ ise f–1(x) fonksiyonunu
bulunuz.
25. f(x) = 2 + ex–1 ve g(x) = 2 – lnx ise
(fog–1)(2) kaçtır?
26. f(x) = ln(ex – 1) ise f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
27. log35 = x ise log81125 ifadesinin x cinsindendeğerini bulunuz.
28. f(x) = log2(x + 1) ve g(x) = log3(3 – x) ise
(gof–1)(0) kaçtır?
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
102
Bir Gerçek Sayının Logaritmasının Hangi İki Ardışık Tam Sayı Arasında Olduğunu Bulma
ÖRNEK 57
Aşağıdaki ifadelerin hangi iki ardışık tam sayı arasın-da olduğunu bulunuz.
a. log240 b. log3142
c. ln4 d. log170
e. log1257 f. log0,004
g. log0,0032 h. log0,000102
Çözüm
Bu sonuçlara göre,
1 den büyük bir sayının onluk logaritması pozitif-tir.
0 ile 1 arasındaki bir sayının onluk logaritması negatiftir.
1 den büyük bir sayının onluk logaritmasının tam kısmı, sayının tam kısmının 1 eksiğine eşittir.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
103
0 ile 1 arasındaki bir sayının onluk logaritması,
ondalık yazılışta, sıfırdan farklı ilk rakamın solun-
daki sıfır sayısının 1 eksiğinin negatif işaretlisidir.
Bu sonuçlara göre doldurulmuş aşağıdaki tablo-
yu inceleyiniz.
Onluk say›n›nlogaritmas›
log4
log12
log937
log756,23
log1457
log10021,361
log0,0216
log0,00010321
log0,01010203
Onluk logaritman›ntam k›sm›
0
1
2
2
3
4
–1
–3
–1
Bu tablodan aşağıdaki sonuçlara da ulaşabiliriz.
1 den büyük bir sayının tam kısmının kaç basa-
maklı olduğunu bulmak için sayının logaritması
alınır ve çıkan sayının tam kısmına 1 eklenir.
0 ile 1 arasındaki bir sayının onluk gösteriminde-
ki sıfırdan farklı ilk rakamının solunda kaç sıfır ol-
duğunu bulmak için sayının logaritması alınır ve
çıkan sayının mutlak değerinin tam kısmına 1 ek-
lenir.
ÖRNEK 58
logx = 26,123 ise x sayısı, 26 + 1 = 27 basamak-lı bir sayıdır.
logx = 253,246 ise x sayısı 253 + 1 = 254 basa-maklı bir sayıdır.
ÖRNEK 59
log2 = 0,30103 ise 220 sayısının kaç basamaklı bir sayı olduğunu bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 60
log2 = 0,30103 ise 4040 sayısı kaç basamaklı bir sayıdır?
Çözüm
ÖRNEK 61
log2 = 0,30103 ise log80 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
104
ÖRNEK 62
log27,5 = a ise log0,275 ifadesinin a cinsinden de-
ğerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 63
log2 = 0,30103 ise log0,004 ifadesinin eşitini bu-
lunuz.
Çözüm
ÖRNEK 64
log2 = 0,30103 ise log250 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
f(x) = lo gax fonk si yo nu
a > 1 için ar tan fonk siyon
0 < a < 1 için azalan fonksiyondur.
ÖRNEK 65
a = log22 , b = log24 , c = log28
sayılarını karşılaştırınız.
Çözüm
ÖRNEK 66
, ,log log loga b c2 4 821
21
21= = =
sayılarını karşılaştırınız.
Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
105
ÖRNEK 67
a = log25 , b = log215 ve c = log210 sayıları arasın-
daki sıralamayı bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 68
,log log loga b ve c7 42 1831
31
31= = =
sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 69
a = log76 , b = log45 ve c = log310
sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 70
a = log34 , b = log
43 ve c = log
65
sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 71
a = log16125 , b = logv225 ve c = log
251
21 sayıları
arasındaki sıralamayı bulunuz.Çözüm
ÖRNEK 72
a < b ve a ile b ardışık tam sayılardır.
a < log 6013
< b olduğuna göre, a + b kaçtır?
Çözüm
Logaritma
106
Bir f(x) fonksiyonu ile bu fonksiyonun tersi olan f–1(x) fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simet-riktir. Buna göre, f(x) = ax fonksiyonu ile f –1(x) = logax fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simet-rik olur. f(x) = ax fonksiyonu ile ilgili özellikleri bir kez daha hatırlayalım.
f(x) = ax fonksiyonunda,
x
y
0
y=ax
1
a > 1 iken
f(x) = ax fonksiyonu artandır.
∀ x ∈ R için f(x) = ax > 0 dır.
x = 0 için y = f(0) = a0 = 1 noktasından geçer.
Bu bilgiler ışığında, f(x) = ax fonksiyonunun
a > 1 iken grafiği yandaki gibidir.
x
y
0
y=ax
1
0 < a < 1 iken
f(x) = ax fonksiyonu azalandır.
∀ x ∈ R için f(x) = ax > 0 dır.
x = 0 için y = f(0) = a0 = 1 dir.
Yani f(x) in grafiği (0, 1) noktasından geçer.
Bu bilgiler ışığında, f(x) = ax fonksiyonunun
0 < a < 1 iken grafiği yandaki gibidir.
Elde ettiğimiz bu iki grafiğin de y = x doğrusuna göre simetriklerini çizersek f(x) = logax fonksiyonunun gra-fiğini elde ederiz.
�
�
�
���
�
�
��
������
�
�
�
����
�
��������
a > 1 için 0 < a < 1 için
ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
107
ÖRNEK 73
f(x) = 2x–1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
ÖRNEK 74
f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
ÖRNEK 75
f(x) = 21 2–
xc m fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
Pratik Yol
c > 0 olmak üzere,
y = f(x) + c fonksiyonunun grafiği;
y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin y ekseni üzerinde c kadar kaydırılmışıdır.
x
y
0
y = f(x) + c
c
c
y = f(x)
y = f(x) – c
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
108
ÖRNEK 76
y = 2x fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak,
y = 2x + 2 , y = 2x + 1 , y = 2x – 1 ve y = 2x – 2fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir. İnceleyiniz.
�
�
�
��� �
��� �
���
�
����
����
�
�
!
ÖRNEK 77
f(x) = ( )log x 421 + fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
ÖRNEK 78
f(x) = log2(x – 1) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
ÖRNEK 79
f(x) = ln(x – e) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
109
Pratik Yol
c > 0 olmak üzere,
y = f(x – c) fonksiyonunun grafiği;
y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin x ekseni üzerinde
c kadar kaydırılmışıdır.
x
y
y = f(x + c)
c c
y = f(x)
y = f(x – c)
ÖRNEK 80
y = log2x fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak,
y = log2(x – 2) , y = log2(x – 1) , y = log2(x + 1) ve
y = log2(x + 2) fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir.
İnceleyiniz.
x
y
y=log2(x+2)
–1 0 1 2 3
y=log2(x+1)y=log2x
y=log2(x–1)y=log2(x–2)
ÖRNEK 81
x
y
y = a + logb(x – c)
50 1 2
2
f(x) = a + logb(x – c) fonksiyonunun grafiği yukarıdaki
gibidir. Buna göre f(9) değerini bulunuz.
Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
110
ÜSTEL DENKLEMLER
2x = 4 , 3x – 9x + 2 = 0
ex – e2x = 0 , 4x – 2x – 12 = 0
biçimindeki denklemler üstel denklemlerdir. Bu tür denklemler genellikle değişken dönüştürülüp 2. dere-ceden denklem elde edilerek çözülür.
ÖRNEK 82
4x – 2x – 12 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulu-nuz.
Çözüm
ÖRNEK 83
e2x – ex – 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulu-nuz.
Çözüm
ÖRNEK 84
ex + 3e–x – 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bu-lunuz.
Çözüm
LOGARİTMALI DENKLEMLER
Verilen logaritmalı denklemler
logaf(x) = b biçiminde ise
logaf(x) = b ⇒ f(x) = ab olacağından
f(x) = ab denklemi çözülür.
logaf(x) = logag(x) biçiminde ise
f(x) = g(x) denklemi çözülür.
(f(x) > 0 , g(x) > 0 dır.)
ÖRNEK 85
log3(2x – 1) = 2 denkleminin çözüm kümesini bulu-
nuz.
Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
111
ÖRNEK 86
ln[ 2 – log2(x – 1) ] = 0 denkleminin çözüm kümesi-ni bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 87
log(x+1)(4x + 1) = 2 eşitliğini sağlayan x değerini bu-lunuz.
Çözüm
ÖRNEK 88
log(x + 8) – log(x – 1) = 1 denkleminin çözüm küme-sini bulunuz.Çözüm
ÖRNEK 89
log2(x – 1) + log2(x + 5) = 4 denkleminin çözüm kü-mesini bulunuz.Çözüm
ÖRNEK 90
log2x + logx2 = 2 denkleminin çözüm kümesini bu-
lunuz.Çözüm
ÖRNEK 91
2logx + xlog2 = 8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
112
ÖRNEK 92
10log3x – eln(x+7) = 2log8x3 denklemini sağlayan x de-
ğerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 93
(log2x)2 – log2x4 + 3 = 0 denkleminin çözüm küme-
sini bulunuz.Çözüm
ÖRNEK 94
(lnx)2 – lnx2 – 3 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.Çözüm
ÖRNEK 95
2lnx + 21–lnx = 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 96
3logx = 2log3 eşitliğini sağlayan x değerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 97
xlogx = 100x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
113
ÖRNEK 98
xlog2x = 4x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 99
log2(x + 2) – logv2 (x – 1) = 1 denkleminin çözüm kü-
mesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 100
Inx In x 0– = denkleminin kökler çarpımını bulu-nuz.
Çözüm
ÖRNEK 101
lnx – 3 = 4logxe denkleminin kökler toplamını bulu-nuz.
Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
114
ÖRNEK 102
exlna.exlnb = ab eşitliğini sağlayan x değerini bu-lunuz.
Çözüm
ÖRNEK 103
log3(2x + 4) = log35 + xlog32 eşitliğini sağlayan x de-
ğerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 104
log2(2x – 4) + x – 5 = 0 denkleminin çözüm kümesi-
ni bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 105
xlog2x + 2(log2x)2 – 32 = 0 denkleminin çözüm küme-sini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 106
xlnx = e6+lnx denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Logaritma
115
ETKİNLİK
Türkiye’nin 1990 ve 2000 yıllarında yapılan genel nüfus sayımlarına göre nüfusu aşağıdaki gibi tespit edilmiştir.
21.10.1990
22.10.2000
56.473.035
67.844.903
Say›m Tarihi Nüfus
Bu verilerle yıllık nüfus artış hızının yaklaşık % 1,85 olduğu sonucu çıkarılabilir. 2000 yılından sonraki herhangi
bir t yılındaki N nüfusu N(t) = 67,8.e0,0185.t milyon kişi biçiminde modellenebilir.
Bu bağıntıyı kullanarak hesap makinesi yardımıyla
Türkiye’nin 2010 yılındaki nüfusunu bulunuz.
t = 2010 – 2000 = 10
N(10) = 67,8.e0,0185.10 = 67,8.e0,185 = 67,8.(1,203) = 81,6 olur.
O halde Türkiye’nin 2010 yılındaki nüfusu 81 600 000 kişidir.
Türkiye’nin nüfusunun 100 000 000 kişiye ulaşacağı yılı bulunuz.
67,8.e0,0185.t = 100 ⇒ e0,0185.t = 1,474926 ⇒ lne0,0185.t = ln(1,474926)
⇒ 0,0185.t = 0,388608
⇒ t ≅ 21
2000 + 21 = 2021 bulunur. O halde, Türkiye’nin nüfusu 2021 yılı içinde 100 000 000 kişi olacaktır.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
116
ÜSLÜ EŞİTSİZLİKLER
af(x) > ag(x) eşitsizliği çözülürken
a > 1 ise f(x) > g(x) eşitsizliği çözülür.
0 < a < 1 ise f(x) < g(x) eşitsizliği çözülür.
ÖRNEK 107
24x–1 > 4x–2 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.Çözüm
ÖRNEK 108
23
32≤
x x2 2 1– –c cm m eşitsizliğinin çözüm kümesini bu-
lunuz.Çözüm
ÖRNEK 109
43
43>
x x2 1 2– +c cm m eşitsizliğinin çözüm kümesini bu-
lunuz.Çözüm
ÖRNEK 110
32
49>
x x2 1 2 1– –+c cm m eşitsizliğinin çözüm kümesini
bulunuz.
Çözüm
LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER
logaf(x) < b eşitsizliği çözülürken
a > 1 ise,
f(x) < ab
f(x) > 0 } sistemi çözülür.
0 < a < 1 ise,
f(x) > ab
f(x) > 0 } sistemi çözülür.
ÖRNEK 111
log2(x – 1) < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
117
ÖRNEK 112
log3(x – 2) ≥ log34 eşitsizliğinin çözüm kümesini bu-lunuz.
Çözüm
ÖRNEK 113
( )log x 2 2– <21 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 114
( ) ( )log logx x2 1 2– –<21
21 eşitsizliğinin çözüm küme-
sini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 115
1 < log2(3x – 1) < 2 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 116
1 < log21 (2x – 1) < 2 eşitsizliğinin çözüm kümesini
bulalım.
Çözüm
ÖRNEK 117
log4(x2 – 9) ≤ 2 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
118
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. Aşağıdaki ifadelerin hangi iki ardışık sayı arasın-da olduğunu bulunuz.
a. log270
b. log3210
c. log5612
d. ln8
e. log1987
f. log0,0003
g. log4,23
h. log19,93
2. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku-tuya D yanlış olanlar için Y yazınız.
logx = 2341,23 ise x , 3 basamaklıdır.
logy = 12,314 ise x , 13 basamaklıdır.
logz = 196,8 ise z , 195 basamaklıdır.
logt = 1,134 ise t , 2 basamaklıdır.
3. log2 = 0,30103 ise
a. 2400 kaç basamaklıdır?
b. 2010 kaç basamaklıdır?
c. 400100 kaç basamaklıdır?
4. log7 = 0,8451 ise
a. 750 kaç basamaklıdır?
b. 4920 kaç basamaklıdır?
c. 49040 kaç basamaklıdır?
5. Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe doğru sırala-yınız.
a. x = log210 , y = log25 , z = log240
b. x = log31 100 , y = log
31 22 , z = log
31 56
c. x = log78 , y = log9 , z = log310
d. x = log9
11 , y = log1113 , z = log
1315
ALIŞTIRMALAR – 3
Logaritma
119
6. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a. y = 2x–1
b. y = 3x+1 + 1
c. y = 2–x – 3
d. y = log3x
e. y = log21 (x – 1)
f. y = log(x – 2)
g. y = ln(x + e)
h. y = log4(x + 2)
7. logx = 4,4272 ise logvx ifadesinin eşitini bulu-nuz.
8. logx = –1,2412 ve logy = 2,1215 ise log(x2.y3)ifadesinin eşitini bulunuz.
9. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulu-nuz.
a. 9x – 3x+1 – 10 = 0
b. 6.e2x – 11ex + 3 = 0
c. e2–ln2x = x
d. 16x + 4x = 12
ES
EN
YAY
INLA
RI
Logaritma
120
ES
EN
YAY
INLA
RI
10. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulu-nuz.
a. log2(x – 1) – log2(x – 2) = 2
b. log3(x – 2) + log3(x – 4) = 1
c. log(x + 1) – log(x – 2) = logx – log(x – 1)
d. log22(x + 1) + log2(x + 1) = 6
e. elnx = 7x – 12
f. log2x = logx2
g. log x2 = 2 – log2x
h. xlog6x = 36x
i. lnx – 3logxe = 2
j. xlogx = 103+2logx
k. log2 x3 = log 2x3
11. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulu-nuz.
a. 2x–1 <2
1x2 3–
b. 43
34≥
x x1 2 1– –c cm m
c. 4x–1 < 2x+2
d. 94
827>
x x2 1–+c cm m
e. log2(x – 3) ≤ 1
f. log21 (2x – 6) ≥ 2
g. |log3(x – 2)| ≤ 3
h. 1 ≤ log3(x – 1) ≤ 2
i. log22x – log2x
3 < 10
j. 2 ≤ log21 (x – 1) < 4
ES
EN
YAY
INLA
RI
125
TEST – 1
1. log2(3x – 1) = 3 ise x kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2. 2x = 5 ise x aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) log52 B) log2 C) log5
D) log510 E) log25
3. logx9 = 2 ise x kaçtır?
A) v2 B) v3 C) 2 D) 3 E) 6
4. log23 + log4x = log165 eşitliğini sağlayan x de-ğeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 25 B)
35 C)
65
D) 85 E)
95
5. log3 x1 = –2 ise x kaçtır?
A) 3 B) 6 C) 8 D) 9 E) 27
6. log4 = x ise log5 in x cinsinden değeri aşağı-dakilerden hangisidir?
A) x2
1– B) x2
2 – C) x2
2–
D) x2
1– E) 2 – x
7. ln(1 + lnx) = 1 eşitliğini sağlayan x değeri aşa-ğıdakilerden hangisidir?
A) e1–e B) ee C) ee–1 D) e–e E) e
8. ln[ 1 + log3(2 – log2x)] = 0 eşitliğini sağlayan xdeğeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
126
1.C 2.E 3.D 4.E 5.D 6.B 7.C 8.C 9.C 10.A 11.E 12.B 13.B 14.C 15.C 16.C
9. f(x) = 2log(x – 1) olmak üzere,
f –1(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 10x B) 10 1–x C) 10 1x +
D) 2 10x E) 2 10 1x +
10. f(x) = 2x+1 – 3 olmak üzere,
f –1(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) log2x
23+
c m B) log2(x + 3)
C) log2(x – 3) D) log2x
23–
c m
E) log2x
32–
c m
11. logx = 346,123 ise x sayısı kaç basamaklıdır?
A) 2 B) 3 C) 345 D) 346 E) 347
12. a = log78 , b = log9 ve c = log524 olmak üzere,aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) b < c < a B) b < a < c C) a < c < bD) a < b < c E) c < a < b
13. log log log6
136
16
2
2 9 6+ + ifadesinin eşiti aşa-
ğıdakilerden hangisidir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
14. f(x) = logx–1(3 – x) fonksiyonunun en geniş tanımkümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (1, 3) B) (1, 2) C) (1, 3) – {2}D) [1, 2) E) (0, 2) – {1}
15. log2(x + 2) + log2(x – 1) = 2 denkleminin çözümkümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–3, 2} B) {–2, 3} C) {2}D) {3} E) {4}
16. 4x + 1 = 21–x denkleminin gerçek köklerinin top-lamı kaçtır?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
ES
EN
YAY
INLA
RI
131
TEST – 4
1. log2[ log3(4x – 1)] = 0 eşitliğini sağlayan x değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 21 B) 1 C)
23 D) 2 E) 3
2. log(x.y) = 2logyx ise logyx ifadesinin eşiti
aşağıdakileden hangisidir?
A) 31 B)
21 C) 1 D) 2 E) 3
3. 2 ( )log log3 32+4 2^ h ifadesinin eşiti aşağıdakiler-den hangisidir?
A) 84 B) 88 C) 2v2 D) 43 E) 2
4. logaba = x ise logba ifadesinin eşiti aşağıdakiler-
den hangisidir?
A) x
x1–
B) x
x1 + C) x
x1–
D)x
x1 +
E) x
x1–
5. log52 = x ise log25 in x cinsinden değeri aşa-ğıdakilerden hangisidir?
A) x 1
2+
B) x 2
1+
C) x 1
1–
D) x 1
2–
E) xx
11–
+
6. x = log524 , y = log637 , z = log78sayıları arasındaki sıralama aşağıdakilerdenhangisidir?
A) z < x < y B) z < y < x C) y < x < zD) y < z < x E) x < y < z
7. log2 = 0,30103 ise 2020 sayısı kaç basamaklı-dır?
A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29
8. log3(x – 2) – log3(x + 4) = –1 ise logx5x kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
132
1.B 2.E 3.A 4.E 5.A 6.A 7.C 8.A 9.C 10.C 11.A 12.E 13.E 14.D 15.B 16.D
9. 3x – 31–x = 2 denkleminin kökler çarpımı kaçtır?
A) –3 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3
10. log2x + logx2 = 24 denkleminin kökler çarpımıaşağıdakilerden hangisidir?
A) 10–4 B) 10–3 C) 10–2 D) 102 E) 103
11. ln2e = 1 + elnx eşitliğini sağlayan x değeri aşa-ğıdakilerden hangisidir?
A) ln2 B) ln3 C) ln5 D) ln6 E) ln10
12. f: R → (–∞, 2) , f(x) = 2 – 2.32x–1 fonksiyonu için
f –1(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 1 + log3x
22 – B) log x
21 1
2– 3: D
C) log x21 1
22 – –
3; E D) 1 – log3x
22 –
E) log x21 1
22 –
3+; E
13. log52 = x isexx
2 13 1
++ ifadesinin eşiti aşağıdaki-
lerden hangisidir?
A) log4020 B) log3020 C) log4030D) log2030 E) log2040
14. |1 – log2x| < 2 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağı-dakilerden hangisidir?
A) ,21 4c m B) (2, 4) C) (2, 8)
D) ,21 8c m E) ,
41
21
c m
15. 3logx2 + 2logx3 = 16 ise x kaçtır?
A) v3 B) 33 C) v2 D) 23 E) v6
16.
x
y
y=logax
0 1 8
3
f(x) = logax fonksiyonunun grafiği yukarıdaki gi-bidir. Buna göre f –1(4) kaçtır?
A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 32
ES
EN
YAY
INLA
RI
133
TEST – 5
1. log a32
= ve log34 = b ise logab16 ifadesinin
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
2. log6! = a ve log7! = b ise a + b ifadesinin eşitiaşağıdakilerden hangisidir?
A) log9! B) log10! C) log11!D) log12! E) log13!
3. log35 = x ise log15375 ifadesinin x cinsindendeğeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) xx
13 2
++ B)
xx
13 1
++ C)
xx
12 3
++
D) xx
23 1
++ E)
xx
22 3
++
4. ln(x.y) = 4 ve lnyx = 2 ise
x aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 1 B) e1 C) e D) e2 E) e3
5. log4125 sayısından küçük olan en büyük tamsayı kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
6. log log16 421
24
23+a ^k h ifadesinin eşiti aşağı-
dakilerden hangisidir?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
7. log2 2 2 44 3 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
) ) ) ) )A B C D E2411
21
2413
127
41
8. 3logx = 2 eşitliğini sağlayan x değeri aşağıdaki-lerden hangisidir?
A) 2log32 B) 10log23 C) 10log210
D) 2log310 E) 2log3
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
134
1.C 2.B 3.B 4.E 5.C 6.D 7.A 8.D 9.C 10.D 11.C 12.B 13.E 14.C 15.B 16.C
9. f(x) = logx–2 xx
25–
+c m fonksiyonunun tanım kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–∞, –2) B) (–2, 5) C) (5, ∞)D) (2, 5) E) (2, ∞)
10. log3150 < x < log2150 olmak üzere,x in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamıkaçtır?
A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
11. log6 = 0,7781 ise 360100 sayısı kaç basamaklıbir sayıdır?
A) 254 B) 255 C) 256 D) 257 E) 258
12. log2(x + 2) – log23 = 1 ise log4x kaçtır?
A) 21 B) 1 C)
23 D) 2 E) 4
13. logx + lnx = lnex eşitliğini sağlayan x değeriaşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 B) e C) 2 D) 2e E) 10
14. xlog2x = 4x eşitliğini sağlayan x değerlerinin top-lamı kaçtır?
A) 27 B) 4 C)
29 D) 5 E)
211
15. f(x – 1) = 2 + loga(x + 3) fonksiyonunda f(1) = 3
ise f –1(4) kaçtır?
A) 22 B) 21 C) 20 D) 18 E) 16
16.
x
yy=logax
0
y=logbx
y=logcx
Şekildeki grafiği çizilen fonksiyonlara göre a, b ve c arasındaki doğru sıralanış aşağıdakilerden hangisidir?
A) c < b < a B) b < a < c C) c < a < bD) b < c < a E) a < b < c
ES
EN
YAY
INLA
RI
139
TEST – 8
1. log(x+1)(x2 – 5) = 1 ise logx(x + 6) kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2. a = lnx ve b = logx ise a sayısı , b sayısınınkaç katıdır?
A) 10 B) loge C) 10eD) e E) ln10
3. ln(lnx) + lnx = 2 + ln2 eşitliğini sağlayan x değeriaşağıdakilerden hangisidir?
A) e B) 2e C) e2 D) 2e2 E) 4e
4. x = 2log34 ve y = 4log32 ise logxy ifadesinin eşitikaçtır?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
5. log32 = x ve log53 = y ise log6 ifadesinin x vey cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) xyxy y
1++ B)
xyxy x
1–+
C) xyxy x
1–+
D) xyxy y
1–+ E)
xy xxy y
–+
6. (log10x – 1)log x100
2= – logx denkleminin çö-
züm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {10} B) {100} C) ,101 10' 1
D) ,101 100' 1 E) ,
1001 10' 1
7. log229 = x ise x aşağıdaki aralıkların hangisindebulunur?
A) (6, 7) B) (5, 6) C) (4, 5)D) (3, 4) E) (2, 3)
8. loga2 = logb4 ise logaba2 – logabb
2 ifadesinin
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) –1 B) 32– C)
32 D) 1 E)
23
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
140
1.B 2.E 3.C 4.D 5.A 6.D 7.C 8.B 9.A 10.E 11.E 12.C 13.A 14.C 15.A 16.E
9. logva
b + c.logab = 3 ise a c 23+ ifadesinin eşiti
aşağıdakilerden hangisidir?
A) b B) b1 C)
b12
D) b2 E) vb
10. loglog
loglog x
53
164
2
3
5= eşitliğini sağlayan x değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28
11. f(x) = log2(x2 – mx + 1) fonksiyonu
∀ x ∈ R için tanımlı olduğuna görem nin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) (– 4, 0) B) (–2, 0) C) (0, 2)D) (0, –4) E) (–2, 2)
12.
0
y=loga(x+b)
x
y
1
3
10
f(x) = loga(x + b) fonksiyonunun grafiği yukarıda-ki gibidir. Buna göre f(4) kaçtır?
A) 21 B) 1 C)
23 D) 2 E)
25
13. logxxy + logxyx = logxy ise log(x2.y) ifadesinin
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
14. log20 = 1,30103 ise log21 ifadesinin eşiti
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0,69897 B) 1,69897 C) –0,30103D) –0,69897 E) –1,30103
15. x = logy2 ve 20 < y < 400 ise x aşağıdakiler-den hangisine eşit olabilir?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
16. ABC üçgeninde
log2 log6
log3x
A
B C
|AB| = log2 cm
|AC| = log6 cm
|BC| = log3x cm ise
x in değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) (1, 3) B) (0, 3) C) (0, 4)D) (2, 5) E) (1, 4)
ES
EN
YAY
INLA
RI
141
TEST – 9
1. logx + log5 = 1 eşitliğini sağlayan x değeri kaç-tır?
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 10
2. x ∈ R olmak üzere,logx < 0 olması için x aşağıdaki aralıkların han-gisinde değer almalıdır?
A) (–∞, –1) B) (–∞, 0) C) (–1, 0)
D) (0, 1) E) (1, ∞)
3. log(x + 1) – logx = 2 denkleminin çözüm kümesiaşağıdakilerden hangisidir?
A) 991
' 1 B) 91
' 1 C) 31
' 1
D)21
' 1 E) {1}
4. loga = 1,44 olduğuna göre,
a259 nin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 10 B) 102 C) 122 D) 104 E) 124
5. log(cotx) = 0 ise x in en küçük radyan ölçüsüaşağıdakilerden hangisidir?
) ) ) ) )A B C D E6 4 3 2 4
3r r r r r
6. log2a = log b21 olduğuna göre,
log(a.b) nin değeri nedir?
A) 2 B) 1 C) 21 D)
41 E) 0
7. log10(log232) = log100x olduğuna göre,
x in değeri nedir?
A) v5 B) 5 C) 25 D) 125 E) 625
8. xlog32 – (vx + 1)log92 = 0 denkleminin kökü aşa-
ğıdakilerden hangisidir?
A) 32 B)
21 C) 1 D) 2 E) 3
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
142
1.B 2.D 3.A 4.D 5.B 6.E 7.C 8.C 9.B 10.E 11.D 12.C 13.A 14.D 15.E 16.B
9. 2n = a ve loga162 = n2 olduğuna göre,
n kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16
10. g(f(x)) = f(x + 1) ve f(x) = lnx ise
g(g(lnx)) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) ln(x + 1)x+2 B) ln(x + 1)x
C) lnx D) ln(x + 1)E) ln(x + 2)
11. log20 – log(x – 1) = 1 denkleminin kökü aşağıda-kilerden hangisidir?
A) 23 B) 2 C)
25 D) 3 E) 4
12. a3 = b4 olduğuna göre,
log(b3)
a2 ifadesinin değeri kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E94
21
98
34
89
13. log2ex = lnxn olduğuna göre,
n aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) log2ee B) ln2e C) 2 + ln2
D) In21 E) log2e
14. x = log2 91 , y = log3 25
1 , z = log4 51
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisidoğrudur?
A) z < y < x B) z < x < y C) y < x < zD) x < y < z E) x < z < y
15. ln2x – lnx2 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
A) Ø B) {1} C) {e2}D) {1, e} E) {1, e2}
16. an = bm olduğuna göre, mn kesri aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
A) log(a.b) B) logab C) logbaD) log(a + b) E) ln
ba
143
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. 1981 – ÖYS
y = log7 x1 ve x = 75 ise y nin değeri nedir?
A) –5 B) 51– C)
51 D) 5 E) 7
2. 1982 – ÖYS
( )log log2212
2+ c m ifadesinin değeri nedir?
A) 0 B) logv2 C) v2 log21
c m
D) log21
c m E) v2 log2
3. 1983 – ÖYSlogac = x , logbc = y olduğuna göre x in a, b, y
türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) logaby B) log
yab C)
logy
ba
D) y.logba E) y.logab
4. 1984 – ÖYSlog2(log10x) = 3 eşitliğini sağlayan x değeri aşa-ğıdakilerden hangisidir?
A) 102 B) 103 C) 106 D) 108 E) 109
5. 1985 – ÖYSlog35 = a olduğuna göre log515 ifadesinin de-
ğeri nedir?
A) a 1
1–
B) a
a1–
C) a
a 1–
D) a
a1+
E) a
a 1+
6. 1986 – ÖYSlog1656 = a , log2 = b , log3 = c olduğuna görelog23 ün değeri nedir?
A) a – 2b – 3c B) a – 3b – 2cC) a – b – 3c D) a – 2b – cE) a – b – c
7. 1987 – ÖYSlog(a + b) = loga + logb olduğuna göreb nin a türünden değeri nedir?
A) a
a1+
B) a
a 1+ C) a
a1–
D) a
a 1– E) aa
11
–+
8. 1987 – ÖYSln(xy) = 2a , ln
yx
c m = 2b olduğuna göre
x in değeri nedir?
A) ea+b B) eb–a C) ea–b
D) e–(a+b) E) eab
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
144
9. 1988 – ÖSS
logx + 2logx1 = log8 – 2logx denkleminin çözü-
mü nedir?
A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2
10. 1988 – ÖYSlna = p olarak verildiğine göre, loga2 aşağıdaki-lerden hangisine eşittir?
A) ploge B) 2ploge C) plog2e
D) plog e2
E) p2
loge
11. 1988 – ÖYSy = log x
31 in grafiği hangisi olabilir?
0 x
yA)
0 x
yB)
0 x
yC)
0 x
yD)
0 x
yE)
1
1
1
1
12. 1988 – ÖYSlog2 = 0,301 , log3 = 0,477 olduğuna göre,log360 ın değeri kaç olur?
A) 2,731 B) 2,556 C) 3,043D) 1,987 E) 1,865
13. 1989 – ÖSSa5 = b olduğuna göre, logba
3 kaçtır?
A) 2 B) 8 C) 15 D) 53 E)
35
14. 1989 – ÖYSlogx + log(3x + 2) = 0 denklemini sağlayan değernedir?
) ) ) ) )A B C D E21
31
41
51
61
15. 1990 – ÖYSlog7(2x – 7) – log7(x – 2) = 0 olduğuna göre,
log5x in değeri nedir?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
145
16. 1991 – ÖYS log35 = a olduğuna göre, log925 in değeri nedir?
A) a B) 2a C) a2 D) a2
E) va
17. 1992 – ÖYS log53 + log5a = 1 olduğuna göre, a kaçtır?
A) 3 B) 2 C) 1 D) 35 E)
34
18. 1993 – ÖYS loga9 = 4 , log3a = b olduğuna göre,
a.b çarpımı kaçtır?
A) v2 B) v3 C) 2v3D)
23 E)
32
19. 1994 – ÖYS log3(9.3x+3) = 3x + 1 denkleminin çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–1, 1} B) {0, 2} C) {0}D) {1} E) {2}
20. 1994 – ÖYS f(x) = log2x , (gof)(x) = x + 2 olduğuna göre, g(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x B) 2x – 1 C) 2x + 1D) 2x + 2 E) 2x – 2
21. 1995 – ÖYS
loglog
logx
x94 27
3
33= denklemini sağlayan x değe-
ri kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 9
22. 1996 – ÖYS log102 = a , log103 = b olduğuna göre,
log1072 nin a ve b türünden değeri aşağıdaki-
lerden hangisidir?
A) 2b – 3a B) 3a – b C) 3a – 2bD) 3a + 2b E) 2a + 3b
23. 1997 – ÖYS log2(2log3(3log4(x + 2) ) ) = 1 olduğuna göre x kaçtır?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
146
24. 1998 – ÖYS
log log log243
246
2412
4 2 34+ +
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1 B) 3 C) 6 D) 8 E) 12
25. 2006 – ÖSS
: ,f31–
3c m → R fonksiyonu
f(x) = log3(3x + 1)ile tanımlanıyor.Buna göre, ters fonksiyonu belirten f –1(x) aşağı-dakilerden hangisidir?
A) f –1(x) = 3x B) f –1(x) = 3x + 1
C) f –1(x) = log(3x + 1) D) f –1(x) = 3
3 1–x
E) f –1(x) = x3
13 +
26. 2007 – ÖSSlog2(log3(5x + 6)) = 2olduğuna göre x kaçtır?
A) 6 B) 8 C) 9 D) 15 E) 18
27. 2008 – ÖSS log49 + log2(a – 3) < 4
eşitsizliğini sağlayan kaç tane a tam sayısı var-dır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
28. 2009 – ÖSSy
x0 1
3
1
f(x)=logax
Yukarıda logax fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, f f271
cc mm değeri kaçtır?
A) –3 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3
29. 2010 – LYS log35 = a olduğuna göre, log515 in değeri kaçtır?
A) a
a1+
B) a
a 1+ C) a
a3+
D) a
a 3+ E) a3
4
30. 2010 – LYS
log log61
61
2 3+
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 31 B) 1 C) 2
D) log62 E) log63
31. 2010 – LYS 0 ≤ log2(x – 5) ≤ 2 eşitsizliklerini sağlayan kaç tane x tam sayısı
vardır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
147
32. 2010 – LYS 1 den farklı a, b, c pozitif gerçel sayıları için,
logab = 21
logac = 3
olduğuna göre, logc ab
b
2d n ifadesinin değeri
kaçtır?
A) 23 B)
25 C)
35 D) –6 E) –5
33. 2011 – LYS log9(x
2 + 2x + 1) = t , (x > –1) olduğuna göre, x in t tü rün den eşi ti aşa ğı da ki-
ler den han gi si dir?
A) 3t – 1 B) 3t–1 C) 3 – 2t
D) 2.3t–1 E) 3t – 2
34. 2012 – LYS
log23x + log4x2 = 2
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
A) 22 B)
223 C)
225
D) 33 E)
332
35. 2012 – LYS
2x = 51
3y = 14
olduğuna göre, x.y çarpımının değeri kaçtır?
A) lnln23 B)
lnln215 C)
lnln45
D) lnln253
E) lnln56
